% Solutions du chapitre 46 — Cas 2 : triplex à Québec
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\begin{solution}{ex:46:1}{Taxes déclarées ou recalculées}
En conservant les taxes déclarées, les dépenses hors réserve passent de \dollars{16182.01} à $\dollars{16182.01} + \dollars{462.32} + \dollars{98.75} = \dollars{16743.08}$, les dépenses totales à \dollars{18543.08} et le revenu net à $\dollars{40577.04} - \dollars{18543.08} = \dollars{22033.96}$, qui est exactement le revenu net du \cref{ch:32} (fonction \texttt{traite.cas2.rne} sur le tableau de dépenses d'origine). Au taux ajusté de \pct{3.02}, l'indication par capitalisation est $\dollars{22033.96}/0{,}0302 = \dollars{729549}$, contre \dollars{748126} avec les taxes recalculées : l'écart de \dollars{18577} est le quotient de l'écart de revenu net, \dollars{561.07}, par le taux. L'ouvrage préfère le recalcul parce que c'est le montant que l'acheteur paiera effectivement dès le prochain compte, parce qu'il est traçable jusqu'au règlement de taxation et au rôle, et parce qu'un compte déclaré par un vendeur n'est pas une pièce vérifiée. Le rapport doit présenter les deux montants, indiquer la règle retenue, énumérer les explications possibles de l'écart (taxes de secteur ou tarifs non captés par le taux général, exercice ou valeur au rôle différents, erreur) et signaler que l'effet sur la valeur pondérée, \pct{25} de \dollars{18577} soit environ \dollars{4600}, est inférieur au pas d'arrondi.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:46:2}{Calendrier et valeur de la reprise}
Si l'acte est signé le 15~janvier 2027, l'acheteur ne devient locateur qu'à cette date et ne peut donner l'avis de reprise qu'après ; or l'avis doit être reçu au moins six mois avant la fin d'un bail de plus de six mois (art.~1960 C.c.Q.), soit au plus tard le 31~décembre 2026 pour le bail échéant le 30~juin 2027. Ce délai est manqué : le bail se reconduit au 1\textsuperscript{er} juillet 2027 pour un an, et la reprise ne peut viser que le 30~juin 2028, avec un avis donné au plus tard le 31~décembre 2027, une réponse de la locataire dans le mois (le silence valant refus) et, en cas de refus, une demande au Tribunal dans le mois suivant, où l'acheteur devra prouver qu'il entend réellement habiter le logement. La prise de possession la plus hâtive est donc le 1\textsuperscript{er} juillet 2028, sauf départ volontaire de la locataire ou entente. Pour la valeur actuelle espérée de l'écart, l'\cref{eq:46:va-ecart} donne, avec $\Delta_1 = \dollars{4458.12}$, $g_\Delta = \pct{4.59}$ et $r = \pct{6}$ : à $\rho = \pct{9.4}$, $\dollars{4458.12}/(0{,}06 - 0{,}0459 + 0{,}094 \times 1{,}0459) = \dollars{39668.94}$ ; à $\rho = \pct{13}$, \dollars{29713.51} (valeur du chapitre) ; à $\rho = \pct{20}$, \dollars{19968.98}. Sans rotation, sur dix ans, l'écart vaut \dollars{39567.72}. Plus la rotation est faible, plus la locataire est susceptible de rester et plus l'écart actualisé que la reprise permet de réaliser est grand : à \pct{9.4}, la faculté de reprise ne vaut presque rien de plus qu'attendre, parce que l'espérance de l'écart sous rotation dépasse déjà sa valeur sur dix ans (le locataire qui reste au-delà de dix ans continue de produire l'écart) ; à \pct{20}, elle vaut \dollars{19599} de plus. La faculté de reprise est donc une assurance contre la permanence d'un locataire à loyer bas, dont la valeur est de l'ordre d'un à deux pour cent du prix de l'immeuble à ces hypothèses.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:46:3}{Cascade d'un comparable}
Le prix par logement de Q0243 est de \dollars{341000}. Conditions du marché : la vente date de 1,28~mois ; $A_t = \dollars{341000}\,[(1{,}0745)^{1{,}28/12} - 1] = \dollars{2627.30}$, d'où une base ajustée du temps $P^{t} = \dollars{343627.30}$. Superficie par logement : $247/3 = \msq{82.3}$ contre \msq{87.3} pour le sujet ; $A = P^{t}\,[e^{0{,}64439 \times (\ln 87{,}33 - \ln 82{,}33)} - 1] = \dollars{13305.91}$. Âge : 96~ans contre 78 ; $A = P^{t}\,[e^{-0{,}00401 \times (78 - 96)} - 1] = \dollars{25698.98}$. État : 3 contre 3, ajustement nul ; stationnement : une case de part et d'autre, nul. Loyer de marché : \dollars{1370.33} contre \dollars{1352} ; $A = P^{t}\,[e^{0{,}26247 \times (\ln 1370{,}33 - \ln 1352)} - 1] = \dollars{1216.95}$. Loyer relatif : coefficient non significatif, non appliqué. Le prix ajusté est $\dollars{341000} + \dollars{2627.30} + \dollars{13305.91} + \dollars{25698.98} + 0 + 0 + \dollars{1216.95} = \dollars{383849.14}$ par logement. L'ajustement brut est la somme des valeurs absolues rapportée au prix, $\dollars{42849.14}/\dollars{341000} = \pct{12.6}$, et l'ajustement net, tous les ajustements étant positifs, lui est égal, $+\pct{12.6}$. Q0243 reçoit le poids le plus élevé (0,285) parce que son ajustement brut est le plus faible des cinq : vendu cinq semaines avant la date d'évaluation, de même état et de même stationnement que le sujet, il n'exige qu'une correction d'âge et de superficie ; la règle de pondération inversement proportionnelle au brut, qui traite le brut comme un substitut de la variance de l'estimation, lui accorde logiquement le plus de confiance.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:46:4}{Choix du taux de capitalisation}
Sur le revenu net normalisé de \dollars{22595.03} : au premier quartile (\pct{2.76}), \dollars{818660} ($+\pct{9.4}$) ; à la médiane des comparables (\pct{2.97}), \dollars{760775} ($+\pct{1.7}$) ; au taux ajusté (\pct{3.02}), \dollars{748126} (retenu) ; à la médiane des 127 ventes (\pct{3.17}), \dollars{712777} ($-\pct{4.7}$) ; au troisième quartile (\pct{3.615}), \dollars{625035} ($-\pct{16.5}$). L'intervalle interquartile des taux déplace la valeur de \pct{26} : la précision de la méthode est bornée par celle du taux. Avec le ratio de dépenses médian des ventes, \pct{35.7}, le revenu net devient $\dollars{40577.04} \times (1 - 0{,}357) = \dollars{26091.04}$ et la capitalisation à \pct{3.02} donne \dollars{863880}, à \pct{15} de l'indication par comparaison au lieu de \pct{27} ; le taux implicite de la comparaison calculé sur ce revenu net est de \pct{2.56}, et l'écart avec le taux ajusté tombe de 81 à 46~points de base. Plus de la moitié de l'écart entre les deux méthodes vient donc de la structure de dépenses, non du taux. La leçon est celle de la convention de cohérence : un taux extrait de fiches de courtage, dont les revenus nets ne comptent ni gestion ni réserve et sous-estiment souvent les coûts fixes, ne doit être appliqué qu'à un revenu net défini de la même façon, ou alors il faut corriger le taux ; appliquer un taux « léger » à un revenu net « lourd » pénalise systématiquement le sujet.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:46:5}{Financement au prix de la promesse d'achat}
Au prix de \dollars{895000}, la mise de fonds minimale est $0{,}05 \times \dollars{500000} + 0{,}10 \times \dollars{395000} = \dollars{64500}$ (\pct{7.2}) et le prêt de \dollars{830500} (ratio prêt-valeur \pct{92.8}). Au taux de \pct{4.12} composé semestriellement, $i_m = \pct{0.3406}$ et le versement sur 300~mois est de \dollars{4422.79}, soit \dollars{53073.50} par année ; au taux admissible minimal de \pct{6.12}, le versement de référence est de \dollars{5372.98}. Les droits de mutation sont $314{,}50 + 2\,521 + 2\,775 + 6\,250 + 0{,}03 \times (895\,000 - 750\,000) = \dollars{16210.50}$ et les liquidités à la signature de $\dollars{64500} + \dollars{16210.50} = \dollars{80710.50}$. Le coût net d'occupation du rez-de-chaussée est $\dollars{53073.50} + \dollars{16358.93} + 0{,}0358 \times \dollars{64500} - \dollars{28389.96} = \dollars{43351.57}$ par année, soit \dollars{3612.63} par mois ; le capital remboursé en moyenne sur cinq ans est de \dollars{21202.71} par année, d'où un coût économique hors capital de \dollars{1845.74} par mois, contre \dollars{1925.15} au prix de \dollars{920000} : vingt-cinq mille dollars de prix en moins réduisent le coût économique d'environ \dollars{79} par mois. Si le couple reprend le deuxième étage, il perd \dollars{141} de loyer contractuel par mois ($\dollars{1188} - \dollars{1047}$), soit \dollars{136.77} nets de la provision ; son coût net passe à \dollars{3749.40} et son coût hors capital à \dollars{1982.51} par mois. La reprise du logement le plus sous-loué reste la décision rationnelle, sous réserve des conditions des articles~1957, 1958 et 1959.1 C.c.Q. et du délai d'avis.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:46:6}{Pondération, fourchette et rédaction}
