\chapter{Économie urbaine et rente foncière}\label{ch:05}

Deux maisons identiques, construites la même année par le même entrepreneur avec les mêmes matériaux, ne se vendent pas au même prix si l'une est à deux kilomètres du centre-ville et l'autre à trente. La différence ne vient pas du bâtiment, dont le coût est le même, mais du sol, dont la valeur dépend de ce que l'emplacement permet : accéder aux emplois, aux services et aux aménités en économisant du temps et de l'argent. L'économie urbaine donne à cette intuition une forme rigoureuse. Elle montre que la valeur du terrain est une \emph{rente}, c'est-à-dire le prix d'un avantage de situation que personne ne peut produire, qu'elle se répartit dans l'espace selon des gradients prévisibles, et qu'elle absorbe, en se capitalisant, tout ce qui rend un emplacement plus ou moins désirable, des écoles aux inondations et des parcs aux taxes foncières. Le présent chapitre, dernier de la partie consacrée aux fondements économiques, reprend la théorie de la rente de Ricardo et de von Thünen, la formalise dans le modèle monocentrique d'Alonso, Muth et Mills, puis en tire ce qui compte pour l'évaluateur : la valeur du terrain comme résidu, la capitalisation des aménités et des taxes, le polycentrisme des agglomérations québécoises. L'exemple intégral mesure le gradient prix-distance dans le dossier de Gatineau (cas 1) et la rente interrégionale dans le portefeuille du cas 4 ; l'analyse de sensibilité porte sur la capitalisation d'un écart de taxe foncière, point de contact avec le \cref{ch:09}.

\begin{objectifs}
\begin{itemize}
\item Définir la rente foncière et la distinguer du prix du terrain, de la valeur marchande et du coût du bâtiment.
\item Dériver le gradient de rente de von Thünen et la condition d'équilibre spatial d'Alonso et Muth, puis en déduire les gradients de prix du logement, de rente du sol et de densité du modèle monocentrique.
\item Expliquer pourquoi la valeur du terrain est un résidu à fort effet de levier, et relier cette propriété à la méthode du coût et à l'évaluation du terrain.
\item Formaliser la capitalisation des aménités, des externalités et des taxes foncières dans les valeurs, et calculer l'effet d'un écart de taux de taxe selon le taux de capitalisation et le degré de capitalisation.
\item Reconnaître les limites du modèle monocentrique dans des agglomérations polycentriques comme Montréal, Québec et Gatineau--Ottawa, et savoir mesurer l'accessibilité autrement que par la distance au centre.
\item Estimer un gradient de prix selon la distance sur un jeu de ventes et interpréter correctement un coefficient de distance en présence d'indicatrices de secteur.
\end{itemize}
\end{objectifs}

\section{La rente différentielle : de Ricardo à von Thünen}\label{sec:5:rente}

\subsection{La rente comme résidu}

La théorie économique de la rente naît d'une question agricole. \textcite{ricardo1817} observe que des terres de fertilité différente, cultivées avec les mêmes quantités de travail et de capital, produisent des récoltes différentes vendues au même prix. Si la terre la moins fertile mise en culture couvre tout juste ses coûts, la terre plus fertile dégage un surplus qui ne rémunère ni le travail ni le capital, puisque ceux-ci sont payés au même taux partout ; ce surplus revient au propriétaire du sol, et c'est la \motcle{rente différentielle}. Elle est \emph{différentielle} parce qu'elle mesure l'écart de productivité avec la terre marginale, et elle est \emph{résiduelle} parce qu'elle est ce qui reste du produit une fois payés tous les facteurs reproductibles. Pour une parcelle $j$ de rendement $y_j$ et pour un prix $p$ du produit, lorsque la parcelle marginale a un rendement $y_m$ et que les coûts de production par unité de surface sont $c$ partout, la rente par unité de surface s'écrit
\begin{equation}\label{eq:5:ricardo}
R_j = p\,y_j - c = p\,(y_j - y_m), \qquad \text{puisque}\quad p\,y_m = c \ \text{à la marge}.
\end{equation}
Deux propriétés de cette formule traversent tout le chapitre. D'abord, la rente est déterminée par le prix du produit et non l'inverse : « le blé n'est pas cher parce qu'une rente est payée, mais une rente est payée parce que le blé est cher », pour reprendre l'argument de Ricardo. Transposée au logement, cette proposition signifie que le prix des terrains résidentiels découle du prix que les ménages sont prêts à payer pour se loger à un endroit donné, et non le contraire ; l'évaluateur qui estime un terrain par la méthode résiduelle (\cref{ch:25}) ne fait rien d'autre qu'appliquer la logique ricardienne. Ensuite, la rente est un résidu, c'est-à-dire la différence entre deux grandeurs, ce qui la rend beaucoup plus volatile que l'une ou l'autre : une variation modeste du prix du produit se traduit par une variation proportionnellement bien plus grande de la rente. La \cref{sec:5:residu} montre que cette propriété explique l'essentiel de la volatilité des prix immobiliers.

\subsection{La rente de situation}

\textcite{vonthunen1826} déplace la source de la différence de la fertilité vers la distance. Dans son « État isolé », une ville unique achète les produits agricoles d'une plaine uniforme ; le producteur situé à la distance $d$ du marché vend sa récolte $Y$ (par unité de surface) au prix $p$, supporte un coût de production $c$ par unité de produit et un coût de transport $f$ par unité de produit et par kilomètre. La rente qu'il peut offrir pour le sol, après rémunération des autres facteurs, est
\begin{equation}\label{eq:5:thunen}
R(d) = Y\,(p - c) - Y f\,d = R_0 - t\,d, \qquad R_0 = Y\,(p - c),\ \ t = Y f,
\end{equation}
une fonction linéaire décroissante de la distance, qui s'annule à la distance limite $d^{*} = (p - c)/f$ au-delà de laquelle la culture n'est plus rentable. La rente au centre $R_0$ est le surplus brut de la culture ; la pente $t$ est le coût de transport par kilomètre de la récolte d'une unité de surface. L'\cref{eq:5:thunen} est la plus simple des \motcle{courbes d'enchère} (en anglais \emph{bid-rent curves}) : elle donne la rente maximale qu'un usage peut offrir pour un emplacement en restant tout juste rentable. Lorsque plusieurs cultures concourent pour le sol, chacune a sa courbe d'enchère, et le propriétaire loue au plus offrant : l'usage à forte rente centrale et à forte pente (produits périssables, lourds ou intensifs) occupe les anneaux proches, l'usage à faible pente les anneaux lointains. La rente de marché est l'\emph{enveloppe supérieure} des courbes d'enchère, et les frontières entre usages sont les distances où deux courbes se croisent ; l'\cref{ex:5:1} fait ce calcul pour deux cultures.

\begin{definition}{Rente foncière, prix du terrain et valeur du terrain}{rente}
La \motcle{rente foncière} est le flux annuel que le droit d'utiliser une parcelle permet de dégager, net de la rémunération de tous les facteurs reproductibles qui y sont employés ; elle est déterminée par la demande pour ce que l'emplacement permet de produire ou de consommer. Le \emph{prix du terrain} est le montant observé lors d'une vente ; la \emph{valeur du terrain} est l'estimation de la rente future capitalisée. Dans un marché en équilibre et sans anticipation de changement d'usage, la valeur d'un terrain dont la rente $R$ croît au taux $g$ et que le marché capitalise au taux $i$ est
\begin{equation}\label{eq:5:capitalisation-rente}
V_L = \frac{R}{i - g}, \qquad i > g .
\end{equation}
\end{definition}

L'\cref{eq:5:capitalisation-rente} est la formule de Gordon appliquée au sol ; le \cref{ch:29} la retrouvera pour les immeubles de revenu sous la forme $V = \NOI_1/R$. Son intérêt ici est d'établir un pont entre le flux (la rente, que l'économie urbaine explique) et le stock (la valeur, que l'évaluateur estime), et de rappeler que le prix d'un terrain dépend autant du taux auquel le marché capitalise les rentes que des rentes elles-mêmes. Un terrain dont la rente double parce qu'une station de transport collectif est annoncée, et un terrain dont le taux de capitalisation passe de 6 à 3 \% parce que les taux d'intérêt chutent, voient leur valeur doubler l'un et l'autre, pour des raisons que l'évaluateur doit savoir distinguer.

\begin{table}[tbp]
\caption{Quatre lectures de la rente foncière et leur portée pour l'évaluation}\label{tab:5:theories}
\centering\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYY}
\toprule
Auteur & Source de la rente & Forme & Ce qu'en retient l'évaluateur \\
\midrule
Ricardo (1817) & Différence de fertilité avec la terre marginale & Résidu : produit moins coûts des facteurs reproductibles & Le terrain vaut ce qui reste ; méthode résiduelle ; volatilité du résidu \\
von Thünen (1826) & Économie de transport par rapport à la parcelle la plus éloignée & Linéaire décroissante : $R_0 - t\,d$ ; enveloppe des usages & Gradient prix-distance ; zonage spontané par la rente ; frontières entre usages \\
Alonso (1964) & Arbitrage des ménages entre accessibilité et espace & Courbes d'enchère convexes ; équilibre spatial à utilité égale & Le gradient dépend du coût de déplacement et de la consommation de sol ; tri des ménages par revenu \\
Muth (1969), Mills (1967) & Production de logement avec sol et capital & Gradients de prix du logement, de rente du sol, de densité ; frontière où $r = r_a$ & La rente du sol réagit plus que proportionnellement au prix du logement ; densité et hauteur comme réponses au prix du sol \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{ricardo1817,vonthunen1826,alonso1964,muth1969,mills1967} et \textcite{durantonPuga2015}.}
\end{table}

\section{Le modèle monocentrique d'Alonso, Muth et Mills}\label{sec:5:monocentrique}

\subsection{Les enchères foncières des ménages}

\textcite{alonso1964} transpose l'enchère de von Thünen aux ménages d'une ville dont tous les emplois sont regroupés en un centre unique, le quartier central des affaires. Un ménage de revenu $y$ qui réside à la distance $d$ supporte un coût de navettage annuel $T(d)$, croissant avec la distance, et consomme une quantité $q$ de sol (ou de logement) au prix unitaire $p(d)$ ainsi qu'un bien composite $z$ dont le prix sert d'unité :
\begin{equation}\label{eq:5:budget}
z + p(d)\,q + T(d) = y .
\end{equation}
La \motcle{courbe d'enchère} du ménage est le prix maximal $p$ qu'il peut payer à la distance $d$ tout en atteignant un niveau d'utilité donné $\bar u$ ; elle décroît avec la distance parce que le coût de transport croît. L'\emph{équilibre spatial} exige que des ménages identiques atteignent la même utilité où qu'ils résident : sinon, ceux qui sont moins bien lotis déménageraient, ce qui ferait monter les prix là où l'utilité est plus élevée et les ferait baisser ailleurs jusqu'à l'égalisation. Cette condition, que \textcite{muth1969} formule avec netteté, est le cœur du modèle.

