spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Indices immobiliers et ventes répétées}\label{ch:35}23Les chapitres précédents ont supposé, chaque fois qu'un comparable vendu il y a quinze mois devait être ramené à la date d'évaluation, qu'un indice du marché existait et qu'il était fiable. Le présent chapitre examine cette hypothèse. Un indice de prix immobiliers répond à une question d'apparence simple, « de combien le prix d'un logement \emph{donné} a-t-il varié entre deux dates ? », qui se heurte à une difficulté irréductible : le logement donné ne se vend presque jamais aux deux dates, et les logements qui se vendent à la première ne sont pas ceux qui se vendent à la seconde. Toute la théorie des indices immobiliers consiste à contourner cet obstacle, soit en corrigeant les différences de caractéristiques par un modèle hédonique, soit en ne retenant que les immeubles vendus deux fois, soit en s'appuyant sur une évaluation antérieure de chaque immeuble. Le chapitre expose ces trois familles, en dérive les estimateurs, en mesure les biais et les imprécisions, puis les confronte sur un même marché, celui du cas 1, dont la trajectoire vraie est connue. Il décrit ensuite les indices canadiens et québécois que l'évaluateur rencontre dans sa pratique et dit ce que chacun mesure. La leçon qui s'en dégage est que l'ajustement de conditions du marché, souvent traité comme une formalité, repose sur une mesure dont l'incertitude est du même ordre que celle des ajustements de propriété, et qu'il faut choisir et documenter l'indice avec le même soin que les comparables.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item définir un indice de prix à qualité constante et le distinguer d'une série de prix médians ou moyens, dont il peut décomposer le biais de composition ;9\item construire un indice hédonique par indicatrices temporelles, par chaînage de périodes adjacentes ou par imputation, et dire quand ces trois constructions coïncident ;10\item dériver l'estimateur de ventes répétées de Bailey, Muth et Nourse et l'estimateur pondéré de Case et Shiller, en comprendre les hypothèses et calculer leurs erreurs-types ;11\item construire un indice SPAR à partir des prix de vente et des valeurs au rôle, et en connaître les conditions de validité ;12\item expliquer les biais de sélection des reventes, le mécanisme de révision des indices et la précision attendue selon la taille de l'échantillon ;13\item lire correctement l'indice Teranet--Banque Nationale, l'Indice des prix des logements neufs, les médianes de l'APCIQ et de JLR, et choisir l'indice approprié à un ajustement de conditions du marché.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Pourquoi un indice ?}\label{sec:35:pourquoi}1819\subsection{Trois usages, une même exigence}2021L'évaluateur rencontre les indices de prix dans trois situations. La première situation est celle de l'\motcle{ajustement de conditions du marché} d'un comparable : le \cref{ch:17} a montré que le prix d'une vente ancienne doit être multiplié par le rapport de l'indice à la date d'évaluation à l'indice à la date de la vente, et que cet ajustement est souvent le plus important de la grille lorsque les prix évoluent de plusieurs points par année. La deuxième est le \emph{suivi du marché} : l'étude de marché du \cref{ch:15}, le rapport d'évaluation, l'analyse du cycle du \cref{ch:03} et la mesure du risque de portefeuille du \cref{ch:48} ont besoin d'une mesure de la variation des prix dégagée des accidents de composition. La troisième, moins familière au praticien québécois, est la construction de \emph{produits financiers} adossés aux prix des maisons : indexation des contrats, assurance de la valeur, contrats à terme et options, que \textcite{shiller2015} a longtemps défendus comme instruments de partage du risque immobilier des ménages et qui exigent un indice publié, reproductible et peu révisé. Les trois usages posent la même exigence : l'indice doit mesurer la variation du prix d'un logement de caractéristiques \emph{constantes}, et non la variation du prix des logements qui se trouvent avoir été vendus.2223\begin{definition}{Indice de prix à qualité constante}{indice-qualite-constante}24Soit $\E[P \mid \mathbf{x}, t]$ le prix espéré à la date $t$ d'un logement de caractéristiques $\mathbf{x}$, au sens de l'\cref{eq:16:esperance}. L'\motcle{indice de prix à qualité constante} entre la période de base $0$ et la période $t$ est le rapport25\begin{equation}\label{eq:35:indice}26I_t = 100 \times \frac{\E[P \mid \mathbf{x}, t]}{\E[P \mid \mathbf{x}, 0]},27\end{equation}28pour un panier de caractéristiques $\mathbf{x}$ fixé. Lorsque la fonction de prix est semi-logarithmique à effets temporels additifs, $\ln \E[P \mid \mathbf{x}, t] = \alpha + \mathbf{x}\T\boldsymbol\beta + \tau_t$, le rapport ne dépend pas du panier et vaut $100\exp(\tau_t - \tau_0)$ : l'indice est alors défini sans ambiguïté. Dans le cas général, il dépend du panier retenu, et l'on parle d'indice de Laspeyres, de Paasche ou de Fisher selon le panier.29\end{definition}3031La définition fait apparaître pourquoi aucune statistique calculée directement sur les prix observés ne convient. Les ventes de la période $t$ ont des caractéristiques $\mathbf{x}_i$ qui diffèrent de celles de la période $0$ ; la médiane ou la moyenne de leurs prix mélange la variation du marché et la variation de la composition. Les trois familles de méthodes du chapitre se distinguent par la façon dont elles neutralisent cette composition : la méthode \motcle{hédonique} la mesure explicitement au moyen du modèle du \cref{ch:18} ; la méthode des \motcle{ventes répétées} l'élimine en ne comparant chaque immeuble qu'à lui-même ; la méthode du \motcle{rapport prix sur valeur} (en anglais \emph{sale price appraisal ratio}, SPAR) la neutralise en rapportant chaque prix à une évaluation antérieure du même immeuble. Le \cref{tab:35:taxonomie} résume ces familles, leurs données, leurs hypothèses et leurs faiblesses ; \textcite{hill2013} en donne une taxonomie détaillée pour les méthodes hédoniques, et le manuel international des indices de prix des logements \parencite{eurostat2013} les compare chapitre par chapitre.3233\begin{table}[htbp]34\caption{Familles d'indices de prix des logements : données, hypothèse centrale et faiblesse principale}\label{tab:35:taxonomie}35\centering\small36\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}lYYY@{}}37\toprule38Méthode & Données requises & Hypothèse centrale & Faiblesse principale \\39\midrule40Médiane, moyenne (brutes ou stratifiées) & Prix et date de chaque vente ; strates (type, secteur) & La composition des ventes est stable d'une période à l'autre & Biais de composition ; la stratification ne corrige que les strates observées \\41Hédonique à indicatrices temporelles & Prix, date et caractéristiques de chaque vente & Prix implicites constants sur la fenêtre d'estimation ; forme fonctionnelle correcte & Révision de toute la série quand une période s'ajoute ; dépend de la spécification \\42Hédonique chaîné (périodes adjacentes) & Idem & Prix implicites constants sur deux périodes seulement & Dérive du chaînage ; variance cumulée \\43Hédonique par imputation (Laspeyres, Paasche, Fisher) & Idem, avec un modèle par période & Modèle estimable période par période & Exige beaucoup de ventes par période ; dépend du panier \\44Ventes répétées (BMN, Case--Shiller) & Prix et dates des immeubles vendus au moins deux fois & Qualité de l'immeuble constante entre ses deux ventes ; absence de sélection & Sous-échantillon des reventes ; rénovations et dépréciation ; révision ; petits échantillons \\45SPAR (prix / valeur au rôle) & Prix de chaque vente et valeur au rôle de l'immeuble à une date de référence commune & Rôle uniforme (ratio prix/valeur indépendant des caractéristiques) & Hérite des biais du rôle ; rupture à chaque nouveau rôle \\46Hybride (hédonique + ventes répétées) & Toutes les ventes, caractéristiques connues ou non & Modèle commun aux ventes uniques et répétées & Complexité ; peu diffusé \\47\bottomrule48\end{tabularx}49\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{eurostat2013}, \textcite{hill2013} et \textcite{bourassaHoesliSun2006}.}50\end{table}5152\subsection{Ce qu'un indice ne mesure pas}5354Trois précisions évitent des confusions courantes. D'abord, un indice de prix n'est pas un indice de valeur : il mesure la variation du prix d'un bien de caractéristiques constantes, non la variation de la valeur d'un bien particulier, qui vieillit, se dégrade ou s'améliore entre deux dates. Un immeuble qui a vingt ans à la date d'évaluation et dix-sept ans à la date de la vente comparable n'a pas la même qualité aux deux dates ; l'indice mesure ce que vaudrait aujourd'hui l'immeuble \emph{tel qu'il était}, et l'ajustement d'âge ou d'état, s'il y a lieu, est distinct. Cette distinction est au cœur des travaux de \textcite{knightSirmans1996} et de \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} sur la dépréciation mesurée dans les modèles de ventes répétées, sur lesquels la \cref{sec:35:repetees} revient. Ensuite, un indice est propre à un territoire et à un segment : l'indice d'une région métropolitaine agrège des sous-marchés dont les trajectoires peuvent diverger, comme la \cref{fig:35:ipln} le montrera pour les logements neufs des cinq régions métropolitaines québécoises couvertes, et le \cref{ch:17} a rappelé qu'appliquer à une unifamiliale de Gatineau l'indice de la région de Montréal n'est pas un ajustement, mais une erreur de marché. Enfin, un indice est une estimation : il a une variance, qui dépend du nombre de ventes de chaque période, et il est révisé lorsque de nouvelles observations s'ajoutent. Les deux dernières valeurs publiées d'un indice de ventes répétées, celles qui servent justement à l'ajustement de conditions du marché, sont les moins précises et les plus révisées, et le chapitre y revient à la \cref{sec:35:sensibilite}.5556\section{Médiane, moyenne et biais de composition}\label{sec:35:mediane}5758\subsection{La médiane mesure deux choses à la fois}5960Le \motcle{prix médian} est la statistique la plus diffusée, parce qu'elle est simple, robuste aux ventes extrêmes et calculable sans aucune information sur les caractéristiques des biens vendus. C'est précisément cette dernière propriété qui en fait un mauvais indice : si la médiane ne voit pas les caractéristiques, elle ne peut pas les tenir constantes. Supposons que la fonction de prix soit celle du modèle de référence, $\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \varepsilon_i$. La moyenne des logarithmes des prix de la période $t$, c'est-à-dire le logarithme de leur moyenne géométrique $\bar P^{\,g}_t$, s'écrit61\begin{equation}\label{eq:35:decomposition}62\begin{aligned}63\ln \bar P^{\,g}_t &= \alpha + \bar{\mathbf{x}}_t\T\boldsymbol\beta + \tau_t + \bar\varepsilon_t , \\64\ln \frac{\bar P^{\,g}_t}{\bar P^{\,g}_0} &= \underbrace{(\tau_t - \tau_0)}_{\text{variation pure}} + \underbrace{(\bar{\mathbf{x}}_t - \bar{\mathbf{x}}_0)\T\boldsymbol\beta}_{\text{effet de composition}} + (\bar\varepsilon_t - \bar\varepsilon_0),65\end{aligned}66\end{equation}67où $\bar{\mathbf{x}}_t$ est le vecteur des caractéristiques moyennes des ventes de la période $t$. La variation de la moyenne géométrique est la somme de la variation pure des prix, qui est ce que l'indice doit mesurer, et de l'effet de composition, qui est la valeur, aux prix implicites du modèle, du déplacement des caractéristiques moyennes des biens vendus. Si les ventes de la période $t$ comptent plus de maisons grandes, récentes ou situées dans un secteur cher que celles de la période $0$, la moyenne monte sans qu'aucun prix n'ait bougé. La médiane obéit à la même logique, de façon moins algébrique parce qu'elle n'est pas une moyenne, mais avec une sensibilité comparable à la composition. Lorsque les indicatrices temporelles sont estimées par les moindres carrés avec les mêmes données, les résidus somment à zéro dans chaque période et l'\cref{eq:35:decomposition} est une identité exacte : la moyenne géométrique corrigée de la composition, $\exp(\ln \bar P^{\,g}_t - \bar{\mathbf{x}}_t\T\hat{\boldsymbol\beta})$, reproduit exactement l'indice hédonique. C'est la façon la plus directe de voir qu'un indice hédonique \emph{est} une moyenne de prix corrigée de la composition.6869L'effet de composition n'est pas un bruit qui s'annule en moyenne. Il est corrélé au cycle : quand les taux d'intérêt montent, les acheteurs se reportent vers des biens plus petits ou plus éloignés, et la médiane baisse davantage que les prix ; quand un segment haut de gamme s'anime, la médiane monte sans que la maison type ne s'apprécie. \textcite{caseShiller1987}, en construisant les premiers indices de ventes répétées pour quatre villes américaines, montraient déjà que les médianes publiées par les associations de courtiers divergeaient des indices à qualité constante dans des proportions qui changeaient de signe selon la phase du cycle. Le \cref{ch:04} a tiré la même leçon des médianes québécoises : une variation de la médiane n'est pas une variation de prix.7071\subsection{La stratification et ses limites}7273Le remède le plus simple consiste à calculer des médianes par \emph{strates} homogènes, par type de propriété et par secteur, puis à les agréger avec des poids fixes, ceux du parc ou ceux des ventes de la période de base. Cette \motcle{médiane stratifiée} (en anglais \emph{mix-adjusted median}) neutralise la composition \emph{entre} les strates : si les ventes se déplacent de Hull vers Aylmer, l'agrégat à poids fixes ne bouge pas. Elle ne neutralise rien \emph{à l'intérieur} des strates : si, dans Aylmer, les maisons vendues ce trimestre sont plus grandes, la médiane de la strate monte. Le manuel international des indices recommande la stratification comme méthode minimale lorsque les caractéristiques ne sont pas disponibles, et il montre que son efficacité dépend entièrement de la finesse des strates et de la stabilité de la composition intra-strate \parencite{eurostat2013}. Avec des données de rôle ou de courtage qui renseignent la superficie, l'âge et le type, la stratification n'a plus de raison d'être : le modèle hédonique fait la même chose de façon continue et sur toutes les caractéristiques à la fois.7475\section{Les indices hédoniques}\label{sec:35:hedonique}7677\subsection{L'indice à indicatrices temporelles}7879La construction la plus courante estime, sur l'ensemble des ventes de la fenêtre d'étude, le modèle semi-logarithmique du \cref{ch:18} avec une indicatrice pour chaque période sauf la première :80\begin{equation}\label{eq:35:td}81\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \sum_{t=1}^{T} \tau_t\, D_{it} + \varepsilon_i, \qquad D_{it} = \mathbb{1}\{t(i) = t\},82\end{equation}83où $t(i)$ est la période de la vente $i$. Le coefficient $\tau_t$ est le logarithme du rapport entre le prix espéré d'un logement de caractéristiques données à la période $t$ et celui du même logement à la période $0$. L'indice, dit \motcle{à indicatrices temporelles} (en anglais \emph{time dummy index}), est84\begin{equation}\label{eq:35:td-indice}85\hat I_t = 100\exp(\hat\tau_t), \qquad \hat I_0 = 100,86\end{equation}87et c'est ce que calcule la fonction \texttt{indice\_dummies\_temps} du module \texttt{traite.hedonique}. L'intervalle de confiance à 95 \% de $\hat I_t$ s'obtient en retransformant celui de $\hat\tau_t$ : $100\exp(\hat\tau_t \pm 1{,}96\,\hat\sigma_{\hat\tau_t})$, avec une erreur-type robuste à l'hétéroscédasticité. Cette erreur-type dépend d'abord du nombre de ventes de la période $t$ \emph{et} de la période de base : comme $\hat\tau_t$ compare deux moyennes corrigées, sa variance est approximativement $\hat\sigma^2(1/n_t + 1/n_0)$ lorsque les caractéristiques sont équilibrées entre les périodes, et elle est donc gouvernée par la plus petite des deux périodes. Une période de base peu fournie dégrade toute la série ; une dernière période peu fournie dégrade la valeur la plus récente, qui est celle que l'ajustement de conditions du marché utilise.8889L'indice à indicatrices a deux qualités et deux défauts. Il utilise toutes les ventes, uniques ou répétées, et il est défini sans ambiguïté de panier. En revanche, il suppose que les prix implicites $\boldsymbol\beta$ sont constants sur toute la fenêtre, ce qui est douteux sur plusieurs années : la prime d'un garage ou d'un secteur peut changer avec le cycle. Et il est \emph{révisé} à chaque nouvelle période : ajouter les ventes de la période $T+1$ réestime $\boldsymbol\beta$ et, par ricochet, tous les $\hat\tau_t$ antérieurs. Pour un indice publié, cette révision rétrospective est un inconvénient sérieux, et c'est la raison pour laquelle les producteurs recourent au chaînage.9091\subsection{Le chaînage par périodes adjacentes}9293L'\motcle{indice chaîné} estime le modèle sur deux périodes adjacentes seulement, $t-1$ et $t$, avec une seule indicatrice,94\begin{equation}\label{eq:35:chaine}95\ln P_i = \alpha_t + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta_t + \delta_t\, \mathbb{1}\{t(i) = t\} + \varepsilon_i \quad (i : t(i) \in \{t-1, t\}), \qquad \hat I_t = \hat I_{t-1}\exp(\hat\delta_t),96\end{equation}97et enchaîne les variations. Les prix implicites $\boldsymbol\beta_t$ sont libres de changer d'une paire de périodes à l'autre, et l'ajout d'une période ne révise pas les maillons antérieurs, deux avantages décisifs pour la publication. Le prix à payer est double. D'une part, la variance s'accumule : l'erreur-type du logarithme de $\hat I_t$ est la racine de la somme des variances des maillons, $\sqrt{\sum_{s \leq t}\hat\sigma^2_{\hat\delta_s}}$, de sorte que l'incertitude sur le niveau de l'indice croît avec la distance à la base, alors que celle de l'indice à indicatrices reste bornée. D'autre part, le chaînage peut \emph{dériver} : si la composition des ventes oscille d'une période à l'autre et que le modèle est mal spécifié, les erreurs de chaque maillon ne se compensent pas nécessairement, et l'indice chaîné s'écarte de l'indice direct entre les mêmes dates. La variante dite à \emph{fenêtre glissante} (en anglais \emph{rolling window time dummy}), qui estime chaque maillon sur plusieurs périodes plutôt que deux, est un compromis entre les deux constructions ; \textcite{dehaanDiewert2013} en discutent les propriétés et recommandent de documenter la longueur de la fenêtre.9899\subsection{L'imputation et les paniers}100101La troisième construction renoue avec la théorie classique des indices. On estime un modèle hédonique \emph{par période}, puis l'on impute à chaque logement vendu à la période de base le prix qu'il aurait obtenu à la période $t$, ou réciproquement. En logarithmes, avec $\hat p_s(\mathbf{x}) = \hat\alpha_s + \mathbf{x}\T\hat{\boldsymbol\beta}_s$ le prix prédit à la période $s$ pour les caractéristiques $\mathbf{x}$, l'indice d'\motcle{imputation} géométrique de Laspeyres (panier de la période de base) et celui de Paasche (panier de la période courante) sont102\begin{equation}\label{eq:35:imputation}103\begin{aligned}104\ln \hat I^{\,L}_t &= \frac{1}{n_0}\sum_{i \in 0}\left[\hat p_t(\mathbf{x}_i) - \hat p_0(\mathbf{x}_i)\right], \qquad105\ln \hat I^{\,P}_t = \frac{1}{n_t}\sum_{i \in t}\left[\hat p_t(\mathbf{x}_i) - \hat p_0(\mathbf{x}_i)\right], \\106\ln \hat I^{\,F}_t &= \tfrac{1}{2}\left(\ln \hat I^{\,L}_t + \ln \hat I^{\,P}_t\right),107\end{aligned}108\end{equation}109l'indice de Fisher étant la moyenne géométrique des deux. La version dite à \emph{double imputation} remplace, pour le panier de base, le prix observé par le prix prédit dans la période de base aussi, ce que l'\cref{eq:35:imputation} fait déjà en utilisant $\hat p_0(\mathbf{x}_i)$ plutôt que $\ln P_i$ : les résidus des ventes individuelles n'entrent pas dans l'indice. Le manuel international recommande cette famille, et en particulier l'indice de Fisher à double imputation, parce qu'elle laisse les prix implicites varier librement d'une période à l'autre et qu'elle se rattache aux indices économiques classiques \parencite{eurostat2013,dehaanDiewert2013}. Son exigence pratique est lourde : il faut assez de ventes dans \emph{chaque} période pour estimer un modèle complet, ce qui exclut les marchés minces et les périodes courtes, sauf à réduire le modèle.110111\begin{proposition}{Équivalence de l'imputation et des indicatrices temporelles}{imputation-td}112Si les modèles de chaque période partagent les mêmes prix implicites $\boldsymbol\beta$ et ne diffèrent que par leur constante, de sorte que $\hat p_t(\mathbf{x}) - \hat p_0(\mathbf{x}) = \hat\tau_t$ pour tout $\mathbf{x}$, alors les indices d'imputation géométriques de Laspeyres, de Paasche et de Fisher coïncident entre eux et avec l'indice à indicatrices temporelles : $\hat I^{\,L}_t = \hat I^{\,P}_t = \hat I^{\,F}_t = 100\exp(\hat\tau_t)$.113\end{proposition}114\begin{proof}115Sous l'hypothèse, chaque terme des sommes de l'\cref{eq:35:imputation} vaut $\hat\tau_t$ quel que soit $i$ ; les moyennes sur $n_0$ ou $n_t$ termes valent donc $\hat\tau_t$, et leur demi-somme aussi. L'exponentielle donne l'indice de l'\cref{eq:35:td-indice}.116\end{proof}117118La proposition dit où se situe la différence entre les constructions : uniquement dans la liberté laissée aux prix implicites de varier. Avec des prix implicites communs, l'imputation n'apporte rien ; avec des prix implicites propres à chaque période, l'écart entre Laspeyres et Paasche mesure l'interaction entre le changement des prix implicites et le changement de composition, exactement comme dans la théorie des indices de prix à la consommation. L'exemple intégral vérifie numériquement la proposition sur le cas 1, puis estime l'indice chaîné pour voir ce que la liberté des coefficients change sur un marché où, par construction, les prix implicites sont constants.119120\subsection{Ce que la spécification fait à l'indice}121122Un indice hédonique hérite de toutes les hypothèses du modèle sous-jacent, et le \cref{ch:18} en a dressé la liste. Deux conséquences propres aux indices méritent d'être soulignées. La première concerne les variables omises : si une caractéristique qui contribue au prix et dont la fréquence change au fil du temps est absente du modèle, sa contribution est absorbée par les indicatrices temporelles, et l'indice mesure en partie la composition qu'il prétend neutraliser. Un indice construit sans variable de localisation fine, sur un marché où les ventes se déplacent vers les quartiers centraux, surestime la hausse des prix. La seconde concerne l'âge. Dans un modèle estimé sur plusieurs années, l'âge de chaque logement à sa vente et la date de la vente sont presque colinéaires pour un logement donné ; sur l'ensemble des ventes, la colinéarité n'est pas parfaite parce que les années de construction diffèrent, mais \textcite{clappGiaccotto1998} ont montré que la façon dont l'âge est spécifié affecte directement les effets temporels estimés. L'indice à indicatrices mesure la variation du prix \emph{à âge constant}, ce qui est bien ce que l'on veut pour l'ajustement d'un