spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 19 — Modèles spatiaux et temporels2% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch19.py (test_solutions_exercices, test_solution_exercice_7).34\begin{solution}{ex:19:1}{Statistique de Moran à la main}5La matrice de contiguïté binaire relie chaque maison à ses adjacentes ; après standardisation en ligne, les maisons 1 et 5 donnent un poids de 1 à leur unique voisine et les maisons 2, 3 et 4 un poids de $\tfrac12$ à chacune des deux leurs. La moyenne des résidus est nulle, donc $\mathbf{z} = \mathbf{e}$. Les décalages spatiaux $(\mathbf{W}\mathbf{z})_i$ sont $0{,}06$ ; $0{,}04$ ; $-0{,}01$ ; $-0{,}04$ ; $-0{,}08$ (par exemple, pour la maison 2 : $\tfrac12(0{,}10 - 0{,}02) = 0{,}04$). Les produits $z_i (\mathbf{W}\mathbf{z})_i$ valent $0{,}0060$ ; $0{,}0024$ ; $0{,}0002$ ; $0{,}0032$ ; $0{,}0048$, de somme $\mathbf{z}\T\mathbf{W}\mathbf{z} = 0{,}0166$, et $\mathbf{z}\T\mathbf{z} = 0{,}0240$. Avec $n = 5$ et $S_0 = 5$,6\[7I = \frac{5}{5}\cdot\frac{0{,}0166}{0{,}0240} = 0{,}692 .8\]9L'espérance sous l'hypothèse nulle est $\E[I] = -1/(n-1) = -0{,}25$ ; la variance de l'\cref{eq:19:moran-moments} vaut $0{,}158$, d'où $z_I = (0{,}692 + 0{,}25)/0{,}398 = 2{,}37$ (valeur $p$ bilatérale de 0,018). Le signe positif traduit un regroupement : les résidus positifs sont voisins de résidus positifs, les négatifs de négatifs, ce que l'on voit directement sur la rue où les résidus décroissent d'un bout à l'autre. Si les résidus alternaient, par exemple $0{,}10$ ; $-0{,}10$ ; $0{,}10$ ; $-0{,}10$ ; $0{,}10$, chaque décalage aurait le signe opposé au résidu et l'on trouverait $I = -1$ exactement sur cette configuration : c'est l'autocorrélation négative, celle d'un damier.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:19:2}{Dépendance ou hétérogénéité ?}13(a) Dépendance spatiale : un attribut de voisinage omis, le parc, affecte le résidu de toutes les maisons alentour. Remède : ajouter une variable d'accessibilité au parc ; à défaut, un modèle à erreur spatiale ou le krigeage des résidus corrigent la prédiction locale. (b) Hétérogénéité spatiale : le prix implicite du garage varie avec le lieu. Remède : une interaction garage $\times$ quartier ou une régression géographiquement pondérée, dont la carte du coefficient du garage montrera la variation. (c) Dépendance par interaction entre les prix : les acheteurs s'ancrent sur les ventes récentes du même développement. Remède : un modèle à décalage spatio-temporel avec une matrice de ventes antérieures, en vérifiant par les tests LM robustes que la dépendance n'est pas, en réalité, un résidu de qualité commun au développement. (d) Hétérogénéité : les coefficients diffèrent entre sous-marchés. Remède : un test de Chow entre arrondissements (\cref{ch:15}), puis des modèles séparés ou une GWR ; si l'écart tient à des variables omises corrélées avec la superficie dans un arrondissement, c'est un problème de spécification plutôt que d'hétérogénéité. (e) Dépendance des ratios d'évaluation : le quartier est sous-évalué au rôle, ce qui signale soit un effet fixe de quartier manquant dans le modèle d'évaluation de masse, soit une variation de marché depuis la date de référence qui lui est propre. Remède : statistique de Moran des ratios par unité de voisinage, puis révision des effets fixes ou des facteurs de localisation (\cref{ch:9}).14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:19:3}{Lire les tests LM}17Le seuil critique d'une loi du $\chi^2$ à un degré de liberté est $3{,}841$ au niveau de 5 \%. Les deux tests simples le dépassent largement ($48{,}2$ et $31{,}5$) : il y a dépendance spatiale, mais chacun des tests simples est aussi sensible à l'autre forme, et l'on passe aux versions robustes. La statistique robuste de l'erreur, $17{,}9$, reste très significative ; celle du décalage, $1{,}2$, ne l'est pas, avec une valeur $p$ d'environ 0,27 (à titre de repère, une statistique de $1{,}09$ a une valeur $p$ de 0,296). La règle séquentielle