\chapter{Études de marché et segmentation}\label{ch:15}

Avant de choisir un comparable, d'estimer un prix implicite ou de capitaliser un revenu, l'évaluateur doit répondre à une question que les chapitres de méthode supposent résolue : de quel marché le sujet relève-t-il, et dans quel état ce marché se trouve-t-il à la date d'évaluation ? La définition de la valeur marchande parle d'un « marché libre et ouvert à la concurrence » et d'une « mise en vente d'une durée suffisante » ; ces mots n'ont de contenu que si l'on sait quels biens se font concurrence, qui les achète et à quel rythme ils s'écoulent. Le présent chapitre clôt la partie consacrée aux données en montrant comment passer des statistiques publiques, décrites aux \cref{ch:13,ch:14}, à une connaissance opératoire du marché du sujet. Il délimite d'abord le marché et ses sous-marchés par des critères économiques, puis il mesure l'équilibre entre l'offre et la demande par des indicateurs de flux et de stock, avant d'aborder la question qui relie l'étude de marché à l'économétrie des chapitres suivants : les sous-marchés que l'on distingue par habitude correspondent-ils à des structures de prix différentes, ou une seule équation suffit-elle ? Les méthodes de classification et le test de Chow donnent à cette question une réponse chiffrée, illustrée sur les 600 ventes synthétiques du cas 1. Le chapitre se termine par l'étude de marché locatif de l'immeuble de douze logements du cas 3, où les mêmes principes s'appliquent aux loyers, à l'inoccupation et à la concurrence du parc neuf.

\begin{objectifs}
À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
\begin{itemize}
\item délimiter le marché et les sous-marchés d'un bien par des critères de substituabilité, d'acheteur type et de géographie, et distinguer une segmentation a priori d'une segmentation révélée par les données ;
\item conduire une étude de marché en six étapes à partir des sources publiques québécoises, en citant chaque chiffre avec son organisme, sa période et ses conditions d'utilisation ;
\item calculer et interpréter les indicateurs de conjoncture d'un marché de la revente, mois d'inventaire, taux d'absorption, délai de vente et ratio du prix vendu au prix demandé, et comprendre pourquoi un indicateur de stock et un indicateur de flux ne disent pas la même chose ;
\item appliquer les méthodes de classification, k-moyennes et classification hiérarchique de Ward, à des ventes décrites par leurs attributs et leurs coordonnées, choisir le nombre de segments par la silhouette et juger de la concordance avec les secteurs de marché ;
\item dériver et appliquer le test de Chow de stabilité des coefficients d'un modèle hédonique entre segments, dans sa version classique et dans sa version robuste, et en tirer une décision motivée sur l'usage d'une équation unique ;
\item construire l'étude de marché locatif d'un immeuble de logements : univers, structure des loyers, inoccupation, rotation, écart entre loyers en place et loyers de marché, concurrence de l'offre neuve.
\end{itemize}
\end{objectifs}

\section{Délimiter le marché et ses sous-marchés}\label{sec:15:delimitation}

\subsection{Le marché comme ensemble de substituts}

Le mot « marché » désigne, en évaluation, l'ensemble des biens qui se font concurrence pour une même demande. Deux maisons appartiennent au même marché si l'acheteur qui en visite une visiterait vraisemblablement l'autre, de sorte que leurs prix sont tenus l'un par l'autre selon le principe de substitution exposé au \cref{ch:16}. Cette définition est économique avant d'être géographique : une maison de \msq{400} et une maison de \msq{110} situées dans la même rue n'appartiennent pas au même marché, parce qu'aucun acheteur ne les met en balance ; inversement, deux cottages semblables de Hull et d'Aylmer, distants de dix kilomètres, peuvent appartenir au même marché si les acheteurs de l'ouest de Gatineau arbitrent couramment entre les deux secteurs. La délimitation d'un marché consiste donc à identifier l'\motcle{acheteur type} du sujet, c'est-à-dire le profil de ménage ou d'investisseur le plus susceptible de l'acquérir, puis à recenser l'ensemble des biens que cet acheteur considère comme substituables, dans l'espace, dans le temps et dans l'espace des caractéristiques.

\begin{definition}{Marché et sous-marché}{sousmarche}
Le \motcle{marché} d'un bien est l'ensemble des biens substituables pour son acheteur type, dont les prix sont liés par la concurrence. Un \motcle{sous-marché} (\emph{submarket}) est une partition de ce marché à l'intérieur de laquelle la relation entre le prix et les caractéristiques est homogène et entre les parties de laquelle elle diffère. Formellement, si $s(i)$ désigne le sous-marché du bien $i$, l'espérance conditionnelle du prix s'écrit
\begin{equation}\label{eq:15:sousmarche}
\E\left[\ln P_i \mid \mathbf{x}_i, s(i) = g\right] = \alpha_g + \mathbf{x}_i\T \boldsymbol{\beta}_g ,
\end{equation}
et les sous-marchés sont distincts dès que les $\boldsymbol{\beta}_g$ diffèrent. Lorsque seules les constantes $\alpha_g$ diffèrent, les sous-marchés ne sont que des niveaux de prix différents à l'intérieur d'une même structure, et une seule équation avec des effets de localisation suffit.
\end{definition}

La distinction entre une différence de niveau et une différence de structure est le fil conducteur du chapitre. Elle a des conséquences directes pour la méthode de comparaison : si le secteur d'Aylmer ne se distingue de Hull que par une prime de localisation, un comparable d'Aylmer est utilisable pour un sujet de Hull moyennant un ajustement de localisation, et les ajustements de superficie, d'âge ou de qualité tirés d'Aylmer sont transférables ; si au contraire la superficie est rémunérée différemment dans les deux secteurs, un ajustement de superficie estimé à Aylmer est biaisé à Hull, et il faut soit restreindre les comparables au secteur du sujet, soit estimer des prix implicites propres à chaque sous-marché. La littérature économétrique a abordé la question dès les années 1990. \textcite{goodmanThibodeau1998} ont proposé une construction hiérarchique des sous-marchés qui regroupe les quartiers dont les coefficients hédoniques ne diffèrent pas significativement, et ils ont montré ensuite que cette segmentation améliore la précision des prédictions hors échantillon \parencite{goodmanThibodeau2003}. \textcite{bourassa1999} ont comparé, sur les données de Sydney et de Melbourne, les sous-marchés définis a priori par les autorités et ceux révélés par l'analyse en composantes principales et la classification ; ils ont trouvé que les deux approches sont utiles mais que les sous-marchés a priori, fondés sur la connaissance du terrain, prédisent souvent aussi bien que les sous-marchés statistiques, résultat confirmé par \textcite{bourassaHoesliPeng2003}, pour qui l'essentiel est d'inclure les sous-marchés dans le modèle plutôt que de les raffiner à l'excès. Au Québec, \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006} ont montré sur le marché de Québec que l'hétérogénéité des prix implicites tient aussi aux profils des acheteurs, âge, revenu et composition du ménage, et non seulement à la localisation, et \textcite{desrosiersDubeTheriault2011} ont établi que la valeur d'une maison dépend de celle de ses voisines immédiates, ce qui plaide pour des sous-marchés fins. Ces travaux justifient la démarche en deux temps adoptée ici : une délimitation a priori fondée sur les critères du \cref{tab:15:criteres}, puis une vérification statistique de son bien-fondé.

\subsection{Les critères de délimitation}

Le \cref{tab:15:criteres} recense les critères qu'un évaluateur combine pour délimiter le marché d'un sujet résidentiel ou multirésidentiel. Aucun ne suffit seul. Le type de propriété et le mode de détention sont les premiers : une copropriété divise, une maison en pleine propriété et un plex de trois logements relèvent de marchés différents parce que leurs acheteurs types diffèrent, le premier étant souvent un premier acheteur ou un investisseur locatif, le second un ménage familial, le troisième un propriétaire occupant qui finance son logement par deux loyers ou un petit investisseur ; le \cref{ch:32} développe ce dernier cas. La fourchette de prix vient ensuite, parce qu'elle détermine la capacité d'emprunt de l'acheteur type et donc le bassin des ménages concernés : au Québec, le seuil de l'assurance hypothécaire, les règles de mise de fonds et les tranches des droits de mutation créent des discontinuités de demande autour de certains prix. La géographie, enfin, est le critère le plus visible, mais il faut la lire à la bonne échelle : pour une maison de banlieue, le marché est souvent le secteur ou la municipalité ; pour un condominium du centre-ville, il peut se réduire à quelques rues ou même à un immeuble ; pour un immeuble de vingt logements, il s'étend à l'ensemble de l'île de Montréal, parce que l'investisseur type arbitre entre arrondissements.

\begin{table}[htbp]
\caption{Critères de délimitation du marché et des sous-marchés d'un bien résidentiel ou multirésidentiel}\label{tab:15:criteres}
\centering\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{30mm}YY@{}}
\toprule
Critère & Question à poser & Exemples de frontières au Québec \\
\midrule
Type et mode de détention & L'acheteur type du sujet considère-t-il l'autre type comme un substitut ? & Unifamiliale, copropriété divise, copropriété indivise, plex de 2 à 5 logements, immeuble de 6 logements et plus ; catégories statistiques de l'APCIQ et du Recensement \\
Fourchette de prix et financement & Le même ménage peut-il financer les deux biens ? & Seuils de l'assurance hypothécaire et de la mise de fonds ; tranches des droits de mutation ; prix médian du secteur comme repère \\
Géographie & À quelle échelle l'acheteur type arbitre-t-il ? & Secteurs Centris (ex. Hull, Aylmer, Gatineau, Buckingham/Masson-Angers, périphérie) ; zones SCHL ; arrondissements ; quartiers et rues ; bassins scolaires et axes de transport \\
Caractéristiques physiques & La taille, l'âge ou la qualité changent-ils le profil d'acheteur ? & Plain-pied vs à étages ; neuf vs ancien ; maison patrimoniale ; terrain riverain \\
Temps & Les conditions de marché de la période des comparables sont-elles celles de la date d'évaluation ? & Avant/après un changement de taux ; avant/après le dépôt d'un rôle ; fenêtre de 12 à 24 mois selon la vitesse des prix \\
Droits et contraintes & Les biens transmettent-ils le même faisceau de droits ? & Baux en place et encadrement des loyers ; servitudes ; zonage ; copropriété avec restrictions de location \\
Acheteur type & Qui achète ce bien, avec quel horizon et quel financement ? & Propriétaire occupant, premier acheteur, investisseur locatif, promoteur, acheteur institutionnel \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026}, \textcite{bourassa1999} et \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006}.}
\end{table}

\begin{quebec}
Les sources publiques québécoises imposent leurs propres découpages, qui ne coïncident ni entre eux ni avec les frontières économiques. L'APCIQ publie ses statistiques Centris par région métropolitaine, par agglomération et par « secteur » de courtage : pour la RMR de Gatineau, cinq secteurs, Aylmer, Hull, Gatineau, Buckingham/Masson-Angers et la périphérie, avec, au troisième trimestre de 2026, respectivement 201, 174, 346, 108 et 215 ventes résidentielles et des prix médians d'unifamiliales de \dollars{530000}, \dollars{475000}, \dollars{464900}, \dollars{395000} et \dollars{530000} \parencite{apciqgatineaut32026}. La SCHL découpe les mêmes territoires en zones de l'Enquête sur les logements locatifs qui ne suivent pas les secteurs de courtage : la RMR de Gatineau compte quatre zones, Hull, Aylmer, Gatineau et périphérie, et celle de Montréal trente-neuf, dont la zone 9, Rosemont/La Petite-Patrie, où se situe l'immeuble du cas 3 \parencite{schlrmltables2025}. Les rôles d'évaluation foncière, enfin, raisonnent par unités de voisinage, et le Recensement par secteurs de recensement et aires de diffusion. L'évaluateur qui construit une étude de marché doit expliciter la correspondance entre ces découpages et le marché du sujet, et il ne doit citer chaque chiffre qu'avec son découpage d'origine. Les conditions d'utilisation de l'APCIQ exigent que toute reproduction mentionne la source, « APCIQ par le système Centris », et interdisent l'usage commercial sans consentement écrit ; celles de la SCHL autorisent la citation de chiffres isolés avec attribution mais ne constituent pas une licence ouverte, de sorte que les tableaux ne doivent pas être redistribués tels quels \parencite{apciqconditions,schlLocatif2025}. Sources consultées le 31 octobre 2026.
\end{quebec}

