spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Modèles spatiaux et temporels}\label{ch:19}23Le modèle hédonique du \cref{ch:18} traite chaque vente comme une observation isolée : le prix d'une maison dépend de ses caractéristiques, d'une date et d'un terme aléatoire indépendant de celui de la maison voisine. Or rien n'est moins indépendant que deux maisons de la même rue. Elles partagent l'école, le bruit de l'autoroute, la réputation du quartier, le même bassin d'acheteurs et souvent le même courtier ; leurs prix se répondent, et ce qui n'est pas mesuré pour l'une ne l'est pas non plus pour l'autre. Le présent chapitre introduit les outils qui prennent cette interdépendance au sérieux. Il distingue d'abord deux phénomènes que le langage courant confond, la \emph{dépendance} spatiale, qui porte sur les résidus, et l'\emph{hétérogénéité} spatiale, qui porte sur les coefficients ; il construit ensuite les matrices de pondération qui formalisent la notion de voisinage, y compris dans sa dimension temporelle, puis il présente les tests, les modèles autorégressifs, la régression géographiquement pondérée, les effets fixes et le krigeage. L'exemple intégral reprend les 600 ventes du dossier de Gatineau et pose une question simple que l'évaluateur doit se poser devant tout modèle : les résidus sont-ils encore corrélés dans l'espace, et si oui, qu'est-ce que cela révèle ?45\begin{objectifs}6\begin{itemize}7\item Distinguer la dépendance spatiale de l'hétérogénéité spatiale et reconnaître les conséquences de chacune pour l'estimation par moindres carrés ordinaires.8\item Construire et standardiser une matrice de pondération spatiale (contiguïté, plus proches voisins, distance inverse) et une matrice spatio-temporelle qui ne fait parler que les ventes antérieures.9\item Tester la dépendance spatiale des résidus par la statistique $I$ de Moran, le corrélogramme et les tests du multiplicateur de Lagrange, et en déduire la forme de modèle appropriée.10\item Estimer par maximum de vraisemblance les modèles à décalage spatial (SAR), à erreur spatiale (SEM) et de Durbin spatial (SDM), et interpréter correctement leurs effets directs, indirects et totaux.11\item Estimer une régression géographiquement pondérée, choisir sa bande passante par validation croisée et cartographier les coefficients locaux sans sur-interpréter leurs variations.12\item Modéliser le résidu de localisation par un variogramme et un krigeage ordinaire, et comparer les indications de valeur qui en résultent pour un sujet.13\end{itemize}14\end{objectifs}1516\section{Dépendance et hétérogénéité spatiales}\label{sec:19:dependance}1718\subsection{Pourquoi l'espace compte}1920Trois mécanismes font que les prix de maisons voisines ne sont pas indépendants. Le premier est celui des \emph{externalités de voisinage} : la qualité de l'école, l'entretien des propriétés adjacentes, la vue, la proximité d'un parc ou d'une artère bruyante affectent simultanément toutes les maisons d'un même secteur, et ces attributs ne figurent presque jamais dans les bases de données de transactions. Le deuxième est celui des \emph{sous-marchés} : les acheteurs raisonnent par quartier, les courtiers aussi, et un même panier de caractéristiques ne se négocie pas au même prix à Aylmer et à Masson-Angers ; la segmentation étudiée au \cref{ch:15} est la forme la plus grossière de la dépendance spatiale, celle que l'on capte par des indicatrices de secteur. Le troisième mécanisme est propre au processus de formation des prix : vendeurs, acheteurs, courtiers et évaluateurs fixent leurs attentes à partir des ventes récentes du voisinage, de sorte que le prix d'une maison dépend \emph{directement} des prix auxquels ses voisines se sont vendues peu avant \parencite{desrosiersDubeTheriault2011}. Ce dernier mécanisme a une direction temporelle : ce sont les ventes antérieures qui informent les ventes postérieures, non l'inverse, et le \cref{sec:19:poids} en tirera les conséquences.2122La formule de Tobler, selon laquelle tout interagit avec tout mais les choses proches interagissent davantage que les choses éloignées, résume ces mécanismes, mais elle les confond aussi. Pour l'économètre, il importe de séparer deux situations qui appellent des remèdes différents.2324\begin{definition}{Dépendance spatiale}{dependance-spatiale}25Il y a \motcle{dépendance spatiale} (ou autocorrélation spatiale) lorsque la covariance entre les termes d'erreur, ou entre les variables dépendantes, de deux observations est une fonction non nulle de leur position relative dans l'espace : $\Cov[\varepsilon_i, \varepsilon_j] \neq 0$ pour des observations $i$ et $j$ voisines. Elle est positive si des résidus de même signe tendent à se regrouper, négative s'ils alternent.26\end{definition}2728\begin{definition}{Hétérogénéité spatiale}{heterogeneite-spatiale}29Il y a \motcle{hétérogénéité spatiale} lorsque la relation entre le prix et les caractéristiques varie d'un lieu à l'autre : les coefficients $\boldsymbol\beta$, la variance $\sigma^2$ ou la forme fonctionnelle dépendent de la position. L'élasticité du prix à la superficie peut être plus faible dans un quartier central dense que dans une banlieue pavillonnaire ; la prime du garage peut être nulle là où le stationnement sur rue est abondant.30\end{definition}3132Les deux phénomènes coexistent souvent et l'un peut se déguiser en l'autre : une hétérogénéité ignorée produit des résidus corrélés dans l'espace, et une dépendance ignorée peut faire croire à des coefficients instables lorsqu'on estime le modèle par sous-échantillons. La \cref{fig:19:taxonomie} ordonne les modèles de ce chapitre selon le phénomène qu'ils visent et la manière dont ils le traitent. Les modèles à effets fixes et les modèles autorégressifs traitent la dépendance ; la régression géographiquement pondérée traite l'hétérogénéité ; le krigeage traite la dépendance résiduelle en vue de la prédiction. \textcite{anselin1988} a fixé le cadre d'ensemble, \textcite{lesagePace2009} l'interprétation des modèles autorégressifs, et \textcite{dubeLegros2014} ont adapté ces outils aux microdonnées immobilières, qui ont la particularité