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GSF-6053 Économétrie financière (Hiver 2025) — notes, slides et PDF.
TeX 100%
1% =========================================================================2% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)3% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration4% Auteur : Simon-Pierre Boucher5% Contact : contact@spboucher.ai6% =========================================================================7\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt89% ------------------------------------------------------------------------10% Packages indispensables et recommandés11% ------------------------------------------------------------------------12\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères13\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police14\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française15\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnements mathématiques enrichis16\usepackage{amsthm} % Environnements théorèmes17\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images18\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes19\usepackage{geometry} % Gestion des marges20\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres21\usepackage{setspace} % Gestion de l'interligne22\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs23\usepackage{booktabs} % Pour améliorer les tableaux24\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page25\usepackage{cleveref} % Références intelligentes26\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes27\usepackage{enumitem} % Pour personnaliser les listes28\usepackage{pdflscape} % Pour placer les tableaux en paysage2930% ------------------------------------------------------------------------31% Configuration de la mise en page32% ------------------------------------------------------------------------33\geometry{34 a4paper,35 margin=25mm36}3738% ------------------------------------------------------------------------39% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.40% ------------------------------------------------------------------------41\theoremstyle{definition}42\newtheorem{definition}{Définition}[section]4344\theoremstyle{plain}45\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]46\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]4748% ------------------------------------------------------------------------49% Personnalisation des sections50% ------------------------------------------------------------------------51\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}52\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}53\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}5455% ------------------------------------------------------------------------56% Commande pour mettre en avant les livres en bleu57% ------------------------------------------------------------------------58\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}5960% ------------------------------------------------------------------------61% Configuration des hyperliens62% ------------------------------------------------------------------------63\hypersetup{64 colorlinks=true, % Les liens sont colorés65 linkcolor=blue, % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)66 urlcolor=blue, % Couleur des URL67 citecolor=blue, % Couleur des citations68 filecolor=blue, % Couleur des liens vers des fichiers69 pdfborder={0 0 0}, % Pas de bordure autour des liens70 breaklinks=true % Permet les sauts de ligne dans les liens71}7273% ------------------------------------------------------------------------74% Configuration des en-têtes et pieds de page75% ------------------------------------------------------------------------76\pagestyle{fancy}77\fancyhf{}78\fancyhead[L]{Tests d'Hypothèses}79\fancyhead[R]{Hiver 2025}80\fancyfoot[C]{\thepage}81\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite8283% ------------------------------------------------------------------------84% Informations sur le document85% ------------------------------------------------------------------------86\title{Tests d'Hypothèses}87\author{GSF-6053}88\date{Hiver 2025}8990% ------------------------------------------------------------------------91% Début du document92% ------------------------------------------------------------------------93\begin{document}9495\maketitle9697\tableofcontents98\newpage99100% Augmenter l'interligne à 1,5101\onehalfspacing102103% ------------------------------------------------------------------------104% SECTION : Économétrie financière I GSF 6053105% ------------------------------------------------------------------------106107\section{Introduction}108109Ce document présente une étude approfondie