\begin{proposition}{Condition d'équilibre spatial (Alonso--Muth)}{muth}
À l'équilibre spatial, le prix unitaire du logement décroît avec la distance au centre à un rythme égal au coût marginal de transport rapporté à la quantité de logement consommée :
\begin{equation}\label{eq:5:muth}
\frac{\dd p}{\dd d} = -\,\frac{T'(d)}{q(d)} .
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{proof}
Le ménage choisit $z$, $q$ et $d$ pour maximiser $u(z, q)$ sous la contrainte \eqref{eq:5:budget}. La condition du premier ordre par rapport à $d$ est $-\lambda\,[p'(d)\,q + T'(d)] = 0$, où $\lambda > 0$ est l'utilité marginale du revenu ; d'où $p'(d)\,q = -T'(d)$. La même condition s'obtient en exigeant que l'utilité indirecte $v(p(d),\, y - T(d))$ soit constante en $d$ : par l'identité de Roy, $\partial v/\partial p = -\lambda q$ et $\partial v/\partial y = \lambda$, de sorte que $\dd v/\dd d = -\lambda\,[q\,p'(d) + T'(d)] = 0$.
\end{proof}

L'interprétation est immédiate : en s'éloignant d'un kilomètre, le ménage économise $T'(d)$ dollars de transport par année et doit être exactement compensé par une baisse $-p'(d)\,q$ de sa dépense de logement ; s'il consomme davantage de logement, la baisse de prix unitaire nécessaire est moindre, et le gradient est plus plat. C'est pourquoi les gradients sont plus pentus là où les ménages se contentent de peu d'espace (centres denses) et plus plats dans les banlieues de grandes parcelles ; c'est aussi pourquoi le gradient d'une ville se stabilise lorsque le coût de la distance baisse, par exemple quand une autoroute ou un train de banlieue raccourcit le trajet.

\subsection{Du prix du logement à la rente du sol}

Pour aller plus loin, il faut préciser les préférences et la technique. Supposons, avec \textcite{muth1969}, que le coût de navettage soit proportionnel à la distance, $T(d) = t\,d$, et que les ménages consacrent une part constante $\beta$ de leur revenu net de transport au logement, ce qui correspond à une utilité de Cobb-Douglas : $p(d)\,q(d) = \beta\,(y - t\,d)$. En substituant dans l'\cref{eq:5:muth}, $p'/p = -t/[\beta\,(y - t\,d)]$, équation différentielle dont la solution est
\begin{equation}\label{eq:5:prix}
p(d) = p_0 \left(1 - \frac{t\,d}{y}\right)^{1/\beta},
\end{equation}
où $p_0$ est le prix au centre. Tant que le coût de transport reste petit devant le revenu, $\ln(1 - t d/y) \approx -t d/y$ et le prix suit un \motcle{gradient exponentiel} négatif,
\begin{equation}\label{eq:5:exponentiel}
p(d) \approx p_0\,e^{-\gamma d}, \qquad \gamma = \frac{t}{\beta\,y},
\end{equation}
dont la pente logarithmique $\gamma$ est le rapport du coût annuel d'un kilomètre de distance à la dépense de logement d'un ménage résidant au centre. Cette forme exponentielle est celle que l'on estime en pratique par la régression de $\ln P$ sur la distance (\cref{sec:5:exemple}) ; l'\cref{eq:5:prix} montre qu'elle n'est qu'une approximation, qui sous-estime la chute du prix aux grandes distances. La \emph{demi-distance} $\ln 2/\gamma$, distance qui divise le prix par deux, résume la pente d'un gradient de façon parlante.

Le prix du logement n'est pas encore la rente du sol. Dans le modèle de \textcite{muth1969} et de \textcite{mills1967}, les promoteurs produisent du plancher de logement $H$ en combinant du terrain $L$ et du capital $K$ selon une fonction de production à rendements constants, par exemple $H = A\,L^{\alpha} K^{1-\alpha}$, où $\alpha$ est la part du sol dans le coût de production. Le coût unitaire minimal de production est alors $c(r, \rho) = \kappa\, r^{\alpha} \rho^{1-\alpha}$, où $r$ est la rente du sol, $\rho$ le coût du capital et $\kappa$ une constante ; la concurrence entre promoteurs impose un profit nul, $p(d) = c(r(d), \rho)$, d'où, le coût du capital étant le même partout,
\begin{equation}\label{eq:5:rente-prix}
\frac{r(d)}{r_0} = \left(\frac{p(d)}{p_0}\right)^{1/\alpha}.
\end{equation}

\begin{proposition}{Effet de levier de la rente du sol}{levier}
Sous la technique de Cobb-Douglas, l'élasticité de la rente du sol par rapport au prix du logement est $1/\alpha > 1$. Le gradient de rente du sol est donc $1/\alpha$ fois plus pentu que le gradient de prix du logement, et toute variation du prix du logement se répercute sur la rente du sol en proportion $1/\alpha$.
\end{proposition}
\begin{proof}
De $p = \kappa\, r^{\alpha} \rho^{1-\alpha}$ on tire $\ln r = (\ln p - \ln \kappa - (1-\alpha)\ln\rho)/\alpha$, donc $\dd \ln r / \dd \ln p = 1/\alpha$. En différenciant par rapport à $d$, $\dd \ln r/\dd d = (1/\alpha)\,\dd \ln p/\dd d$.
\end{proof}

Avec une part du sol de 30 \% dans le coût de production, courante pour des maisons de banlieue, l'élasticité vaut $1/0{,}30 = 3{,}33$ : une hausse de 10 \% du prix des logements élève la rente du sol de $1{,}10^{3{,}33} - 1 = 37{,}4$ \%. La \cref{sec:5:residu} montre que cet effet de levier est la version « production » de la propriété résiduelle de Ricardo, et qu'il se retrouve, à l'identique, dans la méthode du coût.

La même technique explique le \motcle{gradient de densité}. Le promoteur substitue du capital au sol là où le sol est cher : l'intensité de plancher par mètre carré de terrain croît avec la rente, $H/L \propto r^{(1-\alpha)/\alpha}$, et le nombre de ménages par unité de terrain est le rapport de cette intensité à la consommation de logement par ménage $q(d) = \beta\,(y - t d)/p(d)$ :
\begin{equation}\label{eq:5:densite}
\frac{D(d)}{D_0} = \left(\frac{p(d)}{p_0}\right)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}} \frac{q(0)}{q(d)} = \left(\frac{p(d)}{p_0}\right)^{1/\alpha} \frac{y}{y - t\,d} .
\end{equation}
La densité décroît donc encore plus vite que la rente du sol, puisque les ménages éloignés consomment en outre plus d'espace. Les tours du centre et les bungalows de la périphérie ne sont pas deux cultures mais deux réponses de la même technique à des prix du sol différents.

\subsection{La frontière urbaine et la taille de la ville}

La ville s'arrête là où la rente que le logement peut offrir cesse de dépasser la rente alternative $r_a$, agricole ou forestière, coût de conversion compris. En égalant $r(\bar d) = r_a$ dans l'\cref{eq:5:rente-prix} et en substituant l'\cref{eq:5:prix}, on obtient la frontière
\begin{equation}\label{eq:5:frontiere}
\bar d = \frac{y}{t}\left[1 - \left(\frac{r_a}{r_0}\right)^{\alpha\beta}\right],
\end{equation}
qui recule lorsque le revenu augmente ou que le coût de transport baisse, et avance lorsque la rente alternative monte. Dans la version « fermée » du modèle, la population $N$ est donnée et la rente centrale $r_0$ s'ajuste pour que la ville loge tout le monde : $N = \int_0^{\bar d} D(d)\,2\pi d\,\dd d$ ; dans la version « ouverte », l'utilité est fixée par les autres villes et c'est la population qui s'ajuste. Le \cref{tab:5:params} donne les paramètres d'une simulation pédagogique et quelques valeurs calculées ; la \cref{fig:5:gradient} en trace les gradients.

\begin{table}[tbp]
\caption{Simulation du modèle monocentrique : paramètres déclarés et grandeurs calculées. Les paramètres sont des hypothèses pédagogiques d'ordre de grandeur, non des estimations.}\label{tab:5:params}
\centering\small
\begin{tabular}{@{}l S[table-format=5.2] l@{}}
\toprule
Paramètre ou résultat & {Valeur} & Unité \\
\midrule
Revenu annuel du ménage $y$ & 80000 & \$/an \\
Coût annuel d'un kilomètre de distance au centre $t$ & 700 & \$/km/an \\
Part du revenu net de transport consacrée au logement $\beta$ & 0.30 & --- \\
Part du sol dans le coût de production du logement $\alpha$ & 0.30 & --- \\
Prix du service de logement au centre $p_0$ & 260 & \$/m\textsuperscript{2}/an \\
Rente du sol au centre $r_0$ & 80 & \$/m\textsuperscript{2}/an \\
Rente alternative à la frontière $r_a$ & 2 & \$/m\textsuperscript{2}/an \\
Taux de capitalisation des rentes $i$ & 0.05 & --- \\
\midrule
Gradient exponentiel au centre $\gamma = t/(\beta y)$ & 0.0292 & par km (2,92 \%/km) \\
Demi-distance du prix $\ln 2/\gamma$ & 23.8 & km \\
Frontière urbaine $\bar d$ & 32.29 & km \\
Prix du logement à 10 km, exact / exponentiel & 191.61 & \$/m\textsuperscript{2}/an (194,22 ; écart +1,4 \%) \\
Prix du logement à 25 km, exact / exponentiel & 114.18 & \$/m\textsuperscript{2}/an (125,40 ; écart +9,8 \%) \\
Logement consommé par ménage à 0 / 10 / 32,3 km & 92.3 & m\textsuperscript{2} (114,3 ; 200,3) \\
Rente du sol à 10 km & 28.92 & \$/m\textsuperscript{2}/an (36 \% de $r_0$) \\
Densité relative à 10 km & 0.396 & --- \\
Valeur du sol au centre $r_0/i$ et à la frontière $r_a/i$ & 1600 & \$/m\textsuperscript{2} (40) \\
Élasticité de la rente du sol au prix du logement $1/\alpha$ & 3.33 & --- \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py} (section \texttt{PARAMS}) ; équations \eqref{eq:5:prix} à \eqref{eq:5:frontiere}.}
\end{table}

\begin{figure}[tbp]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{ch05/ch05-fig-gradient-monocentrique.pdf}
\caption{Le modèle monocentrique simulé. Panneau A : courbes d'enchère linéaires de trois usages et leur enveloppe, qui est la rente de marché ; les usages à forte pente occupent le centre et les frontières entre anneaux (9,5 ; 14,3 ; 32,2 km) sont les intersections. Panneau B : gradients du modèle de Muth--Mills avec les paramètres du \cref{tab:5:params} ; la rente du sol (élasticité $1/\alpha = 3{,}33$) et la densité chutent beaucoup plus vite que le prix du logement, et l'approximation exponentielle surestime le prix aux grandes distances.}\label{fig:5:gradient}
\figsource{simulation, script \texttt{analysis/python/figures/ch05\_gradient.py}, paramètres pédagogiques déclarés dans \texttt{ch05\_rente.py} ; aucune donnée observée.}
\end{figure}