retient donc le modèle à erreur spatiale : la dépendance réside dans les résidus, ce qui s'interprète comme des attributs de voisinage omis partagés par les maisons proches, écoles, nuisances, qualité du bâti environnant, ou comme une segmentation en sous-marchés que la spécification ignore. Le remède premier est d'enrichir la spécification en variables de localisation ou en effets fixes de quartier ; le SEM corrige l'inférence et la prédiction si l'on ne peut pas. Si les deux statistiques robustes avaient dépassé 20, les deux formes seraient présentes ou, plus vraisemblablement, la spécification serait déficiente (forme fonctionnelle, variables omises corrélées avec les régresseurs) ; on envisagerait un modèle de Durbin spatial, qui emboîte les deux formes, et surtout l'on reverrait les variables avant de conclure à une interaction entre les prix.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:19:4}{Effets directs, indirects et totaux}21Par la \cref{prop:effet-total}, l'effet total moyen vaut $\beta_r/(1 - \hat\rho)$ : pour la superficie, $0{,}5571/0{,}5615 = 0{,}992$ ; pour la qualité, $0{,}0604/0{,}5615 = 0{,}108$. Le multiplicateur spatial est $1/(1 - 0{,}4385) = 1{,}78$. L'effet indirect de la superficie est la différence entre le total et le direct, $0{,}992 - 0{,}5715 = 0{,}421$. Si l'élasticité vraie est 0,55, l'effet total la surestime de $0{,}992/0{,}55 - 1 = 80$ \% : les quatre dixièmes d'élasticité attribués aux « retombées » sur les voisines sont un artefact du paramètre $\rho$, qui ne mesure dans ce jeu de données que la prime de secteur omise. Le seul effet qu'un évaluateur pourrait utiliser pour dériver un ajustement de superficie est l'effet direct, $0{,}5715$, qui reste proche de la vérité parce que la rétroaction d'une maison sur elle-même à travers ses voisines est faible ; encore vaudrait-il mieux utiliser le coefficient d'un SEM ($0{,}5416$ dans l'exemple du chapitre) ou du modèle avec indicatrices ($0{,}5391$), qui ne reposent pas sur l'hypothèse d'une interaction entre les prix.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:19:5}{Poids d'un noyau gaussien}25Avec $k_j = \exp[-\tfrac12 (d_j/h)^2]$ et $h = 2$ km, les poids bruts des ventes à 0,5 ; 1 ; 2 et 5 km sont $0{,}969$ ; $0{,}882$ ; $0{,}607$ et $0{,}044$, soit, normalisés à somme unitaire, $0{,}387$ ; $0{,}353$ ; $0{,}242$ et $0{,}018$. Avec $h = 5$ km, les poids bruts sont $0{,}995$ ; $0{,}980$ ; $0{,}923$ et $0{,}607$, normalisés $0{,}284$ ; $0{,}280$ ; $0{,}263$ et $0{,}173$. La vente à 5 km est pratiquement exclue par la bande courte (moins de 2 \% du poids) et compte presque autant que les autres avec la bande longue (17 \%). La bande courte produit une régression locale fondée sur trois ventes effectives : elle suit fidèlement le marché immédiat (faible biais) mais ses coefficients sont très instables (forte variance), comme une grille de trois comparables ; la bande longue mobilise les quatre ventes, réduit la variance, mais importe l'information d'une vente possiblement située dans un autre sous-marché (biais). C'est l'arbitrage de l'\cref{eq:16:kopt} du \cref{ch:16} transposé à une pondération continue, et la validation croisée joue le rôle que le jugement de l'évaluateur joue dans le choix du nombre de comparables.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:19:6}{Krigeage ordinaire à trois voisins}29Les distances au sujet sont 1, 2 et 3 km ; entre les points, $d_{12} = \sqrt5 = 2{,}236$, $d_{13} = 4$ et $d_{23} = \sqrt{13} = 3{,}606$ km. Avec $C(h) = 0{,}009\,e^{-h/5}$ pour $h > 0$ et $C(0) = c_0 + c_1 = 0{,}0135$, la matrice des covariances entre points observés et le vecteur des covariances avec le sujet sont30\[31\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0{,}01350 & 0{,}00575 & 0{,}00404 \\ 0{,}00575 & 0{,}01350 & 0{,}00438 \\ 0{,}00404 & 0{,}00438 & 0{,}01350 \end{bmatrix}, \qquad32\mathbf{c}_0 = \begin{bmatrix} 0{,}00737 \\ 0{,}00603 \\ 0{,}00494 \end{bmatrix}.33\]34Le système de l'\cref{eq:19:krigeage}, à