spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Modèles hédoniques}\label{ch:18}23Les deux chapitres précédents ont posé la méthode de comparaison comme l'estimation d'une espérance conditionnelle à partir de quelques ventes voisines du sujet, corrigées de leurs différences par des ajustements. Chaque ajustement suppose connu le \emph{prix implicite} d'une caractéristique, c'est-à-dire ce que le marché paie, toutes choses égales par ailleurs, pour un mètre carré de plus, une place de garage ou un secteur mieux coté. Le modèle hédonique est l'outil qui estime ces prix implicites de façon simultanée, sur des centaines ou des milliers de ventes, en décomposant le prix d'un immeuble en la somme des contributions de ses attributs. Le présent chapitre en expose le fondement économique, dû à Lancaster et à Rosen, sa spécification, son estimation par les moindres carrés, ses diagnostics et son emploi en évaluation : prix implicites pour alimenter la grille du \cref{ch:17}, prédiction directe de la valeur d'un sujet avec son intervalle, et modèles d'évaluation de masse pour le rôle foncier du \cref{ch:09}. L'exemple intégral estime le modèle de référence de l'ouvrage sur les 600 ventes synthétiques du cas 1 ; comme les lois qui ont engendré ces ventes sont connues, le lecteur peut vérifier que le modèle retrouve bien ce qu'il est censé mesurer, ce qu'aucune donnée réelle ne permet jamais. Les extensions spatiales et temporelles sont réservées au \cref{ch:19}, les indices au \cref{ch:35}, l'apprentissage automatique au \cref{ch:37} et les intervalles bayésiens au \cref{ch:39}.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item expliquer pourquoi la fonction de prix hédonique est une enveloppe d'enchères et d'offres, ce que ses dérivées mesurent et pourquoi l'évaluateur n'a pas besoin du second stade de Rosen ;9\item choisir une forme fonctionnelle (linéaire, semi-logarithmique, log-log, Box--Cox), en interpréter les coefficients et convertir correctement les coefficients d'indicatrices en pourcentages ;10\item estimer un modèle hédonique par les moindres carrés avec des erreurs-types robustes, et conduire les diagnostics d'hétéroscédasticité, de normalité, de colinéarité, d'influence et d'autocorrélation spatiale ;11\item dériver les prix implicites en dollars au sujet et les relier aux ajustements de la grille de comparaison ;12\item produire une prédiction en niveau corrigée du biais de retransformation et son intervalle de prédiction, et en lire la largeur ;13\item mesurer la qualité d'un modèle d'évaluation de masse par les statistiques de ratio (COD, PRD, PRB) et situer ces résultats par rapport aux normes de l'IAAO et au cadre québécois de la proportion médiane.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Fondements : des caractéristiques aux prix implicites}\label{sec:18:fondements}1819\subsection{Une méthode plus ancienne qu'il n'y paraît}2021L'idée de décomposer le prix d'un bien hétérogène en contributions de ses caractéristiques est née hors de l'immobilier. \textcite{court1939}, économiste chez General Motors, l'a utilisée pour construire un indice de prix des automobiles corrigé des changements de qualité, et c'est lui qui a forgé le terme « hédonique » ; \textcite{goodman1998} a retracé cette genèse. \textcite{griliches1961} a ressuscité la méthode vingt ans plus tard, toujours pour l'automobile, puis l'a systématisée \parencite{griliches1971}, et elle s'est transférée au logement dans les années 1960 et 1970, où elle est devenue l'instrument standard pour mesurer la valeur des attributs du logement et de son environnement. Les revues de \textcite{sheppard1999} et de \textcite{malpezzi2003} font le point sur ses fondements et ses applications ; celles de \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} et de \textcite{khoshnoudSirmansZietz2023} recensent plusieurs centaines d'études et les signes et ordres de grandeur typiques des coefficients.2223Le fondement théorique est venu après la pratique. \textcite{lancaster1966} a proposé que l'utilité d'un consommateur ne porte pas sur les biens eux-mêmes, mais sur les caractéristiques qu'ils contiennent ; un logement est alors un panier de superficie, d'âge, de qualité, d'accessibilité et de voisinage. \textcite{rosen1974} a fourni le modèle d'équilibre qui relie ce panier au prix observé et qui donne aux coefficients d'une régression hédonique une interprétation économique précise.2425\subsection{L'équilibre hédonique de Rosen}2627Soit $\mathbf{z} = (z_1, \dots, z_K)$ le vecteur des caractéristiques d'un logement et $P(\mathbf{z})$ la \motcle{fonction de prix hédonique}, qui donne le prix de marché d'un logement en fonction de ses caractéristiques. Cette fonction n'est pas choisie par un agent : elle est le résultat de l'équilibre entre des acheteurs hétérogènes et des vendeurs hétérogènes, et c'est ce qui la rend observable. Du côté des acheteurs, un ménage de revenu $y$ et de goûts $\boldsymbol\alpha$ qui consomme un logement $\mathbf{z}$ et un bien composite $x$ au prix unitaire maximise $U(x, \mathbf{z}; \boldsymbol\alpha)$ sous la contrainte $y = x + P(\mathbf{z})$. Sa \motcle{fonction d'enchère} (en anglais \emph{bid function}) $\theta(\mathbf{z}; u, y, \boldsymbol\alpha)$ est le montant maximal qu'il accepterait de payer pour le logement $\mathbf{z}$ tout en conservant le niveau d'utilité $u$ ; elle est définie implicitement par $U(y - \theta, \mathbf{z}; \boldsymbol\alpha) = u$. À l'optimum, le ménage choisit le logement où sa courbe d'enchère est tangente à la fonction de prix :28\begin{equation}\label{eq:18:rosen}29\frac{\partial P(\mathbf{z})}{\partial z_k} = \frac{\partial \theta(\mathbf{z}; u, y, \boldsymbol\alpha)}{\partial z_k} = \frac{\partial U / \partial z_k}{\partial U / \partial x}, \qquad k = 1, \dots, K .30\end{equation}31La dérivée partielle de la fonction de prix par rapport à la caractéristique $k$ est égale, pour le ménage qui occupe effectivement ce logement, à son taux marginal de substitution entre cette caractéristique et le bien composite, c'est-à-dire à sa disposition marginale à payer. Du côté des vendeurs ou des constructeurs, un raisonnement symétrique conduit à des fonctions d'offre tangentes à $P(\mathbf{z})$ par en dessous. La fonction de prix est l'\emph{enveloppe} de toutes ces courbes d'enchère et d'offre ; en chaque point, elle touche l'enchère d'un type d'acheteur et l'offre d'un type de vendeur.3233\begin{definition}{Prix implicite}{prix-implicite}34Le \motcle{prix implicite} (ou prix hédonique) de la caractéristique $k$ au point $\mathbf{z}$ est la dérivée partielle $p_k(\mathbf{z}) = \partial P(\mathbf{z}) / \partial z_k$ de la fonction de prix hédonique. Il mesure le supplément de prix que le marché associe à une unité de plus de la caractéristique $k$, les autres caractéristiques étant maintenues constantes, pour un logement de caractéristiques $\mathbf{z}$. En général, il dépend de $\mathbf{z}$ : le mètre carré supplémentaire ne vaut pas la même chose dans une petite maison et dans une grande.35\end{definition}3637Trois conséquences de l'\cref{eq:18:rosen} importent pour l'évaluateur. Premièrement, rien n'oblige la fonction de prix à être linéaire : comme les ménages ne peuvent pas acheter deux demi-maisons pour en faire une, l'arbitrage qui linéariserait les prix n'existe pas, et la non-linéarité est la règle. C'est elle qui justifie les formes logarithmiques et les polynômes de la \cref{sec:18:specification}, et c'est elle qui condamne l'application d'un ajustement unitaire constant à des comparables très différents du sujet. Deuxièmement, le prix implicite n'est pas la « valeur » intrinsèque de la caractéristique : c'est un prix d'équilibre local qui reflète à la fois la disposition à payer de l'acheteur marginal et le coût de l'offreur marginal pour cette caractéristique, dans ce marché, à cette date. Un garage vaut ce que le marché de Gatineau en 2026 paie pour un garage, pas ce qu'il coûte à construire ni ce que son propriétaire en pense. Troisièmement, la fonction de prix est propre à un marché : dans un autre marché, avec d'autres distributions de goûts, de revenus et de stocks, l'enveloppe est différente. Transposer des prix implicites estimés à Montréal vers Gatineau est une hypothèse, non une déduction.3839\subsection{Les deux stades et pourquoi l'évaluateur s'arrête au premier}4041Rosen a proposé une procédure en deux stades. Le premier estime la fonction de prix $P(\mathbf{z})$ sur les transactions observées et en déduit les prix implicites $p_k(\mathbf{z}_i)$ de chaque logement vendu. Le second régresse ces prix implicites sur les quantités $z_{ik}$ et les caractéristiques des acheteurs pour retrouver les fonctions de demande, c'est-à-dire la disposition marginale à payer en fonction de la quantité consommée et du revenu. Ce second stade est celui qui intéresse l'économiste des politiques publiques, parce qu'il permet de prévoir ce qu'un ménage paierait pour une amélioration non marginale de la qualité de l'air ou de l'école de quartier. Il est aussi celui qui pose les problèmes d'identification les plus sérieux. \textcite{epple1987} a montré que, dans un seul marché, le prix implicite et la quantité consommée sont déterminés simultanément par le même équilibre, de sorte que la régression du second stade confond la courbure de la fonction de prix avec la pente de la demande ; \textcite{ekelandHeckmanNesheim2004} ont établi sous quelles conditions, non linéaires, l'identification reste possible dans un seul marché, et \textcite{bajariBenkard2005} ont proposé une voie alternative fondée sur les préférences individuelles. L'\cref{ex:18:7} fait toucher du doigt cette difficulté.4243L'évaluateur n'a pas besoin de résoudre ce problème, et il doit comprendre pourquoi. Sa question n'est pas « combien un ménage type paierait-il pour vingt mètres carrés de plus si tous les logements en avaient vingt de plus ? » mais « combien se vend, aujourd'hui, sur ce marché, un logement de ces caractéristiques ? ». La première question porte sur les préférences, qui ne sont pas observables ; la seconde porte sur la fonction de prix, qui l'est, au bruit près. La valeur marchande définie au \cref{ch:16} comme $\E[P \mid \mathbf{x} = \mathbf{x}_s, t]$ \emph{est} la fonction de prix hédonique évaluée au sujet, et les ajustements du \cref{ch:17} \emph{sont} ses dérivées partielles, ou plus exactement les différences finies qu'elles permettent d'approcher. Le premier stade de Rosen suffit donc entièrement à l'évaluation, à condition que l'on reste à l'intérieur du nuage des ventes observées : le modèle décrit le marché tel qu'il est, non tel qu'il serait si l'offre changeait. Les études québécoises sur les prix des logements, celles de \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} sur l'accessibilité et le voisinage, de \textcite{desrosiersLaganaTheriault2001} sur les écoles primaires ou de \textcite{desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2002} sur l'aménagement paysager, s'inscrivent dans ce premier stade et illustrent ce qu'il permet de mesurer sur un marché local.4445\section{Spécification : formes fonctionnelles et