\subsection{Segmentation a priori et segmentation révélée}

Deux voies mènent à une partition du marché. La \motcle{segmentation a priori} applique les critères du \cref{tab:15:criteres} à partir de la connaissance du terrain : l'évaluateur sait que la rivière des Outaouais sépare des marchés, que tel boulevard marque la frontière entre deux bassins scolaires, que les maisons d'un ancien village annexé n'attirent pas les mêmes acheteurs que celles du lotissement voisin. Cette connaissance est précieuse, mais elle a deux faiblesses : elle n'est pas reproductible d'un évaluateur à l'autre, et elle peut survivre aux changements du marché, une frontière qui comptait il y a vingt ans n'ayant plus de sens après l'ouverture d'un pont ou d'une ligne de transport. La \motcle{segmentation révélée} cherche dans les données elles-mêmes les regroupements de biens semblables, par des méthodes de classification non supervisée, puis vérifie si ces regroupements correspondent à des structures de prix différentes. Elle est reproductible et actuelle, mais elle ne connaît que les variables qu'on lui donne et elle peut regrouper des biens semblables par leurs attributs qui n'appartiennent pas au même marché, parce qu'elle ignore l'acheteur type. La pratique raisonnable, que recommandent \textcite{bourassaHoesliPeng2003} et que suivent les manuels d'évaluation de masse \parencite{gloudemansAlmy2011,iaaomass2025}, consiste à partir d'une segmentation a priori, à la confronter aux données par la classification et par les tests de stabilité des coefficients, et à ne retenir une partition plus fine ou différente que si elle améliore la prédiction hors échantillon. C'est le programme des \cref{sec:15:classification,sec:15:chow}.

\section{L'étude de marché : offre, demande et absorption}\label{sec:15:etude}

\subsection{Six étapes et leurs sources}

L'\motcle{étude de marché} (\emph{market analysis}) d'un dossier d'évaluation répond à trois questions dans l'ordre : quelle est la demande structurelle pour le type de bien du sujet dans son territoire, quelle est l'offre qui lui fait concurrence, et à quel rythme l'offre et la demande se rencontrent-elles à la date d'évaluation. Le \cref{ch:04} en a donné l'exemple pour deux régions métropolitaines ; le \cref{tab:15:etapes} systématise la démarche en six étapes, avec pour chacune les indicateurs à calculer et les sources québécoises qui les fournissent. Les deux premières étapes décrivent les fondamentaux, les deux suivantes la conjoncture de la revente et des prix, la cinquième le marché locatif, et la sixième tire la lecture d'ensemble qui conditionne les choix méthodologiques : fenêtre temporelle des comparables, signe de l'ajustement de conditions du marché, provision pour inoccupation, prudence de la fourchette de valeur. Les modèles d'offre et de demande qui donnent leur sens à ces indicateurs, en particulier le schéma à quatre quadrants de \textcite{dipasqualeWheaton1992} et la dynamique stock-flux de \textcite{wheaton1999}, ont été exposés au \cref{ch:03} ; on se concentre ici sur la mesure.

\begin{table}[htbp]
\caption{Les six étapes d'une étude de marché résidentiel au Québec : indicateurs et sources}\label{tab:15:etapes}
\centering\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{26mm}YL{46mm}@{}}
\toprule
Étape & Indicateurs & Sources publiques (découpage, périodicité) \\
\midrule
1. Demande structurelle & Population et ménages, croissance, part des locataires, revenu, projections & Statistique Canada (Recensement, estimations annuelles par RMR) ; ISQ (projections) \\
2. Prix et volumes & Médianes par type, ventes, variation annuelle, hiérarchie des segments & APCIQ/Centris (RMR, agglomération, secteur ; trimestriel) ; JLR (Registre foncier ; mensuel) \\
3. Conjoncture de la revente & Inscriptions en vigueur, mois d'inventaire, taux d'absorption, délai de vente, ratio prix vendu/demandé & APCIQ/Centris (trimestriel) ; données internes des courtiers pour le ratio prix vendu/demandé \\
4. Tendance des prix & Indices de prix (ventes répétées, prix des logements neufs), accélération ou décélération & Teranet--Banque Nationale (RMR ; mensuel) ; Statistique Canada, IPLN ; rôles d'évaluation (triennal) \\
5. Marché locatif & Univers, loyers par taille, inoccupation par taille de logement et d'immeuble, variation « même échantillon », rotation, offre neuve & SCHL, Enquête sur les logements locatifs (RMR, zone ; octobre, publiée en décembre) ; Perspectives du marché de l'habitation \\
6. Lecture & Phase du cycle, direction de l'ajustement de conditions du marché, fenêtre temporelle, provision d'inoccupation, largeur de la fourchette & Synthèse de l'évaluateur, documentée au rapport \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{synthèse de l'auteur ; voir \textcite{apciqt32026}, \textcite{schlLocatif2025}, \textcite{teranet202609} et \textcite{jlr202609} pour les publications de l'automne 2026.}
\end{table}

\subsection{Indicateurs de flux et indicateurs de stock}

Les indicateurs de la troisième étape méritent une formalisation, parce qu'ils sont souvent cités sans que l'on sache ce qu'ils mesurent. Le marché de la revente est un système de files d'attente : des propriétés entrent dans l'inventaire lorsqu'elles sont inscrites, elles en sortent lorsqu'elles sont vendues ou retirées, et à tout instant un stock de propriétés attend preneur. Trois grandeurs décrivent ce système : le flux de ventes $V$, mesuré par mois ou par trimestre ; le stock d'\motcle{inscriptions en vigueur} $I$, mesuré à une date ; et la durée de séjour d'une propriété dans l'inventaire. Le \motcle{nombre de mois d'inventaire}, déjà introduit aux \cref{ch:03,ch:04}, rapporte le stock au flux :
\begin{equation}\label{eq:15:mi}
\mathit{MI} = \frac{I}{V_{\text{mois}}} = \frac{I}{V_{\text{trim}}/3},
\end{equation}
et son inverse, le \motcle{taux d'absorption} mensuel, mesure la part du stock qui s'écoule chaque mois :
\begin{equation}\label{eq:15:absorption}
a = \frac{V_{\text{mois}}}{I} = \frac{1}{\mathit{MI}} .
\end{equation}
Ces deux indicateurs sont des quotients d'un stock par un flux ; ils ont la dimension d'un temps, ou de l'inverse d'un temps, et c'est ce qui leur donne leur interprétation. Si le système était en régime stationnaire et si toute propriété inscrite finissait par se vendre, la relation de \textcite{little1961}, connue en théorie des files d'attente, dirait que le stock moyen égale le flux de sorties multiplié par la durée moyenne de séjour,
\begin{equation}\label{eq:15:little}
I = V_{\text{mois}} \times \bar{D}, \qquad\text{d'où}\qquad \mathit{MI} = \bar{D},
\end{equation}
et le nombre de mois d'inventaire serait exactement la durée moyenne passée dans l'inventaire par une propriété. Or le \motcle{délai de vente} médian publié par l'APCIQ, qui mesure le temps écoulé entre l'inscription et la promesse d'achat acceptée pour les propriétés \emph{vendues} au cours du trimestre, est presque toujours très inférieur au nombre de mois d'inventaire. Au troisième trimestre de 2026, le délai médian d'une unifamiliale était de 40 jours à Montréal, soit 1,3 mois, alors que l'inventaire représentait 6,6 mois de ventes \parencite{apciqt32026} ; le rapport entre les deux est de cinq. L'écart a deux causes, et toutes deux instruisent l'évaluateur. La première est la censure : le délai de vente n'est observé que pour les propriétés qui se sont vendues, et il ignore celles qui attendent encore, qui seront retirées sans vente ou qui seront réinscrites après une baisse de prix ; la durée de séjour de l'ensemble des inscriptions est donc nécessairement plus longue que celle des seules propriétés vendues. La seconde est l'hétérogénéité : dans un même marché, les propriétés bien évaluées et bien situées se vendent en quelques semaines, tandis que les propriétés surévaluées ou atypiques s'accumulent dans l'inventaire ; le rapport du nombre de mois d'inventaire au délai médian, que l'on peut appeler ratio stock sur flux, mesure l'importance de cette queue d'inscriptions qui ne trouvent pas preneur au prix demandé. Un ratio élevé signale un marché où une large part de l'offre est hors du prix, ce qui précède souvent une baisse des prix demandés et, avec retard, des prix vendus.

Le \motcle{ratio du prix vendu au prix demandé} complète ces indicateurs en mesurant la marge de négociation :
\begin{equation}\label{eq:15:rvd}
\rho_j = \frac{P_j}{P^{\text{dem}}_j}, \qquad \bar\rho = \operatorname{méd}_j\, \rho_j ,
\end{equation}
où $P^{\text{dem}}_j$ est le prix demandé de la propriété $j$ et $P_j$ son prix de vente. Un ratio médian inférieur à l'unité indique un marché où les acheteurs négocient ; un ratio supérieur à l'unité, observé au Québec en 2021 et au début de 2022, signale des surenchères. La définition cache une ambiguïté : le prix demandé peut être le prix initial à l'inscription ou le dernier prix affiché après révisions, et les deux conventions donnent des ratios différents, le premier étant plus bas dans un marché où les vendeurs révisent à la baisse. L'APCIQ ne publie pas ce ratio dans ses communiqués et ses baromètres trimestriels, et aucune source publique québécoise consultée pour cet ouvrage ne le diffuse ; il provient des bases de données des courtiers et des services d'évaluation qui y ont accès. Lorsque l'évaluateur en dispose, il doit déclarer la convention de prix demandé, la période et le segment ; lorsqu'il n'en dispose pas, il décrit la marge de négociation qualitativement, à partir des délais et de l'inventaire, sans inventer de chiffre.

