spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Indices immobiliers et ventes répétées}\label{ch:35}23Les chapitres précédents ont supposé, chaque fois qu'un comparable vendu il y a quinze mois devait être ramené à la date d'évaluation, qu'un indice du marché existait et qu'il était fiable. Le présent chapitre examine cette hypothèse. Un indice de prix immobiliers répond à une question d'apparence simple, « de combien le prix d'un logement \emph{donné} a-t-il varié entre deux dates ? », qui se heurte à une difficulté irréductible : le logement donné ne se vend presque jamais aux deux dates, et les logements qui se vendent à la première ne sont pas ceux qui se vendent à la seconde. Toute la théorie des indices immobiliers consiste à contourner cet obstacle, soit en corrigeant les différences de caractéristiques par un modèle hédonique, soit en ne retenant que les immeubles vendus deux fois, soit en s'appuyant sur une évaluation antérieure de chaque immeuble. Le chapitre expose ces trois familles, en dérive les estimateurs, en mesure les biais et les imprécisions, puis les confronte sur un même marché, celui du cas 1, dont la trajectoire vraie est connue. Il décrit ensuite les indices canadiens et québécois que l'évaluateur rencontre dans sa pratique et dit ce que chacun mesure. La leçon qui s'en dégage est que l'ajustement de conditions du marché, souvent traité comme une formalité, repose sur une mesure dont l'incertitude est du même ordre que celle des ajustements de propriété, et qu'il faut choisir et documenter l'indice avec le même soin que les comparables.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item définir un indice de prix à qualité constante et le distinguer d'une série de prix médians ou moyens, dont il peut décomposer le biais de composition ;9\item construire un indice hédonique par indicatrices temporelles, par chaînage de périodes adjacentes ou par imputation, et dire quand ces trois constructions coïncident ;10\item dériver l'estimateur de ventes répétées de Bailey, Muth et Nourse et l'estimateur pondéré de Case et Shiller, en comprendre les hypothèses et calculer leurs erreurs-types ;11\item construire un indice SPAR à partir des prix de vente et des valeurs au rôle, et en connaître les conditions de validité ;12\item expliquer les biais de sélection des reventes, le mécanisme de révision des indices et la précision attendue selon la taille de l'échantillon ;13\item lire correctement l'indice Teranet--Banque Nationale, l'Indice des prix des logements neufs, les médianes de l'APCIQ et de JLR, et choisir l'indice approprié à un ajustement de conditions du marché.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Pourquoi un indice ?}\label{sec:35:pourquoi}1819\subsection{Trois usages, une même exigence}2021L'évaluateur rencontre les indices de prix dans trois situations. La première est l'\motcle{ajustement de conditions du marché} d'un comparable : le \cref{ch:17} a montré que le prix d'une vente ancienne doit être multiplié par le rapport de l'indice à la date d'évaluation à l'indice à la date de la vente, et que cet ajustement est souvent le plus important de la grille lorsque les prix évoluent de plusieurs points par année. La deuxième est le \emph{suivi du marché} : l'étude de marché du \cref{ch:15}, le rapport d'évaluation, l'analyse du cycle du \cref{ch:03} et la mesure du risque de portefeuille du \cref{ch:48} ont besoin d'une mesure de la variation des prix dégagée des accidents de composition. La troisième, moins familière au praticien québécois, est la construction de \emph{produits financiers} adossés aux prix des maisons : indexation des contrats, assurance de la valeur, contrats à terme et options, que \textcite{shiller2015} a longtemps défendus comme instruments de partage du risque immobilier des ménages et qui exigent un indice publié, reproductible et peu révisé. Les trois usages posent la même exigence : l'indice doit mesurer la variation du prix d'un logement de caractéristiques \emph{constantes}, et non la variation du prix des logements qui se trouvent avoir été vendus.2223\begin{definition}{Indice de prix à qualité constante}{indice-qualite-constante}24Soit $\E[P \mid \mathbf{x}, t]$ le prix espéré à la date $t$ d'un logement de caractéristiques $\mathbf{x}$, au sens de l'\cref{eq:16:esperance}. L'\motcle{indice de prix à qualité constante} entre la période de base $0$ et la période $t$ est le rapport25\begin{equation}\label{eq:35:indice}26I_t = 100 \times \frac{\E[P \mid \mathbf{x}, t]}{\E[P \mid \mathbf{x}, 0]},27\end{equation}28pour un panier de caractéristiques $\mathbf{x}$ fixé. Lorsque la fonction de prix est semi-logarithmique à effets temporels additifs, $\ln \E[P \mid \mathbf{x}, t] = \alpha + \mathbf{x}\T\boldsymbol\beta + \tau_t$, le rapport ne dépend pas du panier et vaut $100\exp(\tau_t - \tau_0)$ : l'indice est alors défini sans ambiguïté. Dans le cas général, il dépend du panier retenu, et l'on parle d'indice de Laspeyres, de Paasche ou de Fisher selon le panier.29\end{definition}3031La définition fait apparaître pourquoi aucune statistique calculée directement sur les prix observés ne convient. Les ventes de la période $t$ ont des caractéristiques $\mathbf{x}_i$ qui diffèrent de celles de la période $0$ ; la médiane ou la moyenne de leurs prix mélange la variation du marché et la variation de la composition. Les trois familles de méthodes du chapitre se distinguent par la façon dont elles neutralisent cette composition : la méthode \motcle{hédonique} la mesure explicitement au moyen du modèle du \cref{ch:18} ; la méthode des \motcle{ventes répétées} l'élimine en ne comparant chaque immeuble qu'à lui-même ; la méthode du \motcle{rapport prix sur valeur} (en anglais \emph{sale price appraisal ratio}, SPAR) la neutralise en rapportant chaque prix à une évaluation antérieure du même immeuble. Le \cref{tab:35:taxonomie} résume ces familles, leurs données, leurs hypothèses et leurs faiblesses ; \textcite{hill2013} en donne une taxonomie détaillée pour les méthodes hédoniques, et le manuel international des indices de