spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Ajustements qualitatifs et quantitatifs}\label{ch:17}23Le \cref{ch:16} a laissé le lecteur devant cinq ventes vérifiées, voisines du sujet mais jamais identiques à lui, et devant une grille dont les cellules d'ajustement sont vides. Le présent chapitre les remplit. Son objet est la traduction en dollars de chaque différence entre un comparable et le sujet : combien vaut, sur ce marché et à cette date, un garage, un sous-sol fini, seize mètres carrés de plus, un échelon de qualité, quinze mois d'ancienneté ? La question paraît technique ; elle est en réalité la plus discutée de toute la méthode de comparaison, parce qu'un ajustement n'est jamais observé directement : il est toujours \emph{extrait} du marché par une méthode dont il hérite la précision et les biais. Le chapitre fixe d'abord l'ordre, la base et le signe des ajustements, puis il expose les cinq méthodes d'extraction, en insistant sur la régression hédonique et sur les ventes appariées, dont il compare les résultats sur le même marché synthétique. Il traite à part l'ajustement de conditions du marché, qui est le plus fréquent et le plus sensible, puis l'analyse qualitative, qui encadre la valeur lorsque les montants font défaut. L'exemple intégral conduit la grille complète des cinq comparables du cas 1 jusqu'à une valeur pondérée, et l'analyse de sensibilité montre quels ajustements comptent réellement. Le chapitre se termine sur un résultat qui surprend souvent : la moyenne des prix ajustés et la prédiction du modèle hédonique dont la grille est tirée diffèrent de près de dix pour cent, et l'on démontre pourquoi.45\begin{objectifs}6\begin{itemize}7\item Énoncer et justifier l'ordre conventionnel des ajustements : transactionnels en pourcentage et en séquence, puis de propriété en dollars et additifs, avec le signe du point de vue du sujet.8\item Dériver les formes additive, multiplicative et mixte du prix ajusté, démontrer que le total d'une cascade multiplicative ne dépend pas de l'ordre et quantifier l'écart entre les formes.9\item Extraire un ajustement par ventes appariées, par coût déprécié, par capitalisation d'une différence de loyer, par régression et par analyse de tendance, et connaître la précision de chaque méthode.10\item Calculer un ajustement de conditions du marché par taux composé, par indice et par coefficient temporel d'un modèle en logarithme, et interpréter correctement un coefficient de variable indicatrice (Halvorsen--Palmquist, Kennedy).11\item Construire une grille complète, calculer les ajustements brut et net, pondérer les comparables et conclure une indication de valeur par comparaison.12\item Mener une analyse relative lorsque les ajustements ne peuvent être chiffrés, et mesurer la sensibilité de l'indication aux prix implicites retenus.13\end{itemize}14\end{objectifs}1516\section{Ordre, base et signe des ajustements}\label{sec:17:ordre}1718\subsection{Ce qu'est un ajustement}1920Le \cref{ch:16} a défini le prix ajusté d'un comparable comme son prix de vente corrigé de la contribution de ses différences avec le sujet, de sorte que $P^{\text{aj}}_j = V_s + \varepsilon_j$ sous le modèle local linéaire du \cref{ch:16}. Cette écriture fixe trois choses que la pratique perd parfois de vue. D'abord, c'est le \emph{comparable} que l'on ajuste vers le sujet, jamais l'inverse : on se demande ce que le comparable se serait vendu s'il avait eu les caractéristiques du sujet. Ensuite, le signe d'un ajustement est celui du point de vue du sujet : si le sujet est supérieur au comparable sur une caractéristique, le comparable se serait vendu plus cher en la possédant, et l'ajustement est positif ; si le sujet est inférieur, l'ajustement est négatif. Enfin, un ajustement est le produit d'un prix implicite par un écart de caractéristique, $A_{jk} = \beta_k (x_{sk} - x_{jk})$ ; il n'existe donc pas de « valeur d'un garage » dans l'absolu, mais un prix implicite propre à un marché, à une date et à un niveau de prix.2122\begin{definition}{Ajustement, ajustement brut et ajustement net}{ajustement}23L'\motcle{ajustement} $A_{jk}$ est le montant qu'il faut ajouter au prix du comparable $j$ pour neutraliser sa différence avec le sujet sur l'élément de comparaison $k$ ; il est positif lorsque le sujet est supérieur au comparable sur cet élément. L'\motcle{ajustement brut} du comparable est la somme des valeurs absolues de ses ajustements rapportée à son prix, $\sum_k \abs{A_{jk}} / P_j$ ; l'\motcle{ajustement net} est la somme algébrique rapportée au prix, $\sum_k A_{jk} / P_j$. Le premier mesure l'éloignement total du comparable, le second le déséquilibre entre ses supériorités et ses infériorités.24\end{definition}2526\subsection{Deux familles d'ajustements et un ordre conventionnel}2728La pratique nord-américaine, codifiée par l'Appraisal Institute et reprise dans l'édition canadienne de son manuel, distingue deux familles d'ajustements et impose un ordre entre elles \parencite{appraisal2026,appraisalCdn}. Les \motcle{ajustements de transaction} corrigent le prix des circonstances de la vente : droits transmis, conditions de financement, conditions de vente, dépenses engagées immédiatement après l'achat, conditions du marché à la date de la vente. Ils s'expriment en pourcentage du prix, parce que leur effet est proportionnel au montant de la transaction, et ils sont appliqués en séquence, chacun sur la base laissée par le précédent, parce que chacun répond à la question « quel aurait été le prix si cette circonstance avait été normale, toutes choses égales par ailleurs ». Les \motcle{ajustements de propriété} corrigent ensuite les différences entre les biens : localisation, caractéristiques physiques, caractéristiques économiques, usage, éléments non immobiliers. Ils s'expriment en dollars, additivement, sur la base laissée par les ajustements de transaction, parce que le marché valorise un garage ou un sous-sol à un montant qui dépend peu du prix total de la maison. Le \cref{tab:17:ordre} donne cet ordre, la base et le signe de chaque ajustement ; la \cref{fig:17:ordre} le schématise.2930\begin{table}[htbp]31\caption{Ordre conventionnel des ajustements, base de calcul et signe}\label{tab:17:ordre}32\centering\small33\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{34mm}YL{30mm}@{}}34\toprule35Élément de comparaison & Nature et base & Signe (du point de vue du sujet) \\36\midrule37\multicolumn{3}{@{}l}{\textit{Ajustements de transaction --- en pourcentage, séquentiels}} \\38Droits transmis & Pleine propriété comme référence ; démembrement, baux en deçà du marché & $+$ si le comparable transmet moins que le sujet \\39Financement & Prix comptant comme référence ; valeur actualisée de l'avantage de taux retranchée & $-$ si le comparable a bénéficié d'un financement avantageux \\40Conditions de vente & Vente sincère comme référence ; vendeur pressé, parties liées, incitatifs & $+$ si le comparable a été vendu sous contrainte \\41Dépenses après l'achat & Travaux que l'acheteur du comparable a dû engager immédiatement & $+$ si le comparable exigeait des travaux \\42Conditions du marché & Évolution des prix entre la date de la promesse d'achat et la date d'évaluation & $+$ si le marché a monté depuis la vente \\43\addlinespace44\multicolumn{3}{@{}l}{\textit{Ajustements de propriété --- en dollars, additifs sur la base ajustée}} \\45Localisation & Secteur, voisinage, nuisances, accès & $+$ si le sujet est mieux situé \\46Caractéristiques physiques & Superficie, terrain, âge et état, qualité, garage, sous-sol, piscine, type & $+$ si le sujet est supérieur \\47Caractéristiques économiques & Loyers, dépenses, état locatif (immeubles de revenu) & $+$ si le sujet rapporte davantage \\48Usage et zonage & Usage permis, densité, droits de développement & $+$ si le sujet a plus de latitude \\49Éléments non immobiliers & Meubles, électroménagers compris dans le prix du comparable & $-$ si le prix du comparable incluait des meubles \\50\bottomrule51\end{tabularx}52\tabsource{convention de l'ouvrage (annexe~\ref{app:conventions-calcul}), d'après la pratique nord-américaine décrite par \textcite{appraisal2026}.}53\end{table}5455\begin{figure}[htbp]56\centering57\begin{tikzpicture}[node distance=3.5mm, every node/.style={font=\sffamily\small}, boite/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, minimum width=96mm, minimum height=7.5mm, align=center}, etape/.style={draw=brandGray, fill=white, rounded corners=1pt, minimum width=96mm, minimum height=6.5mm, align=center, font=\sffamily\footnotesize}, fleche/.style={-{Stealth[length=2mm]}, brandGray, thick}]58\node[boite] (p) {Prix de vente du comparable $P_j$ (date de la promesse d'achat)};59\node[etape, below=of p] (t1) {Droits transmis $\to$ financement $\to$ conditions de vente $\to$ dépenses après l'achat};60\node[etape, below=of t1] (t2) {Conditions du marché (temps) : $\times\,(1 + a_{j,\text{temps}})$};61\node[boite, below=of t2, fill=brandSecondary!25] (b) {Base de transaction $B_j = P_j \prod_k (1 + a_{jk})$};62\node[etape, below=of b] (p1) {Localisation $+$ superficie $+$ terrain $+$ âge $+$ qualité $+$ garage $+$ sous-sol $+$ \dots\ (en dollars)};63\node[boite, below=of p1, fill=brandSecondary!45] (f) {Prix ajusté $P^{\text{aj}}_j = B_j + \sum_k A_{jk}$};64\node[etape, below=of f, minimum width=60mm] (q) {Ajustement brut, ajustement net, pondération $w_j$};65\foreach \i/\j in {p/t1, t1/t2, t2/b, b/p1, p1/f, f/q} \draw[fleche] (\i) -- (\j);66\node[right=2mm of t1, text=brandGray, font=\sffamily\footnotesize, align=left] {en \%, séquentiels};67\node[right=2mm of p1, text=brandGray, font=\sffamily\footnotesize, align=left] {en \$, additifs};68\end{tikzpicture}69\caption{La séquence conventionnelle des ajustements : les circonstances de la transaction sont corrigées en pourcentage et en cascade, puis les différences de propriété sont ajoutées en dollars sur la base ainsi obtenue. Les indicateurs de qualité du comparable et sa pondération découlent de la grille remplie.}\label{fig:17:ordre}70\figsource{schéma de l'auteur.