spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Modèles spatiaux et temporels}\label{ch:19}23Le modèle hédonique du \cref{ch:18} traite chaque vente comme une observation isolée : le prix d'une maison dépend de ses caractéristiques, d'une date et d'un terme aléatoire indépendant de celui de la maison voisine. Or rien n'est moins indépendant que deux maisons de la même rue. Elles partagent l'école, le bruit de l'autoroute, la réputation du quartier, le même bassin d'acheteurs et souvent le même courtier ; leurs prix se répondent, et ce qui n'est pas mesuré pour l'une ne l'est pas non plus pour l'autre. Le présent chapitre introduit les outils qui prennent cette interdépendance au sérieux. Il distingue d'abord deux phénomènes que le langage courant confond, la \emph{dépendance} spatiale, qui porte sur les résidus, et l'\emph{hétérogénéité} spatiale, qui porte sur les coefficients ; il construit ensuite les matrices de pondération qui formalisent la notion de voisinage, y compris dans sa dimension temporelle, puis il présente les tests, les modèles autorégressifs, la régression géographiquement pondérée, les effets fixes et le krigeage. L'exemple intégral reprend les 600 ventes du dossier de Gatineau et pose une question simple que l'évaluateur doit se poser devant tout modèle : les résidus sont-ils encore corrélés dans l'espace, et si oui, qu'est-ce que cela révèle ?45\begin{objectifs}6\begin{itemize}7\item Distinguer la dépendance spatiale de l'hétérogénéité spatiale et reconnaître les conséquences de chacune pour l'estimation par moindres carrés ordinaires.8\item Construire et standardiser une matrice de pondération spatiale (contiguïté, plus proches voisins, distance inverse) et une matrice spatio-temporelle qui ne fait parler que les ventes antérieures.9\item Tester la dépendance spatiale des résidus par la statistique $I$ de Moran, le corrélogramme et les tests du multiplicateur de Lagrange, et en déduire la forme de modèle appropriée.10\item Estimer par maximum de vraisemblance les modèles à décalage spatial (SAR), à erreur spatiale (SEM) et de Durbin spatial (SDM), et interpréter correctement leurs effets directs, indirects et totaux.11\item Estimer une régression géographiquement pondérée, choisir sa bande passante par validation croisée et cartographier les coefficients locaux sans sur-interpréter leurs variations.12\item Modéliser le résidu de localisation par un variogramme et un krigeage ordinaire, et comparer les indications de valeur qui en résultent pour un sujet.13\end{itemize}14\end{objectifs}1516\section{Dépendance et hétérogénéité spatiales}\label{sec:19:dependance}1718\subsection{Pourquoi l'espace compte}1920Trois mécanismes font que les prix de maisons voisines ne sont pas indépendants. Le premier est celui des \emph{externalités de voisinage} : la qualité de l'école, l'entretien des propriétés adjacentes, la vue, la proximité d'un parc ou d'une artère bruyante affectent simultanément toutes les maisons d'un même secteur, et ces attributs ne figurent presque jamais dans les bases de données de transactions. Le deuxième est celui des \emph{sous-marchés} : les acheteurs raisonnent par quartier, les courtiers aussi, et un même panier de caractéristiques ne se négocie pas au même prix à Aylmer et à Masson-Angers ; la segmentation étudiée au \cref{ch:15} est la forme la plus grossière de la dépendance spatiale, celle que l'on capte par des indicatrices de secteur. Le troisième mécanisme est propre au processus de formation des prix : vendeurs, acheteurs, courtiers et évaluateurs fixent leurs attentes à partir des ventes récentes du voisinage, de sorte que le prix d'une maison dépend \emph{directement} des prix auxquels ses voisines se sont vendues peu avant \parencite{desrosiersDubeTheriault2011}. Ce dernier mécanisme a une direction temporelle : ce sont les ventes antérieures qui informent les ventes postérieures, non l'inverse, et le \cref{sec:19:poids} en tirera les conséquences.2122La formule de Tobler, selon laquelle tout interagit avec tout mais les choses proches interagissent davantage que les choses éloignées, résume ces mécanismes, mais elle les confond aussi. Pour l'économètre, il importe de séparer deux situations qui appellent des remèdes différents.2324\begin{definition}{Dépendance spatiale}{dependance-spatiale}25Il y a \motcle{dépendance spatiale} (ou autocorrélation spatiale) lorsque la covariance entre les termes d'erreur, ou entre les variables dépendantes, de deux observations est une fonction non nulle de leur position relative dans l'espace : $\Cov[\varepsilon_i, \varepsilon_j] \neq 0$ pour des observations $i$ et $j$ voisines. Elle est positive si des résidus de même signe tendent à se regrouper, négative s'ils alternent.26\end{definition}2728\begin{definition}{Hétérogénéité spatiale}{heterogeneite-spatiale}29Il y a \motcle{hétérogénéité spatiale} lorsque la relation entre le prix et les caractéristiques varie d'un lieu à l'autre : les coefficients $\boldsymbol\beta$, la variance $\sigma^2$ ou la forme fonctionnelle dépendent de la position. L'élasticité du prix à la superficie peut être plus faible dans un quartier central dense que dans une banlieue pavillonnaire ; la prime du garage peut être nulle là où le stationnement sur rue est abondant.30\end{definition}3132Les deux phénomènes coexistent souvent et l'un peut se déguiser en l'autre : une hétérogénéité ignorée produit des résidus corrélés dans l'espace, et une dépendance ignorée peut faire croire à des coefficients instables lorsqu'on estime le modèle par sous-échantillons. La \cref{fig:19:taxonomie} ordonne les modèles de ce chapitre selon le phénomène qu'ils visent et la manière dont ils le traitent. Les modèles à effets fixes et les modèles autorégressifs traitent la dépendance ; la régression géographiquement pondérée traite l'hétérogénéité ; le krigeage traite la dépendance résiduelle en vue de la prédiction. \textcite{anselin1988} a fixé le cadre d'ensemble, \textcite{lesagePace2009} l'interprétation des modèles autorégressifs, et \textcite{dubeLegros2014} ont adapté ces outils aux microdonnées immobilières, qui ont la particularité d'être localisées en des points irréguliers et datées.3334\begin{figure}[htbp]35\centering36\resizebox{\textwidth}{!