spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 24 — Dépréciation et désuétudes2% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch24.py (classe TestExercices) avec les fonctions de traite.cout.34\begin{solution}{ex:24:1}{Âge-vie et vie restante}5Par l'\cref{eq:24:age-vie}, $D_{\text{phys}} = \dollars{320000} \times 15/60 = \dollars{80000}$, soit \pct{25} du coût neuf ; la vie économique restante est $60 - 15 = 45$ ans (\cref{eq:24:vie-restante}).67\emph{Âge-vie modifiée} (\cref{eq:24:age-vie-modifiee}) : le curable de \dollars{9000} est retiré d'abord, puis le ratio s'applique au reste : $(\dollars{320000} - \dollars{9000}) \times 15/60 = \dollars{77750}$ ; total $\dollars{9000} + \dollars{77750} = \dollars{86750}$, soit \pct{27.11}. L'écart avec la méthode simple, $\dollars{6750} = \dollars{9000} \times (1 - 15/60)$, est la part du curable que le ratio n'aurait comptée qu'au quart : le curable est déduit en entier parce que l'acheteur devra le payer en entier, et le reste du bâtiment n'est déprécié qu'une fois.89\emph{Âge effectif de 20 ans} : méthode simple $\dollars{320000} \times 20/60 = \dollars{106666.67}$ (\pct{33.33}) ; modifiée $\dollars{9000} + \dollars{311000} \times 20/60 = \dollars{112666.67}$ (\pct{35.21}). Cinq années d'âge effectif déplacent la dépréciation de \dollars{26667}, soit \pct{8.3} du coût neuf : l'âge effectif est le paramètre le plus sensible de la méthode, ce qui justifie la convention explicite du \cref{ch:11} pour le dériver de l'inspection.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:24:2}{Méthode ventilée}13Composantes de courte durée (\cref{eq:24:ventilee}) : toiture $\dollars{9000} \times 12/20 = \dollars{5400}$ ; fenêtres $\dollars{18000} \times 10/30 = \dollars{6000}$ ; chauffe-eau $\dollars{1500} \times 8/12 = \dollars{1000}$ ; sous-total \dollars{12400} pour un coût neuf de \dollars{28500}.1415Base de longue durée : $\dollars{320000} - \dollars{9000} - \dollars{28500} = \dollars{282500}$ ; dépréciation de longue durée $\dollars{282500} \times 15/60 = \dollars{70625}$. Total ventilé : $\dollars{9000} + \dollars{12400} + \dollars{70625} = \dollars{92025}$, soit \pct{28.76} du coût neuf.1617Comparaison avec l'âge-vie modifiée de l'exercice précédent (\dollars{86750}) : écart de \dollars{5275}. Vérification par la \cref{prop:ecart-ventilee}, dont le premier terme est déjà dans la modifiée : l'écart entre la ventilée et la modifiée est $\sum_k C_k (r_k - r_S) = 9000(0{,}60 - 0{,}25) + 18000(0{,}3333 - 0{,}25) + 1500(0{,}6667 - 0{,}25) = 3150 + 1500 + 625 = \dollars{5275}$. L'écart est positif parce que les trois composantes sont, en moyenne pondérée, plus avancées dans leur vie utile (ratio moyen $12400/28500 = 0{,}435$) que la structure ($0{,}25$).18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:24:3}{Carence et surabondance}21\emph{(a) Carence.} Le test de curabilité de l'\cref{eq:24:curabilite} compare le coût de la correction, \dollars{16000}, à la valeur ajoutée, \dollars{12000} : $K > \Delta V$, la carence est \emph{incurable} au sens économique, puisque personne ne dépensera \dollars{16000} pour en récupérer \dollars{12000}. La désuétude à déduire est alors la perte de valeur constatée sur le marché, \dollars{12000}, et non l'excès de coût $\dollars{16000} - \dollars{8394.69} = \dollars{7605.31}$ qui s'appliquerait si la carence était curable. Si les paires avaient indiqué une valeur ajoutée d'au moins \dollars{16000}, la carence aurait été curable et la désuétude de \dollars{7605.31}, comme dans l'exemple intégral.2223\emph{(b) Surabondance.