d'être localisées en des points irréguliers et datées.3334\begin{figure}[htbp]35\centering36\begin{tikzpicture}[node distance=5mm and 6mm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}, boite/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=9mm, text width=36mm}, racine/.style={boite, fill=brandSecondary!35, text width=46mm}, feuille/.style={boite, fill=white, text width=30mm, minimum height=11mm}, fleche/.style={-{Stealth[length=2mm]}, brandGray, thick}]37\node[racine] (r) {Effets spatiaux dans un modèle hédonique};38\node[boite, below left=of r, xshift=-14mm] (d) {\textbf{Dépendance}\\covariance des résidus ou des prix entre voisins};39\node[boite, below right=of r, xshift=14mm] (h) {\textbf{Hétérogénéité}\\coefficients qui varient avec le lieu};40\node[feuille, below left=of d, xshift=4mm] (fe) {Effets fixes de quartier\\(\cref{sec:19:effets-fixes})};41\node[feuille, below=of d] (ar) {SAR, SEM, SDM\\(\cref{sec:19:modeles})};42\node[feuille, below right=of d, xshift=-4mm] (kr) {Krigeage des résidus\\(\cref{sec:19:krigeage})};43\node[feuille, below left=of h, xshift=4mm] (seg) {Sous-marchés, interactions\\(\cref{ch:15}, \cref{ch:18})};44\node[feuille, below right=of h, xshift=-4mm] (gwr) {Régression géographiquement pondérée (\cref{sec:19:gwr})};45\foreach \a/\b in {r/d, r/h, d/fe, d/ar, d/kr, h/seg, h/gwr} \draw[fleche] (\a) -- (\b);46\node[below=3mm of ar, text=brandGray, align=center] {Diagnostic commun : $I$ de Moran, corrélogramme, tests LM (\cref{sec:19:tests}) ; matrice $\mathbf{W}$ (\cref{sec:19:poids})};47\end{tikzpicture}48\caption{Les deux familles d'effets spatiaux et les outils qui leur répondent. La dépendance se diagnostique sur les résidus et se traite par des effets fixes, des modèles autorégressifs ou le krigeage ; l'hétérogénéité se traite par la segmentation ou par des coefficients locaux.}\label{fig:19:taxonomie}49\figsource{schéma de l'auteur, d'après \textcite{anselin1988} et \textcite{dubeLegros2014}.}50\end{figure}5152\subsection{Le modèle hédonique avec effets spatiaux et temporels}5354L'écriture générale retenue dans l'ouvrage pour le modèle hédonique,55\begin{equation}\label{eq:19:hedonique}56\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \mu_{s(i)} + \varepsilon_i ,57\end{equation}58contient déjà un effet temporel $\tau_{t(i)}$ et un effet spatial $\mu_{s(i)}$. Tout ce chapitre peut se lire comme une discussion de la nature de $\mu$. Dans le modèle de référence du cas 1 (\texttt{traite.cas1.hedonique}), $\mu_{s(i)}$ est un effet fixe de secteur, cinq constantes pour les cinq secteurs de Gatineau, complété par un gradient de distance au centre. Cette spécification suppose que la localisation agit par paliers, identiques pour toutes les maisons d'un secteur, et qu'à l'intérieur d'un secteur les résidus sont indépendants. Les modèles de ce chapitre relâchent ces deux hypothèses : $\mu$ peut être une surface continue (krigeage, régression géographiquement pondérée), un processus autorégressif qui lie chaque résidu à ceux de ses voisins (modèle à erreur spatiale), ou encore une dépendance directe du prix aux prix voisins (modèle à décalage spatial). De même, $\tau$ peut être une tendance linéaire, une suite d'indicatrices trimestrielles, ou une pondération des ventes antérieures qui décroît avec leur ancienneté.5960\subsection{Ce que la dépendance fait aux moindres carrés}6162Les conséquences de la dépendance spatiale pour l'estimateur des moindres carrés ordinaires dépendent de sa forme. Si la dépendance réside dans le terme d'erreur, comme dans le modèle à erreur spatiale de la \cref{sec:19:modeles}, les coefficients MCO restent sans biais et convergents, mais ils ne sont plus efficaces et, surtout, leurs erreurs-types habituelles sont fausses : avec une autocorrélation positive, chaque observation apporte moins d'information qu'une observation indépendante, l'échantillon « effectif » est plus petit que $n$, et les erreurs-types usuelles, même robustes à l'hétéroscédasticité, sous-estiment l'incertitude. Les intervalles de confiance sur les prix implicites, et donc sur les ajustements qu'on en dérive au \cref{ch:17}, sont trop étroits.6364Si la dépendance porte sur la variable dépendante elle-même, c'est-à-dire si le prix d'une maison dépend des prix des maisons voisines, la situation est plus grave. Écrivons $\mathbf{y} = \rho\mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon$, où $\mathbf{W}\mathbf{y}$ est le vecteur des moyennes des prix voisins (la matrice $\mathbf{W}$ est définie à la \cref{sec:19:poids}). Le régresseur $\mathbf{W}\mathbf{y}$ est corrélé avec $\boldsymbol\varepsilon$, parce que le prix de la voisine dépend de son propre terme d'erreur, lequel se répercute sur le prix du sujet, et ainsi de suite. L'estimateur MCO de $\rho$ est alors biaisé et non convergent, et le biais contamine $\hat{\boldsymbol\beta}$. Omettre purement et simplement $\mathbf{W}\mathbf{y}$ ne vaut guère mieux : la variable omise est corrélée avec $\mathbf{X}$ par l'intermédiaire des caractéristiques des voisines, et les coefficients absorbent une part de l'effet de voisinage. Le \cref{tab:19:coefficients} illustrera le phénomène : le coefficient du terrain passe du simple au double selon que la localisation est ou non modélisée.6566La leçon pratique est double. D'abord, un diagnostic de dépendance spatiale sur les résidus fait partie des vérifications normales d'un modèle hédonique, au même titre que l'hétéroscédasticité ou la multicolinéarité du \cref{ch:18}. Ensuite, la forme de la dépendance détermine le remède : les tests de la \cref{sec:19:tests} sont construits pour la révéler.6768\section{Les matrices de pondération spatiale}\label{sec:19:poids}6970\subsection{Formaliser le voisinage}7172Toute l'économétrie spatiale repose sur une \motcle{matrice de pondération spatiale} $\mathbf{W}$, carrée d'ordre $n$, dont l'élément $w_{ij}$ mesure l'intensité du lien entre les observations $i$ et $j$ ; sa diagonale est nulle, une observation n'étant pas sa propre voisine. Trois constructions dominent pour les microdonnées immobilières, où chaque vente est un point. La \emph{contiguïté}, naturelle pour