prix des logements \parencite{eurostat2013} les compare chapitre par chapitre.3233\begin{table}[htbp]34\caption{Familles d'indices de prix des logements : données, hypothèse centrale et faiblesse principale}\label{tab:35:taxonomie}35\centering\small36\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}lYYY@{}}37\toprule38Méthode & Données requises & Hypothèse centrale & Faiblesse principale \\39\midrule40Médiane, moyenne (brutes ou stratifiées) & Prix et date de chaque vente ; strates (type, secteur) & La composition des ventes est stable d'une période à l'autre & Biais de composition ; la stratification ne corrige que les strates observées \\41Hédonique à indicatrices temporelles & Prix, date et caractéristiques de chaque vente & Prix implicites constants sur la fenêtre d'estimation ; forme fonctionnelle correcte & Révision de toute la série quand une période s'ajoute ; dépend de la spécification \\42Hédonique chaîné (périodes adjacentes) & Idem & Prix implicites constants sur deux périodes seulement & Dérive du chaînage ; variance cumulée \\43Hédonique par imputation (Laspeyres, Paasche, Fisher) & Idem, avec un modèle par période & Modèle estimable période par période & Exige beaucoup de ventes par période ; dépend du panier \\44Ventes répétées (BMN, Case--Shiller) & Prix et dates des immeubles vendus au moins deux fois & Qualité de l'immeuble constante entre ses deux ventes ; absence de sélection & Sous-échantillon des reventes ; rénovations et dépréciation ; révision ; petits échantillons \\45SPAR (prix / valeur au rôle) & Prix de chaque vente et valeur au rôle de l'immeuble à une date de référence commune & Rôle uniforme (ratio prix/valeur indépendant des caractéristiques) & Hérite des biais du rôle ; rupture à chaque nouveau rôle \\46Hybride (hédonique + ventes répétées) & Toutes les ventes, caractéristiques connues ou non & Modèle commun aux ventes uniques et répétées & Complexité ; peu diffusé \\47\bottomrule48\end{tabularx}49\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{eurostat2013}, \textcite{hill2013} et \textcite{bourassaHoesliSun2006}.}50\end{table}5152\subsection{Ce qu'un indice ne mesure pas}5354Trois précisions évitent des confusions courantes. D'abord, un indice de prix n'est pas un indice de valeur : il mesure la variation du prix d'un bien de caractéristiques constantes, non la variation de la valeur d'un bien particulier, qui vieillit, se dégrade ou s'améliore entre deux dates. Un immeuble qui a vingt ans à la date d'évaluation et dix-sept ans à la date de la vente comparable n'a pas la même qualité aux deux dates ; l'indice mesure ce que vaudrait aujourd'hui l'immeuble \emph{tel qu'il était}, et l'ajustement d'âge ou d'état, s'il y a lieu, est distinct. Cette distinction est au cœur des travaux de \textcite{knightSirmans1996} et de \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} sur la dépréciation mesurée dans les modèles de ventes répétées, sur lesquels la \cref{sec:35:repetees} revient. Ensuite, un indice est propre à un territoire et à un segment : l'indice d'une région métropolitaine agrège des sous-marchés dont les trajectoires peuvent diverger, comme la \cref{fig:35:ipln} le montrera pour les logements neufs des cinq régions métropolitaines québécoises couvertes, et le \cref{ch:17} a rappelé qu'appliquer à une unifamiliale de Gatineau l'indice de la région de Montréal n'est pas un ajustement, mais une erreur de marché. Enfin, un indice est une estimation : il a une variance, qui dépend du nombre de ventes de chaque période, et il est révisé lorsque de nouvelles observations s'ajoutent. Les deux dernières valeurs publiées d'un indice de ventes répétées, celles qui servent justement à l'ajustement de conditions du marché, sont les moins précises et les plus révisées, et le chapitre y revient à la \cref{sec:35:sensibilite}.5556\section{Médiane, moyenne et biais de composition}\label{sec:35:mediane}5758\subsection{La médiane mesure deux choses à la fois}5960Le \motcle{prix médian} est la statistique la plus diffusée, parce qu'elle est simple, robuste aux ventes extrêmes et calculable sans aucune information sur les caractéristiques des biens vendus. C'est précisément cette dernière propriété qui en fait un mauvais indice : si la médiane ne voit pas les caractéristiques, elle ne peut pas les tenir constantes. Supposons que la fonction de prix soit celle du modèle de référence, $\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \varepsilon_i$. La moyenne des logarithmes des prix de la période $t$, c'est-à-dire le logarithme de leur moyenne géométrique $\bar P^{\,g}_t$, s'écrit61\begin{equation}\label{eq:35:decomposition}62\ln \bar P^{\,g}_t = \alpha + \bar{\mathbf{x}}_t\T\boldsymbol\beta + \tau_t + \bar\varepsilon_t ,63\qquad\text{d'où}\qquad64\ln \frac{\bar P^{\,g}_t}{\bar P^{\,g}_0} = \underbrace{(\tau_t - \tau_0)}_{\text{variation pure}} + \underbrace{(\bar{\mathbf{x}}_t - \bar{\mathbf{x}}_0)\T\boldsymbol\beta}_{\text{effet de composition}} + (\bar\varepsilon_t - \bar\varepsilon_0),65\end{equation}66où $\bar{\mathbf{x}}_t$ est le vecteur des caractéristiques moyennes des ventes de la période $t$. La variation de la moyenne géométrique est la somme de la variation pure des prix, qui est ce que l'indice doit mesurer, et de l'effet de composition, qui est la valeur, aux prix implicites du modèle, du déplacement des caractéristiques moyennes des biens vendus. Si les ventes de la période $t$ comptent plus de maisons grandes, récentes ou situées dans un secteur cher que celles de la période $0$, la moyenne monte sans qu'aucun prix n'ait bougé. La médiane obéit à la même logique, de façon moins algébrique parce qu'elle n'est pas une moyenne, mais avec une sensibilité comparable à la composition. Lorsque les indicatrices temporelles sont estimées par les moindres carrés avec les mêmes données, les résidus somment à zéro dans chaque période et l'\cref{eq:35:decomposition} est une identité exacte : la moyenne géométrique corrigée de la composition, $\exp(\ln \bar P^{\,g}_t - \bar{\mathbf{x}}_t\T\hat{\boldsymbol\beta})$, reproduit exactement