La simulation illustre trois faits robustes. Le prix du logement décroît lentement, de 2,9 \% par kilomètre au centre, de sorte qu'il faut près de 24 kilomètres pour le diviser par deux ; la rente du sol, elle, est divisée par presque trois en dix kilomètres, et la valeur du sol passe de \parmsq{1600} au centre à \parmsq{40} à la frontière, un rapport de quarante. La densité suit la rente du sol de près, un peu plus bas encore, parce que les ménages éloignés consomment plus d'espace : 92 m\textsuperscript{2} au centre, 200 m\textsuperscript{2} à la frontière. Enfin, l'approximation exponentielle, excellente à moins de dix kilomètres, s'écarte de 10 \% à vingt-cinq ; les gradients estimés par régression sur l'ensemble d'une agglomération étendue mélangent donc des pentes locales différentes, et il est prudent, comme le fera l'exemple intégral, d'admettre une courbure.

\subsection{Ce que le modèle prédit, et ce qu'il ne prédit pas}

Le modèle monocentrique a été testé sur des centaines de villes et ses prédictions qualitatives sont bien confirmées : les prix du sol, la densité résidentielle et la hauteur des bâtiments décroissent avec la distance au centre historique, les gradients se sont aplatis avec la baisse des coûts de transport au vingtième siècle, et les ménages se trient dans l'espace selon leur revenu et leur valeur du temps, comme le résument \textcite{durantonPuga2015} dans leur synthèse du \emph{Handbook of Regional and Urban Economics}. L'exposition unifiée du modèle de Muth et Mills donnée par Brueckner (1987) dans le même \emph{Handbook} reste la référence pour les dérivations de statique comparative : une hausse du revenu, une baisse du coût de transport ou une hausse de la population élargissent la ville et aplatissent ou relèvent les gradients de manière prévisible, ce qui permet de raisonner sur l'effet d'une nouvelle autoroute, d'une ligne de métro ou d'une hausse des prix de l'essence sur la structure des valeurs.

Trois mécanismes manquent cependant au modèle de base, et ils comptent pour l'évaluateur. Le premier est la durabilité du bâti : les logements construits lorsque la ville était plus petite restent en place lorsqu'elle grandit, et le gradient observé mélange des générations de bâtiments ; \textcite{rosenthalHelsley1994} montrent que la décision de démolir et de reconstruire dépend précisément de l'écart entre la rente du sol courante et la valeur du bâtiment existant, ce qui fait du gradient de prix du sol un gradient de \emph{potentiel de redéveloppement} (\cref{ch:41}). Le deuxième est l'anticipation : dans une ville qui croît, le prix d'un terrain en périphérie incorpore la rente urbaine future, et \textcite{capozzaHelsley1989} décomposent ce prix en quatre composantes que la \cref{sec:5:residu} reprend ; en présence d'incertitude sur la croissance, une prime d'attente s'y ajoute \parencite{capozzaHelsley1990}, et les terrains vacants valent plus que la rente courante capitalisée. Le troisième est la multiplicité des centres d'emploi et des aménités, qui fait l'objet de la \cref{sec:5:polycentrisme}.

\section{Rente résiduelle et valeur du terrain}\label{sec:5:residu}

\subsection{Le terrain comme résidu dans la méthode du coût}

La proposition ricardienne selon laquelle la rente est ce qui reste a une traduction directe en évaluation. Si la valeur marchande d'une propriété bâtie est $V$ et si le bâtiment vaut son coût de remplacement neuf $C_N$ diminué de ses dépréciations $D$ (\cref{ch:21,ch:24}), la valeur du terrain par la \motcle{méthode résiduelle} est
\begin{equation}\label{eq:5:residuelle}
V_L = V - (C_N - D),
\end{equation}
et l'identité de la méthode du coût, $V = V_L + C_N - D$, n'en est que la réécriture. La valeur du terrain hérite alors de la propriété que Ricardo prêtait à la rente : elle est la différence entre deux grandeurs du même ordre, et elle réagit à toute variation de $V$ avec un \motcle{effet de levier} égal au rapport de la valeur totale à la valeur du terrain,
\begin{equation}\label{eq:5:levier}
\frac{\Delta V_L}{V_L} = \frac{V}{V_L}\,\frac{\Delta V}{V}, \qquad \text{à } C_N - D \text{ donné}.
\end{equation}
Pour le sujet du cas 1, dont le coût neuf a été estimé à \dollars{397567} au \cref{ch:21} et dont l'indication brute par comparaison est de \dollars{551029} au \cref{ch:16}, une dépréciation hypothétique de 30 \% laisse un bâtiment déprécié de \dollars{278297} et un terrain résiduel de \dollars{272732}, soit 49,5 \% de la valeur ; le levier $V/V_L$ vaut 2,02. Une baisse de 5 \% de la valeur de la propriété, à bâtiment inchangé, retranche 10,1 \% au terrain ; une baisse de 10 \% lui retranche 20,2 \%. Cet exemple numérique, dont la dépréciation est posée pour les besoins de la démonstration et sera estimée au \cref{ch:24}, dit l'essentiel : la valeur résiduelle d'un terrain est deux fois plus volatile que la valeur de la propriété qui le porte, et l'erreur d'estimation du bâtiment se reporte en entier sur le terrain. La \cref{prop:levier} dit la même chose en termes de production, et les deux approches concordent lorsque la part du terrain dans la valeur est l'inverse de l'élasticité : un terrain qui pèse 30 \% de la valeur a un levier de $1/0{,}30 = 3{,}33$ sur les variations de prix.

\subsection{Le prix du terrain en ville qui croît}

L'\cref{eq:5:capitalisation-rente} ne vaut que pour une rente stationnaire. \textcite{capozzaHelsley1989} montrent que dans une ville dont la population croît à un rythme connu, le prix d'un terrain situé à la distance $d$ se décompose en quatre termes :
\begin{equation}\label{eq:5:capozza}
P_L(d) = \underbrace{\frac{r_a}{i}}_{\text{valeur agricole}} + \underbrace{C}_{\text{coût de conversion}} + \underbrace{\frac{r(d) - r_a}{i}}_{\text{accessibilité}} + \underbrace{\Pi(d)}_{\text{prime de croissance}},
\end{equation}
où la prime de croissance $\Pi(d)$ est la valeur actualisée des hausses de rente que la croissance de la ville apportera à cet emplacement. Près de la frontière, la composante d'accessibilité est faible et la prime de croissance domine : un terrain agricole en bordure de l'agglomération se vend plusieurs fois sa valeur agricole parce que le marché anticipe sa conversion. Au centre, c'est l'inverse. Dans la simulation du \cref{tab:5:params}, un terrain à dix kilomètres dont la rente urbaine courante est de \parmsq{28.92} vaut $40 + 25 + 538 + 60 = \parmsq{663}$ si l'on pose un coût de conversion de \parmsq{25} et une prime de croissance de \parmsq{60} : l'accessibilité en fait 81 \%. Cette décomposition est le cadre de l'évaluation des terrains de développement (\cref{ch:25,ch:41}) ; elle rappelle qu'un prix de terrain observé en périphérie n'est pas une rente capitalisée mais une option sur une rente future, dont la valeur dépend des anticipations de croissance et du zonage (\cref{ch:08}).

\subsection{La part du terrain dans la valeur des logements}

Les travaux macroéconomiques des vingt dernières années ont réhabilité la rente foncière comme explication première des mouvements de prix immobiliers. \textcite{davisHeathcote2007} construisent, pour les États-Unis, des séries du prix et de la quantité de terrain résidentiel en retranchant de la valeur du parc le coût de remplacement des structures, c'est-à-dire par la méthode résiduelle agrégée de l'\cref{eq:5:residuelle} ; ils trouvent que la part du terrain dans la valeur des logements a fortement augmenté depuis les années 1970 et que la quasi-totalité de la volatilité des prix des logements provient du prix du terrain, la structure se comportant comme un bien reproductible dont le prix suit les coûts de construction. \textcite{knollSchularickSteger2017}, sur quatorze pays avancés de 1870 à 2012, attribuent environ 80 \% de la hausse des prix réels des logements depuis 1950 à la hausse du prix des terrains. \textcite{albouyEhrlichShin2018} estiment les valeurs foncières des métropoles américaines à partir de ventes de terrains et montrent que la part du terrain varie fortement d'une agglomération à l'autre et croît avec la taille et la productivité de la métropole, ce qui est exactement ce que prédit le modèle monocentrique en version ouverte : la rente du sol est le prix d'accès à une ville productive.