}{%37\begin{tikzpicture}[node distance=5mm and 6mm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}, boite/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=9mm, text width=36mm}, racine/.style={boite, fill=brandSecondary!35, text width=46mm}, feuille/.style={boite, fill=white, text width=30mm, minimum height=11mm}, fleche/.style={-{Stealth[length=2mm]}, brandGray, thick}]38\node[racine] (r) {Effets spatiaux dans un modèle hédonique};39\node[boite, below left=of r, xshift=-14mm] (d) {\textbf{Dépendance}\\covariance des résidus ou des prix entre voisins};40\node[boite, below right=of r, xshift=14mm] (h) {\textbf{Hétérogénéité}\\coefficients qui varient avec le lieu};41\node[feuille, below left=of d, xshift=4mm] (fe) {Effets fixes de quartier\\(\cref{sec:19:effets-fixes})};42\node[feuille, below=of d] (ar) {SAR, SEM, SDM\\(\cref{sec:19:modeles})};43\node[feuille, below right=of d, xshift=-4mm] (kr) {Krigeage des résidus\\(\cref{sec:19:krigeage})};44\node[feuille, below left=of h, xshift=4mm] (seg) {Sous-marchés, interactions\\(\cref{ch:15}, \cref{ch:18})};45\node[feuille, below right=of h, xshift=-4mm] (gwr) {Régression géographiquement pondérée (\cref{sec:19:gwr})};46\foreach \a/\b in {r/d, r/h, d/fe, d/ar, d/kr, h/seg, h/gwr} \draw[fleche] (\a) -- (\b);47\node[below=3mm of ar, text=brandGray, align=center] {Diagnostic commun : $I$ de Moran, corrélogramme, tests LM (\cref{sec:19:tests}) ; matrice $\mathbf{W}$ (\cref{sec:19:poids})};48\end{tikzpicture}}49\caption{Les deux familles d'effets spatiaux et les outils qui leur répondent. La dépendance se diagnostique sur les résidus et se traite par des effets fixes, des modèles autorégressifs ou le krigeage ; l'hétérogénéité se traite par la segmentation ou par des coefficients locaux.}\label{fig:19:taxonomie}50\figsource{schéma de l'auteur, d'après \textcite{anselin1988} et \textcite{dubeLegros2014}.}51\end{figure}5253\subsection{Le modèle hédonique avec effets spatiaux et temporels}5455L'écriture générale retenue dans l'ouvrage pour le modèle hédonique,56\begin{equation}\label{eq:19:hedonique}57\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \mu_{s(i)} + \varepsilon_i ,58\end{equation}59contient déjà un effet temporel $\tau_{t(i)}$ et un effet spatial $\mu_{s(i)}$. Tout ce chapitre peut se lire comme une discussion de la nature de $\mu$. Dans le modèle de référence du cas 1 (fonction \texttt{hedonique} du module \texttt{traite.cas1}), $\mu_{s(i)}$ est un effet fixe de secteur, cinq constantes pour les cinq secteurs de Gatineau, complété par un gradient de distance au centre. Cette spécification suppose que la localisation agit par paliers, identiques pour toutes les maisons d'un secteur, et qu'à l'intérieur d'un secteur les résidus sont indépendants. Les modèles de ce chapitre relâchent ces deux hypothèses : $\mu$ peut être une surface continue (krigeage, régression géographiquement pondérée), un processus autorégressif qui lie chaque résidu à ceux de ses voisins (modèle à erreur spatiale), ou encore une dépendance directe du prix aux prix voisins (modèle à décalage spatial). De même, $\tau$ peut être une tendance linéaire, une suite d'indicatrices trimestrielles, ou une pondération des ventes antérieures qui décroît avec leur ancienneté.6061\subsection{Ce que la dépendance fait aux moindres carrés}6263Les conséquences de la dépendance spatiale pour l'estimateur des moindres carrés ordinaires dépendent de sa forme. Si la dépendance réside dans le terme d'erreur, comme dans le modèle à erreur spatiale de la \cref{sec:19:modeles}, les coefficients MCO restent sans biais et convergents, mais ils ne sont plus efficaces et, surtout, leurs erreurs-types habituelles sont fausses : avec une autocorrélation positive, chaque observation apporte moins d'information qu'une observation indépendante, l'échantillon « effectif » est plus petit que $n$, et les erreurs-types usuelles, même robustes à l'hétéroscédasticité, sous-estiment l'incertitude. Les intervalles de confiance sur les prix implicites, et donc sur les ajustements qu'on en dérive au \cref{ch:17}, sont trop étroits.6465Si la dépendance porte sur la variable dépendante elle-même, c'est-à-dire si le prix d'une maison dépend des prix des maisons voisines, la situation est plus grave. Écrivons $\mathbf{y} = \rho\mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon$, où $\mathbf{W}\mathbf{y}$ est le vecteur des moyennes des prix voisins (la matrice $\mathbf{W}$ est définie à la \cref{sec:19:poids}). Le régresseur $\mathbf{W}\mathbf{y}$ est corrélé avec $\boldsymbol\varepsilon$, parce que le prix de la voisine dépend de son propre terme d'erreur, lequel se répercute sur le prix du sujet, et ainsi de suite. L'estimateur MCO de $\rho$ est alors biaisé et non convergent, et le biais contamine $\hat{\boldsymbol\beta}$. Omettre purement et simplement $\mathbf{W}\mathbf{y}$ ne vaut guère mieux : la variable omise est corrélée avec $\mathbf{X}$ par l'intermédiaire des caractéristiques des voisines, et les coefficients absorbent une part de l'effet de voisinage. Le \cref{tab:19:coefficients} illustrera le phénomène : le coefficient du terrain passe du simple au double selon que la localisation est ou non modélisée.6667La leçon pratique est double. D'abord, un diagnostic de dépendance spatiale sur les résidus fait partie des vérifications normales d'un modèle hédonique, au même titre que l'hétéroscédasticité ou la multicolinéarité du \cref{ch:18}. Ensuite, la forme de la dépendance détermine le remède : les tests de la \cref{sec:19:tests} sont construits pour la révéler.6869\section{Les matrices de pondération spatiale}\label{sec:19:poids}7071\subsection{Formaliser le voisinage}7273Toute l'économétrie spatiale repose sur une \motcle{matrice de pondération spatiale} $\mathbf{W}$, carrée d'ordre $n$, dont l'élément $w_{ij}$ mesure l'intensité du lien entre les observations $i$ et $j$ ; sa diagonale est nulle, une observation n'étant pas sa propre voisine. Trois constructions dominent pour les microdonnées immobilières, où chaque vente est un point. La \emph{contiguïté}, naturelle pour des polygones (municipalités, secteurs de recensement), s'applique aux points par l'intermédiaire d'une triangulation ou des lots cadastraux ; elle est rarement disponible. Les \emph{$k$ plus proches voisins} attribuent un poids de un aux $k$ ventes les plus proches de $i$ et zéro aux autres : chaque observation a exactement $k$ voisines, ce qui évite les observations isolées, mais le rayon de voisinage varie avec la densité des ventes. La \emph{distance inverse} attribue un poids $d_{ij}^{-\gamma}$ à toutes les ventes situées à moins d'une portée $d_{\max}$ : le voisinage a une étendue fixe, mais le nombre de voisines varie, et une portée trop courte laisse des lignes vides.7475La matrice est presque toujours \motcle{standardisée en ligne},76\begin{equation}\label{eq:19:standardisation}77w_{ij} = \frac{w^{*}_{ij}}{\sum_{l=1}^{n} w^{*}_{il}}, \qquad \sum_{j} w_{ij} = 1 ,78\end{equation}79de sorte que le \motcle{décalage spatial} $(\mathbf{W}\mathbf{y})_i = \sum_j w_{ij} y_j$ est une moyenne pondérée des valeurs voisines, comparable d'une observation à l'autre. La standardisation a deux conséquences mathématiques utiles. La plus grande valeur propre de $\mathbf{W}$ vaut alors exactement un, de sorte que le paramètre autorégressif $\rho$ des modèles de la \cref{sec:19:modeles} est contraint à l'intervalle $(1/\omega_{\min}, 1)$, où $\omega_{\min}$ est la plus petite valeur propre réelle ; et le vecteur unité est un vecteur propre de $\mathbf{W}$, $\mathbf{W}\mathbf{1} = \mathbf{1}$, ce qui simplifie le calcul des effets totaux (\cref{prop:effet-total}). En revanche, une matrice standardisée en ligne n'est plus symétrique, et les valeurs propres d'une matrice de $k$ plus proches voisins peuvent être complexes ; le déterminant jacobien qui intervient dans la vraisemblance se calcule alors avec les modules, $\abs{\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})} = \prod_i \abs{1 - \rho\,\omega_i}$.8081Les coordonnées des ventes doivent être exprimées dans un système métrique avant tout calcul de distance. Des latitudes et longitudes en degrés ne s'y prêtent pas, un degré de longitude valant à Gatineau environ 78 kilomètres contre 111 pour un degré de latitude. Une projection équirectangulaire locale, $x = (\lambda - \lambda_0)\,111{,}32\cos\varphi_0$ et $y = (\varphi - \varphi_0)\,110{,}57$ en kilomètres autour d'un point de référence $(\varphi_0, \lambda_0)$, suffit à l'échelle d'une agglomération ; au-delà, on utilise la projection officielle du Québec (\cref{ch:38}). Rappelons que les coordonnées du cas 1 sont synthétiques et que les cartes de ce chapitre ne représentent aucun lieu réel ; les questions de géocodage et de confidentialité des adresses sont traitées au \cref{ch:14}.8283\subsection{La matrice spatio-temporelle de Dubé et Legros}8485Les ventes immobilières ne sont pas seulement localisées, elles sont datées, et une matrice purement spatiale fait parler une vente de 2026 pour expliquer une vente de 2023, ce qui est absurde pour le troisième mécanisme de la \cref{sec:19:dependance}. \textcite{dubeLegros2013} ont proposé de combiner une pondération spatiale $s_{ij}$ et une pondération temporelle $t_{ij}$ en une matrice \motcle{spatio-temporelle}86\begin{equation}\label{eq:19:spatio-temporelle}87w^{*}_{ij} = s_{ij}\, t_{ij}, \qquad s_{ij} = d_{ij}^{-\gamma}\,\mathbb{1}\{0 < d_{ij} \leq d_{\max}\}, \qquad t_{ij} = \mathbb{1}\{0 < t_i - t_j \leq T\},88\end{equation}89où $t_i - t_j$ est le délai, en mois, entre la vente $j$ et la vente $i$. Le facteur temporel est \emph{unidirectionnel} : seules les ventes conclues avant $i$, et depuis moins de $T$ mois, pèsent sur $i$. On peut lui substituer une fonction décroissante du délai, et \textcite{dubeLegros2014} discutent plusieurs choix ; la forme indicatrice suffit ici. La matrice est ensuite standardisée en ligne par l'\cref{eq:19:standardisation}. Deux particularités en découlent. Les premières ventes de la période, et les ventes isolées, n'ont aucune voisine antérieure : leur ligne est nulle et leur décalage vaut zéro, ce qui oblige soit à les exclure de l'estimation du modèle à décalage, soit à les conserver seulement comme voisines des ventes suivantes. Surtout, si les observations sont ordonnées par date, la matrice est strictement triangulaire inférieure.9091\begin{proposition}{Jacobien d'une matrice spatio-temporelle unidirectionnelle}{jacobien-st}92Si $\mathbf{W}$ est construite selon l'\cref{eq:19:spatio-temporelle} avec un facteur temporel unidirectionnel, alors toutes ses valeurs propres sont nulles et $\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W}) = 1$ pour tout $\rho$.93\end{proposition}94\begin{proof}95Ordonnons les observations par date de vente croissante. Pour $j \geq i$, la vente $j$ n'est pas antérieure à $i$, donc $t_{ij} = 0$ et $w_{ij} = 0$ : la matrice est strictement triangulaire inférieure. La standardisation en ligne ne modifie pas la position des zéros. Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses éléments diagonaux, tous nuls, et celles de $\mathbf{I} - \rho\mathbf{W}$ valent toutes un ; le déterminant, produit des valeurs propres, vaut un. Le résultat ne dépend pas de l'ordre choisi, le déterminant étant invariant par permutation simultanée des lignes et des colonnes.96\end{proof}9798La proposition a une conséquence pratique importante : le terme jacobien de la vraisemblance disparaît, et le modèle à décalage spatio-temporel s'estime par moindres carrés ordinaires sur $[\mathbf{W}\mathbf{y}, \mathbf{X}]$, le décalage étant \emph{prédéterminé} au sens des séries chronologiques. Cette simplicité a un prix : l'estimateur n'est convergent que si les erreurs ne sont pas elles-mêmes autocorrélées dans l'espace, car la vente antérieure voisine porte le même résidu de quartier que le sujet. L'exemple de la \cref{sec:19:exemple} montrera que, dans le jeu du cas 1, le décalage spatio-temporel capte une partie seulement de la dépendance résiduelle.99100\subsection{Choisir la matrice}101102Le choix de $\mathbf{W}$ est la décision la plus discutée et la moins théorisée de l'économétrie spatiale. Aucun test ne désigne la « bonne » matrice ; le critère d'information et la vraisemblance permettent de comparer des matrices entre elles pour un même modèle, mais la comparaison est fragile et les paramètres autorégressifs ne sont pas comparables d'une matrice à l'autre, un fait que la \cref{sec:19:sensibilite} illustrera. En pratique, on construit la matrice à partir de ce que l'on sait du mécanisme : quelques plus proches voisins si l'on pense aux comparables qu'un acheteur regarde, une portée fixe si l'on pense à une externalité physique dont l'effet s'éteint avec la distance, une pondération spatio-temporelle si l'on pense à l'ancrage sur les ventes récentes. Et l'on vérifie que les conclusions ne dépendent pas de choix raisonnables différents. Dans ce chapitre, la matrice de référence est celle des huit plus proches voisins, standardisée en ligne ; les variantes à quatre, six, douze et seize voisins et les matrices de distance inverse à deux, trois et quatre kilomètres servent à l'analyse de sensibilité.103104\section{Tester la dépendance spatiale}\label{sec:19:tests}105106\subsection{La statistique \texorpdfstring{$I$}{I} de Moran}107108La statistique de Moran est au spatial ce que le coefficient d'autocorrélation d'ordre un est aux séries chronologiques. Pour une variable $z_i = x_i - \bar{x}$ centrée et une matrice $\mathbf{W}$ de somme $S_0 = \sum_i\sum_j w_{ij}$,109\begin{equation}\label{eq:19:moran}110I = \frac{n}{S_0}\,\frac{\mathbf{z}\T\mathbf{W}\mathbf{z}}{\mathbf{z}\T\mathbf{z}} = \frac{n}{S_0}\,\frac{\sum_i\sum_j w_{ij}\,z_i z_j}{\sum_i z_i^2} .111\end{equation}112Avec une matrice standardisée en ligne, $S_0 = n$ et $I$ est la pente de la régression du décalage spatial $\mathbf{W}\mathbf{z}$ sur $\mathbf{z}$ : c'est la lecture graphique du « diagramme de Moran ». Sous l'hypothèse nulle d'absence d'autocorrélation et de normalité des $z_i$, l'espérance et la variance sont connues \parencite{anselin1988} :113\begin{equation}\label{eq:19:moran-moments}114\E[I] = -\frac{1}{n-1}, \qquad \Var[I] = \frac{n^2 S_1 - n S_2 + 3 S_0^2}{(n^2 - 1)\, S_0^2} - \E[I]^2 ,115\end{equation}116avec $S_1 = \tfrac12\sum_i\sum_j (w_{ij} + w_{ji})^2$ et $S_2 = \sum_i\big(\sum_j w_{ij} + \sum_j w_{ji}\big)^2$. La statistique centrée réduite $z_I = (I - \E[I])/\sqrt{\Var[I]}$ est comparée à la loi normale. L'espérance sous l'hypothèse nulle est légèrement négative, $-1/599 \approx -0{,}0017$ pour le cas 1, ce qui rappelle qu'un $I$ nul n'est pas tout à fait l'absence de dépendance. Une inférence par permutations, qui recalcule $I$ après avoir mélangé aléatoirement les valeurs entre les positions, dispense de l'hypothèse de normalité ; les deux approches donnent des résultats très voisins pour 600 observations.117118Appliquée aux résidus d'une régression, la statistique de Moran garde son interprétation descriptive, mais ses moments sous l'hypothèse nulle sont modifiés par le fait que les résidus MCO sont des combinaisons linéaires des erreurs, contraintes par les régresseurs ; \textcite{anselin1988} en donne la version corrigée. L'écart est faible lorsque $n$ est grand par rapport au nombre de régresseurs, et la version simple de l'\cref{eq:19:moran-moments} est celle qu'utilise le script de ce chapitre ; la version corrigée donne, pour les résidus du cas 1 sans indicatrices de secteur, une statistique de 17,3 contre 17,1.119120Le \motcle{corrélogramme} spatial raffine le diagnostic en calculant $I$ pour une suite de matrices binaires, chacune ne retenant