spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Données de panel et identification causale}\label{ch:36}23Les chapitres précédents de cette partie ont appris à décrire : le modèle hédonique du \cref{ch:18} mesure ce que le marché paie pour une caractéristique, les modèles spatiaux du \cref{ch:19} corrigent la dépendance entre voisins, les indices du \cref{ch:35} suivent le niveau des prix dans le temps. Aucun de ces outils ne répond pourtant à la question que l'évaluateur se fait poser le plus souvent lorsqu'un changement survient : de combien la nouvelle station de transport collectif, le rezonage de l'îlot, l'inondation du printemps ou le règlement qui encadre les loyers ont-ils modifié la valeur de cet immeuble ? La question est causale, et la réponse exige de comparer ce qui est arrivé à ce qui serait arrivé sans le changement, c'est-à-dire à un contrefactuel que l'on n'observe jamais. Le présent chapitre expose les méthodes qui construisent ce contrefactuel à partir de données de panel, où les mêmes immeubles sont suivis sur plusieurs périodes : effets fixes, doubles différences, études d'événement, estimateurs adaptés à l'adoption échelonnée, discontinuité spatiale et contrôle synthétique. L'exemple intégral superpose aux séries trimestrielles de revenu net d'exploitation du portefeuille du cas 4 un choc dont l'effet est déclaré d'avance ; le lecteur connaît donc la vérité et peut juger chaque estimateur à ce qu'il en retrouve. Les applications au rezonage, aux risques environnementaux et à l'encadrement locatif renvoient aux \cref{ch:08,ch:43,ch:34}.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item formuler une question d'évaluation en termes de résultats potentiels, nommer l'effet recherché et reconnaître le biais de sélection qui sépare une différence observée d'un effet causal ;9\item écrire un modèle de panel à effets fixes d'immeuble et de période, dériver l'estimateur within, le relier aux indicatrices et calculer des erreurs-types robustes aux grappes ;10\item estimer un effet par doubles différences à deux périodes, énoncer et éprouver l'hypothèse de tendances parallèles par des placebos et une étude d'événement ;11\item expliquer pourquoi l'estimateur à effets fixes bidirectionnels se dérègle lorsque l'adoption est échelonnée et les effets dynamiques, et appliquer l'estimateur par cohortes de Callaway et Sant'Anna ;12\item mettre en œuvre une discontinuité spatiale à une frontière de zone et un contrôle synthétique à poids positifs, et en lire les limites ;13\item confronter, sur un choc simulé aux effets connus, cinq estimateurs à la vérité, puis juger de la sensibilité des conclusions aux hypothèses d'identification et au choix du groupe témoin.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Pourquoi la causalité importe à l'évaluateur}\label{sec:36:pourquoi}1819\subsection{Des questions causales partout}2021L'évaluation ordinaire est une estimation d'espérance conditionnelle : la valeur marchande du sujet est ce que des biens semblables se vendent, à la même date, sur le même marché (\cref{ch:16}). Cette question ne demande pas de savoir \emph{pourquoi} les prix sont ce qu'ils sont. Mais une part croissante des mandats porte sur un changement : l'expropriation partielle d'un terrain pour une emprise de transport, l'indemnité due à la suite d'un sinistre, la contestation d'une valeur au rôle après un rezonage, l'effet d'un nouveau règlement sur la valeur d'un immeuble locatif, la décote attachée à une zone inondable nouvellement cartographiée ou la plus-value d'un quartier desservi par une infrastructure. Dans chacun de ces cas, la question posée est de la forme « quelle est la valeur de l'immeuble avec le changement, et quelle serait-elle sans lui ? », et seule la première branche est observable. La seconde est un \motcle{contrefactuel} ; l'estimer est l'objet de l'\motcle{identification causale}.2223La tentation est grande de répondre par une comparaison simple : les immeubles proches de la station se vendent plus cher que les autres, donc la station vaut la différence ; les loyers ont monté de tant depuis la mise en service, donc c'est l'effet de la mise en service. Ces deux raisonnements sont faux pour des raisons symétriques. Le premier compare des immeubles différents à la même date et attribue à la station ce qui tient à leur localisation, à leur âge ou à leur qualité, qui n'ont rien à voir avec elle ; les stations ne sont pas placées au hasard. Le second compare le même immeuble à deux dates et attribue à la station ce qui tient au marché, à l'inflation, au cycle, qui auraient agi sans elle. La littérature empirique a appris à se méfier de ces deux comparaisons et à ne retenir que des plans d'observation où le contrefactuel est construit explicitement. \textcite{lindenRockoff2008} mesurent l'effet de l'arrivée d'un délinquant sexuel inscrit sur les prix des maisons voisines en comparant, avant et après l'arrivée, les maisons situées à moins de 0,1 mille à celles situées entre 0,1 et 0,3 mille ; \textcite{currie2015} mesurent l'effet de l'ouverture et de la fermeture de 1 600 usines émettrices de substances toxiques en suivant les prix à moins d'un demi-mille et entre un demi-mille et deux milles ; \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014} mesurent l'effet d'un changement de desserte en train de banlieue sur la Rive-Sud de Montréal par un estimateur spatial de doubles différences. Dans les trois cas, l'effet est une différence de différences : différence entre proches et éloignés, elle-même comparée avant et après. C'est la structure que ce chapitre formalise.2425\subsection{Résultats potentiels, effet du traitement et biais de sélection}2627Le cadre des \motcle{résultats potentiels}, exposé par \textcite{imbensRubin2015}, donne un vocabulaire précis. Soit $D_{it} \in \{0, 1\}$ l'indicatrice qui vaut 1 si l'immeuble $i$ est exposé au changement (le \motcle{traitement}, par analogie médicale) à la période $t$. Chaque immeuble possède deux résultats potentiels, $Y_{it}(1)$ s'il est traité et $Y_{it}(0)$ s'il ne l'est pas, dont un seul est observé :28\begin{equation}\label{eq:36:potentiels}29Y_{it} = D_{it}\, Y_{it}(1) + (1 - D_{it})\, Y_{it}(0) .30\end{equation}31L'effet du traitement sur l'immeuble $i$ à la période $t$ est $Y_{it}(1) - Y_{it}(0)$ ; il n'est jamais observé, puisque l'un des deux termes manque toujours. Ce que les données permettent d'estimer, sous hypothèses, est une moyenne de ces effets sur une population définie.3233\begin{definition}{Effet moyen du traitement sur les traités}{36-att}34L'\motcle{effet moyen du traitement sur les traités} (ATT, \emph{average treatment effect on the treated}) est35\begin{equation}\label{eq:36:att}36\mathrm{ATT} = \E\big[Y_{it}(1) - Y_{it}(0) \mid D_{it} = 1\big] .37\end{equation}38C'est l'effet moyen pour les immeubles effectivement exposés, à la date où ils le sont ; il ne dit rien de ce que le traitement ferait à des immeubles qui n'y ont pas été exposés.39\end{definition}4041L'ATT est la quantité pertinente pour l'évaluateur, parce que son sujet est, en général, un immeuble exposé : la maison qui a été inondée, l'immeuble qui est près de la station. La différence brute entre traités et non-traités ne l'estime pas. En écrivant $\E[Y \mid D = 1] = \E[Y(1) \mid D = 1]$ et $\E[Y \mid D = 0] = \E[Y(0) \mid D = 0]$, on obtient42\begin{equation}\label{eq:36:selection}43\underbrace{\E[Y \mid D = 1] - \E[Y \mid D = 0]}_{\text{différence observée}}44= \underbrace{\E[Y(1) - Y(0) \mid D = 1]}_{\mathrm{ATT}}45+ \underbrace{\E[Y(0) \mid D = 1] - \E[Y(0) \mid D = 0]}_{\text{biais de sélection}} .46\end{equation}47Le \motcle{biais de sélection} est la différence qui aurait existé entre les deux groupes \emph{sans} traitement. Il est nul si le traitement a été attribué au hasard, ce qui n'arrive jamais en immobilier : les lignes de transport desservent les quartiers denses, les zones inondables longent les rivières où les terrains ont d'autres attributs, les rezonages visent les secteurs en mutation. \textcite{angristPischke2009} appellent cette décomposition l'équation fondamentale de l'économétrie appliquée ; toute la suite du chapitre consiste à trouver des hypothèses crédibles qui annulent le second terme ou qui permettent de l'estimer. Le modèle hédonique du \cref{ch:18} y parvient lorsque la sélection ne dépend que de caractéristiques observées et correctement spécifiées : conditionnellement à $\mathbf{x}$, les immeubles traités et non traités auraient eu le même $Y(0)$. L'hypothèse est forte, parce que ce qui détermine l'exposition est souvent inobservé, et c'est précisément la raison d'être des données de panel : observer le même immeuble avant et après permet d'éliminer tout ce qui lui est propre et constant.4849\subsection{Les plans d'identification et ce qu'ils supposent}5051Le \cref{tab:36:plans} résume les plans d'observation de ce chapitre, la source de biais de sélection qu'ils neutralisent et l'hypothèse qu'ils exigent en retour. Aucune n'est gratuite. Les effets fixes éliminent les différences permanentes entre immeubles mais pas les chocs qui coïncident avec le traitement ; les doubles différences exigent que les groupes aient évolué parallèlement sans traitement ; la discontinuité spatiale exige que rien d'autre ne change à la frontière ; le contrôle synthétique exige qu'une combinaison de témoins reproduise la trajectoire du traité. Le travail de l'analyste n'est pas de choisir la méthode la plus sophistiquée, mais celle dont l'hypothèse est la plus défendable dans le cas étudié, et de montrer ce qui se passe quand elle est relâchée.5253\begin{table}[htbp]54\caption{Plans d'identification du chapitre : ce qu'ils éliminent et ce qu'ils supposent}\label{tab:36:plans}55\centering56\small57\begin{tabularx}{\textwidth}{L{32mm}YY}58\toprule59Plan & Biais de sélection neutralisé & Hypothèse exigée (et test usuel) \\60\midrule61Effets fixes d'immeuble (\cref{sec:36:panel}) & Toute différence permanente entre immeubles, observée ou non & Exogénéité stricte : les chocs idiosyncrasiques ne sont pas liés au traitement à aucune date \\62Doubles différences $2 \times 2$ (\cref{sec:36:did}) & Différences permanentes et chocs communs aux deux groupes & Tendances parallèles sans traitement (placebos, étude d'événement) \\63Étude d'événement & Idem, en laissant l'effet varier avec le temps écoulé & Absence de tendance différentielle avant le traitement ; anticipation nulle \\64Adoption échelonnée (\cref{sec:36:echelonne}) & Idem, avec plusieurs dates d'exposition & Tendances parallèles pour chaque cohorte ; homogénéité des effets (TWFE) ou agrégation explicite (Callaway--Sant'Anna) \\65Discontinuité spatiale (\cref{sec:36:autres}) & Tout ce qui varie continûment à la frontière & Continuité des autres déterminants à la frontière ; pas de tri des immeubles autour d'elle \\66Contrôle synthétique (\cref{sec:36:autres}) & Trajectoire propre de l'unité traitée & Un bassin de donneurs dont une combinaison convexe reproduit le passé du traité ; inférence par permutation \\67\bottomrule68\end{tabularx}69\tabsource{Synthèse de l'auteur d'après \textcite{angristPischke2009}, \textcite{imbensRubin2015}, \textcite{cunningham2021} et \textcite{roth2023}.