spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Plus haute et meilleure utilisation, terrains et développement}\label{ch:41}23Toute valeur marchande est la valeur d'un usage. Lorsqu'un évaluateur conclut qu'une maison vaut \dollars{600000}, il affirme implicitement que l'usage le plus profitable de ce terrain et de ce bâtiment est celui qu'en fait son occupant ; lorsqu'un promoteur paie pour la même maison un prix supérieur à cette valeur, c'est qu'il voit dans le terrain un usage que la maison empêche. L'analyse de la plus haute et meilleure utilisation est la discipline qui rend cette affirmation explicite, qui la soumet à quatre tests ordonnés et qui en tire la méthode d'évaluation appropriée. Elle est, dans la pratique nord-américaine, la charnière entre la description du bien et son évaluation, et elle devient décisive dès que le terrain est vacant, que le bâtiment est en fin de vie ou que le zonage permet davantage que ce qui est bâti. Le présent chapitre en pose les définitions et l'ordre, distingue l'analyse du terrain réputé vacant de celle du bien amélioré, dérive la méthode résiduelle de développement avec son calendrier et son financement, puis introduit l'option réelle de redéveloppement, c'est-à-dire la valeur qu'a, pour un propriétaire, le droit d'attendre avant de démolir. L'exemple intégral reprend le terrain de \msq{620} du sujet du cas 1 et confronte quatre usages, dont trois exigent la démolition de la maison ; il conclut à la plus haute et meilleure utilisation du terrain vacant et du bien amélioré, mesure la valeur de l'option d'attente et montre à quelles hypothèses ces conclusions sont sensibles. Le \cref{ch:08} a fourni la lecture juridique du zonage et le \cref{ch:25} les méthodes d'évaluation du terrain ; le présent chapitre les suppose acquis et y renvoie.45\begin{objectifs}6\begin{itemize}7\item Définir la plus haute et meilleure utilisation, énoncer les quatre tests dans l'ordre et expliquer pourquoi cet ordre n'est pas interchangeable.8\item Distinguer l'analyse du terrain réputé vacant de celle du bien amélioré, et formuler la condition sous laquelle la démolition d'un bâtiment est économiquement justifiée.9\item Dériver la méthode résiduelle de développement avec calendrier, financement intérimaire, marge du promoteur et contribution pour fins de parcs, et en montrer l'effet de levier.10\item Construire un arbre binomial à deux périodes pour évaluer l'option de redéveloppement et interpréter la probabilité risque-neutre, la frontière d'exercice et la valeur de l'attente.11\item Dériver, dans une version simplifiée, le seuil de développement de Capozza et Helsley et la prime d'irréversibilité qu'il contient.12\item Conduire l'analyse complète sur un terrain résidentiel québécois, conclure et documenter la sensibilité de la conclusion aux prix de sortie, aux coûts, à la marge et au délai.13\end{itemize}14\end{objectifs}1516\section{La plus haute et meilleure utilisation : définition et quatre tests}\label{sec:41:concept}1718\subsection{Un principe devenu procédure}1920Le \cref{ch:01} a présenté la plus haute et meilleure utilisation comme l'un des sept principes de l'évaluation, celui qui affirme que la valeur se mesure pour l'usage optimal, non pour l'usage actuel (\cref{sec:1:principes}). Le présent chapitre en fait une procédure. La pratique nord-américaine, codifiée par l'Appraisal Institute, définit la \motcle{plus haute et meilleure utilisation} (PHMU, \emph{highest and best use}) comme l'usage raisonnablement probable et légalement permis d'un terrain vacant ou d'une propriété améliorée, physiquement possible, adéquatement supporté par le marché, financièrement faisable et qui produit la valeur la plus élevée \parencite{appraisal2026}. Les Normes internationales d'évaluation en donnent une formulation plus courte : la plus haute et meilleure utilisation est « l'usage qui, du point de vue d'un participant au marché, produirait la valeur la plus élevée pour un actif » \parencite[IVS 102, annexe A90.01, traduction de l'auteur]{ivs2025}. Les deux définitions se rejoignent sur trois points que la suite du chapitre développe : l'usage est jugé du point de vue du marché et non du propriétaire, il doit être \emph{probable} et non seulement imaginable, et il se mesure par la valeur qu'il confère au bien.2122\begin{definition}{Plus haute et meilleure utilisation}{phmu}23La plus haute et meilleure utilisation d'un bien immobilier est l'usage, parmi ceux qui sont légalement permis, physiquement possibles et financièrement faisables à la date d'évaluation, qui lui confère la valeur la plus élevée. Pour un terrain réputé vacant, elle désigne l'usage qui maximise la valeur du terrain ; pour un bien amélioré, elle désigne l'usage qui maximise la valeur de l'ensemble du terrain et des constructions, compte tenu du coût de transformer ou de démolir celles-ci.24\end{definition}2526La définition porte une conséquence méthodologique immédiate : la valeur marchande d'un bien est le maximum, sur l'ensemble $\mathcal{U}$ des usages admissibles, des valeurs qu'il aurait sous chacun d'eux,27\begin{equation}\label{eq:41:max-usage}28V = \max_{u \in \mathcal{U}} V(u), \qquad \mathcal{U} = \{u : u \text{ permis, possible et faisable}\},29\end{equation}30et les trois premiers tests servent à construire l'ensemble $\mathcal{U}$ tandis que le quatrième, la productivité maximale, désigne l'élément qui réalise le maximum. L'\cref{eq:41:max-usage} explique pourquoi l'analyse précède le choix des méthodes : la comparaison, le coût et le revenu mesurent $V(u)$ pour un usage donné, et c'est la PHMU qui dit lequel. Un évaluateur qui compare une maison ancienne à d'autres maisons anciennes mesure $V(\text{maison})$ ; si le terrain vaut davantage pour un triplex que la maison entière, cette mesure n'est pas la valeur marchande. L'\cref{eq:16:esperance} du \cref{ch:16} définissait la valeur comme l'espérance du prix conditionnellement aux caractéristiques du bien ; la PHMU ajoute que l'usage fait partie de ces caractéristiques et qu'il n'est pas donné, mais choisi par l'acheteur le plus probable.3132\begin{quebec}[L'usage le plus probable dans la Loi sur la fiscalité municipale]33Le droit québécois de l'évaluation foncière n'emploie pas l'expression « plus haute et meilleure utilisation », mais il en contient l'idée. La valeur réelle d'une unité d'évaluation est sa valeur d'échange sur un marché libre et ouvert à la concurrence, et la loi précise qu'elle tient compte de « l'utilisation qui peut le plus probablement en être faite » \parencite[art.~43 par.~2°]{lfm}. L'article 46 ajoute que cette utilisation la plus probable s'apprécie à la date de référence du rôle, qu'après un événement visé à l'article 174 elle est « celle qui découle de l'état de l'unité », et que l'état de l'unité comprend sa situation juridique, donc son zonage, ses servitudes et les restrictions qui pèsent sur elle \parencite[art.~46 al.~1 à 3]{lfm} ; l'imposition ou la levée d'une restriction juridique aux utilisations possibles est d'ailleurs un motif de modification du rôle \parencite[art.~174 par.~19°]{lfm}. Le mot « probable » est le même que dans la pratique professionnelle et il appelle la même discipline : un usage n'est probable que s'il franchit les tests qui suivent. Le \cref{ch:09} traite de la contestation d'une valeur au rôle fondée sur un usage que le contribuable juge improbable ; le \cref{ch:08} a montré que le premier de ces tests se lit dans les règlements d'urbanisme (texte de la loi à jour au 15 octobre 2026, consulté le 31 octobre 2026).34\end{quebec}3536\subsection{Les quatre tests et leur ordre}3738Les quatre tests s'appliquent dans un ordre qui n'est pas une convention d'exposition, mais une logique de filtrage : chacun suppose que le précédent est franchi, et le coût d'analyse croît d'un test à l'autre. Il serait absurde de chiffrer la faisabilité financière d'un immeuble de six logements sur un lot zoné unifamilial avant d'avoir établi qu'un tel immeuble pourrait y être autorisé, et tout aussi absurde de comparer la productivité de deux usages dont l'un n'est pas faisable. Le \cref{tab:41:tests} énonce les quatre tests, la question que chacun pose, les sources qui permettent d'y répondre au Québec et ce qu'un échec signifie ; la \cref{fig:41:arbre} les ordonne.3940\begin{table}[htbp]41\caption{Les quatre tests de la plus haute et meilleure utilisation, dans l'ordre}\label{tab:41:tests}42\centering43\small44\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\raggedright\arraybackslash}p{27mm}YYY}45\toprule46Test & Question & Sources au Québec & Si le test échoue \\47\midrule481. Légalement permis & L'usage est-il autorisé de plein droit, par droits acquis, par autorisation discrétionnaire, ou raisonnablement probable au terme d'une modification ? & Règlements de zonage, de lotissement et de construction (LAU, art.~113, 115, 118) ; PIIA, PPCMOI, dérogation mineure (art.~145.1 à 145.37) ; zone agricole (LPTAA, art.~26) ; servitudes et restrictions de titre ; terrains contaminés (LQE, art.~31.53) ; zones inondables & L'usage est écarté, sauf si un changement est probable : il est alors pondéré par sa probabilité et son délai (\cref{sec:8:valeur}) \\492. Physiquement possible & La superficie, la forme, la topographie, le sol, les services et l'accès permettent-ils de bâtir ce que l'usage exige ? & Certificat de localisation, relevé topographique, étude géotechnique, plans des réseaux, enveloppe constructible après marges, stationnement & L'usage est écarté ou réduit (moins de logements, moins de plancher) \\503. Financièrement faisable & L'usage produit-il une valeur qui excède le coût de le réaliser, y compris le terrain, le financement et la rémunération du risque ? & Méthode résiduelle de développement (\cref{sec:41:residuel}) ; pour un immeuble de revenu, revenu net suffisant pour rémunérer le capital (\cref{ch:29}) & L'usage est écarté ; un résidu positif mais inférieur au prix du terrain signale que l'acheteur type n'est pas celui que l'on suppose \\514. Maximalement productif & Parmi les usages faisables, lequel confère au terrain, ou à l'ensemble, la valeur la plus élevée ? & Comparaison des valeurs résiduelles ou des valeurs de l'ensemble, avec des marges cohérentes avec l'acheteur type de chaque usage & Sans objet : le test désigne un usage ; une égalité approximative appelle la conformité au voisinage et le marché des terrains comme arbitres \\52\bottomrule53\end{tabularx}54\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026} et les textes législatifs cités (à jour au 15 octobre 2026).}55\end{table}5657\begin{figure}[htbp]58\centering59\begin{tikzpicture}[every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}, q/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=9mm, text width=44mm}, r/.style={draw=brandGray, fill=white, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=8mm, text width=40mm}, ok/.style={draw=brandGreen, fill=green!4!white, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=9mm, text width=44mm}, fl/.style={-{Stealth[length=1.8mm]}, brandGray, thick}]60\node[q] (q1) {1. L'usage est-il \textbf{légalement permis} (ou raisonnablement probable) ?};61\node[r, right=9mm of q1] (r1) {Non : écarté ; si un changement est probable, espérance pondérée par $p$ et $T$ (\cref{eq:8:esperance})};62\node[q, below=6mm of q1] (q2) {2. Est-il \textbf{physiquement possible} sur ce terrain (enveloppe, sol, services, accès) ?};63\node[r, right=9mm of q2] (r2) {Non : écarté ou réduit (moins de logements, moins de plancher)};64\node[q, below=6mm of q2] (q3) {3. Est-il \textbf{financièrement faisable} (résidu du terrain positif, rémunération du risque comprise) ?};65\node[r, right=9mm of q3] (r3) {Non : écarté ; résidu $<$ prix du terrain : l'acheteur type n'est pas un promoteur};66\node[q, below=6mm of q3] (q4) {4. Parmi les usages restants, lequel est \textbf{maximalement productif} ?