quatre équations avec la contrainte $w_1 + w_2 + w_3 = 1$, a pour solution $w_1 = 0{,}466$, $w_2 = 0{,}283$, $w_3 = 0{,}251$ et $\mu = -0{,}0016$. Le résidu krigé au sujet vaut $0{,}466 \times 0{,}08 + 0{,}283 \times 0{,}05 + 0{,}251 \times (-0{,}01) = 0{,}0489$, et la variance de krigeage $C(0) - \mathbf{w}\T\mathbf{c}_0 - \mu = 0{,}0135 - 0{,}00650 + 0{,}0016 = 0{,}00869$, soit un écart-type de 0,093. La moyenne simple des trois résidus est $0{,}040$ et la moyenne pondérée par l'inverse de la distance (poids $0{,}545$ ; $0{,}273$ ; $0{,}182$) est $0{,}0555$. Le krigeage se situe entre les deux et donne au point le plus éloigné un poids de 0,251 contre 0,182 pour l'inverse de la distance, et au plus proche 0,466 contre 0,545. Deux raisons : la pépite, qui représente un tiers de la variance, signifie que chaque résidu observé est bruité, de sorte qu'aucun point ne mérite un poids dominant et que les poids sont aplatis vers la moyenne ; et les points 1 et 2 sont relativement proches l'un de l'autre (covariance 0,00575), donc partiellement redondants, tandis que le point 3, isolé, apporte une information indépendante que le krigeage rémunère. L'inverse de la distance ignore à la fois le bruit et la redondance.35\end{solution}3637\begin{solution}{ex:19:7}{Sensibilité à la matrice et prédiction pour le sujet}38La fonction \texttt{exercice\_7} de \texttt{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py} reproduit les calculs. Le SEM sans indicatrices de secteur donne $\hat\lambda = 0{,}507$ avec quatre voisins, $0{,}649$ avec huit et $0{,}786$ avec seize, soit une variation de 55 \% du paramètre. L'espérance conditionnelle du résidu au sujet vaut respectivement $-0{,}019$, $-0{,}052$ et $-0{,}055$, et les indications \dollars{656724}, \dollars{633352} et \dollars{628672}. L'écart entre les indications extrêmes est de 4,4 \%, bien moindre que la variation de $\hat\lambda$ mais du même ordre que l'écart de 4,1 \% entre le modèle sans secteur et le modèle de référence (\dollars{637953}) : la correction de localisation dépend de l'étendue du voisinage, parce qu'un voisinage de quatre ventes mesure le résidu local avec beaucoup de bruit et que le SEM le rétrécit alors davantage vers zéro. Avec une fenêtre de vingt-quatre mois au lieu de douze, la matrice spatio-temporelle ne laisse plus que 16 ventes sans voisine antérieure (contre 18), le voisinage moyen passe de 15,5 à 25,7 ventes et $\hat\rho_{\text{st}}$ monte de $0{,}370$ à $0{,}415$ (erreur-type 0,062) : élargir la fenêtre lisse le décalage et, comme pour les matrices spatiales, accroît le paramètre sans que la dépendance sous-jacente ait changé.3940\emph{Note (environ 200 mots).} Un ajustement de localisation dérivé d'un modèle spatial n'est pas un chiffre unique mais le résultat d'une chaîne de choix : spécification des caractéristiques, définition du voisinage (nombre de voisins ou portée, fenêtre temporelle), forme du modèle (erreur, décalage, krigeage, coefficients locaux) et méthode de retransformation. Le dossier doit déclarer chacun de ces choix et montrer que la conclusion y résiste. Les résultats de cet exercice indiquent que le paramètre autorégressif lui-même ne doit jamais être présenté comme une mesure de l'« effet de voisinage », puisqu'il change du simple au double selon la matrice ; ce qui doit être rapporté, c'est la correction de localisation au sujet, avec sa fourchette selon des voisinages raisonnables (ici, de $-1{,}9$ \% à $-5{,}4$ \% en logarithme) et la précision du modèle en validation croisée. Lorsque la fourchette est large, comme ici entre quatre et huit voisins, c'est le signe que le voisinage immédiat du sujet est hétérogène ou mince, et l'évaluateur doit le dire, revenir aux ventes elles-mêmes et vérifier ce qui, dans les quatre plus proches, s'écarte de la tendance du secteur. L'analyse de sensibilité fait partie de la preuve, au même titre que le modèle retenu, et la fourchette qu'elle produit alimente la réconciliation du \cref{ch:20}.41\end{solution}42