}70\end{table}7172\section{Le modèle de panel à effets fixes}\label{sec:36:panel}7374\subsection{Structure des données et modèle}7576Un \motcle{panel} (ou données longitudinales) suit $N$ unités sur $T$ périodes : $N$ immeubles dont on observe le revenu net d'exploitation chaque trimestre, $N$ municipalités dont on connaît le prix médian chaque année, $N$ maisons vendues plusieurs fois. Le panel est \motcle{cylindré} si chaque unité est observée à toutes les périodes, ce qui est le cas des séries du cas 4 (48 immeubles, 42 trimestres, 2 016 observations) et rarement celui des ventes, où chaque maison n'apparaît qu'aux dates où elle change de mains ; les méthodes de ce chapitre s'appliquent aux deux, mais les formules sont plus simples dans le cas cylindré et c'est celui que nous développons. Le modèle de base est77\begin{equation}\label{eq:36:panel}78y_{it} = \mathbf{x}_{it}\T\boldsymbol\beta + \alpha_i + \lambda_t + \varepsilon_{it}, \qquad i = 1, \dots, N,\ t = 1, \dots, T ,79\end{equation}80où $y_{it}$ est, dans notre cas, le logarithme du revenu net d'exploitation, $\mathbf{x}_{it}$ un vecteur de variables qui varient dans le temps (dont le traitement $D_{it}$), $\alpha_i$ un \motcle{effet fixe d'unité} qui absorbe tout ce qui est propre à l'immeuble et constant sur la période (taille, localisation, qualité de construction, qualité du gestionnaire, et tout ce que l'on ne mesure pas), $\lambda_t$ un \motcle{effet fixe de période} qui absorbe tout ce qui est commun à tous les immeubles à la date $t$ (cycle, inflation, taux, choc pandémique), et $\varepsilon_{it}$ un terme idiosyncrasique. Dans la notation du modèle hédonique de référence (\cref{eq:18:semilog}), $\alpha_i$ joue le rôle des effets spatiaux $\mu_{s(i)}$ portés à leur granularité la plus fine, l'immeuble lui-même, et $\lambda_t$ celui des effets temporels $\tau_t$. La différence essentielle est que $\alpha_i$ n'est pas une indicatrice de secteur, partagée par des dizaines de ventes, mais une constante propre à chaque unité, identifiée uniquement parce que l'unité est observée plusieurs fois.8182\subsection{Effets fixes ou aléatoires}8384Deux traitements de $\alpha_i$ sont possibles. Le modèle à \motcle{effets aléatoires} suppose que $\alpha_i$ est un tirage indépendant des régresseurs, $\E[\alpha_i \mid \mathbf{x}_{i1}, \dots, \mathbf{x}_{iT}] = 0$ ; il l'intègre au terme d'erreur et estime $\boldsymbol\beta$ par moindres carrés généralisés, avec le gain d'efficacité qu'apporte l'exploitation de la variation entre unités. Le modèle à \motcle{effets fixes} ne suppose rien sur la corrélation entre $\alpha_i$ et les régresseurs : il traite $\alpha_i$ comme $N$ paramètres à éliminer ou à estimer. Le choix n'est pas une affaire de goût mais d'hypothèse : si les immeubles exposés au traitement diffèrent de façon permanente des autres pour des raisons que l'on ne mesure pas, ce qui est la règle, $\alpha_i$ est corrélé avec $D_{it}$, et l'estimateur à effets aléatoires est biaisé exactement par le terme de sélection de l'\cref{eq:36:selection}. \textcite{wooldridge2010} présente le test de Hausman, qui compare les deux estimateurs : s'ils diffèrent au-delà de ce que l'échantillonnage explique, l'hypothèse des effets aléatoires est rejetée. En évaluation, la question se tranche presque toujours en faveur des effets fixes, parce que la sélection sur des caractéristiques permanentes inobservées est le problème que les données de panel servent à résoudre ; l'efficacité perdue est le prix de la crédibilité. Les effets aléatoires gardent leur place lorsque l'objectif est la prédiction, par exemple pour emprunter de l'information entre immeubles voisins, ce qui rejoint les modèles hiérarchiques du \cref{ch:39}.8586\subsection{L'estimateur within}8788Éliminer $\alpha_i$ est simple : il suffit de retrancher à chaque variable sa moyenne temporelle par unité. En notant $\bar y_i = T^{-1}\sum_t y_{it}$ et de même pour $\bar{\mathbf{x}}_i$, $\bar\lambda$ et $\bar\varepsilon_i$, l'\cref{eq:36:panel} moyennée sur $t$ donne $\bar y_i = \bar{\mathbf{x}}_i\T\boldsymbol\beta + \alpha_i + \bar\lambda + \bar\varepsilon_i$, et la différence89\begin{equation}\label{eq:36:within}90\ddot y_{it} \equiv y_{it} - \bar y_i = (\mathbf{x}_{it} - \bar{\mathbf{x}}_i)\T\boldsymbol\beta + (\lambda_t - \bar\lambda) + (\varepsilon_{it} - \bar\varepsilon_i) = \ddot{\mathbf{x}}_{it}\T\boldsymbol\beta + \ddot\lambda_t + \ddot\varepsilon_{it}91\end{equation}92ne contient plus $\alpha_i$. C'est la \motcle{transformation within} : seule la variation \emph{à l'intérieur} de chaque unité au fil du temps est conservée, et toute variation \emph{entre} unités est éliminée avec les effets fixes. Une variable constante dans le temps pour chaque immeuble (sa superficie, sa RMR, son année de construction) disparaît avec $\alpha_i$ et son coefficient n'est pas identifié, ce qui est la contrepartie logique de la méthode : on ne peut pas à la fois absorber tout ce qui est permanent et mesurer l'effet d'une chose permanente. Les effets de période se traitent par des indicatrices sur les données transformées ou, dans un panel cylindré, par une seconde soustraction, $y_{it} - \bar y_i - \bar y_t + \bar y$, qui élimine $\lambda_t$ de la même manière ; on parle alors d'\motcle{effets fixes bidirectionnels} (TWFE, \emph{two-way fixed effects}).9394\begin{proposition}{Estimateur within et indicatrices}{36-within}95L'estimateur des moindres carrés de $\boldsymbol\beta$ sur les données transformées,96\begin{equation}\label{eq:36:within-est}97\hat{\boldsymbol\beta}_{W} = \Big(\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} \ddot{\mathbf{x}}_{it}\ddot{\mathbf{x}}_{it}\T\Big)^{-1} \sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} \ddot{\mathbf{x}}_{it}\,\ddot y_{it} ,98\end{equation}99est identique à l'estimateur des moindres carrés de $\boldsymbol\beta$ dans la régression de $y_{it}$ sur $\mathbf{x}_{it}$ et $N$ indicatrices d'unité (estimateur dit « LSDV », \emph{least squares dummy variables}). Il est sans biais et convergent lorsque $\E[\varepsilon_{it} \mid \mathbf{x}_{i1}, \dots, \mathbf{x}_{iT}, \alpha_i] = 0$ pour tout $t$ (exogénéité stricte).100\end{proposition}101\begin{proof}102Soit $\mathbf{Q} = \mathbf{I}_{NT} - \mathbf{P}_\Delta$, où $\mathbf{P}_\Delta = \boldsymbol\Delta(\boldsymbol\Delta\T\boldsymbol\Delta)^{-1}\boldsymbol\Delta\T$ est la projection sur l'espace engendré par la matrice $\boldsymbol\Delta$ ($NT \times N$) des indicatrices d'unité. Pour un panel cylindré, $(\boldsymbol\Delta\T\boldsymbol\Delta)^{-1} = T^{-1}\mathbf{I}_N$ et $\mathbf{P}_\Delta \mathbf{y}$ remplace chaque $y_{it}$ par $\bar y_i$ ; donc $\mathbf{Q}\mathbf{y} = \ddot{\mathbf{y}}$ et $\mathbf{Q}\mathbf{X} = \ddot{\mathbf{X}}$. Par le théorème de Frisch--Waugh--Lovell, le coefficient de $\mathbf{X}$ dans la régression de $\mathbf{y}$ sur $[\mathbf{X}, \boldsymbol\Delta]$ est $(\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{y}$, et comme $\mathbf{Q}$ est symétrique et idempotente, $\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{X} = \ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\mathbf{X}}$ et $\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{y} = \ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\mathbf{y}}$, ce qui est l'\cref{eq:36:within-est}. Pour l'absence de biais, $\hat{\boldsymbol\beta}_W - \boldsymbol\beta = (\ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\mathbf{X}})^{-1}\ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\boldsymbol\varepsilon}$ et $\E[\ddot\varepsilon_{it} \mid \mathbf{X}] = 0$ sous exogénéité stricte, puisque $\ddot\varepsilon_{it}$ est une combinaison des $\varepsilon_{is}$ de toutes les périodes $s$ de la même unité.103\end{proof}104105L'hypothèse d'\motcle{exogénéité stricte} mérite attention parce qu'elle est plus forte que l'exogénéité contemporaine du modèle hédonique : l'erreur de la période $t$ ne doit être corrélée avec le traitement à \emph{aucune} période, passée ou future. Elle est violée si le traitement répond aux chocs passés, par exemple si une municipalité rezone un îlot \emph{parce que} ses prix ont chuté, ou si les propriétaires anticipent la mise en service et agissent avant. L'étude d'événement de la \cref{sec:36:did} est le diagnostic naturel de ces violations. Dans l'\cref{eq:36:within-est}, les degrés de liberté de la variance résiduelle sont $NT - N - K$ et non $NT - K$, puisque $N$ moyennes ont été estimées ; les logiciels de panel l'appliquent, et une régression sur données transformées « à la main » doit le corriger. La bibliothèque de l'ouvrage (\texttt{traite.panel}, fonctions \texttt{within}, \texttt{within\_deux\_voies}, \texttt{estimateur\_within} et \texttt{twfe}) met en œuvre les deux voies et vérifie leur égalité.106107\subsection{Erreurs-types robustes aux grappes}108109Les observations d'un même immeuble ne sont pas indépendantes. Le revenu net d'un trimestre dépend des baux signés les trimestres précédents, des dépenses engagées, de la conjoncture locale ; les séries du cas 4 sont, par construction, des marches aléatoires autour d'une tendance régionale, et leurs écarts à l'\cref{eq:36:panel} sont donc fortement autocorrélés. La variance des moindres carrés sous indépendance, $\hat\sigma^2(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$, et sa version robuste à l'hétéroscédasticité HC1 (\cref{eq:18:hc1}) ignorent cette dépendance et surestiment la précision, parfois de beaucoup. Le remède standard consiste à regrouper les observations en \motcle{grappes} (\emph{clusters}) à l'intérieur desquelles toute corrélation est permise, les grappes étant indépendantes entre elles. Avec $G$ grappes indexées par $g$, $\mathbf{X}_g$ et $\mathbf{e}_g$ les lignes de la matrice des régresseurs et des résidus de la grappe $g$, l'estimateur de la variance est110\begin{equation}\label{eq:36:grappes}111\widehat{\Var}(\hat{\boldsymbol\beta}) = c\,(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\Big(\sum_{g=1}^{G} \mathbf{X}_g\T\mathbf{e}_g\mathbf{e}_g\T\mathbf{X}_g\Big)(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}, \qquad c = \frac{G}{G-1}\cdot\frac{NT-1}{NT-K} ,112\end{equation}113dit « sandwich » parce que la matrice centrale est prise entre deux inverses. Le terme $\mathbf{X}_g\T\mathbf{e}_g\mathbf{e}_g\T\mathbf{X}_g$ contient tous les produits croisés $e_{it}e_{is}$ de la grappe et capte donc l'autocorrélation ; lorsque chaque grappe se réduit à une observation, la formule redonne HC1. Le facteur $c$ est la correction d'échantillon fini usuelle (dite CR1). La grappe naturelle d'un panel d'immeubles est l'immeuble ; lorsque le traitement est attribué à un niveau plus agrégé (toutes les maisons d'un îlot rezoné, tous les immeubles d'une municipalité), la grappe doit être ce niveau, parce que c'est là que réside la variation qui identifie l'effet. La formule n'est fiable que si $G$ est grand, disons plusieurs dizaines ; avec quelques grappes seulement, elle sous-estime encore la variance et des corrections supplémentaires s'imposent, que \textcite{wooldridge2010} et \textcite{angristPischke2009} discutent.114115L'ordre de grandeur de la correction se lit sur une formule approchée. Si chaque grappe compte $m$ observations dont les erreurs ont une corrélation intra-grappe $\rho$ et si le régresseur est constant dans la grappe, le rapport des variances exacte et naïve est116\begin{equation}\label{eq:36:moulton}117\frac{\Var_{\text{grappes}}(\hat\beta)}{\Var_{\text{naïve}}(\hat\beta)} \approx 1 + (m - 1)\rho ,118\end{equation}119de sorte que les erreurs-types sont multipliées par la racine de ce facteur. Avec $m = 42$ trimestres et une corrélation intra-immeuble de $0{,}5$, les erreurs-types naïves doivent être multipliées par environ $4{,}6$ ; l'exemple intégral retrouve des rapports de cet ordre. Une alternative à la pondération par grappes consiste à agréger les données au niveau de la grappe avant d'estimer, par exemple en réduisant chaque immeuble à une différence « après moins avant » : la régression porte alors sur $N$ observations indépendantes et les erreurs-types ordinaires redeviennent valides. C'est la voie que nous suivons pour l'estimateur à deux périodes.120121\section{Doubles différences}\label{sec:36:did}122123\subsection{Le cas élémentaire à deux groupes et deux périodes}124125Le plan le plus simple comporte un groupe traité $\mathcal{T}$, un groupe témoin $\mathcal{C}$, une période « avant » ($t = 0$) où personne n'est traité et une période « après » ($t = 1$) où seul le groupe traité l'est. L'estimateur des \motcle{doubles différences} (ou différence de différences, DiD, \emph{difference-in-differences}) a été introduit au \cref{ch:08} pour mesurer l'effet d'un rezonage (\cref{eq:8:did}) ; nous en établissons ici les conditions de validité. En termes de résultats potentiels, la quantité visée est l'ATT de la période 1, $\E[Y_{1}(1) - Y_{1}(0) \mid \mathcal{T}]$, dont le second terme est inobservé. L'hypothèse qui l'identifie est celle des \motcle{tendances parallèles} :126\begin{equation}\label{eq:36:paralleles}127\E[Y_1(0) - Y_0(0) \mid \mathcal{T}] = \E[Y_1(0) - Y_0(0) \mid \mathcal{C}] ,128\end{equation}129c'est-à-dire qu'en l'absence de traitement, le résultat du groupe traité aurait évolué, en moyenne, comme celui du groupe témoin. Elle ne suppose pas que les deux groupes se ressemblent en niveau, ni que les traités ont été choisis au hasard ; elle suppose que ce qui les distingue est stable dans le temps. Sous cette hypothèse, et avec $Y_0(0)$ observé pour les deux groupes puisque personne n'est traité en $t = 0$,130\begin{equation}\label{eq:36:did-id}131\begin{aligned}132\mathrm{ATT} &= \E[Y_1 \mid \mathcal{T}] - \E[Y_1(0) \mid \mathcal{T}] \\133&= \E[Y_1 \mid \mathcal{T}] - \big\{\E[Y_0 \mid \mathcal{T}] + \E[Y_1(0) - Y_0(0) \mid \mathcal{T}]\big\} \\134&= \E[Y_1 \mid \mathcal{T}] - \E[Y_0 \mid \mathcal{T}] - \big\{\E[Y_1 \mid \mathcal{C}] - \E[Y_0 \mid \mathcal{C}]\big\} ,135\end{aligned}136\end{equation}137où la dernière ligne remplace la tendance contrefactuelle des traités par la tendance observée des témoins, en vertu de l'\cref{eq:36:paralleles}. Chaque terme de la dernière ligne est une moyenne d'échantillon, et l'estimateur $\hat\delta_{2\times 2}$ de l'\cref{eq:8:did} en est la contrepartie empirique. La dérivation montre