l'indice hédonique. C'est la façon la plus directe de voir qu'un indice hédonique \emph{est} une moyenne de prix corrigée de la composition.6768L'effet de composition n'est pas un bruit qui s'annule en moyenne. Il est corrélé au cycle : quand les taux d'intérêt montent, les acheteurs se reportent vers des biens plus petits ou plus éloignés, et la médiane baisse davantage que les prix ; quand un segment haut de gamme s'anime, la médiane monte sans que la maison type ne s'apprécie. \textcite{caseShiller1987}, en construisant les premiers indices de ventes répétées pour quatre villes américaines, montraient déjà que les médianes publiées par les associations de courtiers divergeaient des indices à qualité constante dans des proportions qui changeaient de signe selon la phase du cycle. Le \cref{ch:04} a tiré la même leçon des médianes québécoises : une variation de la médiane n'est pas une variation de prix.6970\subsection{La stratification et ses limites}7172Le remède le plus simple consiste à calculer des médianes par \emph{strates} homogènes, par type de propriété et par secteur, puis à les agréger avec des poids fixes, ceux du parc ou ceux des ventes de la période de base. Cette \motcle{médiane stratifiée} (en anglais \emph{mix-adjusted median}) neutralise la composition \emph{entre} les strates : si les ventes se déplacent de Hull vers Aylmer, l'agrégat à poids fixes ne bouge pas. Elle ne neutralise rien \emph{à l'intérieur} des strates : si, dans Aylmer, les maisons vendues ce trimestre sont plus grandes, la médiane de la strate monte. Le manuel international des indices recommande la stratification comme méthode minimale lorsque les caractéristiques ne sont pas disponibles, et il montre que son efficacité dépend entièrement de la finesse des strates et de la stabilité de la composition intra-strate \parencite{eurostat2013}. Avec des données de rôle ou de courtage qui renseignent la superficie, l'âge et le type, la stratification n'a plus de raison d'être : le modèle hédonique fait la même chose de façon continue et sur toutes les caractéristiques à la fois.7374\section{Les indices hédoniques}\label{sec:35:hedonique}7576\subsection{L'indice à indicatrices temporelles}7778La construction la plus courante estime, sur l'ensemble des ventes de la fenêtre d'étude, le modèle semi-logarithmique du \cref{ch:18} avec une indicatrice pour chaque période sauf la première :79\begin{equation}\label{eq:35:td}80\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \sum_{t=1}^{T} \tau_t\, D_{it} + \varepsilon_i, \qquad D_{it} = \mathbb{1}\{t(i) = t\},81\end{equation}82où $t(i)$ est la période de la vente $i$. Le coefficient $\tau_t$ est le logarithme du rapport entre le prix espéré d'un logement de caractéristiques données à la période $t$ et celui du même logement à la période $0$. L'indice, dit \motcle{à indicatrices temporelles} (en anglais \emph{time dummy index}), est83\begin{equation}\label{eq:35:td-indice}84\hat I_t = 100\exp(\hat\tau_t), \qquad \hat I_0 = 100,85\end{equation}86et c'est ce que calcule la fonction \texttt{indice\_dummies\_temps} du module \texttt{traite.hedonique}. L'intervalle de confiance à 95 \% de $\hat I_t$ s'obtient en retransformant celui de $\hat\tau_t$ : $100\exp(\hat\tau_t \pm 1{,}96\,\hat\sigma_{\hat\tau_t})$, avec une erreur-type robuste à l'hétéroscédasticité. Cette erreur-type dépend d'abord du nombre de ventes de la période $t$ \emph{et} de la période de base : comme $\hat\tau_t$ compare deux moyennes corrigées, sa variance est approximativement $\hat\sigma^2(1/n_t + 1/n_0)$ lorsque les caractéristiques sont équilibrées entre les périodes, et elle est donc gouvernée par la plus petite des deux périodes. Une période de base peu fournie dégrade toute la série ; une dernière période peu fournie dégrade la valeur la plus récente, qui est celle que l'ajustement de conditions du marché utilise.8788L'indice à indicatrices a deux qualités et deux défauts. Il utilise toutes les ventes, uniques ou répétées, et il est défini sans ambiguïté de panier. En revanche, il suppose que les prix implicites $\boldsymbol\beta$ sont constants sur toute la fenêtre, ce qui est douteux sur plusieurs années : la prime d'un garage ou d'un secteur peut changer avec le cycle. Et il est \emph{révisé} à chaque nouvelle période : ajouter les ventes de la période $T+1$ réestime $\boldsymbol\beta$ et, par ricochet, tous les $\hat\tau_t$ antérieurs. Pour un indice publié, cette révision rétrospective est un inconvénient sérieux, et c'est la raison pour laquelle les producteurs recourent au chaînage.8990\subsection{Le chaînage par périodes adjacentes}9192L'\motcle{indice chaîné} estime le modèle sur deux périodes adjacentes seulement, $t-1$ et $t$, avec une seule indicatrice,93\begin{equation}\label{eq:35:chaine}94\ln P_i = \alpha_t + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta_t + \delta_t\, \mathbb{1}\{t(i) = t\} + \varepsilon_i \quad (i : t(i) \in \{t-1, t\}), \qquad \hat I_t = \hat I_{t-1}\exp(\hat\delta_t),95\end{equation}96et enchaîne les variations. Les prix implicites $\boldsymbol\beta_t$ sont libres de changer d'une paire de périodes à l'autre, et l'ajout d'une période ne révise pas les maillons antérieurs, deux avantages décisifs pour la publication. Le prix à payer est double. D'une part, la variance s'accumule : l'erreur-type du logarithme de $\hat I_t$ est la racine de la somme des variances des maillons, $\sqrt{\sum_{s \leq t}\hat\sigma^2_{\hat\delta_s}}$, de sorte que l'incertitude sur le niveau de l'indice croît avec la distance à la base, alors que celle de l'indice à indicatrices reste bornée. D'autre part, le chaînage peut \emph{dériver} : si la composition des ventes oscille d'une période à l'autre et que le modèle est mal spécifié, les erreurs de chaque maillon ne se compensent pas nécessairement, et l'indice chaîné s'écarte de l'indice direct entre les mêmes dates. La variante dite à \emph{fenêtre glissante} (en anglais \emph{rolling window time dummy}), qui estime chaque maillon sur plusieurs périodes plutôt que deux, est un compromis entre les deux constructions ; \textcite{dehaanDiewert2013} en discutent les propriétés et recommandent de documenter la longueur de la fenêtre.9798\subsection{L'imputation et les paniers}99100La troisième construction renoue avec la théorie classique des indices. On estime un modèle hédonique \emph{par période}, puis l'on impute à chaque logement vendu à la période de base le prix qu'il aurait obtenu à la période $t$, ou réciproquement. En logarithmes, avec $\hat p_s(\mathbf{x}) = \hat\alpha_s + \mathbf{x}\T\hat{\boldsymbol\beta}_s$ le prix prédit à la période $s$ pour les caractéristiques $\mathbf{x}$, l'indice d'\motcle{imputation} géométrique de Laspeyres (panier de la période de base) et celui de Paasche (panier de la période courante) sont101\begin{equation}\label{eq:35:imputation}102\ln \hat I^{\,L}_t = \frac{1}{n_0}\sum_{i \in 0}\left[\hat p_t(\mathbf{x}_i) - \hat p_0(\mathbf{x}_i)\right], \qquad103\ln \hat I^{\,P}_t = \frac{1}{n_t}\sum_{i \in t}\left[\hat p_t(\mathbf{x}_i) - \hat p_0(\mathbf{x}_i)\right], \qquad104\ln \hat I^{\,F}_t = \tfrac{1}{2}\left(\ln \hat I^{\,L}_t + \ln \hat I^{\,P}_t\right),105\end{equation}106l'indice de Fisher étant la moyenne géométrique des deux. La version dite à \emph{double imputation} remplace, pour le panier de base, le prix observé par le prix prédit dans la période de base aussi, ce que l'\cref{eq:35:imputation} fait déjà en utilisant $\hat p_0(\mathbf{x}_i)$ plutôt que $\ln P_i$ : les résidus des ventes individuelles n'entrent pas dans l'indice. Le manuel international recommande cette famille, et en particulier l'indice de Fisher à double imputation, parce qu'elle laisse les prix implicites varier librement d'une période à l'autre et qu'elle se rattache aux indices économiques classiques \parencite{eurostat2013,dehaanDiewert2013}. Son exigence pratique est lourde : il faut assez de ventes dans \emph{chaque} période pour estimer un modèle complet, ce qui exclut les marchés minces et les périodes courtes, sauf à réduire le modèle.107108\begin{proposition}{Équivalence de l'imputation et des indicatrices temporelles}{imputation-td}109Si les modèles de chaque période partagent les mêmes prix implicites $\boldsymbol\beta$ et ne diffèrent que par leur constante, de sorte que $\hat p_t(\mathbf{x}) - \hat p_0(\mathbf{x}) = \hat\tau_t$ pour tout $\mathbf{x}$, alors les indices d'imputation géométriques de Laspeyres, de Paasche et de Fisher coïncident entre eux et avec l'indice à indicatrices temporelles : $\hat I^{\,L}_t = \hat I^{\,P}_t = \hat I^{\,F}_t = 100\exp(\hat\tau_t)$.110\end{proposition}111\begin{proof}112Sous l'hypothèse, chaque terme des sommes de l'\cref{eq:35:imputation} vaut $\hat\tau_t$ quel que soit $i$ ; les moyennes sur $n_0$ ou $n_t$ termes valent donc $\hat\tau_t$, et leur demi-somme aussi. L'exponentielle donne l'indice de l'\cref{eq:35:td-indice}.113\end{proof}114115La proposition dit où se situe la différence entre les constructions : uniquement dans la liberté laissée aux prix implicites de varier. Avec des prix implicites communs, l'imputation n'apporte rien ; avec des prix implicites propres à chaque période, l'écart entre Laspeyres et Paasche mesure l'interaction entre le changement des prix implicites et le changement de composition, exactement comme dans la théorie des indices de prix à la consommation. L'exemple intégral vérifie numériquement la proposition sur le cas 1, puis estime l'indice chaîné pour voir ce que la liberté des coefficients change sur un marché où, par construction, les prix implicites sont constants.116117\subsection{Ce que la spécification fait à l'indice}118119Un indice hédonique hérite de toutes les hypothèses du modèle sous-jacent, et le \cref{ch:18} en a dressé la liste. Deux conséquences propres aux indices méritent d'être soulignées. La première concerne les variables omises : si une caractéristique qui contribue au prix et dont la fréquence change au fil du temps est absente du modèle, sa contribution est absorbée par les indicatrices temporelles, et l'indice mesure en partie la composition qu'il prétend neutraliser. Un indice construit sans variable de localisation fine, sur un marché où les ventes se déplacent vers les quartiers centraux, surestime la hausse des prix. La seconde concerne l'âge. Dans un modèle estimé sur plusieurs années, l'âge de chaque logement à sa vente et la date de la vente sont presque colinéaires pour un logement donné ; sur l'ensemble des ventes, la colinéarité n'est pas parfaite parce que les années de construction diffèrent, mais \textcite{clappGiaccotto1998} ont montré que la façon dont l'âge est spécifié affecte directement les effets temporels estimés. L'indice à indicatrices mesure la variation du prix \emph{à âge constant}, ce qui est bien ce que l'on veut pour l'ajustement d'un comparable que l'on ramène à la date d'évaluation sans le vieillir ; l'indice de ventes répétées, lui, laisse l'immeuble vieillir entre ses deux ventes, et la \cref{sec:35:repetees} dit comment en tenir compte.120121\section{Les indices de ventes répétées}\label{sec:35:repetees}122123\subsection{L'estimateur de Bailey, Muth et Nourse}124125La méthode des \motcle{ventes répétées} (en anglais \emph{repeat sales}) renonce à mesurer les caractéristiques et ne retient que les immeubles vendus au moins deux fois dans la fenêtre d'étude. Si l'immeuble $j$ s'est vendu $P_{j1}$ à la période $t_{j1}$ et $P_{j2}$ à la période $t_{j2} > t_{j1}$, et si ses caractéristiques n'ont pas changé entre les deux ventes, le modèle semi-logarithmique donne, par différence,126\begin{equation}\label{eq:35:bmn}127y_j \equiv \ln \frac{P_{j2}}{P_{j1}} = \tau_{t_{j2}} - \tau_{t_{j1}} + \eta_j = \sum_{t=1}^{T} \tau_t\, D_{jt} + \eta_j, \qquad D_{jt} = \begin{cases} +1 & \text{si } t = t_{j2}, \\ -1 & \text{si } t = t_{j1}, \\ 0 & \text{sinon}, \end{cases}128\end{equation}129où $\eta_j = \varepsilon_{j2} - \varepsilon_{j1}$ et où la période $0$ est omise pour fixer $\tau_0 = 0$. La constante $\alpha$ et le terme $\mathbf{x}_j\T\boldsymbol\beta$ ont disparu : c'est tout l'intérêt de la méthode, qui n'exige de connaître ni les caractéristiques