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% GSF6053 — Économétrie Financière (Hiver 2025)
% Université Laval — Faculté des sciences de l'administration
% Auteur  : Simon-Pierre Boucher
% Contact : contact@spboucher.ai
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\documentclass{beamer}
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\title{Extensions au modèle linéaire simple \\(Séance 4)}
\author{Simon-Pierre Boucher}
\institute{Département de finance, assurance et immobilier\\ Faculté des sciences de l'administration\\ Université Laval}
\date[Hiver 2025]{4 février 2025}
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\begin{document}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Références}
\textbf{Obligatoires:}
\begin{itemize}
   
    \item Woolridge: chapitres 3, 8, 12.
\end{itemize}
\textbf{Complémentaires:}
\begin{itemize}
    \item Gujarati et Porter: chapitres 10, 11, 12, 13 et appendice C.
    \item Greene: chapitres 2, 3, 4, 5, 9, 14, 20 C et D
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Plan de la séance}
\begin{itemize}
    \item Multicolinéarité
    \item Problèmes de spécification
    \item Erreurs non-sphériques
    \item Les Moindres carrés généralisés
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Multicolinéarité}
\begin{itemize}
    \item Une des hypothèses du modèle linéaire classique est qu’il n’y a pas de colinéarité parfaite entre les variables explicatives dans la matrice \( X \).
    \item Supposons le modèle suivant :
    \[
    Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_k X_{ki} + \epsilon_i
    \]
    \item Multicolinéarité parfaite (ou exacte) :
    \[
    \lambda_1 X_{1i} + \lambda_2 X_{2i} + \dots + \lambda_k X_{ki} = 0
    \]
    \item Multicolinéarité imparfaite :
    \[
    \lambda_1 X_{1i} + \lambda_2 X_{2i} + \dots + \lambda_k X_{ki} + v_i = 0
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Multicolinéarité (suite)}
\begin{itemize}
    \item Dans le cas de la multicolinéarité parfaite :
    \begin{itemize}
        \item Alors la matrice \( (X^T X) \) n’est plus de plein rang colonne et n’est pas inversible, car une des colonnes peut être écrite en fonction linéaire des autres.
        \item Il survient alors un problème majeur au niveau de l’identification des paramètres.
    \end{itemize}
    \item Dans le cas de la multicolinéarité imparfaite :
    \begin{itemize}
        \item Les régressseurs ne sont pas parfaitement corrélés, mais fortement corrélés à un choc près.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Multicolinéarité - Conséquences}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Les conséquences de la multicolinéarité}
    \begin{itemize}
        \item La multicolinéarité imparfaite ne viole pas les hypothèses du théorème de Gauss-Markov.
        \item Les estimateurs des MCO en cas de multicolinéarité gardent la propriété BLUE.
    \end{itemize}
    \item Les variances et les erreurs standard des estimations des coefficients de régression vont augmenter.
    \begin{itemize}
        \item Cela signifie des t-statistiques plus faibles.
    \end{itemize}
    \item L’ajustement global de l’équation de régression ne sera pas affecté par la multicolinéarité.
    \begin{itemize}
        \item Cela signifie également que la prévision et la prédiction ne seront pas affectées.
    \end{itemize}
    \item Les coefficients de régression seront sensibles aux spécifications.
    \begin{itemize}
        \item Les coefficients de régression peuvent changer considérablement lorsque des variables sont ajoutées ou supprimées.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Multicolinéarité - Détection}
\begin{itemize}
    \item \textbf{La détection de la multicolinéarité}
    \begin{itemize}
        \item Coefficients de corrélation élevés :
        \begin{itemize}
            \item Les corrélations par paires entre les variables indépendantes peuvent être élevées (en valeur absolue).
            \item Règle générale : si la corrélation est > 0.8, il peut y avoir une forte multicolinéarité.
        \end{itemize}
        \item \( R^2 \) élevé avec des valeurs de t-statistiques faibles :
        \begin{itemize}
            \item Il est possible que les coefficients de régression individuels ne soient pas significatifs mais que l’ajustement global de l’équation soit élevé.
        \end{itemize}
        \item Facteurs d’inflation de la variance (VIF) élevés :
        \begin{itemize}
            \item VIF quantifie dans quelle mesure la multicolinéarité a augmenté la variance d’un coefficient estimé.
            \item Il examine dans quelle mesure une variable explicative peut être expliquée par toutes les autres variables explicatives de l’équation.