des tests d'hypothèses en économétrie financière, en mettant l'accent sur les tests de Student. Il est structuré en trois parties principales : une introduction aux tests d'hypothèses, une application pratique des tests de Student dans le cadre du CAPM, et les solutions détaillées des exercices proposés.110111% ------------------------------------------------------------------------112% SECTION 1 : Tests d'Hypothèses113% ------------------------------------------------------------------------114\section{Tests d'Hypothèses}115116Les tests d'hypothèses sont des outils fondamentaux en économétrie pour évaluer la validité des suppositions concernant les paramètres d'un modèle. Ils permettent de prendre des décisions éclairées basées sur les données observées. Cette section détaille les étapes essentielles pour réaliser un test d'hypothèse efficace.117118\subsection{Introduction aux Tests d'Hypothèses}119120Un test d’hypothèse consiste à formuler deux hypothèses contradictoires : l'hypothèse nulle (\(H_0\)) et l'hypothèse alternative (\(H_1\)). Le but est de déterminer si les données disponibles permettent de rejeter \(H_0\) en faveur de \(H_1\).121122\subsubsection{Formulation des Hypothèses}123124\begin{itemize}125 \item \textbf{Hypothèse nulle (\(H_0\))} : C'est l'hypothèse de base que l'on cherche à tester. Elle représente souvent une situation de statu quo ou une absence d'effet. Par exemple, \(H_0\) pourrait stipuler qu'un paramètre est égal à une valeur spécifique ou qu'il n'a pas d'effet significatif.126 \item \textbf{Hypothèse alternative (\(H_1\))} : Elle représente ce que l'on cherche à prouver. \(H_1\) peut être bilatérale (différent de) ou unilatérale (supérieur à ou inférieur à).127\end{itemize}128129\subsubsection{Types de Tests}130131\begin{itemize}132 \item \textbf{Test Bilatéral} : Utilisé lorsque l'hypothèse alternative indique une différence dans les deux sens (\( \neq \)).133 \item \textbf{Test Unilatéral} : Utilisé lorsque l'hypothèse alternative spécifie une direction particulière (\( > \) ou \( < \)).134\end{itemize}135136\subsection{Étapes d'un Test d'Hypothèse}137138Pour effectuer un test d'hypothèse, suivez les étapes suivantes :139140\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]141 \item \textbf{Formulation des Hypothèses} : Définir clairement \(H_0\) et \(H_1\).142 \item \textbf{Choix de la Statistique de Test} : Sélectionner une statistique appropriée (t, F, Wald, LR, LM, etc.) en fonction du modèle et des hypothèses.143 \item \textbf{Détermination du Niveau de Significativité (\(\alpha\))} : Choisir le seuil de probabilité pour rejeter \(H_0\). Les niveaux courants sont 5\%, 1\% ou 10\%.144 \item \textbf{Définition de la Région Critique} : Déterminer les valeurs critiques de la statistique de test qui délimitent la région où \(H_0\) sera rejetée.145 \item \textbf{Calcul de la Statistique de Test} : Utiliser les données de l'échantillon pour calculer la valeur de la statistique de test.146 \item \textbf{Prise de Décision} : Comparer la statistique de test avec les valeurs critiques pour décider de rejeter ou non \(H_0\).147\end{enumerate}148149\subsection{Interprétation des Résultats}150151\begin{itemize}152 \item \textbf{Rejet de \(H_0\)} : Si la statistique de test tombe dans la région critique, on rejette \(H_0\) en faveur de \(H_1\).153 \item \textbf{Non-rejet de \(H_0\)} : Si la statistique de test ne tombe pas dans la région critique, on ne dispose pas de preuves suffisantes pour rejeter \(H_0\).154\end{itemize}155156\subsection{La p-value}157158La p-value est une mesure cruciale dans les tests d'hypothèses. Elle représente la probabilité d'observer une statistique de test au moins aussi extrême que celle obtenue, sous l'hypothèse que \(H_0\) est vraie.159160\begin{itemize}161 \item \textbf{Interprétation} : 162 \begin{itemize}163 \item Une p-value faible (\(< \alpha\)) indique que l'observation est peu probable sous \(H_0\), suggérant le rejet de \(H_0\).164 \item Une p-value élevée (\(\geq \alpha\)) suggère que l'observation est compatible avec \(H_0\), et donc, on ne rejette pas \(H_0\).165 \end{itemize}166 \item \textbf{Utilisation} : Plutôt que de comparer directement la statistique de test aux valeurs critiques, on peut utiliser la p-value pour évaluer la force des preuves contre \(H_0\).167\end{itemize}168169\subsection{Erreur de Type I et Type II}170171\begin{itemize}172 \item \textbf{Erreur de Type I (\(\alpha\))} : Rejeter \(H_0\) alors qu'il est vrai.173 \item \textbf{Erreur de Type II (\(\beta\))} : Ne pas rejeter \(H_0\) alors qu'il est faux.174\end{itemize}175176\subsection{Puissance du Test}177178La puissance d'un test est la probabilité de rejeter \(H_0\) lorsqu'il est effectivement faux (\(1 - \beta\)). Une puissance élevée est souhaitable car elle indique une forte capacité à détecter un effet lorsque celui-ci existe.179180% ------------------------------------------------------------------------181% SECTION 2 : Application : Tests de Student182% ------------------------------------------------------------------------183\section{Application : Tests de Student}184185Les tests de Student, ou tests t, sont couramment utilisés pour évaluer la significativité des coefficients dans les modèles de régression linéaire. Ils permettent de déterminer si un paramètre est statistiquement différent d'une valeur hypothétique (généralement zéro).186187\subsection{Contexte de l'Application}188189Nous disposons des résultats d'une régression linéaire estimant le Modèle d'Évaluation des Actifs Financiers (CAPM) pour Bombardier avec 120 observations mensuelles. Les résultats de la régression sont les suivants :190191\begin{landscape}192\begin{table}[h!]193 \centering194 \begin{tabular}{lcccc}195 \toprule196 \textbf{Call:} & \multicolumn{4}{c}{\texttt{lm(formula = r\_b \textasciitilde{} r\_m, data = data)}} \\197 \midrule198 \textbf{Residuals:} & \multicolumn{4}{c}{Min -0.25289, 1Q -0.09023, Median -0.02297, 3Q 0.07237, Max 0.38469} \\199 \midrule200 \textbf{Coefficients:} & \textbf{Estimate} & \textbf{Std. Error} & \textbf{t value} & \textbf{Pr(>|t|)} \\201 \midrule202 (Intercept) & -0.15834 & 0.01213 & -13.057 & $<2\times10^{-16}$\textsuperscript{***} \\203 r\_m & 1.87996 & 0.65239 & 2.882 & 0.0047\textsuperscript{**} \\204 \bottomrule205 \end{tabular}206 \caption{Résultats de la régression CAPM pour Bombardier}207\end{table}208\end{landscape}209210\noindent \textbf{Note :} Les codes de significativité sont les suivants : $^{***}$ p $< 0.001$, $^{**}$ p $< 0.01$, $^{*}$ p $< 0.05$.211212\subsection{Objectifs des Tests}213214Réaliser les tests suivants à un niveau de significativité de 5\% :215216\begin{enumerate}217 \item Tester, à l'aide d'une statistique de Student, si l'intercept (\(\beta_0\)) est nul.218 \item Tester si l'intercept (\(\beta_0\)) est plus grand ou égal à 0.219 \item Tester si le coefficient bêta de Bombardier (\(\beta_1\)) est plus petit ou égal au bêta du marché (\(\beta_m = 1\)).220 \item Tester si le coefficient bêta de Bombardier (\(\beta_1\)) est égal au bêta du marché (\(\beta_m = 1\)).221 \item Tester si le coefficient bêta de Bombardier (\(\beta_1\)) est plus grand ou égal au bêta du marché (\(\beta_m = 1\)).222\end{enumerate}223224\subsection{Résultats des Tests}225226Les résultats des tests d'hypothèses sont présentés dans le tableau suivant :227228\begin{landscape}229\begin{table}[h!]230 \centering231 \begin{tabular}{@{}llll@{}}232 \toprule233 \textbf{Test} & \textbf{Statistique t} & \textbf{Valeur Critique} & \textbf{Décision} \\ \midrule234 a) Bilatéral : \(\beta_0 = 0\) & -13.057 & 1.980 & Rejeter \(H_0\) \\235 b) Unilatéral gauche : \(\beta_0 \geq 0\) & -13.057 & -1.658 & Rejeter \(H_0\) \\236 c) Unilatéral droite : \(\beta_1 \leq 1\) & 1.349 & 1.658 & Ne pas rejeter \(H_0\) \\237 d) Bilatéral : \(\beta_1 = 1\) & 1.349 & 1.980 & Ne pas rejeter \(H_0\) \\238 e) Unilatéral gauche : \(\beta_1 \geq 1\) & 1.349 & -1.658 & Ne pas rejeter \(H_0\) \\ \bottomrule239 \end{tabular}240 \caption{Résumé des tests d'hypothèses réalisés}241\end{table}242\end{landscape}243244\subsection{Interprétation Économique}245246Les résultats indiquent que :247248\begin{itemize}249 \item \textbf{Intercept (\(\beta_0\))} :250 \begin{itemize}251 \item \textbf{Test a)} : Nous rejetons \(H_0\) bilatéralement, ce qui suggère que l'intercept est significativement différent de zéro.252 \item \textbf{Test b)} : Nous rejetons \(H_0\) unilatéralement, indiquant que l'intercept est significativement inférieur à zéro.253 \end{itemize}254 \item \textbf{Bêta (\(\beta_1\))} :255 \begin{itemize}256 \item \textbf{Test c)} : Nous ne rejetons pas \(H_0\) unilatéralement, ce qui suggère que \(\beta_1\) n'est pas significativement supérieur à 1.257 \item \textbf{Test d)} : Nous ne rejetons pas \(H_0\) bilatéralement, indiquant que \(\beta_1\) n'est pas significativement différent de 1.258 \item \textbf{Test e)} : Nous ne rejetons pas \(H_0\) unilatéralement, ce qui suggère que \(\beta_1\) n'est pas significativement inférieur à 1.259 \end{itemize}260\end{itemize}261262Ces résultats suggèrent que le modèle CAPM estimé pour Bombardier présente un intercept négatif significatif, mais le coefficient bêta n'est pas significativement différent de celui du marché (\(\beta_m = 1\)). Cela indique que Bombardier présente une sensibilité similaire aux mouvements du marché, conformément aux attentes du modèle CAPM.263264% ------------------------------------------------------------------------265% SECTION 