% Solutions du chapitre 4 — Marchés résidentiels québécois
% Chiffres recalculés par analysis/python/cases/ch04_marches.py (fonction exercices) et vérifiés par analysis/python/tests/test_ch04.py (TestExercices).

\begin{solution}{ex:4:1}{Parts et taux de propriété}
Les types « attenants ou en appartement » sont les six types du \cref{tab:4:parc} autres que la maison individuelle non attenante et le logement mobile : appartements de moins de cinq étages (\num{1242980}), duplex (\num{269415}), appartements de cinq étages ou plus (\num{225795}), maisons jumelées (\num{200495}), maisons en rangée (\num{99205}) et autres maisons attenantes (\num{15405}). Leur somme est de \num{2053295} ménages, soit $2\,053\,295 / 3\,749\,035 = \pct{54.8}$ des ménages québécois, contre \pct{46.2} au Canada. Les propriétaires parmi eux se comptent en appliquant à chaque type son taux de propriété : $261\,130 + 115\,575 + 64\,680 + 163\,140 + 71\,255 + 7\,390 = 683\,170$, d'où un taux de propriété de $683\,170 / 2\,053\,295 = \pct{33.3}$ pour cet ensemble, contre \pct{39.5} au Canada (moyenne pondérée des taux canadiens par type). Le taux global du Québec (\pct{59.9}) est inférieur à celui du Canada (\pct{66.5}) bien que celui des maisons individuelles y soit supérieur (\pct{92.2} contre \pct{89.8}) pour deux raisons qui s'additionnent : un effet de \emph{structure}, puisque la maison individuelle, presque toujours occupée par son propriétaire, ne loge que \pct{44.6} des ménages québécois contre \pct{52.6} des ménages canadiens, et un effet de \emph{comportement} au sein des logements attenants et en appartement, où la propriété est moins fréquente au Québec (\pct{33.3}) qu'au Canada (\pct{39.5}), la copropriété divise étant moins répandue dans les petits immeubles québécois, majoritairement détenus en bloc par un propriétaire. C'est un cas de paradoxe de composition : la comparaison type par type et la comparaison globale ne vont pas dans le même sens.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:4:2}{Mois d'inventaire et délais}
Par l'\cref{eq:4:mois-inventaire}, Sherbrooke : $M = 825 / (569/3) = 825 / 189{,}67 = 4{,}35$ mois ; Trois-Rivières : $M = 447 / (372/3) = 447 / 124 = 3{,}60$ mois. Selon les bornes usuelles (moins de quatre mois : marché de vendeurs ; quatre à six : équilibré ; plus de six : marché d'acheteurs), Trois-Rivières reste un marché de vendeurs et Sherbrooke se situe dans la partie basse de la zone d'équilibre, ce que confirment les hausses de prix médians de 8 \% et 7 \% sur un an rapportées par l'APCIQ pour l'unifamiliale. Si les inscriptions de Sherbrooke augmentaient de 30 \% à ventes constantes, $M = 825 \times 1{,}3 / 189{,}67 = 1\,072{,}5 / 189{,}67 = 5{,}65$ mois : le marché resterait équilibré mais s'approcherait du seuil de six mois, et l'évaluateur devrait s'attendre à un allongement des délais de vente et à une atténuation de l'ajustement positif de conditions du marché. L'indicateur est sensible : une hausse de 30 \% de l'offre fait passer le marché d'une zone à la frontière de la suivante, ce qui montre qu'il faut le lire en tendance et non en niveau.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:4:3}{Variation brute et variation sur logements comparables}
Les \num{19500} logements conservés ont un loyer moyen de $1\,000 \times 1{,}06 = \dollars{1060}$ en octobre 2025 et les \num{1500} logements neufs un loyer de \dollars{1700} ; l'univers compte \num{21000} logements et le loyer moyen vaut
\[
\bar L_{2025} = \frac{19\,500 \times 1\,060 + 1\,500 \times 1\,700}{21\,000} = \frac{20\,670\,000 + 2\,550\,000}{21\,000} = \dollars{1105.71}.