ni leurs prix implicites. \textcite{baileyMuthNourse1963} ont proposé d'estimer les $\tau_t$ par les moindres carrés ordinaires de $y_j$ sur les colonnes de la matrice $\mathbf{D}$ ($n$ paires $\times$ $T$ périodes), sans constante :130\begin{equation}\label{eq:35:bmn-mco}131\hat{\boldsymbol\tau} = (\mathbf{D}\T\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}\T\mathbf{y}, \qquad \hat I_t = 100\exp(\hat\tau_t).132\end{equation}133La matrice $\mathbf{D}\T\mathbf{D}$ a une structure parlante : son élément diagonal $(t,t)$ est le nombre de paires dont l'une des ventes a eu lieu à la période $t$, et son élément $(s,t)$ est l'opposé du nombre de paires reliant les périodes $s$ et $t$. L'estimateur n'est défini que si cette matrice est inversible, c'est-à-dire si le graphe dont les sommets sont les périodes et les arêtes les paires de ventes est connexe : une période qu'aucune revente ne relie aux autres n'a pas d'indice. La fonction \texttt{ventes\_repetees\_bmn} du module \texttt{traite.hedonique} construit $\mathbf{D}$ et résout le système.134135\begin{proposition}{Propriétés de l'estimateur BMN}{bmn}136Sous le modèle \eqref{eq:35:bmn}, si les caractéristiques de chaque immeuble sont constantes entre ses deux ventes et si $\E[\eta_j \mid \mathbf{D}] = 0$, l'estimateur \eqref{eq:35:bmn-mco} est sans biais pour $\boldsymbol\tau$. Si de plus les $\eta_j$ sont indépendants et de variance commune $\sigma_\eta^2 = 2\sigma^2$, sa matrice de covariance est $\sigma_\eta^2(\mathbf{D}\T\mathbf{D})^{-1}$. Dans le cas de deux périodes où toutes les paires relient la période $0$ à la période $1$, $\exp(\hat\tau_1)$ est la moyenne géométrique des rapports de prix $P_{j2}/P_{j1}$.137\end{proposition}138\begin{proof}139L'absence de biais et la covariance sont les propriétés usuelles des moindres carrés, $\hat{\boldsymbol\tau} = \boldsymbol\tau + (\mathbf{D}\T\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}\T\boldsymbol\eta$ ; la variance $2\sigma^2$ de $\eta_j$ résulte de l'indépendance des deux bruits de transaction d'écart-type $\sigma$. Dans le cas de deux périodes, $\mathbf{D}$ est une colonne de $n$ uns, $\mathbf{D}\T\mathbf{D} = n$ et $\hat\tau_1 = \frac{1}{n}\sum_j \ln(P_{j2}/P_{j1})$, dont l'exponentielle est la moyenne géométrique des rapports.140\end{proof}141142Deux remarques prolongent la proposition. Premièrement, le logarithme fait de l'indice une moyenne \emph{géométrique} des variations individuelles ; \textcite{shiller1991} a proposé des estimateurs \emph{arithmétiques}, qui pondèrent chaque immeuble par sa valeur et répondent à la question « de combien la valeur d'un portefeuille de maisons a-t-elle varié ? », pertinente pour un indice financier, alors que la version géométrique répond à la question de la maison type. Les deux diffèrent d'un terme de l'ordre de la demi-variance des variations individuelles, par l'inégalité de Jensen, et l'\cref{ex:35:8} en mesure l'écart. Deuxièmement, la variance de l'estimateur dépend du nombre de paires reliant chaque période aux autres, non du nombre total de ventes ; sur un marché où une maison sur vingt se revend chaque année, la méthode n'utilise qu'une fraction des transactions, et \textcite{goetzmann1992} a montré que, dans les petits échantillons, les indices de ventes répétées sont bruités au point que la valeur de la période la plus récente peut être dominée par l'erreur d'estimation ; il a proposé un estimateur bayésien qui rétrécit les variations vers une tendance, ce que la \cref{sec:35:sensibilite} illustre par la taille de l'échantillon.143144\subsection{L'estimateur pondéré de Case et Shiller}145146\textcite{caseShiller1987,caseShiller1989} ont relevé que l'hypothèse de variance constante de $\eta_j$ est intenable : plus l'intervalle entre les deux ventes est long, plus la valeur de l'immeuble a eu le temps de s'écarter de la trajectoire du marché, par des rénovations, un entretien négligé, un changement du voisinage. Ils modélisent le logarithme du prix comme la somme de l'indice, d'une marche aléatoire propre à l'immeuble, de variance $\delta^2$ par unité de temps, et d'un bruit de transaction $\varepsilon$ de variance $\sigma^2$. La variance de la différence des logarithmes devient147\begin{equation}\label{eq:35:cs-variance}148\Var[\eta_j] = 2\sigma^2 + \delta^2\,\Delta_j, \qquad \Delta_j = t_{j2} - t_{j1},149\end{equation}150une fonction linéaire croissante de l'intervalle. Les moindres carrés ordinaires restent sans biais mais ne sont plus efficaces, et les erreurs-types usuelles sont fausses. L'estimateur \motcle{Case--Shiller pondéré} (en anglais \emph{weighted repeat sales}, WRS) procède en trois étapes. On estime d'abord l'\cref{eq:35:bmn} par MCO et l'on en retient les résidus $\hat\eta_j$ ; on régresse ensuite leurs carrés sur l'intervalle,151\begin{equation}\label{eq:35:cs-poids}152\hat\eta_j^{2} = a_0 + a_1\,\Delta_j + u_j, \qquad \hat w_j = \frac{1}{\sqrt{\hat a_0 + \hat a_1\,\Delta_j}},153\end{equation}154ce qui estime $2\sigma^2$ par $\hat a_0$ et $\delta^2$ par $\hat a_1$ ; on réestime enfin l'\cref{eq:35:bmn} par les moindres carrés pondérés, en multipliant chaque ligne de $\mathbf{D}$ et de $\mathbf{y}$ par $\hat w_j$ :155\begin{equation}\label{eq:35:cs-mcp}156\hat{\boldsymbol\tau}^{\,CS} = (\mathbf{D}\T\mathbf{W}\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}\T\mathbf{W}\mathbf{y}, \qquad \mathbf{W} = \operatorname{diag}(\hat w_j^{2}) = \operatorname{diag}\!