comparable que l'on ramène à la date d'évaluation sans le vieillir ; l'indice de ventes répétées, lui, laisse l'immeuble vieillir entre ses deux ventes, et la \cref{sec:35:repetees} dit comment en tenir compte.123124\section{Les indices de ventes répétées}\label{sec:35:repetees}125126\subsection{L'estimateur de Bailey, Muth et Nourse}127128La méthode des \motcle{ventes répétées} (en anglais \emph{repeat sales}) renonce à mesurer les caractéristiques et ne retient que les immeubles vendus au moins deux fois dans la fenêtre d'étude. Si l'immeuble $j$ s'est vendu $P_{j1}$ à la période $t_{j1}$ et $P_{j2}$ à la période $t_{j2} > t_{j1}$, et si ses caractéristiques n'ont pas changé entre les deux ventes, le modèle semi-logarithmique donne, par différence,129\begin{equation}\label{eq:35:bmn}130y_j \equiv \ln \frac{P_{j2}}{P_{j1}} = \tau_{t_{j2}} - \tau_{t_{j1}} + \eta_j = \sum_{t=1}^{T} \tau_t\, D_{jt} + \eta_j, \qquad D_{jt} = \begin{cases} +1 & \text{si } t = t_{j2}, \\ -1 & \text{si } t = t_{j1}, \\ 0 & \text{sinon}, \end{cases}131\end{equation}132où $\eta_j = \varepsilon_{j2} - \varepsilon_{j1}$ et où la période $0$ est omise pour fixer $\tau_0 = 0$. La constante $\alpha$ et le terme $\mathbf{x}_j\T\boldsymbol\beta$ ont disparu : c'est tout l'intérêt de la méthode, qui n'exige de connaître ni les caractéristiques ni leurs prix implicites. \textcite{baileyMuthNourse1963} ont proposé d'estimer les $\tau_t$ par les moindres carrés ordinaires de $y_j$ sur les colonnes de la matrice $\mathbf{D}$ ($n$ paires $\times$ $T$ périodes), sans constante :133\begin{equation}\label{eq:35:bmn-mco}134\hat{\boldsymbol\tau} = (\mathbf{D}\T\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}\T\mathbf{y}, \qquad \hat I_t = 100\exp(\hat\tau_t).135\end{equation}136La matrice $\mathbf{D}\T\mathbf{D}$ a une structure parlante : son élément diagonal $(t,t)$ est le nombre de paires dont l'une des ventes a eu lieu à la période $t$, et son élément $(s,t)$ est l'opposé du nombre de paires reliant les périodes $s$ et $t$. L'estimateur n'est défini que si cette matrice est inversible, c'est-à-dire si le graphe dont les sommets sont les périodes et les arêtes les paires de ventes est connexe : une période qu'aucune revente ne relie aux autres n'a pas d'indice. La fonction \texttt{ventes\_repetees\_bmn} du module \texttt{traite.hedonique} construit $\mathbf{D}$ et résout le système.137138\begin{proposition}{Propriétés de l'estimateur BMN}{bmn}139Sous le modèle \eqref{eq:35:bmn}, si les caractéristiques de chaque immeuble sont constantes entre ses deux ventes et si $\E[\eta_j \mid \mathbf{D}] = 0$, l'estimateur \eqref{eq:35:bmn-mco} est sans biais pour $\boldsymbol\tau$. Si de plus les $\eta_j$ sont indépendants et de variance commune $\sigma_\eta^2 = 2\sigma^2$, sa matrice de covariance est $\sigma_\eta^2(\mathbf{D}\T\mathbf{D})^{-1}$. Dans le cas de deux périodes où toutes les paires relient la période $0$ à la période $1$, $\exp(\hat\tau_1)$ est la moyenne géométrique des rapports de prix $P_{j2}/P_{j1}$.140\end{proposition}141\begin{proof}142L'absence de biais et la covariance sont les propriétés usuelles des moindres carrés, $\hat{\boldsymbol\tau} = \boldsymbol\tau + (\mathbf{D}\T\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}\T\boldsymbol\eta$ ; la variance $2\sigma^2$ de $\eta_j$ résulte de l'indépendance des deux bruits de transaction d'écart-type $\sigma$. Dans le cas de deux périodes, $\mathbf{D}$ est une colonne de $n$ uns, $\mathbf{D}\T\mathbf{D} = n$ et $\hat\tau_1 = \frac{1}{n}\sum_j \ln(P_{j2}/P_{j1})$, dont l'exponentielle est la moyenne géométrique des rapports.143\end{proof}144145Deux remarques prolongent la proposition. Premièrement, le logarithme fait de l'indice une moyenne \emph{géométrique} des variations individuelles ; \textcite{shiller1991} a proposé des estimateurs \emph{arithmétiques}, qui pondèrent chaque immeuble par sa valeur et répondent à la question « de combien la valeur d'un portefeuille de maisons a-t-elle varié ? », pertinente pour un indice financier, alors que la version géométrique répond à la question de la maison type. Les deux diffèrent d'un terme de l'ordre de la demi-variance des variations individuelles, par l'inégalité de Jensen, et l'\cref{ex:35:8} en mesure l'écart. Deuxièmement, la variance de l'estimateur dépend du nombre de paires reliant chaque période aux autres, non du nombre total de ventes ; sur un marché où une maison sur vingt se revend chaque année, la méthode n'utilise qu'une fraction des transactions, et \textcite{goetzmann1992} a montré que, dans les petits échantillons, les indices de ventes répétées sont bruités au point que la valeur de la période la plus récente peut être dominée par l'erreur d'estimation ; il a proposé un estimateur bayésien qui rétrécit les variations vers une tendance, ce que la \cref{sec:35:sensibilite} illustre par la taille de l'échantillon.146147\subsection{L'estimateur pondéré de Case et Shiller}148149\textcite{caseShiller1987,caseShiller1989} ont relevé que l'hypothèse de variance constante de $\eta_j$ est intenable : plus l'intervalle entre les deux ventes est long, plus la valeur de l'immeuble a eu le temps de s'écarter de la trajectoire du marché, par des rénovations, un entretien négligé, un changement du voisinage. Ils modélisent le logarithme du prix comme la somme de l'indice, d'une marche aléatoire propre à l'immeuble, de variance $\delta^2$ par unité de temps, et d'un bruit de transaction $\varepsilon$ de variance $\sigma^2$. La variance de la différence des logarithmes devient150\begin{equation}\label{eq:35:cs-variance}151\Var[\eta_j] = 2\sigma^2 + \delta^2\,\Delta_j, \qquad \Delta_j = t_{j2} - t_{j1},152\end{equation}153une fonction linéaire croissante de l'intervalle. Les moindres carrés ordinaires restent sans biais mais ne sont plus efficaces, et les erreurs-types usuelles sont fausses. L'estimateur \motcle{Case--Shiller pondéré} (en anglais \emph{weighted repeat sales}, WRS) procède en trois étapes. On estime d'abord l'\cref{eq:35:bmn} par MCO et l'on en retient les résidus $\hat\eta_j$ ; on régresse ensuite leurs carrés sur l'intervalle,154\begin{equation}\label{eq:35:cs-poids}155\hat\eta_j^{2} = a_0 + a_1\,\Delta_j + u_j, \qquad \hat w_j = \frac{1}{\sqrt{\hat a_0 + \hat a_1\,\Delta_j}},156\end{equation}157ce qui estime $2\sigma^2$ par $\hat a_0$ et $\delta^2$ par $\hat a_1$ ; on réestime enfin l'\cref{eq:35:bmn} par les moindres carrés pondérés, en multipliant chaque ligne de $\mathbf{D}$ et de $\mathbf{y}$ par $\hat w_j$ :158\begin{equation}\label{eq:35:cs-mcp}159\hat{\boldsymbol\tau}^{\,CS} = (\mathbf{D}\T\mathbf{W}\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}\T\mathbf{W}\mathbf{y}, \qquad \mathbf{W} = \operatorname{diag}(\hat w_j^{2}) = \operatorname{diag}\!\left(\frac{1}{\hat a_0 + \hat a_1\Delta_j}\right).160\end{equation}161Les paires séparées par un long intervalle, dont la variation contient plus de bruit idiosyncrasique, reçoivent moins de poids. La fonction \texttt{ventes\_repetees\_case\_shiller} enchaîne les trois étapes. Trois précisions pratiques. La deuxième étape est elle-même une régression bruitée, surtout avec quelques centaines de paires ; sa pente peut sortir négative si des paires de court intervalle présentent de fortes variations, ce qui est le symptôme de reventes rapides après rénovation et non d'une marche aléatoire négative, et l'exemple intégral en montre un cas. La pondération ne corrige pas un biais ; elle améliore l'efficacité et rend les erreurs-types correctes. Enfin, lorsque $\hat a_1$ est petit devant $\hat a_0$, les poids sont presque uniformes et l'estimateur pondéré se confond avec celui de BMN.162163\subsection{Les biais de sélection des reventes}164165Le modèle \eqref{eq:35:bmn} repose sur deux hypothèses que la réalité malmène. La première est la constance des caractéristiques entre les deux ventes. Un immeuble rénové entre ses ventes affiche une variation de prix qui mélange l'évolution du marché et la valeur des travaux ; un immeuble laissé à l'abandon affiche l'inverse. Si les rénovations sont plus fréquentes que les dégradations, ce qui est le cas des immeubles que l'on revend, l'indice est biaisé vers le haut. La dépréciation est le cas symétrique et systématique : tout immeuble vieillit entre ses deux ventes, de sorte que l'indice de ventes répétées mesure la variation du prix d'un immeuble \emph{qui vieillit}, et sous-estime donc la variation à âge constant d'un montant égal à la dépréciation sur l'intervalle. \textcite{knightSirmans1996} et surtout \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} ont estimé, à partir de données de ventes répétées enrichies d'informations sur l'entretien, que la dépréciation nette d'entretien atteint de l'ordre de 2 \% à 3 \% par année aux États-Unis, ce qui n'est pas négligeable devant une variation de prix de 4 \% ; les producteurs d'indices traitent ce problème en écartant les paires dont la variation est anormale plutôt qu'en modélisant la dépréciation. La seconde hypothèse est l'absence de sélection : les immeubles qui se revendent devraient être représentatifs du parc. Or ils ne le sont pas. Les reventes rapides sont souvent des opérations de rénovation-revente (en anglais \emph{flips}) ou des ventes contraintes ; les immeubles qui se revendent souvent sont plus petits, plus récents, plus proches des centres que la moyenne ; et \textcite{clappGiaccotto1992}, en comparant un indice de ventes répétées à un indice fondé sur les valeurs au rôle sur un même territoire, ont montré que l'échantillon des reventes diffère systématiquement du parc et que l'écart entre les deux indices est en partie attribuable à cette sélection. \textcite{englundQuigleyRedfearn1998} ont documenté, sur des données suédoises exhaustives, à quel point le choix des filtres d'épuration des paires modifie l'indice.166167Les réponses pratiques sont de trois ordres. On \emph{filtre} : les paires dont l'intervalle est trop court, dont la variation de prix est extrême ou dont le type de propriété a changé sont écartées, ce que fait explicitement la méthodologie publiée de l'indice Teranet--Banque Nationale (\cref{sec:35:canada}). On \emph{pondère} : la variance croissante de l'\cref{eq:35:cs-variance} donne moins de poids aux longs intervalles. On \emph{hybride} : \textcite{quigley1995} a proposé un modèle qui combine, dans une même estimation par moindres carrés généralisés, les ventes uniques avec leurs caractéristiques et les ventes répétées sans elles, ce qui utilise toute l'information et atténue la sélection ; les modèles hybrides restent peu diffusés parce qu'ils exigent les deux types de données. Plus récemment, \textcite{contatLarson2024} ont proposé une construction fondée sur des agrégats de ventes répétées qui autorise des fréquences, des géographies et des filtres flexibles sans réestimer l'ensemble des paires.168169\subsection{La révision}170171Un indice de ventes répétées a une propriété déroutante pour l'utilisateur : ses valeurs passées changent à chaque publication. La raison est mécanique. Une vente conclue aujourd'hui est la seconde vente d'une paire dont la première a eu lieu il y a deux, cinq ou dix ans ; en l'ajoutant, on ajoute une ligne à $\mathbf{D}$ qui relie la période courante à une période ancienne, et la résolution de l'\cref{eq:35:bmn-mco} redistribue l'information sur toute la chaîne des périodes intermédiaires. Les valeurs les plus révisées sont les plus récentes, parce que peu de paires les relient encore aux autres ; \textcite{silverstein2014} a mesuré, pour