spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Théorie de la valeur et prix immobiliers}\label{ch:01}23Tout l'édifice de l'évaluation immobilière repose sur une distinction que le langage courant efface sans cesse : celle qui sépare le prix auquel un immeuble s'est vendu, la valeur qu'on lui attribue et le coût qu'il a fallu engager pour le construire. Le prix est un fait, daté et observable ; la valeur est une estimation, c'est-à-dire une opinion motivée sur un prix qui n'a pas encore eu lieu ; le coût est une dépense, qui n'a de rapport avec la valeur que si le marché le veut bien. Le présent chapitre fonde cette distinction en théorie économique, puis en tire les principes qui gouvernent toutes les méthodes des parties suivantes : substitution, anticipation, contribution, équilibre, conformité, rendements décroissants et plus haute et meilleure utilisation. Il montre ensuite pourquoi deux immeubles identiques ne se vendent pas au même prix et propose la définition opératoire de la valeur marchande qui servira dans tout l'ouvrage, celle d'une espérance conditionnelle, avant d'examiner les biais de jugement qui menacent l'évaluateur lorsqu'il passe des prix observés à la valeur estimée. Les illustrations chiffrées proviennent du dossier synthétique de la maison de Gatineau (cas~1), dont le modèle hédonique de référence est partagé avec les \cref{ch:16,ch:18}.45\begin{objectifs}6\begin{itemize}7\item Distinguer rigoureusement prix, valeur marchande, valeur au rôle, valeur d'investissement et coût, et savoir lequel de ces termes employer dans chaque phrase d'un rapport.8\item Relier la valeur aux quatre facteurs économiques qui la créent : utilité, rareté, désirabilité et pouvoir d'achat.9\item Énoncer les sept principes d'évaluation et reconnaître, dans un dossier, la méthode ou l'ajustement qui en découle.10\item Décrire le bien immobilier comme un panier d'attributs (Lancaster, Rosen) et comme un actif producteur de flux, et montrer que les deux descriptions conduisent au même prix d'équilibre.11\item Expliquer, par un modèle de recherche, pourquoi les prix de biens identiques se dispersent et comment la liquidité et le délai de vente s'échangent contre le prix.12\item Définir la valeur marchande comme l'espérance conditionnelle du prix et en déduire les conséquences pratiques : médiane, moyenne et mode, intervalle de prédiction, nombre de ventes nécessaires.13\item Reconnaître le biais d'ancrage et adopter un protocole de travail qui en limite l'effet.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Valeur, prix, coût : trois notions}\label{sec:1:trois}1819\subsection{Le prix : un fait}2021Le \motcle{prix} est la contrepartie en argent convenue entre un vendeur et un acheteur pour le transfert d'un droit sur un immeuble. Le Code civil du Québec en fait l'élément constitutif de la vente : le vendeur transfère la propriété d'un bien « moyennant un prix en argent » que l'acheteur s'oblige à payer \parencite[art.~1708]{ccq}. Un prix a trois propriétés qui le distinguent de tout ce qui suit. Il est \emph{historique} : il a été convenu à une date précise, celle de l'acceptation de la promesse d'achat, et il porte l'empreinte des conditions du marché à cette date. Il est \emph{particulier} : il résulte de la rencontre de deux parties déterminées, avec leurs besoins, leurs contraintes de temps, leur information et leur habileté à négocier, et une autre paire de parties aurait conclu un autre prix pour le même bien le même jour. Il est enfin \emph{observable}, au moins en principe : au Québec, le prix déclaré dans l'acte de vente est publié au registre foncier et il sert d'assiette aux droits de mutation (\cref{ch:13}). Le prix ne dit donc rien par lui-même de ce que le bien « vaut » ; il dit ce que ces deux personnes ont accepté ce jour-là.2223\subsection{La valeur : une estimation}2425La \motcle{valeur} n'est pas une propriété physique de l'immeuble que l'on pourrait mesurer comme sa superficie. C'est une \emph{opinion} sur le prix qu'il obtiendrait dans des conditions précisées. Le Code des professions définit d'ailleurs l'acte réservé à l'évaluateur agréé comme le fait de « formuler, en toutes matières, une opinion dûment motivée de la valeur d'un bien ou d'un droit immobilier » \parencite[art.~37~j)]{codeProfessions}. Le mot \emph{opinion} n'y est pas une concession à la subjectivité, mais la reconnaissance que la valeur porte sur un événement hypothétique, une vente qui n'a pas eu lieu, et qu'elle ne peut être qu'inférée des ventes qui ont eu lieu. Le mot \emph{motivée} impose en retour que l'inférence soit explicite, documentée et reproductible : c'est tout l'objet de ce traité.2627Parce qu'elle dépend des conditions que l'on précise, la valeur n'est jamais une notion unique. Les \motcle{bases de valeur} sont les ensembles de conditions sous lesquelles l'estimation est produite, et le \cref{ch:02} les compare en détail. Il suffit ici d'en distinguer quatre, parce que leur confusion est la source la plus fréquente d'erreurs de raisonnement. La \motcle{valeur marchande} est le prix le plus probable d'une vente sur un marché libre, entre parties informées et non contraintes, après une exposition suffisante ; c'est la base par défaut de l'évaluation professionnelle. La \motcle{valeur au rôle} est la « valeur réelle » inscrite au rôle d'évaluation foncière aux fins de la taxation municipale : elle est elle aussi un prix le plus probable, mais à une date de référence fixée par la loi, souvent antérieure de deux à quatre ans à la date où l'on consulte le rôle, et selon des conventions propres (\cref{ch:09}). La \motcle{valeur d'investissement} est la valeur d'un bien \emph{pour un investisseur déterminé}, compte tenu de ses objectifs, de son coût du capital, de sa fiscalité et de ses synergies ; elle diffère légitimement de la valeur marchande, et c'est précisément cette différence qui motive les transactions. La \motcle{valeur d'usage} enfin est la valeur du bien dans l'emploi que son détenteur en fait, sans égard au marché. Chaque fois qu'un rapport ou un article de presse écrit « la valeur », le lecteur doit se demander laquelle.2829\subsection{Le coût : une dépense}3031Le \motcle{coût} est la somme des dépenses nécessaires pour produire le bien : acquérir le terrain, le viabiliser, construire le bâtiment, payer les honoraires, les permis, le financement intercalaire et la rémunération du promoteur. Le coût regarde vers le passé, ou vers un passé reconstitué : c'est ce qu'il a fallu, ou ce qu'il faudrait, dépenser. La valeur regarde vers l'avenir : c'est ce que le marché est disposé à payer pour les services que le bien rendra. Rien ne garantit que les deux coïncident. Un bâtiment construit à grands frais dans un secteur où personne ne veut habiter vaut moins que son coût ; un terrain acheté pour une bouchée de pain avant l'arrivée du train léger vaut davantage. La méthode du coût (\cref{ch:21,ch:24}) ne contredit pas cette asymétrie : elle part du coût, puis elle retranche les dépréciations qui mesurent justement l'écart entre ce que le bien a coûté et ce que le marché en veut.3233\begin{figure}[htbp]34\centering35\begin{tikzpicture}[every node/.style={font=\sffamily\small}, boite/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, minimum width=38mm, minimum height=14mm, align=center}, lien/.style={<->, >={Stealth[length=2mm]}, brandGray, thick}]36\node[boite] (prix) at (0, 0) {\textbf{Prix} $P$\\ un fait daté\\ observé, particulier};37\node[boite] (valeur) at (6.2, 0) {\textbf{Valeur} $V$\\ une estimation\\ conditionnelle à une base};38\node[boite] (cout) at (3.1, -3.4) {\textbf{Coût} $C$\\ une dépense\\ passée ou reconstituée};39\draw[lien] (prix) -- node[above, text=brandGray, font=\sffamily\footnotesize] {$P = V\,e^{\varepsilon}$ : le prix est une réalisation bruitée} (valeur);40\draw[lien] (prix) -- node[left, xshift=-1mm, text=brandGray, font=\sffamily\footnotesize, align=right] {droits de mutation,\\ indices de prix} (cout);41\draw[lien] (valeur) -- node[right, xshift=1mm, text=brandGray, font=\sffamily\footnotesize, align=left] {$V = V_L + C_N - D$ :\\ méthode du coût (ch.~21)} (cout);42\end{tikzpicture}43\caption{Les trois notions et ce qui les relie. Le prix est une réalisation particulière autour de la valeur ; le coût n'est relié à la valeur que par l'intermédiaire des dépréciations, qui mesurent l'écart entre ce que le bien a coûté et ce que le marché en veut.}\label{fig:1:triangle}44\figsource{schéma de l'auteur.}45\end{figure}4647\subsection{Pourquoi prix et valeur divergent}4849Si la valeur est le prix le plus probable, le prix effectivement observé s'en écarte pour des raisons qui tiennent à la transaction et non au bien. Il est commode de représenter cet écart par un terme multiplicatif aléatoire :50\begin{equation}\label{eq:1:bruit}51P_j = V_j\, e^{\varepsilon_j}, \qquad \text{soit}\qquad \ln P_j = \ln V_j + \varepsilon_j, \quad \E[\varepsilon_j] = 0,\ \Var[\varepsilon_j] = \sigma^2 .52\end{equation}53Le terme $\varepsilon_j$ rassemble tout ce que la vente $j$ a de particulier : l'urgence du vendeur ou de l'acheteur, l'information imparfaite de l'un ou de l'autre, le nombre d'offres concurrentes reçues, l'habileté des courtiers, la date exacte dans un marché qui bouge, et les caractéristiques du bien que l'observateur ne voit pas. L'écriture logarithmique est préférée à l'écriture additive parce que les écarts de négociation sont proportionnels au prix : on marchande cinq pour cent d'une maison de \dollars{400000} comme d'une maison de \dollars{900000}, non un montant fixe. Le \cref{tab:1:trois} résume les trois notions et leurs attributs ; la \cref{sec:1:dispersion} donnera une mesure de $\sigma$ et une explication économique de son existence, et la \cref{sec:1:esperance} montrera que l'\cref{eq:1:bruit} suffit à définir la valeur marchande de façon opératoire.5455\begin{table}[htbp]56\caption{Prix, valeur et coût : trois notions à ne jamais confondre}\label{tab:1:trois}57\centering58\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYY}59\toprule60 & Prix & Valeur & Coût \\61\midrule62Nature & Fait : contrepartie convenue & Opinion : prix le plus probable sous une base déclarée & Dépense : somme des intrants nécessaires \\63Temps & Passé, daté (promesse d'achat) & Date d'évaluation (prospectif) & Passé ou reconstitué à la date d'évaluation \\64Particularité & Propre à deux parties & Propre à un marché et à une base & Propre à une technique et à un lieu \\65Observabilité & Registre foncier, courtage & Jamais observée ; inférée des prix & Devis, soumissions, guides de coûts \\66Pluralité & Un seul par transaction & Autant que de bases (marchande, rôle, investissement, usage) & Reproduction ou remplacement \\67Rôle dans l'ouvrage & Donnée d'entrée (ch.