};67\node[ok, below=6mm of q4] (c) {PHMU du \textbf{terrain vacant} : $\max_u V_L(u)$ ; PHMU du \textbf{bien amélioré} : $\max\{V_{\text{act}},\ V_L^{*} - D\}$};68\node[r, right=9mm of q4] (r4) {Égalité approximative : conformité au voisinage, marché des terrains, risque et délai tranchent};69\draw[fl] (q1) -- node[above]{non} (r1); \draw[fl] (q1) -- node[right]{oui} (q2);70\draw[fl] (q2) -- node[above]{non} (r2); \draw[fl] (q2) -- node[right]{oui} (q3);71\draw[fl] (q3) -- node[above]{non} (r3); \draw[fl] (q3) -- node[right]{oui} (q4);72\draw[fl] (q4) -- (r4); \draw[fl] (q4) -- (c);73\end{tikzpicture}74\caption{L'arbre de décision de la plus haute et meilleure utilisation. Les trois premiers tests filtrent les usages candidats dans un ordre qui va du moins coûteux au plus coûteux à vérifier ; le quatrième désigne l'usage retenu. Pour un bien amélioré, la conclusion compare la valeur dans l'usage actuel à la valeur du terrain sous son meilleur usage, nette de la démolition.}\label{fig:41:arbre}75\figsource{schéma de l'auteur.}76\end{figure}7778Le premier test, \motcle{légalement permis}, a occupé le \cref{ch:08} et il n'y a pas lieu d'y revenir en détail. Deux rappels suffisent. Le mot « permis » couvre une gradation de certitudes : l'usage autorisé de plein droit par la grille, l'usage dérogatoire protégé par droits acquis, l'usage qu'une autorisation discrétionnaire pourrait permettre et l'usage qu'une modification réglementaire rendrait possible ; seule la première situation franchit le test sans réserve, les autres introduisent une probabilité et un délai que l'\cref{eq:8:esperance} a formalisés. Ensuite, la légalité ne se limite pas au zonage : une servitude de non-construction, une clause restrictive de titre, un avis de contamination inscrit au registre foncier ou l'appartenance à une zone inondable ferment des usages que la grille autoriserait. Le test est donc une lecture croisée du règlement, du titre et des registres publics, datée et consignée au rapport.7980Le deuxième test, \motcle{physiquement possible}, est le plus concret. Il demande si le terrain peut porter ce que l'usage exige : une superficie et une forme compatibles avec les marges et le stationnement, un sol capable de supporter les fondations sans surcoût prohibitif, des services d'aqueduc et d'égout de capacité suffisante, un accès conforme. Le test se chiffre : l'enveloppe constructible est la superficie du lot diminuée des marges, multipliée par le nombre d'étages permis, et l'aire de plancher qu'un usage exige se compare à cette enveloppe comme au plafond du coefficient d'occupation du sol de l'\cref{eq:8:cos}. Un usage qui exigerait quatre étages là où trois sont permis, ou douze cases de stationnement sur un lot qui n'en loge que six, échoue au test ou doit être réduit. Les contraintes physiques et les contraintes légales se recoupent ici, et il est d'usage de les examiner ensemble.8182Le troisième test, \motcle{financièrement faisable}, est celui qui exige un calcul. Un usage est faisable lorsque la valeur qu'il produit excède tout ce qu'il coûte de le réaliser, le terrain compris. Pour un terrain à bâtir, le critère s'exprime par la valeur résiduelle de la \cref{sec:41:residuel} : l'usage est faisable si le résidu qu'il laisse au terrain, après tous les coûts, le financement et la rémunération du promoteur, est positif ; et si le terrain doit être acquis, si ce résidu atteint au moins son prix sur le marché. Pour un immeuble de revenu, le critère équivalent est que le revenu net stabilisé suffise à rémunérer et à récupérer le capital investi, ce qui ramène à la technique résiduelle du terrain de l'\cref{eq:25:residuelle}. La faisabilité dépend de la conjoncture : un usage faisable en période de prix élevés et de taux bas cesse de l'être lorsque les coûts de construction progressent plus vite que les prix, comme ce fut le cas au Québec de 2020 à 2026 (\cref{ch:23}).8384Le quatrième test, \motcle{maximalement productif}, choisit parmi les usages qui ont franchi les trois premiers celui qui confère au bien la valeur la plus élevée. Pour un terrain vacant, la mesure est la valeur résiduelle de chaque usage ; pour un bien amélioré, la valeur de l'ensemble sous chaque usage. Le test paraît mécanique, mais il cache une subtilité que l'exemple de la \cref{sec:41:exemple} rendra visible : les valeurs résiduelles ne sont comparables que si elles sont calculées avec des hypothèses de marge, de délai et de risque cohérentes avec l'acheteur type de chaque usage. Un promoteur-marchand qui construit pour vendre exige une marge que l'acheteur qui fait bâtir sa propre maison n'exige pas ; comparer le résidu d'un triplex calculé avec la première à celui d'une maison calculé avec la seconde n'est pas une erreur, c'est au contraire la bonne façon de représenter deux marchés d'acheteurs différents qui se disputent le même terrain. La \cref{fig:41:arbre} termine par la conformité au voisinage et le marché des terrains comme arbitres lorsque deux usages laissent des résidus voisins : la conformité, parce qu'un usage isolé dans un tissu homogène se vend moins bien que le calcul ne le suggère ; le marché des terrains, parce que les prix auxquels des terrains comparables s'échangent révèlent l'usage auquel les acheteurs les destinent.8586\section{Terrain réputé vacant et bien amélioré}\label{sec:41:vacant-ameliore}8788\subsection{Deux analyses, deux conclusions}8990L'analyse de la PHMU se conduit toujours deux fois lorsque le terrain est bâti. La première considère le \motcle{terrain réputé vacant} (\emph{as though vacant}) : on fait abstraction des constructions existantes et l'on se demande quel usage un acheteur donnerait au terrain nu. La seconde considère le \motcle{bien amélioré} (\emph{as improved}) : on se demande si les constructions doivent être conservées telles quelles, modifiées, converties ou démolies. Les deux analyses ont des fonctions distinctes. La première fonde l'évaluation séparée du terrain qu'exige la méthode du coût, puisque le terrain y est évalué « comme s'il était vacant et disponible pour sa plus haute et meilleure utilisation » (convention rappelée à l'annexe~\ref{app:conventions-calcul} et au \cref{ch:25}) ; elle fonde aussi le choix des terrains comparables, qui doivent avoir la même PHMU que le sujet. La seconde fonde la conclusion de valeur du bien dans son ensemble et le choix des comparables bâtis : une maison dont la PHMU est la démolition n'a pas pour comparables d'autres maisons, mais des terrains.9192Les conclusions des deux analyses peuvent différer, et c'est précisément ce qui rend la distinction utile. Le terrain vacant peut avoir pour PHMU un triplex alors que le bien amélioré a pour PHMU le maintien de la maison existante, parce que la maison vaut davantage que ce que le terrain rapporterait une fois démolie. Dans ce cas, fréquent dans les quartiers anciens dont le zonage a été densifié, la maison est dite \emph{non conforme à la PHMU du terrain} sans que sa démolition soit justifiée : elle continue de contribuer à la valeur, et son usage actuel est un \motcle{usage intérimaire} qui durera jusqu'à ce que la valeur du terrain nu, nette de la démolition, dépasse la valeur de la maison. La \cref{sec:41:option} montrera que cet usage intérimaire porte une option, et que la valeur du bien excède alors légèrement la valeur de la maison seule.9394\subsection{Quand démolir : la contribution du bâtiment}9596Le \cref{ch:08} a posé la règle en une équation, reprise ici parce qu'elle est le pivot de l'analyse du bien amélioré. Si $V_{\text{act}}$ est la valeur du bien dans son usage actuel, $V_L^{*}$ la valeur du terrain réputé vacant sous sa PHMU et $D$ le coût de la démolition et de la préparation du site, alors97\begin{equation}\label{eq:41:ameliore}98V = \max\left\{ V_{\text{act}},\ V_L^{*} - D \right\},99\end{equation}100et la démolition est justifiée lorsque $V_L^{*} - D > V_{\text{act}}$ (\cref{eq:8:max}). Une écriture équivalente passe par la \motcle{contribution du bâtiment}, c'est-à-dire ce que les constructions ajoutent à la valeur du terrain nu :101\begin{equation}\label{eq:41:contribution}102C_B = V_{\text{act}} - V_L^{*}, \qquad \text{démolir si } C_B < -D .103\end{equation}104La contribution du bâtiment est positive pour la très grande majorité des immeubles résidentiels ; elle décroît avec l'âge, l'état et la désuétude des constructions, et elle devient négative lorsque le bâtiment n'est plus qu'un obstacle à l'usage du terrain, de sorte que l'acheteur paie moins que la valeur du terrain nu parce qu'il devra payer la démolition. L'\cref{eq:41:contribution} dit que la démolition n'est pas justifiée dès que la contribution est négative, mais seulement lorsqu'elle est plus négative que le coût de la démolition : entre $-D$ et $0$, le bâtiment ne vaut rien mais il ne coûte pas encore assez cher d'en disposer. La contribution du bâtiment est aussi ce que la méthode du coût mesure par $C_N - D_{\text{phys}} - D_{\text{fonc}} - D_{\text{ext}}$ (\cref{ch:24}) ; l'analyse de la PHMU et la méthode du coût sont ainsi deux lectures de la même grandeur, et la cohérence de leurs résultats est un contrôle utile.105106Trois conclusions sont possibles pour un bien amélioré, et le rapport doit dire laquelle est retenue. La première est le \emph{maintien} de l'usage actuel, éventuellement avec des travaux curables dont le coût est inférieur à la valeur qu'ils ajoutent (\cref{ch:24} et \cref{ch:44}). La deuxième est la \emph{modification} ou la \emph{conversion} : agrandissement, ajout d'un logement accessoire, conversion d'une maison en duplex, d'un immeuble locatif en copropriété divise (\cref{ch:42}) ; elle est retenue lorsque la valeur après conversion, nette des coûts de conversion et de la rémunération du risque, excède à la fois la valeur actuelle et la valeur du terrain nu. La troisième est la \emph{démolition}, lorsque l'\cref{eq:41:ameliore} la justifie. Une quatrième situation mérite une mention : celle du \motcle{terrain excédentaire} (\emph{excess land}), partie d'un lot bâti qui pourrait être détachée et vendue séparément sans nuire à l'usage du reste ; sa valeur s'ajoute à celle de la propriété si le lotissement est permis (LAU, art.~115) et si l'acheteur type le réaliserait, et elle se distingue du \emph{terrain en surplus} (\emph{surplus land}), qui ne peut être détaché et ne vaut que par l'agrément qu'il procure.107108\subsection{Les démolitions-reconstructions comme révélateur de la valeur du terrain}109110La règle de l'\cref{eq:41:ameliore} a une contrepartie empirique précieuse. Lorsqu'une propriété est achetée pour être démolie, son prix est celui du terrain nu, diminué de la démolition que l'acheteur devra payer ; une vente de \motcle{démolition-reconstruction} (\emph{teardown}) est donc une vente de terrain déguisée, et elle permet d'extraire la valeur du terrain dans des quartiers bâtis où les terrains vacants ne se vendent jamais :111\begin{equation}\label{eq:41:teardown}112\hat V_L = P_{\text{td}} + D ,113\end{equation}114où $P_{\text{td}}$ est le prix payé pour la propriété démolie ensuite et $D$ le coût de démolition estimé. \textcite{rosenthalHelsley1994} ont été parmi les premiers à exploiter ces ventes pour mesurer le gradient de prix des terrains à Vancouver ; \textcite{dyeMcmillen2007} ont montré, sur la région de Chicago, que la probabilité qu'une maison soit achetée pour démolition croît avec le rapport entre la valeur du terrain et la valeur totale, et que les prix des propriétés démolies se comportent comme des prix de terrains, presque insensibles aux caractéristiques du bâtiment ; \textcite{mcmillenOsullivan2013} ont généralisé ce résultat en montrant que, dans les quartiers où les démolitions sont fréquentes, les coefficients hédoniques des caractéristiques du bâtiment tendent vers zéro à mesure que la probabilité de démolition augmente. La conséquence pour l'évaluateur est double. D'abord, l'\cref{eq:41:teardown} fournit, dans un quartier en densification, les meilleurs comparables de terrain qui soient, à la condition de vérifier que la démolition a bien eu lieu ou était l'intention de l'acheteur, ce qu'un permis de démolition ou une inspection postérieure établit. Ensuite, un modèle hédonique estimé sur un marché où coexistent des ventes de maisons et des ventes de démolition mélange deux fonctions de prix : \textcite{clappSalavei2010} ont proposé d'inclure dans la régression une variable d'option de redéveloppement, construite comme le rapport entre la valeur du terrain nu et la valeur de la propriété, et \textcite{clappBardosWong2012} ont estimé sur cette base une prime d'option dans les prix des