GSF6053 Économétrie Financière (H25) — matériel complet du cours · 7d5e6f2 · gsf6053_h25

GSF6053 Économétrie Financière (H25) — matériel complet du cours

- README détaillé (structure, contenu des 6 séances, instructions de compilation)
- En-têtes d'auteur (Simon-Pierre Boucher — contact@spboucher.ai) sur tous les fichiers sources
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	1	+# =========================================================================
	2	+# GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+# Auteur : Simon-Pierre Boucher \| Contact : contact@spboucher.ai
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	1	+# =========================================================================
	2	+# GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+# Auteur : Simon-Pierre Boucher \| Contact : contact@spboucher.ai
	4	+# =========================================================================
	5	+
	6	+# Artefacts de compilation LaTeX
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	21	+# PDF générés dans les dossiers sources (les PDF officiels sont dans PDF/)
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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnement mathématique enrichi
	16	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	17	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
	18	+\usepackage{geometry} % Gestion des marges
	19	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
	20	+\usepackage{setspace} % Gestion de l'interligne
	21	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	22	+\usepackage{lipsum} % (optionnel) Pour générer du faux texte
	23	+\usepackage{booktabs} % (optionnel) Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+
	28	+% ------------------------------------------------------------------------
	29	+% Configuration de la mise en page
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+\geometry{
	32	+ a4paper,
	33	+ left=25mm,
	34	+ right=25mm,
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	37	+}
	38	+
	39	+% ------------------------------------------------------------------------
	40	+% Personnalisation des sections
	41	+% ------------------------------------------------------------------------
	42	+\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}
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	44	+\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
	45	+
	46	+% ------------------------------------------------------------------------
	47	+% Commande pour mettre en avant les livres en bleu
	48	+% ------------------------------------------------------------------------
	49	+\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}
	50	+
	51	+% ------------------------------------------------------------------------
	52	+% Configuration des hyperliens
	53	+% ------------------------------------------------------------------------
	54	+\hypersetup{
	55	+ colorlinks=true, % Les liens sont colorés
	56	+ linkcolor=blue, % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)
	57	+ urlcolor=blue, % Couleur des URL
	58	+ citecolor=blue, % Couleur des citations
	59	+ filecolor=blue, % Couleur des liens vers des fichiers
	60	+ pdfborder={0 0 0}, % Pas de bordure autour des liens
	61	+ breaklinks=true % Permet les sauts de ligne dans les liens
	62	+}
	63	+
	64	+% ------------------------------------------------------------------------
	65	+% Configuration des en-têtes et pieds de page
	66	+% ------------------------------------------------------------------------
	67	+\pagestyle{fancy}
	68	+\fancyhf{}
	69	+\fancyhead[L]{Introduction}
	70	+\fancyhead[R]{Hiver 2025}
	71	+\fancyfoot[C]{\thepage}
	72	+\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo en bas à droite
	73	+
	74	+% ------------------------------------------------------------------------
	75	+% Informations sur le document
	76	+% ------------------------------------------------------------------------
	77	+\title{\Huge Introduction au Cours d'Économétrie Financière}
	78	+\author{GSF-6053}
	79	+\date{Hiver 2025}
	80	+
	81	+% ------------------------------------------------------------------------
	82	+% Autoriser les coupures d'équations
	83	+% ------------------------------------------------------------------------
	84	+\allowdisplaybreaks
	85	+
	86	+% ------------------------------------------------------------------------
	87	+% Début du document
	88	+% ------------------------------------------------------------------------
	89	+\begin{document}
	90	+
	91	+\maketitle
	92	+\tableofcontents
	93	+\newpage
	94	+
	95	+% Augmenter l'interligne à 1,5
	96	+\onehalfspacing
	97	+
	98	+% ------------------------------------------------------------------------
	99	+% SECTION 1 : Introduction au Cours
	100	+% ------------------------------------------------------------------------
	101	+\section{Introduction au Cours}
	102	+
	103	+\subsection{Définition de l’Économétrie}
	104	+
	105	+\textit{\livre{Gujarati et Porter} (Introduction)}
	106	+
	107	+L’économétrie est le domaine des sciences économiques qui, en utilisant les outils mathématiques et les techniques et méthodes statistiques, vise, par l’analyse des données, à :
	108	+
	109	+\begin{itemize}
	110	+ \item Comprendre les réalités économiques, identifier des relations, leur sens et les quantifier.
	111	+ \item Tester des théories économiques.
	112	+ \item Prévoir le futur des variables économiques et financières.
	113	+ \item Aider à faire de l’analyse et des recommandations en matière de politiques économiques, de gestion des risques financiers, de gestion de portefeuilles et d’évaluation de rendements financiers.
	114	+\end{itemize}
	115	+
	116	+Dans un contexte académique de la finance, deux objectifs reviennent souvent :
	117	+
	118	+\begin{itemize}
	119	+ \item Effectuer des analyses économétriques pour trouver des récurrences statistiques, les documenter, les expliquer et ultimement les modéliser.
	120	+ \item Tester si les implications ou les hypothèses d’un modèle théorique économique ou financier sont observées en pratique.
	121	+\end{itemize}
	122	+
	123	+En finance en particulier, plusieurs champs d’intérêt sont de nature très empirique :
	124	+
	125	+\begin{itemize}
	126	+ \item Tester les modèles d’évaluation d’actifs connus (modèle théorique sous-jacent et nombreuses implications pratiques).
	127	+ \item Identifier des facteurs de risque et des « anomalies ».
	128	+ \item Identifier des facteurs influençant la valeur d’une entreprise.
	129	+ \item Identifier des événements qui révèlent de l’information aux investisseurs.
	130	+ \item Mesurer l’impact de certaines variables économiques sur les rendements boursiers.
	131	+ \item Mesurer l’impact de changements structurels sur les entreprises et les rendements boursiers.
	132	+ \item Etc.
	133	+\end{itemize}
	134	+
	135	+\subsection{Les Modèles Économétriques}
	136	+
	137	+\textit{\livre{Gujarati et Porter} (Introduction), \livre{Wooldridge} (chapitre 1)}
	138	+
	139	+L’approche économétrique ne peut pas être séparée de la théorie économique et financière. La théorie et l’intuition financières doivent guider l’économètre. Les étapes suivantes sont souvent identifiées pour une analyse économétrique :
	140	+
	141	+\begin{enumerate}
	142	+ \item Élaboration d’une hypothèse ou d’une théorie économétrique.
	143	+ \item Spécification d’un modèle mathématique correspondant.
	144	+ \item Spécification du modèle empirique ou économétrique correspondant.
	145	+ \item Collecte de données.
	146	+ \item Estimation des paramètres du modèle.
	147	+ \item Tests d’hypothèses.
	148	+ \item Prévision.
	149	+ \item Implications économiques et financières.
	150	+\end{enumerate}
	151	+
	152	+(Voir Figure 1.4 de \livre{Gujarati et Porter}.)
	153	+
	154	+Les modèles économétriques contiennent des équations représentant le comportement de variables économiques et financières dérivées des modèles théoriques en économie et en finance. L’approche économétrique peut être bayésienne ou classique. Ce cours porte uniquement sur les méthodes classiques. À titre de référence, voici des définitions très succinctes :
	155	+
	156	+\begin{itemize}
	157	+ \item \textbf{Approche classique (fréquentiste) :} Repose sur l’étude de la distribution d’un échantillon de données. On utilise les données pour faire de l’inférence sur un paramètre $\Theta$ décrivant une population ou une distribution de population.
	158	+ \item \textbf{Approche bayésienne :} Les probabilités a priori, mises à jour après observation des données, deviennent des probabilités a posteriori. L’approche bayésienne se base sur le théorème de Bayes et intègre explicitement les croyances initiales (a priori).
	159	+\end{itemize}
	160	+
	161	+Les deux approches ont leurs avantages et leurs inconvénients. Bien que l’approche classique demeure très utilisée, les méthodes bayésiennes (souvent plus coûteuses en calcul) ont gagné en popularité depuis les années 1990.
	162	+
	163	+Les modèles économétriques spécifient une relation entre :
	164	+\begin{itemize}
	165	+ \item une \textbf{variable dépendante} (ou variable expliquée),
	166	+ \item une ou plusieurs \textbf{variables explicatives},
	167	+ \item et un \textbf{terme aléatoire} représentant les effets de tous les autres facteurs non pris en compte.
	168	+\end{itemize}
	169	+
	170	+Des ajustements techniques sont requis pour tenir compte des erreurs de mesure dans les données (modèle théorique $\neq$ modèle empirique), ainsi que pour spécifier des lois de probabilité décrivant la partie non expliquée du modèle (modélisation du terme d’erreur). L’analyse repose largement sur des méthodes de régression et nécessite souvent des tests de spécification du modèle ou de la théorie sous-jacente.
	171	+
	172	+% ------------------------------------------------------------------------
	173	+% SECTION 2 : Description des Rendements Financiers
	174	+% ------------------------------------------------------------------------
	175	+\section{Description des Rendements Financiers}
	176	+
	177	+Cette section donne une vue d’ensemble sur les données financières, en particulier les séries de rendements boursiers, qui constituent l’objet principal d’étude dans ce cours. Ces données ont des caractéristiques particulières influençant profondément l’approche économétrique.
	178	+
	179	+\subsection{Les Données Utilisées en Général}
	180	+
	181	+\textit{\livre{Gujarati et Porter} (Introduction et chapitre 1), \livre{Wooldridge} (1.3)}
	182	+
	183	+La plupart des données financières sont des données \textbf{observées} (par opposition à des données expérimentales ou simulées), ce qui pose de nombreux défis à l’économètre quant à l’analyse de causalité et aux biais possibles. On classe généralement les données économétriques en trois catégories :
	184	+
	185	+\begin{enumerate}
	186	+ \item \textbf{Séries temporelles :} On étudie l’évolution d’une ou plusieurs séries au fil du temps.
	187	+ \begin{itemize}
	188	+ \item Exemple : le modèle de \livre{Fama et French} (1992) augmenté du facteur momentum de \livre{Carhart} (1996) :
	189	+ \begin{align*}
	190	+ r_{it} - r_{ft} &= \alpha_0 + \beta_{MKT}(r_{MKT,t} - r_{ft}) \\
	191	+ &\quad + \beta_{SMB} \,\text{SMB}_t + \beta_{HML} \,\text{HML}_t \\
	192	+ &\quad + \beta_{MOM} \,\text{MOM}_t + e_{it}.
	193	+ \end{align*}
	194	+ \end{itemize}
	195	+ \item \textbf{Coupes transversales :} On compare plusieurs firmes ou unités à un instant donné.
	196	+ \begin{itemize}
	197	+ \item Exemple : la version en coupe transversale (cross-section) du modèle Fama-French-Carhart :
	198	+ \begin{align*}
	199	+ \overline{r}_i &= \gamma_0 + \gamma_M \beta_{MKT} + \gamma_S \beta_{SMB} \\
	200	+ &\quad + \gamma_H \beta_{HML} + \gamma_{MOM} \beta_{MOM} + u_i.
	201	+ \end{align*}
	202	+ \end{itemize}
	203	+ \item \textbf{Données de panel (panel data) :} Combinaison des deux précédentes, généralement riches en information et de plus en plus utilisées en finance (notamment en finance d’entreprise). Nous verrons des exemples en détail dans la deuxième partie du cours.
	204	+\end{enumerate}
	205	+
	206	+\subsection{Les Prix et les Rendements}
	207	+
	208	+\textit{\livre{Campbell, Lo et MacKinlay} (chapitre 1)}
	209	+
	210	+Même si l’on observe des prix sur les marchés financiers, la majorité des analyses économétriques en finance se font sur les \textbf{rendements} :
	211	+
	212	+\begin{itemize}
	213	+ \item Les rendements ne dépendent pas de la taille absolue de l’investissement (ils sont \emph{scale-free}).
	214	+ \item Leurs propriétés statistiques sont plus attrayantes (les rendements sont souvent \emph{stationnaires}, contrairement aux prix).
	215	+\end{itemize}
	216	+
	217	+\subsubsection{Définitions du Rendement d’un Actif}
	218	+
	219	+Avec dividende :
	220	+\begin{align*}
	221	+ R_t &= \frac{P_t + D_t}{P_{t-1}} - 1,
	222	+\end{align*}
	223	+où $R_t$ est le rendement, $P_t$ et $P_{t-1}$ sont respectivement les prix à la période $t$ et $t-1$, et $D_t$ le dividende versé à la période $t$.
	224	+
	225	+Un rendement est toujours associé à une période définie pour être informatif. Les formules peuvent se généraliser à plusieurs périodes. On utilise parfois l’approximation de Taylor pour faciliter les calculs.
	226	+
	227	+On définit souvent les \textbf{rendements logarithmiques} ($r_t$) comme le logarithme naturel du \emph{rendement brut} :
	228	+\begin{align*}
	229	+ r_t &= \ln \left( \frac{P_t + D_t}{P_{t-1}} \right).
	230	+\end{align*}
	231	+
	232	+\textbf{Note :} La section A-4b de \livre{Wooldridge} présente un rappel sur les logarithmes et leurs propriétés en économie et finance (lecture fortement recommandée).
	233	+
	234	+\subsubsection{Rendements Excédentaires}
	235	+
	236	+On travaille souvent \emph{en excédent} du taux de rendement sans risque $r_{Ft}$ :
	237	+\begin{align*}
	238	+ R_t^{\text{excédentaire}} &= R_t - r_{Ft}.
	239	+\end{align*}
	240	+
	241	+% ------------------------------------------------------------------------
	242	+% SECTION 3 : Incertitude
	243	+% ------------------------------------------------------------------------
	244	+\section{Incertitude}
	245	+
	246	+\textit{\livre{Campbell, Lo et MacKinlay} (chapitres 1-2)}
	247	+
	248	+\begin{itemize}
	249	+ \item L’incertitude sur les rendements futurs est le sujet central de l’étude et de la modélisation des rendements financiers.
	250	+ \item Il est essentiel de comprendre la nature et les sources d’incertitude dans les modèles financiers.
	251	+ \item Les distributions décrivant cette incertitude sont présentées ci-dessous.
	252	+\end{itemize}
	253	+
	254	+\subsection{Distribution Marginale, Conditionnelle et Jointe des Rendements}
	255	+
	256	+\subsubsection{Distribution Jointe des Rendements Financiers}
	257	+
	258	+Soient $N$ actifs financiers en date $t$, chacun ayant un rendement $R_{it}$. De façon générale, la distribution jointe des rendements est décrite par la fonction $G$ :
	259	+\begin{align*}
	260	+ G(x; \theta) &= P\bigl(R_{i1}, \dots, R_{iN} ; x, \theta\bigr),
	261	+\end{align*}
	262	+où $x$ est un vecteur de variables d’état résumant l’environnement économique, et $\theta$ est un vecteur de paramètres. Souvent, on omet $\theta$ par simplification.
	263	+
	264	+Toute la connaissance sur les actifs financiers et sur $x$ est contenue dans $G$. Une définition possible de l’économétrie financière est donc l’inférence statistique faite sur $\theta$ à partir de la réalisation $\{R_{it}\}$.
	265	+
	266	+\subsubsection{Distribution Conditionnelle des Rendements Financiers}
	267	+
	268	+On étudie parfois la \emph{distribution conditionnelle} d’un actif $i$ donné :
	269	+\begin{align*}
	270	+ F(R_{it} \mid R_{i1}, \dots, R_{it-1}; \theta).
	271	+\end{align*}
	272	+Les rendements peuvent être dépendants dans le temps via l’évolution de leurs distributions conditionnelles. En imposant des restrictions sur $F_{it}(\cdot)$, on peut estimer les paramètres $\theta$. Exemple : le modèle de \emph{marche aléatoire}.
	273	+
	274	+\subsubsection{Distribution Inconditionnelle}
	275	+
	276	+Lorsque les distributions inconditionnelle et conditionnelle diffèrent, la distribution conditionnelle contient évidemment plus d’information pour la prévision des rendements.
	277	+
	278	+\subsubsection{Distribution Lognormale}
	279	+
	280	+Une alternative à l’hypothèse de normalité des rendements est l’hypothèse de \emph{lognormalité}.
	281	+On suppose $\{r_{it}\}$ i.i.d. normaux :
	282	+\begin{align*}
	283	+ r_{it} &\sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2),
	284	+\end{align*}
	285	+avec
	286	+\begin{align*}
	287	+ r_t &\equiv \ln(1 + R_t).
	288	+\end{align*}
	289	+
	290	+Sous cette hypothèse, la moyenne et la variance de $R_{it}$ sont :
	291	+\begin{align*}
	292	+ E[R_{it}] &= e^{\mu_i + \tfrac{\sigma^2}{2}} - 1, \\
	293	+ \text{Var}(R_{it}) &= \bigl(e^{\sigma^2} - 1\bigr)\,e^{2\mu_i + \sigma^2}.
	294	+\end{align*}
	295	+
	296	+Le modèle lognormal respecte les contraintes naturelles sur les ventes à découvert. En revanche, les moments d’ordre supérieur posent problème : la normale a un skewness ($\mu_3$) de 0 et une kurtosis ($\mu_4$) de 3, alors que les rendements empiriques montrent généralement \emph{un peu} d’asymétrie et \emph{beaucoup} de kurtosis (queues épaisses).
	297	+
	298	+\subsubsection{Estimation des Moments dans un Échantillon}
	299	+
	300	+Pour estimer la moyenne ($\hat{\mu}$), la variance ($\hat{\sigma}^2$), l’asymétrie ($\hat{S}$) et la kurtosis ($\hat{K}$) d’un échantillon :
	301	+\begin{align*}
	302	+ \hat{\mu} &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N R_i, \\
	303	+ \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (R_i - \hat{\mu})^2, \\
	304	+ \hat{S} &= \frac{N}{(N-1)(N-2)} \sum_{i=1}^N \left( \frac{R_i - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}} \right)^3, \\
	305	+ \hat{K} &= \frac{N(N+1)}{(N-1)(N-2)(N-3)} \sum_{i=1}^N \left( \frac{R_i - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}} \right)^4 - 3.
	306	+\end{align*}
	307	+
	308	+% ------------------------------------------------------------------------
	309	+% SECTION 4 : Marche Aléatoire et Prévisibilité
	310	+% ------------------------------------------------------------------------
	311	+\section{Marche Aléatoire et Prévisibilité}
	312	+
	313	+\textit{\livre{Campbell, Lo et MacKinlay} (chapitre 2)}
	314	+
	315	+\begin{itemize}
	316	+ \item Les rendements sont-ils prévisibles ?
	317	+ \item S’ils sont prévisibles, on s’éloigne d’un modèle de marche aléatoire.
	318	+ \item Paradoxe : plus les marchés sont efficients, plus les rendements ressemblent à une marche aléatoire, et plus ils sont difficiles à prévoir.
	319	+ \item L’investisseur s’intéresse souvent aux réalisations passées des rendements pour tenter de prévoir.
	320	+\end{itemize}
	321	+
	322	+\subsection{Analyse Technique}
	323	+
	324	+\begin{itemize}
	325	+ \item Une règle simple : la \emph{règle du filtre}.
	326	+ \item \livre{Alexander} (1961, 1964) : acheter un actif lorsqu’il s’apprécie de $x\%$ par rapport à un point bas récent, et vendre lorsqu’il baisse de $x\%$ par rapport à un point haut récent.
	327	+ \item En comparant cette règle avec une stratégie de \emph{buy and hold}, on peut évaluer si une tendance boursière exploitable existe.
	328	+ \item \livre{Alexander} conclut à l’existence de grandes tendances, mais \livre{Fama} (1965) et \livre{Fama et Blume} (1966) ajustent ces résultats pour les coûts de transaction et concluent que la règle du filtre n’est pas profitable.
	329	+ \item La littérature sur les anomalies boursières est très vaste ; \livre{Harvey, Liu et Zhu} (2015) en répertorient plus de 300.
	330	+\end{itemize}
	331	+
	332	+% ------------------------------------------------------------------------
	333	+% SECTION 5 : Caractéristiques Empiriques des Séries Financières
	334	+% ------------------------------------------------------------------------
	335	+\section{Caractéristiques Empiriques des Séries Financières}
	336	+
	337	+\subsection{Description}
	338	+
	339	+\begin{itemize}
	340	+ \item $p_t$ : prix d’un actif,
	341	+ \item $r_t$ : rendement \emph{logarithmique} correspondant.
	342	+\end{itemize}
	343	+
	344	+Le rendement $r_t$ est la \emph{différence première} de $\ln p_t$ :
	345	+\begin{align*}
	346	+ r_t &= \ln p_t - \ln p_{t-1} = \ln(1 + R_t),
	347	+\end{align*}
	348	+avec
	349	+\begin{align*}
	350	+ R_t &= \frac{p_t - p_{t-1}}{p_{t-1}}.
	351	+\end{align*}
	352	+
	353	+\subsection{Stationnarité}
	354	+
	355	+Les prix $p_t$ sont généralement non stationnaires (au sens du second ordre), tandis que les rendements $r_t$ ont tendance à être stationnaires.
	356	+
	357	+\subsection{Autocorrélations des Carrés des Variations de Prix}
	358	+
	359	+La série $\{r_t^2\}$ (carrés des rendements) présente souvent de fortes autocorrélations, alors que les autocorrélations simples $\{r_t\}$ sont très faibles. L’absence d’autocorrélation des rendements (bruts ou log) est souvent mise en lien avec l’hypothèse d’efficience des marchés : toute information pertinente serait déjà incorporée dans le prix actuel.
	360	+
	361	+\subsection{Queues de Distribution Épaisses}
	362	+
	363	+L’hypothèse de normalité des rendements est souvent réfutée empiriquement. Les queues des distributions empiriques sont plus épaisses que celles d’une loi normale (distributions \emph{leptokurtiques}). Le \emph{degré d’excès de kurtosis} se mesure par :
	364	+\begin{align*}
	365	+ K_u &= \mu_4 - 3,
	366	+\end{align*}
	367	+où $\mu_4$ est le moment centré d’ordre 4. Si $K_u > 0$, la distribution est leptokurtique (queues épaisses).
	368	+
	369	+\subsection{Asymétrie des Rendements}
	370	+
	371	+Les cours affichent souvent davantage de mouvements forts à la baisse qu’à la hausse. Le \emph{coefficient d’asymétrie} (\emph{skewness}) est le moment centré d’ordre 3 normalisé par $\sigma^3$.
	372	+\begin{align*}
	373	+ \mu_3 &= E[(X - E(X))^3], \\
	374	+ S_k &= \frac{\mu_3}{\sigma^3}.
	375	+\end{align*}
	376	+
	377	+\subsection{Paquets (Clusters) de Volatilité}
	378	+
	379	+Les rendements montrent souvent une \emph{volatilité conditionnelle} : de grands mouvements de prix ont tendance à être suivis par d’autres grands mouvements (positifs ou négatifs). Les rendements sont hétéroscédastiques dans le temps.
	380	+
	381	+\subsection{Queues Conditionnelles Épaisses}
	382	+
	383	+Même après correction pour la volatilité conditionnelle (par exemple via un modèle GARCH), les résidus restent souvent leptokurtiques.
	384	+
	385	+\subsection{Effet de Levier}
	386	+
	387	+Un choc négatif (baisse des cours) a souvent un effet plus marqué sur la volatilité qu’un choc positif de même amplitude. C’est ce qu’on appelle l’effet de levier (\emph{leverage effect}).
	388	+
	389	+\subsection{Saisonnalité}
	390	+
	391	+Les rendements présentent des effets de saisonnalité, par exemple l’\emph{effet janvier} ou l’\emph{effet week-end}. Au marché américain, on observe que le rendement moyen mensuel peut être plus élevé en janvier qu’aux autres mois.
	392	+
	393	+\textit{Source :}
	394	+Keim, D. (1982). “Size Related Anomalies and Stock Return Seasonality.” \emph{Journal of Financial Economics}, 12, 13–32.
	395	+
	396	+% ------------------------------------------------------------------------
	397	+% SECTION 6 : Bibliographie
	398	+% ------------------------------------------------------------------------
	399	+\section*{Bibliographie}
	400	+\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}
	401	+
	402	+\begin{thebibliography}{99}
	403	+
	404	+\bibitem{GujaratiPorter}
	405	+Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
	406	+
	407	+\bibitem{Wooldridge}
	408	+Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
	409	+
	410	+\bibitem{FamaFrench}
	411	+Fama, E. F., \& French, K. R. (1992). "The Cross-Section of Expected Stock Returns." \emph{Journal of Finance}, 47(2), 427-465.
	412	+
	413	+\bibitem{Carhart}
	414	+Carhart, M. M. (1996). "On Persistence in Mutual Fund Performance." \emph{Journal of Finance}, 51(1), 53-73.
	415	+
	416	+\bibitem{CampbellLoMacKinlay}
	417	+Campbell, J. Y., Lo, A. W., \& MacKinlay, A. C. (1997). \textit{The Econometrics of Financial Markets}. Princeton University Press.
	418	+
	419	+\bibitem{Alexander}
	420	+Alexander, C. (1961, 1964). \textit{Market Technical Analysis}. Irwin.
	421	+
	422	+\bibitem{Fama1965}
	423	+Fama, E. F. (1965). "The Behavior of Stock-Market Prices." \emph{Journal of Business}, 38(1), 34-105.
	424	+
	425	+\bibitem{FamaBlume}
	426	+Fama, E. F., \& Blume, M. E. (1966). "Filter Rules and Stock Market Trading." \emph{The Journal of Business}, 39(1), 226-241.
	427	+
	428	+\bibitem{HarveyLiuZhu}
	429	+Harvey, C. R., Liu, Y., \& Zhu, H. (2015). " … and the Cross-Section of Expected Returns." \emph{Review of Financial Studies}, 28(1), 1-45.
	430	+
	431	+\bibitem{Keim}
	432	+Keim, D. B. (1982). “Size Related Anomalies and Stock Return Seasonality.” \emph{Journal of Financial Economics}, 12, 13–32.
	433	+
	434	+\end{thebibliography}
	435	+
	436	+\end{document}

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnement mathématique enrichi
	16	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	17	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
	18	+\usepackage{geometry} % Gestion des marges
	19	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
	20	+\usepackage{setspace} % Gestion de l'interligne
	21	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	22	+\usepackage{lipsum} % (optionnel) Pour générer du faux texte
	23	+\usepackage{booktabs} % (optionnel) Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+
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	29	+% Configuration de la mise en page
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
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	76	+% ------------------------------------------------------------------------
	77	+\title{\textbf{Moindres Carrés Ordinaires}}
	78	+\author{GSF-6053}
	79	+\date{Hiver 2025}
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	81	+% ------------------------------------------------------------------------
	82	+% Autoriser les coupures d'équations
	83	+% ------------------------------------------------------------------------
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	87	+% Début du document
	88	+% ------------------------------------------------------------------------
	89	+\begin{document}
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	94	+\newpage
	95	+
	96	+% Augmenter l'interligne à 1,5
	97	+\onehalfspacing
	98	+
	99	+% ------------------------------------------------------------------------
	100	+% SECTION 1 : Introduction aux Moindres Carrés Ordinaires (MCO)
	101	+% ------------------------------------------------------------------------
	102	+\section{Introduction aux Moindres Carrés Ordinaires (MCO)}
	103	+
	104	+\textbf{Chapitres 3 de \livre{Gujarati et Porter}, Chapitre 2 de \livre{Wooldridge}.}
	105	+
	106	+Les Moindres Carrés Ordinaires (MCO) sont une méthode d'estimation utilisée en économétrie pour déterminer les paramètres d'un modèle de régression linéaire. L'objectif principal des MCO est de minimiser la somme des carrés des résidus, c'est-à-dire la somme des différences au carré entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle.
	107	+
	108	+\subsection{Objectif des MCO}
	109	+
	110	+L'objectif des MCO est d'estimer les paramètres $\beta$ dans le modèle de régression linéaire suivant :
	111	+\[
	112	+Y = X\beta + u,
	113	+\]
	114	+où :
	115	+\begin{itemize}
	116	+ \item $Y$ est le vecteur des variables dépendantes.
	117	+ \item $X$ est la matrice des variables explicatives (incluant une colonne de constantes si nécessaire).
	118	+ \item $\beta$ est le vecteur des paramètres à estimer.
	119	+ \item $u$ est le vecteur des termes d'erreur.
	120	+\end{itemize}
	121	+
	122	+\subsection{Hypothèses des MCO}
	123	+
	124	+Pour que les estimateurs des MCO soient les meilleurs estimateurs linéaires sans biais (BLUE - Best Linear Unbiased Estimators), plusieurs hypothèses doivent être respectées :
	125	+\begin{enumerate}
	126	+ \item \textbf{Linéarité des Paramètres} : Le modèle doit être linéaire en ses paramètres $\beta$.
	127	+ \item \textbf{Exogénéité des Régresseurs} : Les variables explicatives $X$ doivent être exogènes, c'est-à-dire que $E(u \mid X) = 0$.
	128	+ \item \textbf{Absence de Multicolinéarité Parfaite} : Les variables explicatives ne doivent pas être parfaitement corrélées entre elles.
	129	+ \item \textbf{Homoscedasticité} : La variance des termes d'erreur $u$ doit être constante, $\text{Var}(u \mid X) = \sigma^2 I$.
	130	+ \item \textbf{Indépendance des Termes d'Erreur} : Les termes d'erreur $u$ doivent être indépendants entre eux.
	131	+\end{enumerate}
	132	+
	133	+\subsection{Propriétés des Estimateurs MCO}
	134	+
	135	+Sous les hypothèses précédentes, les estimateurs des MCO $\hat{\beta}$ possèdent les propriétés suivantes :
	136	+\begin{itemize}
	137	+ \item \textbf{Non Biaisés} : $E(\hat{\beta}) = \beta$.
	138	+ \item \textbf{Minimum de la Variance} : Parmi tous les estimateurs linéaires non biaisés, $\hat{\beta}$ a la variance la plus faible.
	139	+ \item \textbf{Consistance} : Lorsque la taille de l'échantillon augmente, $\hat{\beta}$ converge en probabilité vers $\beta$.
	140	+ \item \textbf{Normalité} : Si les termes d'erreur $u$ sont normalement distribués, alors $\hat{\beta}$ suit une distribution normale.
	141	+\end{itemize}
	142	+
	143	+\subsection{Importance des MCO en Econométrie}
	144	+
	145	+Les MCO sont fondamentaux en économétrie car ils fournissent une méthode simple et efficace pour estimer les relations entre les variables économiques. Ils sont utilisés dans une multitude d'applications, telles que :
	146	+\begin{itemize}
	147	+ \item Estimation de l'impact des facteurs économiques sur la consommation.
	148	+ \item Analyse de la relation entre l'investissement et le taux d'intérêt.
	149	+ \item Étude de l'effet des dépenses publicitaires sur les ventes.
	150	+\end{itemize}
	151	+
	152	+Les MCO servent également de base pour des méthodes plus avancées en économétrie, telles que la régression avec variables endogènes, les modèles à effets fixes, et les modèles de panel.
	153	+
	154	+% ------------------------------------------------------------------------
	155	+% SECTION 2 : Régression Simple et Moindres Carrés Ordinaires : Approche en Sommation
	156	+% ------------------------------------------------------------------------
	157	+\section{Régression Simple et Moindres Carrés Ordinaires : Approche en Sommation}
	158	+
	159	+\subsection{Intuition de la Régression}
	160	+\textbf{Chapitres 1 et 2 de \livre{Gujarati et Porter}, Chapitre 2 de \livre{Wooldridge}.}
	161	+
	162	+En termes généraux, l’analyse par régression s’intéresse à déterminer une relation de dépendance entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables explicatives. L’objectif est d’estimer la valeur moyenne de la variable dépendante $ E(Y) $ en termes de valeurs connues des variables explicatives ou indépendantes.
	163	+
	164	+Il faut être prudent avec le vocabulaire employé. L’analyse par régression explique une dépendance, et non un lien de cause à effet. La \emph{causalité} en économétrie est une relation plus forte de sens que la dépendance. Une relation statistique trouvée dans un échantillon de données n’implique pas nécessairement un lien de causalité. Bien qu’il existe des tests statistiques de causalité (tests de causalité de Granger ou de Sims), la causalité est souvent explicite dans le modèle théorique testé.
	165	+
	166	+Il faut aussi différencier la régression de la corrélation. Le coefficient de corrélation mesure la force ou le degré d’une association linéaire entre deux variables. Par exemple, on peut vouloir mesurer le coefficient de corrélation entre un titre en particulier et un indice de référence. En revanche, la régression de ce titre sur un indice de référence estime la valeur moyenne du titre pour une variation dans l’indice. Aussi, la régression traite les variables de façon asymétrique : on suppose des variables explicatives \emph{connues ou fixes}\footnote{Cette hypothèse peut être relâchée, mais les modèles deviennent plus complexes et les estimateurs ont alors des propriétés différentes du point de vue statistique.} alors que la variable dépendante est stochastique (avec une distribution de probabilité). En corrélation, les deux variables sont traitées de manière symétrique et sont toutes deux stochastiques.
	167	+
	168	+\subsection{La Régression : Introduction}
	169	+
	170	+On s’intéresse donc à trouver l’espérance conditionnelle d’une ou plusieurs variables dépendantes ($Y$) conditionnelle à la valeur connue des régresseurs ($X$) :
	171	+\[
	172	+E(Y \mid X_i) = f(X_i), \quad (1.1)
	173	+\]
	174	+où $ f(X_i) $ est une fonction des variables explicatives $ X $. Pour illustrer, supposons que nous avons une variable à expliquer (le rendement du titre Apple, $Y$) et une variable explicative (le rendement du marché, $X_i$). On assume que la relation entre $Y$ et $X$ est \textbf{linéaire} :
	175	+\[
	176	+E(Y \mid X_i) = \beta_1 + \beta_2 X_i, \quad (1.2)
	177	+\]
	178	+où $\beta_1$ (ordonnée à l’origine) et $\beta_2$ (pente) sont des paramètres fixes mais inconnus.
	179	+
	180	+Puisque la régression explique la moyenne de $Y$, on s’attend à des déviations entre $Y_i$ et $E(Y \mid X_i)$. Cette déviation ou \emph{erreur} est :
	181	+\[
	182	+u_i = Y_i - E(Y \mid X_i). \quad (1.3)
	183	+\]
	184	+
	185	+En pratique, le rendement d’Apple s’écrit alors :
	186	+\[
	187	+Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_i. \quad (1.4)
	188	+\]
	189	+
	190	+En prenant l’espérance conditionnelle, on obtient :
	191	+\[
	192	+E(Y_i \mid X_i) = E(Y \mid X_i) + E(u_i).
	193	+\]
	194	+Si $E(u_i) = 0$, alors $E(Y_i \mid X_i) = \beta_1 + \beta_2 X_i$.
	195	+
	196	+\paragraph{Pourquoi ajouter un terme d’erreur?}
	197	+\begin{enumerate}
	198	+ \item Le modèle théorique peut omettre certaines variables.
	199	+ \item Certaines variables sont impossibles à mesurer (ex. : l’aversion au risque).
	200	+ \item Il n’existe pas de relation certaine à 100\%.
	201	+ \item On privilégie des modèles parcimonieux ; les effets marginaux non spécifiés finissent dans l’erreur.
	202	+ \item La forme fonctionnelle (par ex. linéaire) est une approximation.
	203	+\end{enumerate}
	204	+
	205	+Dans la pratique, on ne dispose que d’un échantillon de données, et non de la population entière. Les paramètres du modèle estimés à partir des données sont notés $\hat{\beta}_1$ et $\hat{\beta}_2$. Ainsi, le modèle estimé s’écrit :
	206	+\[
	207	+\hat{Y}_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i, \quad (1.6)
	208	+\]
	209	+\[
	210	+Y_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i + \hat{u}_i. \quad (1.7)
	211	+\]
	212	+
	213	+Ici, $\hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i$ est le \emph{résidu}.
	214	+
	215	+\subsection{Les Moindres Carrés Ordinaires (MCO)}
	216	+\textbf{Chapitres 3 de \livre{Gujarati et Porter}.}
	217	+
	218	+Définissons d’abord le résidu :
	219	+\[
	220	+\hat{u}_i = Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i.
	221	+\]
	222	+
	223	+L’idée des MCO est de choisir $\hat{\beta}_1$ et $\hat{\beta}_2$ de façon à minimiser la somme des carrés des résidus :
	224	+\[
	225	+\sum_{i=1}^{N} \hat{u}_i^2 = \sum_{i=1}^{N} (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2.
	226	+\]
	227	+
	228	+En dérivant cette fonction (par rapport à $\hat{\beta}_1$ et $\hat{\beta}_2$) et en l’égalant à zéro, on obtient les conditions de premier ordre qui mènent aux \emph{équations normales} :
	229	+\begin{align*}
	230	+ \hat{\beta}_2 &= \frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \bar{X})^2}, \\
	231	+ \hat{\beta}_1 &= \bar{Y} - \hat{\beta}_2 \bar{X}.
	232	+\end{align*}
	233	+
	234	+La droite de régression estimée passe par les moyennes $\bar{X}$ et $\bar{Y}$. Dans la suite, on généralise cette méthode à plusieurs variables explicatives et on utilise la notation matricielle.
	235	+
	236	+% ------------------------------------------------------------------------
	237	+% SECTION 3 : Dérivation Matricielle des Moindres Carrés Ordinaires
	238	+% ------------------------------------------------------------------------
	239	+\section{Dérivation Matricielle des Moindres Carrés Ordinaires}
	240	+
	241	+\textbf{Chapitres 3 et 4, Appendice C de \livre{Gujarati et Porter} ; Chapitres 2 et 3, Appendice E de \livre{Wooldridge}.}
	242	+
	243	+\subsection{Le Modèle}
	244	+
	245	+Le modèle linéaire à $K$ variables explicatives s’écrit :
	246	+\[
	247	+Y = X \beta + u, \quad (2.1)
	248	+\]
	249	+avec
	250	+\[
	251	+Y =
	252	+\begin{bmatrix}
	253	+Y_1 \\
	254	+Y_2 \\
	255	+\vdots \\
	256	+Y_T
	257	+\end{bmatrix},
	258	+\quad
	259	+X =
	260	+\begin{bmatrix}
	261	+1 & X_{11} & \dots & X_{1,K-1} \\
	262	+1 & X_{21} & \dots & X_{2,K-1} \\
	263	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	264	+1 & X_{T1} & \dots & X_{T,K-1}
	265	+\end{bmatrix}_{T\times K},
	266	+\quad
	267	+\beta =
	268	+\begin{bmatrix}
	269	+\beta_0 \\
	270	+\beta_1 \\
	271	+\vdots \\
	272	+\beta_{K-1}
	273	+\end{bmatrix}_{K\times 1},
	274	+\quad
	275	+u =
	276	+\begin{bmatrix}
	277	+u_1 \\
	278	+u_2 \\
	279	+\vdots \\
	280	+u_T
	281	+\end{bmatrix}_{T\times 1}.
	282	+\]
	283	+
	284	+La composante déterministe est $X\beta$, la composante aléatoire est $u$. L’hypothèse clé est que $E(u \mid X) = 0$ et que les composantes de $u$ sont supposées iid, sans corrélation ni hétéroscédasticité.
	285	+
	286	+\subsection{Hypothèses du Modèle de Régression}
	287	+\begin{enumerate}
	288	+ \item Linéarité des paramètres.
	289	+ \item Les régresseurs $X$ sont fixes (ou exogènes).
	290	+ \item $T > K$ et $\mathrm{rang}(X) = K$.
	291	+ \item Pas de multicolinéarité parfaite.
	292	+\end{enumerate}
	293	+
	294	+\subsection{Dérivation des Estimateurs MCO}
	295	+
	296	+La méthode consiste à minimiser la somme des carrés des résidus :
	297	+\[
	298	+\hat{\beta}
	299	+= \underset{\beta}{\arg\min}
	300	+\bigl(Y - X \beta \bigr)' \bigl(Y - X \beta \bigr).
	301	+\]
	302	+
	303	+Par dérivation et condition de premier ordre, on obtient :
	304	+\[
	305	+X'X \hat{\beta} = X'Y \quad \Longrightarrow \quad \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y.
	306	+\]
	307	+
	308	+La variance du terme d’erreur peut être estimée par :
	309	+\[
	310	+\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2 = \frac{\hat{u}'\hat{u}}{T},
	311	+\]
	312	+où $\hat{u} = Y - X\hat{\beta}$.
	313	+
	314	+% ------------------------------------------------------------------------
	315	+% SECTION : Bibliographie
	316	+% ------------------------------------------------------------------------
	317	+\section*{Bibliographie}
	318	+\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}
	319	+
	320	+\begin{thebibliography}{99}
	321	+
	322	+\bibitem{GujaratiPorter}
	323	+Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
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	325	+\bibitem{Wooldridge}
	326	+Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
	327	+
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	329	+Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.
	330	+
	331	+\end{thebibliography}
	332	+
	333	+\end{document}

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
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	22	+\usepackage{lipsum} % (optionnel) Pour générer du faux texte
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	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+
	28	+% ------------------------------------------------------------------------
	29	+% Configuration de la mise en page
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
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	32	+ a4paper,
	33	+ left=25mm,
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	35	+ top=25mm,
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	37	+}
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	47	+% Commande pour mettre en avant les livres en bleu
	48	+% ------------------------------------------------------------------------
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	50	+
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	52	+% Configuration des hyperliens
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	57	+ urlcolor=blue, % Couleur des URL
	58	+ citecolor=blue, % Couleur des citations
	59	+ filecolor=blue, % Couleur des liens vers des fichiers
	60	+ pdfborder={0 0 0}, % Pas de bordure autour des liens
	61	+ breaklinks=true % Permet les sauts de ligne dans les liens
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	63	+
	64	+% ------------------------------------------------------------------------
	65	+% Configuration des en-têtes et pieds de page
	66	+% ------------------------------------------------------------------------
	67	+\pagestyle{fancy}
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	70	+\fancyhead[R]{Hiver 2025}
	71	+\fancyfoot[C]{\thepage}
	72	+\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite
	73	+
	74	+% ------------------------------------------------------------------------
	75	+% Informations sur le document
	76	+% ------------------------------------------------------------------------
	77	+\title{\textbf{Préalable}}
	78	+\author{GSF-6053}
	79	+\date{Hiver 2025}
	80	+
	81	+% ------------------------------------------------------------------------
	82	+% Début du document
	83	+% ------------------------------------------------------------------------
	84	+\begin{document}
	85	+
	86	+\maketitle
	87	+\tableofcontents
	88	+\newpage
	89	+
	90	+% Augmenter l'interligne à 1,5
	91	+\onehalfspacing
	92	+
	93	+% ------------------------------------------------------------------------
	94	+% SECTION 1 : Préalable
	95	+% ------------------------------------------------------------------------
	96	+\section{Préalable}
	97	+
	98	+Ce document présente une révision des concepts mathématiques de base utiles au cours.
	99	+L’idée de cette révision n’est pas de voir toutes les propriétés présentées dans les annexes,
	100	+mais de repasser certaines qui pourraient vous être utiles dans le cours. Attention donc à ne
	101	+pas voir cette présentation comme exhaustive puisqu’il s’agit d’un résumé.
	102	+
	103	+La référence pour cette révision se trouve dans votre \livre{livre de Wooldridge} (A, B et D partiellement)
	104	+ou de \livre{Gujarati et Porter} (A et B). Les annexes C et E de \livre{Wooldridge} seront vues en cours de route.
	105	+La consultation du \livre{livre de Greene} vous permettra d’explorer ces concepts en profondeur.
	106	+
	107	+% ------------------------------------------------------------------------
	108	+% SECTION 2 : Révision de Statistique de Base
	109	+% ------------------------------------------------------------------------
	110	+\section{Révision de Statistique de Base}
	111	+
	112	+\subsection{Les Propriétés des Sommations, des Doubles Sommations et des Produits}
	113	+
	114	+Les constantes peuvent sortir des sommations de la façon suivante :
	115	+\begin{align*}
	116	+ \sum_{i=1}^{N} c x_i &= c \sum_{i=1}^{N} x_i
	117	+\end{align*}
	118	+
	119	+Aussi, l’opérateur se distribue :
	120	+\begin{align*}
	121	+ \sum_{i=1}^{N} (x_i + y_i) &= \sum_{i=1}^{N} x_i + \sum_{i=1}^{N} y_i
	122	+\end{align*}
	123	+
	124	+Lorsqu’une double sommation est introduite, les opérateurs sommation sont interchangeables :
	125	+\begin{align*}
	126	+ \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M} x_i y_j &= \sum_{i=1}^{N} x_i \sum_{j=1}^{M} y_j
	127	+\end{align*}
	128	+
	129	+La moyenne échantillonnale est :
	130	+\begin{align*}
	131	+ \bar{x} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
	132	+\end{align*}
	133	+
	134	+Il découle que la somme des déviations par rapport à la moyenne est nulle :
	135	+\begin{align*}
	136	+ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) &= 0
	137	+\end{align*}
	138	+
	139	+Et que :
	140	+\begin{align*}
	141	+ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n(\bar{x})^2
	142	+\end{align*}
	143	+
	144	+Vous pouvez distribuer le produit pour vous en convaincre en prenant soin de distribuer
	145	+l’opérateur de sommation de la bonne façon également.
	146	+
	147	+\textbf{Note} : La section A.2 de \livre{Wooldridge} est une révision des fonctions linéaires.
	148	+Comme c’est la base de la régression, je vous suggère de la lire avant la semaine prochaine.
	149	+La section A.3 sur les proportions est également pertinente, surtout pour ceux d’entre vous
	150	+qui commencent en économie/gestion. Finalement, on m’a demandé dans la séance synchrone
	151	+davantage d’informations sur la transformation logarithmique. Vous avez une section à cet effet (A.4b).
	152	+
	153	+\subsection{Les Fonctions de Densité}
	154	+
	155	+Une fonction de densité peut être vue comme « comment je représente les probabilités que quelque
	156	+chose arrive quand on a affaire avec une variable aléatoire ». Pour les densités, il existe deux
	157	+types : les variables discrètes et les variables continues. Les variables discrètes ne prennent que
	158	+des valeurs spécifiques, telles que des entiers. Les variables continues peuvent prendre n’importe
	159	+quelle valeur.
	160	+
	161	+Pour une variable discrète, c’est la probabilité qu’une variable aléatoire prenne une certaine valeur.
	162	+Par exemple, si vous représentez la somme de deux dés, vous avez une fonction de densité discrète,
	163	+ce qui donne une fonction de densité en bâtonnets.
	164	+
	165	+Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la fonction de densité doit répondre aux critères
	166	+suivants :
	167	+\begin{align*}
	168	+ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx &= 1
	169	+\end{align*}
	170	+
	171	+Un exemple de fonction de densité continue serait la cloche de la loi normale.
	172	+
	173	+Il est important de discerner que dans le cas d’une variable continue, la probabilité que la variable
	174	+aléatoire prenne une valeur spécifique est nulle. Seule la possibilité que la variable aléatoire soit
	175	+comprise à l’intérieur d’un intervalle peut être investiguée.
	176	+
	177	+La fonction de densité conditionnelle est :
	178	+\begin{align*}
	179	+ f(x \mid y) &= \frac{f(x, y)}{f(y)}
	180	+\end{align*}
	181	+
	182	+L’indépendance de deux variables : lorsque la densité jointe est égale au produit des densités marginales.
	183	+Si deux événements sont indépendants, ils ne devraient pas être étudiés ensemble.
	184	+
	185	+\subsection{Les Caractéristiques des Distributions de Probabilités}
	186	+
	187	+\textit{\livre{Wooldridge}, B-3 à B-5}. Nous présentons ici une révision des formules. Les concepts
	188	+sont présentés très en détail dans le livre.
	189	+
	190	+\textbf{L’espérance} : Il s’agit de la valeur attendue :
	191	+\begin{align*}
	192	+ E(X) &= \sum x \, f(x)
	193	+\end{align*}
	194	+
	195	+Et si les événements sont équipondérés, cela revient à :
	196	+\begin{align*}
	197	+ E(X) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
	198	+\end{align*}
	199	+
	200	+\textbf{Propriétés importantes pour le cours} :
	201	+\begin{align*}
	202	+ E(aX + b) &= aE(X) + b \quad \text{si } a \text{ et } b \text{ sont des quantités connues.}
	203	+\end{align*}
	204	+
	205	+Et :
	206	+\begin{align*}
	207	+ E(XY) &= E(X)E(Y) + \text{cov}(X, Y)
	208	+\end{align*}
	209	+
	210	+\textbf{La variance} :
	211	+
	212	+Supposons $E(X) = \mu$, l’écart dans la distribution par rapport à la moyenne sera donc :
	213	+\begin{align*}
	214	+ \text{Var}(X) &= \sigma^2 = E\bigl((X - \mu)^2\bigr)
	215	+\end{align*}
	216	+
	217	+\begin{align*}
	218	+ \text{Var}(aX + b) &= a^2 \text{Var}(X), \quad \text{si } a \text{ et } b \text{ sont connus.}
	219	+\end{align*}
	220	+
	221	+\begin{align*}
	222	+ \text{Var}(X + Y) &= \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \,\text{Cov}(X, Y)
	223	+\end{align*}
	224	+
	225	+\subsection{Algèbre Matricielle}
	226	+
	227	+\textbf{Les matrices} :
	228	+
	229	+\begin{align*}
	230	+ A &= [a_{ij}]_{M \times N}
	231	+\end{align*}
	232	+où $i$ dénote la ligne et $j$ dénote la colonne. Les dimensions de $A$ sont donc
	233	+$M \times N$.
	234	+
	235	+Les opérations de base sur les matrices sont à réviser par vous-même. Celles-ci incluent
	236	+l’addition, la soustraction, la transposition, la multiplication et l’inversion. Portez une
	237	+attention particulière aux propriétés de la multiplication.
	238	+
	239	+Voici une propriété importante de la transposition :
	240	+\begin{align*}
	241	+ (ABCD)^{\prime} &= D^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}A^{\prime}
	242	+\end{align*}
	243	+
	244	+\textbf{Rang d’une matrice} : Le nombre de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes.
	245	+La matrice est de plein rang si celui-ci est égal au nombre de colonnes de la matrice.
	246	+Une matrice est inversible seulement si elle est de plein rang colonne.
	247	+
	248	+Pour les matrices inversibles :
	249	+\begin{align*}
	250	+ A A^{-1} &= I, \\
	251	+ (A^{-1})^{\prime} &= (A^{\prime})^{-1}
	252	+\end{align*}
	253	+
	254	+\textbf{La trace d’une matrice} : La somme des éléments sur la diagonale d’une matrice carrée.
	255	+Cet opérateur est intéressant pour nous, car :
	256	+\begin{align*}
	257	+ \text{tr}(AB) &= \text{tr}(BA)
	258	+\end{align*}
	259	+
	260	+\textbf{Quelques matrices importantes} :
	261	+\begin{itemize}
	262	+ \item \textbf{Matrice symétrique} : Une matrice carrée telle que $A = A^{\prime}$.
	263	+ \item \textbf{Matrice diagonale} : Contient des éléments seulement sur la diagonale et
	264	+ des zéros sur les éléments hors diagonale.
	265	+ \item \textbf{Matrice idempotente} : Une matrice carrée qui, lorsqu’elle est multipliée
	266	+ par elle-même, donne elle-même comme produit, c’est-à-dire $A \cdot A = A$.
	267	+\end{itemize}
	268	+
	269	+% ------------------------------------------------------------------------
	270	+% SECTION 3 : Bibliographie
	271	+% ------------------------------------------------------------------------
	272	+\section*{Bibliographie}
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	274	+
	275	+\begin{thebibliography}{9}
	276	+
	277	+\bibitem{Wooldridge}
	278	+Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
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	283	+\bibitem{Greene}
	284	+Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.
	285	+
	286	+\end{thebibliography}
	287	+
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	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
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	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
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	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
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	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
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	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnement mathématique enrichi
	16	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
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	19	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
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	22	+\usepackage{lipsum} % (optionnel) Pour générer du faux texte
	23	+\usepackage{booktabs} % (optionnel) Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
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	73	+
	74	+\title{Preuve des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) en Format Matriciel}
	75	+\author{Simon-Pierre Boucher}
	76	+\date{Janvier 2025}
	77	+
	78	+\begin{document}
	79	+
	80	+\maketitle
	81	+\tableofcontents
	82	+\newpage
	83	+
	84	+\section{Introduction}
	85	+Dans cette section, nous démontrons la méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) en utilisant une approche matricielle. Cette méthode est particulièrement utile pour résoudre les problèmes de régression avec plusieurs variables explicatives (régression multiple), où les calculs matriciels permettent de simplifier le processus de minimisation.
	86	+
	87	+L'objectif est de trouver les paramètres $\beta = (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_k)$ du modèle de régression linéaire qui minimisent la somme des carrés des erreurs ou des résidus.
	88	+
	89	+\section{Modèle de Régression Linéaire}
	90	+Le modèle de régression linéaire univarié est donné par :
	91	+\[
	92	+Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + \mu_i
	93	+\]
	94	+où :
	95	+\begin{itemize}
	96	+ \item $Y_i$ est la variable dépendante pour l'observation $i$,
	97	+ \item $X_i$ est la variable indépendante (explanatoire) pour l'observation $i$,
	98	+ \item $\beta_1$ et $\beta_2$ sont les paramètres du modèle (intercept et pente) à estimer,
	99	+ \item $\mu_i$ est le terme d'erreur pour l'observation $i$.
	100	+\end{itemize}
	101	+
	102	+Nous pouvons exprimer ce modèle de manière matricielle pour une régression multiple (c'est-à-dire avec plusieurs variables explicatives) sous la forme suivante :
	103	+\[
	104	+Y = X\beta + u
	105	+\]
	106	+où :
	107	+\begin{itemize}
	108	+ \item $Y$ est un vecteur colonne $n \times 1$ des observations de la variable dépendante,
	109	+ \item $X$ est une matrice $n \times (k+1)$ des valeurs des variables explicatives, où chaque ligne contient un ensemble de variables explicatives, avec une colonne de 1 pour le terme d'intercept,
	110	+ \item $\beta$ est un vecteur colonne $ (k+1) \times 1 $ des coefficients à estimer $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_k$,
	111	+ \item $u$ est un vecteur $n \times 1$ des erreurs ou résidus ($u \sim N(0, \sigma^2I)$).
	112	+\end{itemize}
	113	+
	114	+\textbf{Hypothèses sur les erreurs} :
	115	+\begin{itemize}
	116	+ \item $E(u) = 0$, les erreurs ont une moyenne nulle,
	117	+ \item $V(u) = \sigma^2I$, les erreurs ont une variance constante $\sigma^2$ et sont indépendantes entre elles.
	118	+\end{itemize}
	119	+
	120	+\section{Sum of Squared Residuals}
	121	+L'objectif des MCO est de minimiser la somme des carrés des résidus, qui est une mesure de l'écart total entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle. Sous forme matricielle, cette fonction de cote est donnée par :
	122	+\[
	123	+S = u^\top u = (Y - X\beta)^\top (Y - X\beta)
	124	+\]
	125	+Nous cherchons à minimiser $S$, la somme des carrés des résidus. Cela revient à minimiser l'écart entre les valeurs observées $Y$ et les valeurs prédites $X\beta$.
	126	+
	127	+Développons cette fonction :
	128	+\[
	129	+S = (Y - X\beta)^\top (Y - X\beta) = Y^\top Y - Y^\top X\beta - \beta^\top X^\top Y + \beta^\top X^\top X\beta
	130	+\]
	131	+Notez que $Y^\top X\beta$ est un scalaire, donc il est égal à son transpose $ \beta^\top X^\top Y$. Ainsi, nous avons :
	132	+\[
	133	+S = Y^\top Y - 2\beta^\top X^\top Y + \beta^\top X^\top X\beta
	134	+\]
	135	+Nous cherchons les valeurs de $\beta$ qui minimisent cette fonction.
	136	+
	137	+\section{Minimisation de la Fonction du Sum of Squared Residuals}
	138	+Pour trouver les valeurs optimales de $\beta$, nous devons dériver la fonction de somme des carrés des résidus $S$ par rapport à $\beta$ et résoudre pour $\beta$.
	139	+
	140	+\subsection{Calcul de la Dérivée de $S$ par Rapport à $\beta$}
	141	+Nous procédons à la dérivation de $S$ par rapport à $\beta$. La dérivée de chaque terme de $S$ est calculée comme suit :
	142	+\[
	143	+\frac{\partial S}{\partial \beta} = -2X^\top Y + 2X^\top X\beta
	144	+\]
	145	+Cette dérivée nous indique comment la fonction $S$ change en fonction des paramètres $\beta$. Nous égalons cette dérivée à zéro pour trouver le minimum :
	146	+\[
	147	+-2X^\top Y + 2X^\top X\beta = 0
	148	+\]
	149	+Simplifions cette équation :
	150	+\[
	151	+X^\top X\beta = X^\top Y
	152	+\]
	153	+Cela nous donne les équations normales, qui sont les conditions nécessaires pour que $S$ soit minimisé.
	154	+
	155	+\subsection{Solution des Équations Normales}
	156	+Les équations normales sont :
	157	+\[
	158	+X^\top X\beta = X^\top Y
	159	+\]
	160	+Pour résoudre pour $\beta$, nous isolons $\beta$ :
	161	+\[
	162	+\beta = (X^\top X)^{-1} X^\top Y
	163	+\]
	164	+Cela donne l'estimateur des Moindres Carrés Ordinaires pour les paramètres $\beta$. Cette solution exprime les coefficients estimés comme une combinaison linéaire des variables explicatives $X$, pondérées par les valeurs observées $Y$.
	165	+
	166	+\section{Conclusion}
	167	+Les Moindres Carrés Ordinaires offrent une méthode efficace pour estimer les paramètres d'un modèle de régression linéaire. En utilisant la matrice $X$, le vecteur $Y$, et les équations normales, nous pouvons obtenir les estimations des paramètres $\beta$ qui minimisent la somme des carrés des résidus. La solution matricielle est donnée par :
	168	+\[
	169	+\hat{\beta} = (X^\top X)^{-1} X^\top Y
	170	+\]
	171	+Cet estimateur est largement utilisé en économétrie et dans d'autres domaines pour ajuster des modèles linéaires aux données.
	172	+
	173	+\end{document}
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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
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	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
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	10	+% Packages indispensables et recommandés
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	74	+\title{Preuve des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) en Sommation}
	75	+\author{Simon-Pierre Boucher}
	76	+\date{Janvier 2025}
	77	+
	78	+\begin{document}
	79	+
	80	+\maketitle
	81	+\tableofcontents
	82	+\newpage
	83	+
	84	+\section{Introduction}
	85	+Les Moindres Carrés Ordinaires (MCO) sont une méthode d'estimation utilisée pour ajuster un modèle de régression linéaire aux données observées en minimisant l'erreur quadratique entre les valeurs observées et les valeurs prédites. L'objectif ici est de démontrer les MCO en utilisant la méthode de minimisation de la somme des carrés des résidus, en suivant une procédure rigoureuse étape par étape.
	86	+
	87	+\section{Modèle de Régression Linéaire}
	88	+Le modèle de régression linéaire simple peut être écrit comme suit :
	89	+\[
	90	+Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + \mu_i
	91	+\]
	92	+où :
	93	+\begin{itemize}
	94	+ \item $Y_i$ est la variable dépendante ou expliquée pour l'observation $i$,
	95	+ \item $X_i$ est la variable indépendante ou explicative pour l'observation $i$,
	96	+ \item $\beta_1$ et $\beta_2$ sont les paramètres du modèle à estimer,
	97	+ \item $\mu_i$ est le terme d'erreur associé à l'observation $i$.
	98	+\end{itemize}
	99	+
	100	+\textbf{Hypothèses} :
	101	+\begin{itemize}
	102	+ \item $E(\mu_i) = 0$, ce qui signifie que les erreurs ont une moyenne nulle,
	103	+ \item $V(\mu_i) = \sigma^2$, c'est-à-dire que les erreurs ont une variance constante,
	104	+ \item Les erreurs sont indépendantes les unes des autres.
	105	+\end{itemize}
	106	+
	107	+Nous pouvons réécrire ce modèle comme suit :
	108	+\[
	109	+Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + \mu_i
	110	+\]
	111	+
	112	+\section{Les Résidus}
	113	+Les résidus sont la différence entre les valeurs observées $Y_i$ et les valeurs estimées $\hat{Y}_i$ par le modèle de régression. L'estimateur des résidus est donc donné par :
	114	+\[
	115	+\hat{\mu}_i = Y_i - \hat{Y}_i = Y_i - (\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i)
	116	+\]
	117	+L'objectif des MCO est de minimiser la somme des carrés des résidus. Cela revient à minimiser la fonction :
	118	+\[
	119	+S = \sum_{i=1}^N \hat{\mu}_i^2 = \sum_{i=1}^N (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2
	120	+\]
	121	+où $N$ est le nombre d'observations. Cette somme représente l'erreur totale entre les valeurs observées et les valeurs prédites.
	122	+
	123	+\section{Minimisation de la Somme des Carrés des Résidus}
	124	+L'objectif de la méthode des Moindres Carrés Ordinaires est de trouver les valeurs des paramètres $\hat{\beta}_1$ et $\hat{\beta}_2$ qui minimisent cette somme. Nous cherchons donc à résoudre le problème suivant :
	125	+\[
	126	+\min_{\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2} \sum_{i=1}^N (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2
	127	+\]
	128	+Cela revient à dériver la fonction $S$ par rapport aux paramètres $\hat{\beta}_1$ et $\hat{\beta}_2$, et de les égaler à zéro.
	129	+
	130	+\section{Calcul des Équations Normales}
	131	+Nous obtenons les équations normales en dérivant $S$ par rapport à $\hat{\beta}_1$ et $\hat{\beta}_2$.
	132	+
	133	+\subsection{Équation Normale pour $\hat{\beta}_1$}
	134	+La dérivée partielle de $S$ par rapport à $\hat{\beta}_1$ est :
	135	+\[
	136	+\frac{\partial}{\partial \hat{\beta}_1} \sum_{i=1}^N (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2 = -2 \sum_{i=1}^N (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i) = 0
	137	+\]
	138	+Cette dérivée mesure comment $S$ varie lorsque $\hat{\beta}_1$ varie, et la condition d'optimalité exige que cette dérivée soit égale à zéro. En réorganisant cette équation, nous obtenons :
	139	+\[
	140	+\sum_{i=1}^N Y_i = N \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i
	141	+\]
	142	+Isolons $\hat{\beta}_1$ :
	143	+\[
	144	+\hat{\beta}_1 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i - \hat{\beta}_2 \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i
	145	+\]
	146	+Ce qui peut se réécrire comme :
	147	+\[
	148	+\hat{\beta}_1 = \bar{Y} - \hat{\beta}_2 \bar{X}
	149	+\]
	150	+où $\bar{Y}$ et $\bar{X}$ représentent les moyennes des $Y_i$ et $X_i$ respectivement.
	151	+
	152	+\subsection{Équation Normale pour $\hat{\beta}_2$}
	153	+La dérivée partielle de $S$ par rapport à $\hat{\beta}_2$ est :
	154	+\[
	155	+\frac{\partial}{\partial \hat{\beta}_2} \sum_{i=1}^N (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2 = -2 \sum_{i=1}^N X_i (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i) = 0
	156	+\]
	157	+Cette dérivée mesure comment $S$ varie lorsque $\hat{\beta}_2$ varie. En réorganisant cette équation, nous obtenons l'équation normale suivante :
	158	+\[
	159	+\sum_{i=1}^N X_i Y_i - \hat{\beta}_1 \sum_{i=1}^N X_i - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i^2 = 0
	160	+\]
	161	+En utilisant la relation $\hat{\beta}_1 = \bar{Y} - \hat{\beta}_2 \bar{X}$, nous remplaçons dans cette équation pour obtenir :
	162	+\[
	163	+\hat{\beta}_2 = \frac{\sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2}
	164	+\]
	165	+C'est l'estimateur de $\hat{\beta}_2$, qui est l'estimateur de la pente de la droite de régression.
	166	+
	167	+\section{Conclusion}
	168	+Les estimateurs des paramètres de régression $\beta_1$ et $\beta_2$ obtenus par la méthode des Moindres Carrés Ordinaires sont :
	169	+\[
	170	+\hat{\beta}_1 = \bar{Y} - \hat{\beta}_2 \bar{X}
	171	+\]
	172	+et
	173	+\[
	174	+\hat{\beta}_2 = \frac{\sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2}
	175	+\]
	176	+Ces estimations minimisent la somme des carrés des résidus et permettent de déterminer la relation linéaire entre $Y$ et $X$. Ces résultats sont fondamentaux pour l'application des Moindres Carrés Ordinaires dans l'analyse de régression linéaire.
	177	+
	178	+\end{document}
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	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
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	9	+# 📖 NOTE — Séance 1 : Introduction, préalables et moindres carrés ordinaires (MCO)
	10	+
	11	+Notes de cours (sources LaTeX) de la première séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
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	15	+\| Dossier \| Document \| Description \|
	16	+\|---------\|----------\|-------------\|
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	18	+\| `GSF6053_H25_NOTE_PRÉALABLE/` \| Préalables \| Rappels mathématiques et statistiques : algèbre matricielle, probabilités, espérance, variance \|
	19	+\| `GSF6053_H25_NOTE_MCO/` \| MCO \| Le modèle de régression linéaire et l'estimateur des moindres carrés ordinaires, hypothèses classiques, propriétés BLUE \|
	20	+\| `GSF6053_H25_preuve_MCO_sommation/` \| Preuve (sommation) \| Dérivation complète de l'estimateur MCO en notation sommation (cas simple) \|
	21	+\| `GSF6053_H25_preuve_MCO_matriciel/` \| Preuve (matricielle) \| Dérivation complète de l'estimateur MCO en notation matricielle (cas multiple) \|
	22	+
	23	+## Compilation
	24	+
	25	+```bash
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	27	+```
	28	+
	29	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
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	33	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
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	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
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	19	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
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	89	+\begin{document}
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	96	+% Augmenter l'interligne à 1,5
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	100	+% SECTION 1 : Introduction aux Moindres Carrés Ordinaires (MCO)
	101	+% ------------------------------------------------------------------------
	102	+\section{Introduction aux Moindres Carrés Ordinaires (MCO)}
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	104	+\textbf{Chapitres 3 de \livre{Gujarati et Porter}, Chapitre 2 de \livre{Wooldridge}.}
	105	+
	106	+Les Moindres Carrés Ordinaires (MCO) sont une méthode d'estimation utilisée en économétrie pour déterminer les paramètres d'un modèle de régression linéaire. L'objectif principal des MCO est de minimiser la somme des carrés des résidus, c'est-à-dire la somme des différences au carré entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle.
	107	+
	108	+\subsection{Objectif des MCO}
	109	+
	110	+L'objectif des MCO est d'estimer les paramètres $\beta$ dans le modèle de régression linéaire suivant :
	111	+\begin{equation*}
	112	+Y = X\beta + u,
	113	+\end{equation*}
	114	+où :
	115	+\begin{itemize}
	116	+ \item $Y$ est le vecteur des variables dépendantes.
	117	+ \item $X$ est la matrice des variables explicatives (incluant une colonne de constantes si nécessaire).
	118	+ \item $\beta$ est le vecteur des paramètres à estimer.
	119	+ \item $u$ est le vecteur des termes d'erreur.
	120	+\end{itemize}
	121	+
	122	+\subsection{Hypothèses des MCO}
	123	+
	124	+Pour que les estimateurs des MCO soient les meilleurs estimateurs linéaires sans biais (BLUE - Best Linear Unbiased Estimators), plusieurs hypothèses doivent être respectées :
	125	+\begin{enumerate}
	126	+ \item \textbf{Linéarité des Paramètres} : Le modèle doit être linéaire en ses paramètres $\beta$.
	127	+ \item \textbf{Exogénéité des Régresseurs} : Les variables explicatives $X$ doivent être exogènes, c'est-à-dire que $E(u \mid X) = 0$.
	128	+ \item \textbf{Absence de Multicolinéarité Parfaite} : Les variables explicatives ne doivent pas être parfaitement corrélées entre elles.
	129	+ \item \textbf{Homoscedasticité} : La variance des termes d'erreur $u$ doit être constante, $\text{Var}(u \mid X) = \sigma^2 I$.
	130	+ \item \textbf{Indépendance des Termes d'Erreur} : Les termes d'erreur $u$ doivent être indépendants entre eux.
	131	+\end{enumerate}
	132	+
	133	+\subsection{Propriétés des Estimateurs MCO}
	134	+
	135	+Sous les hypothèses précédentes, les estimateurs des MCO $\hat{\beta}$ possèdent les propriétés suivantes :
	136	+\begin{itemize}
	137	+ \item \textbf{Non Biaisés} : $E(\hat{\beta}) = \beta$.
	138	+ \item \textbf{Minimum de la Variance} : Parmi tous les estimateurs linéaires non biaisés, $\hat{\beta}$ a la variance la plus faible.
	139	+ \item \textbf{Consistance} : Lorsque la taille de l'échantillon augmente, $\hat{\beta}$ converge en probabilité vers $\beta$.
	140	+ \item \textbf{Normalité} : Si les termes d'erreur $u$ sont normalement distribués, alors $\hat{\beta}$ suit une distribution normale.
	141	+\end{itemize}
	142	+
	143	+\subsection{Importance des MCO en Econométrie}
	144	+
	145	+Les MCO sont fondamentaux en économétrie car ils fournissent une méthode simple et efficace pour estimer les relations entre les variables économiques. Ils sont utilisés dans une multitude d'applications, telles que :
	146	+\begin{itemize}
	147	+ \item Estimation de l'impact des facteurs économiques sur la consommation.
	148	+ \item Analyse de la relation entre l'investissement et le taux d'intérêt.
	149	+ \item Étude de l'effet des dépenses publicitaires sur les ventes.
	150	+\end{itemize}
	151	+
	152	+Les MCO servent également de base pour des méthodes plus avancées en économétrie, telles que la régression avec variables endogènes, les modèles à effets fixes, et les modèles de panel.
	153	+
	154	+% ------------------------------------------------------------------------
	155	+% SECTION 2 : Le Maximum de Vraisemblance
	156	+% ------------------------------------------------------------------------
	157	+\section{Le Maximum de Vraisemblance}
	158	+
	159	+\subsection{Introduction}
	160	+
	161	+\livre{Gujarati et Porter} : Appendice 4.A et chapitre 7 (appendice 7.A), Appendice A à partir de la page 825.
	162	+
	163	+\livre{Wooldridge} appendice C C-4b.
	164	+
	165	+Référence supplémentaire si nécessaire : Chapitre 14 dans le livre de \livre{Greene}. En particulier 14.9.1 pour le cas du modèle de régression linéaire simple.
	166	+
	167	+Soit $\theta$ le vecteur de paramètres à estimer. Le principe est le suivant :
	168	+
	169	+Donner à $\theta$ la valeur qui maximise la probabilité d’obtenir un échantillon identique à celui qu’on dispose.
	170	+
	171	+En détail, le principe est le suivant :
	172	+
	173	+\begin{itemize}
	174	+ \item La méthode du maximum de vraisemblance est une technique d’estimation des paramètres d’un modèle (d’une équation ou d’un système, linéaire ou non linéaire) avec ou sans restrictions sur les paramètres (coefficients, matrice de variances et covariances).
	175	+ \item Elle nécessite que la loi de distribution des observations soit connue (à des paramètres inconnus près).
	176	+ \item On construit une fonction des observations et des paramètres appelée fonction de vraisemblance construite à partir de la fonction de densité.
	177	+ \item On cherche les valeurs des paramètres qui maximisent cette fonction, étant données les observations dont on dispose.
	178	+ \item La valeur proposée comme estimateur des paramètres est celle qui rend le plus probable le fait que les observations que l’on a soient des réalisations de la loi de distribution ; cette valeur est appelée estimateur du maximum de vraisemblance (MLE).
	179	+\end{itemize}
	180	+
	181	+Pour comprendre intuitivement l’estimateur de vraisemblance, regardons au tableau un exemple avec la distribution de Poisson en page 511 de \livre{Greene} :
	182	+
	183	+\subsection{Exemple : Modèle de Régression Linéaire}
	184	+
	185	+\subsubsection{La Vraisemblance Normale}
	186	+
	187	+Comme mentionné plus haut, le MLE nécessite de faire une hypothèse distributionnelle sur les $u_t$.
	188	+
	189	+Sous l’hypothèse
	190	+
	191	+\begin{equation*}
	192	+u_t \sim \text{i.i.d.} \ N(0 , \sigma^2)
	193	+\end{equation*}
	194	+
	195	+La loi conjointe des $u_1, u_2, \ldots, u_T$ est le produit des normales de moyenne 0 et variance $\sigma^2$. Ainsi, par l’hypothèse d’indépendance, la loi conjointe des $u_t$ est égale au produit des densités des $u_t$ :
	196	+
	197	+\begin{align*}
	198	+f(u_1, u_2, \ldots , u_T ) &= \prod_{t=1}^{T} f(u_t) \\
	199	+&= \left(\sqrt{2\pi\sigma^2}\right)^{-T} \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{t=1}^{T} u_t^2 \right\}
	200	+\end{align*}
	201	+
	202	+Nous sommes intéressés à la loi conjointe des $Y_t$. Effectuer un changement de variable : $u_t = Y_t - X'_t \beta$.
	203	+
	204	+\footnote{Nous avons des hypothèses distributionnelles sur les erreurs, mais nous voulons écrire la vraisemblance des $Y$. Il faut donc passer des erreurs au $Y$ avec un changement de variable. Si $u$ est une variable aléatoire continue avec une pdf $f_x (x)$ et si $y = g(x)$ est une fonction continue et monotone de $x$.}
	205	+
	206	+On peut écrire la loi conjointe des $Y_t$ (la vraisemblance) :
	207	+
	208	+\begin{align*}
	209	+g(Y_1, Y_2, \ldots , Y_T) &= \prod_{t=1}^{T} g(Y_t) \\
	210	+&= \left(\sqrt{2\pi\sigma^2}\right)^{-T} \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{t=1}^{T} (Y_t - X'_t \beta)^2 \right\} \\
	211	+&= (2\pi\sigma^2)^{-T/2} \exp \left\{ -\frac{(Y - X\beta)'(Y - X\beta)}{2\sigma^2} \right\}
	212	+\end{align*}
	213	+
	214	+Pour faciliter les calculs, on prend le logarithme de la fonction de vraisemblance. Elle transforme le produit en somme. Comme la transformation log est monotone, elle ne change pas le problème de maximisation. La log-vraisemblance (le log de la loi conjointe des $Y_t$) sera :
	215	+
	216	+\begin{equation*}
	217	+\mathcal{L} = -T \ln(2\pi) - T \ln(\sigma^2) - \frac{(Y - X\beta)'(Y - X\beta)}{2\sigma^2}
	218	+\end{equation*}
	219	+
	220	+On veut donc maximiser cette fonction de vraisemblance en fonction de $\beta$ et $\sigma^2$. Les conditions de premier ordre sont :
	221	+
	222	+\begin{align*}
	223	+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \beta} &= -\frac{1}{\sigma^2} \frac{\partial (Y'Y - 2Y'X\beta + \beta'X'X\beta)}{\partial \beta} = 0 \\
	224	+&\quad \Rightarrow \quad \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y
	225	+\end{align*}
	226	+
	227	+\begin{equation*}
	228	+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} = -\frac{T}{\sigma^2} + \frac{(Y - X\beta)'(Y - X\beta)}{\sigma^4} = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{(Y - X\beta)'(Y - X\beta)}{T}
	229	+\end{equation*}
	230	+
	231	+\textbf{Note :} L’estimateur ci-haut est l’estimateur du maximum de vraisemblance. On voudra maintenant étudier ces propriétés. Nous allons démontrer que cet estimateur est sans biais et efficace sous certaines conditions. Nous allons également voir comment corriger le biais de l'estimateur de $\sigma^2$.
	232	+
	233	+Le MLE de $\sigma^2$ est biaisé vers le bas. Ce n’est pas une propriété désirable. Par contre, sur base de notre démonstration, nous pourrons trouver une alternative sans biais :
	234	+
	235	+\begin{equation*}
	236	+\hat{s}^2 = \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{T - K}
	237	+\end{equation*}
	238	+
	239	+C’est ce que nous étudions à présent.
	240	+
	241	+\section{Propriété des Estimateurs du MLE et des MCO}
	242	+
	243	+\textbf{Chapitres 3 de \livre{Gujarati et Porter}, Chapitre 3.5 et appendice D de \livre{Wooldridge}.}
	244	+
	245	+On veut maintenant savoir si les estimateurs que nous avons trouvés sont bons. Il faut étudier le biais et la variance de l’estimateur.
	246	+
	247	+Pour les MCO et l’estimateur de $\hat{\beta}$ du MLE qui coïncident, le résultat connu est le théorème de Gauss-Markov :
	248	+
	249	+\textbf{Théorème de Gauss-Markov :} Étant donné les hypothèses du modèle de régression classique, les MCO sont des estimateurs sans biais qui ont la variance minimale. On dit qu’ils sont BLUE : Best Linear Unbiased Estimator.
	250	+
	251	+La démonstration de ce théorème est effectuée dans l’appendice 3.A de \livre{Gujarati et Porter}. Elle est aussi en section 3A.6 de \livre{Wooldridge}. Ici, la notation matricielle et les estimateurs du maximum de vraisemblance me permettent de faire la démonstration d’une autre manière.
	252	+
	253	+\subsection{Définitions}
	254	+
	255	+Notre objectif pour démontrer que les MCO sont BLUE et de trouver des estimateurs
	256	+\begin{enumerate}
	257	+ \item sans biais
	258	+ \item efficaces.
	259	+\end{enumerate}
	260	+
	261	+\textbf{Sans biais :} L’espérance de l’estimateur égale à la vraie valeur du paramètre. (En moyenne, notre estimateur est égal au vrai paramètre qui nous intéresse.) Autrement dit :
	262	+
	263	+\[
	264	+\mathbb{E}(\hat{\theta}) = \theta
	265	+\]
	266	+
	267	+\textbf{Efficace :} Un estimateur est efficace s’il atteint la borne de Cramér-Rao. On veut l’estimateur avec la variance la plus petite possible afin d’avoir une meilleure précision. (Ceci fait référence à la variance minimale de Gauss-Markov)
	268	+
	269	+Plus tard, nous définirons aussi la propriété de convergence.
	270	+
	271	+\textbf{Borne de Cramér-Rao :} Pour tout estimateur régulier et sans biais, sa variance est bornée par l’inverse de la matrice d’information.
	272	+
	273	+La matrice d’information est quant à elle une façon de mesurer la quantité d’information sur les paramètres dans $\theta$ contenue dans $X$.
	274	+
	275	+Une définition équivalente serait que la variance d’un estimateur sans biais sera toujours au moins aussi grande que l’inverse de la matrice d’information :
	276	+
	277	+\begin{align*}
	278	+[I(\theta)]^{-1} &= \left(-\mathbb{E} \left[ \frac{\partial^2 \ln \mathcal{L}(\theta)}{\partial \theta^2} \right] \right)^{-1} \\
	279	+&= \left(\mathbb{E} \left[ \left(\frac{\partial \ln \mathcal{L}(\theta)}{\partial \theta}\right)^2 \right] \right)^{-1}
	280	+\end{align*}
	281	+
	282	+(See Appendix C of \livre{Greene} for additional information on the Cramér-Rao bound p.1059). In our case,
	283	+
	284	+\begin{align*}
	285	+\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \beta'} &= -\frac{1}{\sigma^2} (X'X) \\
	286	+\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma^2} &= -\frac{1}{\sigma^4} (X'u) \\
	287	+\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \beta'} &= -\frac{1}{\sigma^4} (u'X) \\
	288	+\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial (\sigma^2)^2} &= -\frac{T}{2\sigma^4} + \frac{(Y - X\beta)'(Y - X\beta)}{2\sigma^6}
	289	+\end{align*}
	290	+
	291	+En prenant l'espérance mathématique de chaque dérivée, nous obtenons :
	292	+
	293	+\begin{align*}
	294	+\mathbb{E} \left( -\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \beta'} \right) &= \frac{1}{\sigma^2} (X'X) \\
	295	+\mathbb{E} \left( -\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma^2} \right) &= \frac{1}{\sigma^4} (X'\mathbb{E}(Y) - X'X\beta) = 0 \\
	296	+\mathbb{E} \left( -\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial (\sigma^2)^2} \right) &= \frac{2\sigma^4}{T}
	297	+\end{align*}
	298	+
	299	+Ainsi, la matrice d’information est :
	300	+
	301	+\[
	302	+I^{-1}(\beta, \sigma^2) = \begin{bmatrix}
	303	+\sigma^2 (X'X)^{-1} & 0 \\
	304	+0 & \frac{2\sigma^4}{T}
	305	+\end{bmatrix}
	306	+\]
	307	+
	308	+\subsection{Calculs des éléments de la matrice d’information}
	309	+
	310	+\begin{align*}
	311	+\mathbb{E} \left[ -\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \beta'} \right] &= \frac{1}{\sigma^2} (X'X) \\
	312	+\mathbb{E} \left[ -\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma^2} \right] &= 0 \\
	313	+\mathbb{E} \left[ -\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial (\sigma^2)^2} \right] &= \frac{2\sigma^4}{T}
	314	+\end{align*}
	315	+
	316	+Ainsi,
	317	+
	318	+\[
	319	+I^{-1}(\beta, \sigma^2) = \begin{bmatrix}
	320	+\sigma^2 (X'X)^{-1} & 0 \\
	321	+0 & \frac{2\sigma^4}{T}
	322	+\end{bmatrix}
	323	+\]
	324	+
	325	+\subsection{Propriétés de $\hat{\beta}$}
	326	+
	327	+\begin{align*}
	328	+\hat{\beta} &= (X'X)^{-1}X'Y \\
	329	+&= (X'X)^{-1}X'(X\beta + u) \\
	330	+&= \beta + (X'X)^{-1}X'u
	331	+\end{align*}
	332	+
	333	+\[
	334	+\mathbb{E}(\hat{\beta}) = \beta + (X'X)^{-1}X'\mathbb{E}(u) = \beta
	335	+\]
	336	+
	337	+Donc, l’estimateur $\hat{\beta}$ des MCO et du MLE est sans biais. Regardons maintenant si sa variance atteint la borne minimale de Cramér-Rao (s’il est efficace).
	338	+
	339	+\begin{align*}
	340	+V(\hat{\beta}) = \mathbb{E}[(\hat{\beta} - \beta)(\hat{\beta} - \beta)'] & = \mathbb{E}[(X'X)^{-1}X'u u'X(X'X)^{-1}] \\
	341	+& = (X'X)^{-1}X'\mathbb{E}(u u')X(X'X)^{-1} \\
	342	+& = \sigma^2 (X'X)^{-1}
	343	+\end{align*}
	344	+
	345	+Donc, $V(\hat{\beta})$ atteint la borne de Cramér-Rao.
	346	+
	347	+\subsection{Propriétés de $\hat{\sigma}^2$}
	348	+
	349	+\begin{align*}
	350	+\mathbb{E}(\hat{\sigma}^2) &= \mathbb{E}\left( \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{T} \right) \\
	351	+&= \frac{\sigma^2 (T - K)}{T}
	352	+\end{align*}
	353	+
	354	+Nous savons que :
	355	+
	356	+\[
	357	+(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta}) \sim \chi^2(T - K)
	358	+\]
	359	+
	360	+Nous savons que les erreurs ($u_t$) sont normales par hypothèses, et les résidus ($\hat{u}_t$) aussi par hypothèse. On sait donc que cette expression (qui est la somme des carrés des résidus) suit une loi chi carré (loi normale centrée élevée au carré).
	361	+
	362	+De plus, on peut montrer que :
	363	+
	364	+\[
	365	+\mathbb{E}\left[ \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{\sigma^2} \right] = T - K
	366	+\]
	367	+
	368	+\[
	369	+V\left( \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{\sigma^2} \right) = 2(T - K)
	370	+\]
	371	+
	372	+Cette expression n’est pas exactement égale à ce que l’on cherche soit $\hat{\sigma}^2$.
	373	+
	374	+\[
	375	+\mathbb{E}(\hat{\sigma}^2) = \mathbb{E} \left( \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{T} \right) = \frac{\sigma^2 (T - K)}{T}
	376	+\]
	377	+
	378	+On voit donc que cette estimation est biaisée et la borne ne s’applique pas. Toutefois, lorsque $T$ est suffisamment grand, $T - K \approx T$ et le biais s’annule.
	379	+
	380	+Par contre, l’estimateur de la variance suivant sera sans biais :
	381	+
	382	+\[
	383	+\hat{s}^2 = \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{T - K}
	384	+\]
	385	+
	386	+Car :
	387	+
	388	+\[
	389	+\mathbb{E}(\hat{s}^2) = \sigma^2
	390	+\]
	391	+
	392	+\footnote{NB : si vous ne voulez pas faire cette hypothèse simplificatrice, vous pouvez regarder la preuve du théorème E.4 dans \livre{Wooldridge} qui utilise plutôt la matrice de projection des $X$, $M$.}
	393	+
	394	+\subsection{Variance de $\hat{s}^2$}
	395	+
	396	+On peut maintenant vérifier si cet estimateur de la variance atteint la borne de Cramér-Rao. (Note : $\hat{s}^2 \neq \hat{\sigma}^2$, c’est un nouvel estimateur)
	397	+
	398	+\begin{align*}
	399	+V(\hat{s}^2) = & \mathbb{E}\left[ \left( \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{T - K} \right)^2 \right] - \left( \mathbb{E}\left[ \frac{(Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})}{T - K} \right] \right)^2 \\
	400	+&= \frac{2\sigma^4}{T - K}
	401	+\end{align*}
	402	+
	403	+Ce qui n’atteint pas la borne :
	404	+
	405	+\[
	406	+\frac{2\sigma^4}{T - K} > \frac{2\sigma^4}{T}
	407	+\]
	408	+
	409	+Encore une fois, si $T$ est suffisamment grand et que $K$ reste fixe, nous atteindrons presque la borne de variance minimale.
	410	+
	411	+\section{Bibliographie}
	412	+\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}
	413	+
	414	+\begin{thebibliography}{99}
	415	+
	416	+\bibitem{GujaratiPorter}
	417	+Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
	418	+
	419	+\bibitem{Wooldridge}
	420	+Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
	421	+
	422	+\bibitem{Greene}
	423	+Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.
	424	+
	425	+\end{thebibliography}
	426	+
	427	+\end{document}