}71\end{figure}7273Cet ordre n'est pas une exigence normative. Les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent que le rapport expose « le traitement de l'information et le raisonnement » qui conduisent à la conclusion de valeur (règle 2.3), et que la définition de la valeur retenue soit celle d'un prix épuré des incitatifs et des conditions de financement avantageuses \parencite{oeaqNormes} ; elles ne prescrivent ni la forme ni l'ordre des ajustements. L'ordre conventionnel est une pratique courante, justifiée par trois arguments. Le premier est logique : on ne peut comparer les caractéristiques de deux biens qu'après avoir ramené leurs prix à une même définition, celle d'une vente sincère, au comptant, de la pleine propriété, à la date d'évaluation. Le deuxième est arithmétique : les ajustements de propriété tirés du marché le sont à la date d'évaluation, sur des prix actuels ; les appliquer à un prix de 2025 non actualisé mélangerait deux niveaux de prix. Le troisième est statistique, et il sera développé à la \cref{sec:17:cascade} : la cascade en pourcentage puis l'addition en dollars est une approximation d'un modèle multiplicatif dont les propriétés sont connues.7475\subsection{Les ajustements de transaction autres que le temps}7677Quatre ajustements de transaction précèdent celui des conditions du marché, et la pratique québécoise les rencontre moins souvent qu'on ne le croit, parce que la vérification du \cref{ch:16} conduit le plus souvent à écarter la vente plutôt qu'à l'ajuster. L'ajustement de \emph{droits transmis} corrige une vente qui n'a pas porté sur la pleine propriété libre de charges : un immeuble grevé d'un bail commercial de longue durée à loyer inférieur au marché, une emphytéose, une fraction indivise ; son montant est la valeur actualisée de l'écart de droits (\cref{ch:02,ch:06}) et, pour une maison unifamiliale, il est presque toujours préférable de remplacer le comparable. L'ajustement de \emph{conditions de vente} corrige une vente qui n'a pas été sincère ou pleinement exposée ; il ne se mesure pas directement, et le seul procédé défendable est de comparer la vente suspecte à des ventes sincères de biens semblables, ce qui revient à une analyse de paires. L'ajustement de \emph{dépenses après l'achat} ajoute au prix du comparable le coût des travaux que l'acheteur savait devoir engager immédiatement et dont il a tenu compte dans son offre : un toit à refaire, une installation septique à remplacer ; il est positif du point de vue du sujet si celui-ci n'exige pas ces travaux, et le dossier doit établir, par l'historique de courtage ou l'entretien avec une partie, que le prix convenu en tenait compte. L'ajustement d'\emph{éléments non immobiliers}, enfin, retranche du prix du comparable la contrepartie des meubles et des électroménagers compris dans la vente ; la valeur déclarée dans l'acte à cet effet est souvent fixée pour des raisons fiscales et ne lie pas l'évaluateur.7879L'ajustement de \emph{financement} est le seul de ces quatre qui se calcule plutôt qu'il ne se constate, et il mérite un exemple. Lorsque le vendeur consent une balance de prix de vente à un taux inférieur au marché, l'acheteur reçoit un avantage qu'il paie par un prix plus élevé ; le prix comptant équivalent est le prix convenu diminué de la valeur de cet avantage, c'est-à-dire de la différence entre le montant prêté et la valeur actualisée, au taux du marché, des paiements effectivement promis. Soit une vente de \dollars{620000} dont \dollars{150000} sont financés par le vendeur à \pct{2} pendant cinq ans, intérêts seulement payés mensuellement et capital remboursé au terme, alors que le marché exige \pct{5} pour un prêt hypothécaire de même terme, les deux taux étant des taux nominaux à composition semestrielle selon la convention canadienne. Le taux mensuel équivalent du contrat est $(1{,}01)^{1/6} - 1 = 0{,}1660$ \%, d'où un intérêt mensuel de \dollars{248.96} ; celui du marché est $(1{,}025)^{1/6} - 1 = 0{,}4124$ \%. La valeur actualisée au taux du marché des soixante intérêts et du capital vaut \dollars{130389}, de sorte que le vendeur a consenti un avantage de \dollars{19611} ; l'ajustement de financement est de $-\dollars{19611}$, soit \pct{-3.16} du prix, et le prix comptant équivalent du comparable est de \dollars{600389}. Si la balance était plutôt amortie sur vingt-cinq ans avec un terme de cinq ans, le même calcul, appliqué aux soixante mensualités et au solde dû au terme, donnerait un avantage de \dollars{18138}. Le calcul suppose que l'acheteur valorise l'avantage à sa valeur actualisée complète, ce qui n'est vrai que s'il aurait emprunté la même somme aux conditions du marché ; lorsque l'avantage dépasse quelques points de pourcentage du prix, l'incertitude de cette hypothèse justifie, là encore, de remplacer le comparable. Les fonctions \texttt{taux\_mensuel\_canadien}, \texttt{facteur\_va} et \texttt{facteur\_va\_annuite} du module \texttt{traite.finance} reproduisent ce calcul (\texttt{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py}, fonction \texttt{financement}).8081\subsection{Trois formes du prix ajusté}8283Trois écritures du prix ajusté coexistent dans la littérature et dans la pratique, et il importe de les distinguer avant de calculer. La \emph{forme additive} applique tous les ajustements en dollars sur le prix de vente :84\begin{equation}\label{eq:17:additif}85P^{\text{aj}}_j = P_j + \sum_{k=1}^{K} A_{jk} .86\end{equation}87La \emph{forme multiplicative} applique tous les ajustements en proportion, en cascade :88\begin{equation}\label{eq:17:multiplicatif}89P^{\text{aj}}_j = P_j \prod_{k=1}^{K} \left(1 + a_{jk}\right),90\end{equation}91où $a_{jk}$ est l'ajustement pour l'élément $k$ exprimé en proportion de la base courante. La \emph{forme mixte}, qui est la convention de l'ouvrage, applique les ajustements de transaction $k \in \mathcal{T}$ en proportion et en cascade, puis les ajustements de propriété $k \in \mathcal{P}$ en dollars :92\begin{equation}\label{eq:17:mixte}93P^{\text{aj}}_j = P_j \prod_{k \in \mathcal{T}} \left(1 + a_{jk}\right) + \sum_{k \in \mathcal{P}} A_{jk} .94\end{equation}95Les trois formes donnent des résultats voisins lorsque les ajustements sont petits, et elles divergent dès qu'ils sont grands ou nombreux. \textcite{colwellCannadayWu1983} ont montré que la forme additive est l'analogue exact d'un modèle hédonique linéaire en niveau, et la forme multiplicative celui d'un modèle linéaire en logarithme ; le choix de la forme n'est donc pas une question de commodité, mais une hypothèse sur la façon dont le marché forme les prix. \textcite{isakson2002} a formalisé la grille en algèbre linéaire et montré que, sous la forme additive, le prix ajusté est une projection du prix du comparable sur l'espace des caractéristiques du sujet, ce qui éclaire les conditions d'identification des prix implicites. La \cref{sec:17:cascade} quantifie l'écart entre les formes sur les comparables du cas 1.9697\section{Les méthodes d'extraction des ajustements}\label{sec:17:extraction}9899Un ajustement n'est pas une opinion : il doit provenir du marché. Cinq méthodes permettent de l'en extraire, et le \cref{tab:17:methodes} les compare. Elles ne s'excluent pas ; dans un dossier soigné, l'ajustement retenu pour un élément important est recoupé par au moins deux d'entre elles, et le rapport documente la méthode, les données et la précision obtenue.100101\begin{table}[htbp]102\caption{Méthodes d'extraction des ajustements : principe, données requises, précision et limites}\label{tab:17:methodes}103\centering\small104\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{27mm}YYL{34mm}@{}}105\toprule106Méthode & Principe & Données requises & Précision et limites \\107\midrule108Ventes appariées & Différence de prix entre deux ventes qui ne diffèrent que par l'élément étudié & Paires vérifiées, mêmes marché, date et autres caractéristiques & Intuitive et probante ; très bruitée (la variance d'une différence est le double de celle d'un prix) ; paires parfaites rares \\109Coût déprécié & Coût neuf de l'élément moins sa dépréciation (\cref{ch:24}) & Coût unitaire de l'élément, âge, durée de vie & Plafond plutôt que mesure de la contribution au prix ; convient aux éléments récents et séparables \\110Capitalisation d'une différence de loyer & Écart de revenu attribuable à l'élément divisé par un taux (\cref{ch:29}) & Loyers de marché avec et sans l'élément, taux de capitalisation & Immeubles de revenu ; suppose que l'acheteur paie le revenu, non l'agrément \\111Régression & Coefficient d'un modèle hédonique estimé sur le marché (\cref{ch:18}) & Plusieurs centaines de ventes décrites de façon homogène & Précis et cohérent entre éléments ; dépend de la spécification ; prix implicites moyens, non locaux \\112Analyse de tendance & Évolution d'un indice ou d'une série de prix entre deux dates & Indice de prix du segment, ventes répétées, médianes par période & Réservé aux conditions du marché ; sensible au choix de l'indice et à la composition \\113\bottomrule114\end{tabularx}115\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026}, \textcite{colwellCannadayWu1983} et \textcite{pace1998grid}.}116\end{table}117118\subsection{Les ventes appariées}119120La méthode des \motcle{ventes appariées} (\emph{paired sales}) est la plus ancienne et la plus parlante : si deux maisons identiques à tous égards sauf la présence d'un garage se sont vendues au même moment, la différence de leurs prix est le prix du garage. Formellement, pour $n$ paires $(P_i^{\text{avec}}, P_i^{\text{sans}})$ dont les membres ne diffèrent que par l'élément $k$, l'estimateur est la différence moyenne et sa précision découle de la dispersion des différences :121\begin{equation}\label{eq:17:paires}122\hat A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(P_i^{\text{avec}} - P_i^{\text{sans}}\right), \qquad123\widehat{\mathrm{ET}}(\hat A_k) = \frac{s_d}{\sqrt{n}}, \quad s_d^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(P_i^{\text{avec}} - P_i^{\text{sans}} - \hat A_k\right)^2 .124\end{equation}125Sous le modèle local du \cref{ch:16}, chaque prix comporte un bruit de transaction de variance $\sigma^2$ ; la différence de deux prix indépendants a donc une variance de $2\sigma^2$, et l'erreur-type de l'estimateur vaut $\sigma\sqrt{2/n}$. C'est la faiblesse structurelle de la méthode : sur un marché où le bruit de transaction est de l'ordre de \pct{8} du prix, soit environ \dollars{45000} pour une maison de \dollars{550000}, une seule paire donne une estimation dont l'erreur-type dépasse \dollars{60000}, et il faut une quinzaine de paires pour la ramener à \dollars{16000}, ce qui reste du même ordre que l'ajustement recherché. La méthode est donc probante pour établir le \emph{signe} et l'\emph{ordre de grandeur} d'un ajustement, rarement pour en fixer le montant à quelques milliers de dollars près.126127Deux difficultés pratiques s'ajoutent. La première est que les paires parfaites n'existent pas : deux maisons diffèrent toujours par la date, le terrain, l'état, et il faut soit tolérer ces différences, soit les corriger par d'autres ajustements, ce qui introduit une circularité. La convention raisonnable est de déclarer les critères de pairage (même secteur, même type, superficie et âge dans une fourchette étroite, dates proches) et de n'appliquer aux membres de la paire qu'un seul ajustement préalable, celui de conditions du marché, dont le montant est tiré d'une source indépendante. La seconde difficulté est le choix entre la moyenne et la médiane des différences : la moyenne est l'estimateur efficace si les différences sont normalement distribuées, mais une seule paire aberrante la déplace de plusieurs milliers de dollars ; la médiane est robuste mais moins précise. Le dossier devrait présenter les deux, avec le nombre de paires et l'écart-type des différences. La \cref{sec:17:exemple} applique cette discipline au marché synthétique du cas 1 et montre ce que l'on obtient réellement avec une quinzaine de paires.128129\subsection{Le coût déprécié}130131Pour un élément séparable et récent, le coût de l'ajouter, diminué de sa dépréciation, borne la contribution de l'élément au prix : un acheteur ne paiera pas, pour un garage existant, plus que ce qu'il lui en coûterait d'en construire un, et il paiera moins si le garage est vieux. L'ajustement