maisons dont la contribution du bâtiment est faible. Le \cref{ch:18} a traité des modèles hédoniques sans cette correction ; dans un marché où les démolitions sont fréquentes, elle devient nécessaire, et l'absence de la variable biaise vers zéro les effets de l'âge et de la superficie du bâtiment, ce que le \cref{ch:24} a déjà signalé à propos de la mesure de la dépréciation.115116\section{Analyse de faisabilité et méthode résiduelle de développement}\label{sec:41:residuel}117118\subsection{Le compte du promoteur}119120La méthode résiduelle de développement répond à une question simple : combien un promoteur peut-il payer pour un terrain, compte tenu de ce qu'il en tirera une fois le projet construit et vendu et de tout ce qu'il lui en coûtera entre-temps ? La réponse s'obtient en reconstituant le compte du promoteur. Le produit du projet est la \motcle{valeur brute de développement} (GDV, \emph{gross development value}), somme des prix de vente attendus des unités achevées, ou, pour un immeuble conservé en location, la valeur de l'immeuble stabilisé par capitalisation de son revenu net (\cref{ch:29}). De ce produit se retranchent les frais de vente (courtage, publicité, frais juridiques), les coûts directs et indirects de construction (\cref{ch:21} à \cref{ch:23}), la démolition et la préparation du site s'il y a lieu, les intérêts du financement intérimaire, les contributions municipales et la rémunération du promoteur ; ce qui reste est ce que le projet peut payer pour le terrain. Le \cref{ch:08} a écrit cette identité sous sa forme statique, l'\cref{eq:8:residuel}, en traitant le financement et la marge comme des proportions du produit et en résolvant la circularité de la contribution pour fins de parcs par une division par $1 + \tau_{\text{parcs}}$. Le présent chapitre lui ajoute deux éléments que l'analyse de développement ne peut ignorer : le temps et la structure du financement.121122Le temps intervient parce que le terrain se paie aujourd'hui et que le produit se réalise à la livraison, un, deux ou trois ans plus tard. Le promoteur qui immobilise aujourd'hui une somme $V_L$ dans le terrain exige qu'elle lui soit rendue avec intérêt ; symétriquement, un dollar de produit à la date $T$ ne vaut aujourd'hui que $(1+r_L)^{-T}$ dollars, où $r_L$ est le coût du capital qui finance le terrain. La structure du financement intervient parce que les coûts de construction ne sont pas déboursés d'un coup : ils sont tirés progressivement sur un prêt de construction, et les intérêts de ce prêt, qui portent sur le solde tiré et non sur le montant total, dépendent du profil des déboursés et de la mise de fonds que le prêteur exige du promoteur. Le \cref{ch:23} a dérivé ces intérêts intérimaires pour un tirage uniforme : si le prêt $L$ est tiré linéairement entre la fin de la mise de fonds et la livraison, l'intérêt total vaut $L\,i\,T_{\text{eff}}/2$, où $T_{\text{eff}}$ est la durée pendant laquelle le prêt est effectivement tiré (\cref{eq:23:interets} et \cref{eq:23:interets-mise}).123124\begin{proposition}{Valeur résiduelle de développement avec calendrier}{residuel}125Soit un projet dont le produit de vente $\mathit{GDV}$ est encaissé à la date $T$ (années), les frais de vente $c_v\,\mathit{GDV}$, les coûts de construction directs et indirects $C$, la démolition $D$, les intérêts intérimaires $F$ du prêt de construction, la marge du promoteur $M$, la contribution pour fins de parcs au taux $\tau$ de la valeur du site, et $r_L$ le coût du capital qui finance le terrain. La valeur résiduelle du terrain à la date d'évaluation est126\begin{equation}\label{eq:41:residuel}127V_L = \frac{\mathit{GDV}\,(1 - c_v) - C - D - F - M}{(1 + \tau)\,(1 + r_L)^{T}} .128\end{equation}129Avec $r_L = 0$, on retrouve la forme statique de l'\cref{eq:8:residuel} ; avec $r_L = 0$ et $\tau = 0$, le résidu de manuel $\mathit{GDV} - \text{coûts} - \text{marge}$.130\end{proposition}131\begin{proof}132Le promoteur paie $V_L$ pour le terrain et $\tau V_L$ de contribution pour fins de parcs à la date d'évaluation, les deux étant financés par son capital au taux $r_L$ ; les coûts $C$ et $D$ sont financés par la mise de fonds puis par le prêt, dont les intérêts $F$ sont déjà comptés parmi les coûts ; le produit net $\mathit{GDV}(1 - c_v)$ est encaissé à la date $T$ et rembourse le prêt. Le promoteur exige que l'opération lui laisse exactement la marge $M$ à la date $T$, en sus du rendement $r_L$ sur le capital immobilisé dans le terrain. La condition d'équilibre à la date $T$ s'écrit $\mathit{GDV}(1 - c_v) - C - D - F - M = (1 + \tau)\,V_L\,(1 + r_L)^{T}$, d'où \eqref{eq:41:residuel}. La contribution pour fins de parcs étant assise sur la valeur du site que l'on cherche, la division par $1 + \tau$ résout la circularité comme au \cref{ch:08}.133\end{proof}134135Deux remarques précisent la portée de l'\cref{eq:41:residuel}. D'abord, la marge $M$ et le taux $r_L$ ne rémunèrent pas la même chose et ne doivent pas se recouper : $r_L$ est le coût du temps pour le capital immobilisé dans le terrain, $M$ la rémunération du travail du promoteur et du risque du projet. Un analyste qui actualise le résidu à un taux « de risque » élevé \emph{et} retient une marge pleine compte le risque deux fois ; la convention de l'ouvrage est d'actualiser au coût du financement du terrain, que l'on prend égal au taux du prêt de construction faute de mieux, et de porter le risque dans la marge. Ensuite, la marge peut être exprimée en proportion du produit, $M = m_p\,\mathit{GDV}$, ce qui est l'usage des promoteurs-marchands, ou en proportion du coût de construction, $M = m_c\,(C + D + F)$, ce qui est la convention de l'incitatif de l'entrepreneur retenue au \cref{ch:21} pour une construction sur commande ; l'\cref{eq:23:marges} convertit l'une en l'autre et le \cref{sec:23:incitatif} a expliqué pourquoi la première convient à un projet vendu sur plans et la seconde à une maison bâtie pour son propriétaire. L'exemple de la \cref{sec:41:exemple} emploie les deux, pour deux acheteurs types différents.136137\subsection{Forme linéaire, seuil et levier}138139L'\cref{eq:41:residuel} est linéaire dans le produit de vente, ce qui en facilite l'analyse. En regroupant les termes proportionnels au produit et les termes fixes,140\begin{equation}\label{eq:41:lineaire}141V_L = a\,\mathit{GDV} - b, \qquad a = \frac{1 - c_v - m_p}{(1+\tau)(1+r_L)^{T}}, \qquad b = \frac{C + D + F}{(1+\tau)(1+r_L)^{T}},142\end{equation}143lorsque la marge est assise sur le prix ; si elle est assise sur le coût, $m_p$ disparaît de $a$ et $b$ est multiplié par $1 + m_c$. Le coefficient $a$ est la part de chaque dollar de produit qui parvient au terrain, après frais de vente, marge, contribution pour fins de parcs et attente ; dans l'exemple, il vaut environ deux tiers. Le terme $b$ est le coût fixe du projet ramené à aujourd'hui. Deux grandeurs s'en déduisent immédiatement. Le \motcle{produit de seuil} qui rend la valeur résiduelle égale à une cible $\bar V$, par exemple le prix du terrain sur le marché ou la valeur de la maison existante, est144\begin{equation}\label{eq:41:seuil}145\mathit{GDV}^{*}(\bar V) = \frac{\bar V + b}{a},146\end{equation}147et le rapport $\mathit{GDV}^{*}/\mathit{GDV}_0 - 1$ mesure de combien les prix de sortie devraient varier pour que l'usage devienne faisable, ou pour que la démolition devienne rentable. L'\motcle{effet de levier} du résidu est l'élasticité de la valeur du terrain au produit de vente,148\begin{equation}\label{eq:41:levier}149\frac{\partial V_L}{\partial \mathit{GDV}}\,\frac{\mathit{GDV}}{V_L} = \frac{a\,\mathit{GDV}}{V_L} = 1 + \frac{b}{V_L} > 1 ,150\end{equation}151qui excède toujours l'unité et d'autant plus que les coûts fixes sont grands par rapport au résidu. Une variation de 10 \% des prix de sortie se traduit, pour un projet dont le terrain représente un cinquième du produit, par une variation de l'ordre de 40 à 50 \% de la valeur résiduelle ; c'est la même amplification que le \cref{ch:25} a démontrée pour la technique résiduelle du terrain (\cref{prop:sensibilite-residuelle}), et elle est la raison pour laquelle l'analyse de sensibilité de la \cref{sec:41:sensibilite} n'est pas facultative.152153\subsection{Les intrants et leur provenance}154155La méthode résiduelle exige une dizaine d'intrants, et sa crédibilité tient tout entière à leur provenance. Le \cref{tab:41:intrants} les énumère avec la source que l'ouvrage leur assigne et le chapitre qui les traite. Le prix de sortie des unités neuves est le plus important et le plus difficile : il vient de la comparaison avec des unités neuves comparables (\cref{ch:16} et \cref{ch:17}) ou d'un modèle hédonique dans lequel l'âge est fixé à zéro (\cref{ch:18}), et il doit être exprimé à la date de livraison prévue, ce qui suppose une hypothèse sur l'évolution des prix d'ici là ; la convention la plus prudente, retenue dans l'exemple, est de l'exprimer en dollars de la date d'évaluation, sans croissance, et de traiter la croissance éventuelle comme une source d'option à la \cref{sec:41:option}. Les coûts de construction viennent d'un devis, d'un barème ou de la transposition d'un coût unitaire connu (\cref{ch:21} et \cref{ch:23}) ; la contribution pour fins de parcs, du règlement municipal dans la limite de 10 \% de la valeur du site fixée par la loi \parencite[art.~117.4]{lau} ; la charge d'inclusion, s'il y a lieu, du règlement adopté en vertu de l'article 145.30.1 ; le taux du prêt de construction et la part financée, des conditions courantes des prêteurs ; la durée, de projets comparables ; la marge, de l'extraction sur des projets achevés (\cref{eq:23:extraction}) ou, à défaut, d'une hypothèse déclarée et soumise à sensibilité.156157\begin{table}[htbp]158\caption{Intrants de la méthode résiduelle de développement et leur provenance dans l'ouvrage}\label{tab:41:intrants}159\centering160\small161\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\raggedright\arraybackslash}p{40mm}YY}162\toprule163Intrant & Provenance & Chapitre \\164\midrule165Programme (nombre, taille, type des unités) & Grille des usages et des normes ; enveloppe constructible ; marché cible & \cref{ch:08}, \cref{ch:15} \\166Prix de sortie des unités & Comparaison avec des unités neuves ; modèle hédonique à âge nul ; prix par logement ou MRB pour une vente en bloc & \cref{ch:16} à \cref{ch:18}, \cref{ch:32} \\167Frais de vente $c_v$ & Courtage, frais juridiques, mise en marché (hypothèse déclarée) & \cref{ch:13} \\168Coûts directs et indirects $C$ & Devis ; barème ; coût unitaire transposé et indexé (IPCB) & \cref{ch:21} à \cref{ch:23} \\169Démolition et préparation $D$ & Soumission ; coût par mètre carré de bâtiment démoli ; décontamination s'il y a lieu & \cref{ch:23}, \cref{ch:43} \\170Prêt de construction : part, taux, durée & Conditions des prêteurs ; taux affichés ou consentis (Banque du Canada) & \cref{ch:23}, \cref{ch:31} \\171Contribution pour fins de parcs $\tau$ & Règlement municipal, plafond de 10 \% (LAU, art.~117.4) ; inclusion (art.~145.30.1) & \cref{ch:08} \\172Marge du promoteur $M$ & Extraction sur projets achevés ; sinon hypothèse déclarée ; assiette à préciser & \cref{ch:23} \\173Durée totale $T$ et taux de portage $r_L$ & Projets comparables ; coût du financement du terrain & \cref{ch:23}, \cref{ch:30} \\174\bottomrule175\end{tabularx}176\tabsource{synthèse de l'auteur.