Pour l'évaluateur québécois, ces résultats ont deux conséquences. D'abord, la répartition terrain--bâtiment d'une propriété n'est pas une convention comptable : elle gouverne la volatilité attendue de la valeur, et une propriété dont le terrain pèse 60 \% de la valeur réagira à un retournement du marché bien plus qu'une propriété où il pèse 25 \%. Ensuite, le rôle d'évaluation foncière, qui inscrit séparément la valeur du terrain et celle du bâtiment de chaque unité (\cref{ch:09}), offre une source précieuse pour mesurer la part du terrain par quartier ; les données ouvertes du rôle permettent cette analyse à l'échelle des municipalités \parencite{dqroles}, avec les précautions du \cref{ch:21} sur la date de référence et sur le fait que la valeur du bâtiment au rôle est un coût déprécié de barème.

\begin{pratique}
La méthode résiduelle est la plus sensible des méthodes d'évaluation du terrain, et c'est pourquoi la pratique professionnelle lui préfère la comparaison directe avec des ventes de terrains vacants lorsqu'elles existent \parencite{appraisal2026}. Lorsqu'on y recourt faute de ventes, trois précautions s'imposent : documenter la dépréciation du bâtiment avec le plus grand soin, puisque toute erreur s'y reporte en entier sur le terrain ; présenter une fourchette de valeur du terrain plutôt qu'un point, en faisant varier la dépréciation ; et vérifier que le ratio terrain--valeur obtenu est cohérent avec celui du voisinage au rôle et avec les ventes de terrains des secteurs comparables. Le \cref{ch:25} détaille ces vérifications.
\end{pratique}

\section{Aménités, externalités et capitalisation}\label{sec:5:amenites}

Le modèle monocentrique n'explique le prix du sol que par l'accès au centre. Or deux terrains à même distance du centre se vendent à des prix très différents selon qu'ils donnent sur un parc ou sur une autoroute, selon la qualité de l'école de quartier, selon qu'ils sont ou non en zone inondable. Ces caractéristiques de l'emplacement, qu'on appelle \motcle{aménités} lorsqu'elles sont désirables et \motcle{externalités} négatives lorsqu'elles ne le sont pas, entrent dans la rente par le même mécanisme que l'accessibilité : à l'équilibre spatial, deux emplacements offrant la même utilité doivent se louer à des prix qui compensent exactement leurs différences d'aménités. Si l'on note $a$ le vecteur des aménités d'un emplacement et $R(a, d)$ la rente qui y prévaut, la condition d'équilibre spatial étendue s'écrit $\dd R = -\,(\partial u/\partial a)/(\lambda q)\,\dd a$ le long d'une courbe d'indifférence, et la valeur du terrain se décompose en
\begin{equation}\label{eq:5:amenite}
V_L(a, d) = \frac{R(a, d)}{i - g}, \qquad \frac{\partial V_L}{\partial a_k} = \frac{1}{i - g}\,\frac{\partial R}{\partial a_k} ,
\end{equation}
de sorte que le prix implicite d'une aménité dans une régression hédonique (\cref{ch:18}) est la \emph{capitalisation} de la disposition annuelle à payer pour cette aménité. \textcite{rosen1974} a donné à ce raisonnement son cadre général : la fonction de prix hédonique est l'enveloppe des enchères des acheteurs et des offres des vendeurs pour chaque caractéristique, et l'aménité de localisation n'est qu'une caractéristique parmi d'autres du panier de \textcite{lancaster1966}. La différence avec les caractéristiques du bâtiment est que l'aménité ne peut être produite par le propriétaire : son offre est fixée par la géographie ou par la collectivité, et toute hausse de la demande se traduit intégralement en rente.

La \motcle{capitalisation} des biens publics locaux a été mise en évidence par Oates (1969), qui, sur un échantillon de 53 municipalités du New Jersey, trouve qu'à dépenses publiques données, un taux de taxe foncière plus élevé est associé à des valeurs résidentielles plus faibles, et qu'à taux donné, des dépenses scolaires par élève plus élevées sont associées à des valeurs plus fortes ; il y voit une confirmation de l'hypothèse de Tiebout (1956) selon laquelle les ménages « votent avec leurs pieds » en choisissant la municipalité dont le panier de services et de taxes leur convient, de sorte que les différences entre municipalités se reflètent dans les prix des logements. Yinger (1982) a montré que la capitalisation est précisément le mécanisme qui rend ce tri efficace, et qu'elle est complète lorsque l'offre de logements dans chaque municipalité est fixe. Trois enseignements en découlent pour l'évaluateur. Le prix d'une maison incorpore la qualité des services municipaux et scolaires nets des taxes qui les financent ; comparer des ventes de municipalités différentes exige donc un ajustement de localisation qui n'est pas qu'un ajustement de distance. La capitalisation n'est jamais mesurée directement : on l'estime par la différence de prix entre des biens par ailleurs semblables, ce qui suppose que les autres différences soient contrôlées, et c'est tout l'enjeu des modèles des \cref{ch:18,ch:19}. Enfin, le \emph{degré} de capitalisation, noté $\kappa$ dans la suite, est compris entre zéro et un selon la mobilité des ménages, l'élasticité de l'offre de logements et l'horizon des acheteurs ; les études empiriques le situent le plus souvent nettement en deçà de l'unité, et la \cref{sec:5:taxe} en fait un paramètre explicite.

La littérature québécoise a mesuré plusieurs de ces capitalisations sur des données de Québec et de Montréal. \textcite{desrosiersLaganaTheriault2001} estiment l'effet de la taille et de la proximité des écoles primaires sur les prix des maisons de la région de Québec ; \textcite{desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2002} celui de l'aménagement paysager ; \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} séparent les effets d'accessibilité des effets de voisinage dans un modèle hédonique de la région de Québec, ce qui est précisément la décomposition que le modèle monocentrique ignore ; \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006} montrent que le prix implicite de l'accessibilité diffère selon le profil des ménages acheteurs, ce qui est la trace empirique du tri d'Alonso. Pour Montréal, \textcite{dubeTheriaultDesrosiers2013} mesurent la capitalisation de l'accessibilité au train de banlieue sur la Rive-Sud entre 1992 et 2009, et \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014} proposent un estimateur spatial de différences de différences pour isoler l'effet d'un changement de desserte en transport collectif : la capitalisation d'une aménité nouvelle ne se mesure correctement qu'en comparant l'évolution des prix des biens exposés à celle de biens non exposés, avant et après le changement (\cref{ch:36}). Les externalités négatives obéissent à la même logique avec le signe inverse : le \cref{ch:43} traite de la décote des zones inondables et des sites contaminés, et le \cref{ch:38} des outils géomatiques qui permettent de mesurer l'exposition de chaque propriété.

\section{Polycentrisme et accessibilité}\label{sec:5:polycentrisme}

\subsection{Au-delà du centre unique}

Aucune agglomération québécoise n'est monocentrique. Montréal a un centre-ville dominant, mais aussi des pôles d'emploi importants hors du centre, dont les travaux de Coffey et Shearmur sur la répartition intramétropolitaine de l'emploi entre 1981 et 1996 ont documenté la consolidation ; les mêmes auteurs ont comparé la structure polycentrique de Montréal à celles de Toronto, de Vancouver et d'Ottawa--Hull. Québec a un centre historique et administratif sur le promontoire, mais une part considérable de ses emplois et de son commerce se trouve à Sainte-Foy et le long des axes autoroutiers, ce que les modèles hédoniques de la région de Québec cités plus haut prennent en compte par des mesures d'accessibilité à plusieurs destinations plutôt que par la seule distance au centre \parencite{theriaultDesrosiers2011}. Gatineau est le cas le plus instructif : son centre historique à Hull est à moins de deux kilomètres du centre-ville d'Ottawa, de l'autre côté de la rivière, de sorte que la rente foncière des secteurs gatinois reflète l'accès à un marché du travail interprovincial et à des pôles fédéraux situés dans une autre province ; la distance au centre de Hull est alors un indicateur très imparfait de l'accessibilité, et le secteur d'Aylmer, à plus de dix kilomètres, affiche des prix médians supérieurs à ceux de Hull parce qu'il combine proximité de l'ouest d'Ottawa, aménités riveraines et parc de maisons plus récentes et plus grandes \parencite{apciqgatineaut32026}. L'exemple intégral y revient.

\subsection{Mesurer l'accessibilité}

Dans une agglomération à plusieurs centres, la rente d'un emplacement dépend de son accessibilité à l'ensemble des destinations, pondérées par leur importance et dépréciées par la distance ou le temps de déplacement. La mesure la plus courante est l'\motcle{accessibilité gravitaire} :
\begin{equation}\label{eq:5:accessibilite}
A_j = \sum_{k=1}^{K} E_k\, e^{-\lambda\, d_{jk}},
\end{equation}
où $E_k$ est la masse de la destination $k$ (emplois, surfaces commerciales), $d_{jk}$ la distance ou le temps entre l'emplacement $j$ et cette destination, et $\lambda$ un paramètre de friction qui détermine la vitesse à laquelle une destination lointaine perd de son attrait. Le modèle monocentrique est le cas particulier d'une seule destination. La surface de rente devient alors l'enveloppe des surfaces d'enchère de chaque centre, comme à la \cref{fig:5:surface}, et le modèle de prix s'écrit indifféremment avec plusieurs distances ou avec le logarithme de l'accessibilité :
\begin{equation}\label{eq:5:polycentrique}
\ln P_j = \alpha + \mathbf{x}_j\T\boldsymbol\beta - \sum_{k=1}^{K} \gamma_k\, d_{jk} + \varepsilon_j
\qquad\text{ou}\qquad
\ln P_j = \alpha + \mathbf{x}_j\T\boldsymbol\beta + \theta \ln A_j + \varepsilon_j .
\end{equation}
La première forme laisse les données dire quels centres comptent et à quel rythme leur influence décroît ; la seconde impose la pondération par les masses $E_k$ mais n'a qu'un paramètre à estimer. L'une et l'autre supposent connues les destinations et leurs masses, ce que les données d'emploi par secteur de recensement de Statistique Canada permettent d'approcher ; le \cref{ch:38} montre comment calculer des distances-réseau et des temps de déplacement plutôt que des distances à vol d'oiseau, et le \cref{ch:19} comment traiter l'autocorrélation spatiale que laisse tout modèle d'accessibilité imparfait. L'\cref{ex:5:7} compare les deux formes sur un exemple à deux centres.

\begin{figure}[tbp]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{ch05/ch05-fig-surface-rente.pdf}
\caption{Surface de rente foncière d'une agglomération bicentrique simulée : enveloppe de deux surfaces d'enchère exponentielles, l'une autour du centre principal ($r_0 = \parmsq{80}$ par an, $\gamma = 0{,}085$ par km) et l'autre autour d'un sous-centre ($r_0 = \parmsq{36}$ par an, $\gamma = 0{,}13$ par km), au-dessus d'une rente agricole de \parmsq{2} par an. Les courbes de niveau sont les isorentes ; le sous-centre déforme les anneaux et crée un second sommet local, de sorte que la distance au centre principal n'est plus un indicateur suffisant de la rente.}\label{fig:5:surface}
\figsource{simulation, script \texttt{analysis/python/figures/ch05\_surface.py}, paramètres pédagogiques déclarés ; aucune donnée observée.}
\end{figure}

\section{Exemple intégral : gradients de prix à Gatineau et rente interrégionale}\label{sec:5:exemple}

\begin{synthetique}
Les deux jeux de données de cette section sont synthétiques. Le premier est le dossier du cas 1, \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv} : 600 ventes fictives d'unifamiliales réparties dans cinq secteurs de Gatineau (Hull, Gatineau, Aylmer, Buckingham, Masson-Angers) entre janvier 2023 et août 2026, dont la variable \texttt{dist\_centre\_km} mesure la distance à un point de référence fictif situé au centre de Hull. La loi de génération déclarée dans \texttt{data/synthetic/README.md} comprend une prime de secteur calibrée sur le rapport des prix médians APCIQ du troisième trimestre de 2026 et un terme de distance de $-0{,}006 \times \max(d - 3,\ 0)$ en logarithme, ce qui signifie que le gradient que l'on va mesurer est, pour l'essentiel, un gradient \emph{entre secteurs} : c'est une propriété connue du jeu, qui sert ici de pierre de touche pour l'interprétation des coefficients. Le second est le portefeuille du cas 4, \texttt{data/synthetic/cas4\_portefeuille.csv} : 48 immeubles locatifs fictifs répartis dans six régions métropolitaines, dont les loyers, taux d'inoccupation et taux de capitalisation sont calibrés sur les publications de la SCHL et de CBRE consignées dans \texttt{calibration.json}. Les deux jeux sont produits par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} avec la graine 20261031 ; tous les chiffres de cette section sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch05.py}.
\end{synthetique}

\begin{exemple}{Gradient prix-distance du cas 1 et valeur par logement du cas 4}{gradients}
L'exemple procède en cinq étapes : description du prix par tranche de distance, estimation d'un gradient brut, estimation de gradients contrôlés, lecture du coefficient de distance du modèle hédonique de référence, puis changement d'échelle avec la décomposition interrégionale du cas 4.