les grands indices américains, des révisions de l'ordre du point de pourcentage sur les variations mensuelles récentes, de signe systématique lorsque les reventes rapides, surreprésentées dans les premières publications, diffèrent du reste du parc. Les indices hédoniques à indicatrices sont révisés eux aussi, par la réestimation des prix implicites ; les indices chaînés et l'IPLN de Statistique Canada ne le sont pas, par construction ou par convention. Pour l'évaluateur, la révision a une conséquence précise : l'ajustement de conditions du marché fondé sur la dernière valeur publiée d'un indice de ventes répétées est fondé sur sa valeur la moins fiable, et le rapport doit indiquer la date de publication de l'indice utilisé, non seulement la période qu'il couvre.172173\subsection{L'indice SPAR}174175La méthode du \motcle{rapport prix sur valeur} (en anglais \emph{sale price appraisal ratio}, SPAR) part d'une observation simple : au Québec comme dans la plupart des juridictions, chaque immeuble possède une valeur d'évaluation foncière $A_i$ établie à une date de référence commune, et cette valeur est une estimation, bruitée mais sans biais systématique à l'échelle d'un secteur, de son prix à cette date. Le rapport $P_{it}/A_i$ d'un immeuble vendu à la période $t$ mesure alors la variation de son prix depuis la date de référence, à la qualité de l'évaluation près. \textcite{bourassaHoesliSun2006} ont formalisé l'indice, utilisé en Nouvelle-Zélande, aux Pays-Bas et ailleurs, sous la forme d'un rapport de rapports :176\begin{equation}\label{eq:35:spar}177\hat I^{\,\text{SPAR}}_t = 100 \times \frac{\sum_{i \in t} P_{it} \big/ \sum_{i \in t} A_i}{\sum_{i \in 0} P_{i0} \big/ \sum_{i \in 0} A_i},178\end{equation}179la version géométrique remplaçant les rapports de sommes par l'exponentielle de la moyenne des logarithmes de $P_{it}/A_i$. L'indice utilise toutes les ventes, n'exige aucune caractéristique et n'est pas révisé ; sa précision tient à ce que la dispersion de $\ln(P/A)$, qui mesure l'uniformité du rôle, est en général plus faible que celle des résidus d'un modèle hédonique estimé sans les informations dont dispose l'évaluateur municipal. Ses conditions de validité sont celles du rôle : le ratio $P/A$ ne doit pas dépendre des caractéristiques, faute de quoi la composition réapparaît par le biais vertical du rôle (le PRD et le PRB du \cref{ch:18}), et la valeur $A_i$ doit rester celle d'une même date de référence pour toutes les ventes de la série. Au dépôt d'un nouveau rôle, la série doit être rechaînée, puisque les $A_i$ changent de date. \textcite{clappGiaccotto1992} avaient déjà proposé d'utiliser les valeurs au rôle comme substitut des caractéristiques, ce qui est l'idée de la méthode, et l'exemple intégral la met en œuvre avec la valeur au rôle fictive du cas 1.180181\section{Les indices au Canada et au Québec}\label{sec:35:canada}182183\subsection{Quatre sources, quatre objets}184185Le \cref{ch:04} a présenté les sources de prix québécoises ; le \cref{tab:35:canada} les reprend sous l'angle de la méthode, en précisant pour chacune ce qu'un évaluateur peut et ne peut pas en tirer pour un ajustement de conditions du marché.186187\begin{table}[htbp]188\caption{Indices et séries de prix résidentiels disponibles au Canada et au Québec : nature, méthode publiée, périmètre et limites pour l'ajustement de conditions du marché}\label{tab:35:canada}189\centering\footnotesize190\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{27mm}YYY@{}}191\toprule192Série & Nature et méthode & Périmètre, base, fréquence, révision & Limites pour l'évaluateur \\193\midrule194Teranet--Banque Nationale (indice composite et par RMR) & Indice de ventes répétées : « properties with at least two sales » ; exclusion des ventes non sincères, des changements de type (rénovations), des erreurs de données et des rotations « biannual or higher » ; valeur de septembre 2026 : composite 294,94, Montréal 310,62, Québec 327,56 & Onze RMR dont Montréal et Québec ; juin 2005 = 100 ; mensuel ; variation mensuelle désaisonnalisée ; révisé à mesure que des paires s'ajoutent & Toutes catégories confondues ; pas de Gatineau, Sherbrooke ni Trois-Rivières ; pas de ventilation infra-métropolitaine publique ; dernières valeurs révisables \\195Statistique Canada, IPLN (18-10-0205-01) & Indice de prix à qualité constante des maisons neuves des constructeurs : prix relevés « lorsque les spécifications détaillées de chaque maison demeurent les mêmes pendant deux périodes consécutives », ajustés des changements de qualité ; composantes maison et terrain & Canada, provinces, RMR dont Montréal, Québec, Ottawa-Gatineau (partie du Québec), Sherbrooke, Trois-Rivières ; déc. 2016 = 100 ; mensuel ; « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé » & Logements neufs seulement (maisons individuelles, jumelées, en rangée) ; prix demandés par les constructeurs ; ne mesure pas la revente \\196APCIQ, statistiques Centris & Prix médians et nombre de ventes conclues par courtier, par catégorie (unifamiliale, copropriété, plex) ; T3 2026 : unifamiliale \dollars{500000} (province), \dollars{480000} (RMR de Gatineau) & Province, RMR, secteurs ; mensuel et trimestriel ; date d'acceptation de la promesse ; non révisé & Médiane : biais de composition ; ventes par courtier seulement ; conditions d'utilisation de l'APCIQ \\197JLR (Equifax), rapport mensuel & Prix médians de toutes les ventes publiées au Registre foncier, après exclusions (ventes liées, reprises, moins de \dollars{5000}) ; seuil de 30 transactions ; douze mois à septembre 2026 : unifamiliale \dollars{483000}, plex \dollars{622000} & Province, RMR, régions administratives ; mensuel ; date de l'acte & Médiane ; date de l'acte postérieure à la promesse ; pas d'indice à qualité constante publié \\198Rôle d'évaluation foncière (MEFQ, partie 3A) & Taux de variation du marché mesurés par l'évaluateur municipal entre deux dates de référence, pour l'équilibration et les études de ratios & Chaque municipalité ; triennal ; non publié sous forme d'indice & Méthode interne ; disponible indirectement par les facteurs comparatifs et les proportions médianes (\cref{ch:09}) \\199\bottomrule200\end{tabularx}201\tabsource{\textcite{teranet202609} et page de méthodologie de Teranet--Banque Nationale (housepriceindex.ca, consultée le 31 octobre 2026) ; \textcite{statcanipln} et fiche de l'enquête 2310 de Statistique Canada (consultée le 31 octobre 2026) ; \textcite{apciqt32026,apciqgatineaut32026,apciqconditions} ; \textcite{jlr202609} ; \textcite{mefqpartie3}. Chiffres cités avec attribution ; aucun tableau reproduit.}202\end{table}203204L'\motcle{indice Teranet--Banque Nationale} est le seul indice de prix de revente à qualité constante publié au Canada. Sa méthodologie publiée est explicitement celle des ventes répétées : l'indice « is estimated by tracking the observed or registered home prices over time », les immeubles vendus au moins deux fois forment des paires, et les paires affectées par des facteurs endogènes sont écartées, à savoir les ventes non sincères, les changements de type de propriété « for example after renovations », les erreurs de données et les rotations fréquentes, « biannual or higher »\footnote{Teranet et Banque Nationale du Canada, « Our Methodology », housepriceindex.ca/about/our-methodology/, consultée le 31 octobre 2026. Les citations sont reproduites dans la langue de la page, qui ne précise ni l'estimateur exact, ni les seuils numériques des filtres, ni la politique de révision ; la description complète est annoncée comme téléchargeable sans l'être depuis la page.}. En septembre 2026, l'indice composite des onze régions métropolitaines s'établissait à 294,94 (juin 2005 = 100), en hausse de 0,1 \% sur un mois en données désaisonnalisées, en baisse de 3,5 \% sur un an et à 8,1 \% sous son sommet d'avril 2022 ; celui de Montréal à 310,62, en hausse de 1,4 \% sur un an, et celui de Québec à 327,56, en hausse de 7,7 \% sur un an et à son sommet \parencite{teranet202609}. Pour l'évaluateur québécois, l'indice a trois limites : il ne couvre que Montréal et Québec, il agrège toutes les catégories de propriétés, et sa valeur la plus récente est, par construction, sujette à révision.205206L'\motcle{Indice des prix des logements neufs} mesure autre chose. D'après la fiche de l'enquête, c'est « une série mensuelle qui mesure les variations au fil du temps des prix de vente des maisons résidentielles neuves établis par les entrepreneurs lorsque les spécifications détaillées de chaque maison demeurent les mêmes pendant deux périodes consécutives » ; lorsque les spécifications changent, les prix déclarés « sont ajustés afin de tenir compte des variations de la qualité, de sorte que l'IPLN mesure la variation “pure” des prix au fil du temps » ; l'indice « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé »\footnote{Statistique Canada, « Indice des prix des logements neufs (IPLN) », fiche de l'enquête n\textsuperscript{o} 2310 de la Base de métadonnées intégrée, consultée le 31 octobre 2026 ; la fiche renvoie à la méthodologie détaillée de la Série analytique des prix (62F0014M). Population cible : maisons individuelles, jumelées et en rangée neuves ; collecte sur dix jours à partir du 15 du mois ; base décembre 2016 = 100.}. C'est donc un indice à qualité constante par appariement de modèles, proche dans l'esprit d'un indice hédonique dont les caractéristiques seraient tenues constantes par le constructeur lui-même, mais il porte sur les prix demandés pour des maisons neuves, non sur les prix de revente, et il ne couvre, au Québec, que cinq régions métropolitaines. La \cref{fig:35:ipln} en présente la variation sur douze mois : la hausse annuelle a culminé à 21,9 \% à Montréal en septembre 2021 et à 14,3 \% à Québec en mai 2021, contre 12,2 \% pour le Canada en août 2021 et seulement 6,7 \% à Gatineau en décembre 2020 ; en septembre 2026, elle n'était plus que de 1,2 \% à Montréal, 1,9 \% à Québec, 0,3 \% à Gatineau, 1,2 \% à Sherbrooke et 3,0 \% à Trois-Rivières, et l'indice canadien reculait de 2,0 \% \parencite{statcanipln}. Pour un ajustement de conditions du marché sur une revente, l'IPLN est au mieux un indicateur de direction ; il ne doit pas servir de taux.207208\begin{figure}[htbp]209\centering210\includegraphics[width=\textwidth]{ch35/ch35-fig-ipln-variation.pdf}211\caption{Indice des prix des logements neufs, variation sur douze mois (en pourcentage), janvier 2011 à septembre 2026, pour les cinq régions métropolitaines québécoises couvertes et pour le Canada. L'épisode pandémique (bande grisée) porte la hausse annuelle à 21,9 \% à Montréal et à 14,3 \% à Québec, alors que Gatineau ne dépasse pas 6,7 \% ; en 2026, les hausses québécoises se sont ramenées entre 0,3 \% et 3,0 \% tandis que l'indice canadien recule. La divergence régionale interdit d'appliquer un indice national ou métropolitain à un marché local.}\label{fig:35:ipln}212\figsource{Statistique Canada, tableau 18-10-0205-01, total maison et terrain (vecteurs v111955484, v111955475, v111955487, v111955478, v111955481, v111955442), diffusé le 22 octobre 2026, consulté le 31 octobre 2026, licence ouverte ; fichier brut \texttt{data/raw/statcan\_18100205/18100205.csv} ; script \texttt{analysis/python/figures/ch35\_figures.py} ; calculs de l'auteur.