variables}\label{sec:18:specification}4647\subsection{Quatre formes fonctionnelles}4849La théorie ne dicte pas la forme de $P(\mathbf{z})$ ; elle dit seulement qu'elle est croissante dans les caractéristiques désirables et généralement non linéaire. La pratique a retenu quatre formes, que le \cref{tab:18:formes} compare. La forme \motcle{linéaire},50\begin{equation}\label{eq:18:lineaire}51P_i = \alpha + \sum_{k=1}^{K} \beta_k x_{ik} + \varepsilon_i ,52\end{equation}53a l'avantage de donner directement des prix implicites en dollars, constants : un mètre carré vaut $\beta_S$ dollars quelle que soit la maison. C'est aussi sa faiblesse, parce que les données contredisent presque toujours cette constance, et parce qu'elle laisse la variance des erreurs croître avec le prix. La forme \motcle{semi-logarithmique}, qui est celle du modèle de référence de l'ouvrage et de la convention de notation rappelée à l'annexe~\ref{app:conventions-calcul},54\begin{equation}\label{eq:18:semilog}55\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T \boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \mu_{s(i)} + \varepsilon_i ,56\end{equation}57fait porter l'additivité sur le logarithme du prix : chaque caractéristique multiplie le prix par un facteur, de sorte qu'une place de garage ajoute un pourcentage et non un montant. Les effets temporels $\tau_t$ et spatiaux $\mu_s$ y entrent comme des indicatrices de période et de secteur, ou comme des fonctions du temps et des coordonnées. La forme \motcle{log-log} applique aussi le logarithme aux variables continues et lit les coefficients comme des élasticités. Enfin, la transformation de \textcite{boxCox1964}, appliquée à la variable dépendante,58\begin{equation}\label{eq:18:boxcox}59P_i^{(\lambda)} = \frac{P_i^{\lambda} - 1}{\lambda} \quad (\lambda \neq 0), \qquad P_i^{(0)} = \ln P_i ,60\end{equation}61englobe la forme linéaire ($\lambda = 1$) et la forme semi-logarithmique ($\lambda \to 0$) comme cas particuliers et laisse les données choisir $\lambda$ par maximum de vraisemblance. La log-vraisemblance concentrée en $\lambda$ s'écrit, pour une régression de $P^{(\lambda)}$ sur $\mathbf{X}$ de somme des carrés des résidus $\mathit{SCR}(\lambda)$,62\begin{equation}\label{eq:18:boxcox-ll}63\ell(\lambda) = -\frac{n}{2} \ln \frac{\mathit{SCR}(\lambda)}{n} + (\lambda - 1) \sum_{i=1}^{n} \ln P_i ,64\end{equation}65où le second terme est le jacobien de la transformation, sans lequel les sommes de carrés de variables d'échelles différentes ne seraient pas comparables. Un intervalle de confiance à 95 \% pour $\lambda$ réunit les valeurs telles que $\ell(\lambda) \geq \ell(\hat\lambda) - \chi^2_{1;0{,}95}/2 = \ell(\hat\lambda) - 1{,}92$.6667\begin{table}[htbp]68\caption{Quatre formes fonctionnelles de la fonction de prix hédonique et lecture de leurs coefficients}\label{tab:18:formes}69\centering\small70\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYY}71\toprule72Forme & Équation & Prix implicite $\partial P/\partial x_k$ & Lecture du coefficient \\73\midrule74Linéaire & $P = \alpha + \sum_k \beta_k x_k$ & $\beta_k$ (constant) & dollars par unité de $x_k$ \\75Semi-log & $\ln P = \alpha + \sum_k \beta_k x_k$ & $\beta_k P$ (proportionnel au prix) & $100\,\beta_k$ \% par unité (approximation) ; indicatrice : $100\,[\exp(\beta_k) - 1]$ \% \\76Log-log & $\ln P = \alpha + \sum_k \beta_k \ln x_k$ & $\beta_k P / x_k$ & élasticité : $\beta_k$ \% par 1 \% de $x_k$ \\77Box--Cox & $(P^\lambda - 1)/\lambda = \alpha + \sum_k \beta_k x_k$ & $\beta_k P^{\,1-\lambda}$ & dépend de $\lambda$ ; $\lambda = 1$ linéaire, $\lambda \to 0$ semi-log \\78\bottomrule79\end{tabularx}80\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{malpezzi2003} et \textcite{boxCox1964}.}81\end{table}8283Le choix entre ces formes repose sur trois considérations. La première est statistique : la forme doit stabiliser la variance des erreurs et rendre leur distribution à peu près symétrique, ce que le logarithme fait presque toujours pour des prix, dont la distribution est asymétrique à droite. La deuxième est économique : les élasticités et les effets proportionnels sont plus stables d'un marché à l'autre et d'une taille à l'autre que les effets en dollars, ce qui rend la semi-log et la log-log plus transportables. La troisième est la robustesse aux erreurs de spécification. \textcite{cropperDeckMcconnell1988} ont comparé, par simulation, les erreurs sur les prix implicites commises par chaque forme lorsque des variables sont omises ou mal mesurées, ce qui est la situation normale en évaluation : les formes simples, linéaire et semi-logarithmique, et la Box--Cox linéaire se sont montrées les moins sensibles, tandis que les formes flexibles très paramétrées (Box--Cox quadratique) se sont dégradées. C'est un argument fort en faveur de la semi-log comme spécification par défaut, et c'est celui que suit l'ouvrage. La \cref{fig:18:formes} montrera, sur le cas 1, à quel point les quatre formes s'accordent à l'intérieur du nuage des données et divergent à ses bords.8485\subsection{Lire les coefficients d'une indicatrice en semi-log}8687Dans la forme semi-logarithmique, le coefficient d'une variable continue s'interprète approximativement comme un effet en pourcentage : $\partial \ln P / \partial x_k = \beta_k$, donc une unité de plus de $x_k$ change le prix de $100\,\beta_k$ \% environ. L'approximation est bonne tant que $\beta_k$ est petit. Pour une variable indicatrice $D$ qui passe de 0 à 1, l'effet exact est un saut, et \textcite{halvorsenPalmquist1980} ont rappelé que le pourcentage n'est pas $100\,\beta$ mais88\begin{equation}\label{eq:18:hp}89g = \frac{P(D = 1) - P(D = 0)}{P(D = 0)} = \exp(\beta) - 1 .90\end{equation}91Pour $\beta = 0{,}03$ la différence est négligeable (3,05 \% contre 3 \%) ; pour $\beta = -0{,}25$, comme le secteur de Buckingham dans l'exemple intégral, elle ne l'est plus ($-22{,}1$ \% contre $-25$ \%). \textcite{kennedy1981} a ajouté que $\exp(\hat\beta)$ est un estimateur biaisé de $\exp(\beta)$ lorsque $\hat\beta$ est entaché d'une variance $\hat V(\hat\beta)$, et a proposé l'estimateur presque sans biais92\begin{equation}\label{eq:18:kennedy}93\hat g^{\,K} = \exp\!\left(\hat\beta - \tfrac{1}{2}\hat V(\hat\beta)\right) - 1 .94\end{equation}95La correction ne compte que lorsque l'erreur-type est de l'ordre de quelques dixièmes, c'est-à-dire pour des indicatrices rares ; avec les erreurs-types de l'exemple, elle déplace les effets de quelques centièmes de point de pourcentage. La bibliothèque de l'ouvrage fournit les deux formules (\texttt{traite.comparables.ajustement\_depuis\_coefficient\_log} et \texttt{\_sans\_biais}) et les conventions de calcul prévoient d'appliquer la correction de Kennedy lorsque la variance n'est pas négligeable.9697\subsection{Les variables et leur transformation}9899Le choix des régresseurs obéit à un principe simple : toute caractéristique que les acheteurs paient et qui varie dans l'échantillon doit figurer dans le modèle, sous une forme qui respecte la façon dont elle agit sur le prix ; toute caractéristique omise qui est corrélée aux régresseurs inclus biaise leurs coefficients. Si le vrai modèle est $\ln P = \mathbf{x}\T\boldsymbol\beta + \gamma w + \varepsilon$ et que $w$ est omis, alors que sa projection sur $\mathbf{x}$ a pour coefficients $\boldsymbol\delta$, le modèle estimé converge vers100\begin{equation}\label{eq:18:omission}101\tilde{\boldsymbol\beta} = \boldsymbol\beta + \gamma\, \boldsymbol\delta ,102\end{equation}103le biais de chaque coefficient étant le produit de l'effet de la variable omise par sa corrélation partielle avec le régresseur. C'est la raison pour laquelle l'omission du secteur, dans l'exemple intégral, gonfle l'effet de la distance au centre et écrase celui du terrain : les secteurs périphériques ont à la fois des prix plus bas, des distances plus grandes et des terrains plus vastes.104105Les variables usuelles d'un modèle résidentiel se regroupent en cinq familles, et le \cref{tab:18:variables} en présente le traitement retenu dans le modèle de référence. La \emph{superficie habitable} entre en logarithme, parce que son élasticité est inférieure à un : les études recensées par \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} trouvent presque toujours un coefficient positif et une concavité, et le \cref{ch:16} a rappelé que c'est elle qui rend le prix unitaire des petites maisons plus élevé. Le \emph{terrain} entre aussi en logarithme, avec une élasticité faible en secteur bâti ; le \cref{ch:25} discute sa valeur séparée. L'\emph{âge} entre en polynôme du second degré : la dépréciation est rapide dans les premières décennies puis ralentit, et les maisons très anciennes rénovées ou patrimoniales peuvent même se réapprécier, ce que le \cref{ch:24} relie aux courbes de dépréciation. La \emph{qualité} et l'\emph{état}, codés sur une échelle ordinale, sont traités comme des écarts à la classe moyenne ; les \emph{équipements} (garage, sous-sol fini, piscine, type de bâtiment) sont des indicatrices ou des comptages. La \emph{localisation} combine des indicatrices de secteur, qui captent tout ce qui distingue un sous-marché sans le nommer, et des variables d'accessibilité continues, comme la distance au centre ; \textcite{can1992} a montré que la qualité du voisinage agit à la fois par un déplacement du niveau des prix et par une modification des prix implicites des autres attributs, ce qui motive les termes d'interaction et, au-delà, les méthodes du \cref{ch:19}. Le \emph{temps} enfin, qu'une tendance linéaire ou des indicatrices de période représentent ; la \cref{sec:18:exemple} compare les deux et le \cref{ch:35} en fait des indices.106107\begin{table}[htbp]108\caption{Variables du modèle hédonique de référence du cas 1 (\texttt{traite.cas1.matrice}) et transformation retenue}\label{tab:18:variables}109\centering\small110\begin{tabularx}{\textwidth}{llY}111\toprule112Variable & Transformation & Raison \\113\midrule114Superficie habitable $S$ (m²) & $\ln(S/140)$ & élasticité inférieure à un ; centrage à 140 m² pour une constante interprétable \\115Superficie du terrain $T$ (m²) & $\ln(T/560)$ & élasticité faible ; centrage à 560 m² \\116Âge (années) & âge et âge²/100 & dépréciation décroissante avec l'âge \\117Qualité (1 à 5) & écart à 3 & échelle ordinale traitée comme un écart à la classe moyenne \\118Garage (places), sous-sol fini, piscine & comptage ou indicatrice 0/1 & effets proportionnels par équipement \\119Type de bâtiment & indicatrice « à étages » (plain-pied en référence) & \\120Secteur & quatre indicatrices (Hull en référence) & sous-marchés de Gatineau \\121Distance au centre (km) & $\max(d - 3, 0)$ & plateau de 3 km autour du centre, puis gradient (\cref{ch:05}) \\122Date de vente & mois écoulés depuis le 1\ier{} juillet 2024 & tendance linéaire du marché ; indicatrices trimestrielles en variante \\123\bottomrule124\end{tabularx}125\tabsource{\texttt{analysis/python/traite/cas1.py} ; lois de génération dans \texttt{data/synthetic/README.md}.