spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 25 — Évaluation du terrain2% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch25.py (classe TestExercices) et analysis/python/cases/ch25_terrain.py.34\begin{solution}{ex:25:1}{Unités de comparaison des terrains}5\emph{Prix par mètre carré} : $240000/560 = \parmsq{428.6}$ ; $268000/720 = \parmsq{372.2}$ ; $227500/480 = \parmsq{474.0}$. Médiane : \parmsq{428.6}, d'où une indication de $428{,}6 \times 620 = \dollars{265714}$ pour le sujet.67\emph{Prix par mètre de façade} : $240000/17 = \qty{14118}{\dollar\per\metre}$ ; $268000/20 = \qty{13400}{\dollar\per\metre}$ ; $227500/15 = \qty{15167}{\dollar\per\metre}$. Médiane : \qty{14118}{\dollar\per\metre}, d'où $14118 \times 20 = \dollars{282353}$.89Les deux indications divergent de \dollars{16600} (6 \%) parce que chaque unité suppose une proportionnalité que le marché ne respecte pas : le prix par mètre carré décroît avec la superficie (le plus petit terrain, \msq{480}, a le prix unitaire le plus élevé, \parmsq{474}), et le prix par mètre de façade dépend de la profondeur du lot. Le sujet a une façade de \qty{20}{\metre} pour \msq{620}, soit un lot moins profond que le terrain de \msq{720} à \qty{20}{\metre} ; l'unité de façade lui attribue le prix d'un lot plus grand. Pour un terrain unifamilial de banlieue, où la façade minimale du règlement de lotissement est respectée par presque tous les lots et où l'acheteur achète d'abord la constructibilité puis de l'espace, le prix par mètre carré avec un ajustement d'élasticité (\cref{eq:25:elasticite}) est préférable ; le prix par mètre de façade est réservé aux lots urbains étroits et aux artères commerciales. Dans les deux cas, l'indication brute n'est qu'un repère avant la grille d'ajustements.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:25:2}{Allocation et rôle d'évaluation}13(a) Par l'\cref{eq:25:allocation}, $\hat V_L = 0{,}45 \times \dollars{560000} = \dollars{252000}$.1415(b) Le rôle implique une part de $180000/(180000 + 300000) = 37{,}5\,\%$. Elle peut différer de 45 \% pour quatre raisons : la date de référence du rôle (le 1\ier{} juillet du deuxième exercice précédant son entrée en vigueur, art.~46 LFM) est antérieure à la date d'évaluation, et les prix des terrains et des bâtiments n'évoluent pas au même rythme ; la valeur du bâtiment au rôle est un coût de remplacement déprécié calculé avec les barèmes du Manuel d'évaluation foncière, non une contribution extraite du marché ; la valeur du terrain au rôle est établie selon l'utilisation la plus probable, qui peut différer de l'usage actuel ; et le ratio de 45 \% est une médiane de secteur qui ne tient pas compte des caractéristiques de cette maison. Le ratio du rôle est utile pour comparer la part du terrain entre quartiers, non pour évaluer un terrain donné à la date d'évaluation.1617(c) À valeur de terrain donnée $V_L$, la part $a = V_L / (V_L + C_N - D)$ croît avec la dépréciation $D$ et décroît avec le coût neuf $C_N$. Deux maisons sur des terrains identiques de \dollars{252000}, l'une neuve avec un bâtiment de \dollars{400000}, l'autre de soixante ans avec un bâtiment déprécié de \dollars{160000}, ont des parts de terrain de 38,7 \% et de 61,2 \% ; appliquer 45 \% à l'une et à l'autre surestime le terrain de la maison neuve (\dollars{293400}) et sous-estime celui de la vieille maison (\dollars{185400}). L'allocation n'est exacte que pour la propriété « moyenne » du secteur ; elle sert de contrôle de vraisemblance, non d'indication principale.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:25:3}{Extraction et convention de dépréciation}21(a) \emph{Âge-vie 60 ans} : $\delta = 24/60 = 0{,}40$ ; contribution du bâtiment $391729 \times 0{,}60 = \dollars{235037}$ ; terrain $538000 - 235037 = \dollars{302963}$. \emph{Dépréciation de marché} : $\delta = 0{,}155$ ; contribution $391729 \times 0{,}845 = \dollars{330907}$ (plus exactement \dollars{330907} avec $\delta = 0{,}1553$) ; terrain $538000 - 330907 = \dollars{207093}$.2223(b) En valeur unitaire : $302963/452 = \parmsq{670.3}$ et $207093/452 = \parmsq{458.2}$. Transposition au terrain de \msq{620} du sujet par $(620/452)^{0{,}50} = 1{,}1712$ : $\dollars{354826}$ et $\dollars{242545}$. Ces deux montants sont ceux de la colonne G0477 du \cref{tab:25:extraction} ; ils constituent, par coïncidence, les médianes des cinq comparables sous chacune des conventions.2425(c) Le