}177\end{table}178179\section{L'option réelle de redéveloppement}\label{sec:41:option}180181\subsection{Pourquoi la règle de la valeur actuelle nette ne suffit pas}182183La méthode résiduelle dit ce qu'un terrain vaut pour un promoteur qui construit \emph{maintenant}. Elle ne dit rien de ce qu'il vaut pour un propriétaire qui peut construire maintenant, dans un an ou jamais, selon ce que feront les prix. Or le développement est irréversible : une fois le bâtiment construit, le terrain ne peut plus être affecté à un autre usage sans une nouvelle démolition, et le promoteur a renoncé à profiter d'une hausse des prix qui aurait rendu un programme plus dense ou plus cher préférable. L'incertitude donne donc une valeur à l'attente, et la règle qui consiste à développer dès que la valeur résiduelle devient positive, c'est-à-dire dès que la valeur actuelle nette du projet est positive, n'est pas optimale : il faut que le projet soit suffisamment rentable pour compenser la perte de l'option d'attendre. \textcite{titman1985} a formulé ce résultat dans un modèle binomial où le prix des immeubles achevés peut monter ou descendre : il montre que l'incertitude accroît la valeur d'un terrain vacant laissé en attente et réduit la construction courante, de sorte qu'une partie des terrains vacants des villes n'est pas le signe d'un marché défaillant, mais d'une attente rationnelle. \textcite{quigg1993} a testé le modèle sur des milliers de ventes de terrains à Seattle et a trouvé que les prix des terrains incorporaient une prime d'attente d'environ 6 \% en moyenne par rapport à leur valeur de développement immédiat ; \textcite{cunningham2006} a montré, sur la même ville, que l'incertitude des prix des maisons retarde le développement des terrains vacants et en élève le prix. \textcite{munneke1996} a étudié la décision de redéveloppement des propriétés commerciales et industrielles, et \textcite{munnekeWomack2020} ont estimé la part de la valeur des terrains urbains qui revient à l'option de redéveloppement. Pour l'évaluateur, la leçon est que la valeur d'un terrain, ou d'une propriété dont le bâtiment contribue peu, peut légitimement excéder son résidu de développement immédiat, et que l'écart est la valeur d'une option.184185\subsection{Un modèle binomial à deux périodes}186187Le modèle le plus simple qui rende compte de cette valeur est l'arbre binomial, que \textcite{titman1985} a employé le premier pour les terrains et que \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} présentent comme l'outil de base de l'analyse d'un projet de développement. On considère un propriétaire dont le bien vaut $V_{\text{act}}$ dans son usage actuel et qui peut, à chaque date de décision, le redévelopper : il reçoit alors la valeur résiduelle de l'\cref{eq:41:lineaire}, $a\,\mathit{GDV}_t - b'$, et il renonce à $V_{\text{act}}$. Le gain net de l'exercice à la date $t$ est donc188\begin{equation}\label{eq:41:payoff}189\Pi_t = \max\left\{ a\,\mathit{GDV}_t - b,\ 0 \right\}, \qquad b = b' + V_{\text{act}},190\end{equation}191qui a la forme d'une option d'achat sur $a$ unités du produit de vente, de prix d'exercice $b$. La valeur du bien est $V_{\text{act}} + \Pi_0^{*}$, où $\Pi_0^{*}$ est la valeur de l'option à la date d'évaluation ; la règle de la valeur actuelle nette correspond à $\Pi_0^{*} = \Pi_0$, c'est-à-dire à l'exercice immédiat si le gain est positif et à l'abandon sinon.192193Le produit de vente suit un processus binomial : sur chaque période de durée $\Delta t$, il est multiplié par $u > 1$ avec une certaine probabilité ou par $d = 1/u$ avec la probabilité complémentaire. Le choix standard relie $u$ à la volatilité annuelle $\sigma$ du prix des unités,194\begin{equation}\label{eq:41:ud}195u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \qquad d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} ,196\end{equation}197de sorte que la variance du logarithme du produit sur une période est $\sigma^2 \Delta t$, selon la paramétrisation usuelle des arbres binomiaux (Cox, Ross et Rubinstein, 1979 ; référence vérifiée mais non reprise dans la bibliographie de l'ouvrage, voir \texttt{references/lib-ch41.bib}). La valorisation ne requiert pas la probabilité réelle de hausse, mais la \motcle{probabilité risque-neutre} $q$, c'est-à-dire la probabilité sous laquelle l'actif sous-jacent rapporte exactement le taux sans risque. L'actif sous-jacent est ici un immeuble achevé, qui procure à son détenteur un rendement de détention $y$ (le loyer net rapporté à la valeur, soit le taux de capitalisation du \cref{ch:29}) en plus de sa variation de prix ; la croissance à terme de son prix sous la mesure risque-neutre est donc $(1 + r)/(1 + y)$ par année, et198\begin{equation}\label{eq:41:q}199q = \frac{\Phi - d}{u - d}, \qquad \Phi = \left(\frac{1 + r}{1 + y}\right)^{\Delta t},200\end{equation}201où $r$ est le taux sans risque pour la période. La condition $d < \Phi < u$ assure $0 < q < 1$. Un rendement de détention supérieur au taux sans risque, ce qui est le cas des immeubles résidentiels, rend $\Phi < 1$ et $q$ faible : sous la mesure risque-neutre, le prix des unités achevées baisse en espérance, parce que leur rendement total doit égaler $r$ et que leur loyer en fournit déjà davantage. C'est ce qui rend l'attente coûteuse et l'exercice anticipé parfois optimal, comme pour une option d'achat sur une action qui verse un dividende.202203\begin{proposition}{Valeur de l'option de redéveloppement dans l'arbre binomial}{binomial}204Dans un arbre à $n$ périodes, la valeur de l'option à un nœud $(t, j)$, où $j$ est le nombre de hausses survenues, s'obtient par récurrence rétrograde :205\begin{equation}\label{eq:41:binomial}206\Pi^{*}_{n,j} = \Pi_{n,j}, \qquad \Pi^{*}_{t,j} = \max\left\{ \Pi_{t,j},\ (1 + r)^{-\Delta t}\left[ q\,\Pi^{*}_{t+1,j+1} + (1 - q)\,\Pi^{*}_{t+1,j} \right] \right\},207\end{equation}208avec $\Pi_{t,j} = \max\{a\,\mathit{GDV}_0\,u^{j} d^{\,t-j} - b, 0\}$. La valeur $\Pi^{*}_{0,0}$ est au moins égale au gain de l'exercice immédiat $\Pi_{0,0}$ et au moins égale à la valeur de l'option européenne correspondante, qui ne peut être exercée qu'à la date $n\Delta t$ ; la différence $\Pi^{*}_{0,0} - \Pi_{0,0}$ est la \motcle{valeur de l'attente}.209\end{proposition}210\begin{proof}211À chaque nœud, le propriétaire choisit entre exercer, ce qui vaut $\Pi_{t,j}$, et conserver l'option une période de plus, ce qui vaut l'espérance risque-neutre actualisée de sa valeur à la période suivante ; le maximum des deux est la valeur de l'option, et la récurrence part des nœuds terminaux où il n'y a plus d'attente possible. Comme le maximum est pris à chaque nœud, $\Pi^{*}_{0,0} \geq \Pi_{0,0}$ ; et comme l'option européenne n'a pas la faculté d'exercice intermédiaire, sa valeur, obtenue par la même récurrence sans le premier terme du maximum, est inférieure ou égale.212\end{proof}213214La \motcle{frontière d'exercice} est, à chaque date de décision, le niveau du produit de vente au-delà duquel l'exercice immédiat vaut au moins la continuation. Elle est toujours supérieure ou égale au seuil de la règle de la valeur actuelle nette, $\mathit{GDV}^{*} = b/a$, et l'écart entre les deux est la zone dans laquelle le projet est rentable mais où il vaut mieux attendre ; cet écart croît avec la volatilité et décroît avec le rendement de détention $y$, parce qu'un loyer élevé sur l'immeuble achevé rend coûteux le report de la construction. Deux périodes suffisent pour faire apparaître ces propriétés, et l'exemple de la \cref{sec:41:exemple} les chiffre ; dans la pratique, on raffine l'arbre en multipliant les périodes, et la valeur converge vers celle d'un modèle en temps continu.215216\subsection{Le seuil de développement de Capozza et Helsley}217218Le modèle en temps continu dont l'arbre binomial est l'approximation a été résolu, pour la conversion d'un terrain, par \textcite{capozzaHelsley1990}, dans un article qui étend au cas incertain la décomposition du prix du terrain urbain qu'ils avaient établie sous certitude \parencite{capozzaHelsley1989} et que le \cref{ch:05} a présentée (\cref{eq:5:capozza}). On en donne ici une version simplifiée, qui suffit à faire comprendre d'où vient la prime d'attente. Soit $R_t$ la rente annuelle que procurerait le terrain sous son nouvel usage, supposée suivre un mouvement brownien arithmétique de dérive $g$ et de volatilité $\sigma$ (en dollars par année), $R_A$ la rente certaine de l'usage actuel, $C$ le coût de conversion et $r$ le taux d'actualisation. Une fois converti, le terrain vaut l'espérance actualisée de ses rentes futures, $W(R) = R/r + g/r^2$. Tant qu'il n'est pas converti, sa valeur $V(R)$ comprend la rente de l'usage actuel et l'option de convertir, et elle satisfait l'équation de Bellman219\begin{equation}\label{eq:41:ch-ode}220r\,V(R) = R_A + g\,V'(R) + \tfrac{1}{2}\sigma^2\,V''(R),221\end{equation}222qui dit que le rendement exigé sur la valeur du terrain non converti égale la rente courante plus l'appréciation espérée de sa valeur. La solution qui reste bornée lorsque $R$ décroît est $V(R) = R_A/r + A\,e^{\alpha R}$, où $\alpha$ est la racine positive de l'équation caractéristique223\begin{equation}\label{eq:41:ch-alpha}224\tfrac{1}{2}\sigma^2 \alpha^2 + g\,\alpha - r = 0, \qquad \alpha = \frac{-g + \sqrt{g^2 + 2 r \sigma^2}}{\sigma^2} .225\end{equation}226La conversion a lieu lorsque la rente atteint un seuil $R^{*}$ déterminé par deux conditions : la continuité de la valeur, $V(R^{*}) = W(R^{*}) - C$, et la condition de raccordement lisse (\emph{smooth pasting}), $V'(R^{*}) = W'(R^{*}) = 1/r$, qui exprime que le propriétaire choisit le seuil de façon optimale. La seconde donne $A\,e^{\alpha R^{*}} = 1/(r\alpha)$ ; substituée dans la première, elle conduit à227\begin{equation}\label{eq:41:ch-seuil}228R^{*} = R_A + r\,C + \underbrace{\left( \frac{1}{\alpha} - \frac{g}{r} \right)}_{\text{prime d'irréversibilité}} .229\end{equation}230Sous certitude, $\sigma \to 0$ et $\alpha \to r/g$, de sorte que la prime s'annule et que la conversion a lieu dès que la rente du nouvel usage couvre la rente de l'usage actuel et l'intérêt sur le coût de conversion, $R^{*} = R_A + rC$ : c'est la règle de la valeur actuelle nette. Sous incertitude, $1/\alpha > g/r$ et la prime est positive ; elle croît avec $\sigma$, et elle exige que la rente du nouvel usage dépasse le seuil de certitude d'une marge qui rémunère l'option sacrifiée. \textcite{capozzaHelsley1990} montrent que le prix d'un terrain non encore converti se décompose alors en quatre termes, la valeur de l'usage actuel, le coût de conversion actualisé, la prime de croissance anticipée et la prime d'irréversibilité, et que l'incertitude retarde la conversion tout en élevant le prix des terrains en attente ; la prime d'attente de 6 \% mesurée par \textcite{quigg1993} est la contrepartie empirique de ce dernier terme. L'exemple de la \cref{sec:41:exemple} applique l'\cref{eq:41:ch-seuil} à la maison du cas 1 en interprétant $R_A$ comme la rente implicite de la maison et $R$ comme celle du triplex qui pourrait la remplacer.231232\subsection{Ce que l'évaluateur en retient}233234Les modèles d'options réelles ne sont pas des méthodes d'évaluation au sens des normes professionnelles, et leurs paramètres, la volatilité des prix, le rendement de détention, le taux sans risque, le nombre et la durée des périodes, relèvent d'hypothèses que le rapport doit déclarer. Ils ont pourtant trois usages concrets. Le premier est d'expliquer un écart : lorsque des terrains ou des propriétés à démolir se vendent au-dessus de leur résidu de développement immédiat, l'option d'attente en est une explication rationnelle, et l'évaluateur qui l'ignore conclut à tort que le marché est irrationnel ou que ses coûts sont erronés. Le deuxième est de qualifier une conclusion de PHMU : un bien dont la contribution du bâtiment est faible et dont le terrain pourrait être densifié vaut sa valeur en usage \emph{plus} une prime d'option, petite si la densification est lointaine, substantielle si elle est proche ; les ventes appariées du \cref{ch:08} ont mesuré cette prime sur un îlot rezoné, et les travaux de \textcite{clappBardosWong2012} la mesurent sur de grands échantillons. Le troisième est de guider le choix des comparables : dans un quartier où l'option est dans la monnaie pour les maisons anciennes, celles-ci se vendent comme des terrains et ne sont plus comparables aux maisons récentes du même quartier, même si leurs caractéristiques physiques sont voisines. Dans tous les cas, l'évaluateur cherche la confirmation du marché avant d'ajouter une prime calculée : l'option n'a de valeur marchande que si des acheteurs la paient.235236\section{Exemple intégral : le terrain du sujet du cas 1 sous quatre usages}\label{sec:41:exemple}237238\begin{synthetique}239Le dossier du cas 1 est synthétique : le sujet (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_sujet.json}), les 600 ventes qui alimentent le modèle hédonique (\texttt{cas1\_gatineau\_ventes.csv}, \texttt{analysis/python/traite/synth.py}, graine 20261031) et le devis par composantes (\texttt{cas1\_gatineau\_couts.csv}) sont décrits aux \cref{ch:16}, \cref{ch:18} et \cref{ch:21}. Le \textbf{zonage de