% Solutions du chapitre 12 — Mesurage, superficies et plans
% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch12.py (classe TestExercices) et analysis/python/cases/ch12_mesurage.py.

\begin{solution}{ex:12:1}{Conversions et aires brutes}
\emph{Aire et périmètre au sol.} $28 \times 42 = \pisq{1176}$ ; en mètres carrés, $1\,176 \times 0{,}09290304 = \msq{109.25}$ (ou $1\,176 / 10{,}7639 = 109{,}25$). Le périmètre vaut $2\,(28 + 42) = 140$ pieds, soit $140 \times 0{,}3048 = \qty{42.67}{\metre}$.

\emph{Aire des étages (MEFQ).} Le bungalow n'a qu'un niveau dont le plancher n'est pas plus bas que 0,4 mètre sous le niveau moyen du sol : l'aire des étages est égale à l'aire au sol, \msq{109.25}. Le sous-sol, dont le plancher est à 1,5 mètre sous le sol, n'est pas un étage au sens du bloc *07 de la partie 2C du Manuel ; il entre dans l'aire au sol (projection de tous les étages et sous-sols, ici la même empreinte) mais non dans l'aire des étages. Un cottage de mêmes dimensions à deux étages aurait une aire des étages de $2 \times 109{,}25 = \msq{218.5}$ (\pisq{2352}).

\emph{Variante.} Si le plancher du sous-sol était à 0,3 mètre sous le sol, le niveau inférieur satisferait la règle des 0,4 mètre et compterait comme un étage : l'aire des étages du bungalow passerait à \msq{218.5}, ce qui illustre la sensibilité de la mesure du rôle à une règle de seuil et explique que des maisons « à paliers » (split-level) affichent au rôle un nombre d'étages différent de celui que perçoivent leurs occupants.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:12:2}{Classer les espaces}
(a) \emph{Garage intégré} : compris dans l'aire des étages du MEFQ (le garage intégré fait partie de l'étage) ; exclu de la superficie habitable de l'ouvrage et de l'aire finie hors sol de l'ANSI Z765 (les garages ne peuvent être inclus). (b) \emph{Sous-sol fini, plancher à 1,2 m sous le sol} : exclu de l'aire des étages du MEFQ (plancher à plus de 0,4 m sous le sol) ; exclu de la superficie habitable, mais sa partie finie est indiquée séparément ; pour l'ANSI, c'est une aire finie \emph{sous le sol}, déclarée à part et jamais confondue avec l'aire hors sol. (c) \emph{Véranda trois saisons non chauffée} : le Manuel range la verrière intégrée dans l'étage, de sorte qu'une véranda intégrée au corps du bâtiment est comprise dans la mesure brute ; elle est exclue de la superficie habitable (espace non utilisable toute l'année) et de l'aire finie de l'ANSI, qui exige un espace clos utilisable en toute saison. (d) \emph{Chambre mansardée} : pour l'ANSI, la pièce est admissible puisque la moitié de sa surface atteint 2,13 m, mais la bande de 1,2 m de hauteur est inférieure au minimum de 1,52 m et doit être retranchée ; la convention de l'ouvrage retranche de même les espaces de hauteur insuffisante ; au MEFQ, la mesure est brute si le niveau est un étage, mais un comble aménagé peut relever de l'« attique » exclu de l'aire des étages, et c'est le Manuel qu'il faut consulter pour trancher la classification. (e) \emph{Trémie d'escalier} : comprise dans la mesure brute du MEFQ ; exclue de la superficie habitable ; exclue de l'aire finie de l'ANSI, sauf la surface des marches et paliers qui descendent, dans la limite de l'ouverture. (f) \emph{Mezzanine ouverte} : exclue de l'aire des étages du MEFQ par définition ; comprise dans la superficie habitable de l'ouvrage si elle est finie et de hauteur suffisante, puisqu'elle est un plancher hors sol ; comprise dans l'aire finie de l'ANSI si elle est reliée au reste de la maison et satisfait la hauteur minimale. Le classement montre que les trois conventions ne divergent que sur quatre points, le sous-sol, le garage, la hauteur et les ouvertures, et que ce sont ces quatre points que la note de dossier doit documenter.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:12:3}{De l'aire brute à la superficie habitable}
\emph{Un niveau.} Aire brute $A = 11{,}00 \times 9{,}00 = \msq{99.0}$ ; périmètre $P = 2\,(11 + 9) = \qty{40.0}{\metre}$. Par l'\cref{eq:12:murs}, $A_{\text{int}}/A = 1 - 0{,}30 \times 40/99 + 4 \times 0{,}09/99 = 1 - 0{,}12121 + 0{,}00364 = 0{,}88242$, d'où $A_{\text{int}} = \msq{87.36}$. Calcul direct : $(11{,}00 - 0{,}60)(9{,}00 - 0{,}60) = 10{,}40 \times 8{,}40 = \msq{87.36}$ ; les deux concordent.

