spb/uqo_cours

1% ======================================================================2% BLOC 6 — Modélisation mathématique et modèle hédonique (18 min) — révision 33% ======================================================================4\bloc{6}{Modélisation mathématique de la dépréciation}56\begin{frame}{Objectifs du bloc 6}7\begin{columns}[T]8\begin{column}{0.56\textwidth}9\begin{enumerate}10    \item Écrire trois fonctions de valeur dans le temps --- linéaire, exponentielle, non linéaire --- et interpréter leurs paramètres11    \item Calculer et lire leurs \textbf{dérivées} (variation marginale de valeur)12    \item Comparer pentes, courbures et sensibilités sur une même échelle13    \item Comprendre pourquoi une forme fonctionnelle n'est \textbf{pas} empiriquement valide sans estimation ni validation14    \item Lire un \textbf{modèle hédonique} estimé sur des ventes réelles sans confondre coefficient de l'âge et dépréciation15\end{enumerate}16\end{column}17\begin{column}{0.40\textwidth}18\begin{notebox}[Pourquoi modéliser?]19Les méthodes du bloc 5 sont des cas particuliers de modèles : l'âge-vie est le modèle linéaire, l'extraction estime un taux moyen. Nommer les formes permet de \emph{tester} les hypothèses au lieu de les subir.20\end{notebox}21\end{column}22\end{columns}23\end{frame}2425\begin{frame}{Trois formes fonctionnelles}26\begin{defbox}[Modèles de la valeur contributive dans le temps]27\eqkey{V_{\text{lin}}(t) = \CN\,(1 - \delta t) \qquad\quad V_{\text{exp}}(t) = \CN\,e^{-\lambda t} \qquad\quad V_{\text{nl}}(t) = \CN\,e^{-\lambda' t^{\gamma}}}28\end{defbox}29\begin{vartable}30\delta & fraction du coût neuf perdue chaque année ($\delta = 1/VE$) ; domaine borné à $t \le 1/\delta$ (sinon valeur négative) & an$^{-1}$ \\31\lambda & taux instantané : la valeur perd chaque année la même \emph{proportion} de ce qui reste ; demi-vie $\ln 2/\lambda$ & an$^{-1}$ \\32\lambda' & échelle du modèle non linéaire & an$^{-\gamma}$ \\33\gamma & courbure : $\gamma > 1$, perte lente puis accélérée ; $\gamma < 1$, l'inverse ; $\gamma = 1$ redonne l'exponentiel & sans unité \\34\end{vartable}35\footnotesize Sujet : $\delta = 1/\vVE$ ; $\lambda = \vLambdaEmpDec$ (estimé au bloc 5) ; $\gamma = \vGamma$, $\lambda' = \vLambdaNL$ calé sur $V_{\text{nl}}(41) = V_{\text{exp}}(41)$.36\end{frame}3738\begin{frame}{Les dérivées : la variation marginale de valeur}39\begin{defbox}[Dérivées par rapport au temps]40\begin{center}{\normalsize $\displaystyle \frac{dV_{\text{lin}}}{dt} = -\delta\,\CN \qquad\qquad \frac{dV_{\text{exp}}}{dt} = -\lambda\,\CN\,e^{-\lambda t} = -\lambda\,V(t) \qquad\qquad \frac{dV_{\text{nl}}}{dt} = -\lambda'\gamma\,t^{\gamma-1}\,V_{\text{nl}}(t)$}\end{center}41\end{defbox}42\begin{columns}[T]43\begin{column}{0.52\textwidth}44\begin{tikzpicture}45\begin{axis}[s09axis, height=4.4cm, xlabel={$t$ (années)}, ylabel={$-dV/dt$ (\$/an)}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=5000, legend columns=3]46\addplot[uqoBleu, dashed, domain=0:75] {\nCN*\nDelta}; \addlegendentry{linéaire}47\addplot[uqoRouge, domain=0:75, samples=100] {\nLambda*\nCN*exp(-\nLambda*x)}; \addlegendentry{exponentiel}48\addplot[uqoVert, domain=0.01:75, samples=120] {\nLambdaNL*\nGamma*x^(\nGamma-1)*\nCN*exp(-\nLambdaNL*x^\nGamma)}; \addlegendentry{non linéaire}49\end{axis}50\end{tikzpicture}51\end{column}52\begin{column}{0.46\textwidth}53\footnotesize54\begin{itemize}55    \item $-dV/dt$ est la \textbf{dépréciation marginale} : les dollars perdus pendant l'année $t$ ;56    \item linéaire : constante ; exponentiel : proportionnelle à la valeur restante, donc décroissante ; non linéaire ($\gamma > 1$) : croît d'abord, puis décroît ;57    \item à 41 ans : \vdVlin, \vdVexpQ{} et \vdVnlQ~\$/an.58\end{itemize}59\end{column}60\end{columns}61\end{frame}6263\begin{frame}{Les trois modèles sur une même