spb/uqo_cours

1% ======================================================================2% BLOC 1 — Fondements économiques de la dépréciation (22 min) — révision 33% ======================================================================4\bloc{1}{Fondements économiques de la dépréciation}56\begin{frame}{Objectifs du bloc 1}7\begin{columns}[T]8\begin{column}{0.56\textwidth}9\begin{enumerate}10    \item Distinguer \textbf{coût} et \textbf{valeur} : pourquoi un bâtiment qui coûterait 317~000~\$ à reconstruire n'en vaut pas 317~00011    \item Définir la \textbf{valeur contributive}, la \textbf{dépréciation cumulée}, le \textbf{taux} et la \textbf{dépréciation marginale}12    \item Lire les quatre équations de base, leurs variables et leurs unités13    \item Comprendre le rôle de l'\textbf{âge}, de l'\textbf{état} et du \textbf{marché} à l'aide de sept graphiques calculés14\end{enumerate}15\end{column}16\begin{column}{0.40\textwidth}17\begin{importbox}[Pourquoi ce bloc compte]18La dépréciation est l'endroit où le \textbf{jugement} entre dans la méthode du coût. Le terrain se lit dans les ventes, le coût neuf dans les guides ; la dépréciation s'\textbf{estime}, et c'est là que deux rapports compétents divergent.19\end{importbox}20\end{column}21\end{columns}22\end{frame}2324\begin{frame}{Coût de reproduction, coût de remplacement, valeur contributive}25\begin{columns}[T]26\begin{column}{0.49\textwidth}27\begin{defbox}[Deux coûts neufs (rappel, séance 5)]28\textbf{Reproduction} : réplique exacte, mêmes matériaux, mêmes défauts. \textbf{Remplacement} : utilité équivalente avec les moyens d'aujourd'hui. Partir du coût de remplacement fait disparaître la dépréciation fonctionnelle liée aux défauts d'origine : il faut savoir \emph{de quel coût neuf} on part.29\end{defbox}30\end{column}31\begin{column}{0.49\textwidth}32\begin{defbox}[Valeur contributive $\VB$]33Ce que la présence du bâtiment \textbf{ajoute} au prix que le marché paierait pour le terrain nu. Ni le coût, ni la valeur assurable, ni le solde fiscal : un \emph{résidu de marché}, $\VB = V - \VT$.34\end{defbox}35\end{column}36\end{columns}37\vspace{2mm}38\begin{center}39\begin{tikzpicture}[node distance=4mm]40\node[uqostep, text width=3.4cm, font=\small] (a) {\textbf{Coût neuf complet} $\CN$\\[1pt]{\scriptsize directs, indirects, profit}};41\node[font=\LARGE\bfseries, text=uqoRouge, right=of a] (m) {$-$};42\node[uqostep, text width=3.4cm, font=\small, draw=uqoRouge, right=of m] (d) {\textbf{Dépréciation} $D$\\[1pt]{\scriptsize toutes causes}};43\node[font=\LARGE\bfseries, text=uqoVert, right=of d] (e) {$=$};44\node[uqostep, text width=3.4cm, font=\small, draw=uqoVert, fill=uqoVert!10, right=of e] (v) {\textbf{Valeur contributive} $\VB$\\[1pt]{\scriptsize ce que le marché paie}};45\end{tikzpicture}46\end{center}47\src{Appraisal Institute, 2020, chap. 29--30 ; Rattermann, 2020}48\end{frame}4950\begin{frame}{Les quatre équations de base}51\begin{defbox}[Définitions]52\eqkey{V = \VT + \CN - D \qquad\quad D = \CN - \VB \qquad\quad d = \frac{D}{\CN} \qquad\quad \VB = \CN\,(1 - d)}53\end{defbox}54\begin{vartable}55V & valeur de la propriété à la date d'évaluation & \$ \\56\VT & valeur