\]
La variation brute, par l'\cref{eq:4:var-brute}, est $1\,105{,}71 / 1\,000 - 1 = \pct{10.57}$ ; la variation sur logements comparables, par l'\cref{eq:4:var-meme}, est de \pct{6.0} puisque les \num{19500} logements présents aux deux dates ont tous augmenté de 6 \% (les 500 logements retirés, loués \dollars{1000} en 2024, ne font pas partie de $\mathcal{S}$). L'écart de 4,6 points est l'effet de composition : il tient entièrement à l'entrée de \num{1500} logements neufs loués 60 \% au-dessus de la moyenne. Pour projeter les revenus d'un immeuble de 1975 dont les locataires sont en place, c'est la variation sur logements comparables (6 \%) qui mesure la croissance effectivement obtenue par les propriétaires d'immeubles existants, et encore faut-il la comparer à la hausse accordée par la fixation du Tribunal lorsque les locataires refusent. Pour estimer le loyer de marché d'un immeuble neuf, c'est le loyer moyen des logements neufs entrés dans l'univers (\dollars{1700}), et non le loyer moyen de l'univers (\dollars{1106}) ni sa variation, qui est pertinent ; la variation brute, elle, ne sert à aucune des deux fins.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:4:4}{Droits sur les mutations}
La base d'imposition est le plus élevé de la contrepartie et de la valeur marchande établie par la valeur au rôle multipliée par le facteur comparatif (art.~1.1 et 2 LDMI) : la valeur uniformisée est $590\,000 \times 1{,}02 = \dollars{601800}$. Pour une vente à \dollars{620000}, la base est le prix, \dollars{620000}, et le droit, avec le barème de Gatineau en vigueur depuis le 25 février 2026 (0,5 \% jusqu'à \dollars{62900}, 1 \% jusqu'à \dollars{315000}, 1,5 \% jusqu'à \dollars{500000}, 3 \% au-delà), vaut par l'\cref{eq:4:mutation}
\begin{align*}
T &= 0{,}005 \times 62\,900 + 0{,}01 \times 252\,100 + 0{,}015 \times 185\,000 + 0{,}03 \times 120\,000 \\
  &= 314{,}50 + 2\,521 + 2\,775 + 3\,600 = \dollars{9210.50},
\end{align*}
soit un taux effectif de $9\,210{,}50 / 620\,000 = \pct{1.49}$. Pour une vente à \dollars{560000}, la base n'est plus le prix mais la valeur uniformisée de \dollars{601800}, supérieure ; le droit vaut $314{,}50 + 2\,521 + 2\,775 + 0{,}03 \times 101\,800 = \dollars{8664.50}$, soit \pct{1.44} de la base mais \pct{1.55} du prix effectivement payé. L'acheteur qui a négocié un prix inférieur à la valeur uniformisée paie donc un droit calculé sur une valeur qu'il n'a pas payée ; ce cas se présente dans les marchés en baisse ou lorsque le rôle, établi sur un marché antérieur, surévalue l'immeuble. L'évaluateur retient que le droit ne fait pas partie du prix ni de la valeur marchande, mais qu'il entre dans le coût d'acquisition et que, pour les immeubles dont la valeur au rôle excède le marché, la contestation du rôle (\cref{ch:9}) a aussi un effet sur les droits de mutation des transactions futures.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:4:5}{Croissance démographique et horizon de projection}
Par l'\cref{eq:4:tcac}, $g = (903\,607 / 840\,396)^{1/5} - 1 = 1{,}07522^{0{,}2} - 1 = \pct{1.46}$ par année. Prolongé dix ans, ce rythme donnerait $903\,607 \times 1{,}0146^{10} = \num{1044650}$ habitants en 2035. Le scénario de référence de l'ISQ prévoit $+16$ \% entre 2025 et 2051, soit $903\,607 \times 1{,}16 = \num{1048184}$ habitants en 2051 et un TCAC implicite de $1{,}16^{1/26} - 1 = \pct{0.57}$ par année, à peine plus du tiers du rythme de 2020-2025 ; la simple extrapolation de ce dernier donnerait \num{1317519} habitants en 2051, soit 26 \% de plus que le scénario de l'ISQ. L'écart tient au ralentissement de l'immigration et au vieillissement, intégrés par l'ISQ mais absents d'une extrapolation. Pour un promoteur qui livre un immeuble locatif en 2029, la conclusion est double : la demande continue de croître à Québec, ce qui distingue cette RMR de Montréal ($-3$ \%) et de Saguenay ($-6$ \%) dans le même scénario, mais à un rythme deux à trois fois inférieur à celui qui a produit la pénurie de 2021-2024 ; les hypothèses de loyers et d'absorption du projet doivent reposer sur le scénario démographique, non sur la tendance récente, et la sensibilité de la valeur du terrain à un taux d'inoccupation de 3 à 4 \% plutôt que de 1 à 2 \% doit être explicitée (\cref{ch:41}).