~13--16) & Résultat de l'évaluation & Intrant de la méthode du coût (ch.~21--25) \\68\bottomrule69\end{tabularx}70\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026}, \textcite{ivs2025} et \textcite{oeaqNormes}.}71\end{table}7273\begin{quebec}74Trois textes québécois fixent le vocabulaire. Les Normes de pratique professionnelle de l'Ordre des évaluateurs agréés du Québec définissent la valeur marchande comme le « prix sincère le plus probable » d'une vente réelle ou présumée, à une date donnée, « sur un marché libre et ouvert à la concurrence », assortie de quatre conditions : parties bien informées, exposition suffisante, paiement comptant ou l'équivalent, prix épuré des incitatifs et des conditions de financement avantageuses \parencite[Intro-11]{oeaqNormes}. La Loi sur la fiscalité municipale définit la valeur réelle d'une unité d'évaluation comme « sa valeur d'échange sur un marché libre et ouvert à la concurrence, soit le prix le plus probable » d'une vente de gré à gré entre parties qui n'y sont pas obligées et qui sont raisonnablement informées de l'état de l'unité, de l'utilisation qui peut le plus probablement en être faite et des conditions du marché \parencite[art.~43]{lfm} ; cette valeur est établie à la date de référence du 1\textsuperscript{er} juillet du deuxième exercice précédant l'entrée en vigueur du rôle \parencite[art.~46]{lfm}, ce qui explique que la valeur au rôle d'un immeuble, lue en 2026 sur un rôle 2026-2028, décrive le marché du 1\textsuperscript{er} juillet 2024. Enfin, le Code des professions réserve à l'évaluateur agréé l'opinion « dûment motivée » de la valeur \parencite[art.~37~j)]{codeProfessions}. Les trois textes convergent : la valeur est un prix \emph{probable}, non un prix constaté, et elle est indissociable d'une date. Les normes internationales disent la même chose en d'autres mots : la valeur marchande est « the estimated amount for which an asset and/or liability should exchange on the valuation date between a willing buyer and a willing seller in an arm's-length transaction, after proper marketing » \parencite[IVS~102, A10.01]{ivs2025}, et les normes canadiennes parlent de « the most probable price, as of a specified date, in cash, or in terms equivalent to cash » \parencite[s.~3]{cuspap2026}. Textes consultés le 31 octobre 2026.75\end{quebec}7677\section{Les quatre facteurs de la valeur}\label{sec:1:facteurs}7879La tradition de l'évaluation, héritée de l'économie classique et formalisée par les manuels nord-américains \parencite{appraisal2026,appraisalCdn}, enseigne qu'un bien n'a de valeur que si quatre conditions sont réunies simultanément : il doit être utile, rare, désiré, et les personnes qui le désirent doivent pouvoir le payer. Aucune de ces conditions ne suffit seule ; la valeur naît de leur conjonction, et elle disparaît si l'une manque.8081L'\motcle{utilité} est la capacité du bien à satisfaire un besoin : abriter un ménage, produire un loyer, servir d'emplacement à un commerce. L'utilité d'un immeuble est multidimensionnelle, parce qu'un logement rend simultanément des services d'espace, de localisation, de confort, de sécurité et de statut ; la \cref{sec:1:attributs} donnera à cette idée sa forme moderne. La \motcle{rareté} est la limitation de l'offre par rapport à la demande : le sol est rare par nature, parce qu'il n'est pas reproductible et que chaque emplacement est unique, et le bâti est rare à court terme, parce qu'il faut des années pour construire. Un bien utile mais abondant, l'air, n'a pas de prix. La \motcle{désirabilité}, que les manuels appellent aussi la demande effective, est le fait que des acheteurs veuillent réellement le bien ; elle dépend des goûts, de la démographie, des modes, de l'information et des anticipations. Le \motcle{pouvoir d'achat} enfin est la capacité des acheteurs de payer : revenus, épargne, et surtout accès au crédit, puisque la quasi-totalité des achats résidentiels est financée par hypothèque. C'est par ce canal que la politique monétaire agit sur les prix : une hausse des taux ne change ni l'utilité ni la rareté des maisons, mais elle réduit le montant que les ménages peuvent emprunter pour un même paiement mensuel, et donc le prix qu'ils peuvent offrir (\cref{ch:03,ch:31}).8283Le \cref{tab:1:facteurs} rattache chaque facteur aux variables que l'évaluateur mesure concrètement et à la partie de l'ouvrage qui les traite. La lecture par les quatre facteurs est utile en diagnostic : lorsqu'un marché local s'effondre, c'est presque toujours parce que l'un des quatre s'est dérobé, et savoir lequel oriente l'analyse. La fermeture d'une usine en région ressource atteint la désirabilité et le pouvoir d'achat ; une vague de construction de copropriétés atteint la rareté ; une contamination découverte atteint l'utilité.8485\begin{table}[htbp]86\caption{Les quatre facteurs de la valeur et leur traduction opérationnelle}\label{tab:1:facteurs}87\centering88\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYl}89\toprule90Facteur & Ce qu'il désigne & Variables mesurées par l'évaluateur & Chapitres \\91\midrule92Utilité & Capacité à satisfaire un besoin & Superficie, pièces, état, qualité, localisation, loyers potentiels & 11, 12, 26 \\93Rareté & Offre limitée relativement à la demande & Stock, mises en chantier, inventaire, taux d'inoccupation, contraintes de zonage & 3, 8, 15 \\94Désirabilité & Demande effective pour le bien & Ventes, délais de vente, ratio prix demandé/prix obtenu, migration, ménages & 4, 15 \\95Pouvoir d'achat & Capacité de payer & Revenus, taux hypothécaires, règles d'admissibilité, mise de fonds & 3, 31 \\96\bottomrule97\end{tabularx}98\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026}.}99\end{table}100101\section{Les principes d'évaluation}\label{sec:1:principes}102103Les manuels professionnels énoncent une dizaine de principes qui gouvernent la formation des valeurs. Ce ne sont pas des lois au sens juridique, ni des théorèmes au sens mathématique, mais des régularités économiques dont chaque méthode d'évaluation est une application. Les sept qui suivent sont les plus féconds ; le \cref{tab:1:principes} en résume les implications, et chacun est illustré par un chiffre du dossier du cas~1, dont le modèle hédonique de référence (\cref{sec:1:attributs}) a été estimé sur six cents ventes synthétiques. Le lecteur trouvera dans ces illustrations une première rencontre avec les chiffres qui reviendront, exactement les mêmes, aux \cref{ch:16,ch:17,ch:18,ch:45}.104105\begin{synthetique}106Le dossier du cas~1 est synthétique. Le fichier \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv} contient 600 ventes fictives d'unifamiliales réparties dans les cinq secteurs de Gatineau entre janvier 2023 et août 2026, et \texttt{cas1\_gatineau\_sujet.json} décrit le sujet : un cottage à étages de 1998, de \msq{165} habitables sur un terrain de \msq{620}, dans le secteur de Hull, évalué au 1\textsuperscript{er} septembre 2026. Les ventes ont été générées par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon des lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} et calibrées sur les prix médians par secteur publiés par l'APCIQ pour le troisième trimestre de 2026 \parencite{apciqgatineaut32026}. Le modèle hédonique de référence est la fonction \texttt{traite.cas1.hedonique}, partagée par tous les chapitres qui utilisent ce dossier. Tous les chiffres du présent chapitre sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch01.py}. Aucune adresse, aucune transaction et aucune personne réelles ne sont décrites.107\end{synthetique}108109\subsection{Substitution}110111Le \motcle{principe de substitution} affirme qu'un acheteur informé ne paiera pas, pour un bien, davantage que le coût d'acquisition d'un bien de substitution d'utilité équivalente et disponible dans un délai raisonnable. C'est le principe fondateur des trois méthodes : la comparaison substitue des immeubles vendus (\cref{ch:16}), le coût substitue la construction d'un équivalent (\cref{ch:21}), le revenu substitue un placement de rendement équivalent (\cref{ch:29}). Son implication immédiate est que le prix d'un immeuble est \emph{borné} par les prix des substituts disponibles au même moment : il ne peut s'en écarter durablement que si les substituts n'existent pas ou ne sont pas connus. Dans le cas~1, les cinq comparables retenus au \cref{ch:16} se sont vendus entre \dollars{506500} et \dollars{624500} ; aucun n'est identique au sujet, et la \cref{sec:1:esperance} montrera que leurs prix bruts se situent tous sous la valeur estimée du sujet (\dollars{635821}), parce qu'ils sont plus petits, plus anciens dans le temps ou dépourvus de garage. La substitution ne dit pas que le sujet vaut la moyenne de ces prix ; elle dit que sa valeur est reliée à ces prix par les différences qui le séparent de chacun, et que le travail de l'évaluateur consiste à mesurer ces différences.112113\subsection{Anticipation}114115Le \motcle{principe d'anticipation} affirme que la valeur est créée par l'attente des avantages futurs, non par les avantages passés. On n'achète pas un immeuble pour les loyers qu'il a versés à son ancien propriétaire, mais pour ceux qu'il versera ; on n'achète pas une maison pour le confort qu'elle a procuré, mais pour celui qu'elle procurera. Le principe a deux conséquences. La première fonde la méthode du revenu : la valeur d'un immeuble locatif est la somme actualisée de ses revenus nets futurs, ce que la \cref{sec:1:actif} formalisera et que les \cref{ch:29,ch:30} développeront. La seconde concerne tous les immeubles : les anticipations de hausse ou de baisse des prix sont elles-mêmes capitalisées dans les prix courants, de sorte qu'un marché peut monter parce que l'on s'attend à ce qu'il monte, ce qui