Les cinq pondérations du \cref{tab:46:ponderations} donnent : 40/35/25, \dollars{918017} ; 45/30/25, \dollars{922915} ; égale, \dollars{896963} ; 60/40/0, \dollars{981178} ; 20/20/60, \dollars{837428}. La pondération à l'inverse de la variance, avec des écarts-types de \dollars{47848}, \dollars{92240} ($\pct{10}$ de \dollars{922396}) et \dollars{112219} ($\pct{15}$ de \dollars{748126}), donne des poids proportionnels à $1/\sigma^2$, soit 0,689, 0,185 et 0,125, et une valeur de \dollars{968084} : elle favorise fortement la comparaison parce que c'est la seule indication dont l'incertitude a été mesurée plutôt que posée, et elle illustre que les écarts-types « déclarés » du multiplicateur et de la capitalisation gouvernent le résultat autant que les indications elles-mêmes. Un paragraphe de réconciliation acceptable dirait, en substance : les trois indications, de \dollars{748000} à \dollars{1020000}, décrivent le même immeuble sous trois lectures de l'acheteur ; l'acheteur probable d'un triplex de Limoilou est un occupant qui raisonne en prix par logement et en coût d'occupation, ce que la grille de comparaison mesure directement et que le multiplicateur approche sans hypothèse sur les dépenses ; la capitalisation, qui suppose un acheteur raisonnant sur le revenu net normalisé, borne la valeur par le bas et reçoit un poids de contrôle ; la pondération 40/35/25 donne \dollars{918017}, arrondie à \dollars{920000}, dans une fourchette de \dollars{870000} à \dollars{970000} construite sur l'erreur-type de la méthode principale. La fourchette conclue diffère de l'étendue des indications (\dollars{748000} à \dollars{1020000}) parce qu'elle mesure l'incertitude statistique de la méthode retenue et non le désaccord entre méthodes, qui est un désaccord de conception et non de mesure ; présenter l'étendue des indications comme fourchette reviendrait à dire que l'évaluateur n'a pas choisi.
\end{solution}

\begin{solution}{ex:46:7}{Méthode du coût et valeur du terrain}
Avec un coût neuf de \dollars{612983} et une dépréciation de \pct{68.3}, la contribution du bâtiment est de \dollars{194111} ; pour que l'indication par le coût atteigne \dollars{920000}, le terrain devrait valoir $\dollars{920000} - \dollars{194111} = \dollars{725889}$, soit \dollars{2342} le mètre carré, plus de deux fois et demie l'hypothèse du dossier. À terrain de \dollars{279000}, il faudrait une contribution du bâtiment de \dollars{641000}, supérieure au coût neuf : le taux de dépréciation devrait être de $-\pct{4.6}$, ce qui est impossible. La dépréciation extraite du marché, $D = C_N - (P - V_L)$, est donc de $-\dollars{28017}$ ($-\pct{4.6}$) pour un terrain à \dollars{900} le mètre carré et de $\dollars{612983} - (\dollars{920000} - \dollars{341000}) = \dollars{33983}$, soit \pct{5.5} ou \pct{0.07} par année d'âge, pour un terrain à \dollars{1100} le mètre carré ; les deux résultats sont incompatibles avec un bâtiment de 78~ans et disent que l'hypothèse de terrain est beaucoup trop basse. La discussion attendue porte sur trois points. D'abord, dans un quartier central où l'on ne construit plus de plex et où le zonage protège la densité existante, le prix d'un triplex est pour l'essentiel un prix de localisation : le droit de disposer de trois logements à cet endroit vaut davantage que le coût de les reconstruire, et cette valeur se loge dans le terrain, que la méthode du coût ne sait estimer qu'à partir de ventes de terrains comparables, inexistantes ici. Ensuite, la dépréciation âge-vie d'un bâtiment bien entretenu de 1948 est mal connue, et dix points de dépréciation valent \dollars{61000}, plus que la différence entre deux pondérations raisonnables. Enfin, la méthode redeviendrait pertinente si le bâtiment était récent, si des ventes de terrains ou des ratios terrain/bâtiment locaux fiables existaient, ou si le marché des plex se figeait au point que le coût de remplacement redevienne la référence des acheteurs, ce qui n'est pas le cas à Québec en 2026 ; d'ici là, elle sert de contrôle de cohérence et son rejet, motivé, est inscrit au rapport (règle 2.3, élément 10).
\end{solution}