du terrain, évalué comme s'il était vacant (bloc 2 du cours) & \$ \\57\CN & coût de remplacement neuf complet des améliorations, en dollars du jour & \$ \\58D & dépréciation cumulée depuis la construction, toutes causes (un stock, pas une perte annuelle) & \$ \\59d & taux de dépréciation, borné entre 0 et 1 ; seul chiffre comparable d'un bâtiment à l'autre & sans unité \\60\VB & valeur contributive des améliorations ; négative seulement si le bâtiment coûte à enlever & \$ \\61\end{vartable}62\end{frame}6364\begin{frame}{Exemple chiffré --- un bâtiment commercial de 20 ans}65\begin{columns}[T]66\begin{column}{0.5\textwidth}67\begin{exbox}[Données (hypothèses pédagogiques)]68Construit en 2006, évalué en 2026 ; coût de remplacement neuf $\CN = 1~200~000~\$$ ; valeur contributive estimée $\VB = 780~000~\$$.69\end{exbox}70\begin{align*}71D &= 1~200~000 - 780~000 = \mathbf{420~000~\$}\\[2pt]72d &= \frac{420~000}{1~200~000} = \mathbf{0{,}35} \quad (35\,\%)\\[2pt]73\VB &= 1~200~000 \times (1 - 0{,}35) = 780~000~\$ \;\checkmark74\end{align*}75\end{column}76\begin{column}{0.48\textwidth}77\begin{center}78\begin{tikzpicture}[yscale=0.58, xscale=0.85]79\fill[uqoBleu!22] (0,0) rectangle (2.2,6); \draw[uqoBleu, thick] (0,0) rectangle (2.2,6);80\node[above, font=\scriptsize\bfseries, text=uqoBleu] at (1.1,6.05) {Coût neuf};81\node[font=\scriptsize] at (1.1,3) {1~200~000~\$};82\fill[uqoVert!22] (3.6,0) rectangle (5.8,3.9); \draw[uqoVert, thick] (3.6,0) rectangle (5.8,3.9);83\node[font=\scriptsize, text=uqoVert] at (4.7,1.95) {780~000~\$};84\fill[uqoRouge!14] (3.6,3.9) rectangle (5.8,6); \draw[uqoRouge, thick] (3.6,3.9) rectangle (5.8,6);85\node[font=\scriptsize, text=uqoRouge] at (4.7,4.95) {420~000~\$};86\node[above, font=\scriptsize\bfseries, text=uqoRouge] at (4.7,6.05) {$D$ (35\,\%)};87\node[below, font=\scriptsize\bfseries, text=uqoVert] at (4.7,-0.1) {$\VB$ (65\,\%)};88\end{tikzpicture}89\figcap{Le bâtiment a perdu 35\,\% de son coût neuf, toutes causes confondues. Le bloc 4 du cours consiste à expliquer ce 35\,\%.}90\end{center}91\end{column}92\end{columns}93\end{frame}9495% ---------------------------------------------------------------- graphique 196\begin{frame}{Graphique 1 --- Coût neuf et valeur contributive dans le temps}97\begin{columns}[T]98\begin{column}{0.58\textwidth}99\begin{tikzpicture}100\begin{axis}[s09axis, xlabel={âge $t$ (années)}, ylabel={\$}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=350000]101\addplot[uqoGris, dashed, domain=0:75] {\nCN};102\addlegendentry{coût neuf $\CN$}103\addplot[uqoBleu, domain=0:75, samples=120] {\nCN*exp(-\nLambda*x)};104\addlegendentry{valeur contributive $V(t) = \CN e^{-\lambda t}$}105\draw[uqoRouge, {Stealth}-{Stealth}, line width=1pt] (axis cs:\nAgeChrono,\nCN) -- (axis cs:\nAgeChrono,{\nCN*exp(-\nLambda*\nAgeChrono)});106\node[font=\scriptsize, text=uqoRouge, anchor=west] at (axis cs:43,270000) {$D(41)$};107\fill[uqoRouge] (axis cs:\nAgeChrono,{\nCN*exp(-\nLambda*\nAgeChrono)}) circle (2pt);108\end{axis}109\end{tikzpicture}110\end{column}111\begin{column}{0.40\textwidth}112\footnotesize113\begin{itemize}114    \item Le coût neuf est une \textbf{droite horizontale} : il