spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 30 — Flux actualisés et valeur terminale2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch30_dcf.py (fonction exercices()) ; données du cas 3 : SYNTHÉTIQUES.34\begin{solution}{ex:30:1}{Taux de capitalisation, taux d'actualisation et croissance}5(a) Par la relation de Gordon, $R = r - g = 0{,}0725 - 0{,}035 = \pct{3.75}$. La valeur d'un revenu net de première année de \dollars{100000} est $V_0 = 100\,000 / 0{,}0375 = \dollars{2666667}$.67(b) Croissance implicite : $g = r - R = 0{,}0725 - 0{,}04415 = \pct{2.835}$ par an. Rendement exigé implicite pour $g = \pct{3.5}$ : $r = R + g = 0{,}04415 + 0{,}035 = \pct{7.915}$.89(c) Le $g$ de la relation de Gordon est la croissance de la \emph{valeur} de l'immeuble, non celle des loyers de marché. Un immeuble existant se déprécie physiquement et fonctionnellement ; à loyers de marché donnés, sa valeur croît donc moins vite que les loyers des immeubles neufs qui fixent le marché. L'écart entre \pct{3.5} et \pct{2.835}, soit environ $0{,}67$ point par an, est la dépréciation nette que le taux médian prête aux immeubles typiques ; dans le cas 3, le taux terminal de \pct{5.0} implique $g_T = \pct{2.25}$, soit une dépréciation nette de $1{,}25$ point au-delà de l'horizon.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:30:2}{Valeur terminale et date d'actualisation}13(a) Valeur terminale brute : $V_{10} = 159\,658{,}38 / 0{,}05 = \dollars{3193168}$ ; coûts de vente $0{,}025 \times 3\,193\,168 = \dollars{79829}$ ; valeur terminale nette \dollars{3113338}.1415(b) Facteur $(1{,}0725)^{-10} = 0{,}496623$ ; valeur présente $3\,113\,338 \times 0{,}496623 = \dollars{1546156}$.1617(c) Sur onze ans, le facteur est $(1{,}0725)^{-11} = 0{,}463052$ et la valeur présente \dollars{1441637}. L'écart est de \dollars{104519}, soit $1 - 1/1{,}0725 = \pct{6.76}$ de la valeur présente correcte et \pct{4.7} de la valeur de l'immeuble du cas 3. La vente a lieu à la fin de l'année 10 : la valeur terminale s'actualise sur dix ans, même si elle capitalise le revenu de l'année 11.1819(d) À \pct{5.5}, la valeur terminale brute est $159\,658{,}38 / 0{,}055 = \dollars{2902880}$ et la valeur nette \dollars{2830308}, soit \pct{9.1} de moins qu'à \pct{5.0} : l'effet de \qty{50}{\pb} sur $R_T$ est de l'ordre de $-\Delta R_T / R_T$, d'autant plus grand que le taux est bas.20\end{solution}2122\begin{solution}{ex:30:3}{Un DCF à cinq ans}23(a) Valeur présente des flux à \pct{7.0} : $62\,000/1{,}07 + 64\,000/1{,}07^2 + 20\,000/1{,}07^3 + 68\,000/1{,}07^4 + 70\,000/1{,}07^5 = \dollars{231956}$. Valeur terminale brute $72\,000/0{,}05 = \dollars{1440000}$ ; nette de \pct{3} : \dollars{1396800} ; valeur présente $1\,396\,800 / 1{,}07^5 = \dollars{995899}$. Valeur de l'immeuble : $231\,956 + 995\,899 = \dollars{1227855}$.2425(b) Part de la valeur terminale : $995\,899 / 1\,227\,855 = \pct{81.1}$. Avec un horizon de cinq ans seulement, plus des quatre cinquièmes de la valeur reposent sur $\NOI_6$ et $R_T$.2627(c) Achat à \dollars{1300000} : la VAN à \pct{7.0} est $1\,227\,855 - 1\,300\,000 = -\dollars{72145}$. Le TRI de la série $(-1\,300\,000 ;\ 62\,000 ;\ 64\,000 ;\ 20\,000 ;\ 68\,000 ;\ 70\,000 + 1\,396\,800)$ est de \pct{5.68}, inférieur au rendement exigé : l'achat au prix demandé détruit de la valeur pour cet