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Multicolinéarité - Remèdes}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Remèdes contre la multicolinéarité}
    \begin{itemize}
        \item Ne rien faire
        \item Abandon d’une variable redondante :
        \begin{itemize}
            \item Si une variable est redondante, elle n’aurait jamais dû être incluse dans le modèle en premier lieu. Ainsi, l’abandonner ne fait que corriger une erreur de spécification.
            \item Utilisez la théorie économique pour guider votre choix de la variable à supprimer.
        \end{itemize}
        \item Transformer les variables multicolinéaires :
        \begin{itemize}
            \item Vous pouvez réduire la multicolinéarité en respécifiant le modèle, par exemple, en créant une combinaison des variables multicolinéaires.
        \end{itemize}
        \item Augmenter la taille de l’échantillon :
        \begin{itemize}
            \item L’augmentation de la taille de l’échantillon améliore la précision d’un estimateur et réduit les effets négatifs de la multicolinéarité.
            \item En général, l’ajout de données n’est pas possible.
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification}
\begin{itemize}
    \item Le modèle des OLS postule que nous avons la forme vraie fonctionnelle qui définit la relation entre \( Y \) et les régresseurs \( X \).
    \item Comment savoir si nous avons les bons \( X \) ?
    \item Quels sont les impacts de se tromper dans le choix de \( X \) ?
    \item De façon générale, nous avons les guides suivants pour choisir les variables explicatives :
    \begin{itemize}
        \item Le modèle doit être admissible et possible à tester.
        \item Le modèle doit être cohérent avec la théorie économique et financière.
        \item Choisir des régresseurs exogènes au terme d’erreur.
        \item Les paramètres estimés doivent être stables empiriquement.
    \end{itemize}
    \item Les résidus de régression. Sinon, on peut revisiter la spécification de \( X \) ou si elle est correcte corriger pour la non-sphéricité des erreurs.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Omission d’une variable explicative importante}
\begin{itemize}
    \item On suppose le vrai modèle suivant :
    \[
    Y_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t
    \]
    \item Cependant, vous avez effectué l’estimation d’un modèle en omettant la variable indépendante \( X_2 \).
    \[
    Y_t = \beta_1 X_{1t} + u_t
    \]
    \item Étant donné que \( X_2 \) n’est pas inclus dans la régression, nous allons uniquement obtenir une solution pour l’estimateur \( \beta_1 \) :
    \[
    \hat{\beta}_1 = X_1^T \left( X_1^T X_1 \right)^{-1} X_1^T Y = \left( X_1^T Y \right) \left( X_1^T X_1 \right)^{-1}
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Omission d’une variable explicative importante (suite)}
\begin{itemize}
    \item Afin de voir les effets de l’omission de la variable \( X_2 \), nous allons substituer dans l’équation de l’estimateur \( \hat{\beta}_1 \), l’équation du vrai modèle.
    \[
    \hat{\beta}_1 = \frac{X_1^T Y}{X_1^T X_1} = \frac{X_1^T (\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + u)}{X_1^T X_1}
    \]
    \item Cela donne :
    \[
    \hat{\beta}_1 = \frac{X_1^T X_1 \beta_1 + X_1^T X_2 \beta_2 + X_1^T u}{X_1^T X_1}
    \]
    \item Ce qui nous mène à :
    \[
    \hat{\beta}_1 = \beta_1 + \frac{X_1^T X_2}{X_1^T X_1} \beta_2 + \frac{X_1^T u}{X_1^T X_1}
    \]
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Omission d’une variable explicative importante (suite)}
\begin{itemize}
    \item Nous allons maintenant prendre l'espérance de chaque côté de l'équation de \( \hat{\beta}_1 \):
    \[
    E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + E\left( \frac{\beta_2 X_1^T X_2}{X_1^T X_1} \right) + E\left( \frac{X_1^T u}{X_1^T X_1} \right)
    \]
    \item Sachant que \( E\left( \frac{X_1^T u}{X_1^T X_1} \right) = 0 \) et que \( \frac{X_1^T X_2}{X_1^T X_1} \) est le coefficient de régression de \( X_2 \) sur \( X_1 \), que nous représenterons par \( b_{21} \), cela donne :
    \[
    E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + \beta_2 b_{21}
    \]
    \item \( \hat{\beta}_1 \) sera un estimateur biaisé de \( \beta_1 \) : Le biais dépend du coefficient de la variable omise et du coefficient de la régression de la variable omise sur les variables incluses.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente}
\begin{itemize}
    \item On suppose le vrai modèle suivant :
    \[
    Y_t = \beta_1 X_{1t} + u_t
    \]
    \item Cependant, vous avez effectué l’estimation d’un modèle en ajoutant la variable indépendante \( X_2 \), qui est non pertinente au modèle :
    \[
    Y_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t
    \]
    \item Nous avons donc les régressseurs \( X_1 \) et \( X_2 \) dans notre modèle.