est le mécanisme des bulles qu'étudie \textcite{shiller2015}. Dans le cas~1, le modèle de référence estime une tendance de \pct{0.36} par mois, soit \pct{4.46} par année en taux composé : la même maison, vendue vingt-six mois plus tôt à la date de référence du rôle (1\textsuperscript{er} juillet 2024), aurait eu une valeur estimée de \dollars{578436} au lieu de \dollars{635821}. L'écart de \pct{9.9} ne tient à aucun changement du bien ; il tient à la date, c'est-à-dire aux conditions du marché et aux anticipations qui les portent. C'est pourquoi la valeur est indissociable de sa date, et pourquoi l'ajustement de conditions du marché est le premier ajustement de toute grille de comparaison (\cref{ch:17}).116117\subsection{Contribution}118119Le \motcle{principe de contribution} affirme que la valeur d'une composante d'un immeuble est mesurée par ce qu'elle ajoute à la valeur de l'ensemble, non par son coût. Un garage ajoute à la valeur d'une maison ce que les acheteurs sont prêts à payer de plus pour une maison avec garage, que le garage ait coûté \dollars{30000} ou \dollars{60000}. Le principe est la clé de la méthode de comparaison, où chaque ajustement est une contribution marchande, et il explique la \emph{désuétude fonctionnelle} de la méthode du coût (\cref{ch:24}) : une composante dont le coût dépasse la contribution est, par définition, une surconstruction. Dans le cas~1, le modèle de référence attribue au garage simple du sujet un effet de \pct{3.3} sur le prix, soit une contribution de \dollars{20291} à la valeur estimée ; au sous-sol fini, \pct{2.2}, soit \dollars{13829} ; et au fait que le bâtiment soit à étages plutôt que de plain-pied, \pct{3.1}, soit \dollars{18860}. Ces montants sont ce que le marché synthétique « paie » pour chaque attribut ; ils ne doivent rien au coût de l'attribut, et c'est l'écart entre les deux qui, dans un marché réel, guide le propriétaire qui hésite à rénover (\cref{ch:44}).120121\subsection{Équilibre}122123Le \motcle{principe d'équilibre} affirme que la valeur est maximale lorsque les facteurs de production, terrain, bâtiment, capital et gestion, sont combinés dans des proportions appropriées. Un bâtiment trop grand pour son terrain, ou un terrain trop vaste pour son bâtiment, vaut moins que la somme de ce que vaudraient les deux dans des proportions équilibrées. Le principe se lit dans les élasticités du modèle de référence : un accroissement de dix pour cent de la superficie habitable augmente le prix de \pct{5.4} environ, mais un accroissement de dix pour cent du terrain ne l'augmente que de \pct{0.9}, dans un secteur bâti où le terrain supplémentaire a peu d'usages. Le ménage qui paierait un terrain double au prix du mètre carré du terrain moyen commettrait l'erreur que le principe d'équilibre dénonce ; et l'évaluateur qui ajusterait le terrain à ce prix la reproduirait. Le \cref{ch:25} reviendra sur la valeur du terrain en excédent.124125\subsection{Conformité et externalités}126127Le \motcle{principe de conformité} affirme que la valeur d'un immeuble est maximale lorsqu'il s'harmonise avec son voisinage : la maison la plus chère d'une rue modeste se vend moins que son coût, et la maison la plus modeste d'une rue cossue se vend plus que ses attributs propres ne le justifient. Le principe est un cas particulier d'un fait plus général, que l'économie urbaine appelle les \motcle{externalités} et que le \cref{ch:05} développe : la valeur d'un immeuble dépend de ce qui l'entoure. Dans le cas~1, le sujet placé tel quel, avec les mêmes attributs, dans chacun des cinq secteurs de Gatineau aurait une valeur estimée de \dollars{692518} à Aylmer (\pct{8.9} de plus qu'à Hull), de \dollars{621798} dans le secteur de Gatineau ($-\pct{2.2}$), de \dollars{494999} à Buckingham ($-\pct{22.1}$) et de \dollars{488712} à Masson-Angers ($-\pct{23.1}$). Le bâtiment n'a pas changé ; son environnement a changé, et avec lui la valeur. C'est la raison pour laquelle la localisation est le premier critère de comparabilité (\cref{ch:16}) et pour laquelle les modèles spatiaux du \cref{ch:19} sont indispensables.128129\subsection{Rendements décroissants}130131Le \motcle{principe des rendements décroissants} affirme que l'ajout successif d'unités d'un même facteur accroît la valeur de moins en moins. Il se manifeste dans toutes les études hédoniques par une élasticité du prix à la superficie inférieure à l'unité : dans le cas~1, elle vaut 0,539. Il en résulte que le prix \emph{marginal} du mètre carré est inférieur au prix \emph{moyen}. Pour le sujet, le prix moyen est de \parmsq{3853} (la valeur estimée divisée par \msq{165}), mais le prix marginal, c'est-à-dire la valeur ajoutée par le dernier mètre carré, n'est que de \parmsq{2077} :132\begin{equation}\label{eq:1:marginal}133\frac{\partial V}{\partial S} = \beta_S\, \frac{V}{S}, \qquad \text{soit}\qquad \text{prix marginal} = \beta_S \times \text{prix moyen},134\end{equation}135où $\beta_S$ est l'élasticité. Dix mètres carrés de plus ajouteraient \dollars{20491} à la valeur du sujet ; les dix suivants, \dollars{19958} seulement. Le principe a une conséquence directe sur la pratique : ajuster la superficie d'un comparable au prix moyen du mètre carré, comme on le fait trop souvent, surestime l'ajustement d'un facteur $1/\beta_S$, soit ici de près du double. Le \cref{ch:17} en tire la règle d'ajustement correcte.136137\subsection{Plus haute et meilleure utilisation}138139Le principe de la \motcle{plus haute et meilleure utilisation} (PHMU, \emph{highest and best use}) affirme que la valeur d'un bien est déterminée par l'usage qui, parmi ceux qui sont physiquement possibles, légalement permis, financièrement réalisables et maximalement productifs, lui procure la valeur la plus élevée. Les normes internationales le formulent comme « the use, from a participant perspective, that would produce the highest value for an asset » \parencite[IVS~102, A90.01]{ivs2025}, et la Loi sur la fiscalité municipale l'intègre à la définition même de la valeur réelle par la référence à « l'utilisation qui peut le plus probablement en être faite » \parencite[art.~43]{lfm}. Le principe tranche une question que les trois autres laissent ouverte : par rapport à quel usage mesure-t-on la valeur ? Un terrain occupé par une maison modeste dans un secteur où le zonage permet des immeubles de trois logements ne vaut pas la maison ; il vaut le plus élevé de la valeur de la maison et de la valeur du terrain pour le triplex, déduction faite du coût de la démolition. Le \cref{tab:1:phmu} en donne une illustration hypothétique à chiffres déclarés : pour un terrain donné, la valeur résiduelle que laisse chaque usage, produit fini moins coût total de réalisation, désigne l'usage optimal. Ici l'usage actuel l'emporte, de peu ; un recul du coût de construction du duplex ou une hausse de son prix de vente renverserait la conclusion, et l'évaluateur devrait alors écrire que la maison existante ne représente plus la PHMU du terrain. Le \cref{ch:41} développe l'analyse et ses quatre tests.140141\begin{table}[htbp]142\caption{Illustration hypothétique du principe de la plus haute et meilleure utilisation : valeur résiduelle d'un même terrain selon trois usages (chiffres déclarés, non calibrés)}\label{tab:1:phmu}143\centering144\small145\begin{tabular}{lS[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=6.0]}146\toprule147Usage & {\makecell{Valeur du\\produit fini (\$)}} & {\makecell{Coût total de\\réalisation (\$)}} & {\makecell{Valeur résiduelle\\du terrain (\$)}} \\148\midrule149Unifamiliale (usage actuel) & 640000 & 470000 & 170000 \\150Duplex & 880000 & 720000 & 160000 \\151Triplex (si le zonage le permet) & 1150000 & 1010000 & 140000 \\152\bottomrule153\end{tabular}154\tabsource{hypothèses pédagogiques de l'auteur, \texttt{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py} ; le coût total comprend la construction, les frais indirects et le profit du promoteur.}155\end{table}156157\begin{table}[htbp]158\caption{Les sept principes d'évaluation, leurs implications méthodologiques et leur illustration dans le cas~1 (données synthétiques)}\label{tab:1:principes}159\centering160\small161\begin{tabularx}{\textwidth}{lYY}162\toprule163Principe & Implication pour l'évaluateur & Illustration (cas~1) \\164\midrule165Substitution & Fonde les trois méthodes ; la valeur est bornée par les prix des substituts & Cinq comparables vendus de \dollars{506500} à \dollars{624500} \\166Anticipation & La valeur est datée ; les revenus et les variations de prix attendus sont capitalisés & Tendance de \pct{4.46} par an ; même maison : \dollars{578436} en juillet 2024, \dollars{635821} en septembre 2026 \\167Contribution & Chaque ajustement mesure un apport marchand, non un coût & Garage \dollars{20291}, sous-sol fini \dollars{13829}, étages \dollars{18860} \\168Équilibre & Les facteurs se combinent dans des proportions optimales ; le terrain en excédent vaut peu & Élasticités : superficie 0,54, terrain 0,09 \\169Conformité & La valeur dépend du voisinage ; la localisation est le premier critère de comparabilité & Sujet relocalisé : de \dollars{488712} (Masson-Angers) à \dollars{692518} (Aylmer) \\170Rendements décroissants & Prix marginal $<$ prix moyen ; ne pas ajuster la superficie au prix moyen & Prix moyen \parmsq{3853}, prix marginal \parmsq{2077} \\171PHMU & La valeur se mesure pour l'usage optimal, non pour l'usage actuel & Résidu du terrain : unifamiliale \dollars{170000}, duplex \dollars{160000}, triplex \dollars{140000} (hypothèses) \\172\bottomrule173\end{tabularx}174\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py, graine 20261031 ; dernière ligne : hypothèses déclarées}}175\end{table}176177\section{Le bien immobilier comme panier d'attributs et comme actif}\label{sec:1:attributs}178179Les principes de la section précédente sont des régularités ; la théorie économique moderne en donne le fondement. Deux descriptions du bien immobilier coexistent, et il importe de voir qu'elles ne se contredisent pas : le logement est un \emph{panier d'attributs} qui procurent de l'utilité à son occupant, et il est un \emph{actif} qui procure des flux à son détenteur. La première description fonde la méthode de comparaison et les modèles hédoniques ; la seconde fonde la méthode