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnement mathématique enrichi
	16	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	17	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
	18	+\usepackage{geometry} % Gestion des marges
	19	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
	20	+\usepackage{setspace} % Gestion de l'interligne
	21	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	22	+\usepackage{lipsum} % (optionnel) Pour générer du faux texte
	23	+\usepackage{booktabs} % (optionnel) Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+
	28	+% ------------------------------------------------------------------------
	29	+% Configuration de la mise en page
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+\geometry{
	32	+ a4paper,
	33	+ left=25mm,
	34	+ right=25mm,
	35	+ top=25mm,
	36	+ bottom=25mm
	37	+}
	38	+
	39	+% ------------------------------------------------------------------------
	40	+% Personnalisation des sections
	41	+% ------------------------------------------------------------------------
	42	+\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}
	43	+\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
	44	+\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
	45	+
	46	+% ------------------------------------------------------------------------
	47	+% Commande pour mettre en avant les livres en bleu
	48	+% ------------------------------------------------------------------------
	49	+\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}
	50	+
	51	+% ------------------------------------------------------------------------
	52	+% Configuration des hyperliens
	53	+% ------------------------------------------------------------------------
	54	+\hypersetup{
	55	+ colorlinks=true, % Les liens sont colorés
	56	+ linkcolor=blue, % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)
	57	+ urlcolor=blue, % Couleur des URL
	58	+ citecolor=blue, % Couleur des citations
	59	+ filecolor=blue, % Couleur des liens vers des fichiers
	60	+ pdfborder={0 0 0}, % Pas de bordure autour des liens
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	65	+% Configuration des en-têtes et pieds de page
	66	+% ------------------------------------------------------------------------
	67	+\pagestyle{fancy}
	68	+\fancyhf{}
	69	+\fancyhead[L]{Preuve des Estimateurs MLE}
	70	+\fancyhead[R]{Hiver 2025}
	71	+\fancyfoot[C]{\thepage}
	72	+\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite
	73	+
	74	+% ------------------------------------------------------------------------
	75	+% Informations du document
	76	+% ------------------------------------------------------------------------
	77	+\title{Preuve des Estimateurs du Maximum de Vraisemblance (MLE) pour un Modèle Linéaire}
	78	+\author{Simon-Pierre Boucher}
	79	+\date{Janvier 2025}
	80	+
	81	+% ------------------------------------------------------------------------
	82	+% Début du document
	83	+% ------------------------------------------------------------------------
	84	+\begin{document}
	85	+
	86	+\maketitle
	87	+\tableofcontents
	88	+\newpage
	89	+
	90	+\section{Introduction}
	91	+La méthode du Maximum de Vraisemblance (MLE) est une approche statistique puissante permettant d'estimer les paramètres d'un modèle en maximisant la probabilité (ou la vraisemblance) des données observées sous ce modèle. Dans cette section, nous appliquerons cette méthode à un modèle de régression linéaire pour estimer les paramètres $\beta$ et $\sigma^2$.
	92	+
	93	+L'objectif de cette démonstration est de maximiser la log-vraisemblance pour obtenir les estimateurs des paramètres $\beta$ et $\sigma^2$, qui sont ceux qui maximisent la probabilité des données observées.
	94	+
	95	+\section{Modèle de Régression Linéaire}
	96	+Le modèle de régression linéaire peut être écrit de manière matricielle comme suit :
	97	+\[
	98	+Y = X\beta + u
	99	+\]
	100	+où :
	101	+\begin{itemize}
	102	+ \item $Y$ est un vecteur $n \times 1$ des valeurs observées de la variable dépendante,
	103	+ \item $X$ est une matrice $n \times (k+1)$ des variables explicatives (y compris une colonne de 1 pour le terme constant),
	104	+ \item $\beta$ est un vecteur $ (k+1) \times 1 $ des coefficients de régression à estimer ($\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_k$),
	105	+ \item $u$ est un vecteur $n \times 1$ des erreurs, supposées suivre une distribution normale $u \sim N(0, \sigma^2I)$, où $\sigma^2$ est la variance des erreurs et $I$ est la matrice identité.
	106	+\end{itemize}
	107	+
	108	+Le modèle peut être reformulé comme suit :
	109	+\[
	110	+Y = X\beta + u
	111	+\]
	112	+Cela signifie que la variable dépendante $Y$ est expliquée par une combinaison linéaire des variables explicatives $X$, plus un terme d'erreur $u$.
	113	+
	114	+\section{Fonction de Vraisemblance}
	115	+Sous l'hypothèse que les erreurs suivent une distribution normale $u_t \sim N(0, \sigma^2)$, la densité pour chaque observation $Y_t$ conditionnée sur $\beta$ et $\sigma^2$ est donnée par :
	116	+\[
	117	+f(Y_t \| \beta, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(Y_t - X_t^\top \beta)^2}{2\sigma^2} \right)
	118	+\]
	119	+Cela représente la probabilité de l'observation $Y_t$ donnée un ensemble de paramètres $\beta$ et $\sigma^2$.
	120	+
	121	+En supposant que les erreurs sont indépendantes et identiquement distribuées, la fonction de vraisemblance jointe des observations $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ est simplement le produit des densités individuelles :
	122	+\[
	123	+f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n \| \beta, \sigma^2) = \prod_{t=1}^{n} f(Y_t \| \beta, \sigma^2)
	124	+\]
	125	+La fonction de vraisemblance devient alors :
	126	+\[
	127	+L(\beta, \sigma^2 \| Y) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\right)^n \exp\left( - \frac{(Y - X\beta)^\top (Y - X\beta)}{2\sigma^2} \right)
	128	+\]
	129	+Cela représente la probabilité d'obtenir l'échantillon $Y$ sous les paramètres $\beta$ et $\sigma^2$.
	130	+
	131	+\section{Log-Vraisemblance}
	132	+La log-vraisemblance est souvent utilisée en raison de sa simplicité mathématique. En prenant le logarithme de la fonction de vraisemblance, nous obtenons :
	133	+\[
	134	+\log L(\beta, \sigma^2 \| Y) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - \frac{n}{2} \log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} (Y - X\beta)^\top (Y - X\beta)
	135	+\]
	136	+La log-vraisemblance est maintenant plus facile à manipuler et à maximiser. Nous allons maximiser cette fonction pour obtenir les estimateurs des paramètres $\beta$ et $\sigma^2$.
	137	+
	138	+\section{Maximisation de la Log-Vraisemblance}
	139	+L'objectif est de maximiser la log-vraisemblance par rapport à $\beta$ et $\sigma^2$. Pour ce faire, nous devons dériver la log-vraisemblance par rapport à ces paramètres et égaler les dérivées à zéro.
	140	+
	141	+\subsection{Dérivée de la Log-Vraisemblance par Rapport à $\beta$}
	142	+Prenons la dérivée de la log-vraisemblance par rapport à $\beta$ :
	143	+\[
	144	+\frac{\partial}{\partial \beta} \log L(\beta, \sigma^2 \| Y) = \frac{1}{\sigma^2} X^\top (Y - X\beta)
	145	+\]
	146	+Nous égalons cette dérivée à zéro pour obtenir les conditions de premier ordre :
	147	+\[
	148	+X^\top (Y - X\beta) = 0
	149	+\]
	150	+Cela peut être réécrit comme :
	151	+\[
	152	+X^\top X \beta = X^\top Y
	153	+\]
	154	+La solution de cette équation est l'estimateur de $\beta$ par Maximum de Vraisemblance :
	155	+\[
	156	+\hat{\beta} = (X^\top X)^{-1} X^\top Y
	157	+\]
	158	+C'est l'estimateur des paramètres du modèle de régression.
	159	+
	160	+\subsection{Dérivée de la Log-Vraisemblance par Rapport à $\sigma^2$}
	161	+Prenons maintenant la dérivée de la log-vraisemblance par rapport à $\sigma^2$ :
	162	+\[
	163	+\frac{\partial}{\partial \sigma^2} \log L(\beta, \sigma^2 \| Y) = - \frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^4} (Y - X\beta)^\top (Y - X\beta)
	164	+\]
	165	+En égalant cette dérivée à zéro, nous obtenons :
	166	+\[
	167	+\sigma^2 = \frac{(Y - X\hat{\beta})^\top (Y - X\hat{\beta})}{n}
	168	+\]
	169	+Cela donne l'estimateur de la variance $\sigma^2$ par Maximum de Vraisemblance :
	170	+\[
	171	+\hat{\sigma}^2 = \frac{(Y - X\hat{\beta})^\top (Y - X\hat{\beta})}{n}
	172	+\]
	173	+
	174	+\section{Propriétés des Estimateurs MLE}
	175	+Les estimateurs obtenus par la méthode du Maximum de Vraisemblance possèdent plusieurs propriétés importantes :
	176	+\begin{itemize}
	177	+ \item $\hat{\beta}$ est un estimateur sans biais de $\beta$ car $E[\hat{\beta}] = \beta$,
	178	+ \item $\hat{\beta}$ est l'estimateur linéaire sans biais et efficace (BLUE), ce qui signifie qu'il a la plus petite variance parmi tous les estimateurs sans biais,
	179	+ \item $\hat{\sigma}^2$ est biaisé, mais le biais devient négligeable pour des échantillons de grande taille. Un estimateur sans biais alternatif pour la variance est $S^2 = \frac{(Y - X\hat{\beta})^\top (Y - X\hat{\beta})}{n - k}$,
	180	+ \item La variance de $\hat{\beta}$ est donnée par $ \text{Var}(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X^\top X)^{-1} $, et atteint la borne de Cramér-Rao, ce qui signifie que cet estimateur est le plus efficace.
	181	+\end{itemize}
	182	+
	183	+\section{Conclusion}
	184	+Nous avons démontré comment utiliser la méthode du Maximum de Vraisemblance pour estimer les paramètres d'un modèle de régression linéaire. Les estimateurs obtenus par MLE pour $\beta$ et $\sigma^2$ sont les mêmes que ceux des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) pour $\beta$, mais l'estimateur de la variance $\sigma^2$ par MLE est légèrement biaisé. Cependant, ce biais est souvent très faible pour des échantillons de grande taille.
	185	+
	186	+La méthode MLE est très puissante car elle permet d'estimer les paramètres du modèle tout en maximisant la probabilité des données observées sous ce modèle. De plus, les estimateurs obtenus par MLE sont efficaces et sans biais, ce qui les rend très utiles dans les applications pratiques.
	187	+
	188	+\end{document}

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	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📖 NOTE — Séance 2 : Estimation par maximum de vraisemblance (MLE)
	10	+
	11	+Notes de cours (sources LaTeX) de la deuxième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Document \| Description \|
	16	+\|---------\|----------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_NOTE_MLE/` \| MLE \| Fonction de vraisemblance, log-vraisemblance, conditions d'optimalité, propriétés asymptotiques de l'estimateur MLE \|
	18	+\| `GSF6053_H25_preuve_MLE/` \| Preuve MLE \| Dérivation détaillée de l'estimateur du maximum de vraisemblance pour le modèle linéaire gaussien \|
	19	+
	20	+Voir aussi la preuve de la borne de Cramér-Rao dans [`../../PDF/GSF6053_H25_preuve_cramer_rao.pdf`](../../PDF/).
	21	+
	22	+## Compilation
	23	+
	24	+```bash
	25	+cd GSF6053_H25_NOTE_MLE && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	26	+```
	27	+
	28	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	29	+
	30	+---
	31	+
	32	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	33	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnements mathématiques enrichis
	16	+\usepackage{amsthm} % Environnements théorèmes
	17	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	18	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
	19	+\usepackage{geometry} % Gestion des marges
	20	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
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	22	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	23	+\usepackage{booktabs} % Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+
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	29	+% Configuration de la mise en page
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+\geometry{
	32	+ a4paper,
	33	+ margin=25mm
	34	+}
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	36	+% ------------------------------------------------------------------------
	37	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
	38	+% ------------------------------------------------------------------------
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	52	+
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	55	+% ------------------------------------------------------------------------
	56	+\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}
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	59	+% Configuration des hyperliens
	60	+% ------------------------------------------------------------------------
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	62	+ colorlinks=true, % Les liens sont colorés
	63	+ linkcolor=blue, % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)
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	69	+}
	70	+
	71	+% ------------------------------------------------------------------------
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	76	+\fancyhead[L]{Tests et Analyse de Variance en Régression OLS}
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	80	+
	81	+
	82	+% ------------------------------------------------------------------------
	83	+% Informations sur le document
	84	+% ------------------------------------------------------------------------
	85	+\title{\textbf{Tests et Analyse de Variance en Régression OLS}}
	86	+\author{GSF-6053}
	87	+\date{Hiver 2025}
	88	+
	89	+% ------------------------------------------------------------------------
	90	+% Début du document
	91	+% ------------------------------------------------------------------------
	92	+\begin{document}
	93	+
	94	+\maketitle
	95	+
	96	+\tableofcontents
	97	+\newpage
	98	+
	99	+% Augmenter l'interligne à 1,5
	100	+\onehalfspacing
	101	+
	102	+% ------------------------------------------------------------------------
	103	+% SECTION 1 : Tests et Analyse de Variance
	104	+% ------------------------------------------------------------------------
	105	+\section{Analyse de Variance}
	106	+
	107	+\livre{Gujarati et Porter} : Chapitres 3 et 7. \livre{Wooldridge} chapitres 2, 3, 4.
	108	+
	109	+Dans une régression OLS avec terme constant, la variation dans la variable expliquée (Y) peut être décomposée pour analyser la variance.
	110	+
	111	+\[
	112	+Y_t = \hat{Y}_t + \hat{u}_t
	113	+\]
	114	+
	115	+Où $\hat{Y}_t$ est la valeur ajustée.
	116	+
	117	+Donc, la variation de $Y$ résulte en deux composantes :
	118	+
	119	+\begin{itemize}
	120	+ \item une variation due à la partie expliquée par les régresseurs du modèle ($\hat{Y}_t$),
	121	+ \item une variation induite par la partie de $Y$ non expliquée par la régression ($\hat{u}_t$).
	122	+\end{itemize}
	123	+
	124	+La variation totale de $Y$ par rapport à sa moyenne est donnée par la somme des carrés totaux :
	125	+
	126	+\[
	127	+SS_{\text{tot}} = \sum_{t=1}^{T} (Y_t - \overline{Y})^2
	128	+\]
	129	+
	130	+La variation de la partie expliquée, la somme des carrés expliqués par la régression est donnée par :
	131	+
	132	+\[
	133	+SS_{\text{reg}} = \sum_{t=1}^{T} (\hat{Y}_t - \overline{Y})^2
	134	+\]
	135	+
	136	+Finalement, les résidus sont nuls en moyenne, donc la variation dans les résidus est :
	137	+
	138	+\[
	139	+SS_{\text{err}} = \sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2
	140	+\]
	141	+
	142	+On voit que :
	143	+
	144	+\[
	145	+SS_{\text{tot}} = SS_{\text{reg}} + SS_{\text{err}}
	146	+\]
	147	+
	148	+c’est-à-dire que la variance totale est divisée en sa composante expliquée et non expliquée.
	149	+
	150	+\[
	151	+SS_{\text{tot}} = \sum_{t=1}^{T} (Y_t - \overline{Y})^2 = \sum_{t=1}^{T} (\hat{Y}_t + \hat{u}_t - \overline{Y})^2
	152	+\]
	153	+
	154	+Développant l’expression :
	155	+
	156	+\[
	157	+SS_{\text{tot}} = \sum_{t=1}^{T} \left[\hat{Y}_t^2 + 2\hat{Y}_t \hat{u}_t + \hat{u}_t^2 - 2\hat{Y}_t \overline{Y} - 2\hat{u}_t \overline{Y} + \overline{Y}^2\right]
	158	+\]
	159	+
	160	+Simplifiant et regroupant les termes :
	161	+
	162	+\[
	163	+SS_{\text{tot}} = \sum_{t=1}^{T} \left(\hat{Y}_t^2 + \overline{Y}^2 - 2\hat{Y}_t \overline{Y}\right) + 2 \sum_{t=1}^{T} \hat{Y}_t \hat{u}_t + \sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2 - 2\overline{Y} \sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t
	164	+\]
	165	+
	166	+Étant donné que les résidus sont orthogonaux au sous-espace engendré par les colonnes de $X$ et que la somme des résidus est nulle, les deux derniers termes s’annulent :
	167	+
	168	+\[
	169	+SS_{\text{tot}} = SS_{\text{reg}} + SS_{\text{err}}
	170	+\]
	171	+
	172	+\subsection{Coefficient de Détermination $R^2$}
	173	+
	174	+\livre{Gujarati et Porter} section 7.8. \livre{Wooldridge} : 2.3, 3.2h.
	175	+
	176	+Le coefficient de détermination indique le pouvoir explicatif de la régression, c’est la proportion des variations de $Y$ expliquées par les régresseurs du modèle par rapport aux variations totales. Donc,
	177	+
	178	+\[
	179	+R^2 = \frac{SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{SS_{\text{err}}}{SS_{\text{tot}}}
	180	+\]
	181	+
	182	+Clairement,
	183	+
	184	+\[
	185	+0 \leq R^2 \leq 1
	186	+\]
	187	+
	188	+On utilise cette mesure pour évaluer la performance d’un modèle et la comparaison de modèles. Par contre, pour que la mesure soit valide, il faut comparer les modèles sur les mêmes variables expliquées. Vous pouvez par contre évaluer la contribution marginale d’un régresseur à l’équation en regardant combien la mesure de $R^2$ augmente avec l’ajout de celui-ci.
	189	+
	190	+Une faiblesse de cette mesure de la qualité de l’ajustement du modèle est qu’elle augmente nécessairement avec le nombre de régresseurs, peu importe la pertinence de ceux-ci. Un modèle avec plus de régresseurs n’étant pas nécessairement un meilleur modèle pour expliquer les variables endogènes, il faut introduire une mesure ajustée pour ce facteur, le $R^2$ ajusté.
	191	+
	192	+\[
	193	+R_{\text{adj}}^2 = 1 - \left( \frac{SS_{\text{err}} / (n - K)}{SS_{\text{tot}} / (n - 1)} \right)
	194	+\]
	195	+
	196	+Où $K$ est le nombre de régresseurs.
	197	+
	198	+On peut montrer que :
	199	+
	200	+\[
	201	+R_{\text{adj}}^2 = 1 - (1 - R^2) \frac{n - 1}{n - K}
	202	+\]
	203	+
	204	+Le $R^2$ ajusté tient donc compte du nombre de régresseurs et le modèle sera pénalisé si l’on ajoute un régresseur sans pouvoir explicatif.
	205	+
	206	+\section{Tests d’Hypothèses}
	207	+
	208	+\livre{Gujarati et Porter} : Chapitres 3, 5 et 7. \livre{Wooldridge} : chapitre 4.
	209	+
	210	+Un test d’hypothèse sur les paramètres d’un modèle économétrique requiert les étapes suivantes :
	211	+
	212	+\begin{enumerate}
	213	+ \item Écrire l’hypothèse nulle ($H_0$) et l’alternative ($H_1$). La plupart du temps, $H_0$ est l’hypothèse que l’on veut rejeter. Par exemple, qu’un paramètre est non significatif ou égal à une certaine valeur. L’hypothèse alternative peut être unilatérale ($\leq$, $\geq$) ou bilatérale ($\neq$).
	214	+ \item Définir la statistique de test (Student, F, Wald, LR, LM, etc.) et déterminer si possible sa loi de distribution sous $H_0$.
	215	+ \item Choisir le niveau de significativité du test $\alpha$. On fixe donc la possibilité d’erreur de type I, soit la probabilité de rejeter $H_0$ lorsque celle-ci est vraie. Généralement, on fixe le niveau à 5 \% ou 1 \% et plus rarement à 10 \%.
	216	+ \item Déterminer la règle de décision du test avec la région critique de confiance $CR_\alpha$. La plupart du temps, cela demande de connaître la distribution de la statistique sous $H_0$. Lorsque la valeur calculée pour la statistique de test se trouve dans la région critique, on rejette $H_0$ en faveur de $H_1$ au seuil de confiance $\alpha$.
	217	+ \item Utiliser les valeurs obtenues de la régression pour calculer la statistique de test.
	218	+ \item Appliquer la règle de décision vue en 4.
	219	+\end{enumerate}
	220	+
	221	+\textbf{Note sur la p-value} (\livre{Gujarati et Porter}, p.835 ; \livre{Wooldridge} : appendices C-6d et 4.2d.)
	222	+
	223	+Parfois, on regarde la p-value au lieu de comparer $CR_\alpha$ à la valeur de la statistique.
	224	+
	225	+\textbf{p-value} : C’est le plus petit niveau auquel on peut rejeter l’hypothèse nulle. En d’autres mots, c’est la probabilité d’avoir un événement aussi extrême que celui observé en assumant que $H_0$ est vraie. Plus la p-value est faible, plus la probabilité que l’événement observé fasse partie de la distribution est faible, étant donné l’hypothèse nulle. Donc, plus il y a de chances que l’hypothèse nulle soit rejetée.
	226	+
	227	+\subsection{Tests de Significativité}
	228	+
	229	+Il y a deux types de significativité :
	230	+
	231	+\begin{itemize}
	232	+ \item La significativité individuelle d’un paramètre. On regarde si l’effet d’un régresseur est statistiquement non nul. Pour ce faire, on utilise le test de Student.
	233	+ \item La significativité conjointe des paramètres du modèle. On teste ici si le modèle est spécifié de telle sorte qu’au moins un des régresseurs a un effet statistiquement non nul. Pour effectuer ce test, on utilise le test F.
	234	+\end{itemize}
	235	+
	236	+\subsubsection{Le Test de Student}
	237	+
	238	+\livre{Gujarati et Porter} 5.7 et 8.3 ; \livre{Wooldridge} : chapitre 4.
	239	+
	240	+Pour chaque variable explicative, l’hypothèse nulle est la non-significativité du coefficient de régression et l’hypothèse alternative l’inverse :
	241	+
	242	+\[
	243	+H_0 : \beta_k = 0 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_k \neq 0
	244	+\]
	245	+
	246	+La statistique de Student pour un test est :
	247	+
	248	+\[
	249	+t = \frac{\|\hat{\beta}_k - \beta_0\|}{SE_{\hat{\beta}_k}}
	250	+\]
	251	+
	252	+Ici, $\beta_0$ est la valeur du coefficient sous la nulle, soit 0. $SE_{\hat{\beta}_k}$ est l’écart type associé à l’estimation de $\hat{\beta}_k$.
	253	+
	254	+La règle de décision du test est de rejeter $H_0$ si la statistique $t$ est plus grande que le point critique associé à la distribution sous $H_0$ pour un niveau de confiance de $\alpha$ :
	255	+
	256	+\[
	257	+t = \frac{\|\hat{\beta}_k - \beta_0\|}{SE_{\hat{\beta}_k}} > t_{\alpha/2, n-K}
	258	+\]
	259	+
	260	+On peut aussi faire des tests de Student avec d’autres valeurs d’intérêt sous la nulle que 0. On peut faire des tests unilatéraux. Lorsque l’on fait un test unilatéral, il faut attention si c’est un test à gauche ou à droite afin d’ajuster la règle de décision en conséquence.
	261	+
	262	+\subsubsection{Le Test de Significativité Conjointe F}
	263	+
	264	+\livre{Gujarati et Porter}, 8.4 ; \livre{Wooldridge} : 4.5.
	265	+
	266	+Le test de significativité conjointe du modèle teste la pertinence de celui-ci. Notez cependant que la constante n’est pas incluse dans ce test.
	267	+
	268	+\[
	269	+H_0 : \beta_2 = 0 \text{ et } \beta_3 = 0 \text{ et } \ldots \text{ et } \beta_K = 0
	270	+\]
	271	+
	272	+Contre l’alternative qu’au moins un des coefficients estimés est pertinent pour expliquer les variations dans $Y$ :
	273	+
	274	+\[
	275	+H_1 : \beta_2 \neq 0 \text{ et/ou } \beta_3 \neq 0 \text{ et/ou } \ldots \text{ et/ou } \beta_K \neq 0
	276	+\]
	277	+
	278	+La statistique de test est basée sur la somme des carrés des résidus du modèle non contraint ($\hat{u}'\hat{u}$) et du modèle contraint ($\hat{u}_0'\hat{u}_0$) par les restrictions sous la nulle, soit dans ce cas-ci un modèle avec constante uniquement.
	279	+
	280	+\[
	281	+F = \frac{(\hat{u}_0'\hat{u}_0 - \hat{u}'\hat{u}) / q}{\hat{u}'\hat{u} / (T - K)}
	282	+\]
	283	+
	284	+où $K$ est le nombre de régresseurs et $q$ le nombre de contraintes sous l’hypothèse nulle.
	285	+
	286	+L’intuition de la statistique de Fisher est de comparer la différence entre les résidus au carré dans le modèle contraint ($\hat{u}_0'\hat{u}_0$) et non contraint ($\hat{u}'\hat{u}$). Plus cette différence est grande, plus les résidus du modèle contraint sont grands par rapport au modèle non contraint et plus la contrainte « coûte cher » à appliquer en termes de performance du modèle. Plus cette différence entre les résidus contraints et non contraints est grande, plus la statistique $F$ est grande. On rejette l’hypothèse nulle passé un certain « coût critique ».
	287	+
	288	+On rejette $H_0$ à un seuil de $\alpha$ si :
	289	+
	290	+\[
	291	+F = \frac{(\hat{u}_0'\hat{u}_0 - \hat{u}'\hat{u}) / q}{\hat{u}'\hat{u} / (T - K)} > F_{(q, T - K; \alpha)}
	292	+\]
	293	+
	294	+\subsection{Les Contraintes Linéaires}
	295	+
	296	+\livre{Gujarati et Porter} 8.9 et appendice 8A2. \livre{Wooldridge} E.4a, 17.1c, 5.2a.
	297	+
	298	+On peut tester beaucoup d’autres hypothèses dans une régression que la significativité individuelle ou conjointe des paramètres estimés. On peut adapter la statistique de Student et la statistique de Fisher pour d’autres hypothèses, mais d’autres types de tests sont aussi disponibles. Nous verrons le Wald, le LR et le LM. Dans tous les cas, on teste les contraintes linéaires du type général suivant :
	299	+
	300	+\[
	301	+H_0 : R\beta = r
	302	+\]
	303	+
	304	+\[
	305	+R = \begin{bmatrix}
	306	+0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
	307	+1 & 0 & -2 & \dots & 0
	308	+\end{bmatrix}, \quad
	309	+\beta = \begin{bmatrix}
	310	+\beta_0 \\
	311	+\vdots \\
	312	+\beta_{K-1}
	313	+\end{bmatrix}, \quad
	314	+r = \begin{bmatrix}
	315	+0 \\
	316	+10
	317	+\end{bmatrix}
	318	+\]
	319	+
	320	+\textbf{Attention :} encore une fois, ici la clé est de regarder les dimensions de ces matrices.
	321	+
	322	+Le multiplicateur de Lagrange (Lagrangien) est défini comme un vecteur $\lambda$ dans un problème d’optimisation :
	323	+
	324	+\[
	325	+\mathcal{L}^* = -\frac{T}{2} \ln(2\pi) - \frac{T}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} (Y - X\beta)'(Y - X\beta) + \lambda'(R\beta - r)
	326	+\]
	327	+
	328	+En prenant les conditions de premier ordre du Lagrangien présenté ci-dessus, nous trouvons que :
	329	+
	330	+\[
	331	+C\hat{\lambda} = -2 (R\hat{\beta} - r)
	332	+\]
	333	+
	334	+Où $C = [R(X'X)^{-1}R']^{-1}$ (nous assumons que $R(X'X)^{-1}R'$ est carré et de plein rang inversible).
	335	+
	336	+\[
	337	+\sigma^2 = \frac{u_c'u_c}{T}
	338	+\]
	339	+
	340	+Ainsi, on trouve que les $\hat{\beta}_c$ s’expriment en fonction de l’estimé non contraint $\hat{\beta}$ :
	341	+
	342	+\[
	343	+\hat{\beta}_c = \hat{\beta} - (X'X)^{-1}R'C(R\hat{\beta} - r)
	344	+\]
	345	+
	346	+La somme des résidus contraints s'exprime également en fonction des résidus non contraints :
	347	+
	348	+\[
	349	+\hat{u}_c'\hat{u}_c = \hat{u}'\hat{u} + (R\hat{\beta} - r)'C(R\hat{\beta} - r)
	350	+\]
	351	+
	352	+On voit donc que l’on peut exprimer les estimés contraints en fonction des estimés non contraints.
	353	+
	354	+\subsection{Le Test de Wald}
	355	+
	356	+\livre{Wooldridge} E-4a
	357	+
	358	+Le test de Wald est une forme quadratique basée sur la distance entre $(R\hat{\beta} - r)$ et zéro, c’est-à-dire si l’estimé non contraint vérifie la contrainte. On rejette l’hypothèse nulle si la statistique est suffisamment grande.
	359	+
	360	+\[
	361	+H_0: R\hat{\beta} = r \quad \text{contre} \quad H_1: R\hat{\beta} \neq r
	362	+\]
	363	+
	364	+\[
	365	+W = (R\hat{\beta} - r)' [V(R\hat{\beta} - r)]^{-1} (R\hat{\beta} - r)
	366	+\]
	367	+
	368	+Où $V(R\hat{\beta} - r)$ est la variance entre les deux termes. Ici, la variance est une pondération par l’échelle, car on ne travaille pas en unité de 1.
	369	+
	370	+En décomposant la variance, on peut démontrer que le Wald s’écrit :
	371	+
	372	+\[
	373	+W = \frac{(R\hat{\beta} - r)'CR(R\hat{\beta} - r)}{\sigma^2}
	374	+\]
	375	+
	376	+Sous l’hypothèse nulle, $W$ suit aussi une loi du khi carré ($\chi^2$) avec $q$ degrés de liberté asymptotiquement.
	377	+
	378	+\subsection{La Statistique LR}
	379	+
	380	+\livre{Wooldridge} présente la statistique au chapitre 17. L’application est plus avancée que la forme générale que nous avons en ce moment, mais la base est la même.
	381	+
	382	+\textbf{Intuition :} comparer la valeur de la vraisemblance au maximum contraint et non contraint. Si ces deux valeurs sont proches l’une de l’autre, cela implique que la contrainte est aisément satisfaite par les observations et non coûteuse en termes de maximisation de la vraisemblance.
	383	+
	384	+Calculons $\hat{\mathcal{L}} = \mathcal{L}(\hat{\beta}, \hat{\sigma}^2)$ et $\hat{\mathcal{L}}_c = \mathcal{L}(\hat{\beta}_c, \hat{\sigma}_c^2)$. Avec l’hypothèse de normalité, on a que :
	385	+
	386	+\[
	387	+\mathcal{L} = -\frac{T}{2} \ln(2\pi) - \frac{T}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} (Y - X\beta)'(Y - X\beta)
	388	+\]
	389	+
	390	+\[
	391	+\hat{\mathcal{L}} = -\frac{T}{2} \ln(2\pi) - \frac{T}{2} \ln(\hat{\sigma}^2) - \frac{1}{2\hat{\sigma}^2} \hat{u}'\hat{u}
	392	+\]
	393	+
	394	+et donc
	395	+
	396	+\[
	397	+\hat{\mathcal{L}} = -\frac{T}{2} \ln(2\pi) - \frac{T}{2} \ln(\hat{\sigma}^2) - \frac{T}{2}
	398	+\]
	399	+
	400	+Et
	401	+
	402	+\[
	403	+\hat{\mathcal{L}}_c = -\frac{T}{2} \ln(2\pi) - \frac{T}{2} \ln(\hat{\sigma}_c^2)
	404	+\]
	405	+
	406	+On ne veut pas spécifiquement dériver les estimateurs des modèles contraints et non contraints, mais plutôt comparer la valeur de la vraisemblance $\hat{\mathcal{L}}$ et $\hat{\mathcal{L}}_c$. La statistique
	407	+
	408	+\[
	409	+LR = 2[\hat{\mathcal{L}} - \hat{\mathcal{L}}_c] = T \ln\left(\frac{\hat{\sigma}^2}{\hat{\sigma}_c^2}\right)
	410	+\]
	411	+
	412	+Cette statistique sous aussi une loi du khi carré ($\chi^2$) avec $q$ degrés de liberté asymptotiquement sous l’hypothèse nulle.
	413	+
	414	+\subsection{Le Multiplicateur de Lagrange (LM)}
	415	+
	416	+\livre{Wooldridge} 5.2a pour le cas plus simple des tests de q exclusions. Dans ce cas, vous verrez que le test revient à faire une régression des résidus de la régression du modèle contraint sur tous les régresseurs. Il s’agit d’une régression auxiliaire. La statistique de test sera : $T \cdot R^2$. Cette statistique suit alors une loi du khi carré ($\chi^2$) avec $q$ degrés de liberté.
	417	+
	418	+\textbf{Intuition de ce test :} vérifier si le score (la dérivée première du Lagrangien en fonction des paramètres) est proche de zéro évalué en $\hat{\beta}_c$. Si oui, la contrainte n’est pas très coûteuse en termes d’optimisation et il est probable que les paramètres prennent les valeurs définies par l’hypothèse nulle.
	419	+
	420	+\[
	421	+LM = \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \beta}\bigg\|_{\hat{\beta}_c}\right)' \left[V\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \beta}\bigg\|_{\hat{\beta}_c}\right)\right]^{-1} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \beta}\bigg\|_{\hat{\beta}_c}\right)
	422	+\]
	423	+
	424	+Sachant que (nous avons fait cette dérivation plus haut) :
	425	+
	426	+\[
	427	+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \beta}\bigg\|_{\hat{\beta}_c} = -\frac{1}{\sigma^2} X'\hat{u}_c
	428	+\]
	429	+
	430	+Le score s’écrit en fonction des résidus estimés :
	431	+
	432	+\[
	433	+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \beta}\bigg\|_{\hat{\beta}_c} = -\frac{1}{\sigma^2} X'\hat{u}_c
	434	+\]
	435	+
	436	+Remarquez qu’ici la statistique s’obtient avec seulement les estimés contraints.
	437	+
	438	+On peut démontrer que :
	439	+
	440	+\[
	441	+LM = \frac{(R\hat{\beta} - r)'CR(R\hat{\beta} - r)}{\sigma^2}
	442	+\]
	443	+
	444	+Et donc
	445	+
	446	+\[
	447	+LM = \frac{(R\hat{\beta} - r)'CR(R\hat{\beta} - r)}{\sigma^2}
	448	+\]
	449	+
	450	+En remplaçant $r$ par $R\hat{\beta}_c$, on a :
	451	+
	452	+\[
	453	+LM = \frac{(R\hat{\beta} - R\hat{\beta}_c)'CR(R\hat{\beta} - R\hat{\beta}_c)}{\sigma^2} = \frac{(R(\hat{\beta} - \hat{\beta}_c))'CR(R(\hat{\beta} - \hat{\beta}_c))}{\sigma^2}
	454	+\]
	455	+
	456	+On peut aussi réécrire cette statistique comme une fonction des résidus contraints et non contraints :
	457	+
	458	+\[
	459	+LM = \frac{\hat{u}_c'\hat{u}_c - \hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}'\hat{u}}
	460	+\]
	461	+
	462	+Cette statistique suit une loi du khi carré ($\chi^2$) avec $q$ degrés de liberté asymptotiquement sous l’hypothèse nulle.
	463	+
	464	+Le LM exploite le fait que la maximisation du log vraisemblance sous la contrainte de l’hypothèse nulle revient à maximiser sans contrainte la fonction Lagrangienne associée. Dans ce contexte, le vecteur de Lagrange s’interprète aussi comme un « shadow price » soit le prix à payer pour une violation de cette contrainte. Si la contrainte est satisfaite par ces observations, alors le prix à payer sera nul ou faible, sinon il sera élevé. Le test est alors basé sur le fait que si la contrainte sous $H_0$ est respectée par les données, le vecteur de Lagrange devrait être nul.
	465	+
	466	+Dans le livre de \livre{Wooldridge}, on vous donne la forme spécifique pour un test LM en particulier qui vise à tester l’exclusion possible de $q$ variables dans le modèle. Le test se base sur une régression auxiliaire, une méthode que nous reverrons en section trois.
	467	+
	468	+Ces trois tests rejettent l’hypothèse nulle à droite, c’est-à-dire si la valeur calculée de la statistique de test est plus grande que le point critique de la distribution.
	469	+
	470	+\subsubsection{Lien entre les Statistiques F, Wald, LR et LM}
	471	+
	472	+En remarquant que toutes ces statistiques se calculent à partir de la somme des résidus au carré, il est possible d’exprimer les trois statistiques présentées comme une transformation de la statistique F dans le cas de contraintes linéaires et du modèle linéaire simple.
	473	+
	474	+Avec
	475	+
	476	+\[
	477	+F = \frac{\hat{u}_0'\hat{u}_0 - \hat{u}'\hat{u}}{q} \cdot \frac{T - K}{\hat{u}'\hat{u}} > F_{(q, T - K; \alpha)}
	478	+\]
	479	+
	480	+On rejette $H_0$ si la statistique de test est plus grande que le point critique associé.
	481	+
	482	+\[
	483	+Wald = \frac{\hat{u}_c'\hat{u}_c - \hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}'\hat{u}} = \frac{Tq}{T - K} F
	484	+\]
	485	+
	486	+\[
	487	+LR = T \ln\left(\frac{\hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}_c'\hat{u}_c}\right) = T \ln\left[ F \frac{T - K}{q} + 1 \right]
	488	+\]
	489	+
	490	+\[
	491	+LM = \frac{\hat{u}_c'\hat{u}_c - \hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}'\hat{u}}
	492	+\]
	493	+
	494	+Rejette si la statistique de test est plus grande que le point critique d’une loi du khi carré ($\chi^2$) avec $q$ degrés de liberté.
	495	+
	496	+Il faut faire attention, car bien que toutes ces statistiques soient maintenant exprimées en fonction des résidus contraints et non contraints, elles ne donnent pas la même valeur. L’inférence pourrait donc potentiellement être différente.
	497	+
	498	+\section{Bibliographie}
	499	+\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}
	500	+
	501	+\begin{thebibliography}{9}
	502	+
	503	+\bibitem{GujaratiPorter}
	504	+Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
	505	+
	506	+\bibitem{Wooldridge}
	507	+Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
	508	+
	509	+\bibitem{Greene}
	510	+Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.
	511	+
	512	+\end{thebibliography}
	513	+
	514	+\end{document}