} Sous la base de reproduction, le coût neuf contient la deuxième cuisine ; la dépréciation physique en a déjà retranché 40 \%, et il reste $\dollars{22000} \times 0{,}60 = \dollars{13200}$ à éliminer, auxquels s'ajoute le coût d'enlèvement de \dollars{3000}, moins une récupération nulle : $D_{\text{fonc}} = \dollars{16200}$. Sous la base de remplacement, la cuisine n'est pas dans le coût neuf (\cref{prop:equivalence}) et seul le coût d'enlèvement subsiste : $D_{\text{fonc}} = \dollars{3000}$. Les deux bases donnent la même contribution du bâtiment, puisque le coût de remplacement est inférieur de \dollars{22000} au coût de reproduction et que la dépréciation physique sur ces \dollars{22000} vaut \dollars{8800} : $-22000 + 8800 + 13200 = 0$. Déduire \dollars{16200} d'un coût de remplacement serait le double comptage de la \cref{sec:24:ordre}.24\end{solution}2526\begin{solution}{ex:24:4}{Désuétudes incurables capitalisées}27\emph{(a)} Par l'\cref{eq:24:fonc-loyer}, le multiplicateur mensuel est $M_m = 12 \times 19{,}82 = 237{,}84$ et $D_{\text{fonc}} = 75 \times 237{,}84 = \dollars{17838}$. La part du bâtiment est de 100 \% parce que le défaut est propre au bâtiment : le terrain n'y est pour rien et ne perd rien.2829\emph{(b)} Par l'\cref{eq:24:ext-rne}, la perte capitalisée est $\dollars{6000}/0{,}045 = \dollars{133333.33}$ ; imputée au bâtiment pour 70 \%, $D_{\text{ext}} = \dollars{93333.33}$, les \dollars{40000} restants étant réputés déjà reflétés dans une valeur de terrain tirée du même voisinage. À \pct{5.50}, la perte capitalisée tombe à \dollars{109090.91} et la part du bâtiment à \dollars{76363.64} : un point de taux déplace la désuétude de \dollars{17000}, ce qui rappelle que la capitalisation d'une perte hérite de toute l'incertitude du taux. La répartition est nécessaire ici parce que la cause est externe : une artère bruyante déprécie aussi le terrain, et un terrain vacant voisin, s'il servait de comparable, se vendrait déjà moins cher.30\end{solution}3132\begin{solution}{ex:24:5}{Extraction de marché sur quatre ventes}33Par l'\cref{eq:24:extraction}, $C_B = P - V_L$ et $D = C_N - C_B$ :34\begin{center}\small35\begin{tabular}{@{}l S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=2.2] S[table-format=1.3]@{}}36\toprule37Vente & {Contribution (\$)} & {Dépréciation (\$)} & {Taux (\%)} & {Taux annuel (\%/an)} \\38\midrule391 (12 ans) & 350000 & 70000 & 16.67 & 1.389 \\402 (25 ans) & 295000 & 95000 & 24.36 & 0.974 \\413 (41 ans) & 240000 & 140000 & 36.84 & 0.899 \\424 (33 ans) & 265000 & 145000 & 35.37 & 1.072 \\43\bottomrule44\end{tabular}45\end{center}46Moyenne des taux annuels : \pct{1.083} par année ; médiane : \pct{1.023}. La vie économique linéaire implicite est $1/0{,}01083 = 92{,}3$ ans. Pour un sujet de 30 ans et un coût neuf de \dollars{400000}, la dépréciation extraite est $30 \times 0{,}01083 \times \dollars{400000} = \dollars{130006}$, soit \pct{32.5}. On note que le taux annuel décroît avec l'âge (1,39 \% à 12 ans, 0,90 \% à 41 ans), signe de la concavité du profil : la moyenne des taux annuels surestime la dépréciation des bâtiments âgés et sous-estime celle des récents, et un ajustement en fonction de l'âge serait préférable avec davantage de ventes.4748Si les terrains avaient été sous-estimés de \dollars{20000}, chaque contribution du bâtiment serait surestimée d'autant et chaque dépréciation sous-estimée de \dollars{20000} ; en corrigeant, les dépréciations deviennent 90 000, 115 000, 160 000 et \dollars{165000}, le taux annuel moyen \pct{1.303} et la dépréciation du sujet \dollars{156350}, soit \dollars{26344} de plus. Une erreur de \dollars{20000} sur le terrain, environ 8 \% de sa valeur, déplace la dépréciation extraite de 20 % : l'extraction transmet intégralement l'erreur sur le terrain, et c'est pourquoi la qualité de l'estimation du terrain conditionne celle de la dépréciation.49\end{solution}5051\begin{solution}{ex:24:6}{De la courbe hédonique à la dépréciation du bâtiment}52\emph{(a)} Par l'\cref{eq:24:profil-hedonique}, $d_{\text{tot}}(a) = 1 - \exp(-0{,}005097\,a + 0{,}00002642\,a^2)$ : \pct{4.72} à 10 ans, \pct{11.49} à 28 ans, \pct{17.20} à 50 