\emph{Étape 1 : le prix par tranche de distance.} Le \cref{tab:5:tranches} classe les 600 ventes par tranche de distance au centre de référence. Le prix médian par mètre carré habitable passe de \parmsq{3600} à moins de deux kilomètres à \parmsq{2684} au-delà de vingt kilomètres, mais la décroissance n'est pas monotone : les tranches de 10 à 12 kilomètres, dominées par le secteur d'Aylmer, affichent le prix unitaire le plus élevé de l'échantillon (\parmsq{3714}), et la tranche de 4 à 6 kilomètres, au début du secteur Gatineau, vaut davantage que la tranche de 2 à 4 kilomètres à Hull. La \cref{fig:5:cas1} rend ce profil visible : un plateau légèrement bosselé jusqu'à quinze kilomètres, puis une chute de près d'un quart pour les secteurs de Buckingham et de Masson-Angers, séparés du reste de l'agglomération par une discontinuité de l'urbanisation. On remarque aussi que les terrains de ces secteurs éloignés sont deux fois plus grands (médiane de \msq{1184} contre 515 à \msq{579} ailleurs), conformément à la prédiction du modèle selon laquelle la consommation de sol croît avec la distance.

\emph{Étape 2 : le gradient brut.} La régression du logarithme du prix par mètre carré sur la distance donne un gradient de $-1{,}02$ \% par kilomètre (erreur-type robuste de 0,09 point), avec un $R^2$ de 0,185 : à elle seule, la distance explique moins d'un cinquième de la dispersion du prix unitaire, et le gradient implicite correspond à une demi-distance de 68 kilomètres, incomparablement plus plate que celle de la simulation de la \cref{sec:5:monocentrique}. Ce gradient brut mélange l'effet de la distance et celui des caractéristiques qui varient avec elle : âge, taille, qualité, type de bâtiment.

\emph{Étape 3 : les gradients contrôlés.} Le \cref{tab:5:gradients} compare quatre spécifications qui ajoutent à la distance les caractéristiques du modèle hédonique de référence du cas 1 (superficies habitable et de terrain en logarithme, âge et son carré, qualité, garage, sous-sol, piscine, type, tendance temporelle), mais sans indicatrices de secteur. Sur l'ensemble des 600 ventes, la distance linéaire reçoit un coefficient de $-1{,}08$ \% par kilomètre (erreur-type 0,07 point) et le $R^2$ monte à 0,759 : le contrôle des caractéristiques ne change guère la pente, mais la précise. Restreinte à l'aire urbaine contiguë, c'est-à-dire aux 511 ventes à moins de seize kilomètres (Hull, Gatineau, Aylmer), la même spécification donne un coefficient \emph{positif} de $+0{,}27$ \% par kilomètre (erreur-type 0,10 point) : à l'intérieur de l'agglomération, les prix ne baissent pas avec la distance au centre de Hull, parce que le secteur le plus éloigné est aussi le plus cher. La spécification quadratique sur l'ensemble des ventes réconcilie les deux résultats : le coefficient linéaire est de $+0{,}90$ \% par kilomètre et le coefficient du carré de la distance de $-0{,}070$ \% par kilomètre carré, ce qui situe le maximum du profil de prix à 6,5 kilomètres et donne une pente de $-0{,}49$ \% par kilomètre à dix kilomètres et de $-1{,}89$ \% par kilomètre à vingt. Le gradient monocentrique n'apparaît qu'à l'échelle de l'agglomération élargie, et il est une moyenne entre un plateau urbain et une discontinuité périurbaine.

\emph{Étape 4 : le coefficient de distance du modèle de référence.} Le modèle hédonique de référence du cas 1 (\texttt{traite.cas1.hedonique}), qui comprend des indicatrices de secteur et la distance au-delà de trois kilomètres, attribue à cette dernière un coefficient de $-0{,}36$ \% par kilomètre avec une erreur-type de 0,27 point ($t = -1{,}35$) : il n'est pas statistiquement distinct de zéro. Les indicatrices de secteur, elles, sont nettes : $-2{,}2$ \% pour le secteur Gatineau, $+8{,}9$ \% pour Aylmer, $-22{,}1$ \% pour Buckingham et $-23{,}1$ \% pour Masson-Angers par rapport à Hull. La leçon n'est pas que la distance ne compte pas, mais que les secteurs \emph{sont} des tranches de distance : les médianes de distance des cinq secteurs s'échelonnent de 1,6 à 29,2 kilomètres, et les indicatrices absorbent la quasi-totalité de l'information que porte la distance. Le gradient implicite entre les médianes de prix et de distance des secteurs Hull et Gatineau est de $-0{,}35$ \% par kilomètre, et celui entre Hull et Buckingham de $-0{,}97$ \% par kilomètre. Un évaluateur qui lirait le coefficient de distance du modèle de référence comme « l'effet de la localisation » commettrait donc un contresens : l'effet de la localisation est la somme de l'effet de secteur et de l'effet de distance résiduel, et c'est cette somme que les ajustements de localisation du \cref{ch:17} doivent reproduire. Pour le sujet, situé à 2,1 kilomètres dans le secteur de Hull, l'effet de distance résiduel est nul et l'ajustement de localisation se réduit aux écarts de secteur. À titre d'ordre de grandeur, le gradient contrôlé de $-1{,}08$ \% par kilomètre, appliqué à l'indication brute de \dollars{551029} du \cref{ch:16}, vaut environ \dollars{5969} par kilomètre, et un déplacement de cinq kilomètres vers la périphérie, à secteur inchangé, retrancherait \dollars{29050}.

\emph{Étape 5 : la rente interrégionale du cas 4.} Le même raisonnement s'applique à l'échelle des régions métropolitaines. Le \cref{tab:5:rmr} et la \cref{fig:5:rmr} donnent, pour les 48 immeubles du portefeuille, la valeur par logement de chaque RMR et sa décomposition entre le revenu net par logement et le taux de capitalisation pondéré, selon l'identité $\ln(V/n) = \ln(\NOI/n) - \ln R$. La valeur par logement va de \dollars{206237} à Montréal à \dollars{101969} au Saguenay, un rapport de deux pour un. L'écart logarithmique avec Montréal se partage, pour Québec, à parts à peu près égales entre un revenu net par logement plus faible ($-0{,}248$) et un taux de capitalisation plus élevé ($-0{,}249$) ; pour Sherbrooke et Trois-Rivières, le taux pèse pour 60 \% ; pour le Saguenay, l'écart de $-0{,}704$ se partage également. Gatineau fait exception : son revenu net par logement est supérieur à celui de Montréal ($+0{,}077$), mais un taux de capitalisation plus élevé ($-0{,}190$) ramène sa valeur par logement sous celle de Montréal. La rente interrégionale a donc deux visages, que l'économie urbaine distingue soigneusement : l'écart de \emph{rente courante} (les loyers nets, qui reflètent la productivité et les aménités de la région) et l'écart de \emph{taux} (qui reflète les anticipations de croissance, la liquidité et le risque perçu). Dans le jeu synthétique, les deux sont calibrés sur les loyers de la SCHL et sur les fourchettes de taux publiées pour Montréal et Québec, les autres RMR recevant des taux provisoires signalés comme non vérifiés dans \texttt{calibration.json} ; les valeurs par logement qui en résultent ne décrivent aucun marché réel mais illustrent la mécanique de l'\cref{eq:5:capitalisation-rente} à l'échelle des régions, que le \cref{ch:48} développe.
\end{exemple}

\begin{table}[tbp]
\caption{Cas 1 : ventes par tranche de distance au centre de référence (données synthétiques). Prix et superficies médians ; le secteur dominant est le plus fréquent dans la tranche.}\label{tab:5:tranches}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}
\begin{tabular}{@{}l S[table-format=3.0] S[table-format=2.2] S[table-format=6.0] S[table-format=4.0] S[table-format=3.0] S[table-format=4.0] l@{}}
\toprule
Tranche (km) & {$n$} & {Dist. méd. (km)} & {Prix méd. (\$)} & {Prix/m\textsuperscript{2} (\$)} & {Hab. (m\textsuperscript{2})} & {Terrain (m\textsuperscript{2})} & Secteur dominant \\
\midrule
0 à 2 & 116 & 1.21 & 493000 & 3600 & 138 & 536 & Hull \\
2 à 4 & 67 & 2.65 & 492500 & 3409 & 145 & 579 & Hull \\
4 à 6 & 37 & 5.37 & 473000 & 3571 & 132 & 567 & Gatineau \\
6 à 8 & 97 & 7.13 & 489500 & 3396 & 140 & 515 & Gatineau \\
8 à 10 & 100 & 8.98 & 497250 & 3534 & 140 & 561 & Gatineau \\
10 à 12 & 64 & 10.92 & 548000 & 3714 & 149 & 546 & Aylmer \\
12 à 20 & 30 & 13.02 & 523250 & 3514 & 147 & 521 & Aylmer \\
20 et plus & 89 & 28.07 & 371000 & 2684 & 145 & 1184 & Masson-Angers \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py}, fonction \texttt{tranches\_distance}, graine 20261031}.}
\end{table}