des polygones (municipalités, secteurs de recensement), s'applique aux points par l'intermédiaire d'une triangulation ou des lots cadastraux ; elle est rarement disponible. Les \emph{$k$ plus proches voisins} attribuent un poids de un aux $k$ ventes les plus proches de $i$ et zéro aux autres : chaque observation a exactement $k$ voisines, ce qui évite les observations isolées, mais le rayon de voisinage varie avec la densité des ventes. La \emph{distance inverse} attribue un poids $d_{ij}^{-\gamma}$ à toutes les ventes situées à moins d'une portée $d_{\max}$ : le voisinage a une étendue fixe, mais le nombre de voisines varie, et une portée trop courte laisse des lignes vides.7374La matrice est presque toujours \motcle{standardisée en ligne},75\begin{equation}\label{eq:19:standardisation}76w_{ij} = \frac{w^{*}_{ij}}{\sum_{l=1}^{n} w^{*}_{il}}, \qquad \sum_{j} w_{ij} = 1 ,77\end{equation}78de sorte que le \motcle{décalage spatial} $(\mathbf{W}\mathbf{y})_i = \sum_j w_{ij} y_j$ est une moyenne pondérée des valeurs voisines, comparable d'une observation à l'autre. La standardisation a deux conséquences mathématiques utiles. La plus grande valeur propre de $\mathbf{W}$ vaut alors exactement un, de sorte que le paramètre autorégressif $\rho$ des modèles de la \cref{sec:19:modeles} est contraint à l'intervalle $(1/\omega_{\min}, 1)$, où $\omega_{\min}$ est la plus petite valeur propre réelle ; et le vecteur unité est un vecteur propre de $\mathbf{W}$, $\mathbf{W}\mathbf{1} = \mathbf{1}$, ce qui simplifie le calcul des effets totaux (\cref{prop:effet-total}). En revanche, une matrice standardisée en ligne n'est plus symétrique, et les valeurs propres d'une matrice de $k$ plus proches voisins peuvent être complexes ; le déterminant jacobien qui intervient dans la vraisemblance se calcule alors avec les modules, $\abs{\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})} = \prod_i \abs{1 - \rho\,\omega_i}$.7980Les coordonnées des ventes doivent être exprimées dans un système métrique avant tout calcul de distance. Des latitudes et longitudes en degrés ne s'y prêtent pas, un degré de longitude valant à Gatineau environ 78 kilomètres contre 111 pour un degré de latitude. Une projection équirectangulaire locale, $x = (\lambda - \lambda_0)\,111{,}32\cos\varphi_0$ et $y = (\varphi - \varphi_0)\,110{,}57$ en kilomètres autour d'un point de référence $(\varphi_0, \lambda_0)$, suffit à l'échelle d'une agglomération ; au-delà, on utilise la projection officielle du Québec (\cref{ch:38}). Rappelons que les coordonnées du cas 1 sont synthétiques et que les cartes de ce chapitre ne représentent aucun lieu réel ; les questions de géocodage et de confidentialité des adresses sont traitées au \cref{ch:14}.8182\subsection{La matrice spatio-temporelle de Dubé et Legros}8384Les ventes immobilières ne sont pas seulement localisées, elles sont datées, et une matrice purement spatiale fait parler une vente de 2026 pour expliquer une vente de 2023, ce qui est absurde pour le troisième mécanisme de la \cref{sec:19:dependance}. \textcite{dubeLegros2013} ont proposé de combiner une pondération spatiale $s_{ij}$ et une pondération temporelle $t_{ij}$ en une matrice \motcle{spatio-temporelle}85\begin{equation}\label{eq:19:spatio-temporelle}86w^{*}_{ij} = s_{ij}\, t_{ij}, \qquad s_{ij} = d_{ij}^{-\gamma}\,\mathbb{1}\{0 < d_{ij} \leq d_{\max}\}, \qquad t_{ij} = \mathbb{1}\{0 < t_i - t_j \leq T\},87\end{equation}88où $t_i - t_j$ est le délai, en mois, entre la vente $j$ et la vente $i$. Le facteur temporel est \emph{unidirectionnel} : seules les ventes conclues avant $i$, et depuis moins de $T$ mois, pèsent sur $i$. On peut lui substituer une fonction décroissante du délai, et \textcite{dubeLegros2014} discutent plusieurs choix ; la forme indicatrice suffit ici. La matrice est ensuite standardisée en ligne par l'\cref{eq:19:standardisation}. Deux particularités en découlent. Les premières ventes de la période, et les ventes isolées, n'ont aucune voisine antérieure : leur ligne est nulle et leur décalage vaut zéro, ce qui oblige soit à les exclure de l'estimation du modèle à décalage, soit à les conserver seulement comme voisines des ventes suivantes. Surtout, si les observations sont ordonnées par date, la matrice est strictement triangulaire inférieure.8990\begin{proposition}{Jacobien d'une matrice spatio-temporelle unidirectionnelle}{jacobien-st}91Si $\mathbf{W}$ est construite selon l'\cref{eq:19:spatio-temporelle} avec un facteur temporel unidirectionnel, alors toutes ses valeurs propres sont nulles et $\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W}) = 1$ pour tout $\rho$.92\end{proposition}93\begin{proof}94Ordonnons les observations par date de vente croissante. Pour $j \geq i$, la vente $j$ n'est pas antérieure à $i$, donc $t_{ij} = 0$ et $w_{ij} = 0$ : la matrice est strictement triangulaire inférieure. La standardisation en ligne ne modifie pas la position des zéros. Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses éléments diagonaux, tous nuls, et celles de $\mathbf{I} - \rho\mathbf{W}$ valent toutes un ; le déterminant, produit des valeurs propres, vaut un. Le résultat ne dépend pas de l'ordre choisi, le déterminant étant invariant par permutation simultanée des lignes et des colonnes.95\end{proof}9697La proposition a une conséquence pratique importante : le terme jacobien de la vraisemblance disparaît, et le modèle à décalage spatio-temporel s'estime par moindres carrés ordinaires sur $[\mathbf{W}\mathbf{y}, \mathbf{X}]$, le décalage étant \emph{prédéterminé} au sens des séries chronologiques. Cette simplicité a un prix : l'estimateur n'est convergent que si les erreurs ne sont pas elles-mêmes autocorrélées dans l'espace, car la vente antérieure voisine porte le même résidu de quartier que le sujet. L'exemple de la \cref{sec:19:exemple} montrera que, dans le jeu du cas 1, le décalage spatio-temporel capte une partie seulement de la dépendance résiduelle.9899\subsection{Choisir la matrice}100101Le choix de $\mathbf{W}$ est la décision la plus discutée et la moins théorisée de l'économétrie spatiale. Aucun test ne désigne la « bonne » matrice ; le critère d'information et la vraisemblance permettent de comparer des matrices entre elles pour un même modèle, mais la comparaison est fragile et les paramètres autorégressifs ne sont pas comparables d'une matrice à l'autre, un fait que la \cref{sec:19:sensibilite} illustrera. En pratique, on construit la matrice à partir de ce que l'on sait du mécanisme : quelques plus proches voisins si l'on pense aux comparables qu'un acheteur regarde, une portée fixe si l'on pense à une externalité physique dont l'effet s'éteint avec la distance, une pondération spatio-temporelle si l'on pense à l'ancrage sur les ventes récentes. Et l'on vérifie que les conclusions ne dépendent pas de choix raisonnables différents. Dans ce chapitre, la matrice de référence est celle des huit plus proches voisins, standardisée en ligne ; les variantes à quatre, six, douze et seize voisins et les matrices de distance inverse à deux, trois et quatre kilomètres servent à l'analyse de sensibilité.102103\section{Tester la dépendance spatiale}\label{sec:19:tests}104105\subsection{La statistique \texorpdfstring{$I$}{I} de Moran}106107La statistique de Moran est au spatial ce que le coefficient d'autocorrélation d'ordre un est aux séries chronologiques. Pour une variable $z_i = x_i - \bar{x}$ centrée et une matrice $\mathbf{W}$ de somme $S_0 = \sum_i\sum_j w_{ij}$,108\begin{equation}\label{eq:19:moran}109I = \frac{n}{S_0}\,\frac{\mathbf{z}\T\mathbf{W}\mathbf{z}}{\mathbf{z}\T\mathbf{z}} = \frac{n}{S_0}\,\frac{\sum_i\sum_j w_{ij}\,z_i z_j}{\sum_i z_i^2} .110\end{equation}111Avec une matrice standardisée en ligne, $S_0 = n$ et $I$ est la pente de la régression du décalage spatial $\mathbf{W}\mathbf{z}$ sur $\mathbf{z}$ : c'est la lecture graphique du « diagramme de Moran ». Sous l'hypothèse nulle d'absence d'autocorrélation et de normalité des $z_i$, l'espérance et la variance sont connues \parencite{anselin1988} :112\begin{equation}\label{eq:19:moran-moments}113\E[I] = -\frac{1}{n-1}, \qquad \Var[I] = \frac{n^2 S_1 - n S_2 + 3 S_0^2}{(n^2 - 1)\, S_0^2} - \E[I]^2 ,114\end{equation}115avec $S_1 = \tfrac12\sum_i\sum_j (w_{ij} + w_{ji})^2$ et $S_2 = \sum_i\big(\sum_j w_{ij} + \sum_j w_{ji}\big)^2$. La statistique centrée réduite $z_I = (I - \E[I])/\sqrt{\Var[I]}$ est comparée à la loi normale. L'espérance sous l'hypothèse nulle est légèrement négative, $-1/599 \approx -0{,}0017$ pour le cas 1, ce qui rappelle qu'un $I$ nul n'est pas tout à fait l'absence de dépendance. Une inférence par permutations, qui recalcule $I$ après avoir mélangé aléatoirement les valeurs entre les positions, dispense de l'hypothèse de normalité ; les deux approches donnent des résultats très voisins pour 600 observations.116117Appliquée aux résidus d'une régression, la statistique de Moran garde son interprétation descriptive, mais ses moments sous l'hypothèse nulle sont modifiés par le fait que les résidus MCO sont des combinaisons linéaires des erreurs, contraintes par les régresseurs ; \textcite{anselin1988} en donne la version corrigée. L'écart est faible lorsque $n$ est grand par rapport au nombre de régresseurs, et la version simple de l'\cref{eq:19:moran-moments} est celle qu'utilise le script de ce chapitre ; la version corrigée donne, pour les résidus du cas 1 sans indicatrices de secteur, une statistique de 17,3 contre 17,1.118119Le \motcle{corrélogramme} spatial raffine le diagnostic en calculant $I$ pour une suite de matrices binaires, chacune ne retenant que les paires dont la distance tombe dans une bande donnée. Il montre à quelle distance la dépendance s'éteint, et il révèle des structures que la statistique globale masque : une dépendance forte jusqu'à quelques kilomètres puis négative au-delà signale des sous-marchés de taille finie plutôt qu'une décroissance continue, comme on le verra à la \cref{fig:19:correlogramme}.120121\subsection{Les tests du multiplicateur de Lagrange}122123La statistique de Moran détecte la dépendance mais ne dit pas si elle vient du terme d'erreur ou de la variable dépendante. Les tests du \motcle{multiplicateur de Lagrange} (LM), calculés à partir des seuls résidus MCO $\mathbf{e}$, répondent à cette question \parencite{anselin1988}. Avec $\hat\sigma^2 = \mathbf{e}\T\mathbf{e}/n$, $T = \operatorname{tr}[(\mathbf{W}\T + \mathbf{W})\mathbf{W}]$, $\mathbf{M} = \mathbf{I} - \mathbf{X}(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T$ et $R_J = (\mathbf{W}\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})\T\mathbf{M}(\mathbf{W}\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})/\hat\sigma^2 + T$, le test de l'hypothèse $\lambda = 0$ dans le modèle à erreur spatiale et le test de $\rho = 0$ dans le modèle à décalage s'écrivent124\begin{equation}\label{eq:19:lm}125\mathrm{LM}_{\text{err}} = \frac{\left(\mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{e}/\hat\sigma^2\right)^2}{T}, \qquad126\mathrm{LM}_{\text{lag}} = \frac{\left(\mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{y}/\hat\sigma^2\right)^2}{R_J} ,127\end{equation}128chacun suivant asymptotiquement une loi du $\chi^2$ à un degré de liberté sous son hypothèse nulle. Le numérateur du premier est, à un facteur près, le carré de la statistique de Moran des résidus ; celui du second mesure la corrélation entre les résidus et le décalage de la variable dépendante. Le problème est que chaque test rejette aussi en présence de l'autre forme de dépendance. Les versions \emph{robustes}, dues à Anselin et à ses coauteurs et présentées dans \textcite{elhorst2014}, corrigent chaque statistique de la présence éventuelle de l'autre forme :129\begin{equation}\label{eq:19:rlm}130\mathrm{RLM}_{\text{lag}} = \frac{\left(d_\rho - d_\lambda\right)^2}{R_J - T}, \qquad131\mathrm{RLM}_{\text{err}} = \frac{\left(d_\lambda - T R_J^{-1} d_\rho\right)^2}{T\left(1 - T R_J^{-1}\right)} ,132\end{equation}133avec $d_\rho = \mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{y}/\hat\sigma^2$ et $d_\lambda = \mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{e}/\hat\sigma^2$. La règle de décision usuelle est séquentielle : si aucun test simple n'est significatif, le modèle MCO suffit ; si les deux le