ce que la méthode fait exactement : elle emprunte aux témoins leur évolution pour reconstruire ce que les traités auraient connu. Elle montre aussi ce qu'elle exige : si les traités étaient sur une trajectoire différente pour une raison étrangère au traitement, l'estimateur attribue au traitement cette différence de trajectoire, tout entière.138139Lorsque la variable dépendante est en logarithme, comme ici, les tendances parallèles portent sur les logarithmes, c'est-à-dire sur les taux de croissance, et l'effet s'interprète comme une proportion : $100\,[\exp(\hat\delta) - 1]$ pour cent, soit $4{,}08$ \% pour $\hat\delta = 0{,}04$. L'hypothèse n'est pas invariante à cette transformation : des groupes dont les revenus croissent du même pourcentage ont des tendances parallèles en logarithme mais pas en niveau, et réciproquement. Le choix de l'échelle fait partie de l'hypothèse d'identification et doit être justifié par le mécanisme supposé ; en immobilier, où les chocs de marché sont proportionnels, le logarithme est presque toujours le bon choix.140141La version par régression, $y_{it} = \alpha + \beta\,\mathrm{tr}_i + \gamma\,\mathrm{après}_t + \delta\,(\mathrm{tr}_i \times \mathrm{après}_t) + \varepsilon_{it}$ (\cref{eq:8:did-reg}), reproduit exactement l'\cref{eq:8:did} dans le cas $2 \times 2$ équilibré et permet d'ajouter des covariables. Avec des données de panel, on lui préfère la forme à effets fixes,142\begin{equation}\label{eq:36:did-twfe}143y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \delta\, D_{it} + \varepsilon_{it} ,144\end{equation}145qui généralise l'indicatrice de groupe en un effet fixe par unité et celle de période en un effet par date, et qui s'étend immédiatement à plusieurs périodes. Pour l'inférence, l'autocorrélation des erreurs impose les erreurs-types en grappes de l'\cref{eq:36:grappes} ou, de façon équivalente et plus transparente dans le cas $2 \times 2$, l'agrégation : on calcule pour chaque unité la différence longue $\Delta y_i = \bar y_{i,\text{après}} - \bar y_{i,\text{avant}}$ sur les fenêtres retenues, puis on régresse $\Delta y_i$ sur l'indicatrice de traitement ; le coefficient est $\hat\delta_{2\times 2}$ et son erreur-type HC1 est valide quelle que soit la dépendance intra-unité.146147\subsection{Éprouver les tendances parallèles : placebos et étude d'événement}148149L'hypothèse de l'\cref{eq:36:paralleles} porte sur un contrefactuel et n'est pas testable directement. Elle est cependant \emph{falsifiable} par ses implications sur les périodes où personne n'est traité : si les deux groupes évoluaient parallèlement avant le traitement, un estimateur de doubles différences appliqué à deux périodes antérieures au traitement doit donner zéro. C'est le \motcle{test placebo} temporel : on déplace fictivement la date du traitement dans le passé et l'on vérifie que l'« effet » estimé est nul aux erreurs d'échantillonnage près. Un placebo significatif est un signal d'alarme ; un placebo nul est rassurant sans être une preuve, parce que la divergence peut commencer avec le traitement, par exemple si l'exposition a été décidée en réaction à un événement contemporain.150151L'\motcle{étude d'événement} (\emph{event study}) généralise ce test et donne, en plus, la dynamique de l'effet. Soit $g_i$ la première période où l'unité $i$ est traitée et $k = t - g_i$ le temps écoulé depuis l'événement, négatif avant, nul à la date de l'événement, positif après. On estime152\begin{equation}\label{eq:36:event}153y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \sum_{\substack{k = \underline{k} \\ k \neq -1}}^{\overline{k}} \delta_k\, \ind[t - g_i = k] + \varepsilon_{it} ,154\end{equation}155où les indicatrices de temps relatif valent zéro pour les unités jamais traitées, où la période $k = -1$ est omise et sert de référence, et où les extrémités $\underline{k}$ et $\overline{k}$ regroupent toutes les observations plus lointaines (sans ce regroupement, les indicatrices extrêmes ne seraient identifiées que par une poignée d'observations). Chaque $\hat\delta_k$ pour $k \geq 0$ est l'effet $k$ périodes après l'événement, relativement au dernier trimestre avant lui ; chaque $\hat\delta_k$ pour $k < -1$ est un placebo. Le graphique des $\hat\delta_k$ avec leurs intervalles de confiance en grappes est devenu la pièce centrale de toute étude de doubles différences, parce qu'il montre d'un coup d'œil si les coefficients pré-traitement sont plats et proches de zéro (tendances parallèles plausibles), s'ils montent ou descendent régulièrement (tendance différentielle : l'hypothèse est en défaut), et comment l'effet s'installe, culmine ou s'estompe après l'événement. Deux mises en garde. D'abord, l'absence de pré-tendance significative n'établit pas l'hypothèse : les tests de pré-tendance ont souvent peu de puissance, et \textcite{roth2023} rappellent que conditionner l'analyse à leur résultat biaise l'inférence qui suit. Ensuite, le choix de la référence $k = -1$ est arbitraire ; si ce trimestre est, par hasard, un point haut ou bas pour les traités, tous les coefficients en héritent, ce que l'exemple intégral illustre.156157\section{Adoption échelonnée : le problème des effets fixes bidirectionnels}\label{sec:36:echelonne}158159\subsection{Le plan échelonné et l'estimateur TWFE statique}160161Dans la plupart des applications réelles, les unités ne sont pas toutes traitées à la même date. Les stations d'une ligne ouvrent par tronçons, les municipalités adoptent un règlement les unes après les autres, les cartes de zones inondables sont publiées par bassin. Le plan est dit à \motcle{adoption échelonnée} (\emph{staggered adoption}) : les unités se répartissent en \motcle{cohortes} selon leur date de première exposition $g$, et un groupe peut n'être jamais traité. Pendant des décennies, l'usage a été d'estimer l'\cref{eq:36:did-twfe} telle quelle, avec $D_{it} = \ind[t \geq g_i]$, et de lire $\hat\delta$ comme « l'effet moyen du traitement ». Une série de travaux publiés autour de 2020, dont \textcite{goodmanbacon2021}, \textcite{dechaisemartinDhaultfoeuille2020}, \textcite{sunAbraham2021} et \textcite{callawaySantanna2021}, a établi que cette lecture est fausse en général : l'estimateur TWFE statique est une moyenne pondérée de comparaisons $2 \times 2$ dont certaines utilisent des unités \emph{déjà traitées} comme témoins, et ses poids ne correspondent pas aux parts des cohortes dans l'échantillon. Lorsque l'effet du traitement est le même pour toutes les unités et constant dans le temps, le TWFE reste convergent ; dès que l'effet varie entre cohortes ou, surtout, évolue avec le temps écoulé depuis le traitement, il peut s'éloigner considérablement de l'ATT, jusqu'à changer de signe. \textcite{roth2023} offrent la synthèse la plus accessible de cette littérature.162163\subsection{La décomposition de Goodman-Bacon}164165\textcite{goodmanbacon2021} a montré que, dans un panel cylindré sans covariable, l'estimateur TWFE statique s'écrit exactement comme une moyenne pondérée de tous les estimateurs $2 \times 2$ que le plan permet de former. Considérons deux cohortes, une cohorte précoce $k$ traitée à partir de $g_k$ et une cohorte tardive $\ell$ traitée à partir de $g_\ell > g_k$, et un groupe $U$ jamais traité. Trois types de comparaisons existent : chaque cohorte contre les jamais traités ($\hat\beta_{kU}$, $\hat\beta_{\ell U}$), sur l'ensemble de la période ; la cohorte précoce contre la cohorte tardive \emph{avant} que celle-ci ne soit traitée ($\hat\beta_{k\ell}$, fenêtre $t < g_\ell$) ; et la cohorte tardive contre la cohorte précoce \emph{déjà traitée} ($\hat\beta_{\ell k}$, fenêtre $t \geq g_k$). Alors166\begin{equation}\label{eq:36:bacon}167\hat\delta_{\text{TWFE}} = s_{kU}\,\hat\beta_{kU} + s_{\ell U}\,\hat\beta_{\ell U} + s_{k\ell}\,\hat\beta_{k\ell} + s_{\ell k}\,\hat\beta_{\ell k}, \qquad s_{kU} + s_{\ell U} + s_{k\ell} + s_{\ell k} = 1 ,168\end{equation}169où les poids dépendent des tailles relatives des groupes et de la part de la période pendant laquelle chacun est traité. En notant $n_k$ la part des unités dans la cohorte $k$, $\bar D_k$ la part des périodes où elle est traitée, $n_{kU} = n_k/(n_k + n_U)$ et $\hat V^D$ la variance de $D_{it}$ après double centrage,170\begin{equation}\label{eq:36:bacon-poids}171s_{kU} = \frac{(n_k + n_U)^2\, n_{kU}(1 - n_{kU})\, \bar D_k (1 - \bar D_k)}{\hat V^D}, \qquad172s_{\ell k} = \frac{\big[(n_k + n_\ell)\bar D_k\big]^2\, n_{k\ell}(1 - n_{k\ell})\, \dfrac{\bar D_\ell}{\bar D_k}\cdot\dfrac{\bar D_k - \bar D_\ell}{\bar D_k}}{\hat V^D} ,173\end{equation}174et de façon analogue pour $s_{k\ell}$ ; le théorème s'étend à un nombre quelconque de cohortes. La leçon se lit dans les poids : chaque comparaison pèse d'autant plus que les groupes qu'elle oppose sont grands et que la variance de son traitement dans sa fenêtre, $\bar D(1 - \bar D)$, est élevée, c'est-à-dire que le traitement survient au milieu de la fenêtre. Les cohortes traitées au milieu de la période reçoivent donc un poids disproportionné, et les unités jamais traitées, qui ne contribuent qu'aux comparaisons du premier type, peuvent peser moins que leur nombre ne le suggère.175176Le danger réside dans la comparaison $\hat\beta_{\ell k}$. Dans sa fenêtre, la cohorte précoce est déjà traitée et sert de témoin ; si son effet évolue encore, cette évolution est retranchée de l'effet mesuré pour la cohorte tardive. Sous tendances parallèles, on montre que177\begin{equation}\label{eq:36:interdite}178\E[\hat\beta_{\ell k}] = \mathrm{ATT}_\ell - \Big(\overline{\delta}_k^{\,t \geq g_\ell} - \overline{\delta}_k^{\,g_k \leq t < g_\ell}\Big) ,179\end{equation}180où le terme entre parenthèses est la variation de l'effet moyen de la cohorte précoce entre les deux sous-fenêtres. Si l'effet du traitement croît avec le temps écoulé, ce que l'on attend d'une infrastructure dont le voisinage se densifie, ou d'un revenu net qui ne s'ajuste qu'au renouvellement des baux, cette variation est positive et $\hat\beta_{\ell k}$ sous-estime l'ATT de la cohorte tardive, éventuellement jusqu'à devenir négatif alors que tous les effets individuels sont positifs. C'est la \motcle{comparaison interdite} (\emph{forbidden comparison}) de la littérature. Le poids $s_{\ell k}$ étant positif, le TWFE hérite d'une partie de ce biais ; la décomposition permet de le quantifier, et le \cref{ex:36:5} la fait calculer à la main.181182\subsection{L'estimateur de Callaway et Sant'Anna}183184La solution proposée par \textcite{callawaySantanna2021} consiste à ne jamais former de comparaison interdite. On définit d'abord un effet par cohorte et par période, l'\motcle{ATT de cohorte}, puis on agrège explicitement. Pour la cohorte $g$ et la période $t$, avec pour témoins les unités jamais traitées $\mathcal{C}$ (ou, en variante, les unités \emph{pas encore} traitées à la date $t$), et en prenant pour base la dernière période avant le traitement de la cohorte, $g - 1$,185\begin{equation}\label{eq:36:cs}186\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t) = \frac{1}{n_g}\sum_{i \in g} \big(y_{it} - y_{i,g-1}\big) - \frac{1}{n_{\mathcal{C}}}\sum_{i \in \mathcal{C}} \big(y_{it} - y_{i,g-1}\big) .187\end{equation}188Chaque $\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t)$ est un estimateur $2 \times 2$ propre : il compare une cohorte, entre sa dernière période non traitée et la période $t$, à des unités qui ne sont traitées à aucune de ces deux dates. Pour $t < g$, la même formule fournit des placebos. L'hypothèse requise est celle des tendances parallèles entre chaque cohorte et ses témoins, et elle peut être restreinte aux témoins d'une même strate, par exemple d'une même RMR, lorsque les tendances régionales diffèrent ; c'est ce que fait l'exemple intégral. Les agrégations usuelles sont l'effet par cohorte, l'effet dynamique par temps relatif et l'effet global :189\begin{equation}\label{eq:36:cs-agreg}190\begin{aligned}191\widehat{\mathrm{ATT}}_g &= \frac{1}{T - g + 1}\sum_{t \geq g}\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t), \qquad192\widehat{\mathrm{ATT}}(k) = \sum_{g} w_{g,k}\,\widehat{\mathrm{ATT}}(g, g + k), \\193\widehat{\mathrm{ATT}} &= \sum_g \frac{n_g}{\sum_{g'} n_{g'}}\,\widehat{\mathrm{ATT}}_g ,194\end{aligned}195\end{equation}196où $w_{g,k}$ est la part de la cohorte $g$ parmi les cohortes observées $k$ périodes après leur traitement. Chaque agrégation est une moyenne à poids positifs et connus d'effets bien définis, ce qui est précisément ce que le TWFE statique ne garantit pas. L'inférence repose sur un bootstrap par blocs d'unités, qui respecte l'autocorrélation intra-immeuble ; la mise en œuvre de la bibliothèque (\texttt{traite.panel.callaway\_santanna}) rééchantillonne séparément chaque cohorte et chaque strate de témoins afin de conserver le plan. L'estimateur de \textcite{sunAbraham2021} poursuit le même but dans le cadre d'une régression, en interagissant les indicatrices de temps relatif avec les indicatrices de cohorte puis en agrégeant ; celui de \textcite{dechaisemartinDhaultfoeuille2020} généralise aux traitements qui s'allument et s'éteignent. Dans un plan simple comme celui de ce chapitre, deux cohortes et un groupe jamais traité, les trois approches donnent des résultats très voisins ; la version par cohortes a l'avantage de la transparence, chaque chiffre se recalculant à la main comme une différence de deux moyennes.197198\section{Discontinuité spatiale et contrôle synthétique}\label{sec:36:autres}199200\subsection{La frontière comme expérience : discontinuité spatiale}201202Certains traitements sont définis par une ligne sur une carte : la limite d'une zone au règlement de zonage, celle d'une zone inondable cartographiée, celle d'un arrondissement soumis à un règlement particulier, celle d'un territoire scolaire. Deux immeubles situés de part et d'autre de la ligne, à quelques dizaines de mètres l'un de l'autre, partagent le même voisinage, les mêmes commerces, la même accessibilité, le même microclimat de marché ; ce qui les sépare est la règle, et seulement la règle. L'idée de la \motcle{discontinuité spatiale} (\emph{spatial regression discontinuity}) est d'estimer le saut de la fonction de prix à la frontière, en supposant que tous les autres déterminants de la valeur y sont continus. Soit $x_i$ la distance signée de l'immeuble $i$ à la frontière, négative d'un côté et positive de l'autre, et $c = 0$ la frontière ; l'estimateur local linéaire à noyau est la régression pondérée203\begin{equation}\label{eq:36:rdd}204y_i = a + \tau\,\ind[x_i \geq 0] + b\,x_i + d\,\ind[x_i \geq 0]\,x_i + \eta_i, \qquad \text{poids } K\!