}213\end{figure}214215Les \motcle{médianes} de l'APCIQ et de JLR ne sont pas des indices, et leurs producteurs ne les présentent pas comme tels. Elles ont pourtant un avantage que les indices n'ont pas : une granularité géographique et par catégorie bien plus fine, qui permet de suivre le marché des unifamiliales du secteur de Hull ou des plex de Limoilou, là où Teranet--Banque Nationale ne publie qu'un chiffre par région métropolitaine. L'évaluateur qui s'en sert pour un ajustement de conditions du marché doit le faire en connaissance de cause : sur un trimestre ou deux, la variation d'une médiane de quelques centaines de ventes est dominée par la composition et par le bruit, comme la \cref{sec:35:exemple} le montre ; sur un an ou plus, avec une catégorie homogène et un secteur stable, elle approche la variation à qualité constante. Les règles pratiques sont de ne jamais lire une variation de médiane sur moins de quatre trimestres, de préférer les douze mois glissants que JLR publie, et de la confronter à l'indice de ventes répétées lorsqu'il existe pour le territoire. Le \cref{ch:13} a fait le même constat sur les trois mesures disponibles pour la région de Québec au troisième trimestre de 2026, qui ne se contredisent pas mais ne mesurent pas la même chose.216217\begin{quebec}[Les indices de prix et l'évaluation foncière]218Le Manuel d'évaluation foncière du Québec consacre la partie 3A de son édition 2026 à la mesure des \emph{taux de variation du marché}, c'est-à-dire des indices que l'évaluateur municipal construit lui-même pour ramener les prix de vente à la date de référence du rôle, pour l'équilibration (partie 3B) et pour les études de ratios \parencite{mefqpartie3}. Le Règlement sur la proportion médiane du rôle d'évaluation foncière prévoit que les prix des ventes qui ne sont pas contemporaines de la date de référence sont rajustés aux conditions du marché à cette date avant le calcul des ratios \parencite[art.~11--12]{reglpropmed}, ce qui suppose un indice par municipalité et par catégorie ; ces indices ne sont pas publiés, mais la proportion médiane et le facteur comparatif de chaque rôle (art.~264 de la Loi sur la fiscalité municipale) en sont la trace visible, comme le \cref{ch:09} l'a montré pour Gatineau. L'indice SPAR de la \cref{sec:35:repetees} est, de ce point de vue, l'indice naturel du système québécois : il utilise les valeurs au rôle, publiques depuis l'ouverture des données du MAMH, comme dénominateur de chaque prix de vente, et il mesure la dérive du marché depuis la date de référence du rôle, qui est exactement ce que la proportion médiane résume en un seul chiffre. Sa validité dépend de l'uniformité du rôle, que les statistiques de ratio du \cref{ch:18} mesurent. Textes consultés sur LégisQuébec et Québec.ca le 31 octobre 2026.219\end{quebec}220221\section{Exemple intégral : cinq indices sur le marché du cas 1}\label{sec:35:exemple}222223\begin{synthetique}224Les 600 ventes du cas 1 (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}, graine 20261031, lois dans \texttt{data/synthetic/README.md}) ont été engendrées avec une tendance de marché exponentielle de 4,43 \% par année composée, soit $\beta = 0{,}003614$ par mois, et un bruit de transaction normal d'écart-type $\sigma = 0{,}085$ ; la vérité à retrouver est donc un indice lisse, et chaque écart des indices estimés à cette vérité est une erreur mesurable. Le jeu de \emph{reventes} est lui aussi synthétique et construit dans le script du chapitre, \texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py} (fonction \texttt{generer\_reventes}, même graine) : chaque vente observée est tenue pour la première vente d'une paire ; avec une probabilité de 0,60, une revente est simulée à un intervalle $\Delta$ tiré d'une loi déclarée (85 \% de reventes ordinaires d'intervalle $6 + \mathrm{Exp}(16)$ mois, 15 \% de reventes rapides de 3 à 9 mois après rénovation, avec une prime de prix de $\mathcal{N}(0{,}12 ; 0{,}04^2)$ en logarithme) ; le logarithme du prix de revente vaut $\ln P_1 + \beta\Delta + \text{prime} + w + \varepsilon_2 - \varepsilon_1'$, où $\varepsilon_1'$ et $\varepsilon_2$ sont deux bruits de transaction indépendants d'écart-type 0,085 et $w$ une marche aléatoire idiosyncrasique de variance $\delta^2\Delta$ avec $\delta^2 = 0{,}0004$ par mois ; les reventes postérieures au 31 août 2026 sont écartées et les prix arrondis à \dollars{500}. Ces paramètres sont des hypothèses pédagogiques, non des estimations sur des reventes réelles de Gatineau. L'indice SPAR utilise la valeur au rôle fictive du jeu (\texttt{valeur\_role\_2025}, engendrée comme 93 \% de la valeur au 1\ier{} juillet 2024 avec un bruit d'écart-type 0,07). Tous les chiffres de cette section et de la suivante sont imprimés par le script et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch35.py}.225\end{synthetique}226227\begin{exemple}{Médiane, hédonique, ventes répétées et SPAR sur les quinze trimestres du cas 1}{indices-cas1}228L'exemple découpe les 600 ventes en quinze trimestres, de 2023T1 à 2026T3, qui comptent de 22 à 51 ventes chacun, et construit six indices base 2023T1 = 100. La vérité de génération, évaluée au milieu de chaque trimestre, monte régulièrement jusqu'à 116,37 au troisième trimestre de 2026.229230\emph{Étape 1 : la médiane et la moyenne.} L'indice de la médiane des prix (\cref{tab:35:indices}, \cref{fig:35:biais-mediane}) atteint 128,63 au dernier trimestre et culmine à 133,68 au quatrième trimestre de 2025 : il annonce une hausse de 28,6 \% là où les prix à qualité constante ont monté de 16,4 \%. Son écart absolu moyen à la vérité est de 10,97 points de pourcentage et son écart maximal de 19,06 \% ; d'un trimestre à l'autre, il saute de 10 à 13 points dans un sens puis dans l'autre, comme entre 2024T4 (128,45) et 2025T1 (115,33), alors que la vérité progresse de 1,1 point. La moyenne géométrique fait un peu mieux (écart absolu moyen de 7,93 points), parce qu'elle est moins sensible au tirage des ventes extrêmes, mais elle souffre du même mal. La décomposition \eqref{eq:35:decomposition}, calculée avec les prix implicites du modèle à indicatrices, identifie ce mal : l'effet de composition $(\bar{\mathbf{x}}_t - \bar{\mathbf{x}}_0)\T\hat{\boldsymbol\beta}$ vaut $+0{,}076$ en 2024T4, $+0{,}089$ en 2025T4 et $+0{,}101$ en 2026T1, c'est-à-dire que les maisons vendues au cours de ces trimestres valaient, à prix constants, de 8 à 11 \% de plus que celles de 2023T1 ; la part des ventes du secteur d'Aylmer, le plus cher, passe de 25,6 \% à 36,4 \% entre le premier et le dernier trimestre. La corrélation entre le logarithme du rapport de l'indice de la médiane à l'indice hédonique et l'effet de composition est de 0,86 : la médiane s'écarte de l'indice à qualité constante précisément quand et parce que la composition change. Une fois l'effet de composition soustrait, la moyenne géométrique corrigée coïncide exactement avec l'indice hédonique, comme l'identité l'exige (cercles de la \cref{fig:35:biais-mediane}).231232\emph{Étape 2 : l'indice hédonique.} Le modèle de référence du \cref{ch:18}, où la tendance linéaire est remplacée par quatorze indicatrices trimestrielles (29 paramètres, $\hat\sigma = 0{,}083$, $R^2$ ajusté de 0,849), donne l'indice à indicatrices de l'\cref{eq:35:td-indice}. Il s'établit à 122,04 au troisième trimestre de 2026, avec un intervalle de confiance à 95 \% de $[117{,}72 ; 126{,}52]$, soit une largeur de 7,5 \% ; les erreurs-types des $\hat\tau_t$ vont de 0,015 à 0,020 selon le nombre de ventes du trimestre. Son écart absolu moyen à la vérité est de 2,81 points, son écart maximal de 5,03 \% et ses variations trimestrielles ont un écart-type de 1,8 point, contre 1,1 point pour la vérité. Deux traits méritent attention. D'abord, l'indice est au-dessus de la vérité à \emph{tous} les trimestres, de 1,5 à 5,7 points : le premier trimestre de 2023, qui sert de base, s'est trouvé tiré en dessous de la tendance par le bruit de ses 39 ventes, et cette erreur de base se transmet à toute la série, ce qui rappelle que la période de base d'un indice n'est pas un point fixe mais une estimation comme les autres. Ensuite, la dernière valeur est la moins précise (22 ventes), et c'est elle que l'ajustement de conditions du marché utilise, comme le \cref{ch:18} l'avait noté. L'indice chaîné de l'\cref{eq:35:chaine}, qui libère les prix implicites d'un maillon à l'autre, finit à 121,69, très près de l'indice direct, mais son écart absolu moyen est plus élevé (4,01 points) : sur un marché où les prix implicites sont en vérité constants, la liberté supplémentaire n'ajoute que du bruit, et la variance cumulée des maillons s'accroît avec la distance à la base. L'indice d'imputation géométrique de l'\cref{eq:35:imputation}, calculé avec les coefficients communs du modèle à indicatrices, coïncide avec l'indice direct à $10^{-13}$ près pour Laspeyres, Paasche et Fisher, ce qui vérifie numériquement la \cref{prop:imputation-td}.233234\emph{Étape 3 : le jeu de reventes.} La simulation produit 220 paires de reventes (\cref{tab:35:reventes}), dont 47 reventes rapides rénovées. L'intervalle médian est de 10 mois, l'intervalle moyen de 12,8 mois, l'étendue de 3 à 38 mois, et 55,9 \% des paires ont un intervalle inférieur à douze mois, une proportion élevée qui résulte de la fenêtre courte : une revente ne peut être observée que si elle survient avant la fin d'août 2026, ce qui favorise mécaniquement les intervalles courts et les premières ventes anciennes (89 des 220 premières ventes datent de 2023, 2 seulement de 2026). L'écart-type du logarithme des rapports de prix est de 0,144, à comparer à $\sqrt{2}\times 0{,}085 = 0{,}120$ pour le seul bruit de transaction : la marche aléatoire et les primes de rénovation ajoutent le reste. La variation moyenne en logarithme des reventes rénovées est de 0,096 contre 0,044 pour les autres, pour des intervalles plus courts : ce sont elles qui porteront le biais.235236\emph{Étape 4 : BMN et Case--Shiller.} La matrice $\mathbf{D}$ compte 220 lignes et 14 colonnes ; sa diagonale $\mathbf{D}\T\mathbf{D}$ indique combien de paires touchent chaque trimestre, de 14 pour 2026T3 à 39 pour 2023T4, 2025T1 et 2025T2. L'estimateur de BMN donne un indice qui finit à 120,68, avec un intervalle de confiance de $[109{,}78 ; 132{,}65]$, soit une largeur de 20,8 \%, presque trois fois celle de l'indice hédonique : l'écart-type résiduel des paires, $\hat\sigma_\eta = 0{,}146$, est près du double de celui du modèle hédonique, et chaque trimestre n'est relié aux autres que par quelques dizaines de paires. Les erreurs-types des $\hat\tau_t$ vont de 0,035 à 0,048. L'écart absolu moyen à la vérité est de 3,02 points, l'écart maximal de 6,42 \%, et les variations trimestrielles ont un écart-type de 3,1 points, trois fois celui de la vérité : l'indice fait des zigzags que le marché n'a pas faits, comme le recul de 113,42 à 108,35 entre 2025T2 et 2025T4, puis le bond à 122,43 en 2026T2. La deuxième étape de Case--Shiller illustre la mise en garde de la \cref{sec:35:repetees} : la régression des carrés des résidus sur l'intervalle (\cref{fig:35:poids-cs}) donne $\hat a_0 = 0{,}0208$ et $\hat a_1 = -0{,}00023$ par trimestre, une pente \emph{négative}, alors que la loi de génération impose $2\sigma^2 = 0{,}01445$ et $\delta^2 = 0{,}0012$ par trimestre. Les 47 reventes rapides rénovées, concentrées aux intervalles de un à trois trimestres avec des variations anormalement grandes, tirent la variance des courts intervalles vers le haut et renversent la pente. Sans elles, la régression retrouve $\hat a_0 = 0{,}0157$ et $\hat a_1 = +0{,}00053$ : l'ordonnée est proche de la théorie, la pente moitié moindre mais du bon signe, sur 173 paires. Avec les poids estimés sur toutes les paires, presque uniformes, l'indice Case--Shiller (120,48 au dernier trimestre, écart absolu moyen de 2,90 points) ne s'écarte jamais de plus de 0,5 point de celui de BMN ; avec les poids théoriques, une paire de douze trimestres pèserait 0,74 fois une paire d'un trimestre (\cref{tab:35:cs}).237238\emph{Étape 5 : SPAR.