par le coût déprécié s'écrit132\begin{equation}\label{eq:17:cout}133A_k = C_{N,k}\,(1 - \delta_k),134\end{equation}135où $C_{N,k}$ est le coût neuf de l'élément à la date d'évaluation et $\delta_k$ son taux de dépréciation, mesuré selon les méthodes du \cref{ch:24}. La méthode est utile comme recoupement et comme plafond ; elle est trompeuse comme mesure directe, parce que le marché ne paie pas nécessairement le coût d'un élément : une piscine creusée coûte souvent davantage que la prime qu'elle rapporte à la revente, et une finition de sous-sol de qualité médiocre peut ne rien valoir. L'écart entre le coût déprécié et la contribution au prix est précisément la désuétude fonctionnelle de l'élément, et il peut être de l'un ou l'autre signe.136137\subsection{La capitalisation d'une différence de loyer}138139Pour les immeubles de revenu, un élément de comparaison a un prix parce qu'il rapporte un revenu : un stationnement, un logement rénové, une buanderie se louent. Si l'élément $k$ procure un revenu net supplémentaire $\Delta \NOI_k$ par année, sa contribution à la valeur est, par capitalisation directe,140\begin{equation}\label{eq:17:capitalisation}141A_k = \frac{\Delta \NOI_k}{R},142\end{equation}143où $R$ est le taux global de capitalisation du marché pour ce type d'immeuble (\cref{ch:29}). Un stationnement loué \dollars{75} par mois, soit \dollars{900} par année, dont les dépenses d'exploitation sont négligeables, vaut \dollars{18000} à un taux de \pct{5}. La méthode suppose que l'acheteur type est un investisseur qui paie le revenu ; pour un duplex acheté par un propriétaire occupant, l'agrément compte autant que le loyer et la méthode ne donne qu'une borne. Le \cref{ch:32} y revient pour les petits immeubles.144145\subsection{La régression}146147La régression hédonique estime simultanément les prix implicites de toutes les caractéristiques à partir de l'ensemble des ventes d'un marché. Dans le modèle semi-logarithmique de référence de l'ouvrage, $\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \varepsilon_i$, le coefficient $\beta_k$ est l'effet d'une unité de la caractéristique $k$ sur le logarithme du prix, et l'ajustement du comparable $j$ vers le sujet pour cette caractéristique, appliqué sur une base $B$, vaut148\begin{equation}\label{eq:17:regression}149A_{jk} = B \left[\exp\!\big(\beta_k\,(x_{sk} - x_{jk})\big) - 1\right].150\end{equation}151La régression a trois avantages décisifs sur les paires. Elle utilise toutes les ventes, de sorte que l'erreur-type d'un prix implicite est divisée par la racine du nombre de ventes et non du nombre de paires ; sur le marché du cas 1, le coefficient du garage est estimé avec une erreur-type de 0,5 point de pourcentage à partir de 600 ventes. Elle contrôle les autres caractéristiques simultanément, ce qui supprime le problème des paires imparfaites. Et elle produit des prix implicites cohérents entre eux, tirés du même échantillon et de la même date de référence. Ses limites sont tout aussi réelles. Les prix implicites sont des moyennes sur tout le marché, non des prix locaux autour du sujet ; si la relation entre prix et superficie n'est pas la même pour les petites et les grandes maisons, le coefficient unique de la superficie est faux aux deux extrémités, ce que \textcite{pace1998} a traité par des modèles additifs généralisés. La spécification compte : \textcite{cropperDeckMcconnell1988} ont montré que les formes linéaire et semi-logarithmique simples résistent mieux aux variables omises que les formes flexibles, et \textcite{malpezzi2003} rappelle que l'omission d'une caractéristique corrélée aux autres biaise tous les coefficients. Enfin, les coefficients de variables indicatrices en logarithme ne se lisent pas directement en pourcentage, ce que la \cref{sec:17:temps} précise. Le \cref{ch:18} est consacré à l'estimation et au diagnostic de ces modèles ; le présent chapitre les utilise comme source d'ajustements, selon la logique de \textcite{pace1998grid}, pour qui la grille et la régression sont deux estimateurs du même objet.152153\subsection{L'analyse de tendance}154155L'analyse de tendance est réservée aux conditions du marché : elle mesure l'évolution des prix entre la date de la vente et la date d'évaluation à partir d'un indice de prix, d'une série de médianes par période, de ventes répétées ou du coefficient temporel d'un modèle hédonique. Elle fait l'objet de la section suivante, parce que l'ajustement de temps est, dans la plupart des dossiers résidentiels, le plus grand des ajustements de transaction et celui dont l'erreur se propage à tous les autres.156157\section{L'ajustement de conditions du marché}\label{sec:17:temps}158159\subsection{Trois écritures équivalentes}160161Soit $m_j$ le nombre de mois écoulés entre la date de la promesse d'achat du comparable et la date d'évaluation. Si l'on dispose d'un indice de prix $I_t$ du segment, l'ajustement par ratio d'indices est162\begin{equation}\label{eq:17:temps-indice}163A_{j,\text{temps}} = P_j \left(\frac{I_{\text{éval}}}{I_{\text{vente}}} - 1\right).164\end{equation}165Si l'on dispose d'un taux de croissance annuel composé $g$, l'ajustement est166\begin{equation}\label{eq:17:temps-taux}167A_{j,\text{temps}} = P_j \left[(1+g)^{m_j/12} - 1\right],168\end{equation}169et si l'on dispose du coefficient $\beta_m$ d'une tendance mensuelle dans un modèle en logarithme,170\begin{equation}\label{eq:17:temps-coef}171A_{j,\text{temps}} = P_j \left[\exp(\beta_m\, m_j) - 1\right], \qquad g = \exp(12\,\beta_m) - 1 .172\end{equation}173Les trois écritures sont équivalentes lorsque l'indice croît à taux constant, $I_t = I_0 (1+g)^{t/12}$ et $\beta_m = \ln(1+g)/12$ ; elles diffèrent lorsque la trajectoire des prix n'est pas régulière, et c'est alors l'indice, s'il est fiable, qui doit prévaloir, parce qu'il suit les inflexions du marché que le taux moyen lisse. L'approximation linéaire $A \approx P_j\,\beta_m\,m_j$, encore répandue, sous-estime l'ajustement d'un montant qui croît avec le carré de la durée : pour quinze mois à \pct{4.4} par année, l'écart est d'environ un dixième de point de pourcentage du prix, négligeable ; pour trois ans à \pct{10} par année, il atteint près de trois points et cesse de l'être.174175\subsection{La date pertinente et le choix de l'indice}176177Le \cref{ch:16} a insisté sur la date de la promesse d'achat, seule date à laquelle le prix reflète le marché ; l'ajustement de temps court de cette date à la date d'évaluation. Lorsque seule la date de l'acte est connue, l'évaluateur la corrige d'un délai typique, ou il utilise l'historique de courtage. L'erreur de date est une source d'erreur fréquente et systématique : dans un marché qui monte, utiliser la date de l'acte, postérieure, raccourcit la période et sous-estime l'ajustement de tous les comparables.178179Le choix de l'indice est la décision la plus lourde. Un indice de prix médians par trimestre, comme ceux que publient les chambres immobilières, mesure l'évolution du prix d'une maison médiane dont la composition change d'un trimestre à l'autre ; en période de rotation de l'offre vers les biens plus chers ou moins chers, il surestime ou sous-estime la variation à qualité constante. Un indice de ventes répétées suit des biens identiques et élimine l'effet de composition, au prix d'un échantillon plus petit et d'une agrégation géographique plus large (\cref{ch:35}). Un indice hédonique, enfin, est à qualité constante par construction, mais il hérite des hypothèses du modèle. Dans tous les cas, l'indice doit porter sur le segment et le territoire du sujet : appliquer à une unifamiliale de Gatineau l'indice de l'ensemble des propriétés de la RMR de Montréal n'est pas un ajustement de conditions du marché, c'est une erreur de marché.180181\begin{quebec}[Sources québécoises pour l'ajustement de temps]182Trois familles de sources sont disponibles au Québec, chacune avec ses limites. L'APCIQ publie chaque trimestre, par RMR et par secteur, le prix médian des unifamiliales, des copropriétés et des plex, à partir des transactions du système Centris ; ce sont des médianes brutes, sans contrôle de composition, et leur variation annuelle doit être lue comme une indication de tendance plutôt que comme un indice à qualité constante \parencite{apciqgatineaut32026}. L'indice de prix de maison Teranet--Banque Nationale est un indice de ventes répétées, base juin 2005 = 100, publié mensuellement pour onze RMR dont Montréal, Québec et, dans sa composante composite, les autres marchés ; il est à qualité constante mais agrège tous les types de propriétés d'une RMR et n'est pas publié par secteur \parencite{teranet202609}. L'Indice des prix des logements neufs de Statistique Canada (tableau 18-10-0205-01) mesure le prix des maisons \emph{neuves} vendues par les constructeurs, terrain et bâtiment, pour les RMR dont Ottawa--Gatineau ; il ne décrit pas le marché de la revente et ne convient pas à l'ajustement d'une vente de maison existante \parencite{statcanipln}. En évaluation foncière, la partie 3A du Manuel d'évaluation foncière du Québec, « Taux de variation du marché », encadre la mesure de l'évolution des prix entre la date des ventes et la date de référence du rôle, et la partie 3C traite de la méthode de comparaison ; l'évaluateur municipal applique ces consignes en vertu du Règlement sur le rôle d'évaluation foncière \parencite{mefqpartie3,reglrole}. Pour le cas 1, le jeu synthétique a été généré avec une croissance annuelle composée égale à celle que révèle la variation de la médiane unifamiliale entre les rôles 2024-2026 et 2027-2029 de Gatineau, soit \pct{9.06} en deux ans ou \pct{4.43} par année \parencite{gatineaurole2027} ; le coefficient temporel estimé sur les 600 ventes vaut 0,364 \% par mois, soit \pct{4.46} par année. Sources consultées le 31 octobre 2026.183\end{quebec}184185\subsection{Lire un coefficient de variable indicatrice}186187Lorsque l'ajustement provient d'un modèle en logarithme, la lecture du coefficient d'une variable continue est immédiate : $\beta_k$ est une semi-élasticité, et l'effet d'un écart $\Delta x$ est $\exp(\beta_k \Delta x) - 1$, comme à l'\cref{eq:17:regression}. Pour une variable indicatrice (garage ou non, sous-sol fini ou non, secteur), l'habitude de lire $\beta_k$ comme un pourcentage est une approximation qui n'est acceptable que pour les petits coefficients. \textcite{halvorsenPalmquist1980} ont établi que l'effet relatif exact est188\begin{equation}\label{eq:17:hp}189\hat g_k = \exp(\hat\beta_k) - 1,190\end{equation}191et \textcite{kennedy1981} a montré que cet estimateur est biaisé vers le haut parce que l'espérance de $\exp(\hat\beta_k)$ excède $\exp(\beta_k)$ lorsque $\hat\beta_k$ est aléatoire ; l'estimateur approximativement sans biais est192\begin{equation}\label{eq:17:kennedy}193\tilde g_k = \exp\!