\emph{Deux niveaux.} Superficie habitable : $2 \times 87{,}36 - 3{,}2 = \msq{171.52}$ ; aire des étages : $2 \times 99{,}0 = \msq{198.0}$. Rapport aire des étages / habitable : $198{,}0/171{,}52 = 1{,}154$.

\emph{Comparaison.} Le sujet du cas 1 a un rapport de 1,152 avec des murs de 0,28 m et une empreinte de \msq{95.04}. Le cottage de l'exercice a des murs plus épais (0,30 m), ce qui augmente l'écart, mais une empreinte un peu plus grande et plus compacte (11 × 9, proportion 1,22, contre 12 × 7,92, proportion 1,52), ce qui le réduit : le facteur de forme $\kappa = P/\sqrt{A}$ vaut $40/\sqrt{99} = 4{,}02$ contre $39{,}84/\sqrt{95{,}04} = 4{,}09$ pour le sujet. Les deux effets se compensent presque, et les rapports sont voisins. La trémie, un peu plus petite ici (\msq{3.2} contre \msq{3.4}), joue à la marge.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:12:4}{Propagation d'une erreur de mesure}
Prix marginal (\cref{eq:12:derivee}) : $\partial V/\partial S = 0{,}55 \times \dollars{520000}/\msq{140} = \parmsq{2042.86}$, contre un prix moyen de $\dollars{520000}/140 = \parmsq{3714.29}$.

Écart-type induit (\cref{eq:12:delta}) : $\sigma_S = 0{,}03 \times 140 = \msq{4.2}$ et $\sigma_V \approx 2\,042{,}86 \times 4{,}2 = \dollars{8580}$, soit $0{,}55 \times 3\,\% = 1{,}65\,\%$ de la valeur.

Effet exact (\cref{eq:12:exact}) : $+3\,\%$ donne $\dollars{520000} \times (1{,}03^{0{,}55} - 1) = +\dollars{8523}$ ($+1{,}639\,\%$) ; $-3\,\%$ donne $\dollars{520000} \times (0{,}97^{0{,}55} - 1) = -\dollars{8639}$ ($-1{,}661\,\%$). L'asymétrie, une soixantaine de dollars de part et d'autre de l'approximation linéaire, vient du terme du second ordre $\tfrac12 \beta(\beta - 1) e^2 = -0{,}011\,\%$, négatif puisque $0 < \beta < 1$.

Calcul au prix moyen : $3\,714{,}29 \times 4{,}2 = \dollars{15600}$, soit $1/0{,}55 = 1{,}82$ fois l'effet réel. Ce calcul suppose que la valeur est proportionnelle à la superficie, c'est-à-dire que chaque mètre carré manquant emporte sa part de terrain, de cuisine, de raccordements et d'équipements ; or ces composantes ne varient pas avec une erreur de relevé. C'est l'élasticité, non le prix moyen, qui traduit une erreur de mesure en erreur de valeur.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:12:5}{Mélange de conventions dans une grille}
\emph{Biais de l'indication.} Par l'\cref{eq:12:melange}, $\hat V/V = (205/178)^{0{,}539} = 1{,}1517^{0{,}539} = 1{,}0791$ : le sujet est surévalué de \pct{7.91} parce que sa superficie, exprimée en aire brute du rôle, est comparée à des superficies habitables.