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnements mathématiques enrichis
	16	+\usepackage{amsthm} % Environnements théorèmes
	17	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	18	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
	19	+\usepackage{geometry} % Gestion des marges
	20	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
	21	+\usepackage{setspace} % Gestion de l'interligne
	22	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	23	+\usepackage{booktabs} % Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+\usepackage{enumitem} % Pour personnaliser les listes
	28	+\usepackage{pdflscape} % Pour placer les tableaux en paysage
	29	+
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+% Configuration de la mise en page
	32	+% ------------------------------------------------------------------------
	33	+\geometry{
	34	+ a4paper,
	35	+ margin=25mm
	36	+}
	37	+
	38	+% ------------------------------------------------------------------------
	39	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
	40	+% ------------------------------------------------------------------------
	41	+\theoremstyle{definition}
	42	+\newtheorem{definition}{Définition}[section]
	43	+
	44	+\theoremstyle{plain}
	45	+\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
	46	+\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
	47	+
	48	+% ------------------------------------------------------------------------
	49	+% Personnalisation des sections
	50	+% ------------------------------------------------------------------------
	51	+\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}
	52	+\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
	53	+\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
	54	+
	55	+% ------------------------------------------------------------------------
	56	+% Commande pour mettre en avant les livres en bleu
	57	+% ------------------------------------------------------------------------
	58	+\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}
	59	+
	60	+% ------------------------------------------------------------------------
	61	+% Configuration des hyperliens
	62	+% ------------------------------------------------------------------------
	63	+\hypersetup{
	64	+ colorlinks=true, % Les liens sont colorés
	65	+ linkcolor=blue, % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)
	66	+ urlcolor=blue, % Couleur des URL
	67	+ citecolor=blue, % Couleur des citations
	68	+ filecolor=blue, % Couleur des liens vers des fichiers
	69	+ pdfborder={0 0 0}, % Pas de bordure autour des liens
	70	+ breaklinks=true % Permet les sauts de ligne dans les liens
	71	+}
	72	+
	73	+% ------------------------------------------------------------------------
	74	+% Configuration des en-têtes et pieds de page
	75	+% ------------------------------------------------------------------------
	76	+\pagestyle{fancy}
	77	+\fancyhf{}
	78	+\fancyhead[L]{Tests d'Hypothèses}
	79	+\fancyhead[R]{Hiver 2025}
	80	+\fancyfoot[C]{\thepage}
	81	+\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite
	82	+
	83	+% ------------------------------------------------------------------------
	84	+% Informations sur le document
	85	+% ------------------------------------------------------------------------
	86	+\title{Tests d'Hypothèses}
	87	+\author{GSF-6053}
	88	+\date{Hiver 2025}
	89	+
	90	+% ------------------------------------------------------------------------
	91	+% Début du document
	92	+% ------------------------------------------------------------------------
	93	+\begin{document}
	94	+
	95	+\maketitle
	96	+
	97	+\tableofcontents
	98	+\newpage
	99	+
	100	+% Augmenter l'interligne à 1,5
	101	+\onehalfspacing
	102	+
	103	+% ------------------------------------------------------------------------
	104	+% SECTION : Économétrie financière I GSF 6053
	105	+% ------------------------------------------------------------------------
	106	+
	107	+\section{Introduction}
	108	+
	109	+Ce document présente une étude approfondie des tests d'hypothèses en économétrie financière, en mettant l'accent sur les tests de Student. Il est structuré en trois parties principales : une introduction aux tests d'hypothèses, une application pratique des tests de Student dans le cadre du CAPM, et les solutions détaillées des exercices proposés.
	110	+
	111	+% ------------------------------------------------------------------------
	112	+% SECTION 1 : Tests d'Hypothèses
	113	+% ------------------------------------------------------------------------
	114	+\section{Tests d'Hypothèses}
	115	+
	116	+Les tests d'hypothèses sont des outils fondamentaux en économétrie pour évaluer la validité des suppositions concernant les paramètres d'un modèle. Ils permettent de prendre des décisions éclairées basées sur les données observées. Cette section détaille les étapes essentielles pour réaliser un test d'hypothèse efficace.
	117	+
	118	+\subsection{Introduction aux Tests d'Hypothèses}
	119	+
	120	+Un test d’hypothèse consiste à formuler deux hypothèses contradictoires : l'hypothèse nulle ($H_0$) et l'hypothèse alternative ($H_1$). Le but est de déterminer si les données disponibles permettent de rejeter $H_0$ en faveur de $H_1$.
	121	+
	122	+\subsubsection{Formulation des Hypothèses}
	123	+
	124	+\begin{itemize}
	125	+ \item \textbf{Hypothèse nulle ($H_0$)} : C'est l'hypothèse de base que l'on cherche à tester. Elle représente souvent une situation de statu quo ou une absence d'effet. Par exemple, $H_0$ pourrait stipuler qu'un paramètre est égal à une valeur spécifique ou qu'il n'a pas d'effet significatif.
	126	+ \item \textbf{Hypothèse alternative ($H_1$)} : Elle représente ce que l'on cherche à prouver. $H_1$ peut être bilatérale (différent de) ou unilatérale (supérieur à ou inférieur à).
	127	+\end{itemize}
	128	+
	129	+\subsubsection{Types de Tests}
	130	+
	131	+\begin{itemize}
	132	+ \item \textbf{Test Bilatéral} : Utilisé lorsque l'hypothèse alternative indique une différence dans les deux sens ($ \neq $).
	133	+ \item \textbf{Test Unilatéral} : Utilisé lorsque l'hypothèse alternative spécifie une direction particulière ($ > $ ou $ < $).
	134	+\end{itemize}
	135	+
	136	+\subsection{Étapes d'un Test d'Hypothèse}
	137	+
	138	+Pour effectuer un test d'hypothèse, suivez les étapes suivantes :
	139	+
	140	+\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
	141	+ \item \textbf{Formulation des Hypothèses} : Définir clairement $H_0$ et $H_1$.
	142	+ \item \textbf{Choix de la Statistique de Test} : Sélectionner une statistique appropriée (t, F, Wald, LR, LM, etc.) en fonction du modèle et des hypothèses.
	143	+ \item \textbf{Détermination du Niveau de Significativité ($\alpha$)} : Choisir le seuil de probabilité pour rejeter $H_0$. Les niveaux courants sont 5\%, 1\% ou 10\%.
	144	+ \item \textbf{Définition de la Région Critique} : Déterminer les valeurs critiques de la statistique de test qui délimitent la région où $H_0$ sera rejetée.
	145	+ \item \textbf{Calcul de la Statistique de Test} : Utiliser les données de l'échantillon pour calculer la valeur de la statistique de test.
	146	+ \item \textbf{Prise de Décision} : Comparer la statistique de test avec les valeurs critiques pour décider de rejeter ou non $H_0$.
	147	+\end{enumerate}
	148	+
	149	+\subsection{Interprétation des Résultats}
	150	+
	151	+\begin{itemize}
	152	+ \item \textbf{Rejet de $H_0$} : Si la statistique de test tombe dans la région critique, on rejette $H_0$ en faveur de $H_1$.
	153	+ \item \textbf{Non-rejet de $H_0$} : Si la statistique de test ne tombe pas dans la région critique, on ne dispose pas de preuves suffisantes pour rejeter $H_0$.
	154	+\end{itemize}
	155	+
	156	+\subsection{La p-value}
	157	+
	158	+La p-value est une mesure cruciale dans les tests d'hypothèses. Elle représente la probabilité d'observer une statistique de test au moins aussi extrême que celle obtenue, sous l'hypothèse que $H_0$ est vraie.
	159	+
	160	+\begin{itemize}
	161	+ \item \textbf{Interprétation} :
	162	+ \begin{itemize}
	163	+ \item Une p-value faible ($< \alpha$) indique que l'observation est peu probable sous $H_0$, suggérant le rejet de $H_0$.
	164	+ \item Une p-value élevée ($\geq \alpha$) suggère que l'observation est compatible avec $H_0$, et donc, on ne rejette pas $H_0$.
	165	+ \end{itemize}
	166	+ \item \textbf{Utilisation} : Plutôt que de comparer directement la statistique de test aux valeurs critiques, on peut utiliser la p-value pour évaluer la force des preuves contre $H_0$.
	167	+\end{itemize}
	168	+
	169	+\subsection{Erreur de Type I et Type II}
	170	+
	171	+\begin{itemize}
	172	+ \item \textbf{Erreur de Type I ($\alpha$)} : Rejeter $H_0$ alors qu'il est vrai.
	173	+ \item \textbf{Erreur de Type II ($\beta$)} : Ne pas rejeter $H_0$ alors qu'il est faux.
	174	+\end{itemize}
	175	+
	176	+\subsection{Puissance du Test}
	177	+
	178	+La puissance d'un test est la probabilité de rejeter $H_0$ lorsqu'il est effectivement faux ($1 - \beta$). Une puissance élevée est souhaitable car elle indique une forte capacité à détecter un effet lorsque celui-ci existe.
	179	+
	180	+% ------------------------------------------------------------------------
	181	+% SECTION 2 : Application : Tests de Student
	182	+% ------------------------------------------------------------------------
	183	+\section{Application : Tests de Student}
	184	+
	185	+Les tests de Student, ou tests t, sont couramment utilisés pour évaluer la significativité des coefficients dans les modèles de régression linéaire. Ils permettent de déterminer si un paramètre est statistiquement différent d'une valeur hypothétique (généralement zéro).
	186	+
	187	+\subsection{Contexte de l'Application}
	188	+
	189	+Nous disposons des résultats d'une régression linéaire estimant le Modèle d'Évaluation des Actifs Financiers (CAPM) pour Bombardier avec 120 observations mensuelles. Les résultats de la régression sont les suivants :
	190	+
	191	+\begin{landscape}
	192	+\begin{table}[h!]
	193	+ \centering
	194	+ \begin{tabular}{lcccc}
	195	+ \toprule
	196	+ \textbf{Call:} & \multicolumn{4}{c}{\texttt{lm(formula = r\_b \textasciitilde{} r\_m, data = data)}} \\
	197	+ \midrule
	198	+ \textbf{Residuals:} & \multicolumn{4}{c}{Min -0.25289, 1Q -0.09023, Median -0.02297, 3Q 0.07237, Max 0.38469} \\
	199	+ \midrule
	200	+ \textbf{Coefficients:} & \textbf{Estimate} & \textbf{Std. Error} & \textbf{t value} & \textbf{Pr(>\|t\|)} \\
	201	+ \midrule
	202	+ (Intercept) & -0.15834 & 0.01213 & -13.057 & $<2\times10^{-16}$\textsuperscript{***} \\
	203	+ r\_m & 1.87996 & 0.65239 & 2.882 & 0.0047\textsuperscript{**} \\
	204	+ \bottomrule
	205	+ \end{tabular}
	206	+ \caption{Résultats de la régression CAPM pour Bombardier}
	207	+\end{table}
	208	+\end{landscape}
	209	+
	210	+\noindent \textbf{Note :} Les codes de significativité sont les suivants : $^{*}$ p $< 0.001$, $^{}$ p $< 0.01$, $^{*}$ p $< 0.05$.
	211	+
	212	+\subsection{Objectifs des Tests}
	213	+
	214	+Réaliser les tests suivants à un niveau de significativité de 5\% :
	215	+
	216	+\begin{enumerate}
	217	+ \item Tester, à l'aide d'une statistique de Student, si l'intercept ($\beta_0$) est nul.
	218	+ \item Tester si l'intercept ($\beta_0$) est plus grand ou égal à 0.
	219	+ \item Tester si le coefficient bêta de Bombardier ($\beta_1$) est plus petit ou égal au bêta du marché ($\beta_m = 1$).
	220	+ \item Tester si le coefficient bêta de Bombardier ($\beta_1$) est égal au bêta du marché ($\beta_m = 1$).
	221	+ \item Tester si le coefficient bêta de Bombardier ($\beta_1$) est plus grand ou égal au bêta du marché ($\beta_m = 1$).
	222	+\end{enumerate}
	223	+
	224	+\subsection{Résultats des Tests}
	225	+
	226	+Les résultats des tests d'hypothèses sont présentés dans le tableau suivant :
	227	+
	228	+\begin{landscape}
	229	+\begin{table}[h!]
	230	+ \centering
	231	+ \begin{tabular}{@{}llll@{}}
	232	+ \toprule
	233	+ \textbf{Test} & \textbf{Statistique t} & \textbf{Valeur Critique} & \textbf{Décision} \\ \midrule
	234	+ a) Bilatéral : $\beta_0 = 0$ & -13.057 & 1.980 & Rejeter $H_0$ \\
	235	+ b) Unilatéral gauche : $\beta_0 \geq 0$ & -13.057 & -1.658 & Rejeter $H_0$ \\
	236	+ c) Unilatéral droite : $\beta_1 \leq 1$ & 1.349 & 1.658 & Ne pas rejeter $H_0$ \\
	237	+ d) Bilatéral : $\beta_1 = 1$ & 1.349 & 1.980 & Ne pas rejeter $H_0$ \\
	238	+ e) Unilatéral gauche : $\beta_1 \geq 1$ & 1.349 & -1.658 & Ne pas rejeter $H_0$ \\ \bottomrule
	239	+ \end{tabular}
	240	+ \caption{Résumé des tests d'hypothèses réalisés}
	241	+\end{table}
	242	+\end{landscape}
	243	+
	244	+\subsection{Interprétation Économique}
	245	+
	246	+Les résultats indiquent que :
	247	+
	248	+\begin{itemize}
	249	+ \item \textbf{Intercept ($\beta_0$)} :
	250	+ \begin{itemize}
	251	+ \item \textbf{Test a)} : Nous rejetons $H_0$ bilatéralement, ce qui suggère que l'intercept est significativement différent de zéro.
	252	+ \item \textbf{Test b)} : Nous rejetons $H_0$ unilatéralement, indiquant que l'intercept est significativement inférieur à zéro.
	253	+ \end{itemize}
	254	+ \item \textbf{Bêta ($\beta_1$)} :
	255	+ \begin{itemize}
	256	+ \item \textbf{Test c)} : Nous ne rejetons pas $H_0$ unilatéralement, ce qui suggère que $\beta_1$ n'est pas significativement supérieur à 1.
	257	+ \item \textbf{Test d)} : Nous ne rejetons pas $H_0$ bilatéralement, indiquant que $\beta_1$ n'est pas significativement différent de 1.
	258	+ \item \textbf{Test e)} : Nous ne rejetons pas $H_0$ unilatéralement, ce qui suggère que $\beta_1$ n'est pas significativement inférieur à 1.
	259	+ \end{itemize}
	260	+\end{itemize}
	261	+
	262	+Ces résultats suggèrent que le modèle CAPM estimé pour Bombardier présente un intercept négatif significatif, mais le coefficient bêta n'est pas significativement différent de celui du marché ($\beta_m = 1$). Cela indique que Bombardier présente une sensibilité similaire aux mouvements du marché, conformément aux attentes du modèle CAPM.
	263	+
	264	+% ------------------------------------------------------------------------
	265	+% SECTION 3 : Solutions
	266	+% ------------------------------------------------------------------------
	267	+\section*{Solutions}
	268	+\addcontentsline{toc}{section}{Solutions}
	269	+
	270	+\subsection*{a) Test bilatéral sur l'intercept ($\beta_0 = 0$)}
	271	+\[
	272	+H_0 : \beta_0 = 0 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_0 \neq 0
	273	+\]
	274	+
	275	+\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}
	276	+\[
	277	+t = \frac{\hat{\beta}_0 - 0}{SE(\hat{\beta}_0)} = \frac{-0.15834}{0.01213} \approx -13.057
	278	+\]
	279	+
	280	+\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}
	281	+Pour un test bilatéral avec un niveau de significativité de 5\% et 118 degrés de liberté ($df = 118$), la valeur critique est approximativement 1.980.
	282	+
	283	+\subsubsection*{Prise de Décision}
	284	+\[
	285	+\|t\| = 13.057 > 1.980 \Rightarrow \text{Rejeter } H_0
	286	+\]
	287	+
	288	+\text{Conclusion : L'intercept est significativement différent de zéro.}
	289	+
	290	+\subsection*{b) Test unilatéral que l’intercept est plus grand ou égal à 0 ($\beta_0 \geq 0$)}
	291	+\[
	292	+H_0 : \beta_0 \geq 0 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_0 < 0
	293	+\]
	294	+
	295	+\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}
	296	+\[
	297	+t = \frac{\hat{\beta}_0 - 0}{SE(\hat{\beta}_0)} = \frac{-0.15834}{0.01213} \approx -13.057
	298	+\]
	299	+
	300	+\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}
	301	+Pour un test unilatéral à gauche avec $\alpha = 5\%$ et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ -1.658.
	302	+
	303	+\subsubsection*{Prise de Décision}
	304	+\[
	305	+t = -13.057 < -1.658 \Rightarrow \text{Rejeter } H_0
	306	+\]
	307	+
	308	+\textbf{Conclusion} : L'intercept est significativement inférieur à zéro.
	309	+
	310	+\subsection*{c) Test unilatéral pour tester si $\beta_1 \leq 1$}
	311	+\[
	312	+H_0 : \beta_1 \leq 1 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_1 > 1
	313	+\]
	314	+
	315	+\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}
	316	+\[
	317	+t = \frac{\hat{\beta}_1 - 1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{1.87996 - 1}{0.65239} \approx 1.349
	318	+\]
	319	+
	320	+\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}
	321	+Pour un test unilatéral à droite avec $\alpha = 5\%$ et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ 1.658.
	322	+
	323	+\subsubsection*{Prise de Décision}
	324	+\[
	325	+t = 1.349 < 1.658 \Rightarrow \text{Ne pas rejeter } H_0
	326	+\]
	327	+
	328	+\textbf{Conclusion} : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que le bêta de Bombardier est supérieur à 1.
	329	+
	330	+\subsection*{d) Test bilatéral pour tester si $\beta_1 = 1$}
	331	+\[
	332	+H_0 : \beta_1 = 1 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_1 \neq 1
	333	+\]
	334	+
	335	+\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}
	336	+\[
	337	+t = \frac{\hat{\beta}_1 - 1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{1.87996 - 1}{0.65239} \approx 1.349
	338	+\]
	339	+
	340	+\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}
	341	+Pour un test bilatéral avec $\alpha = 5\%$ et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ 1.980.
	342	+
	343	+\subsubsection*{Prise de Décision}
	344	+\[
	345	+\|t\| = 1.349 < 1.980 \Rightarrow \text{Ne pas rejeter } H_0
	346	+\]
	347	+
	348	+\textbf{Conclusion} : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que le bêta de Bombardier est différent de 1.
	349	+
	350	+\subsection*{e) Test unilatéral pour tester si $\beta_1 \geq 1$}
	351	+\[
	352	+H_0 : \beta_1 \geq 1 \quad \text{contre} \quad H_1 : \beta_1 < 1
	353	+\]
	354	+
	355	+\subsubsection*{Calcul de la Statistique de Test}
	356	+\[
	357	+t = \frac{\hat{\beta}_1 - 1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{1.87996 - 1}{0.65239} \approx 1.349
	358	+\]
	359	+
	360	+\subsubsection*{Détermination de la Valeur Critique}
	361	+Pour un test unilatéral à gauche avec $\alpha = 5\%$ et 118 degrés de liberté, la valeur critique est environ -1.658.
	362	+
	363	+\subsubsection*{Prise de Décision}
	364	+\[
	365	+t = 1.349 > -1.658 \Rightarrow \text{Ne pas rejeter } H_0
	366	+\]
	367	+
	368	+\textbf{Conclusion} : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que le bêta de Bombardier est inférieur à 1.
	369	+
	370	+% ------------------------------------------------------------------------
	371	+% SECTION : Bibliographie
	372	+% ------------------------------------------------------------------------
	373	+\section*{Bibliographie}
	374	+\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}
	375	+
	376	+\begin{thebibliography}{9}
	377	+
	378	+\bibitem{GujaratiPorter}
	379	+Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
	380	+
	381	+\bibitem{Wooldridge}
	382	+Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
	383	+
	384	+\bibitem{Greene}
	385	+Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.
	386	+
	387	+\bibitem{StockWatson}
	388	+Stock, J. H., \& Watson, M. W. (2015). \textit{Introduction to Econometrics}. Pearson.
	389	+
	390	+\bibitem{Hamilton}
	391	+Hamilton, J. D. (1994). \textit{Time Series Analysis}. Princeton University Press.
	392	+
	393	+\end{thebibliography}
	394	+
	395	+\end{document}

added NOTE/S3/README.md +31 −0

		`@@ -0,0 +1,31 @@`
	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📖 NOTE — Séance 3 : Tests d'hypothèses et ANOVA
	10	+
	11	+Notes de cours (sources LaTeX) de la troisième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Document \| Description \|
	16	+\|---------\|----------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_NOTE_Test_hypothèse/` \| Tests d'hypothèses \| Théorie des tests : hypothèses nulle et alternative, erreurs de type I/II, puissance, p-value, tests t et F, intervalles de confiance \|
	18	+\| `GSF6053_H25_NOTE_ANOVA/` \| ANOVA \| Analyse de la variance : décomposition SST = SSE + SSR, coefficient de détermination R², test F global et tests de restrictions \|
	19	+
	20	+## Compilation
	21	+
	22	+```bash
	23	+cd GSF6053_H25_NOTE_ANOVA && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	24	+```
	25	+
	26	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	27	+
	28	+---
	29	+
	30	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	31	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

added NOTE/S4/GSF6053_H25_NOTE_MCG/logo_universite_laval.png +0 −0

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added NOTE/S4/GSF6053_H25_NOTE_MCG/main.tex +469 −0

		`@@ -0,0 +1,469 @@`
	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnements mathématiques enrichis
	16	+\usepackage{amsthm} % Environnements théorèmes
	17	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	18	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
	19	+\usepackage{geometry} % Gestion des marges
	20	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
	21	+\usepackage{setspace} % Gestion de l'interligne
	22	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	23	+\usepackage{booktabs} % Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+\usepackage{enumitem} % Pour personnaliser les listes
	28	+\usepackage{pdflscape} % Pour placer les tableaux en paysage
	29	+
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+% Configuration de la mise en page
	32	+% ------------------------------------------------------------------------
	33	+\geometry{
	34	+ a4paper,
	35	+ margin=25mm
	36	+}
	37	+
	38	+% ------------------------------------------------------------------------
	39	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
	40	+% ------------------------------------------------------------------------
	41	+\theoremstyle{definition}
	42	+\newtheorem{definition}{Définition}[section]
	43	+
	44	+\theoremstyle{plain}
	45	+\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
	46	+\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
	47	+
	48	+% ------------------------------------------------------------------------
	49	+% Personnalisation des sections
	50	+% ------------------------------------------------------------------------
	51	+\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}
	52	+\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
	53	+\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
	54	+
	55	+% ------------------------------------------------------------------------
	56	+% Commande pour mettre en avant les livres en bleu
	57	+% ------------------------------------------------------------------------
	58	+\newcommand{\livre}[1]{\textcolor{blue}{#1}}
	59	+
	60	+% ------------------------------------------------------------------------
	61	+% Configuration des hyperliens
	62	+% ------------------------------------------------------------------------
	63	+\hypersetup{
	64	+ colorlinks=true, % Les liens sont colorés
	65	+ linkcolor=blue, % Couleur des liens internes (TOC, références, etc.)
	66	+ urlcolor=blue, % Couleur des URL
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	69	+ pdfborder={0 0 0}, % Pas de bordure autour des liens
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	71	+}
	72	+
	73	+% ------------------------------------------------------------------------
	74	+% Configuration des en-têtes et pieds de page
	75	+% ------------------------------------------------------------------------
	76	+\pagestyle{fancy}
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	78	+\fancyhead[L]{Moindres Carrés Généralisés}
	79	+\fancyhead[R]{Hiver 2025}
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	81	+\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite
	82	+
	83	+% ------------------------------------------------------------------------
	84	+% Informations sur le document
	85	+% ------------------------------------------------------------------------
	86	+\title{\Huge Moindres Carrés Généralisés}
	87	+\author{GSF-6053}
	88	+\date{Hiver 2025}
	89	+
	90	+% ------------------------------------------------------------------------
	91	+% Début du document
	92	+% ------------------------------------------------------------------------
	93	+\begin{document}
	94	+
	95	+\maketitle
	96	+
	97	+\tableofcontents
	98	+\newpage
	99	+
	100	+% Augmenter l'interligne à 1,5
	101	+\onehalfspacing
	102	+
	103	+% ------------------------------------------------------------------------
	104	+% SECTION 1 : Tests et Analyse de Variance
	105	+% ------------------------------------------------------------------------
	106	+\section{Introduction}
	107	+
	108	+\livre{Gujarati et Porter} : Chapitres 10, 11, 12, 13 et appendice C.
	109	+
	110	+\livre{Version 7 de Greene} : 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20 C et D.
	111	+
	112	+\livre{Wooldridge} : chapitres 3, 8, 12.
	113	+
	114	+Nous avons maintenant dérivé les estimateurs moindres carrés ordinaires et maximum de vraisemblance pour le modèle linéaire classique. Il est important de réaliser que la performance de ces estimateurs dépend de la pertinence des hypothèses faites pour arriver à ce résultat.
	115	+
	116	+Qu’arrive-t-il si les hypothèses ne sont plus appropriées ? Comment « sauver » nos estimateurs ? C’est ce que nous regarderons maintenant.
	117	+
	118	+\section{Multicolinéarité et Problèmes de Spécification}
	119	+
	120	+\subsection{Multicolinéarité}
	121	+
	122	+\textit{\livre{Gujarati et Porter} chapitre 10.}
	123	+
	124	+\textit{\livre{Wooldridge} : chapitre 3. (dont 3.4a et MLR.3)}
	125	+
	126	+Une des hypothèses du modèle linéaire classique est qu’il n’y a pas de colinéarité parfaite entre les variables explicatives dans la matrice $X$. Si les régresseurs sont linéairement dépendants, nous aurons la relation suivante :
	127	+
	128	+\[
	129	+\lambda_1 X_1 + \lambda_2 X_2 + \dots + \lambda_K X_K = 0
	130	+\]
	131	+
	132	+Alors la matrice $(X'X)$ n’est plus de plein rang colonne et n’est pas inversible, car une des colonnes peut être écrite en fonction linéaire des autres. Il survient alors un problème majeur au niveau de l’identification des paramètres.
	133	+
	134	+De plus, la multicolinéarité « imparfaite » est aussi importante :
	135	+
	136	+\begin{align*}
	137	+\lambda_1 X_1 + \lambda_2 X_2 + \dots + \lambda_K X_K + v_i &= 0 \\
	138	+\end{align*}
	139	+
	140	+Où les régresseurs ne sont pas parfaitement corrélés, mais fortement corrélés à un choc près.
	141	+
	142	+Au chapitre 3, nous démontrons qu’en présence de plusieurs régresseurs, la variance des estimateurs $\hat{\beta}$ est la suivante :
	143	+
	144	+\begin{align*}
	145	+\text{var}(\hat{\beta}) &= \frac{\sigma^2}{\text{SST}_j} \frac{1}{1 - R^2} \\
	146	+\text{SST}_j &= \sum_{i=1}^{T} (x_{ij} - \bar{x}_j)^2
	147	+\end{align*}
	148	+
	149	+(Où $R^2$ est le $R^2$ de la régression de $X_j$ sur les $K-2$ variables restantes et SSTj est la somme des variations totale dans la variable $j$.)
	150	+
	151	+On voit donc que si l’on peut écrire le régresseur $j$ parfaitement en fonction des autres régresseurs, la variance de son estimateur $\text{var}(\hat{\beta})$, est infinie puisque $R^2 = 1$. Ce problème ne viole pas l'hypothèse du modèle linéaire simple (puisque la collinéarité est imparfaite), mais le problème sera aussi important en cas de multicolinéarité imparfaite puisque le $R^2$ sera très élevé et la variance de l’estimateur le sera aussi. Le problème de multicolinéarité est donc sévère, car il influence la variance des estimateurs même si la corrélation n’est pas parfaite entre les régresseurs.
	152	+
	153	+Notez que la multicolinéarité parfaite aura aussi un impact sur les estimateurs des MCO qui exploitent l’inversibilité de la matrice $(X'X)$. Si cette matrice ne s’inverse pas, vous n’aurez pas d’estimateurs MCO avec $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$.
	154	+
	155	+Dans le cas de multicolinéarité imparfaite, il faut noter que les estimateurs OLS ne perdront pas la propriété BLUE, mais \textbf{CE LA NE VEUT PAS DIRE QUE LA VARIANCE DES ESTIMATEURS SERA ASSEZ PETITE POUR PERMETTRE UNE ANALYSE}. Les bonnes propriétés du OLS BLUE ne vous seront pas d’une grande consolation si les écarts types sont tellement grands qu’ils ne permettent de rejeter aucune hypothèse nulle.
	156	+
	157	+\subsubsection{Comment Détecter la Multicolinéarité?}
	158	+
	159	+Les causes de multicolinéarité sont multiples et souvent difficiles à identifier. Par exemple, avoir un échantillon qui varie peu en $X$ ou qui est contraint en $X$. Ajouter des régresseurs en polynômes peut créer des problèmes. Un modèle comportant trop de régresseurs par rapport aux nombres d’observations sera problématique également. Une tendance commune dans les données peut également poser problème.
	160	+
	161	+Des situations qui soulèvent des doutes sur la colinéarité des régresseurs et qui suggèrent un problème :
	162	+\begin{itemize}
	163	+ \item Des petits changements dans les données produisent des changements importants dans les estimations.
	164	+ \item Les coefficients $\hat{\beta}_k$ ont des écarts types très élevés et peu de significativité individuelle, même si le test F et le $R^2$ de la régression sont bons.
	165	+ \item Les coefficients sont douteux économiquement, ils ont le mauvais signe ou une magnitude qui ne fait pas de sens économique.
	166	+ \item Des corrélations élevées entre les régresseurs.
	167	+ \item Regarder les VIF (Variance Inflation Factors) : $VIF_j = \frac{1}{1 - R^2}$. Il faut que ce coefficient soit le plus petit possible. Par contre, il y a un flou sur ce que veut dire le plus petit possible.
	168	+\end{itemize}
	169	+
	170	+Une façon de diagnostiquer la multicolinéarité est de pratiquer des régressions auxiliaires sur les régresseurs les uns sur les autres. Si vous êtes capable de rejeter l’hypothèse nulle de non-significativité conjointe des autres régresseurs sur un régresseur en particulier, cela suggère de la multicolinéarité. Une règle du pouce connue est de regarder les $R^2$ de la régression d’intérêt et des régressions auxiliaires. Le $R^2$ de la régression d’intérêt devrait être plus grand que ceux des régressions auxiliaires.
	171	+
	172	+\subsubsection{Quoi Faire en Présence de Multicolinéarité?}
	173	+
	174	+\begin{itemize}
	175	+ \item Rien… La multicolinéarité est un problème lié à votre échantillon de données. Vous n’avez pas de contrôle sur les valeurs observées… Si votre objectif est de faire de la prévision plutôt que des tests d’hypothèses, la multicolinéarité imparfaite ne vous en empêchera pas.
	176	+ \item Spécifier la forme de dépendance et ajuster le modèle en conséquence. Le problème ici est que nous voulons tester plutôt qu’imposer des contraintes.
	177	+ \item Utiliser des données et une analyse Panel plutôt que les séries chronologiques.
	178	+ \item Retirer des variables du modèle reste la solution la plus simple, mais cela peut introduire un biais de variables omises (voir plus bas).
	179	+ \item Transformer le modèle, ce qui peut entrainer des problèmes d’hétéroscédasticité.
	180	+ \item Trouver de nouvelles données.
	181	+ \item Enlever les régresseurs en polynômes.
	182	+\end{itemize}
	183	+
	184	+\subsection{Problèmes de Spécification}
	185	+
	186	+\textit{\livre{Gujarati et Porter} chapitre 13. \livre{Wooldridge} : Chapitre 3.}
	187	+
	188	+Le modèle des OLS postule que nous avons la forme « vraie » fonctionnelle qui définit la relation entre $Y$ et des régresseurs $X$. Mais comment savoir si nous avons les bons $X$ ? Quels sont les impacts de se tromper dans le choix de $X$ ?
	189	+
	190	+Nous étudions maintenant ces questions. Avant de commencer, il est important de comprendre qu’une grosse partie de la tâche d’économètre se trouve dans cette question. De façon générale, nous avons les guides suivants pour choisir les variables explicatives :
	191	+\begin{itemize}
	192	+ \item Le modèle doit être admissible et possible à tester.
	193	+ \item Le modèle doit être cohérent avec la théorie économique et financière.
	194	+ \item Choisir des régresseurs exogènes au terme d’erreur.
	195	+ \item Les paramètres estimés doivent être stables empiriquement.
	196	+ \item Les résidus de régression. Sinon, on peut revisiter la spécification de $X$ ou si elle est correcte corriger pour la non-sphéricité des erreurs.
	197	+\end{itemize}
	198	+
	199	+\subsubsection{Omission d’une Variable Explicative Importante}
	200	+
	201	+\textit{\livre{Wooldridge} 3.3b et 3.3c}
	202	+
	203	+Que se passe-t-il si j’omets une variable explicative importante ? Considérons un modèle simple où le vrai modèle est :
	204	+
	205	+\[
	206	+Y_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t
	207	+\]
	208	+
	209	+Je roule la régression suivante à la place :
	210	+
	211	+\[
	212	+Y_t = \beta_1 X_{1t} + u_t
	213	+\]
	214	+
	215	+En sachant que $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$
	216	+
	217	+Récrivons cette expression en remplaçant $Y$ par son vrai modèle :
	218	+
	219	+\begin{align*}
	220	+\hat{\beta}_1 &= \frac{X'_1 Y}{X'_1 X_1} \\
	221	+&= \frac{X'_1 (\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + u)}{X'_1 X_1} \\
	222	+&= \beta_1 + \beta_2 \frac{X'_1 X_2}{X'_1 X_1} + \frac{X'_1 u}{X'_1 X_1}
	223	+\end{align*}
	224	+
	225	+Sachant que $X'_1 X_2$ est le coefficient de régression de $X_2$ sur $X_1$, noté $b$, nous avons :
	226	+
	227	+\[
	228	+E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + \beta_2 b
	229	+\]
	230	+
	231	+\textbf{Conclusion} : $\hat{\beta}_1$ sera un estimateur biaisé de $\beta_1$. Le biais dépend du coefficient de la variable omise et du coefficient de la régression de la variable omise sur les variables incluses. Plus les régresseurs sont corrélés, plus ce biais sera important.
	232	+
	233	+Par contre, de l'équation 1.1, on sait que la variance du modèle avec un seul régresseur sera plus petite. Par conséquent, il y a en apparence un gain dans la variance des estimateurs lorsque des coefficients sont omis. Le problème est que nous ne savons pas comment se comporte le biais. Omettre des variables va aussi faire augmenter $\sigma^2$ ce qui aura un effet pervers sur la variance.
	234	+
	235	+Donc, l’inférence en présence d'une variable omise sera fallacieuse et les prédictions du modèle seront mauvaises, puisqu’elles seront basées sur un mauvais modèle.
	236	+
	237	+\subsubsection{Inclusion d’une Variable Non Pertinente}
	238	+
	239	+\textit{\livre{Wooldridge} 3.3a}
	240	+
	241	+On suppose que le modèle suivant est vrai :
	242	+
	243	+\[
	244	+Y_t = \beta_1 X_{1t} + u_t
	245	+\]
	246	+
	247	+À la place, nous estimons :
	248	+
	249	+\[
	250	+Y_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t
	251	+\]
	252	+
	253	+Quelles sont les conséquences de cette erreur de spécification sur $\hat{\beta}_{OLS}$ ?
	254	+
	255	+Soient les régresseurs $X_1$ et $X_2$. On peut réécrire les régresseurs du vrai modèle comme
	256	+
	257	+\[
	258	+X^* = \begin{bmatrix} X_1 \\ 0 \end{bmatrix}
	259	+\]
	260	+
	261	+Avec les
	262	+
	263	+\[
	264	+\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y
	265	+\]
	266	+
	267	+\[
	268	+\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'(\beta_1 X_1 + u)
	269	+\]
	270	+
	271	+\[
	272	+\hat{\beta} = \begin{bmatrix} \beta_1 \\ 0 \end{bmatrix} + (X'X)^{-1}X'u
	273	+\]
	274	+
	275	+\[
	276	+E(\hat{\beta}) = \begin{bmatrix} \beta_1 \\ 0 \end{bmatrix}
	277	+\]
	278	+
	279	+L’estimateur de $\hat{\beta}$ restera un estimateur sans biais. Pour cette raison, la littérature a souvent suggéré d’inclure plus de variables dans le doute pour ne pas en omettre.
	280	+
	281	+Par contre, la formule 1.1 nous démontre encore que le VIF avec des variables redondantes sera plus grand et que cela fera grandir les variances.
	282	+
	283	+Cette approche est aussi remise en question dans la littérature récente : on remarque que les variables redondantes causent beaucoup de problèmes d’identification plus sérieux encore que la multicolinéarité, car elles sont très difficiles à détecter (\textit{Beaulieu, Dufour et Khalaf}, 2010 et application dans \textit{Beaulieu, Gagnon et Khalaf} 2014) ainsi que des problèmes d’estimation et de convergence (\textit{Kan et Zhang} 1999a et 1999b).
	284	+
	285	+Il n’est donc pas recommandé d’ajouter des variables sans avoir un indice économique sérieux qu’elles doivent être incluses dans le modèle.
	286	+
	287	+\section{Erreurs Non-Sphériques}
	288	+
	289	+\textit{\livre{Gujarati et Porter} Chapitres 11 et 12. \livre{Wooldridge} chapitres 8 et 12.}
	290	+
	291	+\subsection{Moindres Carrés Généralisés}
	292	+
	293	+\subsubsection{Introduction}
	294	+
	295	+Jusqu’à maintenant, le modèle linéaire comporte des hypothèses très strictes sur la matrice de variance covariance des erreurs du modèle. Celle-ci est diagonale et de forme $E(uu') = V = \sigma^2 I_T$. Cela implique que les erreurs du modèle sont dites homoscédastiques, c’est-à-dire que sa variance est constante dans le temps, ne dépend pas de variables exogènes et n’est pas autocorrélée. C’est une hypothèse distributionnelle très forte surtout en coupe transversale. Les raisons pour rencontrer des erreurs non stochastiques sont nombreuses : meilleure collection des données dans le temps (l’erreur devrait donc diminuer), présence d’observations adhérentes ou d’outliers, les agents apprennent avec le temps et les déviations au modèle deviennent plus petites, mauvaise spécification du modèle, mauvaise spécification des moments supérieurs de la distribution des erreurs, etc.
	296	+
	297	+Nous allons maintenant dériver les estimateurs pour des formes de matrices variance covariance des erreurs plus générales.
	298	+
	299	+Soit le modèle suivant :
	300	+
	301	+\[
	302	+Y = X\beta + u
	303	+\]
	304	+
	305	+\begin{align*}
	306	+E(uu') &= V \\
	307	+&= \sigma^2 \Omega
	308	+\end{align*}
	309	+
	310	+Où $\Omega$ est une matrice symétrique et inversible, mais n’est pas égale à la matrice d’identité. Cette formulation permet l’hétéroscédasticité des erreurs de plusieurs formes.
	311	+\begin{itemize}
	312	+ \item Hétéroscédasticité groupée de différentes formes,
	313	+ \item Corrélation sérielle des erreurs,
	314	+ \item Variance qui varie en fonction de variables exogènes,
	315	+ \item Effets ARCH, etc.
	316	+\end{itemize}
	317	+
	318	+\subsubsection{Implications de $\Omega \neq I$}
	319	+
	320	+Vérifions si l’estimateur des OLS reste sans biais et convergent lorsque la variance du terme d’erreur n’est plus homoscédastique.
	321	+
	322	+Soit le modèle :
	323	+
	324	+\[
	325	+Y = X\beta + u \quad E(uu') = V = \sigma^2 \Omega
	326	+\]
	327	+
	328	+D’abord, est-ce que l’estimateur OLS garde sa propriété sans biais si l’hypothèse que $\Omega = I$ n’est pas respectée ?
	329	+
	330	+\[
	331	+\hat{\beta}_{OLS} = (X'X)^{-1}X'Y
	332	+\]
	333	+
	334	+\[
	335	+\hat{\beta}_{OLS} = (X'X)^{-1}X'(X\beta + u) = \beta + (X'X)^{-1}X'u
	336	+\]
	337	+
	338	+On voit que comme la matrice de variance covariance des erreurs n’intervient pas dans le calcul de l’espérance de l’estimateur OLS, il est toujours sans biais.
	339	+
	340	+Ensuite, est-ce que la variance de l’estimateur OLS sera toujours la même ?
	341	+
	342	+\[
	343	+V(\hat{\beta}) = E[(\hat{\beta} - \beta)(\hat{\beta} - \beta)'] = E[(X'\Omega^{-1} X)^{-1}]
	344	+\]
	345	+
	346	+\[
	347	+V(\hat{\beta}) = (X'X)^{-1}X' E(uu') X (X'X)^{-1} = \sigma^2 (X'\Omega^{-1} X)^{-1}
	348	+\]
	349	+
	350	+Cet estimateur est problématique, car on ne peut pas le comparer à l’estimateur des OLS trouvé plus haut. On ne peut pas dire s’il est plus grand, plus petit et on ne peut donc pas appliquer la preuve du théorème de Gauss-Markov ni regarder la borne de Cramér-Rao.
	351	+
	352	+\subsection{Les Moindres Carrés Généralisés}
	353	+
	354	+Nous allons donc essayer de transformer le modèle pour le ramener dans un contexte où les OLS sont optimaux.
	355	+
	356	+\begin{align*}
	357	+\Omega \text{ inversible}, \quad & \exists \text{ une matrice } P \text{ telle que } \\
	358	+& P'P = PP' = \Omega \\
	359	+& \quad \leftrightarrow \quad \Omega^{-1} = [PP']^{-1} = [P']^{-1}P^{-1} \\
	360	+& \text{où } P \text{ n’est pas aléatoire.}
	361	+\end{align*}
	362	+
	363	+Considérons le modèle transformé :
	364	+
	365	+\[
	366	+P^{-1}Y = P^{-1}X\beta + P^{-1}u
	367	+\]
	368	+
	369	+La variance des erreurs sera donc :
	370	+
	371	+\begin{align*}
	372	+E\left[(P^{-1}u)(P^{-1}u)'\right] &= E\left(P^{-1}uu'(P^{-1})'\right) \\
	373	+&= P^{-1} E(uu') (P^{-1})' \\
	374	+&= P^{-1} \sigma^2 \Omega (P^{-1})' \\
	375	+&= \sigma^2 P^{-1} PP' (P^{-1})' \\
	376	+&= \sigma^2 I
	377	+\end{align*}
	378	+
	379	+Donc, l’estimateur OLS appliqué au modèle transformé sera optimal !
	380	+
	381	+Calculons cet estimateur :
	382	+
	383	+\begin{align*}
	384	+\hat{\beta}_{GLS} & = [(P^{-1}X)'(P^{-1}X)]^{-1}(P^{-1}X)'(P^{-1}Y) \\ &= [X'\Omega^{-1}X]^{-1}X'\Omega^{-1}Y
	385	+\end{align*}
	386	+
	387	+Si $\Omega$ (ou $P$) n’est pas connu, on le remplace par un estimé convergent $\hat{\Omega}$ ($\hat{P}$). L’estimateur des moindres carrés faisables ainsi obtenus sera dénoté :
	388	+
	389	+\[
	390	+\hat{\beta}_{FGLS} = [X'\hat{\Omega}^{-1}X]^{-1}X'\hat{\Omega}^{-1}Y
	391	+\]
	392	+
	393	+\[
	394	+\lim \hat{\beta}_{FGLS} = \beta
	395	+\]
	396	+
	397	+Ce résultat demande que $\hat{\Omega}$ soit convergent. Cet estimateur n’est pas optimal au sens de Cramér-Rao, il est optimal asymptotiquement.
	398	+
	399	+Note : nous n’avons pas encore rencontré la propriété de convergence. Un estimateur est convergent (consistent en anglais) si lorsque la taille de l’échantillon augmente vers l’infini, l’estimateur se concentre (converge) sur la vraie valeur du paramètre. Les conditions suffisantes pour la convergence en probabilité sont :
	400	+
	401	+\[
	402	+\lim_{T \to \infty} E(\hat{\beta}_T) = \beta
	403	+\]
	404	+
	405	+\[
	406	+\lim_{T \to \infty} \text{Var}(\hat{\beta}_T) = 0
	407	+\]
	408	+
	409	+Alors que l’efficacité est une propriété en échantillon fini (le nombre d’observations n’influence pas la propriété), la convergence est une propriété qui fait intervenir la loi des grands nombres et le théorème de limite centrale qui sont des résultats statistiques asymptotiques. C’est pour cette raison que c’est une propriété asymptotique des estimateurs. (\textit{voir chapitre 5 de Wooldridge})
	410	+
	411	+\subsubsection{Espérance et Variance des Estimateurs GLS}
	412	+
	413	+Si $\Omega$ est connu et non estimé,
	414	+
	415	+\begin{align*}
	416	+\hat{\beta}_{GLS} &= [X'\Omega^{-1}X]^{-1}X'\Omega^{-1}Y \\ &= [X'\Omega^{-1}X]^{-1}X'\Omega^{-1}(X\beta + u) \\ &= \beta + [X'\Omega^{-1}X]^{-1}X'\Omega^{-1}u
	417	+\end{align*}
	418	+
	419	+\[
	420	+E(\hat{\beta}_{GLS}) = \beta
	421	+\]
	422	+
	423	+\begin{align*}
	424	+V(\hat{\beta}_{GLS}) &= E[(\hat{\beta} - \beta)(\hat{\beta} - \beta)'] \\ &= E[(X'\Omega^{-1}X)^{-1}X'\Omega^{-1}u u'\Omega^{-1}X (X'\Omega^{-1}X)^{-1}]
	425	+\end{align*}
	426	+
	427	+\[
	428	+V(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X'\Omega^{-1}X)^{-1}
	429	+\]
	430	+
	431	+Note : il faut faire attention si on compare les variances des différents estimateurs. On a :
	432	+\begin{itemize}
	433	+ \item La variance des OLS sur le modèle standard sans hétéroscédasticité :
	434	+ \[
	435	+ V(\hat{\beta}_{OLS}) = \sigma^2 (X'X)^{-1}
	436	+ \]
	437	+ \item La variance des OLS avec hétéroscédasticité sur le modèle non transformé :
	438	+ \[
	439	+ V(\hat{\beta}_{OLS, HE}) = \sigma^2 (X'\Omega^{-1}X)^{-1} X'\Omega X (X'\Omega^{-1}X)^{-1}
	440	+ \]
	441	+ \item La variance du modèle GLS transformé par la matrice $P$ :
	442	+ \[
	443	+ V(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X'\Omega^{-1}X)^{-1}
	444	+ \]
	445	+\end{itemize}
	446	+
	447	+Les éléments sur la diagonale de $V(\hat{\beta}_{OLS, HE})$ sont plus grands que ceux de $V(\hat{\beta}_{GLS})$ $\Rightarrow$ par contre, ce n’est pas le même modèle qui est estimé de même que les coefficients associés sont différents. Il n’est donc pas approprié de comparer les deux séries de résultats entre eux.
	448	+
	449	+Cependant, lorsqu’il y a hétéroscédasticité, la variance des OLS standards $ V(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X'X)^{-1} $ est \textbf{FAUSSE} et elle ne peut pas être comparée aux deux autres. On ne sait pas si elle est plus petite ou plus grande, elle est simplement fausse.
	450	+
	451	+Donc, si on connaît $\Omega$, il est préférable de prendre l’estimateur GLS. Si nous n’avons pas $\Omega$ et qu’il faut l’estimer et utiliser les FGLS (ce qui est presque toujours le cas), ce résultat tient, mais en limite seulement.
	452	+
	453	+\section{Bibliographie}
	454	+\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}
	455	+
	456	+\begin{thebibliography}{9}
	457	+
	458	+\bibitem{GujaratiPorter}
	459	+Gujarati, D. N., \& Porter, D. C. (2009). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
	460	+
	461	+\bibitem{Greene}
	462	+Greene, W. H. (2012). \textit{Econometric Analysis}. Pearson.
	463	+
	464	+\bibitem{Wooldridge}
	465	+Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
	466	+
	467	+\end{thebibliography}
	468	+
	469	+\end{document}

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnements mathématiques enrichis
	16	+\usepackage{amsthm} % Environnements théorèmes
	17	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	18	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
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	20	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
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	22	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	23	+\usepackage{booktabs} % Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
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	28	+\usepackage{pdflscape} % Pour placer les tableaux en paysage
	29	+
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+% Configuration de la mise en page
	32	+% ------------------------------------------------------------------------
	33	+\geometry{
	34	+ a4paper,
	35	+ margin=25mm
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	39	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
	40	+% ------------------------------------------------------------------------
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	86	+\title{\Huge Preuve Détaillée des Moindres Carrés Généralisés (GLS)}
	87	+\author{GSF-6053}
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	91	+% Début du document
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	100	+% Augmenter l'interligne à 1,5
	101	+\onehalfspacing
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	103	+% ------------------------------------------------------------------------
	104	+% SECTION : Preuve Détaillée des Moindres Carrés Généralisés
	105	+% ------------------------------------------------------------------------
	106	+
	107	+
	108	+Les Moindres Carrés Généralisés (GLS) sont une extension des Moindres Carrés Ordinaires (OLS) qui permettent de traiter des situations où les hypothèses de base des OLS, notamment l'homoscédasticité et l'absence d'autocorrélation des erreurs, sont violées. Cette section fournit une preuve détaillée de la méthode GLS, en démontrant sa dérivation, ses propriétés et son optimalité.
	109	+
	110	+\section{Modèle Linéaire Généralisé}
	111	+
	112	+Considérons le modèle linéaire suivant :
	113	+\begin{equation}
	114	+ Y = X\beta + u
	115	+\end{equation}
	116	+où :
	117	+\begin{itemize}
	118	+ \item $ Y $ est un vecteur $ T \times 1 $ des variables dépendantes.
	119	+ \item $ X $ est une matrice $ T \times K $ des variables explicatives.
	120	+ \item $ \beta $ est un vecteur $ K \times 1 $ des paramètres à estimer.
	121	+ \item $ u $ est un vecteur $ T \times 1 $ des termes d'erreur.
	122	+\end{itemize}
	123	+
	124	+\subsection{Hypothèses du Modèle}
	125	+
	126	+Pour les GLS, nous relaxons certaines hypothèses des OLS. Les hypothèses principales sont :
	127	+\begin{itemize}
	128	+ \item $ E(u) = 0 $ : Les erreurs ont une espérance nulle.
	129	+ \item $ E(uu') = V = \sigma^2 \Omega $ : La matrice de variance-covariance des erreurs est proportionnelle à une matrice $ \Omega $ qui n'est pas nécessairement diagonale.
	130	+\end{itemize}
	131	+
	132	+\section{Dérivation des Estimateurs GLS}
	133	+
	134	+L'objectif des GLS est d'obtenir un estimateur $\hat{\beta}_{GLS}$ qui minimise une forme quadratique pondérée des résidus, prenant en compte la structure de la matrice $ \Omega $.
	135	+
	136	+\subsection{Transformation du Modèle}
	137	+
	138	+Pour simplifier le problème, nous transformons le modèle en multipliant par $ \Omega^{-1/2} $, où $ \Omega^{-1/2} $ est une matrice telle que :
	139	+\[
	140	+\Omega^{-1/2} \Omega (\Omega^{-1/2})' = I
	141	+\]
	142	+Cela suppose que $ \Omega $ est symétrique et positive définie, garantissant l'existence de $ \Omega^{-1/2} $.
	143	+
	144	+Le modèle transformé devient :
	145	+\[
	146	+\Omega^{-1/2} Y = \Omega^{-1/2} X \beta + \Omega^{-1/2} u
	147	+\]
	148	+Notons :
	149	+\[
	150	+Y^* = \Omega^{-1/2} Y, \quad X^* = \Omega^{-1/2} X, \quad u^* = \Omega^{-1/2} u
	151	+\]
	152	+Ainsi, le modèle transformé s'écrit :
	153	+\begin{equation}
	154	+ Y^* = X^* \beta + u^*
	155	+\end{equation}
	156	+
	157	+\subsection{Propriétés des Erreurs Transformées}
	158	+
	159	+Nous examinons les propriétés des termes d'erreur $ u^* $ :
	160	+\[
	161	+E(u^*) = \Omega^{-1/2} E(u) = 0
	162	+\]
	163	+\[
	164	+E(u^* u^{*\prime}) = \Omega^{-1/2} E(u u') (\Omega^{-1/2})' = \Omega^{-1/2} (\sigma^2 \Omega) (\Omega^{-1/2})' = \sigma^2 I
	165	+\]
	166	+Ainsi, le modèle transformé satisfait les hypothèses des OLS :
	167	+\begin{itemize}
	168	+ \item Espérance nulle des erreurs.
	169	+ \item Variance-covariance des erreurs égale à $ \sigma^2 I $ (homoscédasticité et absence d'autocorrélation).
	170	+\end{itemize}
	171	+
	172	+\subsection{Application des Moindres Carrés Ordinaires au Modèle Transformé}
	173	+
	174	+Appliquons les OLS au modèle transformé :
	175	+\[
	176	+\hat{\beta}_{GLS} = (X^{'} X^)^{-1} X^{'} Y^
	177	+\]
	178	+En remplaçant $ X^* $ et $ Y^* $ :
	179	+\[
	180	+\hat{\beta}_{GLS} = (\Omega^{-1/2} X)' (\Omega^{-1/2} X)^{-1} (\Omega^{-1/2} X)' (\Omega^{-1/2} Y)
	181	+\]
	182	+\[
	183	+\hat{\beta}_{GLS} = (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} Y
	184	+\]
	185	+Ceci est l'estimateur des Moindres Carrés Généralisés.
	186	+
	187	+\section{Propriétés de l'Estimateur GLS}
	188	+
	189	+\subsection{Sans Biais}
	190	+
	191	+Pour démontrer que $\hat{\beta}_{GLS}$ est sans biais :
	192	+\[
	193	+E(\hat{\beta}_{GLS}) = E\left[ (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} Y \right]
	194	+\]
	195	+En remplaçant $ Y = X\beta + u $ :
	196	+\[
	197	+E(\hat{\beta}_{GLS}) = (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} (X\beta + u)
	198	+\]
	199	+\[
	200	+E(\hat{\beta}_{GLS}) = (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} X \beta + (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} E(u)
	201	+\]
	202	+Comme $ E(u) = 0 $ :
	203	+\[
	204	+E(\hat{\beta}_{GLS}) = \beta
	205	+\]
	206	+Ainsi, l'estimateur GLS est sans biais.
	207	+
	208	+\subsection{Variance de l'Estimateur GLS}
	209	+
	210	+Calculons la variance de $\hat{\beta}_{GLS}$ :
	211	+\[
	212	+\text{Var}(\hat{\beta}_{GLS}) = \text{Var}\left[ (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} Y \right]
	213	+\]
	214	+Remplaçons $ Y = X\beta + u $ :
	215	+\[
	216	+\text{Var}(\hat{\beta}_{GLS}) = \text{Var}\left[ (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} u \right]
	217	+\]
	218	+Puisque $ \text{Var}(u) = \sigma^2 \Omega $ :
	219	+\[
	220	+\text{Var}(\hat{\beta}_{GLS}) = (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} \text{Var}(u) \Omega^{-1} X (X' \Omega^{-1} X)^{-1}
	221	+\]
	222	+\[
	223	+\text{Var}(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} \Omega \Omega^{-1} X (X' \Omega^{-1} X)^{-1}
	224	+\]
	225	+\[
	226	+\text{Var}(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X' \Omega^{-1} X)^{-1}
	227	+\]
	228	+Ainsi, la variance de l'estimateur GLS est donnée par :
	229	+\[
	230	+\text{Var}(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X' \Omega^{-1} X)^{-1}
	231	+\]
	232	+
	233	+\subsection{Optimalité de l'Estimateur GLS}
	234	+
	235	+L'estimateur GLS est BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), c'est-à-dire qu'il est le meilleur estimateur linéaire sans biais en termes de variance parmi tous les estimateurs linéaires sans biais. La preuve repose sur le théorème de Gauss-Markov généralisé.
	236	+
	237	+\paragraph{Théorème de Gauss-Markov Généralisé}
	238	+
	239	+Sous les hypothèses suivantes :
	240	+\begin{itemize}
	241	+ \item $ E(u) = 0 $
	242	+ \item $ E(uu') = \sigma^2 \Omega $
	243	+ \item $ \Omega $ est connue et positive définie
	244	+\end{itemize}
	245	+L'estimateur GLS est le meilleur estimateur linéaire sans biais, c'est-à-dire qu'il minimise la variance parmi tous les estimateurs linéaires sans biais.
	246	+
	247	+\paragraph{Preuve de l'Optimalité}
	248	+
	249	+Soit $\tilde{\beta}$ un estimateur linéaire sans biais de $\beta$, tel que :
	250	+\[
	251	+\tilde{\beta} = C Y
	252	+\]
	253	+où $ C $ est une matrice $ K \times T $.
	254	+
	255	+L'estimateur est sans biais si :
	256	+\[
	257	+E(\tilde{\beta}) = C X \beta = \beta \quad \Rightarrow \quad C X = I_K
	258	+\]
	259	+La variance de $\tilde{\beta}$ est :
	260	+\[
	261	+\text{Var}(\tilde{\beta}) = C \text{Var}(Y) C' = C \sigma^2 \Omega C'
	262	+\]
	263	+Nous souhaitons minimiser $\text{Var}(\tilde{\beta})$ sous la contrainte $ C X = I_K $.
	264	+
	265	+Utilisons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Définissons la fonction de Lagrange :
	266	+\[
	267	+\mathcal{L} = \text{tr}(C \Omega C') - \text{tr}(\Lambda (C X - I))
	268	+\]
	269	+où $ \Lambda $ est une matrice des multiplicateurs de Lagrange.
	270	+
	271	+En prenant les dérivées partielles par rapport à $ C $ et en les égalant à zéro, nous obtenons :
	272	+\[
	273	+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C} = 2 C \Omega - \Lambda X' = 0 \quad \Rightarrow \quad C \Omega = \frac{1}{2} \Lambda X'
	274	+\]
	275	+Cependant, pour minimiser la variance, il est plus approprié de travailler avec la minimisation quadratique sous contrainte linéaire. En résolvant ce problème, on trouve que :
	276	+\[
	277	+C = (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1}
	278	+\]
	279	+ce qui correspond exactement à l'estimateur GLS.
	280	+
	281	+Ainsi, $\hat{\beta}_{GLS} = (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} Y$ est l'estimateur linéaire sans biais avec la plus petite variance, prouvant qu'il est BLUE.
	282	+
	283	+\section{Estimateur Faisable des GLS (FGLS)}
	284	+
	285	+Dans la pratique, la matrice $ \Omega $ est rarement connue. Par conséquent, nous devons estimer $ \Omega $, ce qui conduit à l'estimateur des Moindres Carrés Généralisés Faisables (FGLS).
	286	+
	287	+\subsection{Étapes de l'Estimateur FGLS}
	288	+
	289	+\begin{enumerate}
	290	+ \item \textbf{Estimation Initiale avec OLS} : Estimez le modèle en utilisant les OLS pour obtenir un premier estimateur $\hat{\beta}_{OLS}$.
	291	+ \[
	292	+ \hat{\beta}_{OLS} = (X'X)^{-1} X' Y
	293	+ \]
	294	+
	295	+ \item \textbf{Estimation des Résidus} : Calculez les résidus de la première estimation.
	296	+ \[
	297	+ \hat{u} = Y - X \hat{\beta}_{OLS}
	298	+ \]
	299	+
	300	+ \item \textbf{Estimation de $ \Omega $} : Utilisez les résidus $\hat{u}$ pour estimer la matrice $ \Omega $. Cette étape dépend de la structure présumée de $ \Omega $. Par exemple, si nous supposons une hétéroscédasticité où $ \text{Var}(u_i) = \sigma^2 \omega_{ii} $, une approche pourrait être d'estimer $\omega_{ii}$ comme une fonction des variables explicatives.
	301	+
	302	+ \item \textbf{Transformation du Modèle} : Transformez le modèle en utilisant l'estimation $\hat{\Omega}^{-1/2}$.
	303	+ \[
	304	+ \hat{\Omega}^{-1/2} Y = \hat{\Omega}^{-1/2} X \beta + \hat{\Omega}^{-1/2} u
	305	+ \]
	306	+
	307	+ \item \textbf{Estimation Finale avec OLS} : Appliquez les OLS au modèle transformé pour obtenir l'estimateur FGLS.
	308	+ \[
	309	+ \hat{\beta}_{FGLS} = (X' \hat{\Omega}^{-1} X)^{-1} X' \hat{\Omega}^{-1} Y
	310	+ \]
	311	+\end{enumerate}
	312	+
	313	+\subsection{Propriétés de l'Estimateur FGLS}
	314	+
	315	+Lorsque $ \hat{\Omega} $ est une estimation consistante de $ \Omega $, l'estimateur FGLS est :
	316	+\begin{itemize}
	317	+ \item \textbf{Sans biais} : Similaire à GLS, FGLS est sans biais.
	318	+ \item \textbf{Consistant} : $\hat{\beta}_{FGLS}$ converge en probabilité vers $\beta$ lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.
	319	+ \item \textbf{Asymptotiquement efficace} : Sous certaines conditions, FGLS atteint l'efficacité asymptotique, c'est-à-dire qu'il a la plus petite variance asymptotique parmi les estimateurs linéaires sans biais.
	320	+\end{itemize}
	321	+
	322	+\section{Comparaison entre OLS et GLS}
	323	+
	324	+\subsection{Variance des Estimateurs}
	325	+
	326	+Pour comparer OLS et GLS, examinons les variances de leurs estimateurs respectifs :
	327	+\begin{itemize}
	328	+ \item \textbf{OLS} :
	329	+ \[
	330	+ \text{Var}(\hat{\beta}_{OLS}) = \sigma^2 (X'X)^{-1}
	331	+ \]
	332	+ \item \textbf{GLS} :
	333	+ \[
	334	+ \text{Var}(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X' \Omega^{-1} X)^{-1}
	335	+ \]
	336	+\end{itemize}
	337	+
	338	+\paragraph{Comparaison de la Variance}
	339	+
	340	+Supposons que $ \Omega = I $, alors $ \hat{\beta}_{GLS} = \hat{\beta}_{OLS} $ et les variances sont identiques. Lorsque $ \Omega \neq I $, GLS ajuste pour la structure de la variance-covariance des erreurs, généralement réduisant la variance des estimateurs comparé à OLS.
	341	+
	342	+\subsection{Conditions d'Optimalité}
	343	+
	344	+GLS est plus efficace que OLS lorsque :
	345	+\begin{itemize}
	346	+ \item Les erreurs présentent une hétéroscédasticité ou une autocorrélation.
	347	+ \item La matrice $ \Omega $ est correctement spécifiée.
	348	+\end{itemize}
	349	+Dans ce cas, GLS fournit des estimateurs avec une variance inférieure à celle des OLS, rendant les inférences plus fiables.
	350	+
	351	+\section{Conclusion}
	352	+
	353	+Les Moindres Carrés Généralisés offrent une méthode puissante pour estimer les paramètres d'un modèle linéaire lorsque les hypothèses de base des OLS sont violées, notamment en présence d'hétéroscédasticité ou d'autocorrélation des erreurs. La preuve détaillée présentée ici démontre que, sous les conditions appropriées, GLS est un estimateur sans biais et plus efficace que les OLS. Cependant, la faisabilité de GLS dépend de la capacité à estimer correctement la matrice $ \Omega $, ce qui est souvent réalisé à travers l'estimateur FGLS.
	354	+
	355	+\end{document}

