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1% Solutions du chapitre 31 — Financement, levier, RCD et RPV2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch31_financement.py (fonction exercices()) ; données du cas 3 : SYNTHÉTIQUES.34\begin{solution}{ex:31:1}{Deux conventions pour un même taux}5(a) Convention canadienne : $i_m = (1 + 0{,}0458/2)^{1/6} - 1 = (1{,}0229)^{1/6} - 1 = \pct{0.378075}$ ; taux effectif $(1{,}0229)^2 - 1 = \pct{4.6324}$. Convention américaine : $i_m = 0{,}0458/12 = \pct{0.381667}$ ; taux effectif $(1 + 0{,}0458/12)^{12} - 1 = \pct{4.6774}$.67(b) Paiement $PMT = 850\,000 \times i_m / [1 - (1 + i_m)^{-300}]$ : \dollars{4742.40} (Canada) contre \dollars{4763.26} (États-Unis). Service de la dette annuel : \dollars{56909} contre \dollars{57159}, soit \dollars{250} de plus par année dans la convention américaine ; constantes $f = \pct{6.695}$ et \pct{6.725}.89(c) Solde après 60 paiements, formule prospective $M_{60} = M_0\,[(1+i_m)^{300} - (1+i_m)^{60}]/[(1+i_m)^{300} - 1]$ : \dollars{747254} (Canada) contre \dollars{747792} (États-Unis). La composition plus fréquente laisse un solde légèrement plus élevé parce qu'une plus grande part de chaque paiement va aux intérêts.1011(d) Un tableur américain surestime le service de la dette (\pct{0.44} ici) et sous-estime donc le ratio de couverture $\NOI_1/SD$ du même pourcentage ; sur un prêt dimensionné exactement au seuil, il conclurait que la contrainte n'est pas respectée et réduirait indûment le prêt maximal.12\end{solution}1314\begin{solution}{ex:31:2}{Terme, amortissement et constitution de fonds propres}15(a) $i_m = \pct{0.34042}$ ; $PMT = 1\,000\,000 \times 0{,}0034042 / [1 - (1{,}0034042)^{-480}] = \dollars{4232.45}$ ; service de la dette annuel \dollars{50789} (constante \pct{5.0789}).1617(b) Solde à la fin du terme (60 mois) : \dollars{944971} ; après dix ans : \dollars{877496}. Part du capital remboursée pendant le terme : $1 - 944\,971/1\,000\,000 = \pct{5.50}$ seulement.1819(c) Première année : intérêts \dollars{40663}, capital \dollars{10127}, soit \pct{80.1} du service de la dette en intérêts.2021(d) Total des intérêts sur 480 mois : $480 \times 4\,232{,}45 - 1\,000\,000 = \dollars{1031577}$, soit $1{,}03$ fois le capital. Sur 300 mois, le paiement serait de \dollars{5325.46} (service annuel \dollars{63905}, soit \dollars{13116} de plus par année) et le total des intérêts de \dollars{597637}. L'amortissement long réduit le service de la dette de \pct{20.5} et améliore d'autant la couverture, au prix d'intérêts totaux supérieurs de \dollars{433940} et d'une constitution de fonds propres beaucoup plus lente ; c'est l'arbitrage que les prêteurs assurés résolvent en faveur de la couverture.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:31:3}{Prêt maximal et contrainte liante}25(a) Constante à \pct{4.58} sur 360 mois : $i_m = \pct{0.378075}$, $f = 12 \times 0{,}00378075/[1 - (1{,}00378075)^{-360}] = \pct{6.1066}$. Prêt maximal par le RPV : $0{,}75 \times 2\,600\,000 = \dollars{1950000}$. Par la couverture : service maximal $120\,000/1{,}25 = \dollars{96000}$, prêt $96\,000/0{,}061066 = \dollars{1572079}$. La couverture lie ; le ratio prêt-valeur effectif est de $1\,572\,079/2\,600\,000 = \pct{60.5}$. Vérification par l'\cref{eq:31:rpv-max} : $R = 120\,000/2\,600\,000 = \pct{4.615}$, et $R/(1{,}25 \times 0{,}061066) = \pct{60.5}$.2627(b) APH Select : $f = \pct{5.0789}$ à \pct{4.12} sur 480 mois ; service maximal $120\,000/1{,}10 = \dollars{109091}$ ; prêt par la couverture $109\,091/0{,}050789 = \dollars{2147906}$ ; par le RPV $0{,}85 \times 2\,600\,000 = \dollars{2210000}$. La couverture lie encore, de peu ; le prêt est de \dollars{2147906}, soit \pct{82.6} de la valeur.2829(c) Tranche de RPV $\leq \pct{85}$ : \pct{5.35} ; surprime d'amortissement : trois tranches de cinq ans au-delà de 25 ans, soit \pct{0.75} ; prime totale \pct{6.10}, soit $0{,}061 \times 2\,147\,906 = \dollars{131022}$, à quoi s'ajoutent les droits de demande