du revenu. Le prix d'équilibre doit satisfaire les deux.180181\subsection{L'utilité porte sur les caractéristiques : Lancaster}182183Dans la théorie classique du consommateur, l'utilité est une fonction des quantités de biens consommés. \textcite{lancaster1966} a proposé de la définir plutôt sur les \emph{caractéristiques} que les biens possèdent : un ménage ne tire pas d'utilité d'« une maison », mais de la superficie, du nombre de chambres, de la proximité du travail, de la qualité de l'école du quartier et du calme que cette maison lui procure. Formellement, si le bien $j$ est décrit par un vecteur de caractéristiques $\mathbf{z}_j = (z_{j1}, \dots, z_{jK})$, l'utilité du ménage s'écrit184\begin{equation}\label{eq:1:lancaster}185U = U(\mathbf{z}, x), \qquad \text{sous la contrainte}\qquad p(\mathbf{z}) + x = y,186\end{equation}187où $x$ est la consommation de tous les autres biens (numéraire), $y$ le revenu et $p(\mathbf{z})$ le prix du logement de caractéristiques $\mathbf{z}$. Ce déplacement de l'objet de l'utilité a trois conséquences pour l'évaluateur. Il rend comparables des biens hétérogènes : deux maisons différentes sont deux points dans le même espace de caractéristiques, et la « distance » entre elles a un sens (\cref{ch:16}). Il justifie la décomposition du prix en contributions : si l'utilité dépend des caractéristiques, le prix doit en dépendre aussi, et chaque caractéristique a un \emph{prix implicite}. Il explique enfin la substitution : deux paniers de caractéristiques différents peuvent procurer la même utilité, et l'acheteur choisit le moins cher.188189\subsection{L'équilibre hédonique : Rosen}190191\textcite{rosen1974} a montré comment la fonction de prix $p(\mathbf{z})$ se forme sur un marché où des acheteurs hétérogènes rencontrent des vendeurs hétérogènes. Chaque acheteur possède une \motcle{fonction d'enchère} $\theta(\mathbf{z}; u, y)$, le montant maximal qu'il paierait pour un bien de caractéristiques $\mathbf{z}$ tout en conservant le niveau d'utilité $u$ ; chaque vendeur ou producteur possède une \motcle{fonction d'offre} $\phi(\mathbf{z}; \pi)$, le montant minimal qu'il accepterait pour produire $\mathbf{z}$ en conservant le profit $\pi$. À l'équilibre, chaque acheteur choisit le $\mathbf{z}$ qui égalise sa disposition marginale à payer et le prix marginal, et de même chaque vendeur :192\begin{equation}\label{eq:1:rosen}193\frac{\partial \theta}{\partial z_k} = \frac{\partial p}{\partial z_k} = \frac{\partial \phi}{\partial z_k}, \qquad k = 1, \dots, K .194\end{equation}195La fonction de prix observée $p(\mathbf{z})$ est l'\emph{enveloppe} des fonctions d'enchère et des fonctions d'offre : en chaque point, elle est tangente à l'enchère de l'acheteur et à l'offre du vendeur qui s'y sont appariés (\cref{fig:1:rosen}). Il en découle deux leçons que l'on oublie souvent. La première est que le prix implicite $\partial p / \partial z_k$ est un prix d'équilibre \emph{marginal} : il mesure ce que l'acheteur marginal paie pour une unité de plus de $z_k$ au point $\mathbf{z}$, et rien n'impose qu'il soit constant d'un point à l'autre de l'espace des caractéristiques. L'évaluateur qui transporte un ajustement de garage d'un marché de maisons à \dollars{400000} vers un marché de maisons à \dollars{900000} suppose implicitement une linéarité que la théorie n'autorise pas. La seconde leçon est que $p(\mathbf{z})$ n'est ni une fonction de demande ni une fonction d'offre, mais le lieu des appariements : elle ne révèle les préférences qu'au point de tangence, ce qui est la source des difficultés d'identification étudiées par \textcite{epple1987}, \textcite{ekelandHeckmanNesheim2004} et \textcite{bajariBenkard2005}, et qui importe pour l'évaluateur chaque fois qu'il veut prédire l'effet d'un changement \emph{non marginal} d'un attribut (\cref{ch:18}).196197\begin{figure}[htbp]198\centering199\includegraphics[width=\textwidth]{ch01/ch01-fig-rosen.pdf}200\caption{L'équilibre hédonique de \textcite{rosen1974} : la fonction de prix $p(z)$ est l'enveloppe des fonctions d'enchère des acheteurs (concaves) et des fonctions d'offre des vendeurs (convexes). En chaque appariement, la pente commune est le prix implicite de l'attribut ; elle varie le long de la courbe.}\label{fig:1:rosen}201\figsource{schéma de l'auteur, formes fonctionnelles illustratives (\texttt{analysis/python/figures/ch01\_figures.py}).}202\end{figure}203204\subsection{La forme semi-logarithmique et les prix implicites}205206L'approche hédonique remonte, avant Lancaster et Rosen, aux travaux de \textcite{court1939} sur les automobiles et de \textcite{griliches1961} sur les indices de prix à qualité constante, dont \textcite{goodman1998} a retracé l'histoire ; \textcite{sheppard1999} et \textcite{malpezzi2003} en donnent les revues de référence pour le logement. La forme fonctionnelle la plus utilisée, et celle que tout l'ouvrage adopte par convention (\cref{app:conventions-calcul}), est la forme semi-logarithmique :207\begin{equation}\label{eq:1:semilog}208\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T \boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \mu_{s(i)} + \varepsilon_i ,209\end{equation}210où $\mathbf{x}_i$ rassemble les caractéristiques physiques, $\tau_{t(i)}$ l'effet de la période de vente, $\mu_{s(i)}$ l'effet du secteur et $\varepsilon_i$ le terme aléatoire de l'\cref{eq:1:bruit}. Sous cette forme, un coefficient $\beta_k$ est approximativement l'effet proportionnel d'une unité de $x_k$ sur le prix, et l'effet exact d'une variable indicatrice est $e^{\beta_k} - 1$ \parencite{halvorsenPalmquist1980}. La contribution d'un attribut à la valeur d'un bien donné s'obtient en comparant la valeur avec et sans l'attribut :211\begin{equation}\label{eq:1:contribution}212C_k = V - V\, e^{-\beta_k x_k} = V\left(1 - e^{-\beta_k x_k}\right),213\end{equation}214ce qui est la formalisation du principe de contribution : $C_k$ dépend de $V$, donc de tous les autres attributs, et un garage ne « vaut » pas la même chose sur toutes les maisons. Le \cref{tab:1:implicites} donne les prix implicites du modèle de référence du cas~1 et les contributions correspondantes pour le sujet. Le modèle explique \pct{85.3} de la variance des logarithmes de prix sur six cents ventes, avec un écart-type résiduel $\hat\sigma = 0{,}083$ qui occupera la section suivante.215216\begin{table}[htbp]217\caption{Prix implicites du modèle hédonique de référence du cas~1 et contributions à la valeur estimée du sujet (données synthétiques)}\label{tab:1:implicites}218\centering219\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}220\begin{tabular}{lS[table-format=-1.5]S[table-format=1.5]S[table-format=-2.1]S[table-format=-6.0]}221\toprule222Attribut (unité) & {$\hat\beta_k$} & {\makecell{Erreur-type\\(HC1)}} & {\makecell{Effet\\unitaire (\%)}} & {\makecell{Contribution\\au sujet (\$)}} \\223\midrule224Superficie habitable (élasticité, réf. \msq{140}) & 0.53907 & 0.01270 & {---} & 53893 \\225Superficie du terrain (élasticité, réf. \msq{560}) & 0.09366 & 0.01097 & {---} & 6032 \\226Âge (par année) & -0.00510 & 0.00056 & -0.5 & -97533 \\227Âge au carré ($/100$) & 0.00264 & 0.00064 & 0.3 & 13035 \\228Qualité (par échelon, réf. 3) & 0.06108 & 0.00423 & 6.3 & 0 \\229Garage (par place) & 0.03243 & 0.00501 & 3.3 & 20291 \\230Sous-sol fini & 0.02199 & 0.00692 & 2.2 & 13829 \\231Piscine & 0.02633 & 0.00845 & 2.7 & 0 \\232Bâtiment à étages & 0.03011 & 0.00687 & 3.1 & 18860 \\233Secteur Aylmer (réf. Hull) & 0.08542 & 0.02314 & 8.9 & 0 \\234Secteur Buckingham (réf. Hull) & -0.25036 & 0.07177 & -22.1 & 0 \\235Secteur Masson-Angers (réf. Hull) & -0.26314 & 0.06718 & -23.1 & 0 \\236Tendance du marché (par mois) & 0.00364 & 0.00027 & 0.4 & 57385 \\237\bottomrule238\end{tabular}239\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py ; $n = 600$, $R^2 = 0{,}853$, $\hat\sigma = 0{,}083$ ; contributions par l'\cref{eq:1:contribution} à partir de la valeur estimée de \dollars{635821} ; le sujet a une qualité de 3, pas de piscine et se trouve à Hull, d'où des contributions nulles ; coefficients du secteur Gatineau et de la distance au centre omis}}240\end{table}241242\subsection{Le bien comme actif : flux, capitalisation et coût d'usage}\label{sec:1:actif}243244La seconde description regarde le même immeuble du point de vue de celui qui le détient pour les flux qu'il procure. Un immeuble locatif verse des loyers nets ; une maison occupée par son propriétaire lui verse un loyer implicite, le loyer qu'il n'a pas à payer. Par le principe d'anticipation, la valeur de l'actif est la somme actualisée de ces flux :245\begin{equation}\label{eq:1:dcf}246V_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{CF_t}{(1 + r)^t},247\end{equation}248où $r$ est le taux de rendement exigé par le détenteur marginal, qui rémunère le temps, le risque et l'illiquidité. Si les flux croissent au taux constant $g < r$ à partir de $CF_1$, la somme se réduit à la formule de \textcite{gordonShapiro1956}, que les évaluateurs connaissent sous la forme de la capitalisation directe :249\begin{equation}\label{eq:1:gordon}250V_0 = \frac{CF_1}{r - g} = \frac{CF_1}{R}, \qquad R = r - g,251\end{equation}252où $R$ est le taux de capitalisation global. La dérivation et les hypothèses qui la fondent sont données au \cref{ch:29}, et le \cref{ch:30} traite du cas où les flux ne croissent pas régulièrement. Il suffit ici de retenir que le taux de capitalisation n'est pas un paramètre arbitraire : il est la différence entre le rendement exigé et la croissance attendue, et il baisse lorsque les taux d'intérêt baissent ou que les anticipations de croissance montent.253254Pour le propriétaire occupant, la même logique conduit au \motcle{coût d'usage} du logement, que \textcite{poterba1984} a formalisé. Détenir une maison de valeur $V$ pendant un an coûte l'intérêt sur le capital immobilisé (ou renoncé) au taux $i$, les taxes foncières au taux $\tau$, l'entretien et la dépréciation au taux $\delta$, moins la plus-value attendue au taux $g$ :255\begin{equation}\label{eq:1:cout-usage}256u = V\,(i + \tau + \delta - g).257\end{equation}258À l'équilibre entre louer et acheter, le coût d'usage égale le loyer de marché $L$ d'un logement équivalent, d'où $V = L / (i + \tau + \delta - g)$ : la formule