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	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📖 NOTE — Séance 4 : Moindres carrés généralisés (MCG)
	10	+
	11	+Notes de cours (sources LaTeX) de la quatrième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Document \| Description \|
	16	+\|---------\|----------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_NOTE_MCG/` \| MCG \| Violations des hypothèses classiques, estimateur des moindres carrés généralisés, MCG réalisables (FGLS), moindres carrés pondérés \|
	18	+\| `GSF6053_H25_preuve_MCG/` \| Preuve MCG \| Dérivation de l'estimateur MCG par transformation du modèle (Ω^(-1/2)) et démonstration de son efficacité \|
	19	+
	20	+## Compilation
	21	+
	22	+```bash
	23	+cd GSF6053_H25_NOTE_MCG && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	24	+```
	25	+
	26	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	27	+
	28	+---
	29	+
	30	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	31	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
	9	+% ------------------------------------------------------------------------
	10	+% Packages indispensables et recommandés
	11	+% ------------------------------------------------------------------------
	12	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Encodage des caractères
	13	+\usepackage[T1]{fontenc} % Encodage de la police
	14	+\usepackage[french]{babel} % Support de la langue française
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb} % Environnements mathématiques enrichis
	16	+\usepackage{amsthm} % Environnements théorèmes
	17	+\usepackage{graphicx} % Inclusion d'images
	18	+\usepackage{hyperref} % Liens hypertextes
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	20	+\usepackage{titlesec} % Personnalisation des titres
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	22	+\usepackage{xcolor} % Gestion des couleurs
	23	+\usepackage{booktabs} % Pour améliorer les tableaux
	24	+\usepackage{fancyhdr} % Personnalisation des en-têtes et pieds de page
	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+\usepackage{enumitem} % Pour personnaliser les listes
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	29	+\usepackage[backend=biber,style=apa]{biblatex} % Gestion de la bibliographie
	30	+\addbibresource{references.bib} % Fichier de bibliographie
	31	+
	32	+% ------------------------------------------------------------------------
	33	+% Configuration de la mise en page
	34	+% ------------------------------------------------------------------------
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	36	+ a4paper,
	37	+ margin=25mm
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	41	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
	42	+% ------------------------------------------------------------------------
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	50	+% ------------------------------------------------------------------------
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	52	+% ------------------------------------------------------------------------
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	57	+% ------------------------------------------------------------------------
	58	+% Commande pour mettre en avant les livres en bleu
	59	+% ------------------------------------------------------------------------
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	61	+
	62	+% ------------------------------------------------------------------------
	63	+% Configuration des hyperliens
	64	+% ------------------------------------------------------------------------
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	66	+ colorlinks=true, % Les liens sont colorés
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	73	+}
	74	+
	75	+% ------------------------------------------------------------------------
	76	+% Configuration des en-têtes et pieds de page
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	80	+\fancyhead[L]{Hétéroscédasticité}
	81	+\fancyhead[R]{Hiver 2025}
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	83	+\fancyfoot[R]{\includegraphics[height=1cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajout du logo ERS en bas à droite
	84	+
	85	+% ------------------------------------------------------------------------
	86	+% Informations sur le document
	87	+% ------------------------------------------------------------------------
	88	+\title{\textbf{Hétéroscédasticité}}
	89	+\author{GSF-6053}
	90	+\date{Hiver 2025}
	91	+
	92	+% ------------------------------------------------------------------------
	93	+% Début du document
	94	+% ------------------------------------------------------------------------
	95	+\begin{document}
	96	+\maketitle
	97	+
	98	+\tableofcontents
	99	+
	100	+\newpage
	101	+
	102	+\section{Hétéroscédasticité}
	103	+\textbf{\textcolor{blue}{\cite{wooldridge2010}}}
	104	+
	105	+Comme on connaît rarement $\Omega$, il faut spécifier une forme pour cette matrice qui est gérable. Par exemple :
	106	+
	107	+\[
	108	+\Omega = \begin{bmatrix}
	109	+\sigma_1^2 & 0 & \dots & 0 \\
	110	+0 & \sigma_2^2 & \dots & 0 \\
	111	+0 & 0 & \ddots & 0 \\
	112	+\vdots & \vdots & \ddots & \sigma_T^2 \\
	113	+\end{bmatrix}
	114	+\]
	115	+
	116	+n'est pas une forme estimable, car le nombre de paramètres à estimer $T + K > T$.
	117	+
	118	+Il faut donc spécifier un modèle (une paramétrisation) pour la forme de la matrice $\Omega$ afin de réduire le nombre de paramètres inconnus.
	119	+
	120	+\subsection{Hétéroscédasticité groupée}
	121	+On a une variance hétéroscédastique, mais en sous-groupes, c'est-à-dire qu’à l’intérieur de chaque sous-groupe, la variance est constante.
	122	+
	123	+Par exemple :
	124	+
	125	+\[
	126	+\sigma_t^2 = \sigma_{10}^2 \quad \text{pour} \quad t = 1, \dots, T_1
	127	+\]
	128	+\[
	129	+\sigma_t^2 = \sigma_{20}^2 \quad \text{pour} \quad t = T_1+1, \dots, T
	130	+\]
	131	+
	132	+\[
	133	+\Omega =
	134	+\begin{bmatrix}
	135	+\sigma_{10}^2 I_{T_1} & 0 & \dots & 0 \\
	136	+0 & \sigma_{20}^2 I_{T_2} & \dots & 0 \\
	137	+\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
	138	+\end{bmatrix}
	139	+\]
	140	+
	141	+Dans un cas plus général :
	142	+
	143	+\[
	144	+\Omega =
	145	+\begin{bmatrix}
	146	+\sigma_{10}^2 I_{T_1} & 0 & \dots & 0 \\
	147	+0 & \sigma_{20}^2 I_{T_2} & \dots & 0 \\
	148	+\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
	149	+\end{bmatrix}
	150	+\]
	151	+
	152	+\subsection{Variance varie en fonction d'une variable exogène}
	153	+Soit le modèle suivant :
	154	+
	155	+\[
	156	+Y = X\beta + u
	157	+\]
	158	+\[
	159	+E(uu') = \sigma^2 \Omega
	160	+\]
	161	+\[
	162	+V(u_t) = \sigma^2 Z_t
	163	+\]
	164	+
	165	+Dans \textbf{\textcolor{blue}{\cite{wooldridge2010}}}, ce cas revient à une estimation où l’hétéroscédasticité est connue à une constante multiplicative près, où $Z_t$ est connu et observé (ATTN : connu et observé $\neq$ estimé). C'est le seul cas où on fait un GLS et non un FGLS, car $\Omega$ est vraiment connu.
	166	+
	167	+\[
	168	+\Omega =
	169	+\begin{bmatrix}
	170	+Z_1 & 0 & 0 \\
	171	+0 & Z_2 & 0 \\
	172	+\vdots & \vdots & \ddots \\
	173	+\end{bmatrix}
	174	+\]
	175	+
	176	+\[
	177	+\Omega^{-1} =
	178	+\begin{bmatrix}
	179	+1/Z_1 & 0 & 0 \\
	180	+0 & 1/Z_2 & 0 \\
	181	+\vdots & \vdots & \ddots \\
	182	+\end{bmatrix}
	183	+\]
	184	+
	185	+Le modèle transformé est donc :
	186	+
	187	+\[
	188	+\left( \frac{Y_1}{\sqrt{Z_1}}, \frac{Y_2}{\sqrt{Z_2}}, \dots, \frac{Y_T}{\sqrt{Z_T}} \right) = \left[
	189	+\begin{array}{cccc}
	190	+\frac{1}{\sqrt{Z_1}} & \frac{1}{\sqrt{Z_2}} & \dots & \frac{1}{\sqrt{Z_T}} \\
	191	+\end{array}
	192	+\right] X\beta + \text{résidus}
	193	+\]
	194	+
	195	+\subsection{Variance varie en fonction de plusieurs variables exogènes}
	196	+Soit le modèle suivant :
	197	+
	198	+\[
	199	+Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_{1t} + \dots + \beta_{K-1} X_{K-1,t} + u_t
	200	+\]
	201	+
	202	+\[
	203	+\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 Z_{1t} + \dots + \alpha_H Z_{Ht} + e_t
	204	+\]
	205	+
	206	+Cette paramétrisation de la variance demande d’estimer $\hat{\sigma}_t^2$ par une régression artificielle. L’approche est la suivante :
	207	+
	208	+\begin{enumerate}
	209	+ \item On utilise les résidus au carré, $\hat{u}_t^2$, pour avoir une proxy de $\sigma_t^2$.
	210	+ \item On régresse les $\hat{u}_t^2$ sur les variables exogènes pour trouver les paramètres $\alpha_h$ définissant la variance.
	211	+\end{enumerate}
	212	+
	213	+\[
	214	+\hat{\sigma}_t^2 = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 Z_{1t} + \dots + \hat{\alpha}_H Z_{Ht}
	215	+\]
	216	+
	217	+Cette technique demande des données supplémentaires sur les exogènes.
	218	+
	219	+Le modèle transformé sera :
	220	+
	221	+\[
	222	+\frac{Y_t}{\hat{\sigma}_t} = \beta_0 + \frac{X_1}{\hat{\sigma}_t} + \dots + \frac{X_K}{\hat{\sigma}_t} + \frac{u_t}{\hat{\sigma}_t}
	223	+\]
	224	+
	225	+Où $\hat{\sigma}_t = \sqrt{\hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 Z_{1t} + \dots + \hat{\alpha}_H Z_{Ht}}$. Ceux-ci sont estimés par OLS.
	226	+
	227	+\section{Tests Diagnostiques d'Hétéroscédasticité}
	228	+Dans cette section, nous introduisons des tests pour déterminer si les régressions considérées souffrent de problèmes d’hétéroscédasticité des erreurs (et résidus). Une approche intuitive serait de regarder un graphique des résidus de régression dans le but de trouver des anomalies. Cependant, une approche par analyse graphique n’est pas un test statistique formel de la présence d’hétéroscédasticité. Nous présentons donc des tests diagnostiques d’hétéroscédasticité. Il faut être prudent, car il existe de nombreuses formes d’hétéroscédasticité et les tests sont généralement conçus pour détecter une seule spécification.
	229	+
	230	+\subsection{Le test de Goldfeld-Quandt (GQ)}
	231	+Soit le modèle :
	232	+\[
	233	+Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \dots + \beta_{K-1} X_{Ki} + u_i
	234	+\]
	235	+On teste l’hypothèse nulle d’une variance constante dans le temps contre l’alternative que la variance augmente de manière monotone selon une exogène $Z_1$.
	236	+
	237	+\[
	238	+H_0: \sigma_i^2 = \sigma^2 \quad \forall i
	239	+\]
	240	+contre l’alternative
	241	+\[
	242	+H_A : \sigma_i^2 \text{ augmente de manière monotone selon } Z_1.
	243	+\]
	244	+
	245	+\textbf{Marche à suivre :}
	246	+\begin{enumerate}
	247	+ \item Ordonner les observations selon la variable $Z_1$.
	248	+ \item Omettre $c$ observations centrales.
	249	+ \item Effectuer deux régressions séparées sur les $\frac{N-c}{2}$ premières et les $\frac{N-c}{2}$ dernières observations et calculer $\hat{\sigma}_1^2$ et $\hat{\sigma}_2^2$.
	250	+ \item La statistique de test est :
	251	+ \[
	252	+ GQ = \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2} \sim F\left( \frac{N - c - 2K}{2}, \frac{N - c - 2K}{2} \right)
	253	+ \]
	254	+\end{enumerate}
	255	+
	256	+Ici, les estimateurs de $\hat{\sigma}_1^2$ et $\hat{\sigma}_2^2$ sont calculés à partir des deux régressions en sous-groupe. Le nombre d’observations sera $\frac{N-c}{2}$ et le nombre de degrés de liberté sera $\frac{N-c-2K}{2}$.
	257	+
	258	+Le test est exact et non asymptotique. Nous perdons les observations du centre, car on veut observer ce qui se passe aux extrémités. Par contre, si les erreurs sont normales, le test suit exactement une loi $F$ et non asymptotiquement. On n’a donc pas besoin d’une grande taille d’échantillon pour ce test.
	259	+
	260	+\subsection{Le test de Breusch-Pagan (BP)}
	261	+Ce test est plus général que le précédent et plus utilisé. En présence d’exogènes, le modèle est :
	262	+
	263	+\[
	264	+Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_{1t} + \dots + \beta_{K-1} X_{K-1,t} + u_t
	265	+\]
	266	+
	267	+\[
	268	+\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 Z_{1t} + \dots + \alpha_H Z_{Ht} + e_t.
	269	+\]
	270	+
	271	+\[
	272	+H_0: \alpha_1 = \dots = \alpha_H = 0 \quad \forall h
	273	+\]
	274	+contre l’alternative qu’il existe un $\alpha_h \neq 0$.
	275	+
	276	+Le test est basé sur une régression artificielle suivante :
	277	+\[
	278	+\hat{u}_t^2 = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 Z_{1t} + \dots + \hat{\alpha}_H Z_{Ht} + \epsilon_t.
	279	+\]
	280	+
	281	+\textbf{Interprétation :} La statistique de test est :
	282	+\[
	283	+BP = T R^2 \sim \chi^2(H).
	284	+\]
	285	+Où $R^2$ est le coefficient de détermination de la régression artificielle. Si la statistique BP est supérieure à la valeur critique de la distribution $\chi^2$ avec $H$ degrés de liberté, nous rejetons l'hypothèse nulle d'homoscédasticité.
	286	+
	287	+\textbf{Application intéressante en finance :} Test d’effet ARCH sur les résidus de régression. Le test de Breusch-Pagan peut également être utilisé pour tester l'hétéroscédasticité conditionnelle, comme dans le modèle ARCH où la variance des erreurs dépend des erreurs passées.
	288	+
	289	+\subsection{Le test de White}
	290	+Ce test s’applique pour tester l’hétéroscédasticité de forme générale. On ne spécifie pas de forme pour la variance. L’hypothèse nulle est que la variance est homoscédastique contre une alternative hétéroscédastique générale.
	291	+
	292	+Soit le modèle :
	293	+\[
	294	+Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t
	295	+\]
	296	+
	297	+Le test est basé sur une régression artificielle :
	298	+\[
	299	+\hat{u}_t^2 = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 X_{1t} + \hat{\alpha}_{11} X_{1t}^2 + \hat{\alpha}_2 X_{2t} + \hat{\alpha}_{22} X_{2t}^2 + \hat{\alpha}_{12} X_{1t} X_{2t} + \epsilon_t.
	300	+\]
	301	+
	302	+\textbf{Interprétation :} La statistique de test est :
	303	+\[
	304	+WHITE = T R_{\text{reg art.}}^2 \sim \chi^2(H).
	305	+\]
	306	+Où $H$ est le nombre de variables explicatives dans la régression artificielle. Si la statistique WHITE est supérieure à la valeur critique de la distribution $\chi^2$, nous rejetons l'hypothèse nulle d'homoscédasticité.
	307	+
	308	+L’avantage du test de White est qu’il est très général. Par contre, on perd des degrés de liberté dans la régression artificielle, car on doit estimer les produits croisés et les régresseurs au carré.
	309	+
	310	+\subsection{Le correcteur de White}
	311	+Lorsque l’on n’est pas prêt à spécifier une forme paramétrique pour la variance hétéroscédastique des erreurs, on ne peut pas utiliser les estimateurs GLS et FGLS définis plus haut. Une approche alternative est d’utiliser l’estimateur de $\hat{\beta}_{OLS}$, mais de corriger l’estimateur de sa variance pour tenir compte de l’hétéroscédasticité. On se souvient que $\hat{\beta}_{OLS}$ était toujours sans biais pour les cas hétéroscédastiques, mais que sa variance était incorrecte. On trouve donc une correction pour la variance des OLS. C’est le correcteur de White.
	312	+
	313	+\[
	314	+V(\hat{\beta}_{OLS}) = (X'X)^{-1} \left( \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{u}_t^2 x_t x_t' \right) (X'X)^{-1}
	315	+\]
	316	+
	317	+Où
	318	+
	319	+\[
	320	+\Lambda = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{u}_t^2 \left( x_t x_t' \right).
	321	+\]
	322	+
	323	+Le correcteur de White est donc une approximation de la variance qui pondère les observations des résidus en fonction des régresseurs dans le calcul de la variance. En général, si on a des indices sur la structure de la matrice $\Omega$, il est préférable de passer par l’estimateur FGLS si la qualité de l’information ajoutée est bonne. Le correcteur de White est très utile lorsqu’on n’a aucune idée de la forme fonctionnelle à donner à $\Omega$. De plus, il a le mérite de ne pas estimer un modèle transformé, mais il reste une valeur approximative.
	324	+
	325	+\section{Conclusion}
	326	+L'hétéroscédasticité est une problématique courante dans les modèles de régression linéaire. Les tests diagnostiques tels que ceux de Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan et White permettent de détecter sa présence et de choisir les méthodes appropriées pour la corriger, assurant ainsi la fiabilité des estimations des paramètres du modèle.
	327	+
	328	+% ------------------------------------------------------------------------
	329	+% Bibliographie
	330	+% ------------------------------------------------------------------------
	331	+\printbibliography
	332	+
	333	+\end{document}

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	43	+
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	45	+\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
	46	+\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
	47	+
	48	+% ------------------------------------------------------------------------
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	54	+
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	89	+\maketitle
	90	+\tableofcontents
	91	+\newpage
	92	+
	93	+\section{Introduction}
	94	+
	95	+Le test de White est une procédure statistique utilisée pour détecter la présence d'hétéroscédasticité dans un modèle de régression linéaire. Contrairement au test de Breusch-Pagan, le test de White ne spécifie pas une forme particulière de l'hétéroscédasticité, ce qui le rend plus généraliste.
	96	+
	97	+\section{Hypothèses du Test de White}
	98	+
	99	+Le test de White évalue les hypothèses suivantes :
	100	+
	101	+\subsection{Hypothèse Nulle ($H_0$)}
	102	+\begin{itemize}
	103	+ \item Il n'y a pas d'hétéroscédasticité dans le modèle. La variance des erreurs est constante, c'est-à-dire $\text{Var}(u_i) = \sigma^2$ pour tout $i$.
	104	+\end{itemize}
	105	+
	106	+\subsection{Hypothèse Alternative ($H_1$)}
	107	+\begin{itemize}
	108	+ \item Il existe une relation systématique entre la variance des erreurs et les variables explicatives ou leurs combinaisons. La variance des erreurs varie en fonction des variables explicatives, c'est-à-dire $\text{Var}(u_i) = \sigma^2 h(X_i)$ où $h(X_i)$ est une fonction des variables explicatives.
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	110	+
	111	+\section{Procédure du Test}
	112	+
	113	+Le test de White se déroule en plusieurs étapes :
	114	+
	115	+\subsection{Estimation du Modèle de Régression Principal}
	116	+
	117	+On estime le modèle de régression linéaire :
	118	+\begin{align*}
	119	+ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_k X_{ki} + u_i
	120	+\end{align*}
	121	+en utilisant la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO).
	122	+
	123	+\subsection{Calcul des Résidus}
	124	+
	125	+On calcule les résidus standardisés :
	126	+\begin{align*}
	127	+ \hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i
	128	+\end{align*}
	129	+où $\hat{Y}_i$ est la valeur prédite par le modèle.
	130	+
	131	+\subsection{Régression Auxiliaire}
	132	+
	133	+On effectue une régression auxiliaire où la variable dépendante est le carré des résidus et les variables explicatives incluent les variables originales, leurs carrés et les produits croisés entre elles :
	134	+\begin{align*}
	135	+ \hat{u}_i^2 = \gamma_0 + \gamma_1 X_{1i} + \gamma_2 X_{2i} & + \dots + \gamma_k X_{ki} + \gamma_{k+1} X_{1i}^2 + \gamma_{k+2} X_{2i}^2 + \\ & \dots + \gamma_{k(k+1)/2} X_{1i}X_{2i} + \\ &\dots + \epsilon_i
	136	+\end{align*}
	137	+Les variables $X_{1i}^2, X_{2i}^2, \dots, X_{1i}X_{2i}, \dots$ sont incluses pour capturer toute forme possible d'hétéroscédasticité.
	138	+
	139	+\subsection{Calcul de la Statistique de Test}
	140	+
	141	+La statistique de test de White est donnée par :
	142	+\begin{align*}
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	145	+où $T$ est le nombre total d'observations et $R^2_{\text{aux}}$ est le coefficient de détermination de la régression auxiliaire.
	146	+
	147	+\subsection{Distribution Sous l'Hypothèse Nulle}
	148	+
	149	+Sous l'hypothèse nulle d'homoscédasticité, la statistique de test suit une distribution du chi carré avec $m$ degrés de liberté, où $m$ est le nombre de variables explicatives dans la régression auxiliaire.
	150	+
	151	+\section{Interprétation des Résultats}
	152	+
	153	+\subsection{Décision Statistique}
	154	+
	155	+\begin{itemize}
	156	+ \item Si $\text{White} > \chi^2_{m, 1-\alpha}$, on rejette l'hypothèse nulle et conclut à la présence d'hétéroscédasticité.
	157	+ \item Sinon, on ne rejette pas l'hypothèse nulle.
	158	+\end{itemize}
	159	+
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	161	+
	162	+L'hétéroscédasticité peut entraîner :
	163	+\begin{itemize}
	164	+ \item Des estimateurs MCO toujours sans biais, mais inefficaces.
	165	+ \item Des erreurs standard incorrectes, ce qui affecte les tests d'hypothèses et les intervalles de confiance.
	166	+ \item Des tests statistiques qui ne suivent pas la distribution théorique, compromettant ainsi la validité des inférences.
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	168	+
	169	+\section{Exemple Illustratif}
	170	+
	171	+Considérons un modèle de régression où l'on souhaite estimer la relation entre le revenu ($Y$) et le niveau d'éducation ($X_1$) ainsi que l'expérience professionnelle ($X_2$).
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	191	+
	192	+\subsection{Étape 4 : Calcul de la Statistique White}
	193	+
	194	+Supposons que $R^2_{\text{aux}} = 0.10$ et que $T = 100$ observations avec $m = 5$ variables explicatives dans la régression auxiliaire. Alors :
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	201	+Avec $m = 5$ et un niveau de signification $\alpha = 0.05$, la valeur critique est $\chi^2_{5, 0.95} \approx 11.07$. Puisque $10 < 11.07$, on ne rejette pas l'hypothèse nulle d'homoscédasticité.
	202	+
	203	+\section{Conclusion}
	204	+
	205	+Le test de White est un outil puissant et flexible pour détecter l'hétéroscédasticité dans les modèles de régression linéaire. Sa capacité à identifier diverses formes d'hétéroscédasticité le rend particulièrement utile dans des situations où la nature de la variance des erreurs n'est pas connue a priori. En identifiant la présence d'hétéroscédasticité, les chercheurs peuvent ajuster leurs modèles en conséquence, par exemple en utilisant des estimateurs robustes ou en transformant les variables, afin d'obtenir des inférences statistiques fiables.
	206	+
	207	+\section{Références}
	208	+
	209	+\begin{itemize}
	210	+ \item White, H. (1980). A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity. \textit{Econometrica}, 48(4), 817–838.
	211	+ \item Gujarati, D. N. (2003). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
	212	+ \item Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
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	214	+
	215	+\end{document}

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
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	10	+% Packages indispensables et recommandés
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	29	+
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+% Configuration de la mise en page
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	39	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
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	56	+% Commande pour mettre en avant les livres en bleu
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	93	+\section{Introduction}
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	95	+Le test de \textbf{Breusch-Pagan} est une procédure statistique utilisée pour détecter la présence d'hétéroscédasticité dans un modèle de régression linéaire. L'hétéroscédasticité se produit lorsque la variance des erreurs n'est pas constante à travers les observations, ce qui viole l'une des hypothèses fondamentales du modèle de régression linéaire classique.
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	97	+\section{Hypothèses du Test de Breusch-Pagan}
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	101	+\subsection{Hypothèse Nulle ($H_0$)}
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	131	+\subsection{Régression Auxiliaire}
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	155	+Sous l'hypothèse nulle d'homoscédasticité, la statistique de test suit une distribution du chi carré avec $m$ degrés de liberté, où $m$ est le nombre de variables explicatives dans la régression auxiliaire.
	156	+
	157	+\section{Interprétation des Résultats}
	158	+
	159	+\subsection{Décision Statistique}
	160	+
	161	+\begin{itemize}
	162	+ \item Si $\text{BP} > \chi^2_{m, 1-\alpha}$, on rejette l'hypothèse nulle et conclut à la présence d'hétéroscédasticité.
	163	+ \item Sinon, on ne rejette pas l'hypothèse nulle.
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	166	+\subsection{Conséquences de l'Hétéroscédasticité}
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	170	+ \item Des estimateurs MCO toujours sans biais, mais inefficaces.
	171	+ \item Des erreurs standard incorrectes, ce qui affecte les tests d'hypothèses et les intervalles de confiance.
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	173	+
	174	+\section{Exemple Illustratif}
	175	+
	176	+Considérons un modèle de régression où l'on souhaite estimer la relation entre le revenu ($Y$) et le niveau d'éducation ($X_1$) et l'expérience professionnelle ($X_2$).
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	178	+\subsection{Étape 1 : Estimation du Modèle Principal}
	179	+
	180	+On estime le modèle :
	181	+\begin{align*}
	182	+ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i
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	184	+en utilisant les MCO.
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	191	+
	192	+On effectue la régression :
	193	+\begin{align*}
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	206	+Avec $m = 2$ et un niveau de signification $\alpha = 0.05$, la valeur critique est $\chi^2_{2, 0.95} \approx 5.99$. Puisque $2.5 < 5.99$, on ne rejette pas l'hypothèse nulle d'homoscédasticité.
	207	+
	208	+\section{Conclusion}
	209	+
	210	+Le test de Breusch-Pagan est un outil essentiel pour détecter l'hétéroscédasticité dans les modèles de régression linéaire. En identifiant la présence d'hétéroscédasticité, les chercheurs peuvent ajuster leurs modèles en conséquence, par exemple en utilisant des estimateurs robustes ou en transformant les variables, afin d'obtenir des inférences statistiques fiables.
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	213	+
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	215	+ \item Breusch, T. S., \& Pagan, A. R. (1979). A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation. \textit{Econometrica}, 47(5), 1287–1294.
	216	+ \item Gujarati, D. N. (2003). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
	217	+ \item Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
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	219	+
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	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📖 NOTE — Séance 5 : Hétéroscédasticité
	10	+
	11	+Notes de cours (sources LaTeX) de la cinquième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Document \| Description \|
	16	+\|---------\|----------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_NOTE_HETEROSCEDASTICITE/` \| Hétéroscédasticité \| Nature et conséquences de l'hétéroscédasticité, détection, correction par moindres carrés pondérés et erreurs types robustes \|
	18	+\| `GSF6053_H25_Note_Breusch_Pagan/` \| Test de Breusch-Pagan \| Dérivation et mise en œuvre du test LM de Breusch-Pagan \|
	19	+\| `GSF6053_H25_NOTE_WHITE_TEST/` \| Test de White \| Dérivation et mise en œuvre du test de White (version générale, sans hypothèse sur la forme de l'hétéroscédasticité) \|
	20	+
	21	+## Compilation
	22	+
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	27	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	28	+
	29	+---
	30	+
	31	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	32	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass[14pt]{extarticle} % Utilisation de extarticle pour supporter 14pt
	8	+
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	10	+% Packages indispensables et recommandés
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	41	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
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	87	+% ------------------------------------------------------------------------
	88	+\title{\textbf{Autocorrélation des erreurs}}
	89	+\author{GSF-6053}
	90	+\date{Hiver 2025}
	91	+
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	93	+% Début du document
	94	+% ------------------------------------------------------------------------
	95	+\begin{document}
	96	+\maketitle
	97	+
	98	+\tableofcontents
	99	+
	100	+\onehalfspacing
	101	+\newpage
	102	+
	103	+\section{Introduction}
	104	+
	105	+\textbf{\textcolor{blue}{\cite{gujarati2010}, \cite{wooldridge2010}}}
	106	+
	107	+L’autocorrélation ou la corrélation sérielle des erreurs dans les séries chronologiques est assez fréquente. Elle découle souvent du fait qu’il y a une certaine inertie dans les données économiques et financières, c’est-à-dire que les observations passées se reflètent souvent dans les observations présentes et futures. Cela peut amener des problèmes de corrélation sérielle des erreurs si une variable autocorrélée est omise du modèle, par exemple.
	108	+
	109	+Il est important de s’assurer que lorsque vous détectez de l’autocorrélation, elle n’est pas due à la non-stationnarité de $Y$ et $X$. En effet, si ces deux quantités sont non stationnaires, les erreurs le seront possiblement aussi et seront possiblement autocorrélées.
	110	+
	111	+Même si le modèle est bien spécifié, on peut penser que les erreurs (les chocs) affectant les marchés boursiers aujourd’hui ont des chances d’influencer la magnitude et le signe des chocs affectant les marchés boursiers demain aussi. Dans la plupart des cas en finance, l’autocorrélation sera positive, mais il est possible en théorie d’avoir de l’autocorrélation négative.
	112	+
	113	+\section{Modèle de Base avec Autocorrélation}
	114	+
	115	+\textbf{\textcolor{blue}{\cite{gujarati2010}, \cite{wooldridge2010}}}
	116	+
	117	+Soit le modèle de base :
	118	+\begin{equation}
	119	+y = X\beta + u
	120	+\end{equation}
	121	+
	122	+\begin{equation}
	123	+Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + \dots + \beta_{K-1} X_{K-1,t} + u_t
	124	+\end{equation}
	125	+
	126	+\begin{equation}
	127	+u_t = \rho u_{t-1} + \epsilon_t
	128	+\end{equation}
	129	+
	130	+Où $\epsilon_t$ est un bruit blanc de moyenne nulle et de variance constante dans le temps.
	131	+
	132	+\textbf{Différence avec le modèle linéaire de base :}
	133	+
	134	+La matrice de variance-covariance des erreurs sera affectée, ce qui impliquera, comme dans le cas hétéroscédastique, que l’estimateur OLS standard ne sera pas BLUE et que la variance des estimateurs OLS sera incorrecte, bien que l’estimateur soit sans biais. La démonstration de ceci est du même ressort que celle faite pour l’hétéroscédasticité. En effet, bien que l’autocorrélation implique des erreurs homoscédastiques (la variance est constante), les termes hors diagonale ne sont pas nuls comme dans le cas de base du modèle linéaire.
	135	+
	136	+\subsection{Matrice de Variance-Covariance des Erreurs}
	137	+
	138	+\[
	139	+\mathbf{E}(uu') =
	140	+\begin{bmatrix}
	141	+\mathbb{E}(u_1^2) & \mathbb{E}(u_1 u_2) & \mathbb{E}(u_1 u_3) & \dots & \mathbb{E}(u_1 u_T) \\
	142	+\mathbb{E}(u_2 u_1) & \mathbb{E}(u_2^2) & \mathbb{E}(u_2 u_3) & \dots & \mathbb{E}(u_2 u_T) \\
	143	+\mathbb{E}(u_3 u_1) & \mathbb{E}(u_3 u_2) & \mathbb{E}(u_3^2) & \dots & \mathbb{E}(u_3 u_T) \\
	144	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	145	+\mathbb{E}(u_T u_1) & \mathbb{E}(u_T u_2) & \mathbb{E}(u_T u_3) & \dots & \mathbb{E}(u_T^2)
	146	+\end{bmatrix}
	147	+\]
	148	+
	149	+Avec :
	150	+
	151	+\[
	152	+\mathbf{E}(uu') = \sigma^2
	153	+\begin{bmatrix}
	154	+1 & \rho & \rho^2 & \dots & \rho^{T-1} \\
	155	+\rho & 1 & \rho & \dots & \rho^{T-2} \\
	156	+\rho^2 & \rho & 1 & \dots & \rho^{T-3} \\
	157	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	158	+\rho^{T-1} & \rho^{T-2} & \rho^{T-3} & \dots & 1
	159	+\end{bmatrix}
	160	+= \sigma^2 \Omega
	161	+\]
	162	+
	163	+Où :
	164	+
	165	+\[
	166	+\Omega = \begin{bmatrix}
	167	+1 & \rho & \rho^2 & \dots & \rho^{T-1} \\
	168	+\rho & 1 & \rho & \dots & \rho^{T-2} \\
	169	+\rho^2 & \rho & 1 & \dots & \rho^{T-3} \\
	170	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	171	+\rho^{T-1} & \rho^{T-2} & \rho^{T-3} & \dots & 1
	172	+\end{bmatrix}
	173	+\]
	174	+
	175	+\subsection{Preuve de la Forme de $\Omega$}
	176	+
	177	+\textbf{Hypothèses de départ :}
	178	+
	179	+\begin{enumerate}
	180	+ \item $\epsilon_t$ est un bruit blanc, c'est-à-dire :
	181	+ \[
	182	+ \mathbb{E}(\epsilon_t) = 0, \quad \mathbb{V}(\epsilon_t) = \sigma^2, \quad \forall t \quad \text{et} \quad \mathbb{E}(\epsilon_t \epsilon_s) = 0 \quad \forall t \neq s
	183	+ \]
	184	+
	185	+ \item $\|\rho\| < 1$ (absence de racine unitaire).
	186	+
	187	+ Ceci implique que $u_t$ est un processus stationnaire, c'est-à-dire :
	188	+ \begin{enumerate}
	189	+ \item $\mathbb{E}(u_t) = 0$
	190	+ \item $\mathbb{V}(u_t) = \frac{\sigma^2}{1 - \rho^2}$, \quad $\forall t$
	191	+ \item $\mathbb{E}(u_t u_{t-j}) = \frac{\rho^j \sigma^2}{1 - \rho^2} \quad \forall j \geq 1$
	192	+ \end{enumerate}
	193	+
	194	+ \item $\epsilon_t$ n’est pas corrélé avec les $u_s$ dont l’indice $s$ est antérieur à $t$, c'est-à-dire :
	195	+ \[
	196	+ \epsilon_t \perp u_{t-s}, \quad \forall s \geq 1
	197	+ \]
	198	+\end{enumerate}
	199	+
	200	+\textbf{Développement :}
	201	+
	202	+\begin{align}
	203	+u_t &= \rho u_{t-1} + \epsilon_t \nonumber \\
	204	+&= \rho (\rho u_{t-2} + \epsilon_{t-1}) + \epsilon_t \nonumber \\
	205	+&= \rho^2 u_{t-2} + \rho \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \nonumber \\
	206	+&= \dots \nonumber \\
	207	+u_t &= \sum_{s=0}^{\infty} \rho^s \epsilon_{t-s} \label{eq:autoregressive}
	208	+\end{align}
	209	+
	210	+\textbf{Calcul de la Variance de $u_t$ :}
	211	+
	212	+\begin{align}
	213	+\mathbb{V}(u_t) &= \mathbb{V}\left( \sum_{s=0}^{\infty} \rho^s \epsilon_{t-s} \right) \nonumber \\
	214	+&= \sum_{s=0}^{\infty} (\rho^s)^2 \mathbb{V}(\epsilon_{t-s}) \nonumber \\
	215	+&= \sigma^2 \sum_{s=0}^{\infty} \rho^{2s} \nonumber \\
	216	+&= \sigma^2 \left( \frac{1}{1 - \rho^2} \right) \quad \text{(série géométrique convergente pour } \|\rho\| < 1) \label{eq:variance_ut}
	217	+\end{align}
	218	+
	219	+Ainsi :
	220	+
	221	+\[
	222	+\mathbb{V}(u_t) = \frac{\sigma^2}{1 - \rho^2}
	223	+\]
	224	+
	225	+\textbf{Calcul des Covariances :}
	226	+
	227	+\begin{align}
	228	+\mathbb{E}(u_t u_{t-j}) &= \mathbb{E}\left( \sum_{s=0}^{\infty} \rho^s \epsilon_{t-s} \sum_{k=0}^{\infty} \rho^k \epsilon_{t-j-k} \right) \nonumber \\
	229	+&= \sum_{s=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \rho^{s+k} \mathbb{E}(\epsilon_{t-s} \epsilon_{t-j-k}) \nonumber \\
	230	+&= \sum_{s=0}^{\infty} \rho^{s+j+s} \mathbb{E}(\epsilon_{t-s} \epsilon_{t-j-s}) \nonumber \\
	231	+&= \sum_{s=0}^{\infty} \rho^{2s+j} \mathbb{E}(\epsilon_{t-s} \epsilon_{t-j-s}) \nonumber \\
	232	+&= \rho^j \sigma^2 \sum_{s=0}^{\infty} \rho^{2s} \nonumber \\
	233	+&= \rho^j \sigma^2 \left( \frac{1}{1 - \rho^2} \right) \nonumber \\
	234	+&= \frac{\rho^j \sigma^2}{1 - \rho^2} \label{eq:covariance_ut_uj}
	235	+\end{align}
	236	+
	237	+Ainsi, pour toute autocorrélation d'ordre $j$, on a :
	238	+
	239	+\[
	240	+\mathbb{E}(u_t u_{t-j}) = \frac{\rho^j \sigma^2}{1 - \rho^2}
	241	+\]
	242	+
	243	+\section{La Transformation de Prais-Winsten}
	244	+
	245	+\textbf{\textcolor{blue}{\cite{gujarati2010}, \cite{wooldridge2010}}}
	246	+
	247	+Comme on l’a fait dans le cas de l’hétéroscédasticité, on peut utiliser un modèle transformé (donc un GLS ou un FGLS) pour utiliser les OLS en présence d’autocorrélation des erreurs. La transformation de Prais-Winsten consiste à multiplier les éléments de la régression par la matrice $P^{-1}$.
	248	+
	249	+\[
	250	+P^{-1} \begin{bmatrix}
	251	+Y_1 \\
	252	+Y_2 \\
	253	+Y_3 \\
	254	+\vdots \\
	255	+Y_{T-1} \\
	256	+Y_T
	257	+\end{bmatrix}
	258	+=
	259	+\begin{bmatrix}
	260	+\sqrt{1 - \rho^2} Y_1 \\
	261	+-\rho Y_1 + Y_2 \\
	262	+-\rho Y_2 + Y_3 \\
	263	+\vdots \\
	264	+-\rho Y_{T-1} + Y_T
	265	+\end{bmatrix}
	266	+\]
	267	+
	268	+La transformation sera la même pour chaque régresseur $X$. Le modèle transformé s’écrit :
	269	+
	270	+\begin{align}
	271	+\sqrt{1 - \rho^2} Y_1 &= \sqrt{1 - \rho^2} \beta_0 + \beta_1 \sqrt{1 - \rho^2} X_{11} + \beta_2 \sqrt{1 - \rho^2} X_{21} + \dots + \sqrt{1 - \rho^2} u_1 \label{eq:prais_winsten1} \\
	272	+Y_t - \rho Y_{t-1} &= (1 - \rho) \beta_0 + \beta_1 (X_{1t} - \rho X_{1,t-1}) + \beta_2 (X_{2t} - \rho X_{2,t-1}) + \dots \nonumber \\
	273	+&\quad + \beta_{K-1} (X_{K-1,t} - \rho X_{K-1,t-1}) + u_t - \rho u_{t-1} \label{eq:prais_winsten2}
	274	+\end{align}
	275	+
	276	+Il faut porter attention à la constante dans ce modèle qui n’est plus la constante d’origine. Si $\rho$ est inconnu, ce modèle n’est plus linéaire, mais on peut toujours l’estimer par OLS.
	277	+
	278	+\section{La Transformation de Cochran-Orcutt}
	279	+
	280	+\textbf{\textcolor{blue}{\cite{gujarati2010}, \cite{wooldridge2010}}}
	281	+
	282	+Une autre façon de transformer le modèle est de laisser tomber la première observation et de transformer les $Y$ comme suit :
	283	+
	284	+\[
	285	+Y_t - \rho Y_{t-1}, \quad t = 2, \dots, T
	286	+\]
	287	+
	288	+Les $X$ sont transformés de la même façon.
	289	+
	290	+Le modèle transformé de Cochran-Orcutt s’écrit de la même façon que Prais-Winsten, mais sans la première observation :
	291	+
	292	+\begin{align}
	293	+Y_t - \rho Y_{t-1} &= (1 - \rho) \beta_0 + \beta_1 (X_{1t} - \rho X_{1,t-1}) + \beta_2 (X_{2t} - \rho X_{2,t-1}) + \dots \nonumber \\
	294	+&\quad + \beta_{K-1} (X_{K-1,t} - \rho X_{K-1,t-1}) + u_t - \rho u_{t-1} \label{eq:cochran_orcutt}
	295	+\end{align}
	296	+
	297	+\section{Le Problème de $\rho$}
	298	+
	299	+$\rho$ est inconnu. Il faut donc trouver un estimateur. Plusieurs sont suggérés dans la littérature économétrique.
	300	+
	301	+\subsection{Estimateur Usuel (\textcolor{blue}{\cite{gujarati2010}})}
	302	+
	303	+\[
	304	+\hat{\rho} = \frac{\sum_{t=2}^{T} \hat{u}_t \hat{u}_{t-1}}{\sum_{t=2}^{T} \hat{u}_{t-1}^2}
	305	+\]
	306	+
	307	+Où $\hat{u}_t$ est le résidu OLS de la régression de $Y$ sur $X$. On peut montrer que $\text{PLIM} \ \hat{\rho} = \rho$.
	308	+
	309	+\subsection{Estimateur de Hildreth-Lu}
	310	+
	311	+Cet estimateur ne passe pas par les OLS. En balayant l’intervalle $(-1, 1)$, on peut choisir la valeur de $\rho$ qui minimise la somme des carrés des erreurs du modèle transformé. Les étapes sont :
	312	+
	313	+\begin{enumerate}
	314	+ \item Choisir $\rho^{(1)} = -0.99999$.
	315	+ \item Obtenir le modèle transformé correspondant.
	316	+ \item Appliquer les OLS et sauvegarder $\hat{u}'\hat{u}_{\rho^{(1)}}$.
	317	+ \item Choisir une nouvelle valeur : $\rho^{(2)} = \rho^{(1)} + \text{step}$.
	318	+ \item Obtenir le modèle transformé correspondant.
	319	+ \item Appliquer les OLS et sauvegarder $\hat{u}'\hat{u}_{\rho^{(2)}}$.
	320	+ \item Continuer jusqu’à ce que $(-1, 1)$ soit couvert.
	321	+ \item Choisir la valeur $\rho^{(s)}$ telle que
	322	+ \[
	323	+ \hat{u}'\hat{u}_{\rho^{(s)}} = \min \left[ \hat{u}'\hat{u}_{\rho^{(i)}} \right]_i
	324	+ \]
	325	+\end{enumerate}
	326	+
	327	+L’estimateur FGLS obtenu à partir d’un estimateur de $\rho$ sera convergent. Donc, lorsque la matrice d’information $P$ dépend de paramètres inconnus qu’il faut estimer, on perd la propriété BLUE. L’estimateur qui est un FGLS au lieu de GLS reste convergent si l’estimateur des paramètres inconnus sur lequel il est fondé est convergent.
	328	+
	329	+\section{Diagnostic de l’Autocorrélation}
	330	+
	331	+\textbf{\textcolor{blue}{\cite{gujarati2010}}}
	332	+
	333	+On peut suspecter l’autocorrélation en faisant un graphique entre les résidus aujourd’hui et hier. Ce n’est pas un test statistique. Il existe des tests d’autocorrélation des erreurs.
	334	+
	335	+\subsection{Test de Durbin-Watson}
	336	+
	337	+C’est un test à bornes. Vous avez deux points critiques à regarder dans la table. À l’origine, ce test était à bornes, car on ne connaissait pas les vrais points critiques seulement des bornes sous l’hypothèse de normalité. Maintenant, on a trouvé les vrais points critiques.
	338	+
	339	+On teste :
	340	+
	341	+\[
	342	+H_0 : \rho = 0 \quad \text{contre} \quad H_A : \rho \neq 0
	343	+\]
	344	+
	345	+La statistique de test est :
	346	+
	347	+\begin{equation}
	348	+d = \frac{\sum_{t=2}^{T} ( \hat{u}_t - \hat{u}_{t-1} )^2}{\sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2} \approx 2(1 - \hat{\rho})
	349	+\end{equation}
	350	+
	351	+\textbf{Hypothèses du test de Durbin-Watson :}
	352	+\begin{enumerate}
	353	+ \item Le modèle de régression inclut une constante pour pouvoir calculer RSS.
	354	+ \item Les variables explicatives sont non stochastiques.
	355	+ \item L’autocorrélation est d’ordre 1. On ne peut pas utiliser Durbin-Watson avec des ordres supérieurs.
	356	+ \item On ne peut pas utiliser ce test dans le cas de modèles autorégressifs.
	357	+ \item Le test n’accommode pas les observations manquantes.
	358	+\end{enumerate}
	359	+
	360	+Pour faire le test de Durbin-Watson, il faut effectuer une régression OLS et obtenir les résidus. Ensuite, on calcule la statistique de Durbin-Watson avec ces résidus. On compare la statistique avec les points critiques de la distribution pour les statistiques de Durbin-Watson pour une taille d’échantillon donnée et un $K$ donné. On suit la règle de décision suivante :
	361	+
	362	+\[
	363	+\begin{cases}
	364	+d < d_L & \rightarrow \text{rejeter } H_0 \\
	365	+d_L < d < d_U & \rightarrow \text{test non concluant} \\
	366	+d_U < d < 4 - d_U & \rightarrow \text{ne pas rejeter } H_0 \text{ et } H_0^* \\
	367	+4 - d_U < d < 4 - d_L & \rightarrow \text{test non concluant} \\
	368	+d > 4 - d_L & \rightarrow \text{rejeter } H_0^*
	369	+\end{cases}
	370	+\]
	371	+
	372	+La statistique de Durbin-Watson est une « institution » en économétrie parce qu’il s’agit d’un des premiers tests à bornes dérivés, mais les hypothèses sous-jacentes sont assez contraignantes.
	373	+
	374	+\subsection{Le Test de Breusch-Godfrey}
	375	+
	376	+Ce test est plus général et plus populaire que Durbin-Watson. Il permet de tester pour des formes d’autocorrélation avec plusieurs retards ($q$). L’intérêt du test est qu’il se généralise facilement pour $q$ lags. Pour $q$ retards, la régression artificielle est de $\hat{u}_t$ sur une constante, $X_{1t}, \dots, X_{kt}$ et $\hat{u}_{t-1}, \dots, \hat{u}_{t-q}$.
	377	+
	378	+\[
	379	+\hat{u}_t = \alpha_1 + \alpha_2 X_t + \dots + \rho_1 \hat{u}_{t-1} + \dots + \rho_q \hat{u}_{t-q} + \epsilon_t
	380	+\]
	381	+
	382	+\textbf{Hypothèse nulle :}
	383	+\[
	384	+H_0 : \rho_1 = \rho_2 = \dots = \rho_q = 0 \quad \text{contre l’alternative qu’au moins une des autocorrélations est non nulle.}
	385	+\]
	386	+
	387	+La statistique de test est :
	388	+
	389	+\[
	390	+BG = (T - q) R^2 \sim \chi^2(q)
	391	+\]
	392	+
	393	+\subsection{Estimateur Robuste de Newey-West}
	394	+
	395	+\textbf{\textcolor{blue}{\cite{gujarati2010}, \cite{greene2018}}}
	396	+
	397	+Il existe une forme de correcteur robuste pour les problèmes d’autocorrélation des erreurs qui est une alternative au FGLS lorsque le nombre d’observations est assez élevé. En effet, cette correction est asymptotique. C’est l’estimateur de la variance de Newey-West. L’intuition est la même que le correcteur de White, mais appliquée aux problèmes d’autocorrélation des erreurs. En fait, le charme de l’estimateur de Newey-West est qu’il corrige pour l’autocorrélation ET l’hétéroscédasticité des erreurs (c’est ce qu’on appelle l’estimateur « HAC 1 »). C’est un correcteur très populaire en finance.
	398	+
	399	+Plus généralement, la classe d’estimateurs corrige les déviations dans la matrice de variance-covariance des erreurs par rapport au cas simple.
	400	+
	401	+Nous n’allons pas faire la preuve ou la dérivation, car elle est assez avancée. Pour ceux qui veulent aller plus loin, elle est présentée dans la section 20.5.2 de \textcolor{blue}{\cite{greene2018}}. Le correcteur de Newey-West est déjà programmé dans les logiciels d’analyse de données comme Stata.
	402	+
	403	+\section{Conclusion}
	404	+
	405	+L'autocorrélation des erreurs est une problématique courante dans les modèles de régression linéaire appliqués aux séries chronologiques. Les tests diagnostiques tels que Durbin-Watson et Breusch-Godfrey permettent de détecter sa présence et de choisir les méthodes appropriées pour la corriger, assurant ainsi la fiabilité des estimations des paramètres du modèle. Des méthodes de correction comme Prais-Winsten, Cochran-Orcutt et l'estimateur de Newey-West offrent des solutions robustes pour traiter l'autocorrélation et améliorer les performances des modèles économétriques.
	406	+
	407	+% ------------------------------------------------------------------------
	408	+% Bibliographie
	409	+% ------------------------------------------------------------------------
	410	+\printbibliography
	411	+
	412	+\end{document}

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	10	+% Packages indispensables et recommandés
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	87	+\title{\textbf{Preuve Complète de la Méthode de Cochrane-Orcutt}}
	88	+\author{GSF-6053}
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	94	+\begin{document}
	95	+\maketitle
	96	+
	97	+\tableofcontents
	98	+
	99	+\newpage
	100	+
	101	+\section{Introduction}
	102	+Dans l'analyse des modèles de régression linéaire, l'autocorrélation des erreurs est un problème fréquent, particulièrement dans les séries temporelles. Lorsque les erreurs sont autocorrélées, les estimations des moindres carrés ordinaires (OLS) ne sont plus les plus efficaces et les tests statistiques peuvent être invalidés. La méthode de Cochrane-Orcutt est une procédure itérative conçue pour corriger l'autocorrélation des erreurs de premier ordre, améliorant ainsi la fiabilité des estimations des paramètres du modèle.
	103	+
	104	+\section{Modèle avec Autocorrélation des Erreurs}
	105	+Considérons le modèle de régression linéaire suivant avec des erreurs autocorrélées d'ordre 1 :
	106	+\begin{align}
	107	+Y_t &= X_t \beta + u_t \label{eq:CO_model_original} \\
	108	+u_t &= \rho u_{t-1} + \epsilon_t \label{eq:CO_autocorr_error}
	109	+\end{align}
	110	+où $ \epsilon_t $ est un terme d'erreur aléatoire indépendant et identiquement distribué ($ \epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) $) et $ \|\rho\| < 1 $.
	111	+
	112	+\section{Objectif de la Méthode de Cochrane-Orcutt}
	113	+L'objectif principal de la méthode de Cochrane-Orcutt est de transformer le modèle original de manière à éliminer l'autocorrélation des erreurs, permettant ainsi l'application des moindres carrés ordinaires (OLS) pour obtenir des estimateurs sans biais et efficaces des paramètres $ \beta $.
	114	+
	115	+\section{Transformation de Cochrane-Orcutt}
	116	+La transformation de Cochrane-Orcutt est définie par les équations suivantes pour $ t = 2, 3, \dots, T $ :
	117	+\begin{align}
	118	+Y_t^* &= Y_t - \rho Y_{t-1} \\
	119	+X_t^* &= X_t - \rho X_{t-1} \\
	120	+u_t^* &= u_t - \rho u_{t-1}
	121	+\end{align}
	122	+Contrairement à la méthode de Prais-Winsten, Cochrane-Orcutt omet la première observation après transformation, ce qui peut entraîner une perte d'information mais simplifie la procédure.
	123	+
	124	+\subsection{Procédure de Transformation}
	125	+\begin{enumerate}
	126	+ \item \textbf{Estimation Initiale :} Estimer le modèle OLS (\ref{eq:CO_model_original}) pour obtenir les résidus $ \hat{u}_t $.
	127	+ \item \textbf{Estimation de $ \rho $ :} Utiliser les résidus pour estimer le coefficient d'autocorrélation $ \rho $ en régressant $ \hat{u}_t $ sur $ \hat{u}_{t-1} $.
	128	+ \begin{equation}
	129	+ \hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \nu_t
	130	+ \end{equation}
	131	+ \item \textbf{Transformation des Variables :} Appliquer la transformation de Cochrane-Orcutt aux variables dépendante et indépendantes, en omettant la première observation.
	132	+ \item \textbf{Estimation Finale :} Estimer le modèle transformé en utilisant les moindres carrés ordinaires sur les variables transformées.
	133	+\end{enumerate}
	134	+
	135	+\section{Preuve de la Transformation de Cochrane-Orcutt}
	136	+Pour démontrer que la transformation de Cochrane-Orcutt élimine l'autocorrélation des erreurs, nous allons procéder par étapes détaillées.
	137	+
	138	+\subsection{Modèle Original avec Autocorrélation}
	139	+Considérons le modèle original avec autocorrélation des erreurs d'ordre 1 :
	140	+\begin{align}
	141	+Y_t &= X_t \beta + u_t \label{eq:CO_model_original_repeat} \\
	142	+u_t &= \rho u_{t-1} + \epsilon_t \label{eq:CO_autocorr_error_repeat}
	143	+\end{align}
	144	+où $ \epsilon_t $ est un terme d'erreur aléatoire indépendant avec $ E(\epsilon_t) = 0 $ et $ Var(\epsilon_t) = \sigma^2 $, et $ \|\rho\| < 1 $.
	145	+
	146	+\subsection{Substitution et Transformation}
	147	+Substituons l'expression de $ u_t $ dans le modèle original (\ref{eq:CO_model_original_repeat}) :
	148	+\begin{align*}
	149	+Y_t &= X_t \beta + \rho u_{t-1} + \epsilon_t \quad \text{(en remplaçant $ u_t $)} \\
	150	+Y_t &= X_t \beta + \rho (Y_{t-1} - X_{t-1} \beta) + \epsilon_t \quad \text{(en remplaçant $ u_{t-1} $)} \\
	151	+Y_t &= X_t \beta + \rho Y_{t-1} - \rho X_{t-1} \beta + \epsilon_t \quad \text{(en distribuant $ \rho $)}
	152	+\end{align*}
	153	+Regroupons les termes :
	154	+\begin{align*}
	155	+Y_t - \rho Y_{t-1} &= (X_t - \rho X_{t-1}) \beta + \epsilon_t \\
	156	+Y_t^* &= X_t^* \beta + \epsilon_t \quad \text{(définissant $ Y_t^* = Y_t - \rho Y_{t-1} $ et $ X_t^* = X_t - \rho X_{t-1} $)}
	157	+\end{align*}
	158	+Ainsi, le modèle transformé est :
	159	+\[
	160	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	161	+\]
	162	+où $ Y_t^* = Y_t - \rho Y_{t-1} $ et $ X_t^* = X_t - \rho X_{t-1} $.
	163	+
	164	+\subsection{Propriétés des Erreurs Transformées}
	165	+Les erreurs transformées sont définies par :
	166	+\[
	167	+u_t^* = u_t - \rho u_{t-1} = \epsilon_t
	168	+\]
	169	+Puisque $ \epsilon_t $ est non corrélée et homoscédastique ($ Var(\epsilon_t) = \sigma^2 $), les erreurs transformées $ u_t^* $ possèdent les mêmes propriétés :
	170	+\[
	171	+E(u_t^*) = E(\epsilon_t) = 0
	172	+\]
	173	+\[
	174	+Var(u_t^*) = Var(\epsilon_t) = \sigma^2
	175	+\]
	176	+\[
	177	+Cov(u_t^, u_s^) = Cov(\epsilon_t, \epsilon_s) = 0 \quad \text{pour } t \neq s
	178	+\]
	179	+Cela montre que les erreurs transformées $ u_t^* $ sont non corrélées et homoscédastiques.
	180	+
	181	+\subsection{Conséquences de la Transformation}
	182	+En appliquant la transformation de Cochrane-Orcutt, le modèle transformé ne présente plus d'autocorrélation des erreurs. Ainsi, les estimateurs $ \hat{\beta} $ obtenus par OLS sur le modèle transformé sont sans biais et efficaces sous les hypothèses classiques de Gauss-Markov.
	183	+
	184	+\subsection{Étapes Détaillées de la Preuve}
	185	+Pour une compréhension approfondie, détaillons chaque étape de la preuve :
	186	+
	187	+\subsubsection{Étape 1 : Substitution des Erreurs}
	188	+Partant des équations (\ref{eq:CO_model_original_repeat}) et (\ref{eq:CO_autocorr_error_repeat}) :
	189	+\[
	190	+Y_t = X_t \beta + \rho u_{t-1} + \epsilon_t
	191	+\]
	192	+
	193	+\subsubsection{Étape 2 : Substitution Récursive}
	194	+Remplaçons $ u_{t-1} $ par son expression à partir de l'équation (\ref{eq:CO_autocorr_error_repeat}) :
	195	+\[
	196	+u_{t-1} = \rho u_{t-2} + \epsilon_{t-1}
	197	+\]
	198	+Cependant, pour simplifier la transformation, nous considérons que les valeurs passées de $ u $ sont déjà intégrées dans les termes de $ Y $ et $ X $.
	199	+
	200	+\subsubsection{Étape 3 : Réarrangement des Termes}
	201	+Regroupons les termes liés à $ Y_t $ et $ Y_{t-1} $ :
	202	+\[
	203	+Y_t - \rho Y_{t-1} = X_t \beta - \rho X_{t-1} \beta + \epsilon_t
	204	+\]
	205	+\[
	206	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	207	+\]
	208	+avec $ Y_t^* = Y_t - \rho Y_{t-1} $ et $ X_t^* = X_t - \rho X_{t-1} $.
	209	+
	210	+\subsubsection{Étape 4 : Analyse des Erreurs Transformées}
	211	+Les erreurs transformées $ u_t^* $ sont :
	212	+\[
	213	+u_t^* = u_t - \rho u_{t-1} = \epsilon_t
	214	+\]
	215	+Puisque $ \epsilon_t $ est indépendant et identiquement distribué, les erreurs transformées $ u_t^* $ sont également indépendantes et identiquement distribuées, sans autocorrélation.
	216	+
	217	+\subsubsection{Étape 5 : Application des Moindres Carrés Ordinaires}
	218	+Avec le modèle transformé :
	219	+\[
	220	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	221	+\]
	222	+et des erreurs $ \epsilon_t $ non autocorrélées et homoscédastiques, l'application des moindres carrés ordinaires (OLS) sur le modèle transformé fournit des estimateurs $ \hat{\beta} $ sans biais et efficaces, satisfaisant les conditions du théorème de Gauss-Markov.
	223	+
	224	+\section{Estimation de $ \rho $}
	225	+L'estimation du coefficient d'autocorrélation $ \rho $ est cruciale pour la transformation de Cochrane-Orcutt. Une méthode courante consiste à utiliser les résidus du modèle OLS initial pour estimer $ \rho $ via une régression des résidus sur leurs valeurs retardées :
	226	+\[
	227	+\hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \nu_t
	228	+\]
	229	+où $ \nu_t $ est l'erreur de cette régression. L'estimateur de $ \rho $ obtenu est ensuite utilisé dans les étapes de transformation des variables.
	230	+
	231	+\subsection{Procédure d'Estimation de $ \rho $}
	232	+\begin{enumerate}
	233	+ \item \textbf{Estimation Initiale du Modèle OLS :} Estimer le modèle original (\ref{eq:CO_model_original_repeat}) par OLS pour obtenir les résidus $ \hat{u}_t $.
	234	+ \item \textbf{Régression des Résidus :} Régressuer $ \hat{u}_t $ sur $ \hat{u}_{t-1} $ :
	235	+ \[
	236	+ \hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \nu_t
	237	+ \]
	238	+ \item \textbf{Obtention de $ \hat{\rho} $ :} Utiliser les estimateurs de cette régression pour obtenir $ \hat{\rho} $.
	239	+\end{enumerate}
	240	+
	241	+\subsection{Considérations sur l'Estimation de $ \rho $}
	242	+\begin{itemize}
	243	+ \item \textbf{Consistance :} L'estimateur $ \hat{\rho} $ est consistant si $ \rho $ est bien spécifié et si les erreurs sont correctement modélisées.
	244	+ \item \textbf{Efficacité :} Pour améliorer l'efficacité de l'estimation, des méthodes comme le maximum de vraisemblance peuvent être utilisées.
	245	+ \item \textbf{Tests de Significativité :} Il est important de tester la significativité de $ \hat{\rho} $ pour s'assurer que l'autocorrélation est effectivement présente et significative.
	246	+\end{itemize}
	247	+
	248	+\section{Propriétés de l'Estimateur Transformé}
	249	+Après transformation, l'estimateur $ \hat{\beta} $ obtenu via les moindres carrés ordinaires sur le modèle transformé possède les propriétés suivantes :
	250	+\begin{itemize}
	251	+ \item \textbf{Sans Biais :} $ E(\hat{\beta}) = \beta $
	252	+ \item \textbf{Efficace :} Sous les hypothèses classiques de Gauss-Markov, $ \hat{\beta} $ est l'estimateur linéaire sans biais ayant la plus petite variance.
	253	+ \item \textbf{Consistant :} L'estimateur converge en probabilité vers la vraie valeur $ \beta $ lorsque la taille de l'échantillon augmente.
	254	+\end{itemize}
	255	+
	256	+\subsection{Démonstration de l'Unbiasedness}
	257	+Considérons le modèle transformé :
	258	+\[
	259	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	260	+\]
	261	+Prenons l'espérance conditionnelle de $ Y_t^* $ :
	262	+\[
	263	+E(Y_t^* \| X_t^) = E(X_t^ \beta + \epsilon_t \| X_t^) = X_t^ \beta + E(\epsilon_t \| X_t^) = X_t^ \beta
	264	+\]
	265	+Ainsi, l'estimateur $ \hat{\beta} $ issu des moindres carrés ordinaires est sans biais :
	266	+\[
	267	+E(\hat{\beta}) = \beta
	268	+\]
	269	+
	270	+\subsection{Démonstration de l'Efficacité}
	271	+Sous les hypothèses de Gauss-Markov (linéarité, exogénéité, homoscédasticité, absence d'autocorrélation, etc.), l'estimateur OLS est BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Après transformation de Cochrane-Orcutt, ces hypothèses sont satisfaites dans le modèle transformé, ce qui garantit que $ \hat{\beta} $ est l'estimateur linéaire sans biais avec la plus petite variance possible.
	272	+
	273	+\subsection{Démonstration de la Consistance}
	274	+La consistance de $ \hat{\beta} $ repose sur les conditions suivantes :
	275	+\begin{itemize}
	276	+ \item $ \frac{1}{T} X^{'} X^ $ converge vers une matrice définie positive.
	277	+ \item $ \frac{1}{T} X^{*'} \epsilon $ converge en probabilité vers zéro.
	278	+\end{itemize}
	279	+Sous ces conditions, par le théorème des moindres carrés, $ \hat{\beta} $ converge en probabilité vers $ \beta $.
	280	+
	281	+\section{Conclusion}
	282	+La méthode de Cochrane-Orcutt est une procédure efficace pour corriger l'autocorrélation des erreurs dans un modèle de régression linéaire. En transformant les variables dépendantes et indépendantes, cette méthode permet l'application des moindres carrés ordinaires de manière appropriée, assurant ainsi des estimations fiables des paramètres du modèle. Bien que cette méthode puisse entraîner une perte d'information en omettant la première observation, elle simplifie la procédure de transformation et reste largement utilisée dans l'analyse des séries temporelles.
	283	+
	284	+\section{Références}
	285	+Pour une discussion détaillée sur la méthode de Cochrane-Orcutt et ses propriétés, voir \textcolor{blue}{Wooldridge chapitre 8}.
	286	+
	287	+\end{document}

