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1% Solutions du chapitre 32 — Duplex à quintuplex2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch32_plex.py (fonction exercices()), testés dans analysis/python/tests/test_ch32.py.34\begin{solution}{ex:32:1}{Multiplicateur, taux et identité}5Le revenu brut potentiel est $\mathit{RBP} = 2 \times \dollars{1300} \times 12 = \dollars{31200}$ ; le revenu brut effectif, $\mathit{RBE} = \dollars{31200} \times (1 - 0{,}03) = \dollars{30264}$ ; le revenu net, $\NOI = \dollars{30264} \times (1 - 0{,}38) = \dollars{18763.68}$. Le multiplicateur du revenu brut est $\mathit{MRB} = \dollars{585000}/\dollars{31200} = \num{18.75}$, le prix par logement $\dollars{585000}/2 = \dollars{292500}$ et le taux global extrait $R = \dollars{18763.68}/\dollars{585000} = \pct{3.207}$. L'identité \eqref{eq:32:mrb-taux} se vérifie : $(1 - 0{,}03)(1 - 0{,}38)/\num{18.75} = 0{,}6014/18{,}75 = \num{0.03207}$. Deux duplex de même multiplicateur n'ont le même taux que s'ils ont la même inoccupation et le même ratio de dépenses ; celui dont le propriétaire paie le chauffage, ou dont les taxes par logement sont plus lourdes, a un ratio $d$ plus élevé et donc un taux plus bas à multiplicateur égal. Le multiplicateur ignore la structure des charges ; le taux la contient.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:32:2}{Mise de fonds minimale d'un prêt assuré}9Par \eqref{eq:32:mise-de-fonds} : pour \dollars{450000}, la mise de fonds minimale est $0{,}05 \times \dollars{450000} = \dollars{22500}$ (\pct{5.0}), prêt de \dollars{427500} ; pour \dollars{843000}, $0{,}05 \times \dollars{500000} + 0{,}10 \times \dollars{343000} = \dollars{25000} + \dollars{34300} = \dollars{59300}$ (\pct{7.03}), prêt de \dollars{783700} ; pour \dollars{1200000}, $\dollars{25000} + 0{,}10 \times \dollars{700000} = \dollars{95000}$ (\pct{7.92}), prêt de \dollars{1105000}. Le quintuplex de \dollars{1600000} dépasse le plafond du prix assurable de \dollars{1500000} \parencite{fincan2024hypo} : aucun prêt assuré n'est possible, et un prêt conventionnel exige une mise de fonds d'au moins vingt pour cent, soit \dollars{320000}, à un taux non assuré (\pct{4.58} pour les fonds avancés d'août 2026 contre \pct{4.12} en assuré) et sous le taux admissible minimal du BSIF. L'acheteur probable n'est plus le ménage qui cherche à se loger avec une mise de fonds modeste, mais un ménage fortuné ou un investisseur ; au-delà du plafond, la demande d'occupants s'amenuise et le revenu reprend du poids dans la formation du prix, ce qui justifie de renverser la pondération de la \cref{sec:32:ponderation}.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:32:3}{Décomposition du taux extrait}13Le revenu brut potentiel au marché est $\mathit{RBP}_m = 3 \times \dollars{1430} \times 12 = \dollars{51480}$ et au contrat $\mathit{RBP}_c = 3 \times \dollars{1215} \times 12 = \dollars{43740}$, d'où $\rho = \dollars{43740}/\dollars{51480} = \num{0.8497}$. Avec des dépenses fixes de \dollars{17500}, $\NOI_m = \dollars{51480} \times 0{,}976 - \dollars{17500} = \dollars{32744.48}$ et $\NOI_c = \dollars{43740} \times 0{,}976 - \dollars{17500} = \dollars{25190.24}$ ; les taux extraits sont $R_m = \pct{4.567}$ et $R_c = \pct{3.513}$, soit un écart de 105,4 points de base. Le multiplicateur au marché est $\mathit{MRB}_m = \dollars{717000}/\dollars{51480} = \num{13.93}$, et le terme de l'\cref{eq:32:rho-fixe} vaut $(1 - 0{,}8497)(0{,}976)/13{,}93 = \num{0.01054}$, soit exactement $R_m - R_c$. Si les dépenses étaient proportionnelles au revenu, la proposition donnerait $R_c = \rho R_m = 0{,}8497 \times \pct{4.567} = \pct{3.880}$, un écart de seulement 69 points de base. Avec des dépenses fixes, tout le manque à gagner de loyers se répercute sur le revenu net, de sorte que la sous-location pèse davantage sur le taux extrait ; avec des dépenses proportionnelles, une partie du manque à gagner est « absorbée » par des dépenses plus faibles. La réalité des plex est intermédiaire : taxes et assurances sont fixes, entretien et gestion suivent en partie le revenu. Dans les deux cas, le taux extrait d'une vente sous-louée est inférieur au taux du marché et ne peut être appliqué tel quel à un sujet dont le loyer relatif diffère.