\left(\frac{1}{\hat a_0 + \hat a_1\Delta_j}\right).157\end{equation}158Les paires séparées par un long intervalle, dont la variation contient plus de bruit idiosyncrasique, reçoivent moins de poids. La fonction \texttt{ventes\_repetees\_case\_shiller} enchaîne les trois étapes. Trois précisions pratiques. La deuxième étape est elle-même une régression bruitée, surtout avec quelques centaines de paires ; sa pente peut sortir négative si des paires de court intervalle présentent de fortes variations, ce qui est le symptôme de reventes rapides après rénovation et non d'une marche aléatoire négative, et l'exemple intégral en montre un cas. La pondération ne corrige pas un biais ; elle améliore l'efficacité et rend les erreurs-types correctes. Enfin, lorsque $\hat a_1$ est petit devant $\hat a_0$, les poids sont presque uniformes et l'estimateur pondéré se confond avec celui de BMN.159160\subsection{Les biais de sélection des reventes}161162Le modèle \eqref{eq:35:bmn} repose sur deux hypothèses que la réalité malmène. La première est la constance des caractéristiques entre les deux ventes. Un immeuble rénové entre ses ventes affiche une variation de prix qui mélange l'évolution du marché et la valeur des travaux ; un immeuble laissé à l'abandon affiche l'inverse. Si les rénovations sont plus fréquentes que les dégradations, ce qui est le cas des immeubles que l'on revend, l'indice est biaisé vers le haut. La dépréciation est le cas symétrique et systématique : tout immeuble vieillit entre ses deux ventes, de sorte que l'indice de ventes répétées mesure la variation du prix d'un immeuble \emph{qui vieillit}, et sous-estime donc la variation à âge constant d'un montant égal à la dépréciation sur l'intervalle. \textcite{knightSirmans1996} et surtout \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} ont estimé, à partir de données de ventes répétées enrichies d'informations sur l'entretien, que la dépréciation nette d'entretien atteint de l'ordre de 2 \% à 3 \% par année aux États-Unis, ce qui n'est pas négligeable devant une variation de prix de 4 \% ; les producteurs d'indices traitent ce problème en écartant les paires dont la variation est anormale plutôt qu'en modélisant la dépréciation. La seconde hypothèse est l'absence de sélection : les immeubles qui se revendent devraient être représentatifs du parc. Or ils ne le sont pas. Les reventes rapides sont souvent des opérations de rénovation-revente (en anglais \emph{flips}) ou des ventes contraintes ; les immeubles qui se revendent souvent sont plus petits, plus récents, plus proches des centres que la moyenne ; et \textcite{clappGiaccotto1992}, en comparant un indice de ventes répétées à un indice fondé sur les valeurs au rôle sur un même territoire, ont montré que l'échantillon des reventes diffère systématiquement du parc et que l'écart entre les deux indices est en partie attribuable à cette sélection. \textcite{englundQuigleyRedfearn1998} ont documenté, sur des données suédoises exhaustives, à quel point le choix des filtres d'épuration des paires modifie l'indice.163164Les réponses pratiques sont de trois ordres. On \emph{filtre} : les paires dont l'intervalle est trop court, dont la variation de prix est extrême ou dont le type de propriété a changé sont écartées, ce que fait explicitement la méthodologie publiée de l'indice Teranet--Banque Nationale (\cref{sec:35:canada}). On \emph{pondère} : la variance croissante de l'\cref{eq:35:cs-variance} donne moins de poids aux longs intervalles. On \emph{hybride} : \textcite{quigley1995} a proposé un modèle qui combine, dans une même estimation par moindres carrés généralisés, les ventes uniques avec leurs caractéristiques et les ventes répétées sans elles, ce qui utilise toute l'information et atténue la sélection ; les modèles hybrides restent peu diffusés parce qu'ils exigent les deux types de données. Plus récemment, \textcite{contatLarson2024} ont proposé une construction fondée sur des agrégats de ventes répétées qui autorise des fréquences, des géographies et des filtres flexibles sans réestimer l'ensemble des paires.165166\subsection{La révision}167168Un indice de ventes répétées a une propriété déroutante pour l'utilisateur : ses valeurs passées changent à chaque publication. La raison est mécanique. Une vente conclue aujourd'hui est la seconde vente d'une paire dont la première a eu lieu il y a deux, cinq ou dix ans ; en l'ajoutant, on ajoute une ligne à $\mathbf{D}$ qui relie la période courante à une période ancienne, et la résolution de l'\cref{eq:35:bmn-mco} redistribue l'information sur toute la chaîne des périodes intermédiaires. Les valeurs les plus révisées sont les plus récentes, parce que peu de paires les relient encore aux autres ; \textcite{silverstein2014} a mesuré, pour les grands indices américains, des révisions de l'ordre du point de pourcentage sur les variations mensuelles récentes, de signe systématique lorsque les reventes rapides, surreprésentées dans les premières publications, diffèrent du reste du parc. Les indices hédoniques à indicatrices sont révisés eux aussi, par la réestimation des prix implicites ; les indices chaînés et l'IPLN de Statistique Canada ne le sont pas, par construction ou par convention. Pour l'évaluateur, la révision a une conséquence précise : l'ajustement de conditions du marché fondé sur la dernière valeur publiée d'un indice de ventes répétées est fondé sur sa valeur la moins fiable, et le rapport doit indiquer la date de publication de l'indice utilisé, non seulement la période qu'il couvre.169170\subsection{L'indice SPAR}171172La méthode du \motcle{rapport prix sur valeur} (en anglais \emph{sale price appraisal ratio}, SPAR) part d'une observation simple : au Québec comme dans la plupart des juridictions, chaque immeuble possède une valeur d'évaluation foncière $A_i$ établie à une date de référence commune, et cette valeur est une estimation, bruitée mais sans biais systématique à l'échelle d'un secteur, de son prix à cette date. Le rapport $P_{it}/A_i$ d'un immeuble vendu à la période $t$ mesure alors la variation de son prix depuis la date de référence, à la qualité de l'évaluation près. \textcite{bourassaHoesliSun2006} ont formalisé l'indice, utilisé en Nouvelle-Zélande, aux Pays-Bas et ailleurs, sous la forme d'un rapport de rapports :173\begin{equation}\label{eq:35:spar}174\hat I^{\,\text{SPAR}}_t = 100 \times \frac{\sum_{i \in t} P_{it} \big/ \sum_{i \in t} A_i}{\sum_{i \in 0} P_{i0} \big/ \sum_{i \in 0} A_i},175\end{equation}176la version géométrique remplaçant les rapports de sommes par l'exponentielle de la moyenne des logarithmes de $P_{it}/A_i$. L'indice utilise toutes les ventes, n'exige aucune caractéristique et n'est pas révisé ; sa précision