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	25	+\usepackage{cleveref} % Références intelligentes
	26	+\usepackage{caption} % Pour personnaliser les légendes
	27	+\usepackage{enumitem} % Pour personnaliser les listes
	28	+\usepackage{pdflscape} % Pour placer les tableaux en paysage
	29	+
	30	+% ------------------------------------------------------------------------
	31	+% Configuration de la mise en page
	32	+% ------------------------------------------------------------------------
	33	+\geometry{
	34	+ a4paper,
	35	+ margin=25mm
	36	+}
	37	+
	38	+% ------------------------------------------------------------------------
	39	+% Définition des environnements théorèmes, définitions, etc.
	40	+% ------------------------------------------------------------------------
	41	+\theoremstyle{definition}
	42	+\newtheorem{definition}{Définition}[section]
	43	+
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	47	+
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	49	+% Personnalisation des sections
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	64	+ colorlinks=true, % Les liens sont colorés
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	70	+ breaklinks=true % Permet les sauts de ligne dans les liens
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	77	+\fancyhead[L]{Transformation de Prais-Winsten}
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	81	+
	82	+
	83	+% ------------------------------------------------------------------------
	84	+% Informations sur le document
	85	+% ------------------------------------------------------------------------
	86	+\title{\textbf{Preuve Complète de la Transformation de Prais-Winsten}}
	87	+\author{GSF-6053}
	88	+\date{Janvier 2025}
	89	+
	90	+% ------------------------------------------------------------------------
	91	+% Début du document
	92	+% ------------------------------------------------------------------------
	93	+\begin{document}
	94	+\maketitle
	95	+
	96	+\tableofcontents
	97	+
	98	+\newpage
	99	+
	100	+\section{Introduction}
	101	+La transformation de Prais-Winsten est une méthode utilisée pour corriger l'autocorrélation des erreurs de premier ordre dans un modèle de régression linéaire. Cette transformation est particulièrement utile dans les séries temporelles où l'autocorrélation peut biaiser les estimations des moindres carrés ordinaires (OLS). La méthode de Prais-Winsten améliore la procédure de Cochrane-Orcutt en conservant la première observation, ce qui permet une utilisation plus efficace des données disponibles.
	102	+
	103	+\section{Modèle avec Autocorrélation des Erreurs}
	104	+Considérons le modèle de régression linéaire suivant avec des erreurs autocorrélées d'ordre 1 :
	105	+\begin{align}
	106	+Y_t &= X_t \beta + u_t \label{eq:model_original} \\
	107	+u_t &= \rho u_{t-1} + \epsilon_t \label{eq:autocorr_error}
	108	+\end{align}
	109	+où $ \epsilon_t $ est un terme d'erreur aléatoire indépendant et identiquement distribué ($ \epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) $) et $ \|\rho\| < 1 $.
	110	+
	111	+\section{Objectif de la Transformation}
	112	+L'objectif principal de la transformation de Prais-Winsten est de transformer le modèle original de manière à éliminer l'autocorrélation des erreurs, permettant ainsi l'application des moindres carrés ordinaires pour obtenir des estimateurs sans biais et efficaces des paramètres $ \beta $.
	113	+
	114	+\section{Transformation de Prais-Winsten}
	115	+La transformation de Prais-Winsten est définie par les équations suivantes pour $ t = 1, 2, \dots, T $ :
	116	+\begin{align}
	117	+Y_t^* &= Y_t - \rho Y_{t-1} \\
	118	+X_t^* &= X_t - \rho X_{t-1} \\
	119	+u_t^* &= u_t - \rho u_{t-1}
	120	+\end{align}
	121	+Contrairement à la méthode de Cochrane-Orcutt, Prais-Winsten modifie également la première observation pour éviter de perdre des données, ce qui rend l'estimation plus efficace.
	122	+
	123	+\subsection{Procédure de Transformation}
	124	+\begin{enumerate}
	125	+ \item \textbf{Estimation Initiale :} Estimer le modèle OLS (\ref{eq:model_original}) pour obtenir les résidus $ \hat{u}_t $.
	126	+ \item \textbf{Estimation de $ \rho $ :} Utiliser les résidus pour estimer le coefficient d'autocorrélation $ \rho $ en régressant $ \hat{u}_t $ sur $ \hat{u}_{t-1} $.
	127	+ \begin{equation}
	128	+ \hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \nu_t
	129	+ \end{equation}
	130	+ \item \textbf{Transformation des Variables :} Appliquer la transformation de Prais-Winsten aux variables dépendante et indépendantes.
	131	+ \item \textbf{Estimation Finale :} Estimer le modèle transformé en utilisant les moindres carrés ordinaires sur les variables transformées.
	132	+\end{enumerate}
	133	+
	134	+\section{Preuve de la Transformation}
	135	+Pour démontrer que la transformation de Prais-Winsten élimine l'autocorrélation des erreurs, nous allons procéder par étapes détaillées.
	136	+
	137	+\subsection{Modèle Original avec Autocorrélation}
	138	+Considérons le modèle original avec autocorrélation des erreurs d'ordre 1 :
	139	+\begin{align}
	140	+Y_t &= X_t \beta + u_t \label{eq:model_original_repeat} \\
	141	+u_t &= \rho u_{t-1} + \epsilon_t \label{eq:autocorr_error_repeat}
	142	+\end{align}
	143	+où $ \epsilon_t $ est un terme d'erreur aléatoire indépendant avec $ E(\epsilon_t) = 0 $ et $ Var(\epsilon_t) = \sigma^2 $, et $ \|\rho\| < 1 $.
	144	+
	145	+\subsection{Substitution et Transformation}
	146	+Substituons l'expression de $ u_t $ dans le modèle original (\ref{eq:model_original_repeat}) :
	147	+\begin{align*}
	148	+Y_t &= X_t \beta + \rho u_{t-1} + \epsilon_t \quad \text{(en remplaçant $ u_t $)} \\
	149	+Y_t &= X_t \beta + \rho (Y_{t-1} - X_{t-1} \beta) + \epsilon_t \quad \text{(en remplaçant $ u_{t-1} $)} \\
	150	+Y_t &= X_t \beta + \rho Y_{t-1} - \rho X_{t-1} \beta + \epsilon_t \quad \text{(en distribuant $ \rho $)}
	151	+\end{align*}
	152	+Regroupons les termes :
	153	+\begin{align*}
	154	+Y_t - \rho Y_{t-1} &= X_t \beta - \rho X_{t-1} \beta + \epsilon_t \\
	155	+Y_t^* &= X_t^* \beta + \epsilon_t \quad \text{(définissant $ Y_t^* = Y_t - \rho Y_{t-1} $ et $ X_t^* = X_t - \rho X_{t-1} $)}
	156	+\end{align*}
	157	+Ainsi, le modèle transformé est :
	158	+\[
	159	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	160	+\]
	161	+où $ Y_t^* = Y_t - \rho Y_{t-1} $ et $ X_t^* = X_t - \rho X_{t-1} $.
	162	+
	163	+\subsection{Propriétés des Erreurs Transformées}
	164	+Examinons les erreurs transformées :
	165	+\[
	166	+u_t^* = u_t - \rho u_{t-1}
	167	+\]
	168	+En utilisant l'équation (\ref{eq:autocorr_error_repeat}) :
	169	+\[
	170	+u_t^* = (\rho u_{t-1} + \epsilon_t) - \rho u_{t-1} = \epsilon_t
	171	+\]
	172	+Ainsi, $ u_t^* = \epsilon_t $.
	173	+
	174	+Puisque $ \epsilon_t $ est non corrélée et homoscédastique ($ Var(\epsilon_t) = \sigma^2 $), les erreurs transformées $ u_t^* $ possèdent les mêmes propriétés :
	175	+\[
	176	+E(u_t^*) = E(\epsilon_t) = 0
	177	+\]
	178	+\[
	179	+Var(u_t^*) = Var(\epsilon_t) = \sigma^2
	180	+\]
	181	+\[
	182	+Cov(u_t^, u_s^) = Cov(\epsilon_t, \epsilon_s) = 0 \quad \text{pour } t \neq s
	183	+\]
	184	+Cela montre que les erreurs transformées $ u_t^* $ sont non corrélées et homoscédastiques.
	185	+
	186	+\subsection{Conclusion de la Transformation}
	187	+En appliquant la transformation de Prais-Winsten, le modèle transformé devient :
	188	+\[
	189	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	190	+\]
	191	+où les erreurs $ \epsilon_t $ sont non corrélées et homoscédastiques. Cela permet l'application des moindres carrés ordinaires (OLS) sur le modèle transformé pour obtenir des estimateurs $ \hat{\beta} $ sans biais et efficaces.
	192	+
	193	+\subsection{Étapes Détaillées de la Preuve}
	194	+Pour une compréhension approfondie, détaillons chaque étape de la preuve :
	195	+
	196	+\subsubsection{Étape 1 : Substitution des Erreurs}
	197	+Partant des équations (\ref{eq:model_original_repeat}) et (\ref{eq:autocorr_error_repeat}) :
	198	+\[
	199	+Y_t = X_t \beta + u_t
	200	+\]
	201	+\[
	202	+u_t = \rho u_{t-1} + \epsilon_t
	203	+\]
	204	+Substituons $ u_t $ dans l'équation de $ Y_t $ :
	205	+\[
	206	+Y_t = X_t \beta + \rho u_{t-1} + \epsilon_t
	207	+\]
	208	+
	209	+\subsubsection{Étape 2 : Substitution Récursive}
	210	+Remplaçons $ u_{t-1} $ par son expression à partir de l'équation (\ref{eq:autocorr_error_repeat}) :
	211	+\[
	212	+u_{t-1} = \rho u_{t-2} + \epsilon_{t-1}
	213	+\]
	214	+Cependant, pour simplifier la transformation, nous considérons que les valeurs passées de $ u $ sont déjà intégrées dans les termes de $ Y $ et $ X $.
	215	+
	216	+\subsubsection{Étape 3 : Réarrangement des Termes}
	217	+Regroupons les termes liés à $ Y_t $ et $ Y_{t-1} $ :
	218	+\[
	219	+Y_t - \rho Y_{t-1} = X_t \beta - \rho X_{t-1} \beta + \epsilon_t
	220	+\]
	221	+\[
	222	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	223	+\]
	224	+avec $ Y_t^* = Y_t - \rho Y_{t-1} $ et $ X_t^* = X_t - \rho X_{t-1} $.
	225	+
	226	+\subsubsection{Étape 4 : Analyse des Erreurs Transformées}
	227	+Les erreurs transformées $ u_t^* $ sont définies comme :
	228	+\[
	229	+u_t^* = u_t - \rho u_{t-1} = \epsilon_t
	230	+\]
	231	+Puisque $ \epsilon_t $ est indépendant et identiquement distribué, les erreurs transformées $ u_t^* $ sont également indépendantes et identiquement distribuées, sans autocorrélation.
	232	+
	233	+\subsubsection{Étape 5 : Application des Moindres Carrés Ordinaires}
	234	+Avec le modèle transformé :
	235	+\[
	236	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	237	+\]
	238	+et des erreurs $ \epsilon_t $ non autocorrélées et homoscédastiques, l'application des moindres carrés ordinaires (OLS) sur ce modèle transformé fournit des estimateurs $ \hat{\beta} $ sans biais et efficaces, satisfaisant les conditions du théorème de Gauss-Markov.
	239	+
	240	+\section{Estimation de $ \rho $}
	241	+L'estimation du coefficient d'autocorrélation $ \rho $ est cruciale pour la transformation de Prais-Winsten. Une méthode courante consiste à utiliser les résidus du modèle OLS initial pour estimer $ \rho $ via une régression des résidus sur leurs valeurs retardées :
	242	+\[
	243	+\hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \nu_t
	244	+\]
	245	+où $ \nu_t $ est l'erreur de cette régression. L'estimateur de $ \rho $ obtenu est ensuite utilisé dans les étapes de transformation des variables.
	246	+
	247	+\subsection{Procédure d'Estimation de $ \rho $}
	248	+\begin{enumerate}
	249	+ \item \textbf{Estimation Initiale du Modèle OLS :} Estimer le modèle original (\ref{eq:model_original_repeat}) par OLS pour obtenir les résidus $ \hat{u}_t $.
	250	+ \item \textbf{Régression des Résidus :} Régressuer $ \hat{u}_t $ sur $ \hat{u}_{t-1} $ :
	251	+ \[
	252	+ \hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \nu_t
	253	+ \]
	254	+ \item \textbf{Obtention de $ \hat{\rho} $ :} Utiliser les estimateurs de cette régression pour obtenir $ \hat{\rho} $.
	255	+\end{enumerate}
	256	+
	257	+\subsection{Considérations sur l'Estimation de $ \rho $}
	258	+\begin{itemize}
	259	+ \item \textbf{Consistance :} L'estimateur $ \hat{\rho} $ est consistant si $ \rho $ est bien spécifié et si les erreurs sont correctement modélisées.
	260	+ \item \textbf{Efficacité :} Pour améliorer l'efficacité de l'estimation, des méthodes comme le maximum de vraisemblance peuvent être utilisées.
	261	+ \item \textbf{Tests de Significativité :} Il est important de tester la significativité de $ \hat{\rho} $ pour s'assurer que l'autocorrélation est effectivement présente et significative.
	262	+\end{itemize}
	263	+
	264	+\section{Propriétés de l'Estimateur Transformé}
	265	+Après transformation, l'estimateur $ \hat{\beta} $ obtenu via les moindres carrés ordinaires sur le modèle transformé possède les propriétés suivantes :
	266	+\begin{itemize}
	267	+ \item \textbf{Sans Biais :} $ E(\hat{\beta}) = \beta $
	268	+ \item \textbf{Efficace :} Sous les hypothèses classiques de Gauss-Markov, $ \hat{\beta} $ est l'estimateur linéaire sans biais ayant la plus petite variance.
	269	+ \item \textbf{Consistant :} L'estimateur converge en probabilité vers la vraie valeur $ \beta $ lorsque la taille de l'échantillon augmente.
	270	+\end{itemize}
	271	+
	272	+\subsection{Démonstration de l'Unbiasedness}
	273	+Considérons le modèle transformé :
	274	+\[
	275	+Y_t^* = X_t^* \beta + \epsilon_t
	276	+\]
	277	+Prenons l'espérance conditionnelle de $ Y_t^* $ :
	278	+\[
	279	+E(Y_t^* \| X_t^) = E(X_t^ \beta + \epsilon_t \| X_t^) = X_t^ \beta + E(\epsilon_t \| X_t^) = X_t^ \beta
	280	+\]
	281	+Ainsi, l'estimateur $ \hat{\beta} $ issu des moindres carrés ordinaires est sans biais :
	282	+\[
	283	+E(\hat{\beta}) = \beta
	284	+\]
	285	+
	286	+\subsection{Démonstration de l'Efficacité}
	287	+Sous les hypothèses de Gauss-Markov (linéarité, exogénéité, homoscédasticité, absence d'autocorrélation, etc.), l'estimateur OLS est BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Après transformation de Prais-Winsten, ces hypothèses sont satisfaites dans le modèle transformé, ce qui garantit que $ \hat{\beta} $ est l'estimateur linéaire sans biais avec la plus petite variance possible.
	288	+
	289	+\subsection{Démonstration de la Consistance}
	290	+La consistance de $ \hat{\beta} $ repose sur les conditions suivantes :
	291	+\begin{itemize}
	292	+ \item $ \frac{1}{T} X^{'} X^ $ converge vers une matrice définie positive.
	293	+ \item $ \frac{1}{T} X^{*'} \epsilon $ converge en probabilité vers zéro.
	294	+\end{itemize}
	295	+Sous ces conditions, par le théorème des moindres carrés, $ \hat{\beta} $ converge en probabilité vers $ \beta $.
	296	+
	297	+\section{Conclusion}
	298	+La transformation de Prais-Winsten est une méthode efficace pour corriger l'autocorrélation des erreurs dans un modèle de régression linéaire. En transformant les variables dépendantes et indépendantes, cette méthode permet l'application des moindres carrés ordinaires de manière appropriée, assurant ainsi des estimations fiables des paramètres du modèle. Comparée à la méthode de Cochrane-Orcutt, Prais-Winsten conserve la première observation, ce qui améliore l'efficacité des estimations, surtout dans les petits échantillons.
	299	+
	300	+\section{Références}
	301	+Pour une discussion détaillée sur la transformation de Prais-Winsten et ses propriétés, voir \textcolor{blue}{Wooldridge chapitre 8}.
	302	+
	303	+\end{document}

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		`@@ -0,0 +1,32 @@`
	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📖 NOTE — Séance 6 : Autocorrélation
	10	+
	11	+Notes de cours (sources LaTeX) de la sixième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Document \| Description \|
	16	+\|---------\|----------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_NOTE_AUTOCORÉLATION/` \| Autocorrélation \| Processus AR(1) sur les erreurs, conséquences sur l'inférence MCO, test de Durbin-Watson, méthodes de correction \|
	18	+\| `GSF6053_H25_preuve_cochrane-orcutt/` \| Cochrane-Orcutt \| Dérivation complète de la procédure itérative de Cochrane-Orcutt \|
	19	+\| `GSF6053_H25_preuve_prais-winsten/` \| Prais-Winsten \| Dérivation de la transformation de Prais-Winsten (conservation de la première observation) \|
	20	+
	21	+## Compilation
	22	+
	23	+```bash
	24	+cd GSF6053_H25_NOTE_AUTOCORÉLATION && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	25	+```
	26	+
	27	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	28	+
	29	+---
	30	+
	31	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	32	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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added PDF/GSF6053_H25_SOL_014.pdf +0 −0

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added PDF/GSF6053_H25_S\303\251ance1_Introduction.pdf +0 −0

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added PDF/GSF6053_H25_S\303\251ance1_MCO.pdf +0 −0

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	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📄 PDF — Documents compilés du cours GSF6053 (Hiver 2025)
	10	+
	11	+Ce dossier regroupe tous les documents compilés du cours : diapositives, notes de cours, preuves mathématiques, séries d'exercices et solutionnaires.
	12	+
	13	+## Diapositives des séances
	14	+
	15	+\| Fichier \| Séance \|
	16	+\|---------\|--------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_Séance1_Introduction.pdf` \| S1 — Introduction du cours \|
	18	+\| `GSF6053_H25_Séance1_Révision.pdf` \| S1 — Révision statistique \|
	19	+\| `GSF6053_H25_Séance1_MCO.pdf` \| S1 — Régression et MCO \|
	20	+\| `GSF6053_H25_Séance2_MLE.pdf` \| S2 — Maximum de vraisemblance \|
	21	+\| `GS6053_H25_Séance3_Tests_ANOVA.pdf` \| S3 — Tests d'hypothèses et ANOVA \|
	22	+\| `GSF6053_H25_Séance4_Extensions_Modèle_Linéaire.pdf` \| S4 — Extensions du modèle linéaire / MCG \|
	23	+\| `GSF6053_H25_Séance5_Hétéroscédasticité.pdf` \| S5 — Hétéroscédasticité \|
	24	+\| `GSF6053_H25_Séance6_Autocorrélation.pdf` \| S6 — Autocorrélation \|
	25	+
	26	+## Notes de cours
	27	+
	28	+`GSF6053_H25_NOTE_INTRO`, `NOTE_PRÉALABLE`, `NOTE_MCO`, `NOTE_MLE`, `NOTE_Test_hypothèse`, `NOTE_ANOVA`, `NOTE_MCG`, `NOTE_HETEROSCEDASTICITE`, `Note_Breusch_Pagan`, `NOTE_WHITE_TEST`, `NOTE_AUTOCORÉLATION` (`.pdf`)
	29	+
	30	+## Preuves mathématiques
	31	+
	32	+`preuve_MCO_sommation`, `preuve_MCO_matriciel`, `preuve_MLE`, `preuve_cramer_rao`, `preuve_MCG`, `preuve_cochrane_orcutt`, `preuve_prais_winsten` (`.pdf`)
	33	+
	34	+## Exercices et solutionnaires
	35	+
	36	+- Exercices : `GSF6053_H25_EXO_001.pdf` à `GSF6053_H25_EXO_014.pdf` (14 séries)
	37	+- Solutionnaires : `GSF6053_H25_SOL_001.pdf` à `GSF6053_H25_SOL_014.pdf` (14 solutionnaires complets)
	38	+
	39	+Les sources LaTeX des notes et des slides se trouvent dans [`../NOTE/`](../NOTE/) et [`../SLIDES/`](../SLIDES/).
	40	+
	41	+---
	42	+
	43	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	44	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📊 GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	10	+
	11	+> Auteur / Instructeur : Simon-Pierre Boucher — 📧 [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	12	+> Université Laval — Faculté des sciences de l'administration — Département de finance, assurance et immobilier
	13	+
	14	+[![LaTeX](https://img.shields.io/badge/LaTeX-Sources-green?style=for-the-badge&logo=latex)](https://www.latex-project.org/)
	15	+[![Beamer](https://img.shields.io/badge/Beamer-Pr%C3%A9sentations-orange?style=for-the-badge)](https://ctan.org/pkg/beamer)
	16	+[![PDF](https://img.shields.io/badge/PDF-Documents%20compil%C3%A9s-red?style=for-the-badge&logo=adobe-acrobat-reader)](./PDF/)
	17	+[![Langue](https://img.shields.io/badge/Langue-Fran%C3%A7ais-blue?style=for-the-badge)]()
	18	+[![Statut](https://img.shields.io/badge/Statut-Complet-brightgreen?style=for-the-badge)]()
	19	+
	20	+---
	21	+
	22	+## 🎯 Vue d'ensemble
	23	+
	24	+Ce dépôt contient l'intégralité du matériel pédagogique du cours GSF6053 — Économétrie Financière donné à l'Université Laval à la session d'hiver 2025. Le cours couvre les méthodes économétriques fondamentales appliquées à la finance : estimation par moindres carrés ordinaires (MCO) et généralisés (MCG), maximum de vraisemblance (MLE), inférence statistique (tests d'hypothèses, ANOVA), et traitement des violations des hypothèses classiques (hétéroscédasticité, autocorrélation).
	25	+
	26	+Le matériel est organisé en trois volets complémentaires :
	27	+
	28	+\| Volet \| Dossier \| Format \| Contenu \|
	29	+\|-------\|---------\|--------\|---------\|
	30	+\| 📖 Notes de cours \| [`NOTE/`](./NOTE/) \| Sources LaTeX (`extarticle`) \| 17 documents : notes théoriques détaillées et preuves mathématiques complètes \|
	31	+\| 📊 Diapositives \| [`SLIDES/`](./SLIDES/) \| Sources LaTeX (Beamer) \| 8 présentations couvrant les 6 séances \|
	32	+\| 📄 PDF compilés \| [`PDF/`](./PDF/) \| PDF \| 43 documents : notes, slides, preuves, 14 séries d'exercices et leurs 14 solutionnaires \|
	33	+
	34	+## 🗂️ Structure du dépôt
	35	+
	36	+```
	37	+GSF6053_H25/
	38	+├── README.md # Ce fichier
	39	+├── NOTE/ # Notes de cours (sources LaTeX)
	40	+│ ├── S1/ # Séance 1 — Introduction, préalables, MCO
	41	+│ │ ├── GSF6053_H25_NOTE_INTRO/ # Introduction à l'économétrie financière
	42	+│ │ ├── GSF6053_H25_NOTE_PRÉALABLE/ # Rappels mathématiques et statistiques
	43	+│ │ ├── GSF6053_H25_NOTE_MCO/ # Moindres carrés ordinaires
	44	+│ │ ├── GSF6053_H25_preuve_MCO_sommation/ # Preuve MCO (forme sommation)
	45	+│ │ └── GSF6053_H25_preuve_MCO_matriciel/ # Preuve MCO (forme matricielle)
	46	+│ ├── S2/ # Séance 2 — Maximum de vraisemblance
	47	+│ │ ├── GSF6053_H25_NOTE_MLE/ # Estimation par maximum de vraisemblance
	48	+│ │ └── GSF6053_H25_preuve_MLE/ # Preuves MLE (dont Cramér-Rao)
	49	+│ ├── S3/ # Séance 3 — Tests d'hypothèses et ANOVA
	50	+│ │ ├── GSF6053_H25_NOTE_Test_hypothèse/ # Théorie des tests d'hypothèses
	51	+│ │ └── GSF6053_H25_NOTE_ANOVA/ # Analyse de la variance
	52	+│ ├── S4/ # Séance 4 — Moindres carrés généralisés
	53	+│ │ ├── GSF6053_H25_NOTE_MCG/ # Théorie des MCG
	54	+│ │ └── GSF6053_H25_preuve_MCG/ # Preuve de l'estimateur MCG
	55	+│ ├── S5/ # Séance 5 — Hétéroscédasticité
	56	+│ │ ├── GSF6053_H25_NOTE_HETEROSCEDASTICITE/ # Détection et correction
	57	+│ │ ├── GSF6053_H25_Note_Breusch_Pagan/ # Test de Breusch-Pagan
	58	+│ │ └── GSF6053_H25_NOTE_WHITE_TEST/ # Test de White
	59	+│ └── S6/ # Séance 6 — Autocorrélation
	60	+│ ├── GSF6053_H25_NOTE_AUTOCORÉLATION/ # Détection et correction
	61	+│ ├── GSF6053_H25_preuve_cochrane-orcutt/ # Procédure de Cochrane-Orcutt
	62	+│ └── GSF6053_H25_preuve_prais-winsten/ # Transformation de Prais-Winsten
	63	+├── SLIDES/ # Diapositives Beamer (sources LaTeX)
	64	+│ ├── S1/ (Introduction · Révision statistique · Régression et MCO)
	65	+│ ├── S2/ (Maximum de vraisemblance)
	66	+│ ├── S3/ (Tests d'hypothèses et ANOVA)
	67	+│ ├── S4/ (Extensions du modèle linéaire / MCG)
	68	+│ ├── S5/ (Hétéroscédasticité)
	69	+│ └── S6/ (Autocorrélation)
	70	+└── PDF/ # Tous les documents compilés
	71	+ ├── GSF6053_H25_Séance*.pdf # Slides des 6 séances
	72	+ ├── GSF6053_H25_NOTE_*.pdf # Notes de cours
	73	+ ├── GSF6053_H25_preuve_*.pdf # Preuves mathématiques
	74	+ ├── GSF6053_H25_EXO_001..014.pdf # 14 séries d'exercices
	75	+ └── GSF6053_H25_SOL_001..014.pdf # 14 solutionnaires complets
	76	+```
	77	+
	78	+## 📚 Contenu détaillé des séances
	79	+
	80	+### Séance 1 — Introduction, révision et moindres carrés ordinaires (MCO)
	81	+- Notes : introduction à l'économétrie financière, préalables mathématiques (algèbre matricielle, probabilités, statistique), théorie complète des MCO.
	82	+- Preuves : dérivation de l'estimateur MCO en forme sommation et en forme matricielle, propriétés BLUE (théorème de Gauss-Markov).
	83	+- Slides : 3 présentations (introduction du cours, révision statistique, régression et MCO).
	84	+- Applications financières : modèles d'évaluation d'actifs (CAPM), bêtas de marché.
	85	+
	86	+### Séance 2 — Estimation par maximum de vraisemblance (MLE)
	87	+- Notes : fonction de vraisemblance, log-vraisemblance, conditions de premier et second ordre, propriétés asymptotiques (convergence, efficacité, normalité asymptotique).
	88	+- Preuves : dérivation de l'estimateur MLE, borne de Cramér-Rao et matrice d'information de Fisher.
	89	+- Applications financières : estimation de modèles de rendements, modélisation du risque.
	90	+
	91	+### Séance 3 — Tests d'hypothèses et ANOVA
	92	+- Notes : théorie des tests (erreurs de type I/II, puissance, p-value), tests t et F, intervalles de confiance, analyse de la variance, tests de restrictions linéaires.
	93	+- Applications financières : significativité des facteurs de risque, comparaison de modèles imbriqués.
	94	+
	95	+### Séance 4 — Extensions du modèle linéaire et moindres carrés généralisés (MCG)
	96	+- Notes : violations des hypothèses classiques, estimateur MCG, MCG réalisables (FGLS), moindres carrés pondérés.
	97	+- Preuves : dérivation de l'estimateur MCG et de son efficacité relative aux MCO.
	98	+- Applications financières : données en coupe transversale, données de panel.
	99	+
	100	+### Séance 5 — Hétéroscédasticité
	101	+- Notes : conséquences de l'hétéroscédasticité sur les MCO, erreurs types robustes (White), correction par MCP.
	102	+- Notes spécialisées : test de Breusch-Pagan et test de White (dérivations et mise en œuvre).
	103	+- Applications financières : volatilité des rendements, modélisation du risque conditionnel.
	104	+
	105	+### Séance 6 — Autocorrélation
	106	+- Notes : processus AR(1) sur les erreurs, conséquences sur l'inférence, test de Durbin-Watson, test de Breusch-Godfrey.
	107	+- Preuves : procédures de correction de Cochrane-Orcutt et de Prais-Winsten.
	108	+- Applications financières : séries chronologiques financières, efficience des marchés.
	109	+
	110	+## 📝 Exercices et solutionnaires
	111	+
	112	+Le dossier [`PDF/`](./PDF/) contient 14 séries d'exercices (`GSF6053_H25_EXO_001` à `014`) accompagnées de leurs solutionnaires complets (`GSF6053_H25_SOL_001` à `014`), couvrant progressivement l'ensemble de la matière : MCO, MLE, inférence, MCG, hétéroscédasticité et autocorrélation.
	113	+
	114	+## 🛠️ Compilation des sources LaTeX
	115	+
	116	+Chaque document se trouve dans son propre dossier avec un fichier `main.tex` autonome (le logo `logo_universite_laval.png` et les figures nécessaires sont inclus dans chaque dossier).
	117	+
	118	+Prérequis : une distribution LaTeX complète (TeX Live / MacTeX / MiKTeX) avec les packages `babel-french`, `beamer`, `pgfplots`, `booktabs`, `fancyhdr`, `cleveref`, `extarticle` (extsizes).
	119	+
	120	+```bash
	121	+# Compiler un document (2 passes pour les références croisées)
	122	+cd NOTE/S1/GSF6053_H25_NOTE_MCO
	123	+pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	124	+
	125	+# Compiler l'ensemble du dépôt
	126	+find . -name "main.tex" -execdir sh -c 'pdflatex -interaction=nonstopmode main.tex && pdflatex -interaction=nonstopmode main.tex' \;
	127	+```
	128	+
	129	+- Les notes utilisent la classe `extarticle` (14 pt) avec `babel` français.
	130	+- Les slides utilisent la classe `beamer` (thème `default`, palette `seagull`).
	131	+- Tous les documents compilent avec `pdflatex` (encodage UTF-8).
	132	+
	133	+## 📊 Statistiques du dépôt
	134	+
	135	+\| Catégorie \| Nombre \|
	136	+\|-----------\|--------\|
	137	+\| Séances de cours \| 6 \|
	138	+\| Sources LaTeX (notes et preuves) \| 17 \|
	139	+\| Présentations Beamer \| 8 \|
	140	+\| Séries d'exercices \| 14 \|
	141	+\| Solutionnaires \| 14 \|
	142	+\| Documents PDF compilés \| 43 \|
	143	+\| Preuves mathématiques détaillées \| 8 \|
	144	+
	145	+## 🎓 Objectifs d'apprentissage
	146	+
	147	+À la fin de ce cours, l'étudiant(e) sera en mesure de :
	148	+
	149	+1. Maîtriser les fondements du modèle de régression linéaire et ses hypothèses classiques ;
	150	+2. Dériver et appliquer les estimateurs MCO, MCG et MLE, et connaître leurs propriétés (biais, efficacité, convergence) ;
	151	+3. Construire et interpréter des tests d'hypothèses (t, F, ANOVA, LM) dans un contexte financier ;
	152	+4. Diagnostiquer l'hétéroscédasticité (Breusch-Pagan, White) et l'autocorrélation (Durbin-Watson) ;
	153	+5. Corriger ces violations (erreurs types robustes, MCP, Cochrane-Orcutt, Prais-Winsten) ;
	154	+6. Mener une analyse économétrique empirique rigoureuse sur des données financières.
	155	+
	156	+## 📖 Références suggérées
	157	+
	158	+- Gujarati, D. N. & Porter, D. C., Basic Econometrics
	159	+- Wooldridge, J. M., Introductory Econometrics: A Modern Approach
	160	+- Greene, W. H., Econometric Analysis
	161	+
	162	+## 👤 Auteur et contact
	163	+
	164	+\| \| \|
	165	+\|---\|---\|
	166	+\| Auteur / Instructeur \| Simon-Pierre Boucher \|
	167	+\| Courriel \| [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai) \|
	168	+\| Institution \| Université Laval — Faculté des sciences de l'administration \|
	169	+\| Session \| Hiver 2025 (H25) \|
	170	+
	171	+Pour toute question sur le contenu du cours ou le matériel de ce dépôt, écrivez à contact@spboucher.ai.
	172	+
	173	+## 📄 Licence
	174	+
	175	+Matériel académique fourni à des fins pédagogiques. © 2025 Simon-Pierre Boucher — tous droits réservés.
	176	+
	177	+---
	178	+
	179	+<div align="center">
	180	+
	181	+GSF6053 — Économétrie Financière · Hiver 2025
	182	+Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	183	+
	184	+</div>