\end{solution}

\begin{solution}{ex:4:6}{Prix soutenable et taux}
\emph{Dérivation.} L'\cref{eq:4:paiement} donne le paiement $p$ d'un capital $M$ : $p = M\, i_m / [1 - (1+i_m)^{-n}]$. En l'inversant, $M = p\,[1 - (1+i_m)^{-n}]/i_m$, et comme le capital emprunté est la fraction $(1-m)$ du prix, $P^{*} = M/(1-m)$, ce qui est l'\cref{eq:4:prix-soutenable} ; le facteur $[1 - (1+i_m)^{-n}]/i_m$ est la valeur actuelle d'une annuité de 1 \$ sur $n$ mois (\texttt{traite.finance.facteur\_va\_annuite}).

\emph{Application.} Ici la mise de fonds est un montant fixe de \dollars{90000}, non une proportion : $P^{*} = M + 90\,000$. À 4,12 \%, $i_m = (1{,}0206)^{1/6} - 1 = 0{,}003406$ et le capital soutenu par \dollars{2400} par mois sur 300 mois est $M = \dollars{450666}$, d'où $P^{*} = \dollars{540666}$. Au taux de qualification de 6,19 \%, $i_m = 0{,}005088$, $M = \dollars{368582}$ et $P^{*} = \dollars{458582}$ : le ménage perd \pct{15.2} de capacité d'achat entre le taux contractuel et le taux auquel il doit se qualifier, ce qui est l'effet recherché par le test de résistance (\cref{ch:31}).

\emph{Semi-élasticité et élasticité.} Par différences finies centrées de 10 points de base, la semi-élasticité $\partial \ln P^{*}/\partial i$ vaut $-10{,}8$ \% par point de pourcentage à 3 \% et $-9{,}3$ \% par point à 6 \% : un point de taux coûte davantage de prix soutenable quand les taux sont bas. L'élasticité $\partial \ln P^{*}/\partial \ln i$ vaut en revanche $-0{,}33$ à 3 \% et $-0{,}56$ à 6 \%. Les deux résultats ne se contredisent pas, parce que l'élasticité est la semi-élasticité multipliée par le taux : $\partial \ln P^{*}/\partial \ln i = i\, \partial \ln P^{*}/\partial i$, soit $0{,}03 \times (-10{,}84) = -0{,}33$ et $0{,}06 \times (-9{,}29) = -0{,}56$. Un point de pourcentage est une variation relative de 33 \% du taux à 3 \% mais de 17 \% seulement à 6 \% ; la semi-élasticité, exprimée par point, décroît avec le taux parce que la part des intérêts dans le paiement augmente moins que proportionnellement, tandis que l'élasticité croît parce que le dénominateur relatif diminue. Pour l'analyse de marché, c'est la semi-élasticité qui compte, puisque les banques centrales et les prêteurs raisonnent en points de pourcentage.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:4:7}{Lecture critique d'une fiche de marché}
\emph{Indicateurs (sources et dates dans le \cref{tab:4:rmr}).} Population de \num{374226} habitants au 1\ier{} juillet 2025 et TCAC 2020-2025 de \pct{1.18} (Statistique Canada, 17-10-0148-01 ; partie québécoise de la RMR seulement) ; part des locataires de \pct{34.6} en 2021, mais pour l'ensemble de la RMR d'Ottawa-Gatineau, parties ontarienne et québécoise confondues, ce qui sous-estime vraisemblablement la part québécoise, Gatineau étant plus locative qu'Ottawa ; mois d'inventaire de 6,5 ($2\,256 / (1\,044/3)$) et délai