sont, on regarde les versions robustes et l'on retient la forme dont la version robuste reste significative ; si les deux versions robustes sont significatives, on envisage un modèle combinant les deux formes ou, plus souvent, on soupçonne une spécification déficiente (variables omises, forme fonctionnelle) dont la dépendance spatiale n'est que le symptôme. L'exemple du cas 1 est, à cet égard, un cas d'école.134135\begin{pratique}136Le diagnostic spatial d'un modèle hédonique tient en trois gestes, qui devraient figurer au dossier de tout modèle utilisé pour dériver des ajustements ou des indications de valeur : la carte des résidus sur les coordonnées des ventes, qui montre à l'œil les grappes de sur- et de sous-évaluation ; la statistique de Moran des résidus avec sa valeur $z$, pour une matrice de voisinage déclarée ; et les quatre tests LM, qui orientent vers un remède. Un modèle dont les résidus sont spatialement corrélés n'est pas inutilisable, mais ses erreurs-types sont trompeuses et sa prédiction pour un sujet donné peut être améliorée par l'information des ventes voisines, ce que la \cref{sec:19:krigeage} montre.137\end{pratique}138139\section{Les modèles autorégressifs spatiaux : SAR, SEM et SDM}\label{sec:19:modeles}140141\subsection{Trois façons d'introduire le voisinage}142143Le \motcle{modèle à décalage spatial} (SAR, \emph{spatial autoregressive} ou \emph{spatial lag model}) fait dépendre le prix d'une maison de la moyenne pondérée des prix de ses voisines :144\begin{equation}\label{eq:19:sar}145\mathbf{y} = \rho\,\mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon, \qquad \boldsymbol\varepsilon \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I}) ,146\end{equation}147où $\mathbf{y}$ est le vecteur des logarithmes des prix. Le paramètre $\rho$ mesure l'intensité de l'interaction ; sa forme réduite,148\begin{equation}\label{eq:19:sar-reduite}149\mathbf{y} = (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\mathbf{X}\boldsymbol\beta + (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\boldsymbol\varepsilon150= \sum_{m=0}^{\infty} \rho^m\mathbf{W}^m\left(\mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon\right),151\end{equation}152montre que les caractéristiques et le choc de chaque maison se propagent à ses voisines ($\mathbf{W}$), puis aux voisines de ses voisines ($\mathbf{W}^2$), avec une intensité qui décroît géométriquement. Le développement en série converge pour $\abs{\rho} < 1$ lorsque $\mathbf{W}$ est standardisée en ligne. Le SAR est le modèle naturel du troisième mécanisme de la \cref{sec:19:dependance}, l'ancrage sur les prix voisins, et il est le plus souvent invoqué dans la littérature sur les « effets de pairs » immobiliers \parencite{desrosiersDubeTheriault2011}.153154Le \motcle{modèle à erreur spatiale} (SEM, \emph{spatial error model}) laisse la relation entre prix et caractéristiques intacte et place la dépendance dans le terme d'erreur :155\begin{equation}\label{eq:19:sem}156\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \mathbf{u}, \qquad \mathbf{u} = \lambda\,\mathbf{W}\mathbf{u} + \boldsymbol\varepsilon, \qquad \text{d'où } \mathbf{u} = (\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})^{-1}\boldsymbol\varepsilon .157\end{equation}158La matrice de covariance de $\mathbf{u}$ vaut $\sigma^2[(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})\T(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})]^{-1}$ : des maisons voisines partagent une composante de leur résidu, ce qui est exactement ce que produisent des attributs de voisinage omis. Le SEM est le modèle naturel des deux premiers mécanismes, externalités et sous-marchés non mesurés, et \textcite{dubin1988} l'a introduit en évaluation immobilière sous une forme voisine, avec une covariance décroissant continûment avec la distance plutôt que définie par une matrice de voisinage ; le \cref{sec:19:krigeage} revient sur cette parenté.159160Le \motcle{modèle de Durbin spatial} (SDM) ajoute au SAR les décalages spatiaux des caractéristiques :161\begin{equation}\label{eq:19:sdm}162\mathbf{y} = \rho\,\mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \mathbf{W}\mathbf{X}_{-1}\boldsymbol\theta + \boldsymbol\varepsilon ,163\end{equation}164où $\mathbf{X}_{-1}$ est la matrice des régresseurs sans la constante, qui serait colinéaire à son propre décalage. Le prix d'une maison dépend alors de ses caractéristiques, des prix voisins et des caractéristiques voisines : une grande maison entourée de petites ne se vend pas comme une grande maison entourée de grandes. \textcite{lesagePace2009} recommandent le SDM comme point de départ parce qu'il emboîte le SAR ($\boldsymbol\theta = \mathbf{0}$), le SEM ($\boldsymbol\theta = -\lambda\boldsymbol\beta_{-1}$, ce que l'on vérifie en multipliant l'\cref{eq:19:sem} par $\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W}$) et le modèle SLX à décalages des seuls régresseurs ($\rho = 0$), et parce que ses estimations de $\boldsymbol\beta$ restent convergentes lorsque des variables omises sont spatialement corrélées avec les régresseurs inclus. Son coût est un nombre de paramètres presque doublé et une interprétation plus délicate des effets.165166\subsection{L'estimation par maximum de vraisemblance}167168Sous normalité des innovations, la log-vraisemblance du SAR s'écrit169\begin{equation}\label{eq:19:loglik}170\ell(\rho, \boldsymbol\beta, \sigma^2) = \ln\abs{\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})} - \frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\left(\mathbf{y} - \rho\mathbf{W}\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)\T\left(\mathbf{y} - \rho\mathbf{W}\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta\right).171\end{equation}172Le premier terme est le jacobien de la transformation de $\boldsymbol\varepsilon$ en $\mathbf{y}$ ; c'est lui qui distingue le maximum de vraisemblance des moindres carrés appliqués naïvement à l'\cref{eq:19:sar}, et c'est lui qui pénalise les valeurs de $\rho$ proches des bornes. La maximisation se fait en deux temps. Pour $\rho$ fixé, les estimateurs de $\boldsymbol\beta$ et de $\sigma^2$ sont ceux des moindres carrés sur la variable transformée $\mathbf{y} - \rho\mathbf{W}\mathbf{y}$ ; en notant $\mathbf{b}_0$ et $\mathbf{b}_L$ les coefficients des régressions de $\mathbf{y}$ et de $\mathbf{W}\mathbf{y}$ sur $\mathbf{X}$, et $\mathbf{e}_0$, $\mathbf{e}_L$ leurs résidus, on a $\hat{\boldsymbol\beta}(\rho) = \mathbf{b}_0 - \rho\mathbf{b}_L$ et $\hat\sigma^2(\rho) = (\mathbf{e}_0 - \rho\mathbf{e}_L)\T(\mathbf{e}_0 - \rho\mathbf{e}_L)/n$. La \motcle{vraisemblance concentrée}173\begin{equation}\label{eq:19:concentree}174\ell_c(\rho) = \sum_{i=1}^{n}\ln\abs{1 - \rho\,\omega_i} - \frac{n}{2}\ln\!