\begin{table}[tbp]
\caption{Cas 1 : le gradient prix-distance selon la spécification (données synthétiques). Coefficients de la distance en pourcentage par kilomètre, erreurs-types robustes (HC1) entre parenthèses ; les spécifications contrôlées incluent les caractéristiques du modèle de référence sans indicatrices de secteur.}\label{tab:5:gradients}
\centering\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Y S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=3.0]@{}}
\toprule
Spécification & {Coef. distance (\%/km)} & {(e.-t.)} & {$R^2$} & {$n$} \\
\midrule
Brut : $\ln(P/S)$ sur $d$ & -1.020 & 0.089 & 0.185 & 600 \\
Contrôlé, $d$ linéaire, toutes ventes & -1.083 & 0.067 & 0.759 & 600 \\
Contrôlé, $d$ linéaire, aire urbaine contiguë ($d \le 16$ km) & 0.266 & 0.103 & 0.771 & 511 \\
Contrôlé, $d$ quadratique : terme linéaire & 0.900 & 0.169 & 0.808 & 600 \\
\quad terme en $d^2$ (\%/km\textsuperscript{2}) & -0.070 & 0.006 & {} & {} \\
\quad pente implicite à 10 km / à 20 km & -0.493 & {} & {} & {} \\
Modèle de référence (secteurs + $\max(d-3, 0)$) : distance & -0.357 & 0.265 & 0.853 & 600 \\
\quad indicatrices de secteur (réf. Hull) : Gatineau / Aylmer & -2.2 & {} & {} & {} \\
\quad Buckingham / Masson-Angers (effet en \%) & -22.1 & {} & {} & {} \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py}, fonction \texttt{gradients\_cas1} ; modèle de référence \texttt{traite.cas1.hedonique}}. Pente à 20 km : $-1{,}89$ \%/km ; effets de secteur : Aylmer $+8{,}9$ \%, Masson-Angers $-23{,}1$ \%.}
\end{table}

\begin{figure}[tbp]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{ch05/ch05-fig-prix-distance-cas1.pdf}
\caption{Prix par mètre carré habitable et distance au centre de référence pour les 600 ventes du cas 1, médianes par tranche de distance et gradient exponentiel ajusté sur l'ensemble ($-1{,}02$ \% par km). Le profil n'est pas monotone : plateau sur l'aire urbaine contiguë, sommet local dans le secteur d'Aylmer vers 11 km, puis chute pour les secteurs de Buckingham et de Masson-Angers au-delà de 20 km. Le gradient n'est identifié que par la variation entre secteurs.}\label{fig:5:cas1}
\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch05\_cas1\_distance.py}, graine 20261031}.}
\end{figure}

\begin{table}[tbp]
\caption{Cas 4 : valeur par logement par région métropolitaine et décomposition de l'écart avec Montréal (données synthétiques, 48 immeubles, 2026). Écarts en logarithme : $\Delta\ln(V/n) = \Delta\ln(\NOI/n) - \Delta\ln R$.}\label{tab:5:rmr}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}
\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=3.0] S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=1.2] S[table-format=-1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=-1.3]@{}}
\toprule
RMR & {Imm.} & {Log.} & {Valeur/log. (\$)} & {RNE/log. (\$/an)} & {Taux (\%)} & {Écart total} & {dont RNE} & {dont taux} \\
\midrule
Montréal & 17 & 316 & 206237 & 9270 & 4.49 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
Gatineau & 8 & 110 & 184173 & 10011 & 5.44 & -0.113 & 0.077 & -0.190 \\
Sherbrooke & 7 & 132 & 137364 & 7884 & 5.74 & -0.406 & -0.162 & -0.244 \\
Québec & 6 & 200 & 125455 & 7237 & 5.77 & -0.497 & -0.248 & -0.249 \\
Trois-Rivières & 6 & 98 & 116806 & 7345 & 6.29 & -0.569 & -0.233 & -0.336 \\
Saguenay & 4 & 32 & 101969 & 6520 & 6.39 & -0.704 & -0.352 & -0.352 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas4.sommaire} et \texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py}, fonction \texttt{decomposition\_rmr}, graine 20261031}. Taux : taux global pondéré par la valeur ($\sum \NOI / \sum V$).}
\end{table}

\begin{figure}[tbp]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{ch05/ch05-fig-valeur-logement-rmr.pdf}
\caption{Cas 4 : valeur par logement et taux global pondéré par RMR (panneau A) et décomposition de l'écart logarithmique avec Montréal entre l'effet du revenu net par logement et l'effet du taux de capitalisation (panneau B). Le taux explique au moins la moitié de l'écart dans toutes les régions ; Gatineau a un revenu net par logement supérieur à celui de Montréal mais un taux plus élevé.}\label{fig:5:rmr}
\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch05\_rmr.py}, graine 20261031}.}
\end{figure}

\section{Taxe foncière et capitalisation}\label{sec:5:taxe}

\subsection{La taxe comme rente négative}

La taxe foncière est la plus importante des charges qui pèsent sur la rente, et la seule qui soit proportionnelle à la valeur elle-même. Soit $R_b$ la rente annuelle d'une propriété avant taxe foncière et $\tau$ le taux effectif de taxe, exprimé en proportion de la valeur marchande. La rente nette est $R_b - \tau V$, et sa capitalisation au taux $i$, net de taxe, donne $V = (R_b - \tau V)/i$, soit
\begin{equation}\label{eq:5:taxe}
V = \frac{R_b}{i + \tau} .
\end{equation}
La taxe agit donc comme un supplément de taux de capitalisation : une propriété dont la rente brute est capitalisée à 5 \% dans une municipalité sans taxe l'est à 5,75 \% dans une municipalité qui prélève 0,75 \% de la valeur, et vaut 13 \% de moins. L'\cref{eq:5:taxe} est l'expression statique du coût d'usage du logement introduit au \cref{ch:03}, $u = P\,(i + \tau + \delta - g)$, dans lequel la taxe foncière est l'une des composantes du coût annuel de détention \parencite{poterba1984,himmelbergMayerSinai2005} ; avec un taux hypothécaire de 4,12 \%, une dépréciation de 1,5 \%, une croissance anticipée de 2 \% et le taux effectif de Gatineau estimé plus bas, la taxe représente 14 \% du coût d'usage d'un propriétaire occupant.

\begin{proposition}{Capitalisation d'un changement de taxe}{capitalisation}
Si le taux de taxe passe de $\tau_0$ à $\tau_1$ sans que la rente brute $R_b$ ni le taux $i$ changent, la valeur passe de $V_0 = R_b/(i + \tau_0)$ à $V_1 = R_b/(i + \tau_1)$ et la variation vaut exactement
\begin{equation}\label{eq:5:deltaV}
\Delta V = V_1 - V_0 = -\,\frac{\Delta T}{i + \tau_1}, \qquad \Delta T = (\tau_1 - \tau_0)\,V_0 ,
\end{equation}
où $\Delta T$ est le supplément de taxe annuel calculé sur la valeur initiale. Si l'on note $r = i + \tau_1$ le taux de capitalisation de la rente \emph{avant} taxe et $\kappa \in [0, 1]$ le degré de capitalisation observé sur le marché,
\begin{equation}\label{eq:5:deltaV-approx}
\Delta V = -\,\kappa\,\frac{\Delta T}{r} .
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{proof}
$V_1 - V_0 = R_b\,[(i+\tau_0) - (i+\tau_1)]/[(i+\tau_0)(i+\tau_1)] = -R_b\,(\tau_1 - \tau_0)/[(i+\tau_0)(i+\tau_1)]$ ; comme $R_b/(i+\tau_0) = V_0$, il vient $\Delta V = -(\tau_1 - \tau_0)\,V_0/(i+\tau_1) = -\Delta T/(i+\tau_1)$. L'\cref{eq:5:deltaV-approx} introduit le degré de capitalisation comme facteur multiplicatif.
\end{proof}

Le choix du taux au dénominateur n'est pas un détail. Lorsque l'évaluateur extrait un taux de capitalisation de ventes d'immeubles de revenu dont les dépenses d'exploitation comprennent les taxes foncières, comme c'est l'usage au Québec (\cref{ch:28,ch:29}), le taux obtenu est $i$, net de taxe ; appliquer $-\Delta T/i$ surestime alors la perte de valeur d'un facteur $(i + \tau_1)/i$, soit 16 \% pour $i = 5$ \% et $\tau_1 = 0{,}8$ \%. La formule $\Delta V = -\Delta T/r$ est exacte si $r$ est le taux sur la rente avant taxe, et approximative, par excès, si $r$ est le taux net. Le degré de capitalisation $\kappa$ traduit, lui, ce que la \cref{sec:5:amenites} a expliqué : une hausse de taxe qui finance des services valorisés par les acheteurs est en partie compensée, et une hausse perçue comme temporaire l'est aussi ; les études à la suite d'Oates (1969) trouvent le plus souvent une capitalisation partielle, et l'évaluateur qui raisonne sur un écart de taxe entre deux municipalités doit se demander ce que l'écart achète avant de le capitaliser en entier.

\subsection{Taux nominal, taux effectif et facteur comparatif}

Le taux de taxe que publie une municipalité s'applique à la valeur inscrite au rôle, non à la valeur marchande du jour. Si $F$ est le \motcle{facteur comparatif} du rôle, inverse de la proportion médiane, de sorte que la valeur marchande à la date de référence s'approche par $V = F \times V_{\text{rôle}}$ (\cref{ch:09}), le taux effectif sur la valeur marchande est
\begin{equation}\label{eq:5:effectif}
\tau_{\text{eff}} = \frac{T}{V} = \frac{\tau_{\text{rôle}}\, V_{\text{rôle}}}{F\,V_{\text{rôle}}} = \frac{\tau_{\text{rôle}}}{F} .
\end{equation}
Comparer les taux nominaux de deux villes dont les rôles ont des dates de référence différentes n'a donc guère de sens : une ville dont le rôle date de trois ans dans un marché en hausse de 10 \% par année affiche un taux nominal élevé pour un taux effectif modeste. Il faut en outre tenir compte des tarifications par logement (eau, matières résiduelles) qui ne dépendent pas de la valeur et agissent comme une taxe forfaitaire, et des taxes sectorielles ou d'arrondissement qui s'ajoutent au taux général.

\begin{quebec}[Taux de taxe foncière 2026 et capitalisation]
Au Québec, la taxe foncière générale est imposée sur la valeur inscrite au rôle triennal, dont la valeur réelle est établie aux conditions du marché du 1\ier{} juillet du deuxième exercice précédant l'entrée en vigueur \parencite[art.~42 à 46]{lfm}. La Loi sur la fiscalité municipale permet des taux variés par catégorie d'immeubles (non résidentiels, industriels, terrains vagues desservis, agricoles, forestiers, résiduelle), le taux de base étant celui de la catégorie résiduelle, et une sous-catégorie de six logements et plus peut recevoir un taux distinct ; le taux des terrains vagues desservis peut atteindre le quadruple du taux de base, ce qui est une pénalité explicite à la rétention spéculative de terrains \parencite[art.~244.29 à 244.49]{lfm}. L'évaluateur municipal établit la proportion médiane du rôle et son facteur comparatif, inscrits sur l'avis d'évaluation \parencite[art.~264]{lfm}. La taxe scolaire, uniforme dans la province, s'ajoute au taux de 0,07899 \$ par 100 \$ d'évaluation uniformisée ajustée pour 2026-2027, sur la partie de la valeur qui excède 25 000 \$ \parencite[art.~303 à 303.6]{lip} ; ce taux est connu par les communiqués des centres de services scolaires \parencite{taxescolaire2026}.