\left(\frac{x_i}{h}\right) ,205\end{equation}206où $K$ est un noyau décroissant (triangulaire, $K(u) = \max(1 - \abs{u}, 0)$) et $h$ une bande passante ; $\hat\tau$ est le saut à la frontière, $b$ et $b + d$ les pentes de chaque côté. La régression n'utilise que les immeubles à moins de $h$ de la frontière, et plus ils en sont proches, plus ils pèsent. Le choix de $h$ reproduit l'arbitrage biais--variance du \cref{ch:16} : une bande étroite n'utilise que des immeubles comparables mais peu nombreux ; une bande large gagne en précision et perd en comparabilité, puisque les pentes linéaires approchent de moins en moins bien la vraie fonction de prix. On présente toujours l'estimation pour plusieurs bandes.207208Trois menaces propres à la frontière doivent être examinées. Premièrement, d'autres règles peuvent changer à la même ligne : une limite de zone est souvent aussi une limite d'arrondissement, de territoire scolaire ou de taux de taxe, et le saut mesuré agrège tous ces changements. Deuxièmement, les immeubles peuvent se trier autour de la frontière : si la règle existe depuis longtemps, le bâti de chaque côté s'y est adapté (duplex d'un côté, unifamiliales de l'autre) et la discontinuité des caractéristiques du bâti contamine celle des prix ; on vérifie que les caractéristiques observables sont continues à la frontière, et l'on compare à caractéristiques égales. Troisièmement, les effets de la règle peuvent déborder la ligne, par exemple si la zone dense nuit aux maisons immédiatement voisines de l'autre côté ; le saut mesure alors une différence entre deux effets et non l'effet d'un seul côté. \textcite{cunningham2021} présente le cadre général de la discontinuité et ses diagnostics ; dans sa version spatiale, elle est un complément naturel des ventes appariées du \cref{ch:17}, dont elle est la limite lorsque les paires se resserrent sur une ligne.209210\subsection{Le contrôle synthétique}211212Lorsqu'une seule unité est traitée, ou lorsque le traité est un agrégat (un quartier, une municipalité, une cohorte entière), aucun témoin unique n'a de raison d'avoir suivi la même trajectoire, et la moyenne des témoins n'en a pas davantage. \textcite{abadieDiamondHainmueller2010} proposent de construire le témoin : le \motcle{contrôle synthétique} est la combinaison convexe des unités non traitées, dites \motcle{donneurs}, qui reproduit le mieux la trajectoire du traité avant le traitement. Avec $J$ donneurs dont les séries forment la matrice $\mathbf{Y}^0$ ($T \times J$), le traité $\mathbf{y}^1$ et $T_0$ périodes pré-traitement, les poids résolvent213\begin{equation}\label{eq:36:synth}214\hat{\mathbf{w}} = \argmin_{\mathbf{w}} \sum_{t = 1}^{T_0}\Big(y^1_t - \sum_{j=1}^{J} w_j\, Y^0_{jt}\Big)^2 \quad \text{sous } w_j \geq 0,\ \sum_j w_j = 1 ,215\end{equation}216et l'effet à la période $t > T_0$ est l'écart $y^1_t - \sum_j \hat w_j Y^0_{jt}$. Les deux contraintes sont la substance de la méthode : la positivité et la somme unitaire interdisent l'extrapolation, de sorte que le contrefactuel reste à l'intérieur de l'enveloppe des trajectoires observées et que les poids se lisent comme la composition d'un portefeuille de témoins, interprétable et discutable. La version originale ajoute des prédicteurs (caractéristiques moyennes pré-traitement) à l'ajustement ; la version réduite à la trajectoire suffit lorsque $T_0$ est long, ce qui est notre cas avec 26 trimestres. Lorsque les niveaux des unités diffèrent fortement, comme les revenus d'immeubles de 6 et de 72 logements, on ajuste les séries centrées sur leur moyenne pré-traitement, ce qui revient à ajouter une constante au modèle et à ne demander aux donneurs que de reproduire la \emph{forme} de la trajectoire.217218L'inférence ne passe pas par une erreur-type classique mais par des \motcle{placebos dans l'espace} : on applique la méthode à chaque donneur comme s'il avait été traité à la même date, et l'on compare l'écart post-traitement du vrai traité à la distribution des écarts obtenus pour les donneurs. La statistique usuelle est le rapport de l'erreur quadratique moyenne post-traitement à celle de la période pré-traitement (RMSPE), qui pénalise les unités mal ajustées avant le traitement ; si le traité a le plus grand rapport parmi $J + 1$ unités, la valeur $p$ de permutation est $1/(J + 1)$. La méthode exige un bassin de donneurs qui ne soient pas eux-mêmes affectés par le traitement, directement ou par débordement, et dont l'enveloppe contienne le traité ; un ajustement pré-traitement médiocre, visible au RMSPE, est le premier signe que l'exercice n'est pas fiable.219220\section{Exemple intégral : un choc simulé sur le portefeuille du cas 4}\label{sec:36:exemple}221222\begin{synthetique}223Les séries trimestrielles de revenu net d'exploitation des 48 immeubles du cas 4 (\texttt{data/synthetic/cas4\_portefeuille\_series.csv}, 2016T1 à 2026T2) sont fictives : \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) les engendre comme une tendance de croissance propre à chaque RMR, une marche aléatoire d'écart-type 1,5 \% par trimestre et un choc pandémique de $-3$ \% de 2020T2 à 2021T2, selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md}. Le présent chapitre les prend telles quelles comme résultats potentiels \emph{sans} traitement, $Y_{it}(0)$, et leur superpose un traitement dont l'effet est déclaré : huit immeubles de la RMR de Montréal (P04, P06, P11, P14, P20, P21, P28 et P42, tirés au hasard parmi les dix-sept) sont réputés desservis par une ligne de transport collectif fictive mise en service au troisième trimestre de 2022 ; cinq immeubles de la RMR de Gatineau (P10, P24, P29, P33 et P37, parmi huit) le sont par un second tronçon fictif au troisième trimestre de 2024 ; les 35 autres ne sont jamais traités. L'effet sur le logarithme du revenu net est, pour les deux cohortes, $\delta(k) = 0{,}01\,(k + 1)$ pour $k = 0, \dots, 3$ trimestres après la mise en service, puis $\delta(k) = 0{,}04 + 0{,}0025\,(k - 3)$ pour $k \geq 4$ : le régime de $+4$ \% est atteint après un an, au rythme du renouvellement des baux, puis l'effet croît lentement avec la valorisation du voisinage. Ces chiffres sont des hypothèses pédagogiques, non des mesures d'un projet réel ; aucune ligne, aucun tronçon ni aucun immeuble n'existe. Tous les résultats de cette section sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fondés sur les fonctions de \texttt{traite.panel}, et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch36.py} ; le contrôle croisé avec \texttt{linearmodels} et \texttt{statsmodels} (option \texttt{-{}-controle}) reproduit coefficients et erreurs-types à $10^{-6}$ près pour les coefficients et à $1$ \% près pour les erreurs-types en grappes (différence de correction d'échantillon fini).224\end{synthetique}225226\begin{figure}[htbp]227\centering228\resizebox{\textwidth}{!}{%229\begin{tikzpicture}[x=2.6mm, y=1cm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}]230% axe du temps : t = 0 (2016T1) … 41 (2026T2)231\draw[->, thick, brandGray] (0,0) -- (43,0) node[right, text=brandGray] {trimestre};232\foreach \t/\l in {0/2016T1, 8/2018T1, 16/2020T1, 24/2022T1, 32/2024T1, 40/2026T1} {\draw[brandGray] (\t,0.08) -- (\t,-0.08) node[below, text=brandGray] {\l};}233% bandes de traitement234\fill[brandPrimary!25] (26,0.55) rectangle (42,1.05); \draw[brandPrimary, thick] (26,0.55) -- (26,1.05);235\node[left] at (-0.5,0.8) {Cohorte A (8 immeubles, Montréal)};236\node at (34,0.8) {traitée dès 2022T3 ($k = 0$ à $15$)};237\fill[brandSecondary!35] (34,1.25) rectangle (42,1.75); \draw[brandSecondary!80!black, thick] (34,1.25) -- (34,1.75);238\node[left] at (-0.5,1.5) {Cohorte B (5 immeubles, Gatineau)};239\node at (38,1.5) {dès 2024T3};240\node[left] at (-0.5,2.2) {Jamais traités (35 immeubles, 6 RMR)};241\draw[brandGray, dashed] (0,2.2) -- (42,2.2);242% fenêtres du 2 x 2243\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt}, brandDark] (22,-0.95) -- (25.9,-0.95) node[midway, below=3pt, text=brandDark, xshift=-6mm] {avant (2021T3--2022T2)};244\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt}, brandDark] (30,-0.95) -- (33.9,-0.95) node[midway, below=3pt, text=brandDark, xshift=6mm] {après (2023T3--2024T2)};245\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt, mirror}, brandGray] (10,0.3) -- (17.9,0.3) node[midway, above=3pt, text=brandGray] {placebo (2019T3)};246\end{tikzpicture}}247\caption{Chronologie du plan simulé : deux cohortes traitées à des dates différentes, un groupe jamais traité, et les fenêtres retenues pour l'estimateur $2 \times 2$ (deuxième année après la mise en service, lorsque le régime déclaré est atteint) et pour le placebo temporel.}\label{fig:36:chronologie}248\figsource{Schéma de l'auteur ; plan décrit dans \texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}.}249\end{figure}250251\begin{exemple}{Cinq estimateurs confrontés à un effet connu}{choc-cas4}252L'exemple procède en huit étapes : description du plan et des trajectoires ; doubles différences $2 \times 2$ et placebo ; effets fixes bidirectionnels et erreurs-types ; étude d'événement ; décomposition de Goodman-Bacon ; estimateur de Callaway et Sant'Anna ; contrôle synthétique ; discontinuité spatiale sur une simulation annexe. Chaque estimateur vise une cible précise (effet moyen global, effet d'une cohorte, effet sur une fenêtre, effet dynamique) et doit être comparé à la vérité correspondante, non à un effet « en général » ; le \cref{tab:36:bilan} rassemble les résultats et leurs cibles.253\end{exemple}254255\paragraph{Étape 1 : le plan et la vérité} La \cref{fig:36:chronologie} résume le plan. L'effet moyen vrai sur les observations traitées, c'est-à-dire l'ATT de l'\cref{eq:36:att} pris sur l'ensemble des trimestres post-traitement des deux cohortes, vaut $0{,}0454$ en logarithme : $0{,}0484$ pour la cohorte A, qui compte seize trimestres de traitement et atteint $\delta(15) = 0{,}07$ au dernier, et $0{,}0356$ pour la cohorte B, qui n'en compte que huit. Sur la fenêtre « après » de l'estimateur $2 \times 2$, la deuxième année suivant la mise en service de la cohorte A ($k = 4$ à $7$), l'effet vrai moyen est de $0{,}0462$. La \cref{fig:36:trajectoires} montre les trajectoires moyennes : le logarithme du revenu net des immeubles traités de Montréal se détache de celui des neuf immeubles témoins de la même RMR après 2022T3, et la courbe en pointillé, qui retranche l'effet déclaré, indique ce que les traités auraient connu sans traitement ; le lecteur voit que ce contrefactuel n'est pas exactement parallèle aux témoins, parce que les marches aléatoires de huit immeubles et de neuf autres ne s'annulent pas, et c'est tout le problème.256257\begin{figure}[htbp]258\centering259\includegraphics[width=\textwidth]{ch36/ch36-fig-trajectoires.pdf}260\caption{Logarithme moyen du revenu net d'exploitation, en écart à 2016T1, des immeubles traités et des témoins jamais traités de la même RMR. (a) Montréal, cohorte A traitée dès 2022T3 ; (b) Gatineau, cohorte B traitée dès 2024T3. Le pointillé est la trajectoire des traités débarrassée de l'effet déclaré, c'est-à-dire le contrefactuel $Y(0)$ que seul un jeu simulé permet de tracer. Les groupes ne sont pas rigoureusement parallèles : les marches aléatoires idiosyncrasiques ne s'annulent pas sur huit ou neuf immeubles.