de \dollars{150} par logement (\dollars{2400}).3031(d) La mise de fonds passe de $2\,600\,000 - 1\,572\,079 = \dollars{1027921}$ à $2\,600\,000 - 2\,147\,906 = \dollars{452094}$, soit \dollars{575827} de moins. Cette économie achète une prime de \dollars{131022} (généralement capitalisée au prêt, ce qui porte le service de la dette au-dessus de \dollars{109091} et la couverture effective sous $1{,}10$), un service de la dette supérieur de \dollars{13091} par année et les engagements d'abordabilité, d'efficacité énergétique ou d'accessibilité qui donnent les 50 points ; la couverture tombe de $1{,}25$ à $1{,}10$ et le levier, donc le risque, est multiplié par $1/(1 - 0{,}826) = 5{,}7$ au lieu de $2{,}5$.32\end{solution}3334\begin{solution}{ex:31:4}{Levier courant positif, négatif et neutre}35(a) $R_E = (R - Mf)/(1 - M)$. Avec $f = \pct{6.0}$ : $M = 0$ : \pct{5.20} ; $M = 0{,}5$ : $(0{,}052 - 0{,}030)/0{,}5 = \pct{4.40}$ ; $M = 0{,}7$ : $(0{,}052 - 0{,}042)/0{,}3 = \pct{3.33}$ ; $M = 0{,}8$ : $(0{,}052 - 0{,}048)/0{,}2 = \pct{2.00}$. Avec $f = \pct{4.5}$ : \pct{5.20}, $(0{,}052 - 0{,}0225)/0{,}5 = \pct{5.90}$, $(0{,}052 - 0{,}0315)/0{,}3 = \pct{6.83}$, $(0{,}052 - 0{,}036)/0{,}2 = \pct{8.00}$.3637(b) Dans le premier cas la courbe décroît et s'accélère vers le bas ; dans le second elle croît et s'accélère vers le haut. La dérivée $\partial R_E/\partial M = (R - f)/(1-M)^2$ a le signe de $R - f$ ($-0{,}8$ point dans le premier cas, $+0{,}7$ dans le second) et son dénominateur $(1-M)^2$ tend vers zéro : la pente passe de $-0{,}8$ point à $M = 0$ à $-20$ points à $M = 0{,}8$ dans le premier cas. C'est l'amplification du levier.3839(c) Le levier est neutre si $f = R = \pct{5.2}$ : $R_E = R$ pour tout $M$.4041(d) Oui. Le levier courant négatif signifie seulement que le revenu de la première année ne couvre pas le coût courant de chaque dollar emprunté, remboursement de capital compris. Le levier sur le rendement total est positif si et seulement si le rendement total de l'actif $y$ (revenu plus croissance de valeur) excède le coût effectif de la dette $k$ (taux effectif, hors remboursement du capital), par la proposition du chapitre. Une constante de \pct{6.0} sur 25 ans correspond à un taux nominal d'environ \pct{3.5} (composition semestrielle), soit $k \approx \pct{3.5}$ ; il suffit que $y > k$, c'est-à-dire, avec $R = \pct{5.2}$, que la croissance attendue de la valeur ne soit pas inférieure à $-1{,}7$ point par an, pour que l'emprunt soit rentable à terme, au prix d'un flux courant faible et d'un risque multiplié par $1/(1-M)$.42\end{solution}4344\begin{solution}{ex:31:5}{Mise de fonds minimale, taux admissible et ratio prêt-revenu}45(a) $E_{\min} = 0{,}05 \times 500\,000 + 0{,}10 \times 220\,000 = 25\,000 + 22\,000 = \dollars{47000}$, soit \pct{6.53} du prix ; prêt de \dollars{673000} (ratio prêt-valeur \pct{93.5}), assurable puisque le prix est inférieur à \dollars{1500000}. La prime d'assurance s'ajouterait au prêt ; elle n'est pas demandée ici.4647(b) Taux admissible minimal : $\max(4{,}58 + 2{,}00 ;\ 5{,}25) = \pct{6.58}$.4849(c) Sur 300 mois, composition semestrielle : paiement au taux contractuel \dollars{3754.86} par mois ; au taux admissible \dollars{4540.60}. Le paiement de qualification excède le paiement réel de \dollars{785.74} par mois, soit \pct{20.9} : c'est la marge de sécurité que le prêteur exige contre une hausse de taux au renouvellement.5051(d) Un ratio prêt-revenu de $4{,}5$ exige un revenu d'au moins $673\,000/4{,}5 = \dollars{149556}$.5253(e) La limite prêt-revenu du BSIF est une limite de \emph{portefeuille} : elle plafonne, pour chaque institution, le volume des nouveaux prêts non assurés dont le ratio dépasse $4{,}5$, sans interdire un prêt individuel ; de plus, elle exclut explicitement les prêts assurés, ce qu'est celui-ci. Le ménage est en revanche soumis au taux admissible applicable aux prêts assurés et aux critères de l'assureur.54\end{solution}5556\begin{solution}{ex:31:6}{Renouvellement