% Solutions du chapitre 22 — Métrés et quantités
% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch22.py (classe TestExercices).

\begin{solution}{ex:22:1}{Conventions de superficie}
Dimensions à la face externe : $L = 10{,}40$ m, $W = 9{,}15$ m ; garage $g_x \times g_y = 3{,}66 \times 6{,}10$ m.

\emph{Manuel d'évaluation foncière (bloc 07).} Aire au sol $A_0 = 10{,}40 \times 9{,}15 = \msq{95.16}$ ; périmètre au sol $P = 2(10{,}40 + 9{,}15) = 39{,}10$ m. Deux étages hors sol : aire des étages $A_{\text{ét}} = 2 \times 95{,}16 = \msq{190.32}$ (le garage intégré fait partie de l'étage) et périmètre des étages $2 \times 39{,}10 = 78{,}20$ m. Le sous-sol, dont le plancher est à plus de 0,4 m sous le niveau moyen du sol, n'est pas un étage.

\emph{Superficie habitable} (brute hors garage, \cref{eq:22:conventions}) : $G = 3{,}66 \times 6{,}10 = \msq{22.33}$ et $A_{\text{hab}} = 190{,}32 - 22{,}33 = \msq{167.99}$.

\emph{Aire nette intérieure} (approximation sans cloisons) : chaque étage a une aire intérieure de $(10{,}40 - 0{,}60)(9{,}15 - 0{,}60) = 9{,}80 \times 8{,}55 = \msq{83.79}$ ; on retranche au rez-de-chaussée l'aire intérieure du garage, limitée par le mur extérieur (0,30 m) sur deux côtés et par la demi-séparation (0,075 m) sur les deux autres : $(3{,}66 - 0{,}375)(6{,}10 - 0{,}375) = 3{,}285 \times 5{,}725 = \msq{18.81}$. D'où $A_{\text{nette}} \approx 2 \times 83{,}79 - 18{,}81 = \msq{148.77}$, soit 88,6 \% de la superficie habitable et 78,2 \% de l'aire des étages ; les cloisons et la trémie, ignorées ici, abaisseraient encore ce chiffre de quelques pour cent (pour le sujet du chapitre, 82,0 \% et 71,2 \%).

\emph{Pieds carrés} : $190{,}32 \times 10{,}7639 = \pisq{2049}$ et $167{,}99 \times 10{,}7639 = \pisq{1808}$.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:22:2}{Murs nets d'ouvertures}
Aire brute des murs extérieurs (\cref{eq:22:murs}) : $P \times h_{\text{mur}} \times 2 = 39{,}10 \times 2{,}44 \times 2 = \msq{190.81}$. Ouvertures : douze fenêtres de $1{,}20 \times 1{,}40 = \msq{1.68}$, soit \msq{20.16} ; deux portes de $0{,}91 \times 2{,}03 = \msq{1.847}$, soit \msq{3.69} ; une porte de garage de $2{,}74 \times 2{,}13 = \msq{5.84}$ ; total \msq{29.70}, soit 15,6 \% de l'aire brute. Aire nette : $190{,}81 - 29{,}70 = \msq{161.11}$.

Un prix unitaire « ouvertures non déduites » s'applique à la quantité brute ; pour produire le même montant que le prix net appliqué à la quantité nette, il doit vérifier $p^{\text{brut}} = p^{\text{net}}\,q^{\text{net}}/q^{\text{brut}}$ (\cref{eq:22:conversion}), soit ici $p^{\text{brut}} = 0{,}844\,p^{\text{net}}$ : il est 15,6 \% plus bas. La convention brute est courante pour les revêtements parce que la main-d'œuvre des retours, cadrages et solins autour des ouvertures compense approximativement la surface non couverte ; la convention n'est ni meilleure ni pire que l'autre, mais la quantité et le prix doivent la partager.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:22:3}{Toiture et facteur de pente}
Projection horizontale, débords compris : $(10{,}40 + 0{,}80)(9{,}15 + 0{,}80) = 11{,}20 \times 9{,}95 = \msq{111.44}$ ; c'est la quantité des fermes, facturées à la projection. Facteur de pente pour 8:12, $p = 8/12 = 0{,}6667$ : $\sqrt{1 + 0{,}6667^2} = 1{,}2019$. Surface de couverture (\cref{eq:22:toit}) : $111{,}44 \times 1{,}2019 = \msq{133.93}$ ; quantité de bardeaux à commander avec 10 \% de pertes (\cref{eq:22:pertes}) : $133{,}93 \times 1{,}10 = \msq{147.33}$. Pour un toit à 6:12, le facteur serait $\sqrt{1{,}25} = 1{,}1180$ et la couverture $\msq{124.59}$ ; le toit à 8:12 couvre $1{,}2019/1{,}1180 - 1 = 7{,}5$ \% de plus pour la même projection. Les fermes se mesurent en mètres carrés de projection (c'est ainsi que le fabricant les conçoit et les facture, la pente étant un attribut de la ferme) ; la couverture se mesure en mètres carrés de versant, parce que les bardeaux, la membrane et la main-d'œuvre se comptent à la surface réellement couverte.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:22:4}{Volume d'excavation}
Aire du fond de fouille (\cref{eq:22:decalage}) avec $d = 0{,}90$ m : $A(0{,}90) = 95{,}16 + 39{,}10 \times 0{,}90 + 4 \times 0{,}81 = \msq{133.59}$.