Le \cref{tab:5:taux} réunit les taux résidentiels 2026 des trois villes des cas de l'ouvrage. Québec impose 0,7464 \$ par 100 \$ aux immeubles de un à cinq logements et 0,7697 \$ à ceux de six logements et plus, sur un rôle 2025-2027 dont la date de référence est le 1\ier{} juillet 2023 \parencite{vqtaux2026}. Gatineau a un taux de base de 5,224 \$ par 1 000 \$, soit 0,5224 \$ par 100 \$, et le règlement d'imposition prévoit, à son annexe I, des taux de taxe générale résidentielle distincts par unité de voisinage \parencite{gatineaureglement994} ; selon le dépouillement de cette annexe consigné dans les notes de calibration du dépôt, ces taux s'échelonnent de 1,613 à 7,544 \$ par 1 000 \$ (médiane 5,233), une différenciation intramunicipale de la taxe que l'\cref{eq:5:deltaV} invite à capitaliser lorsqu'on compare deux ventes de secteurs différents. Le facteur comparatif de Gatineau pour 2026 est 1,02 \parencite{gatmutations}, d'où un taux effectif de $0{,}5224/1{,}02 = 0{,}5122$ \$ par 100 \$ de valeur marchande à la date de référence. Pour Montréal, la page officielle des taux 2026 renvoie à un document que les outils de ce dépôt n'ont pas pu lire \parencite{mtltaux2026} ; une source secondaire rapporte une taxe foncière générale résidentielle de 0,4631 \$ par 100 \$, à laquelle s'ajoutent les taxes d'arrondissement \parencite{ledevoirmtl2026}, sur un rôle 2026-2028 dont le facteur comparatif est 1,00 \parencite{mtlmutations2026}. Ces taux sont des taux nominaux : seule la conversion de l'\cref{eq:5:effectif}, et la prise en compte des tarifications et des taxes locales, permet de comparer la charge fiscale réelle de propriétés situées dans des villes différentes, et seule la connaissance des services financés permet de décider quelle part de l'écart capitaliser. Le \cref{ch:09} reprend ces règles du point de vue de la contestation du rôle.
\end{quebec}

\begin{table}[tbp]
\caption{Taux de taxe foncière résidentielle 2026 des trois villes des cas, par 100 \$ d'évaluation, et statut de vérification.}\label{tab:5:taux}
\centering\footnotesize
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}>{\raggedright\arraybackslash}p{34mm} S[table-format=1.5] Y Y@{}}
\toprule
Ville et catégorie & {Taux (\$/100 \$)} & Rôle, date de référence, facteur comparatif 2026 & Statut de vérification \\
\midrule
Québec, 1 à 5 logements & 0.7464 & Rôle 2025-2027, marché au 1\ier{} juillet 2023 ; facteur non consulté & Vérifié (règlement R.V.Q. 3492) \\
Québec, 6 logements et plus & 0.7697 & Idem & Vérifié \\
Gatineau, taux de base & 0.5224 & Rôle 2024-2026 (rôle 2027-2029 déposé) ; facteur 1,02 & Vérifié (règlement 994-2025) ; taux par unité de voisinage à l'annexe~I \\
Montréal, taxe foncière générale résidentielle & 0.4631 & Rôle 2026-2028, marché au 1\ier{} juillet 2024 ; facteur 1,00 & Partiellement vérifié (source secondaire ; taxes d'arrondissement en sus) \\
Taxe scolaire 2026-2027 (toute la province) & 0.07899 & Évaluation uniformisée ajustée ; exemption de 25~000~\$ & Partiellement vérifié (communiqué d'un centre de services scolaire) \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{\textcite{vqtaux2026,gatineaureglement994,gatmutations,ledevoirmtl2026,mtltaux2026,mtlmutations2026,taxescolaire2026}, consultés le 31 octobre 2026 ; voir \texttt{verification/chapters/ch05-claims.csv}.}
\end{table}

\subsection{Analyse de sensibilité : que vaut un écart de taxe ?}\label{sec:5:sensibilite}

Pour mesurer ce que l'\cref{eq:5:deltaV} implique, considérons une propriété de \dollars{500000} soumise à un taux effectif initial de 0,70 \% et un taux de capitalisation net $i$ de 5 \%. Un écart de 10 points de base de la valeur (0,10 \$ par 100 \$) représente \dollars{500} de taxe par année ; capitalisé par l'approximation $-\Delta T/i$, il vaut \dollars{10000}, et par la formule exacte \dollars{8621}, soit 1,72 \% de la valeur ; avec un degré de capitalisation de 60 \%, l'approximation donne \dollars{6000}. L'écart nominal entre le taux de Québec pour un à cinq logements et le taux de base de Gatineau, 22,4 points de base, représente \dollars{1120} par année sur la même propriété, soit \dollars{22400} capitalisés à 5 \% par l'approximation, \dollars{18906} (3,78 \%) par la formule exacte et \dollars{13440} à 60 \% ; mais cet écart nominal ne dit rien de l'écart effectif tant que les facteurs comparatifs, les tarifications et les services ne sont pas pris en compte. À l'autre extrémité, l'écart de 2,3 points de base entre les deux catégories résidentielles de Québec représente, pour un immeuble de six logements et plus valant \dollars{2000000}, \dollars{466} par année et \dollars{8473} capitalisés à 5,5 \%, soit 0,4 \% de la valeur : la sous-catégorie des six logements et plus est, à ce niveau, une charge mineure pour la valeur.

Le \cref{tab:5:sensibilite} et la \cref{fig:5:capitalisation} généralisent ces calculs. La perte de valeur est proportionnelle à l'écart de taux et inversement proportionnelle au taux de capitalisation : à écart donné, elle est 75 \% plus forte lorsque le taux de capitalisation est de 4 \% plutôt que de 7 \%, ce qui signifie que les marchés aux taux bas, comme Montréal dans le cas 4, sont ceux où la fiscalité foncière pèse le plus sur les valeurs. La formule exacte s'écarte de l'approximation d'autant plus que le taux de taxe final est grand par rapport à $i$ ; pour les taux québécois, l'écart est de 14 à 20 \%. Enfin, le degré de capitalisation est le paramètre le plus incertain : entre 0,5 et 1, il fait varier du simple au double l'ajustement qu'un évaluateur appliquerait pour un écart de taxe entre deux comparables.

\begin{table}[tbp]
\caption{Sensibilité de la perte de valeur (\$) à un écart de taux de taxe foncière, pour une propriété de 500 000 \$, selon le taux de capitalisation (approximation $-\Delta T/i$, capitalisation complète). Multiplier par $\kappa$ pour une capitalisation partielle ; diviser par $(i+\tau_1)/i$ pour la formule exacte.}\label{tab:5:sensibilite}
\centering\footnotesize
\begin{tabular}{@{}S[table-format=3.0] S[table-format=5.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=-6.0]@{}}
\toprule
{Écart (pb de la valeur)} & {$\Delta T$ (\$/an)} & {$i = 4$ \%} & {$i = 5$ \%} & {$i = 6$ \%} & {$i = 7$ \%} \\
\midrule
5 & 250 & -6250 & -5000 & -4167 & -3571 \\
10 & 500 & -12500 & -10000 & -8333 & -7143 \\
25 & 1250 & -31250 & -25000 & -20833 & -17857 \\
50 & 2500 & -62500 & -50000 & -41667 & -35714 \\
100 & 5000 & -125000 & -100000 & -83333 & -71429 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py}, fonction \texttt{grille\_capitalisation} ; l'\cref{eq:5:deltaV-approx} avec $\kappa = 1$.}
\end{table}

\begin{figure}[tbp]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{ch05/ch05-fig-capitalisation-taxe.pdf}
\caption{Variation de la valeur, en pourcentage, selon l'écart de taux de taxe foncière (points de base de la valeur marchande), pour quatre taux de capitalisation nets $i$ avec la formule exacte \eqref{eq:5:deltaV}, et, pour $i = 5$ \%, avec une capitalisation à 60 \% et avec l'approximation $-\Delta T/i$. Les lignes verticales repèrent un écart de 10 pb, l'écart nominal entre Québec (1 à 5 logements) et Gatineau (taux de base) en 2026 et un écart de 50 pb.}\label{fig:5:capitalisation}
\figsource{calculs, script \texttt{analysis/python/figures/ch05\_capitalisation.py} ; taux de 2026 du \cref{tab:5:taux} ; aucune donnée de transaction.}
\end{figure}

\begin{erreurs}
\begin{itemize}
\item Lire le coefficient de distance d'un modèle qui contient des indicatrices de secteur comme « l'effet de la localisation » : les secteurs sont des tranches de distance, et l'effet de localisation est la somme des deux termes (\cref{tab:5:gradients}).
\item Supposer que le prix décroît avec la distance au centre dans toute agglomération : à Gatineau, Aylmer est plus éloigné et plus cher que Hull ; à Montréal et à Québec, les sous-centres et les aménités créent des sommets locaux de rente (\cref{fig:5:surface}).
\item Estimer la valeur du terrain par résidu sans mesurer l'incertitude de la dépréciation du bâtiment, alors que le levier $V/V_L$ reporte en entier cette incertitude sur le terrain (\cref{eq:5:levier}).
\item Capitaliser un écart de taxe en entier et au taux net de taxe : la formule exacte divise par $i + \tau_1$, et le degré de capitalisation est généralement inférieur à un lorsque l'écart de taxe finance des services que les acheteurs valorisent.
\item Comparer des taux de taxe nominaux de villes dont les rôles ont des dates de référence différentes, sans conversion par le facteur comparatif ni prise en compte des tarifications et des taxes locales.
\item Confondre la rente (un flux annuel), le prix du terrain (un montant observé) et la valeur du terrain (une estimation), ou traiter le prix d'un terrain périurbain comme une rente courante capitalisée alors qu'il incorpore une prime de croissance et une valeur d'option (\cref{eq:5:capozza}).
\end{itemize}
\end{erreurs}