tient à ce que la dispersion de $\ln(P/A)$, qui mesure l'uniformité du rôle, est en général plus faible que celle des résidus d'un modèle hédonique estimé sans les informations dont dispose l'évaluateur municipal. Ses conditions de validité sont celles du rôle : le ratio $P/A$ ne doit pas dépendre des caractéristiques, faute de quoi la composition réapparaît par le biais vertical du rôle (le PRD et le PRB du \cref{ch:18}), et la valeur $A_i$ doit rester celle d'une même date de référence pour toutes les ventes de la série. Au dépôt d'un nouveau rôle, la série doit être rechaînée, puisque les $A_i$ changent de date. \textcite{clappGiaccotto1992} avaient déjà proposé d'utiliser les valeurs au rôle comme substitut des caractéristiques, ce qui est l'idée de la méthode, et l'exemple intégral la met en œuvre avec la valeur au rôle fictive du cas 1.177178\section{Les indices au Canada et au Québec}\label{sec:35:canada}179180\subsection{Quatre sources, quatre objets}181182Le \cref{ch:04} a présenté les sources de prix québécoises ; le \cref{tab:35:canada} les reprend sous l'angle de la méthode, en précisant pour chacune ce qu'un évaluateur peut et ne peut pas en tirer pour un ajustement de conditions du marché.183184\begin{table}[htbp]185\caption{Indices et séries de prix résidentiels disponibles au Canada et au Québec : nature, méthode publiée, périmètre et limites pour l'ajustement de conditions du marché}\label{tab:35:canada}186\centering\footnotesize187\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{27mm}YYY@{}}188\toprule189Série & Nature et méthode & Périmètre, base, fréquence, révision & Limites pour l'évaluateur \\190\midrule191Teranet--Banque Nationale (indice composite et par RMR) & Indice de ventes répétées : « properties with at least two sales » ; exclusion des ventes non sincères, des changements de type (rénovations), des erreurs de données et des rotations « biannual or higher » ; valeur de septembre 2026 : composite 294,94, Montréal 310,62, Québec 327,56 & Onze RMR dont Montréal et Québec ; juin 2005 = 100 ; mensuel ; variation mensuelle désaisonnalisée ; révisé à mesure que des paires s'ajoutent & Toutes catégories confondues ; pas de Gatineau, Sherbrooke ni Trois-Rivières ; pas de ventilation infra-métropolitaine publique ; dernières valeurs révisables \\192Statistique Canada, IPLN (18-10-0205-01) & Indice de prix à qualité constante des maisons neuves des constructeurs : prix relevés « lorsque les spécifications détaillées de chaque maison demeurent les mêmes pendant deux périodes consécutives », ajustés des changements de qualité ; composantes maison et terrain & Canada, provinces, RMR dont Montréal, Québec, Ottawa-Gatineau (partie du Québec), Sherbrooke, Trois-Rivières ; déc. 2016 = 100 ; mensuel ; « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé » & Logements neufs seulement (maisons individuelles, jumelées, en rangée) ; prix demandés par les constructeurs ; ne mesure pas la revente \\193APCIQ, statistiques Centris & Prix médians et nombre de ventes conclues par courtier, par catégorie (unifamiliale, copropriété, plex) ; T3 2026 : unifamiliale \dollars{500000} (province), \dollars{480000} (RMR de Gatineau) & Province, RMR, secteurs ; mensuel et trimestriel ; date d'acceptation de la promesse ; non révisé & Médiane : biais de composition ; ventes par courtier seulement ; conditions d'utilisation de l'APCIQ \\194JLR (Equifax), rapport mensuel & Prix médians de toutes les ventes publiées au Registre foncier, après exclusions (ventes liées, reprises, moins de \dollars{5000}) ; seuil de 30 transactions ; douze mois à septembre 2026 : unifamiliale \dollars{483000}, plex \dollars{622000} & Province, RMR, régions administratives ; mensuel ; date de l'acte & Médiane ; date de l'acte postérieure à la promesse ; pas d'indice à qualité constante publié \\195Rôle d'évaluation foncière (MEFQ, partie 3A) & Taux de variation du marché mesurés par l'évaluateur municipal entre deux dates de référence, pour l'équilibration et les études de ratios & Chaque municipalité ; triennal ; non publié sous forme d'indice & Méthode interne ; disponible indirectement par les facteurs comparatifs et les proportions médianes (\cref{ch:09}) \\196\bottomrule197\end{tabularx}198\tabsource{\textcite{teranet202609} et page de méthodologie de Teranet--Banque Nationale (housepriceindex.ca, consultée le 31 octobre 2026) ; \textcite{statcanipln} et fiche de l'enquête 2310 de Statistique Canada (consultée le 31 octobre 2026) ; \textcite{apciqt32026,apciqgatineaut32026,apciqconditions} ; \textcite{jlr202609} ; \textcite{mefqpartie3}. Chiffres cités avec attribution ; aucun tableau reproduit.}199\end{table}200201L'\motcle{indice Teranet--Banque Nationale} est le seul indice de prix de revente à qualité constante publié au Canada. Sa méthodologie publiée est explicitement celle des ventes répétées : l'indice « is estimated by tracking the observed or registered home prices over time », les immeubles vendus au moins deux fois forment des paires, et les paires affectées par des facteurs endogènes sont écartées, à savoir les ventes non sincères, les changements de type de propriété « for example after renovations », les erreurs de données et les rotations fréquentes, « biannual or higher »\footnote{Teranet et Banque Nationale du Canada, « Our Methodology », housepriceindex.ca/about/our-methodology/, consultée le 31 octobre 2026. Les citations sont reproduites dans la langue de la page, qui ne précise ni l'estimateur exact, ni les seuils numériques des filtres, ni la politique de révision ; la description complète est annoncée comme téléchargeable sans l'être depuis la page.