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+
	9	+% Encodages et langues
	10	+\usepackage[T1]{fontenc}
	11	+\usepackage[french]{babel}
	12	+
	13	+% Packages supplémentaires
	14	+\usepackage{graphicx}
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb}
	16	+\usepackage{booktabs} % Pour des tableaux plus esthétiques
	17	+\usepackage{hyperref} % Pour les hyperliens
	18	+\usepackage{pgfplots} % Pour les graphiques avancés
	19	+\pgfplotsset{compat=1.17}
	20	+
	21	+% Thème et couleurs
	22	+\usetheme{default} % Un thème plus moderne et professionnel
	23	+\usecolortheme{seagull} % Palette de couleurs harmonieuse
	24	+
	25	+% Police
	26	+\usepackage{lmodern} % Police améliorée
	27	+
	28	+% Informations sur la présentation
	29	+\title[S02 Régression et MCO]{Introduction\\ (Séance 1)}
	30	+\subtitle{GSF-6053 : Économétrie Financière}
	31	+\author[SP. Boucher]{Simon-Pierre Boucher\inst{1}}
	32	+\institute[Université Laval]
	33	+{
	34	+ \inst{1}%
	35	+ Département de Finance, Assurance et Immobilier\\
	36	+ Faculté des Sciences de l'Administration\\
	37	+ Université Laval
	38	+}
	39	+\date[Hiver 2025]{14 Janvier 2025}
	40	+
	41	+% Configuration du pied de page avec logo en bas à droite
	42	+\setbeamertemplate{footline}{
	43	+ \leavevmode%
	44	+ \hbox{%
	45	+ \begin{beamercolorbox}[wd=.7\paperwidth,ht=2ex,dp=1ex,left]{author in head/foot}%
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	49	+ \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{0.5em}
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	51	+ \raisebox{0.2cm}{\includegraphics[height=0.6cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajustement du logo
	52	+ \end{beamercolorbox}}%
	53	+ \vskip0pt%
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	56	+\setbeamertemplate{navigation symbols}{} % Supprime les symboles de navigation par défaut
	57	+
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	61	+\begin{frame}
	62	+ \titlepage
	63	+\end{frame}
	64	+
	65	+% Section Introduction au Cours
	66	+\section{Introduction au Cours}
	67	+
	68	+\begin{frame}
	69	+ \frametitle{Définition de l'Économétrie}
	70	+ L'économétrie est la branche des sciences économiques qui, à l'aide des outils mathématiques, statistiques et informatiques, s'efforce de :
	71	+ \begin{itemize}
	72	+ \item \textbf{Comprendre les réalités économiques} : Identifier des relations causales entre variables économiques et financières.
	73	+ \item \textbf{Tester des théories économiques} : Vérifier les hypothèses économiques à travers l'analyse des données empiriques.
	74	+ \item \textbf{Prévision des variables économiques et financières} : Prédire les comportements futurs à partir de modèles basés sur des données passées.
	75	+ \item \textbf{Aide à la décision} : Formuler des recommandations en matière de politiques économiques et de gestion des risques financiers.
	76	+ \end{itemize}
	77	+ En finance, l’économétrie se concentre sur les séries temporelles et les modèles de prévision des rendements financiers.
	78	+\end{frame}
	79	+
	80	+\begin{frame}
	81	+ \frametitle{Objectifs en Finance}
	82	+ Les objectifs pratiques en économétrie financière incluent :
	83	+ \begin{itemize}
	84	+ \item \textbf{Identification des récurrences statistiques} : Trouver et modéliser des schémas récurrents dans les séries temporelles.
	85	+ \item \textbf{Test de la validité des modèles théoriques} : Tester si les théories financières et économiques sont vérifiables avec des données réelles.
	86	+ \item \textbf{Estimation des facteurs de risque} : Identifier les facteurs influençant les rendements financiers, comme les modèles de Fama et French.
	87	+ \end{itemize}
	88	+\end{frame}
	89	+
	90	+\begin{frame}
	91	+ \frametitle{Modèles Économétriques}
	92	+ Le processus d'analyse économétrique suit des étapes rigoureuses :
	93	+ \begin{enumerate}
	94	+ \item \textbf{Formulation d'une hypothèse théorique} : Basée sur des principes économiques.
	95	+ \item \textbf{Spécification du modèle mathématique} : Traduire l'hypothèse en équations.
	96	+ \item \textbf{Collecte de données} : Recueillir des données empiriques pour tester le modèle.
	97	+ \item \textbf{Estimation des paramètres du modèle} : Utiliser des méthodes d'estimation pour obtenir des valeurs numériques des paramètres.
	98	+ \item \textbf{Test d'hypothèses} : Vérifier la validité du modèle.
	99	+ \item \textbf{Prévisions et implications économiques} : Utiliser le modèle pour faire des prévisions et proposer des recommandations pratiques.
	100	+ \end{enumerate}
	101	+ Les modèles économétriques incluent des approches classiques et bayésiennes.
	102	+\end{frame}
	103	+
	104	+% Section Description des Rendements Financiers
	105	+\section{Description des Rendements Financiers}
	106	+
	107	+\begin{frame}
	108	+ \frametitle{Les Données Utilisées en Économétrie Financière}
	109	+ En économétrie financière, les données utilisées peuvent être classées en trois catégories :
	110	+ \begin{itemize}
	111	+ \item \textbf{Séries temporelles} : Données observées sur une période donnée. Exemples : rendements journaliers, indices boursiers.
	112	+ \item \textbf{Coupes transversales} : Données observées à un moment donné pour plusieurs entités (entreprises, actifs financiers).
	113	+ \item \textbf{Données panel} : Combinaison de séries temporelles et de coupes transversales, permettant d'analyser les effets à la fois dans le temps et entre les entités.
	114	+ \end{itemize}
	115	+ Chaque type de données requiert des méthodes d'estimation adaptées.
	116	+\end{frame}
	117	+
	118	+\begin{frame}
	119	+ \frametitle{Prix et Rendements}
	120	+ Les rendements financiers sont préférés à l’analyse des prix car :
	121	+ \begin{itemize}
	122	+ \item Les rendements sont \textbf{scale-free}, c'est-à-dire indépendants de la taille de l'investissement.
	123	+ \item Ils ont des \textbf{propriétés statistiques} plus simples, comme la stationnarité, qui facilite l'analyse économétrique.
	124	+ \end{itemize}
	125	+ \textbf{Formules des rendements} :
	126	+ \begin{equation}
	127	+ R_t = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1
	128	+ \end{equation}
	129	+ Avec dividende :
	130	+ \begin{equation}
	131	+ R_t = \frac{P_t + D_t}{P_{t-1}} - 1
	132	+ \end{equation}
	133	+ Les rendements peuvent aussi être calculés de façon continue en utilisant les logarithmes naturels :
	134	+ \begin{equation}
	135	+ r_t = \log \left( \frac{P_t}{P_{t-1}} \right)
	136	+ \end{equation}
	137	+\end{frame}
	138	+
	139	+\begin{frame}
	140	+ \frametitle{Rendements Excédentaires}
	141	+ Les rendements excédentaires sont calculés par rapport au taux sans risque $ R_{Ft} $, ce qui permet d'analyser la performance d'un actif au-delà de l'inflation ou des rendements sans risque :
	142	+ \begin{equation}
	143	+ Z_t = R_t - R_{Ft}
	144	+ \end{equation}
	145	+\end{frame}
	146	+
	147	+% Section Incertitude
	148	+\section{Incertitude}
	149	+
	150	+\begin{frame}
	151	+ \frametitle{La Distribution des Rendements}
	152	+ Les rendements financiers peuvent suivre différentes distributions :
	153	+ \begin{itemize}
	154	+ \item \textbf{Distribution jointe} : Modélisation de l'ensemble des rendements de plusieurs actifs à un moment donné.
	155	+ \item \textbf{Distribution conditionnelle} : Modélisation des rendements d'un actif donné à un moment spécifique en fonction des rendements passés.
	156	+ \item \textbf{Distribution inconditionnelle} : Modélisation sans prendre en compte les rendements passés.
	157	+ \end{itemize}
	158	+ \textbf{Formule de la distribution jointe} :
	159	+ \[
	160	+ G(R_{11}, R_{12}, \dots, R_{NT}; x \mid \theta)
	161	+ \]
	162	+ où $ x $ représente l'environnement économique et $ \theta $ les paramètres du modèle.
	163	+\end{frame}
	164	+
	165	+\begin{frame}
	166	+ \frametitle{Log-Normalité des Rendements}
	167	+ La log-normalité des rendements est souvent utilisée pour modéliser les séries financières, car elle permet de prendre en compte la non-normalité observée dans les données réelles.
	168	+ \[
	169	+ r_{it} \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)
	170	+ \]
	171	+ \[
	172	+ \mathbb{E}[R_{it}] = e^{\mu_i + \frac{\sigma_i^2}{2}} - 1
	173	+ \]
	174	+ \[
	175	+ \text{Var}[R_{it}] = e^{2\mu_i + \sigma_i^2} (e^{\sigma_i^2} - 1)
	176	+ \]
	177	+\end{frame}
	178	+
	179	+\begin{frame}
	180	+ \frametitle{Estimation des Moments d’un Échantillon}
	181	+ Les moments d’un échantillon sont estimés par les formules suivantes :
	182	+ \begin{itemize}
	183	+ \item Moyenne :
	184	+ \[
	185	+ \hat{\mu} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \epsilon_t
	186	+ \]
	187	+ \item Variance :
	188	+ \[
	189	+ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} (\epsilon_t - \hat{\mu})^2
	190	+ \]
	191	+ \item Skewness et Kurtosis :
	192	+ \[
	193	+ \hat{S} = \frac{1}{T\hat{\sigma}^3} \sum_{t=1}^{T} (\epsilon_t - \hat{\mu})^3
	194	+ \]
	195	+ \end{itemize}
	196	+\end{frame}
	197	+
	198	+% Section Caractéristiques Empiriques des Séries Financières
	199	+\section{Caractéristiques Empiriques des Séries Financières}
	200	+
	201	+\begin{frame}
	202	+ \frametitle{Stationnarité des Séries Financières}
	203	+ Les \textbf{prix d’actifs} suivent des processus non stationnaires au sens de la stationnarité du second ordre, alors que les \textbf{rendements} sont généralement stationnaires.
	204	+\end{frame}
	205	+
	206	+\begin{frame}
	207	+ \frametitle{Autocorrélation des Carrés des Variations des Prix}
	208	+ La série des carrés des rendements ($ r_t^2 $) présente des autocorrélations importantes, ce qui signifie que les rendements élevés sont souvent suivis de rendements élevés. En revanche, les rendements eux-mêmes montrent peu d'autocorrélation.
	209	+\end{frame}
	210	+
	211	+\begin{frame}
	212	+ \frametitle{Queues de Distribution Épaisses}
	213	+ Les rendements financiers montrent des distributions \textbf{leptokurtiques}, où les queues sont plus épaisses que celles d'une distribution normale. Cette caractéristique est mesurée par le moment d'ordre 4 :
	214	+ \[
	215	+ \mu_4 = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^4]
	216	+ \]
	217	+\end{frame}
	218	+
	219	+\begin{frame}
	220	+ \frametitle{Asymétrie des Rendements}
	221	+ Les rendements financiers présentent souvent une asymétrie. Cela peut être mesuré par le coefficient d'asymétrie $ S_k $ :
	222	+ \[
	223	+ S_k = \frac{\mu_3}{\sigma^3}
	224	+ \]
	225	+ où $ \mu_3 $ est le moment d'ordre 3. Les rendements sont souvent plus négatifs que positifs, ce qui reflète une asymétrie négative.
	226	+\end{frame}
	227	+
	228	+\begin{frame}
	229	+ \frametitle{Effet de Levier}
	230	+ L'effet de levier se réfère à une asymétrie dans la volatilité des rendements : les baisses de prix augmentent généralement plus la volatilité que les hausses.
	231	+\end{frame}
	232	+
	233	+\begin{frame}
	234	+ \frametitle{Saisonnalité}
	235	+ La \textbf{saisonnalité} se manifeste par des effets tels que :
	236	+ \begin{itemize}
	237	+ \item L'\textbf{effet janvier} : Les rendements sont souvent plus élevés en janvier.
	238	+ \item L'\textbf{effet week-end} : Différence entre les rendements du vendredi soir et ceux du lundi matin.
	239	+ \end{itemize}
	240	+\end{frame}
	241	+
	242	+% Section Conclusion
	243	+\section{Conclusion}
	244	+
	245	+\begin{frame}
	246	+ \frametitle{Conclusion}
	247	+ \begin{itemize}
	248	+ \item Récapitulatif des concepts clés abordés dans la séance.
	249	+ \item Importance de l'économétrie en finance pour la prise de décision et la prévision.
	250	+ \item Perspectives pour les prochaines séances : approfondissement des modèles économétriques et applications pratiques.
	251	+ \end{itemize}
	252	+\end{frame}
	253	+
	254	+\end{document}
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		`@@ -0,0 +1,517 @@`
	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+
	9	+% Encodages et langues
	10	+\usepackage[T1]{fontenc}
	11	+\usepackage[french]{babel}
	12	+
	13	+% Packages supplémentaires
	14	+\usepackage{graphicx}
	15	+\usepackage{amsmath, amssymb}
	16	+\usepackage{booktabs} % Pour des tableaux plus esthétiques
	17	+\usepackage{hyperref} % Pour les hyperliens
	18	+\usepackage{pgfplots} % Pour les graphiques avancés
	19	+\pgfplotsset{compat=1.17}
	20	+
	21	+% Thème et couleurs
	22	+\usetheme{default} % Un thème plus moderne et professionnel
	23	+\usecolortheme{seagull} % Palette de couleurs harmonieuse
	24	+
	25	+% Police
	26	+\usepackage{lmodern} % Police améliorée
	27	+
	28	+% Informations sur la présentation
	29	+\title[S01 Régression et MCO]{Régression et Moindres Carrés Ordinaires\\ (Séance 1)}
	30	+\subtitle{GSF-6053 : Économétrie Financière}
	31	+\author[SP. Boucher]{Simon-Pierre Boucher\inst{1}}
	32	+\institute[Université Laval]
	33	+{
	34	+ \inst{1}%
	35	+ Département de Finance, Assurance et Immobilier\\
	36	+ Faculté des Sciences de l'Administration\\
	37	+ Université Laval
	38	+}
	39	+\date[Hiver 2025]{14 Janvier 2025}
	40	+
	41	+% Configuration du pied de page avec logo en bas à droite
	42	+\setbeamertemplate{footline}{
	43	+ \leavevmode%
	44	+ \hbox{%
	45	+ \begin{beamercolorbox}[wd=.7\paperwidth,ht=2ex,dp=1ex,left]{author in head/foot}%
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	58	+\begin{document}
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	60	+% Page de titre
	61	+\begin{frame}
	62	+ \titlepage
	63	+\end{frame}
	64	+
	65	+% Références
	66	+\begin{frame}{Références}
	67	+\textbf{Obligatoires :}
	68	+\begin{itemize}
	69	+ \item \textbf{Wooldridge :} chapitres 2 à 7
	70	+\end{itemize}
	71	+\vspace{0.5cm}
	72	+\textbf{Complémentaires :}
	73	+\begin{itemize}
	74	+ \item \textbf{Gujarati et Porter :} chapitres 1 à 9
	75	+ \item \textbf{Greene :} chapitres 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20, appendices C et D
	76	+\end{itemize}
	77	+\end{frame}
	78	+
	79	+% Plan de la séance
	80	+\begin{frame}{Plan de la séance}
	81	+ \tableofcontents
	82	+\end{frame}
	83	+
	84	+% Section Modèle de Régression
	85	+\section{Modèle de Régression}
	86	+\frame{\tableofcontents[current]}
	87	+
	88	+\begin{frame}{Modèle de Régression}
	89	+\begin{itemize}
	90	+ \item Espérance conditionnelle d'une variable dépendante \textbf{(Y)} conditionnelle à la valeur connue des régresseurs \textbf{(X)}
	91	+
	92	+ \begin{align*}
	93	+ \mathbb{E}(Y \vert X_i) = f(X_i)
	94	+ \end{align*}
	95	+ Où $ f(X_i) $ est une fonction des variables explicatives $ \mathbf{X} $
	96	+ \vspace{0.5cm}
	97	+ \item Relation conditionnelle linéaire
	98	+
	99	+ \begin{align*}
	100	+ \mathbb{E}(Y \vert X_i) = \beta_1 + \beta_2 X_i
	101	+ \end{align*}
	102	+ \item Composition de $ Y $ :
	103	+ \begin{itemize}
	104	+ \item Partie systématique ou déterministe, $ \mathbb{E}(Y \vert X_i) $
	105	+ \item Partie aléatoire et non systématique, $ \mu_i $
	106	+ \end{itemize}
	107	+\end{itemize}
	108	+\end{frame}
	109	+
	110	+\begin{frame}{Modèle de Régression}
	111	+\begin{itemize}
	112	+ \item Modèle de Régression Linéaire Simple
	113	+ \begin{align*}
	114	+ Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + \mu_i
	115	+ \end{align*}
	116	+ \item Prendre l'espérance des deux côtés
	117	+ \begin{align*}
	118	+ \mathbb{E}(Y_i \vert X_i) = \mathbb{E}(Y \vert X_i) + \mathbb{E}(\mu_i)
	119	+ \end{align*}
	120	+ Sachant que $ \mathbb{E}(Y_i \vert X_i) = \mathbb{E}(Y \vert X_i) $, alors $ \mathbb{E}(\mu_i) = 0 $
	121	+ \item Les paramètres obtenus à partir d'un échantillon sont des estimateurs (notés avec $ \hat{} $)
	122	+ \begin{align*}
	123	+ \hat{Y}_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i
	124	+ \end{align*}
	125	+ \begin{align*}
	126	+ Y_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i + \hat{\mu}_i
	127	+ \end{align*}
	128	+ $ \hat{\mu}_i $ représente l'estimateur du terme d'erreur, le résidu
	129	+\end{itemize}
	130	+\end{frame}
	131	+
	132	+% Section Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)
	133	+\section{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	134	+\frame{\tableofcontents[current]}
	135	+
	136	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	137	+\begin{itemize}
	138	+ \item Définissons les résidus
	139	+ \begin{align*}
	140	+ \hat{\mu}_i = Y_i - \hat{Y}_i = Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i
	141	+ \end{align*}
	142	+ \item Choisir des estimateurs de $ \hat{\beta}_1 $ et $ \hat{\beta}_2 $ de façon à minimiser la somme des carrés des résidus
	143	+ \begin{align*}
	144	+ \sum_{i=1}^{N} \hat{\mu}_i^2 & = \left[\hat{\mu}_1^2 + \hat{\mu}_2^2 + \dots + \hat{\mu}_N^2 \right] \\
	145	+ & = \sum_{i=1}^{N} (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2
	146	+ \end{align*}
	147	+\end{itemize}
	148	+\end{frame}
	149	+
	150	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	151	+\begin{itemize}
	152	+ \item Minimiser la somme des carrés des résidus par rapport à $ \hat{\beta}_1 $ et $ \hat{\beta}_2 $
	153	+ \begin{align*}
	154	+ \min_{\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2} \sum_{i=1}^{N} (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2 = \min_{\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2} \sum_{i=1}^{N} \hat{\mu}_i^2
	155	+ \end{align*}
	156	+ \item Équations normales
	157	+ \begin{equation}
	158	+ \frac{\partial \sum_{i=1}^{N} \hat{\mu}_i^2}{\partial \hat{\beta}_1} = -2 \sum_{i=1}^N (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i) = 0
	159	+ \end{equation}
	160	+ \begin{equation}
	161	+ \frac{\partial \sum_{i=1}^{N} \hat{\mu}_i^2}{\partial \hat{\beta}_2} = -2 \sum_{i=1}^N X_i (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i) = 0
	162	+ \end{equation}
	163	+\end{itemize}
	164	+\end{frame}
	165	+
	166	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	167	+\begin{itemize}
	168	+ \item Solution de $ \hat{\beta}_1 $ à l'aide de l'équation (1)
	169	+ \begin{align*}
	170	+ -2 \sum_{i=1}^N (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i) = 0
	171	+ \end{align*}
	172	+ \begin{align*}
	173	+ \sum_{i=1}^N Y_i - N \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i = 0
	174	+ \end{align*}
	175	+ \begin{align*}
	176	+ N \hat{\beta}_1 = \sum_{i=1}^N Y_i - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i
	177	+ \end{align*}
	178	+\end{itemize}
	179	+\end{frame}
	180	+
	181	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	182	+\begin{itemize}
	183	+ \item Solution de $ \hat{\beta}_1 $ à l'aide de l'équation (1)
	184	+
	185	+ \vspace{0.5cm}
	186	+ On pose la propriété suivante :
	187	+ \begin{itemize}
	188	+ \item $ \sum_{i=1}^N Y_i = N \overline{Y} $
	189	+ \item $ \sum_{i=1}^N X_i = N \overline{X} $
	190	+ \end{itemize}
	191	+ \begin{align*}
	192	+ N \hat{\beta}_1 = N \overline{Y} - N \hat{\beta}_2 \overline{X}
	193	+ \end{align*}
	194	+ \begin{align*}
	195	+ \hat{\beta}_1 = \frac{N \overline{Y}}{N} - \frac{N \hat{\beta}_2 \overline{X}}{N}
	196	+ \end{align*}
	197	+
	198	+ \begin{block}{Solution de $ \hat{\beta}_1 $}
	199	+ \begin{align*}
	200	+ \hat{\beta}_1 = \overline{Y} - \hat{\beta}_2 \overline{X}
	201	+ \end{align*}
	202	+ \end{block}
	203	+\end{itemize}
	204	+\end{frame}
	205	+
	206	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	207	+\begin{itemize}
	208	+ \item Solution de $ \hat{\beta}_2 $ à l'aide de l'équation (2)
	209	+ \begin{align*}
	210	+ -2 \sum_{i=1}^N X_i (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i) = 0
	211	+ \end{align*}
	212	+ \begin{align*}
	213	+ \sum_{i=1}^N X_i Y_i - \hat{\beta}_1 \sum_{i=1}^N X_i - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i^2 = 0
	214	+ \end{align*}
	215	+ Sachant $ \hat{\beta}_1 = \overline{Y} - \hat{\beta}_2 \overline{X} $
	216	+ \begin{align*}
	217	+ \sum_{i=1}^N X_i Y_i - [\overline{Y} - \hat{\beta}_2 \overline{X}] \sum_{i=1}^N X_i - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i^2 = 0
	218	+ \end{align*}
	219	+\end{itemize}
	220	+\end{frame}
	221	+
	222	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	223	+\begin{itemize}
	224	+ \item Solution de $ \hat{\beta}_2 $ à l'aide de l'équation (2)
	225	+ \begin{align*}
	226	+ \sum_{i=1}^N X_i Y_i - \overline{Y} \sum_{i=1}^N X_i - \hat{\beta}_2 \overline{X} \sum_{i=1}^N X_i - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i^2 = 0
	227	+ \end{align*}
	228	+ \begin{align*}
	229	+ \sum_{i=1}^N X_i Y_i - N \overline{X} \overline{Y} + \hat{\beta}_2 N \overline{X}^2 - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^N X_i^2 = 0
	230	+ \end{align*}
	231	+ \begin{align*}
	232	+ \sum_{i=1}^N X_i Y_i - N \overline{X} \overline{Y} = \hat{\beta}_2 \left[ \sum_{i=1}^N X_i^2 - N \overline{X}^2 \right]
	233	+ \end{align*}
	234	+\end{itemize}
	235	+\end{frame}
	236	+
	237	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (En sommation)}
	238	+\begin{itemize}
	239	+ \item Solution de $ \hat{\beta}_2 $ à l'aide de l'équation (2)
	240	+ \begin{align*}
	241	+ \hat{\beta}_2 = \frac{\sum_{i=1}^N X_i Y_i - N \overline{X} \overline{Y}}{\sum_{i=1}^N X_i^2 - N \overline{X}^2}
	242	+ \end{align*}
	243	+ Sachant que
	244	+ \begin{itemize}
	245	+ \item $ \sum_{i=1}^N X_i Y_i - N \overline{X} \overline{Y} = \sum_{i=1}^N (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) $
	246	+ \item $ \sum_{i=1}^N X_i^2 - N \overline{X}^2 = \sum_{i=1}^N (X_i - \overline{X})^2 $
	247	+ \end{itemize}
	248	+ \begin{block}{Solution de $ \hat{\beta}_2 $}
	249	+ \begin{align*}
	250	+ \hat{\beta}_2 = \frac{\sum_{i=1}^N (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})}{\sum_{i=1}^N (X_i - \overline{X})^2}
	251	+ \end{align*}
	252	+ \end{block}
	253	+\end{itemize}
	254	+\end{frame}
	255	+
	256	+% Section Moindres Carrés Ordinaires (Format Matricielle)
	257	+\section{Moindres Carrés Ordinaires (Format Matricielle)}
	258	+\frame{\tableofcontents[current]}
	259	+
	260	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (Format Matricielle)}
	261	+\begin{itemize}
	262	+ \item Vecteur de la variable à expliquer \textbf{(n $\times$ 1)}
	263	+ \[
	264	+ Y = \begin{pmatrix}
	265	+ y_1 \\
	266	+ y_2 \\
	267	+ \vdots \\
	268	+ y_n \\
	269	+ \end{pmatrix}
	270	+ \]
	271	+ \item Matrice de variables explicatives \textbf{(n $\times$ (k+1))}
	272	+ \[
	273	+ X = \begin{bmatrix}
	274	+ 1 & x_{11} & x_{21} & \cdots & x_{k1} \\
	275	+ 1 & x_{12} & \cdots & \cdots & x_{k2} \\
	276	+ 1 & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	277	+ 1 & x_{1n} & \cdots & \cdots & x_{kn}
	278	+ \end{bmatrix}
	279	+ \]
	280	+\end{itemize}
	281	+\end{frame}
	282	+
	283	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (Format Matricielle)}
	284	+\begin{itemize}
	285	+ \item Vecteur de coefficients associés \textbf{(k+1 $\times$ 1)}
	286	+ \[
	287	+ \beta = \begin{pmatrix}
	288	+ \beta_0 \\
	289	+ \beta_1 \\
	290	+ \beta_2 \\
	291	+ \vdots \\
	292	+ \beta_k \\
	293	+ \end{pmatrix}
	294	+ \]
	295	+ \item Vecteur associé au terme d'erreur \textbf{(n $\times$ 1)}
	296	+ \[
	297	+ u = \begin{pmatrix}
	298	+ u_1 \\
	299	+ u_2 \\
	300	+ \vdots \\
	301	+ u_n \\
	302	+ \end{pmatrix}
	303	+ \]
	304	+\end{itemize}
	305	+\end{frame}
	306	+
	307	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (Format Matricielle)}
	308	+\begin{itemize}
	309	+ \item Modèle Univarié
	310	+ \begin{align*}
	311	+ \begin{pmatrix}
	312	+ y_1 \\
	313	+ y_2 \\
	314	+ \vdots \\
	315	+ y_n \\
	316	+ \end{pmatrix} =
	317	+ \begin{bmatrix}
	318	+ 1 & x_{11} & x_{21} & \cdots & x_{k1} \\
	319	+ 1 & x_{12} & \cdots & \cdots & x_{k2} \\
	320	+ 1 & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	321	+ 1 & x_{1n} & \cdots & \cdots & x_{kn}
	322	+ \end{bmatrix}
	323	+ \begin{pmatrix}
	324	+ \beta_0 \\
	325	+ \beta_1 \\
	326	+ \beta_2 \\
	327	+ \vdots \\
	328	+ \beta_k \\
	329	+ \end{pmatrix} +
	330	+ \begin{pmatrix}
	331	+ u_1 \\
	332	+ u_2 \\
	333	+ \vdots \\
	334	+ u_n \\
	335	+ \end{pmatrix}
	336	+ \end{align*}
	337	+ Que nous réécrirons comme suit :
	338	+ \begin{align*}
	339	+ Y = X \beta + u
	340	+ \end{align*}
	341	+\end{itemize}
	342	+\end{frame}
	343	+
	344	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (Format Matricielle)}
	345	+\begin{itemize}
	346	+ \item Hypothèses distributionnelles sur $ u $
	347	+ \begin{itemize}
	348	+ \item $ u \sim \text{iid} $ et $ \mathbb{E}(u) = 0 $
	349	+ \item $ \text{Var}(u) = \sigma^2 I $
	350	+ \item $ u \sim \text{iid } N(0, \sigma^2) $
	351	+ \end{itemize}
	352	+ \begin{align*}
	353	+ \mathbb{E}(u) = \begin{pmatrix}
	354	+ \mathbb{E}(u_1) = 0 \\
	355	+ \mathbb{E}(u_2) = 0 \\
	356	+ \vdots \\
	357	+ \mathbb{E}(u_n) = 0 \\
	358	+ \end{pmatrix}
	359	+ \end{align*}
	360	+ \item Il n'y a pas de corrélation sérielle des erreurs
	361	+ \begin{align*}
	362	+ \text{Var}(u) = \mathbb{E}(uu') = \sigma^2 I
	363	+ \end{align*}
	364	+ \item Découle de l'indépendance
	365	+ \begin{align*}
	366	+ \text{Cov}(u_i, u_j) = 0 \quad \text{pour } i \neq j \quad \forall i, j
	367	+ \end{align*}
	368	+\end{itemize}
	369	+
	370	+\end{frame}
	371	+
	372	+\begin{frame}{Moindres Carrés Ordinaires (Format Matricielle)}
	373	+\textbf{Rappel :}
	374	+\begin{align*}
	375	+ \text{Var}(u) = \mathbb{E}(uu') - \mathbb{E}(u)\mathbb{E}(u')
	376	+\end{align*}
	377	+\textbf{Avec l'hypothèse d'indépendance :}
	378	+\begin{align*}
	379	+ \text{Var}(u) = \begin{pmatrix}
	380	+ \sigma^2 & \cdots & 0 \\
	381	+ \vdots & \sigma^2 & \vdots \\
	382	+ 0 & \cdots & \sigma^2
	383	+ \end{pmatrix} = \sigma^2 \begin{pmatrix}
	384	+ 1 & \cdots & 0 \\
	385	+ \vdots & 1 & \vdots \\
	386	+ 0 & \cdots & 1
	387	+ \end{pmatrix}
	388	+\end{align*}
	389	+\end{frame}
	390	+
	391	+\begin{frame}{Dérivation MCO (Format Matricielle)}
	392	+\begin{align*}
	393	+ \hat{\beta} = \arg\min_{\beta} (\hat{u}'\hat{u})
	394	+\end{align*}
	395	+\begin{align*}
	396	+ \hat{\beta} = \arg\min_{\beta} \left( (Y - X \hat{\beta})' (Y - X \hat{\beta}) \right)
	397	+\end{align*}
	398	+Distribution des termes de la multiplication matricielle :
	399	+\begin{align*}
	400	+ (Y - X \beta)' (Y - X \beta) = Y'Y - Y'X \hat{\beta} - \hat{\beta}'X'Y + \hat{\beta}'X'X \hat{\beta}
	401	+\end{align*}
	402	+Sachant
	403	+\begin{align*}
	404	+ Y'X \hat{\beta} = \hat{\beta}'X'Y
	405	+\end{align*}
	406	+Alors :
	407	+\begin{align*}
	408	+ (Y - X \beta)' (Y - X \beta) = Y'Y - 2 Y'X \hat{\beta} + \hat{\beta}'X'X \hat{\beta}
	409	+\end{align*}
	410	+\end{frame}
	411	+
	412	+\begin{frame}{Dérivation MCO (Format Matricielle)}
	413	+\begin{itemize}
	414	+ \item Dérivée de la somme des résidus au carré par rapport à $ \beta $
	415	+
	416	+ \begin{align*}
	417	+ \frac{\partial (\text{RSS})}{\partial \hat{\beta}} = \frac{\partial (Y'Y - 2 Y'X \hat{\beta} + \hat{\beta}'X'X \hat{\beta})}{\partial \hat{\beta}}
	418	+ \end{align*}
	419	+ Sachant
	420	+ \begin{align*}
	421	+ \frac{\partial (Y'X \hat{\beta})}{\partial \hat{\beta}} = X'Y
	422	+ \end{align*}
	423	+ \begin{align*}
	424	+ \frac{\partial (\hat{\beta}'X'X \hat{\beta})}{\partial \hat{\beta}} = 2 X'X \hat{\beta}
	425	+ \end{align*}
	426	+\end{itemize}
	427	+\end{frame}
	428	+
	429	+\begin{frame}{Dérivation MCO (Format Matricielle)}
	430	+\begin{align*}
	431	+ \frac{\partial (\text{RSS})}{\partial \hat{\beta}} = -2 X'Y + 2 X'X \hat{\beta} = 0
	432	+\end{align*}
	433	+\begin{align*}
	434	+ X'Y = X'X \hat{\beta}
	435	+\end{align*}
	436	+\begin{align*}
	437	+ \hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y
	438	+\end{align*}
	439	+\begin{block}{Estimateur de $ \hat{\beta} $ par MCO}
	440	+ \begin{align*}
	441	+ \hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y
	442	+ \end{align*}
	443	+\end{block}
	444	+\end{frame}
	445	+
	446	+\begin{frame}{Dérivation MCO (Format Matricielle)}
	447	+\begin{itemize}
	448	+ \item Il n'existe pas d'estimateur de $ \sigma^2 $ pour la méthode des Moindres Carrés Ordinaires
	449	+ \item On peut estimer empiriquement comme suit :
	450	+ \begin{align*}
	451	+ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{T} \sum_{i=1}^N \hat{u}_i^2 = \frac{\hat{u}'\hat{u}}{N}
	452	+ \end{align*}
	453	+\end{itemize}
	454	+\end{frame}
	455	+
	456	+% Section Exemple Numérique
	457	+\section{Exemple Numérique}
	458	+\frame{\tableofcontents[current]}
	459	+
	460	+\begin{frame}{Exemple Numérique}
	461	+\begin{itemize}
	462	+ \item Nous allons générer des variables aléatoires à l’aide d’un modèle dont nous allons déterminer les paramètres.
	463	+ \item Nous allons utiliser un modèle linéaire simple ayant le format suivant :
	464	+ \begin{align*}
	465	+ Y = \beta_1 + \beta_2 X_i + \epsilon_i
	466	+ \end{align*}
	467	+ \begin{itemize}
	468	+ \item L'intercepte de notre modèle sera de $ \beta_1 = 60 $.
	469	+ \item La pente de notre modèle sera de $ \beta_2 = 2 $.
	470	+ \item Nous allons faire l'hypothèse que notre terme d'erreur suit une loi normale de moyenne 0 et variance 4 ($ \epsilon \sim N(0,4) $).
	471	+ \end{itemize}
	472	+ \item Il nous est maintenant possible de déterminer une valeur pour chaque $ Y_i $ en utilisant les $ X_i $.
	473	+ \item Pour les $ X_i $ nous allons générer uniformément 40 observations entre 0 et 40.
	474	+\end{itemize}
	475	+\end{frame}
	476	+
	477	+\begin{frame}{Nuage de points et régression linéaire ($ \epsilon \sim N(0,2) $)}
	478	+ \includegraphics[width=10cm, height=8cm]{ols_2.png}
	479	+\end{frame}
	480	+
	481	+\begin{frame}{Nuage de points et régression linéaire ($ \epsilon \sim N(0,4) $)}
	482	+ \includegraphics[width=10cm, height=8cm]{ols_4.png}
	483	+\end{frame}
	484	+
	485	+\begin{frame}{Nuage de points et régression linéaire ($ \epsilon \sim N(0,6) $)}
	486	+ \includegraphics[width=10cm, height=8cm]{ols_6.png}
	487	+\end{frame}
	488	+
	489	+\begin{frame}{Nuage de points et régression linéaire ($ \epsilon \sim N(0,8) $)}
	490	+ \includegraphics[width=10cm, height=8cm]{ols_8.png}
	491	+\end{frame}
	492	+
	493	+\begin{frame}{Exemple Numérique}
	494	+\begin{table}
	495	+\begin{center}
	496	+\begin{tabular}{l c c c c}
	497	+\hline
	498	+ & $ \epsilon \sim N(0,2) $ & $ \epsilon \sim N(0,4) $ & $ \epsilon \sim N(0,6) $ & $ \epsilon \sim N(0,8) $ \\
	499	+\hline
	500	+(Intercept) & $ 59.30^{*} $ & $ 59.28^{} $ & $ 60.89^{} $ & $ 55.68^{*} $ \\
	501	+ & $ (0.68) $ & $ (1.35) $ & $ (2.43) $ & $ (2.31) $ \\
	502	+X & $ 2.02^{*} $ & $ 2.03^{} $ & $ 2.00^{} $ & $ 2.13^{*} $ \\
	503	+ & $ (0.03) $ & $ (0.06) $ & $ (0.10) $ & $ (0.10) $ \\
	504	+\hline
	505	+$ R^2 $ & $ 0.99 $ & $ 0.96 $ & $ 0.89 $ & $ 0.91 $ \\
	506	+Adj. $ R^2 $ & $ 0.99 $ & $ 0.96 $ & $ 0.89 $ & $ 0.91 $ \\
	507	+Num. obs. & $ 50 $ & $ 50 $ & $ 50 $ & $ 50 $ \\
	508	+\hline
	509	+\multicolumn{5}{l}{\scriptsize{$^{*}p<0.001$; $^{}p<0.01$; $^{*}p<0.05$}}
	510	+\end{tabular}
	511	+\caption{Table de régression}
	512	+\label{table:coefficients}
	513	+\end{center}
	514	+\end{table}
	515	+\end{frame}
	516	+
	517	+\end{document}
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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+
	9	+% Encodages et langues
	10	+\usepackage[T1]{fontenc}
	11	+\usepackage[utf8]{inputenc} % Ajout de l'encodage UTF-8
	12	+\usepackage[french]{babel}
	13	+
	14	+% Packages supplémentaires
	15	+\usepackage{graphicx}
	16	+\usepackage{amsmath, amssymb}
	17	+\usepackage{booktabs} % Pour des tableaux plus esthétiques
	18	+\usepackage{hyperref} % Pour les hyperliens
	19	+\usepackage{pgfplots} % Pour les graphiques avancés
	20	+\pgfplotsset{compat=1.17}
	21	+
	22	+% Thème et couleurs
	23	+\usetheme{Madrid} % Thème moderne et professionnel
	24	+\usecolortheme{seagull} % Palette de couleurs harmonieuse
	25	+
	26	+% Police
	27	+\usepackage{lmodern} % Police améliorée
	28	+
	29	+% Informations sur la présentation
	30	+\title[S02 Régression]{Révision Mathématique\\ \large Séance 1}
	31	+\subtitle{GSF-6053 : Économétrie Financière}
	32	+\author[Simon-Pierre Boucher]{Simon-Pierre Boucher\inst{1}}
	33	+\institute[Université Laval]
	34	+{
	35	+ \inst{1}%
	36	+ Département de Finance, Assurance et Immobilier\\
	37	+ Faculté des Sciences de l'Administration\\
	38	+ Université Laval
	39	+}
	40	+\date[Hiver 2025]{14 janvier 2025}
	41	+
	42	+% Configuration du pied de page avec logo en bas à droite
	43	+\setbeamertemplate{footline}{
	44	+ \leavevmode%
	45	+ \hbox{%
	46	+ \begin{beamercolorbox}[wd=.7\paperwidth,ht=2ex,dp=1ex,left]{author in head/foot}%
	47	+ \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
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	49	+ \begin{beamercolorbox}[wd=.3\paperwidth,ht=2ex,dp=1ex,right]{date in head/foot}%
	50	+ \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{0.5em}
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	52	+ \raisebox{0.2cm}{\includegraphics[height=0.6cm]{logo_universite_laval.png}} % Ajustement du logo
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	56	+
	57	+\setbeamertemplate{navigation symbols}{} % Supprime les symboles de navigation par défaut
	58	+
	59	+\begin{document}
	60	+
	61	+% Page de titre
	62	+\begin{frame}
	63	+ \titlepage
	64	+\end{frame}
	65	+
	66	+% Section Préambule
	67	+\section{Références et Préambule}
	68	+
	69	+\begin{frame}
	70	+ \frametitle{Préambule}
	71	+ Ce document présente une révision des concepts mathématiques de base utiles au cours. L'objectif est de revoir certaines propriétés qui peuvent être nécessaires pour le cours, sans couvrir exhaustivement toutes les annexes.
	72	+
	73	+ \vspace{0.5cm}
	74	+
	75	+ \textbf{Références :}
	76	+ \begin{itemize}
	77	+ \item Wooldridge (Sections A, B et D)
	78	+ \item Gujarati et Porter (Sections A et B)
	79	+ \item Greene (Sections A et B)
	80	+ \end{itemize}
	81	+\end{frame}
	82	+
	83	+% Section Statistique de Base
	84	+\section{Révision de Statistique de Base}
	85	+
	86	+\begin{frame}
	87	+ \frametitle{Propriétés des Sommations}
	88	+ \begin{itemize}
	89	+ \item Les constantes peuvent sortir des sommations :
	90	+ \[
	91	+ \sum_{i=1}^{n} (a + b x_i) = na + b \sum_{i=1}^{n} x_i
	92	+ \]
	93	+ \item Exemple :
	94	+ \[
	95	+ \sum_{i=1}^{5} (2 + 3x_i) = 5 \times 2 + 3 \sum_{i=1}^{5} x_i = 10 + 3 \sum_{i=1}^{5} x_i
	96	+ \]
	97	+ \end{itemize}
	98	+\end{frame}
	99	+
	100	+\begin{frame}
	101	+ \frametitle{Double Sommation et Commutation des Opérateurs}
	102	+ \begin{itemize}
	103	+ \item Les opérateurs de sommation sont interchangeables dans une double sommation :
	104	+ \[
	105	+ \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M} x_{ij} = \sum_{j=1}^{M} \sum_{i=1}^{N} x_{ij}
	106	+ \]
	107	+ \item Exemple : Calculer la somme des éléments d'une matrice $3 \times 2$.
	108	+ \end{itemize}
	109	+\end{frame}
	110	+
	111	+\begin{frame}
	112	+ \frametitle{Propriétés des Sommations (suite)}
	113	+ \begin{itemize}
	114	+ \item La moyenne échantillonnale est :
	115	+ \[
	116	+ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
	117	+ \]
	118	+ \item La somme des déviations par rapport à la moyenne est nulle :
	119	+ \[
	120	+ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0
	121	+ \]
	122	+ \end{itemize}
	123	+\end{frame}
	124	+
	125	+\begin{frame}
	126	+ \frametitle{Somme des Carrés des Déviations}
	127	+ \begin{itemize}
	128	+ \item La somme des carrés des déviations par rapport à la moyenne :
	129	+ \[
	130	+ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2
	131	+ \]
	132	+ \end{itemize}
	133	+\end{frame}
	134	+
	135	+\begin{frame}
	136	+ \frametitle{Caractéristiques des Distributions de Probabilité}
	137	+ \begin{itemize}
	138	+ \item \textbf{Espérance} :
	139	+ \[
	140	+ \mathbb{E}(X) = \sum x_i f(x)
	141	+ \]
	142	+ \item \textbf{Variance} :
	143	+ \[
	144	+ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu)^2]
	145	+ \]
	146	+ \item \textbf{Covariance} et \textbf{Corrélation} :
	147	+ \[
	148	+ \text{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]
	149	+ \]
	150	+ \[
	151	+ \rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}
	152	+ \]
	153	+ \end{itemize}
	154	+\end{frame}
	155	+
	156	+\begin{frame}
	157	+ \frametitle{Les Fonctions de Densité}
	158	+ \begin{itemize}
	159	+ \item \textbf{Variables discrètes} : Probabilités représentées par des fonctions de densité discrètes (par exemple, la somme de deux dés).
	160	+ \item \textbf{Variables continues} : La fonction de densité doit satisfaire :
	161	+ \[
	162	+ f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1
	163	+ \]
	164	+ \item \textbf{Exemple} : La loi normale, représentée par une courbe en cloche.
	165	+ \end{itemize}
	166	+\end{frame}
	167	+
	168	+\begin{frame}
	169	+ \frametitle{Densité Conditionnelle}
	170	+ \begin{itemize}
	171	+ \item La fonction de densité conditionnelle est définie par :
	172	+ \[
	173	+ f(x\|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)}
	174	+ \]
	175	+ \item Cette relation décrit comment la variable $X$ influence $Y$ en fonction de la densité conjointe des deux variables.
	176	+ \item \textbf{Exemple :} Si $X$ et $Y$ représentent respectivement la taille et le poids d'individus, $f(x\|y)$ montre la distribution de la taille pour un poids donné.
	177	+ \end{itemize}
	178	+\end{frame}
	179	+
	180	+\begin{frame}
	181	+ \frametitle{Indépendance de Variables}
	182	+ \begin{itemize}
	183	+ \item Deux variables sont indépendantes si la densité jointe est égale au produit des densités marginales :
	184	+ \[
	185	+ f(x,y) = f(x)f(y)
	186	+ \]
	187	+ \item \textbf{Implication :} Connaître la valeur de $X$ ne donne aucune information sur $Y$ et vice versa.
	188	+ \item \textbf{Exemple :} Le lancer de deux dés équitables où le résultat de l'un n'affecte pas l'autre.
	189	+ \end{itemize}
	190	+\end{frame}
	191	+
	192	+% Section Algèbre Matricielle
	193	+\section{Algèbre Matricielle}
	194	+
	195	+\begin{frame}
	196	+ \frametitle{Matrices et Opérations de Base}
	197	+ \begin{itemize}
	198	+ \item Une matrice $A$ est représentée comme suit :
	199	+ \[
	200	+ A = \begin{bmatrix}
	201	+ a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1N} \\
	202	+ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2N} \\
	203	+ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	204	+ a_{M1} & a_{M2} & \dots & a_{MN}
	205	+ \end{bmatrix}
	206	+ \]
	207	+ \item Les opérations de base incluent :
	208	+ \begin{itemize}
	209	+ \item \textbf{Addition} : $(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$
	210	+ \item \textbf{Soustraction} : $(A - B)_{ij} = A_{ij} - B_{ij}$
	211	+ \item \textbf{Transposition} : $A^{\prime}$ est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$.
	212	+ \item \textbf{Multiplication} : $(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{N} A_{ij}B_{jk}$
	213	+ \item \textbf{Inversion} : Si $A$ est inversible, $A^{-1}$ est telle que $AA^{-1} = I$.
	214	+ \end{itemize}
	215	+ \end{itemize}
	216	+\end{frame}
	217	+
	218	+\begin{frame}
	219	+ \frametitle{Exemple d'Addition et de Multiplication de Matrices}
	220	+ \[
	221	+ A = \begin{bmatrix}
	222	+ 1 & 2 \\
	223	+ 3 & 4
	224	+ \end{bmatrix}, \quad
	225	+ B = \begin{bmatrix}
	226	+ 5 & 6 \\
	227	+ 7 & 8
	228	+ \end{bmatrix}
	229	+ \]
	230	+ \[
	231	+ A + B = \begin{bmatrix}
	232	+ 6 & 8 \\
	233	+ 10 & 12
	234	+ \end{bmatrix}, \quad
	235	+ AB = \begin{bmatrix}
	236	+ 19 & 22 \\
	237	+ 43 & 50
	238	+ \end{bmatrix}
	239	+ \]
	240	+\end{frame}
	241	+
	242	+\begin{frame}
	243	+ \frametitle{Transposition des Matrices}
	244	+ \begin{itemize}
	245	+ \item La transposition d'un produit de matrices suit la règle :
	246	+ \[
	247	+ (AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime}
	248	+ \]
	249	+ \item \textbf{Exemple :}
	250	+ \[
	251	+ A = \begin{bmatrix}
	252	+ 1 & 2 \\
	253	+ 3 & 4
	254	+ \end{bmatrix}, \quad
	255	+ B = \begin{bmatrix}
	256	+ 5 & 6 \\
	257	+ 7 & 8
	258	+ \end{bmatrix}
	259	+ \]
	260	+ \[
	261	+ AB = \begin{bmatrix}
	262	+ 19 & 22 \\
	263	+ 43 & 50
	264	+ \end{bmatrix}, \quad
	265	+ (AB)^{\prime} = \begin{bmatrix}
	266	+ 19 & 43 \\
	267	+ 22 & 50
	268	+ \end{bmatrix}
	269	+ \]
	270	+ \[
	271	+ B^{\prime} = \begin{bmatrix}
	272	+ 5 & 7 \\
	273	+ 6 & 8
	274	+ \end{bmatrix}, \quad
	275	+ A^{\prime} = \begin{bmatrix}
	276	+ 1 & 3 \\
	277	+ 2 & 4
	278	+ \end{bmatrix}
	279	+ \]
	280	+ \[
	281	+ B^{\prime}A^{\prime} = \begin{bmatrix}
	282	+ 19 & 43 \\
	283	+ 22 & 50
	284	+ \end{bmatrix} = (AB)^{\prime}
	285	+ \]
	286	+ \end{itemize}
	287	+\end{frame}
	288	+
	289	+\begin{frame}
	290	+ \frametitle{Rang d'une Matrice}
	291	+ \begin{itemize}
	292	+ \item \textbf{Définition} : Le rang d'une matrice est le nombre de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes.
	293	+ \item \textbf{Exemple} :
	294	+ \[
	295	+ A = \begin{bmatrix}
	296	+ 1 & 2 & 3 \\
	297	+ 4 & 5 & 6 \\
	298	+ 7 & 8 & 9
	299	+ \end{bmatrix}
	300	+ \]
	301	+ \[
	302	+ \text{Rang}(A) = 2 \quad (\text{les lignes sont linéairement dépendantes})
	303	+ \]
	304	+ \item \textbf{Importance} :
	305	+ \begin{itemize}
	306	+ \item Détermine la solution des systèmes linéaires.
	307	+ \item Indique la dimension de l'espace engendré par les colonnes ou les lignes.
	308	+ \end{itemize}
	309	+ \end{itemize}
	310	+\end{frame}
	311	+
	312	+\begin{frame}
	313	+ \frametitle{Inversibilité des Matrices}
	314	+ \begin{itemize}
	315	+ \item \textbf{Définition} : Une matrice est inversible si elle est de plein rang, c'est-à-dire que son rang est égal à son nombre de lignes (ou de colonnes).
	316	+ \item \textbf{Exemple} :
	317	+ \[
	318	+ B = \begin{bmatrix}
	319	+ 1 & 2 \\
	320	+ 3 & 4
	321	+ \end{bmatrix}
	322	+ \]
	323	+ \[
	324	+ \text{det}(B) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad B \text{ est inversible}
	325	+ \]
	326	+ \[
	327	+ B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \begin{bmatrix}
	328	+ 4 & -2 \\
	329	+ -3 & 1
	330	+ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
	331	+ -2 & 1 \\
	332	+ 1.5 & -0.5
	333	+ \end{bmatrix}
	334	+ \]
	335	+ \item \textbf{Propriétés importantes} :
	336	+ \[
	337	+ A \cdot A^{-1} = I, \quad (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
	338	+ \]
	339	+ \end{itemize}
	340	+\end{frame}
	341	+
	342	+\begin{frame}
	343	+ \frametitle{Matrice Symétrique et Diagonale}
	344	+ \begin{itemize}
	345	+ \item \textbf{Matrice symétrique} : Une matrice $A$ est symétrique si $A = A^{\prime}$. \\
	346	+ \textbf{Exemple} :
	347	+ \[
	348	+ A = \begin{bmatrix}
	349	+ 1 & 2 \\
	350	+ 2 & 3
	351	+ \end{bmatrix}
	352	+ \]
	353	+ \item \textbf{Applications} :
	354	+ \begin{itemize}
	355	+ \item Matrices de variance-covariance en statistiques.
	356	+ \item Matrices de coefficients dans les modèles de régression.
	357	+ \end{itemize}
	358	+ \item \textbf{Matrice diagonale} : Contient des éléments uniquement sur la diagonale principale.
	359	+ \item \textbf{Exemple} :
	360	+ \[
	361	+ D = \begin{bmatrix}
	362	+ 4 & 0 & 0 \\
	363	+ 0 & 5 & 0 \\
	364	+ 0 & 0 & 6
	365	+ \end{bmatrix}
	366	+ \]
	367	+ \end{itemize}
	368	+\end{frame}
	369	+
	370	+\begin{frame}
	371	+ \frametitle{Matrices Idempotentes}
	372	+ \begin{itemize}
	373	+ \item \textbf{Définition} : Une matrice $A$ est idempotente si :
	374	+ \[
	375	+ A \cdot A = A
	376	+ \]
	377	+ \item \textbf{Exemple} :
	378	+ \[
	379	+ A = \begin{bmatrix}
	380	+ 1 & 0 \\
	381	+ 0 & 0
	382	+ \end{bmatrix}
	383	+ \]
	384	+ \[
	385	+ A^2 = \begin{bmatrix}
	386	+ 1 & 0 \\
	387	+ 0 & 0
	388	+ \end{bmatrix} = A
	389	+ \]
	390	+ \item \textbf{Propriétés} :
	391	+ \begin{itemize}
	392	+ \item Les matrices idempotentes sont singulières sauf si elles sont des matrices identité.
	393	+ \item La trace d'une matrice idempotente est égale à son rang.
	394	+ \end{itemize}
	395	+ \item \textbf{Application} :
	396	+ \begin{itemize}
	397	+ \item Matrices de projection en régression linéaire.
	398	+ \end{itemize}
	399	+ \end{itemize}
	400	+\end{frame}
	401	+
	402	+\begin{frame}
	403	+ \frametitle{Dérivées et Notation Matricielle}
	404	+ \begin{itemize}
	405	+ \item Dérivée d’un scalaire multiplié par une constante :
	406	+ \[
	407	+ \frac{d(2x)}{dx} = 2
	408	+ \]
	409	+ \item En notation matricielle, les dimensions de la dérivée sont $1 \times n$ pour le cas du \textit{numerator layout}.
	410	+ \item Attention aux notations dans les ouvrages, par exemple, le livre de Wooldridge utilise le \textit{numerator layout}, tandis que d'autres utilisent le \textit{denominator layout}.
	411	+ \item \textbf{Notation Numérateur vs Notation Dénominateur :}
	412	+ \begin{itemize}
	413	+ \item \textbf{Numerator Layout} : Dérivée vue comme un vecteur ligne.
	414	+ \item \textbf{Denominator Layout} : Dérivée vue comme un vecteur colonne.
	415	+ \end{itemize}
	416	+ \end{itemize}
	417	+\end{frame}
	418	+
	419	+\begin{frame}
	420	+ \frametitle{Exemples de Dérivées Matricielles}
	421	+ \begin{itemize}
	422	+ \item \textbf{Dérivée d’un produit de matrices} :
	423	+ \[
	424	+ \frac{\partial}{\partial X} (X^{\prime} A X) = 2 A X
	425	+ \]
	426	+ \item \textbf{Interprétation} :
	427	+ \begin{itemize}
	428	+ \item Si $X$ est un vecteur colonne, alors $\frac{\partial}{\partial X} (X^{\prime} A X)$ est un vecteur colonne.
	429	+ \item Selon la notation adoptée, cela peut être représenté différemment.
	430	+ \end{itemize}
	431	+ \item \textbf{Application} :
	432	+ \begin{itemize}
	433	+ \item Utilisée dans l'estimation des paramètres en régression linéaire.
	434	+ \end{itemize}
	435	+ \end{itemize}
	436	+\end{frame}
	437	+
	438	+% Section Exercices de Révision
	439	+\section{Exercices de Révision}
	440	+
	441	+\begin{frame}
	442	+ \frametitle{Exercice 1 : Calcul de la Moyenne et de la Variance}
	443	+ \begin{itemize}
	444	+ \item \textbf{Données} : $ X = \{2, 4, 6, 8, 10\} $
	445	+ \item \textbf{Calculer} :
	446	+ \begin{enumerate}
	447	+ \item La moyenne échantillonnale $\bar{X}$.
	448	+ \item La variance échantillonnale $\text{Var}(X)$.
	449	+ \end{enumerate}
	450	+ \item \textbf{Solution} :
	451	+ \begin{itemize}
	452	+ \item $\bar{X} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$
	453	+ \item $\text{Var}(X) = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$
	454	+ \end{itemize}
	455	+ \end{itemize}
	456	+\end{frame}
	457	+
	458	+\begin{frame}
	459	+ \frametitle{Questions de Révision}
	460	+ \begin{enumerate}
	461	+ \item Expliquez la différence entre la covariance et la corrélation.
	462	+ \item Pourquoi une matrice idempotente n'est-elle pas de plein rang ?
	463	+ \item Décrivez une application pratique des matrices de variance-covariance en économétrie.
	464	+ \item Comment la méthode des moindres carrés minimise-t-elle l'erreur de prédiction ?
	465	+ \end{enumerate}
	466	+\end{frame}
	467	+
	468	+\end{document}
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		`@@ -0,0 +1,32 @@`
	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📊 SLIDES — Séance 1 : Introduction, révision et MCO
	10	+
	11	+Diapositives Beamer (sources LaTeX) de la première séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Présentation \| Description \|
	16	+\|---------\|--------------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_SEANCE1_INTRODUCTION/` \| Introduction \| Présentation du cours, plan de session, démarche économétrique \|
	18	+\| `GSF6053_H25_SEANCE1_REVISION/` \| Révision \| Rappels de statistique et de probabilités nécessaires au cours \|
	19	+\| `GSF6053_H25_SEANCE1_MOC/` \| Régression et MCO \| Le modèle de régression linéaire et les moindres carrés ordinaires (avec figures OLS_*.png) \|
	20	+
	21	+## Compilation
	22	+
	23	+```bash
	24	+cd <dossier> && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	25	+```
	26	+
	27	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	28	+
	29	+---
	30	+
	31	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	32	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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		`@@ -0,0 +1,646 @@`
	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+\usepackage[utf8]{inputenc}
	9	+\usepackage{graphicx}
	10	+% Thème et couleurs
	11	+\usetheme{default} % Un thème plus moderne et professionnel
	12	+\usecolortheme{seagull} % Palette de couleurs harmonieuse
	13	+
	14	+% Police
	15	+\usepackage{lmodern} % Police améliorée
	16	+
	17	+
	18	+\title[S02 Régression et MCO]{Maximum de Vraissemblance\\ (Séance 2)}
	19	+\subtitle{GSF-6053: Économétrie Financière}
	20	+\author[SP. Boucher]{Simon-Pierre Boucher\inst{1}}
	21	+\institute[Université Laval]
	22	+{
	23	+ \inst{1}%
	24	+ Département de finance, assurance et immobilier\\
	25	+ Faculté des sciences de l'administration\\
	26	+ Université Laval}
	27	+\date[Hiver 2025]{21 Janvier 2025}
	28	+% Configuration du pied de page avec logo en bas à droite
	29	+\setbeamertemplate{footline}{
	30	+ \leavevmode%
	31	+ \hbox{%
	32	+ \begin{beamercolorbox}[wd=.7\paperwidth,ht=2ex,dp=1ex,left]{author in head/foot}%
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	47	+\begin{frame}
	48	+ \titlepage
	49	+\end{frame}
	50	+
	51	+
	52	+\begin{frame}{Références}
	53	+\textbf{Obligatoires:}
	54	+\begin{itemize}
	55	+\item \textbf{Woolridge:} chapitres 2 à 7
	56	+\end{itemize}
	57	+\vspace{0.5cm}
	58	+\textbf{Complémentaires:}
	59	+\begin{itemize}
	60	+\item \textbf{Gujarati et Porter:} chapitres 1 à 9.
	61	+\item \textbf{Greene:} chapitres 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20, appendices C et D
	62	+\end{itemize}
	63	+\end{frame}
	64	+
	65	+
	66	+\begin{frame}{Plan de la séance}
	67	+ \tableofcontents
	68	+\end{frame}
	69	+
	70	+\section{Maximum de Vraissemblance}
	71	+
	72	+\frame{\tableofcontents[current]}
	73	+
	74	+\begin{frame}{Maximum de Vraissemblance}
	75	+\begin{itemize}
	76	+\item Le maximum de vraisemblance est une méthode générale pour estimer les paramàtres d’un modèle statistique.
	77	+\item Nous aurons une série d’observations d’une variable aléatoire y et un modèle statistique potentiel pour cette variable.
	78	+\begin{itemize}
	79	+\item Ce modèle peut inclure la dépendance de y sur d’autres variables prédictrices.
	80	+\item Ainsi qu’une distribution statistique pour la portion non-expliquée de la variation de y.
	81	+\end{itemize}
	82	+\item Selon le maximum de vraisemblance, les meilleurs estimés des paramètres d’un modèle sont ceux qui maximisent la probabilité des valeurs observées de la variable
	83	+\end{itemize}
	84	+\end{frame}
	85	+
	86	+\begin{frame}{Maximum de Vraissemblance}
	87	+\begin{itemize}
	88	+\item Fonction de densité pour une variable aléatoire $Y$ conditionné sur un ensemble de paramètres $\theta$
	89	+\begin{align*}
	90	+f(Y \mid \theta)
	91	+\end{align*}
	92	+\item La fonction de densité jointe de $n$ observations est simplement le produit des densités individuels
	93	+
	94	+\begin{align*}
	95	+f(y_1,y_2,...,y_n \mid \theta)=\prod_{i=1}^{n} f(y_i \mid \theta)=L(\theta \mid Y)
	96	+\end{align*}
	97	+\begin{itemize}
	98	+\item Ensemble de paramètres $\theta$ est inconnu.
	99	+\item Nous voulons les valeurs de $Y$ provenant de l'échantillon.
	100	+\end{itemize}
	101	+\item Donner à $\theta$ la valeur qui maximise la probabilité d'obtenir un échantillon identique à celui qu'on dispose.
	102	+\end{itemize}
	103	+\end{frame}
	104	+
	105	+\section{MLE: Modèle de régression linéaire}
	106	+
	107	+\frame{\tableofcontents[current]}
	108	+
	109	+
	110	+\begin{frame}{MLE: Modèle de régression linéaire}
	111	+\begin{itemize}
	112	+\item Hypothèse distributionnelle sur les $u_t$
	113	+\begin{align*}
	114	+u_t \sim \hspace{0.1cm} iid \hspace{0.1cm} N(0,\sigma^2)
	115	+\end{align*}
	116	+\item Loi conjointe des $u_1, u_2, ..., u_T$
	117	+\begin{align*}
	118	+f(u_1,u_2,...,u_T)=\prod_{t=1}^{T}f(u_t)=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\right)^T e^{-\frac{\sum_{t=1}^T(u_t)^2}{2 \sigma^2}}
	119	+\end{align*}
	120	+\item Interessés à la loi coinjointes des $y_t$
	121	+\item Effectué un changement de variable:
	122	+\begin{align*}
	123	+u_t=Y_t-X_t^{'} \beta
	124	+\end{align*}
	125	+\end{itemize}
	126	+\end{frame}
	127	+
	128	+\begin{frame}{MLE: Modèle de régression linéaire}
	129	+\begin{itemize}
	130	+\item Loi conjointe des $Y_t$ (Vraissemblance)
	131	+\begin{align*}
	132	+f(Y_1,Y_2,...,Y_T)=&\prod_{t=1}^{T}g(Y_t)=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\right)^T e^{-\frac{\sum_{t=1}^T(Y_t-X_t^{'} \beta)^2}{2 \sigma^2}} \\ & = (2 \pi \sigma^2)^{-T/2} e^{-\frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{2\sigma^2}}
	133	+\end{align*}
	134	+\item On veut enseuite obtenir la Log-Vraissemblance en prenant le logarithme de la fonction de vraissemblance.
	135	+\begin{align*}
	136	+L= -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\sigma^2)-\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2}
	137	+\end{align*}
	138	+\end{itemize}
	139	+\end{frame}
	140	+
	141	+\begin{frame}{MLE: Modèle de régression linéaire}
	142	+\begin{itemize}
	143	+\item Maximiser la log-vraissemblance en fonction de $\beta$ et $\sigma^2$
	144	+\item \textbf{En fonction de $\beta$}
	145	+\begin{align*}
	146	+\frac{\partial L}{\partial \beta} = \frac{1}{\sigma^2} \times \frac{\partial (Y'Y =2Y'X\beta +\beta'X'X \beta)}{\partial \beta}=0
	147	+\end{align*}
	148	+\textbf{Condition de première ordre:}
	149	+\begin{align*}
	150	+-2X'Y+2X'X\beta=0
	151	+\end{align*}
	152	+\begin{align*}
	153	+-X'Y+X'X\beta=0
	154	+\end{align*}
	155	+\begin{align*}
	156	+X'X\beta = X'Y
	157	+\end{align*}
	158	+\textbf{Estimateur $\beta$ par MLE:}
	159	+\begin{align*}
	160	+\hat{\beta}= (X'X)^{-1}X'Y
	161	+\end{align*}
	162	+\end{itemize}
	163	+\end{frame}
	164	+
	165	+\begin{frame}{MLE: Modèle de régression linéaire}
	166	+\begin{itemize}
	167	+\item \textbf{En fonction de $\sigma^2$}
	168	+\begin{align*}
	169	+\frac{\partial L}{\partial \sigma^2}=\frac{\partial \left[-\frac{T}{2} \log (\sigma^2)-\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2} \right]}{\partial \sigma^2}=0
	170	+\end{align*}
	171	+\item Nous allons dériver par rapport à $\sigma^2$ en deux parties
	172	+\begin{itemize}
	173	+\item 1er terme:
	174	+\begin{align*}
	175	+\frac{\partial \left[-\frac{T}{2} \log (\sigma^2) \right]}{\partial \sigma^2}=-\frac{T}{2} \times \frac{1}{\sigma^2}
	176	+\end{align*}
	177	+\end{itemize}
	178	+\begin{itemize}
	179	+\item 2e terme:
	180	+\begin{align*}
	181	+\frac{\partial \left[-\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2} \right]}{\partial \sigma^2}=\frac{\partial \left[-\frac{1}{2} \times (\sigma^2)^{-1}(Y-X \beta)'(Y-X \beta) \right]}{\partial \sigma^2}
	182	+\end{align*}
	183	+\end{itemize}
	184	+\end{itemize}
	185	+\end{frame}
	186	+
	187	+\begin{frame}{MLE: Modèle de régression linéaire}
	188	+\begin{itemize}
	189	+\item \textbf{En fonction de $\sigma^2$}
	190	+\begin{itemize}
	191	+\item Suite pour le 2e terme:
	192	+\end{itemize}
	193	+\begin{align*}
	194	+\frac{\partial \left[-\frac{1}{2} \times (\sigma^2)^{-1}(Y-X \beta)'(Y-X \beta) \right]}{\partial \sigma^2}\\ = \frac{T}{2} \times (\sigma^2)^{-2}(Y-X \beta)'(Y-X \beta) \\ =\frac{1}{2} \times \sigma^{-4}(Y-X\beta)'(Y-X \beta) \\ = \frac{T}{2} \times \frac{(Y-X\beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^4}
	195	+\end{align*}
	196	+\end{itemize}
	197	+\end{frame}
	198	+
	199	+\begin{frame}{MLE: Modèle de régression linéaire}
	200	+\begin{itemize}
	201	+\item \textbf{En fonction de $\sigma^2$}
	202	+\begin{itemize}
	203	+\item On additionne les deux termes et nous avons notre condition de première ordre
	204	+\end{itemize}
	205	+\begin{align*}
	206	+\frac{\partial L}{\partial \sigma^2}= -\frac{T}{2} \times \frac{1}{\sigma^2}+ \frac{1}{2} \times \frac{(Y-X\beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^4}
	207	+\end{align*}
	208	+\item On veut maintenant isoler $\sigma^2$ pour obtenir l'estimateur $\hat{\sigma}^2$
	209	+\begin{align*}
	210	+\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X\beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^4}=\frac{T}{2} \times \frac{1}{\sigma^2}
	211	+\end{align*}
	212	+\item On peut multiplier par $2 \sigma^2$ de chaque coté pour simplifier
	213	+\begin{align*}
	214	+\frac{(Y-X\beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2}=T
	215	+\end{align*}
	216	+\textbf{Estimateur $\hat{\sigma}^2$ pour la méthode des MLE}
	217	+\begin{align*}
	218	+\hat{\sigma}^2=\frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{T}
	219	+\end{align*}
	220	+\end{itemize}
	221	+\end{frame}
	222	+
	223	+
	224	+\section{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	225	+
	226	+\frame{\tableofcontents[current]}
	227	+
	228	+
	229	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	230	+\begin{itemize}
	231	+\item Pour $\hat{\beta}$ des MCO et MLE, leurs résultats coincident
	232	+\end{itemize}
	233	+\begin{block}{Estimateur \textbf{BLUE}}
	234	+\begin{itemize}
	235	+\item Best linear unbiased estimator
	236	+\begin{itemize}
	237	+\item Estimateur sans biais
	238	+\item Estimateur ayant une variance minimal
	239	+\end{itemize}
	240	+\item L'estimateur des moindres carrés ordinaires est BLUE
	241	+\item L'estimateur $\hat{\sigma}^2$ du Maximum de vraissemblance est biaisé vers le bas
	242	+\item On peut trouver une alternative sans biais
	243	+\begin{align*}
	244	+\hat{S}^2=\frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{T-K}
	245	+\end{align*}
	246	+\end{itemize}
	247	+\end{block}
	248	+\end{frame}
	249	+
	250	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	251	+\begin{block}{Estimateur \textbf{BLUE}}
	252	+\begin{itemize}
	253	+\item \textbf{Sans biais} : Espérance de l'estimateur égale à la vraie valeur du paramètre
	254	+\begin{align*}
	255	+E(\hat{\theta})=\theta
	256	+\end{align*}
	257	+\item \textbf{Efficace:} Si l'estimateur atteint la borne de Crameur-Rao (autrement dit, l'inverse de la matrice d'information de fisher)
	258	+\item On veut un estimateur ayant la variance la plus petite possible
	259	+\begin{itemize}
	260	+\item Cela donne une meilleur pécision
	261	+\end{itemize}
	262	+\end{itemize}
	263	+\end{block}
	264	+\end{frame}
	265	+
	266	+\begin{frame}{Inverse de la matrice d'information}
	267	+\begin{itemize}
	268	+\item Borne de Cramer-Rao : Pour tout estimateur régulier et sans biais, sa variance
	269	+est bornée par l’inverse de la matrice d’information.
	270	+\item La matrice d’information est quant à elle une façon de mesurer la quantité
	271	+d’information sur les paramètres dans $\theta$ contenue dans $X$.
	272	+\item Une définition équivalente serait que la variance d’un estimateur sans biais
	273	+sera toujours au moins aussi grande que l’inverse de la matrice d’information :
	274	+\end{itemize}
	275	+
	276	+\begin{align*}
	277	+[I(\theta)]^{-1} &=\left( -E \left[\frac{\partial^2 \log L(\theta)}{\partial \theta^2} \right] \right)^{-1} \\ &=\left( E \left[ \left(\frac{\partial \log L(\theta)}{\partial \theta}\right)^2 \right] \right)^{-1}
	278	+\end{align*}
	279	+
	280	+\end{frame}
	281	+
	282	+\begin{frame}{Matrice d'information et Hessienne}
	283	+
	284	+
	285	+\begin{itemize}
	286	+\item La matrice d'information est simplement une matrice hessienne d'une d'une fonction.
	287	+\item Il s'agit essentiellement d'une matrice de dérivé seconde:
	288	+\item On suppose une fonction $f(x_1, x_2)$ et on représente la hessienne de cette fonction par $H_{i,j}(f)$
	289	+\item On doit représenter $H_{i,j}(f)$ comme étant l'ensemble des dérivés secondes partiels possible.
	290	+\begin{align*}
	291	+H_{i,j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}
	292	+\end{align*}
	293	+\item Il y aura donc 4 dérivés secondes partiels possibles
	294	+\begin{itemize}
	295	+\item $i=1$ et $j=1$, alors $\partial x_1^2$
	296	+\item $i=1$ et $j=2$, alors $\partial x_1 \partial x_2$
	297	+\item $i=2$ et $j=1$, alors $\partial x_2 \partial x_1$
	298	+\item $i=2$ et $j=2$, alors $\partial x_2^2$
	299	+\end{itemize}
	300	+\end{itemize}
	301	+
	302	+\end{frame}
	303	+
	304	+\begin{frame}{Matrice d'information}
	305	+
	306	+\textbf{Dans le cas du modèle linéaire estimé par MLE}
	307	+\begin{itemize}
	308	+\item On aura 4 dérivés seconde étant donnée que nous avons deux paramètres à estimer, soit $\beta$ et $\sigma^2$.
	309	+\begin{itemize}
	310	+\item \textbf{En haut à gauche:} $\partial \beta \partial \beta$
	311	+\item \textbf{En haut à droite:} $\partial \beta \partial \sigma^2$
	312	+\item \textbf{En bas à gauche:} $\partial \sigma^2 \partial \beta$
	313	+\item \textbf{En bas à droite:} $(\partial \sigma^2)^2$
	314	+\end{itemize}
	315	+
	316	+\begin{align*}
	317	+I(\beta, \sigma^2) = -E\begin{bmatrix}
	318	+\left( \frac{\partial^2 L}{\partial \beta \partial \beta'}\right) & \left( \frac{\partial^2 L}{\partial \beta \partial \sigma^2}\right) \\
	319	+\left( \frac{\partial^2 L}{\partial \sigma^2 \partial \beta'}\right) & \left( \frac{\partial^2 L}{(\partial \sigma^2)^2}\right)
	320	+\end{bmatrix}
	321	+\end{align*}
	322	+\item Nous allons maintenant résoudre les 4 dérivés secondes partiels possibles:
	323	+\end{itemize}
	324	+
	325	+\end{frame}
	326	+
	327	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	328	+\begin{block}{En haut à gauche}
	329	+\begin{align*}
	330	+\frac{\partial^2 L}{\partial \beta \partial \beta'} & =\frac{\partial^2 \left[ -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\sigma^2)-\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2} \right]}{\partial \beta \partial \beta'} \\ & = \frac{\partial \left[-\frac{1}{2 \sigma^2} \times (-2X'Y+2X'X \hat{\beta}) \right]}{\partial \beta} \\ & = -\frac{1}{\sigma^2}(X'X)
	331	+\end{align*}
	332	+\end{block}
	333	+
	334	+\end{frame}
	335	+
	336	+
	337	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	338	+\begin{block}{En haut à droite}
	339	+\begin{align*}
	340	+\frac{\partial^2 L}{\partial \beta \partial \sigma^2} & =\frac{\partial^2 \left[ -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\sigma^2)-\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2} \right]}{\partial \beta \partial \sigma^2} \\ & = \frac{\partial \left[-\frac{1}{2 \sigma^2} \times (-2X'Y+2X'X \hat{\beta}) \right]}{\partial \sigma^2} \\ & = \frac{1}{2 \sigma^4} \times (-2X'Y + 2X'X\hat{\beta}) \\ & = \frac{1}{\sigma^4} \times (X'Y -X'X \hat{\beta}) \\ &= -\frac{1}{\sigma^4} \times (X'[Y-X \hat{\beta}]) \\ & = -\frac{1}{\sigma^4}(X'u)
	341	+\end{align*}
	342	+Sachant $Y-X \hat{\beta}=u$
	343	+
	344	+\end{block}
	345	+
	346	+\end{frame}
	347	+
	348	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	349	+\begin{block}{En bas à gauche}
	350	+\begin{align*}
	351	+\frac{\partial^2 L}{\partial \sigma^2 \partial \beta'} & = \left( \frac{\partial^2 L}{\partial \beta \partial \sigma^2}\right)^{'} \\ & = -\frac{1}{\sigma^4}(X'u)' \\ & = -\frac{1}{\sigma^4}(u'X)
	352	+\end{align*}
	353	+\end{block}
	354	+\end{frame}
	355	+
	356	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	357	+\begin{block}{En bas à droite}
	358	+\begin{align*}
	359	+\frac{\partial^2 L}{(\partial \sigma^2)^2} & = \frac{\partial^2 \left[ -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\sigma^2)-\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2} \right]}{(\partial \sigma^2)^2} \\ & = \frac{\partial \left[-\frac{-T}{2 \sigma^2}+\frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{2\sigma^4} \right]}{\partial \sigma^2} \\ & = \frac{T}{2 \sigma^4} - \frac{(Y-X\beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^6}
	360	+\end{align*}
	361	+\end{block}
	362	+\end{frame}
	363	+
	364	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	365	+\begin{itemize}
	366	+\item Espérance mathématique de chacune des dérivés
	367	+\end{itemize}
	368	+\begin{block}{En haut à gauche}
	369	+\begin{align*}
	370	+E \left(-\frac{\partial^2 L}{\partial \beta \partial \beta'} \right) &= E \left(- \left[-\frac{1}{\sigma^2} (X'X) \right]\right) \\ & = \frac{1}{\sigma^2}(X'X)
	371	+\end{align*}
	372	+\end{block}
	373	+\end{frame}
	374	+
	375	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	376	+
	377	+\begin{block}{En haut à droite}
	378	+\begin{align*}
	379	+E \left(-\frac{\partial^2 L}{\partial \beta \partial \sigma^2} \right) &= E \left(- \left[-\frac{1}{\sigma^4} (X'Y-X'X \beta) \right]\right) \\ & = \frac{1}{\sigma^4}(X'E(Y)-X'X \beta) \\ & = \frac{1}{\sigma^4} (X'X \beta - X'X \beta) \\ & = 0
	380	+\end{align*}
	381	+Sachant $E(Y)=X \beta$
	382	+\end{block}
	383	+\end{frame}
	384	+
	385	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	386	+
	387	+\begin{block}{En bas à gauche}
	388	+\begin{align*}
	389	+E \left(-\frac{\partial^2 L}{\partial \sigma^2 \partial \beta'} \right) = 0
	390	+\end{align*}
	391	+\end{block}
	392	+\begin{block}{En bas à droite}
	393	+\begin{align*}
	394	+E \left(-\frac{\partial^2 L}{(\partial \sigma^2)^2} \right) & =E \left(- \left[\frac{T}{2 \sigma^4}-\frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^6} \right] \right) \\ & = -\frac{T}{2 \sigma^4}+\frac{E[(Y-X \beta)'(Y-X \beta)]}{\sigma^6}
	395	+\end{align*}
	396	+\end{block}
	397	+\end{frame}
	398	+
	399	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	400	+\begin{block}{En bas à droite}
	401	+\textbf{Utilisons la trace:}
	402	+\begin{align*}
	403	+E[(Y-X \beta)'(Y-X \beta)] & = E(u'u) \\ & = E(Trace(u'u)) \\ & = E(Trace(uu')) \\ & = Trace(E(uu')) \\ & = Trace(\sigma^2 I_T) \\ & = T\sigma^2
	404	+\end{align*}
	405	+\end{block}
	406	+\end{frame}
	407	+
	408	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	409	+\begin{block}{En bas à droite}
	410	+\textbf{Donc:}
	411	+\begin{align*}
	412	+E \left(-\frac{\partial^2 L}{(\partial \sigma^2)^2} \right) & = -\frac{T}{2 \sigma^4}+\frac{T \sigma^2}{\sigma^6} \\ & = -\frac{T}{2 \sigma^4}+\frac{T}{\sigma^4} \\ & = -\frac{T}{2 \sigma^4}+\frac{2T}{2\sigma^4} \\ & = \frac{T}{2\sigma^4}
	413	+\end{align*}
	414	+\end{block}
	415	+\end{frame}
	416	+
	417	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO}
	418	+\begin{block}{Matrice d'information}
	419	+\begin{align*}
	420	+I(\beta, \sigma^2)=\begin{bmatrix}
	421	+\frac{1}{\sigma^2} (X'X) & 0 \\
	422	+0 & \frac{T}{2\sigma^4}
	423	+\end{bmatrix}
	424	+\end{align*}
	425	+\end{block}
	426	+
	427	+\begin{block}{Inverse matrice d'information}
	428	+\begin{align*}
	429	+I^{-1}(\beta, \sigma^2)=\begin{bmatrix}
	430	+ \sigma^2(X'X) & 0 \\
	431	+0 & \frac{2\sigma^4}{T}
	432	+\end{bmatrix}
	433	+\end{align*}
	434	+\end{block}
	435	+
	436	+\end{frame}
	437	+
	438	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO - Espérance}
	439	+
	440	+On sait déja que l'estimateur $\hat{\beta}$ possède la solution suivante:
	441	+\begin{align*}
	442	+\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y
	443	+\end{align*}
	444	+Sachant $Y= X\beta +u$
	445	+\begin{align*}
	446	+\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'[X\beta +u]
	447	+\end{align*}
	448	+\begin{align*}
	449	+\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'X\beta +(X'X)^{-1}X'u
	450	+\end{align*}
	451	+Sachant également $(X'X)^{-1}X'X = I$
	452	+\begin{align*}
	453	+\hat{\beta} = \beta +(X'X)^{-1}X'u
	454	+\end{align*}
	455	+
	456	+\end{frame}
	457	+
	458	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO - Espérance}
	459	+
	460	+On applique l'espérance de chaque coté de l'équation
	461	+\begin{align*}
	462	+E(\hat{\beta}) & =E(\beta +(X'X)^{-1}X'u) \\ & = \beta +(X'X)^{-1}X'E(u)
	463	+\end{align*}
	464	+Sachant $E(u)=0$
	465	+\begin{align*}
	466	+E(\hat{\beta})=\beta
	467	+\end{align*}
	468	+\textbf{On peut donc maintenant affirmer que $\hat{\beta}$ est un estimateur sans biais de $\beta$}
	469	+
	470	+\end{frame}
	471	+
	472	+
	473	+
	474	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO - Variance}
	475	+
	476	+On peut exprimer la variance de $\hat{\beta}$ comme suit:
	477	+\begin{align*}
	478	+Var(\hat{\beta})=E[(\hat{\beta}-\beta)(\hat{\beta}-\beta)']
	479	+\end{align*}
	480	+Sachant l'éqation que nous avons déja obtenus dans le calcule de l'espérance:
	481	+\begin{align*}
	482	+\hat{\beta}=\beta +(X'X)^{-1}X'u
	483	+\end{align*}
	484	+Alors il nous est possible d'exprimer la déviation de l'estimateur $\hat{\beta}$ par rapport à sa vrai valeur $\beta$.
	485	+\begin{align*}
	486	+\hat{\beta}-\beta = (X'X)^{-1}X'u
	487	+\end{align*}
	488	+
	489	+\end{frame}
	490	+
	491	+
	492	+\begin{frame}{Propriétés Estimateur MLE ET MCO - Variance}
	493	+
	494	+On peut donc incorporer l'équation de $(\hat{\beta}-\beta)$ dans l'équation de la variance de $\hat{\beta}$
	495	+\begin{align*}
	496	+Var(\hat{\beta})&=E[((X'X)^{-1}X'u)((X'X)^{-1}X'u)'] \\ & = E[(X'X)^{-1}X'uu'X(X'X)^{-1}] \\ & = (X'X)^{-1}X'E(uu')X(X'X)^{-1}
	497	+\end{align*}
	498	+Sachant $E(uu')=\sigma^2I$
	499	+\begin{align*}
	500	+Var(\hat{\beta})=(X'X)^{-1}X'\sigma^2IX(X'X)^{-1}
	501	+\end{align*}
	502	+Sachant $(X'X)^{-1}X'X)=I$
	503	+\begin{align*}
	504	+Var(\hat{\beta})=\sigma^2(X'X)^{-1}
	505	+\end{align*}
	506	+
	507	+\textbf{On voit donc que la variance de $\hat{\beta}$ atteint la borne de Crameur-Rao ou l'inverse de la matrice d'information}
	508	+\end{frame}
	509	+
	510	+\section{Propriétés de $\hat{\sigma}^2$}
	511	+
	512	+\frame{\tableofcontents[current]}
	513	+
	514	+
	515	+\begin{frame}{Propriétés de $\hat{\sigma}^2$}
	516	+On sait que:
	517	+\begin{align*}
	518	+\frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{\sigma^2} \sim X^2(T-K)
	519	+\end{align*}
	520	+\begin{itemize}
	521	+\item Sachant $\hat{u}_t=Y-X \hat{\beta}$
	522	+\begin{itemize}
	523	+\item $\hat{u}_t$ sont normales par hypothèses
	524	+\item $\hat{u}_t^{'}\hat{u}_t$ suit une loi chi carré
	525	+\end{itemize}
	526	+\end{itemize}
	527	+\end{frame}
	528	+
	529	+\begin{frame}{Propriétés de $\hat{\sigma}^2$}
	530	+\textbf{On peut montrer que l'espérance de ce terme est la suivante:}
	531	+\begin{align*}
	532	+E \left[ \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2}\right]=(T-K)
	533	+\end{align*}
	534	+\textbf{On peut montrer que la variance de ce terme est la suivante:}
	535	+\begin{align*}
	536	+V \left[ \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2}\right]=2(T-K)
	537	+\end{align*}
	538	+\end{frame}
	539	+
	540	+\begin{frame}{Propriétés de $\hat{\sigma}^2$}
	541	+\textbf{On sait que l'estimateur $\hat{\sigma}^2$ est le suivant:}
	542	+\begin{align*}
	543	+\hat{\sigma}^2=\frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{T}
	544	+\end{align*}
	545	+\textbf{Espérance de $\hat{\sigma}^2$}
	546	+\begin{align*}
	547	+E(\hat{\sigma}^2)=E \left( \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{T}\right)
	548	+\end{align*}
	549	+\end{frame}
	550	+
	551	+\begin{frame}{Propriétés de $\hat{\sigma}^2$}
	552	+\begin{itemize}
	553	+\item On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sigma^2$ afin d'écrire l'équation de l'espérance comme suit:
	554	+\begin{align*}
	555	+E(\hat{\sigma}^2)=E \left( \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2} \times \frac{\sigma^2}{T} \right)
	556	+\end{align*}
	557	+\item Sachant $E \left[ \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2}\right]=(T-K)$ on peut formuler à l'équation de $\hat{\sigma}^2$ comme suit:
	558	+\begin{align*}
	559	+\frac{\sigma^2}{T}(T-K)
	560	+\end{align*}
	561	+\end{itemize}
	562	+\end{frame}
	563	+
	564	+
	565	+\begin{frame}{Propriétés de $\hat{\sigma}^2$}
	566	+\begin{itemize}
	567	+\item On voit que cette estimateur est biaisé et la borne de Crameur-Rao ne peu s'appliquer dans le ce cas.
	568	+\item Cependant, si $T$ devient suffisament grand, alors:
	569	+\begin{align*}
	570	+T-K \approx T
	571	+\end{align*}
	572	+\item On voit clairement que le biais s'annule
	573	+\begin{align*}
	574	+E(\hat{\sigma}^2)=\frac{\sigma^2}{T}(T)=\sigma^2
	575	+\end{align*}
	576	+\end{itemize}
	577	+\end{frame}
	578	+
	579	+
	580	+\section{Estimateur de la variance sans biais}
	581	+
	582	+\frame{\tableofcontents[current]}
	583	+
	584	+
	585	+\begin{frame}{Estimateur de la variance sans biais}
	586	+\begin{itemize}
	587	+\item L'estimateur de la variance sans biais est représenté par $\hat{S}^2$
	588	+\begin{align*}
	589	+\hat{S}^2=\frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{T-K}
	590	+\end{align*}
	591	+\textbf{Espérance de $\hat{S}^2$}
	592	+\begin{align*}
	593	+E(\hat{S}^2)=E \left[ \frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{T-K}\right]
	594	+\end{align*}
	595	+\item On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sigma^2$ afin d'écrire l'équation de l'espérance de $\hat{S}^2$ comme suit:
	596	+\begin{align*}
	597	+E(\hat{S}^2)=E \left[ \frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{\sigma^2} \times \frac{\sigma^2}{T-K}\right]
	598	+\end{align*}
	599	+\end{itemize}
	600	+\end{frame}
	601	+
	602	+\begin{frame}{Estimateur de la variance sans biais}
	603	+\begin{itemize}
	604	+\item Sachant $E \left[ \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2}\right]=(T-K)$ on peut formuler à l'équation de l'espérance de $\hat{S}^2$ comme suit:
	605	+\begin{align*}
	606	+E(\hat{S}^2) & =(T-K) \times \frac{\sigma^2}{T-K} \\ & = \sigma^2
	607	+\end{align*}
	608	+\item On voit donc que l'estimateur de la variance $\hat{S}^2$ est sans biais étant donnée que sont espérance égale la vrai valeur de la variance $\sigma^2$
	609	+\end{itemize}
	610	+\end{frame}
	611	+
	612	+
	613	+\begin{frame}{Estimateur de la variance sans biais}
	614	+
	615	+\textbf{Variance de $\hat{S}^2$}
	616	+\begin{align*}
	617	+V(\hat{S}^2)=V \left[ \frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{T-K}\right]
	618	+\end{align*}
	619	+\begin{itemize}
	620	+\item On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sigma^2$ afin d'écrire l'équation de la variance de $\hat{S}^2$ comme suit:
	621	+\begin{align*}
	622	+V(\hat{S}^2)=V \left[ \frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{\sigma^2} \times \frac{\sigma^2}{T-K}\right]
	623	+\end{align*}
	624	+\item On peut sortir $\frac{\sigma^2}{T-K}$ de l'opérateur variance en élevant ce terme à la puissance 2.
	625	+\begin{align*}
	626	+V(\hat{S}^2)= \frac{\sigma^4}{(T-K)^2} V\left[ \frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{\sigma^2} \right]
	627	+\end{align*}
	628	+\end{itemize}
	629	+\end{frame}
	630	+
	631	+
	632	+\begin{frame}{Estimateur de la variance sans biais}
	633	+
	634	+\textbf{Variance de $\hat{S}^2$}
	635	+\begin{itemize}
	636	+\item Sachant $V \left[ \frac{(Y-X \beta)'(Y-X \beta)}{\sigma^2}\right]=2(T-K)$, on peut écrire la variance de $\hat{S}^2$ comme suit:
	637	+\begin{align*}
	638	+V(\hat{S}^2) & = \frac{\sigma^4}{(T-K)^2} \times [2(T-K)] \\ & = \frac{2 \sigma^4}{T-K}
	639	+\end{align*}
	640	+\item On voit clairement que $V(\hat{S}^2)$ n'atteint pas la borne de Cramer-Rao étant donnée que cette variance est plus grande que celle donnée par la borne.
	641	+\begin{align*}
	642	+\frac{2 \sigma^4}{T-K} > \frac{2 \sigma^4}{T}
	643	+\end{align*}
	644	+\end{itemize}
	645	+\end{frame}
	646	+\end{document}
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		`@@ -0,0 +1,30 @@`
	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📊 SLIDES — Séance 2 : Maximum de vraisemblance (MLE)
	10	+
	11	+Diapositives Beamer (sources LaTeX) de la deuxième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Présentation \| Description \|
	16	+\|---------\|--------------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_SEANCE2_MLE/` \| MLE \| Estimation par maximum de vraisemblance : vraisemblance, log-vraisemblance, propriétés asymptotiques \|
	18	+
	19	+## Compilation
	20	+
	21	+```bash
	22	+cd <dossier> && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	23	+```
	24	+
	25	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	26	+
	27	+---
	28	+
	29	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	30	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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		`@@ -0,0 +1,933 @@`
	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+\usepackage[utf8]{inputenc}
	9	+\usepackage[T1]{fontenc}
	10	+\usepackage{graphicx}
	11	+\usepackage{booktabs}
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	16	+\title[S02 Régression et MCO]{Analyse de Variance et Tests d'hypothèses\\ (Séance 3)}
	17	+\subtitle{GSF-6053: Économétrie Financière}
	18	+\author[SP. Boucher]{Simon-Pierre Boucher\inst{1}}
	19	+\institute[Université Laval]
	20	+{
	21	+ \inst{1}%
	22	+ Département de finance, assurance et immobilier\\
	23	+ Faculté des sciences de l'administration\\
	24	+ Université Laval}
	25	+\date[Hiver 2025]{28 Janvier 2025}
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	48	+\end{frame}
	49	+
	50	+
	51	+\begin{frame}{Références}
	52	+\textbf{Obligatoires:}
	53	+\begin{itemize}
	54	+
	55	+\item \textbf{Woolridge:} chapitres 2 à 7
	56	+\end{itemize}
	57	+\vspace{0.5cm}
	58	+\textbf{Complémentaires:}
	59	+\begin{itemize}
	60	+\item \textbf{Gujarati et Porter:} chapitres 1 à 9.
	61	+\item \textbf{Greene:} chapitres 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20, appendices C et D
	62	+\end{itemize}
	63	+\end{frame}
	64	+
	65	+
	66	+\begin{frame}{Plan de la séance}
	67	+ \tableofcontents
	68	+\end{frame}
	69	+
	70	+\section{Analyse de Variance}
	71	+
	72	+\frame{\tableofcontents[current]}
	73	+
	74	+\begin{frame}{Analyse de Variance}
	75	+\begin{itemize}
	76	+\item Variation dans la variable expliquée \textbf{(Y)}
	77	+\begin{align*}
	78	+Y_t=\hat{Y}_t+\hat{u}_t
	79	+\end{align*}
	80	+\item Composantes de la variation de \textbf{Y}
	81	+\begin{itemize}
	82	+\item $\hat{Y}_t$ est la variation due à la partie expliquée
	83	+\item $\hat{u}_t$ est induite par la partie de \textbf{Y} non expliquée
	84	+\end{itemize}
	85	+\end{itemize}
	86	+\end{frame}
	87	+
	88	+\begin{frame}{Analyse de Variance}
	89	+\begin{itemize}
	90	+\item Variation totale de \textbf{Y}
	91	+\begin{align*}
	92	+SS_{tot}=\sum_{t=1}^{T}(Y_t-\overline{Y})^2
	93	+\end{align*}
	94	+\item Variation partie expliquée de \textbf{Y}
	95	+\begin{align*}
	96	+SS_{reg}=\sum_{t=1}^{T}(\hat{Y}_t-\overline{Y})^2
	97	+\end{align*}
	98	+\item Variation non expliquée de \textbf{Y} ou Résidus
	99	+\begin{align*}
	100	+SS_{err}=\sum_{t=1}^{T}(Y_t-\hat{Y}_t)^2=\sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2
	101	+\end{align*}
	102	+\end{itemize}
	103	+\end{frame}
	104	+
	105	+\begin{frame}{Analyse de Variance}
	106	+\begin{itemize}
	107	+\item À l'aide des 3 dernières définitions, soit $SS_{tot}, SS_{reg}$ et $SS_{err}$, nous allons maintenant prouver l'équation suivante:
	108	+\begin{align*}
	109	+SS_{tot}=SS_{reg}+SS_{err}
	110	+\end{align*}
	111	+\item On pose la définition de $SS_{tot}$ qu'on sait déja:
	112	+\begin{align*}
	113	+SS_{tot}=\sum_{t=1}^{T}(Y_t-\overline{Y})^2
	114	+\end{align*}
	115	+Sachant $Y_t= \hat{Y}_t + \hat{u}_t$
	116	+
	117	+\begin{align*}
	118	+SS_{tot}=\sum_{t=1}^{T}(\hat{Y}_t + \hat{u}_t-\overline{Y})^2
	119	+\end{align*}
	120	+\end{itemize}
	121	+\end{frame}
	122	+
	123	+
	124	+\begin{frame}{Analyse de Variance}
	125	+\begin{itemize}
	126	+\item Afin d'éliminer et de transformer certains termes, il nous faut distribuer les termes de notre parenthèse élevé au carré.
	127	+\begin{align*}
	128	+SS_{tot} =\sum_{t=1}^{T}(\hat{Y}_t + \hat{u}_t-\overline{Y})\times(\hat{Y}_t + \hat{u}_t-\overline{Y})
	129	+\end{align*}
	130	+
	131	+\begin{align*}
	132	+=\sum_{t=1}^{T} \left[ \hat{Y}_t^2 +\hat{Y}_t\hat{u}_t -\hat{Y}_t\overline{Y} +\hat{u}_t\hat{Y}_t + \hat{u}_t^2-\hat{u}_t \overline{Y} - \overline{Y} \hat{Y}_t -\overline{Y} \hat{u}_t +\overline{Y}^2 \right]
	133	+\end{align*}
	134	+
	135	+\end{itemize}
	136	+\end{frame}
	137	+
	138	+
	139	+\begin{frame}{Analyse de Variance}
	140	+\begin{itemize}
	141	+\item Nous allons maintenant simplifier notre équation $SS_{tot}$, en utilisant l'identité remarquable.
	142	+\begin{itemize}
	143	+\item Rappel: Si nous avons $(a^2+2ab+b^2)$, alors on peut écrire les 3 termes sous une forme polynomial $(a+b)^2$
	144	+\end{itemize}
	145	+\item Dans le cas qui nous interesse, notre indentité remarquable sera composé de $\hat{Y}_t$ et $\overline{Y}$. On peut donc isoler, dans notre dernière équation les termes nécessaires:
	146	+\begin{align*}
	147	+SS_{tot} =\sum_{t=1}^{T} \left[(\hat{Y}_t^2+\overline{Y}^2-2\hat{Y}_t \overline{Y})+2\hat{Y}_t\hat{u}_t + \hat{u}_t^2-2 \hat{u}_t \overline{Y}\right]
	148	+\end{align*}
	149	+Sachant que selon l'identité remarquable $(\hat{Y}_t^2+\overline{Y}^2-2\hat{Y}_t \overline{Y})=(\hat{Y}_t-\overline{Y})^2$
	150	+\begin{align*}
	151	+SS_{tot} =\sum_{t=1}^{T} \left[(\hat{Y}_t-\overline{Y})^2+2\hat{Y}_t\hat{u}_t + \hat{u}_t^2-2 \hat{u}_t \overline{Y}\right]
	152	+\end{align*}
	153	+\end{itemize}
	154	+
	155	+ \end{frame}
	156	+
	157	+
	158	+\begin{frame}{Analyse de Variance}
	159	+\begin{itemize}
	160	+\item On doit maintenant distribuer notre opérateur sommation à tous les termes de l'équation exprimant $SS_{tot}$.
	161	+\begin{align*}
	162	+SS_{tot}=\sum_{t=1}^{T} (\hat{Y}_t-\overline{Y})^2 + \sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2 +2\sum_{t=1}^{T}\hat{Y}_t\hat{u}_t -2 \overline{Y}\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_t
	163	+\end{align*}
	164	+Sachant:
	165	+\begin{itemize}
	166	+\item $SS_{reg}=\sum_{t=1}^{T}(\hat{Y}_t-\overline{Y})^2$
	167	+\item $SS_{err}=\sum_{t=1}^{T} \hat{u}_t^2$
	168	+\end{itemize}
	169	+\item Alors on peut écrire l'équation exprimant $SS_{tot}$ comme suit:
	170	+\begin{align*}
	171	+SS_{tot}=SS_{reg} + SS_{err} +2\sum_{t=1}^{T}\hat{Y}_t\hat{u}_t -2 \overline{Y}\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_t
	172	+\end{align*}
	173	+\end{itemize}
	174	+
	175	+\end{frame}
	176	+
	177	+
	178	+\begin{frame}{Analyse de Variance}
	179	+\begin{itemize}
	180	+\item Les résidus sont orthogonaux au sous-espace engendré par les colonnes de $X$
	181	+\begin{align*}
	182	+2\sum_{t=1}^T \hat{Y}_t \hat{u}_t=0
	183	+\end{align*}
	184	+\item La somme des résidus est nulle
	185	+\begin{align*}
	186	+2 \overline{Y} \sum_{t=1}^T \hat{u}_t=0
	187	+\end{align*}
	188	+\item Avec les deux dernières propriétés on très bien que dans l'éuation du $SS_{tot}$, les deux derniers termes s’annulent:
	189	+\begin{align*}
	190	+SS_{tot}=SS_{reg}+SS_{err}
	191	+\end{align*}
	192	+\end{itemize}
	193	+\end{frame}
	194	+
	195	+\section{Coefficient de détermination $(R^2)$}
	196	+
	197	+\frame{\tableofcontents[current]}
	198	+
	199	+\begin{frame}{Coefficient de détermination $(R^2)$}
	200	+\begin{itemize}
	201	+\item Indique le pouvoir explicatif de la régression
	202	+\item Proportion des variations de $Y$ expliquées par les régresseurs du modèle par rapport aux variations total.
	203	+\item On peut donc exprimer le $R^2$ comme étant le ratio entre la somme des résidus au carrés et somme des variations total au carrés.
	204	+\begin{align*}
	205	+R^2=\frac{SS_{reg}}{SS_{tot}}=1-\frac{SS_{err}}{SS_{tot}}
	206	+\end{align*}
	207	+\item On voit clairement que notre $R^2$ sera compris entre $0$ et $1$
	208	+\begin{align*}
	209	+0 \le R^2 \le 1
	210	+\end{align*}
	211	+\end{itemize}
	212	+\end{frame}
	213	+
	214	+
	215	+\section{Coefficient de détermination ajusté $(R^2$ ajusté)}
	216	+
	217	+\frame{\tableofcontents[current]}
	218	+
	219	+\begin{frame}{Coefficient de détermination ajusté $(R^2$ ajusté)}
	220	+\begin{itemize}
	221	+\item Contrairement au $R^2$ standard, le $R^2$ ajusté vient pénélisé l'ajout de variables explicatives inutiles.
	222	+\item $R^2$ $\rightarrow$ Si on ajoute un variable explicative à note modèle, il augmentera forcément
	223	+\item $R^2$ ajusté $\rightarrow$ Si on ajoute un variable explicative à note modèle, il peut augmenté, mais si l'ajout de cette variable est inutile il pourra également diminuer.
	224	+
	225	+\end{itemize}
	226	+\end{frame}
	227	+
	228	+
	229	+\begin{frame}{Coefficient de détermination ajusté $(R^2$ ajusté)}
	230	+\begin{itemize}
	231	+\item L'équation exprimant le $R^2$ ajusté contient comme pour le $R^2$, le $SS_{err}$ et le $SS_{tot}$.
	232	+\item Cependant afin de tenir compte du nombre de régresseurs ajoutés au modèle, on aura besoin de la constante $k$, étant le nombre de variable indépendantes.
	233	+\item Nous aurons également besoin du nombres d'observation dans notre échantillons, représenté par $n$.
	234	+\end{itemize}
	235	+\end{frame}
	236	+
	237	+
	238	+\begin{frame}{Coefficient de détermination ajusté $(R^2$ ajusté)}
	239	+\begin{itemize}
	240	+\item \textbf{Équation exprimation le $R^2$ ajusté:}
	241	+\begin{align*}
	242	+R_{ADJ}^2 & =1-\frac{\left( \frac{SS_{err}}{n-k}\right)}{\left( \frac{SS_{tot}}{n-1}\right)} \\ & = 1-\frac{SS_{err}(n-1)}{SS_{tot}(n-k)}
	243	+\end{align*}
	244	+Ou \textbf{k} représente le nombre de régresseurs
	245	+\end{itemize}
	246	+\end{frame}
	247	+
	248	+\begin{frame}{Coefficient de détermination ajusté $(R^2$ ajusté)}
	249	+\begin{itemize}
	250	+\item On peut également montrer qu'il est possible d'exprimer le $R^2$ ajusté en fonction du $R^2$ standard
	251	+\item Si $\frac{SS_{reg}}{SS_{tot}}=R^2$ alors $\frac{SS_{err}}{SS_{tot}}=1-R^2$
	252	+Comme montré ci-haut, le $R^2$ ajusté peut être exprimé comme suit:
	253	+\begin{align*}
	254	+R_{ADJ}^2=1-\frac{SS_{err}}{SS_{tot}} \times \frac{(n-1)}{n-k}
	255	+\end{align*}
	256	+Sachant $\frac{SS_{err}}{SS_{tot}}=1-R^2$, on peut écrire à nouveau le $R^2$ ajusté en fonction du $R^2$
	257	+\begin{align*}
	258	+R_{ADJ}^2=1-(1-R^2) \times \frac{(n-1)}{n-k}
	259	+\end{align*}
	260	+\end{itemize}
	261	+\end{frame}
	262	+
	263	+\begin{frame}{Coefficient de détermination ajusté $(R^2$ ajusté)}
	264	+\textbf{Coefficient de détermination ajusté:}
	265	+
	266	+\begin{itemize}
	267	+\item Si nous avons uniquement 1 variables explicatives dans notre modèle, alors le $R^2$ sera égale au $R_{ADJ}^2$.
	268	+\begin{itemize}
	269	+\item Dans ce cas, nous avons 1 régresseur, soit $k=1$
	270	+\end{itemize}
	271	+\begin{align*}
	272	+R_{ADJ}^2 & =1-(1-R^2) \times \frac{(n-1)}{n-k} \\ & = 1-(1-R^2) \times \frac{(n-1)}{n-1} \\ & =1-(1-R^2) \\ & = R^2
	273	+\end{align*}
	274	+\end{itemize}
	275	+\end{frame}
	276	+
	277	+\begin{frame}{Coefficient de détermination ajusté $(R^2$ ajusté)}
	278	+\textbf{Coefficient de détermination ajusté:}
	279	+
	280	+\begin{itemize}
	281	+\item Si nous avons uniquement plusieurs variables explicatives dans notre modèle, alors le $R^2$ sera plus grand ou égale au $R_{ADJ}^2$.
	282	+\begin{itemize}
	283	+\item Dans ce cas, nous avons 2 régresseur et plus, soit $k \ge 2$
	284	+\end{itemize}
	285	+\item S'il y a plusieurs variables explicatives alors
	286	+\begin{align*}
	287	+n-1 > n-k
	288	+\end{align*}
	289	+De facon équivalente:
	290	+\begin{align*}
	291	+\frac{(n-1)}{n-k} > 1
	292	+\end{align*}
	293	+\item Le terme $\frac{(n-1)}{n-k}$ supérieurs à 1 est multiplié à ce qui n'est pas expliqué par le modèle $(1-R^2)$
	294	+\end{itemize}
	295	+\textbf{Ce qui nous permet d'affirmer:}
	296	+\begin{align*}
	297	+R_{ADJ}^2 \leq R^2 \hspace{0.2cm} \textbf{et} \hspace{0.2cm} R_{ADJ}^2 \leq 1
	298	+\end{align*}
	299	+\end{frame}
	300	+
	301	+
	302	+
	303	+\section{Test d'hypothèse}
	304	+
	305	+\frame{\tableofcontents[current]}
	306	+
	307	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	308	+\textbf{Un test d’hypothèse sur les paramètres d’un modèle économétrique requiert les
	309	+ étapes suivantes:}
	310	+
	311	+\begin{itemize}
	312	+\item \textbf{Étape 1:}
	313	+\begin{itemize}
	314	+\item Écrire l’hypothèse nulle ($H_0$) et l’alternative ($H_1$).
	315	+\item La plupart du temps, $H_0$ est l’hypothèse que l’on veut rejeter.
	316	+\item Par exemple, qu’un paramètre est non significatif ou égal à une certaine valeur.
	317	+\item L’hypothèse alternative peut être unilatérale ($<$ et $>$) ou bilatérale ($\neq$).
	318	+\end{itemize}
	319	+\end{itemize}
	320	+\end{frame}
	321	+
	322	+
	323	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	324	+
	325	+\begin{itemize}
	326	+\item \textbf{Étape 2:}
	327	+\begin{itemize}
	328	+\item Définir la statistique de test (student, F, Wald, LR, LM etc..)
	329	+\item Déterminer si possible, la distribution loi de cette statistique sous $H_0$.
	330	+\end{itemize}
	331	+\item \textbf{Étape 3:}
	332	+\begin{itemize}
	333	+\item Choisir le niveau de significativité du test $\alpha$.
	334	+\item On fixe donc la possibilité d’erreur de type 1 soit la probabilité de rejeter $H_0$ lorsque celle-ci est vraie.
	335	+\item Généralement, on fixe le niveau à 5 \% ou 1 \% et plus rarement à 10 \%.
	336	+
	337	+\end{itemize}
	338	+\end{itemize}
	339	+\end{frame}
	340	+
	341	+
	342	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	343	+
	344	+\begin{itemize}
	345	+\item \textbf{Étape 4:}
	346	+\begin{itemize}
	347	+\item Déterminer la règle de décision du test avec la région critique de confiance $CR_{\alpha}$.
	348	+\item La plupart du temps, cela demande de savoir la distribution de la statistique sous $H_0$.
	349	+\item Lorsque la valeur calculée pour la statistique de test se trouve dans la région critique: on rejette $H_0$ en faveur de $H_1$ au seuil de confiance $\alpha$.
	350	+\end{itemize}
	351	+\item \textbf{Étape 5:}
	352	+\begin{itemize}
	353	+\item Utiliser les valeurs obtenues de la régression pour calculer la statistique de test.
	354	+\end{itemize}
	355	+\item \textbf{Étape 6:}
	356	+\begin{itemize}
	357	+\item Appliquer la règle de décision vue dans l'étape 4.
	358	+\end{itemize}
	359	+\end{itemize}
	360	+\end{frame}
	361	+
	362	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	363	+\begin{block}{Note sur la p-value}
	364	+\begin{itemize}
	365	+\item Parfois, on regarde la p-value au lieu de comparer $CR_{\alpha}$ à la valeur de la statistique.
	366	+\item P-value : C’est le plus petit niveau auquel on petit rejeter l’hypothèse nulle.
	367	+\item En d’autres mots, c’est la probabilité d’avoir un évènement aussi extrême que celle observée en assumant que $H_0$ est vraie.
	368	+\item Plus la p-value est faible, plus la probabilité que l’évènement observé soit faible, étant donné l’hypothèse nulle.
	369	+\begin{itemize}
	370	+\item plus il y a de chances que l’hypothèse nulle est rejetée.
	371	+\end{itemize}
	372	+\end{itemize}
	373	+\end{block}
	374	+\end{frame}
	375	+
	376	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	377	+\textbf{Test de significativité:}
	378	+\begin{block}{Significativité individuelle d'un paramètre}
	379	+\begin{itemize}
	380	+\item On regarde si le régresseur est statistiquement non nul
	381	+\item Utilise le test de student
	382	+\end{itemize}
	383	+\end{block}
	384	+\begin{block}{Significativité conjointe des paramètres}
	385	+\begin{itemize}
	386	+\item On regarde si au moins un des régresseurs est statistiquement non nul (un effet)
	387	+\item Utilise le F-test
	388	+\end{itemize}
	389	+\end{block}
	390	+
	391	+\end{frame}
	392	+
	393	+
	394	+
	395	+
	396	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	397	+\textbf{Test de Student:}
	398	+\begin{block}{Two-tailed test}
	399	+\begin{itemize}
	400	+\item Hypothèse nulle est la non-significativité du coefficient de régression
	401	+\item Hypothèses:
	402	+\begin{itemize}
	403	+\item $H_0:$ $\beta_k=0$ $\rightarrow$ \textbf{Hypothèse nule}
	404	+\item $H_1:$ $\beta_k \neq 0$ $\rightarrow$ \textbf{Hypothèse alternative}
	405	+\end{itemize}
	406	+\item Règle de décision:
	407	+Rejeter $H_0$ si:
	408	+\begin{align*}
	409	+t=\frac{\mid \hat{\beta}_k-\beta_0 \mid}{SE_{\hat{\beta}_k}} > t_{n-k,\alpha/2}
	410	+\end{align*}
	411	+\begin{itemize}
	412	+\item Ou $\beta_0$ est la valeur du coefficient sous l'hypothèse nulle, soit 0
	413	+\item $SE_{\hat{\beta}_k}$ est l'écart-type associé à l'estimation de $\hat{\beta}_k$
	414	+\end{itemize}
	415	+\end{itemize}
	416	+\end{block}
	417	+\end{frame}
	418	+
	419	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	420	+\textbf{Test de Student:}
	421	+\begin{block}{Right-tailed test}
	422	+\begin{itemize}
	423	+\item Hypothèses:
	424	+\begin{itemize}
	425	+\item $H_0:$ $\beta_k \leq 0$ $\rightarrow$ \textbf{Hypothèse nule}
	426	+\item $H_1:$ $\beta_k > 0$ $\rightarrow$ \textbf{Hypothèse alternative}
	427	+\end{itemize}
	428	+\item Règle de décision:
	429	+Rejeter $H_0$ si:
	430	+\begin{align*}
	431	+t=\frac{\hat{\beta}_k-\beta_0}{SE_{\hat{\beta}_k}} > t_{n-k,\alpha}
	432	+\end{align*}
	433	+\begin{itemize}
	434	+\item Ou $\beta_0$ est la valeur du coefficient sous l'hypothèse nulle, soit 0
	435	+\item $SE_{\hat{\beta}_k}$ est l'écart-type associé à l'estimation de $\hat{\beta}_k$
	436	+\end{itemize}
	437	+\end{itemize}
	438	+\end{block}
	439	+\end{frame}
	440	+
	441	+
	442	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	443	+\textbf{Test de Student:}
	444	+\begin{block}{Left-tailed test}
	445	+\begin{itemize}
	446	+\item Hypothèses:
	447	+\begin{itemize}
	448	+\item $H_0:$ $\beta_k \geq 0$ $\rightarrow$ \textbf{Hypothèse nule}
	449	+\item $H_1:$ $\beta_k < 0$ $\rightarrow$ \textbf{Hypothèse alternative}
	450	+\end{itemize}
	451	+\item Règle de décision:
	452	+Rejeter $H_0$ si:
	453	+\begin{align*}
	454	+t=\frac{\hat{\beta}_k-\beta_0}{SE_{\hat{\beta}_k}} < -t_{n-k,\alpha}
	455	+\end{align*}
	456	+\begin{itemize}
	457	+\item Ou $\beta_0$ est la valeur du coefficient sous l'hypothèse nulle, soit 0
	458	+\item $SE_{\hat{\beta}_k}$ est l'écart-type associé à l'estimation de $\hat{\beta}_k$
	459	+\end{itemize}
	460	+\end{itemize}
	461	+\end{block}
	462	+\end{frame}
	463	+
	464	+
	465	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	466	+\textbf{F-test (significativité conjointe)}
	467	+\begin{itemize}
	468	+\item Comparer la différence entre les résidus au carrés d'un modèle contraint et d'un modèle non contraint.
	469	+\begin{itemize}
	470	+\item Si la différence est grande
	471	+\item Plus les résidus du modèle contraint sont grand par rapport au modèle contraint
	472	+\item Plus la contrainte coûte cher à appliquer en terme de performance
	473	+\item Plus la statistique F est grande
	474	+\item Passé un certain coût critique $\rightarrow$ rejette $H_0$
	475	+\end{itemize}
	476	+\end{itemize}
	477	+\end{frame}
	478	+
	479	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	480	+\textbf{F-test (significativité conjointe)}
	481	+\begin{block}{Hypothèses:}
	482	+\begin{itemize}
	483	+\item $H_0:$ $\beta_2 = \beta_3 = ... = \beta_k=0$
	484	+\item $H_1:$ $\beta_2 \neq 0$ et $\beta_3 \neq 0$ et $...$ et/ou $\beta_k \neq 0$
	485	+\end{itemize}
	486	+\end{block}
	487	+\begin{block}{Statistique de test:}
	488	+\begin{itemize}
	489	+\item Modèle non contraint $\rightarrow$ $(\hat{u}'\hat{u})$
	490	+\item Modèle contraint $\rightarrow$ $(\hat{u}_0'\hat{u}_0)$
	491	+\end{itemize}
	492	+\begin{align*}
	493	+F = \frac{\hat{u}_0'\hat{u}_0-\hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}'\hat{u}}\times \frac{t-k}{q} \sim (q,t-k)
	494	+\end{align*}
	495	+\end{block}
	496	+\end{frame}
	497	+
	498	+\begin{frame}{Test d'hypothèse}
	499	+\textbf{F-test (significativité conjointe)}
	500	+
	501	+\begin{block}{Décision:}
	502	+On rejette $H_0$ à un seuil de $\alpha$ si
	503	+\begin{align*}
	504	+F = \frac{\hat{u}_0'\hat{u}_0-\hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}'\hat{u}} \times \frac{t-k}{q} > F(q,t-k;\alpha)
	505	+\end{align*}
	506	+\end{block}
	507	+\end{frame}
	508	+
	509	+
	510	+\section{Les contraintes linéaires}
	511	+
	512	+\frame{\tableofcontents[current]}
	513	+
	514	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	515	+
	516	+\textbf{Format général:}
	517	+\begin{align*}
	518	+H_0: R \beta = r
	519	+\end{align*}
	520	+\begin{itemize}
	521	+\item $R=$ matrice de sélection contenant une ligne pour chaque contrainte non redondante $q$
	522	+\item Vecteur de réel constants
	523	+\end{itemize}
	524	+
	525	+
	526	+\end{frame}
	527	+
	528	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	529	+\begin{itemize}
	530	+\item On cherche à maximiser notre log-vraisemblance afin de trouver une solution pour $\beta$, tout en respectant une contrainte linéaire.
	531	+\item Il s'agit essentiellement d'une optimization sous contrainte à l'aide d'un multiplicateur de lagrange.
	532	+\item On représente l'estimateur $\beta$ obtenus avec la méthode des moindres carrés ordinaire est représenté par $\beta^{OLS}$.
	533	+\item L'estimateur $\beta$ obtenus sous une contrainte linéaire est représenté par $\beta^{LC}$
	534	+
	535	+\end{itemize}
	536	+\end{frame}
	537	+
	538	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	539	+\begin{itemize}
	540	+\item Nous voulons minimiser la somme des carrés des résidus, mais cette fois, nous posons la contrainte : $R \beta = r$
	541	+\item Cela conduit à la fonction de Lagrange suivante:
	542	+\begin{align*}
	543	+L(\beta,\lambda) & =(Y-X\beta)'(Y-X\beta)+2 \lambda'(R \beta-r)\\ & = Y'Y-2Y'X\beta +\beta' X'X \beta +2 \lambda' R\beta -2 \lambda'r
	544	+\end{align*}
	545	+\item On dérive ensuite la fonction $L(\beta,\lambda)$ par rapport à $\beta$ et $\lambda$
	546	+\end{itemize}
	547	+
	548	+\end{frame}
	549	+
	550	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	551	+ \begin{itemize}
	552	+ \item \textbf{Dérivé par rapport à $\beta$}
	553	+ \begin{align*}
	554	+ \frac{\partial L(\beta, \lambda)}{\partial \beta} &= -2 X'Y + 2X'X \beta + 2 \lambda'R = 0
	555	+ \end{align*}
	556	+ \begin{align*}
	557	+ X'X \beta + R'\lambda &= X'Y
	558	+ \end{align*}
	559	+
	560	+ \item \textbf{Dérivé par rapport à $\lambda$}
	561	+ \begin{align*}
	562	+ \frac{\partial L(\beta, \lambda)}{\partial \lambda} &= 2R\beta - 2r = 0
	563	+ \end{align*}
	564	+ \begin{align*}
	565	+ R \beta &= r
	566	+ \end{align*}
	567	+ \end{itemize}
	568	+\end{frame}
	569	+
	570	+
	571	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	572	+\textbf{Format matricielle}
	573	+\begin{itemize}
	574	+\item Équation 1:
	575	+\begin{align*}
	576	+X'X \times \textcolor{red}{\beta} + R' \times \textcolor{red}{\lambda} = X'Y
	577	+\end{align*}
	578	+\item Équation 2:
	579	+\begin{align*}
	580	+R \times \textcolor{red}{\beta} + 0 \times \textcolor{red}{\lambda} = r
	581	+\end{align*}
	582	+\end{itemize}
	583	+Ce qui nous permet d'obtenir la représentation suivante:
	584	+\begin{align*}
	585	+\begin{bmatrix}
	586	+X'X & R' \\
	587	+R & 0
	588	+\end{bmatrix}
	589	+\begin{bmatrix}
	590	+\textcolor{red}{\beta} \\
	591	+\textcolor{red}{\lambda}
	592	+\end{bmatrix}
	593	+=
	594	+\begin{bmatrix}
	595	+X'Y \\
	596	+r
	597	+\end{bmatrix}
	598	+\end{align*}
	599	+\end{frame}
	600	+
	601	+
	602	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	603	+
	604	+\begin{itemize}
	605	+\item On peut ensuite obtenir une solution pour $\beta$ et $\lambda$
	606	+
	607	+\begin{align*}
	608	+\begin{bmatrix}
	609	+\textcolor{red}{\beta} \\
	610	+\textcolor{red}{\lambda}
	611	+\end{bmatrix}
	612	+=
	613	+\begin{bmatrix}
	614	+X'X & R' \\
	615	+R & 0
	616	+\end{bmatrix}^{-1}
	617	+\begin{bmatrix}
	618	+X'Y \\
	619	+r
	620	+\end{bmatrix}
	621	+\end{align*}
	622	+
	623	+\item Pour obtenir une solution de $\beta^{LC}$, il nous suffit de trouver la solution pour $\beta$ dans l'équation 1.
	624	+\begin{align*}
	625	+X'X \beta^{LC} + R' \lambda = X'Y
	626	+\end{align*}
	627	+\begin{align*}
	628	+X'X \beta^{LC} = X'Y-R' \lambda
	629	+\end{align*}
	630	+\begin{align*}
	631	+\beta^{LC} = (X'X)^{-1}X'Y-(X'X)^{-1}R' \lambda
	632	+\end{align*}
	633	+\end{itemize}
	634	+\end{frame}
	635	+
	636	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	637	+\begin{block}{Estimateur sous contrainte linéaire ($\beta^{LC})$}
	638	+\begin{align*}
	639	+\beta^{LC} = (X'X)^{-1}X'Y-(X'X)^{-1}R' \lambda
	640	+\end{align*}
	641	+\end{block}
	642	+\begin{block}{Estimateur OLS ($\beta^{OLS}$)}
	643	+\begin{align*}
	644	+\beta^{OLS} = (X'X)^{-1}X'Y
	645	+\end{align*}
	646	+\end{block}
	647	+On voit donc facilement qu'il nous est possible d'exprimer l'estimateur $\beta^{LC}$ en fonction de l'estimateur $\beta^{OLS}$
	648	+\begin{align*}
	649	+\beta^{LC} = \beta^{OLS}-(X'X)^{-1}R' \lambda
	650	+\end{align*}
	651	+\end{frame}
	652	+
	653	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	654	+\begin{itemize}
	655	+\item On doit également trouver une solution pour $\lambda$ afin de pouvoir l'incorporer dans la solution de $\beta^{LC}$
	656	+\item On commence par multiplier chaque coté l'équation de la solution de $\beta^{LC}$ par $R$
	657	+\begin{align*}
	658	+R\beta^{LC} = R\beta^{OLS}-R(X'X)^{-1}R' \lambda
	659	+\end{align*}
	660	+\item On sait déja que $R\beta^{LC}=r$, étant donné la contrainte linéaire posée
	661	+\begin{align*}
	662	+r = R\beta^{OLS}-R(X'X)^{-1}R' \lambda
	663	+\end{align*}
	664	+\item Pour finalement isoler $\beta^{OLS}$
	665	+\begin{align*}
	666	+\lambda=(R(X'X)^{-1}R')^{-1}(R\beta^{OLS}-r)
	667	+\end{align*}
	668	+\end{itemize}
	669	+\end{frame}
	670	+
	671	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	672	+\begin{itemize}
	673	+\item On substitut la solution de $\lambda$ dans l'équation de la solution de $\beta^{LC}$
	674	+\begin{align*}
	675	+\beta^{LC} = \beta^{OLS}-(X'X)^{-1}R'(R(X'X)^{-1}R')^{-1}(R\beta^{OLS}-r)
	676	+\end{align*}
	677	+\item On voit que $\beta^{LC}$ (Contraint) est exprimé en fonction de $\beta^{OLS}$ (Non-Contraint).
	678	+\item Le test de Fisher (F-Test) est une spécification d'un contrainte linéaire.
	679	+\begin{itemize}
	680	+\item Le modèle non-contraint est le modèle que nous souhaitons estimer et vérifier la significativité.
	681	+\item Le modèle contraint est simplement un modèle dans lequel nous allons contraindre tous les coefficients d'être égale à 0.
	682	+\end{itemize}
	683	+\end{itemize}
	684	+\end{frame}
	685	+
	686	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	687	+\begin{block}{Représentation du F-test sous le format de contrainte linéaire}
	688	+\begin{itemize}
	689	+\item On suppose un modèle avec un intercept $\beta_0$ et une pente $\beta_1$.
	690	+\item On cherche à tester une contrainte linéaire ayant le format $R\beta=r$
	691	+\item La matrice $R$:
	692	+\begin{align*}
	693	+R = \begin{bmatrix}
	694	+1 & 0 \\
	695	+0 & 1
	696	+\end{bmatrix}
	697	+\end{align*}
	698	+\item La matrice $\beta$:
	699	+\begin{align*}
	700	+\beta= \begin{bmatrix}
	701	+\beta_0 \\
	702	+\beta_1
	703	+\end{bmatrix}
	704	+\end{align*}
	705	+\end{itemize}
	706	+\end{block}
	707	+\end{frame}
	708	+
	709	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	710	+\begin{block}{Représentation du F-test sous le format de contrainte linéaire}
	711	+\begin{itemize}
	712	+\item La matrice $r$
	713	+\begin{align*}
	714	+r= \begin{bmatrix}
	715	+0 \\
	716	+0
	717	+\end{bmatrix}
	718	+\end{align*}
	719	+\item Ce qui nous donne la contrainte linéaire $(R \beta=r)$ dans le cas du F-Test:
	720	+\begin{align*}
	721	+\begin{bmatrix}
	722	+1 & 0 \\
	723	+0 & 1
	724	+\end{bmatrix}
	725	+\begin{bmatrix}
	726	+\beta_0 \\
	727	+\beta_1
	728	+\end{bmatrix}
	729	+=
	730	+\begin{bmatrix}
	731	+0 \\
	732	+0
	733	+\end{bmatrix}
	734	+\end{align*}
	735	+\end{itemize}
	736	+\end{block}
	737	+\end{frame}
	738	+
	739	+\begin{frame}{Les contraintes linéaires}
	740	+\begin{itemize}
	741	+\item Nous regardons maintenant trois classes de tests qui peuvent être utilisées dans des contextes plus généraux:
	742	+\begin{itemize}
	743	+\item Test d’hypothèse de restrictions non linéaires sur les paramètres
	744	+\item Test d’hypothèse sur la matrice de variance-covariance
	745	+\item Tests dans des modèles sans normalités des erreurs
	746	+\end{itemize}
	747	+\item Les tests présentés sont
	748	+\begin{itemize}
	749	+\item Multiplicateur de Lagrange (LM)
	750	+\item Test de Wald
	751	+\item Ratio de vraisemblance (LR)
	752	+\end{itemize}
	753	+\end{itemize}
	754	+\end{frame}
	755	+
	756	+\section{Test de Wald}
	757	+
	758	+\frame{\tableofcontents[current]}
	759	+
	760	+\begin{frame}{Test de Wald}
	761	+\begin{itemize}
	762	+\item Le test de Wald est une forme quadratique basé sur la distance entre $(R \beta -r)$ et zéro.
	763	+\item C’est-à-dire si l’estimé non contraint vérifie la contrainte.
	764	+\item On rejette l’hypothèse nulle si la statistique est suffisamment grande.
	765	+\begin{block}{Hypothèses}
	766	+\begin{itemize}
	767	+\item $H_0:$ $R \beta = r$
	768	+\item $H_1:$ $R \beta \neq r$
	769	+\end{itemize}
	770	+\end{block}
	771	+\begin{block}{Statistique $W$}
	772	+\begin{align*}
	773	+W=(R \beta -r)'[V(R \beta -r)]^{-1}(R \beta-r)
	774	+\end{align*}
	775	+Où $V(R \beta -r)$ est la variance entre les deux termes.
	776	+\end{block}
	777	+\end{itemize}
	778	+\end{frame}
	779	+
	780	+\begin{frame}{Test de Wald}
	781	+\begin{block}{Statistique $W$}
	782	+\begin{itemize}
	783	+\item En décomposant la variance, on trouve une solution pour la statistique de Wald.
	784	+\begin{align*}
	785	+W = \frac{1}{\hat{\sigma}^2}(R \beta -r)'[R(X'X)^{-1}R']^{-1}(R \beta -r)
	786	+\end{align*}
	787	+\end{itemize}
	788	+\end{block}
	789	+\begin{itemize}
	790	+\item Sous l’hypothèse nulle, W suit aussi une khi carré (q).
	791	+\item Le Wald est intéressant, car tous les estimés nécessaires sont non contraints.
	792	+\item On ne fait pas d’estimation contrainte, car on s’intéresse à savoir si le modèle non contraint rejette l’hypothèse nulle d’être « assez prêt » de la contrainte.
	793	+\end{itemize}
	794	+\end{frame}
	795	+
	796	+\section{Ratio de vraisemblance (LR)}
	797	+
	798	+\frame{\tableofcontents[current]}
	799	+
	800	+\begin{frame}{Ratio de vraisemblance (LR)}
	801	+\begin{itemize}
	802	+\item \textbf{Intuition:} comparer la valeur de la vraisemblance aux maximum contraint et non contraint.
	803	+\item Si ces deux valeurs sont proches l’une de l’autre, cela implique que la contrainte est aisément satisfaite par les observations et non couteuse en termes de maximisation de la vraisemblance.
	804	+\item La vraissemblance du modèle non-contraint est représenté par $\hat{L}$, alors que la vraissemblance du modèle contraint est représenté par $\hat{L}_c$
	805	+\item L'estimateur $\hat{L}$ sera une fonction des estimateurs $\hat{\beta}$ et $\hat{\sigma}^2$ du modèle non contraint $\rightarrow$ $\hat{L}(\hat{\beta},\hat{\sigma}^2)$
	806	+\item L'estimateur $\hat{L}_c$ sera une fonction des estimateurs $\hat{\beta}_c$ et $\hat{\sigma}_c^2$ du modèle non contraint $\rightarrow$ $\hat{L}_c(\hat{\beta}_c,\hat{\sigma}_c^2)$
	807	+\end{itemize}
	808	+\end{frame}
	809	+
	810	+\begin{frame}{Ratio de vraisemblance (LR)}
	811	+\begin{itemize}
	812	+\item Afin de pouvoir simplifier la vraissemblance, nous poserons l'hypothèse de normalité des résidus.
	813	+\begin{align*}
	814	+\hat{L} & =-\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}^2)-\frac{1}{2} \times \frac{(Y-X \hat{\beta})'(Y-X \hat{\beta})}{\hat{\sigma}^2} \\ & =-\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}^2)-\frac{1}{2} \times \frac{\hat{u}'\hat{u}}{\hat{\sigma}^2} \\ & = -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}^2)-\frac{1}{2} \times \frac{T \hat{\sigma}^2}{\hat{\sigma}^2} \\ & = -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}^2)-\frac{T}{2}
	815	+\end{align*}
	816	+\end{itemize}
	817	+\end{frame}
	818	+
	819	+\begin{frame}{Ratio de vraisemblance (LR)}
	820	+\begin{block}{Vraissemblance du modèle non-contraint}
	821	+\begin{align*}
	822	+\hat{L}=-\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}^2)-\frac{T}{2}
	823	+\end{align*}
	824	+\end{block}
	825	+\begin{block}{Vraissemblance du modèle contraint}
	826	+\begin{align*}
	827	+\hat{L}_c=-\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}_c^2)-\frac{T}{2}
	828	+\end{align*}
	829	+\end{block}
	830	+\end{frame}
	831	+
	832	+\begin{frame}{Ratio de vraisemblance (LR)}
	833	+\begin{itemize}
	834	+\item On veut comparer la valeur de la vraisemblance $\hat{L}$ et $\hat{L}_c$
	835	+\item La statistique LR s’écrit donc comme la différence entre les estimés contraints et non-contraints de $\sigma^2$
	836	+\begin{align*}
	837	+LR & =2[\hat{L}-\hat{L}_c]\\ & = 2\left[ -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}^2)-\frac{T}{2} \right]\\ & -2\left[ -\frac{T}{2} \log (2 \pi) -\frac{T}{2} \log (\hat{\sigma}_c^2)-\frac{T}{2} \right] \\ & =T \log (\hat{\sigma}_c^2)-T \log (\hat{\sigma}^2) \\ & = T \log \left( \frac{\hat{\sigma}_c^2}{\hat{\sigma}^2}\right) = T \log \left( \frac{\hat{u}_c^{'}\hat{u}_c}{\hat{u}^{'} \hat{u}}\right)
	838	+\end{align*}
	839	+\item La statistique suit donc une loi Khi carré (q) asymptotiquement
	840	+\end{itemize}
	841	+\end{frame}
	842	+
	843	+\section{Multiplicateur de Lagrange}
	844	+
	845	+\frame{\tableofcontents[current]}
	846	+
	847	+
	848	+\begin{frame}{Multiplicateur de Lagrange}
	849	+\begin{itemize}
	850	+\item Il s’agit d’une régression auxiliaire.
	851	+\item La statistique de test sera :$T \times R^2$
	852	+\item Cette statistique suit alors une khi-carré avec q degré de liberté.
	853	+\item Intuition de ce test : vérifier si le score (la dérivé première du Lagrangien en fonction des paramètres) est proche de zéro évalué en $\hat{\beta}_c$.
	854	+\item Si oui, la contrainte n’est pas très couteuse en termes d’optimisation et il est probable que les paramètres prennent les valeurs définies par l’hypothèse nulle.
	855	+\end{itemize}
	856	+\end{frame}
	857	+
	858	+\begin{frame}{Multiplicateur de Lagrange}
	859	+\begin{block}{Statistique LM}
	860	+\begin{align*}
	861	+LM= \left[ \frac{\partial L}{\partial \beta} (\hat{\beta}_c)\right]^{'}\left[V \frac{\partial L}{\partial \beta} (\hat{\beta}_c)\right]^{-1}\left[ \frac{\partial L}{\partial \beta} (\hat{\beta}_c)\right]
	862	+\end{align*}
	863	+En effectuant les dérivés premières et quelques manipulations, on obtient la solution pour la statistique LM.
	864	+\begin{align*}
	865	+LM=\frac{1}{\sigma^2} (\hat{\beta}-\hat{\beta}_c)'R'CR(\hat{\beta}-\hat{\beta}_c)
	866	+\end{align*}
	867	+
	868	+\end{block}
	869	+\end{frame}
	870	+
	871	+\begin{frame}{Multiplicateur de Lagrange}
	872	+\begin{block}{Statistique LM}
	873	+\begin{itemize}
	874	+\item On peut aussi réécrire cette statistique comme une fonction des résidus contraints et non contraints.
	875	+\begin{align*}
	876	+LM = \frac{\hat{u}_c^{'}\hat{u}_c-\hat{u}^{'}\hat{u}}{\frac{\hat{u}_c^{'}\hat{u}_c}{T}}
	877	+\end{align*}
	878	+\item Cette statistique suit une loi Chi carré avec q degré de liberté asymptotiquement sous l’hypothèse nulle.
	879	+\item Le LM exploite le fait que la maximisation du log vraisemblance sous la contrainte de l’hypothèse nulle revient à maximiser sans contrainte la fonction Lagrangienne associée.
	880	+\item Le test est alors basé sur le fait que si la contrainte sous $H_0$ est respectée par les données, le vecteur de Lagrange devrait être nul.
	881	+
	882	+\end{itemize}
	883	+\end{block}
	884	+\end{frame}
	885	+
	886	+\section{Lien entre les Statistiques F, WALD, LR et LM}
	887	+
	888	+\frame{\tableofcontents[current]}
	889	+
	890	+\begin{frame}{Lien entre les Statistiques F, WALD, LR et LM}
	891	+\begin{itemize}
	892	+\item Toutes ces statistiques se calculent à partir de la somme des résidus au carré.
	893	+\item Il est possible d’exprimer les trois statistiques présentées comme une transformation de la statistique F dans le cas de contraintes linéaires et du modèle linéaire simple.
	894	+\end{itemize}
	895	+\begin{block}{Statistique F}
	896	+
	897	+\begin{align*}
	898	+F= \frac{\hat{u}_0'\hat{u}_0-\hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}'\hat{u}} \times \frac{t-k}{q}>F(q,t-k;\alpha)
	899	+\end{align*}
	900	+\begin{itemize}
	901	+\item On rejette $H_0$ si la statistique de test est plus grande que le point critique associé
	902	+\end{itemize}
	903	+\end{block}
	904	+\end{frame}
	905	+
	906	+\begin{frame}{Lien entre les Statistiques F, WALD, LR et LM}
	907	+ \begin{itemize}
	908	+ \item \textbf{Statistique Wald}
	909	+ \begin{align*}
	910	+ Wald &= T \frac{\hat{u}_c'\hat{u}_c - \hat{u}'\hat{u}}{\hat{u}'\hat{u}} = \frac{Tq}{T-K}F
	911	+ \end{align*}
	912	+
	913	+ \item \textbf{Statistique LR}
	914	+ \begin{align*}
	915	+ LR &= T \log \left[ \frac{\hat{u}_c'\hat{u}_c}{\hat{u}'\hat{u}} \right] = T \log \left[F \frac{q}{T-K} + 1 \right]
	916	+ \end{align*}
	917	+
	918	+ \item \textbf{Statistique LM}
	919	+ \begin{align*}
	920	+ LM &= \frac{\hat{u}_c'\hat{u}_c - \hat{u}'\hat{u}}{\frac{\hat{u}_c'\hat{u}_c}{T}} = \frac{T}{\left[\frac{1}{F}\right] \left[\frac{T-K}{q}\right] + 1}
	921	+ \end{align*}
	922	+ \end{itemize}
	923	+\end{frame}
	924	+
	925	+\begin{frame}{Lien entre les Statistiques F, WALD, LR et LM}
	926	+\begin{itemize}
	927	+\item Rejette si la statistique de test est plus grande que le point critique d’une Chi-carré avec q degrés de liberté.
	928	+\item Bien que toutes ses statistiques soient maintenant exprimées en fonction des résidus contraints et non contraints, elles ne donnent pas la même valeur.
	929	+\item L’inférence pourrait donc potentiellement être différente.
	930	+\end{itemize}
	931	+
	932	+\end{frame}
	933	+\end{document}
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		`@@ -0,0 +1,30 @@`
	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📊 SLIDES — Séance 3 : Tests d'hypothèses et ANOVA
	10	+
	11	+Diapositives Beamer (sources LaTeX) de la troisième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Présentation \| Description \|
	16	+\|---------\|--------------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_SEANCE3_ANOVA/` \| Tests & ANOVA \| Tests d'hypothèses (t, F), analyse de la variance, décomposition de la somme des carrés, R² \|
	18	+
	19	+## Compilation
	20	+
	21	+```bash
	22	+cd <dossier> && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	23	+```
	24	+
	25	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	26	+
	27	+---
	28	+
	29	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	30	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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		`@@ -0,0 +1,601 @@`
	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+\usepackage[utf8]{inputenc}
	9	+\usepackage{graphicx}
	10	+\usetheme{default}
	11	+\usecolortheme{seagull}
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	13	+\title{Extensions au modèle linéaire simple \\(Séance 4)}
	14	+\author{Simon-Pierre Boucher}
	15	+\institute{Département de finance, assurance et immobilier\\ Faculté des sciences de l'administration\\ Université Laval}
	16	+\date[Hiver 2025]{4 février 2025}
	17	+% Configuration du pied de page avec logo en bas à droite
	18	+\setbeamertemplate{footline}{
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	36	+\frame{\titlepage}
	37	+
	38	+\begin{frame}
	39	+\frametitle{Références}
	40	+\textbf{Obligatoires:}
	41	+\begin{itemize}
	42	+
	43	+ \item Woolridge: chapitres 3, 8, 12.
	44	+\end{itemize}
	45	+\textbf{Complémentaires:}
	46	+\begin{itemize}
	47	+ \item Gujarati et Porter: chapitres 10, 11, 12, 13 et appendice C.
	48	+ \item Greene: chapitres 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20 C et D
	49	+\end{itemize}
	50	+\end{frame}
	51	+
	52	+\begin{frame}
	53	+\frametitle{Plan de la séance}
	54	+\begin{itemize}
	55	+ \item Multicolinéarité
	56	+ \item Problèmes de spécification
	57	+ \item Erreurs non-sphériques
	58	+ \item Les Moindres carrés généralisés
	59	+\end{itemize}
	60	+\end{frame}
	61	+
	62	+\begin{frame}
	63	+\frametitle{Multicolinéarité}
	64	+\begin{itemize}
	65	+ \item Une des hypothèses du modèle linéaire classique est qu’il n’y a pas de colinéarité parfaite entre les variables explicatives dans la matrice $ X $.
	66	+ \item Supposons le modèle suivant :
	67	+ \[
	68	+ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_k X_{ki} + \epsilon_i
	69	+ \]
	70	+ \item Multicolinéarité parfaite (ou exacte) :
	71	+ \[
	72	+ \lambda_1 X_{1i} + \lambda_2 X_{2i} + \dots + \lambda_k X_{ki} = 0
	73	+ \]
	74	+ \item Multicolinéarité imparfaite :
	75	+ \[
	76	+ \lambda_1 X_{1i} + \lambda_2 X_{2i} + \dots + \lambda_k X_{ki} + v_i = 0
	77	+ \]
	78	+\end{itemize}
	79	+\end{frame}
	80	+
	81	+\begin{frame}
	82	+\frametitle{Multicolinéarité (suite)}
	83	+\begin{itemize}
	84	+ \item Dans le cas de la multicolinéarité parfaite :
	85	+ \begin{itemize}
	86	+ \item Alors la matrice $ (X^T X) $ n’est plus de plein rang colonne et n’est pas inversible, car une des colonnes peut être écrite en fonction linéaire des autres.
	87	+ \item Il survient alors un problème majeur au niveau de l’identification des paramètres.
	88	+ \end{itemize}
	89	+ \item Dans le cas de la multicolinéarité imparfaite :
	90	+ \begin{itemize}
	91	+ \item Les régressseurs ne sont pas parfaitement corrélés, mais fortement corrélés à un choc près.
	92	+ \end{itemize}
	93	+\end{itemize}
	94	+\end{frame}
	95	+
	96	+\begin{frame}
	97	+\frametitle{Multicolinéarité - Conséquences}
	98	+\begin{itemize}
	99	+ \item \textbf{Les conséquences de la multicolinéarité}
	100	+ \begin{itemize}
	101	+ \item La multicolinéarité imparfaite ne viole pas les hypothèses du théorème de Gauss-Markov.
	102	+ \item Les estimateurs des MCO en cas de multicolinéarité gardent la propriété BLUE.
	103	+ \end{itemize}
	104	+ \item Les variances et les erreurs standard des estimations des coefficients de régression vont augmenter.
	105	+ \begin{itemize}
	106	+ \item Cela signifie des t-statistiques plus faibles.
	107	+ \end{itemize}
	108	+ \item L’ajustement global de l’équation de régression ne sera pas affecté par la multicolinéarité.
	109	+ \begin{itemize}
	110	+ \item Cela signifie également que la prévision et la prédiction ne seront pas affectées.
	111	+ \end{itemize}
	112	+ \item Les coefficients de régression seront sensibles aux spécifications.
	113	+ \begin{itemize}
	114	+ \item Les coefficients de régression peuvent changer considérablement lorsque des variables sont ajoutées ou supprimées.
	115	+ \end{itemize}
	116	+\end{itemize}
	117	+\end{frame}
	118	+
	119	+\begin{frame}
	120	+\frametitle{Multicolinéarité - Détection}
	121	+\begin{itemize}
	122	+ \item \textbf{La détection de la multicolinéarité}
	123	+ \begin{itemize}
	124	+ \item Coefficients de corrélation élevés :
	125	+ \begin{itemize}
	126	+ \item Les corrélations par paires entre les variables indépendantes peuvent être élevées (en valeur absolue).
	127	+ \item Règle générale : si la corrélation est > 0.8, il peut y avoir une forte multicolinéarité.
	128	+ \end{itemize}
	129	+ \item $ R^2 $ élevé avec des valeurs de t-statistiques faibles :
	130	+ \begin{itemize}
	131	+ \item Il est possible que les coefficients de régression individuels ne soient pas significatifs mais que l’ajustement global de l’équation soit élevé.
	132	+ \end{itemize}
	133	+ \item Facteurs d’inflation de la variance (VIF) élevés :
	134	+ \begin{itemize}
	135	+ \item VIF quantifie dans quelle mesure la multicolinéarité a augmenté la variance d’un coefficient estimé.
	136	+ \item Il examine dans quelle mesure une variable explicative peut être expliquée par toutes les autres variables explicatives de l’équation.
	137	+ \end{itemize}
	138	+ \end{itemize}
	139	+\end{itemize}
	140	+\end{frame}
	141	+\begin{frame}
	142	+\frametitle{Multicolinéarité - Remèdes}
	143	+\begin{itemize}
	144	+ \item \textbf{Remèdes contre la multicolinéarité}
	145	+ \begin{itemize}
	146	+ \item Ne rien faire
	147	+ \item Abandon d’une variable redondante :
	148	+ \begin{itemize}
	149	+ \item Si une variable est redondante, elle n’aurait jamais dû être incluse dans le modèle en premier lieu. Ainsi, l’abandonner ne fait que corriger une erreur de spécification.
	150	+ \item Utilisez la théorie économique pour guider votre choix de la variable à supprimer.
	151	+ \end{itemize}
	152	+ \item Transformer les variables multicolinéaires :
	153	+ \begin{itemize}
	154	+ \item Vous pouvez réduire la multicolinéarité en respécifiant le modèle, par exemple, en créant une combinaison des variables multicolinéaires.
	155	+ \end{itemize}
	156	+ \item Augmenter la taille de l’échantillon :
	157	+ \begin{itemize}
	158	+ \item L’augmentation de la taille de l’échantillon améliore la précision d’un estimateur et réduit les effets négatifs de la multicolinéarité.
	159	+ \item En général, l’ajout de données n’est pas possible.
	160	+ \end{itemize}
	161	+ \end{itemize}
	162	+\end{itemize}
	163	+\end{frame}
	164	+
	165	+\begin{frame}
	166	+\frametitle{Problèmes de spécification}
	167	+\begin{itemize}
	168	+ \item Le modèle des OLS postule que nous avons la forme vraie fonctionnelle qui définit la relation entre $ Y $ et les régresseurs $ X $.
	169	+ \item Comment savoir si nous avons les bons $ X $ ?
	170	+ \item Quels sont les impacts de se tromper dans le choix de $ X $ ?
	171	+ \item De façon générale, nous avons les guides suivants pour choisir les variables explicatives :
	172	+ \begin{itemize}
	173	+ \item Le modèle doit être admissible et possible à tester.
	174	+ \item Le modèle doit être cohérent avec la théorie économique et financière.
	175	+ \item Choisir des régresseurs exogènes au terme d’erreur.
	176	+ \item Les paramètres estimés doivent être stables empiriquement.
	177	+ \end{itemize}
	178	+ \item Les résidus de régression. Sinon, on peut revisiter la spécification de $ X $ ou si elle est correcte corriger pour la non-sphéricité des erreurs.
	179	+\end{itemize}
	180	+\end{frame}
	181	+
	182	+\begin{frame}
	183	+\frametitle{Problèmes de spécification - Omission d’une variable explicative importante}
	184	+\begin{itemize}
	185	+ \item On suppose le vrai modèle suivant :
	186	+ \[
	187	+ Y_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t
	188	+ \]
	189	+ \item Cependant, vous avez effectué l’estimation d’un modèle en omettant la variable indépendante $ X_2 $.
	190	+ \[
	191	+ Y_t = \beta_1 X_{1t} + u_t
	192	+ \]
	193	+ \item Étant donné que $ X_2 $ n’est pas inclus dans la régression, nous allons uniquement obtenir une solution pour l’estimateur $ \beta_1 $ :
	194	+ \[
	195	+ \hat{\beta}_1 = X_1^T \left( X_1^T X_1 \right)^{-1} X_1^T Y = \left( X_1^T Y \right) \left( X_1^T X_1 \right)^{-1}
	196	+ \]
	197	+\end{itemize}
	198	+\end{frame}
	199	+
	200	+\begin{frame}
	201	+\frametitle{Problèmes de spécification - Omission d’une variable explicative importante (suite)}
	202	+\begin{itemize}
	203	+ \item Afin de voir les effets de l’omission de la variable $ X_2 $, nous allons substituer dans l’équation de l’estimateur $ \hat{\beta}_1 $, l’équation du vrai modèle.
	204	+ \[
	205	+ \hat{\beta}_1 = \frac{X_1^T Y}{X_1^T X_1} = \frac{X_1^T (\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + u)}{X_1^T X_1}
	206	+ \]
	207	+ \item Cela donne :
	208	+ \[
	209	+ \hat{\beta}_1 = \frac{X_1^T X_1 \beta_1 + X_1^T X_2 \beta_2 + X_1^T u}{X_1^T X_1}
	210	+ \]
	211	+ \item Ce qui nous mène à :
	212	+ \[
	213	+ \hat{\beta}_1 = \beta_1 + \frac{X_1^T X_2}{X_1^T X_1} \beta_2 + \frac{X_1^T u}{X_1^T X_1}
	214	+ \]
	215	+\end{itemize}
	216	+\end{frame}
	217	+
	218	+
	219	+\begin{frame}
	220	+\frametitle{Problèmes de spécification - Omission d’une variable explicative importante (suite)}
	221	+\begin{itemize}
	222	+ \item Nous allons maintenant prendre l'espérance de chaque côté de l'équation de $ \hat{\beta}_1 $:
	223	+ \[
	224	+ E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + E\left( \frac{\beta_2 X_1^T X_2}{X_1^T X_1} \right) + E\left( \frac{X_1^T u}{X_1^T X_1} \right)
	225	+ \]
	226	+ \item Sachant que $ E\left( \frac{X_1^T u}{X_1^T X_1} \right) = 0 $ et que $ \frac{X_1^T X_2}{X_1^T X_1} $ est le coefficient de régression de $ X_2 $ sur $ X_1 $, que nous représenterons par $ b_{21} $, cela donne :
	227	+ \[
	228	+ E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + \beta_2 b_{21}
	229	+ \]
	230	+ \item $ \hat{\beta}_1 $ sera un estimateur biaisé de $ \beta_1 $ : Le biais dépend du coefficient de la variable omise et du coefficient de la régression de la variable omise sur les variables incluses.
	231	+\end{itemize}
	232	+\end{frame}
	233	+
	234	+\begin{frame}
	235	+\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente}
	236	+\begin{itemize}
	237	+ \item On suppose le vrai modèle suivant :
	238	+ \[
	239	+ Y_t = \beta_1 X_{1t} + u_t
	240	+ \]
	241	+ \item Cependant, vous avez effectué l’estimation d’un modèle en ajoutant la variable indépendante $ X_2 $, qui est non pertinente au modèle :
	242	+ \[
	243	+ Y_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t
	244	+ \]
	245	+ \item Nous avons donc les régressseurs $ X_1 $ et $ X_2 $ dans notre modèle.
	246	+ \item On peut représenter les deux régressseurs dans la matrice $ X $ :
	247	+ \[
	248	+ X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}
	249	+ \]
	250	+\end{itemize}
	251	+\end{frame}
	252	+
	253	+\begin{frame}
	254	+\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
	255	+\begin{itemize}
	256	+ \item Nous avons donc les régressseurs $ X_1 $ et $ X_2 $ dans notre modèle.
	257	+ \item On peut représenter les deux régressseurs dans la matrice $ X $ :
	258	+ \[
	259	+ X = \begin{pmatrix} X_1 & X_2 \end{pmatrix}
	260	+ \]
	261	+ \item Sachant que dans le vrai modèle nous avons uniquement $ 1 $ comme régressseur, on peut écrire le régressseur du vrai modèle comme suit :
	262	+ \[
	263	+ X \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_1 & X_2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
	264	+ \]
	265	+\end{itemize}
	266	+\end{frame}
	267	+
	268	+
	269	+\begin{frame}
	270	+\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
	271	+\begin{itemize}
	272	+ \item Maintenant, nous allons substituer $ Y $ dans l’équation de l’estimateur $ \hat{\beta} $, par le vrai modèle.
	273	+ \[
	274	+ \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T Y
	275	+ \]
	276	+ \item En substituant $ Y = \beta_1 X_1 + u $, nous obtenons :
	277	+ \[
	278	+ \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T \left( \beta_1 X_1 + u \right)
	279	+ \]
	280	+ \item Cela donne :
	281	+ \[
	282	+ \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T \beta_1 X_1 + (X^T X)^{-1} X^T u
	283	+ \]
	284	+ \item Ce qui peut être réécrit comme :
	285	+ \[
	286	+ \hat{\beta} = \beta_1 \times \left( (X^T X)^{-1} X^T X_1 \right) + (X^T X)^{-1} X^T u
	287	+ \]
	288	+\end{itemize}
	289	+\end{frame}
	290	+
	291	+
	292	+\begin{frame}
	293	+\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
	294	+\begin{itemize}
	295	+ \item On applique l'espérance de chaque côté de l'équation de l'estimateur $ \hat{\beta} $ :
	296	+ \[
	297	+ E(\hat{\beta}) = \beta_1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (X^T X)^{-1} X^T E(u)
	298	+ \]
	299	+ \item Sachant que $ E(u) = 0 $, cela donne :
	300	+ \[
	301	+ E(\hat{\beta}) = \beta_1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \beta_1
	302	+ \]
	303	+\end{itemize}
	304	+\end{frame}
	305	+
	306	+
	307	+\begin{frame}
	308	+\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
	309	+\begin{itemize}
	310	+ \item L'estimateur de $ \hat{\beta} $ restera un estimateur sans biais.
	311	+ \item Pour cette raison, la littérature a souvent suggéré d'inclure plus de variables dans le doute pour ne pas en omettre.
	312	+ \item Il n'est donc pas recommandé d'ajouter des variables sans avoir un indice économique sérieux qu'elles doivent être incluses dans le modèle.
	313	+\end{itemize}
	314	+\end{frame}
	315	+
	316	+\begin{frame}
	317	+\frametitle{Erreurs non-sphériques}
	318	+\begin{itemize}
	319	+ \item Le modèle linéaire comporte des hypothèses très strictes sur la matrice de variance-covariance des erreurs du modèle.
	320	+ \item Celle-ci est diagonale et de forme :
	321	+ \[
	322	+ E(uu') = V = \sigma^2 I_t
	323	+ \]
	324	+ \item Cela implique que les erreurs du modèle sont dites homoscédastiques, c’est-à-dire que sa variance est constante dans le temps, ne dépend pas de variables exogènes et n’est pas autocorrélée.
	325	+ \item C’est une hypothèse distributionnelle très forte surtout en coupe transversale.
	326	+ \item Raisons pour rencontrer des erreurs non-sphériques sont nombreuses :
	327	+ \begin{itemize}
	328	+ \item Meilleure collection des données dans le temps (l'erreur devrait donc diminuer)
	329	+ \item Présence d'observations aberrantes ou d'outliers
	330	+ \item Mauvaise spécification du modèle
	331	+ \end{itemize}
	332	+\end{itemize}
	333	+\end{frame}
	334	+
	335	+
	336	+\begin{frame}
	337	+\frametitle{Erreurs non-sphériques - Estimateurs pour des formes de matrices variance-covariance des erreurs plus générales}
	338	+\begin{itemize}
	339	+ \item Soit le modèle suivant :
	340	+ \[
	341	+ Y = X \beta + u
	342	+ \]
	343	+ \item Avec :
	344	+ \[
	345	+ E(uu') = V = \sigma^2 \Omega
	346	+ \]
	347	+ \item Où $ \Omega $ est une matrice symétrique et inversible, mais n’est pas égale à la matrice d’identité.
	348	+\end{itemize}
	349	+\end{frame}
	350	+
	351	+
	352	+\begin{frame}
	353	+\frametitle{Erreurs non-sphériques - Matrice $ \Omega $}
	354	+\begin{itemize}
	355	+ \item Cette formulation permet l’hétéroscédasticité des erreurs de plusieurs formes :
	356	+ \begin{itemize}
	357	+ \item Hétéroscédasticité groupée de différentes formes.
	358	+ \item Corrélation sériale des erreurs.
	359	+ \item Variance qui varie en fonction de variables exogènes.
	360	+ \item Effets arch.
	361	+ \end{itemize}
	362	+\end{itemize}
	363	+\end{frame}
	364	+
	365	+
	366	+\begin{frame}
	367	+\frametitle{Erreurs non-sphériques - Implication si $ \Omega \neq I $}
	368	+\begin{itemize}
	369	+ \item Vérifions si l’estimateur des OLS reste sans biais et convergent lorsque la variance du terme d’erreur n’est plus homoscédastique.
	370	+ \item Biais de l’estimateur OLS si l’hypothèse que $ \Omega = I $ n’est pas respectée.
	371	+ \item L’estimateur OLS est donné par :
	372	+ \[
	373	+ \hat{\beta}_{OLS} = (X^T X)^{-1} X^T Y
	374	+ \]
	375	+ \item En substituant $ Y = X \beta + u $, cela donne :
	376	+ \[
	377	+ \hat{\beta}_{OLS} = (X^T X)^{-1} X^T \left( X \beta + u \right)
	378	+ \]
	379	+ \item Ce qui se simplifie à :
	380	+ \[
	381	+ \hat{\beta}_{OLS} = \beta + (X^T X)^{-1} X^T u
	382	+ \]
	383	+\end{itemize}
	384	+\end{frame}
	385	+
	386	+\begin{frame}
	387	+\frametitle{Erreurs non-sphériques - Implication si $ \Omega \neq I $ (suite)}
	388	+\begin{itemize}
	389	+ \item $ E(\hat{\beta}_{OLS}) = \beta + (X^T X)^{-1} X^T E(u) $
	390	+ \item Sachant que $ E(u) = 0 $, cela donne :
	391	+ \[
	392	+ E(\hat{\beta}_{OLS}) = \beta
	393	+ \]
	394	+ \item On voit que comme la matrice de variance-covariance des erreurs n’intervient pas dans le calcul de l’espérance de l’estimateur OLS.
	395	+ \item L’estimateur des OLS est toujours sans biais.
	396	+\end{itemize}
	397	+\end{frame}
	398	+
	399	+\begin{frame}
	400	+\frametitle{Erreurs non-sphériques - Implication si $ \Omega \neq I $ (suite)}
	401	+\begin{itemize}
	402	+ \item \textbf{Variance de l’estimateur OLS.}
	403	+ \[
	404	+ V(\hat{\beta}) = E\left[ (\hat{\beta} - \beta)(\hat{\beta} - \beta)^T \right]
	405	+ = E\left[ (X^T X)^{-1} X^T \omega \omega^T X (X^T X)^{-1} \right]
	406	+ \]
	407	+ \[
	408	+ = (X^T X)^{-1} X^T E(\omega \omega^T) X (X^T X)^{-1}
	409	+ = \sigma^2 (X^T X)^{-1} \Omega (X^T X)^{-1}
	410	+ \]
	411	+ \item Cet estimateur est problématique, car on ne peut pas le comparer à l’estimateur des OLS.
	412	+ \begin{itemize}
	413	+ \item On ne peut pas dire s’il est plus grand, plus petit.
	414	+ \end{itemize}
	415	+ \item On ne peut donc pas appliquer la preuve du théorème de Gauss-Markov ni regarder la borne de Cramer-Rao.
	416	+\end{itemize}
	417	+\end{frame}
	418	+
	419	+\begin{frame}
	420	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés}
	421	+\begin{itemize}
	422	+ \item Transformation du modèle contenant des erreurs sphériques, pour le rendre optimal et compatible avec les hypothèses des MCO.
	423	+ \item Pour tout $ \Omega $ inversible, il existe une matrice $ P $ telle que :
	424	+ \[
	425	+ P^T P = P P^T = \Omega
	426	+ \]
	427	+ \item Si on inverse les deux côtés de la dernière équation :
	428	+ \[
	429	+ \Omega^{-1} = [P P^T]^{-1} = [P^{-1}]^T P^{-1}
	430	+ \]
	431	+ où $ P $ n’est pas aléatoire.
	432	+\end{itemize}
	433	+\end{frame}
	434	+
	435	+\begin{frame}
	436	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Modèle transformé}
	437	+\begin{itemize}
	438	+ \item Modèle transformé :
	439	+ \[
	440	+ P^{-1} Y = P^{-1} X \beta + P^{-1} u
	441	+ \]
	442	+ \item \textbf{Variance des erreurs :}
	443	+ \[
	444	+ E\left[ (P^{-1} u) (P^{-1} u)^T \right] = E\left[ P^{-1} u u^T P^{-1} \right]
	445	+ \]
	446	+ \[
	447	+ = P^{-1} E(u u^T) P^{-1}
	448	+ = P^{-1} \sigma^2 \Omega P^{-1}
	449	+ = \sigma^2 P^{-1} \Omega P^{-1}
	450	+ = \sigma^2 I
	451	+ \]
	452	+ \item Donc, l’estimateur OLS appliqué au modèle transformé sera optimal !
	453	+\end{itemize}
	454	+\end{frame}
	455	+
	456	+\begin{frame}
	457	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Estimateur GLS}
	458	+\begin{itemize}
	459	+ \item Modèle transformé :
	460	+ \item Estimateur GLS :
	461	+ \[
	462	+ \hat{\beta}_{GLS} = \left( (P^{-1} X) (P^{-1} X)^T \right)^{-1} (P^{-1} X)^T (P^{-1} Y)
	463	+ \]
	464	+ \[
	465	+ = \left[ X^T P^{-1} P^{-1} \right]^{-1} X^T P^{-1} P^{-1} Y
	466	+ \]
	467	+ \[
	468	+ = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} Y
	469	+ \]
	470	+\end{itemize}
	471	+\end{frame}
	472	+
	473	+\begin{frame}
	474	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Estimateur FGLS}
	475	+\begin{itemize}
	476	+ \item Si $ \Omega $ (ou $ P $) n'est pas connu, on le remplace par un estimé convergent $ \hat{\Omega}(\hat{P}) $.
	477	+ \item Estimateur FGLS :
	478	+ \[
	479	+ \hat{\beta}_{FGLS} = \left[ (\hat{\beta}^{-1} X) (P^{-1} X)^T (\hat{\beta}^{-1} X) (P^{-1} Y) \right]
	480	+ \]
	481	+ \[
	482	+ = \left[ X^T \hat{\Omega}^{-1} X \right]^{-1} X^T \hat{\Omega}^{-1} Y
	483	+ \]
	484	+ \[
	485	+ = \text{PLIM} \hat{\beta}_{FGLS} = \beta
	486	+ \]
	487	+ \item Ce résultat demande que $ \hat{\Omega} $ soit convergent.
	488	+ \item Cet estimateur n'est pas optimal au sens de Cramer-Rao, il est optimal asymptotiquement.
	489	+\end{itemize}
	490	+\end{frame}
	491	+
	492	+\begin{frame}
	493	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Estimateur convergent}
	494	+\begin{itemize}
	495	+ \item Un estimateur est convergent (consistent en anglais) si lorsque la taille de l’échantillon augmente vers l’infini, l’estimateur se concentre (converge) sur la vraie valeur du paramètre.
	496	+ \item Les conditions suffisantes pour la convergence en probabilité sont :
	497	+ \[
	498	+ \lim_{T \to \infty} E(\hat{\beta}_T) = \beta
	499	+ \]
	500	+ \[
	501	+ \lim_{T \to \infty} \text{Var}(\hat{\beta}_T) = 0
	502	+ \]
	503	+ \item La convergence est une propriété qui fait intervenir la loi des grands nombres et le théorème de limite centrale qui sont des résultats statistiques asymptotiques.
	504	+\end{itemize}
	505	+\end{frame}
	506	+
	507	+\begin{frame}
	508	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Espérance estimateur GLS}
	509	+\begin{itemize}
	510	+ \item Si $ \Omega $ est connu et non estimé.
	511	+ \item Estimateur GLS :
	512	+ \[
	513	+ \hat{\beta}_{GLS} = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} Y
	514	+ \]
	515	+ \[
	516	+ = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} \left( X \beta + u \right)
	517	+ \]
	518	+ \[
	519	+ = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} X \beta + \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} u
	520	+ \]
	521	+ \[
	522	+ = \beta + \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} u
	523	+ \]
	524	+ \item En espérance :
	525	+ \[
	526	+ E(\hat{\beta}_{GLS}) = \beta + \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} E(u)
	527	+ \]
	528	+ \[
	529	+ = \beta
	530	+ \]
	531	+\end{itemize}
	532	+\end{frame}
	533	+
	534	+\begin{frame}
	535	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Variance estimateur GLS}
	536	+\begin{itemize}
	537	+ \item Si $ \Omega $ est connu et non estimé.
	538	+ \item Variance de l'estimateur GLS :
	539	+ \[
	540	+ V(\hat{\beta}_{GLS}) = E\left[ (\hat{\beta}_{GLS} - \beta)(\hat{\beta}_{GLS} - \beta)^T \right]
	541	+ \]
	542	+ \[
	543	+ = E\left[ (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} X^T \Omega^{-1} u u^T \Omega^{-1} X (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} \right]
	544	+ \]
	545	+ \[
	546	+ = (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} X^T \Omega^{-1} E(u u^T) \Omega^{-1} X (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
	547	+ \]
	548	+ \[
	549	+ = \sigma^2 (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} \Omega \Omega^{-1} X (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
	550	+ \]
	551	+ \[
	552	+ = \sigma^2 (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
	553	+ \]
	554	+\end{itemize}
	555	+\end{frame}
	556	+
	557	+\begin{frame}
	558	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Variances des différents estimateurs}
	559	+\begin{itemize}
	560	+ \item La variance des OLS sur le modèle standard sans hétéroscédasticité :
	561	+ \[
	562	+ V(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X^T X)^{-1}
	563	+ \]
	564	+ \item La variance des OLS avec hétéroscédasticité sur le modèle non transformé :
	565	+ \[
	566	+ V(\hat{\beta}_{OLS})_{HE} = \sigma^2 (X^T X)^{-1} X^T \Omega X (X^T X)^{-1}
	567	+ \]
	568	+ \item La variance du modèle GLS transformé par la matrice $ P $ :
	569	+ \[
	570	+ V(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
	571	+ \]
	572	+\end{itemize}
	573	+\end{frame}
	574	+
	575	+\begin{frame}
	576	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Variances des différents estimateurs (suite)}
	577	+\begin{itemize}
	578	+ \item Les éléments sur la diagonale de $ V(\hat{\beta}_{OLS})_{HE} $ sont plus grands que ceux de $ V(\hat{\beta}_{GLS}) $.
	579	+ \item Ce n’est pas le même modèle qui est estimé, de même que les coefficients associés sont différents.
	580	+ \item Il n’est donc pas approprié de comparer les deux séries de résultats entre eux.
	581	+ \item Lorsqu'il y a hétéroscédasticité, la variance des OLS standards $ V(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X^T X)^{-1} $ est \textbf{fausse} et elle ne peut pas être comparée aux autres.
	582	+ \item On ne sait pas si elle est plus petite ou plus grande, elle est simplement fausse.
	583	+\end{itemize}
	584	+\end{frame}
	585	+
	586	+\begin{frame}
	587	+\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Si on connaît $ \Omega $ ou non}
	588	+\begin{itemize}
	589	+ \item Si on connaît $ \Omega $ :
	590	+ \begin{itemize}
	591	+ \item Il est préférable de prendre l'estimateur GLS.
	592	+ \end{itemize}
	593	+ \item Si on ne connaît pas $ \Omega $ :
	594	+ \begin{itemize}
	595	+ \item Il est préférable de prendre l'estimateur GLS et d’estimer $ \Omega $.
	596	+ \item Le résultat de l’estimateur FGLS tient, mais en limite seulement.
	597	+ \end{itemize}
	598	+\end{itemize}
	599	+\end{frame}
	600	+
	601	+\end{document}