}\label{fig:36:trajectoires}261\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}}262\end{figure}263264\paragraph{Étape 2 : doubles différences $2 \times 2$ et placebo} Le \cref{tab:36:did} donne les quatre moyennes de cellule de l'\cref{eq:8:did} pour la cohorte A, avec pour témoins les neuf immeubles jamais traités de Montréal. Le logarithme moyen du revenu net des traités passe de $10{,}1379$ à $10{,}2450$ entre les deux fenêtres, soit $+0{,}1071$ ; celui des témoins de $10{,}3696$ à $10{,}4234$, soit $+0{,}0538$. La double différence vaut $0{,}0534$, à comparer au vrai $0{,}0462$ : l'erreur, $0{,}0072$, est bien inférieure à l'erreur-type de $0{,}0201$ obtenue par la régression des différences longues de l'\cref{eq:36:did-twfe} (dix-sept observations, HC1). En pourcentage, l'estimation est de $5{,}5$ \% pour un effet vrai de $4{,}7$ \%. Avec les 35 témoins de toutes les RMR, l'estimateur tombe à $0{,}0468$, plus proche encore de la vérité, mais pour une mauvaise raison que la \cref{sec:36:sensibilite} démêle : les tendances régionales des autres RMR ne sont pas celles de Montréal, et deux biais de signe opposé se compensent partiellement. Le placebo temporel, qui place une fausse mise en service en 2019T3 et compare 2018T3--2019T2 à 2019T3--2020T2, donne $0{,}0155$ avec une erreur-type de $0{,}0101$ : non significatif ($t = 1{,}5$), mais pas négligeable, et le signe positif annonce ce que l'étude d'événement va préciser.265266\begin{table}[htbp]267\caption{Doubles différences $2 \times 2$ pour la cohorte A : moyennes de cellule du logarithme du revenu net d'exploitation (données synthétiques)}\label{tab:36:did}268\centering269\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}270\begin{tabular}{lS[table-format=2.4]S[table-format=2.4]S[table-format=1.4]}271\toprule272Groupe & {Avant (2021T3--2022T2)} & {Après (2023T3--2024T2)} & {Différence} \\273\midrule274Traités, Montréal ($n = 8$) & 10.1379 & 10.2450 & 0.1071 \\275Témoins jamais traités, Montréal ($n = 9$) & 10.3696 & 10.4234 & 0.0538 \\276\midrule277Double différence $\hat\delta_{2\times 2}$ & & & 0.0534 \\278Erreur-type (différences longues, HC1) & & & 0.0201 \\279Effet vrai moyen sur la fenêtre & & & 0.0462 \\280\midrule281\multicolumn{4}{l}{\emph{Variante :} témoins jamais traités des six RMR ($n = 35$) : $\hat\delta = 0{,}0468$ (ET $0{,}0177$)} \\282\multicolumn{4}{l}{\emph{Placebo temporel :} fausse mise en service en 2019T3, témoins de Montréal : $\hat\delta = 0{,}0155$ (ET $0{,}0101$)} \\283\bottomrule284\end{tabular}285\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonctions \texttt{did\_deux\_periodes} et \texttt{placebo\_temporel} ; \texttt{traite.panel.did\_2x2}}.}286\end{table}287288\paragraph{Étape 3 : effets fixes bidirectionnels et erreurs-types} Le \cref{tab:36:twfe} estime l'\cref{eq:36:did-twfe} sur les 2 016 observations avec l'indicatrice $D_{it}$ des deux cohortes. Avec des effets de période communs à toutes les RMR, le coefficient vaut $0{,}0905$, le double de l'effet vrai de $0{,}0454$ ; la transformation within bidirectionnelle de l'\cref{eq:36:within} donne exactement le même chiffre, ce qui vérifie la \cref{prop:36-within}. L'écart n'est pas un accident d'échantillonnage : les deux cohortes sont dans les RMR dont le générateur fait croître les revenus le plus vite, Gatineau et Montréal, et un effet de période commun attribue à $D_{it}$ la différence entre leur tendance et la tendance moyenne des six RMR, accumulée sur dix ans. Remplacer les effets de période par des effets RMR $\times$ trimestre, 246 indicatrices qui laissent chaque région suivre sa propre trajectoire, ramène le coefficient à $0{,}0702$. Il reste supérieur à la vérité de $0{,}025$, mais l'erreur-type en grappes est de $0{,}0264$ : l'écart est de l'ordre d'un écart-type, et l'étude d'événement en donnera la raison. Les trois colonnes d'erreurs-types sont la leçon la plus importante du tableau. L'erreur-type classique, $0{,}0054$, et l'erreur-type HC1, $0{,}0064$, supposent 2 016 observations indépendantes ; l'erreur-type en grappes par immeuble, $0{,}0264$, est $4{,}9$ fois plus grande, un rapport conforme à l'\cref{eq:36:moulton} pour $m = 42$ et une corrélation intra-immeuble de l'ordre de $0{,}5$. Quiconque aurait rapporté le premier chiffre aurait annoncé un effet mesuré à $\pm 1$ \% près alors que l'incertitude réelle est de $\pm 5$ \%.289290\begin{table}[htbp]291\caption{Estimateur à effets fixes bidirectionnels de l'effet statique du traitement, selon les effets de période et le calcul des erreurs-types (données synthétiques ; effet vrai moyen $0{,}0454$)}\label{tab:36:twfe}292\centering293\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}294\begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}295\toprule296Spécification & {Paramètres} & {$\hat\delta$} & {ET classique} & {ET HC1} & {ET grappes} \\297\midrule298Effets d'immeuble + trimestre (communs) & 90 & 0.0905 & 0.0047 & 0.0053 & 0.0198 \\299Within bidirectionnel (vérification) & & 0.0905 & & & \\300Effets d'immeuble + RMR $\times$ trimestre & 295 & 0.0702 & 0.0054 & 0.0064 & 0.0264 \\301\bottomrule302\end{tabular}303\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{twfe\_statique} ; \texttt{traite.panel.twfe} et \texttt{mco\_grappes} (CR1, 48 grappes)} ; contrôle croisé \texttt{linearmodels.PanelOLS} et \texttt{statsmodels} (coefficient identique, erreurs-types en grappes $0{,}0196$ et $0{,}0198$).}304\end{table}305306\paragraph{Étape 4 : étude d'événement} La \cref{fig:36:eventstudy}(a) et le \cref{tab:36:event} présentent l'\cref{eq:36:event} avec effets RMR $\times$ trimestre, fenêtre de $-8$ à $+8$ trimestres (les deux extrémités regroupant les observations plus lointaines) et référence $k = -1$. Les coefficients post-traitement suivent le profil déclaré de près : $0{,}0088$ à $k = 0$ pour un vrai $0{,}01$, $0{,}0235$ pour $0{,}02$, $0{,}0312$ pour $0{,}03$, $0{,}0410$ pour $0{,}04$, puis $0{,}0354$, $0{,}0439$, $0{,}0476$ et $0{,}0561$ pour des vrais de $0{,}0425$ à $0{,}05$ ; l'indicatrice regroupée $k \geq 8$, qui ne concerne que la cohorte A, donne $0{,}0817$ pour une vraie moyenne de $0{,}0612$, avec une erreur-type de $0{,}027$ qui traduit l'accumulation des marches aléatoires. La montée en régime sur quatre trimestres, que l'estimateur statique ne pouvait pas voir, est parfaitement lisible. Les coefficients pré-traitement sont tous négatifs, entre $-0{,}007$ et $-0{,}021$, aucun n'est individuellement significatif, et ils n'ont pas de pente marquée : le profil est compatible avec des tendances parallèles, mais il révèle que le trimestre de référence, 2022T2 pour la cohorte A, est un point relativement haut des traités, puisque tous les trimestres antérieurs leur sont inférieurs d'environ $0{,}015$ une fois la tendance régionale retirée. C'est le hasard du tirage des marches aléatoires, et c'est lui qui explique que l'estimateur statique du \cref{tab:36:twfe}, qui compare la moyenne de \emph{tous} les trimestres post-traitement à celle de \emph{tous} les trimestres antérieurs, excède la vérité de $0{,}02$ environ : il hérite du creux pré-traitement. L'étude d'événement, qui mesure tout par rapport à $k = -1$, n'en souffre pas, mais elle en souffrirait si le hasard avait placé le creux en $k = -1$. La leçon est qu'il faut regarder les deux et comprendre d'où vient leur écart, non choisir celle qui arrange.307308\begin{figure}[htbp]309\centering310\includegraphics[width=\textwidth]{ch36/ch36-fig-event-study.pdf}311\caption{Dynamique de l'effet estimé et effet déclaré. (a) Étude d'événement par effets fixes d'immeuble et RMR $\times$ trimestre, référence $k = -1$, bandes à 95 \% par erreurs-types en grappes ; les coefficients de $k = -8$ et $k = +8$ regroupent les observations plus éloignées. (b) Agrégation dynamique de l'estimateur de Callaway et Sant'Anna avec témoins jamais traités de la même RMR, bandes par bootstrap de 499 tirages par blocs d'immeubles. Dans les deux panneaux, la montée en régime sur quatre trimestres est retrouvée ; les coefficients pré-traitement négatifs signalent que le trimestre de référence est un point haut des traités.}\label{fig:36:eventstudy}312\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}}313\end{figure}314315\begin{table}[htbp]316\caption{Coefficients de l'étude d'événement (effets d'immeuble et RMR $\times$ trimestre) et effet déclaré, par trimestre écoulé depuis la mise en service (données synthétiques)}\label{tab:36:event}317\centering318\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}319\begin{tabular}{S[table-format=+1.0]S[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]cS[table-format=+1.0]S[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}320\toprule321{$k$} & {$\hat\delta_k$} & {ET grappes} & {Vrai} & & {$k$} & {$\hat\delta_k$} & {ET grappes} & {Vrai} \\322\midrule323{$\leq -8$} & -0.0175 & 0.0204 & 0 & & 0 & 0.0088 & 0.0060 & 0.0100 \\324-7 & -0.0169 & 0.0173 & 0 & & 1 & 0.0235 & 0.0084 & 0.0200 \\325-6 & -0.0182 & 0.0148 & 0 & & 2 & 0.0312 & 0.0108 & 0.0300 \\326-5 & -0.0121 & 0.0131 & 0 & & 3 & 0.0410 & 0.0138 & 0.0400 \\327-4 & -0.0214 & 0.0140 & 0 & & 4 & 0.0354 & 0.0141 & 0.0425 \\328-3 & -0.0183 & 0.0116 & 0 & & 5 & 0.0439 & 0.0149 & 0.0450 \\329-2 & -0.0073 & 0.0074 & 0 & & 6 & 0.0476 & 0.0155 & 0.0475 \\330-1 & 0 & {(référence)} & 0 & & 7 & 0.0561 & 0.0158 & 0.0500 \\331 & & & & & {$\geq 8$} & 0.0817 & 0.0270 & 0.0612 \\332\bottomrule333\end{tabular}334\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{etude\_evenement} ; \texttt{traite.panel.event\_study}} ; la colonne « vrai » est la moyenne de $\delta(k)$ sur les observations regroupées dans chaque indicatrice.}335\end{table}336337\paragraph{Étape 5 : décomposition de Goodman-Bacon} Le \cref{tab:36:bacon} décompose l'estimateur TWFE à effets de période communs, $0{,}0905$, selon l'\cref{eq:36:bacon}. Les quatre comparaisons $2 \times 2$ se recombinent exactement : $0{,}6658 \times 0{,}0844 + 0{,}2721 \times 0{,}1224 + 0{,}0476 \times 0{,}0080 + 0{,}0146 \times 0{,}0403 = 0{,}0905$, et les poids somment à un, ce que le test unitaire vérifie à $10^{-10}$. La lecture est instructive. Les deux comparaisons contre les jamais traités dominent (94 \% du poids) et sont toutes deux très au-dessus de la vérité, à $0{,}084$ et $0{,}122$, parce qu'elles comparent des immeubles de Montréal et de Gatineau à des témoins de six RMR sur toute la décennie : c'est le biais de tendance régionale déjà identifié. La comparaison « précoce contre tardive pas encore traitée » oppose Montréal à Gatineau avant 2024T3 et donne $0{,}008$, parce que Gatineau croît plus vite que Montréal dans le générateur et que cette différence de tendance s'oppose à l'effet. La comparaison interdite, « tardive contre précoce déjà traitée », donne $0{,}040$ pour une vérité de $0{,}036$ ; son poids est faible ($1{,}5$ \%) et son biais ici modeste, parce que l'effet de la cohorte A n'augmente que de $0{,}0025$ par trimestre pendant que la cohorte B est traitée. La \cref{fig:36:bacon}(a) place ces quatre points dans le plan poids--estimation. Sur le cas 4, la décomposition montre donc que le défaut du TWFE tient d'abord aux tendances régionales, non à l'échelonnement ; pour isoler ce dernier, le panneau (b) et le \cref{tab:36:labo} recourent à un laboratoire.338339\begin{table}[htbp]340\caption{Décomposition de Goodman-Bacon de l'estimateur TWFE à effets de période communs ($\hat\delta = 0{,}0905$), cas 4 (données synthétiques)}\label{tab:36:bacon}341\centering342\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}343\begin{tabular}{lL{44mm}S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}344\toprule345Groupe traité & Groupe témoin (fenêtre) & {Poids $s$} & {$\hat\beta_{2\times 2}$} & {Vrai} \\346\midrule347Cohorte A (2022T3) & Jamais traités (toute la période) & 0.6658 & 0.0844 & 0.0484 \\348Cohorte B (2024T3) & Jamais traités (toute la période) & 0.2721 & 0.1224 & 0.0356 \\349Cohorte A & Cohorte B avant 2024T3 (pas encore traitée) & 0.0476 & 0.0080 & 0.0356 \\350Cohorte B & Cohorte A dès 2022T3 (déjà traitée) & 0.0146 & 0.0403 & 0.0356 \\351\midrule352Somme des poids / moyenne pondérée & & 1.0000 & 0.0905 & 0.0454 \\353\bottomrule354\end{tabular}355\tabsource{\synth{\texttt{traite.panel.bacon} appliqué au panel de \texttt{ch36\_panel.py}} ; la colonne « vrai » est l'effet moyen déclaré du groupe traité sur la fenêtre de chaque comparaison.