ne vieillit pas, il se réévalue en dollars du jour.115    \item La valeur contributive \textbf{décroît} ; l'écart vertical à une date est la dépréciation $D(t)$.116    \item Paramètres : $\CN = \vCN~\$$ (sujet du cours) et $\lambda = \vLambdaEmp\,\%$/an, \textbf{estimé} sur \vNventes{} ventes réelles (bloc 5).117\end{itemize}118\begin{notebox}[Illustration ou mesure?]119La \emph{forme} exponentielle est un choix de modèle ; le \emph{niveau} de $\lambda$ vient des données.120\end{notebox}121\end{column}122\end{columns}123\end{frame}124125% ---------------------------------------------------------------- graphiques 2 et 3126\begin{frame}{Graphiques 2 et 3 --- Dépréciation cumulée et taux de dépréciation}127\begin{columns}[T]128\begin{column}{0.5\textwidth}129\begin{tikzpicture}130\begin{axis}[s09one, height=4.3cm, xlabel={âge $t$ (années)}, ylabel={$D(t)$ (\$)}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=350000, title={Dépréciation cumulée $D(t) = \CN\,(1 - e^{-\lambda t})$}]131\addplot[uqoRouge, domain=0:75, samples=120] {\nCN*(1-exp(-\nLambda*x))};132\addlegendentry{$D(t)$, modèle exponentiel}133\addplot[uqoGris, dashed, domain=0:75] {\nCN};134\addlegendentry{plafond : coût neuf $\CN$}135\end{axis}136\end{tikzpicture}137\end{column}138\begin{column}{0.5\textwidth}139\begin{tikzpicture}140\begin{axis}[s09one, height=4.3cm, xlabel={âge $t$ (années)}, ylabel={$d(t)$ (\%)}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=100, title={Taux de dépréciation $d(t) = D(t)/\CN$}]141\addplot[uqoRouge, domain=0:75, samples=120] {100*(1-exp(-\nLambda*x))};142\addlegendentry{exponentiel, $\lambda = \vLambdaEmp\,\%$}143\addplot[uqoBleu, dashed, domain=0:75] {100*x/\nVE};144\addlegendentry{linéaire, $d = t/\vVE$}145\end{axis}146\end{tikzpicture}147\end{column}148\end{columns}149\vspace{1mm}150\footnotesize $D(t)$ est un \textbf{stock} en dollars ; $d(t)$ est ce stock rapporté au coût neuf, seul chiffre comparable entre bâtiments. L'exponentiel tend vers 100\,\% sans l'atteindre ; le linéaire atteint $d = 1$ à la fin de la vie économique $VE$.151\end{frame}152153% ---------------------------------------------------------------- graphique 4154\begin{frame}{Graphique 4 --- Dépréciation marginale : combien perd-on \emph{cette année}?}155\begin{columns}[T]156\begin{column}{0.58\textwidth}157\begin{tikzpicture}158\begin{axis}[s09axis, xlabel={âge $t$ (années)}, ylabel={perte annuelle (\$/an)}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=5000]159\addplot[uqoBleu, dashed, domain=0:75] {\nCN*\nDelta};160\addlegendentry{linéaire : $\delta\,\CN$}161\addplot[uqoRouge, domain=0:75, samples=120] {\nLambda*\nCN*exp(-\nLambda*x)};162\addlegendentry{exponentiel : $\lambda\,\CN e^{-\lambda t}$}163\addplot[uqoVert, domain=0.01:75, samples=120] {\nLambdaNL*\nGamma*x^(\nGamma-1)*\nCN*exp(-\nLambdaNL*x^\nGamma)};164\addlegendentry{non linéaire ($\gamma = \vGamma$)}165\end{axis}166\end{tikzpicture}167\end{column}168\begin{column}{0.40\textwidth}169\begin{defbox}[Dépréciation marginale]170\eqkey{-\frac{dV}{dt}}171\footnotesize La perte de valeur contributive \textbf{par année d'âge supplémentaire} : la pente de la courbe de valeur, au signe