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	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📊 SLIDES — Séance 4 : Extensions du modèle linéaire et MCG
	10	+
	11	+Diapositives Beamer (sources LaTeX) de la quatrième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Présentation \| Description \|
	16	+\|---------\|--------------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_SEANCE4_GLS/` \| MCG / GLS \| Extensions du modèle linéaire : moindres carrés généralisés, FGLS, moindres carrés pondérés \|
	18	+
	19	+## Compilation
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	21	+```bash
	22	+cd <dossier> && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	23	+```
	24	+
	25	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	26	+
	27	+---
	28	+
	29	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	30	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+\usepackage[utf8]{inputenc}
	9	+\usepackage{graphicx}
	10	+\usetheme{default}
	11	+\usecolortheme{seagull}
	12	+
	13	+\title[S03 Extensions MLS]{Hétéroscédasticité et Tests diagnostiques\\ (Séance 5)}
	14	+\subtitle{GSF-6053: Économétrie Financière}
	15	+\author[SP. Boucher]{Simon-Pierre Boucher\inst{1}}
	16	+\institute[Université Laval]
	17	+{
	18	+ \inst{1}%
	19	+ Département de finance, assurance et immobilier\\
	20	+ Faculté des sciences de l'administration\\
	21	+ Université Laval}
	22	+\date[Hiver 2025]{11 février 2025}
	23	+% Configuration du pied de page avec logo en bas à droite
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	40	+\begin{document}
	41	+
	42	+\begin{frame}
	43	+ \titlepage
	44	+\end{frame}
	45	+
	46	+\begin{frame}{Références}
	47	+\textbf{Obligatoires:}
	48	+\begin{itemize}
	49	+
	50	+\item \textbf{Woolridge:} chapitres 3, 8, 12.
	51	+\end{itemize}
	52	+\vspace{0.5cm}
	53	+\textbf{Complémentaires:}
	54	+\begin{itemize}
	55	+\item \textbf{Gujarati et Porter:} chapitres 10, 11, 12, 13 et appendice C.
	56	+\item \textbf{Greene:} chapitres 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20 C et D
	57	+\end{itemize}
	58	+\end{frame}
	59	+
	60	+
	61	+\begin{frame}{Plan de la séance}
	62	+ \tableofcontents
	63	+\end{frame}
	64	+
	65	+\section{Hétéroscédasticité}
	66	+
	67	+\frame{\tableofcontents[current]}
	68	+
	69	+
	70	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	71	+\begin{block}{Homoscédasticité}
	72	+\begin{itemize}
	73	+\item OLS makes the assumption that the variance of the error term is constant.
	74	+\begin{align*}
	75	+V(u_i)= \sigma^2
	76	+\end{align*}
	77	+\end{itemize}
	78	+\end{block}
	79	+
	80	+\begin{block}{Hétéroscédasticité}
	81	+\begin{itemize}
	82	+\item Si les résidus n'ont pas une variance constante, on dit qu'ils sont hétéroscédastiques.
	83	+\begin{align*}
	84	+V(u_i)= \sigma_i^2
	85	+\end{align*}
	86	+\end{itemize}
	87	+\end{block}
	88	+\end{frame}
	89	+
	90	+
	91	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	92	+\begin{block}{Forme de $\Omega$}
	93	+\begin{itemize}
	94	+\item On connait rarement $\Omega$, il faut spécifier une forme pour cette matrice qui est gérable.
	95	+\item Estimation de tous les $\sigma_i^2$ pour chaque observations.
	96	+\begin{align*}
	97	+\Omega= \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & 0 & \cdots & 0 \\
	98	+0 & \sigma_{2}^2 & \cdots & 0 \\
	99	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	100	+0 & 0 & \cdots & \sigma_T^2
	101	+\end{bmatrix}
	102	+\end{align*}
	103	+\begin{itemize}
	104	+\item N’est pas une forme estimable, car le nombre de paramètres à estimer $T+K>T$.
	105	+\end{itemize}
	106	+\item Il faut donc spécifier un modèle (une paramétrisation) pour la forme de matrice $\Omega$ pour réduire le nombre de paramètres inconnus.
	107	+\end{itemize}
	108	+\end{block}
	109	+\end{frame}
	110	+
	111	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	112	+\begin{block}{Hétéroscédasticité groupée}
	113	+\begin{itemize}
	114	+\item On a une variance hétéroscédastique, mais en sous-groupe.
	115	+\item À l’intérieur du sous-groupe, la variance est constante.
	116	+\end{itemize}
	117	+\begin{align*}
	118	+\sigma_t^2=\sigma_{10}^2, \hspace{0.5cm} t=1,...,T_1
	119	+\end{align*}
	120	+
	121	+\begin{align*}
	122	+\sigma_t^2=\sigma_{20}^2, \hspace{0.5cm} t=T_{1+1},...,T
	123	+\end{align*}
	124	+\end{block}
	125	+\end{frame}
	126	+
	127	+
	128	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	129	+\begin{block}{Hétéroscédasticité groupée}
	130	+\begin{align*}
	131	+\Omega=\begin{bmatrix}
	132	+\begin{bmatrix}
	133	+\sigma_{10}^2 & 0 & \cdots & 0 \\
	134	+0 & \sigma_{10}^2 & \cdots & 0 \\
	135	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	136	+0 & 0 & \cdots & \sigma_{10}^2
	137	+\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}
	138	+0 & 0 & \cdots & 0 \\
	139	+0 & 0 & \cdots & 0 \\
	140	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	141	+0 & 0 & \cdots & 0
	142	+\end{bmatrix} \\ \\
	143	+ \begin{bmatrix}
	144	+0 & 0 & \cdots & 0 \\
	145	+0 & 0 & \cdots & 0 \\
	146	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	147	+0 & 0 & \cdots & 0
	148	+\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}
	149	+\sigma_{20}^2 & 0 & \cdots & 0 \\
	150	+0 & \sigma_{20}^2 & \cdots & 0 \\
	151	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	152	+0 & 0 & \cdots & \sigma_{20}^2
	153	+\end{bmatrix}
	154	+\end{bmatrix}
	155	+\end{align*}
	156	+\end{block}
	157	+\end{frame}
	158	+
	159	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	160	+\begin{block}{Hétéroscédasticité groupée}
	161	+On peut réécrire la matrice $\Omega$, avec hétéroscédasticité groupée comme suit:
	162	+\begin{align*}
	163	+\Omega=
	164	+\begin{bmatrix}
	165	+\sigma_{10}^2 I_{T_1} & 0\\
	166	+ 0 & \sigma_{20}^2 I_{T_2}
	167	+\end{bmatrix}
	168	+\end{align*}
	169	+Sachant:
	170	+\begin{align*}
	171	+\sigma_{10}^2 I_{T_1}=\begin{bmatrix}
	172	+\sigma_{10}^2 & 0 & \cdots & 0 \\
	173	+0 & \sigma_{10}^2 & \cdots & 0 \\
	174	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	175	+0 & 0 & \cdots & \sigma_{10}^2
	176	+\end{bmatrix} \textbf{et}\hspace{0.2cm} \sigma_{20}^2 I_{T_2}=\begin{bmatrix}
	177	+\sigma_{20}^2 & 0 & \cdots & 0 \\
	178	+0 & \sigma_{20}^2 & \cdots & 0 \\
	179	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	180	+0 & 0 & \cdots & \sigma_{20}^2
	181	+\end{bmatrix}
	182	+\end{align*}
	183	+\end{block}
	184	+\end{frame}
	185	+
	186	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	187	+\begin{block}{Hétéroscédasticité groupée}
	188	+Dans un cadre plus général:
	189	+\begin{align*}
	190	+\Omega= \begin{bmatrix} \sigma_{10}^2I_{T_1} & 0 & \cdots & 0 \\
	191	+0 & \sigma_{20}^2I_{T_2} & \cdots & 0 \\
	192	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	193	+0 & 0 & \cdots & \sigma_{G0}^2I_{T_G}
	194	+\end{bmatrix}
	195	+\end{align*}
	196	+\begin{align*}
	197	+\Omega^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_{10}^2I_{T_1}} & 0 & \cdots & 0 \\
	198	+0 & \frac{1}{\sigma_{20}^2I_{T_2}} & \cdots & 0 \\
	199	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	200	+0 & 0 & \cdots & \frac{1}{\sigma_{G0}^2I_{T_G}}
	201	+\end{bmatrix}
	202	+\end{align*}
	203	+\end{block}
	204	+\end{frame}
	205	+
	206	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	207	+\begin{block}{Hétéroscédasticité groupée}
	208	+Dans un cadre plus général:
	209	+
	210	+\begin{align*}
	211	+P^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_{10}I_{T_1}} & 0 & \cdots & 0 \\
	212	+0 & \frac{1}{\sigma_{20}I_{T_2}} & \cdots & 0 \\
	213	+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	214	+0 & 0 & \cdots & \frac{1}{\sigma_{G0}I_{T_G}}
	215	+\end{bmatrix}
	216	+\end{align*}
	217	+\begin{itemize}
	218	+\item Les moindres carrés sont donc pondérés par la matrice $P^{-1}$, ce qui revient à pondérer par l’écart type qui est hétéroscédastique par groupe $G$.
	219	+\end{itemize}
	220	+\end{block}
	221	+\end{frame}
	222	+
	223	+
	224	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	225	+\begin{block}{Hétéroscédasticité groupée}
	226	+Modèle transformé:
	227	+
	228	+\begin{align*}
	229	+\begin{bmatrix}
	230	+\frac{Y_1}{\sqrt{Z_1}}\\
	231	+\frac{Y_2}{\sqrt{Z_2}}\\
	232	+\vdots \\
	233	+\frac{Y_T}{\sqrt{Z_T}}
	234	+\end{bmatrix}
	235	+=
	236	+\begin{bmatrix}
	237	+\frac{1}{\sqrt{Z_1}}\\
	238	+\frac{1}{\sqrt{Z_2}}\\
	239	+\vdots \\
	240	+\frac{1}{\sqrt{Z_T}}
	241	+\end{bmatrix}
	242	+\beta_0
	243	++
	244	+\begin{bmatrix}
	245	+\frac{X_{11}}{\sqrt{Z_1}}\\
	246	+\frac{X_{12}}{\sqrt{Z_2}}\\
	247	+\vdots \\
	248	+\frac{X_{1T}}{\sqrt{Z_T}}
	249	+\end{bmatrix}
	250	+\beta_1
	251	++ \cdots +
	252	+\begin{bmatrix}
	253	+\frac{X_{K-11}}{\sqrt{Z_1}}\\
	254	+\frac{X_{K-12}}{\sqrt{Z_2}}\\
	255	+\vdots \\
	256	+\frac{X_{K-1T}}{\sqrt{Z_T}}
	257	+\end{bmatrix}
	258	+\beta_K
	259	++
	260	+\begin{bmatrix}
	261	+\frac{u_1}{\sqrt{Z_1}}\\
	262	+\frac{u_2}{\sqrt{Z_2}}\\
	263	+\vdots \\
	264	+\frac{u_T}{\sqrt{Z_T}}
	265	+\end{bmatrix}
	266	+\end{align*}
	267	+\begin{itemize}
	268	+\item Remarquez que le modèle devient sans constante. Ceci a des implications entre autres pour le $R^2$ du modèle.
	269	+\end{itemize}
	270	+\end{block}
	271	+\end{frame}
	272	+
	273	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	274	+\begin{block}{Variance varie en fonction de plusieurs variables exogènes}
	275	+Soit le modèle suivant:
	276	+\begin{align*}
	277	+Y_t=\beta_0 + \beta_1 X_{1t}+\cdots+ \beta_{K-1} X_{k-1t}+u_t
	278	+\end{align*}
	279	+\begin{align*}
	280	+\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 Z_{1t}+\cdots+\alpha_H Z_{Ht}+\epsilon_t
	281	+\end{align*}
	282	+\end{block}
	283	+\end{frame}
	284	+
	285	+
	286	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	287	+\begin{block}{Variance varie en fonction de plusieurs variables exogènes}
	288	+\begin{itemize}
	289	+\item Cette paramétrisation de la variance demande d’estimer $\hat{\sigma}_t^2$ par une régression artificielle.
	290	+\begin{itemize}
	291	+\item On utilise les résidus au carré, $\hat{u}^2$, pour avoir une proxy de $\sigma_t^1$.
	292	+\item On régresse les $\hat{u}^2$ sur les variables exogènes pour trouver les
	293	+paramètres $\alpha_h$ définissant la variance.
	294	+\item On trouve les valeurs des $\hat{\sigma}_t^2$ estimés par le modèle avec les résultats de
	295	+la régression auxiliaire :
	296	+\begin{align*}
	297	+\hat{\sigma}_t^2=\hat{\alpha}_0+\hat{\alpha}_1 Z_{1t}+\cdots+\hat{\alpha}_HZ_{Ht}
	298	+\end{align*}
	299	+\end{itemize}
	300	+\item Cette technique demande des données supplémentaires sur les exogènes.
	301	+\end{itemize}
	302	+\end{block}
	303	+\end{frame}
	304	+
	305	+
	306	+\begin{frame}{Hétéroscédasticité}
	307	+\begin{block}{Variance varie en fonction de plusieurs variables exogènes}
	308	+Le modèle transformé sera:
	309	+\begin{align*}
	310	+\frac{Y_t}{\hat{\sigma}_T}=\beta_0 \frac{1}{\hat{\sigma}_t}+\beta_1 \frac{X_{1t}}{\hat{\sigma}_t}+\cdots+\beta_{K-1} \frac{X_{K-1t}}{\hat{\sigma}_t}+\frac{u_t}{\hat{\sigma}_t}
	311	+\end{align*}
	312	+Où
	313	+\begin{align*}
	314	+\hat{\sigma}=\sqrt{\hat{\alpha}_0+\hat{\alpha}_1 Z_{1t}+\cdots+\hat{\alpha}_H Z_{Ht}}
	315	+\end{align*}
	316	+En estimant par OLS
	317	+\begin{itemize}
	318	+\item Contrairement au cas à une seule variable exogène, les estimateurs des $\beta_K$ sont obtenus par FGLS et nom par GLS, car nous avons estimé la matrice $\Omega$ à partir de variable exogène.
	319	+\end{itemize}
	320	+\end{block}
	321	+\end{frame}
	322	+
	323	+\section{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	324	+
	325	+\frame{\tableofcontents[current]}
	326	+
	327	+
	328	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	329	+\begin{itemize}
	330	+\item Nous introduisons des tests pour savoir si les régressions considérées souffrent de problème d’hétéroscédasticité des erreurs (et résidus).
	331	+\item Une approche intuitive serait de regarder un graphique des résidus de régression dans le but de trouver des anomalies.
	332	+\item Une approche par analyse de graphique n’est pas un test statistique formel de la présence d’hétéroscédasticité.
	333	+\end{itemize}
	334	+\end{frame}
	335	+
	336	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	337	+\begin{block}{Test de Goldfeld-Quandt (GQ)}
	338	+\textbf{Modèle:}
	339	+\begin{align*}
	340	+Y_i=\beta_0+\beta_1 X_{1i}+\cdots+\beta_{K-1}X_{K-1i}+u_i
	341	+\end{align*}
	342	+\begin{itemize}
	343	+\item On teste l’hypothèse nulle d’une variance constante dans le temps contre l’alternative que la variance augmente de manière monotone selon un exogène $Z_{1i}$.
	344	+\item Hypothèse nulle:
	345	+\begin{align*}
	346	+H_0: \sigma_i^2 = \sigma^2 \forall i
	347	+\end{align*}
	348	+\item Hypothèse alternative:
	349	+\begin{align*}
	350	+H_A: \sigma_i^2 \hspace{0.2cm} \textbf{augmente de manière monotone selon} \hspace{0.2cm} Z_{1i}
	351	+\end{align*}
	352	+\end{itemize}
	353	+\end{block}
	354	+\end{frame}
	355	+
	356	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	357	+\begin{block}{Test de Goldfeld-Quandt (GQ)}
	358	+\textbf{Marche à suivre:}
	359	+\begin{enumerate}
	360	+\item Ordonner les observations selon la variable Z.
	361	+\item Omettre c observation centrale
	362	+\item Effectuer deux régressions séparées sur les $\frac{N-c}{2}$ premières et les $\frac{N-c}{2}$ dernières observations et calculer $\hat{\sigma}_1^2$ et $\hat{\sigma}_2^2$
	363	+\item La statistique de test est:
	364	+\begin{align*}
	365	+GQ = \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2} \sim F \left( \frac{N-c-2K}{2}, \frac{N-c-2K}{2}\right)
	366	+\end{align*}
	367	+\end{enumerate}
	368	+\end{block}
	369	+\end{frame}
	370	+
	371	+
	372	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	373	+\begin{block}{Test de Goldfeld-Quandt (GQ)}
	374	+\begin{itemize}
	375	+\item les estimateurs de $\hat{\sigma}_1^2$ et de $\hat{\sigma}_2^2$ sont calculés à partir des deux régressions en sous-groupe.
	376	+\item Le nombre d’observations sera $\frac{N-c}{2}$ et le nombre de degrés de liberté sera $\frac{N-c}{2}-K$.
	377	+\item Ceci est équivalent à $\frac{N-c-2K}{2}$ qui représente les degrés de liberté du numérateur et du dénominateur de la statistique.
	378	+\end{itemize}
	379	+\end{block}
	380	+\end{frame}
	381	+
	382	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	383	+\begin{block}{Test de Goldfeld-Quandt (GQ)}
	384	+\begin{itemize}
	385	+\item Le test est exact et non asymptotique.
	386	+\item On perd les observations du centre, car on veut voir ce qui se passe aux extrémités.
	387	+\item Si les erreurs sont normales, le test suit exactement une loi F et non asymptotiquement.
	388	+\item On n’a donc pas besoin d’une grande taille d’échantillon pour ce test.
	389	+\end{itemize}
	390	+\end{block}
	391	+\end{frame}
	392	+
	393	+
	394	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	395	+\begin{block}{Test de Breusch-Pagan (BP)}
	396	+\begin{itemize}
	397	+\item Le test est plus général que le précédent et plus utilisé
	398	+\item En présence d'exogènes:
	399	+\begin{align*}
	400	+Y_t=\beta_0+\beta_1 X_{1t}+ \cdots+\beta_{K-1} X_{K-1t}+u_t
	401	+\end{align*}
	402	+\begin{align*}
	403	+\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 Z_{1t}+\cdots+\alpha_H Z_{Ht}+\epsilon_t
	404	+\end{align*}
	405	+\begin{align*}
	406	+H_0: \alpha_1=\cdots=\alpha_H=0 \forall h
	407	+\end{align*}
	408	+\begin{align*}
	409	+H_A: \exists \alpha_h \neq 0
	410	+\end{align*}
	411	+\end{itemize}
	412	+\end{block}
	413	+\end{frame}
	414	+
	415	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	416	+\begin{block}{Test de Breusch-Pagan (BP)}
	417	+\begin{itemize}
	418	+\item Le test est basé sur une régression artificielle suivante :
	419	+
	420	+\begin{align*}
	421	+u_t^2=\hat{\alpha_0}+\hat{\alpha_1} Z_{1t}+\cdots+\hat{\alpha_H} Z_{Ht}
	422	+\end{align*}
	423	+\item Le test porte sur tous les coefficients de la régression, sauf la constante.
	424	+\item Il est donc naturel qu’il soit basé sur le R2 de la régression artificielle.
	425	+\end{itemize}
	426	+\end{block}
	427	+\end{frame}
	428	+
	429	+
	430	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	431	+\begin{block}{Test de Breusch-Pagan (BP)}
	432	+\textbf{Statistique de test:}
	433	+\begin{align*}
	434	+BP=T \times R_{reg artificielle}^2
	435	+\end{align*}
	436	+\begin{align*}
	437	+BP^{asy} \sim X^{2}(H)
	438	+\end{align*}
	439	+\begin{itemize}
	440	+\item Le $R^2$ de la régression artificielle sera petit, mais cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas d’hétéroscédasticité, car le test est basé sur $(T \times R^2)$.
	441	+\end{itemize}
	442	+\end{block}
	443	+\end{frame}
	444	+
	445	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	446	+\begin{block}{Test d’effet ARCH sur les résidus de régression.}
	447	+\begin{itemize}
	448	+\item \textbf{ARCH:} autoregressive conditionnal heteroscedasticity
	449	+\item On veut tester l’hypothèse de \textbf{volatility clostering}, la variabilité d'aujourd’hui est reliée à la variabilité d'hier.
	450	+
	451	+\begin{align*}
	452	+u_t = \epsilon_t \sqrt{\alpha_0+\alpha_1 u_{t-1}^2}
	453	+\end{align*}
	454	+Sachant
	455	+\begin{align*}
	456	+\epsilon_t \sim N(0,1)
	457	+\end{align*}
	458	+\end{itemize}
	459	+\end{block}
	460	+\end{frame}
	461	+
	462	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	463	+\begin{block}{Test d’effet ARCH sur les résidus de régression.}
	464	+\begin{itemize}
	465	+\item \textbf{Variance conditionnelle au passé:}
	466	+\begin{align*}
	467	+E(u_t^2 \mid u_{t-1})=\alpha_0+\alpha_1 u_{t-1}^2
	468	+\end{align*}
	469	+\item La variance conditionnelle au passé est hétéroscédastique (varie dans le temps ici)
	470	+\item $V(u_t)$ (la variance inconditionnelle) est invariante dans le temps si $\mid \alpha_1 \mid < 1$
	471	+\end{itemize}
	472	+\end{block}
	473	+\end{frame}
	474	+
	475	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	476	+\begin{block}{Test d’effet ARCH sur les résidus de régression.}
	477	+\begin{itemize}
	478	+\item \textbf{Variance inconditionnelle:}
	479	+\begin{align*}
	480	+E(u_t^2) = E(\epsilon_t^2) \times E(\alpha_0+\alpha_1 u_{t-1}^2)+cov(\epsilon_t,u_{t-1})
	481	+\end{align*}
	482	+\begin{align*}
	483	+V(u_t)=V(u)= \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}
	484	+\end{align*}
	485	+\item Pour évaluer cette hypothèse, on peut appliquer un test de Breusch-Pagan basé sur une régression artificielle des $\hat{u}_t^2$sur une constante et $\hat{u}_{t-1}^2$
	486	+\end{itemize}
	487	+\end{block}
	488	+\end{frame}
	489	+
	490	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	491	+\begin{block}{Test de White}
	492	+\begin{itemize}
	493	+\item Ce test s’applique pour tester l’hétéroscédasticité de forme générale.
	494	+\item On ne spécifie pas de forme pour la variance.
	495	+\item L’hypothèse nulle est que la variance est homoscédastique contre une alternative hétéroscédastique générale.
	496	+\end{itemize}
	497	+Soit le modèle:
	498	+\begin{align*}
	499	+Y_t=\beta_0+\beta_1 X_{1t}+\beta_2 X_{2t}+u_t
	500	+\end{align*}
	501	+Le test est basé sur une régression artificielle:
	502	+\begin{align*}
	503	+\hat{u}_t^2=\alpha_0+\alpha_1 X_{1t}+\alpha_{11} X_{1t}^2+\alpha_2 X_{2t}+\alpha_{22} X_{2t}^2+\alpha_{12} X_{1t}X_{2t}+\epsilon_t
	504	+\end{align*}
	505	+\end{block}
	506	+\end{frame}
	507	+
	508	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	509	+\begin{block}{Test de White}
	510	+\textbf{Statistique de test:}
	511	+\begin{align*}
	512	+WHITE = T \times R_{reg.art}^2
	513	+\end{align*}
	514	+\begin{align*}
	515	+WHITE^{asy} \sim X^2(H)
	516	+\end{align*}
	517	+\begin{itemize}
	518	+\item L’avantage du test de White est qu’il est très général.
	519	+\item Par contre, on perd des degrés de liberté de la régression artificielle, car on doit estimer les produits croisés et les régresseurs au carré.
	520	+\end{itemize}
	521	+\end{block}
	522	+\end{frame}
	523	+
	524	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	525	+\begin{block}{Le Correction de White}
	526	+\begin{itemize}
	527	+\item Lorsque q’on ne peut spécifier une forme paramétrique pour la variance hétéroscédastique des erreurs, on ne peut pas utiliser les estimateurs GLS et FGLS définis plus haut.
	528	+\item Une approche alternative est d’utiliser l’estimateur de $\hat{\beta}_{OLS}$ , mais de corriger l’estimateur de sa variance pour tenir compte de l’hétéroscédasticité.
	529	+\item On se souvient que $\hat{\beta}_{OLS}$ était toujours sans biais pour les cas hétéroscédastiques, mais que sa variance était fausse. On trouve donc une correction pour la variance des OLS.
	530	+\end{itemize}
	531	+\end{block}
	532	+\end{frame}
	533	+
	534	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	535	+\begin{block}{Estimateur de la variance suggéré}
	536	+\begin{align*}
	537	+\hat{V}(\hat{\beta}_{OLS})=T(X'X)^{-1} \hat{\Lambda} (X'X)^{-1}
	538	+\end{align*}
	539	+Où
	540	+\begin{align*}
	541	+\hat{\Lambda}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{u}_t^2 (x_t'x_t)
	542	+\end{align*}
	543	+Où $x_t$ est la $t^{\text{ième}}$ ligne de la matrice X. Cet estimateur est difficile à visualiser.
	544	+\begin{align*}
	545	+Var(\hat{\beta}_j)=\frac{\sum \hat{w}_{ji}^2\hat{u}_i^2}{(\sum \hat{w}_{ji}^2)^2}
	546	+\end{align*}
	547	+\end{block}
	548	+\end{frame}
	549	+
	550	+\begin{frame}{Tests diagnostiques d'hétéroscédasticité}
	551	+\begin{block}{Estimateur de la variance suggéré}
	552	+\begin{itemize}
	553	+\item Les $\hat{u}_i$ sont les résidus de la régression originale et les $\hat{w}_j$ sont les résidus obtenus d'une régression auxiliaire du régresseur j sur tous les autres.
	554	+\item Le correcteur de White est donc une approximation de la variance qui pondère les observations des résidus en fonction des régresseurs dans le calcul de la variance.
	555	+\item En général, si on a des indices sur la structure de la matrice $\Omega$, il est préférable de passer par l’estimateur FGLS si la qualité de l’information ajoutée est bonne.
	556	+\item Le correcteur de White est très utile lorsqu’on n’a aucune idée de la forme fonctionnelle à donner à $\Omega$.
	557	+\end{itemize}
	558	+\end{block}
	559	+\end{frame}
	560	+\end{document}

