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% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
% Auteur  : Simon-Pierre Boucher
% Contact : contact@spboucher.ai
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\title{Le Test de White pour l'Hétéroscédasticité}
\author{GSF-6053}
\date{Hiver 2025}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Introduction}

Le **test de White** est une procédure statistique utilisée pour détecter la présence d'hétéroscédasticité dans un modèle de régression linéaire. Contrairement au test de Breusch-Pagan, le test de White ne spécifie pas une forme particulière de l'hétéroscédasticité, ce qui le rend plus généraliste.

\section{Hypothèses du Test de White}

Le test de White évalue les hypothèses suivantes :

\subsection{Hypothèse Nulle ($H_0$)}
\begin{itemize}
    \item Il n'y a pas d'hétéroscédasticité dans le modèle. La variance des erreurs est constante, c'est-à-dire $\text{Var}(u_i) = \sigma^2$ pour tout $i$.
\end{itemize}

\subsection{Hypothèse Alternative ($H_1$)}
\begin{itemize}
    \item Il existe une relation systématique entre la variance des erreurs et les variables explicatives ou leurs combinaisons. La variance des erreurs varie en fonction des variables explicatives, c'est-à-dire $\text{Var}(u_i) = \sigma^2 h(X_i)$ où $h(X_i)$ est une fonction des variables explicatives.
\end{itemize}

\section{Procédure du Test}

Le test de White se déroule en plusieurs étapes :

\subsection{Estimation du Modèle de Régression Principal}

On estime le modèle de régression linéaire :
\begin{align*}
    Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_k X_{ki} + u_i
\end{align*}
en utilisant la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO).

\subsection{Calcul des Résidus}

On calcule les résidus standardisés :
\begin{align*}
    \hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i
\end{align*}
où $\hat{Y}_i$ est la valeur prédite par le modèle.

\subsection{Régression Auxiliaire}

On effectue une régression auxiliaire où la variable dépendante est le carré des résidus et les variables explicatives incluent les variables originales, leurs carrés et les produits croisés entre elles :
\begin{align*}
    \hat{u}_i^2 = \gamma_0 + \gamma_1 X_{1i} + \gamma_2 X_{2i} & + \dots + \gamma_k X_{ki} + \gamma_{k+1} X_{1i}^2 + \gamma_{k+2} X_{2i}^2 + \\ & \dots + \gamma_{k(k+1)/2} X_{1i}X_{2i} + \\ &\dots + \epsilon_i
\end{align*}
Les variables $X_{1i}^2, X_{2i}^2, \dots, X_{1i}X_{2i}, \dots$ sont incluses pour capturer toute forme possible d'hétéroscédasticité.

\subsection{Calcul de la Statistique de Test}

La statistique de test de White est donnée par :
\begin{align*}
    \text{White} = T \cdot R^2_{\text{aux}}
\end{align*}
où $T$ est le nombre total d'observations et $R^2_{\text{aux}}$ est le coefficient de détermination de la régression auxiliaire.

\subsection{Distribution Sous l'Hypothèse Nulle}

Sous l'hypothèse nulle d'homoscédasticité, la statistique de test suit une distribution du chi carré avec $m$ degrés de liberté, où $m$ est le nombre de variables explicatives dans la régression auxiliaire.

\section{Interprétation des Résultats}

\subsection{Décision Statistique}

\begin{itemize}
    \item Si $\text{White} > \chi^2_{m, 1-\alpha}$, on rejette l'hypothèse nulle et conclut à la présence d'hétéroscédasticité.
    \item Sinon, on ne rejette pas l'hypothèse nulle.
\end{itemize}

\subsection{Conséquences de l'Hétéroscédasticité}

L'hétéroscédasticité peut entraîner :
\begin{itemize}
    \item Des estimateurs MCO toujours sans biais, mais inefficaces.
    \item Des erreurs standard incorrectes, ce qui affecte les tests d'hypothèses et les intervalles de confiance.
    \item Des tests statistiques qui ne suivent pas la distribution théorique, compromettant ainsi la validité des inférences.
\end{itemize}

\section{Exemple Illustratif}

Considérons un modèle de régression où l'on souhaite estimer la relation entre le revenu ($Y$) et le niveau d'éducation ($X_1$) ainsi que l'expérience professionnelle ($X_2$).

\subsection{Étape 1 : Estimation du Modèle Principal}

On estime le modèle :
\begin{align*}
    Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i
\end{align*}
en utilisant les MCO.

\subsection{Étape 2 : Calcul des Résidus}

On calcule les résidus $\hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i$.

\subsection{Étape 3 : Régression Auxiliaire}

On effectue la régression :
\begin{align*}
    \hat{u}_i^2 = \gamma_0 + \gamma_1 X_{1i} + \gamma_2 X_{2i} + \gamma_3 X_{1i}^2 + \gamma_4 X_{2i}^2 + \gamma_5 X_{1i}X_{2i} + \epsilon_i
\end{align*}

\subsection{Étape 4 : Calcul de la Statistique White}

Supposons que $R^2_{\text{aux}} = 0.10$ et que $T = 100$ observations avec $m = 5$ variables explicatives dans la régression auxiliaire. Alors :
\begin{align*}
    \text{White} = 100 \times 0.10 = 10
\end{align*}

\subsection{Étape 5 : Décision}

Avec $m = 5$ et un niveau de signification $\alpha = 0.05$, la valeur critique est $\chi^2_{5, 0.95} \approx 11.07$. Puisque $10 < 11.07$, on ne rejette pas l'hypothèse nulle d'homoscédasticité.

\section{Conclusion}

Le test de White est un outil puissant et flexible pour détecter l'hétéroscédasticité dans les modèles de régression linéaire. Sa capacité à identifier diverses formes d'hétéroscédasticité le rend particulièrement utile dans des situations où la nature de la variance des erreurs n'est pas connue a priori. En identifiant la présence d'hétéroscédasticité, les chercheurs peuvent ajuster leurs modèles en conséquence, par exemple en utilisant des estimateurs robustes ou en transformant les variables, afin d'obtenir des inférences statistiques fiables.

\section{Références}

\begin{itemize}
    \item White, H. (1980). A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity. \textit{Econometrica}, 48(4), 817–838.
    \item Gujarati, D. N. (2003). \textit{Basic Econometrics}. McGraw-Hill.
    \item Wooldridge, J. M. (2010). \textit{Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data}. MIT Press.
\end{itemize}

\end{document}