spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 20 — Réconciliation et incertitude2% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch20.py (test_solutions_exercices)34\begin{solution}{ex:20:1}{Deux indications indépendantes}5Les précisions sont $1/\sigma_1^2 = 1/30\,000^2 = 1{,}111 \times 10^{-9}$ et $1/\sigma_2^2 = 1/12\,000^2 = 6{,}944 \times 10^{-9}$ ; les poids inverses de la variance valent $w_1 = 1{,}111/(1{,}111 + 6{,}944) = 0{,}1379$ pour la comparaison et $w_2 = 0{,}8621$ pour le modèle. La valeur combinée est $0{,}1379 \times 582\,000 + 0{,}8621 \times 636\,000 = \dollars{628552}$ et son écart-type, par l'\cref{eq:20:variance} avec $\rho = 0$, $\sqrt{0{,}1379^2 \times 30\,000^2 + 0{,}8621^2 \times 12\,000^2} = \dollars{11142}$, ce qui est aussi $(1/\sigma_1^2 + 1/\sigma_2^2)^{-1/2}$. La moyenne simple vaut \dollars{609000} et son écart-type $\sqrt{0{,}25 \times 30\,000^2 + 0{,}25 \times 12\,000^2} = \dollars{16155}$. La moyenne simple est moins précise que la combinaison optimale (\dollars{11142}) et même que le modèle seul (\dollars{12000}), parce qu'elle donne la moitié du poids à l'indication dont la variance est six fois plus grande ; elle reste plus précise que la comparaison seule (\dollars{30000}), parce que toute moyenne de deux estimateurs indépendants réduit la variance de chacun pris isolément dès que les poids ne sont pas extrêmes. Le gain de la pondération optimale sur la moyenne simple est de 31 \% d'écart-type, et la conclusion se déplace de près de \dollars{20000}.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:20:2}{Trois intervalles}9L'écart-type d'estimation du logarithme est $\sqrt{0{,}00010} = 0{,}0100$ et la demi-largeur à 95 \% de l'intervalle de confiance $1{,}96 \times 0{,}0100 = 0{,}0196$, soit \pct{1.96} ; l'\cref{eq:20:ic} donne $\exp(13{,}3627 \mp 0{,}0196) \times 1{,}00335$, c'est-à-dire de \dollars{625586} à \dollars{650596}. L'écart-type de prédiction est $\sqrt{0{,}00010 + 0{,}0830^2} = \sqrt{0{,}00699} = 0{,}0836$, la demi-largeur $1{,}96 \times 0{,}0836 = 0{,}1639$, soit \pct{16.4}, et l'intervalle de prédiction (\cref{eq:18:intervalle}) $\exp(13{,}3627 \mp 0{,}1639)$, de \dollars{539740} à \dollars{749047} (le \cref{ch:18} obtient \dollars{539682} et \dollars{749087} avec les valeurs non arrondies). Le rapport des demi-largeurs en logarithme est $0{,}0836 / 0{,}0100 = 8{,}36$. L'intervalle de confiance porte sur $\E[P \mid \mathbf{x}_s]$, c'est-à-dire sur la valeur marchande telle qu'un seul modèle l'estime : c'est lui, et non l'intervalle de prédiction, qui a la nature d'une fourchette de valeur, mais il ne contient que l'incertitude d'estimation des coefficients d'une spécification donnée. L'intervalle de prédiction porte sur le prix d'une transaction future et doit être présenté comme une information sur le prix. Ni l'un ni l'autre n'est la fourchette conclue au \cref{sec:20:exemple}, \dollars{575000} à \dollars{640000}, parce que celle-ci intègre l'incertitude de spécification du modèle, l'écart entre les méthodes et l'incertitude des poids, qu'aucun intervalle tiré d'un seul modèle ne contient : la fourchette conclue est cinq fois plus large que l'intervalle de confiance et deux fois plus étroite que l'intervalle de prédiction.