% Solutions du chapitre 43 — Risques environnementaux et sinistres
% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch43.py (classe TestExercices) à partir de analysis/python/cases/ch43_risques.py.

\begin{solution}{ex:43:1}{Lire un coefficient de zone inondable}
Par la formule de Halvorsen et Palmquist, l'effet en pourcentage est $100\,[e^{-0{,}083} - 1] = -7{,}96$~\%. La correction de Kennedy retranche la moitié de la variance de l'estimateur : $100\,[e^{-0{,}083 - 0{,}021^2/2} - 1] = -7{,}99$~\%, un écart négligeable ici parce que l'erreur-type est petite. L'intervalle de confiance à 95~\% du coefficient est $-0{,}083 \pm 1{,}96 \times 0{,}021$, soit $[-0{,}1242 ; -0{,}0418]$ ; transformé, il donne un effet compris entre $-11{,}68$ et $-4{,}10$~\%.

Ce coefficient mesure la décote moyenne, à caractéristiques données, des biens situés en zone inondable sur toute la période de l'échantillon : c'est le prix que le marché attache au risque tel qu'il le connaît, avant et après tout événement confondus. Il ne mesure pas le stigmate d'une inondation passée, qui est la \emph{variation} de cette décote après l'événement. Pour le mesurer, il faut ajouter au modèle une indicatrice de période (ventes postérieures à l'événement) et son interaction avec l'indicatrice de zone, selon l'\cref{eq:43:interaction} ; le coefficient de l'interaction est le stigmate, celui de l'indicatrice de zone devient la décote antérieure à l'événement. Si l'échantillon comporte des biens riverains non exposés, une variable d'aménité (vue sur l'eau) doit aussi figurer au modèle, faute de quoi la décote est sous-estimée (\cref{sec:43:mesure}).
\end{solution}

\begin{solution}{ex:43:2}{Prime de taux et décote de valeur}
Hors zone, $V = 120000/0{,}0525 = \dollars{2285714}$. En zone inondable, le taux est $0{,}0525 \times 1{,}0786 = 5{,}663$~\% et $V = 120000/0{,}05663 = \dollars{2119149}$. La décote est $2119149/2285714 - 1 = -7{,}29$~\%, et l'on vérifie que $1 - 1/1{,}0786 = 0{,}0729$ : par l'\cref{eq:43:decote-taux}, une prime de $7{,}86$~\% du taux équivaut à une décote de valeur de $7{,}29$~\%, et non de $7{,}86$~\%, parce que la valeur est inversement proportionnelle au taux.

Si le risque réduit en outre le revenu net de 3~\%, l'\cref{eq:43:effet-total} donne $\Delta\ln V = \ln 0{,}97 - \ln 1{,}0786 = -0{,}0305 - 0{,}0757 = -0{,}1061$, soit une décote totale de $100\,[e^{-0{,}1061} - 1] = -10{,}07$~\%. Les deux effets s'additionnent en logarithme, non en pourcentage : $7{,}29 + 3 = 10{,}29$ serait une approximation acceptable, mais la valeur exacte est $1 - 0{,}97/1{,}0786 = 10{,}07$~\%.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:43:3}{Terrain contaminé}
Par l'\cref{eq:43:contamine}, avec $T = 1$ an, $r = 7$~\%, $s = 8$~\% et $k = 20$~\% : la valeur actualisée du terrain propre stigmatisé est $850000 \times 0{,}92/1{,}07 = \dollars{730841}$ ; la valeur actualisée du coût, payé à mi-parcours, est $95000 \times 1{,}20/1{,}07^{0{,}5} = \dollars{110208}$ ; il n'y a pas de perte de revenu pour un terrain vacant. La valeur contaminée est $730841 - 110208 = \dollars{620633}$, soit $26{,}98$~\% de moins que la valeur propre.