\subsection{Les marchés métropolitains du Québec à l'automne 2026}

Le \cref{tab:15:indicateurs} applique ces définitions aux chiffres publiés par l'APCIQ pour le troisième trimestre de 2026, et la \cref{fig:15:inventaire} les représente. Les mois d'inventaire vont de 3,1 à Québec à 6,6 à Montréal ; le taux d'absorption mensuel correspondant va de \pct{32.7} à \pct{15.2}, ce qui veut dire qu'un tiers du stock de la RMR de Québec trouve preneur chaque mois contre un sixième de celui de Montréal. Le ratio stock sur flux, calculé pour les trois RMR dont le délai de vente est publié, est de 3,2 à Québec, de 5,0 à Montréal et de 5,8 à Gatineau : c'est à Gatineau que la queue d'inscriptions hors du prix est la plus longue relativement aux ventes qui se concluent, ce qui est cohérent avec une hausse de \pct{42} des inscriptions sur un an et une baisse de \pct{3} du prix médian des unifamiliales \parencite{apciqgatineaut32026}. Pour l'évaluateur du cas 1, dont la date d'évaluation est le 1\ier{} septembre 2026, ces indicateurs ont trois conséquences : la fenêtre temporelle des comparables doit être courte et l'ajustement de conditions du marché, s'il est appliqué à des ventes de 2025, doit être nul ou légèrement négatif plutôt que positif ; le délai d'exposition raisonnable à mentionner au rapport est de l'ordre d'un à deux mois pour une propriété correctement évaluée, mais le risque d'un délai beaucoup plus long existe si le prix demandé excède le marché ; et la fourchette de valeur doit être plus large qu'en marché tendu, parce que la dispersion des prix autour de la valeur croît avec la marge de négociation.

\begin{table}[htbp]
\caption{Indicateurs de conjoncture de la revente, troisième trimestre de 2026, propriétés résidentielles vendues par courtier}\label{tab:15:indicateurs}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
\begin{tabular}{@{}lS[table-format=1.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=1.1]@{}}
\toprule
Territoire & {Mois d'inv.} & {Absorp. (\%/mois)} & {Délai unif. (j)} & {Délai copro. (j)} & {Délai plex (j)} & {Stock/flux} \\
\midrule
Province de Québec & 6.1 & 16.5 & 45 & 58 & 48 & 4.1 \\
RMR de Montréal & 6.6 & 15.2 & 40 & 61 & 51 & 5.0 \\
RMR de Québec & 3.1 & 32.7 & 29 & 34 & 30 & 3.2 \\
RMR de Gatineau & 6.5 & 15.4 & 34 & 36 & 38 & 5.8 \\
RMR de Sherbrooke & 4.3 & 23.0 & {---} & {---} & {---} & {---} \\
RMR de Trois-Rivières & 3.6 & 27.7 & {---} & {---} & {---} & {---} \\
RMR de Saguenay & 4.0 & 24.8 & {---} & {---} & {---} & {---} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{ventes, inscriptions en vigueur et délais de vente médians : APCIQ par le système Centris, communiqué du 14 octobre 2026 et baromètres du troisième trimestre de 2026 \parencite{apciqt32026,apciqgatineaut32026}, consultés le 31 octobre 2026 ; mois d'inventaire (\cref{eq:15:mi}), taux d'absorption (\cref{eq:15:absorption}) et ratio stock sur flux (mois d'inventaire divisés par le délai médian de l'unifamiliale converti en mois) : calculs de l'auteur, \texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py}. Les délais ne sont pas publiés pour les trois plus petites RMR dans les documents consultés.}
\end{table}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{ch15/ch15-fig-mois-inventaire.pdf}
\caption{Mois d'inventaire des sept marchés métropolitains du Québec au troisième trimestre de 2026, avec le délai de vente médian de l'unifamiliale lorsqu'il est publié. Les bandes rappellent les seuils d'usage, qui sont des conventions de métier et non des normes ; Montréal et Gatineau ont franchi le seuil de six mois tandis que Québec reste nettement en deçà de quatre.}\label{fig:15:inventaire}
\figsource{APCIQ par le système Centris, communiqué du 14 octobre 2026 et baromètres T3 2026 \parencite{apciqt32026,apciqgatineaut32026}, consultés le 31 octobre 2026 ; calculs de l'auteur, script \texttt{analysis/python/figures/ch15\_figures.py}.}
\end{figure}

Les seuils qui délimitent les bandes de la \cref{fig:15:inventaire}, environ quatre mois en deçà desquels le marché est dit favorable aux vendeurs et six mois au-delà desquels il est dit favorable aux acheteurs, sont des usages de la pratique canadienne du courtage ; ils ne reposent sur aucune norme et ils varient selon le segment, un marché de condominiums neufs supportant un inventaire plus long qu'un marché d'unifamiliales. Ils sont néanmoins utiles comme repères, à condition de les présenter comme tels dans le rapport et d'y joindre la tendance : un marché à cinq mois d'inventaire dont l'offre augmente de \pct{40} par année n'est pas dans la même situation qu'un marché à cinq mois dont l'offre diminue.

\subsection{Descendre à l'échelle du sous-marché}

Les indicateurs métropolitains sont nécessaires mais insuffisants : le sujet se vend dans un secteur, non dans une RMR. Le baromètre de l'APCIQ pour Gatineau donne les ventes et les médianes par secteur, mais ni les inscriptions ni les délais, de sorte que les mois d'inventaire ne peuvent pas être calculés au niveau du secteur à partir des seules sources publiques ; il faut pour cela l'accès aux données de courtage. Ce que les chiffres publics permettent, c'est de situer le sous-marché du sujet dans la hiérarchie des prix et des volumes. Le \cref{tab:15:parts} compare la répartition des 1\,044 ventes résidentielles du troisième trimestre de 2026 entre les secteurs de Gatineau à celle des 600 ventes du jeu synthétique du cas 1. Le secteur Gatineau pèse un tiers des ventes dans les deux cas ; Aylmer un cinquième ; Buckingham et Masson-Angers réunis un dixième dans le marché réel et un septième dans le jeu synthétique ; Hull, en revanche, représente \pct{16.7} des ventes réelles mais \pct{31} des ventes synthétiques, et la périphérie, qui compte pour un cinquième du marché réel, n'existe pas dans le jeu. Cette surreprésentation de Hull est un choix de construction, le sujet y étant situé et le \cref{ch:16} ayant besoin d'un bassin suffisant de candidats dans son secteur ; elle doit être connue du lecteur avant que les segments statistiques des sections suivantes ne soient interprétés, parce qu'un segment qui regroupe des ventes de Hull et du secteur Gatineau reflète en partie cette composition.

\begin{table}[htbp]
\caption{Répartition des ventes résidentielles entre les secteurs de la RMR de Gatineau : marché réel du troisième trimestre de 2026 et jeu synthétique du cas 1}\label{tab:15:parts}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
\begin{tabular}{@{}lS[table-format=4.0]S[table-format=3.1]S[table-format=3.0]S[table-format=3.1]S[table-format=6.0]@{}}
\toprule
Secteur & {Ventes T3 2026} & {Part (\%)} & {Ventes synth.} & {Part (\%)} & {Méd. unif. T3 2026 (\$)} \\
\midrule
Gatineau & 346 & 33.1 & 200 & 33.3 & 464900 \\
Hull & 174 & 16.7 & 186 & 31.0 & 475000 \\
Aylmer & 201 & 19.3 & 125 & 20.8 & 530000 \\
Buckingham / Masson-Angers & 108 & 10.3 & 89 & 14.8 & 395000 \\
Périphérie & 215 & 20.6 & 0 & 0.0 & 530000 \\
\midrule
Total & 1044 & 100.0 & 600 & 100.0 & {---} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{ventes et médianes réelles : APCIQ par le système Centris, baromètre de la RMR de Gatineau, T3 2026 \parencite{apciqgatineaut32026} ; ventes synthétiques : \synth{\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}, janvier 2023 à août 2026, graine 20261031} ; calculs : \texttt{ch15\_segmentation.py}.}
\end{table}

\begin{pratique}
L'étude de marché d'un rapport d'évaluation résidentiel tient en une ou deux pages, mais chaque phrase y est sourcée. Elle indique le découpage retenu pour le marché du sujet et la raison de ce choix ; les volumes et les médianes du dernier trimestre publié, avec leur variation annuelle ; les mois d'inventaire et le délai de vente, avec la convention de calcul ; la tendance des prix selon au moins une source indépendante du courtage ; et, pour un immeuble de revenu, les loyers, l'inoccupation et la rotation de la zone. Elle se termine par les conséquences méthodologiques : fenêtre temporelle des comparables, signe attendu de l'ajustement de conditions du marché, délai d'exposition raisonnable, largeur de la fourchette. Les définitions professionnelles de la valeur marchande supposent une « mise en vente d'une durée suffisante » \parencite[Intro-11]{oeaqNormes} : l'étude de marché est ce qui permet de dire ce que « suffisante » veut dire à la date d'évaluation.
\end{pratique}

\section{La segmentation statistique du marché}\label{sec:15:classification}

\begin{synthetique}
Les sections qui suivent utilisent les 600 ventes synthétiques du cas 1, décrites dans \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv} et générées par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} : le logarithme du prix est une fonction commune à tous les secteurs des attributs (superficie, terrain, âge, qualité, garage, sous-sol, piscine, type), plus une prime de secteur calibrée sur les médianes publiées par l'APCIQ, plus une tendance temporelle, plus un bruit d'écart-type 0,085. Les coordonnées sont fictives. Cette construction est importante pour la lecture des résultats : \emph{par construction}, les coefficients des attributs sont identiques d'un secteur à l'autre et seules les constantes diffèrent, de sorte que l'on connaît la réponse que le test de Chow devrait donner. Tous les chiffres sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py} ; les figures par \texttt{analysis/python/figures/ch15\_figures.py}.
\end{synthetique}

\subsection{Pourquoi segmenter un modèle de prix}

Le modèle hédonique de référence de l'ouvrage, estimé au \cref{ch:18} sur les 600 ventes et fourni par \texttt{traite.cas1.hedonique}, explique le logarithme du prix par les attributs, des indicatrices de secteur et une tendance mensuelle ; il atteint un $R^2$ de 0,853 et un écart-type résiduel de 0,0830. Il suppose que le prix d'un mètre carré supplémentaire, d'une année d'âge ou d'un échelon de qualité est le même à Aylmer, à Hull et à Masson-Angers, et que seul le niveau général des prix diffère. Segmenter le modèle, c'est relâcher cette hypothèse en estimant l'\cref{eq:15:sousmarche} séparément dans chaque sous-marché $g$ :
\begin{equation}\label{eq:15:segmente}
\ln P_i = \alpha_{g(i)} + \mathbf{x}_i\T \boldsymbol{\beta}_{g(i)} + \tau\, t_i + \varepsilon_i, \qquad i \in g .
\end{equation}
Le gain est une réduction du biais si les structures diffèrent réellement ; le coût est une augmentation de la variance, puisque chaque équation est estimée sur une fraction de l'échantillon. Dans le cas 1, le secteur de Buckingham compte 42 ventes et celui de Masson-Angers 47, pour douze coefficients à estimer : les prix implicites qui en sortiraient auraient des erreurs-types trois à cinq fois plus grandes que celles du modèle commun. L'arbitrage est le même que celui du \cref{ch:16} pour le nombre de comparables : il faut segmenter autant que les structures l'exigent et pas davantage, et la décision doit s'appuyer sur deux outils, un test de l'hypothèse de coefficients communs et une mesure de la précision hors échantillon.

Avant de tester, il faut toutefois disposer d'une partition. La segmentation a priori par secteur en fournit une ; la classification statistique en propose d'autres, construites à partir de la ressemblance des biens plutôt que des frontières administratives. Les deux familles de méthodes les plus utilisées en évaluation, les k-moyennes et la classification hiérarchique ascendante, sont exposées ci-dessous.