prix étant le même, $\hat V_L^{\,\text{âge-vie}} - \hat V_L^{\,\text{marché}} = C_N(\delta^{\text{âge-vie}} - \delta^{\text{marché}}) = 391729 \times (0{,}400 - 0{,}155) = \dollars{95870}$ : l'écart entre les terrains est exactement l'écart entre les dépréciations en dollars. C'est l'effet de levier de la \cref{sec:25:pourquoi} : le terrain absorbe toute l'incertitude sur le bâtiment. La convention de dépréciation doit donc être cohérente avec les prix dont on part : si le marché paie \dollars{538000} une maison de 24 ans dont le coût neuf est \dollars{391729} et dont le terrain vaut environ \dollars{207000}, c'est que le marché ne la déprécie que de 15 \%, et une règle âge-vie à 40 \% contredit les prix observés. Dans le monde synthétique du cas 1, la dépréciation de marché est de 0,6 à 0,8 \% par année, conforme aux estimations de \textcite{malpezziOzanneThibodeau1987} ; une vie économique de 60 ans impliquerait 1,7 \% par année.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:25:4}{Technique résiduelle et effet de levier}29(a) $R_B = R_L + 1/n = 0{,}0375 + 1/40 = 6{,}25\,\%$. Revenu requis par le bâtiment : $0{,}0625 \times \dollars{1140000} = \dollars{71250}$. Revenu résiduel du terrain : $89956 - 71250 = \dollars{18706}$. Valeur résiduelle : $18706 / 0{,}0375 = \dollars{498820}$, soit \parmsq{674} pour \msq{740}.3031(b) Avec $R_L = 4{,}25\,\%$ : $R_B = 6{,}75\,\%$ ; revenu du bâtiment $0{,}0675 \times 1140000 = \dollars{76950}$ ; revenu du terrain $\dollars{13006}$ ; valeur $13006/0{,}0425 = \dollars{306018}$. Variation : $306018/498820 - 1 = -38{,}6\,\%$ pour cinquante points de base.3233(c) La première élasticité de la \cref{prop:sensibilite-residuelle} vaut $-(1 + C_B/\hat V_L) = -(1 + 1140000/498820) = -3{,}29$ au cas de base. Une hausse de $R_L$ de 3,75 à 4,25 \% est une variation relative de $+13{,}3\,\%$ ; l'approximation linéaire prédit $-3{,}29 \times 13{,}3\,\% = -43{,}8\,\%$, contre $-38{,}6\,\%$ en calcul exact, l'écart venant de la convexité de la relation (la pente s'adoucit quand $R_L$ croît). L'ordre de grandeur est confirmé : la technique multiplie par plus de trois l'erreur relative sur le taux du terrain, parce que ce taux divise un résidu qui ne représente que 21 \% du revenu net. Un évaluateur qui ne peut fixer $R_L$ à mieux que cinquante points de base près ne peut pas prétendre à mieux que $\pm 40\,\%$ sur le terrain par cette méthode.34\end{solution}3536\begin{solution}{ex:25:5}{Ajustement de superficie : élasticité contre proportionnalité}37(a) \emph{Proportionnalité} : prix unitaire $283500/743{,}1 = \parmsq{381.5}$, appliqué à \msq{620} : $\dollars{236536}$. L'ajustement implicite est de $-\dollars{46964}$.3839(b) \emph{Élasticité 0,50} : $283500 \times (620/743{,}1)^{0{,}50} = 283500 \times 0{,}9134 = \dollars{258956}$ ; ajustement de $-\dollars{24544}$.4041Le \cref{tab:25:comparables} indique pour T004 un ajustement de superficie de $-\dollars{26006}$, obtenu avec l'élasticité estimée de 0,527 et appliqué sur la base déjà ajustée des conditions du marché ; il est voisin du résultat (b) et presque deux fois plus petit, en valeur absolue, que l'ajustement proportionnel (a). La proportionnalité suppose que chaque mètre carré du terrain de \msq{743} vaut autant que les autres ; or les 123 mètres carrés qui le séparent du sujet sont des mètres carrés de cour, dont la valeur marginale est bien inférieure à la valeur moyenne. L'ajustement proportionnel exagère donc la correction et sous-estime le terrain du sujet d'environ \dollars{22000}, soit 8 \% ; dans l'autre sens, pour un comparable plus petit que le sujet, il le surestimerait. L'erreur croît avec l'écart de superficie, d'où la règle de borner la taille des comparables (ici $\pm 40\,\%$) avant d'ajuster.42\end{solution}4344\begin{solution}{ex:25:6}{Lotissement : absorption, taux et contribution pour fins de parcs}45(a) Avec deux lots par année, le développement dure six ans. Les flux de fin d'année deviennent : année 0, $-\dollars{90000}$ ; année 1, produit de deux lots $2 \times 254486 = \dollars{508972}$, moins viabilisation \dollars{780000}, taxes \dollars{12000}, frais de vente 4 \% (\dollars{20359}) et profit 15 \% (\dollars{76346}), soit $-\dollars{379733}$ ; années 2 à 6, $\dollars{508972} - 20359 - 76346$ moins des taxes décroissantes de \dollars{10000} à \dollars{2000}, soit \dollars{402267}, \dollars{404267}, \dollars{406267}, \dollars{408267} et \dollars{410267}. Actualisés à 12 \%, ils donnent \dollars{877093}, contre \dollars{1230878} au cas de base : une baisse de 28,7 \%. Deux effets se cumulent : l'étalement des ventes repousse les deux tiers du produit au-delà de la troisième année, et le taux plus élevé pénalise chaque année supplémentaire ; à 10 \% avec deux lots par année, la valeur serait de \dollars{963545}, et à 12 \% avec quatre lots par année, de \dollars{1174024}. L'absorption pèse davantage que le taux.4647(b) Les \msq{1000} cédés auraient formé $1000/625 = 1{,}6$ lot. Vendus la troisième année au prix de \dollars{254486}, nets de 4 \% de frais de vente et de 15 \% de profit, ils auraient rapporté $1{,}6 \times 254486 \times 0{,}81 = \dollars{329814}$, dont la valeur actualisée à 10 \% est $329814 / 1{,}1^3 = \dollars{247794}$. C'est le coût d'opportunité de la cession pour le promoteur, soit 20 \% de la valeur du site brut. (Il faudrait en toute rigueur ajouter la viabilisation de ces lots et un peu de rue ; l'ordre de grandeur demeure.)4849(c) Si la municipalité exigeait plutôt une somme, le plafond de l'article 117.4 est 10 \% de la valeur du site, soit environ $0{,}10 \times \dollars{1230878} = \dollars{123088}$ au cas de base, payable à la délivrance du permis de lotissement ; c'est à peu près la moitié du coût d'opportunité de la cession en terrain. La forme de la contribution modifie donc la valeur du terrain brut d'une centaine de milliers de dollars sur un site de un hectare, et le règlement municipal, qui fixe la forme et le pourcentage dans la limite de la loi, est une donnée de l'évaluation au même titre que le prix des lots. La valeur du site qui sert d'assiette à la contribution en argent étant elle-même l'inconnue du problème, le calcul est en toute rigueur implicite ($V = $ produit net $- 0{,}10\,V$ actualisé) ; l'approximation ci-dessus suffit pour l'ordre de grandeur.50\end{solution}5152\begin{solution}{ex:25:7}{Rente foncière, croissance et réversion}53(a) Par l'\cref{eq:25:bail}, la valeur actualisée des quarante rentes croissantes est $\sum_{t=1}^{40} 11000 \times 1{,}02^{t-1} / 1{,}05^t = \dollars{251664}$ et celle de la réversion $300000 / 1{,}05^{40} = \dollars{42614}$ ; la valeur du droit du bailleur est de \dollars{294278}. La somme des rentes croissantes se calcule en forme close comme une annuité au taux ajusté : $\frac{11000}{1{,}05} \cdot \frac{1 - (1{,}02/1{,}05)^{40}}{1 - 1{,}02/1{,}05}$.5455(b) La capitalisation perpétuelle de la rente constante donne $11000/0{,}05 = \dollars{220000}$ ; la formule de Gordon \eqref{eq:25:gordon}, $11000/(0{,}05 - 0{,}02) = \dollars{366667}$. Pour dériver Gordon, on écrit la somme des rentes actualisées comme une série géométrique de raison $q = (1+g)/(1+R_L)$ : $\sum_{t=1}^{n} \rho_1 q^{t-1}/(1+R_L) = \frac{\rho_1}{1+R_L}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$ ; lorsque $n \to \infty$ et $q < 1$, c'est-à-dire $g < R_L$, $q^n \to 0$ et la somme tend vers $\frac{\rho_1}{1+R_L}\cdot\frac{1+R_L}{R_L - g} = \frac{\rho_1}{R_L - g}$. Le bail de quarante ans (\dollars{294278}) se situe entre les deux : il capitalise la croissance pendant quarante ans mais pas au-delà, et la réversion de \dollars{300000}, lointaine, ne vaut que \dollars{42614} aujourd'hui. Si la réversion anticipée était égale à la valeur de Gordon à l'échéance, les deux approches coïncideraient.5657(c) Dans la décomposition de \textcite{capozzaHelsley1989}, la capitalisation de la rente courante (\dollars{220000}) correspond à la valeur d'usage actuelle du terrain, accessibilité comprise ; la différence entre Gordon et cette capitalisation (\dollars{146667}) est la prime de croissance, c'est-à-dire la valeur actualisée des hausses de rente anticipées ; et la valeur du bail fini mesure ce que le bailleur en capte réellement compte tenu des stipulations du contrat. Aucun des trois n'est la valeur du terrain libre : la première ignore la croissance que le marché anticipe, la deuxième suppose une croissance perpétuelle certaine et ignore la valeur d'attente (\textcite{titman1985}, \textcite{capozzaHelsley1990}), et la troisième est la valeur d'un droit démembré, celui du propriétaire du fonds grevé d'une emphytéose, dont la rente contractuelle peut en outre s'écarter de la rente de marché. La valeur du terrain libre s'obtient par comparaison avec des terrains vacants ; la capitalisation de la rente la recoupe et la décompose.58\end{solution}59