\big(2\pi\,\hat\sigma^2(\rho)\big) - \frac{n}{2}175\end{equation}176ne dépend plus que de $\rho$ et se maximise par une recherche unidimensionnelle sur l'intervalle admissible. Les $\omega_i$ sont les valeurs propres de $\mathbf{W}$, calculées une fois pour toutes ; pour quelques centaines d'observations, le calcul est immédiat, et pour des dizaines de milliers de ventes, on recourt aux approximations du déterminant développées par \textcite{paceBarrySirmans1998}. Le SEM s'estime de la même façon en concentrant sur $\lambda$, les coefficients $\hat{\boldsymbol\beta}(\lambda)$ étant ceux des moindres carrés de $\mathbf{y} - \lambda\mathbf{W}\mathbf{y}$ sur $\mathbf{X} - \lambda\mathbf{W}\mathbf{X}$, ce qui généralise la transformation de Cochrane--Orcutt des séries chronologiques. Les erreurs-types proviennent de l'inverse de la matrice d'information, dont \textcite{anselin1988} donne l'expression analytique ; elles supposent la normalité et l'homoscédasticité des innovations. Lorsque ces hypothèses sont douteuses, ou lorsque le nombre d'observations rend le jacobien coûteux, les estimateurs par variables instrumentales et par la méthode des moments généralisés de \textcite{kelejianPrucha1998,kelejianPrucha2010} constituent l'alternative : le décalage $\mathbf{W}\mathbf{y}$ y est instrumenté par $\mathbf{W}\mathbf{X}$ et $\mathbf{W}^2\mathbf{X}$, et la dépendance des erreurs est traitée par une étape de moments. Les fonctions \texttt{sar\_mv}, \texttt{sem\_mv} et \texttt{tests\_lm\_spatial} de la bibliothèque \texttt{traite.hedonique} implémentent le maximum de vraisemblance concentré et les tests ; leurs résultats coïncident, à $10^{-6}$ près, avec ceux de la bibliothèque \texttt{spreg} de PySAL, utilisée comme contrôle croisé.177178\subsection{Effets directs, indirects et totaux}179180Dans un modèle linéaire ordinaire, $\beta_r$ est l'effet d'une variation unitaire de $x_r$ sur $y$. Dans le SAR et le SDM, ce n'est plus vrai : une variation de $x_{jr}$ chez la maison $j$ modifie son prix, lequel modifie celui de ses voisines, qui rétroagit sur $j$. La dérivée du vecteur $\mathbf{y}$ par rapport au vecteur $\mathbf{x}_r$ est une matrice $n \times n$,181\begin{equation}\label{eq:19:effets}182\mathbf{S}_r(\mathbf{W}) = \frac{\partial\mathbf{y}}{\partial\mathbf{x}_r\T} = (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\left(\beta_r\mathbf{I} + \theta_r\mathbf{W}\right),183\end{equation}184avec $\theta_r = 0$ dans le SAR. \textcite{lesagePace2009} proposent de la résumer par trois scalaires : l'\motcle{effet direct} moyen, $\operatorname{tr}[\mathbf{S}_r]/n$, qui mesure l'effet d'une variation de $x_r$ chez $i$ sur le prix de $i$, rétroactions comprises ; l'\motcle{effet total} moyen, $\mathbf{1}\T\mathbf{S}_r\mathbf{1}/n$, somme d'une ligne moyenne, qui mesure l'effet sur le prix de $i$ d'une variation de $x_r$ chez toutes les maisons ; et l'\motcle{effet indirect}, différence des deux, qui mesure les retombées sur les voisines. Dans le SAR, les trois effets ont le même signe et l'effet indirect est proportionnel à l'effet direct ; dans le SDM, le coefficient $\theta_r$ peut les découpler et même leur donner des signes opposés.185186\begin{proposition}{Effet total dans un modèle à décalage spatial}{effet-total}187Si $\mathbf{W}$ est standardisée en ligne, l'effet total moyen de la variable $r$ dans le SAR vaut exactement $\beta_r/(1 - \rho)$, et dans le SDM, $(\beta_r + \theta_r)/(1 - \rho)$.188\end{proposition}189\begin{proof}190Puisque $\mathbf{W}\mathbf{1} = \mathbf{1}$, on a $(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})\mathbf{1} = (1 - \rho)\mathbf{1}$, donc $(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\mathbf{1} = \mathbf{1}/(1 - \rho)$. Alors $\mathbf{S}_r\mathbf{1} = (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}(\beta_r + \theta_r)\mathbf{1} = (\beta_r + \theta_r)\mathbf{1}/(1 - \rho)$, et la moyenne des sommes de lignes vaut $(\beta_r + \theta_r)/(1 - \rho)$.191\end{proof}192193Le facteur $1/(1 - \rho)$ est le \motcle{multiplicateur spatial}. Avec $\rho = 0{,}44$, valeur que l'exemple produira, il vaut 1,78 : un modèle SAR affirme que l'effet d'ensemble d'une caractéristique est près du double de son coefficient. Cette affirmation n'a de sens que si $\rho$ mesure réellement une interaction entre prix, et non la trace d'attributs de voisinage omis. C'est là le point d'interprétation le plus délicat du chapitre : les données ne permettent généralement pas de distinguer un vrai effet de voisinage d'un résidu de quartier spatialement lisse, et l'exemple montrera qu'un SAR estimé sans indicatrices de secteur attribue à l'« interaction » ce qui n'est que la prime de secteur omise. Pour l'évaluateur, la conséquence est claire : les effets totaux du SAR ne doivent pas servir à dériver des ajustements ; seuls les effets directs, ou les coefficients d'un SEM, s'interprètent comme des prix implicites, et encore faut-il que la spécification soit crédible.194195\subsection{Choisir entre les modèles}196197Trois critères se complètent. Les tests LM de la \cref{sec:19:tests} orientent avant estimation. Après estimation, le critère d'information d'Akaike, $\mathrm{AIC} = 2p - 2\hat\ell$ où $p$ compte les paramètres $\rho$ ou $\lambda$ et $\sigma^2$, compare des modèles non emboîtés estimés sur la même matrice. Enfin, la statistique de Moran des innovations $\hat{\boldsymbol\varepsilon}$ vérifie que le modèle retenu a bien épuisé la dépendance ; un SAR laissant des innovations corrélées signale que la forme était la