\left(\hat\beta_k - \tfrac{1}{2}\widehat{\Var}(\hat\beta_k)\right) - 1 .194\end{equation}195Giles (1982) puis van Garderen et Shah (2002) ont donné les estimateurs exacts et leur variance ; la correction de Kennedy suffit en pratique. Les deux corrections ne comptent que si le coefficient est grand ou imprécis. Pour un coefficient de 0,032 estimé avec une erreur-type de 0,005, la lecture naïve donne \pct{3.2}, la formule de Halvorsen--Palmquist \pct{3.30} et celle de Kennedy \pct{3.29} : les écarts sont de l'ordre du millième du prix. Pour un coefficient de secteur de $-0{,}25$ estimé avec une erreur-type de 0,07, la lecture naïve donne \pct{-25.0} alors que l'effet exact est de \pct{-22.1} et l'effet corrigé de \pct{-22.3} : l'erreur de lecture atteint trois points de pourcentage, soit \dollars{15000} sur une maison de \dollars{500000}. La conséquence pratique est simple : un ajustement de localisation entre secteurs, qui est typiquement grand, ne se lit jamais directement dans un coefficient en logarithme. Le \cref{tab:17:hpk} applique les trois lectures aux indicatrices du modèle du cas 1.196197\section{Les ajustements qualitatifs et l'analyse relative}\label{sec:17:qualitatif}198199Il arrive que l'on ne puisse pas chiffrer un ajustement de façon défendable : le marché est trop mince pour des paires, trop hétérogène pour une régression, et l'élément n'a ni coût ni loyer identifiable (une vue, un voisinage bruyant, un plan d'étage malcommode). L'\motcle{analyse relative} (\emph{relative comparison analysis}) remplace alors le montant par un jugement ordinal : pour chaque élément, le comparable est noté inférieur, égal ou supérieur au sujet, et la position d'ensemble du comparable résulte du bilan de ces jugements, pondéré par l'importance de chaque élément. Un comparable globalement inférieur au sujet s'est vendu à un prix que la valeur du sujet doit dépasser ; un comparable globalement supérieur fixe un prix que la valeur du sujet ne doit pas atteindre. Si les comparables se répartissent des deux côtés, la valeur est \motcle{encadrée} (\emph{bracketed}) : elle se situe entre le prix le plus élevé des comparables inférieurs et le prix le plus bas des comparables supérieurs.200201La méthode a deux mérites. Elle oblige à hiérarchiser les éléments de comparaison, ce qui est utile même lorsque des montants existent ; et elle produit une fourchette qui ne dépend d'aucun prix implicite, donc d'aucune hypothèse d'extraction. Elle a aussi deux limites qu'il faut dire. D'abord, l'encadrement n'est valide que si les prix des comparables sont de bonnes mesures de leur propre valeur, c'est-à-dire si le bruit de transaction est petit ; un comparable inférieur qui s'est vendu cher par hasard relève la borne inférieure au-dessus de la valeur du sujet. Ensuite, lorsque tous les comparables sont du même côté, l'analyse ne donne qu'une borne, et le dossier doit le reconnaître. L'analyse relative est donc le complément de la grille chiffrée, non son substitut, et l'exemple de la \cref{sec:17:exemple} montre qu'elle peut la contredire de façon instructive.202203Une variante intermédiaire, le classement (\emph{ranking analysis}), ordonne les comparables du plus inférieur au plus supérieur et place le sujet dans cet ordre ; la valeur est alors interpolée entre les prix des deux voisins du sujet dans le classement. Elle partage les mérites et les limites de l'encadrement. Dans les deux cas, la littérature sur les biais de jugement invite à la prudence : \textcite{northcraftNeale1987} ont montré que des évaluateurs professionnels, exposés à un prix demandé fictif, déplaçaient leur estimation dans le sens de l'ancre, et \textcite{diaz1997} que le jugement sur les comparables est influencé par l'opinion de valeur formée avant l'analyse. Les jugements ordinaux doivent donc être consignés élément par élément, avant que les prix ne soient regardés, exactement comme les critères de sélection du \cref{ch:16}.204205\section{La cascade et le prix ajusté}\label{sec:17:cascade}206207\subsection{La cascade dérivée d'un modèle en logarithme}208209Lorsque les ajustements proviennent d'un modèle semi-logarithmique, la façon la plus cohérente de les appliquer est une cascade multiplicative qui respecte l'ordre conventionnel du \cref{tab:17:ordre}. Soit $\Delta_{jk} = \sum_{c \in k} \beta_c (x_{sc} - x_{jc})$ la variation du logarithme du prix attribuable au groupe de caractéristiques $k$ (un groupe peut réunir plusieurs régresseurs, par exemple l'âge et son carré). La cascade part de $B_{j0} = P_j$ et applique, à chaque étape,210\begin{equation}\label{eq:17:cascade}211A_{jk} = B_{j,k-1}\left[\exp(\Delta_{jk}) - 1\right], \qquad B_{jk} = B_{j,k-1} + A_{jk} = B_{j,k-1}\exp(\Delta_{jk}),212\end{equation}213de sorte que le prix ajusté est la dernière base, $P^{\text{aj}}_j = B_{jK}$, et que la somme des ajustements est bien l'écart entre le prix ajusté et le prix de vente. C'est exactement ce que calcule la fonction \texttt{ajustements\_hedoniques} du module \texttt{traite.cas1}, dans l'ordre : conditions du marché, localisation, superficie, terrain, âge, qualité, garage, sous-sol, piscine, type de bâtiment.214215\begin{proposition}{Commutativité du total, non de la répartition}{commutativite}216Sous la cascade \eqref{eq:17:cascade}, le prix ajusté ne dépend pas de l'ordre dans lequel les groupes sont appliqués :217\begin{equation}\label{eq:17:commutativite}218P^{\text{aj}}_j = P_j \exp\!\Big(\sum_{k=1}^{K} \Delta_{jk}\Big) = P_j \exp\!\big(\boldsymbol\beta\T(\mathbf{x}_s - \mathbf{x}_j)\big).219\end{equation}220En revanche, le montant attribué à chaque étape, $A_{jk}$, dépend de la base $B_{j,k-1}$ et donc de l'ordre : un même écart de caractéristique reçoit un ajustement en dollars d'autant plus grand qu'il est appliqué tard dans la cascade, si les étapes précédentes ont relevé la base.221\end{proposition}222\begin{proof}223Par récurrence sur \eqref{eq:17:cascade}, $B_{jK} = P_j \prod_{k} \exp(\Delta_{jk}) = P_j \exp(\sum_k \Delta_{jk})$, et le produit d'exponentielles est commutatif. La seconde assertion découle de $A_{jk} = B_{j,k-1}[\exp(\Delta_{jk}) - 1]$, où $B_{j,k-1}$ dépend des étapes antérieures ; pour $\Delta_{jk}$ fixé, $A_{jk}$ est croissant en $B_{j,k-1}$.224\end{proof}225226La proposition a une portée pratique précise. Le total étant invariant, l'ordre conventionnel ne change pas la conclusion ; il change la lecture de la grille, c'est-à-dire la part de l'écart total que l'on impute au temps plutôt qu'à l'âge ou à la superficie. L'ordre conventionnel, qui place le temps en premier, impute à l'ajustement de conditions du marché le montant calculé sur le prix de vente d'origine, ce qui est la lecture naturelle : le marché a progressé sur ce que l'acheteur a effectivement payé. La \cref{sec:17:exemple} chiffre l'effet de l'ordre sur la répartition pour le comparable G0404.227228\subsection{L'écart entre les formes}229230La forme additive \eqref{eq:17:additif}, qui applique tous les effets au prix de vente, et la forme multiplicative \eqref{eq:17:multiplicatif} diffèrent par des termes de second ordre. Pour deux ajustements de proportions $a_1$ et $a_2$, le prix ajusté multiplicatif vaut $P(1 + a_1 + a_2 + a_1 a_2)$ et l'additif $P(1 + a_1 + a_2)$ ; l'écart est $P\,a_1 a_2$, positif si les deux ajustements sont de même signe, négatif s'ils sont de signes contraires. En général,231\begin{equation}\label{eq:17:ecart-formes}232P^{\text{aj}}_{\text{mult}} - P^{\text{aj}}_{\text{add}} = P_j \left[\prod_k (1 + a_{jk}) - 1 - \sum_k a_{jk}\right] = P_j \Big(\sum_{k < l} a_{jk} a_{jl} + \dots\Big),233\end{equation}234une quantité qui reste inférieure au demi pour cent du prix tant que les ajustements individuels ne dépassent pas une dizaine de pour cent, comme la \cref{sec:17:exemple} le vérifie, mais qui devient appréciable pour des comparables éloignés du sujet. La forme mixte \eqref{eq:17:mixte} se situe entre les deux. La leçon est double : d'une part, la forme retenue doit être déclarée au dossier, parce qu'elle fait partie du calcul ; d'autre part, l'écart entre les formes est un indicateur de l'éloignement du comparable, au même titre que l'ajustement brut, et un comparable pour lequel les formes divergent de plus d'un pour cent est un comparable trop éloigné.235236\subsection{Indicateurs de qualité et pondération}237238La grille remplie fournit, pour chaque comparable, l'ajustement brut et l'ajustement net de la \cref{def:ajustement} :239\begin{equation}\label{eq:17:brut-net}240\mathrm{brut}_j = \frac{\sum_k \abs{A_{jk}}}{P_j}, \qquad \mathrm{net}_j = \frac{\sum_k A_{jk}}{P_j} = \frac{P^{\text{aj}}_j - P_j}{P_j}.241\end{equation}242Le \cref{ch:16} a établi que les pondérations optimales des comparables sont inversement proportionnelles à leur variance (proposition sur les propriétés de l'indication de valeur) et que l'ajustement brut est le substitut usuel de cette variance, parce que l'incertitude des prix implicites s'ajoute au bruit de transaction en proportion de l'ampleur des ajustements. La règle de pondération correspondante est243\begin{equation}\label{eq:17:poids}244w_j = \frac{1/\max(\mathrm{brut}_j, b_0)}{\sum_{i=1}^{n} 1/\max(\mathrm{brut}_i, b_0)}, \qquad \hat V_s = \sum_{j=1}^{n} w_j\,P^{\text{aj}}_j,245\end{equation}246où le plancher $b_0$ évite qu'un comparable presque identique au sujet n'écrase tous les autres. Cette règle est une heuristique, non un optimum : elle suppose que l'incertitude croît linéairement avec le brut, ce que \textcite{vandell1991} et \textcite{green1994} ont discuté sans trancher, et elle ignore la corrélation entre comparables. \textcite{kummerowGalfalvy2002} ont montré empiriquement qu'elle fait mieux que la moyenne simple lorsque les bruts diffèrent nettement, et à peine mieux lorsqu'ils sont voisins. L'ajustement net, lui, ne sert pas à pondérer mais à alerter : un net élevé signale un comparable systématiquement inférieur ou supérieur au sujet, dont le prix ajusté dépend fortement des prix implicites retenus. Les seuils de \pct{25} pour le brut et de \pct{15} pour le net, souvent cités, sont des repères d'usage, non des règles ; le \cref{ch:20} intégrera la dispersion des prix ajustés dans une fourchette de valeur.247248\section{Exemple intégral : la grille des cinq comparables du cas 1}\label{sec:17:exemple}249250\begin{synthetique}251Le dossier du cas 1 est synthétique. Les 600 ventes de \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv} et le sujet de \texttt{cas1\_gatineau\_sujet.json} ont été générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} : le logarithme du prix y est une fonction de la superficie (élasticité 0,55), du terrain (0,10), de l'âge, de la qualité (0,06 par échelon), du garage (0,035), du sous-sol fini (0,03), de la piscine, du type, du secteur et du temps, plus un bruit d'écart-type 0,085. Les cinq comparables sont ceux du \cref{ch:16} (\texttt{traite.cas1.selection}) ; les ajustements sont ceux de \texttt{traite.cas1.ajustements\_hedoniques}, et les paires de ventes sont construites dans le même jeu. Tous les chiffres de cette section sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch17.py}. Le marché réel de référence qui a servi à la calibration est décrit au \cref{ch:16} ; aucun chiffre ci-dessous ne décrit une propriété réelle.252\end{synthetique}253254\begin{exemple}{Ajustements et valeur par comparaison du cottage de Hull}{cas1}255Le sujet est le cottage à étages de \msq{165} sur un terrain de \msq{620}, construit en 1998, de qualité 3, avec garage simple et sous-sol fini, évalué au 1\ier{} septembre 2026 (tableau des comparables retenus du \cref{ch:16}). L'exemple procède en sept étapes : estimation des prix implicites, ajustement de conditions du marché, cascade pour un comparable, grille complète, recoupement par ventes appariées, analyse relative, pondération et réconciliation partielle.256257\emph{Étape 1 : les prix implicites.