    \item On peut représenter les deux régressseurs dans la matrice \( X \) :
    \[
    X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
\begin{itemize}
    \item Nous avons donc les régressseurs \( X_1 \) et \( X_2 \) dans notre modèle.
    \item On peut représenter les deux régressseurs dans la matrice \( X \) :
    \[
    X = \begin{pmatrix} X_1 & X_2 \end{pmatrix}
    \]
    \item Sachant que dans le vrai modèle nous avons uniquement \( 1 \) comme régressseur, on peut écrire le régressseur du vrai modèle comme suit :
    \[
    X \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_1 & X_2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
    \]
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
\begin{itemize}
    \item Maintenant, nous allons substituer \( Y \) dans l’équation de l’estimateur \( \hat{\beta} \), par le vrai modèle.
    \[
    \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T Y
    \]
    \item En substituant \( Y = \beta_1 X_1 + u \), nous obtenons :
    \[
    \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T \left( \beta_1 X_1 + u \right)
    \]
    \item Cela donne :
    \[
    \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T \beta_1 X_1 + (X^T X)^{-1} X^T u
    \]
    \item Ce qui peut être réécrit comme :
    \[
    \hat{\beta} = \beta_1 \times \left( (X^T X)^{-1} X^T X_1 \right) + (X^T X)^{-1} X^T u
    \]
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
\begin{itemize}
    \item On applique l'espérance de chaque côté de l'équation de l'estimateur \( \hat{\beta} \) :
    \[
    E(\hat{\beta}) = \beta_1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (X^T X)^{-1} X^T E(u)
    \]
    \item Sachant que \( E(u) = 0 \), cela donne :
    \[
    E(\hat{\beta}) = \beta_1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \beta_1
    \]
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Problèmes de spécification - Inclusion d’une variable non pertinente (suite)}
\begin{itemize}
    \item L'estimateur de \( \hat{\beta} \) restera un estimateur sans biais.
    \item Pour cette raison, la littérature a souvent suggéré d'inclure plus de variables dans le doute pour ne pas en omettre.
    \item Il n'est donc pas recommandé d'ajouter des variables sans avoir un indice économique sérieux qu'elles doivent être incluses dans le modèle.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Erreurs non-sphériques}
\begin{itemize}
    \item Le modèle linéaire comporte des hypothèses très strictes sur la matrice de variance-covariance des erreurs du modèle.
    \item Celle-ci est diagonale et de forme :
    \[
    E(uu') = V = \sigma^2 I_t
    \]
    \item Cela implique que les erreurs du modèle sont dites homoscédastiques, c’est-à-dire que sa variance est constante dans le temps, ne dépend pas de variables exogènes et n’est pas autocorrélée.
    \item C’est une hypothèse distributionnelle très forte surtout en coupe transversale.
    \item Raisons pour rencontrer des erreurs non-sphériques sont nombreuses :
    \begin{itemize}
        \item Meilleure collection des données dans le temps (l'erreur devrait donc diminuer)
        \item Présence d'observations aberrantes ou d'outliers
        \item Mauvaise spécification du modèle
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Erreurs non-sphériques - Estimateurs pour des formes de matrices variance-covariance des erreurs plus générales}
\begin{itemize}
    \item Soit le modèle suivant :
    \[
    Y = X \beta + u
    \]
    \item Avec :
    \[
    E(uu') = V = \sigma^2 \Omega
    \]
    \item Où \( \Omega \) est une matrice symétrique et inversible, mais n’est pas égale à la matrice d’identité.
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Erreurs non-sphériques - Matrice \( \Omega \)}
\begin{itemize}
    \item Cette formulation permet l’hétéroscédasticité des erreurs de plusieurs formes :
    \begin{itemize}
        \item Hétéroscédasticité groupée de différentes formes.
        \item Corrélation sériale des erreurs.
        \item Variance qui varie en fonction de variables exogènes.