\subsection{Les k-moyennes et la classification hiérarchique}

Soit $\mathbf{z}_i \in \mathbb{R}^p$ le vecteur des variables de classification du bien $i$, centrées et réduites pour que chaque variable pèse du même poids quelle que soit son unité. L'algorithme des \motcle{k-moyennes} (\emph{k-means}), formalisé par MacQueen en 1967, cherche la partition en $k$ groupes $C_1, \dots, C_k$ qui minimise l'inertie intra-groupe, c'est-à-dire la somme des carrés des distances de chaque point au centre de son groupe :
\begin{equation}\label{eq:15:kmeans}
\min_{C_1,\dots,C_k}\ \sum_{g=1}^{k} \sum_{i \in C_g} \norm{\mathbf{z}_i - \bar{\mathbf{z}}_g}^2, \qquad \bar{\mathbf{z}}_g = \frac{1}{\abs{C_g}} \sum_{i \in C_g} \mathbf{z}_i .
\end{equation}
Le problème est combinatoire et l'algorithme ne garantit qu'un optimum local : partant de $k$ centres initiaux, il affecte chaque point au centre le plus proche, recalcule les centres, et recommence jusqu'à stabilité. On le relance donc depuis plusieurs initialisations, vingt dans les calculs de ce chapitre, et l'on retient la meilleure. La \motcle{classification hiérarchique} ascendante procède autrement : elle part de $n$ groupes d'un seul bien et fusionne à chaque étape les deux groupes les plus proches, jusqu'à n'en former qu'un. Le critère de \textcite{ward1963}, le plus utilisé pour des variables continues, fusionne les deux groupes dont la réunion augmente le moins l'inertie intra-groupe :
\begin{equation}\label{eq:15:ward}
\Delta(C_a, C_b) = \frac{\abs{C_a}\,\abs{C_b}}{\abs{C_a} + \abs{C_b}}\ \norm{\bar{\mathbf{z}}_a - \bar{\mathbf{z}}_b}^2 ,
\end{equation}
de sorte qu'il poursuit le même objectif que les k-moyennes par un chemin différent, déterministe et hiérarchique. La suite des fusions se représente par un \motcle{dendrogramme}, arbre dont la hauteur de chaque nœud est la distance de fusion $\Delta$ ; couper l'arbre à une hauteur donnée produit une partition, et les grands sauts de hauteur entre deux fusions successives signalent les nombres de groupes « naturels ».

Le choix du nombre de segments $k$ est le point délicat. L'inertie intra-groupe diminue mécaniquement avec $k$ et ne peut servir de critère ; on recourt à la \motcle{silhouette} proposée par \textcite{rousseeuw1987}, qui compare pour chaque bien sa distance moyenne aux membres de son propre groupe à sa distance moyenne aux membres du groupe voisin le plus proche.

\begin{definition}{Silhouette}{silhouette}
Pour un bien $i$ affecté au groupe $C_g$, soit $a_i$ la distance moyenne de $i$ aux autres membres de $C_g$ et $b_i$ la plus petite, sur les autres groupes $C_h$, des distances moyennes de $i$ aux membres de $C_h$. La silhouette de $i$ est
\begin{equation}\label{eq:15:silhouette}
s_i = \frac{b_i - a_i}{\max(a_i, b_i)} \in [-1, 1],
\end{equation}
et la silhouette moyenne d'une partition est $\bar s = n^{-1}\sum_i s_i$. Un $s_i$ proche de 1 indique un bien bien classé, loin du groupe voisin ; un $s_i$ proche de 0 un bien à la frontière de deux groupes ; un $s_i$ négatif un bien probablement mal classé. On retient le nombre de groupes qui maximise $\bar s$, sous réserve que les groupes aient un sens pour le marché.
\end{definition}

La silhouette a l'avantage de ne dépendre que des distances, donc d'être comparable entre méthodes et entre nombres de groupes ; elle a l'inconvénient de favoriser les partitions en peu de groupes bien séparés, qui ne sont pas toujours les plus utiles. Des ordres de grandeur indicatifs circulent, une silhouette moyenne supérieure à 0,5 signalant une structure nette et une silhouette inférieure à 0,25 une structure faible ou artificielle ; ils n'ont pas valeur de norme. Pour comparer deux partitions entre elles, par exemple les segments statistiques et les secteurs a priori, on utilise l'indice de Rand ajusté de \textcite{hubertArabie1985}, qui vaut 1 si les deux partitions coïncident, 0 si leur concordance est celle du hasard, et prend des valeurs intermédiaires selon la proportion de paires de biens classées ensemble ou séparément dans les deux partitions.

\subsection{Application aux 600 ventes du cas 1}

Les variables de classification retenues sont de deux natures : les attributs du bien, logarithme de la superficie habitable, logarithme du terrain, âge, qualité et type ; et sa localisation, coordonnées projetées en kilomètres et distance au centre. Trois jeux ont été essayés, attributs seuls, coordonnées seules, et les deux réunis, parce que le résultat dépend de ce choix autant que de la méthode. Le \cref{tab:15:silhouette} donne, pour le jeu complet, la silhouette moyenne des k-moyennes et de Ward pour $k$ de 2 à 8, l'inertie des k-moyennes et l'indice de Rand ajusté entre les deux méthodes ; la \cref{fig:15:dendrogramme} montre le dendrogramme de Ward et la \cref{fig:15:silhouette} la silhouette moyenne pour les trois jeux de variables ainsi que le profil des silhouettes individuelles à $k = 5$.

\begin{table}[htbp]
\caption{Silhouette moyenne et inertie selon le nombre de segments, 600 ventes du cas 1, variables : attributs et coordonnées centrés-réduits (données synthétiques)}\label{tab:15:silhouette}
\centering\footnotesize
\begin{tabular}{@{}S[table-format=1.0]S[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=4.0]S[table-format=1.3]@{}}
\toprule
{$k$} & {$\bar s$, k-moy.} & {$\bar s$, Ward} & {Inertie, k-moy.} & {ARI k-moy./Ward} \\
\midrule
2 & 0.417 & 0.417 & 3261 & 1.000 \\
3 & 0.225 & 0.225 & 2749 & 1.000 \\
4 & 0.187 & 0.157 & 2548 & 0.765 \\
5 & 0.188 & 0.156 & 2378 & 0.476 \\
6 & 0.185 & 0.149 & 2238 & 0.569 \\
7 & 0.174 & 0.149 & 2138 & 0.478 \\
8 & 0.181 & 0.159 & 2035 & 0.498 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py} ; k-moyennes : 20 initialisations, graine 20261031 ; Ward : \texttt{scipy.cluster.hierarchy} ; ARI : indice de Rand ajusté entre les deux partitions au même $k$.}}
\end{table}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{ch15/ch15-fig-dendrogramme.pdf}
\caption{Dendrogramme de Ward des 600 ventes synthétiques du cas 1 (attributs et coordonnées centrés-réduits), tronqué à trente grappes terminales. La fusion finale, de loin la plus coûteuse, sépare les ventes de l'est de la RMR des autres ; les coupes à $k = 2$ et $k = 5$ sont indiquées. Les hauteurs intermédiaires décroissent sans saut marqué, signe d'une structure faible au-delà de deux groupes.}\label{fig:15:dendrogramme}
\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch15\_figures.py}, graine 20261031}}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{ch15/ch15-fig-silhouette.pdf}
\caption{(a) Silhouette moyenne des k-moyennes selon le nombre de segments, pour trois jeux de variables : les attributs seuls ne révèlent aucune structure, les coordonnées seules en révèlent une nette, et le jeu complet se situe entre les deux. (b) Profil des silhouettes individuelles à $k = 5$ pour le jeu complet : les segments sont peu séparés et plusieurs ventes ont une silhouette négative.}\label{fig:15:silhouette}
\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch15\_figures.py}, graine 20261031}}
\end{figure}

Trois enseignements se dégagent. Le premier est que la structure la plus nette est à deux groupes : la silhouette moyenne vaut 0,417 à $k = 2$ et tombe à 0,225 dès $k = 3$, puis stagne autour de 0,18 ; les k-moyennes et Ward coïncident exactement jusqu'à $k = 3$ et divergent ensuite, ce qui est un autre signe que la structure au-delà de deux ou trois groupes est fragile. Le segment qui se détache regroupe les 89 ventes de Buckingham et de Masson-Angers, à une trentaine de kilomètres du centre, dont le prix médian de \dollars{371000} et le prix médian au mètre carré de \parmsq{2684} contrastent avec les \dollars{495500} et \parmsq{3529} des 511 autres ventes. Le deuxième enseignement est que cette structure est géographique : avec les coordonnées seules, la silhouette atteint 0,735 à $k = 2$ et reste à 0,672 à $k = 5$, où la partition reproduit presque exactement les cinq secteurs, avec un indice de Rand ajusté de 0,986 ; avec les attributs seuls, elle plafonne à 0,221 et la partition n'a aucun rapport avec les secteurs, l'indice de Rand ajusté étant de 0,001. Autrement dit, les maisons du jeu synthétique ne forment pas de « types » distincts par leur taille, leur âge et leur qualité, qui varient continûment, mais elles forment des grappes spatiales qui sont les secteurs. Le troisième enseignement concerne le jeu complet à $k = 5$ : la silhouette de 0,188 est faible, les segments mélangent les critères, et leur concordance avec les secteurs est médiocre, l'indice de Rand ajusté valant 0,124. Le \cref{tab:15:profil} et la \cref{fig:15:carte} en donnent le détail.

\begin{table}[htbp]
\caption{Profil des cinq segments des k-moyennes (attributs et coordonnées) et croisement avec les secteurs, cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:15:profil}
\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}
\begin{tabular}{@{}cS[table-format=3.0]S[table-format=3.1]S[table-format=2.0]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]S[table-format=6.0]S[table-format=4.0]S[table-format=3.0]S[table-format=3.0]S[table-format=3.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]@{}}
\toprule
Seg. & {$n$} & {Sup. (m\textsuperscript{2})} & {Âge} & {Qual.} & {Dist. (km)} & {Prix (\$)} & {\$/m\textsuperscript{2}} & {Hull} & {Gat.} & {Ayl.} & {Buck.} & {M.-A.} \\
\midrule
1 & 197 & 135.0 & 41 & 3.36 & 6.9 & 523500 & 3655 & 69 & 83 & 45 & 0 & 0 \\
2 & 89 & 145.0 & 43 & 3.09 & 28.1 & 371000 & 2684 & 0 & 0 & 0 & 42 & 47 \\
3 & 120 & 165.5 & 50 & 3.05 & 6.3 & 528000 & 3179 & 51 & 35 & 34 & 0 & 0 \\
4 & 96 & 145.5 & 44 & 1.81 & 7.2 & 473250 & 3350 & 33 & 34 & 29 & 0 & 0 \\
5 & 98 & 116.0 & 34 & 3.14 & 6.9 & 446750 & 3853 & 33 & 48 & 17 & 0 & 0 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py}, k-moyennes à $k = 5$, 20 initialisations, graine 20261031 ; superficie, âge, distance au centre et prix : médianes ; qualité : moyenne ; les cinq dernières colonnes donnent le nombre de ventes de chaque secteur dans le segment ; silhouette moyenne 0,188 ; indice de Rand ajusté avec les secteurs 0,124.}}
\end{table}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{ch15/ch15-fig-carte-segments.pdf}
\caption{Carte fictive des segments des k-moyennes : (a) le segment « Est » de la partition à deux groupes ; (b) à (f) les cinq segments de la partition à cinq groupes, chacun mis en évidence sur fond des autres ventes ; l'étoile marque le sujet. Seul le segment 2 est purement géographique ; les segments 1, 3, 4 et 5 découpent l'ouest de la RMR selon la qualité, la taille et l'âge et chevauchent les trois secteurs de Hull, Gatineau et Aylmer.}\label{fig:15:carte}
\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch15\_figures.py}, coordonnées fictives projetées en kilomètres, graine 20261031}}
\end{figure}

Le segment 2 est l'est de la RMR ; le segment 4 regroupe les maisons de qualité inférieure, de moyenne 1,81 sur une échelle de 1 à 5, où qu'elles se trouvent à l'ouest ; le segment 5 les petites maisons récentes, de \msq{116} et 34 ans en médiane ; le segment 3 les grandes maisons anciennes, de \msq{165} et 50 ans ; et le segment 1 les maisons de qualité supérieure à la moyenne. Ces segments ont une cohérence descriptive, mais ils ne sont pas des sous-marchés au sens de la \cref{def:sousmarche} : rien n'indique qu'une maison de qualité 2 à Aylmer et une maison de qualité 2 à Gatineau soient des substituts pour le même acheteur, ni que la relation entre le prix et la superficie y soit différente de celle des maisons de qualité 4. C'est la limite de la classification non supervisée : elle regroupe ce qui se ressemble, non ce qui se vend de la même façon. Seul un test portant sur la relation entre le prix et les attributs peut dire si une partition, a priori ou statistique, définit des sous-marchés.