investisseur.28\end{solution}2930\begin{solution}{ex:30:4}{Composition semestrielle}31(a) Convention canadienne : $i_m = (1 + 0{,}0412/2)^{1/6} - 1 = \pct{0.34042}$ ; taux effectif annuel $(1{,}0206)^2 - 1 = \pct{4.1624}$. Convention américaine : $i_m = 0{,}0412/12 = \pct{0.34333}$ ; taux effectif annuel $(1 + 0{,}0412/12)^{12} - 1 = \pct{4.1987}$.3233(b) Paiement mensuel sur \dollars{1000000} et 300 mois : $P = M_0\,i_m / [1 - (1+i_m)^{-300}]$, soit \dollars{5325.46} avec la convention canadienne et \dollars{5344.85} avec la convention américaine ; l'écart de service de la dette est de \dollars{232.75} par an.3435(c) Appliquer $i/12$ à un taux canadien surestime le service de la dette, donc sous-estime le ratio de couverture $\DSCR = \NOI/SD$ et le prêt maximal par le RCD ; l'erreur est faible à \pct{4} mais croît avec le taux, et elle se cumule sur le solde en fin de terme.36\end{solution}3738\begin{solution}{ex:30:5}{Vérifier la proposition d'équivalence}39(a) Taux de Gordon $R = 0{,}0725 - 0{,}035 = 0{,}0375$ ; valeur $90\,000 / 0{,}0375 = \dollars{2400000}$.4041(b) Avec $\NOI_t = 90\,000 \times 1{,}035^{t-1}$ et $V_T = \NOI_{T+1}/0{,}0375$, le DCF donne \dollars{2400000} pour $T = 5$, $10$ et $20$, à la précision de la machine, conformément à la proposition~\ref{prop:30:gordon}. La part de la valeur terminale est $q^T$ avec $q = 1{,}035/1{,}0725 = 0{,}96503$ : \pct{83.7} ($T=5$), \pct{70.1} ($T=10$), \pct{49.1} ($T=20$). L'horizon déplace la valeur entre flux et valeur terminale sans en changer le total.4243(c) Avec des coûts de vente de \pct{2.5}, le DCF à dix ans donne \dollars{2357968}. La formule \eqref{eq:30:corollaire-cv} prédit $2\,400\,000 \times (1 - 0{,}025 \times 0{,}70054) = 2\,400\,000 \times 0{,}98249 = \dollars{2357968}$ : la réduction est de \pct{1.75}, soit $c_v$ fois la part de la valeur terminale.44\end{solution}4546\begin{solution}{ex:30:6}{Variante du cas 3}47La projection des revenus et des dépenses ne change pas (tableau~\ref{tab:30:projection}) ; seuls le facteur d'actualisation et le taux terminal changent. À \pct{7.75}, la valeur présente des dix flux est de \dollars{645250} (contre \dollars{662410}). La valeur terminale brute est $159\,658 / 0{,}055 = \dollars{2902880}$, nette \dollars{2830308} ; actualisée par $(1{,}0775)^{-10} = 0{,}47405$, elle vaut \dollars{1341717}. La valeur est de $645\,250 + 1\,341\,717 = \dollars{1986966}$, soit \pct{10.0} de moins que la base ; la part de la valeur terminale tombe à \pct{67.5}. Le taux de capitalisation implicite sur le revenu de la première année est $89\,956 / 1\,986\,966 = \pct{4.53}$, à l'intérieur de la fourchette CBRE de \pct{4.25} à \pct{4.75} : cette variante revient à traiter le sujet comme un immeuble typique du marché, sans accorder de prime au rattrapage des loyers, alors que la base (\pct{4.07} implicite) le place sous le bas de la fourchette. L'écart entre les deux lectures, \dollars{221600}, est la valeur que l'évaluateur attribue, ou non, au potentiel locatif ; c'est l'objet de la réconciliation du chapitre~\ref{ch:47}.48\end{solution}4950\begin{solution}{ex:30:7}{TRI des fonds propres, flux non conventionnels et MIRR}51(a) La série des flux des fonds propres,52\begin{align*}53(&-732\,606 ;\ 14\,993 ;\ -60\,451 ;\ 32\,951 ;\ 2\,405 ;\ 49\,425 ;\\54&\phantom{-}55\,927 ;\ -58\,205 ;\ 67\,050 ;\ 72\,684 ;\ 1\,896\,808),55\end{align*}56change cinq