}126\end{table}127128Deux précautions complètent ce choix. La première est le centrage des variables continues autour d'une valeur typique, qui donne à la constante le sens du logarithme du prix d'une maison de référence (ici un plain-pied de \msq{140} sur \msq{560} à Hull, de qualité 3, neuf, sans équipement, vendu à la date de référence) et facilite la lecture. La seconde est la parcimonie : chaque variable ajoutée consomme un degré de liberté et, si elle est colinéaire aux autres, dégrade la précision de tous les coefficients sans améliorer la prédiction. \textcite{bishop2020} et \textcite{kuminoffParmeterPope2010} ont montré, pour les modèles destinés à mesurer la disposition à payer pour des aménités, que les effets fixes spatiaux et temporels fins et les formes flexibles réduisent nettement le biais d'omission ; pour l'évaluateur, qui cherche à prédire, la leçon est la même, à ceci près que la prédiction pour un sujet exige que ses propres effets fixes soient estimés, donc que son secteur et sa période soient suffisamment représentés dans l'échantillon.129130\section{Estimation et inférence}\label{sec:18:estimation}131132\subsection{Les moindres carrés ordinaires}133134Soit $\mathbf{y}$ le vecteur des $n$ logarithmes des prix, $\mathbf{X}$ la matrice $n \times k$ des régresseurs (constante comprise) et $\boldsymbol\varepsilon$ le vecteur des erreurs. L'estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) minimise la somme des carrés des résidus :135\begin{equation}\label{eq:18:mco}136\hat{\boldsymbol\beta} = \argmin_{\mathbf{b}} \norm{\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{b}}^2 = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{y}, \qquad \hat{\boldsymbol\varepsilon} = \mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta}, \qquad \hat\sigma^2 = \frac{\hat{\boldsymbol\varepsilon}\T\hat{\boldsymbol\varepsilon}}{n - k} .137\end{equation}138Sous l'hypothèse que les erreurs sont d'espérance nulle conditionnellement aux régresseurs, $\hat{\boldsymbol\beta}$ est sans biais ; si de plus elles sont homoscédastiques et non corrélées, sa matrice de covariance est $\sigma^2 (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$. L'écart-type résiduel $\hat\sigma$ a, dans un modèle semi-logarithmique, une lecture directe : c'est la dispersion typique, en proportion, des prix autour de ce que les caractéristiques expliquent, et il mesure donc l'incertitude irréductible d'une prédiction individuelle. Un $\hat\sigma$ de 0,08 signifie qu'environ deux tiers des logements se vendent à moins de 8 \% de leur prix prédit et 95 \% à moins de 16 \%. Le coefficient de détermination $R^2$ mesure la part de la variance de $\ln P$ expliquée ; il dépend autant de l'hétérogénéité de l'échantillon que de la qualité du modèle, et un $R^2$ élevé obtenu en mélangeant des secteurs très différents ne vaut pas un $R^2$ modeste obtenu sur un sous-marché homogène. Il ne se compare pas d'une forme fonctionnelle à l'autre lorsque la variable dépendante change : le $R^2$ d'un modèle en niveaux et celui d'un modèle en logarithmes mesurent des choses différentes, et l'on comparera plutôt des erreurs de prédiction en dollars ou des statistiques de ratio (\cref{sec:18:masse}).139140\subsection{Erreurs-types robustes}141142L'hypothèse d'homoscédasticité est rarement crédible sur des prix immobiliers : la dispersion des erreurs peut dépendre de la taille, du secteur ou de la période. Lorsqu'elle est violée, $\hat{\boldsymbol\beta}$ reste sans biais mais la formule classique de sa covariance est fausse, et les tests qui en découlent aussi. L'estimateur convergent de White (1980), dans sa version HC1 corrigée pour les degrés de liberté,143\begin{equation}\label{eq:18:hc1}144\hat V_{\text{HC1}}(\hat{\boldsymbol\beta}) = \frac{n}{n - k}\,(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} \hat\varepsilon_i^{2}\, \mathbf{x}_i \mathbf{x}_i\T\right)(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1},145\end{equation}146remplace $\sigma^2$ par le carré de chaque résidu et reste valide quelle que soit la forme de l'hétéroscédasticité\footnote{White, H. (1980), « A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity », \emph{Econometrica}, 48(4), 817-838. La référence est vérifiée (DOI 10.2307/1912934) et consignée dans \texttt{references/lib-ch18.bib}.}. C'est la convention de l'ouvrage (annexe~\ref{app:conventions-calcul}) et ce que calcule la fonction \texttt{mco} du module \texttt{traite.hedonique}. Lorsque les erreurs sont corrélées à l'intérieur de groupes, par exemple les ventes d'un même secteur ou d'un même trimestre, les erreurs-types doivent être agrégées par grappes ; \textcite{wooldridge2010} en donne la théorie, et le \cref{ch:19} traite le cas, plus subtil, où la corrélation décroît avec la distance.147148\subsection{Diagnostics}149150Une régression n'est défendable qu'accompagnée de ses diagnostics, et l'évaluateur qui dépose un modèle hédonique à l'appui d'une conclusion doit pouvoir les produire. Cinq examens forment le minimum.151152\emph{Hétéroscédasticité.} Le graphique des résidus contre les valeurs ajustées, complété par la médiane et les déciles des résidus par tranche de valeur ajustée, montre si la dispersion dépend du niveau du prix. Le test de Breusch et Pagan (1979), dans la version studentisée de Koenker qui ne suppose pas la normalité, régresse les carrés des résidus sur les régresseurs et compare153\begin{equation}\label{eq:18:bp}154\mathit{LM} = n\, R^2_{\hat\varepsilon^2 \mid \mathbf{X}} \ \sim\ \chi^2_{k-1}155\end{equation}156à la loi du khi-deux\footnote{Breusch, T. S. et Pagan, A. R. (1979), « A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation », \emph{Econometrica}, 47(5), 1287-1294 ; DOI 10.2307/1911963 (vérifié), dans \texttt{lib-ch18.bib}.}. Un rejet ne condamne pas le modèle, puisque les erreurs-types HC1 restent valides ; il signale que la précision des prédictions varie selon les segments, ce que l'intervalle de prédiction de la \cref{sec:18:prediction} ne reflète pas.157158\emph{Normalité des résidus.} Le diagramme quantile-quantile et la statistique de Jarque--Bera, fondée sur l'asymétrie et l'aplatissement, vérifient si la loi normale est une approximation acceptable. La normalité n'est pas nécessaire aux MCO, mais l'intervalle de prédiction s'en sert et la retransformation en niveau en dépend (\cref{sec:18:prediction}) ; des queues épaisses signalent des ventes atypiques qu'il faut examiner une à une.159160\emph{Colinéarité.} Lorsque deux régresseurs varient presque ensemble, leurs coefficients individuels deviennent imprécis bien que leur effet joint soit bien estimé. Le facteur d'inflation de la variance du régresseur $j$,161\begin{equation}\label{eq:18:vif}162\mathit{VIF}_j = \frac{1}{1 - R^2_j} ,163\end{equation}164où $R^2_j$ est le coefficient de détermination de la régression de $x_j$ sur les autres régresseurs, mesure par quel facteur la variance de $\hat\beta_j$ est multipliée par rapport au cas orthogonal ; des valeurs au-delà de 10 sont couramment considérées comme un signal\footnote{Ce seuil est une convention d'usage, non une norme ; il est discuté par Belsley, Kuh et Welsch (1980), \emph{Regression Diagnostics}, Wiley (DOI 10.1002/0471725153, vérifié ; \texttt{lib-ch18.bib}).}. Deux cas sont à distinguer : la colinéarité structurelle, inévitable entre l'âge et son carré ou entre une indicatrice de secteur périphérique et la distance au centre, qui n'empêche ni la prédiction ni le calcul des prix implicites joints ; et la colinéarité de données, qui résulte d'un échantillon où deux attributs distincts ne sont jamais observés séparément et qui, elle, interdit de séparer leurs effets.165166\emph{Observations influentes.} La distance de Cook (1977),167\begin{equation}\label{eq:18:cook}168D_i = \frac{\hat\varepsilon_i^{2}}{k\,\hat\sigma^{2}}\cdot\frac{h_{ii}}{(1 - h_{ii})^{2}}, \qquad h_{ii} = \mathbf{x}_i\T(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{x}_i ,169\end{equation}170combine la taille du résidu et le levier $h_{ii}$ de l'observation, c'est-à-dire son éloignement dans l'espace des régresseurs, et mesure de combien l'ensemble des coefficients bougerait si l'observation était retirée\footnote{Cook, R. D. (1977), « Detection of Influential Observation in Linear Regression », \emph{Technometrics}, 19(1), 15-18 ; DOI 10.1080/00401706.1977.10489493 (vérifié ; \texttt{lib-ch18.bib}).}. Le seuil indicatif $4/n$ désigne les observations à examiner ; en évaluation, ce sont typiquement des ventes mal vérifiées (\cref{ch:16}), des erreurs de saisie (\cref{ch:14}) ou des biens atypiques dont la présence dans l'échantillon doit être réfléchie. On ne retire pas une observation parce qu'elle est influente ; on la retire parce que la vérification révèle qu'elle n'est pas une vente de marché ou qu'elle n'appartient pas au segment.171172\emph{Autocorrélation spatiale.} Si les résidus des ventes voisines se ressemblent, c'est que le modèle a omis des déterminants de la localisation ; l'inférence est alors trop optimiste et la prédiction pour un sujet peut être améliorée par les résidus de ses voisins. L'indice $I$ de Moran calculé sur les résidus avec une matrice de voisinage, fourni par \texttt{traite.hedonique.moran\_i}, en est le test de base ; le \cref{ch:19} en fait le point de départ des modèles spatiaux.173174\section{Exemple intégral : les 600 ventes du cas 1}\label{sec:18:exemple}175176\begin{synthetique}177Les 600 ventes du cas 1 (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}) sont fictives : elles ont été engendrées par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon une loi déclarée dans \texttt{data/synthetic/README.md}, précisément de la forme semi-logarithmique \eqref{eq:18:semilog}, avec une élasticité de 0,55 pour la superficie habitable, 0,10 pour le terrain, un polynôme d'âge $-0{,}0055\,\text{âge} + 0{,}00003\,\text{âge}^2$, 0,06 par échelon de qualité, 0,035 par place de garage, 0,03 pour le sous-sol fini, 0,02 pour la piscine et pour le cottage à étages, des primes de secteur égales au logarithme du rapport des prix médians publiés par l'APCIQ au troisième trimestre de 2026 à celui de Hull \parencite{apciqgatineaut32026}, un gradient de $-0{,}006$ par kilomètre au-delà de 3 km du centre, une croissance annuelle composée de 4,43 \% dérivée de la variation de la médiane au rôle 2027-2029 de Gatineau \parencite{gatineaurole2027}, et une erreur normale d'écart-type 0,085 ; les prix sont arrondis à \dollars{500}. Ces paramètres sont des hypothèses pédagogiques calibrées sur des ordres de grandeur publics, non des estimations sur données réelles. Leur connaissance est ici un atout : elle permet de vérifier que la méthode retrouve ce qu'elle doit retrouver. Tous les chiffres de cette section sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch18.py} ; le modèle de référence lui-même est \texttt{traite.cas1.hedonique}, partagé avec les \cref{ch:17,ch:19,ch:20,ch:35,ch:37,ch:39,ch:45}.178\end{synthetique}179180\begin{exemple}{Estimation, diagnostics, prix implicites et prédiction du sujet du cas 1}{hedonique-cas1}181L'exemple procède en cinq étapes : estimation du modèle de référence et confrontation aux paramètres de génération ; diagnostics ; comparaison des formes fonctionnelles et des variantes ; prix implicites au sujet ; prédiction et intervalle.182183\emph{Étape 1 : le modèle de référence.