exact du prêt du cas 3}57(a) Solde au terme : $M_{60} = 1\,475\,959 \times [(1{,}0034042)^{480} - (1{,}0034042)^{60}]/[(1{,}0034042)^{480} - 1] = \dollars{1394739}$ ; amortissement résiduel $480 - 60 = 420$ mois.5859(b) Nouveau taux \pct{5.62} ; $i'_m = (1{,}0281)^{1/6} - 1 = \pct{0.46294}$ ; $PMT' = 1\,394\,739 \times i'_m/[1 - (1 + i'_m)^{-420}] = \dollars{7540.59}$ ; service de la dette \dollars{90487}, en hausse de \dollars{15524} (\pct{20.7}).6061(c) RCD de l'année 6 : $130\,890/90\,487 = 1{,}447$ ; de l'année 10 : $153\,581/90\,487 = 1{,}697$. Flux après dette de l'année 6 (sans CAPEX) : $130\,890 - 90\,487 = \dollars{40403}$. La couverture reste confortablement au-dessus de $1{,}20$ grâce à la croissance du revenu net pendant le premier terme.6263(d) Solde à la revente, 60 paiements après le renouvellement : \dollars{1319984}, contre \dollars{1295148} au taux inchangé, parce qu'une plus grande part de chaque paiement va aux intérêts. TRI des fonds propres (mise de fonds \dollars{732606}, flux après dette des années 1 à 5 au service de \dollars{74963}, des années 6 à 10 au service de \dollars{90487}, produit net de revente $3\,113\,338 - 1\,319\,984$) : \pct{10.55}, contre \pct{11.22} sans hausse.6465(e) En appliquant \pct{5.62} dès l'origine au capital initial sur 480 mois, le service de la dette serait de \dollars{92018} pendant dix ans et le TRI des fonds propres de \pct{9.42}. L'approximation surestime le coût de \dollars{1531} par année après le terme et impute aux cinq premières années une hausse qu'elles n'ont pas subie ; elle sous-estime le TRI de $1{,}13$ point. Le calcul exact porte la hausse sur le solde réduit, pendant cinq ans, face à un revenu qui a crû.66\end{solution}6768\begin{solution}{ex:31:7}{Choisir son levier}69(a) À \pct{50} : prêt \dollars{1104283}, mise de fonds \dollars{1104283}, service de la dette \dollars{56086}, RCD $1{,}60$, flux après dette \dollars{33870}, rendement courant \pct{3.07}. À \pct{85} : prêt \dollars{1877281}, mise de fonds \dollars{331285}, service de la dette \dollars{95346}, RCD $0{,}94$, flux après dette $-\dollars{5390}$, rendement courant $-\pct{1.63}$ : dès la première année, le propriétaire doit combler le déficit de sa poche.7071(b) TRI des fonds propres sur dix ans : \pct{9.49} à \pct{50} et \pct{15.24} à \pct{85}, contre \pct{7.25} sans dette et \pct{11.22} au ratio de \pct{66.8} retenu.7273(c) Le rendement de l'actif est $y = \pct{7.25}$ (achat à la valeur DCF) et le coût effectif de la dette sur flux annuels agrégés $k = \pct{4.06}$ ; comme $y > k$, la proposition du chapitre garantit $y_E > y$ pour tout ratio prêt-valeur positif, et $y_E$ croît avec le levier parce que l'écart $y - k$ est multiplié par un rapport dette sur fonds propres croissant ($1$ à \pct{50}, $5{,}7$ à \pct{85}). Le levier courant est pourtant négatif ($R = \pct{4.07} < f = \pct{5.08}$) : tout le gain provient de la croissance du revenu et de la plus-value, réalisée à la revente.7475(d) Multiplicateur de risque $1/(1-M)$ : $2{,}0$ à \pct{50}, $6{,}7$ à \pct{85}. Flux des fonds propres le plus bas : $-\dollars{41574}$ à \pct{50} (année des travaux de 2027), $-\dollars{80834}$ à \pct{85}, avec en outre un flux négatif chaque année ordinaire jusqu'à ce que le revenu net dépasse \dollars{95346}, soit vers l'année 2. Un ratio de \pct{85} ne convient qu'à un investisseur disposant de liquidités extérieures suffisantes pour financer plusieurs années de déficits et les travaux, soit environ \dollars{183000} de flux négatifs cumulés sur l'horizon (années 1, 2, 4 et 7), capable de supporter une volatilité des fonds propres près de sept fois celle de l'immeuble, et convaincu que le rattrapage des loyers se réalisera ; un ralentissement de ce rattrapage ou une hausse du taux au renouvellement rendrait le flux après dette durablement négatif. À \pct{50}, la couverture de $1{,}60$ et un multiplicateur de $2$ laissent une marge pour les deux scénarios adverses du \cref{ch:30}.76\end{solution}77