fois de signe. La règle des signes de Descartes autorise jusqu'à cinq racines réelles positives du polynôme de la VAN en $1/(1+y)$ ; l'unicité du TRI n'est donc pas garantie a priori et doit être vérifiée.5758(b) $\VAN(\pct{8}) = +\dollars{243468}$ et $\VAN(\pct{12}) = -\dollars{48366}$ : la VAN change de signe une seule fois sur l'intervalle et décroît ; le TRI est compris entre \pct{8} et \pct{12}. La bissection donne $\TRI = \pct{11.22}$, pour lequel la VAN est nulle à moins d'un cent près.5960(c) Les flux négatifs ($-732\,606$ ; $-60\,451$ en $t = 2$ ; $-58\,205$ en $t = 7$) sont actualisés à \pct{4.12} ; les flux positifs sont capitalisés à $t = 10$ au taux de \pct{7.25} ; le MIRR est de \pct{10.61}. Il est inférieur au TRI de \pct{11.22} parce que le TRI suppose implicitement que les flux intermédiaires, dont le produit de revente ne fait pas partie, sont réinvestis à \pct{11.22} ; le MIRR les réinvestit au rendement exigé, plus réaliste. L'écart de 61 points de base mesure l'optimisme de l'hypothèse de réinvestissement du TRI.6162(d) Les flux négatifs de 2027 et 2032 exigent des apports de \dollars{60451} et \dollars{58205}. L'investisseur doit soit constituer une réserve de liquidités dès l'acquisition (ce qui augmente la mise de fonds effective et abaisse le TRI), soit prévoir un financement des travaux (prêt de rénovation, marge de crédit), soit étaler les travaux ; dans un dossier réel, il vérifierait aussi si une partie des dépenses d'immobilisation est récupérable par la fixation des loyers (rendement de \pct{5} prévu au règlement), ce que le modèle de base ignore.63\end{solution}6465\begin{solution}{ex:30:8}{Décomposer l'écart entre DCF et capitalisation directe}66(a) Taux implicite du DCF : $89\,956 / 2\,208\,566 = \pct{4.07}$. Croissance implicite du taux médian : $g = 0{,}0725 - 0{,}04415 = \pct{2.835}$.6768(b) Le revenu net passe de \dollars{89956} (année 1) à \dollars{159658} (année 11), soit $(159\,658/89\,956)^{1/10} - 1 = \pct{5.90}$ par an, plus du double de la croissance implicite de \pct{2.835} ; le revenu brut potentiel croît de \pct{4.61} par an. La différence entre \pct{5.90} et \pct{4.61} est l'effet de levier opérationnel des dépenses, qui croissent de \pct{3} seulement.6970(c) Un acheteur qui paierait \dollars{2037503} et recevrait les flux projetés (dix flux avant dette et valeur terminale nette de \dollars{3113338}) réaliserait un TRI de \pct{8.25}, soit un point de plus que le rendement exigé de \pct{7.25} : c'est la rémunération du rattrapage des loyers que la capitalisation directe lui laisse.7172(d) Si les quarante comparables étaient des immeubles stabilisés, loués au marché, leur taux médian de \pct{4.415} n'incorpore aucun rattrapage et l'écart de \pct{8.4} (\dollars{171063}) est entièrement légitime : le sujet vaut plus qu'un immeuble typique parce que son revenu courant est déprimé par ses baux. Si, au contraire, les comparables présentaient eux aussi des loyers \pct{10} sous le marché, ce qui est fréquent à Montréal, leurs acheteurs ont déjà payé le rattrapage et le taux de \pct{4.415} l'incorpore ; appliquer ce taux au sujet puis lui ajouter la valeur du rattrapage par le DCF compte ce potentiel deux fois, et l'écart devrait être réduit d'autant. La vérité est généralement entre les deux et exige de connaître l'état locatif des comparables.73\end{solution}74