l'exemple est fictif} : la zone « H-2f » et sa grille (\cref{tab:41:grille}) sont construites pour les besoins du chapitre et ne décrivent aucun règlement de la Ville de Gatineau. Les hypothèses du promoteur (démolition, frais de vente, marge, contribution pour fins de parcs, part et taux du prêt, durées), les décotes appliquées aux unités superposées et les paramètres de l'option (volatilité, rendement de détention, taux réel) sont des choix de l'auteur, énoncés dans le texte et soumis à l'analyse de sensibilité ; seuls le coût unitaire de construction (devis du cas 1 et indices IPCB réels, \cref{ch:21} et \cref{ch:23}) et le taux hypothécaire affiché (Banque du Canada, 28 octobre 2026) proviennent de sources vérifiées. Tous les chiffres de cette section sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch41.py}.240\end{synthetique}241242\begin{exemple}{Quatre usages pour un terrain de 620 m² à Hull}{cas1-phmu}243Le sujet est le cottage à étages de 1998, de \msq{165} habitables sur un terrain de \msq{620} dans le secteur de Hull, évalué au 1\ier{} septembre 2026. Le \cref{ch:20} a conclu à une valeur la plus probable de \dollars{600000} dans son usage actuel (fourchette de \dollars{575000} à \dollars{640000}), le \cref{ch:18} à une prédiction hédonique de \dollars{637953}, le \cref{ch:24} et le \cref{ch:25} à une valeur du terrain réputé vacant, pour un usage unifamilial, de \dollars{277000} (fourchette de \dollars{240000} à \dollars{285000}). On suppose désormais que le terrain est situé dans une zone fictive H-2f qui admet de un à trois logements, et l'on se demande quelle est la plus haute et meilleure utilisation du terrain réputé vacant et du bien amélioré, en confrontant quatre usages : la maison actuelle conservée (S0), une maison neuve de \msq{165} après démolition (U), un duplex de deux logements de \msq{120} (D) et un triplex de trois logements de \msq{100} (T), ces deux derniers vendus en copropriété divise. Un quadruplex (Q) est examiné pour montrer un échec au premier test.244\end{exemple}245246\subsection{Tests légal et physique}247248La grille fictive de la zone H-2f (\cref{tab:41:grille}) exige un lot d'au moins \msq{450}, une superficie de terrain d'au moins \msq{150} par logement, au plus trois logements par bâtiment, un coefficient d'occupation du sol de 0,60, trois étages au plus, une case de stationnement par logement et des marges avant, latérales et arrière de 6, 2 et 9 mètres. Par l'\cref{eq:8:logements}, la densité seule admettrait $\lfloor 620/150 \rfloor = 4$ logements, mais le plafond de la grille ramène le maximum à trois ; par l'\cref{eq:8:cos}, l'aire de plancher ne peut excéder $0{,}60 \times 620 = \msq{372}$. En retenant un rapport de 0,85 entre la superficie habitable et l'aire brute de plancher, comme au \cref{ch:23}, la maison neuve exige \msq{194} d'aire brute, le duplex \msq{282}, le triplex \msq{353} et le quadruplex \msq{400} : les trois premiers programmes sont permis, le quadruplex échoue à la fois sur le nombre de logements et sur le coefficient d'occupation du sol, et il est écarté dès le premier test. Sur le plan physique, avec une façade de 20 mètres et une profondeur de 31 mètres (hypothèses, le dossier du cas ne les précisant pas), l'empreinte constructible après marges est de $16 \times 16 = \msq{256}$ ; deux étages suffisent pour chacun des programmes permis, et trois cases de stationnement de 2,6 mètres se logent en façade. Le sol et les services sont réputés sans contrainte, le terrain étant desservi et bâti depuis 1998. Les trois usages U, D et T franchissent donc les deux premiers tests ; S0 les franchit de plein droit.249250\begin{table}[htbp]251\caption{Grille des usages et des normes de la zone fictive H-2f et vérification des programmes}\label{tab:41:grille}252\centering253\small254\begin{tabular}{lcS[table-format=3.0]S[table-format=3.0]S[table-format=3.0]S[table-format=3.0]}255\toprule256Norme & Zone H-2f & {U} & {D} & {T} & {Q} \\257\midrule258Nombre de logements & 1 à 3 & 1 & 2 & 3 & 4 \\259Superficie habitable totale (m\textsuperscript{2}) & --- & 165 & 240 & 300 & 340 \\260Aire brute de plancher (m\textsuperscript{2}, habitable $/\,0{,}85$) & $\leq 372$ (COS 0,60) & 194 & 282 & 353 & 400 \\261Terrain par logement (m\textsuperscript{2}) & $\geq 150$ & 620 & 310 & 207 & 155 \\262Étages requis (empreinte max. 256 m\textsuperscript{2}) & $\leq 3$ & 1 & 2 & 2 & 2 \\263Cases de stationnement & 1 par logement & 1 & 2 & 3 & 4 \\264\midrule265Légalement permis & & {oui} & {oui} & {oui} & {non} \\266\bottomrule267\end{tabular}268\tabsource{\synth{grille fictive construite pour l'exemple ; \texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, dictionnaires \texttt{GRILLE} et \texttt{PROGRAMMES}, fonctions \texttt{test\_legal} et \texttt{test\_physique}} ; lot minimal \msq{450}, marges 6/2/9 m, hauteur 3 étages.}269\end{table}270271\subsection{Prix de sortie et coûts}272273Les prix de sortie des unités neuves sont tirés du modèle hédonique du cas 1 (\cref{ch:18}), dans lequel l'âge est fixé à zéro et la superficie habitable, le terrain par unité, le garage et le sous-sol sont ceux du programme ; la correction de retransformation de Duan est appliquée comme à l'\cref{eq:18:duan}. Le modèle est estimé sur des maisons isolées : pour une unité superposée ou contiguë vendue en copropriété divise, on applique une décote déclarée de 10 \% pour le duplex et de 15 \% pour le triplex, qui traduit la perte d'intimité, la mitoyenneté et les charges de copropriété ; ces décotes sont des hypothèses pédagogiques, et l'analyse de sensibilité fait varier les prix de sortie de $\pm 15$ \%. Le \cref{tab:41:prix} donne le résultat : une maison neuve de \msq{165} vaudrait \dollars{720727} ; une unité de duplex de \msq{120} sur \msq{310} de terrain, sans garage, \dollars{495654} après décote (\dollars{550726} pour la maison isolée équivalente) ; une unité de triplex de \msq{100} sur \msq{207}, \dollars{408487} (\dollars{480573} avant décote). Les produits de vente sont de \dollars{720727}, \dollars{991307} et \dollars{1225460} pour U, D et T. Ces prix sont ceux du marché synthétique, où la maison du sujet est prédite à \dollars{637953} ; ils ne décrivent pas le marché réel de Gatineau, dont la médiane des unifamiliales était de \dollars{475000} à Hull et celle des copropriétés de \dollars{297450} pour la RMR au troisième trimestre de 2026 \parencite{apciqgatineaut32026}. L'ordre de grandeur relatif est toutefois plausible : des unités neuves de bonne taille se vendent au-dessus de la médiane d'un parc existant qui comprend beaucoup de petites unités anciennes.274275\begin{table}[htbp]276\caption{Programmes, prix de sortie et coûts de construction des quatre usages (dollars du T3 2026, données synthétiques)}\label{tab:41:prix}277\centering278\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}279\begin{tabular}{>{\raggedright\arraybackslash}p{37mm}S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=7.0]S[table-format=4.0]S[table-format=6.0]}280\toprule281Usage & {Maison isolée (\$)} & {Unité (\$)} & {$\mathit{GDV}$ (\$)} & {$D+I$ (\$/m\textsuperscript{2})} & {$C$ (\$)} \\282\midrule283S0 Maison actuelle (prédiction hédonique) & 637953 & {---} & {---} & {---} & {---} \\284U Maison neuve, 1 $\times$ 165 m\textsuperscript{2} & 720727 & 720727 & 720727 & 2190 & 361425 \\285D Duplex, 2 $\times$ 120 m\textsuperscript{2}, décote 10 \% & 550726 & 495654 & 991307 & 2228 & 534734 \\286T Triplex, 3 $\times$ 100 m\textsuperscript{2}, décote 15 \% & 480573 & 408487 & 1225460 & 2228 & 668417 \\287Q Quadruplex, 4 $\times$ 85 m\textsuperscript{2}, décote 20 \% (non permis) & 428558 & 342846 & 1371384 & 2228 & 757540 \\288\bottomrule289\end{tabular}290\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonctions \texttt{produit\_vente} et \texttt{couts\_unitaires} ; modèle hédonique \texttt{traite.cas1.hedonique}, âge 0 ; devis du cas 1 (\texttt{ch21\_cout\_neuf.py}) ; IPCB Montréal T3 2026 (Statistique Canada, tableau 18-10-0289-01, consulté le 31 octobre 2026)}.}291\end{table}292293Les coûts de construction reprennent le devis du cas 1 : coûts directs de \dollars{298826} et indirects de \dollars{62599} pour \msq{165} habitables (\cref{tab:21:devis}), soit \parmsq{2190} de directs et indirects, hors incitatif. Pour les plex, ce coût unitaire est multiplié par le rapport des indices IPCB montréalais de l'immeuble d'appartements de moins de cinq étages et de la maison individuelle au troisième trimestre de 2026, $118{,}5/116{,}5 = 1{,}0172$, comme le \cref{ch:23} l'a fait pour le douze-logements du cas 3 (\cref{tab:23:multi}), d'où \parmsq{2228} \parencite{statcanIPCB}. L'incitatif de 10 \% du \cref{ch:21} n'est pas ajouté ici : la rémunération du promoteur est traitée séparément, comme marge, et l'ajouter au coût reviendrait à la compter deux fois. La démolition de la maison et la préparation du site sont estimées à \dollars{30000} (hypothèse, identique à celle du \cref{ch:08}) ; le prêt de construction finance 75 \% des coûts et de la démolition au taux hypothécaire affiché à cinq ans de 6,19 \% au 28 octobre 2026 \parencite{bdcvalet}, la mise de fonds couvrant les premiers déboursés ; la durée totale, chantier et vente, est de 12, 15 et 18 mois pour U, D et T ; le terrain est porté au même taux de 6,19 \%.294295\subsection{Valeurs résiduelles sous deux conventions d'acheteur}296297Le \cref{tab:41:residuel} déroule l'\cref{eq:41:residuel} pour les trois usages permis sous la convention du \motcle{promoteur-marchand} : frais de vente de 4 \% du produit, marge de 15 \% du produit, contribution pour fins de parcs de 10 \% de la valeur du site, intérêts intérimaires calculés sur le tirage uniforme du prêt, résidu actualisé sur la durée totale. Pour le triplex, le produit de \dollars{1225460} laisse, après \dollars{49018} de frais de vente, \dollars{668417} de coûts, \dollars{30000} de démolition, \dollars{18239} d'intérêts intérimaires et \dollars{183819} de marge, un reste de \dollars{275967} à la livraison ; divisé par $1{,}10 \times 1{,}0619^{1{,}5} = 1{,}2037$, il donne une valeur résiduelle de \dollars{229265}, dont la municipalité prélèverait \dollars{22927} à titre de contribution pour fins de parcs. Le duplex laisse \dollars{190541} et la maison neuve \dollars{158849}. La version statique, sans actualisation, aurait donné \dollars{250879} pour le triplex : le temps coûte ici 9 \% du résidu, et davantage pour un projet plus long.298299\begin{table}[htbp]300\caption{Méthode résiduelle de développement pour les trois usages permis, convention du promoteur-marchand (dollars du T3 2026, données synthétiques)}\label{tab:41:residuel}301\centering302\footnotesize303\begin{tabular}{>{\raggedright\arraybackslash}p{66mm}S[table-format=-7.0]S[table-format=-7.0]S[table-format=-7.0]}304\toprule305Poste & {U Maison neuve} & {D Duplex} & {T Triplex} \\306\midrule307Produit de vente $\mathit{GDV}$ & 720727 & 991307 & 1225460 \\308Frais de vente (4 \% du produit) & -28829 & -39652 & -49018 \\309Coûts directs et indirects $C$ & -361425 & -534734 & -668417 \\310Démolition et préparation du site $D$ & -30000 & -30000 & -30000 \\311Intérêts intérimaires $F$ (prêt de 75 \% à 6,19 \%, tirage uniforme) & -6814 & -12290 & -18239 \\312Marge du promoteur $M$ (15 \% du produit) & -108109 & -148696 & -183819 \\313\midrule314Reste à la livraison & 185550 & 225936 & 275967 \\315Durée totale $T$ (années) & {1,00} & {1,25} & {1,50} \\316Facteur $(1 + \tau)(1 + r_L)^{T}$ & {1,1681} & {1,1858} & {1,2037} \\317\midrule318Valeur résiduelle du terrain $V_L$ & 158849 & 190541 & 229265 \\319\quad dont contribution pour fins de parcs (10 \%) & 15885 & 19054 & 22927 \\320Valeur résiduelle statique ($r_L = 0$) & 168682 & 205396 & 250879 \\321\midrule322Convention « construction sur commande » (marge 10 \% des coûts, ni frais de vente ni parcs) & 266187 & 330792 & 399479 \\323\bottomrule324\end{tabular}325\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{residuel\_developpement} ; intérêts par \texttt{traite.finance.interets\_intermediaires}}.