}. En septembre 2026, l'indice composite des onze régions métropolitaines s'établissait à 294,94 (juin 2005 = 100), en hausse de 0,1 \% sur un mois en données désaisonnalisées, en baisse de 3,5 \% sur un an et à 8,1 \% sous son sommet d'avril 2022 ; celui de Montréal à 310,62, en hausse de 1,4 \% sur un an, et celui de Québec à 327,56, en hausse de 7,7 \% sur un an et à son sommet \parencite{teranet202609}. Pour l'évaluateur québécois, l'indice a trois limites : il ne couvre que Montréal et Québec, il agrège toutes les catégories de propriétés, et sa valeur la plus récente est, par construction, sujette à révision.202203L'\motcle{Indice des prix des logements neufs} mesure autre chose. D'après la fiche de l'enquête, c'est « une série mensuelle qui mesure les variations au fil du temps des prix de vente des maisons résidentielles neuves établis par les entrepreneurs lorsque les spécifications détaillées de chaque maison demeurent les mêmes pendant deux périodes consécutives » ; lorsque les spécifications changent, les prix déclarés « sont ajustés afin de tenir compte des variations de la qualité, de sorte que l'IPLN mesure la variation “pure” des prix au fil du temps » ; l'indice « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé »\footnote{Statistique Canada, « Indice des prix des logements neufs (IPLN) », fiche de l'enquête n\textsuperscript{o} 2310 de la Base de métadonnées intégrée, consultée le 31 octobre 2026 ; la fiche renvoie à la méthodologie détaillée de la Série analytique des prix (62F0014M). Population cible : maisons individuelles, jumelées et en rangée neuves ; collecte sur dix jours à partir du 15 du mois ; base décembre 2016 = 100.}. C'est donc un indice à qualité constante par appariement de modèles, proche dans l'esprit d'un indice hédonique dont les caractéristiques seraient tenues constantes par le constructeur lui-même, mais il porte sur les prix demandés pour des maisons neuves, non sur les prix de revente, et il ne couvre, au Québec, que cinq régions métropolitaines. La \cref{fig:35:ipln} en présente la variation sur douze mois : la hausse annuelle a culminé à 21,9 \% à Montréal en septembre 2021 et à 14,3 \% à Québec en mai 2021, contre 12,2 \% pour le Canada en août 2021 et seulement 6,7 \% à Gatineau en décembre 2020 ; en septembre 2026, elle n'était plus que de 1,2 \% à Montréal, 1,9 \% à Québec, 0,3 \% à Gatineau, 1,2 \% à Sherbrooke et 3,0 \% à Trois-Rivières, et l'indice canadien reculait de 2,0 \% \parencite{statcanipln}. Pour un ajustement de conditions du marché sur une revente, l'IPLN est au mieux un indicateur de direction ; il ne doit pas servir de taux.204205\begin{figure}[htbp]206\centering207\includegraphics[width=\textwidth]{ch35/ch35-fig-ipln-variation.pdf}208\caption{Indice des prix des logements neufs, variation sur douze mois (en pourcentage), janvier 2011 à septembre 2026, pour les cinq régions métropolitaines québécoises couvertes et pour le Canada. L'épisode pandémique (bande grisée) porte la hausse annuelle à 21,9 \% à Montréal et à 14,3 \% à Québec, alors que Gatineau ne dépasse pas 6,7 \% ; en 2026, les hausses québécoises se sont ramenées entre 0,3 \% et 3,0 \% tandis que l'indice canadien recule. La divergence régionale interdit d'appliquer un indice national ou métropolitain à un marché local.}\label{fig:35:ipln}209\figsource{Statistique Canada, tableau 18-10-0205-01, total maison et terrain (vecteurs v111955484, v111955475, v111955487, v111955478, v111955481, v111955442), diffusé le 22 octobre 2026, consulté le 31 octobre 2026, licence ouverte ; fichier brut \texttt{data/raw/statcan\_18100205/18100205.csv} ; script \texttt{analysis/python/figures/ch35\_figures.py} ; calculs de l'auteur.}210\end{figure}211212Les \motcle{médianes} de l'APCIQ et de JLR ne sont pas des indices, et leurs producteurs ne les présentent pas comme tels. Elles ont pourtant un avantage que les indices n'ont pas : une granularité géographique et par catégorie bien plus fine, qui permet de suivre le marché des unifamiliales du secteur de Hull ou des plex de Limoilou, là où Teranet--Banque Nationale ne publie qu'un chiffre par région métropolitaine. L'évaluateur qui s'en sert pour un ajustement de conditions du marché doit le faire en connaissance de cause : sur un trimestre ou deux, la variation d'une médiane de quelques centaines de ventes est dominée par la composition et par le bruit, comme la \cref{sec:35:exemple} le montre ; sur un an ou plus, avec une catégorie homogène et un secteur stable, elle approche la variation à qualité constante. Les règles pratiques sont de ne jamais lire une variation de médiane sur moins de quatre trimestres, de préférer les douze mois glissants que JLR publie, et de la confronter à l'indice de ventes répétées lorsqu'il existe pour le territoire. Le \cref{ch:13} a fait le même constat sur les trois mesures disponibles pour la région de Québec au troisième trimestre de 2026, qui ne se contredisent pas mais ne mesurent pas la même chose.213214\begin{quebec}[Les indices de prix et l'évaluation foncière]215Le Manuel d'évaluation foncière du Québec consacre la partie 3A de son édition 2026 à la mesure des \emph{taux de variation du marché}, c'est-à-dire des indices que l'évaluateur municipal construit lui-même pour ramener les prix de vente à la date de référence du rôle, pour l'équilibration (partie 3B) et pour les études de ratios \parencite{mefqpartie3}. Le Règlement sur la proportion médiane du rôle d'évaluation foncière prévoit que les prix des ventes qui ne sont pas contemporaines de la date de référence sont rajustés aux conditions du marché à cette date avant le calcul des ratios \parencite[art.~11--12]{reglpropmed}, ce qui suppose un indice par municipalité et par catégorie ; ces indices ne sont pas publiés, mais la proportion médiane et le facteur comparatif de chaque rôle (art.~264 de la Loi sur la fiscalité municipale) en sont la trace visible, comme le \cref{ch:09} l'a montré pour Gatineau. L'indice SPAR de la \cref{sec:35:repetees} est, de ce point de vue, l'indice naturel du système québécois : il utilise les valeurs au rôle, publiques depuis l'ouverture des données du MAMH, comme dénominateur de chaque prix de vente, et il mesure la dérive du marché depuis la date de référence du rôle, qui est exactement ce que la proportion médiane résume en un seul chiffre. Sa validité dépend de l'uniformité du rôle, que les statistiques de ratio du \cref{ch:18} mesurent. Textes consultés sur LégisQuébec et Québec.ca le 31 octobre 2026.216\end{quebec}217