\section{Le test de Chow : une équation ou plusieurs ?}\label{sec:15:chow}

\subsection{Dérivation}

Le test proposé par \textcite{chow1960} compare l'ajustement d'un modèle linéaire estimé sous la contrainte de coefficients communs à celui du même modèle estimé librement dans chaque segment. Soit $n$ observations réparties en $G$ segments d'effectifs $n_1, \dots, n_G$, et $k_0$ régresseurs, constante comprise. Le modèle libre estime $G$ équations distinctes, soit $G k_0$ coefficients, et sa somme des carrés des résidus est $\mathit{SCR}_{\text{L}} = \sum_g \mathit{SCR}_g$. Le modèle contraint impose des restrictions linéaires sur ces coefficients ; dans la version \emph{classique}, il impose que tous les coefficients soient égaux entre segments, soit une seule équation à $k_0$ coefficients et $q_0 = (G-1)k_0$ restrictions ; dans la version que l'on appellera \emph{pentes}, plus pertinente pour l'évaluation, il laisse libre la constante de chaque segment et n'impose l'égalité que des $k_0 - 1$ pentes, soit $k_0 + G - 1$ coefficients et $q = (G-1)(k_0-1)$ restrictions. Dans les deux cas, la statistique de test est le rapport de l'accroissement de la somme des carrés dû aux restrictions, par restriction, à la variance résiduelle du modèle libre.

\begin{proposition}{Test de Chow}{chow}
Sous les hypothèses du modèle linéaire classique, erreurs normales, indépendantes, de variance $\sigma^2$ identique dans tous les segments, et sous l'hypothèse nulle $H_0$ que les $q$ restrictions sont vraies, la statistique
\begin{equation}\label{eq:15:chow}
F = \frac{\left(\mathit{SCR}_{\text{C}} - \mathit{SCR}_{\text{L}}\right)/q}{\mathit{SCR}_{\text{L}}/(n - G k_0)}
\end{equation}
suit une loi de Fisher à $q$ et $n - Gk_0$ degrés de liberté, où $\mathit{SCR}_{\text{C}}$ est la somme des carrés des résidus du modèle contraint. On rejette $H_0$ au seuil $\alpha$ si $F$ dépasse le quantile $F_{1-\alpha}(q, n - Gk_0)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Le modèle libre s'écrit comme une seule régression empilée $\mathbf{y} = \mathbf{X}_{\text{L}} \boldsymbol{\theta} + \boldsymbol{\varepsilon}$, où $\mathbf{X}_{\text{L}}$ est diagonale par blocs, chaque bloc étant la matrice des régresseurs d'un segment, et $\boldsymbol{\theta}$ empile les $G k_0$ coefficients. Le modèle contraint est $\mathbf{R}\boldsymbol{\theta} = \mathbf{0}$ pour une matrice $\mathbf{R}$ de $q$ lignes indépendantes exprimant l'égalité des coefficients concernés entre segments. Sous normalité, $\mathit{SCR}_{\text{L}}/\sigma^2 \sim \chi^2(n - Gk_0)$ ; la différence $(\mathit{SCR}_{\text{C}} - \mathit{SCR}_{\text{L}})/\sigma^2$ est la forme quadratique $(\mathbf{R}\hat{\boldsymbol\theta})\T[\mathbf{R}(\mathbf{X}_{\text{L}}\T\mathbf{X}_{\text{L}})^{-1}\mathbf{R}\T]^{-1}(\mathbf{R}\hat{\boldsymbol\theta})/\sigma^2$, qui suit sous $H_0$ une loi $\chi^2(q)$ et est indépendante de $\mathit{SCR}_{\text{L}}$ par le théorème de Cochran, les deux formes quadratiques portant sur des projections orthogonales de $\boldsymbol\varepsilon$. Le rapport des deux khi-deux divisés par leurs degrés de liberté suit une loi $F(q, n - Gk_0)$, et $\sigma^2$ s'élimine. La version pentes s'obtient avec une matrice $\mathbf{R}$ qui ne porte pas sur les constantes ; la version classique avec une matrice qui porte sur tous les coefficients \parencite[chap.~4]{wooldridge2010}.
\end{proof}

La démonstration repose sur une hypothèse qu'il faut discuter : l'homoscédasticité, et en particulier l'égalité des variances résiduelles entre segments. Si un segment est plus bruyant qu'un autre, ce qui est fréquent lorsqu'un sous-marché est mince ou hétérogène, la statistique $F$ ne suit plus exactement sa loi de référence. On lui préfère alors une statistique de Wald construite sur le modèle empilé avec interactions, $\ln P_i = \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \sum_{g \neq 1} D_{ig}\,(\gamma_g + \tilde{\mathbf{x}}_i\T\boldsymbol\delta_g) + \varepsilon_i$, où $D_{ig}$ indique l'appartenance au segment $g$, $\tilde{\mathbf{x}}_i$ exclut la constante et les $\boldsymbol\delta_g$ mesurent l'écart des pentes du segment $g$ à celles du segment de référence :
\begin{equation}\label{eq:15:wald}
W = \hat{\boldsymbol\delta}\T\,\hat{\mathbf{V}}_{\text{HC1}}(\hat{\boldsymbol\delta})^{-1}\,\hat{\boldsymbol\delta} \ \overset{H_0}{\sim}\ \chi^2(q),
\end{equation}
avec $\hat{\mathbf{V}}_{\text{HC1}}$ la matrice de covariance robuste à l'hétéroscédasticité que l'annexe des conventions de calcul impose dans tout l'ouvrage. La statistique $W$ ne vaut qu'asymptotiquement, mais elle ne suppose rien sur l'égalité des variances ; lorsque $F$ et $W$ concluent dans le même sens, la décision est solide ; lorsqu'ils divergent, c'est le signe d'une hétéroscédasticité qu'il faut examiner. Une précaution technique s'impose enfin : un régresseur constant à l'intérieur d'un segment, par exemple l'indicatrice « à étages » lorsque l'on segmente par type de bâtiment, n'est pas identifiable dans l'équation de ce segment et doit être retiré du jeu des pentes testées, sa contribution passant dans la constante du segment ; le script du chapitre le fait automatiquement et le signale.

\subsection{Application : les cinq secteurs de Gatineau}

Le \cref{tab:15:coefficients} présente, pour chacun des cinq secteurs, les coefficients des quatre variables les plus importantes du modèle, estimés séparément avec leurs erreurs-types HC1, à côté du coefficient commun du modèle de référence ; la \cref{fig:15:coefficients} les représente avec leurs intervalles à 95 \%. Les élasticités de la superficie vont de 0,513 à Aylmer à 0,558 à Masson-Angers, autour d'un coefficient commun de 0,539 ; les prix implicites d'un échelon de qualité de \pct{4.8} à \pct{7.8}, autour de \pct{6.1} ; les effets de l'âge de $-0{,}0032$ à $-0{,}0055$ par année ; les tendances mensuelles de \pct{0.30} à \pct{0.44}. Aucun intervalle ne manque le coefficient commun, et les intervalles des deux petits secteurs sont deux à trois fois plus larges que ceux des grands, ce qui illustre le coût en variance de la segmentation.

\begin{table}[htbp]
\caption{Coefficients hédoniques estimés séparément dans chaque secteur (erreurs-types HC1 entre parenthèses) et coefficient commun du modèle de référence, cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:15:coefficients}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
\begin{tabular}{@{}lcccccc@{}}
\toprule
Secteur & $n$ & ln(superficie) & ln(terrain) & Âge & Qualité & Tendance (mois) \\
\midrule
Hull & 186 & 0,540 (0,022) & 0,083 (0,021) & $-$0,0043 (0,0010) & 0,064 (0,007) & 0,0032 (0,0005) \\
Gatineau & 200 & 0,556 (0,020) & 0,109 (0,020) & $-$0,0054 (0,0009) & 0,058 (0,008) & 0,0035 (0,0005) \\
Aylmer & 125 & 0,513 (0,029) & 0,047 (0,025) & $-$0,0032 (0,0016) & 0,054 (0,011) & 0,0044 (0,0006) \\
Buckingham & 42 & 0,536 (0,051) & 0,096 (0,046) & $-$0,0055 (0,0025) & 0,048 (0,017) & 0,0039 (0,0012) \\
Masson-Angers & 47 & 0,558 (0,061) & 0,161 (0,038) & $-$0,0053 (0,0023) & 0,078 (0,017) & 0,0030 (0,0012) \\
\midrule
Modèle commun & 600 & 0,539 (0,013) & 0,094 (0,011) & $-$0,0051 (0,0006) & 0,061 (0,004) & 0,0036 (0,0003) \\
Loi de génération & {---} & 0,55 & 0,10 & $-$0,0055 & 0,06 & 0,0036 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py} ; modèle commun : \texttt{traite.cas1.hedonique} (indicatrices de secteur incluses) ; chaque équation de secteur comprend aussi l'âge au carré, le garage, le sous-sol fini, la piscine, le type et la distance au centre ; loi de génération : \texttt{data/synthetic/README.md} (la tendance mensuelle de 0,0036 découle de la croissance annuelle de 4,43 \%).}}
\end{table}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{ch15/ch15-fig-coefficients-secteurs.pdf}
\caption{Coefficients de la superficie, de la qualité, de l'âge et de la tendance estimés séparément dans chaque secteur, avec intervalles à 95 \% (HC1) ; le tireté est le coefficient commun du modèle de référence. Tous les intervalles le contiennent ; ceux des deux petits secteurs sont nettement plus larges.}\label{fig:15:coefficients}
\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch15\_figures.py}, graine 20261031}}
\end{figure}

Le test formel confirme cette lecture. Avec $k_0 = 12$ régresseurs par équation et $G = 5$ secteurs, la somme des carrés des résidus passe de 4,0245 pour le modèle à constantes de secteur et pentes communes à 3,7360 pour les cinq équations libres ; la statistique pentes vaut
\begin{equation}\label{eq:15:chow-app}
F = \frac{(4{,}0245 - 3{,}7360)/44}{3{,}7360/540} = 0{,}948, \qquad p = 0{,}570,
\end{equation}
très loin du seuil critique $F_{0{,}95}(44, 540) = 1{,}40$ : l'hypothèse de pentes communes n'est pas rejetée. La statistique de Wald robuste donne $W = 54{,}5$ pour 44 degrés de liberté, $p = 0{,}134$, et conduit à la même conclusion. En revanche, la version classique, qui impose aussi l'égalité des constantes, donne $F = 8{,}03$ pour 48 et 540 degrés de liberté, avec une valeur $p$ de l'ordre de $10^{-38}$ : les niveaux de prix diffèrent massivement entre secteurs. La réponse à la question du titre est donc nuancée et, dans ce cas synthétique, conforme à la loi de génération : les cinq secteurs ne sont pas des sous-marchés au sens de la \cref{def:sousmarche}, puisque la structure des prix implicites y est la même, mais ils sont des niveaux de prix distincts, et une équation unique n'est acceptable qu'avec des effets de secteur. Supprimer ces effets, comme le fait le modèle entièrement commun, porte l'écart-type résiduel de 0,0830 à 0,104 et biaise toute comparaison entre secteurs.