L'écart de \dollars{229367} se décompose en : coût de réhabilitation provisionné et actualisé, \dollars{110208} (48,0~\%) ; coût du délai, $850000 \times 0{,}92 - 730841 = \dollars{51159}$ (22,3~\%) ; stigmate, $0{,}08 \times 850000 = \dollars{68000}$ (29,6~\%). La règle « valeur propre moins coût » aurait donné $850000 - 95000 = \dollars{755000}$, soit \dollars{134367} de trop : elle ignore la provision, le délai et le stigmate, qui pèsent ensemble davantage que le coût nominal des travaux. La fonction \texttt{valeur\_terrain\_contamine} du script du chapitre reproduit ces montants.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:43:4}{Valeur après sinistre et assurance}
Le taux mensuel équivalent à 6~\% est $r_m = 1{,}06^{1/12} - 1 = 0{,}4868$~\%. La perte d'usage actualisée est $\sum_{m=1}^{4} 3600/(1 + r_m)^m = \dollars{14226}$ ; le stigmate est $0{,}04 \times 980000 = \dollars{39200}$. Par l'\cref{eq:43:sinistre}, la valeur de l'immeuble sinistré est $980000 - 140000 - 14226 - 39200 = \dollars{786574}$, soit une perte de 19,7~\%.

L'indemnité est $0{,}80 \times 140000 - 5000 = \dollars{107000}$. Par l'\cref{eq:43:assure}, la position du propriétaire assuré est $786574 + 107000 = \dollars{893574}$ et sa perte nette $980000 - 893574 = \dollars{86426}$, qui se répartit en coûts non couverts $140000 - 107000 = \dollars{33000}$, loyers perdus \dollars{14226} et stigmate \dollars{39200} : le stigmate est le premier poste de la perte nette et il n'est pas assurable.

Un an plus tard, les travaux terminés et documentés, le coût de remise en état et la perte d'usage ont disparu ; seul subsiste le stigmate résiduel mesuré sur le marché. Si le marché est par ailleurs inchangé, la valeur est $980000 \times (1 - 0{,}015) = \dollars{965300}$ ; le stigmate est passé de \dollars{39200} à \dollars{14700}. C'est le profil de récupération partielle que \textcite{ortegaTaspinar2018} observent pour les propriétés endommagées par Sandy.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:43:5}{Doubles différences à la main}
Par l'\cref{eq:43:did} : $\hat\delta = (12{,}86 - 12{,}84) - (12{,}98 - 12{,}90) = 0{,}02 - 0{,}08 = -0{,}06$, soit $100\,[e^{-0{,}06} - 1] = -5{,}82$~\%. Les prix des maisons hors zone ont progressé de 8 points de logarithme, ceux des maisons exposées de 2 ; la différence de 6 points est attribuée à l'inondation. L'estimateur mesure le \emph{stigmate}, c'est-à-dire l'aggravation de la décote après l'événement, et non la décote elle-même : avant l'inondation, les maisons exposées valaient déjà 6 points de moins ($12{,}84 - 12{,}90$), et cette décote antérieure n'entre pas dans $\hat\delta$. Les deux hypothèses sont celles des tendances parallèles (sans l'inondation, les prix des maisons exposées auraient progressé de 8 points comme ceux des autres) et de l'absence d'anticipation (les ventes antérieures n'intégraient pas déjà la crainte de l'événement).

Si les maisons exposées vendues après l'inondation sont plus petites que celles vendues avant, leur logarithme moyen de prix est abaissé par la composition et non par le stigmate : la progression des exposées (0,02) est sous-estimée, et $\hat\delta$ est biaisé vers une décote trop forte. La régression de l'\cref{eq:43:interaction} ajoute les caractéristiques des maisons (superficies, âge, qualité) et une tendance temporelle continue : le coefficient de l'interaction compare alors des maisons semblables, et il est accompagné d'une erreur-type que l'estimateur à quatre moyennes ne fournit pas.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:43:6}{Inférence de randomisation}
(a) Le nombre d'affectations est $\binom{48}{3} = 17296$, et le script les énumère toutes (fonction \texttt{did\_cas4}) ; la valeur $p$ est la part des estimateurs placebo dont la valeur absolue atteint celle de l'estimateur observé, ce que le test \texttt{test\_ex6\_randomisation} vérifie : $p = 0{,}0052$ pour l'estimateur naïf ($-0{,}1129$) et $0{,}0240$ pour l'estimateur par strate ($-0{,}0794$).