échelle}64\begin{columns}[T]65\begin{column}{0.56\textwidth}66\begin{tikzpicture}67\begin{axis}[s09axis, xlabel={$t$ (années)}, ylabel={$V(t)$ (\$)}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=350000]68\addplot[uqoBleu, dashed, domain=0:75] {\nCN*max(0,1-\nDelta*x)}; \addlegendentry{linéaire ($\delta = 1/\vVE$)}69\addplot[uqoRouge, domain=0:75, samples=120] {\nCN*exp(-\nLambda*x)}; \addlegendentry{exponentiel ($\lambda = \vLambdaEmpDec$)}70\addplot[uqoVert, domain=0:75, samples=120] {\nCN*exp(-\nLambdaNL*x^\nGamma)}; \addlegendentry{non linéaire ($\gamma = \vGamma$)}71\addplot[only marks, mark=square*, uqoOr!80!uqoGris, mark size=2.6pt] coordinates {({\nAgeChrono},232000)};72\addlegendentry{sujet : $\VB$ implicite de la vente}73\end{axis}74\end{tikzpicture}75\end{column}76\begin{column}{0.42\textwidth}77\begin{center}78\footnotesize79\tabModeles80\end{center}81\footnotesize Mêmes valeurs à $t = 0$ et presque à $t = 41$ (par construction pour l'exponentiel et le non linéaire) ; divergence avant et après : la \textbf{courbure} est la vraie différence, et seule une série de ventes à tous les âges permet de l'estimer.82\end{column}83\end{columns}84\end{frame}8586\begin{frame}{Sensibilité aux paramètres et validité empirique}87\begin{columns}[T]88\begin{column}{0.54\textwidth}89\begin{tikzpicture}90\begin{axis}[s09axis, xlabel={$t$ (années)}, ylabel={$V(t)/\CN$ (\%)}, xmin=0, xmax=75, ymin=0, ymax=100, legend columns=3]91\addplot[uqoRouge!50, domain=0:75, samples=80] {100*exp(-0.006*x)}; \addlegendentry{$\lambda = 0{,}6\,\%$}92\addplot[uqoRouge, domain=0:75, samples=80] {100*exp(-\nLambda*x)}; \addlegendentry{$\lambda = \vLambdaEmp\,\%$ (estimé)}93\addplot[uqoRouge!70!black, domain=0:75, samples=80] {100*exp(-0.015*x)}; \addlegendentry{$\lambda = 1{,}5\,\%$}94\addplot[uqoVert, dotted, domain=0:75, samples=80] {100*exp(-0.0007*x^1.8)}; \addlegendentry{$\gamma = 1{,}8$}95\addplot[uqoVert, dashdotted, domain=0.01:75, samples=80] {100*exp(-0.045*x^0.7)}; \addlegendentry{$\gamma = 0{,}7$}96\end{axis}97\end{tikzpicture}98\end{column}99\begin{column}{0.44\textwidth}100\footnotesize101\uqotitle{Sensibilité :} à 41 ans, passer de $\lambda = 0{,}6$ à $1{,}5\,\%$ fait varier $V/\CN$ de 78 à 54\,\% --- 76~000~\$ sur le sujet. La courbure ($\gamma$) déplace la valeur de dizaines de milliers de dollars aux âges intermédiaires.102\begin{importbox}[Une forme n'est pas une preuve]103\footnotesize Choisir « exponentiel » ou « linéaire » est une hypothèse de modélisation. Elle ne devient une connaissance qu'après \textbf{estimation} sur des ventes, \textbf{validation} (résidus, hors échantillon) et \textbf{comparaison} des formes. Nous avons estimé $\lambda$ ($R^2 = \vRdeuxExp$) ; nous n'avons \emph{pas} estimé $\gamma$.104\end{importbox}105\end{column}106\end{columns}107\end{frame}108109\begin{frame}{Introduction au modèle hédonique}110\begin{defbox}[Modèle hédonique du prix (Rosen, 1974)]111\begin{center}{\normalsize $\ln(P_i) = \alpha + \beta_1\,\text{Âge}_i + \beta_2\,\text{Surface}_i + \beta_3\,\text{Qualité}_i + \beta_4\,\text{Rénovation}_i + \gamma'\,\text{Localisation}_i + \varepsilon_i$}\end{center}112\end{defbox}113\begin{vartable}114P_i & prix de vente de la propriété $i$ ; en logarithme, chaque coefficient se lit en \emph{pourcentage} du prix par unité & \$ \\115\beta_1 & effet d'une année d'âge supplémentaire sur le prix, \emph{à autres caractéristiques observées constantes} & \%/an \\116\beta_2,\,\beta_3,\,\beta_4 & prix implicites de la surface, de la qualité et des rénovations & \% par unité \\117\gamma' & vecteur des effets de localisation (secteur, distance, coordonnées) & \% \\118\varepsilon_i & terme d'erreur : ce que les variables ne captent pas (état, négociation) & --- \\119\end{vartable}120\vspace{-1mm}121\scriptsize Il \textbf{contrôle} les autres caractéristiques ; il exige des ventes documentées, une spécification réfléchie et des diagnostics (\textcite{malpezzi1987} ; \textcite{francke2017}).122\end{frame}123124\begin{frame}{Un modèle hédonique estimé sur les \vNventes{} ventes réelles}125\begin{center}126\scriptsize127\tabHedonique128\end{center}129\begin{columns}[T]130\begin{column}{0.5\textwidth}131\footnotesize Spécification : $\ln(P) = \alpha + \beta_1\,\text{âge} + \beta_2 \ln(\text{aire}) + \beta_3 \ln(\text{terrain}) + \gamma_1\,\Delta\text{lat} + \gamma_2\,\Delta\text{long} + \varepsilon$. Variables \textbf{absentes} : qualité, rénovations, sous-sol, garage.132\src{UQO Éval, ventes nov. 2025 -- août 2026, rôle 2024-2026 ; calcul du cours}133\end{column}134\begin{column}{0.48\textwidth}135\begin{importbox}[Le coefficient de l'âge n'est pas la dépréciation]136\footnotesize $\beta_1$ porte sur le \textbf{prix total}, terrain compris ; rapporté au seul bâtiment (environ la moitié du prix), il approcherait 1\,\%/an, cohérent avec le $\lambda$ du bloc 5. $R^2 = \vHedRdeux$ : l'état, invisible ici, explique le reste.137\end{importbox}138\end{column}139\end{columns}140\end{frame}141142\begin{frame}{Corrélation, effet marginal conditionnel, effet causal, dépréciation}143\begin{center}144\scriptsize145\renewcommand{\arraystretch}{1.1}146\begin{tabular}{@{}>{\bfseries}p{2.9cm} p{5.2cm} p{5.2cm}@{}}147\toprule148\textbf{Notion} & \textbf{Ce qu'elle mesure} & \textbf{Exemple avec l'âge} \\149\midrule150Corrélation & co-variation brute de deux variables & les maisons plus vieilles sont en moyenne moins chères \emph{et} plus petites \emph{et} mieux situées \\151Effet marginal conditionnel & variation du prix pour un an d'âge de plus, \emph{à autres variables observées constantes} & $\beta_1 = -\vHedBetaAge\,\%$ : à surface, terrain et localisation donnés \\152Effet causal & ce qui arriverait au prix si l'on \emph{vieillissait} la maison d'un an, tout le reste égal & inobservable sans contrôler l'état, la qualité d'origine, les rénovations \\153Dépréciation physique & perte due à l'usure des composantes & la toiture de 13 ans a consommé 13/25 de sa vie \\154Dépréciation économique totale & $\CN - \VB$ à la date d'évaluation, toutes causes & \vDimplVentePct\,\% pour le sujet le 30 janvier 2026 \\155\bottomrule156\end{tabular}157\end{center}158\begin{importbox}[Règles]159\footnotesize (1) Ne jamais assimiler le coefficient de l'âge à la dépréciation totale. (2) Ne jamais présenter un résultat non estimé comme empirique. (3) Les chiffres de ce bloc sont \emph{calculés} sur des ventes réelles de Gatineau et valent pour ce marché, en 2026, avec leurs limites.160\end{importbox}161\end{frame}162163\begin{frame}{Synthèse du bloc 6}164\begin{columns}[T]165\begin{column}{0.5\textwidth}166\begin{defbox}[À retenir]167\footnotesize168\begin{itemize}169    \item linéaire $\CN(1 - \delta t)$, exponentiel $\CN e^{-\lambda t}$, non linéaire $\CN e^{-\lambda' t^\gamma}$ : même départ, courbures différentes ;170    \item la dérivée est la dépréciation \textbf{marginale} ; son profil (constante, décroissante, en cloche) résume le modèle ;171    \item paramètres $\Rightarrow$ sensibilités de dizaines de milliers de dollars : les estimer, pas les décréter ;172    \item le modèle hédonique isole un effet \emph{conditionnel} de l'âge sur le prix total ; ni effet causal, ni dépréciation du bâtiment.173\end{itemize}174\end{defbox}175\end{column}176\begin{column}{0.48\textwidth}177\question{Le profil empirique montre un plateau jusqu'à 35 ans puis un décrochage. Lequel des trois modèles est le plus compatible, et quelle est la logique économique derrière?}178\pause179\begin{exbox}[Réponse]180\footnotesize Le non linéaire avec $\gamma > 1$ : la perte est lente tant que les composantes lourdes n'ont pas atteint leur fin de vie, puis s'accélère quand elles arrivent à échéance ensemble ; en fin de course, la structure résiduelle garde une valeur plancher.181\end{exbox}182\end{column}183\end{columns}184\end{frame}185