\begin{limites}
Le modèle monocentrique est un cadre d'interprétation, non un outil d'estimation : ses paramètres simulés au \cref{tab:5:params} sont des hypothèses d'ordre de grandeur et aucun des gradients qu'il produit ne doit être appliqué à un marché réel. Les gradients mesurés à la \cref{sec:5:exemple} proviennent d'un jeu de ventes synthétique dont la loi de génération contient par construction une prime de secteur et un terme de distance faibles ; ils illustrent un problème d'identification, pas la structure réelle des prix de Gatineau. La décomposition interrégionale du cas 4 repose sur des taux de capitalisation provisoires pour quatre des six régions. Les énoncés sur la capitalisation des biens publics locaux (Oates, Tiebout, Yinger) et sur la structure polycentrique de Montréal (Coffey et Shearmur) renvoient à des travaux dont les références complètes, vérifiées, sont consignées dans \texttt{references/lib-ch05.bib} en attendant leur intégration à la bibliographie de l'ouvrage. Le taux de taxe foncière générale de Montréal pour 2026 provient d'une source secondaire et ne comprend pas les taxes d'arrondissement ; la fourchette des taux par unité de voisinage de Gatineau résulte d'un dépouillement non revérifié de l'annexe I du règlement d'imposition ; le facteur comparatif du rôle 2025-2027 de Québec n'a pas été consulté. Enfin, le degré de capitalisation $\kappa$ des écarts de taxe au Québec n'a, à la connaissance de l'auteur, pas fait l'objet d'une estimation publiée récente ; les valeurs de 0,6 et de 1 utilisées dans l'analyse de sensibilité sont des bornes de travail, non des estimations.
\end{limites}

\begin{synthese}
\begin{itemize}
\item La rente foncière est un résidu déterminé par la demande pour ce que l'emplacement permet ; la valeur du terrain est la rente capitalisée, $V_L = R/(i - g)$, et elle dépend autant du taux que de la rente.
\item Le gradient de von Thünen, $R(d) = R_0 - t\,d$, et la condition d'équilibre spatial d'Alonso et Muth, $p'(d) = -T'(d)/q(d)$, expliquent pourquoi les prix, la rente du sol et la densité décroissent avec la distance au centre ; la rente du sol réagit au prix du logement avec une élasticité $1/\alpha > 1$.
\item La valeur du terrain par résidu, $V_L = V - (C_N - D)$, a un effet de levier $V/V_L$ sur toute variation de valeur ; la part du terrain explique l'essentiel de la volatilité des prix des logements.
\item Les aménités, les externalités et les biens publics locaux nets des taxes se capitalisent dans les valeurs ; leur prix implicite hédonique est une disposition à payer annuelle capitalisée, et le degré de capitalisation est inférieur à un.
\item Les agglomérations québécoises sont polycentriques ; l'accessibilité se mesure par plusieurs distances ou par un indice gravitaire, et un coefficient de distance ne s'interprète qu'avec les indicatrices de secteur qui l'accompagnent.
\item Une taxe foncière agit comme un supplément de taux de capitalisation, $V = R_b/(i + \tau)$ ; un écart de taxe $\Delta T$ vaut $-\kappa\,\Delta T/(i + \tau_1)$, et les taux nominaux ne se comparent qu'après conversion par le facteur comparatif.
\end{itemize}
\end{synthese}

\section*{Exercices}
\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\begin{exercice}[1]{Courbes d'enchère de von Thünen}{ex:5:1}
Deux cultures se disputent le sol autour d'un marché. Le maraîchage produit 20 tonnes par hectare vendues 300 \$ la tonne, avec un coût de production de 250 \$ la tonne et un coût de transport de 3 \$ par tonne et par kilomètre ; les grandes cultures produisent 4 tonnes par hectare vendues 500 \$ la tonne, avec un coût de production de 350 \$ la tonne et un transport de 5 \$ par tonne et par kilomètre. Écrivez la courbe d'enchère \eqref{eq:5:thunen} de chaque culture, calculez la rente au centre et la pente, déterminez la frontière entre les deux usages et la distance au-delà de laquelle le sol n'est plus cultivé. Quelle est la valeur d'un hectare au centre si les rentes sont capitalisées à 4 \% ?
\end{exercice}

\begin{exercice}[1]{Capitalisation d'un écart de taxe}{ex:5:2}
Une maison vaut \dollars{500000} dans une municipalité dont le taux effectif de taxe foncière est de 0,70 \% ; la municipalité voisine, aux services identiques, impose 0,80 \%. Calculez le supplément de taxe annuel, puis la différence de valeur attendue par l'approximation \eqref{eq:5:deltaV-approx} avec un taux de capitalisation net de 5 \% et une capitalisation complète, puis avec une capitalisation de 60 \%, puis par la formule exacte \eqref{eq:5:deltaV}. Comment la réponse change-t-elle si le supplément de taxe finance un service que les acheteurs valorisent \dollars{300} par année ?
\end{exercice}

\begin{exercice}[2]{Le gradient de Muth}{ex:5:3}
Avec les paramètres du \cref{tab:5:params} ($y = \dollars{80000}$, $t = 700$ \$/km/an, $\beta = 0{,}30$, $p_0 = 260$ \$/m\textsuperscript{2}/an), calculez le prix du logement à 5 et à 10 kilomètres par l'\cref{eq:5:prix} et par l'approximation exponentielle \eqref{eq:5:exponentiel}, puis la surface de logement consommée par ménage à 0 et à 10 kilomètres. Dérivez l'\cref{eq:5:prix} à partir de la \cref{prop:muth} et expliquez pourquoi l'approximation exponentielle surestime le prix aux grandes distances. Que devient le gradient $\gamma$ si une nouvelle autoroute réduit $t$ de 25 \% ?
\end{exercice}

\begin{exercice}[2]{Levier de la rente et valeur résiduelle}{ex:5:4}
(a) La part du sol dans le coût de production du logement est $\alpha = 0{,}30$. De combien la rente du sol varie-t-elle si le prix des logements monte de 10 \% ? S'il baisse de 10 \% ? (b) Pour le sujet du cas 1, le coût neuf est de \dollars{397567} et la dépréciation est estimée à 30 \% ; l'indication de valeur de la propriété est de \dollars{560000}. Calculez la valeur résiduelle du terrain, le levier $V/V_L$, puis la valeur du terrain si l'indication est révisée à \dollars{532000} ($-5$ \%). (c) Expliquez en quoi les résultats de (a) et de (b) sont deux expressions d'une même propriété.
\end{exercice}

\begin{exercice}[2]{Taux nominal et taux effectif}{ex:5:5}
Trois villes affichent, pour 2026, les taux résidentiels du \cref{tab:5:taux} : Québec 0,7464 \$, Gatineau 0,5224 \$ et Montréal 0,4631 \$ par 100 \$ d'évaluation. Le facteur comparatif est de 1,02 à Gatineau et de 1,00 à Montréal ; on suppose, faute de l'avoir consulté, un facteur de 1,10 à Québec. (a) Calculez le taux effectif \eqref{eq:5:effectif} de chaque ville et la taxe générale d'une propriété de \dollars{500000} de valeur marchande. (b) Capitalisez l'écart effectif entre Québec et Gatineau à 5 \% avec une capitalisation complète et à 60 \%. (c) Énumérez trois raisons pour lesquelles cette capitalisation ne constitue pas un ajustement de localisation admissible entre une vente de Québec et une vente de Gatineau.
\end{exercice}

\begin{exercice}[3]{Identifier un gradient en présence de secteurs}{ex:5:6}
À l'aide du script \texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py} et du jeu \texttt{cas1\_gatineau\_ventes.csv}, reproduisez les quatre spécifications du \cref{tab:5:gradients}. (a) Ajoutez la distance linéaire au modèle de référence \emph{en plus} des indicatrices de secteur et du terme $\max(d-3, 0)$ : que deviennent les coefficients et leurs erreurs-types, et pourquoi ? (b) Estimez le gradient contrôlé séparément pour les ventes de Hull et de Gatineau ($d \le 10$ km) et pour celles d'Aylmer : interprétez les signes. (c) Dans une note de 200 mots, expliquez à un réviseur pourquoi l'effet de localisation qu'il faut ajuster pour un comparable d'Aylmer n'est pas le coefficient de distance, et comment vous le mesureriez.
\end{exercice}

\begin{exercice}[3]{Accessibilité gravitaire à deux centres}{ex:5:7}
Une agglomération compte un centre principal de \num{100000} emplois à l'origine et un sous-centre de \num{30000} emplois au point $(12, 4)$ kilomètres. Trois emplacements résidentiels sont situés en A $(3, 0)$, B $(9, 3)$ et C $(12, -6)$. (a) Calculez l'accessibilité gravitaire \eqref{eq:5:accessibilite} de chaque emplacement avec un paramètre de friction $\lambda = 0{,}10$ par kilomètre, puis avec $\lambda = 0{,}20$, et classez les emplacements. (b) Si l'élasticité du prix à l'accessibilité est $\theta = 0{,}25$ dans la seconde forme de l'\cref{eq:5:polycentrique}, de quel pourcentage le prix diffère-t-il entre A et B, et entre B et C, pour chaque valeur de $\lambda$ ? (c) Montrez qu'avec un seul centre et $\lambda$ donné, la seconde forme de l'\cref{eq:5:polycentrique} se ramène à la première, et discutez ce que l'on perd et ce que l'on gagne à imposer les masses $E_k$ plutôt qu'à estimer un coefficient par distance.
\end{exercice}

\section*{Pour aller plus loin}
\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}

Les textes fondateurs se lisent encore avec profit : le chapitre sur la rente de \textcite{ricardo1817}, les premiers chapitres de \textcite{vonthunen1826} dans la traduction anglaise de Wartenberg, et \textcite{alonso1964}, qui reste la présentation la plus intuitive des courbes d'enchère. \textcite{muth1969} et \textcite{mills1967} donnent au modèle monocentrique sa forme opératoire, avec la production de logement et les gradients de densité ; la synthèse de \textcite{durantonPuga2015} dans le \emph{Handbook of Regional and Urban Economics} présente l'état des tests empiriques et des extensions, dont le polycentrisme et la durabilité du bâti. Sur le prix des terrains en ville qui croît, on lira \textcite{capozzaHelsley1989,capozzaHelsley1990} et \textcite{rosenthalHelsley1994} ; sur la part du terrain dans la valeur et la volatilité des logements, \textcite{davisHeathcote2007}, \textcite{knollSchularickSteger2017} et \textcite{albouyEhrlichShin2018}. \textcite{dipasqualeWheaton1996} relient l'économie urbaine aux marchés immobiliers dans un manuel accessible, et \textcite{rosen1974} fournit le cadre hédonique dans lequel la capitalisation des aménités se mesure. Pour le Québec, les travaux de Des Rosiers, Thériault et leurs collègues sur l'accessibilité et le voisinage à Québec \parencite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000,kestensTheriaultDesrosiers2006,theriaultDesrosiers2011} et ceux de Dubé et ses coauteurs sur la capitalisation du transport collectif à Montréal \parencite{dubeTheriaultDesrosiers2013,dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014} sont les références à consulter avant de spécifier un modèle de localisation ; le \cref{ch:19} en poursuit la lecture.