}326\end{table}327328La dernière ligne du \cref{tab:41:residuel} applique la convention de la \motcle{construction sur commande}, celle du \cref{ch:21} : l'acheteur fait bâtir pour lui-même, ne vend rien, ne paie ni frais de vente ni contribution pour fins de parcs, et l'entrepreneur qui coordonne le chantier reçoit un incitatif de 10 \% des coûts de construction, de démolition et de financement. Sous cette convention, le résidu de la maison neuve est de \dollars{266187}, celui du duplex de \dollars{330792} et celui du triplex de \dollars{399479}. Ces trois derniers chiffres n'ont pas le même statut. Celui de la maison neuve décrit un acheteur réel et fréquent dans un quartier établi, le ménage qui achète un lot ou une maison à démolir pour y faire bâtir sa résidence ; et il est cohérent avec le prix des terrains unifamiliaux sur le marché synthétique, \dollars{277000}, dont il s'écarte de 4 \%. Ceux du duplex et du triplex supposent qu'un ménage fasse bâtir trois logements sans les vendre et sans exiger de rémunération pour le risque de les louer ou de les revendre ; ils ne décrivent pas un acheteur probable et ne servent qu'à montrer ce que la convention de marge fait au résultat. La comparaison des deux conventions enseigne que la valeur résiduelle n'est pas un nombre, mais une fonction de l'acheteur que l'on suppose.329330Un troisième point de repère complète le tableau. Si le triplex, au lieu d'être vendu à la pièce en copropriété divise, était vendu en bloc à un investisseur au prix par logement des triplex existants du cas 2, \dollars{281000} à Limoilou (\texttt{traite.cas2}, 127 ventes de plex de deux et trois logements, \cref{ch:32}), le produit ne serait que de \dollars{843000} et le reste à la livraison serait négatif, de $-\dollars{33826}$ : le triplex locatif échouerait au test de faisabilité financière. La vente à la pièce est donc, dans cet exemple, la seule voie par laquelle la densification est faisable, ce qui rejoint une observation courante des marchés québécois où les petits plex neufs se vendent en copropriété divise plutôt qu'en bloc ; le \cref{ch:42} traite de l'écart entre la valeur en bloc et la valeur à la pièce.331332\subsection{Conclusions sur la plus haute et meilleure utilisation}333334\emph{Terrain réputé vacant.} Les trois usages permis et possibles laissent un résidu positif et sont donc financièrement faisables au sens strict. Pour désigner le plus productif, chaque usage est évalué avec la marge de son acheteur type : la maison neuve avec la convention de la construction sur commande (\dollars{266187}), le duplex et le triplex avec celle du promoteur-marchand (\dollars{190541} et \dollars{229265}). La maison neuve l'emporte, et la conclusion est corroborée par deux faits : le prix des terrains unifamiliaux sur le marché, \dollars{277000}, est supérieur à ce qu'un promoteur pourrait payer pour y bâtir un plex, ce qui signifie que les promoteurs sont systématiquement surenchéris par les ménages ; et le voisinage est composé de maisons, de sorte qu'un triplex y serait l'usage non conforme. La plus haute et meilleure utilisation du terrain réputé vacant est l'habitation unifamiliale, et la valeur du terrain de \dollars{277000} retenue au \cref{ch:25} est cohérente avec cette conclusion. L'écart de \dollars{10813} entre le prix du marché et le résidu de la maison neuve, soit 4 \%, est de l'ordre de la prime d'attente que \textcite{quigg1993} mesurait, et il peut se lire comme la valeur, pour l'acheteur d'un terrain, de la possibilité de bâtir plus tard ou plus grand ; il peut aussi se lire comme une marge d'entrepreneur légèrement inférieure à 10 \%. On remarquera que, du point de vue d'un promoteur seul, le classement serait inversé : le triplex laisse le plus grand résidu, le duplex le suivant et la maison le plus faible, parce que la densité amortit la démolition et le terrain sur plus de plancher. C'est le marché des acheteurs, non le calcul du promoteur, qui tranche.335336\emph{Bien amélioré.} La valeur de la maison dans son usage actuel, \dollars{600000}, excède de loin la meilleure valeur résiduelle du terrain, démolition comprise, quelle que soit la convention. Par l'\cref{eq:41:contribution}, la contribution du bâtiment est de $600000 - 277000 = \dollars{323000}$, très positive : la maison de 28 ans n'est pas un obstacle à l'usage du terrain, elle en est la meilleure utilisation, et l'\cref{eq:41:ameliore} conclut au maintien de l'usage actuel. Les primes d'option immédiates $\max\{0, V_L - V_{\text{act}}\}$ sont nulles pour les trois usages. Pour que la démolition en faveur du triplex devienne rentable, il faudrait, par l'\cref{eq:41:seuil}, un produit de vente de \dollars{1776390}, soit une hausse de 45,0 \% du prix des unités neuves à coûts constants, ou une baisse équivalente de la valeur de la maison ; pour que le triplex devienne simplement compétitif avec le prix des terrains unifamiliaux, une hausse de 5,8 \% suffirait. La \cref{fig:41:densite} résume ces résultats : à prix de base, la valeur résiduelle croît avec la densité, mais elle reste sous le prix du marché des terrains pour tous les usages de promoteur ; une hausse de 15 \% des prix placerait le duplex et le triplex au-dessus de ce prix, et c'est alors seulement que la densification deviendrait la PHMU du terrain vacant.337338\begin{figure}[htbp]339\centering340\includegraphics[width=\textwidth]{ch41/ch41-fig-residuel-densite.pdf}341\caption{Valeur résiduelle du terrain de \msq{620} selon le nombre de logements du programme, convention du promoteur-marchand, pour trois niveaux de prix des unités neuves. À prix de base, aucun usage de promoteur n'atteint le prix des terrains unifamiliaux par comparaison (tireté), alors que la maison neuve bâtie sur commande (carré) s'en approche ; une hausse de 15 \% des prix porterait les plex au-dessus. Le quadruplex (grisé) échoue au test légal.}\label{fig:41:densite}342\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch41\_figures.py}, fonction \texttt{courbe\_densite} ; graine 20261031}.}343\end{figure}344345\subsection{La valeur de l'attente : arbre binomial à deux périodes}346347La conclusion du bien amélioré est nette, mais elle est datée : les prix des unités neuves bougent, et la maison vieillit. L'option de redéveloppement a-t-elle une valeur aujourd'hui ? L'arbre binomial de la \cref{sec:41:option} répond avec les paramètres suivants, tous déclarés : deux périodes de cinq ans, soit un horizon de décision de dix ans ; une volatilité du prix réel des unités neuves de 10 \% par année ; un taux sans risque réel de 2 \% ; un rendement de détention de 4,5 \%, qui est l'ordre de grandeur des taux de capitalisation des immeubles résidentiels de faible hauteur publiés pour Montréal au troisième trimestre de 2026 et sert ici d'hypothèse pour un triplex neuf (\cref{ch:29}). Tous les montants sont en dollars constants de 2026 ; les coûts et la valeur de la maison sont supposés stables en termes réels sur l'horizon, ce qui est une simplification que la sensibilité relâche en faisant varier la valeur en usage. Par l'\cref{eq:41:ud}, $u = e^{0{,}10\sqrt{5}} = 1{,}2506$ et $d = 0{,}7996$ ; par l'\cref{eq:41:q}, $\Phi = (1{,}02/1{,}045)^5 = 0{,}8860$ et $q = (0{,}8860 - 0{,}7996)/(1{,}2506 - 0{,}7996) = 0{,}1915$ ; le facteur d'actualisation par période est $1{,}02^{-5} = 0{,}9057$. Les coefficients de l'\cref{eq:41:payoff} pour le triplex sous la convention du promoteur sont $a = 0{,}6729$ et $b = \dollars{1195378}$, de sorte que le seuil de la règle de la valeur actuelle nette est $b/a = \dollars{1776390}$, le produit de seuil déjà trouvé.348349\begin{figure}[htbp]350\centering351\begin{tikzpicture}[every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}, n/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, align=center, minimum width=31mm, minimum height=11mm, inner xsep=1.5pt}, m/.style={draw=brandGreen, fill=green!4!white, rounded corners=1pt, align=center, minimum width=31mm, minimum height=11mm, inner xsep=1.5pt}, fl/.style={-{Stealth[length=1.8mm]}, brandGray, thick}]352\node[n] (a) at (0,0) {$t = 0$ : $\mathit{GDV}_0 = 1\,225\,460$\\exercice 0 ; continuation 2 837\\\textbf{option : 2 837 \$}};353\node[n] (b) at (4.7,1.9) {$t = 1$, hausse : 1 532 535\\exercice 0 ; continuation 16 357\\valeur 16 357 \$ (attendre)};354\node[n] (c) at (4.7,-1.9) {$t = 1$, baisse : 979 914\\exercice 0 ; continuation 0\\valeur 0 \$};355\node[m] (d) at (9.4,3.4) {$t = 2$, deux hausses : 1 916 556\\$0{,}6729 \times 1\,916\,556 - 1\,195\,378$\\\textbf{exercice : 94 322 \$}};356\node[n] (e) at (9.4,0) {$t = 2$, une hausse : 1 225 460\\exercice 0 \$};357\node[n] (f) at (9.4,-3.4) {$t = 2$, deux baisses : 783 568\\exercice 0 \$};358\draw[fl] (a) -- node[above, sloped]{$q = 0{,}1915$} (b); \draw[fl] (a) -- node[below, sloped]{$1 - q = 0{,}8085$} (c);359\draw[fl] (b) -- node[above, sloped]{$q$} (d); \draw[fl] (b) -- node[below, sloped]{$1-q$} (e);360\draw[fl] (c) -- node[above, sloped]{$q$} (e); \draw[fl] (c) -- node[below, sloped]{$1-q$} (f);361\end{tikzpicture}362\caption{L'arbre binomial à deux périodes de cinq ans pour l'option de redéveloppement en triplex du terrain du cas 1 ($u = 1{,}2506$, $d = 0{,}7996$, facteur d'actualisation 0,9057 par période). Un seul nœud terminal est dans la monnaie ; la valeur de l'option à la date d'évaluation est $0{,}1915^2 \times 0{,}9057^2 \times 94\,322 = 2\,837$ \$, soit 0,47 \% de la valeur en usage.}\label{fig:41:binomial}363\figsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{option\_redeveloppement}}.}364\end{figure}365366La \cref{fig:41:binomial} déroule l'arbre. Après deux hausses, le produit atteint \dollars{1916556} et l'exercice rapporte $0{,}6729 \times 1916556 - 1195378 = \dollars{94322}$ ; dans les deux autres états terminaux, \dollars{1225460} et \dollars{783568}, le produit reste sous le seuil et l'option expire sans valeur. Au nœud de hausse de la première période, le produit de \dollars{1532535} est encore sous le seuil de \dollars{1776390}, l'exercice immédiat ne rapporte rien, et la continuation vaut $0{,}9057 \times 0{,}1915 \times 94322 = \dollars{16357}$ ; au nœud de baisse, la continuation est nulle. À la date d'évaluation, l'option vaut $0{,}9057 \times 0{,}1915 \times 16357 = \dollars{2837}$, soit 0,47 \% de la valeur en usage. La valeur du bien amélioré, option comprise, est donc de \dollars{602837} plutôt que de \dollars{600000} ; l'arrondi au \dollars{5000} de la conclusion du \cref{ch:20} l'absorbe entièrement. Les options américaine et européenne coïncident ici parce que l'exercice anticipé n'est jamais optimal : la frontière d'exercice à la première date de décision est à \dollars{1874959}, au-dessus du seuil de la valeur actuelle nette, et le nœud de hausse en est loin. Le résultat chiffre ce que l'intuition suggérait : pour une maison de 28 ans en bon état dont le bâtiment représente plus de la moitié de la valeur, l'option de redéveloppement existe, mais elle est profondément hors de la monnaie et ne pèse presque rien. Le \cref{ch:08} avait trouvé, pour une maison de 1958 de Val-Fictif dont le terrain rezoné valait plus que la maison, une prime de 22,7 \% ; les deux résultats encadrent la réalité des quartiers en densification, où la prime est concentrée sur les bâtiments les plus anciens et les plus petits, conformément aux mesures de \textcite{clappBardosWong2012} et de \textcite{dyeMcmillen2007}.367368\subsection{Le seuil de Capozza et Helsley appliqué au sujet}369370L'\cref{eq:41:ch-seuil} offre une lecture complémentaire en termes de rentes. En interprétant la rente de l'usage actuel comme le rendement de détention de la maison, $R_A = 0{,}045 \times 600000 = \dollars{27000}$ par année, la rente du triplex comme $R_T = 0{,}045 \times 1225460 = \dollars{55146}$ par année, le coût de conversion comme la somme des coûts, de la démolition et des intérêts, $C = \dollars{716656}$, le taux comme $r = 4{,}5$ \%, la dérive comme 1 \% de la rente du triplex par année ($g = \dollars{551}$) et la volatilité comme 10 \% de cette rente ($\sigma = \dollars{5515}$ par année), on obtient $\alpha = 3{,}92 \times 10^{-5}$, un seuil de certitude $R_A + rC = \dollars{59250}$ et une prime d'irréversibilité $1/\alpha - g/r = \dollars{13249}$, d'où $R^{*} = \dollars{72498}$. Sous certitude, la conversion exigerait que la rente du triplex dépasse de 7,4 \% son niveau actuel ; sous incertitude, de 31,5 \%. Le seuil de certitude est plus bas que celui de la méthode résiduelle (une hausse de 45 \% du produit) parce que