} Le \cref{tab:18:resultats} présente l'estimation par MCO de l'\cref{eq:18:semilog} avec les régresseurs du \cref{tab:18:variables} sur les 600 ventes, erreurs-types HC1. Le modèle compte 16 paramètres, explique 85,3 \% de la variance du logarithme des prix ($R^2$ ajusté de 0,849) et laisse un écart-type résiduel $\hat\sigma = 0{,}083$, à comparer à l'écart-type de 0,085 de l'erreur de génération : la part inexpliquée est, comme il se doit, le bruit de transaction et rien d'autre. Tous les coefficients ont le signe attendu et quinze des quinze paramètres de génération tombent dans l'intervalle de confiance à 95 \% de leur estimation. L'élasticité de la superficie habitable est estimée à 0,539 (erreur-type 0,013) pour une vraie valeur de 0,55 ; celle du terrain à 0,094 pour 0,10 ; l'échelon de qualité à 0,061 pour 0,06 ; la place de garage à 0,032 pour 0,035. La croissance mensuelle implicite, $\exp(0{,}00364) - 1 = 0{,}364$ \%, correspond à 4,46 \% par année composée, pour une vraie valeur de 4,43 \%. Les coefficients les moins précis sont ceux des secteurs de Buckingham et de Masson-Angers (erreurs-types de 0,07), qui ne comptent que 42 et 47 ventes et dont la distance au centre est presque constante, et celui de la distance au centre elle-même ($-0{,}0036$, erreur-type 0,0027), dont le \cref{tab:18:diagnostics} expliquera l'imprécision. La constante, 13,207, est le logarithme du prix prédit pour la maison de référence : $\exp(13{,}207) = \dollars{544400}$ pour un plain-pied neuf de \msq{140} sur \msq{560} à Hull, de qualité 3, sans équipement, au 1\ier{} juillet 2024.184185\emph{Étape 2 : diagnostics.} La \cref{fig:18:diagnostics} et le \cref{tab:18:diagnostics} rassemblent les examens de la \cref{sec:18:estimation}. Les résidus sont centrés et de dispersion stable sur toute l'étendue des valeurs ajustées ; le test de Breusch--Pagan ne rejette pas l'homoscédasticité ($\mathit{LM} = 16{,}1$ pour 15 degrés de liberté, $p = 0{,}38$), et les erreurs-types HC1 sont donc très proches des erreurs-types classiques. Le diagramme quantile-quantile est rectiligne ; l'asymétrie vaut $-0{,}07$, l'aplatissement 2,75 et la statistique de Jarque--Bera 2,1 ($p = 0{,}35$). Ces résultats sont ceux que l'on attend de données engendrées par une loi normale ; sur des données réelles, l'évaluateur observe presque toujours des queues plus épaisses et une dispersion qui croît pour les biens les plus chers. Les facteurs d'inflation de la variance sont inférieurs à 2 pour toutes les caractéristiques physiques, mais atteignent 11,9 pour l'âge et son carré, 8,0 pour Aylmer, 30 et 28 pour Buckingham et Masson-Angers, et 43,7 pour la distance au centre : c'est la colinéarité structurelle décrite plus haut, puisque la distance au centre au-delà de 3 km n'est positive, dans ce jeu, que pour les ventes des secteurs périphériques, dont les indicatrices absorbent déjà l'essentiel de l'écart de prix. Elle explique l'imprécision du coefficient de distance sans invalider le modèle : la somme des effets « secteur plus distance » est, elle, bien estimée, et c'est elle qui compte pour la prédiction. La plus grande distance de Cook vaut 0,022, pour une vente de Buckingham (G0541 : \msq{119}, 11 ans, \dollars{503000}, un prix élevé pour le secteur) ; 29 ventes dépassent le seuil $4/n = 0{,}0067$, aucune n'est aberrante, et le retrait de toutes les 29 ne déplacerait la prédiction du sujet que de \dollars{1081} (\cref{tab:18:sensibilite}). Enfin l'indice de Moran des résidus, calculé sur les huit plus proches voisins, vaut $-0{,}013$ ($z = -0{,}59$, $p = 0{,}56$) : aucune autocorrélation spatiale, ce qui est attendu puisque la loi de génération ne contient aucun effet spatial au-delà des secteurs et du gradient ; le \cref{ch:19} montrera, sur ce même jeu, ce que donnent les modèles spatiaux lorsqu'il n'y a rien à trouver, et ce qu'ils donnent lorsqu'il y a quelque chose.186187\emph{Étape 3 : formes fonctionnelles et variantes.} Le \cref{tab:18:variantes} compare six spécifications estimées sur les mêmes 600 ventes. Comme les variables dépendantes diffèrent, la comparaison porte sur l'erreur quadratique moyenne de prédiction en dollars, après retransformation, et sur le coefficient de dispersion (COD) des rapports prédit/observé défini à la \cref{sec:18:masse}. La forme linéaire est la moins bonne (erreur quadratique moyenne de \dollars{40973}, COD de 6,83) et prédit le sujet à \dollars{615985}, soit \dollars{22000} de moins que la semi-log : elle attribue un prix constant de \parmsq{1798} au mètre carré habitable, trop élevé pour les petites maisons et trop faible pour les grandes, et son erreur n'est pas homoscédastique en dollars. La forme log-log, qui remplace le polynôme d'âge par $\ln(1 + \text{âge})$, fait presque aussi bien que la semi-log (COD 6,74) mais sa courbe d'âge, contrainte à être monotone, prédit le sujet \dollars{10700} plus bas. La transformation de Box--Cox estime $\hat\lambda = 0{,}157$ avec un intervalle de confiance à 95 \% de $[-0{,}036 ; 0{,}353]$ : la valeur $\lambda = 0$ (semi-log) n'est pas rejetée (rapport de vraisemblance 2,5 contre un seuil de 3,84) tandis que $\lambda = 1$ (linéaire) l'est massivement (rapport de 66) ; la \cref{fig:18:formes} montre que les quatre courbes de prix selon la superficie coïncident entre 120 et \msq{200}, où se trouvent la plupart des ventes, et se séparent aux extrémités, où l'on ne devrait de toute façon pas prédire. La variante \emph{sans secteurs} illustre l'\cref{eq:18:omission} : le $R^2$ chute à 0,766, $\hat\sigma$ monte à 0,104, le coefficient de la distance au centre passe de $-0{,}0036$ à $-0{,}0117$ par kilomètre parce qu'il doit porter seul l'écart de prix des secteurs périphériques, celui du terrain tombe de 0,094 à 0,042 parce que les grands terrains sont concentrés dans les secteurs les moins chers, et la prédiction du sujet grimpe à \dollars{664342}, soit 4,1 \% de trop, parce que Hull, secteur de référence, n'est plus distingué des autres. La variante à \emph{indicatrices trimestrielles} remplace la tendance linéaire par quinze indicatrices (2023T1 en référence) : le $R^2$ ajusté est identique (0,849), ce qui signifie que la tendance linéaire était une description suffisante du marché synthétique, mais la prédiction du sujet monte à \dollars{649980} parce que le dernier trimestre observé (2026T3, 22 ventes seulement) se situe 5 \% au-dessus de la tendance avec un intervalle de confiance de $\pm 3{,}6$ \%. La \cref{fig:18:indice} oppose les deux lectures du temps : l'indice trimestriel oscille autour de la tendance avec des écarts absolus moyens de 2,6 \% et un écart maximal de 5,0 \%, et le lecteur comprend pourquoi l'évaluateur préfère souvent une tendance lissée à un indice de période dont le dernier point, celui qui compte pour l'ajustement de conditions du marché, est aussi le moins précis. Le \cref{ch:35} reprend cette question.188189\emph{Étape 4 : prix implicites au sujet.} Le sujet est le cottage de \msq{165} sur \msq{620} construit en 1998 à Hull, de qualité 3, avec garage simple et sous-sol fini, évalué au 1\ier{} septembre 2026 ; sa prédiction corrigée est $\hat P_s = \dollars{637953}$ (étape 5). Le \cref{tab:18:prix-implicites} et la \cref{fig:18:prix-implicites} convertissent les coefficients du \cref{tab:18:resultats} en dollars au sujet par les formules du \cref{tab:18:formes} : pour une variable continue entrée en logarithme, $p_k = \hat\beta_k \hat P_s / x_{sk}$ ; pour l'âge, $p = (\hat\beta_{\text{âge}} + 2\hat\beta_{\text{âge}^2}\,\text{âge}/100)\hat P_s$ ; pour une indicatrice, l'\cref{eq:18:hp}. Le mètre carré habitable supplémentaire vaut \parmsq{2084} au sujet, le mètre carré de terrain \parmsq{96}, une année d'âge de plus retranche \dollars{2308} à 28 ans (et seulement \dollars{1263} à 60 ans, où la courbe s'aplatit), un mois de marché ajoute \dollars{2319}, un échelon de qualité \dollars{40182}, une place de garage \dollars{21031}, le sous-sol fini \dollars{14183}, une piscine \dollars{17023}, le passage d'un plain-pied à un cottage \dollars{19502}, et le même immeuble situé à Aylmer plutôt qu'à Hull vaudrait \dollars{56886} de plus. La correction de Kennedy \eqref{eq:18:kennedy} ne déplace aucun de ces montants de plus de \dollars{200}, sauf celui d'Aylmer (\dollars{186} sur \dollars{56886}), parce que les erreurs-types sont faibles. Ce sont exactement les prix implicites que le \cref{ch:17} a appliqués, sous forme de différences finies $P_j[\exp(\hat\beta_k \Delta x_k) - 1]$, pour ajuster les cinq comparables du \cref{ch:16} ; la fonction \texttt{traite.cas1.ajustements\_hedoniques} en fait la cascade. Deux lectures de la figure s'imposent. D'abord, les barres d'erreur, qui ne tiennent compte que de l'incertitude des coefficients (méthode delta avec les erreurs-types HC1, $\hat P_s$ étant tenu pour fixe), sont étroites pour la superficie, la qualité et le marché, larges pour les équipements rares et très larges pour la localisation : c'est l'ordre dans lequel les ajustements de la grille sont fiables. Ensuite, la somme des prix implicites de tous les attributs du sujet ne reconstitue pas son prix : la constante, c'est-à-dire la maison de référence, en porte l'essentiel, et les prix implicites ne décrivent que les écarts.190191\emph{Étape 5 : prédiction et intervalle.} La prédiction du logarithme vaut $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} = 13{,}3627$ et son exponentielle \dollars{635821}. Cette exponentielle estime la médiane du prix, non son espérance ; la \cref{sec:18:prediction} explique pourquoi et comment la corriger. Le facteur de Duan, moyenne des exponentielles des 600 résidus, vaut 1,00335, et la prédiction corrigée $\hat P_s = \dollars{637953}$ ; le facteur log-normal $\exp(\hat\sigma^2/2) = 1{,}00345$ donnerait \dollars{638016}, soit \dollars{63} de plus. La variance de l'erreur de prédiction du logarithme est $\hat\sigma^2 + \mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s = 0{,}00689 + 0{,}00010 = 0{,}00700$ : l'incertitude d'estimation des coefficients n'en représente que 1,5 \%, le reste étant le bruit de transaction que le modèle ne peut pas réduire. L'écart-type de prédiction est de 0,0836 et l'intervalle de prédiction à 95 \%, retransformé, va de \dollars{539682} à \dollars{749087}, soit de $-15{,}4$ \% à $+17{,}4$ \% autour de la prédiction ; l'intervalle à 80 \% va de \dollars{571192} à \dollars{707764}. Ces bornes ne disent pas que la valeur marchande est incertaine à $\pm 16$ \% : elles disent que le \emph{prix} auquel le sujet se vendrait est incertain dans cette mesure, la valeur marchande étant le centre de cette distribution. Le \cref{ch:20} distingue ces deux incertitudes et le \cref{ch:39} en donne la version bayésienne. La \cref{fig:18:predit-observe} situe les cinq comparables du \cref{ch:16} dans le nuage des prix prédits et observés : quatre d'entre eux se sont vendus de 8 à 15 \% \emph{sous} leur prix prédit (résidus de $-0{,}161$ pour G0404, $-0{,}104$ pour G0468, $-0{,}111$ pour G0477, $-0{,}084$ pour G0575 ; $+0{,}007$ pour G0574), pour une moyenne de $-8{,}7$ \%. C'est la raison pour laquelle la moyenne des prix ajustés du \cref{ch:17}, autour de \dollars{582000}, est inférieure à la prédiction hédonique de \dollars{637953} : les comparables les plus proches du sujet dans l'espace des attributs se trouvent être, dans ce jeu synthétique, des ventes dont le bruit de transaction était négatif, et rien dans leurs caractéristiques observées ne le laissait prévoir. Le \cref{ch:20} tranchera entre les deux indications ; retenons ici que l'écart n'est pas une incohérence des méthodes, mais la manifestation, sur cinq observations, de l'écart-type résiduel de 8 \% que la régression mesure sur six cents.192\end{exemple}193194\begin{table}[htbp]195\caption{Modèle hédonique de référence du cas 1 : MCO semi-log sur 600 ventes, erreurs-types HC1, et paramètres de génération (données synthétiques)}\label{tab:18:resultats}196\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}197\begin{tabular}{@{}l S[table-format=-2.