} Le rapport du prix de vente à la valeur au rôle fictive a un écart-type logarithmique de 0,087 sur les 600 ventes et une médiane de 1,095, ce qui reflète un rôle établi à 93 \% de la valeur au 1\ier{} juillet 2024 et des prix qui ont continué de monter ensuite. L'indice SPAR géométrique de l'\cref{eq:35:spar} finit à 115,06 et la version arithmétique à 114,36, pour une vérité de 116,37 ; l'écart absolu moyen est de 1,26 point, le plus faible des six indices, et la largeur de l'intervalle de 8,2 \%. Ce résultat est à lire avec précaution : la valeur au rôle du jeu a été engendrée comme une estimation \emph{sans biais vertical} de la valeur vraie, avec une dispersion de 7 \%, c'est-à-dire comme un rôle idéalement uniforme ; elle contient en quelque sorte l'information d'un modèle hédonique parfait. Sur un rôle réel, dont le COD est de 6 à 15 et dont le PRB n'est pas nul, l'indice SPAR hériterait de ces défauts. L'exemple montre néanmoins pourquoi la méthode est séduisante partout où un rôle uniforme existe : elle utilise toutes les ventes, n'a besoin d'aucune caractéristique et converge vite.239240\emph{Étape 6 : comparaison.} Le \cref{tab:35:indices} aligne les six indices par trimestre et le \cref{tab:35:precision} résume leur précision ; la \cref{fig:35:indices} les superpose à la vérité. Trois enseignements. La médiane est hors concours : son erreur est de trois à dix fois celle des indices à qualité constante, et son biais est systématique. L'indice hédonique et les indices de ventes répétées ont des erreurs moyennes comparables, de 2,8 à 3,0 points, mais de nature différente : l'hédonique est biaisé par sa base et lisse, les ventes répétées sont centrés mais bruités, avec un intervalle de confiance trois fois plus large parce qu'ils n'exploitent que 220 paires au lieu de 600 ventes. Enfin, la croissance totale mesurée va de 15,1 \% (SPAR) à 22,0 \% (hédonique) pour une vérité de 16,4 \%, et de 28,6 \% pour la médiane : sur un marché synthétique parfaitement régulier, avec quelques dizaines de ventes par trimestre, l'incertitude sur la variation des prix en trois ans et demi est de l'ordre de cinq points, soit un tiers de la variation elle-même.241242\emph{Étape 7 : l'ajustement de conditions du marché de G0404.} Le comparable G0404 du \cref{ch:16} s'est vendu \dollars{506500} le 27 mai 2025 (trimestre 2025T2), 15,2 mois avant la date d'évaluation du 1\ier{} septembre 2026 (trimestre 2026T3). Le \cref{tab:35:ajustement} calcule l'ajustement $P\,(I_{2026\mathrm{T}3}/I_{2025\mathrm{T}2} - 1)$ selon l'indice retenu. La vérité de génération donne \dollars{28558} ; la tendance linéaire du modèle de référence, \dollars{28733} ; l'indice hédonique à indicatrices, \dollars{44760}, parce que son dernier trimestre est 5 \% au-dessus de la tendance ; l'indice chaîné, \dollars{30987} ; BMN et Case--Shiller, \dollars{32406} et \dollars{32359} ; le SPAR, \dollars{26575} ; et la médiane, \dollars{44009}. L'étendue, de \dollars{26575} à \dollars{44760}, représente de 5,2 \% à 8,8 \% du prix du comparable : pour un ajustement que la grille du \cref{ch:17} traite en une ligne, l'incertitude liée au seul choix de l'indice est du même ordre que celle des ajustements de propriété mesurée au \cref{ch:18}. Le \cref{ch:20} intègre cette incertitude dans la fourchette finale.243\end{exemple}244245\begin{table}[htbp]246\caption{Jeu de reventes synthétique dérivé des 600 ventes du cas 1 : caractéristiques des 220 paires}\label{tab:35:reventes}247\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.4pt}248\begin{tabular}{@{}l S[table-format=3.0] S[table-format=2.0] S[table-format=2.1] S[table-format=2.1] S[table-format=1.4] S[table-format=1.4]@{}}249\toprule250Ensemble & {Paires} & {Rénovées} & {\shortstack[c]{Intervalle\\médian (mois)}} & {\shortstack[c]{Intervalle\\moyen (mois)}} & {\shortstack[c]{Moyenne\\$\ln(P_2/P_1)$}} & {\shortstack[c]{Écart-type\\$\ln(P_2/P_1)$}} \\251\midrule252Toutes les paires & 220 & 47 & 10.0 & 12.8 & 0.0547 & 0.1441 \\253Reventes ordinaires & 173 & 0 & {---} & {---} & 0.0436 & 0.1416 \\254Reventes rapides rénovées (3--9 mois) & 47 & 47 & {---} & {---} & 0.0957 & 0.1476 \\255Intervalle d'au moins 12 mois & 97 & 0 & {---} & {---} & {---} & {---} \\256Intervalle d'au moins 18 mois & 45 & 0 & {---} & {---} & {---} & {---} \\257\bottomrule258\end{tabular}259\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py}, fonction \texttt{generer\_reventes}, graine 20261031}. Première vente par année : 2023 : 89 ; 2024 : 77 ; 2025 : 52 ; 2026 : 2. Seconde vente par année : 2023 : 16 ; 2024 : 51 ; 2025 : 91 ; 2026 : 62. Intervalles de 3 à 38 mois ; 55,9 \% des paires ont un intervalle inférieur à 12 mois.}260\end{table}261262\begin{table}[htbp]263\caption{Six indices de prix du cas 1 par trimestre, base 2023T1 = 100, et vérité de génération (données synthétiques)}\label{tab:35:indices}264\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.1pt}265\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=3.2] S[table-format=3.2] S[table-format=3.2] c S[table-format=3.2] S[table-format=3.2] c S[table-format=3.2] S[table-format=3.2]@{}}266\toprule267Trim. & {$n$} & {Vérité} & {Médiane} & {Hédon.} & IC 95 \% hédon. & {Chaîné} & {BMN} & IC 95 \% BMN & {Case--Shiller} & {SPAR} \\268\midrule2692023T1 & 39 & 100.00 & 100.00 & 100.00 & {[100.00 ; 100.00]} & 100.00 & 100.00 & {[100.00 ; 100.00]} & 100.00 & 100.00 \\2702023T2 & 39 & 101.06 & 112.19 & 106.15 & {[102.81 ; 109.59]} & 105.74 & 103.11 & {[94.63 ; 112.36]} & 102.93 & 99.79 \\2712023T3 & 42 & 102.17 & 108.87 & 105.25 & {[101.91 ; 108.70]} & 105.22 & 107.03 & {[99.81 ; 114.77]} & 106.83 & 102.63 \\2722023T4 & 40 & 103.29 & 111.33 & 106.44 & {[103.13 ; 109.87]} & 107.85 & 109.92 & {[102.52 ; 117.86]} & 109.83 & 102.71 \\2732024T1 & 50 & 104.43 & 111.21 & 106.54 & {[103.12 ; 110.08]} & 108.10 & 107.86 & {[100.70 ; 115.54]} & 107.58 & 102.90 \\2742024T2 & 44 & 105.55 & 116.13 & 107.13 & {[103.56 ; 110.82]} & 108.92 & 106.38 & {[98.99 ; 114.32]} & 106.21 & 103.64 \\2752024T3 & 51 & 106.71 & 117.86 & 110.45 & {[107.10 ; 113.90]} & 112.80 & 106.25 & {[98.62 ; 114.47]} & 106.07 & 102.62 \\2762024T4 & 39 & 107.88 & 128.45 & 112.24 & {[108.90 ; 115.69]} & 115.07 & 109.99 & {[102.23 ; 118.33]} & 109.79 & 108.08 \\2772025T1 & 32 & 109.07 & 115.33 & 110.79 & {[107.14 ; 114.57]} & 112.36 & 111.15 & {[103.21 ; 119.71]} & 110.90 & 108.24 \\2782025T2 & 43 & 110.23 & 118.35 & 112.13 & {[108.56 ; 115.82]} & 114.68 & 113.42 & {[105.92 ; 121.46]} & 113.25 & 109.32 \\2792025T3 & 50 & 111.44 & 122.35 & 112.90 & {[109.44 ; 116.46]} & 114.92 & 114.05 & {[106.28 ; 122.39]} & 113.85 & 111.79 \\2802025T4 & 30 & 112.66 & 133.68 & 115.46 & {[111.14 ; 119.95]} & 116.95 & 108.35 & {[100.79 ; 116.48]} & 108.07 & 112.10 \\2812026T1 & 33 & 113.90 & 130.91 & 116.90 & {[112.99 ; 120.95]} & 118.26 & 115.70 & {[107.41 ; 124.64]} & 115.49 & 112.48 \\2822026T2 & 46 & 115.11 & 132.57 & 118.00 & {[114.07 ; 122.07]} & 118.15 & 122.43 & {[112.34 ; 133.43]} & 122.26 & 111.26 \\2832026T3 & 22 & 116.37 & 128.63 & 122.04 & {[117.72 ; 126.52]} & 121.69 & 120.68 & {[109.78 ; 132.65]} & 120.48 & 115.06 \\284\bottomrule285\end{tabular}286\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py}}. Hédonique : modèle de référence avec indicatrices trimestrielles (HC1) ; chaîné : périodes adjacentes ; BMN et Case--Shiller : 220 paires de reventes synthétiques ; SPAR : version géométrique sur la valeur au rôle fictive. Vérité : $100\exp(\beta\,(m_t - m_0))$ au milieu du trimestre, $\beta = 0{,}003614$ par mois.}287\end{table}288289\begin{table}[htbp]290\caption{Précision des indices par rapport à la vérité de génération, 2023T1--2026T3 (données synthétiques)}\label{tab:35:precision}291\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}292\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.2] S[table-format=-2.2] S[table-format=2.2] S[table-format=2.2] S[table-format=2.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.2]@{}}293\toprule294Indice & {\shortstack[c]{Hausse\\totale (\%)}} & {\shortstack[c]{Écart\\final (\%)}} & {\shortstack[c]{EAM\\(pts)}} & {\shortstack[c]{RMSE\\(pts)}} & {\shortstack[c]{Écart\\max (\%)}} & {\shortstack[c]{É.-t. var.\\trim. (pts)}} & {\shortstack[c]{Largeur IC\\finale (\%)}} \\295\midrule296Médiane des prix & 28.63 & 10.54 & 10.97 & 11.76 & 19.06 & 5.50 & {---} \\297Moyenne géométrique & 27.78 & 9.81 & 7.93 & 8.54 & 13.49 & 4.02 & {---} \\298Hédonique, indicatrices trim. & 22.04 & 4.87 & 2.81 & 3.04 & 5.03 & 1.77 & 7.47 \\299Hédonique chaîné & 21.69 & 4.57 & 4.01 & 4.15 & 6.66 & 1.88 & {---} \\300Ventes répétées, BMN & 20.68 & 3.70 & 3.02 & 3.51 & 6.42 & 3.07 & 20.83 \\301Ventes répétées, Case--Shiller & 20.48 & 3.53 & 2.90 & 3.40 & 6.33 & 3.10 & 20.62 \\302SPAR géométrique & 15.06 & -1.13 & 1.26 & 1.64 & 3.83 & 1.71 & 8.18 \\303SPAR arithmétique & 14.36 & -1.73 & 1.46 & 1.90 & 4.43 & 1.80 & {---} \\304\midrule305Vérité de génération & 16.37 & 0.00 & 0.00 & 0.00 & 0.00 & 1.09 & {---} \\306\bottomrule307\end{tabular}308\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py}}. EAM : écart absolu moyen à la vérité sur les quatorze trimestres hors base, en points d'indice ; écart max : plus grand écart relatif ; largeur de l'intervalle de confiance à 95 \% du dernier trimestre en pourcentage de sa borne inférieure.}309\end{table}310311\begin{figure}[htbp]312\centering313\includegraphics[width=\textwidth]{ch35/ch35-fig-indices-compares.pdf}314\caption{Quatre indices à qualité constante du cas 1 et la vérité de génération (haut), et leur écart à la vérité en pourcentage (bas). L'indice hédonique est lisse mais décalé vers le haut par le bruit de sa période de base ; les indices de ventes répétées sont centrés mais oscillent de trimestre en trimestre, avec un intervalle de confiance (non tracé) trois fois plus large ; le SPAR, qui profite d'un rôle fictif idéalement uniforme, est le plus proche de la vérité.}\label{fig:35:indices}315\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch35\_figures.py}, graine 20261031}.}316\end{figure}317318\begin{figure}[htbp]319\centering320\includegraphics[width=\textwidth]{ch35/ch35-fig-biais-mediane.pdf}321\caption{Le biais de composition de la médiane. En haut, l'indice de la médiane et celui de la moyenne géométrique des prix s'écartent de l'indice hédonique de 5 à 20 points ; la moyenne géométrique corrigée de l'effet de composition (cercles) coïncide exactement avec l'indice hédonique, comme l'impose l'identité \eqref{eq:35:decomposition}. En bas, l'effet de composition $(\bar{\mathbf{x}}_t - \bar{\mathbf{x}}_0)\T\hat{\boldsymbol\beta}$ et la part des ventes du secteur d'Aylmer : les trimestres où la médiane s'emballe sont ceux où les maisons vendues valaient, à prix constants, 8 à 11 \% de plus que celles du trimestre de base.}\label{fig:35:biais-mediane}322\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch35\_figures.py}, graine 20261031}.}323\end{figure}324325\begin{table}[htbp]326\caption{Deuxième étape de Case--Shiller : variance des résidus BMN selon l'intervalle et poids relatifs (données synthétiques)}\label{tab:35:cs}327\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}328\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.5] S[table-format=-1.5] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3]@{}}329\toprule330Ensemble de paires & {$\hat a_0$ ($\approx 2\sigma^2$)} & {$\hat a_1$ ($\approx \delta^2$/trim.)