près.172\end{defbox}173\footnotesize174\begin{itemize}175    \item linéaire : \vdVlin~\$/an, chaque année ;176    \item exponentiel : \vdVexpZero{} la première année, \vdVexpQ{} à 41 ans ;177    \item non linéaire : \vdVnlDix{} à 10 ans, \vdVnlQ{} à 41 ans.178\end{itemize}179\end{column}180\end{columns}181\end{frame}182183% ---------------------------------------------------------------- graphique 5184\begin{frame}{Graphique 5 --- Trois trajectoires sur une même échelle}185\begin{columns}[T]186\begin{column}{0.58\textwidth}187\begin{tikzpicture}188\begin{axis}[s09axis, xlabel={âge $t$ (années)}, ylabel={$V(t)$ (\$)}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=350000]189\addplot[uqoBleu, dashed, domain=0:75] {\nCN*max(0,1-\nDelta*x)};190\addlegendentry{linéaire, $\delta = 1/\vVE$}191\addplot[uqoRouge, domain=0:75, samples=120] {\nCN*exp(-\nLambda*x)};192\addlegendentry{exponentiel, $\lambda = \vLambdaEmp\,\%$}193\addplot[uqoVert, domain=0:75, samples=120] {\nCN*exp(-\nLambdaNL*x^\nGamma)};194\addlegendentry{non linéaire, $\gamma = \vGamma$}195\draw[uqoGris, dotted] (axis cs:\nAgeChrono,0) -- (axis cs:\nAgeChrono,350000);196\node[font=\scriptsize, text=uqoGris, anchor=south] at (axis cs:\nAgeChrono,300000) {41 ans};197\end{axis}198\end{tikzpicture}199\end{column}200\begin{column}{0.40\textwidth}201\begin{center}202\footnotesize203\begin{tabular}{@{}l r@{}}204\toprule205\textbf{Modèle} & \textbf{$V(41)$ (\$)} \\206\midrule207Linéaire & \vModLinquaranteun \\208Exponentiel & \vModExpquaranteun \\209Non linéaire & \vModNlquaranteun \\210\bottomrule211\end{tabular}212\end{center}213\begin{importbox}[Trajectoires illustratives]214\footnotesize Des \textbf{formes fonctionnelles}, pas des faits : seule l'estimation sur des ventes (bloc 5) ou la ventilation (bloc 7) dit laquelle approche le marché.215\end{importbox}216\end{column}217\end{columns}218\end{frame}219220% ---------------------------------------------------------------- graphique 6221\begin{frame}{Graphique 6 --- Effet d'une rénovation majeure}222\begin{columns}[T]223\begin{column}{0.58\textwidth}224\begin{tikzpicture}225\begin{axis}[s09one, xlabel={âge chronologique $t$ (années)}, ylabel={$V(t)$ (\$)}, xmin=0, xmax=60, ymin=0, ymax=350000]226\addplot[uqoGris, dashed, domain=0:60, samples=80] {\nCN*exp(-0.015*x)};227\addlegendentry{sans rénovation, $\lambda = 1{,}5\,\%$ (HYP)}228\addplot[uqoBleu, domain=0:25, samples=40] {\nCN*exp(-0.015*x)};229\addlegendentry{rénovation à $t = 25$ : l'âge effectif retombe à 12 ans}230\addplot[uqoBleu, domain=25:60, samples=60, forget plot] {\nCN*exp(-0.015*(12+x-25))};231\draw[uqoVert, {Stealth}-, line width=1pt] (axis cs:25,{\nCN*exp(-0.015*25)}) -- (axis cs:25,{\nCN*exp(-0.015*12)});232\node[font=\scriptsize, text=uqoVert, anchor=west] at (axis cs:26.5,{\nCN*exp(-0.015*18)}) {$+\Delta V$};233\end{axis}234\end{tikzpicture}235\end{column}236\begin{column}{0.40\textwidth}237\footnotesize238\begin{itemize}239    \item La rénovation ne change pas l'\textbf{âge chronologique} ; elle réduit l'\textbf{âge effectif} et la courbe remonte d'un cran.240    \item Le gain $\Delta V$ n'est pas égal au coût des travaux : s'il lui est