}356\end{table}357358\begin{figure}[htbp]359\centering360\includegraphics[width=\textwidth]{ch36/ch36-fig-bacon.pdf}361\caption{Décomposition de Goodman-Bacon : chaque point est une comparaison $2 \times 2$, placée selon son poids et son estimation ; le trait plein est l'estimateur TWFE, moyenne pondérée des points, et le tireté l'effet moyen vrai. (a) Cas 4 : les comparaisons contre les jamais traités dominent et portent le biais de tendance régionale. (b) Laboratoire à tendance commune et effets croissants ($\delta(k) = 0{,}005\,(k+1)$) : la comparaison « tardive contre précoce déjà traitée » est négative et pèse un tiers, et le TWFE tombe à un tiers de l'effet vrai.}\label{fig:36:bacon}362\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}}363\end{figure}364365Le laboratoire du \cref{tab:36:labo} est un panel artificiel de 50 unités et 42 périodes, sans tendance régionale ($y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \varepsilon_{it}$, bruit d'écart-type $0{,}02$), avec deux cohortes de vingt unités traitées aux périodes 10 et 26, dix unités jamais traitées et un effet qui croît sans plafond, $\delta(k) = 0{,}005\,(k + 1)$. L'effet moyen vrai est de $0{,}0692$ ($0{,}0825$ pour la cohorte précoce, $0{,}0425$ pour la tardive). Le TWFE statique donne $0{,}0233$, un tiers de la vérité, avec une erreur-type en grappes de $0{,}0061$ qui exclut la vérité à plus de sept écarts-types : l'estimateur est précis et faux. La décomposition l'explique : la comparaison interdite vaut $-0{,}0356$ et pèse $0{,}33$, parce que l'effet de la cohorte précoce passe en moyenne de $0{,}0425$ pendant la fenêtre où elle sert de « pré » à $0{,}1225$ pendant la fenêtre « post », une hausse de $0{,}08$ que l'\cref{eq:36:interdite} retranche de l'ATT de la cohorte tardive. Les trois autres comparaisons sont proches de leurs vérités respectives. L'estimateur de Callaway et Sant'Anna, qui n'utilise que les dix unités jamais traitées comme témoins, donne $0{,}0893$ et $0{,}0310$ par cohorte et $0{,}0601$ au total : l'écart à la vérité ($-0{,}009$) tient à ce que la période de base $g - 1$ est bruitée et que ce bruit se transmet à tous les $\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t)$ de la cohorte, un défaut connu de la base universelle, mais l'estimateur est dans l'intervalle de confiance et du bon ordre de grandeur, là où le TWFE est hors de tout.366367\begin{table}[htbp]368\caption{Laboratoire à adoption échelonnée et effets croissants : TWFE statique, comparaisons de Goodman-Bacon et estimateur de Callaway et Sant'Anna (panel artificiel)}\label{tab:36:labo}369\centering370\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}371\begin{tabular}{lS[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}372\toprule373Quantité & {Estimation} & {ET grappes / bootstrap} & {Vrai} \\374\midrule375TWFE statique & 0.0233 & 0.0061 & 0.0692 \\376\quad précoce vs jamais traités (poids 0,204) & 0.0785 & & 0.0825 \\377\quad tardive vs jamais traités (poids 0,265) & 0.0402 & & 0.0425 \\378\quad précoce vs tardive pas encore traitée (poids 0,204) & 0.0404 & & 0.0425 \\379\quad tardive vs précoce déjà traitée (poids 0,327) & -0.0356 & & 0.0425 \\380Callaway--Sant'Anna, cohorte précoce & 0.0893 & 0.0086 & 0.0825 \\381Callaway--Sant'Anna, cohorte tardive & 0.0310 & 0.0105 & 0.0425 \\382Callaway--Sant'Anna, global & 0.0601 & 0.0073 & 0.0692 \\383\bottomrule384\end{tabular}385\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{laboratoire} (graine 20261031 + 36)}.}386\end{table}387388\paragraph{Étape 6 : Callaway et Sant'Anna sur le cas 4} Revenons au portefeuille. Le \cref{tab:36:cs} applique l'\cref{eq:36:cs} avec, pour chaque cohorte, les témoins jamais traités de sa propre RMR, neuf à Montréal et trois à Gatineau, ce qui est la façon la plus directe d'imposer des tendances parallèles \emph{régionales}. L'effet de la cohorte A est estimé à $0{,}0528$ (vrai $0{,}0484$), celui de la cohorte B à $0{,}0406$ (vrai $0{,}0356$), et l'effet global, pondéré par les tailles des cohortes, à $0{,}0481$ pour un vrai de $0{,}0454$ : l'erreur est de $0{,}003$, le quart de l'erreur-type bootstrap de $0{,}0116$. L'agrégation dynamique, \cref{fig:36:eventstudy}(b), reproduit le profil de l'étude d'événement avec une précision comparable et le prolonge jusqu'à $k = 15$ pour la seule cohorte A, où l'on voit l'estimation suivre la pente de $0{,}0025$ par trimestre avec un bruit croissant. Avec les 35 témoins de toutes les RMR, l'estimateur donne $0{,}0509$ pour A mais $0{,}0521$ pour B, dont l'effet vrai n'est que de $0{,}0356$ : Gatineau croît plus vite que la moyenne des autres RMR et la cohorte B s'en trouve créditée, exactement comme dans la comparaison correspondante du \cref{tab:36:bacon}. Le choix des témoins est une hypothèse d'identification à part entière, et la restriction à la même RMR en est une plus crédible que l'assemblage de six marchés.389390\begin{table}[htbp]391\caption{Estimateur de Callaway et Sant'Anna par cohorte et global, selon le groupe témoin, cas 4 (données synthétiques)}\label{tab:36:cs}392\centering393\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}394\begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}395\toprule396& \multicolumn{2}{c}{Témoins de la même RMR} & \multicolumn{2}{c}{Témoins de toutes les RMR} & \\397\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5}398Agrégat & {$\widehat{\mathrm{ATT}}$} & {ET bootstrap} & {$\widehat{\mathrm{ATT}}$} & {ET bootstrap} & {Vrai} \\399\midrule400Cohorte A (Montréal, 2022T3, 16 trim.) & 0.0528 & 0.0154 & 0.0509 & 0.0145 & 0.0484 \\401Cohorte B (Gatineau, 2024T3, 8 trim.) & 0.0406 & 0.0183 & 0.0521 & 0.0133 & 0.0356 \\402Global (pondéré par les cohortes) & 0.0481 & 0.0116 & 0.0514 & & 0.0454 \\403\bottomrule404\end{tabular}405\tabsource{\synth{\texttt{traite.panel.callaway\_santanna} ; base universelle $g - 1$, témoins jamais traités, bootstrap stratifié de 499 tirages (99 pour la variante)}.}406\end{table}407408\paragraph{Étape 7 : contrôle synthétique} La cohorte A est ici traitée comme une seule unité, la moyenne des logarithmes de ses huit immeubles, et le bassin de donneurs est constitué des 35 immeubles jamais traités, chaque série étant centrée sur sa moyenne des 26 trimestres pré-traitement. Les poids de l'\cref{eq:36:synth} se concentrent sur onze donneurs (\cref{fig:36:synthetique}(c)) : P02 ($0{,}142$) et P45 ($0{,}105$) à Gatineau, P09 ($0{,}136$), P16 ($0{,}123$) et P38 ($0{,}027$) à Montréal, P25 ($0{,}120$) et P19 ($0{,}114$) à Trois-Rivières, P43 ($0{,}110$) au Saguenay, P03 ($0{,}071$), P35 et P05. L'ajustement pré-traitement est excellent, avec un RMSPE de $0{,}0031$, ce qui n'étonne pas lorsque 35 donneurs servent à reproduire une moyenne de huit séries lisses. Après la mise en service, l'écart moyen entre la cohorte et son contrôle synthétique est de $0{,}0363$ pour un effet vrai moyen de $0{,}0484$ sur les seize trimestres : le contrôle synthétique sous-estime de $0{,}012$, là où les estimateurs par régression surestimaient. La raison se lit sur le panneau (a) : la méthode ajuste toute la trajectoire pré-traitement, y compris les derniers trimestres où les traités sont, par hasard, au-dessus de leur tendance ; le contrefactuel synthétique prolonge ce point haut, alors que les traités retombent ensuite vers leur tendance, et la différence est portée au débit du traitement. L'inférence par placebos (panneau (b)) est néanmoins nette : le rapport des RMSPE post et pré de la cohorte vaut $12{,}9$, le plus élevé des 36 unités, soit une valeur $p$ de permutation de $1/36 = 0{,}028$. Le contrôle synthétique confirme qu'il s'est passé quelque chose, situe l'effet dans le bon ordre de grandeur, et montre par les poids quels immeubles ont servi de témoins ; il ne remplace pas l'étude d'événement pour la dynamique, et il est, comme elle, à la merci de la configuration des derniers trimestres pré-traitement.409410\begin{figure}[htbp]411\centering412\includegraphics[width=\textwidth]{ch36/ch36-fig-synthetique.pdf}413\caption{Contrôle synthétique de la cohorte A (moyenne des huit immeubles traités de Montréal, logarithme du revenu net centré sur la moyenne pré-traitement). (a) Trajectoire traitée, contrôle synthétique et contrefactuel déclaré. (b) Écart traité moins synthétique et écarts des 35 placebos obtenus en traitant fictivement chaque donneur ; le rapport des RMSPE post et pré du traité est le plus élevé des 36. (c) Poids des onze donneurs qui dépassent 0,5 \%.}\label{fig:36:synthetique}414\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}}415\end{figure}416417\paragraph{Étape 8 : discontinuité spatiale} Le portefeuille du cas 4 ne comporte pas de frontière ; la \cref{fig:36:discontinuite} repose donc sur une simulation transversale annexe, déclarée dans le script : 400 immeubles fictifs répartis uniformément à moins de deux kilomètres d'une frontière de zone, dont le logarithme de la valeur suit $12{,}9 + 0{,}03\,x + 0{,}05\,\ind[x \geq 0] + \varepsilon$, avec $x$ la distance signée en kilomètres (positive du côté de la zone de densité supérieure) et $\varepsilon$ normal d'écart-type $0{,}08$. La pente de $0{,}03$ par kilomètre représente un gradient continu de localisation, le saut de $0{,}05$ l'effet de la règle. La comparaison naïve des deux côtés donne $0{,}114$, plus du double de la vérité, parce qu'elle attribue à la règle tout le gradient. L'\cref{eq:36:rdd} donne $0{,}034$ (erreur-type $0{,}034$, 93 immeubles effectifs) pour une bande de 500 mètres, $0{,}032$ ($0{,}025$, 202 immeubles) pour un kilomètre et $0{,}058$ ($0{,}018$, 400 immeubles) pour deux kilomètres. Les trois estimations encadrent la vérité à moins d'un écart-type, et la progression des erreurs-types illustre l'arbitrage : la bande de deux kilomètres est la plus précise mais elle repose sur l'hypothèse, ici vraie par construction, que la fonction de prix est linéaire sur toute la largeur. Sur des données réelles, la linéarité n'est jamais garantie, et l'usage est de rapporter la fourchette.418419\begin{figure}[htbp]420\centering421\includegraphics[width=\textwidth]{ch36/ch36-fig-discontinuite.pdf}422\caption{Discontinuité spatiale à une frontière de zone (simulation transversale fictive) : logarithme de la valeur selon la distance signée à la frontière, moyennes par tranche de 200 mètres et ajustement local linéaire à noyau triangulaire de bande 1 km de part et d'autre. Le saut à la frontière est l'effet de la règle ; le gradient continu de part et d'autre est la localisation, que la comparaison naïve des deux côtés confondrait avec lui.}\label{fig:36:discontinuite}423\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031 ; données engendrées par \texttt{ch36\_panel.discontinuite}}}424\end{figure}425426\paragraph{Bilan} Le \cref{tab:36:bilan} aligne les estimateurs sur la vérité correspondante. Trois constats. Les estimateurs qui imposent des tendances parallèles \emph{régionales} (2 $\times$ 2 avec témoins de Montréal, étude d'événement et TWFE avec effets RMR $\times$ trimestre, Callaway--Sant'Anna par RMR) sont tous à moins d'un écart-type de la vérité ; ceux qui mélangent les régions ne le sont que par compensation d'erreurs. L'estimateur statique, quel que soit son habillage, est le plus exposé aux accidents de trajectoire pré-traitement, parce qu'il moyenne sur toute la période ; l'étude d'événement et l'estimateur par cohortes, qui raisonnent par rapport à une base datée, rendent ces accidents visibles. Enfin, aucun estimateur n'est précis : avec huit immeubles traités et des revenus qui suivent des marches aléatoires, les erreurs-types honnêtes sont de l'ordre de $0{,}015$ à $0{,}025$, soit $\pm 3$ à $\pm 5$ points de pourcentage autour d'un effet de $4$ à $5$ \%. C'est le réalisme qu'un rapport doit afficher : l'effet est positif, de l'ordre de quelques pour cent, et sa valeur exacte n'est pas connue.427428\begin{table}[htbp]429\caption{Bilan : estimateurs de l'effet du traitement sur le logarithme du revenu net d'exploitation et vérité correspondante (données synthétiques)}\label{tab:36:bilan}430\centering431\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}432\begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=+1.4]}433\toprule434Estimateur (cible) & {Estimation} & {Erreur-type} & {Vrai} & {Écart} \\435\midrule436$2 \times 2$, témoins Montréal (cohorte A, 2\textsuperscript{e} année) & 0.0534 & 0.0201 & 0.0462 & 0.0072 \\437$2 \times 2$, témoins six RMR (idem) & 0.0468 & 0.0177 & 0.0462 & 0.0006 \\438TWFE statique, effets communs (ATT global) & 0.0905 & 0.0198 & 0.0454 & 0.0451 \\439TWFE statique, RMR $\times$ trimestre (ATT global) & 0.0702 & 0.0264 & 0.0454 & 0.0248 \\440Étude d'événement, $k = 3$ (effet à un an) & 0.0410 & 0.0138 & 0.0400 & 0.0010 \\441Callaway--Sant'Anna, même RMR (ATT global) & 0.0481 & 0.0116 & 0.0454 & 0.0027 \\442Contrôle synthétique (cohorte A, 16 trimestres) & 0.0363 & {$p = 0{,}028$} & 0.0484 & -0.0121 \\443Discontinuité, bande 1 km (saut à la frontière) & 0.0316 & 0.0247 & 0.0500 & -0.0184 \\444\bottomrule445\end{tabular}446\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}} ; erreurs-types HC1 sur différences longues ($2 \times 2$), en grappes par immeuble (TWFE, étude d'événement), bootstrap par blocs (Callaway--Sant'Anna), valeur $p$ de permutation (contrôle synthétique), HC1 pondérée (discontinuité).