ans. Converties au bâtiment par l'\cref{eq:24:conversion} avec $1 - \alpha = 0{,}616$ : \pct{7.66}, \pct{18.65} et \pct{27.93}.5354\emph{(b)} Le taux marginal du prix total à 28 ans est $-(\hat\beta_1 + 2\hat\beta_2 \times 28) = 0{,}005097 - 0{,}001480 = 0{,}003617$, soit \pct{0.36} par année ; rapporté au bâtiment, $0{,}003617/0{,}616 = \pct{0.59}$ par année, dans la fourchette d'un demi à un pour cent de \textcite{malpezziOzanneThibodeau1987}.5556\emph{(c)} La dérivée s'annule à $a^* = -\hat\beta_1/(2\hat\beta_2) = 96{,}5$ ans ; au-delà, le polynôme prédit une remontée du prix avec l'âge. Il ne faut pas y lire une appréciation physique : en coupe transversale, l'âge se confond avec le millésime, et les maisons centenaires encore sur le marché sont des survivantes, souvent rénovées ou patrimoniales, situées dans les quartiers centraux (\textcite{coulsonMcmillen2008}) ; en outre, pour les terrains de grande valeur, le prix observé incorpore l'option de redévelopper, qui appartient au terrain et ne dépend pas de l'âge du bâtiment (\textcite{clappSalavei2010}). Le polynôme est une approximation locale valable sur la plage des données, non une loi de vieillissement.5758\emph{(d)} Il faudrait $1 - \alpha = d_{\text{tot}}(28)/(28/60) = 0{,}1149/0{,}4667 = 0{,}246$, soit $\alpha = 0{,}754$ : le terrain devrait représenter les trois quarts du prix d'une maison neuve pour que l'âge-vie à 60 ans soit compatible avec la courbe hédonique, alors que l'allocation extraite est de 38 \%. Aucune part du terrain plausible ne réconcilie les deux ; c'est la forme de la méthode âge-vie à vie courte, et non l'allocation, qui est en cause.59\end{solution}6061\begin{solution}{ex:24:7}{Double comptage et ordre des déductions}62\emph{(a)} La couverture et les fenêtres figurent déjà parmi les composantes de courte durée de la dépréciation ventilée, dépréciées respectivement de \dollars{6130.62} et \dollars{15989.85} au titre de leur âge (\cref{tab:24:composantes}). Les déduire de nouveau comme « désuétude fonctionnelle » compte deux fois la même usure : la vétusté est une dépréciation physique, non un défaut de conception, et aucun défaut fonctionnel propre à ces éléments n'est invoqué. La surestimation est de $\dollars{6130.62} + \dollars{15989.85} = \dollars{22120.47}$. Par ailleurs, additionner une désuétude externe à une dépréciation ventilée déjà supérieure de \dollars{133629} à ce que le marché retranche aggrave un écart dont la ventilée est elle-même la cause (\cref{sec:24:exemple}).6364\emph{(b)} Appliquée au coût neuf, la désuétude externe de \pct{10} vaut $0{,}10 \times \dollars{397567.33} = \dollars{39756.73}$. Dans l'ordre des conventions, elle s'applique à la base restante $B = \dollars{397567.33} - \dollars{87461.05} - \dollars{7605.31} = \dollars{302500.97}$ et vaut \dollars{30250.10}. L'erreur d'ordre est de \dollars{9506.64}, soit, par la \cref{prop:ordre}, $\theta(D_{\text{phys}} + D_{\text{fonc}}) = 0{,}10 \times (\dollars{87461.05} + \dollars{7605.31})$ : c'est la désuétude externe comptée sur des dollars déjà déduits.6566\emph{(c)} Dans le marché du cas 1, les bâtiments récents se vendent au-dessus de la somme du terrain et du coût neuf déprécié, et les dépréciations extraites des ventes récentes sont parfois négatives : le marché paie une prime, il ne souffre pas d'une offre excédentaire ni d'une nuisance. Une désuétude externe doit être démontrée par des ventes appariées ou une perte de revenu attribuable à une cause identifiée, puis répartie entre le terrain et le bâtiment ; un sentiment d'« incertitude » n'en est pas une. L'évaluateur aurait dû consigner son constat dans l'analyse de marché et, s'il le jugeait pertinent, dans la réconciliation du \cref{ch:45} et la fourchette de valeur du \cref{ch:20}, en pondérant les méthodes ou en élargissant l'intervalle, non en inventant une déduction.67\end{solution}68