(b) Avec un choc permanent de $-0{,}02$, l'estimateur naïf devient $-0{,}0829$ ($p = 0{,}033$) et l'estimateur par strate $-0{,}0494$ ($p = 0{,}138$) : le choc n'est plus détecté au seuil de 5~\% par l'estimateur le mieux spécifié. Avec $-0{,}10$, les estimateurs sont de $-0{,}1629$ ($p = 0{,}0001$) et de $-0{,}1294$ ($p = 0{,}002$) : un choc de 10~\% est détecté sans ambiguïté. Dans les trois cas, l'estimateur par strate reste éloigné de la vérité ($-0{,}049$ pour $-0{,}02$ ; $-0{,}079$ pour $-0{,}05$ ; $-0{,}129$ pour $-0{,}10$) : l'écart d'environ $-0{,}03$ est le même, il vient de la tendance propre des trois immeubles traités, non du choc.

(c) En déplaçant l'événement à 2017T2 sans injecter de choc (fenêtres 2016T1--2017T1 et 2017T2--2019T1), l'estimateur naïf est de $-0{,}0153$ et $p = 0{,}44$ : rien n'est détecté, ce qui est le résultat attendu d'un placebo et rassure sur l'absence de tendance différentielle forte avant 2019.

Note. Un événement qui touche trois immeubles sur quarante-huit permet de rejeter l'hypothèse d'absence d'effet lorsque l'effet est grand (un choc de 10~\% du revenu net est détecté avec $p < 0{,}01$), mais il ne permet pas de le chiffrer : l'estimateur par strate surestime la vérité de trois points de logarithme quelle que soit l'ampleur du choc, parce que le hasard des trajectoires de trois immeubles ne se moyenne pas, et l'intervalle de confiance couvre une plage du simple au triple. La précision ne vient pas de la longueur des séries (42 trimestres) mais du nombre d'unités traitées ; un portefeuille n'en offre jamais assez. Pour chiffrer une décote, l'évaluateur doit sortir du portefeuille et recourir à un marché plus large (ventes de nombreux immeubles exposés) ou à la littérature, et réserver l'analyse d'événement du portefeuille à ce qu'elle sait faire : établir qu'un effet existe, en estimer l'ordre de grandeur et en suivre la dynamique.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:43:7}{Pyrite : tester, corriger ou déprécier}
(a) Par l'\cref{eq:11:test}, le test est justifié si la probabilité du défaut excède $p^{*} = t/C = 1200/25000 = 4{,}8$~\%. Une maison de 1984 d'un secteur documenté, sans certificat de remblai, dépasse ce seuil : le test est recommandé et, tant qu'il n'est pas fait, la conclusion de valeur repose sur une hypothèse extraordinaire divulguée.

(b) Si le remblai est gonflant, la dépréciation curable est, par l'\cref{eq:43:curable}, $25000 + 2000 = \dollars{27000}$ (sans stigmate résiduel documenté). La dépréciation incurable qu'impliquerait le maintien du défaut, par l'\cref{eq:43:incurable}, est $1800/0{,}055 = \dollars{32727}$. La correction coûte moins que la perte capitalisée : le défaut est curable au sens du \cref{ch:24}, et c'est la dépréciation de \dollars{27000} qu'il faut retenir ; retenir \dollars{32727} supposerait qu'un acheteur rationnel renonce à une correction rentable. La fonction \texttt{desuetude\_vs\_correction} du script reproduit les deux montants.

(c) Le stigmate d'une pyrite excavée et documentée est en général faible : la cause est éliminée, non seulement traitée, et le dossier (rapport de laboratoire avant travaux, factures d'excavation et de remblai certifié, rapport de l'entrepreneur) permet à l'acheteur de vérifier plutôt que de croire. \textcite{jackson2001} relèvent que le stigmate de la contamination décroît avec le temps écoulé depuis la réhabilitation et avec la qualité de l'information disponible, et qu'il est le plus fort lorsque la source du problème demeure ou que la correction n'est pas vérifiable. La pyrite excavée est dans le premier cas ; une dalle simplement réparée sans retrait du remblai est dans le second. L'évaluateur distingue donc deux situations que le marché distingue : une maison « avec pyrite réparée » et une maison « avec remblai remplacé », et il mesure, lorsque des ventes le permettent, l'écart résiduel entre la seconde et des maisons jamais touchées, qui est le stigmate au sens de la \cref{def:stigmate}.
\end{solution}