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-3.1] S[table-format=-2.2] S[table-format=-1.4]@{}}198\toprule199Variable & {Coefficient $\hat\beta$} & {E.-t. HC1} & {$t$} & {Effet (\%)} & {Paramètre vrai} \\200\midrule201Constante & 13.2074 & 0.0138 & 959.3 & {---} & {---} \\202ln(superficie habitable / 140 m²) & 0.5391 & 0.0127 & 42.4 & {élast.} & 0.5500 \\203ln(terrain / 560 m²) & 0.0937 & 0.0110 & 8.5 & {élast.} & 0.1000 \\204Âge (années) & -0.0051 & 0.0006 & -9.1 & -0.51 & -0.0055 \\205Âge² / 100 & 0.0026 & 0.0006 & 4.1 & 0.26 & 0.0030 \\206Qualité (écart à 3) & 0.0611 & 0.0042 & 14.4 & 6.30 & 0.0600 \\207Garage (places) & 0.0324 & 0.0050 & 6.5 & 3.30 & 0.0350 \\208Sous-sol fini & 0.0220 & 0.0069 & 3.2 & 2.22 & 0.0300 \\209Piscine & 0.0263 & 0.0084 & 3.1 & 2.67 & 0.0200 \\210À étages & 0.0301 & 0.0069 & 4.4 & 3.06 & 0.0200 \\211Distance au centre $>$ 3 km (km) & -0.0036 & 0.0027 & -1.3 & -0.36 & -0.0060 \\212Secteur Gatineau & -0.0223 & 0.0146 & -1.5 & -2.21 & -0.0215 \\213Secteur Aylmer & 0.0854 & 0.0231 & 3.7 & 8.92 & 0.1096 \\214Secteur Buckingham & -0.2504 & 0.0718 & -3.5 & -22.15 & -0.1844 \\215Secteur Masson-Angers & -0.2631 & 0.0672 & -3.9 & -23.14 & -0.2044 \\216Mois depuis le 1\ier{} juillet 2024 & 0.0036 & 0.0003 & 13.5 & 0.36 & 0.0036 \\217\midrule218\multicolumn{6}{@{}l}{$n = 600$ ; $k = 16$ ; $R^2 = 0{,}853$ ; $R^2$ ajusté $= 0{,}849$ ; $\hat\sigma = 0{,}083$ (vrai : 0,085)} \\219\multicolumn{6}{@{}l}{15 paramètres de génération sur 15 dans l'intervalle de confiance à 95 \%} \\220\bottomrule221\end{tabular}222\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas1.hedonique} ; \texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Effet (\%) : $100\,[\exp(\hat\beta) - 1]$ pour une unité ; les primes de secteur vraies sont $\ln$(médiane APCIQ du secteur / médiane de Hull), Masson-Angers moins 0,02.}223\end{table}224225\begin{figure}[htbp]226\centering227\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-diagnostics.pdf}228\caption{Diagnostics du modèle de référence. À gauche, les résidus contre les valeurs ajustées du logarithme du prix, avec la médiane et les premier et neuvième déciles des résidus par décile de valeur ajustée : la dispersion est stable et centrée. À droite, le diagramme quantile-quantile des résidus contre la loi normale : les queues ne s'écartent pas de la droite, ce qui est attendu de données engendrées par une erreur normale.}\label{fig:18:diagnostics}229\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}230\end{figure}231232\begin{table}[htbp]233\caption{Diagnostics du modèle de référence (600 ventes, données synthétiques)}\label{tab:18:diagnostics}234\centering\small235\begin{tabularx}{\textwidth}{lYY}236\toprule237Examen & Résultat & Lecture \\238\midrule239Breusch--Pagan (Koenker) & $\mathit{LM} = 16{,}09$, 15 ddl, $p = 0{,}38$ & homoscédasticité non rejetée ; HC1 $\approx$ classique \\240Jarque--Bera & 2,11, $p = 0{,}35$ ; asymétrie $-0{,}07$ ; aplatissement 2,75 & normalité acceptable ; 7,0 \% des résidus dépassent 0,15 en valeur absolue \\241Étendue des résidus & $-0{,}238$ à $+0{,}224$ & aucune vente hors de $\pm 3\hat\sigma$ \\242VIF, caractéristiques physiques & 1,02 à 1,71 & aucune colinéarité \\243VIF, âge et âge² & 11,9 et 11,8 & structurelle (polynôme) ; sans conséquence pour la prédiction \\244VIF, secteurs et distance & Gatineau 4,2 ; Aylmer 8,0 ; Buckingham 30,3 ; Masson-Angers 28,0 ; distance 43,7 & structurelle : la distance au-delà de 3 km n'est positive qu'en périphérie ; l'effet joint est bien estimé \\245Distances de Cook & max 0,022 (G0541) ; 29 ventes $> 4/n = 0{,}0067$ & aucune observation dominante ; retrait des 29 : prédiction du sujet $-\dollars{1081}$ \\246Moran des résidus (8 voisins) & $I = -0{,}013$, $z = -0{,}59$, $p = 0{,}56$ & pas d'autocorrélation spatiale (\cref{ch:19}) \\247\bottomrule248\end{tabularx}249\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}.}250\end{table}251252\begin{table}[htbp]253\caption{Six spécifications estimées sur les 600 ventes du cas 1 : ajustement, erreur de prédiction en dollars, statistiques de ratio et prédiction du sujet (données synthétiques)}\label{tab:18:variantes}254\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}255\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=5.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=6.0]@{}}256\toprule257Spécification & {$k$} & {$R^2$} & {$R^2$ aj.} & {EQM (\$)} & {COD} & {PRD} & {PRB} & {Sujet (\$)} \\258\midrule259Semi-log (référence) & 16 & 0.853 & 0.849 & 39907 & 6.68 & 1.007 & -0.058 & 637953 \\260Linéaire & 16 & 0.839 & 0.835 & 40973 & 6.83 & 1.006 & -0.042 & 615985 \\261Log-log (âge en logarithme) & 15 & 0.847 & 0.843 & 40662 & 6.74 & 1.007 & -0.061 & 627260 \\262Box--Cox, $\hat\lambda = 0{,}157$ [$-0{,}036$ ; 0,353] & 16 & 0.853 & 0.849 & 39844 & 6.65 & 1.007 & -0.059 & 635171 \\263Semi-log sans indicatrices de secteur & 12 & 0.766 & 0.762 & 50379 & 8.16 & 1.010 & -0.100 & 664342 \\264Semi-log, indicatrices trimestrielles & 29 & 0.856 & 0.849 & 39587 & 6.57 & 1.006 & -0.056 & 649980 \\265\bottomrule266\end{tabular}267\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Le $R^2$ n'est comparable qu'entre modèles de même variable dépendante ; EQM : racine de l'erreur quadratique moyenne des prix prédits (retransformés avec correction de Duan) ; COD, PRD, PRB : \cref{sec:18:masse}, calculés sur l'échantillon d'estimation.}268\end{table}269270\begin{figure}[htbp]271\centering272\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-formes.pdf}273\caption{Prix prédit selon la superficie habitable, pour un logement ayant les autres attributs du sujet, sous quatre formes fonctionnelles estimées sur les 600 ventes ; les points sont les ventes de cottages du secteur de Hull. Les formes coïncident là où les données sont denses et divergent aux extrémités ; la forme linéaire est la seule à s'écarter nettement au centre.}\label{fig:18:formes}274\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}275\end{figure}276277\begin{figure}[htbp]278\centering279\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-indice.pdf}280\caption{Deux représentations du temps dans le modèle : l'indice trimestriel obtenu par quinze indicatrices (avec intervalle de confiance à 95 \%, HC1) et la tendance linéaire du modèle de référence (0,36 \% par mois), base 2023T1 = 100 ; le nombre de ventes par trimestre figure sous l'axe. Le dernier trimestre, qui gouverne l'ajustement de conditions du marché, est le moins précis.}\label{fig:18:indice}281\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}282\end{figure}283284\begin{table}[htbp]285\caption{Prix implicites au sujet du cas 1 dérivés du modèle de référence, $\hat P_s = \dollars{637953}$ (données synthétiques)}\label{tab:18:prix-implicites}286\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}287\begin{tabular}{@{}l l S[table-format=-1.4] S[table-format=-5.0] S[table-format=-5.0] S[table-format=5.0]@{}}288\toprule289Caractéristique & Unité & {$\hat\beta$} & {Prix implicite} & {Kennedy} & {E.-t. (delta)} \\290\midrule291Superficie habitable & \$/m² & 0.5391 & 2084 & {---} & 49 \\292Superficie du terrain & \$/m² & 0.0937 & 96 & {---} & 11 \\293Âge, une année de plus (à 28 ans) & \$/an & -0.0036 & -2308 & {---} & 159 \\294Conditions du marché, un mois & \$/mois & 0.0036 & 2319 & {---} & 172 \\295Distance au centre (sujet à 2,1 km, dans le plateau) & \$/km & -0.0036 & 0 & {---} & 0 \\296Qualité, un échelon de plus & \$ & 0.0611 & 40182 & 40176 & 2870 \\297Garage, une place de plus & \$ & 0.0324 & 21031 & 21022 & 3301 \\298Sous-sol fini (fini plutôt que non fini) & \$ & 0.0220 & 14183 & 14168 & 4514 \\299Piscine (ajout) & \$ & 0.0263 & 17023 & 16999 & 5533 \\300Cottage à étages plutôt que plain-pied & \$ & 0.0301 & 19502 & 19486 & 4517 \\301Secteur Aylmer plutôt que Hull & \$ & 0.0854 & 56886 & 56701 & 16076 \\302Secteur Gatineau plutôt que Hull & \$ & -0.0223 & -14070 & -14137 & 9129 \\303\bottomrule304\end{tabular}305\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Continues : $\hat\beta \hat P_s$ fois la dérivée de la transformation ; âge : $(\hat\beta_{\text{âge}} + 2\hat\beta_{\text{âge}^2}\,\text{âge}/100)\hat P_s$ ; indicatrices : $\hat P_s[\exp(\hat\beta) - 1]$ et correction de Kennedy ; erreur-type par la méthode delta avec HC1, $\hat P_s$ tenu pour fixe.}306\end{table}307308\begin{figure}[htbp]309\centering310\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-prix-implicites.pdf}311\caption{Prix implicites au sujet du cas 1, en milliers de dollars, pour des variations typiques de chaque caractéristique (10 m² habitables, 100 m² de terrain, 10 années d'âge, 12 mois de marché, un échelon, une place, une indicatrice), avec des barres d'erreur de $\pm 1{,}96$ erreur-type HC1. La localisation est l'ajustement le plus important et le moins précis.}\label{fig:18:prix-implicites}312\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}313\end{figure}314315\begin{figure}[htbp]316\centering317\includegraphics[width=0.92\textwidth]{ch18/ch18-fig-predit-observe.pdf}318\caption{Prix prédit par le modèle de référence (avec correction de Duan) contre prix observé pour les 600 ventes du cas 1, avec la diagonale et les bandes à $\pm 2\hat\sigma$ ($\pm 18$ \%). Les cinq comparables retenus au chapitre 16 sont encerclés : quatre se situent nettement au-dessus de la diagonale, c'est-à-dire qu'ils se sont vendus sous leur prix prédit.}\label{fig:18:predit-observe}319\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}320\end{figure}321322\begin{figure}[htbp]323\centering324\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-surface.pdf}325\caption{Surface du prix prédit (milliers de dollars) selon la superficie habitable et l'âge du bâtiment, les autres attributs étant ceux du sujet (étoile). Les courbes de niveau se resserrent vers la gauche, où le mètre carré vaut plus cher, et s'espacent vers le haut, où la dépréciation annuelle diminue.