mauvaise. À ces critères s'ajoute la question de l'objectif : pour \emph{prédire} la valeur d'un sujet, tous les modèles qui captent la dépendance se valent à peu près, comme \textcite{bourassaCantoniHoesli2010} l'ont montré en comparant krigeage, modèles autorégressifs et sous-marchés sur plusieurs villes ; pour \emph{interpréter} des prix implicites, le SEM et les effets fixes sont plus sûrs que le SAR.198199\section{La régression géographiquement pondérée}\label{sec:19:gwr}200201\subsection{Des coefficients qui varient avec le lieu}202203La \motcle{régression géographiquement pondérée} (GWR, \emph{geographically weighted regression}) de \textcite{fotheringhamBrunsdonCharlton2002} répond à l'hétérogénéité spatiale en estimant une régression distincte en chaque point de l'espace, à partir des observations voisines pondérées par leur distance. Pour une cible $u$ (une vente, ou un point quelconque comme le sujet), l'estimateur est celui des moindres carrés pondérés,204\begin{equation}\label{eq:19:gwr}205\hat{\boldsymbol\beta}(u) = \left(\mathbf{X}\T\mathbf{K}(u)\mathbf{X}\right)^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{K}(u)\mathbf{y}, \qquad \mathbf{K}(u) = \operatorname{diag}\big(k_1(u), \dots, k_n(u)\big),206\end{equation}207où le poids de la vente $j$ décroît avec sa distance $d_{uj}$ à la cible selon un \motcle{noyau}. Le noyau gaussien à bande passante fixe,208\begin{equation}\label{eq:19:noyau}209k_j(u) = \exp\!\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{d_{uj}}{h}\right)^2\right),210\end{equation}211donne un poids de 0,61 à une vente située à une bande passante $h$ de la cible, de 0,14 à deux bandes passantes et de 0,01 à trois. D'autres noyaux (bicarré, à support borné) et des bandes passantes \emph{adaptatives}, définies par un nombre de voisins plutôt que par une distance, conviennent mieux lorsque la densité des ventes est très inégale. La régression géographiquement pondérée généralise ainsi la méthode des comparables du \cref{ch:16} : l'évaluateur qui n'estime les prix implicites que sur les ventes du voisinage immédiat fait, sans le dire, une GWR à bande passante très courte.212213\subsection{La bande passante et l'arbitrage biais--variance}214215Le paramètre décisif est $h$. Une bande passante courte suit fidèlement les variations locales mais s'appuie sur peu d'observations effectives, et les coefficients deviennent instables ; une bande passante longue lisse tout et la GWR tend vers la régression globale. L'arbitrage est le même qu'au \cref{ch:16} pour le nombre de comparables, et il se règle de la même façon, par \motcle{validation croisée} : on choisit $h$ qui minimise la somme des carrés des erreurs de prédiction de chaque vente par une régression locale dont elle est exclue,216\begin{equation}\label{eq:19:cv}217\mathrm{CV}(h) = \sum_{i=1}^{n}\big(y_i - \hat y_{(-i)}(h)\big)^2 .218\end{equation}219L'exclusion de l'observation elle-même est indispensable : sans elle, $h \to 0$ interpolerait exactement les données. Le critère d'Akaike corrigé, $\mathrm{AIC}_c = n\ln(\hat\sigma^2) + n\ln(2\pi) + n\,(n + \operatorname{tr}\mathbf{S})/(n - 2 - \operatorname{tr}\mathbf{S})$, où $\mathbf{S}$ est la matrice « chapeau » qui transforme $\mathbf{y}$ en $\hat{\mathbf{y}}$ et dont la trace joue le rôle d'un nombre effectif de paramètres, est l'autre critère courant ; il permet en outre de comparer la GWR à la régression globale, dont la trace vaut $k$.220221\subsection{Lire les cartes de coefficients}222223Le produit de la GWR est un jeu de cartes, une par coefficient, qui montre où la superficie se paie cher, où l'âge pèse peu, où la constante locale, interprétable comme un niveau de prix de localisation à caractéristiques données, est élevée. Ces cartes sont séduisantes et doivent être lues avec prudence. Premièrement, les coefficients locaux sont fortement corrélés entre eux et avec ceux des cibles voisines, par construction ; leurs variations ne sont pas toutes significatives, et la GWR n'offre pas de test simple de la stabilité d'un coefficient, sinon des tests par permutation. Deuxièmement, une bande passante unique pour tous les coefficients impose la même échelle de variation à des phénomènes qui n'en ont pas la même ; les extensions à bandes passantes multiples répondent à cette limite, au prix d'un calcul plus lourd. Troisièmement, la GWR \emph{lisse} : une discontinuité réelle, comme la frontière entre deux secteurs de prix différents, est étalée sur une distance de l'ordre de la bande passante, et la prime d'un petit secteur enclavé dans un plus grand est sous-estimée. L'exemple en donnera une illustration nette. À Québec, \textcite{theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003} et \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006} ont montré que les prix implicites des attributs varient avec la localisation et avec le profil des acheteurs, ce qui plaide pour la GWR comme outil d'exploration ; pour la prédiction, l'exemple montrera qu'elle rivalise avec les modèles autorégressifs.224225\section{Les effets fixes de quartier et de temps}\label{sec:19:effets-fixes}226227Le remède le plus simple à la dépendance spatiale est aussi le plus ancien : des indicatrices de quartier. Si la dépendance provient d'attributs de voisinage omis dont la valeur est à peu près constante à l'intérieur de zones connues, une indicatrice par zone absorbe ces attributs, et les résidus redeviennent indépendants. C'est exactement la structure du modèle de référence du cas 1 et, comme on le verra, elle y suffit. La question est celle de la granularité. Des zones trop grandes laissent subsister de la dépendance à l'intérieur ; des zones trop petites multiplient les paramètres, réduisent le nombre de ventes par zone et finissent par absorber dans les effets fixes une partie de ce que les caractéristiques devraient expliquer. Le critère d'information arbitre ; la statistique de Moran des résidus contrôle. Les zones peuvent être administratives (secteurs, arrondissements, quartiers du rôle d'évaluation), statistiques (aires de diffusion), ou purement géométriques (cellules d'une grille), ces dernières ayant