\subsection{D'autres partitions, et le piège des tests multiples}

Le même test a été appliqué à cinq autres partitions, et le \cref{tab:15:tests} en rassemble les résultats. Le regroupement de Buckingham et de Masson-Angers en un secteur « Est », qui porte tous les effectifs au-dessus de 89 ventes, ne change rien : $p = 0{,}43$. Les partitions statistiques des k-moyennes, à deux et à cinq segments, ne révèlent pas davantage de différences de pentes, $p = 0{,}59$ et $p = 0{,}43$, tandis que la version classique rejette dans les deux cas parce que les segments ont des niveaux de prix différents ; la statistique de Wald à cinq segments, $p = 0{,}057$, frôle le seuil sans le franchir. La partition par type de bâtiment donne un résultat intermédiaire : le test $F$ des pentes ne rejette pas au seuil de 5 \% ($p = 0{,}079$), mais la statistique de Wald rejette ($p = 0{,}010$), divergence qui signale une hétéroscédasticité entre plain-pieds et maisons à étages plutôt qu'une différence de structure, et qui appellerait un examen des résidus avant toute conclusion. La partition temporelle, enfin, qui oppose les ventes de 2023-2024 à celles de 2025-2026, conduit à rejeter l'égalité des pentes au seuil de 5 \% par les trois statistiques, avec des valeurs $p$ de 0,034, 0,024 et 0,037.

\begin{table}[htbp]
\caption{Tests de stabilité des coefficients hédoniques pour six partitions des 600 ventes du cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:15:tests}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
\begin{tabular}{@{}lcccS[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=2.3]S[table-format=1.4]S[table-format=2.2]S[table-format=1.4]@{}}
\toprule
Partition & $G$ & $k_0$ & $q$ & {$F$ pentes} & {$p$} & {$F$ classique} & {$p$} & {$W$ (HC1)} & {$p$} \\
\midrule
Secteur (5) & 5 & 12 & 44 & 0.948 & 0.570 & 8.029 & {$<$ 0,0001} & 54.48 & 0.1338 \\
Secteur, Est regroupé (4) & 4 & 12 & 33 & 1.028 & 0.426 & 10.539 & {$<$ 0,0001} & 40.28 & 0.1791 \\
Type de bâtiment (2) & 2 & 11 & 10 & 1.692 & 0.079 & 3.118 & 0.0004 & 23.33 & 0.0096 \\
Période 2023-24 / 2025-26 (2) & 2 & 12 & 11 & 1.926 & 0.034 & 1.978 & 0.0240 & 20.64 & 0.0373 \\
k-moyennes, $k = 2$ & 2 & 12 & 11 & 0.852 & 0.588 & 19.189 & {$<$ 0,0001} & 12.56 & 0.3231 \\
k-moyennes, $k = 5$ & 5 & 11 & 40 & 1.028 & 0.427 & 6.371 & {$<$ 0,0001} & 55.01 & 0.0574 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py} ; $F$ pentes : \cref{eq:15:chow} avec constantes libres par segment, $q = (G-1)(k_0-1)$ ; $F$ classique : tous coefficients communs, $q_0 = (G-1)k_0$ ; $W$ : \cref{eq:15:wald} ; $k_0 = 11$ lorsque l'indicatrice « à étages » est constante dans un segment et retirée des pentes testées.}}
\end{table}

Ce dernier résultat mérite qu'on s'y arrête, parce qu'il est faux et que l'on sait pourquoi. Le jeu synthétique a été généré avec des coefficients constants dans le temps ; la seule chose qui change entre les deux périodes est le niveau des prix, capté par la tendance. Le rejet au seuil de 5 \% est donc une erreur de première espèce, et sa survenue n'a rien d'étonnant : six partitions ont été testées, chacune avec trois statistiques, et la probabilité qu'au moins un test sur six rejette à tort au seuil de 5 \% est de l'ordre de \pct{26} si les tests étaient indépendants. Au seuil de 1 \%, dont le quantile $F_{0{,}99}(11, 576)$ vaut 2,28, aucune statistique ne rejette. Sur des données réelles, l'évaluateur ne connaît pas la vérité, et la leçon est double : d'une part, les partitions testées doivent être fixées a priori, en petit nombre, pour des raisons de marché et non après inspection des données ; d'autre part, un rejet isolé à un seuil de 5 \%, surtout avec une valeur $p$ voisine du seuil, n'autorise pas à conclure à une rupture de structure sans un examen des coefficients concernés et sans une confirmation hors échantillon. Dans le cas présent, l'examen montrerait que la pente de la tendance, estimée sur une fenêtre de deux ans dans chaque sous-période, est mal identifiée et porte l'essentiel de l'écart.

\subsection{La précision hors échantillon tranche}

Le test de Chow dit si les coefficients diffèrent significativement ; il ne dit pas si la segmentation améliore les prédictions, qui est la question qui importe à l'évaluateur. \textcite{goodmanThibodeau2003} ont proposé de trancher par la précision hors échantillon, et le \cref{tab:15:cv} applique leur critère : les 600 ventes sont réparties au hasard en dix plis, chaque spécification est estimée sur neuf plis et ses prédictions sont évaluées sur le dixième, et l'on rapporte la racine de l'erreur quadratique moyenne en logarithme ainsi que l'erreur absolue médiane et moyenne en pourcentage du prix.

\begin{table}[htbp]
\caption{Précision prédictive hors échantillon (validation croisée à dix plis) de sept spécifications, cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:15:cv}
\centering\footnotesize
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}YS[table-format=1.4]S[table-format=1.2]S[table-format=1.2]@{}}
\toprule
Spécification & {RMSE (log)} & {Err. abs. méd. (\%)} & {Err. abs. moy. (\%)} \\
\midrule
Équation unique sans segment & 0.1053 & 7.08 & 8.39 \\
Pentes communes + indicatrices de secteur (référence) & 0.0839 & 5.81 & 6.79 \\
Une équation par secteur & 0.0888 & 6.26 & 7.19 \\
Pentes communes + indicatrices k-moyennes, $k = 2$ & 0.0898 & 6.53 & 7.32 \\
Une équation par segment k-moyennes, $k = 2$ & 0.0904 & 6.65 & 7.37 \\
Pentes communes + indicatrices k-moyennes, $k = 5$ & 0.0901 & 6.55 & 7.33 \\
Une équation par segment k-moyennes, $k = 5$ & 0.0942 & 6.71 & 7.62 \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py} ; dix plis aléatoires, graine 20261031 ; erreurs en pourcentage calculées sur $\exp(\text{résidu}) - 1$.}}
\end{table}

Le classement est sans ambiguïté. L'équation unique sans aucun effet de localisation est la pire, avec une erreur absolue médiane de \pct{7.1} ; l'ajout des indicatrices de secteur la ramène à \pct{5.8}, soit un gain d'un cinquième ; et toutes les spécifications segmentées font moins bien que cette référence, l'équation par secteur à \pct{6.3} et l'équation par segment statistique à cinq groupes à \pct{6.7}. La segmentation par secteur coûte de la variance sans réduire de biais, puisque les pentes sont communes ; la segmentation statistique coûte davantage encore, parce que ses segments ne captent pas les primes de secteur aussi bien que les secteurs eux-mêmes, le segment 1 mélangeant par exemple des ventes de Hull, de Gatineau et d'Aylmer dont les niveaux de prix diffèrent de \pct{2} à \pct{9}. Le résultat rejoint celui de \textcite{bourassaHoesliPeng2003} sur des données réelles : la connaissance a priori du marché, ici les cinq secteurs de courtage, fait mieux que la classification statistique, et l'important est d'inclure les sous-marchés comme effets de niveau plutôt que de multiplier les équations. On gardera toutefois à l'esprit que ce verdict dépend des données : sur un marché réel où les prix implicites diffèrent effectivement entre sous-marchés, par exemple entre un centre-ville dense où le terrain commande le prix et une banlieue où c'est la surface habitable, la segmentation réduit le biais et peut l'emporter, comme l'ont trouvé \textcite{goodmanThibodeau2003} à Dallas et \textcite{bourassaCantoniHoesli2010} en comparant les sous-marchés aux méthodes spatiales du \cref{ch:19}.

\section{Sensibilité : variables de classification et partitions}\label{sec:15:sensibilite}

Les conclusions des deux sections précédentes dépendent de choix de l'analyste, et le \cref{tab:15:sens} mesure leur sensibilité au plus important d'entre eux, le jeu des variables de classification. Avec les attributs seuls, la silhouette maximale est de 0,221 à $k = 2$ et la partition n'a aucun lien avec les secteurs ; avec les coordonnées seules, elle atteint 0,735 et la partition à cinq groupes reproduit les secteurs à \pct{98.6} ; avec le jeu complet, les résultats sont intermédiaires et instables au-delà de $k = 2$. La leçon est que la classification révèle la structure que les variables contiennent : des coordonnées produisent des grappes spatiales, des attributs des types de maisons, et le mélange des deux un compromis qui n'a de sens que si l'on pondère les variables selon leur importance pour le prix, par exemple en utilisant comme variables de classification les prix implicites des attributs multipliés par ceux-ci, ce qui revient à classer les biens selon la décomposition de leur prix prédit plutôt que selon leurs caractéristiques brutes. La sensibilité des tests de Chow à la partition a été examinée au \cref{tab:15:tests} : la conclusion de pentes communes résiste à toutes les partitions géographiques et statistiques, et ne cède qu'à la partition temporelle, pour les raisons de tests multiples déjà discutées. Celle de la validation croisée est robuste au nombre de plis et à la graine aléatoire, le classement des spécifications ne changeant pas lorsque l'on passe de dix à cinq plis ou que l'on change l'ordre des observations, ce que le lecteur peut vérifier en modifiant le script.

\begin{table}[htbp]
\caption{Sensibilité de la segmentation statistique au jeu de variables de classification, k-moyennes, cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:15:sens}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}YcS[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=1.3]@{}}
\toprule
Variables & $k^{*}$ & {$\bar s$ à $k^{*}$} & {ARI à $k^{*}$} & {$\bar s$ à $k = 5$} & {ARI à $k = 5$} \\
\midrule
Attributs seuls (superficie, terrain, âge, qualité, type) & 2 & 0.221 & 0.001 & 0.180 & 0.048 \\
Coordonnées seules (x, y, distance au centre) & 2 & 0.735 & 0.213 & 0.672 & 0.986 \\
Attributs et coordonnées & 2 & 0.417 & 0.213 & 0.188 & 0.124 \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py}, 20 initialisations, graine 20261031 ; $k^{*}$ : nombre de segments maximisant la silhouette ; ARI : indice de Rand ajusté entre la partition et les cinq secteurs.}}
\end{table}

