spb/gsf6053_h25 Public

1% =========================================================================2% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)3% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration4% Auteur  : Simon-Pierre Boucher5% Contact : contact@spboucher.ai6% =========================================================================7\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt89% ------------------------------------------------------------------------10% Packages indispensables et recommandés11% ------------------------------------------------------------------------12\usepackage[utf8]{inputenc}     % Encodage des caractères13\usepackage[T1]{fontenc}        % Encodage de la police14\usepackage[french]{babel}      % Support de la langue française15\usepackage{amsmath, amssymb}   % Environnement mathématique enrichi16\usepackage{graphicx}           % Inclusion d'images17\usepackage{hyperref}           % Liens hypertextes18\usepackage{geometry}           % Gestion des marges19\usepackage{titlesec}           % Personnalisation des titres20\usepackage{setspace}           % Gestion de l'interligne21\usepackage{xcolor}             % Gestion des couleurs22\usepackage{lipsum}             % (optionnel) Pour générer du faux texte23\usepackage{booktabs}           % (optionnel) Pour améliorer les tableaux24\usepackage{fancyhdr}           % Personnalisation des en-têtes et pieds de page25\usepackage{cleveref}           % Références intelligentes26\usepackage{caption}            % Pour personnaliser les légendes2728% ------------------------------------------------------------------------29% Configuration de la mise en page30% ------------------------------------------------------------------------31\geometry{32    a4paper,33    left=25mm,34    right=25mm,35    top=25mm,36    bottom=25mm37}3839% ------------------------------------------------------------------------40% Personnalisation des sections41% ------------------------------------------------------------------------42\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}43\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}44\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}4546% ------------------------------------------------------------------------47% Commande pour mettre en avant les livres en bleu48% ------------------------------------------------------------------------49\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}5051% ------------------------------------------------------------------------52% Configuration des hyperliens53% ------------------------------------------------------------------------54\hypersetup{55    colorlinks=true,          % Les liens sont colorés56    linkcolor=blue,           % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)57    urlcolor=blue,            % Couleur des URL58    citecolor=blue,           % Couleur des citations59    filecolor=blue,           % Couleur des liens vers des fichiers60    pdfborder={0 0 0},        % Pas de bordure autour des liens61    breaklinks=true            % Permet les sauts de ligne dans les liens62}6364% ------------------------------------------------------------------------65% Configuration des en-têtes et pieds de page66% ------------------------------------------------------------------------67\pagestyle{fancy}68\fancyhf{}69\fancyhead[L]{Préalable}70\fancyhead[R]{Hiver 2025}71\fancyfoot[C]{\thepage}72\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite7374% ------------------------------------------------------------------------75% Informations sur le document76% ------------------------------------------------------------------------77\title{\textbf{Préalable}}78\author{GSF-6053}79\date{Hiver 2025}8081% ------------------------------------------------------------------------82% Début du document83% ------------------------------------------------------------------------84\begin{document}8586\maketitle87\tableofcontents88\newpage8990% Augmenter l'interligne à 1,591\onehalfspacing9293% ------------------------------------------------------------------------94% SECTION 1 : Préalable95% ------------------------------------------------------------------------96\section{Préalable}9798Ce document présente une révision des concepts mathématiques de base utiles au cours. 99L’idée de cette révision n’est pas de voir toutes les propriétés présentées dans les annexes, 100mais de repasser certaines qui pourraient vous être utiles dans le cours. Attention donc à ne 101pas voir cette présentation comme exhaustive puisqu’il s’agit d’un résumé.102103La référence pour cette révision se trouve dans votre \livre{livre de Wooldridge} (A, B et D partiellement) 104ou de \livre{Gujarati et Porter} (A et B). Les annexes C et E de \livre{Wooldridge} seront vues en cours de route. 105La consultation du \livre{livre de Greene} vous permettra d’explorer ces concepts en profondeur.106107% ------------------------------------------------------------------------108% SECTION 2 : Révision de Statistique de Base109% ------------------------------------------------------------------------110\section{Révision de Statistique de Base}111112\subsection{Les Propriétés des Sommations, des Doubles Sommations et des Produits}113114Les constantes peuvent sortir des sommations de la façon suivante :115\begin{align*}116    \sum_{i=1}^{N} c x_i &= c \sum_{i=1}^{N} x_i117\end{align*}118119Aussi, l’opérateur se distribue :120\begin{align*}121    \sum_{i=1}^{N} (x_i + y_i) &= \sum_{i=1}^{N} x_i + \sum_{i=1}^{N} y_i122\end{align*}123124Lorsqu’une double sommation est introduite, les opérateurs sommation sont interchangeables :125\begin{align*}126    \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M} x_i y_j &= \sum_{i=1}^{N} x_i \sum_{j=1}^{M} y_j127\end{align*}128129La moyenne échantillonnale est :130\begin{align*}131    \bar{x} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i132\end{align*}133134Il découle que la somme des déviations par rapport à la moyenne est nulle :135\begin{align*}136    \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) &= 0137\end{align*}138139Et que :140\begin{align*}141    \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n(\bar{x})^2142\end{align*}143144Vous pouvez distribuer le produit pour vous en convaincre en prenant soin de distribuer 145l’opérateur de sommation de la bonne façon également.146147\textbf{Note} : La section A.2 de \livre{Wooldridge} est une révision des fonctions linéaires. 