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:32:4}{Coût d'occupation selon le logement repris}17Le financement est inchangé : prêt de \dollars{808000}, service annuel de \dollars{51635.62}, dépenses supportées de \dollars{16920} et coût d'opportunité de \dollars{2219.60}, soit une sortie brute de \dollars{70775.22}. S'il reprend le rez-de-chaussée, l'acheteur perçoit les loyers du deuxième et du troisième, $(\dollars{1188} + \dollars{1251}) \times 12 \times 0{,}97 = \dollars{28389.96}$, d'où un coût net de \dollars{42385.26} par année ou \dollars{3532.11} par mois, et \dollars{1813.08} par mois hors remboursement de capital (\dollars{1719.02} par mois en moyenne sur cinq ans). S'il reprend le deuxième, il perçoit $(\dollars{1047} + \dollars{1251}) \times 12 \times 0{,}97 = \dollars{26748.72}$ ; le coût net monte à \dollars{44026.50} par année, \dollars{3668.88} par mois, et \dollars{1949.85} hors capital : \dollars{136.77} de plus par mois, soit l'écart des deux loyers contractuels net de trois pour cent. Les deux logements ayant le même loyer de marché, l'acheteur se procure le même service de logement dans les deux cas ; il est donc rationnel de reprendre celui dont le loyer contractuel est le plus bas et de conserver le locataire qui paie le plus. C'est d'ailleurs ce que le marché anticipe lorsqu'il paie une prime pour un plex dont un logement est très sous-loué. La reprise doit toutefois respecter l'art.~1957 C.c.Q. (locateur personne physique, usage pour lui-même ou un proche énuméré), l'art.~1958 (pas de reprise en indivision sauf avec son conjoint), l'art.~1959.1 (protection du locataire de 65 ans et plus occupant depuis dix ans sous le seuil de revenu) et les délais d'avis ; en cas de refus du locataire, l'autorisation du Tribunal administratif du logement est requise et la bonne foi du locateur peut être contestée (art.~1968).18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:32:5}{Régression du taux sur le loyer relatif}21Sur les 127 ventes, la régression $R_j = a + b(\rho_j - 1) + \varepsilon_j$ donne $a = \pct{3.451}$ et $b = \num{0.0284}$, avec un écart-type résiduel de \pct{0.685} et un $R^2$ de \num{0.071} (fonction \texttt{regression\_taux\_loyer\_relatif}). Pour le sujet, $\rho_s = \num{0.848}$ et le taux ajusté est $\pct{3.451} + \num{0.0284} \times (-\num{0.152}) = \pct{3.020}$ ; la valeur capitalisée est $\dollars{22033.96}/\num{0.0302} = \dollars{729549}$, contre $\dollars{22033.96}/\num{0.0317} = \dollars{695078}$ au taux médian, soit cinq pour cent de plus. L'ajout de l'état (centré sur 3) et du nombre de logements (centré sur 3) donne $a = \pct{3.426}$, $b_\rho = \num{0.0302}$, $b_{\text{état}} = -\num{0.0007}$ (sept points de base de moins par échelon d'état) et $b_n = -\num{0.0006}$ (six points de base de moins pour un triplex par rapport à un duplex), avec un $R^2$ de \num{0.080} : les coefficients de l'état et de la taille ont les signes attendus mais sont petits, le coefficient du loyer relatif est stable et la part expliquée de la dispersion reste faible, ce qui confirme que le marché des plex est bruyant et que ses taux dépendent d'abord du loyer relatif, ensuite de facteurs non observés (négociation, projet de l'acheteur, état réel). La régression $\ln \mathit{MRB}_j = a' + b'(\rho_j - 1)$ donne $a' = \num{2.911}$ et $b' = -\num{0.956}$ ($R^2 = \num{0.108}$), soit un multiplicateur de $e^{2{,}911} = \num{18.37}$ pour un immeuble loué au marché et une pente proche de la valeur $-1$ prédite par la \cref{prop:taux-rho} lorsque les dépenses sont proportionnelles au revenu, ce qui est la loi de génération du jeu ; pour le sujet, le multiplicateur ajusté est $e^{2{,}911 - 0{,}956 \times 0{,}152} = \num{21.25}$ et l'indication correspondante \dollars{888878}.