\section{L'étude de marché locatif : l'immeuble du cas 3}\label{sec:15:locatif}

\subsection{L'univers et la structure des loyers de la zone}

L'étude de marché d'un immeuble de logements porte sur un marché différent, celui des loyers, et ses indicateurs viennent d'une source différente, l'Enquête sur les logements locatifs de la SCHL, dont les résultats d'octobre sont publiés en décembre dans le Rapport sur le marché locatif \parencite{schlLocatif2025}. L'enquête couvre les appartements d'initiative privée des immeubles de trois logements et plus, et elle les décrit par zone, par nombre de chambres, par taille d'immeuble et par année de construction, avec un indicateur de qualité statistique de a à d et la suppression des cellules dont l'échantillon est insuffisant. L'immeuble du cas 3, douze logements de 1962 dans Rosemont--La Petite-Patrie, relève de la zone 9 de la RMR de Montréal. Le \cref{tab:15:locatif} rassemble les indicateurs pertinents de cette zone, de l'île et de la RMR, et la \cref{fig:15:loyers} représente la structure des loyers et de l'univers par taille de logement.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{ch15/ch15-fig-loyers-rosemont.pdf}
\caption{(a) Loyer moyen des appartements d'initiative privée par taille de logement, octobre 2025, zone 9 Rosemont/La Petite-Patrie et RMR de Montréal : la zone suit la RMR pour les petits logements et la dépasse pour les trois chambres et plus. (b) Univers de la zone 9 par taille de logement : les deux chambres représentent la moitié des 44\,554 logements.}\label{fig:15:loyers}
\figsource{SCHL, Enquête sur les logements locatifs, octobre 2025, tableaux 1.1.2 et 1.1.3 de la RMR de Montréal \parencite{schlrmltables2025}, consultés le 31 octobre 2026 ; indicateurs de qualité SCHL de c à d pour les loyers de la zone 9 ; script \texttt{analysis/python/figures/ch15\_figures.py}.}
\end{figure}

\begin{table}[htbp]
\caption{Indicateurs du marché locatif pour l'immeuble du cas 3 : zone SCHL 9 Rosemont/La Petite-Patrie, île et RMR de Montréal, octobre 2025}\label{tab:15:locatif}
\centering\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}YL{32mm}L{32mm}L{30mm}@{}}
\toprule
Indicateur & Zone 9 Rosemont & Île, immeubles de 6 à 19 logements & RMR de Montréal \\
\midrule
Univers (appartements d'initiative privée, 3 logements et plus) & 44\,554 & --- & 667\,266 \\
Loyer moyen 1 ch. / 2 ch. / 3 ch. + (\$/mois) & 1\,055 / 1\,348 / 1\,750 & --- / 1\,177 / --- & 1\,131 / 1\,346 / 1\,626 \\
Loyer moyen, tous logements (\$/mois) & 1\,237 & 1\,162 & 1\,290 \\
Variation « même échantillon » 2024-2025, tous (\%) & 7,5 & --- & 7,4 \\
Taux d'inoccupation 2025, tous (\%) & supprimé (0,7 en 2024) & 2,2 (1,7 en 2024) & 2,9 (2,1 en 2024) \\
Taux d'inoccupation 2025, 1 ch. (\%) & 0,5 & --- & 3,2 \\
Taux de rotation 2025, tous (\%) & supprimé & 8,5 (9,4 en 2024) & 9,4 (11,1 en 2024) \\
Loyer des logements inoccupés vs occupés, 1 ch. (\$) & 1\,295 vs 1\,054 & --- & 1\,344 vs 1\,124 \\
Parc achevé de juillet 2022 à juin 2025 : logements, loyer moyen (\$) & 627 ; 1\,920 (2 ch. : 2\,226) & --- & --- \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\tabsource{SCHL, Enquête sur les logements locatifs, octobre 2025 (Rapport sur le marché locatif publié le 11 décembre 2025), tableaux 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.9, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.4 et 3.1.7 de la RMR de Montréal \parencite{schlrmltables2025,schlLocatif2025}, consultés le 31 octobre 2026 ; « supprimé » : cellule non publiée par la SCHL (échantillon insuffisant) ; indicateurs de qualité SCHL de a à d selon les cellules, les loyers de la zone 9 étant de qualité c ou d.}
\end{table}

La zone 9 est un marché locatif de grande taille, avec 44\,554 appartements d'initiative privée, soit \pct{6.7} de l'univers de la RMR, dominé par les logements de deux chambres, qui en forment la moitié, les une chambre comptant pour \pct{27.8}, les studios pour \pct{12.5} et les trois chambres et plus pour \pct{9.1}. Les loyers moyens d'octobre 2025, \dollars{1055} pour une chambre, \dollars{1348} pour deux et \dollars{1750} pour trois et plus, sont voisins de ceux de la RMR pour les petits logements et supérieurs de \pct{7.6} pour les grands ; ils ont progressé de \pct{7.5} en un an sur un échantillon constant d'immeubles, au même rythme que la RMR. L'inoccupation de la zone est trop faible pour être publiée en 2025, sauf pour les une chambre à \pct{0.5} ; elle était de \pct{0.7} en 2024, contre \pct{2.1} dans la RMR, et la remontée régionale à \pct{2.9} en 2025 ne semble pas avoir atteint la zone. Deux indicateurs supplémentaires éclairent l'immeuble du cas 3. Le premier est l'écart entre le loyer des logements inoccupés et celui des logements occupés, que la SCHL publie depuis quelques années : pour les une chambre de la zone 9, un logement vacant se loue \dollars{1295} contre \dollars{1054} pour un logement occupé, soit \pct{22.9} de plus, et pour l'ensemble des logements de la RMR l'écart est de \pct{27.1}. Cet écart mesure directement le rattrapage que permet un départ de locataire dans un marché où l'encadrement des loyers du \cref{ch:34} retient les loyers en place. Le second est l'offre neuve : 627 logements achevés entre juillet 2022 et juin 2025 dans la zone, à un loyer moyen de \dollars{1920}, soit \pct{55} au-dessus du loyer moyen du parc existant ; ils ne représentent que \pct{1.4} de l'univers et ne concurrencent pas directement un immeuble de 1962, mais ils fixent le plafond du marché et attirent les locataires les plus solvables.

\subsection{Les loyers de l'immeuble face au marché}

\begin{table}[htbp]
\caption{Loyers de l'immeuble du cas 3 par type de logement et loyers moyens de la zone SCHL 9 (données synthétiques pour l'immeuble ; SCHL pour la zone)}\label{tab:15:cas3}
\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
\begin{tabular}{@{}lS[table-format=2.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=4.0]S[table-format=1.3]S[table-format=2.1]@{}}
\toprule
Type (immeuble / SCHL) & {$n$} & {Contrat (\$)} & {Marché (\$)} & {Zone 9 (\$)} & {Marché/zone} & {Écart (\%)} \\
\midrule
3½ / 1 chambre & 4 & 875 & 1039 & 1055 & 0.985 & 15.8 \\
4½ / 2 chambres & 6 & 1192 & 1340 & 1348 & 0.994 & 11.1 \\
5½ / 3 chambres et plus & 2 & 1571 & 1652 & 1750 & 0.944 & 4.9 \\
\midrule
Ensemble (mensuel) & 12 & 13795 & 15503 & {---} & {---} & 11.0 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\tabsource{immeuble : \synth{\texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_etat\_locatif.csv}, \texttt{traite.cas3.revenus}} ; zone 9 : SCHL, Enquête sur les logements locatifs, octobre 2025, tableau 1.1.2 \parencite{schlrmltables2025} ; écart en pourcentage du loyer de marché ; calculs : \texttt{ch15\_segmentation.py}.}
\end{table}

\begin{exemple}{L'état locatif du cas 3 confronté à la zone SCHL 9}{locatif}
L'état locatif synthétique de l'immeuble du cas 3, fourni par \texttt{traite.cas3.charger} et détaillé au \cref{ch:47}, compte quatre logements de trois pièces et demie, six de quatre et demie et deux de cinq et demie, dont le loyer contractuel mensuel total est de \dollars{13795} contre \dollars{15503} au loyer de marché estimé, soit un revenu brut potentiel contractuel de \dollars{165540} et un revenu au marché de \dollars{186036}, un écart annuel de \dollars{20496} ou \pct{11.0} du revenu de marché, chiffres fournis par \texttt{traite.cas3.revenus}. Le \cref{tab:15:cas3} compare, par type de logement, les loyers contractuels et de marché de l'immeuble aux loyers moyens de la zone : les loyers de marché retenus dans le dossier sont à \pct{98.5}, \pct{99.4} et \pct{94.4} des moyennes SCHL des une, deux et trois chambres, ce qui est cohérent pour un immeuble de 1962 d'état moyen, légèrement en deçà d'un parc qui comprend des logements rénovés et récents ; et l'écart entre le loyer en place et le loyer de marché décroît avec la taille du logement, de \pct{15.8} pour les trois et demie, où siègent les baux les plus anciens, à \pct{4.9} pour les cinq et demie, reloués récemment.


L'étude de marché fournit ensuite les paramètres dont les \cref{ch:27,ch:30} ont besoin. La provision combinée pour inoccupation et mauvaises créances de \pct{3.9} retenue dans les hypothèses du cas 3 est supérieure à l'inoccupation physique observée dans la zone et dans les immeubles de six à dix-neuf logements de l'île (\pct{2.2}), ce qui est voulu : l'inoccupation de la SCHL est un instantané d'octobre qui ne compte ni les pertes entre deux baux ni les créances irrécouvrables, et la SCHL anticipe une remontée de l'inoccupation régionale \parencite{schlpmh2026}. Le rythme de rattrapage des loyers dépend de la rotation. Si une fraction $r$ des baux est renouvelée avec un nouveau locataire chaque année et que l'écart entre loyer en place et loyer de marché reste constant, la part de l'écart récupérée après $T$ années est
\begin{equation}\label{eq:15:rattrapage}
\pi_T = 1 - (1 - r)^T ,
\end{equation}
et l'horizon moyen de renouvellement complet du parc est $1/r$. L'hypothèse de rotation de \pct{15} du dossier du cas 3 récupérerait \dollars{3074} de l'écart dès la première année et \pct{55.6} en cinq ans, avec un renouvellement complet en 6,7 ans ; la rotation observée par la SCHL en 2025, \pct{9.4} dans la RMR et \pct{8.5} dans les immeubles de six à dix-neuf logements de l'île, en baisse par rapport à 2024, ne récupérerait que \dollars{1927} ou \dollars{1742} la première année et \pct{39.0} ou \pct{35.9} en cinq ans, avec un horizon de 10,6 à 11,8 ans. L'écart entre ces scénarios est l'un des paramètres de l'analyse de sensibilité du \cref{ch:47} ; l'étude de marché ne le tranche pas, mais elle borne l'hypothèse par l'observation et oblige l'évaluateur à justifier une rotation supérieure à celle du marché, par exemple par l'ancienneté des locataires ou par des départs annoncés.
\end{exemple}

\begin{quebec}
L'Enquête sur les logements locatifs de la SCHL est réalisée en octobre auprès des propriétaires et gestionnaires d'immeubles d'initiative privée de trois logements et plus ; elle exclut donc les duplex, les logements de copropriété offerts en location, couverts par une enquête distincte, et les logements sociaux. Ses zones ne correspondent ni aux arrondissements ni aux secteurs de courtage ; pour Montréal, la zone 9 recouvre l'arrondissement de Rosemont--La Petite-Patrie. Chaque cellule porte un indicateur de qualité de a à d, et les cellules dont le coefficient de variation est trop élevé sont supprimées ; les loyers moyens par taille de logement de la zone 9 sont de qualité c ou d en 2025 et doivent être utilisés avec prudence. La variation annuelle « même échantillon » est calculée sur les immeubles présents dans l'enquête deux années de suite et mesure mieux l'évolution du marché que la différence des moyennes, qui subit les changements de composition. Les données sont publiées sous les conditions d'utilisation de la SCHL : la citation de chiffres avec la mention « Source : SCHL, Enquête sur les logements locatifs » est admise, la redistribution des tableaux ne l'est pas \parencite{schlLocatif2025,schlrmltables2025}. Consultées le 31 octobre 2026.
\end{quebec}