de Gordon réapparaît, avec le loyer pour flux et le coût d'usage unitaire pour taux de capitalisation. \textcite{himmelbergMayerSinai2005} ont montré que c'est ce ratio, et non le ratio brut prix/revenu, qui permet de juger si un marché est « cher ». Le \cref{ch:03} développe ce cadre et le relie au modèle à quatre quadrants de \textcite{dipasqualeWheaton1992}, qui articule le marché de l'espace, où se forment les loyers, et le marché des actifs, où se forment les prix.259260Les deux descriptions se rejoignent. Les attributs du panier de Lancaster sont ce qui détermine le loyer, explicite ou implicite, que le logement peut commander ; la capitalisation de ce loyer donne le prix ; et les prix implicites de Rosen ne sont rien d'autre que les loyers implicites marginaux des attributs, capitalisés. Lorsque les deux approches donnent des valeurs différentes pour un même immeuble, ce n'est pas que la théorie est incohérente : c'est que le marché de l'espace et le marché des actifs ne sont pas, à cet instant, en équilibre, et la réconciliation du \cref{ch:20} doit alors dire lequel des deux l'évaluateur croit.261262\section{Prix d'équilibre et dispersion}\label{sec:1:dispersion}263264\subsection{Deux biens identiques, deux prix}265266Si le marché était celui des manuels de microéconomie, un bien donné aurait un prix et un seul, et l'évaluation se réduirait à une lecture. Le marché immobilier n'est pas ainsi, et la \cref{fig:1:prix-valeur} le montre sur le cas~1 : pour une valeur estimée donnée, les prix observés se répartissent de part et d'autre de la diagonale, et l'écart dépasse dix pour cent dans un quart des ventes. La \cref{fig:1:residus} décrit cette dispersion : les résidus de l'\cref{eq:1:semilog} ont un écart-type de 0,082, une distribution à peu près symétrique (asymétrie $-0{,}07$) et des queues à peine plus légères que la normale (aplatissement en excès $-0{,}25$) ; \pct{74.5} des ventes se situent à moins de dix pour cent de leur valeur estimée et \pct{44.8} à moins de cinq pour cent. Dans un marché réel, où les attributs sont mesurés avec erreur et où le modèle est nécessairement incomplet, l'écart-type résiduel des modèles hédoniques bien spécifiés se situe couramment entre 0,10 et 0,20 selon le segment et le territoire ; le chiffre du cas~1 est volontairement optimiste, parce que le jeu a été généré sans variables omises.267268\begin{figure}[htbp]269\centering270\includegraphics[width=\textwidth]{ch01/ch01-fig-prix-valeur.pdf}271\caption{Prix observé et valeur estimée par le modèle hédonique de référence pour les 600 ventes du cas~1. Les points se dispersent autour de la diagonale « prix = valeur » ; les lignes pointillées marquent des écarts de $\pm 10$ \%. Les cinq comparables du \cref{ch:16} sont encerclés et la ligne verticale indique la valeur estimée du sujet.}\label{fig:1:prix-valeur}272\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch01\_figures.py, graine 20261031}}273\end{figure}274275\begin{figure}[htbp]276\centering277\includegraphics[width=\textwidth]{ch01/ch01-fig-residus.pdf}278\caption{Distribution des écarts entre le prix observé et la valeur estimée, $P/\hat V - 1$, pour les 600 ventes du cas~1, et densité log-normale d'écart-type $\hat\sigma = 0{,}083$. Les trois quarts des ventes se situent à moins de dix pour cent de leur valeur estimée.}\label{fig:1:residus}279\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch01\_figures.py}}280\end{figure}281282D'où vient cette dispersion ? Une part tient à ce que l'observateur ne voit pas : l'état réel de la toiture, la luminosité, le bruit de la rue, la qualité des finitions. Mais une part irréductible tient à la nature même de l'échange immobilier, et c'est elle qu'il faut comprendre pour savoir ce que la valeur mesure. Le marché du logement est un marché de \motcle{recherche et d'appariement} : les biens sont hétérogènes, les acheteurs sont peu nombreux à un instant donné pour un bien donné, la rencontre est coûteuse et lente, et chaque transaction est une négociation bilatérale dans laquelle aucune des parties ne connaît le prix « du marché » autrement que par les ventes passées de biens différents. Dans un tel marché, le prix de transaction dépend de qui a rencontré qui, et quand.283284\subsection{Un modèle de recherche du vendeur}285286Le modèle le plus simple suffit à produire la dispersion et à en révéler les déterminants. Un vendeur met en vente un bien et reçoit, à chaque période (le mois), avec probabilité $p$, une offre $O$ tirée d'une loi de distribution $F$ centrée sur $m$, le centre des enchères des acheteurs pour ce bien ; les offres diffèrent parce que les acheteurs diffèrent par leurs goûts, leur information et leurs alternatives. Tant qu'il n'a pas vendu, le vendeur supporte un coût de détention $c$ par période (intérêts, taxes, entretien, coût d'opportunité du capital, inconfort d'une double résidence), et il actualise l'avenir au facteur $\delta = 1/(1 + i/12)$. Soit $W$ la valeur, pour le vendeur, du fait de continuer à chercher. Face à une offre $O$, il vend si $O \geq W$ et poursuit sinon ; $W$ est donc son \motcle{prix de réserve}, et il satisfait l'équation de point fixe287\begin{equation}\label{eq:1:reserve}288W = -c + \delta\left[\, p\, \E\!\left[\max(O, W)\right] + (1 - p)\, W \right].289\end{equation}290L'équation dit que la valeur d'attendre est le coût de la période, plus la valeur actualisée de ce que la période apportera : une offre que l'on acceptera si elle dépasse $W$, ou le droit de continuer. Elle a une solution unique, parce que le membre de droite est une contraction en $W$, et cette solution décroît avec $c$ et croît avec la dispersion des offres : plus attendre coûte cher, plus on se contente de peu ; plus les offres sont dispersées, plus il vaut la peine d'attendre la bonne. Le délai de vente espéré et le prix de vente espéré s'en déduisent :291\begin{equation}\label{eq:1:delai}292\E[T] = \frac{1}{p\,[1 - F(W)]}, \qquad \E[P] = \E[O \mid O \geq W] > m .293\end{equation}294Deux résultats méritent qu'on s'y arrête. D'abord, les prix de transaction de biens identiques se dispersent : chaque vendeur vend à la première offre qui dépasse son prix de réserve, et cette offre est un tirage aléatoire dans la queue supérieure de $F$. Ensuite, le prix espéré est \emph{supérieur} au centre des enchères, parce que le vendeur sélectionne les offres ; et il est d'autant plus élevé que le vendeur est patient, c'est-à-dire que $c$ est faible. Il existe donc un arbitrage entre le prix et le délai, qui est la définition même de la \motcle{liquidité} : un vendeur pressé vend vite et moins cher, un vendeur patient vend plus cher et plus tard, et aucun des deux prix n'est « faux ». La définition professionnelle de la valeur marchande, qui exige une « période suffisante » de mise en vente et des parties non contraintes \parencite{oeaqNormes}, désigne précisément le prix espéré d'un vendeur \emph{non pressé} : elle exclut par construction les ventes de vendeurs dont le $c$ est anormalement élevé, successions liquidées à la hâte, reprises de finance, divorces, et c'est pourquoi ces ventes sont écartées ou ajustées au \cref{ch:16}.295296\begin{figure}[htbp]297\centering298\includegraphics[width=\textwidth]{ch01/ch01-fig-recherche.pdf}299\caption{Simulation étiquetée du modèle de recherche (\num{20000} vendeurs de biens identiques ; offres log-normales d'écart-type 6 \% autour du centre $m$, probabilité d'offre mensuelle 0,6, coût de détention 0,4 \% par mois, taux annuel 5 \%). À gauche, la distribution de toutes les offres reçues et celle des prix acceptés, tronquée au prix de réserve ; à droite, la distribution du délai de vente.}\label{fig:1:recherche}300\figsource{simulation de l'auteur, hypothèses déclarées, \texttt{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py}, graine 20261031.}301\end{figure}302303La \cref{fig:1:recherche} simule ce modèle avec des paramètres déclarés et choisis pour l'illustration, non estimés : écart-type des offres de six pour cent autour de $m$, une offre par mois avec probabilité 0,6, coût de détention de 0,4 pour cent de $m$ par mois et taux annuel de cinq pour cent. Le prix de réserve se fixe \pct{2.7} au-dessus du centre des enchères ; les prix acceptés ont une moyenne de \pct{6.8} au-dessus de $m$ et un coefficient de variation de \pct{3.2}, c'est-à-dire que des biens rigoureusement identiques vendus par des vendeurs rigoureusement identiques se vendent à des prix dont l'écart-type est de plus de trois pour cent, du seul fait du hasard des rencontres ; le délai moyen est de 5,1 mois. Le \cref{tab:1:recherche} fait varier le coût de détention : un vendeur dont le coût mensuel passe de 0,2 à 1,5 pour cent abaisse son prix de réserve de \pct{3.8} au-dessus du centre à \pct{1.3} au-dessous, vend en 2,9 mois plutôt qu'en 6,2 et obtient un prix moyen inférieur de trois points et demi. L'évaluateur qui compare une vente de succession liquidée en trois semaines à une vente ordinaire ne compare pas deux réalisations du même prix : il compare deux prix espérés différents, et la différence est de l'ordre de grandeur que le tableau indique.304305\begin{table}[htbp]306\caption{Effet du coût de détention du vendeur sur le prix de réserve, le délai et le prix de vente (simulation étiquetée, \num{10000} vendeurs par ligne)}\label{tab:1:recherche}307\centering308\small309\begin{tabular}{S[table-format=1.1]S[table-format=1.4]S[table-format=1.2]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}310\toprule311{\makecell{Coût de détention\\(\% de $m$ par mois)}} & {\makecell{Prix de\\réserve $/m$}} & {\makecell{Délai moyen\\(mois)}} & {\makecell{Prix\\moyen $/m$}} & {\makecell{Coefficient de\\variation du prix}} \\312\midrule3130.2 & 1.0377 & 6.22 & 1.0764 & 0.0299 \\3140.4 & 1.0267 & 5.06 & 1.0681 & 0.0316 \\3150.8 & 1.0095 & 3.83 & 1.0557 & 0.0344 \\3161.5 & 0.9869 & 2.88 & 1.0412 & 0.0388 \\317\bottomrule318\end{tabular}319\tabsource{simulation de l'auteur, \texttt{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py}, graine 20261031 ; autres paramètres comme à la \cref{fig:1:recherche}.