(a) Parois verticales : $V = 133{,}59 \times 2{,}50 = \qty{333.98}{\metre\cubed}$.

(b) Talus à 0,5 pour 1 : à mi-hauteur le décalage est $0{,}90 + 0{,}5 \times 1{,}25 = 1{,}525$ m, $A = 95{,}16 + 39{,}10 \times 1{,}525 + 4 \times 1{,}525^2 = \msq{164.09}$ ; en surface, $0{,}90 + 0{,}5 \times 2{,}50 = 2{,}15$ m, $A = \msq{197.72}$. Prismoïde (\cref{eq:22:prismoide}) : $V = \tfrac{2{,}50}{6}(133{,}59 + 4 \times 164{,}09 + 197{,}72) = \qty{411.53}{\metre\cubed}$, soit $+23{,}2$ \% par rapport aux parois verticales.

(c) Talus à 1 pour 1 : décalages de 2,15 m à mi-hauteur ($A = \msq{197.72}$) et de 3,40 m en surface ($A = 95{,}16 + 132{,}94 + 46{,}24 = \msq{274.34}$) ; $V = \tfrac{2{,}50}{6}(133{,}59 + 4 \times 197{,}72 + 274{,}34) = \qty{499.50}{\metre\cubed}$, soit $+49{,}6$ \%.

Le volume excavé varie donc de 334 à \qty{500}{\metre\cubed} selon la seule hypothèse de talus, un écart de 50 \% que les tolérances de 5 ou 10 \% du métré de contrôle ne peuvent absorber. Le contrôle du poste d'excavation d'un devis dont on ignore les hypothèses n'a de sens que si l'on reconstitue d'abord la convention de l'estimateur (dégagement, talus, profondeur, tranchées comprises ou non) ; à défaut, on compare le prix total du poste à des ratios ($\$/\text{m}^2$ d'aire au sol) plutôt que la quantité. Pour le sujet du chapitre, les hypothèses $d = 0{,}90$ m, $m = 0{,}5$ et $h = 2{,}60$ m reproduisent le devis à 2,6 \% près.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:22:5}{Structure d'un prix unitaire installé}
Par l'\cref{eq:22:prix-unitaire} avec $m = 11{,}50$, $w = 0{,}12$, $h = 0{,}35$ h/m\textsuperscript{2}, $s = 62$ \$/h (valeur hypothétique) et $e = 0{,}80$ : matériaux pertes comprises $11{,}50 \times 1{,}12 = \parmsq{12.88}$ ; main-d'œuvre $0{,}35 \times 62 = \parmsq{21.70}$ ; équipement \parmsq{0.80} ; prix avant marge $p = \parmsq{35.38}$, dont la main-d'œuvre représente $21{,}70/35{,}38 = 61{,}3$ \%. Avec une marge de 15 \% : $35{,}38 \times 1{,}15 = \parmsq{40.69}$.

Une hausse de 5 \% du taux horaire porte la main-d'œuvre à \parmsq{22.79} et le prix avant marge à \parmsq{36.47}, soit $+3{,}07$ \% : l'élasticité du prix au taux horaire est la part de la main-d'œuvre (0,613). Un gain de productivité de 10 \% ($h = 0{,}315$) ramène la main-d'œuvre à \parmsq{19.53} et le prix à \parmsq{33.21}, soit $-6{,}13$ \%. Pour un poste à forte intensité de main-d'œuvre comme le tirage de joints, le prix suit donc de près les conventions collectives et la productivité ; pour un poste dominé par le matériau (fenêtres, thermopompe), il suit les prix industriels. L'indice des prix de la construction de bâtiments du \cref{ch:21} agrège ces deux dynamiques selon la composition d'un bâtiment type ; un devis dont la composition s'en écarte, par exemple parce qu'il comporte beaucoup de finition, s'indexe imparfaitement par cet indice unique.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:22:6}{Propagation des erreurs de métré}
Les parts $\omega_k$ des 33 postes directs dans $D = \dollars{298826.17}$ donnent un indice de Herfindahl $H = \sum_k \omega_k^2 = 0{,}0539$, soit $1/H = 18{,}6$ postes effectifs ; le poste le plus lourd, la charpente, pèse 13,2 \%. Par l'\cref{eq:22:variance}, pour $\sigma = 5$ \% : $\sigma_D/D = 0{,}05\sqrt{0{,}0539} = 1{,}16$ \%, soit $\sigma_D = \dollars{3468}$ ; pour $\sigma = 10$ \%, le double : 2,32 \% et \dollars{6936}. Trente-trois postes de poids égaux donneraient $H = 1/33$ et $\sigma_D/D = 0{,}05/\sqrt{33} = 0{,}87$ \% ; deux postes de poids égaux, $H = 0{,}5$ et $0{,}05 \times 0{,}707 = 3{,}54$ \%. Le devis du sujet est donc presque aussi diversifié qu'un devis uniforme de 19 postes. En dollars de coût neuf, avec le multiplicateur $(1+\tau_I)(1+\tau_E) = 1{,}3304$ du \cref{ch:21} : $3468 \times 1{,}3304 = \dollars{4613}$ pour $\sigma = 5$ \% et \dollars{9227} pour $\sigma = 10$ \%, soit 1,2 et 2,3 \% de $C_N$.