\begin{erreurs}
\begin{itemize}
\item Confondre le délai de vente médian des propriétés vendues avec la durée de séjour dans l'inventaire : le premier est censuré et ne porte que sur les ventes conclues ; le second est mesuré par les mois d'inventaire et lui est plusieurs fois supérieur.
\item Citer un ratio du prix vendu au prix demandé sans préciser si le prix demandé est le prix initial ou le dernier prix affiché, ou en inventer un faute de source : au Québec, aucune source publique ne le diffuse.
\item Appliquer les seuils de quatre et six mois d'inventaire comme s'il s'agissait de normes, et sans tenir compte de la tendance de l'offre ni du segment.
\item Segmenter le marché par classification statistique sur des attributs et appeler « sous-marchés » des groupes qui ne sont que des types de maisons ; seul un test sur la relation prix-attributs, confirmé hors échantillon, établit un sous-marché.
\item Lire un rejet du test de Chow classique comme une preuve de structures différentes alors qu'il peut ne refléter que des niveaux de prix différents ; tester les pentes séparément des constantes.
\item Multiplier les partitions testées puis retenir celle qui rejette : à six partitions et trois statistiques, un rejet au seuil de 5 \% est attendu même si rien ne diffère.
\item Estimer une équation par sous-marché de quarante ventes avec douze coefficients, puis utiliser ses prix implicites comme ajustements : la variance l'emporte sur le biais évité.
\item Utiliser le taux d'inoccupation de la SCHL comme provision pour inoccupation et mauvaises créances, ou utiliser le loyer moyen d'une zone comme loyer de marché d'un immeuble sans ajuster l'état, l'année de construction et la taille d'immeuble.
\item Retenir une rotation des locataires très supérieure à celle que mesure la SCHL sans justification propre à l'immeuble.
\end{itemize}
\end{erreurs}

\begin{limites}
Les indicateurs de la \cref{sec:15:etude} proviennent de l'APCIQ, qui ne couvre que les ventes conclues par courtier, soit une partie du marché, et dont les communiqués ne donnent ni les inscriptions ni les délais au niveau du secteur ; l'étude de marché d'un sous-marché précis exige l'accès aux données de courtage ou au Registre foncier, et les résultats du \cref{tab:15:indicateurs} décrivent des agrégats métropolitains. Le ratio du prix vendu au prix demandé n'a pu être documenté par une source publique. Les seuils d'interprétation des mois d'inventaire sont des usages non normés. Les résultats de la \cref{sec:15:classification} et de la \cref{sec:15:chow} portent sur un jeu synthétique dont la loi de génération impose des pentes communes ; ils illustrent la méthode et ses pièges, non l'état du marché de Gatineau, où des différences réelles de structure entre secteurs peuvent exister et où les effectifs par secteur seraient différents. Le test de Chow suppose la normalité et l'homoscédasticité des erreurs ; la statistique de Wald robuste ne vaut qu'asymptotiquement, et les deux ignorent la dépendance spatiale des résidus traitée au \cref{ch:19}, qui peut gonfler les statistiques de test. La validation croisée aléatoire est optimiste pour des données spatiales, parce que des ventes voisines se retrouvent dans les plis d'apprentissage et de test ; une validation par blocs spatiaux serait plus sévère. Enfin, les données de la SCHL pour la zone 9 sont de qualité statistique c ou d et plusieurs cellules sont supprimées ; l'inoccupation et la rotation de la zone ne sont pas connues pour 2025 et ont été remplacées par celles de l'île et de la RMR, ce qui est une approximation déclarée.
\end{limites}

\begin{synthese}
\begin{itemize}
\item Le marché d'un bien est l'ensemble de ses substituts pour son acheteur type ; un sous-marché n'existe que si la relation entre le prix et les caractéristiques y diffère, et non seulement le niveau des prix.
\item L'étude de marché procède en six étapes sourcées : demande structurelle, prix et volumes, conjoncture de la revente, tendance des prix, marché locatif, lecture ; chaque chiffre porte son organisme, son découpage, sa période et ses conditions d'utilisation.
\item Les mois d'inventaire sont un indicateur de stock, le délai de vente un indicateur de flux censuré ; leur rapport mesure la part de l'offre hors du prix. Au troisième trimestre de 2026, Montréal et Gatineau dépassaient six mois d'inventaire et Québec restait à trois.
\item Les k-moyennes et la méthode de Ward regroupent ce qui se ressemble selon les variables fournies ; la silhouette guide le choix du nombre de groupes ; sur le cas 1, la structure révélée est géographique et coïncide avec les secteurs lorsque l'on classe par coordonnées.
\item Le test de Chow compare les sommes des carrés des résidus d'un modèle contraint et d'un modèle libre ; il faut tester les pentes séparément des constantes et doubler la statistique $F$ d'une statistique de Wald robuste. Sur le cas 1, les pentes sont communes aux cinq secteurs et seuls les niveaux diffèrent : une équation unique avec effets de secteur est acceptable, et elle prédit mieux hors échantillon que toute segmentation.
\item Pour un immeuble de logements, l'étude de marché tire de l'Enquête sur les logements locatifs l'univers, les loyers par taille, l'inoccupation, la rotation, l'écart entre loyers des logements vacants et occupés et l'offre neuve, et elle borne les hypothèses de provision d'inoccupation et de rattrapage des loyers.
\end{itemize}
\end{synthese}

\section*{Exercices}
\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\begin{exercice}[1]{Mois d'inventaire et taux d'absorption}{ex:15:1}
Au troisième trimestre de 2026, la RMR de Sherbrooke comptait 569 ventes résidentielles et 825 inscriptions en vigueur (APCIQ par le système Centris). Calculez le nombre de mois d'inventaire et le taux d'absorption mensuel. Si, au trimestre suivant, les inscriptions augmentaient de \pct{20} et les ventes diminuaient de \pct{10}, que deviendraient ces deux indicateurs, et dans quelle bande d'usage le marché se situerait-il ?
\end{exercice}

\begin{exercice}[1]{Délimiter le marché d'un triplex}{ex:15:2}
Le sujet du cas 2 est un triplex de 1948 dans Limoilou, à Québec, dont deux logements sont loués et le troisième occupé par le propriétaire. Pour chacun des critères du \cref{tab:15:criteres}, indiquez la frontière que vous retiendriez pour délimiter son marché et nommez l'acheteur type. Quelles sources publiques utiliseriez-vous pour les étapes 2, 3 et 5 du \cref{tab:15:etapes}, et quels découpages géographiques ces sources imposent-elles ?
\end{exercice}

\begin{exercice}[2]{Stock, flux et inscriptions hors du prix}{ex:15:3}
Dans la RMR de Montréal au troisième trimestre de 2026, 9\,265 ventes ont été conclues et 20\,350 inscriptions étaient en vigueur ; le délai de vente médian de l'unifamiliale était de 40 jours. Calculez les ventes mensuelles, le délai médian en mois et le stock d'inscriptions que l'on observerait si toutes les propriétés se vendaient en ce délai médian (\cref{eq:15:little}). Quelle part du stock observé excède ce stock « au rythme des ventes » ? Discutez les deux explications de cet excédent et ce qu'il implique pour l'ajustement de conditions du marché.
\end{exercice}

\begin{exercice}[2]{Calcul d'une silhouette}{ex:15:4}
Six ventes sont décrites par deux variables centrées-réduites : le groupe A contient les points $(0, 0)$, $(0, 1)$ et $(1, 0)$, le groupe B les points $(4, 0)$, $(4, 1)$ et $(5, 0)$. Calculez la silhouette du point $(1, 0)$ par l'\cref{eq:15:silhouette}. Que vaudrait-elle si ce point était affecté à tort au groupe B ? Expliquez pourquoi la silhouette moyenne favorise les partitions en peu de groupes bien séparés.
\end{exercice}

\begin{exercice}[2]{Test de Chow à partir des sommes des carrés}{ex:15:5}
Sur les 600 ventes du cas 1, avec douze régresseurs par équation et cinq secteurs, la somme des carrés des résidus vaut 6,4024 pour l'équation unique sans effet de secteur, 4,0245 pour l'équation à constantes de secteur et pentes communes, et 3,7360 pour les cinq équations libres. Calculez la statistique de Chow dans sa version pentes et dans sa version classique, avec leurs degrés de liberté, et comparez-les aux quantiles à 95 \% de la loi de Fisher, $F_{0{,}95}(44, 540) = 1{,}40$ et $F_{0{,}95}(48, 540) = 1{,}38$. Formulez la conclusion en distinguant niveau et structure. Que signifierait un résultat inverse, rejet des pentes et non des niveaux ?
\end{exercice}

\begin{exercice}[3]{Rattrapage des loyers et rotation}{ex:15:6}
L'immeuble du cas 3 a un écart annuel de \dollars{20496} entre ses loyers de marché et ses loyers en place. En supposant cet écart constant, calculez la part de l'écart récupérée après cinq et dix ans par l'\cref{eq:15:rattrapage} pour une rotation de \pct{15}, de \pct{9.4} et de \pct{8.5}, et le montant récupéré la première année dans chaque cas. Pour les quatre logements de trois pièces et demie, dont le loyer contractuel moyen est de \dollars{875.25} et le loyer de marché de \dollars{1039}, calculez l'écart en pourcentage du loyer de marché et comparez-le à l'écart de \pct{22.9} entre loyers des une chambre inoccupées et occupées de la zone SCHL 9. Que suggère cette comparaison sur le loyer de marché retenu dans le dossier ?
\end{exercice}

\begin{exercice}[3]{Variables de classification et sous-marchés}{ex:15:7}
À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch15\_segmentation.py}, remplacez les variables de classification par les contributions au prix prédit, c'est-à-dire chaque attribut multiplié par son coefficient dans le modèle de référence \texttt{traite.cas1.hedonique}, et refaites la classification pour $k$ de 2 à 8. Comparez la silhouette et l'indice de Rand ajusté avec les secteurs à ceux du \cref{tab:15:sens}, puis appliquez le test de Chow à la partition obtenue. Rédigez une note de 200 mots sur ce que cette pondération change et sur ce qu'elle ne peut pas changer.
\end{exercice}

\section*{Pour aller plus loin}
\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}

Sur la définition et la mesure des sous-marchés, les deux articles fondateurs de \textcite{goodmanThibodeau1998} et de \textcite{bourassa1999} dans le \emph{Journal of Housing Economics} restent la meilleure introduction ; \textcite{goodmanThibodeau2003} et \textcite{bourassaHoesliPeng2003} en tirent les conséquences pour la précision des prédictions, et \textcite{bourassaCantoniHoesli2010} comparent les sous-marchés aux modèles spatiaux que présente le \cref{ch:19}. Les travaux de l'équipe de l'Université Laval, \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006} sur l'hétérogénéité liée aux profils d'acheteurs et \textcite{desrosiersDubeTheriault2011} sur les effets de voisinage, fournissent le contrepoint québécois ; \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} et \textcite{dubeLegros2014} montrent comment l'accessibilité et la dépendance spatio-temporelle structurent le marché de Québec. Sur la segmentation en évaluation de masse, \textcite{gloudemansAlmy2011} et la norme de l'IAAO sur l'évaluation de masse \parencite{iaaomass2025} décrivent la stratification des rôles par type et par voisinage. Les fondements économiques de l'étude de marché, schéma à quatre quadrants et dynamique de l'inventaire, se lisent chez \textcite{dipasqualeWheaton1996} et \textcite{wheaton1999} ; \textcite{sivitanidouSivitanides1999} montrent comment les conditions locales de marché se répercutent sur les taux de capitalisation, lien repris au \cref{ch:29}. Pour l'inférence, le chapitre de \textcite{wooldridge2010} sur les tests de restrictions linéaires et l'hétéroscédasticité couvre le test de Chow et sa version robuste ; les textes originaux de \textcite{chow1960}, de \textcite{ward1963} et de \textcite{rousseeuw1987} restent les références de méthode ; l'algorithme des k-moyennes remonte à MacQueen (1967), dont la communication au cinquième symposium de Berkeley n'a pu être vérifiée pour cet ouvrage et n'est donc pas citée en bibliographie. Le traitement de l'étude de marché par l'Appraisal Institute \parencite{appraisal2026} offre enfin le cadre de la pratique nord-américaine, que \textcite{achour1992} a adapté au vocabulaire québécois.