spb/gsf6053_h25 Public

1% =========================================================================2% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)3% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration4% Auteur  : Simon-Pierre Boucher5% Contact : contact@spboucher.ai6% =========================================================================7\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt89% ------------------------------------------------------------------------10% Packages indispensables et recommandés11% ------------------------------------------------------------------------12\usepackage[utf8]{inputenc}     % Encodage des caractères13\usepackage[T1]{fontenc}        % Encodage de la police14\usepackage[french]{babel}      % Support de la langue française15\usepackage{amsmath, amssymb}   % Environnements mathématiques enrichis16\usepackage{amsthm}             % Environnements théorèmes17\usepackage{graphicx}           % Inclusion d'images18\usepackage{hyperref}           % Liens hypertextes19\usepackage{geometry}           % Gestion des marges20\usepackage{titlesec}           % Personnalisation des titres21\usepackage{setspace}           % Gestion de l'interligne22\usepackage{xcolor}             % Gestion des couleurs23\usepackage{booktabs}           % Pour améliorer les tableaux24\usepackage{fancyhdr}           % Personnalisation des en-têtes et pieds de page25\usepackage{cleveref}           % Références intelligentes26\usepackage{caption}            % Pour personnaliser les légendes27\usepackage{enumitem}           % Pour personnaliser les listes28\usepackage{pdflscape}          % Pour placer les tableaux en paysage2930% ------------------------------------------------------------------------31% Configuration de la mise en page32% ------------------------------------------------------------------------33\geometry{34    a4paper,35    margin=25mm36}3738% ------------------------------------------------------------------------39% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.40% ------------------------------------------------------------------------41\theoremstyle{definition}42\newtheorem{definition}{Définition}[section]4344\theoremstyle{plain}45\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]46\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]4748% ------------------------------------------------------------------------49% Personnalisation des sections50% ------------------------------------------------------------------------51\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}52\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}53\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}5455% ------------------------------------------------------------------------56% Commande pour mettre en avant les livres en bleu57% ------------------------------------------------------------------------58\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}5960% ------------------------------------------------------------------------61% Configuration des hyperliens62% ------------------------------------------------------------------------63\hypersetup{64    colorlinks=true,          % Les liens sont colorés65    linkcolor=blue,           % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)66    urlcolor=blue,            % Couleur des URL67    citecolor=blue,           % Couleur des citations68    filecolor=blue,           % Couleur des liens vers des fichiers69    pdfborder={0 0 0},        % Pas de bordure autour des liens70    breaklinks=true            % Permet les sauts de ligne dans les liens71}7273% ------------------------------------------------------------------------74% Configuration des en-têtes et pieds de page75% ------------------------------------------------------------------------76\pagestyle{fancy}77\fancyhf{}78\fancyhead[L]{Test de Breusch-Pagan}79\fancyhead[R]{Hiver 2025}80\fancyfoot[C]{\thepage}81\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite8283\title{Le Test de Breusch-Pagan pour l'Hétéroscédasticité}84\author{GSF-6053}85\date{Hiver 2025}8687\begin{document}8889\maketitle90\tableofcontents91\newpage9293\section{Introduction}9495Le test de \textbf{Breusch-Pagan} est une procédure statistique utilisée pour détecter la présence d'hétéroscédasticité dans un modèle de régression linéaire. L'hétéroscédasticité se produit lorsque la variance des erreurs n'est pas constante à travers les observations, ce qui viole l'une des hypothèses fondamentales du modèle de régression linéaire classique.9697\section{Hypothèses du Test de Breusch-Pagan}9899Le test de Breusch-Pagan évalue les hypothèses suivantes :100101\subsection{Hypothèse Nulle ($H_0$)}102\begin{itemize}103    \item Il n'y a pas d'hétéroscédasticité dans le modèle. La variance des erreurs est constante, c'est-à-dire $\text{Var}(u_i) = \sigma^2$ pour tout $i$.104\end{itemize}105106\subsection{Hypothèse Alternative ($H_1$)}107\begin{itemize}108    \item Il existe une relation systématique entre la variance des erreurs et les variables explicatives. La variance des erreurs varie en fonction des variables explicatives, c'est-à-dire $\text{Var}(u_i) = \sigma^2 h(X_i)$ où $h(X_i)$ est une fonction des variables explicatives.109\end{itemize}110111\section{Procédure du Test}112113Le test de Breusch-Pagan se déroule en plusieurs étapes :114115\subsection{Estimation du Modèle de Régression Principal}116117On estime le modèle de régression linéaire :118\begin{align*}119    Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_k X_{ki} + u_i120\end{align*}121en utilisant la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO).122123\subsection{Calcul des Résidus}124125On calcule les résidus standardisés :126\begin{align*}127    \hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i128\end{align*}129où $\hat{Y}_i$ est la valeur prédite par le modèle.130131\subsection{Régression Auxiliaire}132133On effectue une régression auxiliaire où la variable dépendante est le carré des résidus :134\begin{align*}135    \hat{u}_i^2 = \gamma_0 + \gamma_1 Z_{1i} + \gamma_2 Z_{2i} + \dots + \gamma_m Z_{mi} + \epsilon_i136\end{align*}137Les variables $Z_{1i}, Z_{2i}, \dots, Z_{mi}$ sont choisies parmi les variables explicatives originales ou d'autres transformations de celles-ci.138139\subsection{Calcul de la Statistique de Test}140141La statistique de test de Breusch-Pagan est donnée par :142\begin{align*}143    \text{BP} = \frac{SSR}{2\sigma^4}144\end{align*}145où $SSR$ est la somme des carrés des résidus de la régression auxiliaire.146147Cependant, une approche plus courante consiste à utiliser la statistique basée sur le coefficient de détermination ($R^2$) de la régression auxiliaire :148\begin{align*}149    \text{BP} = \frac{T \cdot R^2}{2}150\end{align*}151où $T$ est le nombre total d'observations.152153\subsection{Distribution Sous l'Hypothèse Nulle}154155Sous l'hypothèse nulle d'homoscédasticité, la statistique de test suit une distribution du chi carré avec $m$ degrés de liberté, où $m$ est le nombre de variables explicatives dans la régression auxiliaire.156157\section{Interprétation des Résultats}158159\subsection{Décision Statistique}160161\begin{itemize}162    \item Si $\text{BP} > \chi^2_{m, 1-\alpha}$, on rejette l'hypothèse nulle et conclut à la présence d'hétéroscédasticité.163    \item Sinon, on ne rejette pas l'hypothèse nulle.164\end{itemize}165166\subsection{Conséquences de l'Hétéroscédasticité}167168L'hétéroscédasticité peut entraîner :169\begin{itemize}170    \item Des estimateurs MCO toujours sans biais, mais inefficaces.171    \item Des erreurs standard incorrectes, ce qui affecte les tests d'hypothèses et les intervalles de confiance.172\end{itemize}173174\section{Exemple Illustratif}175176Considérons un modèle de régression où l'on souhaite estimer la relation entre le revenu ($Y$) et le niveau d'éducation ($X_1$) et l'expérience professionnelle ($X_2$).177178\subsection{Étape 1 : Estimation du Modèle Principal}179180On estime le modèle :181\begin{align*}182    Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i183\end{align*}184en utilisant les MCO.185186\subsection{Étape 2 : Calcul des Résidus}187188On calcule les résidus $\hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i$.189190\subsection{Étape 3 : Régression Auxiliaire}191192On effectue la régression :193\begin{align*}194    \hat{u}_i^2 = \gamma_0 + \gamma_1 X_{1i} + \gamma_2 X_{2i} + \epsilon_i195\end{align*}196197\subsection{Étape 4 : Calcul de la Statistique BP}198199Supposons que $R^2 = 0.05$ et que $T = 100$ observations avec $m = 2$ variables explicatives dans la régression auxiliaire. Alors :200\begin{align*}201    \text{BP} = \frac{100 \times 0.05}{2} = 2.5202\end{align*}203204\subsection{Étape 5 : Décision}205206Avec $m = 2$ et un niveau de signification $\alpha = 0.05$, la valeur critique est $\chi^2_{2, 0.95} \approx 5.99$. Puisque $2.5 < 5.99$, on ne rejette pas l'hypothèse nulle d'homoscédasticité.207208\section{Conclusion}209210Le test de Breusch-Pagan est un outil essentiel pour détecter l'hétéroscédasticité dans les modèles de régression linéaire. En identifiant la présence d'hétéroscédasticité, les chercheurs peuvent ajuster leurs modèles en conséquence, par exemple en utilisant des estimateurs robustes ou en transformant les variables, afin d'obtenir des inférences statistiques fiables.211212\section{Références}213214\begin{itemize}215    \item Breusch, T. S., \& Pagan, A. R. (1979). A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation. \textit{Econometrica}, 47(5), 1287–1294.216    \item Gujarati, D. N. (2003). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.217    \item Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.218\end{itemize}219220\end{document}221