le modèle de Capozza et Helsley ne compte ni frais de vente, ni marge de promoteur, ni contribution pour fins de parcs, ni délai de construction : il décrit un propriétaire qui convertit lui-même, sans friction, et il est en cela le pendant en temps continu de la convention de la construction sur commande. Ce que le modèle ajoute, et que la méthode résiduelle ne peut pas donner, est la mesure de l'attente : l'incertitude relève le seuil de conversion d'un quart, et elle le ferait davantage encore si la volatilité était plus forte. L'\cref{ex:41:6} reprend le calcul avec d'autres paramètres.371372\section{Sensibilité : ce qui pèse le plus}\label{sec:41:sensibilite}373374Les conclusions de la \cref{sec:41:exemple} reposent sur des hypothèses que l'évaluateur fixe par jugement. Le \cref{tab:41:sensibilite} fait varier une à une les principales autour du cas de base du triplex sous la convention du promoteur, dont la valeur résiduelle est de \dollars{229265}. Le prix des unités domine : une variation de 15 \% fait passer le résidu de \dollars{105569} à \dollars{352962}, soit de $-54$ à $+54$ \%, conformément à l'\cref{eq:41:levier}, dont l'élasticité vaut ici $1 + b/V_L = 3{,}6$. Le coût de construction vient ensuite, avec une variation de $\pm 10$ \% qui déplace le résidu de $\pm 25$ \% ; puis la marge, dont le passage de 10 à 20 \% du produit retranche \dollars{101807}. Le délai, le taux et les frais de vente pèsent moins, mais ils ne sont pas négligeables : six mois de plus coûtent \dollars{11683}, et deux points de frais de vente \dollars{20361}. La contribution pour fins de parcs, lorsqu'elle est exigible, retranche exactement $\tau/(1+\tau) = 9{,}1$ \% du résidu hors contribution. La \cref{fig:41:surface} généralise le tableau en représentant la valeur résiduelle sur le plan des prix et des coûts : les isovaleurs sont des droites, parce que le résidu est linéaire dans l'un et l'autre ; la droite du prix des terrains unifamiliaux passe à 6 \% au-dessus du cas de base dans la direction des prix et à 7 \% au-dessous dans celle des coûts, et la droite de la démolition rentable, à 45 \% et $-80$ \% respectivement, est hors de portée de toute variation plausible des coûts seuls.375376\begin{table}[htbp]377\caption{Sensibilité de la valeur résiduelle du triplex (convention du promoteur, cas de base \dollars{229265}) à chaque hypothèse, les autres étant maintenues}\label{tab:41:sensibilite}378\centering379\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}380\begin{tabular}{llS[table-format=6.0]lS[table-format=6.0]S[table-format=-3.0]}381\toprule382Hypothèse & Variante basse & {$V_L$ (\$)} & Variante haute & {$V_L$ (\$)} & {Étendue (\%)} \\383\midrule384Prix des unités neuves & $-15$ \% & 105569 & $+15$ \% & 352962 & 108 \\385Coût de construction & $-10$ \% & 286246 & $+10$ \% & 172285 & 50 \\386Marge du promoteur & 10 \% du produit & 280169 & 20 \% du produit & 178362 & 44 \\387Frais de vente & 2 \% & 249627 & 6 \% & 208904 & 18 \\388Contribution pour fins de parcs & 0 \% & 252192 & 10 \% & 229265 & 10 \\389Durée totale & 12 mois & 241459 & 24 mois & 217582 & 10 \\390Taux du prêt et du portage & 5,00 \% & 236137 & 7,50 \% & 221939 & 6 \\391\bottomrule392\end{tabular}393\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{sensibilite\_triplex}} ; étendue = (haute $-$ basse)/cas de base en valeur absolue.}394\end{table}395396\begin{figure}[htbp]397\centering398\includegraphics[width=\textwidth]{ch41/ch41-fig-surface-prix-cout.pdf}399\caption{Valeur résiduelle du terrain pour le triplex (convention du promoteur) selon la variation du prix des unités neuves et du coût de construction. Les isovaleurs sont des droites ; celle du prix des terrains unifamiliaux par comparaison (tireté) est proche du cas de base, celle de la démolition rentable (trait plein, $V_L = \dollars{600000}$) exige une hausse des prix d'environ 45 \% à coûts constants.}\label{fig:41:surface}400\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch41\_figures.py}, fonction \texttt{surface\_prix\_cout}}.}401\end{figure}402403La valeur de l'option est, elle, gouvernée par la volatilité et par la distance à la frontière. Le \cref{tab:41:sens-option} croise la volatilité du prix des unités et la valeur de la maison en usage, celle-ci étant abaissée à \dollars{450000} et \dollars{300000} pour représenter un bâtiment plus ancien ou plus déprécié, le terrain restant le même. À 5 \% de volatilité, l'option ne vaut rien dans les trois cas : aucun état de l'arbre n'atteint le seuil. À 10 \%, elle vaut \dollars{2837} pour la maison du sujet, \dollars{7348} pour une maison de \dollars{450000} et \dollars{23568} pour une maison de \dollars{300000}. À 20 \%, les primes montent à \dollars{47939}, \dollars{59015} et \dollars{95247}, soit 8, 13 et 32 \% des valeurs en usage respectives. La \cref{fig:41:frontiere} représente ces courbes et la frontière d'exercice à la première date de décision : au-dessous de 6 \% de volatilité, la frontière se confond avec le seuil de la valeur actuelle nette, parce que le rendement de détention perdu en attendant l'emporte sur toute valeur d'attente ; au-delà, elle s'en écarte de plus en plus, et à 20 \% de volatilité il faudrait que le produit dépasse le seuil de la valeur actuelle nette d'un cinquième pour que l'exercice immédiat soit préférable à l'attente. Pour l'évaluateur, deux conséquences. La volatilité est un paramètre qu'il ne peut pas fixer arbitrairement : elle se mesure sur les indices de prix (\cref{ch:35}) et, pour des unités neuves, elle est vraisemblablement de l'ordre de 5 à 15 \% par année en termes réels, ce qui place la prime du sujet entre zéro et quelques dizaines de milliers de dollars. Et la prime n'a de pertinence que pour les biens dont la contribution du bâtiment est faible : pour la maison du sujet, elle est absorbée par l'arrondi de la conclusion ; pour une maison de \dollars{300000} sur le même terrain, elle serait une composante de la valeur que l'évaluateur devrait expliquer et, si des ventes de démolition dans le secteur la confirment, retenir.404405\begin{table}[htbp]406\caption{Prime de l'option de redéveloppement en triplex (\$, arbre à deux périodes de cinq ans) selon la volatilité annuelle du prix des unités et la valeur de la maison en usage}\label{tab:41:sens-option}407\centering408\small409\begin{tabular}{S[table-format=6.0]S[table-format=1.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=6.0]}410\toprule411{Valeur en usage (\$)} & {$\sigma = 5$ \%} & {$\sigma = 10$ \%} & {$\sigma = 15$ \%} & {$\sigma = 20$ \%} & {$\sigma = 25$ \%} \\412\midrule413600000 & 0 & 2837 & 21420 & 47939 & 77556 \\414450000 & 0 & 7348 & 29116 & 59015 & 95946 \\415300000 & 0 & 23568 & 58416 & 95247 & 132208 \\416\bottomrule417\end{tabular}418\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{option\_redeveloppement}} ; $r = 2$ \%, $y = 4{,}5$ \%, coûts et produit du triplex du \cref{tab:41:residuel}.}419\end{table}420421\begin{figure}[htbp]422\centering423\includegraphics[width=\textwidth]{ch41/ch41-fig-frontiere-option.pdf}424\caption{(a) Prime de l'option de redéveloppement en triplex selon la volatilité du prix des unités, pour trois valeurs de la maison en usage : la prime croît avec la volatilité et décroît avec la contribution du bâtiment. (b) Frontière d'exercice au premier nœud de décision, rapportée au produit de vente actuel, et seuil de la règle de la valeur actuelle nette : la zone entre les deux est celle où le projet est rentable mais où attendre vaut davantage.}\label{fig:41:frontiere}425\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch41\_figures.py}, fonction \texttt{fig\_frontiere}}.}426\end{figure}427428\begin{quebec}[Le cadre québécois de l'analyse de développement]429Les contraintes légales qui entrent dans la méthode résiduelle et dans le premier test de la PHMU sont, pour l'essentiel, celles du \cref{ch:08}, et l'évaluateur les vérifie à la date d'évaluation dans leur version en vigueur. La contribution pour fins de parcs ne peut excéder 10 \% de la superficie ou de la valeur du site \parencite[art.~117.4]{lau}, et les articles 117.1 à 117.4 ont été réécrits par la Loi modifiant la Loi sur l'aménagement et l'urbanisme et d'autres dispositions, sanctionnée le 1\ier{} juin 2023 \parencite{loi2023c12} ; la valeur du site qui sert d'assiette relève elle-même de l'évaluateur agréé et peut être contestée, comme l'arrêt \emph{Ville de Sainte-Julie c. Investissements Laroda inc.} de 2025 l'a rappelé pour une cession excédentaire \parencite{laroda2025}. Un règlement d'inclusion peut assujettir le permis à une entente sur le logement abordable, social ou familial \parencite[art.~145.30.1]{lau}, dont la charge se transmet au terrain. La densité ne peut être obtenue par dérogation mineure, qui exclut l'usage et la densité d'occupation du sol \parencite[art.~145.1]{lau}, mais seulement par un projet particulier \parencite[art.~145.36]{lau} ou une modification du règlement, avec la probabilité et le délai que l'\cref{eq:8:esperance} pondère. En zone agricole, aucun usage autre que l'agriculture n'est permis sans l'autorisation de la Commission de protection du territoire agricole \parencite[art.~26]{lptaa}. Le changement d'utilisation d'un terrain inscrit comme contaminé est subordonné à l'approbation d'un plan de réhabilitation \parencite[art.~31.53 et 31.54]{lqe}, et les coûts de décontamination entrent dans la démolition et la préparation du site ; la construction neuve d'une résidence est interdite dans les classes d'exposition très élevée, élevée et modérée du cadre des zones inondables en vigueur depuis le 1\ier{} mars 2026 (\cref{ch:43}). Enfin, pour les coûts, le Québec dispose de l'IPCB de Statistique Canada pour Montréal \parencite{statcanIPCB} et des conventions collectives de la construction \parencite{ccqSalaires}, mais d'aucun barème public de coût multilogement : la transposition du devis unifamilial par le ratio des indices, employée ici comme au \cref{ch:23}, est un pis-aller déclaré. Textes à jour au 15 octobre 2026, consultés le 31 octobre 2026.430\end{quebec}431432\begin{erreurs}433\begin{itemize}434\item Appliquer les quatre tests dans le désordre, ou omettre les deux premiers : chiffrer la faisabilité d'un usage que la grille n'autorise pas, ou que le terrain ne peut physiquement recevoir, produit une valeur résiduelle sans objet.435\item Confondre la PHMU du terrain réputé vacant et celle du bien amélioré : conclure à la démolition parce que le terrain nu vaudrait davantage sous un autre usage, sans vérifier que cette valeur, nette de la démolition, excède la valeur du bien dans son usage actuel (\cref{eq:41:ameliore}).436\item Comparer des valeurs résiduelles calculées avec des marges incohérentes avec l'acheteur type de chaque usage, ou appliquer à une maison bâtie sur commande la marge d'un promoteur-marchand, et inversement.437\item Compter le risque deux fois, dans une marge pleine et dans un taux d'actualisation « de risque » ; ou compter l'incitatif de l'entrepreneur dans le coût neuf \emph{et} une marge de promoteur dans le résidu.438\item Oublier la contribution pour fins de parcs, la charge d'inclusion, les frais de vente ou les intérêts intérimaires, qui sont chacun de l'ordre de 2 à 10 \% du produit et dont l'omission gonfle le résidu d'autant, amplifiée par l'effet de levier de l'\cref{eq:41:levier}.439\item Exprimer les prix de sortie à une date de livraison future avec une croissance anticipée tout en actualisant le résidu : la croissance est une source d'option, non un intrant certain.440\item Ajouter une prime d'option calculée à la valeur d'un bien sans que des ventes du marché la confirment, ou, à l'inverse, évaluer une maison ancienne dans un quartier en densification par comparaison avec des maisons récentes, en ignorant que ses comparables sont des terrains.441\end{itemize}442\end{erreurs}443444\begin{limites}445Les modèles de ce chapitre sont des modèles d'évaluation et d'économie urbaine, non des règles de droit ni des exigences des normes professionnelles ; la définition de la PHMU et l'ordre des quatre tests suivent la pratique nord-américaine telle que la codifie l'Appraisal Institute, et le lecteur consultera les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ et les normes internationales