}\label{fig:18:surface}326\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}327\end{figure}328329\section{Prédiction, retransformation et intervalle}\label{sec:18:prediction}330331\subsection{Pourquoi l'exponentielle de la prédiction sous-estime l'espérance}332333Le modèle semi-logarithmique prédit $\ln P$, et l'évaluateur veut $P$. Si $\ln P_s = \mathbf{x}_s\T\boldsymbol\beta + \varepsilon_s$ avec $\E[\varepsilon_s] = 0$, alors334\begin{equation}\label{eq:18:retransformation}335\E[P_s \mid \mathbf{x}_s] = \exp(\mathbf{x}_s\T\boldsymbol\beta)\;\E[\exp(\varepsilon_s)] ,336\end{equation}337et, par l'inégalité de Jensen, $\E[\exp(\varepsilon)] > \exp(\E[\varepsilon]) = 1$ dès que $\varepsilon$ n'est pas dégénéré. L'exponentielle de la prédiction du logarithme estime donc la \emph{médiane} conditionnelle du prix, pas sa moyenne, et sous-estime celle-ci d'un facteur qui croît avec la variance résiduelle. Si $\varepsilon$ est normale de variance $\sigma^2$, le facteur vaut exactement $\exp(\sigma^2/2)$ : 1,0035 pour $\sigma = 0{,}083$, mais 1,02 pour $\sigma = 0{,}20$ et 1,05 pour $\sigma = 0{,}30$, des ordres de grandeur courants sur des marchés hétérogènes ou des données mal nettoyées. \textcite{halvorsenPalmquist1980} et \textcite{kennedy1981} ont traité ce biais pour les coefficients ; pour la prédiction, Duan (1983) a proposé l'estimateur non paramétrique dit de lissage (\emph{smearing})\footnote{Duan, N. (1983), « Smearing Estimate: A Nonparametric Retransformation Method », \emph{Journal of the American Statistical Association}, 78(383), 605-610 ; DOI 10.1080/01621459.1983.10478017 (vérifié ; \texttt{lib-ch18.bib}).},338\begin{equation}\label{eq:18:duan}339\hat P_s = \exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta}) \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \exp(\hat\varepsilon_i) ,340\end{equation}341qui remplace l'espérance inconnue de $\exp(\varepsilon)$ par sa moyenne empirique sur les résidus et ne suppose ni la normalité ni une forme particulière de la distribution. Il coïncide avec $\exp(\hat\sigma^2/2)$ lorsque les résidus sont normaux, ce qui est le cas de l'exemple (1,00335 contre 1,00345), et s'en écarte sinon ; il suppose en revanche l'homoscédasticité, et en présence d'hétéroscédasticité le facteur doit être calculé par segment. La convention de l'ouvrage applique la correction de Duan à toute prédiction en niveau issue d'un modèle en logarithme, et \texttt{traite.cas1.predire} l'implémente. La question « médiane ou moyenne ? » n'est pas que technique : la définition professionnelle de la valeur marchande parle du prix « le plus probable », que l'on peut lire comme un mode ou une médiane, tandis que le cadre de l'espérance conditionnelle du \cref{ch:16} vise la moyenne ; pour des erreurs symétriques en logarithme, la différence est de l'ordre de $\sigma^2/2$, négligeable ici, et l'évaluateur la déclare lorsqu'elle ne l'est pas.342343\subsection{L'intervalle de prédiction}344345L'erreur de prédiction du logarithme pour un nouveau logement a deux composantes indépendantes : l'erreur d'estimation des coefficients, de variance $\mathbf{x}_s\T V(\hat{\boldsymbol\beta})\mathbf{x}_s$, et le bruit de transaction propre à la vente future, de variance $\sigma^2$. Sous normalité, l'intervalle de prédiction au niveau $1 - a$ pour $\ln P_s$ est $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} \pm z_{1-a/2}\sqrt{\hat\sigma^2 + \mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s}$ et, retransformé,346\begin{equation}\label{eq:18:intervalle}347\left[\exp\!\left(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} - z_{1-a/2}\, s_p\right),\ \exp\!\left(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} + z_{1-a/2}\, s_p\right)\right], \qquad s_p = \sqrt{\hat\sigma^2 + \mathbf{x}_s\T\hat V_{\text{HC1}}\mathbf{x}_s} ,348\end{equation}349un intervalle asymétrique en dollars, plus long vers le haut. C'est ce que calcule la fonction \texttt{intervalle\_prediction} du module \texttt{traite.cas1}. Trois remarques en gouvernent l'usage. D'abord, la seconde composante domine presque toujours : avec six cents ventes, l'incertitude sur les coefficients ne pèse que 1,5 \% de la variance de prédiction au sujet, et aucun ajout de données ne réduira sensiblement l'intervalle, parce que ce qu'il mesure est la dispersion des prix du marché à caractéristiques données. Ensuite, l'intervalle s'élargit lorsque le sujet s'éloigne du centre du nuage des ventes, par le terme $\mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s$ ; un sujet atypique reçoit un intervalle plus large, ce qui est l'expression quantitative de la mise en garde du \cref{ch:16} contre les biens sans substituts. Enfin, l'intervalle de prédiction n'est pas un intervalle de confiance pour la valeur marchande : celui-ci, qui porte sur $\E[P_s \mid \mathbf{x}_s]$, ne contiendrait que la première composante et serait, ici, dix fois plus étroit (de l'ordre de $\pm 2$ \%). La distinction, souvent confondue dans les rapports, est développée au \cref{ch:20}.350351\section{Évaluation de masse et statistiques de ratio}\label{sec:18:masse}352353\subsection{Du modèle à l'évaluation de masse}354355Lorsque le même modèle sert à estimer des milliers de valeurs à une date de référence commune, on parle d'\motcle{évaluation de masse} (en anglais \emph{mass appraisal}) et, lorsque le processus est automatisé de bout en bout, de modèle d'évaluation automatisé (\emph{automated valuation model}, AVM). Le modèle hédonique en est l'outil central depuis les travaux de \textcite{gloudemans1999} et le manuel de \textcite{gloudemansAlmy2011}, et l'IAAO lui consacre deux normes, le \emph{Standard on Mass Appraisal of Real Property} \parencite{iaaomass2025} et le \emph{Standard on Automated Valuation Models} \parencite{iaaoavm2018}, qui renvoient toutes deux au \emph{Standard on Ratio Studies} \parencite{iaaoratio2013} pour la mesure de la qualité. La différence avec l'évaluation individuelle n'est pas dans l'équation mais dans l'objectif : le modèle de masse doit être juste \emph{en moyenne} et \emph{uniformément} sur l'ensemble du parc, non précis pour un sujet donné, et il doit l'être à une date de référence passée plutôt qu'à la date du rapport. Le \cref{ch:09} expose le cadre québécois du rôle d'évaluation foncière ; cette section en présente les instruments de mesure et les applique au modèle de l'exemple.356357\subsection{COD, PRD et PRB}358359Une \motcle{étude de ratios} compare, pour un échantillon de ventes, la valeur estimée $V_i$ au prix $P_i$ par le ratio $r_i = V_i / P_i$. Le niveau d'évaluation est mesuré par la médiane des ratios ; l'uniformité horizontale, c'est-à-dire la dispersion des ratios entre immeubles semblables, par le \motcle{coefficient de dispersion} (COD),360\begin{equation}\label{eq:18:cod}361\mathit{COD} = \frac{100}{\tilde r}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\abs{r_i - \tilde r} ,362\end{equation}363où $\tilde r$ est la médiane ; et l'uniformité verticale, c'est-à-dire l'absence de tendance des ratios selon le niveau de valeur, par le \motcle{différentiel relatif aux prix} (PRD),364\begin{equation}\label{eq:18:prd}365\mathit{PRD} = \frac{\bar r}{\sum_i V_i / \sum_i P_i} ,366\end{equation}367rapport de la moyenne simple des ratios à leur moyenne pondérée par les prix, et par le \motcle{biais relatif aux prix} (PRB), pente de la régression de $(r_i - \tilde r)/\tilde r$ sur le logarithme en base 2 d'une valeur de référence $\tfrac{1}{2}(V_i/\tilde r + P_i)$ :368\begin{equation}\label{eq:18:prb}369\frac{r_i - \tilde r}{\tilde r} = a + \mathit{PRB}\cdot\log_2\!\left(\frac{V_i/\tilde r + P_i}{2}\right) + u_i .370\end{equation}371Un PRD supérieur à 1 ou un PRB négatif signalent une évaluation \emph{régressive}, où les biens chers sont relativement sous-évalués ; le PRB a l'avantage de s'exprimer en pourcentage de variation du ratio par doublement de la valeur et d'être assorti d'une erreur-type. Les trois statistiques sont fournies par \texttt{traite.hedonique.statistiques\_ratio}. Le \emph{Standard on Ratio Studies} de l'IAAO fixe les plages acceptables rappelées au \cref{tab:18:ratios} : un COD de 5,0 à 10,0 pour le résidentiel unifamilial de secteurs récents ou homogènes et de 5,0 à 15,0 pour les secteurs anciens ou hétérogènes, un niveau d'évaluation entre 0,90 et 1,10, un PRD entre 0,98 et 1,03 et un PRB entre $-0{,}05$ et $+0{,}05$, un intervalle de confiance à 95 \% du PRB entièrement hors de $[-0{,}10 ; 0{,}10]$ indiquant une iniquité verticale inacceptable ; la norme précise aussi qu'un COD inférieur à 5,0 peut indiquer une « poursuite des ventes » (\emph{sales chasing}), c'est-à-dire des valeurs ajustées sur les prix des ventes connues \parencite{iaaoratio2013}. Ces plages datent de l'édition approuvée en avril 2013 ; la page de l'IAAO indiquait, à la date de consultation, qu'une révision était en cours de finalisation.372373\begin{table}[htbp]374\caption{Statistiques de ratio du modèle de référence et du rôle fictif du cas 1, et plages de l'IAAO pour le résidentiel unifamilial}\label{tab:18:ratios}375\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}376\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Y S[table-format=1.3] S[table-format=2.2] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] Y@{}}377\toprule378Ensemble & {Médiane} & {COD} & {PRD} & {PRB} & Remarque \\379\midrule380Modèle de référence, échantillon d'estimation ($n = 600$) & 0.997 & 6.68 & 1.007 & -0.058 & PRB mécaniquement négatif (voir texte) \\381Modèle de référence, validation croisée à 10 plis & 0.997 & 6.83 & 1.007 & -0.059 & erreur absolue médiane 5,7 \% \\382Rôle fictif 2025 / prix ramenés au 1\ier{} juillet 2024 & 0.925 & 6.12 & 0.999 & 0.064 & rôle généré à 0,93 fois la valeur, $\sigma = 0{,}07$ \\383Rôle fictif 2025 / prix bruts (sans rajustement temporel) & 0.914 & 6.90 & 1.002 & 0.033 & la tendance gonfle le COD \\384\midrule385Plage IAAO, unifamilial, secteurs récents ou homogènes & {0,90--1,10} & {5,0--10,0} & {0,98--1,03} & {$\pm 0{,}05$} & Standard on Ratio Studies, table 1-3 et §~9.2 \\386Plage IAAO, unifamilial, secteurs anciens ou hétérogènes & {0,90--1,10} & {5,0--15,0} & {0,98--1,03} & {$\pm 0{,}05$} & idem \\387\bottomrule388\end{tabularx}389\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}} ; plages : \textcite{iaaoratio2013}, consulté le 31 octobre 2026 (copie 2013 ; révision annoncée).}390\end{table}391392Appliquées au modèle de référence, ces statistiques donnent un COD de 6,68 sur l'échantillon d'estimation et de 6,83 en validation croisée à dix plis, c'est-à-dire lorsque chaque vente est prédite par un modèle estimé sans elle : le modèle est à peine moins bon hors échantillon qu'en échantillon, ce qui est le signe d'une spécification parcimonieuse, et il se situe dans la plage la plus exigeante de l'IAAO. Le PRD de 1,007 est dans la plage. Le PRB de $-0{,}058$ (erreur-type 0,011) est, lui, légèrement en deçà de $-0{,}05$, et le lecteur doit comprendre pourquoi avant d'y voir un défaut : la variable de référence de l'\cref{eq:18:prb} contient le prix de vente, qui contient le bruit de transaction $\varepsilon_i$ ; une vente conclue au-dessus de ce que ses caractéristiques justifient a un prix élevé \emph{et} un ratio faible, ce qui crée une corrélation négative mécanique entre le ratio et la valeur de référence même pour un modèle parfaitement spécifié. Sur des données synthétiques où le modèle est connu pour être sans biais, ce PRB négatif mesure cet artefact, dont l'ampleur croît avec $\sigma$ ; sur des données réelles, l'analyste doit le garder à l'esprit avant de conclure à une régressivité, et la norme elle-même invite à interpréter le PRB avec son intervalle de confiance.393394La troisième ligne du tableau applique les mêmes statistiques à la valeur au rôle fictive du jeu (\texttt{valeur\_role\_2025}), qui a été engendrée comme 93 \% de la valeur à la date de référence du 1\ier{} juillet 2024 avec un bruit d'écart-type 0,07, en ramenant d'abord chaque prix de vente à cette date par la tendance du modèle ($P_i \exp(-\hat\beta_{\text{mois}}\,\text{mois}_i)$), comme le prescrit le Règlement sur la proportion médiane pour les ventes qui ne sont pas contemporaines de la date de référence \parencite[art.