que les paires dont la distance tombe dans une bande donnée. Il montre à quelle distance la dépendance s'éteint, et il révèle des structures que la statistique globale masque : une dépendance forte jusqu'à quelques kilomètres puis négative au-delà signale des sous-marchés de taille finie plutôt qu'une décroissance continue, comme on le verra à la \cref{fig:19:correlogramme}.121122\subsection{Les tests du multiplicateur de Lagrange}123124La statistique de Moran détecte la dépendance mais ne dit pas si elle vient du terme d'erreur ou de la variable dépendante. Les tests du \motcle{multiplicateur de Lagrange} (LM), calculés à partir des seuls résidus MCO $\mathbf{e}$, répondent à cette question \parencite{anselin1988}. Avec $\hat\sigma^2 = \mathbf{e}\T\mathbf{e}/n$, $T = \operatorname{tr}[(\mathbf{W}\T + \mathbf{W})\mathbf{W}]$, $\mathbf{M} = \mathbf{I} - \mathbf{X}(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T$ et $R_J = (\mathbf{W}\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})\T\mathbf{M}(\mathbf{W}\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})/\hat\sigma^2 + T$, le test de l'hypothèse $\lambda = 0$ dans le modèle à erreur spatiale et le test de $\rho = 0$ dans le modèle à décalage s'écrivent125\begin{equation}\label{eq:19:lm}126\mathrm{LM}_{\text{err}} = \frac{\left(\mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{e}/\hat\sigma^2\right)^2}{T}, \qquad127\mathrm{LM}_{\text{lag}} = \frac{\left(\mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{y}/\hat\sigma^2\right)^2}{R_J} ,128\end{equation}129chacun suivant asymptotiquement une loi du $\chi^2$ à un degré de liberté sous son hypothèse nulle. Le numérateur du premier est, à un facteur près, le carré de la statistique de Moran des résidus ; celui du second mesure la corrélation entre les résidus et le décalage de la variable dépendante. Le problème est que chaque test rejette aussi en présence de l'autre forme de dépendance. Les versions \emph{robustes}, dues à Anselin et à ses coauteurs et présentées dans \textcite{elhorst2014}, corrigent chaque statistique de la présence éventuelle de l'autre forme :130\begin{equation}\label{eq:19:rlm}131\mathrm{RLM}_{\text{lag}} = \frac{\left(d_\rho - d_\lambda\right)^2}{R_J - T}, \qquad132\mathrm{RLM}_{\text{err}} = \frac{\left(d_\lambda - T R_J^{-1} d_\rho\right)^2}{T\left(1 - T R_J^{-1}\right)} ,133\end{equation}134avec $d_\rho = \mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{y}/\hat\sigma^2$ et $d_\lambda = \mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{e}/\hat\sigma^2$. La règle de décision usuelle est séquentielle : si aucun test simple n'est significatif, le modèle MCO suffit ; si les deux le sont, on regarde les versions robustes et l'on retient la forme dont la version robuste reste significative ; si les deux versions robustes sont significatives, on envisage un modèle combinant les deux formes ou, plus souvent, on soupçonne une spécification déficiente (variables omises, forme fonctionnelle) dont la dépendance spatiale n'est que le symptôme. L'exemple du cas 1 est, à cet égard, un cas d'école.135136\begin{pratique}137Le diagnostic spatial d'un modèle hédonique tient en trois gestes, qui devraient figurer au dossier de tout modèle utilisé pour dériver des ajustements ou des indications de valeur : la carte des résidus sur les coordonnées des ventes, qui montre à l'œil les grappes de sur- et de sous-évaluation ; la statistique de Moran des résidus avec sa valeur $z$, pour une matrice de voisinage déclarée ; et les quatre tests LM, qui orientent vers un remède. Un modèle dont les résidus sont spatialement corrélés n'est pas inutilisable, mais ses erreurs-types sont trompeuses et sa prédiction pour un sujet donné peut être améliorée par l'information des ventes voisines, ce que la \cref{sec:19:krigeage} montre.138\end{pratique}139140\section{Les modèles autorégressifs spatiaux : SAR, SEM et SDM}\label{sec:19:modeles}141142\subsection{Trois façons d'introduire le voisinage}143144Le \motcle{modèle à décalage spatial} (SAR, \emph{spatial autoregressive} ou \emph{spatial lag model}) fait dépendre le prix d'une maison de la moyenne pondérée des prix de ses voisines :145\begin{equation}\label{eq:19:sar}146\mathbf{y} = \rho\,\mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon, \qquad \boldsymbol\varepsilon \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I}) ,147\end{equation}148où $\mathbf{y}$ est le vecteur des logarithmes des prix. Le paramètre $\rho$ mesure l'intensité de l'interaction ; sa forme réduite,149\begin{equation}\label{eq:19:sar-reduite}150\mathbf{y} = (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\mathbf{X}\boldsymbol\beta + (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\boldsymbol\varepsilon151= \sum_{m=0}^{\infty} \rho^m\mathbf{W}^m\left(\mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon\right),152\end{equation}153montre que les caractéristiques et le choc de chaque maison se propagent à ses voisines ($\mathbf{W}$), puis aux voisines de ses voisines ($\mathbf{W}^2$), avec une intensité qui décroît géométriquement. Le développement en série converge pour $\abs{\rho} < 1$ lorsque $\mathbf{W}$ est standardisée en ligne. Le SAR est le modèle naturel du troisième mécanisme de la \cref{sec:19:dependance}, l'ancrage sur les prix voisins, et il est le plus souvent invoqué dans la littérature sur les « effets de pairs » immobiliers \parencite{desrosiersDubeTheriault2011}.154155Le \motcle{modèle à erreur