}447\end{table}448449\section{Analyse de sensibilité}\label{sec:36:sensibilite}450451\subsection{Lorsque les tendances parallèles sont violées}452453L'hypothèse de l'\cref{eq:36:paralleles} est la clé de voûte, et il faut savoir ce qui se passe quand elle cède. Le script réestime tout après avoir ajouté aux immeubles traités, sur toute la période depuis 2016, une croissance supplémentaire d'un point de pourcentage par an : c'est le scénario où la ligne a été tracée là où les loyers montaient déjà plus vite, une sélection sur la tendance plutôt que sur le niveau. La \cref{fig:36:sensibilite} et le \cref{tab:36:sensibilite} montrent le dégât. L'estimateur $2 \times 2$ passe de $0{,}0534$ à $0{,}0734$ : les deux fenêtres étant distantes de deux ans en moyenne, la tendance différentielle y ajoute $2 \times 0{,}01 = 0{,}02$, exactement. Le TWFE à effets RMR $\times$ trimestre passe de $0{,}0702$ à $0{,}1227$, parce que la tendance s'accumule sur les dix ans que la comparaison « tous les trimestres après contre tous les trimestres avant » embrasse. L'étude d'événement, elle, \emph{montre} le problème : ses coefficients pré-traitement descendent régulièrement vers le passé, de $-0{,}061$ à $k \leq -8$ jusqu'à $-0{,}007$ à $k = -2$, avec une pente de $0{,}0036$ par trimestre contre $0{,}0011$ dans le scénario de référence, et les coefficients post-traitement montent trop vite, $0{,}076$ à $k = 7$ contre $0{,}056$. C'est tout l'intérêt du graphique : il ne corrige rien, mais il rend la violation visible, alors que le coefficient statique l'absorbe en silence.454455\begin{figure}[htbp]456\centering457\includegraphics[width=\textwidth]{ch36/ch36-fig-sensibilite.pdf}458\caption{Étude d'événement dans le scénario de référence et dans le scénario où les immeubles traités croissent d'un point de pourcentage de plus par an depuis 2016 (tendances parallèles violées). Les coefficients pré-traitement, plats dans le premier cas, dessinent une pente dans le second ; les coefficients post-traitement sont surestimés d'un montant qui croît avec $k$.}\label{fig:36:sensibilite}459\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}}460\end{figure}461462Deux corrections sont possibles lorsque la pente pré-traitement est jugée réelle. La première ajoute au modèle une tendance linéaire propre au groupe traité ; sur le scénario violé, le TWFE avec cette tendance donne $0{,}0609$, qui retire l'essentiel du biais mais reste au-dessus de la vérité, parce qu'une tendance linéaire estimée sur toute la période absorbe aussi une partie de l'effet, lui-même croissant après le traitement. La seconde, plus transparente, extrapole la tendance pré-traitement de chaque immeuble et détendance les différences longues avant le $2 \times 2$ : on obtient $0{,}0426$ pour une vérité de $0{,}0462$. Ni l'une ni l'autre n'est une garantie, parce qu'elles remplacent l'hypothèse de tendances parallèles par celle, tout aussi invérifiable, d'une divergence \emph{linéaire} qui se serait poursuivie. \textcite{roth2023} recensent les approches qui bornent l'effet sous des hypothèses explicites sur la violation possible, et c'est dans cet esprit qu'un rapport doit présenter la fourchette plutôt qu'un chiffre.463464\begin{table}[htbp]465\caption{Sensibilité aux hypothèses d'identification : tendances parallèles violées ($+1$ point de croissance par an pour les traités) et choix du groupe témoin (données synthétiques)}\label{tab:36:sensibilite}466\centering467\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}468\begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}469\toprule470Scénario et estimateur & {Référence} & {Violé} & {Vrai} \\471\midrule472$2 \times 2$, témoins Montréal & 0.0534 & 0.0734 & 0.0462 \\473TWFE statique, RMR $\times$ trimestre & 0.0702 & 0.1227 & 0.0454 \\474Pente des coefficients pré-traitement ($k = -7$ à $-2$, par trimestre) & 0.0011 & 0.0036 & 0 \\475Étude d'événement, $k = 7$ & 0.0561 & 0.0761 & 0.0500 \\476TWFE avec tendance linéaire du groupe traité & & 0.0609 & 0.0454 \\477$2 \times 2$ détendancé (tendance pré-traitement par immeuble) & & 0.0426 & 0.0462 \\478\midrule479\multicolumn{4}{l}{\emph{Choix des témoins, $2 \times 2$ de la cohorte A (scénario de référence, vrai $0{,}0462$) :}} \\480\quad 35 jamais traités, six RMR & 0.0468 & & \\481\quad 9 jamais traités, Montréal & 0.0534 & & \\482\quad 26 jamais traités, hors Montréal & 0.0445 & & \\483\quad 5 pas encore traités (cohorte B) & 0.0308 & & \\484\bottomrule485\end{tabular}486\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonctions \texttt{sensibilite} et \texttt{groupes\_temoins}}.}487\end{table}488489\subsection{Le choix du groupe témoin}490491La seconde moitié du \cref{tab:36:sensibilite} fait varier le groupe témoin de l'estimateur $2 \times 2$. Les neuf immeubles de Montréal donnent $0{,}0534$ ; les 26 immeubles des cinq autres RMR, $0{,}0445$ ; les 35 réunis, $0{,}0468$ ; les cinq immeubles de la cohorte B, pas encore traités dans la fenêtre, $0{,}0308$. L'étendue, de $0{,}031$ à $0{,}053$, est du même ordre que les erreurs-types, ce qui ne permet pas de dire qu'un groupe est « meilleur » au vu des seuls résultats ; c'est l'argument d'identification qui doit trancher, avant de regarder les chiffres. Les témoins de Gatineau sont peu nombreux et portés par une tendance régionale plus rapide ; les témoins hors Montréal mêlent six marchés ; les témoins de Montréal partagent le marché des traités mais ne sont que neuf. La bonne pratique est de retenir le groupe le plus défendable par le mécanisme (ici, la même RMR), de rapporter les autres en sensibilité, et de vérifier que les tendances pré-traitement de chaque groupe candidat sont compatibles avec celles des traités, ce que l'étude d'événement fait groupe par groupe. Lorsque le groupe témoin pourrait être lui-même affecté par le traitement, par exemple des immeubles à deux kilomètres de la station qui perdent des locataires au profit des immeubles desservis, l'estimateur mesure la différence des deux effets et non l'effet sur les traités ; ce \motcle{débordement} (\emph{spillover}) doit être écarté par le choix d'un groupe suffisamment éloigné, ou modélisé, comme le font \textcite{currie2015} avec des anneaux de distance successifs.492493\subsection{Le traitement de l'autocorrélation}494495Le \cref{tab:36:twfe} a montré que les erreurs-types en grappes sont quatre à cinq fois plus grandes que les erreurs-types classiques sur ce panel. Le facteur dépend de la persistance des séries : des revenus nets qui suivent des marches aléatoires, comme ici et comme dans la plupart des immeubles réels où les baux se renouvellent lentement, ont une corrélation intra-immeuble élevée. Les deux remèdes, erreurs-types en grappes et agrégation en différences longues, donnent des résultats cohérents ($0{,}0264$ pour l'un, $0{,}0201$ pour l'autre sur des cibles voisines), et tous deux condamnent l'usage des erreurs-types classiques ou HC1 sur des données de panel. Lorsque le traitement est assigné par groupe (îlot, municipalité) et que ces groupes sont peu nombreux, aucune des deux méthodes n'est fiable ; il faut alors recourir à des procédures de rééchantillonnage adaptées aux petits nombres de grappes, ou reconnaître que l'inférence est fragile.496497\section{Applications : infrastructure, inondation, rezonage, réglementation}\label{sec:36:applications}498499Les méthodes de ce chapitre ont été appliquées à chacune des questions qui ouvrent le \cref{sec:36:pourquoi}, et la littérature fournit des repères sur la manière de s'y prendre, sinon sur les chiffres, qui dépendent du marché. Pour les \emph{infrastructures de transport}, le plan canonique est celui de \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014} sur le train de banlieue de la Rive-Sud de Montréal : les ventes de maisons à distance de marche des gares sont comparées, avant et après le changement de desserte, aux ventes plus éloignées, dans un estimateur de doubles différences qui tient compte en outre de la dépendance spatio-temporelle entre les ventes voisines (\cref{ch:19}), et que \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2017} ont ensuite généralisé ; \textcite{dube2024} proposent un cadre causal intégré pour mesurer la plus-value foncière d'un changement de transport collectif, qui combine la définition de la zone traitée, le choix des témoins et la dynamique de l'effet. Deux leçons de ces travaux sont transposables à tout mandat : l'effet s'installe avant la mise en service, dès l'annonce, de sorte que la date de « traitement » doit être réfléchie et que les trimestres d'annonce doivent être exclus de la fenêtre pré-traitement ; et l'effet décroît avec la distance, de sorte que la définition du groupe traité par un seuil de distance est une hypothèse à tester en la faisant varier.500501Pour les \emph{risques environnementaux}, le \cref{ch:43} traite en détail de la décote des zones inondables et des sites contaminés ; les outils causaux y servent à distinguer la décote attachée au risque lui-même de celle qui tient aux attributs des terrains riverains. Le plan de \textcite{currie2015} sur les usines toxiques est le modèle : les ouvertures et les fermetures fournissent des événements datés, les anneaux de distance des groupes traités et témoins, et l'étude d'événement la dynamique. Un sinistre réel, une inondation printanière, est un événement du même type, mais il frappe des immeubles sélectionnés par leur situation ; le groupe témoin naturel est formé des immeubles de la même zone cartographiée qui n'ont pas été touchés, ou de ceux d'une zone comparable épargnée cette année-là, et la publication d'une nouvelle cartographie réglementaire est en soi un traitement informationnel dont l'effet se mesure par doubles différences autour de la date de publication. Pour le \emph{rezonage}, le \cref{sec:8:exemple} a appliqué les ventes appariées et les doubles différences à un îlot fictif ; le présent chapitre ajoute que la frontière de l'îlot est une discontinuité exploitable, que la date d'entrée en vigueur est précédée d'une période de consultation où l'anticipation agit, et que l'effet dépend de l'option de redéveloppement et donc de l'âge du bâti, ce qui en fait un effet hétérogène dont la moyenne doit être interprétée avec soin. Pour la \emph{réglementation}, enfin, l'effet d'une règle qui s'applique à tous les immeubles d'un territoire à la même date ne peut être mesuré que par comparaison avec un territoire voisin non soumis, ce qui ramène à la discontinuité spatiale ou au contrôle synthétique à l'échelle de municipalités ; le \cref{ch:34} discute des scénarios d'encadrement locatif, dont l'évaluation causale est, au Québec, un chantier plutôt qu'un acquis.502503\begin{quebec}[Données de panel disponibles au Québec]504Les panels d'immeubles sont rares dans les données publiques québécoises, mais ils se construisent. Les rôles d'évaluation foncière diffusés par le ministère des Affaires municipales et de l'Habitation sur Données Québec \parencite{dqroles}, sous licence Creative Commons Attribution 4.0, couvrent les 1 140 municipalités avec un identifiant d'unité d'évaluation stable d'un rôle triennal à l'autre, ce qui permet de suivre la valeur au rôle, les caractéristiques physiques et l'usage de chaque unité à travers les rôles successifs ; les noms et adresses postales des propriétaires y sont caviardés. Une difficulté propre : la valeur au rôle est une estimation à la date de référence du rôle (art. 46 de la Loi sur la fiscalité municipale, \cref{ch:09}), non un prix, et un panel de valeurs au rôle mesure la réaction de l'évaluateur municipal au changement autant que celle du marché. Les ventes répétées du registre foncier et des bases de courtage fournissent des panels de prix non cylindrés, ceux du \cref{ch:35}. Pour les revenus, l'Enquête sur les logements locatifs de la SCHL suit les loyers et l'inoccupation par zone et par taille de logement d'une année à l'autre, ce qui constitue un panel de zones plutôt que d'immeubles. Enfin, la cartographie des zones inondables du cadre réglementaire en vigueur depuis le 1\textsuperscript{er} mars 2026 \parencite{zonesInond2026} est publiée progressivement par secteur, ce qui crée, pour qui voudra l'étudier, un plan à adoption