Une erreur de 5 \% sur le périmètre au sol n'est pas protégée parce qu'elle n'est pas indépendante d'un poste à l'autre : elle affecte dans le même sens les fondations, le drain, la charpente des murs, le revêtement, l'isolation, le gypse des murs extérieurs et les gouttières, c'est-à-dire tous les postes proportionnels au périmètre. Pour ces postes, l'\cref{eq:22:propagation} donne une erreur commune de 5 \% et la \cref{prop:diversification} place le résultat à sa borne supérieure ; la racine de $H$ ne s'applique qu'aux erreurs non corrélées. C'est pourquoi le métré de contrôle vérifie d'abord les dimensions de base, dont une erreur se propage sans atténuation, avant de vérifier les postes, dont les erreurs se compensent en partie.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:22:7}{Métré de contrôle d'un plain-pied}
Dimensions de base : aire au sol $14{,}00 \times 9{,}00 = \msq{126.00}$, périmètre $P = 46{,}00$ m.

\emph{Gypse.} Plafond net : $(14{,}00 - 0{,}60)(9{,}00 - 0{,}60) = 13{,}40 \times 8{,}40 = \msq{112.56}$. Murs extérieurs, face intérieure, nets d'ouvertures (\cref{eq:22:murs}) : $46{,}00 \times 2{,}44 = 112{,}24$ moins onze fenêtres (\msq{18.48}) et deux portes (\msq{3.69}), soit \msq{90.06}. Cloisons sur deux faces : $38{,}0 \times 2{,}44 \times 2 = \msq{185.44}$. Portes intérieures déduites sur deux faces : $2 \times 9 \times 1{,}847 = \msq{33.25}$. Total : $112{,}56 + 90{,}06 + 185{,}44 - 33{,}25 = \msq{354.76}$, contre 300 au devis, soit $+18{,}2$ \% : poste à justifier (au-delà de 10 \%). La peinture, mesurée sur la même surface, porte le même écart.

\emph{Couverture.} Projection $(14{,}00 + 0{,}80)(9{,}00 + 0{,}80) = \msq{145.04}$ ; facteur de pente 1,1180 ; couverture \msq{162.16}, contre 150 au devis, soit $+8{,}1$ \% : poste à préciser (entre 5 et 10 \%) ; l'écart s'explique si le devis a mesuré sans débords ($126 \times 1{,}118 = \msq{140.9}$) ou à la projection avec débords (145,0), deux conventions courantes qu'il faut faire préciser.

\emph{Effet sur le coût.} Aux prix du devis : gypse $54{,}76 \times 27{,}47 = \dollars{1504.26}$ ; peinture $54{,}76 \times 10{,}12 = \dollars{554.17}$ ; couverture $12{,}16 \times 61{,}44 = \dollars{747.09}$ ; total $\Delta D = \dollars{2805.52}$. Avec le multiplicateur de 1,3304 (taux d'indirects et d'incitatif maintenus) : $\Delta C_N = \dollars{3732.46}$.

\emph{Réserve.} « Le métré de contrôle effectué à partir du plan coté donne \msq{355} de gypse et de peinture contre \msq{300} au devis du constructeur ($+18$ \%) et \msq{162} de couverture contre 150 ($+8$ \%). Les écarts pourraient provenir d'une convention de mesure différente (déduction des ouvertures, cloisons comptées sur une face, projection sans débords) ou d'une omission ; ils n'ont pu être confirmés auprès de l'estimateur à la date du rapport. Leur effet, aux prix unitaires du devis, est de \dollars{2806} sur le coût direct et d'environ \dollars{3700} sur le coût neuf, soit moins de 1 \% ; le coût neuf retenu n'est pas modifié, mais l'indication par la méthode du coût est considérée comme comportant une incertitude d'au moins cet ordre, en sus de celle des prix et de la dépréciation. »
\end{solution}