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:20:3}{Poids optimaux avec corrélation}13Avec $\sigma_1 = \dollars{30000}$ (comparaison) et $\sigma_2 = \dollars{12000}$ (modèle), l'\cref{eq:20:deux} donne $w_1^* = (\sigma_2^2 - \rho\sigma_1\sigma_2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2)$, où $\sigma_1\sigma_2 = 360 \times 10^6$. Pour $\rho = 0{,}3$ : $w_1^* = (144 - 108)/(1\,044 - 216) = 36/828 = 0{,}0435$, et l'écart-type minimal, par la seconde formule, $\sqrt{900 \times 144 \times (1 - 0{,}09) / 828} \times 10^3 = \dollars{11935}$. Pour $\rho = 0{,}5$ : $w_1^* = (144 - 180)/(1\,044 - 360) = -0{,}0526$ ; pour $\rho = 0{,}6$ : $w_1^* = (144 - 216)/(1\,044 - 432) = -0{,}1176$. Le poids devient négatif dès que $\rho > \sigma_2/\sigma_1 = 12\,000/30\,000 = 0{,}40$ : au-delà, l'erreur de la comparaison est si bien prédite par celle du modèle que la combinaison optimale l'utiliserait comme correction, en la soustrayant. Un poids négatif n'a pas de sens pour une indication de valeur ; l'évaluateur contraint les poids à $[0, 1]$, ce qui donne $w_1 = 0$ et un écart-type de \dollars{12000}, c'est-à-dire qu'il ne retient que le modèle et déclare que la comparaison, telle qu'elle a été construite, n'apporte aucune information indépendante. Pour la pratique, le résultat signifie qu'une grille ajustée avec les prix implicites d'une régression estimée sur les mêmes ventes n'est pas une seconde méthode, mais une seconde lecture de la même méthode, d'autant plus redondante que les comparables sont tenus pour certains ; sur le cas 1, la corrélation mesurée comparables fixes, $0{,}425$, dépasse d'ailleurs ce seuil, et seule la variance propre au tirage des candidats, qui ramène la corrélation totale à $0{,}088$, justifie de garder les deux indications.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:20:4}{Un bootstrap à la main}17La somme des vingt réplications est $11\,723$ milliers, d'où une moyenne de \dollars{586150} ; la somme des carrés des écarts à la moyenne vaut $4\,248{,}55 \times 10^6$ et l'écart-type bootstrap, avec $B - 1 = 19$ au dénominateur (\cref{eq:20:bootstrap}), $\sqrt{4\,248{,}55 \times 10^6 / 19} = \dollars{14954}$. Les quantiles par interpolation linéaire (position $q(B-1) + 1$ dans la liste triée) : le quantile à 5 \% est à la position $0{,}05 \times 19 + 1 = 1{,}95$, soit $561 + 0{,}95 \times (568 - 561) = 567{,}65$ milliers ; le quantile à 95 \% est à la position $19{,}05$, soit $611 + 0{,}05 \times (624 - 611) = 611{,}65$ milliers ; l'intervalle percentile à 90 \% va donc de \dollars{567650} à \dollars{611650}. L'intervalle à 80 \% s'obtient de même aux positions $2{,}9$ et $18{,}1$ : $568 + 0{,}9 \times 3 = 570{,}7$ et $603 + 0{,}1 \times 8 = 603{,}8$ milliers, soit de \dollars{570700} à \dollars{603800}. Vingt réplications suffisent pour l'écart-type parce que celui-ci est une moyenne de carrés sur toutes les réplications, dont l'erreur relative est de l'ordre de $1/\sqrt{2(B-1)} \approx 16$ \% ; elles sont insuffisantes pour les quantiles extrêmes parce que ceux-ci reposent sur une ou deux observations de queue : le quantile à 5 \% est ici déterminé par les deux plus petites valeurs seulement, et une seule réplication de plus ou de moins le déplace de plusieurs milliers de dollars. C'est pourquoi le chapitre utilise $B = 2\,000$ pour les intervalles percentiles.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:20:5}{L'indication par le coût : hypothèses d'usage et extraction}21(a) Terrain alloué : $V_L = 0{,}35 \times 575\,565 = \dollars{201448}$ ; dépréciation âge-vie : $D = 397\,567 \times 22/60 = \dollars{145775}$ ; indication : $201\,448 + 397\,567 - 145\,775 = \dollars{453240}$. (b) Avec 28 ans sur 75 : $D = 397\,567 \times 28/75 = \dollars{148425}$ et $V = 201\,448 + 397\,567 - 148\,425 = \dollars{450590}$. Les deux variantes restent inférieures de plus de \dollars{120000} aux indications par comparaison et par le coût du \cref{ch:24} : des hypothèses d'usage, même