échelonnée dont les cohortes sont les secteurs cartographiés et dont le traitement est l'information nouvelle sur le risque ; les méthodes de la \cref{sec:36:echelonne} y sont directement applicables, et les mises en garde aussi. Sources consultées le 31 octobre 2026.505\end{quebec}506507\begin{erreurs}508\begin{itemize}509\item Lire une différence entre immeubles exposés et non exposés, à une date donnée, comme l'effet de l'exposition : c'est oublier le biais de sélection de l'\cref{eq:36:selection}. Les infrastructures, les zones et les règlements ne sont jamais placés au hasard.510\item Lire une variation avant--après du même immeuble comme l'effet du changement : c'est attribuer au traitement la tendance du marché. Il faut un groupe témoin, et le défendre.511\item Rapporter des erreurs-types classiques ou HC1 sur un panel : la corrélation intra-immeuble les rend quatre à cinq fois trop petites dans l'exemple. Les grappes sont au niveau où le traitement varie.512\item Estimer un effet statique par TWFE sur un plan échelonné et le présenter comme un effet moyen : les poids ne sont pas ceux de l'échantillon et les comparaisons interdites peuvent inverser le signe. Décomposer, ou estimer par cohortes.513\item Prendre un test de pré-tendance non significatif pour une preuve de tendances parallèles : il a peu de puissance, et le scénario de la \cref{sec:36:sensibilite} montre une violation qui ne se voit qu'en regardant la pente.514\item Choisir le groupe témoin après avoir vu les résultats, ou mélanger des marchés dont les tendances diffèrent : l'identification se décide sur le mécanisme, les variantes se rapportent en sensibilité.515\item Dater le traitement à la mise en service alors que le marché a réagi à l'annonce, ou inclure les trimestres d'anticipation dans la fenêtre « avant ».516\item Convertir un coefficient en logarithme en pourcentage par simple multiplication par cent, ou appliquer un effet moyen à un sujet dont l'exposition est atypique (distance, âge, type), alors que l'effet est hétérogène.517\end{itemize}518\end{erreurs}519520\begin{limites}521Les méthodes de ce chapitre estiment des effets \emph{moyens} sur des groupes ; l'évaluateur a devant lui un immeuble. Passer de l'un à l'autre exige de montrer que le sujet appartient bien à la population traitée au sens du plan (même distance, même type, même date d'exposition) et de reconnaître que la dispersion individuelle des effets, que la régression n'estime pas, s'ajoute à l'incertitude. L'exemple intégral est favorable à bien des égards : le panel est cylindré, les cohortes sont nettes, le traitement est binaire et permanent, le groupe jamais traité est large, les tendances régionales sont les seules à différer et l'effet est connu. Sur des données réelles, les ventes ne forment pas un panel cylindré, le traitement est souvent continu (une distance, une intensité de risque), les effets s'installent dès l'annonce, les témoins peuvent être affectés par débordement, et l'on ne connaît jamais la vérité ; la robustesse à ces écarts doit être examinée cas par cas. Les intervalles rapportés supposent un nombre suffisant de grappes et des bootstraps par blocs ; avec quelques dizaines d'immeubles traités, ils restent larges, et l'honnêteté commande de les afficher. Les mises en œuvre de \texttt{traite.panel} sont volontairement simplifiées (pas de covariables dans l'estimateur par cohortes, base universelle, contrôle synthétique sans prédicteurs) ; pour un dossier contentieux, on validera les résultats avec des bibliothèques de référence, comme le script le fait pour le TWFE. Enfin, l'effet d'un traitement sur le revenu net n'est pas son effet sur la valeur : il faut encore passer par le taux de capitalisation (\cref{ch:29}), qui peut lui aussi réagir au changement, et la question causale se pose alors deux fois.522\end{limites}523524\begin{synthese}525\begin{itemize}526\item Une question d'évaluation sur un changement est causale : elle oppose un résultat observé à un contrefactuel. L'ATT est la cible ; la différence brute entre exposés et non exposés s'en écarte du biais de sélection.527\item Les effets fixes d'immeuble éliminent toute différence permanente ; l'estimateur within équivaut aux indicatrices et exige l'exogénéité stricte. Sur un panel, les erreurs-types sont en grappes au niveau du traitement.528\item Les doubles différences identifient l'ATT sous tendances parallèles ; placebos et étude d'événement en éprouvent la plausibilité et révèlent la dynamique. La référence $k = -1$ et le choix des témoins font partie de l'hypothèse.529\item En adoption échelonnée, le TWFE statique est une moyenne de comparaisons $2 \times 2$ à poids opaques, dont certaines utilisent des unités déjà traitées ; l'estimateur par cohortes de Callaway et Sant'Anna agrège explicitement des comparaisons propres.530\item La discontinuité spatiale exploite une frontière ; le contrôle synthétique construit un témoin à poids positifs et s'infère par permutation. Chacun a son hypothèse et ses diagnostics.531\item Sur le choc simulé du cas 4, les estimateurs à tendances parallèles régionales retrouvent l'effet déclaré à moins d'un écart-type ; les erreurs-types honnêtes sont de $\pm 3$ à $\pm 5$ points, et le rapport doit le dire.532\end{itemize}533\end{synthese}534535\section*{Exercices}536\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}537538\begin{exercice}[1]{Doubles différences à la main}{ex:36:1}539Dans un quartier desservi par une nouvelle gare, le logarithme moyen du loyer des immeubles situés à moins de 800 m est passé de $11{,}52$ avant la mise en service à $11{,}64$ après ; celui des immeubles situés entre 1,5 et 3 km, de $11{,}40$ à $11{,}47$. (a) Calculez l'estimateur $2 \times 2$ de l'\cref{eq:8:did} et convertissez-le en pourcentage. (b) Énoncez l'hypothèse qui en fait un effet causal et proposez un test placebo. (c) Pourquoi les immeubles situés entre 800 m et 1,5 km ont-ils été exclus ?540\end{exercice}541542\begin{exercice}[1]{Transformation within sur un petit panel}{ex:36:2}543Trois immeubles sont observés deux années. Le logarithme du revenu net et l'indicatrice d'une rénovation majeure sont : immeuble 1, $(11{,}0 ; 0)$ puis $(11{,}3 ; 1)$ ; immeuble 2, $(11{,}6 ; 0)$ puis $(11{,}7 ; 1)$ ; immeuble 3, $(10{,}8 ; 0)$ puis $(10{,}9 ; 0)$. (a) Calculez les données transformées within de l'\cref{eq:36:within} et l'estimateur de l'\cref{eq:36:within-est} (sans effets de période). (b) Comparez-le à la pente de la régression des moindres carrés ordinaires de $y$ sur $x$ sur les six observations, et expliquez l'écart par la corrélation entre l'effet fixe et la rénovation. (c) Que mesure encore l'estimateur within si les deux immeubles rénovés l'ont été parce que leurs revenus stagnaient ?544\end{exercice}545546\begin{exercice}[2]{Grappes et facteur de Moulton}{ex:36:3}547(a) À l'aide de l'\cref{eq:36:moulton}, calculez le facteur par lequel multiplier une erreur-type classique pour un panel de 42 trimestres par immeuble et une corrélation intra-immeuble de $0{,}5$, puis de $0{,}9$ ; refaites le calcul pour 8 trimestres et $0{,}5$. (b) Dans le \cref{tab:36:twfe}, le rapport observé est de $4{,}9$ pour la spécification RMR $\times$ trimestre : quelle corrélation intra-immeuble implicite cela suggère-t-il ? (c) Un traitement est attribué à l'échelle de quatre municipalités, chacune comptant 200 immeubles observés 10 ans. À quel niveau faut-il définir les grappes, et pourquoi la formule de l'\cref{eq:36:grappes} est-elle alors peu fiable ?548\end{exercice}549550\begin{exercice}[2]{Lire une étude d'événement}{ex:36:4}551Une étude d'événement sur l'effet d'une nouvelle cartographie de zone inondable sur les prix donne, par rapport à l'année précédant la publication, des coefficients de $-0{,}01$, $-0{,}02$ et $-0{,}03$ pour $k = -4, -3, -2$, puis $-0{,}06$, $-0{,}07$, $-0{,}07$ et $-0{,}08$ pour $k = 0, \dots, 3$, avec des erreurs-types en grappes de $0{,}02$. (a) Les coefficients pré-traitement sont-ils individuellement significatifs ? Dessinent-ils une pente, et dans quel sens ? (b) Qu'implique cette pente pour l'interprétation des coefficients post-traitement, et quelle correction la \cref{sec:36:sensibilite} suggère-t-elle ? (c) Si la cartographie avait été annoncée deux ans avant sa publication, comment faudrait-il redéfinir la date de l'événement ?552\end{exercice}553554\begin{exercice}[2]{Poids de Goodman-Bacon}{ex:36:5}555Un panel de $T = 20$ périodes compte deux cohortes de taille égale, traitées aux périodes $5$ et $15$, et aucune unité jamais traitée. (a) Calculez $\bar D_k$ et $\bar D_\ell$, puis la variance $\hat V^D$ de l'indicatrice de traitement doublement centrée (on pourra construire le tableau $2 \times 20$ des $D_{it}$). (b) Calculez les deux poids $s_{k\ell}$ et $s_{\ell k}$ de l'\cref{eq:36:bacon-poids} et vérifiez qu'ils somment à un. (c) L'effet du traitement croît linéairement, $\delta(k) = 0{,}01\,(k+1)$ ; calculez l'espérance de $\hat\beta_{\ell k}$ par l'\cref{eq:36:interdite}, celle de $\hat\beta_{k\ell}$ sous tendances parallèles, puis celle du TWFE, et comparez-la à l'ATT global.556\end{exercice}557558\begin{exercice}[3]{Callaway et Sant'Anna à la main}{ex:36:6}559Quatre périodes, une cohorte traitée à la période 3 formée de deux immeubles dont les logarithmes de revenu sont $(10{,}00 ; 10{,}05 ; 10{,}12 ; 10{,}20)$ et $(9{,}50 ; 9{,}56 ; 9{,}66 ; 9{,}72)$, et trois témoins jamais traités : $(10{,}20 ; 10{,}24 ; 10{,}27 ; 10{,}31)$, $(9{,}80 ; 9{,}85 ; 9{,}89 ; 9{,}92)$ et $(9{,}90 ; 9{,}93 ; 9{,}98 ; 10{,}01)$. (a) Calculez $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 3)$ et $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 4)$ par l'\cref{eq:36:cs}, puis l'effet moyen de la cohorte. (b) Calculez le placebo $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 1)$ avec la même base et commentez. (c) Montrez que $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 3)$ coïncide avec l'estimateur $2 \times 2$ des périodes 2 et 3, et expliquez en quoi la base universelle $g - 1$ diffère d'une base « variable » $t - 1$ pour les périodes pré-traitement.560\end{exercice}561562\begin{exercice}[3]{Contrôle synthétique et bassin de donneurs}{ex:36:7}563À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py} et de \texttt{traite.panel.controle\_synthetique}, refaites le contrôle synthétique de la cohorte A en restreignant le bassin aux donneurs de Montréal, puis aux donneurs hors Montréal, puis en déplaçant fictivement la mise en service à 2020T3 (placebo temporel). (a) Rapportez les poids, le RMSPE pré-traitement et l'effet moyen post-traitement de chaque variante et comparez-les au \cref{tab:36:bilan} et à la vérité. (b) Quel bassin donne l'écart le plus faible à la vérité, et pourquoi n'est-ce pas un critère de choix sur données réelles ? (c) Rédigez, en 200 mots, la section « méthode et limites » d'un rapport qui utiliserait ce résultat pour justifier une plus-value de voisinage.564\end{exercice}565566\section*{Pour aller plus loin}567\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}568569\textcite{angristPischke2009} reste l'introduction la plus vivante aux plans d'identification, avec un chapitre sur les données de panel et un autre sur les erreurs-types en grappes ; \textcite{cunningham2021} en est le complément pédagogique, avec du code et des exemples, qui couvre les doubles différences, la discontinuité et le contrôle synthétique ; \textcite{imbensRubin2015} fondent rigoureusement le cadre des résultats potentiels. Pour l'économétrie des panels, \textcite{wooldridge2010} est la référence : effets fixes et aléatoires, exogénéité stricte, test de Hausman, inférence robuste. La littérature récente sur l'adoption échelonnée se lit dans l'ordre suivant : \textcite{goodmanbacon2021} pour la décomposition, \textcite{callawaySantanna2021} pour l'estimateur par cohortes, \textcite{sunAbraham2021} pour la version en régression des études d'événement, \textcite{dechaisemartinDhaultfoeuille2020} pour les traitements réversibles, et \textcite{roth2023} pour la synthèse et les recommandations pratiques. Le contrôle synthétique est exposé dans \textcite{abadieDiamondHainmueller2010}, dont l'étude de cas californienne reste le modèle de présentation. Les applications immobilières à lire en premier sont \textcite{lindenRockoff2008} et \textcite{currie2015} pour la structure spatio-temporelle de l'exposition, puis, pour le Québec, \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014}, \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2017} et \textcite{dube2024} sur la plus-value du transport collectif à Montréal, qui marient les doubles différences aux modèles spatiaux du \cref{ch:19} ; \textcite{elhorst2014} traite des panels spatiaux proprement dits.570