} Le modèle hédonique de référence de l'ouvrage (\texttt{traite.cas1.hedonique}, détaillé au \cref{ch:18}) régresse le logarithme du prix des 600 ventes sur seize régresseurs ; il explique \pct{85.3} de la variance et laisse un écart-type résiduel de 0,083, soit un bruit de transaction d'environ \pct{8.3} du prix. Les coefficients utiles à la grille sont les suivants, avec leurs erreurs-types robustes : 0,539 (0,013) pour le logarithme de la superficie habitable, 0,094 (0,011) pour celui du terrain, $-0{,}00510$ (0,00056) par année d'âge avec un terme quadratique de 0,00264 (0,00064) par centaine d'années au carré, 0,061 (0,004) par échelon de qualité, 0,032 (0,005) par place de garage, 0,022 (0,007) pour le sous-sol fini, 0,026 (0,008) pour la piscine, 0,030 (0,007) pour le type à étages, et 0,00364 (0,00027) par mois. Les cinq comparables étant du secteur de Hull, comme le sujet, et à moins de trois kilomètres du centre, seuil au-delà duquel le modèle fait jouer la distance, l'ajustement de localisation est nul pour chacun : c'est une conséquence de la sélection du \cref{ch:16}, qui a choisi des ventes du même micro-marché, et une limite du modèle, qui ne distingue pas les rues à l'intérieur d'un secteur.258259\emph{Étape 2 : l'ajustement de conditions du marché.} Le coefficient mensuel de 0,00364 correspond à une croissance de 0,364 \% par mois, soit \pct{4.46} par année composée ; la loi de génération du jeu utilisait \pct{4.43}, et l'écart de trois centièmes de point est l'erreur d'estimation. Pour le comparable G0404, vendu le 27 mai 2025, soit 15,2 mois avant la date d'évaluation, à \dollars{506500}, le \cref{tab:17:temps} compare les écritures de la \cref{sec:17:temps}. Le coefficient, le taux composé estimé et le ratio d'un indice à croissance constante donnent le même montant de \dollars{28733} (\pct{5.67} du prix), comme l'exige leur équivalence ; le taux de génération de \pct{4.43} donne \dollars{28558}, et l'approximation linéaire \dollars{27998}. Les écarts entre méthodes sont ici inférieurs à \dollars{750}, parce que la durée est courte et la croissance modérée ; ils ne le seraient pas pour une vente de trois ans dans un marché à dix pour cent par année.260261\emph{Étape 3 : la cascade pour G0404.} Le \cref{tab:17:cascade} et la \cref{fig:17:cascade} déroulent la cascade \eqref{eq:17:cascade} pour G0404, le comparable le plus proche du sujet par les caractéristiques physiques. Après l'ajustement de temps, la base est de \dollars{535233}. Le sujet est plus grand de \msq{5} (165 contre 160), d'où $\Delta = 0{,}539 \ln(165/160) = 0{,}0166$ et un ajustement de \dollars{8953} ; son terrain est plus grand de \msq{82}, d'où $\Delta = 0{,}094 \ln(620/538) = 0{,}0133$ et \dollars{7279} ; il est plus vieux de cinq ans (28 ans contre 23), d'où un $\Delta$ de $-0{,}0187$ et un ajustement de $-\dollars{10242}$. La qualité, le garage, le sous-sol, la piscine et le type sont identiques, et leurs ajustements sont nuls. Le prix ajusté est de \dollars{541222}, soit un ajustement net de \pct{6.86} et un brut de \pct{10.9} : G0404 est le comparable le moins ajusté des cinq. Appliquée dans l'ordre inverse, la cascade donne le même prix ajusté, mais impute $-\dollars{9407}$ à l'âge, \dollars{6649} au terrain, \dollars{8426} à la superficie et \dollars{29054} au temps : la répartition a bougé de plusieurs centaines de dollars par ligne, le total d'aucun, conformément à la \cref{prop:commutativite}.262263\emph{Étape 4 : la grille complète.} Le \cref{tab:17:grille} présente les cinq cascades. Les prix ajustés s'établissent à \dollars{640247} pour G0574, \dollars{541222} pour G0404, \dollars{572793} pour G0468, \dollars{568853} pour G0477 et \dollars{584862} pour G0575 ; leur moyenne est de \dollars{581595}, leur médiane de \dollars{572793} et leur écart-type de \dollars{36471}, contre \dollars{52528} pour les prix bruts : les ajustements ont resserré la distribution, ce qui est leur fonction, sans la rendre étroite. La lecture par comparable est instructive. G0574, le mieux classé par la distance d'attributs du \cref{ch:16}, reçoit les ajustements les plus contrastés : \dollars{34090} pour la superficie, \dollars{19988} pour le garage, \dollars{13925} pour le sous-sol, mais $-\dollars{38190}$ pour sa qualité supérieure ; son brut atteint \pct{19.8} alors que son net n'est que de \pct{7.1}, illustration de ce que le brut mesure et de ce que le net cache. G0468, plus grand et de meilleure qualité que le sujet, est le seul comparable ajusté à la baisse ($-\dollars{51707}$, net de \pct{-8.3}). G0575, le plus récent et le plus petit en terrain, cumule un ajustement d'âge de $-\dollars{33052}$ (le sujet a quinze ans de plus) et un ajustement de qualité de $+\dollars{33549}$ (le sujet est d'un échelon supérieur), qui se compensent presque mais portent son brut à \pct{26.8}, au-delà du repère d'usage. La \cref{fig:17:bruts-ajustes} met en regard prix bruts et prix ajustés.264265\emph{Étape 5 : le recoupement par ventes appariées.} Pour vérifier les prix implicites du garage et du sous-sol, des paires ont été construites dans les 600 ventes selon des critères déclarés : même secteur, même type de bâtiment, même qualité, même présence de piscine, autre attribut binaire identique, écart d'exactement une place de garage (ou présence contre absence de sous-sol fini), superficie habitable à \pct{5} près, âge à cinq ans près, dates de vente à moins de douze mois l'une de l'autre ; le prix de la vente « sans » est ramené à la date de la vente « avec » par le taux mensuel du modèle, seul ajustement préalable. Les critères laissent quinze paires pour le garage et quatorze pour le sous-sol. Le \cref{tab:17:paires} et la \cref{fig:17:paires} donnent les résultats. Pour le garage, la différence moyenne est de \dollars{7991} et la médiane de \dollars{6034}, mais l'écart-type des différences atteint \dollars{64270} et l'erreur-type de la moyenne \dollars{16594} : l'intervalle à 95 \% s'étend de $-\dollars{24500}$ à \dollars{40500} et contient le prix implicite hédonique, qui vaut \pct{3.30} du prix, soit \dollars{17155} au prix médian des paires. Pour le sous-sol fini, la différence moyenne est de \dollars{23623} (médiane \dollars{30789}), avec une erreur-type de \dollars{6255} ; le prix implicite hédonique, \pct{2.22} ou \dollars{10394} au prix médian des paires, se situe cette fois à l'extérieur de l'intervalle à 95 \%. Les variantes du \cref{tab:17:paires} montrent que ces résultats bougent de plusieurs milliers de dollars dès que l'on relâche la fourchette de superficie ou la fenêtre temporelle : avec \pct{7.5} de superficie et dix-huit mois, les 45 paires de garage donnent une moyenne de \dollars{5956} et les 27 paires de sous-sol \dollars{16039}. Rien de cela n'est anormal : avec un bruit de transaction de \pct{8.3}, une quinzaine de paires ne peut pas estimer un ajustement de deux ou trois pour cent du prix à mieux que trois ou quatre pour cent près. La méthode des paires confirme le signe et l'ordre de grandeur des deux ajustements ; elle ne permet ni de les préciser, ni de contredire la régression, qui utilise quarante fois plus d'observations. C'est la régression qui est retenue pour la grille, et le dossier consigne les paires comme recoupement.266267\emph{Étape 6 : l'analyse relative.} Le \cref{tab:17:qualitatif} traduit chaque ajustement en jugement ordinal. Quatre comparables sont globalement inférieurs au sujet (ajustement net positif) et un, G0468, lui est supérieur. L'encadrement de la \cref{sec:17:qualitatif} place donc la valeur entre le prix le plus élevé des inférieurs, \dollars{598000} (G0574), et le prix du supérieur, \dollars{624500} (G0468). Or la grille chiffrée conclut en deçà de cet intervalle : la moyenne des prix ajustés est de \dollars{581595} et les prix ajustés de G0404, G0477, G0468 et G0575 sont tous inférieurs à \dollars{598000}. La contradiction n'est pas une erreur de calcul ; elle révèle que l'hypothèse qui fonde l'encadrement, un bruit de transaction faible, n'est pas satisfaite. G0574 s'est vendu \dollars{598000} pour une maison que le modèle estime à \dollars{594000} environ à sa date ; G0404 s'est vendu \dollars{506500} pour une maison que le modèle estime près de \dollars{595000} à la sienne. L'encadrement prend ces prix au pied de la lettre ; la grille, elle, ne corrige que les caractéristiques et laisse le bruit dans chaque prix ajusté. La \cref{prop:residus} ci-dessous explique le phénomène.268269\emph{Étape 7 : pondération et indication de valeur.} Les ajustements bruts sont de \pct{19.8}, \pct{10.9}, \pct{17.6}, \pct{22.4} et \pct{26.8} ; les poids de l'\cref{eq:17:poids} valent 0,179, 0,327, 0,202, 0,159 et 0,133, et G0404 reçoit près du tiers du poids parce qu'il est le moins ajusté. La valeur pondérée est de \dollars{575565}, contre \dollars{581595} pour la moyenne simple et \dollars{572793} pour la médiane ; l'étendue des prix ajustés, de \dollars{541222} à \dollars{640247}, représente \pct{17.2} de la valeur pondérée, et leur écart-type pondéré \dollars{33997}. L'indication de valeur par la méthode de comparaison, arrondie, est de \dollars{575000}, dans une fourchette que le \cref{ch:20} précisera. Elle est à rapprocher de l'indication brute par le prix unitaire du \cref{ch:16}, \dollars{551029}, qu'elle dépasse de \pct{4.5} parce que les ajustements de temps, de garage et de sous-sol, tous positifs, l'emportent sur les ajustements de qualité négatifs ; et de la prédiction du modèle hédonique pour le sujet, \dollars{637953} avec la correction de retransformation de Duan (1983), dont elle s'écarte de \pct{9.8}.270\end{exemple}271272\begin{table}[htbp]273\caption{Ajustement de conditions du marché du comparable G0404 (\dollars{506500}, vendu 15,2 mois avant la date d'évaluation) selon cinq écritures}\label{tab:17:temps}274\centering\footnotesize275\begin{tabular}{@{}lS[table-format=1.3]S[table-format=5.0]S[table-format=1.2]@{}}276\toprule277Écriture & {Paramètre} & {Ajustement (\$)} & {\% du prix} \\278\midrule279Coefficient mensuel du modèle, \cref{eq:17:temps-coef} ($\beta_m = 0{,}00364$) & 0.364 & 28733 & 5.67 \\280Taux annuel composé estimé, \cref{eq:17:temps-taux} ($g = \pct{4.46}$) & 4.459 & 28733 & 5.67 \\281Ratio d'indices à croissance constante, \cref{eq:17:temps-indice} & 1.057 & 28733 & 5.67 \\282Taux annuel composé de la loi de génération ($g = \pct{4.43}$) & 4.432 & 28558 & 5.64 \\283Approximation linéaire $P\,\beta_m\,m$ & 0.364 & 27998 & 5.53 \\284\bottomrule285\end{tabular}286\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{temps}} ; le paramètre est en \% par mois pour les lignes 1 et 5, en \% par année pour les lignes 2 et 4, et le ratio $I_{\text{éval}}/I_{\text{vente}}$ pour la ligne 3.