pour les exigences formelles de contenu du rapport (\cref{ch:10}). Le cadre juridique est décrit d'après les lois à jour au 15 octobre 2026, non d'après les règlements municipaux, qui varient et que l'évaluateur doit lire pour chaque mandat ; le zonage de l'exemple est fictif. Les résultats numériques de la \cref{sec:41:exemple} proviennent d'un dossier synthétique et d'hypothèses déclarées : les prix de sortie des unités neuves reposent sur un modèle hédonique estimé sur des maisons isolées et sur des décotes de copropriété qui ne sont pas des mesures ; les coûts des plex sont une transposition du devis unifamilial par le ratio des indices IPCB, faute de barème multilogement public ; la marge de 15 \%, les frais de vente de 4 \%, la démolition de \dollars{30000}, les durées, la part financée et le taux de portage sont des choix de l'auteur ; aucun de ces chiffres ne décrit le marché de Gatineau et aucun ne doit servir de référence. Le modèle binomial suppose une volatilité, un rendement de détention et un taux réel constants, des coûts et une valeur en usage stables en termes réels, et deux dates de décision seulement ; le seuil de Capozza et Helsley suppose une rente brownienne arithmétique et un propriétaire sans friction. Les primes d'option obtenues sont des ordres de grandeur conditionnels à ces hypothèses, et elles ne sauraient être ajoutées à une conclusion de valeur sans confirmation par des ventes. Enfin, la littérature citée a été vérifiée dans ses références bibliographiques, mais ses résultats empiriques, notamment la prime d'attente d'environ 6 \% de \textcite{quigg1993}, concernent des marchés américains des années 1970 à 2000 et ne se transposent pas tels quels au Québec de 2026.446\end{limites}447448\begin{synthese}449\begin{itemize}450\item La plus haute et meilleure utilisation est l'usage légalement permis, physiquement possible et financièrement faisable qui confère au bien la valeur la plus élevée ; les quatre tests s'appliquent dans cet ordre, les trois premiers construisent l'ensemble des usages admissibles et le quatrième désigne le maximum. La Loi sur la fiscalité municipale en contient l'idée sous le nom d'« utilisation la plus probable » (art.~43 et 46).451\item L'analyse se conduit deux fois pour un bien bâti : terrain réputé vacant, qui fonde l'évaluation du terrain et le choix des terrains comparables ; bien amélioré, qui conclut au maintien, à la conversion ou à la démolition selon $V = \max\{V_{\text{act}}, V_L^{*} - D\}$. La démolition n'est justifiée que si la contribution du bâtiment est inférieure à l'opposé du coût de démolition ; les ventes de démolition-reconstruction révèlent la valeur du terrain par $\hat V_L = P_{\text{td}} + D$.452\item La méthode résiduelle de développement avec calendrier s'écrit $V_L = [\mathit{GDV}(1 - c_v) - C - D - F - M]/[(1+\tau)(1+r_L)^{T}]$ ; elle est linéaire dans le produit de vente, son élasticité au produit excède l'unité et ses résultats ne sont comparables entre usages que si la marge est celle de l'acheteur type de chaque usage.453\item L'irréversibilité du développement donne une valeur à l'attente : l'arbre binomial à deux périodes, avec la probabilité risque-neutre $q = (\Phi - d)/(u - d)$ et $\Phi = [(1+r)/(1+y)]^{\Delta t}$, évalue l'option de redéveloppement et sa frontière d'exercice ; le seuil de Capozza et Helsley, $R^{*} = R_A + rC + (1/\alpha - g/r)$, montre que l'incertitude relève le seuil de conversion d'une prime d'irréversibilité.454\item Pour le terrain du cas 1 sous un zonage fictif de un à trois logements, la PHMU du terrain vacant est la maison unifamiliale (résidu de \dollars{266187} contre \dollars{229265} pour le triplex de promoteur, prix du marché \dollars{277000}) et celle du bien amélioré est le maintien de la maison (contribution du bâtiment \dollars{323000}) ; l'option de redéveloppement vaut \dollars{2837}, soit 0,47 \% de la valeur, et il faudrait une hausse de 45 \% des prix des unités neuves pour que la démolition devienne rentable.455\item Le prix des unités neuves domine la sensibilité de la valeur résiduelle, suivi du coût et de la marge ; la volatilité des prix et la contribution du bâtiment gouvernent la valeur de l'option, qui n'est jamais retenue sans la confirmation du marché.456\end{itemize}457\end{synthese}458459\section*{Exercices}460\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}461462\begin{exercice}[1]{Les quatre tests}{ex:41:1}463Un terrain de \msq{900} dans une zone qui admet de un à quatre logements (\msq{200} de terrain par logement au minimum, coefficient d'occupation du sol de 0,70, trois étages, une case de stationnement par logement) est occupé par une maison de 1952 en mauvais état. Un promoteur envisage un immeuble de six logements de \msq{80} et un autre de quatre logements de \msq{110}. Pour chaque programme, dites s'il franchit le test légal (nombre de logements, aire de plancher avec un rapport habitable/brut de 0,85) et, pour celui qui le franchit, quelles vérifications physiques restent à faire. Expliquez pourquoi le test financier n'a pas à être conduit pour le programme écarté.464\end{exercice}465466\begin{exercice}[1]{Valeur résiduelle statique}{ex:41:2}467Un terrain rezoné admet six logements de \msq{95} vendus \parmsq{4900} ; coûts directs \parmsq{2300}, indirects 15 \% des directs, démolition \dollars{45000}, marge de 15 \% et financement de 3 \% du produit, contribution pour fins de parcs de 10 \% de la valeur du site. (a) Calculez la valeur résiduelle par l'\cref{eq:8:residuel} (fonction \texttt{valeur\_residuelle\_redeveloppement} du \cref{ch:08}). (b) Recalculez-la sans financement ni contribution et commentez l'écart. (c) La maison existante vaut \dollars{520000} dans son usage actuel : la démolition est-elle justifiée ?468\end{exercice}469470\begin{exercice}[2]{Calendrier et financement intérimaire}{ex:41:3}471Un projet de quatre logements de \msq{100} sur un terrain vacant est vendu \dollars{1800000} au total après 24 mois ; coûts directs et indirects \parmsq{2300} ; frais de vente 4 \% ; marge 15 \% du produit ; prêt de construction de 75 \% des coûts à 6,19 \%, mise de fonds couvrant les premiers déboursés ; contribution pour fins de parcs 10 \% ; portage du terrain à 6,19 \%. (a) Calculez les intérêts intérimaires par l'\cref{eq:23:interets-mise}, le reste à la livraison et la valeur résiduelle par l'\cref{eq:41:residuel}. (b) Comparez à la valeur statique ($r_L = 0$) et exprimez le coût du temps en pourcentage. (c) Écrivez la forme linéaire \eqref{eq:41:lineaire} et calculez l'élasticité \eqref{eq:41:levier} au produit de vente.472\end{exercice}473474\begin{exercice}[2]{Extraction par les démolitions-reconstructions}{ex:41:4}475Dans un secteur en densification, une maison de 1948 s'est vendue \dollars{455000} à un acheteur qui a obtenu un permis de démolition le mois suivant ; la démolition est estimée à \dollars{28000}. (a) Extrayez la valeur du terrain par l'\cref{eq:41:teardown} et calculez la contribution du bâtiment. (b) Une maison voisine de 1996, de \msq{150}, s'est vendue \dollars{610000} ; en supposant le même terrain, calculez sa contribution de bâtiment et discutez si elle peut servir de comparable à la maison de 1948. (c) Expliquez, en vous appuyant sur \textcite{dyeMcmillen2007} et \textcite{mcmillenOsullivan2013}, ce qu'un modèle hédonique estimé sur ce secteur mesurerait pour le coefficient de l'âge.476\end{exercice}477478\begin{exercice}[2]{Arbre binomial à deux périodes}{ex:41:5}479Un bien vaut \dollars{700000} en usage ; son redéveloppement rapporterait $0{,}70 \times \mathit{GDV} - 800000$ (valeur en usage comprise dans le second terme), avec $\mathit{GDV}_0 = \dollars{1000000}$. Paramètres : deux périodes de cinq ans, $\sigma = 15$ \%, $r = 2$ \%, $y = 4$ \%. (a) Calculez $u$, $d$, $\Phi$ et $q$ par les \cref{eq:41:ud,eq:41:q}. (b) Construisez l'arbre et calculez la valeur de l'option américaine par l'\cref{eq:41:binomial} et celle de l'option européenne. (c) Au nœud de hausse de la première période, l'exercice immédiat est-il optimal ? Interprétez l'écart entre les deux options. (d) Que vaut la règle de la valeur actuelle nette à la date d'évaluation ?480\end{exercice}481482\begin{exercice}[3]{Seuil de Capozza et Helsley}{ex:41:6}483(a) Dérivez l'\cref{eq:41:ch-seuil} à partir de l'\cref{eq:41:ch-ode}, en justifiant la forme de la solution, la condition de bornitude et les deux conditions au seuil. (b) Avec $R_A = \dollars{18000}$ par année, $C = \dollars{600000}$, $r = 5$ \%, $g = \dollars{400}$ par année et $\sigma = \dollars{4000}$ par année, calculez $\alpha$, le seuil de certitude, la prime d'irréversibilité et $R^{*}$ ; si la rente courante du nouvel usage est de \dollars{42000}, de combien doit-elle croître ? (c) Montrez que la prime tend vers zéro quand $\sigma \to 0$ et qu'elle est croissante en $\sigma$. (d) Discutez la correspondance entre $R_A$, $C$ et les postes de la méthode résiduelle, et ce que le modèle omet.484\end{exercice}485486\begin{exercice}[3]{PHMU et conventions de marge}{ex:41:7}487À l'aide du script \texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, (a) recalculez les valeurs résiduelles des trois usages permis en portant la marge du promoteur à 12 \% et les frais de vente à 3 \%, et dites si la PHMU du terrain vacant change ; (b) trouvez, par l'\cref{eq:41:seuil}, la hausse du prix des unités neuves à partir de laquelle le triplex de promoteur dépasse la maison neuve bâtie sur commande ; (c) abaissez la valeur en usage de la maison à \dollars{350000} (bâtiment très déprécié) et calculez la prime de l'option à 10 et 15 \% de volatilité ; (d) rédigez une note de 200 mots sur la façon dont vous présenteriez, dans un rapport, une conclusion de PHMU du terrain vacant qui diffère de celle du bien amélioré, et sur les ventes du marché que vous chercheriez pour la soutenir.488\end{exercice}489490\section*{Pour aller plus loin}491\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}492493Le traitement de référence de la plus haute et meilleure utilisation, de ses quatre tests et de l'analyse du terrain réputé vacant et du bien amélioré est celui de l'Appraisal Institute \parencite{appraisal2026}, dont l'édition canadienne adapte le vocabulaire \parencite{appraisalCdn} et dont le dictionnaire fixe les définitions \parencite{aiDictionary2022} ; les Normes internationales d'évaluation en donnent la définition condensée citée au début du chapitre \parencite{ivs2025}. L'analyse de développement et l'évaluation des projets, avec leur financement, leur profit et leur risque, sont développées par \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014}, qui présentent aussi l'arbre binomial comme outil d'évaluation de l'option d'attente, et par \textcite{byrne1996} pour le traitement du risque et de l'incertitude dans la décision de développer. Le fondement théorique de l'option réelle foncière est dû à \textcite{titman1985}, et sa version en temps continu, avec la décomposition du prix du terrain en valeur d'usage, coût de conversion, prime de croissance et prime d'irréversibilité, à \textcite{capozzaHelsley1989} et \textcite{capozzaHelsley1990}. Les tests empiriques sont ceux de \textcite{quigg1993} et de \textcite{cunningham2006} sur les terrains de Seattle, et de \textcite{munneke1996} et \textcite{munnekeWomack2020} sur la décision et la valeur de redéveloppement. Sur les démolitions-reconstructions comme révélateur de la valeur du terrain, on lira \textcite{rosenthalHelsley1994}, \textcite{dyeMcmillen2007} et \textcite{mcmillenOsullivan2013}, et, pour l'intégration de l'option de redéveloppement dans les modèles hédoniques, \textcite{clappSalavei2010} et \textcite{clappBardosWong2012}. Sur l'asymétrie que la durabilité du bâti introduit dans l'ajustement des marchés, \textcite{glaeserGyourko2005} éclairent pourquoi les contributions de bâtiment négatives sont fréquentes dans les villes en déclin et rares dans celles qui croissent. Enfin, le texte de la Loi sur l'aménagement et l'urbanisme \parencite{lau}, celui de la Loi sur la fiscalité municipale \parencite{lfm} et celui de la Loi sur la protection du territoire et des activités agricoles \parencite{lptaa}, dans leur version à jour, restent la première lecture pour le premier des quatre tests.494