} & {\shortstack[c]{Poids relatif\\4 trim.}} & {\shortstack[c]{Poids relatif\\8 trim.}} & {\shortstack[c]{Poids relatif\\12 trim.}} \\331\midrule332Toutes les paires (220) & 0.02079 & -0.00023 & 1.007 & 1.027 & 1.050 \\333Sans les reventes rénovées (173) & 0.01574 & 0.00053 & 0.955 & 0.903 & 0.859 \\334Loi de génération & 0.01445 & 0.00120 & 0.902 & 0.807 & 0.737 \\335\bottomrule336\end{tabular}337\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py}}. Poids relatif : $\sqrt{(\hat a_0 + \hat a_1)/(\hat a_0 + \hat a_1\Delta)}$, rapporté à une paire d'un trimestre.}338\end{table}339340\begin{figure}[htbp]341\centering342\includegraphics[width=\textwidth]{ch35/ch35-fig-poids-case-shiller.pdf}343\caption{À gauche, le carré des résidus de l'estimateur BMN selon l'intervalle entre les deux ventes, les reventes rapides rénovées étant distinguées ; la droite ajustée sur toutes les paires a une pente négative, celle ajustée sans les reventes rénovées retrouve le signe de la loi de génération $2\sigma^2 + \delta^2\Delta$. À droite, les poids relatifs de Case--Shiller qui en découlent : une paire de douze trimestres pèse 0,86 (estimé) ou 0,74 (théorique) fois une paire d'un trimestre.}\label{fig:35:poids-cs}344\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch35\_figures.py}, graine 20261031}.}345\end{figure}346347\begin{table}[htbp]348\caption{Ajustement de conditions du marché du comparable G0404 (vendu \dollars{506500} en 2025T2, évalué en 2026T3, 15,2 mois) selon l'indice retenu (données synthétiques)}\label{tab:35:ajustement}349\centering\footnotesize350\begin{tabular}{@{}l S[table-format=3.2] S[table-format=3.2] S[table-format=1.2] S[table-format=5.0]@{}}351\toprule352Indice & {$I_{2025\mathrm{T}2}$} & {$I_{2026\mathrm{T}3}$} & {Variation (\%)} & {Ajustement (\$)} \\353\midrule354Vérité de génération (4,43 \%/an, 15,2 mois) & {---} & {---} & 5.64 & 28558 \\355Tendance du modèle de référence (0,364 \%/mois) & {---} & {---} & 5.67 & 28733 \\356Hédonique, indicatrices trimestrielles & 112.13 & 122.04 & 8.84 & 44760 \\357Hédonique chaîné & 114.68 & 121.69 & 6.12 & 30987 \\358Ventes répétées, BMN & 113.42 & 120.68 & 6.40 & 32406 \\359Ventes répétées, Case--Shiller & 113.25 & 120.48 & 6.39 & 32359 \\360SPAR géométrique & 109.32 & 115.06 & 5.25 & 26575 \\361Médiane des prix & 118.35 & 128.63 & 8.69 & 44009 \\362\bottomrule363\end{tabular}364\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py}, fonction \texttt{ajustement\_comparable}}. Ajustement $= P\,(I_{2026\mathrm{T}3}/I_{2025\mathrm{T}2} - 1)$ ; pour la tendance, $P\,[\exp(\hat\beta_{\text{mois}} \times 15{,}2) - 1]$.}365\end{table}366367\section{Sensibilité : révision, filtres, taille et fenêtre}\label{sec:35:sensibilite}368369Quatre décisions gouvernent un indice de ventes répétées ou hédonique : la date de publication, les filtres appliqués aux paires, le nombre d'observations et la fenêtre d'estimation. Le \cref{tab:35:sensibilite} et la \cref{fig:35:revision} mesurent leur effet sur le cas 1.370371\begin{table}[htbp]372\caption{Sensibilité des indices du cas 1 au millésime, au filtre des reventes rapides, à la taille de l'échantillon et à la fenêtre d'estimation (données synthétiques)}\label{tab:35:sensibilite}373\centering\small374\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Y S[table-format=3.0] S[table-format=3.2] S[table-format=2.2] S[table-format=2.2]@{}}375\toprule376Variante & {Paires ou ventes} & {Valeur ou hausse} & {EAM (pts)} & {Note} \\377\midrule378\multicolumn{5}{@{}l}{\emph{Révision de l'indice BMN de 2025T2 selon le millésime de publication}} \\379Publié en 2025T2 & 110 & 116.39 & {---} & {---} \\380Publié en 2025T4 & 158 & 114.69 & {---} & -1.70 \\381Publié en 2026T3 & 220 & 113.42 & {---} & -2.97 \\382Indice de 2024T4 : 114,45 publié en 2025T2 ; publié en 2026T3 & 220 & 109.99 & {---} & -4.46 \\383\midrule384\multicolumn{5}{@{}l}{\emph{Filtre des reventes rapides (hausse totale BMN en \% ; vérité 16,37)}} \\385Toutes les paires & 220 & 20.68 & 3.02 & {---} \\386Intervalle d'au moins 12 mois & 97 & 17.98 & 2.76 & {---} \\387Intervalle d'au moins 18 mois & 45 & 19.41 & 6.56 & {---} \\388Sans les reventes rénovées (oracle, inobservable en pratique) & 173 & 18.39 & 2.01 & {---} \\389\midrule390\multicolumn{5}{@{}l}{\emph{Taille de l'échantillon de paires (BMN ; 200 sous-échantillons aléatoires)}} \\391Toutes les paires & 220 & {---} & 3.02 & {---} \\392Moitié des paires & 110 & {---} & 4.26 & 4.77 \\393Quart des paires & 55 & {---} & 6.46 & 8.96 \\394\midrule395\multicolumn{5}{@{}l}{\emph{Fenêtre d'estimation de l'indice hédonique (rechaîné sur 2024T4)}} \\396Fenêtre complète (15 trimestres) & 600 & 122.04 & {---} & {---} \\397Huit derniers trimestres & 295 & 122.38 & {---} & 0.37 \\398\bottomrule399\end{tabularx}400\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py}, fonction \texttt{sensibilite}}. Note : révision en points d'indice pour le premier bloc ; écart-type de la valeur finale de l'indice entre sous-échantillons (points) pour le troisième ; écart relatif maximal (\%) entre les deux fenêtres pour le quatrième.}401\end{table}402403\begin{figure}[htbp]404\centering405\includegraphics[width=\textwidth]{ch35/ch35-fig-revision-filtre.pdf}406\caption{À gauche, l'indice BMN du cas 1 tel qu'il aurait été publié en 2025T2, en 2025T4 et en 2026T3 : chaque millésime révise les valeurs antérieures, de près de trois points pour 2025T2 et de 4,5 points pour 2024T4, parce que les paires nouvelles relient les trimestres récents aux anciens. À droite, l'effet du filtre des reventes rapides : écarter les intervalles inférieurs à douze mois élimine les reventes rénovées et rapproche la hausse totale de la vérité, mais un filtre à dix-huit mois ne laisse que 45 paires et l'indice devient erratique.}\label{fig:35:revision}407\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch35\_figures.py}, graine 20261031}.}408\end{figure}409410La \emph{révision} est la plus spectaculaire. L'indice BMN du deuxième trimestre de 2025 valait 116,39 avec les 110 paires connues à la fin de ce trimestre ; il est passé à 114,69 six mois plus tard, puis à 113,42 avec les 220 paires d'août 2026, soit une révision cumulée de près de trois points. Celui du quatrième trimestre de 2024 a été révisé de 4,5 points à la baisse. Les premières publications sont tirées vers le haut parce que les paires disponibles à une date donnée sont, par construction, celles dont l'intervalle est court, où les reventes rénovées sont surreprésentées ; à mesure que des reventes ordinaires d'intervalle plus long s'ajoutent, l'indice redescend. C'est exactement le mécanisme que \textcite{silverstein2014} a documenté sur les indices américains, et il implique qu'un ajustement de conditions du marché calculé avec la dernière valeur publiée doit être documenté avec sa date de publication.411412Le \emph{filtre des reventes rapides} est un arbitrage entre biais et variance. Sur toutes les paires, la hausse totale mesurée par BMN est de 20,7 \%, soit 4,3 points de trop, dont 2,3 points sont imputables aux reventes rénovées, puisque l'indice calculé sans elles, ce qu'un producteur ne peut pas faire faute de connaître les rénovations, donne 18,4 \%. Écarter les paires d'intervalle inférieur à douze mois, filtre que le producteur peut appliquer, élimine ici toutes les reventes rénovées et ramène la hausse à 18,0 \% et l'écart absolu moyen de 3,02 à 2,76 points, au prix de la perte de 123 paires. Un filtre à dix-huit mois ne laisse que 45 paires : la variance l'emporte, l'écart absolu moyen monte à 6,56 points et l'indice devient inutilisable. La leçon est que le seuil du filtre doit être proportionné à la taille de l'échantillon, et que les producteurs qui disposent de centaines de milliers de paires peuvent se permettre des filtres stricts que l'évaluateur qui construit un indice local ne peut pas s'offrir. La \emph{taille de l'échantillon} confirme le résultat de \textcite{goetzmann1992} : avec la moitié des paires, l'écart absolu moyen passe de 3,0 à 4,3 points et la valeur finale de l'indice varie, d'un sous-échantillon à l'autre, avec un écart-type de 4,8 points ; avec le quart, l'écart absolu moyen est de 6,5 points et l'écart-type de 9,0 points, c'est-à-dire que deux analystes disposant chacun de 55 paires du même marché pourraient conclure à des hausses de 10 \% et de 28 \% sur la même période. Enfin, la \emph{fenêtre d'estimation} de l'indice hédonique compte peu sur ce marché : estimé sur les huit derniers trimestres seulement (295 ventes) et rechaîné, l'indice ne s'écarte jamais de plus de 0,37 \% de celui de la fenêtre complète, parce que les prix implicites sont en vérité constants ; sur un marché réel où ils dérivent, la fenêtre courte est le prix à payer pour que les indicatrices temporelles ne capturent pas, en plus du marché, le changement des prix implicites.413414\begin{pratique}415Un ajustement de conditions du marché défendable nomme l'indice (producteur, série, territoire, catégorie), sa méthode (médiane, hédonique, ventes répétées, SPAR), sa base, les périodes comparées, la date de publication du millésime utilisé et, lorsqu'il est disponible, son intervalle de confiance ; il indique si la date de la vente comparable est celle de la promesse ou de l'acte, et il compare le taux retenu à au moins une autre source. Lorsque l'évaluateur construit son propre indice sur les ventes du secteur, le dossier contient le script, les filtres et le nombre d'observations par période, et le rapport déclare la précision obtenue ; un indice trimestriel estimé sur vingt ventes a une incertitude de plusieurs points, et il est souvent préférable de lui substituer une tendance lissée, comme le \cref{ch:18} l'a fait, en le disant.416\end{pratique}417418\begin{erreurs}419\begin{itemize}420\item \emph{Lire une variation de médiane comme une variation de prix.} Sur le cas 1, la médiane annonce 28,6 \% de hausse pour 16,4 \% de hausse réelle, et ses sauts trimestriels de 10 à 13 points ne correspondent à aucun mouvement du marché.421\item \emph{Appliquer l'indice d'un autre territoire ou d'un autre segment.} L'IPLN montre des hausses annuelles de 21,9 \% à Montréal et de 6,7 \% à Gatineau au même moment ; l'indice Teranet--Banque Nationale ne couvre ni Gatineau ni les secteurs d'une région métropolitaine.422\item \emph{Utiliser l'IPLN comme indice de revente.} Il mesure les prix demandés par les constructeurs pour des maisons neuves à spécifications constantes ; sa direction informe, son taux ne s'applique pas à une revente.423\item \emph{Oublier que la dernière valeur d'un indice est la moins précise et la plus révisée.} L'indice BMN de 2025T2 a été révisé de trois points en quinze mois ; l'indice hédonique du dernier trimestre repose sur 22 ventes.424\item \emph{Appliquer un indice de ventes répétées sans considérer l'âge.} L'indice mesure la variation du prix d'un immeuble qui vieillit ; l'ajustement d'âge ou d'état du comparable est distinct.425\item \emph{Filtrer les reventes rapides sans regarder ce qui reste.} Un filtre à dix-huit mois a divisé l'échantillon par cinq et doublé l'erreur.426\item \emph{Lire l'indice hédonique comme la vérité.