~11--12]{reglpropmed}. La médiane des ratios est de 0,925, le COD de 6,12, le PRD de 0,999 et le PRB de $+0{,}064$ : un rôle uniforme mais sous-évalué de 7,5 \%, ce qui est précisément ce que la loi de génération a construit. Sans rajustement temporel (quatrième ligne), le COD monte à 6,90 parce que la dérive des prix sur trois ans et demi s'ajoute à la dispersion des ratios : c'est l'illustration de la raison pour laquelle les études de ratios ramènent les prix à la date de référence avant toute comparaison. Pour le sujet lui-même, dont la valeur au rôle fictive est de \dollars{468000}, le modèle prédit \dollars{580375} au 1\ier{} juillet 2024, soit un ratio de 0,81, bien en deçà de la médiane de 0,925 du rôle fictif : le dossier de contestation du \cref{ch:09} part de ce constat.395396\begin{quebec}[La proportion médiane et l'uniformité du rôle]397Le cadre québécois formalise, pour le rôle d'évaluation foncière, des mesures voisines de celles de l'IAAO. L'article 264 de la Loi sur la fiscalité municipale prévoit que l'évaluateur établit « à quelle proportion médiane de la valeur foncière réelle des unités d'évaluation correspondent les valeurs inscrites au rôle », ainsi que le facteur comparatif, inverse de cette proportion \parencite[art.~264]{lfm}. Le Règlement sur la proportion médiane du rôle d'évaluation foncière fixe la méthode de l'étude de ratios : ventes d'au moins \dollars{5000} (art.~2), liste de base d'au moins trente ventes (art.~5), ventes du deuxième exercice précédent (art.~6), rajustement des prix aux conditions du marché au 1\ier{} juillet de cet exercice (art.~11-12), épuration des ratios situés à plus de deux écarts-types de la médiane (art.~15-16), puis médiane des ratios restants (art.~18-19) \parencite{reglpropmed}. Le Règlement sur le rôle d'évaluation foncière exige qu'après équilibration la proportion médiane soit « d'au moins 95 \% et d'au plus 105 \% » (art.~13 al.~2) et plafonne l'écart-type relatif à la médiane des ratios, de 14 \% à 36 \% selon l'indice de concentration résidentielle unifamiliale de la municipalité (art.~14 et annexe III) \parencite{reglrole}. Cet écart-type relatif joue le rôle du COD, avec un seuil beaucoup moins exigeant que les plages de l'IAAO, et la proportion médiane celui du niveau d'évaluation, avec une plage de $\pm 5$ \% au lieu de $\pm 10$ \%. Le Manuel d'évaluation foncière du Québec, édition 2026, consacre sa partie 3 au processus d'évaluation, dont la mesure des taux de variation du marché (3A), l'équilibration (3B) et la comparaison (3C), qui mettent en œuvre des modèles de la famille présentée ici \parencite{mefqpartie3} ; son contenu est protégé par le droit d'auteur du gouvernement du Québec et n'est pas reproduit. À titre d'ordre de grandeur, la Ville de Gatineau publie des facteurs comparatifs de 1,00 pour 2024, 0,98 pour 2025 et 1,02 pour 2026 \parencite{gatmutations}, soit des proportions médianes de 100 \%, d'environ 102 \% et d'environ 98 \% : le rôle fictif du cas 1, à 92,5 \%, ne satisferait pas l'exigence de l'article 13 du règlement, et c'est volontaire. Textes consultés sur LégisQuébec et Québec.ca le 31 octobre 2026.398\end{quebec}399400\section{Analyse de sensibilité}\label{sec:18:sensibilite}401402La prédiction hédonique du sujet dépend de deux séries de choix : la spécification du modèle et l'échantillon sur lequel il est estimé. Le \cref{tab:18:variantes} a mesuré la première : parmi les spécifications correctement situées en logarithme (semi-log, log-log, Box--Cox, indicatrices trimestrielles), la prédiction du sujet varie de \dollars{627260} à \dollars{649980}, soit un intervalle de $-1{,}7$ \% à $+1{,}9$ \% autour de la référence ; la forme linéaire ($-3{,}4$ \%) et l'omission des secteurs ($+4{,}1$ \%) sortent de cet intervalle, et ce sont précisément les deux spécifications que les diagnostics rejettent. Le \cref{tab:18:sensibilite} mesure la seconde en réestimant la spécification de référence sur six sous-échantillons. Restreindre l'estimation au secteur de Hull (186 ventes) abaisse la prédiction à \dollars{625967} et le $R^2$ à 0,79, non parce que le modèle est moins bon, mais parce qu'un échantillon homogène a moins de variance à expliquer et que les coefficients y sont estimés avec moins de précision ; la restriction aux dix-huit derniers mois (236 ventes) la relève à \dollars{640098} ; les cottages seuls (330 ventes) la ramènent à \dollars{629272} ; le retrait des 29 observations influentes la laisse à \dollars{636872} ; la restriction aux superficies de 110 à \msq{230} donne \dollars{635048}. L'élasticité de la superficie reste comprise entre 0,539 et 0,555 dans tous les cas. L'étendue totale, de \dollars{625967} à \dollars{640098}, est de 2,2 \% : l'incertitude de spécification et d'échantillonnage, pour un modèle bien spécifié estimé sur plusieurs centaines de ventes, est de l'ordre de deux à trois points de pourcentage, soit quatre à huit fois moins que l'intervalle de prédiction individuel de la \cref{sec:18:prediction}, et du même ordre que l'incertitude de sélection des comparables mesurée au \cref{ch:16} (4,4 \%). Le \cref{ch:20} combine ces trois sources.403404\begin{table}[htbp]405\caption{Sensibilité du modèle de référence et de la prédiction du sujet à l'échantillon d'estimation (données synthétiques)}\label{tab:18:sensibilite}406\centering\small407\begin{tabular}{@{}l S[table-format=3.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.4] S[table-format=1.3] S[table-format=6.0] S[table-format=-1.1]@{}}408\toprule409Échantillon & {$n$} & {$R^2$} & {$\hat\sigma$} & {$\hat\beta_{\ln S}$} & {Sujet (\$)} & {Écart (\%)} \\410\midrule411600 ventes (référence) & 600 & 0.853 & 0.0830 & 0.539 & 637953 & 0.0 \\412Secteur Hull seulement & 186 & 0.793 & 0.0845 & 0.540 & 625967 & -1.9 \\413Ventes des 18 derniers mois & 236 & 0.850 & 0.0846 & 0.546 & 640098 & 0.3 \\414Cottages à étages seulement & 330 & 0.847 & 0.0849 & 0.544 & 629272 & -1.4 \\415Sans les 29 observations influentes (Cook $> 4/n$) & 571 & 0.875 & 0.0748 & 0.540 & 636872 & -0.2 \\416Superficie habitable de 110 à 230 m² & 495 & 0.813 & 0.0839 & 0.555 & 635048 & -0.5 \\417\bottomrule418\end{tabular}419\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Même spécification que le \cref{tab:18:resultats} ; les indicatrices de secteur constantes dans un sous-échantillon sont omises.}420\end{table}421422\begin{pratique}423Un modèle hédonique déposé à l'appui d'une conclusion de valeur doit être documenté de façon qu'un tiers puisse le reproduire : source et période des ventes, filtres d'épuration et nombre de ventes retirées à chaque étape (\cref{ch:14,ch:16}), liste des variables et de leurs transformations, tableau des coefficients avec erreurs-types robustes, $R^2$, $\hat\sigma$ et $n$, diagnostics (au minimum le graphique des résidus, le test d'hétéroscédasticité, les VIF et les observations influentes examinées), facteur de retransformation, prédiction du sujet avec son intervalle, et statistiques de ratio en validation croisée. Le script et les données, ou à défaut leur description exacte, font partie du dossier. Un modèle dont on ne peut produire que la prédiction n'est pas une preuve ; c'est une opinion habillée de chiffres.424\end{pratique}425426\begin{erreurs}427\begin{itemize}428\item \emph{Lire $100\,\hat\beta$ comme un pourcentage pour une indicatrice de grande ampleur.} Le secteur de Buckingham a un coefficient de $-0{,}250$ : l'effet est de $-22{,}1$ \%, non de $-25$ \% (\cref{eq:18:hp}).429\item \emph{Comparer les $R^2$ d'un modèle linéaire et d'un modèle en logarithmes.} Les variables dépendantes diffèrent ; on compare des erreurs de prédiction en dollars, des COD ou la vraisemblance de Box--Cox avec son jacobien.430\item \emph{Retransformer par la simple exponentielle.} Elle estime la médiane, non la moyenne ; l'erreur vaut $\sigma^2/2$, soit 2 \% pour $\sigma = 0{,}20$ (\cref{eq:18:duan}).431\item \emph{Confondre intervalle de prédiction et intervalle de confiance.} Le premier décrit la dispersion des prix possibles ($\pm 16$ \% ici), le second l'incertitude sur la valeur espérée ($\pm 2$ \%) ; le rapport doit dire lequel il communique.432\item \emph{Retirer les observations influentes parce qu'elles sont influentes.} On les retire parce que la vérification montre qu'elles ne sont pas des ventes de marché ; sinon on les garde et on le dit.433\item \emph{Interpréter un VIF élevé comme un défaut du modèle.} La colinéarité entre l'âge et son carré, ou entre un secteur périphérique et la distance, est structurelle ; elle n'affecte ni la prédiction ni l'effet joint, seulement la lecture séparée des coefficients.434\item \emph{Extrapoler hors du nuage des ventes.} Les formes fonctionnelles s'accordent au centre et divergent aux bords (\cref{fig:18:formes}) ; prédire une maison de \msq{400} avec un modèle estimé sur des maisons de 90 à \msq{260} revient à choisir arbitrairement l'une de ces courbes.435\item \emph{Transposer des prix implicites d'un marché à un autre.} La fonction de prix est une enveloppe propre à un marché et à une date (\cref{sec:18:fondements}).436\item \emph{Omettre la localisation faute de données.