supérieur, la correction était « curable » (bloc 3).241    \item La vraie courbe d'un bâtiment est \textbf{dentelée} : toiture, cuisine, fenêtres sont remplacées à des dates différentes.242\end{itemize}243\begin{notebox}[Pourquoi des modèles lisses?]244\footnotesize La courbe lisse est la moyenne des dentelures de centaines de bâtiments d'un âge donné ; pour \emph{le} sujet, la ventilation (bloc 7) suit chaque composante.245\end{notebox}246\end{column}247\end{columns}248\end{frame}249250% ---------------------------------------------------------------- graphique 7251\begin{frame}{Graphique 7 --- Deux bâtiments du même âge, deux états}252\begin{columns}[T]253\begin{column}{0.58\textwidth}254\begin{tikzpicture}255\begin{axis}[s09axis, xlabel={âge chronologique $t$ (années)}, ylabel={$V(t)$ (\$)}, xmin=0, xmax=60, ymin=0, ymax=450000]256\addplot[uqoVert, domain=0:60] {400000*max(0,1-0.6*x/60)};257\addlegendentry{A, entretien soigné : $AE = 0{,}6\,t$}258\addplot[uqoBleu, dashed, domain=0:60] {400000*max(0,1-x/60)};259\addlegendentry{entretien normal : $AE = t$}260\addplot[uqoRouge, domain=0:60] {400000*max(0,1-1.4*x/60)};261\addlegendentry{B, négligé : $AE = 1{,}4\,t$}262\draw[uqoGris, dotted] (axis cs:30,0) -- (axis cs:30,450000);263\fill[uqoVert] (axis cs:30,280000) circle (2pt); \fill[uqoRouge] (axis cs:30,120000) circle (2pt);264\end{axis}265\end{tikzpicture}266\end{column}267\begin{column}{0.40\textwidth}268\begin{exbox}[Deux bungalows de 1996 (HYP)]269\footnotesize $\CN = 400~000~\$$, $VE = 60$ ans, 30 ans d'âge.270\begin{align*}271D_A &= 400~000 \times \tfrac{18}{60} = \vExJumA~\$\\272D_B &= 400~000 \times \tfrac{42}{60} = \vExJumB~\$273\end{align*}274Même calendrier, écart de 160~000~\$.275\end{exbox}276\footnotesize L'\textbf{état} ne se lit pas au calendrier : c'est l'inspection qui le révèle (bloc 4) ; l'entretien est un investissement dont le rendement est la dépréciation évitée (\textcite{knight1996} ; \textcite{harding2007}).277\end{column}278\end{columns}279\end{frame}280281\begin{frame}{Le rôle du marché : la dépréciation n'est pas une propriété du bâtiment}282\begin{columns}[T]283\begin{column}{0.52\textwidth}284\footnotesize285\uqotitle{Trois raisons pour lesquelles le marché « décide » :}286\begin{itemize}287    \item $\VB = V - \VT$ : si les acheteurs paient plus pour le secteur, la valeur contributive monte \textbf{sans qu'une planche ait bougé} ;288    \item la \textbf{rareté} : quand l'offre est faible, les bâtiments anciens mais fonctionnels se vendent près du coût neuf ;289    \item l'\textbf{utilisation optimale} (HBU) : si le terrain nu vaut davantage sous un autre usage, la dépréciation devient totale, quel que soit l'état.290\end{itemize}291\begin{importbox}[Règle]292D'abord l'analyse de l'utilisation optimale ; ensuite la dépréciation. Jamais l'inverse.293\end{importbox}294\end{column}295\begin{column}{0.46\textwidth}296\begin{center}297\begin{tikzpicture}[node distance=3mm]298\node[noeudvert, text width=5cm] (a) {\textbf{HBU = usage actuel}\\dépréciation « normale » : physique + fonctionnelle + externe};299\node[noeudvert, text width=5cm, below=of a] (a1) {$V = \VT + \CN - D$};300\node[noeudrouge, text width=5cm, below=5mm of a1] (b) {\textbf{HBU $\neq$ usage actuel}\\sous-usage du terrain : dépréciation potentiellement totale};301\node[noeudrouge, text width=5cm, below=of b] (b1) {$V \approx \VT - C_{\text{démolition}}$};302\draw[uqoarrow] (a) -- (a1); \draw[->, thick, uqoRouge] (b) -- (b1);303\end{tikzpicture}304\end{center}305\figcap{Bungalow de 250~000~\$ de coût neuf sur un terrain commercial de 500~000~\$ : le marché achète le terrain, pas la maison.