spatiale} (SEM, \emph{spatial error model}) laisse la relation entre prix et caractéristiques intacte et place la dépendance dans le terme d'erreur :156\begin{equation}\label{eq:19:sem}157\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \mathbf{u}, \qquad \mathbf{u} = \lambda\,\mathbf{W}\mathbf{u} + \boldsymbol\varepsilon, \qquad \text{d'où } \mathbf{u} = (\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})^{-1}\boldsymbol\varepsilon .158\end{equation}159La matrice de covariance de $\mathbf{u}$ vaut $\sigma^2[(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})\T(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})]^{-1}$ : des maisons voisines partagent une composante de leur résidu, ce qui est exactement ce que produisent des attributs de voisinage omis. Le SEM est le modèle naturel des deux premiers mécanismes, externalités et sous-marchés non mesurés, et \textcite{dubin1988} l'a introduit en évaluation immobilière sous une forme voisine, avec une covariance décroissant continûment avec la distance plutôt que définie par une matrice de voisinage ; le \cref{sec:19:krigeage} revient sur cette parenté.160161Le \motcle{modèle de Durbin spatial} (SDM) ajoute au SAR les décalages spatiaux des caractéristiques :162\begin{equation}\label{eq:19:sdm}163\mathbf{y} = \rho\,\mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \mathbf{W}\mathbf{X}_{-1}\boldsymbol\theta + \boldsymbol\varepsilon ,164\end{equation}165où $\mathbf{X}_{-1}$ est la matrice des régresseurs sans la constante, qui serait colinéaire à son propre décalage. Le prix d'une maison dépend alors de ses caractéristiques, des prix voisins et des caractéristiques voisines : une grande maison entourée de petites ne se vend pas comme une grande maison entourée de grandes. \textcite{lesagePace2009} recommandent le SDM comme point de départ parce qu'il emboîte le SAR ($\boldsymbol\theta = \mathbf{0}$), le SEM ($\boldsymbol\theta = -\lambda\boldsymbol\beta_{-1}$, ce que l'on vérifie en multipliant l'\cref{eq:19:sem} par $\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W}$) et le modèle SLX à décalages des seuls régresseurs ($\rho = 0$), et parce que ses estimations de $\boldsymbol\beta$ restent convergentes lorsque des variables omises sont spatialement corrélées avec les régresseurs inclus. Son coût est un nombre de paramètres presque doublé et une interprétation plus délicate des effets.166167\subsection{L'estimation par maximum de vraisemblance}168169Sous normalité des innovations, la log-vraisemblance du SAR s'écrit170\begin{equation}\label{eq:19:loglik}171\ell(\rho, \boldsymbol\beta, \sigma^2) = \ln\abs{\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})} - \frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\left(\mathbf{y} - \rho\mathbf{W}\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)\T\left(\mathbf{y} - \rho\mathbf{W}\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta\right).172\end{equation}173Le premier terme est le jacobien de la transformation de $\boldsymbol\varepsilon$ en $\mathbf{y}$ ; c'est lui qui distingue le maximum de vraisemblance des moindres carrés appliqués naïvement à l'\cref{eq:19:sar}, et c'est lui qui pénalise les valeurs de $\rho$ proches des bornes. La maximisation se fait en deux temps. Pour $\rho$ fixé, les estimateurs de $\boldsymbol\beta$ et de $\sigma^2$ sont ceux des moindres carrés sur la variable transformée $\mathbf{y} - \rho\mathbf{W}\mathbf{y}$ ; en notant $\mathbf{b}_0$ et $\mathbf{b}_L$ les coefficients des régressions de $\mathbf{y}$ et de $\mathbf{W}\mathbf{y}$ sur $\mathbf{X}$, et $\mathbf{e}_0$, $\mathbf{e}_L$ leurs résidus, on a $\hat{\boldsymbol\beta}(\rho) = \mathbf{b}_0 - \rho\mathbf{b}_L$ et $\hat\sigma^2(\rho) = (\mathbf{e}_0 - \rho\mathbf{e}_L)\T(\mathbf{e}_0 - \rho\mathbf{e}_L)/n$. La \motcle{vraisemblance concentrée}174\begin{equation}\label{eq:19:concentree}175\ell_c(\rho) = \sum_{i=1}^{n}\ln\abs{1 - \rho\,\omega_i} - \frac{n}{2}\ln\!\big(2\pi\,\hat\sigma^2(\rho)\big) - \frac{n}{2}176\end{equation}177ne dépend plus que de $\rho$ et se maximise par une recherche unidimensionnelle sur l'intervalle admissible. Les $\omega_i$ sont les valeurs propres de $\mathbf{W}$, calculées une fois pour toutes ; pour quelques centaines d'observations, le calcul est immédiat, et pour des dizaines de milliers de ventes, on recourt aux approximations du déterminant développées par \textcite{paceBarrySirmans1998}. Le SEM s'estime de la même façon en concentrant sur $\lambda$, les coefficients $\hat{\boldsymbol\beta}(\lambda)$ étant ceux des moindres carrés de $\mathbf{y} - \lambda\mathbf{W}\mathbf{y}$ sur $\mathbf{X} - \lambda\mathbf{W}\mathbf{X}$, ce qui généralise la transformation de Cochrane--Orcutt des séries chronologiques. Les erreurs-types proviennent de l'inverse de la matrice d'information, dont \textcite{anselin1988} donne l'expression analytique ; elles supposent la normalité et l'homoscédasticité des innovations. Lorsque ces hypothèses sont douteuses, ou lorsque le nombre d'observations rend le jacobien coûteux, les estimateurs par variables instrumentales et par la méthode des moments généralisés de \textcite{kelejianPrucha1998,kelejianPrucha2010} constituent l'alternative : le décalage $\mathbf{W}\mathbf{y}$ y est instrumenté par $\mathbf{W}\mathbf{X}$ et $\mathbf{W}^2\mathbf{X}$, et la dépendance des erreurs est traitée par une étape de moments. Les fonctions \texttt{sar\_mv}, \texttt{sem\_mv} et \texttt{tests\_lm\_spatial} de la bibliothèque \texttt{traite.hedonique} implémentent le maximum de vraisemblance concentré et les tests ; leurs résultats coïncident, à $10^{-6}$ près, avec ceux de la bibliothèque \texttt{spreg} de PySAL, utilisée comme contrôle croisé.178179\subsection{Effets directs, indirects et totaux}180181Dans un modèle linéaire ordinaire, $\beta_r$ est l'effet d'une variation unitaire de $x_r$ sur $y$. Dans le SAR et le SDM, ce n'est plus vrai : une variation de $x_{jr}$ chez la maison $j$ modifie son prix, lequel modifie celui de ses voisines, qui rétroagit sur $j$. La dérivée du vecteur $\mathbf{y}$ par rapport au vecteur $\mathbf{x}_r$ est une matrice $n \times n$,182\begin{equation}\label{eq:19:effets}183\mathbf{S}_r(\mathbf{W}) = \frac{\partial\mathbf{y}}{\partial\mathbf{x}_r\T} = (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\left(\beta_r\mathbf{I} + \theta_r\mathbf{W}\right),184\end{equation}185avec $\theta_r = 0$ dans le SAR. \textcite{lesagePace2009} proposent de la résumer par trois scalaires : l'\motcle{effet direct} moyen, $\operatorname{tr}[\mathbf{S}_r]/n$, qui mesure l'effet d'une variation de $x_r$ chez $i$ sur le prix de $i$, rétroactions comprises ; l'\motcle{effet total} moyen, $\mathbf{1}\T\mathbf{S}_r\mathbf{1}/n$, somme d'une ligne moyenne, qui mesure l'effet sur le prix de $i$ d'une variation de $x_r$ chez toutes les maisons ; et l'\motcle{effet indirect}, différence des deux, qui mesure les retombées sur les voisines. Dans le SAR, les trois effets ont le même signe et l'effet indirect est proportionnel à l'effet direct ; dans le SDM, le coefficient $\theta_r$ peut les découpler et même leur donner des signes opposés.186187\begin{proposition}{Effet total dans un modèle à décalage spatial}{effet-total}188Si $\mathbf{W}$ est standardisée en ligne, l'effet total moyen de la variable $r$ dans le SAR vaut exactement $\beta_r/(1 - \rho)$, et dans le SDM, $(\beta_r + \theta_r)/(1 - \rho)$.189\end{proposition}190\begin{proof}191Puisque $\mathbf{W}\mathbf{1} = \mathbf{1}$, on a $(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})\mathbf{1} = (1 - \rho)\mathbf{1}$, donc $(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\mathbf{1} = \mathbf{1}/(1 - \rho)$. Alors $\mathbf{S}_r\mathbf{1} = (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}(\beta_r + \theta_r)\mathbf{1} = (\beta_r + \theta_r)\mathbf{1}/(1 - \rho)$, et la moyenne des sommes de lignes vaut $(\beta_r + \theta_r)/(1 - \rho)$.192\end{proof}193194Le facteur $1/(1 - \rho)$ est le \motcle{multiplicateur spatial}. Avec $\rho = 0{,}44$, valeur que l'exemple produira, il vaut 1,78 : un modèle SAR affirme que l'effet d'ensemble d'une caractéristique est près du double de son coefficient. Cette affirmation n'a de sens que si $\rho$ mesure réellement une interaction entre prix, et non la trace d'attributs de voisinage omis. C'est là le point d'interprétation le plus délicat du chapitre : les données ne permettent généralement pas de distinguer un vrai effet de voisinage d'un résidu de quartier spatialement lisse, et l'exemple montrera qu'un SAR estimé sans indicatrices de secteur attribue à l'« interaction » ce qui n'est que la prime de secteur omise. Pour l'évaluateur, la conséquence est claire : les effets totaux du SAR ne doivent pas servir à dériver des ajustements ; seuls les effets directs, ou les coefficients d'un SEM, s'interprètent comme des prix implicites, et encore faut-il que la spécification soit crédible.195196\subsection{Choisir entre les modèles}197198Trois critères se complètent. Les tests LM de la \cref{sec:19:tests} orientent avant estimation. Après estimation, le critère d'information d'Akaike, $\mathrm{AIC} = 2p - 2\hat\ell$ où $p$ compte les paramètres $\rho$ ou $\lambda$ et $\sigma^2$, compare des modèles non emboîtés estimés sur la même matrice. Enfin, la statistique de Moran des innovations $\hat{\boldsymbol\varepsilon}$ vérifie que le modèle retenu a bien épuisé la dépendance ; un SAR laissant des innovations corrélées signale que la forme était la mauvaise. À ces critères s'ajoute la question de l'objectif : pour \emph{prédire} la valeur d'un sujet, tous les modèles qui captent la dépendance se valent à peu près, comme \textcite{bourassaCantoniHoesli2010} l'ont montré en comparant krigeage, modèles autorégressifs et sous-marchés sur plusieurs villes ; pour \emph{interpréter} des prix implicites, le SEM et les effets fixes sont plus sûrs que le SAR.199200\section{La régression géographiquement pondérée}\label{sec:19:gwr}201202\subsection{Des coefficients qui varient avec le lieu}203204La \motcle{régression géographiquement pondérée} (GWR, \emph{geographically weighted regression}) de \textcite{fotheringhamBrunsdonCharlton2002} répond à l'hétérogénéité spatiale en estimant une régression distincte en chaque point de l'espace, à partir des observations voisines pondérées par leur distance. Pour une cible $u$ (une vente, ou un point quelconque comme le sujet), l'estimateur est celui des moindres carrés pondérés,205\begin{equation}\label{eq:19:gwr}206\hat{\boldsymbol\beta}(u) = \left(\mathbf{X}\T\mathbf{K}(u)\mathbf{X}\right)^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{K}(u)\mathbf{y}, \qquad \mathbf{K}(u) = \operatorname{diag}\big(k_1(u), \dots, k_n(u)\big),207\end{equation}208où le poids de la vente $j$ décroît avec sa distance $d_{uj}$ à la cible selon un \motcle{noyau}. Le noyau gaussien à bande passante fixe,209\begin{equation}\label{eq:19:noyau}210k_j(u) = \exp\!