} L'omission des secteurs a gonflé le gradient de distance de trois fois, divisé par deux l'effet du terrain et surestimé le sujet de 4 \% (\cref{eq:18:omission}).437\end{itemize}438\end{erreurs}439440\begin{limites}441\begin{itemize}442\item Les données du cas 1 sont synthétiques et engendrées par le modèle même que l'on estime, avec une erreur normale, homoscédastique et sans structure spatiale : la concordance remarquable des diagnostics et la couverture de quinze paramètres sur quinze ne doivent pas être lues comme typiques de données réelles, où la forme vraie est inconnue, les erreurs sont hétéroscédastiques et à queues épaisses, des variables sont omises et les résidus sont spatialement corrélés. L'exemple enseigne la méthode, pas l'ordre de grandeur de son erreur sur un marché réel.443\item Les paramètres de génération sont des hypothèses pédagogiques calibrées sur des médianes publiées par l'APCIQ (source d'industrie) et sur la variation du rôle de Gatineau ; les élasticités et primes ne résultent d'aucune estimation sur des ventes réelles de Gatineau.444\item Le seuil de 10 pour le VIF et celui de $4/n$ pour la distance de Cook sont des conventions d'usage, non des normes.445\item Les plages de COD, PRD et PRB citées proviennent de l'édition 2013 du \emph{Standard on Ratio Studies} de l'IAAO, consultée sur une copie tierce ; la page de l'IAAO annonçait une révision en cours. Les seuils québécois (proportion médiane 95-105 \%, écart-type relatif) ont été lus sur LégisQuébec le 31 octobre 2026 ; les facteurs comparatifs de Gatineau proviennent de la page municipale sur les droits de mutation.446\item Le modèle de référence ignore la dépendance spatiale fine, les interactions entre attributs et localisation \parencite{can1992,desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2007}, les ruptures temporelles et les sous-marchés ; ces extensions relèvent des \cref{ch:19,ch:35,ch:37}.447\item La prédiction et l'intervalle supposent que le sujet appartient au marché échantillonné et que ses caractéristiques sont mesurées comme celles des ventes (\cref{ch:12,ch:14}) ; un sujet atypique ou mal mesuré n'est pas couvert par l'intervalle calculé.448\end{itemize}449\end{limites}450451\begin{synthese}452\begin{itemize}453\item La fonction de prix hédonique $P(\mathbf{z})$ est l'enveloppe d'équilibre des enchères des acheteurs et des offres des vendeurs ; ses dérivées partielles sont les prix implicites, égaux à la disposition marginale à payer de l'acheteur qui occupe le logement. L'évaluation n'a besoin que de ce premier stade de Rosen : la valeur marchande est $P(\mathbf{z}_s)$ et les ajustements en sont les dérivées.454\item La forme semi-logarithmique est la spécification par défaut : variance stabilisée, effets proportionnels transportables, robustesse aux variables omises. Les indicatrices se lisent par $\exp(\hat\beta) - 1$, avec la correction de Kennedy si la variance est notable ; la transformation de Box--Cox permet de tester la forme.455\item Les MCO avec erreurs-types HC1 sont l'estimateur de référence ; les diagnostics obligatoires sont le graphique des résidus et le test de Breusch--Pagan, le diagramme quantile-quantile, les VIF, les distances de Cook et l'indice de Moran des résidus.456\item Sur les 600 ventes du cas 1, le modèle retrouve les quinze paramètres de génération, $R^2 = 0{,}853$ et $\hat\sigma = 0{,}083$ ; au sujet, le mètre carré habitable vaut \parmsq{2084}, l'échelon de qualité \dollars{40182}, la place de garage \dollars{21031}, le mois de marché \dollars{2319}.457\item La prédiction en niveau exige la correction de retransformation de Duan ; le sujet est prédit à \dollars{637953}, dans un intervalle de prédiction à 95 \% de \dollars{539682} à \dollars{749087} dominé par le bruit de transaction, non par l'incertitude des coefficients.458\item En évaluation de masse, la qualité se mesure par le COD (6,8 en validation croisée ici), le PRD et le PRB, à situer dans les plages de l'IAAO ; au Québec, la proportion médiane (95-105 \%) et l'écart-type relatif du règlement jouent ce rôle pour le rôle foncier.459\item L'incertitude de spécification et d'échantillonnage d'un bon modèle est de l'ordre de deux à trois points de pourcentage ; elle est petite devant la dispersion des prix, et c'est cette dernière qui gouverne l'intervalle communiqué.460\end{itemize}461\end{synthese}462463\section*{Exercices}464\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}465466\begin{exercice}[1]{Lire les coefficients d'un modèle semi-logarithmique}{ex:18:1}467À partir du \cref{tab:18:resultats} : (a) interprétez le coefficient 0,539 de $\ln(S/140)$ ; (b) convertissez le coefficient 0,0324 du garage en effet en pourcentage par l'\cref{eq:18:hp} et comparez à $100\,\hat\beta$ ; (c) faites de même pour le secteur de Buckingham avec $\hat\beta = -0{,}250$ et une erreur-type de 0,072, puis appliquez la correction de Kennedy \eqref{eq:18:kennedy} ; (d) convertissez le coefficient mensuel 0,0036 en taux annuel composé.468\end{exercice}469470\begin{exercice}[1]{Prix implicites en dollars au sujet}{ex:18:2}471Le sujet est prédit à \dollars{638000} ; il a \msq{165} habitables et 28 ans. Avec $\hat\beta_{\ln S} = 0{,}539$, $\hat\beta_{\text{âge}} = -0{,}0051$, $\hat\beta_{\text{âge}^2/100} = 0{,}0026$ et $\hat\beta_{\text{piscine}} = 0{,}0263$ : (a) calculez le prix implicite marginal du mètre carré habitable ; (b) calculez l'ajustement exact pour \msq{10} de plus, $P[(175/165)^{0{,}539} - 1]$, et comparez-le à dix fois le prix marginal ; (c) calculez la dépréciation annuelle implicite à 28 ans puis à 60 ans, et l'âge auquel la dérivée s'annule ; (d) calculez la contribution d'une piscine.472\end{exercice}473474\begin{exercice}[2]{Transformation de Box--Cox et comparaison des formes}{ex:18:3}475(a) Calculez la transformation de Box--Cox \eqref{eq:18:boxcox} d'un prix de \dollars{500000} pour $\lambda = 1$, $\lambda = 0{,}5$ et $\lambda \to 0$. (b) Sur le cas 1, $\hat\lambda = 0{,}157$ avec un intervalle à 95 \% de $[-0{,}036 ; 0{,}353]$ : que concluez-vous quant aux formes linéaire et semi-logarithmique ? (c) Expliquez pourquoi le $R^2$ de 0,839 de la forme linéaire et celui de 0,853 de la semi-log (\cref{tab:18:variantes}) ne permettent pas, à eux seuls, de départager les deux formes, et quelle statistique du tableau le permet.476\end{exercice}477478\begin{exercice}[2]{Retransformation et intervalle de prédiction}{ex:18:4}479Pour le sujet du cas 1, $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} = 13{,}3627$, $\hat\sigma = 0{,}0830$, $\mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s = 0{,}00010$ et la moyenne des exponentielles des résidus vaut 1,0034. (a) Calculez la prédiction naïve $\exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta})$, la prédiction corrigée de Duan et la prédiction corrigée sous l'hypothèse log-normale. (b) Calculez l'écart-type de prédiction, la part de la variance due à l'estimation des coefficients et l'intervalle de prédiction à 95 \% \eqref{eq:18:intervalle}. (c) Que deviendrait la demi-largeur relative de l'intervalle si l'on disposait de dix fois plus de ventes ? Justifiez.480\end{exercice}481482\begin{exercice}[2]{Étude de ratios}{ex:18:5}483Dix ventes fictives et leurs valeurs estimées par un modèle de masse sont données ci-dessous (en dollars). Calculez les ratios, leur médiane, le COD \eqref{eq:18:cod} et le PRD \eqref{eq:18:prd} ; dites si le niveau et l'uniformité respectent les plages de l'IAAO du \cref{tab:18:ratios}, et indiquez, sans le calculer, le signe attendu du PRB.484\begin{center}\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.6pt}485\begin{tabular}{lS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]}486\toprule487Prix & 312000 & 358500 & 401000 & 445000 & 489500 & 532000 & 598000 & 655000 & 742000 & 895000 \\488Valeur & 298000 & 329000 & 371000 & 405000 & 452000 & 478000 & 539000 & 576000 & 645000 & 752000 \\489\bottomrule490\end{tabular}491\end{center}492\end{exercice}493494\begin{exercice}[3]{Variables omises}{ex:18:6}495À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}, estimez le modèle de référence sans les indicatrices de secteur et comparez les coefficients de la distance au centre et du terrain, $\hat\sigma$ et la prédiction du sujet à ceux du modèle complet. Expliquez chaque déplacement par l'\cref{eq:18:omission} en raisonnant sur le signe de la corrélation entre les secteurs omis et chaque régresseur. Que se passerait-il si l'on omettait plutôt la variable \emph{qualité} ? Vérifiez votre intuition dans le script.496\end{exercice}497498\begin{exercice}[3]{Le second stade de Rosen et l'identification}{ex:18:7}499Un ménage a l'utilité $U = \ln x + \alpha \ln S$, où $x$ est la consommation du bien composite et $S$ la superficie, et la contrainte $y = x + P(S)$, avec une fonction de prix log-log $P(S) = a S^{\beta}$. (a) Écrivez la condition de premier ordre \eqref{eq:18:rosen} et exprimez $\alpha$ en fonction du prix implicite $p_S = \partial P/\partial S$, de $S$ et de $x$. (b) Avec $\beta = 0{,}539$ et $P = \dollars{638000}$ pour $S = \msq{165}$, calculez $p_S$ à 120, 165 et \msq{220}. (c) Montrez que, dans un seul marché, la régression du prix implicite $p_S$ sur $S$ parmi les acheteurs observés ne renseigne que sur $\beta$ et non sur la distribution des $\alpha$, et expliquez pourquoi l'évaluateur n'en a pas besoin.500\end{exercice}501502\begin{exercice}[3]{Indicatrices de période ou tendance ?}{ex:18:8}503À l'aide du script du chapitre, extrayez l'indice trimestriel de la \cref{fig:18:indice} et la tendance du modèle de référence. (a) Calculez le taux mensuel et le taux annuel composé implicites du coefficient $\hat\beta_{\text{mois}}$. (b) Calculez l'écart absolu moyen et l'écart maximal, en pourcentage, entre les deux indices. (c) Le comparable G0404 du \cref{ch:16} s'est vendu \dollars{506500} 15,2 mois avant la date d'évaluation : calculez l'ajustement de conditions du marché par la tendance, puis par le rapport des indices trimestriels, et discutez lequel retenir au regard de la précision du dernier trimestre. (d) En quoi la question se pose-t-elle différemment pour un indice de prix publié (\cref{ch:35}) et pour un ajustement de grille ?504\end{exercice}505506\section*{Pour aller plus loin}507\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}508509L'article fondateur de \textcite{rosen1974} reste la lecture première, précédé de \textcite{lancaster1966} pour l'idée que l'utilité porte sur les caractéristiques ; \textcite{goodman1998} raconte la naissance de la méthode chez \textcite{court1939}. Les synthèses de \textcite{sheppard1999}, dans le \emph{Handbook of Regional and Urban Economics}, et de \textcite{malpezzi2003} couvrent la théorie, la spécification et les biais ; les recensions de \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} et de \textcite{khoshnoudSirmansZietz2023} donnent les signes et magnitudes typiques de plus d'une centaine de variables. Sur la forme fonctionnelle, \textcite{boxCox1964} et surtout \textcite{cropperDeckMcconnell1988}, dont les simulations fondent la préférence pour les formes simples, et sur l'interprétation des indicatrices \textcite{halvorsenPalmquist1980} et \textcite{kennedy1981}. Les questions d'identification du second stade sont traitées par \textcite{epple1987}, \textcite{ekelandHeckmanNesheim2004} et \textcite{bajariBenkard2005} ; les bonnes pratiques contemporaines (effets fixes fins, formes flexibles, robustesse) par \textcite{kuminoffParmeterPope2010} et \textcite{bishop2020}. Pour l'inférence robuste et les erreurs en grappes, \textcite{wooldridge2010}. Les applications québécoises de l'équipe de l'Université Laval, \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000}, \textcite{desrosiersLaganaTheriault2001}, \textcite{desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2002}, \textcite{theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003} et \textcite{desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2007}, montrent ce qu'un modèle hédonique bien spécifié peut mesurer sur le marché de Québec, et \textcite{can1992} a ouvert la voie aux spécifications spatiales du \cref{ch:19}. Enfin, pour l'évaluation de masse, \textcite{gloudemans1999}, \textcite{gloudemansAlmy2011} et \textcite{mccluskey2013} complètent les normes de l'IAAO \parencite{iaaoratio2013,iaaomass2025,iaaoavm2018}.510