3 : Solutions266% ------------------------------------------------------------------------267\section*{Solutions}268\addcontentsline{toc}{section}{Solutions}269270\subsection*{a) Test bilatéral sur l'intercept (\(\beta_0 = 0\))}271\[272H_0 : \beta_0 = 0 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_0 \neq 0273\]274275\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}276\[277t = \frac{\hat{\beta}_0 - 0}{SE(\hat{\beta}_0)} = \frac{-0.15834}{0.01213} \approx -13.057278\]279280\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}281Pour un test bilatéral avec un niveau de significativité de 5\% et 118 degrés de liberté (\(df = 118\)), la valeur critique est approximativement 1.980.282283\subsubsection*{Prise de Décision}284\[285|t| = 13.057 > 1.980 \Rightarrow \text{Rejeter } H_0286\]287288\text{Conclusion : L'intercept est significativement différent de zéro.}289290\subsection*{b) Test unilatéral que l’intercept est plus grand ou égal à 0 (\(\beta_0 \geq 0\))}291\[292H_0 : \beta_0 \geq 0 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_0 < 0293\]294295\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}296\[297t = \frac{\hat{\beta}_0 - 0}{SE(\hat{\beta}_0)} = \frac{-0.15834}{0.01213} \approx -13.057298\]299300\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}301Pour un test unilatéral à gauche avec \(\alpha = 5\%\) et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ -1.658.302303\subsubsection*{Prise de Décision}304\[305t = -13.057 < -1.658 \Rightarrow \text{Rejeter } H_0306\]307308\textbf{Conclusion} : L'intercept est significativement inférieur à zéro.309310\subsection*{c) Test unilatéral pour tester si \(\beta_1 \leq 1\)}311\[312H_0 : \beta_1 \leq 1 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_1 > 1313\]314315\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}316\[317t = \frac{\hat{\beta}_1 - 1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{1.87996 - 1}{0.65239} \approx 1.349318\]319320\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}321Pour un test unilatéral à droite avec \(\alpha = 5\%\) et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ 1.658.322323\subsubsection*{Prise de Décision}324\[325t = 1.349 < 1.658 \Rightarrow \text{Ne pas rejeter } H_0326\]327328\textbf{Conclusion} : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que le bêta de Bombardier est supérieur à 1.329330\subsection*{d) Test bilatéral pour tester si \(\beta_1 = 1\)}331\[332H_0 : \beta_1 = 1 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_1 \neq 1333\]334335\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}336\[337t = \frac{\hat{\beta}_1 - 1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{1.87996 - 1}{0.65239} \approx 1.349338\]339340\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}341Pour un test bilatéral avec \(\alpha = 5\%\) et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ 1.980.342343\subsubsection*{Prise de Décision}344\[345|t| = 1.349 < 1.980 \Rightarrow \text{Ne pas rejeter } H_0346\]347348\textbf{Conclusion} : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que le bêta de Bombardier est différent de 1.349350\subsection*{e) Test unilatéral pour tester si \(\beta_1 \geq 1\)}351\[352H_0 : \beta_1 \geq 1 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_1 < 1353\]354355\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}356\[357t = \frac{\hat{\beta}_1 - 1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{1.87996 - 1}{0.65239} \approx 1.349358\]359360\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}361Pour un test unilatéral à gauche avec \(\alpha = 5\%\) et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ -1.658.362363\subsubsection*{Prise de Décision}364\[365t = 1.349 > -1.658 \Rightarrow \text{Ne pas rejeter } H_0366\]367368\textbf{Conclusion} : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que le bêta de Bombardier est inférieur à 1.369370% ------------------------------------------------------------------------371% SECTION : Bibliographie372% ------------------------------------------------------------------------373\section*{Bibliographie}374\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}375376\begin{thebibliography}{9}377378\bibitem{GujaratiPorter}379Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.380 381\bibitem{Wooldridge}382Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.383 384\bibitem{Greene}385Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.386387\bibitem{StockWatson}388Stock, J. H., \& Watson, M. W. (2015). \textit{Introduction to Econometrics}. Pearson.389 390\bibitem{Hamilton}391Hamilton, J. D. (1994). \textit{Time Series Analysis}. Princeton University Press.392 393\end{thebibliography}394395\end{document}396