adoucies, ne rejoignent pas le marché, parce que la part du terrain y est sous-estimée (le \cref{ch:24} trouve 50,5 \% du prix des maisons récentes) et la dépréciation surestimée (22 \% extraite contre 37 à 47 \% par âge-vie). (c) Avec $V_L = \dollars{277000}$, l'\cref{eq:20:extraction} donne, à l'indication par comparaison, $D = 397\,567 - (575\,565 - 277\,000) = \dollars{99002}$, soit \pct{24.9} du coût neuf, et, à la prédiction hédonique, $D = 397\,567 - (637\,953 - 277\,000) = \dollars{36614}$, soit \pct{9.2}. Pour que le coût rejoigne le modèle avec la dépréciation totale du \cref{ch:24} (23,91 \%, soit \dollars{95066}), il faudrait un terrain de $637\,953 - (397\,567 - 95\,066) = \dollars{335452}$, soit \pct{21} de plus que la valeur extraite ; cette valeur n'est pas absurde, et le \cref{ch:25} doit trancher. (d) L'accord entre le coût (\dollars{579501}) et la comparaison (\dollars{575565}) n'est pas une confirmation indépendante parce que la dépréciation extraite du marché est, par construction, ce qui ramène le coût déprécié aux prix observés : si l'ensemble des ventes se vendait 10 \% plus cher, la dépréciation extraite baisserait et l'indication par le coût monterait d'autant, sans qu'aucune mesure physique du bâtiment ait changé ; le terrain, lui, est extrait de treize ventes du même marché, ramenées à la date par la tendance du même modèle, d'où la corrélation de $0{,}225$ avec la prédiction mesurée au \cref{tab:20:indications}. Un dossier réel exigerait de confirmer le terrain par des ventes de lots vacants ou par la méthode d'extraction sur des ventes récentes d'autres secteurs comparables (\cref{ch:25}), de vérifier le coût neuf par des soumissions locales ou des prix de maisons neuves décomposés (\cref{ch:21}), et de confronter la dépréciation extraite à l'état constaté du bâtiment par l'inspection (\cref{ch:11,ch:24}).22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:20:6}{Pondérations alternatives et comparaison élargie}25(a) Avec les poids $0{,}30$, $0{,}55$ et $0{,}15$ : $0{,}30 \times 575\,565 + 0{,}55 \times 637\,953 + 0{,}15 \times 579\,501 = \dollars{610469}$, arrondi à \dollars{610000} ; avec $0{,}55$, $0{,}30$ et $0{,}15$ : \dollars{594872}, arrondi à \dollars{595000}. L'écart entre ces deux pondérations défendables est de \dollars{15600}, soit 2,6 \% de la conclusion, et toutes deux restent dans la fourchette conclue. (b) L'indication par comparaison élargie à seize candidats vaut \dollars{604689} ; avec les poids raisonnés, la conclusion devient $0{,}40 \times 604\,689 + 0{,}45 \times 637\,953 + 0{,}15 \times 579\,501 = \dollars{615880}$, arrondie à \dollars{615000}. L'effet, $+\dollars{11650}$, mesure ce que coûte à la conclusion le choix de cinq comparables qui se trouvent être des ventes bon marché : élargir l'échantillon rapproche la comparaison du modèle et déplace la conclusion vers lui, ce qui est l'arbitrage biais--variance du \cref{ch:16} appliqué à la réconciliation. (c) En relançant le bootstrap conjoint avec $k = 8$ comparables (fonction \texttt{bootstrap}, argument \texttt{k}), l'écart-type passe de \dollars{18385} à \dollars{18086} et l'indication à huit comparables, modèle fixe, vaut \dollars{581413}. La réduction est faible, bien que l'\cref{eq:16:variance} fasse attendre une variance divisée par $8/5$ pour des comparables de même variance et de même poids : les trois candidats ajoutés ont des ajustements bruts plus élevés, donc des poids plus faibles, de sorte que la somme des carrés des poids diminue peu, et le rééchantillonnage d'un bassin de seize ventes seulement fait réapparaître les mêmes