        \item Effets arch.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Erreurs non-sphériques - Implication si \( \Omega \neq I \)}
\begin{itemize}
    \item Vérifions si l’estimateur des OLS reste sans biais et convergent lorsque la variance du terme d’erreur n’est plus homoscédastique.
    \item Biais de l’estimateur OLS si l’hypothèse que \( \Omega = I \) n’est pas respectée.
    \item L’estimateur OLS est donné par :
    \[
    \hat{\beta}_{OLS} = (X^T X)^{-1} X^T Y
    \]
    \item En substituant \( Y = X \beta + u \), cela donne :
    \[
    \hat{\beta}_{OLS} = (X^T X)^{-1} X^T \left( X \beta + u \right)
    \]
    \item Ce qui se simplifie à :
    \[
    \hat{\beta}_{OLS} = \beta + (X^T X)^{-1} X^T u
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Erreurs non-sphériques - Implication si \( \Omega \neq I \) (suite)}
\begin{itemize}
    \item \( E(\hat{\beta}_{OLS}) = \beta + (X^T X)^{-1} X^T E(u) \)
    \item Sachant que \( E(u) = 0 \), cela donne :
    \[
    E(\hat{\beta}_{OLS}) = \beta
    \]
    \item On voit que comme la matrice de variance-covariance des erreurs n’intervient pas dans le calcul de l’espérance de l’estimateur OLS.
    \item L’estimateur des OLS est toujours sans biais.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Erreurs non-sphériques - Implication si \( \Omega \neq I \) (suite)}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Variance de l’estimateur OLS.}
    \[
    V(\hat{\beta}) = E\left[ (\hat{\beta} - \beta)(\hat{\beta} - \beta)^T \right]
    = E\left[ (X^T X)^{-1} X^T \omega \omega^T X (X^T X)^{-1} \right]
    \]
    \[
    = (X^T X)^{-1} X^T E(\omega \omega^T) X (X^T X)^{-1}
    = \sigma^2 (X^T X)^{-1} \Omega (X^T X)^{-1}
    \]
    \item Cet estimateur est problématique, car on ne peut pas le comparer à l’estimateur des OLS.
    \begin{itemize}
        \item On ne peut pas dire s’il est plus grand, plus petit.
    \end{itemize}
    \item On ne peut donc pas appliquer la preuve du théorème de Gauss-Markov ni regarder la borne de Cramer-Rao.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés}
\begin{itemize}
    \item Transformation du modèle contenant des erreurs sphériques, pour le rendre optimal et compatible avec les hypothèses des MCO.
    \item Pour tout \( \Omega \) inversible, il existe une matrice \( P \) telle que :
    \[
    P^T P = P P^T = \Omega
    \]
    \item Si on inverse les deux côtés de la dernière équation :
    \[
    \Omega^{-1} = [P P^T]^{-1} = [P^{-1}]^T P^{-1}
    \]
    où \( P \) n’est pas aléatoire.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Modèle transformé}
\begin{itemize}
    \item Modèle transformé :
    \[
    P^{-1} Y = P^{-1} X \beta + P^{-1} u
    \]
    \item \textbf{Variance des erreurs :}
    \[
    E\left[ (P^{-1} u) (P^{-1} u)^T \right] = E\left[ P^{-1} u u^T P^{-1} \right]
    \]
    \[
    = P^{-1} E(u u^T) P^{-1}
    = P^{-1} \sigma^2 \Omega P^{-1}
    = \sigma^2 P^{-1} \Omega P^{-1}
    = \sigma^2 I
    \]
    \item Donc, l’estimateur OLS appliqué au modèle transformé sera optimal !
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Estimateur GLS}
\begin{itemize}
    \item Modèle transformé :
    \item Estimateur GLS :
    \[
    \hat{\beta}_{GLS} = \left( (P^{-1} X) (P^{-1} X)^T \right)^{-1} (P^{-1} X)^T (P^{-1} Y)
    \]
    \[
    = \left[ X^T P^{-1} P^{-1} \right]^{-1} X^T P^{-1} P^{-1} Y
    \]
    \[
    = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} Y
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Estimateur FGLS}
\begin{itemize}
    \item Si \( \Omega \) (ou \( P \)) n'est pas connu, on le remplace par un estimé convergent \( \hat{\Omega}(\hat{P}) \).