}320\end{table}321322\subsection{Ce que la dispersion enseigne}323324Trois enseignements découlent de ce qui précède, et ils structurent le reste de l'ouvrage. Premièrement, un prix isolé n'est pas une mesure de la valeur, mais une observation bruitée dont l'écart-type est de l'ordre de huit à vingt pour cent selon les marchés ; il faut plusieurs observations pour estimer la valeur avec précision, et le nombre nécessaire dépend de la dispersion (\cref{sec:1:sensibilite}). Deuxièmement, la dispersion n'est pas une imperfection que de meilleures données feraient disparaître : une part en est structurelle, et la fourchette de valeur que l'évaluateur rapporte au \cref{ch:20} doit en rendre compte. Troisièmement, le délai de vente est une information sur le prix : une vente conclue en quelques jours à un prix élevé et une vente conclue après dix mois d'exposition à un prix bas ne sont pas deux observations équivalentes du même marché, et les conditions de vente font partie des éléments de comparaison. \textcite{geltner1993} et \textcite{claytonGeltnerHamilton2001} ont montré que les évaluations elles-mêmes, en lissant les prix bruités, introduisent une dispersion d'une autre nature, que le \cref{ch:20} examine.325326\section{La valeur marchande comme espérance conditionnelle}\label{sec:1:esperance}327328\subsection{Définition}329330La dispersion des prix oblige à préciser ce que « prix le plus probable » veut dire. La définition que l'ouvrage adopte, et qui est celle que les \cref{ch:16,ch:18} mettent en œuvre, est la suivante.331332\begin{definition}{Valeur marchande comme espérance conditionnelle}{1:esperance}333La valeur marchande d'un bien de caractéristiques $\mathbf{x}$ à la date $t$ est le prix espéré d'une vente de ce bien, conditionnellement à ses caractéristiques et à la date, sous les conditions de la base de valeur (parties informées et non contraintes, exposition suffisante, paiement comptant) :334\begin{equation}\label{eq:1:esperance}335V(\mathbf{x}, t) = \E\left[P \mid \mathbf{x}, t\right].336\end{equation}337\end{definition}338339Cette définition a trois mérites. Elle fait de la valeur un objet \emph{défini} indépendamment de la méthode qui l'estime : la comparaison, le coût et le revenu sont trois estimateurs de la même quantité, et la réconciliation (\cref{ch:20}) est la combinaison de trois estimateurs, non le choix entre trois valeurs. Elle rend la valeur \emph{estimable} : l'espérance conditionnelle est ce qu'une régression estime, et les méthodes de la partie~IV sont des régressions, locales ou globales. Elle rend enfin la valeur \emph{incertaine de façon mesurable} : l'écart entre un prix et la valeur a une distribution, celle de $\varepsilon$ dans l'\cref{eq:1:bruit}, et l'incertitude sur l'estimation de la valeur a une autre distribution, qui dépend du nombre et de la qualité des observations.340341Il faut toutefois préciser de quelle « espérance » il s'agit, parce que le choix importe lorsque la distribution est asymétrique. Si $\ln P \mid \mathbf{x}, t \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, comme l'\cref{eq:1:bruit} le suppose, le prix lui-même suit une loi log-normale dont les trois mesures de tendance centrale diffèrent :342\begin{equation}\label{eq:1:lognormale}343\text{médiane} = e^{\mu}, \qquad \text{moyenne} = e^{\mu + \sigma^2/2}, \qquad \text{mode} = e^{\mu - \sigma^2}.344\end{equation}345La prédiction $\exp(\mathbf{x}\T\hat{\boldsymbol\beta})$ d'un modèle semi-logarithmique estime la \emph{médiane} conditionnelle ; la moyenne conditionnelle lui est supérieure du facteur $e^{\sigma^2/2}$, que la correction de Duan estime par la moyenne des $e^{\hat\varepsilon_i}$ sans supposer la normalité (\cref{app:conventions-calcul}) ; et le « prix le plus probable » au sens littéral, le mode, lui est inférieur du facteur $e^{-\sigma^2}$. Pour $\sigma = 0{,}083$, les trois mesures sont à moins d'un pour cent l'une de l'autre et la distinction est académique ; pour $\sigma = 0{,}20$, l'écart entre le mode et la moyenne atteint six pour cent et la distinction compte. La convention de l'ouvrage est de rapporter la médiane conditionnelle comme valeur ponctuelle, de signaler la moyenne lorsque la dispersion la rend différente, et d'accompagner toujours la valeur d'un intervalle. On peut lire les définitions professionnelles comme visant le mode (« le plus probable ») ; on peut aussi les lire comme visant le prix attendu. L'important est de savoir que la différence existe, et de ne pas la confondre avec une erreur de méthode.346347\subsection{Exemple intégral : du prix à la valeur pour le sujet du cas~1}348349\begin{exemple}{La valeur du sujet du cas~1 comme espérance conditionnelle}{1:sujet}350Le sujet est la maison fictive décrite dans l'encadré de la \cref{sec:1:principes} ; la date d'évaluation est le 1\textsuperscript{er} septembre 2026. Le modèle hédonique de référence (\cref{tab:1:implicites}) donne, pour ses caractéristiques, $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} = 13{,}3627$, d'où une médiane conditionnelle de $e^{13{,}3627} = \dollars{635821}$. Le facteur de Duan, moyenne des exponentielles des 600 résidus, vaut 1,00335, ce qui donne une moyenne conditionnelle de \dollars{637953}, pratiquement confondue avec la valeur $e^{\mu + \sigma^2/2} = \dollars{638016}$ qu'implique la normalité ; le mode est de \dollars{631455}. L'écart-type de la prédiction en logarithme, qui combine la dispersion des prix $\hat\sigma^2$ et l'incertitude d'estimation des coefficients $\mathbf{x}_s\T\hat{\mathbf{V}}\mathbf{x}_s$, est de 0,0836, d'où un intervalle de prédiction à 95 \% de \dollars{539682} à \dollars{749087} : c'est la fourchette dans laquelle le prix d'une vente effective du sujet tomberait dix-neuf fois sur vingt si le modèle est juste. Le \cref{tab:1:sujet} rassemble ces résultats et les met en regard des prix observés des cinq comparables du \cref{ch:16} et de la valeur au rôle fictive du dossier.351352Trois lectures s'imposent. La première est que les prix des cinq comparables, de \dollars{506500} à \dollars{624500}, sont tous inférieurs à la valeur estimée du sujet, mais que leurs \emph{propres} valeurs estimées le sont aussi : G0574 s'est vendu \pct{0.7} au-dessus de sa valeur estimée, G0404 \pct{14.9} au-dessous, G0468 \pct{9.9} au-dessous, G0477 \pct{10.5} au-dessous et G0575 \pct{8.0} au-dessous. Quatre des cinq comparables sont des ventes « bon marché » au sens du modèle, c'est-à-dire des réalisations de $\varepsilon_j$ négatives ; un évaluateur qui s'en tiendrait à leurs prix bruts hériterait de ce hasard. Le \cref{ch:17} montrera comment les ajustements corrigent les différences d'attributs, et le \cref{ch:20} comment la pondération atténue le bruit résiduel. La deuxième lecture concerne la valeur au rôle : \dollars{468000} pour une date de référence du 1\textsuperscript{er} juillet 2024, contre une valeur estimée de \dollars{578436} à cette même date. L'écart ne signifie pas que le rôle est « faux » : le jeu synthétique a été généré avec un rapport rôle/valeur centré sur 0,93 et dispersé, et un rôle réel est établi en masse, avec une date de référence et des conventions propres (\cref{ch:09}) ; il signifie que la valeur au rôle n'est pas une estimation de la valeur marchande à la date d'évaluation et ne doit jamais être présentée comme telle. La troisième lecture est la largeur de l'intervalle : de $-\pct{15.1}$ à $+\pct{17.8}$ autour de la médiane, pour un modèle qui explique 85 \% de la variance sur un jeu sans variables omises. L'évaluateur qui conclut à une valeur « de \dollars{635000} » sans fourchette affirme une précision que la nature du marché ne permet pas ; celui qui conclut à une fourchette de \dollars{600000} à \dollars{670000}, comme il est d'usage, affirme un intervalle plus étroit que l'intervalle de prédiction, ce qui n'est défendable que si les comparables apportent une information que le modèle global n'a pas, par exemple sur la rue ou l'état précis du bien. C'est tout l'enjeu de la réconciliation.353\end{exemple}354355\begin{table}[htbp]356\caption{La valeur du sujet du cas~1 : mesures de tendance centrale, intervalle, et comparaison avec les prix observés (données synthétiques)}\label{tab:1:sujet}357\centering358\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}359\begin{tabular}{L{74mm}S[table-format=6.0]L{36mm}}360\toprule361Quantité & {Montant (\$)} & Nature \\362\midrule363Médiane conditionnelle $e^{\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta}}$ & 635821 & valeur estimée (convention de l'ouvrage) \\364Moyenne conditionnelle (correction de Duan, facteur 1,00335) & 637953 & valeur estimée \\365Mode conditionnel $e^{\mu - \sigma^2}$ & 631455 & valeur estimée \\366Borne basse de l'intervalle de prédiction à 95 \% & 539682 & valeur estimée (incertitude) \\367Borne haute de l'intervalle de prédiction à 95 \% & 749087 & valeur estimée (incertitude) \\368Valeur estimée à la date de référence du rôle (1\textsuperscript{er} juillet 2024) & 578436 & valeur estimée, autre date \\369Valeur au rôle fictive du dossier (référence 1\textsuperscript{er} juillet 2024) & 468000 & valeur au rôle (synthétique) \\370\addlinespace371Prix observé du comparable G0574 (juin 2026 ; valeur estimée \num{593866}) & 598000 & prix \\372Prix observé du comparable G0404 (mai 2025 ; valeur estimée \num{595030}) & 506500 & prix \\373Prix observé du comparable G0468 (sept. 2025 ; valeur estimée \num{693218}) & 624500 & prix \\374Prix observé du comparable G0477 (nov. 2025 ; valeur estimée \num{601336}) & 538000 & prix \\375Prix observé du comparable G0575 (juin 2026 ; valeur estimée \num{558242}) & 513500 & prix \\376\bottomrule377\end{tabular}378\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py, graine 20261031 ; les valeurs estimées des comparables sont celles du même modèle à leur date de vente}}379\end{table}380381\subsection{Combien de ventes faut-il pour connaître la valeur ?