candidats dans la plupart des réplications. \emph{Note} (150 mots). Ces variantes montrent que la fourchette de valeur à communiquer ne peut pas être l'intervalle bootstrap d'une seule configuration : la conclusion se déplace de \dollars{595000} à \dollars{615000} selon des choix de pondération et d'échantillon tous défendables, et cette plage, de 3,3 \% de la valeur, est du même ordre que l'écart-type bootstrap de l'indication par comparaison. La fourchette doit donc contenir au moins la plage des conclusions défendables, ce que fait l'encadrement par les indications crédibles (\dollars{575000} à \dollars{640000}), et le rapport doit dire quelles décisions, ici le nombre de comparables et le partage des poids entre la comparaison et le modèle, la gouvernent. L'évaluateur qui ne présente qu'une configuration et son intervalle bootstrap sous-estime l'incertitude de sa propre conclusion d'un facteur deux environ.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:20:7}{Rédiger la conclusion et l'incidence d'une hypothèse}29(a) Sous l'hypothèse extraordinaire $H$ (sous-sol exempt d'infiltration), la valeur conclue est $V_{\mid H} = \dollars{605000}$ ; si $H$ était fausse, $V_{\mid \neg H} = 605\,000 - 14\,000 = \dollars{591000}$. L'incidence (\cref{eq:10:incidence}) est $\Delta V_H = \dollars{14000}$, soit \pct{2.3} de la valeur conclue. Un lecteur qui attribue à $H$ une probabilité $p = 0{,}7$ retiendrait, par l'\cref{eq:10:esperance}, $\E[V] = 591\,000 + 0{,}7 \times 14\,000 = \dollars{600800}$. (b) Paragraphe (modèle, 190 mots) : « Trois indications ont été obtenues pour le sujet au 1\ier{} septembre 2026 : \dollars{575565} par la comparaison de cinq ventes vérifiées du secteur de Hull, ajustées par les prix implicites d'un modèle estimé sur 600 ventes ; \dollars{637953} par ce modèle ; \dollars{579501} par le coût, avec un terrain extrait de treize ventes récentes et une dépréciation extraite du marché. L'écart de 10 \% entre la comparaison et le modèle tient à ce que les cinq comparables se sont vendus en moyenne 8,5 \% sous leur prix prédit, écart que les onze autres ventes semblables du secteur ne partagent pas ; l'accord entre le coût et la comparaison tient en partie à ce que la dépréciation est extraite des mêmes prix. Nous avons pondéré la comparaison à 40 \%, le modèle à 45 \% et le coût à 15 \%, pour les raisons exposées à la section 7, et nous estimons la valeur marchande à \dollars{605000}, dans une fourchette de \dollars{575000} à \dollars{640000} ; le prix de vente probable se situe entre \dollars{540000} et \dollars{749000} dix-neuf fois sur vingt. Cette conclusion repose sur l'hypothèse extraordinaire que le sous-sol fini est exempt d'infiltration, non vérifiable derrière les finis ; si elle se révélait fausse, la valeur serait réduite d'environ \dollars{14000} (2,3 \%). » Le paragraphe expose le traitement de l'information et le raisonnement (règle 2.3, élément 8), décrit la réconciliation vers une conclusion unique sans moyenne (IVS 103, § 10.07) et rappelle l'hypothèse extraordinaire avec son incidence à l'énoncé de la conclusion (élément 7). (c) L'évaluateur ne doit pas remplacer $V_{\mid H}$ par $\E[V]$ parce que la valeur marchande est une estimation conditionnelle à un état du bien, non un pari sur cet état : c'est le lecteur, qui connaît ou apprécie $p$, qui forme l'espérance s'il le souhaite, et c'est pour le lui permettre que la norme exige l'incidence ; une valeur « espérée » mêlerait dans un seul chiffre une opinion sur le marché et une opinion sur l'état du sous-sol, et ne serait plus ni l'une ni l'autre.30\end{solution}31