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:32:6}{Pondérations alternatives et fourchette}25Avec les indications $V_{\text{log}} = \dollars{918000}$, $V_{\text{MRB}} = \dollars{922396}$ et $V_{\text{cap}} = \dollars{729549}$ : (a) poids 40/35/25 : $\dollars{367200} + \dollars{322838.46} + \dollars{182387.30} = \dollars{872426}$ ; (b) poids égaux : $(\dollars{918000} + \dollars{922396} + \dollars{729549})/3 = \dollars{856648}$ ; (c) poids 20/20/60 : $\dollars{183600} + \dollars{184479.12} + \dollars{437729.52} = \dollars{805809}$ ; (d) poids 50/50/0 : \dollars{920198}. L'étendue des quatre résultats est de \dollars{114389}, soit treize pour cent de la pondération retenue, et elle vient entièrement du poids accordé à la capitalisation. La pondération (d) convient à un duplex ou à un triplex de quartier central dont l'acheteur probable est un occupant et dont les dépenses sont mal connues : le revenu ne sert alors que de contrôle de vraisemblance. La pondération (a) est celle de l'ouvrage pour le même type d'immeuble lorsque le revenu net a été normalisé et que le taux a été ajusté au loyer relatif ; le poids de 25~\% reconnaît l'information du revenu sans lui laisser dicter une conclusion que les acheteurs du segment ne reconnaîtraient pas. La pondération (b) est celle du doute : elle convient lorsque les comparables sont peu nombreux ou éloignés. La pondération (c) convient à un quadruplex ou à un quintuplex entièrement loué, bien documenté, dont l'acheteur probable est un investisseur ; au-delà de six logements, le revenu devient l'indication principale (\cref{ch:33}). Justification à rédiger (exemple) : le sujet est un triplex de 1948 dans un quartier où quarante-huit ventes de plex ont été conclues en vingt-quatre mois, dont vingt-huit triplex ; cinq comparables récents, de même quartier, de taille et de loyer relatif voisins, ont été retenus et leurs prix par logement et multiplicateurs convergent à moins de un pour cent ; l'acheteur probable est un ménage occupant, financé par un prêt assuré, dont le critère est le coût d'occupation. La capitalisation du revenu net normalisé, à un taux ajusté au loyer relatif, indique \dollars{729549} ; l'écart tient aux coûts fixes, à la gestion imputée et à la réserve, que le marché des occupants ne valorise pas de cette façon. La pondération 40/35/25 conduit à \dollars{872426}, arrondie à \dollars{870000} ; la fourchette présentée au rapport est de \dollars{810000} à \dollars{920000}, bornée par les pondérations (c) et (d).26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:32:7}{Valeur actualisée du manque à gagner et faculté de reprise}29L'écart de loyer de la première année est $(\dollars{1430} - \dollars{1047}) \times 12 = \dollars{4596}$ ; les années suivantes, il croît parce que le loyer de marché augmente de \pct{3.5} et le loyer contractuel de \pct{3.1} seulement : $(1430 \times 1{,}035^{t-1} - 1047 \times 1{,}031^{t-1}) \times 12$. Actualisée à six pour cent en fin d'année, la valeur du manque à gagner est de \dollars{4335.85} si le bail est reconduit un an, de \dollars{12835.08} sur trois ans et de \dollars{40791.47} sur dix ans. Même dans l'hypothèse la plus défavorable d'un locataire qui demeure dix ans, le manque à gagner actualisé ne représente que \pct{4.7} de l'indication pondérée de \dollars{872426} et \pct{14} de la prime d'occupation de \dollars{292067} estimée à la \cref{sec:32:exemple} ; inversement, la faculté de reprendre le logement au terme du bail, c'est-à-dire d'éviter ce manque à gagner, vaut au plus quelques dizaines de milliers de dollars. Le rattrapage des loyers explique donc une part réelle mais modeste des prix élevés des plex ; l'essentiel de l'écart entre le prix et la valeur d'investissement vient de la demande d'occupants, de leur financement avantageux et de leurs anticipations d'appréciation. Pour que la reprise soit possible, l'acheteur doit être une personne physique (art.~1957 C.c.Q.) ; s'il achète en indivision, son seul coïndivisaire doit être son conjoint (art.~1958) ; le locataire ne doit pas être protégé par l'art.~1959.1 (65 ans ou plus, dix ans d'occupation, revenu sous le seuil) ; l'avis doit être donné dans les délais du Code et, en cas de refus, le Tribunal doit autoriser la reprise, le locateur devant démontrer sa bonne foi (art.~1968). Le moratoire de la Loi~65 ne vise pas la reprise mais l'éviction de l'art.~1959.30\end{solution}31