}306\end{column}307\end{columns}308\end{frame}309310\begin{frame}{Ce que la dépréciation n'est pas : l'amortissement fiscal (DPA)}311\begin{columns}[T]312\begin{column}{0.54\textwidth}313\begin{tikzpicture}314\begin{axis}[s09one, xlabel={années depuis l'acquisition}, ylabel={\% du coût d'origine}, xmin=0, xmax=25, ymin=0, ymax=115]315\addplot[uqoRouge, dashed, domain=0:25, samples=26] {100*(1-0.02)*(1-0.04)^(max(0,x-1))};316\addlegendentry{solde fiscal : DPA catégorie 1, 4\,\% dégressif, demi-taux la première année}317\addplot[uqoBleu, domain=0:25, samples=60] {100*exp(-\nLambda*x)};318\addlegendentry{valeur contributive, $\lambda = \vLambdaEmp\,\%$ (marché de Gatineau)}319\addplot[uqoVert, dashdotted, domain=0:25, samples=60] {100*exp(-\nLambda*x)*(1+0.03)^x};320\addlegendentry{valeur marchande nominale si les coûts montent de 3\,\%/an}321\end{axis}322\end{tikzpicture}323\end{column}324\begin{column}{0.44\textwidth}325\footnotesize326\begin{itemize}327    \item La \textbf{DPA} répartit un coût \emph{historique} selon des taux prescrits (ARC) : âge chronologique, aucun regard sur l'état ni le marché ;328    \item la \textbf{dépréciation} mesure une perte de valeur \emph{réelle} par rapport au coût neuf \emph{du jour}, à l'âge \emph{effectif} ;329    \item la valeur \textbf{marchande} nominale peut même monter si les coûts de construction croissent plus vite que le vieillissement.330\end{itemize}331\erreur{Prendre la fraction non amortie du bilan d'un investisseur pour la valeur contributive du bâtiment.}332\end{column}333\end{columns}334\end{frame}335336\begin{frame}{Synthèse du bloc 1}337\begin{columns}[T]338\begin{column}{0.5\textwidth}339\begin{defbox}[À retenir]340\footnotesize341\begin{itemize}342    \item $D = \CN - \VB$ : un écart entre un \textbf{coût} et une \textbf{valeur}, à une date ;343    \item $d = D/\CN$ compare ; $-dV/dt$ mesure la perte de l'année ;344    \item l'âge chronologique n'explique pas tout : état, entretien, rénovations, marché et HBU pèsent autant ;345    \item une forme de courbe est une hypothèse ; un taux estimé sur des ventes est une mesure.346\end{itemize}347\end{defbox}348\end{column}349\begin{column}{0.48\textwidth}350\question{Un bâtiment de 1985 à Gatineau s'est vendu \vVente~\$ ; terrain \vVT~\$, coût neuf \vCN~\$. Quel est son taux de dépréciation? Est-il « élevé » pour 41 ans?}351\pause352\begin{exbox}[Réponse]353\footnotesize $\VB = \vVBimplVente~\$$ ; $D = \vDimplVente~\$$ ; $d = \vDimplVentePct\,\%$, soit environ $0{,}66\,\%$ par an. \textbf{Faible} au regard des tables (vie économique de 50--60 ans), \textbf{normal} au regard du marché de Gatineau 2026 (bloc 5).354\end{exbox}355\end{column}356\end{columns}357\end{frame}358