148Comme c’est la base de la régression, je vous suggère de la lire avant la semaine prochaine. 149La section A.3 sur les proportions est également pertinente, surtout pour ceux d’entre vous 150qui commencent en économie/gestion. Finalement, on m’a demandé dans la séance synchrone 151davantage d’informations sur la transformation logarithmique. Vous avez une section à cet effet (A.4b).152153\subsection{Les Fonctions de Densité}154155Une fonction de densité peut être vue comme « comment je représente les probabilités que quelque 156chose arrive quand on a affaire avec une variable aléatoire ». Pour les densités, il existe deux 157types : les variables discrètes et les variables continues. Les variables discrètes ne prennent que 158des valeurs spécifiques, telles que des entiers. Les variables continues peuvent prendre n’importe 159quelle valeur.160161Pour une variable discrète, c’est la probabilité qu’une variable aléatoire prenne une certaine valeur. 162Par exemple, si vous représentez la somme de deux dés, vous avez une fonction de densité discrète, 163ce qui donne une fonction de densité en bâtonnets.164165Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la fonction de densité doit répondre aux critères 166suivants :167\begin{align*}168    \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx &= 1169\end{align*}170171Un exemple de fonction de densité continue serait la cloche de la loi normale.172173Il est important de discerner que dans le cas d’une variable continue, la probabilité que la variable 174aléatoire prenne une valeur spécifique est nulle. Seule la possibilité que la variable aléatoire soit 175comprise à l’intérieur d’un intervalle peut être investiguée.176177La fonction de densité conditionnelle est :178\begin{align*}179    f(x \mid y) &= \frac{f(x, y)}{f(y)}180\end{align*}181182L’indépendance de deux variables : lorsque la densité jointe est égale au produit des densités marginales. 183Si deux événements sont indépendants, ils ne devraient pas être étudiés ensemble.184185\subsection{Les Caractéristiques des Distributions de Probabilités}186187\textit{\livre{Wooldridge}, B-3 à B-5}. Nous présentons ici une révision des formules. Les concepts 188sont présentés très en détail dans le livre.189190\textbf{L’espérance} : Il s’agit de la valeur attendue :191\begin{align*}192    E(X) &= \sum x \, f(x)193\end{align*}194195Et si les événements sont équipondérés, cela revient à :196\begin{align*}197    E(X) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i198\end{align*}199200\textbf{Propriétés importantes pour le cours} :201\begin{align*}202    E(aX + b) &= aE(X) + b \quad \text{si } a \text{ et } b \text{ sont des quantités connues.}203\end{align*}204205Et :206\begin{align*}207    E(XY) &= E(X)E(Y) + \text{cov}(X, Y)208\end{align*}209210\textbf{La variance} :211212Supposons \(E(X) = \mu\), l’écart dans la distribution par rapport à la moyenne sera donc :213\begin{align*}214    \text{Var}(X) &= \sigma^2 = E\bigl((X - \mu)^2\bigr)215\end{align*}216217\begin{align*}218    \text{Var}(aX + b) &= a^2 \text{Var}(X), \quad \text{si } a \text{ et } b \text{ sont connus.}219\end{align*}220221\begin{align*}222    \text{Var}(X + Y) &= \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \,\text{Cov}(X, Y)223\end{align*}224225\subsection{Algèbre Matricielle}226227\textbf{Les matrices} :228229\begin{align*}230    A &= [a_{ij}]_{M \times N}231\end{align*}232où \(i\) dénote la ligne et \(j\) dénote la colonne. Les dimensions de \(A\) sont donc 233\(M \times N\).234235Les opérations de base sur les matrices sont à réviser par vous-même. Celles-ci incluent 236l’addition, la soustraction, la transposition, la multiplication et l’inversion. Portez une 237attention particulière aux propriétés de la multiplication.238239Voici une propriété importante de la transposition :240\begin{align*}241    (ABCD)^{\prime} &= D^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}A^{\prime}242\end{align*}243244\textbf{Rang d’une matrice} : Le nombre de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes. 245La matrice est de plein rang si celui-ci est égal au nombre de colonnes de la matrice. 246Une matrice est inversible seulement si elle est de plein rang colonne.247248Pour les matrices inversibles :249\begin{align*}250    A A^{-1} &= I, \\251    (A^{-1})^{\prime} &= (A^{\prime})^{-1}252\end{align*}253254\textbf{La trace d’une matrice} : La somme des éléments sur la diagonale d’une matrice carrée. 255Cet opérateur est intéressant pour nous, car :256\begin{align*}257    \text{tr}(AB) &= \text{tr}(BA)258\end{align*}259260\textbf{Quelques matrices importantes} :261\begin{itemize}262    \item \textbf{Matrice symétrique} : Une matrice carrée telle que \(A = A^{\prime}\).263    \item \textbf{Matrice diagonale} : Contient des éléments seulement sur la diagonale et 264    des zéros sur les éléments hors diagonale.265    \item \textbf{Matrice idempotente} : Une matrice carrée qui, lorsqu’elle est multipliée 266    par elle-même, donne elle-même comme produit, c’est-à-dire \(A \cdot A = A\).267\end{itemize}268269% ------------------------------------------------------------------------270% SECTION 3 : Bibliographie271% ------------------------------------------------------------------------272\section*{Bibliographie}273\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}274275\begin{thebibliography}{9}276277\bibitem{Wooldridge}278Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.279280\bibitem{GujaratiPorter}281Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.282283\bibitem{Greene}284Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.285286\end{thebibliography}287288\end{document}289