    \item Estimateur FGLS :
    \[
    \hat{\beta}_{FGLS} = \left[ (\hat{\beta}^{-1} X) (P^{-1} X)^T (\hat{\beta}^{-1} X) (P^{-1} Y) \right]
    \]
    \[
    = \left[ X^T \hat{\Omega}^{-1} X \right]^{-1} X^T \hat{\Omega}^{-1} Y
    \]
    \[
    = \text{PLIM} \hat{\beta}_{FGLS} = \beta
    \]
    \item Ce résultat demande que \( \hat{\Omega} \) soit convergent.
    \item Cet estimateur n'est pas optimal au sens de Cramer-Rao, il est optimal asymptotiquement.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Estimateur convergent}
\begin{itemize}
    \item Un estimateur est convergent (consistent en anglais) si lorsque la taille de l’échantillon augmente vers l’infini, l’estimateur se concentre (converge) sur la vraie valeur du paramètre.
    \item Les conditions suffisantes pour la convergence en probabilité sont :
    \[
    \lim_{T \to \infty} E(\hat{\beta}_T) = \beta
    \]
    \[
    \lim_{T \to \infty} \text{Var}(\hat{\beta}_T) = 0
    \]
    \item La convergence est une propriété qui fait intervenir la loi des grands nombres et le théorème de limite centrale qui sont des résultats statistiques asymptotiques.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Espérance estimateur GLS}
\begin{itemize}
    \item Si \( \Omega \) est connu et non estimé.
    \item Estimateur GLS :
    \[
    \hat{\beta}_{GLS} = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} Y
    \]
    \[
    = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} \left( X \beta + u \right)
    \]
    \[
    = \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} X \beta + \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} u
    \]
    \[
    = \beta + \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} u
    \]
    \item En espérance :
    \[
    E(\hat{\beta}_{GLS}) = \beta + \left[ X^T \Omega^{-1} X \right]^{-1} X^T \Omega^{-1} E(u)
    \]
    \[
    = \beta
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Variance estimateur GLS}
\begin{itemize}
    \item Si \( \Omega \) est connu et non estimé.
    \item Variance de l'estimateur GLS :
    \[
    V(\hat{\beta}_{GLS}) = E\left[ (\hat{\beta}_{GLS} - \beta)(\hat{\beta}_{GLS} - \beta)^T \right]
    \]
    \[
    = E\left[ (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} X^T \Omega^{-1} u u^T \Omega^{-1} X (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} \right]
    \]
    \[
    = (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} X^T \Omega^{-1} E(u u^T) \Omega^{-1} X (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
    \]
    \[
    = \sigma^2 (X^T \Omega^{-1} X)^{-1} \Omega \Omega^{-1} X (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
    \]
    \[
    = \sigma^2 (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Variances des différents estimateurs}
\begin{itemize}
    \item La variance des OLS sur le modèle standard sans hétéroscédasticité :
    \[
    V(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X^T X)^{-1}
    \]
    \item La variance des OLS avec hétéroscédasticité sur le modèle non transformé :
    \[
    V(\hat{\beta}_{OLS})_{HE} = \sigma^2 (X^T X)^{-1} X^T \Omega X (X^T X)^{-1}
    \]
    \item La variance du modèle GLS transformé par la matrice \( P \) :
    \[
    V(\hat{\beta}_{GLS}) = \sigma^2 (X^T \Omega^{-1} X)^{-1}
    \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Variances des différents estimateurs (suite)}
\begin{itemize}
    \item Les éléments sur la diagonale de \( V(\hat{\beta}_{OLS})_{HE} \) sont plus grands que ceux de \( V(\hat{\beta}_{GLS}) \).
    \item Ce n’est pas le même modèle qui est estimé, de même que les coefficients associés sont différents.
    \item Il n’est donc pas approprié de comparer les deux séries de résultats entre eux.
    \item Lorsqu'il y a hétéroscédasticité, la variance des OLS standards \( V(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X^T X)^{-1} \) est \textbf{fausse} et elle ne peut pas être comparée aux autres.
    \item On ne sait pas si elle est plus petite ou plus grande, elle est simplement fausse.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les Moindres Carrés Généralisés - Si on connaît \( \Omega \) ou non}
\begin{itemize}
    \item Si on connaît \( \Omega \) :
    \begin{itemize}
        \item Il est préférable de prendre l'estimateur GLS.
    \end{itemize}
    \item Si on ne connaît pas \( \Omega \) :
    \begin{itemize}
        \item Il est préférable de prendre l'estimateur GLS et d’estimer \( \Omega \).
        \item Le résultat de l’estimateur FGLS tient, mais en limite seulement.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\end{document}