de vente médian de 34 jours pour l'unifamiliale au T3 2026 (APCIQ, ventes par courtier seulement, en baisse de 12 \% sur un an, inscriptions en hausse de 42 \%) ; IPLN de 116,6 en septembre 2026, en hausse de \pct{0.3} sur douze mois (logements neufs seulement, à qualité constante ; ne dit rien des reventes) ; taux d'inoccupation passé de \pct{1.9} à \pct{3.8} entre octobre 2024 et octobre 2025 (SCHL, immeubles de trois logements et plus, mesure physique d'octobre, qualité d pour la variation des loyers) ; variation des loyers sur logements comparables de \pct{4.5} pour l'ensemble des logements ; MRB implicite de 11,8 pour un plex à trois logements au loyer moyen des deux chambres de \dollars{1460} (construction combinant des sources et des dates différentes).

\emph{Fiche (environ 250 mots).} Gatineau est un marché de taille moyenne dont la demande structurelle est portée par la fonction publique fédérale et par la migration en provenance d'Ottawa, où les prix sont nettement plus élevés ; sa croissance démographique de 2020-2025 (\pct{1.18} par année) est intermédiaire entre Montréal et les villes moyennes. La revente a basculé en 2026 : avec 6,5 mois d'inventaire et une offre en hausse de 42 \% sur un an, le marché est passé d'une situation de vendeurs à l'équilibre, voire au-delà pour la copropriété dont la médiane recule de 5 \% ; la médiane unifamiliale recule de 3 \% sur un an à \dollars{480000}. Les prix des logements neufs sont presque stables (\pct{0.3}), ce qui distingue Gatineau de Montréal et de Québec. Le marché locatif s'est détendu plus vite que partout ailleurs au Québec, le taux d'inoccupation doublant à \pct{3.8}, au-dessus du seuil de 3 \%, tandis que les loyers restent les plus élevés des six RMR ; la hausse sur logements comparables ralentit à \pct{4.5}. Le MRB implicite de 11,8, le plus bas des trois grandes RMR, traduit des prix de plex modérés au regard de loyers élevés. Chaque indicateur a ses angles morts : les médianes excluent les ventes sans courtier et subissent la composition, l'IPLN ignore la revente, la SCHL ignore les duplex et les copropriétés louées, et la part des locataires n'est connue que pour la RMR entière.

\emph{Fenêtre et ajustement.} Dans un marché dont les médianes reculent de 3 à 5 \% sur un an et dont l'inventaire a presque doublé, la fenêtre des comparables doit être courte, six à neuf mois, et l'ajustement de conditions du marché pour des ventes de janvier à septembre 2026 doit être nul ou légèrement négatif pour les ventes les plus anciennes, de l'ordre de $-0{,}25$ \% par mois d'ancienneté au maximum, à étayer par des ventes répétées ou par un modèle hédonique local (\cref{ch:17,ch:19}) plutôt que par la variation des médianes ; la détente du locatif justifie en outre une vacance économique de 3 à 4 \% dans toute projection de revenus pour un plex de ce marché.
\end{solution}