}382383L'\cref{eq:1:esperance} a une conséquence quantitative immédiate. Si l'on disposait de $n$ ventes d'immeubles identiques au sujet, conclues à la date d'évaluation, la moyenne de leurs logarithmes de prix estimerait $\mu$ avec un écart-type de $\sigma / \sqrt{n}$. Pour que la demi-largeur d'un intervalle à 95 \% sur la valeur soit de deux pour cent, il faut $n \geq (1{,}96\,\sigma / \ln 1{,}02)^2$, soit 68 ventes identiques pour $\sigma = 0{,}083$, et 251 pour $\sigma = 0{,}16$. Ces ventes identiques n'existent pas, et l'évaluateur travaille avec cinq comparables différents du sujet : la précision de sa conclusion dépend donc moins du nombre de comparables que de la précision des ajustements qui les ramènent au sujet, ce que \textcite{vandell1991} a formalisé et que le \cref{ch:16} développe. Mais l'ordre de grandeur mérite d'être retenu : avec cinq ventes bruitées à huit pour cent, l'écart-type de la moyenne est de 3,6 pour cent, et aucune conclusion de valeur fondée sur la comparaison ne peut prétendre à une précision supérieure sans information supplémentaire.384385\section{Sensibilité à la dispersion des prix}\label{sec:1:sensibilite}386387Le paramètre $\sigma$ gouverne tout ce qui précède : l'écart entre médiane, moyenne et mode, la largeur de l'intervalle de prédiction, la probabilité qu'un prix observé s'écarte sensiblement de la valeur, et le nombre d'observations nécessaires. Le \cref{tab:1:sensibilite} et la \cref{fig:1:sensibilite} en font varier la valeur de 0,04, qui correspondrait à un marché de copropriétés très homogènes dans un même immeuble, à 0,16, qui correspond à des marchés ruraux ou à des biens atypiques. La probabilité qu'une vente s'écarte de plus de dix pour cent de la valeur, donnée par388\begin{equation}\label{eq:1:proba}389\Pr\left(\left|\tfrac{P}{V} - 1\right| > d\right) \approx 2\left[1 - \Phi\!\left(\frac{\ln(1 + d)}{\sigma}\right)\right],390\end{equation}391passe de moins de deux pour cent à plus de cinquante-cinq pour cent sur cet intervalle. Dans le premier marché, un prix isolé est une bonne mesure de la valeur et deux comparables suffisent presque ; dans le second, un prix isolé ne dit presque rien, et la méthode de comparaison ne peut conclure qu'à une fourchette large, à moins d'être complétée par le coût ou le revenu. La dispersion du marché est donc une caractéristique que l'évaluateur doit mesurer avant de choisir sa méthode, et non après ; le \cref{ch:15} en fait une étape de l'étude de marché.392393\begin{table}[htbp]394\caption{Sensibilité à la dispersion $\sigma$ des prix à caractéristiques données}\label{tab:1:sensibilite}395\centering396\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}397\begin{tabular}{S[table-format=1.3]S[table-format=1.2]S[table-format=-1.2]S[table-format=-2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=3.0]}398\toprule399{$\sigma$} & {\makecell{Moyenne/\\médiane\\$-1$ (\%)}} & {\makecell{Mode/\\médiane\\$-1$ (\%)}} & {\makecell{Borne basse\\IP 95 \%\\(\%)}} & {\makecell{Borne haute\\IP 95 \%\\(\%)}} & {\makecell{$\Pr(|\text{écart}|$\\$> 5\,\%)$ (\%)}} & {\makecell{$\Pr(|\text{écart}|$\\$> 10\,\%)$ (\%)}} & {\makecell{$n$ pour\\$\pm 2$ \%}} \\400\midrule4010.040 & 0.08 & -0.16 & -7.5 & 8.2 & 22.3 & 1.7 & 16 \\4020.060 & 0.18 & -0.36 & -11.1 & 12.5 & 41.6 & 11.2 & 36 \\4030.083 & 0.35 & -0.69 & -15.0 & 17.7 & 55.7 & 25.1 & 68 \\4040.120 & 0.72 & -1.43 & -21.0 & 26.5 & 68.4 & 42.7 & 142 \\4050.160 & 1.29 & -2.53 & -26.9 & 36.8 & 76.0 & 55.1 & 251 \\406\bottomrule407\end{tabular}408\tabsource{calculs de l'auteur par les \cref{eq:1:lognormale,eq:1:proba}, \texttt{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py} ; la ligne $\sigma = 0{,}083$ correspond au cas~1 ; $n$ = nombre de ventes identiques pour une demi-largeur de 2 \% à 95 \%.}409\end{table}410411\begin{figure}[htbp]412\centering413\includegraphics[width=\textwidth]{ch01/ch01-fig-sensibilite-sigma.pdf}414\caption{Sensibilité à la dispersion $\sigma$ : à gauche, les bornes de l'intervalle de prédiction à 95 \% en pourcentage de la valeur ; à droite, la probabilité qu'un prix observé s'écarte de la valeur de plus de 5, 10 ou 20 \%. La ligne verticale marque le $\sigma$ du cas~1.}\label{fig:1:sensibilite}415\figsource{calculs de l'auteur, \texttt{analysis/python/figures/ch01\_figures.py}.}416\end{figure}417418\section{Biais comportementaux : l'ancrage et ses conséquences}\label{sec:1:ancrage}419420Tout ce qui précède suppose un évaluateur qui infère la valeur des prix observés selon une procédure explicite. Or l'évaluateur est un être humain soumis aux heuristiques de jugement que la psychologie cognitive a documentées, et la plus dangereuse pour lui est l'\motcle{ancrage} : la tendance à former une estimation en partant d'une valeur initiale, l'ancre, puis en l'ajustant insuffisamment. \textcite{northcraftNeale1987} ont conduit l'expérience fondatrice en contexte immobilier : des étudiants et des professionnels de l'immobilier ont visité une même propriété avec un dossier complet, dans lequel seul le prix demandé différait d'un groupe à l'autre ; les estimations de valeur des deux groupes ont suivi le prix demandé, et les professionnels, qui niaient en avoir tenu compte, n'ont pas été sensiblement moins influencés que les amateurs. \textcite{diaz1990} a ensuite observé que les évaluateurs résidentiels experts ne suivent pas le processus normatif enseigné, mais une procédure abrégée dans laquelle les indices saillants du dossier pèsent plus que la grille, et \textcite{diaz1997} a montré que l'estimation antérieure d'un autre expert ancre le jugement des évaluateurs lorsqu'ils travaillent dans un marché qui ne leur est pas familier, alors que l'effet s'estompe sur leur propre marché. \textcite{diazHansz2002} font la synthèse de ce courant de recherche comportementale, qui a aussi documenté l'effet du prix demandé, de l'estimation du client et des rétroactions des prêteurs.421422Un modèle descriptif simple rend compte de ces résultats et permet d'en mesurer l'effet. Si $V$ est la valeur que l'évaluateur conclurait sans ancre et $A$ l'ancre qui lui est présentée, l'estimation ancrée s'écrit423\begin{equation}\label{eq:1:ancrage}424\hat V_A = \lambda A + (1 - \lambda)\, V, \qquad 0 \leq \lambda \leq 1,425\end{equation}426où $\lambda$ mesure le poids de l'ancre. Un $\lambda$ de 0,4, qui n'est pas hors de l'ordre de grandeur des études citées, signifie qu'un prix demandé supérieur de \dollars{50000} à la valeur déplace la conclusion de \dollars{20000}. L'\cref{ex:1:7} montre comment estimer $\lambda$ sur un ensemble de dossiers. Le biais est d'autant plus grave que l'ancre est corrélée aux intérêts d'une partie : le prix demandé est fixé par le vendeur, le prix convenu par les deux parties à la transaction que le prêteur demande d'évaluer, l'estimation antérieure par un confrère qui pouvait lui-même être ancré. Il se propage alors de rapport en rapport et de transaction en transaction, et il contribue au lissage des indices fondés sur les évaluations qu'ont étudié \textcite{geltner1993} et \textcite{claytonGeltnerHamilton2001}.427428\begin{pratique}429Quatre règles de méthode limitent l'ancrage, et elles sont toutes des applications de ce chapitre. Premièrement, fixer les critères de sélection des comparables et les paramètres d'ajustement \emph{avant} de consulter les prix du sujet (prix demandé, prix convenu, valeur au rôle, évaluation antérieure), et consigner cet ordre au dossier. Deuxièmement, estimer la valeur par au moins deux méthodes indépendantes et comparer les résultats avant de connaître l'ancre, plutôt que d'ajuster une méthode jusqu'à ce qu'elle rejoigne l'autre. Troisièmement, exprimer la conclusion sous forme de fourchette dérivée de la dispersion observée (\cref{sec:1:sensibilite}), ce qui rend visible la part de jugement et empêche de présenter une coïncidence avec l'ancre comme une précision. Quatrièmement, lorsque l'ancre est inévitable, comme le prix convenu dans une évaluation hypothécaire, la traiter explicitement comme une observation de plus, dont la représentativité doit être vérifiée au même titre que celle d'un comparable, et non comme un point d'arrivée. Les Normes de pratique professionnelle exigent d'ailleurs que le rapport expose le raisonnement qui conduit à la conclusion \parencite{oeaqNormes}, ce qui est incompatible avec une conclusion formée d'abord et justifiée ensuite.430\end{pratique}431432\begin{erreurs}433\begin{itemize}434\item Écrire « la valeur de la maison est de \dollars{598000} » pour une vente à ce prix : c'est un prix, particulier à une transaction ; la valeur est une estimation, et elle est en général différente.435\item Présenter la valeur au rôle comme une estimation de la valeur marchande à la date d'évaluation : elle décrit le marché à une date de référence antérieure de deux à quatre ans, en masse, selon des conventions propres \parencite[art.~43, 46]{lfm}.436\item Confondre le coût d'une composante et sa contribution : une piscine à \dollars{65000} n'ajoute à la valeur que ce que le marché paie pour une piscine, soit \pct{2.7} dans le cas~1.437\item Ajuster la superficie au prix moyen du mètre carré : le prix marginal vaut $\beta_S$ fois le prix moyen, soit à peu près la moitié dans le cas~1 ; l'ajustement est surestimé d'un facteur deux.438\item Conclure à une valeur ponctuelle sans fourchette, ou à une fourchette plus étroite que ce que la dispersion du marché autorise.439\item Interpréter l'écart entre une vente rapide et une vente lente comme un ajustement de « conditions de vente » symétrique : la vente rapide d'un vendeur pressé est un prix espéré \emph{différent}, non un prix bruité.440\item Consulter le prix demandé, le prix convenu ou l'évaluation antérieure avant d'avoir fixé la procédure, puis « vérifier » que la conclusion s'en approche.441\end{itemize}442\end{erreurs}443444\begin{limites}445Le cadre de ce chapitre est celui d'un marché où des ventes de biens comparables sont observables et où la valeur peut être définie comme un prix espéré ; il s'applique mal aux biens sans marché (immeubles institutionnels, infrastructures), pour lesquels la Loi sur la fiscalité municipale prévoit une fiction, le prix qu'une personne « serait justifiée de payer et d'exiger si elle était à la fois l'acheteur et le vendeur » \parencite[art.