} Sa période de base est une estimation ; sur le cas 1, un bruit négatif en 2023T1 a décalé toute la série de deux à cinq points vers le haut.427\item \emph{Construire un indice SPAR avec des valeurs au rôle de dates de référence différentes}, ou sans vérifier l'uniformité du rôle par les statistiques de ratio.428\end{itemize}429\end{erreurs}430431\begin{limites}432\begin{itemize}433\item Les 600 ventes et les 220 reventes du cas 1 sont synthétiques ; la tendance vraie est une exponentielle régulière, les prix implicites sont constants, les bruits sont normaux et homoscédastiques, et la part des reventes rénovées, leur prime et la variance de la marche aléatoire sont des hypothèses déclarées. Les erreurs mesurées ici sont celles de l'échantillonnage sur un marché idéal ; sur un marché réel, les erreurs de spécification, la dépréciation, les changements de prix implicites et les données erronées s'y ajoutent.434\item La valeur au rôle fictive a été engendrée sans biais vertical et avec une dispersion de 7 \% ; la précision remarquable du SPAR dans l'exemple ne doit pas être extrapolée à un rôle réel, dont l'uniformité doit être mesurée au préalable.435\item La méthodologie publiée de l'indice Teranet--Banque Nationale, consultée le 31 octobre 2026, décrit les principes et les exclusions sans donner l'estimateur exact, les seuils numériques des filtres ni la politique de révision ; la description complète annoncée comme téléchargeable n'a pas pu être consultée. Les conditions d'utilisation des données C11 n'ont pas été lues.436\item La méthodologie de l'IPLN est tirée de la fiche de l'enquête 2310 de Statistique Canada ; le document méthodologique détaillé de la Série analytique des prix (62F0014M) n'a pas été consulté.437\item Les ordres de grandeur de la dépréciation nette cités d'après \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} portent sur des marchés américains et ne sont pas transposables tels quels au Québec.438\item La méthodologie publiée de l'indice S\&P CoreLogic Case--Shiller n'a pas pu être consultée (accès refusé le 31 octobre 2026) ; le chapitre ne cite donc pas ses filtres numériques et s'en tient aux articles de \textcite{caseShiller1987,caseShiller1989}.439\item Les modèles hybrides et les estimateurs bayésiens de ventes répétées sont mentionnés sans être mis en œuvre ; le \cref{ch:39} traite du rétrécissement bayésien dans un cadre plus général.440\end{itemize}441\end{limites}442443\begin{synthese}444\begin{itemize}445\item Un indice de prix immobiliers mesure la variation du prix d'un logement de caractéristiques constantes, $I_t = 100\,\E[P \mid \mathbf{x}, t]/\E[P \mid \mathbf{x}, 0]$ ; la médiane et la moyenne des prix observés confondent cette variation avec l'effet de composition, que l'\cref{eq:35:decomposition} isole exactement.446\item L'indice hédonique à indicatrices temporelles, $100\exp(\hat\tau_t)$, utilise toutes les ventes et suppose des prix implicites constants sur la fenêtre ; le chaînage les libère au prix d'une variance cumulée ; l'imputation géométrique (Laspeyres, Paasche, Fisher) coïncide avec les indicatrices lorsque les coefficients sont communs.447\item L'estimateur de ventes répétées de Bailey, Muth et Nourse régresse $\ln(P_{j2}/P_{j1})$ sur une matrice de $-1$ et de $+1$ ; il est sans biais si la qualité est constante et les reventes non sélectionnées, et il n'utilise que les immeubles vendus deux fois. Case et Shiller le pondèrent par l'inverse de la racine d'une variance qui croît avec l'intervalle, $2\sigma^2 + \delta^2\Delta$.448\item Les indices de ventes répétées sont exposés à la rénovation, à la dépréciation et à la sélection des reventes rapides ; ils sont révisés à chaque publication, et leurs dernières valeurs sont les moins fiables. Le filtre des reventes rapides arbitre entre biais et variance.449\item L'indice SPAR rapporte chaque prix à la valeur au rôle de l'immeuble ; il est précis quand le rôle est uniforme et s'accorde naturellement au système québécois d'évaluation foncière.450\item Au Canada, l'indice Teranet--Banque Nationale est le seul indice de revente à qualité constante (ventes répétées, onze régions métropolitaines dont Montréal et Québec) ; l'IPLN mesure les prix des maisons neuves à spécifications constantes et n'est pas révisé ; les médianes de l'APCIQ et de JLR sont des médianes, précieuses par leur granularité, trompeuses sur un trimestre.451\item Sur le cas 1, les indices à qualité constante ont des erreurs moyennes de 1,3 à 3 points, la médiane de 11 points ; l'ajustement de conditions du marché d'un même comparable varie de \dollars{26575} à \dollars{44760} selon l'indice retenu, soit de 5,2 \% à 8,8 \% de son prix : le choix de l'indice est une décision à documenter, non une formalité.452\end{itemize}453\end{synthese}454455\section*{Exercices}456\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}457458\begin{exercice}[1]{Médiane et effet de composition}{ex:35:1}459Dans un secteur, le prix médian des unifamiliales passe de \dollars{450000} à \dollars{480000} en un an, tandis que la superficie habitable médiane des maisons vendues passe de \msq{140} à \msq{150}. Avec une élasticité du prix à la superficie de 0,539 (\cref{ch:18}), calculez la variation de la médiane, l'effet de composition attribuable à la superficie et la variation « pure » des prix qui en résulte. Quelles autres caractéristiques faudrait-il connaître pour compléter la correction ?460\end{exercice}461462\begin{exercice}[1]{Lire un indice à indicatrices temporelles}{ex:35:2}463Un modèle semi-logarithmique estimé sur quatre trimestres donne $\hat\tau_1 = 0{,}031$, $\hat\tau_2 = 0{,}058$ et $\hat\tau_3 = 0{,}102$ (2023T1 en référence), avec une erreur-type de 0,021 pour $\hat\tau_3$. Calculez l'indice de chaque trimestre par l'\cref{eq:35:td-indice}, la variation de prix entre le deuxième et le troisième trimestre et l'intervalle de confiance à 95 \% de l'indice du troisième trimestre. Pourquoi la variation entre deux trimestres non consécutifs se lit-elle directement sur la différence des $\hat\tau$ ?464\end{exercice}465466\begin{exercice}[2]{L'estimateur BMN à la main}{ex:35:3}467Quatre immeubles se sont vendus deux fois sur trois périodes (0, 1, 2) : A, \dollars{430000} en 0 et \dollars{462000} en 1 ; B, \dollars{470000} en 1 et \dollars{512000} en 2 ; C, \dollars{495000} en 0 et \dollars{540000} en 2 ; D, \dollars{436000} en 0 et \dollars{455000} en 1. Écrivez le vecteur $\mathbf{y}$ et la matrice $\mathbf{D}$ de l'\cref{eq:35:bmn}, calculez $\mathbf{D}\T\mathbf{D}$ et $\mathbf{D}\T\mathbf{y}$, résolvez l'\cref{eq:35:bmn-mco} et donnez l'indice des périodes 1 et 2. Vérifiez que les résidus sont orthogonaux aux colonnes de $\mathbf{D}$. Que se passerait-il si la paire B n'existait pas ?468\end{exercice}469470\begin{exercice}[2]{Variance et poids de Case--Shiller}{ex:35:4}471La deuxième étape de Case--Shiller donne $\hat a_0 = 0{,}0145$ et $\hat a_1 = 0{,}0012$ par trimestre. Calculez la variance et l'écart-type (en pourcentage) de $\ln(P_2/P_1)$ pour des intervalles de 1, 4, 8 et 12 trimestres, les poids $\hat w_j$ de l'\cref{eq:35:cs-poids} et les poids relatifs à une paire d'un trimestre. Déduisez-en les estimations de $\sigma$ et de $\delta$. Comment la pente changerait-elle si l'échantillon contenait de nombreuses reventes rénovées à court intervalle ?472\end{exercice}473474\begin{exercice}[2]{Un indice SPAR sur dix ventes}{ex:35:5}475Dix ventes d'un trimestre (prix en milliers de dollars : 512 ; 468,5 ; 601 ; 445 ; 530 ; 487,5 ; 575 ; 455 ; 498 ; 522) ont des valeurs au rôle de 470 ; 452 ; 545 ; 425 ; 480 ; 468 ; 510 ; 440 ; 455 ; 471. Le rapport des sommes du trimestre de base était de 1,045. Calculez le rapport arithmétique et le rapport géométrique prix/valeur du trimestre, puis l'indice SPAR arithmétique et géométrique \eqref{eq:35:spar}. Quelle statistique du \cref{ch:18} faudrait-il vérifier avant de se fier à cet indice ?476\end{exercice}477478\begin{exercice}[3]{L'ajustement de conditions du marché selon l'indice}{ex:35:6}479À partir du \cref{tab:35:indices}, calculez l'ajustement de conditions du marché du comparable G0404 (\dollars{506500}, 2025T2, évalué en 2026T3) selon l'indice hédonique, l'indice BMN, l'indice Case--Shiller et la médiane, puis selon la tendance linéaire du modèle de référence (0,364 \% par mois sur 15,2 mois). Classez les résultats, expliquez l'écart entre l'indice hédonique et la tendance par la précision du dernier trimestre, et rédigez le paragraphe du rapport d'évaluation qui justifie le taux retenu et en déclare l'incertitude.480\end{exercice}481482\begin{exercice}[3]{Révision et filtres : expérience sur le script}{ex:35:7}483À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch35\_indices.py} : (a) faites passer la part des reventes rénovées (\texttt{PART\_FLIP}) de 0,15 à 0 puis à 0,30 et mesurez l'effet sur la hausse totale BMN et sur la pente $\hat a_1$ de Case--Shiller ; (b) pour chaque cas, appliquez les filtres à 12 et 18 mois et commentez l'arbitrage biais--variance ; (c) reproduisez les millésimes de la \cref{fig:35:revision} et expliquez pourquoi la révision est systématiquement à la baisse dans cette simulation. Rédigez une note de 200 mots sur ce qu'un producteur d'indice devrait publier pour que l'utilisateur puisse juger de ces effets.484\end{exercice}485486\begin{exercice}[3]{Dérivations : imputation, moyenne géométrique et estimateur arithmétique}{ex:35:8}487(a) Démontrez la \cref{prop:imputation-td} et expliquez pourquoi, avec des coefficients propres à chaque période, les indices de Laspeyres et de Paasche diffèrent. (b) Démontrez que, pour deux périodes et des paires reliant toutes la période 0 à la période 1, l'indice BMN est la moyenne géométrique des rapports $P_{j2}/P_{j1}$. (c) Deux maisons vendues \dollars{100000} et \dollars{200000} en période 0 se revendent \dollars{110000} et \dollars{230000} en période 1 : calculez l'indice géométrique, la moyenne arithmétique des rapports et l'indice arithmétique pondéré par la valeur de \textcite{shiller1991}, $\sum_j P_{j2}/\sum_j P_{j1}$, et expliquez à quelle question chacun répond.488\end{exercice}489490\section*{Pour aller plus loin}491\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}492493Le manuel international des indices de prix des logements \parencite{eurostat2013} est la référence d'ensemble : il compare les méthodes de stratification, hédoniques, de ventes répétées et SPAR, et son chapitre sur les méthodes hédoniques, dû à \textcite{dehaanDiewert2013}, détaille les constructions à indicatrices, chaînées et par imputation ; \textcite{hill2013} en donne une taxonomie critique et une évaluation empirique. Sur les ventes répétées, on lira dans l'ordre \textcite{baileyMuthNourse1963}, qui fondent l'estimateur, \textcite{caseShiller1987} et \textcite{caseShiller1989}, qui le pondèrent et en tirent les premières conclusions sur l'efficience du marché des maisons, \textcite{shiller1991} pour les versions arithmétiques, \textcite{goetzmann1992} pour la précision dans les petits échantillons et \textcite{silverstein2014} pour les révisions. \textcite{clappGiaccotto1992} comparent ventes répétées et valeurs au rôle, \textcite{bourassaHoesliSun2006} formalisent le SPAR, \textcite{quigley1995} et \textcite{englundQuigleyRedfearn1998} proposent et appliquent les modèles hybrides, et \textcite{contatLarson2024} renouvellent la construction par agrégats. Sur la dépréciation dans les indices de ventes répétées, \textcite{knightSirmans1996} et \textcite{hardingRosenthalSirmans2007}. \textcite{fisherGeltnerWebb1994} étendent la comparaison des méthodes aux immeubles commerciaux, et \textcite{shiller2015} replace les indices dans la question plus large des bulles et du partage du risque immobilier.494