\emph{Ajustement du comparable.} Avec la superficie habitable du sujet (\cref{eq:12:ajustement}) : $A = \dollars{560000} \times [(178/172)^{0{,}539} - 1] = \dollars{560000} \times 0{,}01866 = +\dollars{10447}$. Avec la superficie erronée : $A' = \dollars{560000} \times [(205/172)^{0{,}539} - 1] = \dollars{560000} \times 0{,}09924 = +\dollars{55572}$. L'erreur sur ce comparable est de \dollars{45125}, soit 8,1 \% de son prix, et elle se répète sur chaque comparable de la grille : l'indication finale est biaisée d'environ 7,9 \%, conformément au premier calcul.

\emph{Note de dossier (exemple).} « Les superficies de la grille sont des superficies habitables au sens de la convention de l'ouvrage : niveaux hors sol mesurés à la face intérieure des murs extérieurs, trémies, garage et sous-sol exclus. La superficie du sujet a été relevée sur place le [date] au télémètre laser (croquis au dossier) : \msq{178}, sous-sol fini de [x] m² indiqué séparément. L'aire des étages du rôle (\msq{205}, mesure brute à la face externe des murs selon le MEFQ) n'a pas été retenue, le rapport brute/habitable de 1,15 étant cohérent avec l'épaisseur des murs. Les superficies des comparables proviennent des fiches de courtage, vérifiées auprès du rôle (rapport brute/habitable entre 1,12 et 1,18 pour les cinq ventes) ; aucune ne comprend le sous-sol. Les ajustements de superficie utilisent le prix marginal dérivé du modèle hédonique ($\beta = 0{,}539$) et non le prix moyen. »
\end{solution}

\begin{solution}{ex:12:6}{Atténuation et correction}
\emph{Facteur d'atténuation.} Par l'\cref{eq:12:attenuation}, $\lambda = 0{,}0609/(0{,}0609 + 0{,}08^2) = 0{,}0609/0{,}0673 = 0{,}905$. Le coefficient attendu est $0{,}905 \times 0{,}539 = 0{,}488$, soit une perte d'un dixième. La simulation du script (fonction \texttt{attenuation}, en ajoutant $\sigma_u = 0{,}08$ à la liste des écarts-types) donne un coefficient moyen voisin de 0,49 avec un écart-type d'échantillonnage d'environ 0,007, en accord avec la théorie ; le \cref{tab:12:attenuation} encadre ce résultat entre $\sigma_u = 0{,}05$ (0,518) et $\sigma_u = 0{,}10$ (0,465).

\emph{Première stratégie : une seconde mesure.} Si un sous-échantillon de ventes est remesuré selon la convention de l'ouvrage, la variance de l'erreur $\sigma_u^2$ s'estime directement par la variance des écarts entre la superficie déclarée et la superficie remesurée (en logarithme), et le coefficient estimé se corrige en le divisant par $\hat\lambda$. L'hypothèse requise est que l'erreur soit classique : indépendante de la vraie superficie, des autres régresseurs et du prix. Elle est violée si les fiches arrondissent vers le haut les petites maisons ou si les grandes maisons comptent plus souvent le sous-sol ; l'erreur est alors corrélée à la taille et la correction par $\hat\lambda$ est insuffisante.

\emph{Deuxième stratégie : un instrument tiré du rôle.} L'aire des étages du rôle est une seconde mesure de la taille, corrélée à la vraie superficie habitable et dont l'erreur est produite par un processus différent (mesure brute par l'évaluateur municipal). Utilisée comme instrument de la superficie déclarée dans une estimation par variables instrumentales, elle fournit un estimateur convergent de $\beta$ pourvu que son erreur soit indépendante de celle des fiches et du terme d'erreur du modèle. L'hypothèse est plausible lorsque les deux mesures ont des sources distinctes ; elle ne l'est plus si les fiches recopient le rôle, ce que l'on vérifie en examinant la distribution du rapport des deux superficies.

\emph{Conséquences pour les ajustements.} Un coefficient atténué de 0,488 au lieu de 0,539 sous-estime de 9,5 \% tous les ajustements de superficie dérivés du modèle au \cref{ch:17} : pour le comparable G0404 (\dollars{506500}, \msq{160}, sujet \msq{165}), l'ajustement passerait de \dollars{8472} à environ \dollars{7670}. L'erreur est modeste pour des comparables proches du sujet en taille, mais elle croît avec l'écart de superficie et devient systématique dans une grille où tous les comparables sont plus petits ou plus grands que le sujet.
\end{solution}