~44]{lfm}, et pour lesquels la méthode du coût devient principale. Le modèle de recherche de la \cref{sec:1:dispersion} est le plus simple possible : il ignore la stratégie du prix demandé, la négociation, l'apprentissage du vendeur sur la distribution des offres et la concurrence entre vendeurs, qui modifient les grandeurs mais non les conclusions qualitatives ; ses paramètres sont déclarés, non estimés. La dispersion $\hat\sigma = 0{,}083$ du cas~1 provient d'un jeu synthétique sans variables omises et sous-estime celle des marchés réels. Les études comportementales citées portent sur des échantillons restreints de professionnels américains des années 1980 et 1990 ; leur ampleur numérique n'a pas été revérifiée sur les textes originaux pour ce chapitre, et le coefficient $\lambda$ de l'\cref{eq:1:ancrage} est un paramètre descriptif dont l'ordre de grandeur, non la valeur, est documenté. Enfin, les textes normatifs sont cités dans leur version en vigueur au 31 octobre 2026 ; les définitions de la valeur marchande évoluent avec les éditions et doivent être revérifiées à chaque mission.446\end{limites}447448\begin{synthese}449\begin{itemize}450\item Le prix est un fait daté et particulier ; la valeur est une opinion motivée sur un prix probable, toujours relative à une base et à une date ; le coût est une dépense que seul le marché relie à la valeur. Au Québec, les NPP de l'OEAQ, la Loi sur la fiscalité municipale (art.~43 et 46) et le Code des professions (art.~37~j)) fixent ce vocabulaire.451\item La valeur naît de la conjonction de l'utilité, de la rareté, de la désirabilité et du pouvoir d'achat ; le crédit est le canal par lequel les taux d'intérêt agissent sur les prix.452\item Sept principes gouvernent les méthodes : substitution, anticipation, contribution, équilibre, conformité, rendements décroissants et plus haute et meilleure utilisation. Dans le cas~1, le garage contribue \dollars{20291}, la tendance vaut \pct{4.46} par an, le prix marginal du mètre carré est la moitié du prix moyen et la localisation déplace la valeur de $-\pct{23}$ à $+\pct{9}$.453\item Le logement est un panier d'attributs dont la fonction de prix est l'enveloppe des enchères et des offres (Rosen) ; il est aussi un actif dont la valeur est la somme actualisée des flux ; les deux descriptions coïncident à l'équilibre.454\item Les prix de biens identiques se dispersent parce que le marché est un marché de recherche : le vendeur vend à la première offre qui dépasse son prix de réserve, et le prix s'échange contre le délai. La valeur marchande est le prix espéré d'un vendeur non pressé.455\item La valeur marchande est l'espérance conditionnelle du prix, $V = \E[P \mid \mathbf{x}, t]$ ; la prédiction semi-logarithmique en estime la médiane ; moyenne et mode s'en écartent de $\pm\sigma^2$ ; l'intervalle de prédiction et le nombre d'observations nécessaires dépendent de $\sigma$.456\item L'ancrage sur le prix demandé, le prix convenu ou une évaluation antérieure est documenté chez les professionnels ; la parade est procédurale : fixer la méthode avant de regarder l'ancre, croiser les méthodes, conclure en fourchette.457\end{itemize}458\end{synthese}459460\section*{Exercices}461\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}462463\begin{exercice}[1]{Prix, valeur ou coût ?}{ex:1:1}464Pour chacune des phrases suivantes, dites si le montant cité est un prix, une valeur (et laquelle : marchande, au rôle, d'investissement, d'usage) ou un coût, et reformulez la phrase si le terme employé est impropre : (a) « La maison vaut \dollars{598000}, c'est ce qu'elle s'est vendue en juin. » (b) « La Ville évalue l'immeuble à \dollars{468000}. » (c) « Pour nous, ce triplex vaut \dollars{900000}, parce que nous pouvons y loger nos parents au deuxième. » (d) « Le constructeur demande \dollars{470000} pour une maison semblable. » (e) « L'évaluateur conclut à \dollars{635000}. » (f) « Avec la piscine, la propriété vaut \dollars{65000} de plus. »465\end{exercice}466467\begin{exercice}[1]{Contribution et coût}{ex:1:2}468Dans le marché du cas~1, le coefficient hédonique de la piscine est de 0,02633 et celui d'une place de garage de 0,03243 (\cref{tab:1:implicites}). Pour une maison dont la valeur estimée sans ces attributs est de \dollars{635821}, calculez la contribution d'une piscine creusée, puis celle d'un garage simple, par la formule $V(e^{\beta} - 1)$. Une piscine coûte \dollars{65000} et un garage \dollars{45000} : que conclut le principe de contribution dans chaque cas, et que devrait en déduire un propriétaire qui envisage ces travaux ?469\end{exercice}470471\begin{exercice}[2]{Rendements décroissants}{ex:1:3}472Le sujet du cas~1 a \msq{165} et une valeur estimée de \dollars{635821} ; l'élasticité du prix à la superficie est de 0,539. Calculez le prix moyen et le prix marginal du mètre carré par l'\cref{eq:1:marginal}. Un agrandissement portant la superficie à \msq{190} est envisagé : calculez la valeur ajoutée exacte, $V[(190/165)^{\beta_S} - 1]$, puis le prix moyen de chaque mètre carré ajouté. Quelle élasticité rendrait le prix marginal égal au prix moyen, et pourquoi cette situation n'est-elle presque jamais observée ?473\end{exercice}474475\begin{exercice}[2]{Médiane, moyenne, mode et intervalle}{ex:1:4}476Un modèle semi-logarithmique estimé sur un marché de maisons de banlieue a un écart-type résiduel de 0,12 et prédit pour un sujet une médiane conditionnelle de \dollars{500000}. Calculez la moyenne et le mode conditionnels par l'\cref{eq:1:lognormale}, les bornes de l'intervalle de prédiction à 95 \% en négligeant l'incertitude des coefficients, et la probabilité qu'une vente effective s'écarte de plus de dix pour cent de la médiane par l'\cref{eq:1:proba}. Commentez la différence avec le cas~1 ($\sigma = 0{,}083$).477\end{exercice}478479\begin{exercice}[2]{Le bien comme actif : Gordon et coût d'usage}{ex:1:5}480Un duplex produit un revenu net d'exploitation de première année de \dollars{24000} ; les investisseurs exigent un rendement de \pct{6} et anticipent une croissance de \pct{2} par an. Calculez sa valeur par l'\cref{eq:1:gordon}. Une maison de \dollars{600000} est détenue par son propriétaire : avec un taux d'intérêt de \pct{4.5}, des taxes de \pct{1}, un entretien et une dépréciation de \pct{1.5} et une plus-value attendue de \pct{2}, calculez le coût d'usage annuel et mensuel par l'\cref{eq:1:cout-usage}. Que devient-il si le taux d'intérêt passe à \pct{6} ? À quel loyer mensuel un ménage devrait-il être indifférent entre louer et acheter dans chaque cas ?481\end{exercice}482483\begin{exercice}[3]{Prix de réserve et délai de vente}{ex:1:6}484Un vendeur reçoit chaque mois exactement une offre, tirée uniformément entre 0,9 et 1,1 fois le centre des enchères $m$ (normalisé à 1). Il supporte un coût de détention de 0,5 \% de $m$ par mois et n'actualise pas ($\delta = 1$). (a) Montrez que l'\cref{eq:1:reserve} se réduit à $c = \E[(O - W)^+]$ et que, pour une loi uniforme sur $[a, b]$, $\E[(O - W)^+] = (b - W)^2 / [2(b - a)]$. (b) Déduisez-en la forme fermée $W = b - \sqrt{2c(b - a)}$ et calculez le prix de réserve, le délai de vente espéré par l'\cref{eq:1:delai} et le prix de vente espéré $\E[O \mid O \geq W] = (W + b)/2$. (c) Refaites le calcul pour un vendeur pressé dont le coût est de 2 \% par mois. (d) Expliquez pourquoi les deux prix espérés sont tous deux des « prix de marché » et lequel correspond à la définition professionnelle de la valeur marchande.485\end{exercice}486487\begin{exercice}[3]{Mesurer l'ancrage}{ex:1:7}488Un cabinet veut mesurer l'ancrage de ses évaluateurs sur le prix demandé. Pour six dossiers, il dispose de la valeur $V$ conclue \emph{a posteriori} par un comité qui ignorait le prix demandé, de l'écart entre le prix demandé et cette valeur, $A - V$, et de l'écart entre la conclusion de l'évaluateur et cette valeur, $\hat V_A - V$ (en milliers de dollars) : $A - V = (+40, -30, +25, +60, -20, +15)$ et $\hat V_A - V = (+18, -12, +9, +27, -10, +6)$. (a) Montrez que l'\cref{eq:1:ancrage} implique $\hat V_A - V = \lambda (A - V)$ et estimez $\lambda$ par les moindres carrés sans constante, $\hat\lambda = \sum x_i y_i / \sum x_i^2$. (b) De combien un prix demandé supérieur de \dollars{50000} à la valeur déplace-t-il, en moyenne, la conclusion de ce cabinet ? (c) Proposez un protocole de travail, en cinq lignes, qui ramènerait $\lambda$ vers zéro, et dites comment le cabinet pourrait vérifier qu'il fonctionne. (d) À l'aide du script \texttt{analysis/python/cases/ch01\_valeur\_prix.py}, faites varier l'écart-type des offres du modèle de recherche de 0,03 à 0,12 et décrivez l'effet sur le coefficient de variation des prix acceptés ; en quoi la dispersion du marché aggrave-t-elle le risque d'ancrage ?489\end{exercice}490491\section*{Pour aller plus loin}492\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}493494Les fondements classiques de la théorie de la valeur foncière se lisent encore avec profit chez \textcite{ricardo1817}, pour qui la rente naît de la rareté et de la qualité relative des terres et non de leur coût, et chez \textcite{vonthunen1826}, qui a le premier dérivé un gradient de rente décroissant avec la distance au marché ; le \cref{ch:05} en donne les développements modernes. La théorie des caractéristiques de \textcite{lancaster1966} et l'équilibre hédonique de \textcite{rosen1974} sont les deux textes fondateurs de la \cref{sec:1:attributs} ; \textcite{sheppard1999} et \textcite{malpezzi2003} en offrent des revues accessibles appliquées au logement, et \textcite{kuminoffParmeterPope2010} examinent quelles spécifications permettent de retrouver les dispositions marginales à payer. Sur le bien comme actif, \textcite{poterba1984} et \textcite{himmelbergMayerSinai2005} sont les références sur le coût d'usage, \textcite{dipasqualeWheaton1992} et le manuel de \textcite{dipasqualeWheaton1996} sur l'articulation des marchés de l'espace et des actifs, et \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} sur la distinction entre valeur marchande, valeur d'investissement et prix de transaction comme réalisation bruitée. \textcite{shiller2015} reste l'exposé le plus lisible sur l'écart entre prix et valeur fondamentale. Sur les principes et le vocabulaire professionnels, le manuel de l'Appraisal Institute \parencite{appraisal2026}, son édition canadienne \parencite{appraisalCdn} et le dictionnaire \parencite{aiDictionary2022} sont les références nord-américaines, et \textcite{achour1992} demeure le seul manuel québécois francophone qui fixe le vocabulaire des bases de valeur. Sur les biais de jugement, on lira dans l'ordre \textcite{northcraftNeale1987}, \textcite{diaz1990}, \textcite{diaz1997} et la synthèse de \textcite{diazHansz2002}.495