}287\end{table}288289\begin{table}[htbp]290\caption{Cascade d'ajustements du comparable G0404 vers le sujet, dans l'ordre conventionnel}\label{tab:17:cascade}291\centering\footnotesize292\begin{tabular}{@{}lS[table-format=-1.4]S[table-format=-1.2]S[table-format=-5.0]S[table-format=6.0]@{}}293\toprule294Étape & {$\Delta_{jk}$ (log)} & {Effet (\%)} & {Ajustement (\$)} & {Base après (\$)} \\295\midrule296Prix de vente (27 mai 2025) & {---} & {---} & {---} & 506500 \\297Conditions du marché (15,2 mois) & 0.0552 & 5.67 & 28733 & 535233 \\298Localisation (même secteur) & 0 & 0 & 0 & 535233 \\299Superficie habitable (165 c. 160 m\textsuperscript{2}) & 0.0166 & 1.67 & 8953 & 544185 \\300Terrain (620 c. 538 m\textsuperscript{2}) & 0.0133 & 1.34 & 7279 & 551464 \\301Âge (28 c. 23 ans) & -0.0187 & -1.86 & -10242 & 541222 \\302Qualité, garage, sous-sol, piscine, type (égaux) & 0 & 0 & 0 & 541222 \\303\midrule304Prix ajusté & 0.0663 & 6.86 & 34722 & 541222 \\305\bottomrule306\end{tabular}307\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{cascade}}.}308\end{table}309310\begin{figure}[htbp]311\centering312\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-cascade-g0404.pdf}313\caption{Cascade des ajustements du comparable G0404 : chaque barre part de la base laissée par l'étape précédente ; les ajustements positifs (vert) relèvent la base, l'ajustement d'âge (orange) l'abaisse, et six étapes sont nulles parce que les caractéristiques sont identiques. Le prix ajusté de \dollars{541222} est le total de la cascade, indépendant de l'ordre des étapes.}\label{fig:17:cascade}314\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}315\end{figure}316317\begin{table}[htbp]318\caption{Grille complète des ajustements des cinq comparables du cas 1 (cascade hédonique, ordre conventionnel, montants en dollars)}\label{tab:17:grille}319\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}320\begin{tabular}{@{}lS[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]@{}}321\toprule322Élément de comparaison & {G0574} & {G0404} & {G0468} & {G0477} & {G0575} \\323\midrule324Prix de vente & 598000 & 506500 & 624500 & 538000 & 513500 \\325Date de vente & {2026-06-22} & {2025-05-27} & {2025-09-27} & {2025-11-02} & {2026-06-23} \\326\addlinespace327\multicolumn{6}{@{}l}{\textit{Ajustement de transaction (en \%, sur le prix)}} \\328Conditions du marché (0,364 \%/mois) & 5092 & 28733 & 25803 & 19826 & 4311 \\329\addlinespace330\multicolumn{6}{@{}l}{\textit{Ajustements de propriété (en dollars, cascade sur la base ajustée)}} \\331Localisation & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\332Superficie habitable & 34090 & 8953 & -42430 & 38028 & 15896 \\333Terrain & 2764 & 7279 & 3220 & 17901 & 31993 \\334Âge & 4578 & -10242 & -2223 & -9072 & -33052 \\335Qualité & -38190 & 0 & -36078 & -35829 & 33549 \\336Garage & 19988 & 0 & 0 & 0 & 18665 \\337Sous-sol fini & 13925 & 0 & 0 & 0 & 0 \\338Piscine ; type de bâtiment & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\339\midrule340Prix ajusté & 640247 & 541222 & 572793 & 568853 & 584862 \\341Ajustement net (\%) & {$+7{,}1$} & {$+6{,}9$} & {$-8{,}3$} & {$+5{,}7$} & {$+13{,}9$} \\342Ajustement brut (\%) & {$19{,}8$} & {$10{,}9$} & {$17{,}6$} & {$22{,}4$} & {$26{,}8$} \\343Poids (inverse du brut) & {$0{,}179$} & {$0{,}327$} & {$0{,}202$} & {$0{,}159$} & {$0{,}133$} \\344Résidu du modèle à la vente (\%) & {$+0{,}7$} & {$-14{,}9$} & {$-9{,}9$} & {$-10{,}5$} & {$-8{,}0$} \\345\bottomrule346\end{tabular}347\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas1.ajustements\_hedoniques}, reproduit par analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py} ; moyenne des prix ajustés \dollars{581595}, médiane \dollars{572793}, valeur pondérée \dollars{575565}.}348\end{table}349350\begin{figure}[htbp]351\centering352\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-bruts-ajustes.pdf}353\caption{Prix de vente (cercles vides) et prix ajustés (cercles pleins) des cinq comparables, avec l'ajustement brut et le poids de chacun ; la ligne pleine marque la valeur pondérée (\dollars{575565}), la ligne tiretée la prédiction du modèle hédonique pour le sujet (\dollars{637953}). Quatre comparables sont ajustés à la hausse, un à la baisse ; tous les prix ajustés sauf celui de G0574 restent sous la prédiction hédonique.}\label{fig:17:bruts-ajustes}354\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}355\end{figure}356357\begin{table}[htbp]358\caption{Ventes appariées pour le garage et le sous-sol fini : résultats selon les critères de pairage, et prix implicites hédoniques correspondants}\label{tab:17:paires}359\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}360\begin{tabular}{@{}lS[table-format=1.1]S[table-format=1.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=-5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]@{}}361\toprule362Élément & {Sup. (± \%)} & {Âge (± ans)} & {Dates (mois)} & {$n$} & {Moy. (\$)} & {Méd. (\$)} & {É.-t. (\$)} & {E.-t. moy. (\$)} \\363\midrule364Garage (retenu) & 5.0 & 5 & 12 & 15 & 7991 & 6034 & 64270 & 16594 \\365Garage & 5.0 & 5 & 6 & 9 & 6052 & 6034 & 61147 & 20382 \\366Garage & 5.0 & 5 & 18 & 23 & 3793 & 2501 & 62246 & 12979 \\367Garage & 7.5 & 5 & 12 & 23 & 21494 & 44659 & 58908 & 12283 \\368Garage & 5.0 & 7 & 12 & 22 & -2555 & 11915 & 68210 & 14542 \\369Garage & 7.5 & 7 & 18 & 45 & 5956 & 10389 & 61611 & 9184 \\370\addlinespace371Sous-sol fini (retenu) & 5.0 & 5 & 12 & 14 & 23623 & 30789 & 23402 & 6255 \\372Sous-sol fini & 5.0 & 5 & 6 & 6 & 25486 & 30789 & 28063 & 11457 \\373Sous-sol fini & 5.0 & 5 & 18 & 18 & 13784 & 25165 & 34423 & 8114 \\374Sous-sol fini & 7.5 & 5 & 12 & 18 & 7976 & 17903 & 38122 & 8985 \\375Sous-sol fini & 5.0 & 7 & 12 & 17 & 37253 & 35153 & 49194 & 11931 \\376Sous-sol fini & 7.5 & 7 & 18 & 27 & 16039 & 29331 & 54539 & 10496 \\377\bottomrule378\end{tabular}379\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonctions \texttt{paires} et \texttt{variantes\_paires}} ; « retenu » : critères déclarés dans le texte ; É.-t. : écart-type des différences ; E.-t. moy. : erreur-type de la moyenne ; prix implicites hédoniques : garage \pct{3.30} du prix, soit \dollars{17155} au prix médian des paires (\dollars{520388}) ; sous-sol fini \pct{2.22}, soit \dollars{10394} au prix médian des paires (\dollars{467529}). Les différences sont calculées après alignement des dates par le taux mensuel du modèle.}380\end{table}381382\begin{figure}[htbp]383\centering384\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-paires.pdf}385\caption{Dispersion des différences de prix des paires de ventes (critères retenus), pour le garage et le sous-sol fini : chaque point est une paire, la bande est l'intervalle à 95 \% autour de la moyenne, la ligne tiretée le prix implicite hédonique. Pour le garage, les différences vont de $-\dollars{120000}$ à $+\dollars{84000}$ : le bruit de transaction domine l'ajustement recherché.}\label{fig:17:paires}386\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}387\end{figure}388389\begin{table}[htbp]390\caption{Trois lectures des coefficients de variables indicatrices du modèle du cas 1 : naïve ($\hat\beta$), Halvorsen--Palmquist et Kennedy (en \%)}\label{tab:17:hpk}391\centering\small392\begin{tabular}{@{}lS[table-format=-1.5]S[table-format=1.5]S[table-format=-2.2]S[table-format=-2.2]S[table-format=-2.2]@{}}393\toprule394Variable & {$\hat\beta$} & {Erreur-type} & {Naïve} & {Halvorsen--Palmquist} & {Kennedy} \\395\midrule396Garage (par place) & 0.03243 & 0.00501 & 3.24 & 3.30 & 3.29 \\397Sous-sol fini & 0.02199 & 0.00692 & 2.20 & 2.22 & 2.22 \\398Piscine & 0.02633 & 0.00845 & 2.63 & 2.67 & 2.67 \\399Bâtiment à étages & 0.03011 & 0.00687 & 3.01 & 3.06 & 3.05 \\400Secteur Aylmer & 0.08542 & 0.02314 & 8.54 & 8.92 & 8.89 \\401Secteur Gatineau & -0.02230 & 0.01463 & -2.23 & -2.21 & -2.22 \\402Secteur Buckingham & -0.25036 & 0.07177 & -25.04 & -22.15 & -22.35 \\403Secteur Masson-Angers & -0.26314 & 0.06718 & -26.31 & -23.14 & -23.31 \\404\bottomrule405\end{tabular}406\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{hp\_kennedy}} ; référence : secteur de Hull, plain-pied. Erreurs-types robustes (HC1).}407\end{table}408409\begin{table}[htbp]410\caption{Analyse relative des cinq comparables : position de chaque comparable par rapport au sujet, élément par élément, et encadrement}\label{tab:17:qualitatif}411\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}412\begin{tabular}{@{}lccccc@{}}413\toprule414Élément & G0574 & G0404 & G0468 & G0477 & G0575 \\415\midrule416Conditions du marché (ancienneté) & inf. & inf. & inf. & inf. & inf. \\417Localisation & égal & égal & égal & égal & égal \\418Superficie habitable & inf. & inf. & sup. & inf. & inf. \\419Terrain & inf. & inf. & inf. & inf. & inf. \\420Âge & inf. & sup. & sup. & sup. & sup. \\421Qualité & sup. & égal & sup. & sup. & inf. \\422Garage & inf. & égal & égal & égal & inf. \\423Sous-sol fini & inf. & égal & égal & égal & égal \\424\midrule425Position d'ensemble (signe du net) & inférieur & inférieur & supérieur & inférieur & inférieur \\426Prix de vente (\$) & 598 000 & 506 500 & 624 500 & 538 000 & 513 500 \\427\bottomrule428\end{tabular}429\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonctions \texttt{analyse\_qualitative} et \texttt{encadrement}} ; « inf. » : le comparable est inférieur au sujet (ajustement positif). Encadrement : de \dollars{598000} (plus cher des inférieurs) à \dollars{624500} (seul supérieur).}430\end{table}431432\section{Pourquoi la grille et le modèle divergent}\label{sec:17:residus}433434L'exemple laisse un écart de près de dix pour cent entre la moyenne des prix ajustés (\dollars{581595}) et la prédiction du modèle hédonique pour le sujet (\dollars{637953}), alors que la grille est dérivée de ce même modèle. L'écart n'est ni une erreur ni un paradoxe ; il résulte d'une identité qu'il vaut la peine d'établir, parce qu'elle éclaire ce que la méthode de comparaison mesure réellement.435436\begin{proposition}{Prix ajustés et résidus des comparables}{residus}437Soit $\ln P_j = \mathbf{x}_j\T\hat{\boldsymbol\beta} + \hat e_j$ la décomposition du prix du comparable $j$ en valeur ajustée du modèle et résidu. Sous la cascade hédonique \eqref{eq:17:commutativite}, le prix ajusté du comparable est la prédiction ponctuelle du modèle pour le sujet multipliée par le facteur résiduel du comparable :438\begin{equation}\label{eq:17:residus}439P^{\text{aj}}_j = \exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta})\,\exp(\hat e_j),440\qquad\text{d'où}\qquad441\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} P^{\text{aj}}_j = \exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta}) \cdot \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\exp(\hat e_j).442\end{equation}443La moyenne des prix ajustés diffère de la prédiction ponctuelle par la moyenne des facteurs résiduels des comparables retenus, et de la prédiction corrigée de Duan par le rapport entre cette moyenne et la moyenne des facteurs résiduels de tout l'échantillon.444\end{proposition}445\begin{proof}446Par \eqref{eq:17:commutativite}, $P^{\text{aj}}_j = P_j \exp(\hat{\boldsymbol\beta}\T(\mathbf{x}_s - \mathbf{x}_j))$. En substituant $P_j = \exp(\mathbf{x}_j\T\hat{\boldsymbol\beta} + \hat e_j)$, les termes en $\mathbf{x}_j$ s'annulent et il reste $\exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} + \hat e_j)$. La moyenne s'obtient en