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		`@@ -0,0 +1,30 @@`
	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📊 SLIDES — Séance 5 : Hétéroscédasticité
	10	+
	11	+Diapositives Beamer (sources LaTeX) de la cinquième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Présentation \| Description \|
	16	+\|---------\|--------------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_SEANCES5_HETEROSCEDASTICITY/` \| Hétéroscédasticité \| Détection (Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan, White) et correction (MCP, erreurs robustes) \|
	18	+
	19	+## Compilation
	20	+
	21	+```bash
	22	+cd <dossier> && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	23	+```
	24	+
	25	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	26	+
	27	+---
	28	+
	29	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	30	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)

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		`@@ -0,0 +1,570 @@`
	1	+% =========================================================================
	2	+% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	3	+% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
	4	+% Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+% Contact : contact@spboucher.ai
	6	+% =========================================================================
	7	+\documentclass{beamer}
	8	+\usepackage[utf8]{inputenc}
	9	+\usepackage[T1]{fontenc}
	10	+\usepackage{graphicx}
	11	+\usetheme{default}
	12	+\usecolortheme{seagull}
	13	+
	14	+\title[S03 Extensions MLS]{Autocorrélation des erreurs\\ (Séance 6)}
	15	+\subtitle{GSF-6053: Économétrie Financière}
	16	+\author[SP. Boucher]{Simon-Pierre Boucher\inst{1}}
	17	+\institute[Université Laval]
	18	+{
	19	+ \inst{1}%
	20	+ Département de finance, assurance et immobilier\\
	21	+ Faculté des sciences de l'administration\\
	22	+ Université Laval}
	23	+\date[Hiver 2025]{18 février 2025}
	24	+% Configuration du pied de page avec logo en bas à droite
	25	+\setbeamertemplate{footline}{
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	28	+ \begin{beamercolorbox}[wd=.7\paperwidth,ht=2ex,dp=1ex,left]{author in head/foot}%
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	44	+ \titlepage
	45	+\end{frame}
	46	+
	47	+\begin{frame}{Références}
	48	+\textbf{Obligatoires:}
	49	+\begin{itemize}
	50	+
	51	+\item \textbf{Woolridge:} chapitres 3, 8, 12.
	52	+\end{itemize}
	53	+\vspace{0.5cm}
	54	+\textbf{Complémentaires:}
	55	+\begin{itemize}
	56	+\item \textbf{Gujarati et Porter:} chapitres 10, 11, 12, 13 et appendice C.
	57	+\item \textbf{Greene:} chapitres 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20 C et D
	58	+\end{itemize}
	59	+\end{frame}
	60	+
	61	+
	62	+\begin{frame}{Plan de la séance}
	63	+ \tableofcontents
	64	+\end{frame}
	65	+
	66	+\section{Autocorrélation des erreurs}
	67	+
	68	+\frame{\tableofcontents[current]}
	69	+
	70	+
	71	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	72	+\begin{itemize}
	73	+\item L’autocorrélation ou la corrélation sérielle des erreurs dans les séries chronologiques est assez fréquente.
	74	+\item Elle découle souvent du fait qu’il y a une certaine « inertie » dans les données économiques et financières, c’est-à-dire que les observations passées se reflètent souvent dans les observations présentes et futures.
	75	+\item Cela peut amener des problèmes de corrélation sérielle des erreurs si une variable autocorrelée est omise du modèle, par exemple.
	76	+\item Il est important de s’assurer lorsque vous détecter de l’autocorrélation qu’elle n’est pas dû à la non-stationnarité de Y et X.
	77	+\item En effet, si ces deux quantités sont non stationnaires, les erreurs le seront possiblement aussi et seront possiblement autocorrelées.
	78	+
	79	+\end{itemize}
	80	+\end{frame}
	81	+
	82	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	83	+\begin{itemize}
	84	+\item Même si le modèle est bien spécifié, on peut penser que les erreurs (les chocs) affectant les marchés boursiers aujourd’hui ont des chances d’influencer la magnitude et le signe des chocs affectant les marchés boursiers demain aussi.
	85	+\item Dans la plupart des cas en finance, l’autocorrélation sera positive, mais il est possible en théorie d’avoir de l’autocorrélation négative.
	86	+\end{itemize}
	87	+\end{frame}
	88	+
	89	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	90	+\textbf{Soit le modèle de base :}
	91	+\begin{align*}
	92	+y=X \beta +u
	93	+\end{align*}
	94	+\begin{align*}
	95	+Y_t=\beta_0+\beta_1 X_{1t}+\beta_2 X_{2t}+\cdots+\beta_{K-1} X_{K-1t}+u_t
	96	+\end{align*}
	97	+\begin{align*}
	98	+u_t=\rho u_{t-1}+\epsilon_t
	99	+\end{align*}
	100	+Où $\epsilon_t$ est un bruit blanc de moyenne nulle et de variance constante dans le temps.
	101	+\end{frame}
	102	+
	103	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	104	+\begin{itemize}
	105	+\item La matrice de variance covariance des erreurs sera affectée, ce qui impliquera comme dans le cas hétéroscédasticitique que l’estimateur OLS standard ne sera pas BLUE et que la variance des estimateurs OLS fausse, bien que l’estimateur sera sans biais.
	106	+\item La démonstration de ceci est du même ressort que celle faite pour l’hétéroscédasticité.
	107	+\item En effet, bien que l’autocorrélation implique des erreurs homoscédastiques (la variance est constante), les termes hors diagonale ne sont pas nuls comme dans le cas de base du modèle linéaire.
	108	+\end{itemize}
	109	+\end{frame}
	110	+
	111	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	112	+\textbf{Regardons la matrice de variance-covariance des erreurs:}
	113	+\begin{align*}
	114	+E(uu')=\begin{bmatrix}
	115	+E(u_1^2) & E(u_1u_2) & E(u_1u_3) & \cdots & E(u_1u_T)\\
	116	+E(u_2u_1) & E(u_2^2) & E(u_2u_3) & \cdots & E(u_2u_T)\\
	117	+E(u_3u_1) & E(u_3u_2) & E(u_3^2) & \cdots & E(u_3u_T)\\
	118	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	119	+E(u_Tu_1) & E(u_Tu_2) & E(u_Tu_3) & \cdots & E(u_T^2)
	120	+\end{bmatrix}
	121	+\end{align*}
	122	+\begin{align*}
	123	+E(uu')=\begin{bmatrix}
	124	+\sigma_u^2 & \rho \sigma_u^2 & \rho^2 \sigma_u^2 & \cdots & \rho^{T-1} \sigma_u^2 \\
	125	+\rho \sigma_u^2 & \sigma_u^2 & \rho \sigma_u^2 & \cdots & \rho^{T-2} \sigma_u^2 \\
	126	+\rho^2 \sigma_u^2 & \rho \sigma_u^2 & \sigma_u^2 & \cdots & \rho^{T-3} \sigma_u^2 \\
	127	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	128	+\rho^{T-1} \sigma_u^2 & \rho^{T-2} \sigma_u^2 & \rho^{T-3} \sigma_u^2 & \cdots & \sigma_u^2
	129	+\end{bmatrix}
	130	+\end{align*}
	131	+\end{frame}
	132	+
	133	+
	134	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	135	+\textbf{Regardons la matrice de variance-covariance des erreurs:}
	136	+\begin{align*}
	137	+E(uu')=\sigma_u^2\begin{bmatrix}
	138	+1 & \sigma & \sigma^2 & \cdots & \rho^{T-1}\\
	139	+\rho & 1 & \rho & \cdots & \rho^{T-2} \\
	140	+\rho^2 & \rho & 1 & \cdots & \rho^{T-3} \\
	141	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
	142	+\rho^{T-1} & \rho^{T-2} & \rho^{T-3} & \cdots & 1
	143	+\end{bmatrix}
	144	+\end{align*}
	145	+\begin{align*}
	146	+E(uu')= \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{1-\rho^2} \begin{bmatrix}
	147	+1 & \sigma & \sigma^2 & \cdots & \rho^{T-1}\\
	148	+\rho & 1 & \rho & \cdots & \rho^{T-2} \\
	149	+\rho^2 & \rho & 1 & \cdots & \rho^{T-3} \\
	150	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
	151	+\rho^{T-1} & \rho^{T-2} & \rho^{T-3} & \cdots & 1
	152	+\end{bmatrix}=\sigma_{\epsilon}^2 \Omega
	153	+\end{align*}
	154	+\end{frame}
	155	+
	156	+
	157	+
	158	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	159	+\textbf{Composition de $\Omega$:}
	160	+\begin{align*}
	161	+\Omega = \frac{1}{1-\rho^2}\begin{bmatrix}
	162	+1 & \sigma & \sigma^2 & \cdots & \rho^{T-1}\\
	163	+\rho & 1 & \rho & \cdots & \rho^{T-2} \\
	164	+\rho^2 & \rho & 1 & \cdots & \rho^{T-3} \\
	165	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
	166	+\rho^{T-1} & \rho^{T-2} & \rho^{T-3} & \cdots & 1
	167	+\end{bmatrix}
	168	+\end{align*}
	169	+\end{frame}
	170	+
	171	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	172	+\textbf{Hypothèses de départ:}
	173	+\begin{block}{$1-\epsilon_t$ est un bruit blanc}
	174	+\begin{itemize}
	175	+\item $E(\epsilon_t)=0$
	176	+\item $V(\epsilon_t)=\sigma_{\epsilon}^2 \forall t$
	177	+\item $E(\epsilon_t\epsilon_s)=0 \forall t \neq s$
	178	+\end{itemize}
	179	+\end{block}
	180	+
	181	+\begin{block}{$2-\mid \rho \mid < 1$}
	182	+\begin{itemize}
	183	+\item 1 sera une valeur critique. (Racine unitaire)
	184	+\item Ceci implique que $u_t$ est un processus stationnaire
	185	+\begin{enumerate}
	186	+\item $E(u_t)=0$
	187	+\item $V(u)=\sigma_u^2, \forall t$
	188	+\item $E(u_tu_{t-j})=E(u_su_{s-j}) \forall t,s$
	189	+\end{enumerate}
	190	+\end{itemize}
	191	+\end{block}
	192	+\end{frame}
	193	+
	194	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	195	+\textbf{Hypothèses de départ:}
	196	+\begin{block}{$3-\epsilon_t$ n'est pas corrélé avec les $u_s$ donc l'indice (s) est antérieur à t. $\rightarrow \epsilon_t$ n'est pas corrélé avec $u_{t-1}$}
	197	+Écrivons la série des $u_t$ en fonction des chocs $\epsilon_t$ présents et passés:
	198	+\begin{align*}
	199	+u_t & =\rho u_{t-1}+\epsilon_t \\ & = \rho [\rho u_{t-2}+\epsilon_{t-1}]+\epsilon_t \\ & = \rho^2 u_{t-2}+\rho \epsilon_{t-1}+\epsilon_t \\ & = \rho^2[\rho u_{t-3}+\epsilon_{t-2}]+\rho \epsilon_{t-1}+\epsilon_t \\ & = \rho^3 u_{t-3}+\rho^2 \epsilon_{t-2}+\rho \epsilon_{t-1}+\epsilon_t \\ & = \rho^su_{t-s}+\epsilon_t+\rho \epsilon_{t-1}+\rho^2 \epsilon_{t-2}+\cdots + \rho^{s-1}\epsilon_{t-(s-1)}
	200	+\end{align*}
	201	+\end{block}
	202	+\end{frame}
	203	+
	204	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	205	+Considérons les possibilités suivantes :
	206	+\begin{itemize}
	207	+\item $u_0=0$ $\rightarrow$ la valeur initiale du processus des $u_t=0$
	208	+\begin{align*}
	209	+(\rightarrow u_{t-s}=0 \hspace{0.2cm} \textbf{si} \hspace{0.2cm} t-s=0)
	210	+\end{align*}
	211	+\item Le processus des $u_t$ a commencé au passé infini.
	212	+\begin{align*}
	213	+(\lim_{s \rightarrow \infty} \rho^s=0)
	214	+\end{align*}
	215	+\item Dans les deux cas, si je recule assez dans le temps, la contribution de la valeur initiale est :
	216	+\begin{align*}
	217	+\rho^s u_{t-s}=0
	218	+\end{align*}
	219	+\end{itemize}
	220	+\end{frame}
	221	+
	222	+
	223	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	224	+\begin{itemize}
	225	+\item Les $u_t$ peuvent donc être réécrit comme une somme de bruits blancs pondérés :
	226	+\begin{align*}
	227	+u_t = \epsilon_t+\rho \epsilon_{t-1} + \rho^2 \epsilon_{t-2} + \rho^3 \epsilon_{t-3}+\cdots+\rho^{s-1}\epsilon_{t-(s-1)}
	228	+\end{align*}
	229	+\item On voit que l’effet des chocs les plus proches dans le passé est le plus important.
	230	+\end{itemize}
	231	+\end{frame}
	232	+
	233	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	234	+\begin{itemize}
	235	+\item Calculons la variance de $u_t$
	236	+\begin{align*}
	237	+\sigma_u^2 & =V(\epsilon_t)+\rho^2V(\epsilon_{t-1})+\rho^4V(\epsilon_{t-2})+...+\rho^{2(s-1)}V(\epsilon_{t-(s-1)}) \\ & = \sigma_{\epsilon}^2+\rho^2\sigma_{\epsilon}^2+\rho^4\sigma_{\epsilon}^2+\rho^6\sigma_{\epsilon}^2+\rho^{2(s-1)}\sigma_{\epsilon}^2 \\ & = \sigma_{\epsilon}^2(1+\rho^2+\rho^4+\rho^6+\rho^{2(s-1)}) \\ & = \sigma_{\epsilon}^2 \left( \frac{1}{1-\rho^2} \right)
	238	+\end{align*}
	239	+La stationnarité implique:
	240	+\begin{align*}
	241	+E(u_{t}^2)=E(u_{t-1}^2)
	242	+\end{align*}
	243	+Ainsi $\sigma_{u}^2=\rho^2 \sigma_{u}^2+\sigma_{\epsilon}^2$ et $\sigma_{u}^2=\left(\frac{\sigma_{\epsilon}^2}{1-\rho^2} \right)$
	244	+\end{itemize}
	245	+\end{frame}
	246	+
	247	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	248	+\begin{itemize}
	249	+\item On a donc démontré d’où viennent les coefficients sur la diagonale de la matrice $\Omega$.
	250	+\begin{block}{Calculez $E(u_tu_{t-1})$}
	251	+\begin{align*}
	252	+u_t = \epsilon_t +\rho \epsilon_{t-1}+\rho^{2}\epsilon_{t-2}+\rho^{3} \epsilon_{t-3}+\cdots
	253	+\end{align*}
	254	+\begin{align*}
	255	+u_{t-1} = \epsilon_{t-1} +\rho \epsilon_{t-2}+\rho^{2}\epsilon_{t-3}+\rho^{3} \epsilon_{t-4}+\cdots
	256	+\end{align*}
	257	+\end{block}
	258	+\end{itemize}
	259	+\end{frame}
	260	+
	261	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	262	+\begin{block}{Rappel: $E(\epsilon_t \epsilon_s)=0 \forall t \neq s$}
	263	+\begin{align*}
	264	+E(u_t u_{t-1}) & = \rho E(\epsilon_{t-1}^2)+\rho^3 E(\epsilon_{t-2}^2)+\rho^5E(\epsilon_{t-3}^2)+...\\ & = \rho\sigma_{\epsilon}^2+\rho^3 \sigma_{\epsilon}^2+\rho^5 \sigma_{\epsilon}^2+... \\ & = \rho \sigma_{\epsilon}^2(1+\rho^2+\rho^4+...) \\ & = \rho \sigma_{\epsilon}^2 \frac{1}{1-\rho^2} \\ & = \rho \sigma_u^2
	265	+\end{align*}
	266	+\end{block}
	267	+
	268	+\end{frame}
	269	+
	270	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	271	+\begin{block}{Rappel: $E(\epsilon_t \epsilon_s)=0 \forall t \neq s$}
	272	+Par le même raisonnement, on peut démontrer que
	273	+\begin{align*}
	274	+E(u_tu_{t-s})=\rho^s\sigma_{\epsilon}^2\frac{1}{1-\rho^2}=\rho^s\sigma_u^2
	275	+\end{align*}
	276	+\end{block}
	277	+
	278	+\end{frame}
	279	+
	280	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	281	+Preuve alternative qui ne passe pas par l’infini, mais par l’hypothèse que $\epsilon_t$ n’est pas corrélé avec les $u_t$ antérieurs.
	282	+\begin{align*}
	283	+u_t=\rho^s u_{t-s} +\epsilon_{t}+\rho \epsilon_{t-1} \rho^2 \epsilon_{t-2}+ \cdots+ \rho^{s-1} \epsilon_{t-(s-1)}
	284	+\end{align*}
	285	+\begin{align*}
	286	+u_tu_{t-s}=\rho^s u_{t-s}^2 +\epsilon_{t}u_{t-s}+\rho \epsilon_{t-1}u_{t-s} \rho^2 \epsilon_{t-2}u_{t-s} \\ + \cdots+ \rho^{s-1} \epsilon_{t-(s-1)}u_{t-s}
	287	+\end{align*}
	288	+\begin{align*}
	289	+E(u_tu_{t-s})=\rho^s E(u_{t-s}^2) +E(\epsilon_{t}u_{t-s})+\rho E(\epsilon_{t-1}u_{t-s}) \rho^2 E(\epsilon_{t-2}u_{t-s}) \\ + \cdots+ \rho^{s-1} E(\epsilon_{t-(s-1)}u_{t-s})
	290	+\end{align*}
	291	+
	292	+\end{frame}
	293	+
	294	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	295	+\begin{align*}
	296	+E(u_tu_{t-s})=\rho^s E(u_{t-s}^2)
	297	+\end{align*}
	298	+Sachant que
	299	+\begin{align*}
	300	+E(u_{t-s}^2)=\sigma_u^2= \sigma_{\epsilon}^2 \frac{1}{1-\rho^2}
	301	+\end{align*}
	302	+\begin{align*}
	303	+E(u_tu_{t-s})= \rho^s \left( \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{1-\rho^2} \right)= \rho^s \sigma_u^2
	304	+\end{align*}
	305	+\end{frame}
	306	+
	307	+\begin{frame}{Autocorrélation des erreurs}
	308	+\begin{itemize}
	309	+\item Nous venons donc de démontrer comment la matrice de variance-covariance est obtenue selon différentes hypothèses de départ.
	310	+\item On peut démontrer que la matrice $P^{-1}$ associée sera :
	311	+\end{itemize}
	312	+\begin{align*}
	313	+P^{-1}=\begin{bmatrix}
	314	+\sqrt{1-\rho^2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
	315	+-\rho & 1 & 0 \cdots & 0 & 0 \\
	316	+0 & -\rho & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
	317	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
	318	+0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
	319	+0 & 0 & 0 & \cdots & -\rho & 1
	320	+\end{bmatrix}
	321	+\end{align*}
	322	+\end{frame}
	323	+
	324	+\section{Transformation de Prais-Waisten}
	325	+
	326	+\frame{\tableofcontents[current]}
	327	+
	328	+
	329	+\begin{frame}{Transformation de Prais-Waisten}
	330	+\begin{itemize}
	331	+\item La transformation de Prais-Waisten consiste à multiplier les éléments de la régression par la matrice $P^{-1}$.
	332	+\begin{align*}
	333	+P^{-1} Y = \begin{bmatrix}
	334	+\sqrt{1-\rho^2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
	335	+-\rho & 1 & 0 \cdots & 0 & 0 \\
	336	+0 & -\rho & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
	337	+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
	338	+0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
	339	+0 & 0 & 0 & \cdots & -\rho & 1
	340	+\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
	341	+Y_1 \\
	342	+Y_2 \\
	343	+Y_3 \\
	344	+\vdots \\
	345	+Y_{T-1}\\
	346	+Y_T
	347	+\end{bmatrix}
	348	+\end{align*}
	349	+\end{itemize}
	350	+\end{frame}
	351	+
	352	+
	353	+\begin{frame}{Transformation de Prais-Waisten}
	354	+\begin{itemize}
	355	+\item La transformation de Prais-Waisten consiste à multiplier les éléments de la régression par la matrice $P^{-1}$
	356	+\end{itemize}
	357	+
	358	+\begin{align*}
	359	+P^{-1} Y = \begin{bmatrix}
	360	+\sqrt{1-\rho^2}Y_1 \\
	361	+-\rho Y_1 + Y_2 \\
	362	+-\rho Y_2 + Y_2 \\
	363	+\vdots \\
	364	+-\rho Y_{T-2}+Y_{T-1}\\
	365	+=\rho Y_{T-1} + Y_T
	366	+\end{bmatrix}
	367	+\end{align*}
	368	+
	369	+\end{frame}
	370	+
	371	+\begin{frame}{Transformation de Prais-Waisten}
	372	+\begin{itemize}
	373	+\item La transformation sera la même pour chaque régresseur X.
	374	+\item Le modèle transformé s’écrit :
	375	+\begin{align*}
	376	+\sqrt{1-\rho^2}Y_1=\sqrt{1-\rho^2}\beta_0 + \beta_1 \sqrt{1-\rho^2}X_{11}+\beta_2 \sqrt{1-\rho^2}X_{21}\\ + \cdots+ \sqrt{1-\rho^2}u_1
	377	+\end{align*}
	378	+\begin{align*}
	379	+Y_t-\rho Y_{t-1}=(1-\rho) \beta_0+\beta_1 (X_{1t}-\rho X_{1,T-1})+\beta_2 (X_ {2t}-\rho X_{2,t-1}) \\ + \cdots +\beta_{k-1} (X_{kt}-\rho X_{k-1,t-1})+u_t-\rho u_{t-1}
	380	+\end{align*}
	381	+\item Il faut porter attention à la constante dans ce modèle qui n’est plus la constante d’origine.
	382	+\item Si on a $\rho$ inconnu, ce modèle n’est plus linéaire, mais on peut toujours l’estimer pas OLS.
	383	+\end{itemize}
	384	+\end{frame}
	385	+
	386	+
	387	+\section{Transformation de Cochran-Orcutt}
	388	+
	389	+\frame{\tableofcontents[current]}
	390	+
	391	+
	392	+\begin{frame}{Transformation de Cochran-Orcutt}
	393	+\begin{itemize}
	394	+\item Une autre façon de transformer le modèle serait le laisser tomber la première observation et de transformer les Y comme suit :
	395	+\begin{align*}
	396	+Y_t=\rho Y_{t-1}, t=2,...,T
	397	+\end{align*}
	398	+\item Les X sont transformés de la même facon:
	399	+\begin{align*}
	400	+X_{it}-\rho X_{i,t-1}, t=2,...,T
	401	+\end{align*}
	402	+\item Le modèle transformé de Cochran-Orcutt s’écrit de la même façon que Prais-Winsten, mais sans la première observation :
	403	+\begin{align*}
	404	+Y_t-\rho Y_{t-1}=(1-\rho) \beta_0+\beta_1 (X_{1t}-\rho X_{1,T-1})+\beta_2 (X_ {2t}-\rho X_{2,t-1}) \\ + \cdots +\beta_{k-1} (X_{kt}-\rho X_{k-1,t-1})+u_t-\rho u_{t-1}
	405	+\end{align*}
	406	+\end{itemize}
	407	+\end{frame}
	408	+
	409	+\section{Le problème de $\rho$}
	410	+
	411	+\frame{\tableofcontents[current]}
	412	+
	413	+
	414	+\begin{frame}{Le problème de $\rho$}
	415	+\begin{itemize}
	416	+\item $\rho$ est inconnu.
	417	+\item Il faut donc trouver un estimateur.
	418	+\item Plusieurs sont suggérés dans la littérature économétrique.
	419	+\end{itemize}
	420	+\begin{block}{Un estimateur usuel:}
	421	+\begin{align*}
	422	+\hat{\rho}=\frac{\sum_{t=2}^T \hat{u}_t \hat{u}_{t-1}}{\sum_{t=2}^T \hat{u}_{t-1}^2}
	423	+\end{align*}
	424	+Où $\hat{u}_t$ est le résidu OLS de la régression de Y sur X. On peut montrer que $PLIM$ $\hat{\rho}=\rho$
	425	+\end{block}
	426	+\end{frame}
	427	+
	428	+\begin{frame}{Le problème de $\rho$}
	429	+\begin{block}{Estimateur de Hildreth-LU:}
	430	+\begin{itemize}
	431	+\item Cet estimateur ne passe pas par les OLS.
	432	+\item En balayant l’intervalle $]-1, 1 [$, on peut choisir la valeur de $\rho$ qui minimise la somme des carrés des erreurs du modèle transformé.
	433	+
	434	+\end{itemize}
	435	+\end{block}
	436	+\end{frame}
	437	+
	438	+\begin{frame}{Le problème de $\rho$}
	439	+\begin{block}{Estimateur de Hildreth-LU:}
	440	+Les étapes sont :
	441	+\begin{enumerate}
	442	+\item Choisir $\rho^{(1)} = -1$ (ou -0.99999)
	443	+\item Obtenir le modèle transformé correspondant.
	444	+\item Appliquer les OLS et sauvegarder $\hat{u}'\hat{u}_{\rho(1)}$.
	445	+\item Choisir une nouvelle valeur : $\rho^{(2)} = \rho^{(1)} + \textbf{step}$
	446	+\item Obtenir le modèle transformé correspondant
	447	+\item Appliquer les OLS et sauvegarder $\hat{u}'\hat{u}_{\rho (2)}$
	448	+\item Continuer jusqu’à ce que $]-1, 1 [$ est couvert.
	449	+\item Choisir la valeur $\rho^{(s)}$ telle que
	450	+\begin{align*}
	451	+\hat{u}'\hat{u}_{\rho (s)}=\min_i [\hat{u}'\hat{u}_{\rho (i)}]
	452	+\end{align*}
	453	+\end{enumerate}
	454	+\end{block}
	455	+\end{frame}
	456	+
	457	+
	458	+\begin{frame}{Le problème de $\rho$}
	459	+\begin{block}{Estimateur de Hildreth-LU:}
	460	+\begin{itemize}
	461	+\item L’estimateur FGLS obtenu à partir d’un estimateur de $\rho$ sera convergent.
	462	+\item Donc, lorsque la matrice d’information P dépend de paramètres inconnus qu’il faut estimer, on perd la propriété BLUE.
	463	+\item L’estimateur qui est un FGLS au lieu de GLS, reste convergent si l’estimateur des paramètres inconnus sur lequel il est fondé est convergent.
	464	+\end{itemize}
	465	+\end{block}
	466	+\end{frame}
	467	+
	468	+\section{Diagnostique de l'autocorrélation}
	469	+
	470	+\frame{\tableofcontents[current]}
	471	+
	472	+
	473	+\begin{frame}{Diagnostique de l'autocorrélation}
	474	+\begin{block}{Test de Durbin-Watson}
	475	+\begin{itemize}
	476	+\item C’est un test à borne.
	477	+\item Vous avez deux points critiques à regarder dans la table.
	478	+\item À l’origine, ce test était à borne, car on ne connaissait pas les vrais points critiques seulement des bornes à ceux-ci sous l’hypothèse de normalité.
	479	+\item Maintenant, on a trouvé les vrais points critiques.
	480	+\end{itemize}
	481	+\end{block}
	482	+\end{frame}
	483	+
	484	+\begin{frame}{Diagnostique de l'autocorrélation}
	485	+\begin{block}{Test de Durbin-Watson}
	486	+\textbf{Hypothèses:}
	487	+\begin{itemize}
	488	+\item $H_0: \rho=0$ contre l'alternative
	489	+\item $H_A: \rho \neq 0$
	490	+\end{itemize}
	491	+\textbf{Statistique de test:}
	492	+\begin{align*}
	493	+d=\frac{\sum_{t=2}^T(\hat{u}_t-\hat{u}_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^T\hat{u}_{t-1}^2}
	494	+\end{align*}
	495	+\begin{align*}
	496	+d \approx 2(1-\hat{\rho})
	497	+\end{align*}
	498	+\end{block}
	499	+\end{frame}
	500	+
	501	+
	502	+\begin{frame}{Diagnostique de l'autocorrélation}
	503	+\begin{block}{Test de Durbin-Watson}
	504	+\textbf{Hypothèses du test de Durbin-Watson:}
	505	+\begin{enumerate}
	506	+\item Le modèle de régression inclue une constante pour pouvoir calculer RSS.
	507	+\item Les variables explicatives sont non stochastiques.
	508	+\item L’autocorrélation est d’ordre 1. On ne peut pas utilise Durbin-Watson avec les ordres supérieurs.
	509	+\item On ne peut pas utiliser ce test dans le cas de modèles autorégressifs.
	510	+\item Le test n’accommode pas les observations manquantes.
	511	+\end{enumerate}
	512	+\end{block}
	513	+\end{frame}
	514	+
	515	+
	516	+
	517	+\begin{frame}{Diagnostique de l'autocorrélation}
	518	+\begin{block}{Test de Durbin-Watson}
	519	+\begin{itemize}
	520	+\item Pour faire le test de Durbin-Watson, il s’agit de rouler la régression OLS et d’obtenir les résidus.
	521	+\item Ensuite on calcule la statistique de Durbin-Watson avec ces résidus.
	522	+\item On compare la statistique avec les points critiques de la distribution pour les statistiques de Durbin-Watson pour une taille d’échantillon donné et un K donné.
	523	+\end{itemize}
	524	+\end{block}
	525	+\end{frame}
	526	+
	527	+\begin{frame}{Diagnostique de l'autocorrélation}
	528	+\begin{block}{Test de Durbin-Watson}
	529	+\textbf{Règle de décision:}
	530	+\begin{itemize}
	531	+\item La décision dépend de la valeur de d par rapport à deux points critiques $d_L$ et $d_U$
	532	+\begin{itemize}
	533	+\item $d < d_L \rightarrow$ rejet de $H_0$
	534	+\item $d_L < d < d_U \rightarrow$ test non conclusif
	535	+\item $d_U < d < 4-d_U \rightarrow$ non rejet de $H_0$ et $H_0^*$
	536	+\item $4-d_U < d < 4-d_L \rightarrow$ test non conclusif
	537	+\item $d > 4-d_L \rightarrow$ rejet de $H_0^*$
	538	+\end{itemize}
	539	+\item $H_0:$ pas d'autocorélation positive
	540	+\item $H_0^*:$ pas d'autocorélation négative
	541	+\item La statistique de Durbin-Watson est une \textbf{institution} en économétrie parce qu’il s’agit d’un des premiers tests à borne dérivés, mais les hypothèses sous-jacentes sont assez contraignantes.
	542	+\end{itemize}
	543	+\end{block}
	544	+\end{frame}
	545	+
	546	+\begin{frame}{Diagnostique de l'autocorrélation}
	547	+\begin{block}{Test de Durbin-Watson}
	548	+\includegraphics[width=10cm, height=8cm]{DW.png}
	549	+\end{block}
	550	+\end{frame}
	551	+
	552	+\section{Estimateur Robuste de Newey West}
	553	+
	554	+\frame{\tableofcontents[current]}
	555	+
	556	+
	557	+\begin{frame}{Estimateur Robuste de Newey West}
	558	+\begin{itemize}
	559	+\item Il existe une forme de correcteur robuste pour les problèmes d’autocorrélation des erreurs qui est une alternative au FGLS quand le nombre d’observations est assez élevé.
	560	+\item Cette correction est asymptotique.
	561	+\item C’est l’estimateur de la variance de Newey-West.
	562	+\item L’intuition est la même que le correcteur de White, mais appliqué aux problèmes d’autocorrélation des erreurs.
	563	+\item En fait, le charme de l’estimateur de Newey-West c’est qu’il corrige pour \textbf{l’autocorrélation} ET \textbf{l’hétéroscédasticité des erreurs} (c’est ce qu’on appelle l’estimateur \textbf{HAC}).
	564	+\item Le correcteur de Newey West est déjà programmé dans les logiciels d’analyses de données comme Stata.
	565	+\end{itemize}
	566	+\end{frame}
	567	+
	568	+\end{document}
	569	+
	570	+

added SLIDES/S6/README.md +30 −0

		`@@ -0,0 +1,30 @@`
	1	+<!--
	2	+=========================================================================
	3	+GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
	4	+Auteur : Simon-Pierre Boucher
	5	+Contact : contact@spboucher.ai
	6	+=========================================================================
	7	+-->
	8	+
	9	+# 📊 SLIDES — Séance 6 : Autocorrélation
	10	+
	11	+Diapositives Beamer (sources LaTeX) de la sixième séance du cours GSF6053.
	12	+
	13	+## Contenu
	14	+
	15	+\| Dossier \| Présentation \| Description \|
	16	+\|---------\|--------------\|-------------\|
	17	+\| `GSF6053_H25_SEANCE6_AUTOCIRRELATION/` \| Autocorrélation \| Processus AR(1), test de Durbin-Watson (figure DW.png), corrections Cochrane-Orcutt et Prais-Winsten \|
	18	+
	19	+## Compilation
	20	+
	21	+```bash
	22	+cd <dossier> && pdflatex main.tex && pdflatex main.tex
	23	+```
	24	+
	25	+Les PDF compilés correspondants se trouvent dans [`../../PDF/`](../../PDF/).
	26	+
	27	+---
	28	+
	29	+Auteur : Simon-Pierre Boucher — [contact@spboucher.ai](mailto:contact@spboucher.ai)
	30	+Université Laval — GSF6053 Économétrie Financière (Hiver 2025)
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