l'avantage de ne rien supposer et l'inconvénient de couper les quartiers réels au hasard. \textcite{bishop2020} et \textcite{kuminoffParmeterPope2010} recommandent, pour les modèles hédoniques destinés à mesurer des consentements à payer, des effets fixes spatiaux fins combinés à des effets fixes temporels, parce que cette spécification résiste mieux aux variables omises que des formes fonctionnelles sophistiquées.228229Le temps se traite de la même manière. Une tendance linéaire en mois, celle du modèle de référence, impose une croissance géométrique constante ; des indicatrices trimestrielles ou mensuelles laissent le marché suivre son propre chemin et fournissent, par la même occasion, un indice de prix hédonique, dont le \cref{ch:35} fait la théorie. Le coût est, là encore, un nombre de paramètres accru et des indices bruités lorsque les ventes par période sont peu nombreuses. Entre les deux, la matrice spatio-temporelle de la \cref{sec:19:poids} offre une troisième voie, où la dimension temporelle entre par la pondération des ventes antérieures plutôt que par des paramètres supplémentaires. Les modèles de panel du \cref{ch:36}, lorsque l'on observe les mêmes immeubles à plusieurs dates, et les modèles spatio-temporels bayésiens de \textcite{gelfandGhoshKnightSirmans1998} et \textcite{banerjeeGelfandKnightSirmans2004}, qui traitent l'espace et le temps comme des processus aléatoires continus, prolongent cette logique.230231\section{Le krigeage des résidus}\label{sec:19:krigeage}232233\subsection{Le variogramme}234235Le krigeage aborde la dépendance spatiale par la géostatistique plutôt que par une matrice de voisinage : le résidu de localisation est un processus aléatoire continu $u(\mathbf{s})$ dont la covariance dépend de la distance. L'outil descriptif est le \motcle{semi-variogramme}, qui mesure la dissemblance moyenne entre deux points séparés d'une distance $h$,236\begin{equation}\label{eq:19:variogramme}237\gamma(h) = \frac{1}{2}\,\E\big[\big(u(\mathbf{s}) - u(\mathbf{s} + \mathbf{h})\big)^2\big], \qquad238\hat\gamma(h) = \frac{1}{2N(h)}\sum_{(i,j) \in N(h)}\big(u_i - u_j\big)^2 ,239\end{equation}240où $N(h)$ est l'ensemble des paires dont la distance tombe dans une bande autour de $h$. Pour un processus stationnaire de variance $C(0)$ et de covariance $C(h)$, on a $\gamma(h) = C(0) - C(h)$ : le variogramme croît de zéro vers un \motcle{palier} égal à la variance, atteint à la \motcle{portée} au-delà de laquelle les résidus ne sont plus corrélés. Sa valeur à l'origine, la \motcle{pépite}, mesure la variabilité à très courte distance, c'est-à-dire la part du résidu qui n'est pas spatiale, bruit de transaction et erreurs de mesure. Un modèle paramétrique est ensuite ajusté au variogramme empirique ; le modèle exponentiel,241\begin{equation}\label{eq:19:exponentiel}242\gamma(h) = c_0 + c_1\left(1 - e^{-h/a}\right), \qquad h > 0 ,243\end{equation}244de pépite $c_0$, de palier $c_0 + c_1$ et de portée pratique $3a$ (distance à laquelle 95 \% du palier est atteint), est le plus courant pour les prix de maisons. \textcite{dubin1998} en donne une introduction pédagogique, et \textcite{basuThibodeau1998} ont estimé, sur les ventes de Dallas, des portées de plusieurs kilomètres ; \textcite{gillenThibodeauWachter2001} ont montré que la dépendance peut être \emph{anisotrope}, plus forte dans une direction que dans l'autre, le long d'une artère ou d'un littoral par exemple.245246\subsection{Le krigeage ordinaire}247248Le \motcle{krigeage ordinaire} prédit $u$ en un point non observé $\mathbf{s}_0$ par la combinaison linéaire $\hat u_0 = \sum_j w_j u_j$ des résidus observés, sans biais ($\sum_j w_j = 1$) et de variance minimale. Les poids résolvent le système linéaire249\begin{equation}\label{eq:19:krigeage}250\begin{bmatrix} \mathbf{C} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1}\T & 0 \end{bmatrix}251\begin{bmatrix} \mathbf{w} \\ \mu \end{bmatrix}252=253\begin{bmatrix} \mathbf{c}_0 \\ 1 \end{bmatrix},254\qquad255\sigma^2_{\text{k}}(\mathbf{s}_0) = C(0) - \mathbf{w}\T\mathbf{c}_0 - \mu ,256\end{equation}257où $\mathbf{C}$ est la matrice des covariances entre points observés, $C_{ij} = c_1 e^{-d_{ij}/a}$ pour $i \neq j$ et $C_{ii} = c_0 + c_1$, et $\mathbf{c}_0$ le vecteur des covariances entre les points observés et la cible ; $\mu$ est le multiplicateur de Lagrange de la contrainte de somme unitaire et $\sigma^2_{\text{k}}$ la variance de krigeage, qui mesure l'incertitude de la prédiction du résidu. Le krigeage est l'\emph{interpolateur optimal} au sens des moindres carrés : il donne plus de poids aux voisins proches, moins aux voisins regroupés entre eux, dont l'information est redondante, et il se réduit à une moyenne locale lorsque la pépite domine. En pratique, on ne résout le système que sur les quelques dizaines de voisins les plus proches de la cible, ce qui est sans perte lorsque la portée est courte devant l'étendue de l'échantillon.258259Pour l'évaluateur, le krigeage des résidus a une interprétation immédiate : c'est un \emph{ajustement de localisation} estimé à partir de ce que le modèle hédonique n'a pas su expliquer chez les ventes voisines. Si les maisons autour du sujet se sont toutes vendues 5 \% au-dessus de ce que le modèle prédit, il est raisonnable de relever de 5 \% la prédiction pour le sujet, et le krigeage dit de combien exactement, compte tenu des distances et de la redondance des voisins. Le SEM de la \cref{sec:19:modeles} fait la même chose avec une structure de covariance définie par $\mathbf{W}$ : l'espérance conditionnelle du résidu au sujet, sachant les résidus observés, s'obtient à partir de la matrice de précision $(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})\T(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})/\sigma^2$, et l'exemple montrera que les deux approches donnent des corrections très voisines. \textcite{dubin1988} avait précisément proposé d'estimer conjointement les coefficients hédoniques et la covariance spatiale ; la pratique courante, en deux étapes, régression puis krigeage des résidus, perd un peu d'efficacité mais reste transparente et facile à documenter.260