factorisant le terme commun. La correction de Duan multiplie la prédiction ponctuelle par $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\exp(\hat e_i)$ sur les $N$ ventes de l'échantillon, d'où la dernière assertion.447\end{proof}448449Sur le cas 1, la prédiction ponctuelle est de \dollars{635821} et la correction de Duan, égale à la moyenne de $\exp(\hat e_i)$ sur les 600 ventes, vaut 1,0034, d'où \dollars{637953}. Les résidus des cinq comparables, eux, valent $+0{,}007$, $-0{,}161$, $-0{,}104$, $-0{,}111$ et $-0{,}084$ en logarithme : quatre des cinq se sont vendus nettement moins cher que ce que le modèle prédit pour leurs caractéristiques, et la moyenne de $\exp(\hat e_j) - 1$ sur les cinq est de \pct{-8.5}. La dernière ligne du \cref{tab:17:grille} donne ces résidus, et l'identité \eqref{eq:17:residus} se vérifie au dollar près : $635\,821 \times \exp(0{,}0069) = 640\,247$ pour G0574, $635\,821 \times \exp(-0{,}1611) = 541\,222$ pour G0404.450451Deux leçons s'en dégagent. La première est que la méthode de comparaison, même outillée d'une grille hédonique, n'estime pas la même chose que le modèle. Le modèle estime l'espérance conditionnelle du prix définie au \cref{ch:16} à partir de 600 ventes ; la grille l'estime à partir de cinq, et elle conserve dans chaque prix ajusté le bruit de transaction du comparable. Si les cinq comparables avaient été tirés au hasard parmi les ventes semblables, leurs résidus seraient centrés sur zéro et la moyenne des prix ajustés serait proche de la prédiction. Ils ne l'ont pas été : la sélection du \cref{ch:16} a retenu les ventes les plus proches du sujet par leurs \emph{attributs}, sans regarder les prix, et il se trouve, dans cet échantillon synthétique, que ces ventes-là ont des résidus négatifs. Il n'y a là aucun biais de la procédure, puisque la sélection par attributs est indépendante des résidus en espérance ; il y a la variance d'une moyenne de cinq bruits de \pct{8.3} chacun, soit un écart-type d'environ \pct{3.7}, dont l'écart observé de \pct{8.5} est une réalisation à deux écarts-types. C'est exactement l'arbitrage biais--variance du nombre optimal de comparables établi au \cref{ch:16} : peu de comparables très proches, et une estimation bruitée ; beaucoup de comparables régressés, et une estimation précise mais dépendante de la spécification.452453La seconde leçon concerne la réconciliation. Lorsque la comparaison et le modèle hédonique divergent de la sorte, l'évaluateur dispose de deux lectures défendables. Ou bien les cinq comparables, vérifiés un à un, révèlent une information que le modèle ignore : un micro-marché local moins cher que le reste du secteur de Hull, une rue moins recherchée, un état des bâtiments inférieur à ce que l'âge et la qualité codée laissent croire ; les résidus négatifs sont alors un signal et l'indication par comparaison est la bonne. Ou bien les comparables se sont simplement vendus à des prix bas par les aléas de la négociation, et le modèle, qui lisse ces aléas sur 600 ventes, est plus près de la valeur. Dans un jeu synthétique, on sait que la seconde lecture est la vraie, puisque le bruit a été généré indépendamment de toute caractéristique ; dans un dossier réel, on ne le sait pas, et c'est l'objet du \cref{ch:20} que de combiner les deux indications en tenant compte de leur incertitude respective, et d'examiner si le bootstrap des comparables et l'élargissement de l'échantillon rapprochent les deux lectures. Le présent chapitre se borne à livrer l'indication par comparaison, \dollars{575565} pondérée, avec son étendue de \pct{17.2} et la connaissance de ce qui la sépare du modèle.454455\section{Sensibilité et incertitude des ajustements}\label{sec:17:sensibilite}456457Les ajustements d'une grille reposent sur des prix implicites estimés, non connus. L'analyse de sensibilité consiste à faire varier chaque prix implicite dans un intervalle plausible et à mesurer l'effet sur la valeur pondérée ; elle dit quels ajustements méritent le plus de soin, et elle prépare la fourchette du \cref{ch:20}. Le \cref{tab:17:sensibilite} et la \cref{fig:17:sensibilite} présentent trois familles de variantes : les coefficients de chaque groupe déplacés de plus ou moins 1,96 erreur-type, qui mesurent l'incertitude d'estimation ; le taux de croissance du marché imposé à \pct{3} ou \pct{6} par année, qui mesure l'incertitude du choix de l'indice ; et l'omission pure et simple d'un ajustement, qui mesure ce que coûterait l'oubli d'un élément de comparaison.458459\begin{table}[htbp]460\caption{Sensibilité de la valeur pondérée (poids inverse du brut, référence \dollars{575565}) à l'incertitude des prix implicites, au taux de croissance du marché et à l'omission d'un ajustement}\label{tab:17:sensibilite}461\centering\small462\begin{tabular}{@{}lS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=5.0]@{}}463\toprule464Variante & {Borne basse (\$)} & {Borne haute (\$)} & {Étendue (\$)} \\465\midrule466\multicolumn{4}{@{}l}{\textit{Coefficients déplacés de $\pm 1{,}96$ erreur-type}} \\467Conditions du marché (tendance mensuelle) & 571806 & 579186 & 7380 \\468Superficie habitable & 575190 & 575944 & 754 \\469Terrain & 572842 & 578225 & 5383 \\470Âge (deux coefficients) & 572464 & 578874 & 6409 \\471Qualité & 573156 & 578080 & 4923 \\472Garage & 574307 & 576758 & 2451 \\473Sous-sol fini & 574817 & 576238 & 1421 \\474\addlinespace475\multicolumn{4}{@{}l}{\textit{Choix de l'indice et de la pondération}} \\476Croissance du marché imposée : 3 \% à 6 \% par année & 567014 & 583747 & 16734 \\477Pondération égale plutôt qu'inverse du brut & 575565 & 581595 & 6030 \\478\addlinespace479\multicolumn{4}{@{}l}{\textit{Omission d'un ajustement (valeur obtenue contre référence)}} \\480Omission des conditions du marché & 545208 & 575565 & 30357 \\481Omission de la qualité & 575565 & 597252 & 21687 \\482Omission de l'âge & 575565 & 583950 & 8385 \\483Omission du garage & 571132 & 575565 & 4433 \\484Omission du sous-sol fini & 574308 & 575565 & 1257 \\485\bottomrule486\end{tabular}487\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{sensibilite}}.}488\end{table}489490\begin{figure}[htbp]491\centering492\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-sensibilite.pdf}493\caption{Diagramme en tornade de la valeur pondérée : chaque barre donne l'intervalle parcouru par la valeur lorsqu'un seul élément varie, les autres restant à leur valeur de référence. L'omission de l'ajustement de temps et celle de l'ajustement de qualité dominent ; l'incertitude d'estimation des coefficients, prise un à un, déplace la valeur de moins de \dollars{8000}.}\label{fig:17:sensibilite}494\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}495\end{figure}496497Trois observations ressortent. La première est que l'incertitude d'estimation des prix implicites, prise coefficient par coefficient, est modeste : aucun groupe ne déplace la valeur pondérée de plus de \dollars{7400}, soit \pct{1.3}, et la superficie, pourtant l'ajustement le plus grand en valeur absolue, n'en déplace que \dollars{750}, parce que son coefficient est estimé avec une précision relative de \pct{2.4} et que les écarts de superficie ont été bornés par la sélection. C'est le dividende d'un modèle estimé sur 600 ventes ; avec des prix implicites tirés d'une quinzaine de paires, les intervalles seraient dix fois plus larges. La deuxième observation est que le choix de l'indice temporel pèse plus que l'erreur d'estimation de la tendance : entre \pct{3} et \pct{6} par année, la valeur parcourt \dollars{16734}, parce que trois des cinq comparables ont plus de dix mois d'ancienneté. Dans un dossier réel, où l'indice doit être choisi parmi des sources imparfaites, c'est là que loge la plus grande part de l'incertitude des ajustements de transaction. La troisième observation est que l'omission d'un ajustement coûte beaucoup plus que son imprécision : oublier le temps abaisse la valeur de \dollars{30357}, oublier la qualité la relève de \dollars{21687}, et ces deux erreurs sont systématiques, non aléatoires. L'ajustement de qualité, qui repose sur une cote subjective de 1 à 5, est le plus exposé à une erreur de codage d'un échelon sur un comparable ; un tel écart vaut environ \pct{6} du prix du comparable concerné, soit un cinquième de son poids dans la valeur pondérée. L'inspection des comparables, au moins depuis la rue et par les photos de l'historique de courtage, est donc une étape du calcul des ajustements, non une formalité.498499\begin{pratique}500Un dossier d'ajustements défendable comporte, pour chaque élément de comparaison, la méthode d'extraction, les données utilisées, le prix implicite retenu et son incertitude ; pour l'ajustement de temps, l'indice ou le taux, sa source, sa période et la date de promesse d'achat de chaque comparable ; la grille complète avec les ajustements brut et net ; les poids et leur règle ; et l'analyse de sensibilité aux prix implicites les plus incertains. Lorsqu'un ajustement provient d'une régression, les coefficients, leurs erreurs-types et l'ajustement du modèle sont annexés ; lorsqu'il provient de paires, les paires sont listées avec leurs critères. Les Normes de pratique professionnelle exigent que le rapport permette au lecteur de suivre le raisonnement \parencite{oeaqNormes} ; une grille dont les ajustements ne sont pas sourcés ne satisfait pas cette exigence, quelle que soit la justesse de la conclusion.501\end{pratique}502503\begin{erreurs}504\begin{itemize}505\item Ajuster le sujet vers le comparable, ou inverser le signe : l'ajustement est positif lorsque le \emph{sujet} est supérieur au comparable. Une grille où les comparables de qualité supérieure sont ajustés à la hausse est fausse en bloc.506\item Additionner des pourcentages séquentiels, ou appliquer les ajustements de propriété en dollars sur le prix non actualisé : les ajustements de transaction se composent, et les prix implicites tirés du marché actuel s'appliquent à une base actualisée.507\item Lire un coefficient de variable indicatrice en logarithme comme un pourcentage : pour les écarts de secteur, l'erreur atteint trois points ; appliquer la \cref{eq:17:hp} et, si l'erreur-type est grande, la \cref{eq:17:kennedy}.508\item Compter deux fois une même différence : superficie et nombre de pièces, âge et état, terrain et localisation se recoupent ; la grille ne doit contenir qu'un ajustement par source de différence, et le modèle qui fournit les prix implicites doit avoir été spécifié en conséquence.509\item Mesurer l'ancienneté d'une vente depuis la date de l'acte notarié plutôt que depuis la promesse d'achat, ce qui sous-estime l'ajustement de temps dans un marché haussier.510\item Tirer un ajustement de deux ou trois paires sans aligner les dates ni déclarer les critères, et le présenter au dollar près : la \cref{fig:17:paires} montre ce que vaut une paire isolée.511\item Prendre l'encadrement de l'analyse relative pour une preuve : il suppose que les prix des comparables sont exempts de bruit, et la \cref{sec:17:residus} montre qu'il peut exclure la bonne réponse.512\item Croire que la grille et la régression, parce qu'elles partagent les mêmes prix implicites, doivent conclure au même montant : la \cref{prop:residus} établit qu'elles diffèrent par les résidus des comparables, et qu'il faut l'expliquer plutôt que le masquer.513\end{itemize}514\end{erreurs}515516\begin{limites}517\begin{itemize}518\item Les chiffres de l'exemple proviennent d'un jeu synthétique dont les lois sont déclarées ; les prix implicites estimés y sont proches des lois de génération par construction, et l'écart entre la grille et le modèle y est, en connaissance de cause, du bruit. Sur un marché réel, la même divergence peut traduire une information locale, et le chapitre ne prétend pas trancher.519\item Les ajustements de la grille et la prédiction hédonique sont tirés du même modèle ; les deux indications ne sont donc pas indépendantes, et le \cref{ch:20} ne peut pas les combiner comme deux mesures indépendantes.520\item L'ajustement de localisation est nul parce que le modèle ne distingue pas les emplacements à l'intérieur d'un secteur ; un modèle spatial (\cref{ch:19}) ou un ajustement de voisinage par jugement serait nécessaire dans un dossier réel.521\item Les méthodes du coût déprécié et de la capitalisation d'une différence de loyer sont présentées sans application chiffrée ; leurs composantes relèvent des \cref{ch:24,ch:29}.522\item Les paires de ventes sont peu nombreuses et dépendent des critères de pairage ; leurs résultats sont des recoupements, non des mesures.523\item Les seuils de \pct{25} (brut) et \pct{15} (net), la règle de pondération inverse du brut et l'ordre conventionnel des ajustements sont des pratiques courantes documentées dans les manuels professionnels, non des exigences normatives ; les Normes de pratique professionnelle n'imposent aucune forme de grille. La variance d'une somme de bruits indépendants utilisée à la \cref{sec:17:residus} suppose des résidus non corrélés entre comparables voisins, hypothèse que le \cref{ch:19} remet en question.524\end{itemize}525\end{limites}526527\begin{synthese}528\begin{itemize}529\item Un ajustement est le produit d'un prix implicite par un écart de caractéristique, appliqué au comparable, positif lorsque le sujet est supérieur. La convention de l'ouvrage applique les ajustements de transaction en pourcentage et en séquence, puis les ajustements de propriété en dollars.530\item La cascade dérivée d'un modèle en logarithme a un total indépendant de l'ordre des étapes, $P_j \exp(\boldsymbol\beta\T(\mathbf{x}_s - \mathbf{x}_j))$ ; l'ordre ne change que la répartition. Les formes additive, multiplicative et mixte diffèrent par des termes de second ordre, inférieurs au demi pour cent pour des comparables bien choisis.531\item Les paires de ventes établissent le signe et l'ordre de grandeur d'un ajustement, rarement son montant : la variance d'une différence est le double de celle d'un prix. La régression, qui utilise toutes les ventes, est plus précise mais dépend de la spécification ; le coût déprécié et la capitalisation d'un loyer servent de bornes et de recoupements.532\item L'ajustement de temps court de la promesse d'achat à la date d'évaluation ; coefficient, taux composé et ratio d'indices sont équivalents à croissance constante ; le choix de l'indice pèse plus que l'erreur d'estimation. Un coefficient d'indicatrice en logarithme se lit $\exp(\beta) - 1$, corrigé de Kennedy si l'erreur-type est grande.533\item Pour le cas 1, les prix ajustés sont de 640 247, 541 222, 572 793, 568 853 et \dollars{584862} ; la valeur pondérée par l'inverse du brut est de \dollars{575565}, la moyenne de \dollars{581595}, l'étendue de \pct{17.2}.534\item La moyenne des prix ajustés égale la prédiction ponctuelle du modèle multipliée par la moyenne des facteurs résiduels des comparables ; l'écart de \pct{-8.5} du cas 1 est le bruit de cinq transactions sélectionnées par leurs attributs, et sa réconciliation avec la prédiction hédonique relève du \cref{ch:20}.535\item L'omission d'un ajustement coûte plus que son imprécision ; le temps et la qualité sont, sur ce dossier, les deux ajustements qui méritent le plus de soin.536\end{itemize}537\end{synthese}538539\section*{Exercices}540\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}541542\begin{exercice}[1]{Grille additive, brut et net}{ex:17:1}543Un comparable vendu \dollars{540000} reçoit les ajustements suivants vers le sujet : conditions du marché $+\dollars{18000}$, superficie $-\dollars{12500}$, garage $+\dollars{15000}$, sous-sol $-\dollars{9000}$, qualité nulle. Calculez le prix ajusté sous la forme additive, l'ajustement brut et l'ajustement net en pourcentage du prix. Dites, pour chaque ajustement, si le sujet est supérieur ou inférieur au comparable sur l'élément considéré, et expliquez pourquoi un brut de \pct{10} avec un net de \pct{2} n'a pas la même signification qu'un brut de \pct{10} avec un net de \pct{10}.544\end{exercice}545546\begin{exercice}[1]{Trois écritures de l'ajustement de temps}{ex:17:2}547Le comparable G0404 s'est vendu \dollars{506500} 15,2 mois avant la date d'évaluation. Calculez l'ajustement de conditions du marché (a) par taux annuel composé de \pct{4.43}, (b) par ratio d'indices si l'indice du segment valait 131,2 à la vente et 138,7 à la date d'évaluation, (c) par l'approximation linéaire avec une tendance de 0,364 \% par mois. Expliquez pourquoi (b) diffère de (a) et pourquoi (c) est toujours inférieur à l'écriture composée correspondante.548\end{exercice}549550\begin{exercice}[2]{Ventes appariées}{ex:17:3}551Six paires de maisons ne différant que par la présence d'un garage double ont été relevées (prix avec, prix sans, dates déjà alignées) : (612 000, 590 000), (548 000, 541 000), (589 500, 562 000), (571 000, 570 500), (603 000, 578 000), (557 500, 549 000). Calculez la différence moyenne, la médiane, l'écart-type des différences et l'erreur-type de la moyenne selon l'\cref{eq:17:paires}, puis l'intervalle à 95 \%. Un modèle hédonique estimé sur le même marché donne un prix implicite de \pct{3.3} du prix pour le garage ; au prix médian des paires, ce prix implicite est-il compatible avec les paires ? Combien de paires faudrait-il pour ramener l'erreur-type à \dollars{2000}, si l'écart-type des différences restait le même ?552\end{exercice}553554\begin{exercice}[2]{Halvorsen--Palmquist et Kennedy}{ex:17:4}555Dans un modèle semi-logarithmique, le coefficient d'une indicatrice « bord de l'eau » est estimé à 0,045 avec une erreur-type de 0,020, et celui d'une indicatrice de secteur à $-0{,}25$ avec une erreur-type de 0,08. Pour chacun, calculez l'effet en pourcentage selon la lecture naïve, selon l'\cref{eq:17:hp} et selon l'\cref{eq:17:kennedy}. Traduisez les écarts en dollars pour un comparable de \dollars{600000} et dites dans quel cas la correction compte.556\end{exercice}557558\begin{exercice}[2]{Additif, multiplicatif, mixte}{ex:17:5}559Un comparable vendu \dollars{500000} exige trois ajustements : conditions du marché $+\pct{6}$, superficie $+\pct{4}$, qualité $-\pct{5}$ (effets en proportion de la base courante). Calculez le prix ajusté sous les formes multiplicative \eqref{eq:17:multiplicatif}, additive \eqref{eq:17:additif} (tous les effets appliqués au prix de vente) et mixte \eqref{eq:17:mixte} (temps en cascade, puis superficie et qualité en dollars calculés sur la base actualisée). Vérifiez l'\cref{eq:17:ecart-formes} en calculant explicitement les termes de second et de troisième ordre, et indiquez laquelle des trois formes est l'analogue exact d'un modèle en logarithme.560\end{exercice}561562\begin{exercice}[3]{Pondération inverse du brut et réconciliation}{ex:17:6}563Trois comparables ont les prix et ajustements suivants : A, \dollars{600000}, ajustements $+30\,000$ et $-60\,000$ ; B, \dollars{520000}, ajustements $+26\,000$ et $+13\,000$ ; C, \dollars{575000}, ajustements $-23\,000$, $+46\,000$ et $+23\,000$. Calculez les prix ajustés, les ajustements bruts et nets, les poids de l'\cref{eq:17:poids} (plancher \pct{1}), la valeur pondérée et la moyenne simple, à l'aide des fonctions \texttt{poids\_inverse\_brut} et \texttt{reconciliation} de \texttt{traite.comparables} ou à la main. Expliquez pourquoi A et C, dont les nets sont de signes opposés, reçoivent des poids voisins, et discutez la pertinence de la règle lorsque le comparable le moins ajusté est aussi celui dont la vente est la plus ancienne.564\end{exercice}565566\begin{exercice}[3]{Remplacer les prix implicites par les paires}{ex:17:7}567À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py}, remplacez dans la grille du \cref{tab:17:grille} l'ajustement de garage de G0574 et de G0575 par la différence moyenne des quinze paires de garage (\dollars{7991}) et l'ajustement de sous-sol de G0574 par celle des quatorze paires de sous-sol (\dollars{23623}). Recalculez les prix ajustés, la moyenne, les bruts, les poids et la valeur pondérée. L'écart avec la prédiction hédonique s'est-il réduit ? À l'aide de la \cref{prop:residus}, expliquez pourquoi aucun changement des prix implicites du garage et du sous-sol ne peut combler cet écart, et proposez deux vérifications de terrain qui permettraient de trancher entre les deux lectures de la \cref{sec:17:residus}.568\end{exercice}569570\section*{Pour aller plus loin}571\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}572573Le traitement de référence des ajustements dans la pratique nord-américaine reste celui de l'Appraisal Institute \parencite{appraisal2026}, dont l'édition canadienne \parencite{appraisalCdn} adapte les exemples, et le glossaire de \textcite{aiDictionary2022} fixe le vocabulaire des ajustements de transaction et de propriété. Les fondements analytiques de la grille sont posés par \textcite{colwellCannadayWu1983}, qui relient les formes additive et multiplicative aux spécifications hédoniques, et par \textcite{isakson2002}, qui en donne l'algèbre linéaire et les conditions d'identification ; \textcite{pace1998grid} montre comment estimer conjointement les ajustements et les pondérations, et \textcite{pace1998} comment dériver des ajustements non linéaires par des modèles additifs généralisés. Sur la lecture des coefficients de variables indicatrices, \textcite{halvorsenPalmquist1980} et \textcite{kennedy1981} sont les deux notes fondatrices ; sur le choix de la forme fonctionnelle et ses conséquences pour les prix implicites, \textcite{cropperDeckMcconnell1988} et la revue de \textcite{malpezzi2003} ; sur les signes et les ordres de grandeur typiques des prix implicites dans la littérature hédonique, les recensions de \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} et de \textcite{khoshnoudSirmansZietz2023}. La pondération des comparables et son lien avec la variance sont traités par \textcite{vandell1991}, \textcite{green1994} et \textcite{kummerowGalfalvy2002}, déjà rencontrés au \cref{ch:16}. Sur les biais de jugement qui menacent l'analyse qualitative et la réconciliation, on lira \textcite{northcraftNeale1987} et \textcite{diaz1997}. Pour l'inférence robuste qui fournit les erreurs-types utilisées dans l'analyse de sensibilité, \textcite{wooldridge2010} ; pour les applications québécoises des prix implicites de localisation et d'accessibilité, \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} et \textcite{dubeLegros2014}, qui préparent le \cref{ch:19}.574