\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{d_{uj}}{h}\right)^2\right),211\end{equation}212donne un poids de 0,61 à une vente située à une bande passante $h$ de la cible, de 0,14 à deux bandes passantes et de 0,01 à trois. D'autres noyaux (bicarré, à support borné) et des bandes passantes \emph{adaptatives}, définies par un nombre de voisins plutôt que par une distance, conviennent mieux lorsque la densité des ventes est très inégale. La régression géographiquement pondérée généralise ainsi la méthode des comparables du \cref{ch:16} : l'évaluateur qui n'estime les prix implicites que sur les ventes du voisinage immédiat fait, sans le dire, une GWR à bande passante très courte.213214\subsection{La bande passante et l'arbitrage biais--variance}215216Le paramètre décisif est $h$. Une bande passante courte suit fidèlement les variations locales mais s'appuie sur peu d'observations effectives, et les coefficients deviennent instables ; une bande passante longue lisse tout et la GWR tend vers la régression globale. L'arbitrage est le même qu'au \cref{ch:16} pour le nombre de comparables, et il se règle de la même façon, par \motcle{validation croisée} : on choisit $h$ qui minimise la somme des carrés des erreurs de prédiction de chaque vente par une régression locale dont elle est exclue,217\begin{equation}\label{eq:19:cv}218\mathrm{CV}(h) = \sum_{i=1}^{n}\big(y_i - \hat y_{(-i)}(h)\big)^2 .219\end{equation}220L'exclusion de l'observation elle-même est indispensable : sans elle, $h \to 0$ interpolerait exactement les données. Le critère d'Akaike corrigé, $\mathrm{AIC}_c = n\ln(\hat\sigma^2) + n\ln(2\pi) + n\,(n + \operatorname{tr}\mathbf{S})/(n - 2 - \operatorname{tr}\mathbf{S})$, où $\mathbf{S}$ est la matrice « chapeau » qui transforme $\mathbf{y}$ en $\hat{\mathbf{y}}$ et dont la trace joue le rôle d'un nombre effectif de paramètres, est l'autre critère courant ; il permet en outre de comparer la GWR à la régression globale, dont la trace vaut $k$.221222\subsection{Lire les cartes de coefficients}223224Le produit de la GWR est un jeu de cartes, une par coefficient, qui montre où la superficie se paie cher, où l'âge pèse peu, où la constante locale, interprétable comme un niveau de prix de localisation à caractéristiques données, est élevée. Ces cartes sont séduisantes et doivent être lues avec prudence. Premièrement, les coefficients locaux sont fortement corrélés entre eux et avec ceux des cibles voisines, par construction ; leurs variations ne sont pas toutes significatives, et la GWR n'offre pas de test simple de la stabilité d'un coefficient, sinon des tests par permutation. Deuxièmement, une bande passante unique pour tous les coefficients impose la même échelle de variation à des phénomènes qui n'en ont pas la même ; les extensions à bandes passantes multiples répondent à cette limite, au prix d'un calcul plus lourd. Troisièmement, la GWR \emph{lisse} : une discontinuité réelle, comme la frontière entre deux secteurs de prix différents, est étalée sur une distance de l'ordre de la bande passante, et la prime d'un petit secteur enclavé dans un plus grand est sous-estimée. L'exemple en donnera une illustration nette. À Québec, \textcite{theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003} et \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006} ont montré que les prix implicites des attributs varient avec la localisation et avec le profil des acheteurs, ce qui plaide pour la GWR comme outil d'exploration ; pour la prédiction, l'exemple montrera qu'elle rivalise avec les modèles autorégressifs.225226\section{Les effets fixes de quartier et de temps}\label{sec:19:effets-fixes}227228Le remède le plus simple à la dépendance spatiale est aussi le plus ancien : des indicatrices de quartier. Si la dépendance provient d'attributs de voisinage omis dont la valeur est à peu près constante à l'intérieur de zones connues, une indicatrice par zone absorbe ces attributs, et les résidus redeviennent indépendants. C'est exactement la structure du modèle de référence du cas 1 et, comme on le verra, elle y suffit. La question est celle de la granularité. Des zones trop grandes laissent subsister de la dépendance à l'intérieur ; des zones trop petites multiplient les paramètres, réduisent le nombre de ventes par zone et finissent par absorber dans les effets fixes une partie de ce que les caractéristiques devraient expliquer. Le critère d'information arbitre ; la statistique de Moran des résidus contrôle. Les zones peuvent être administratives (secteurs, arrondissements, quartiers du rôle d'évaluation), statistiques (aires de diffusion), ou purement géométriques (cellules d'une grille), ces dernières ayant l'avantage de ne rien supposer et l'inconvénient de couper les quartiers réels au hasard. \textcite{bishop2020} et \textcite{kuminoffParmeterPope2010} recommandent, pour les modèles hédoniques destinés à mesurer des consentements à payer, des effets fixes spatiaux fins combinés à des effets fixes temporels, parce que cette spécification résiste mieux aux variables omises que des formes fonctionnelles sophistiquées.229230Le temps se traite de la même manière. Une tendance linéaire en mois, celle du modèle de référence, impose une croissance géométrique constante ; des indicatrices trimestrielles ou mensuelles laissent le marché suivre son propre chemin et fournissent, par la même occasion, un indice de prix hédonique, dont le \cref{ch:35} fait la théorie. Le coût est, là encore, un nombre de paramètres accru et des indices bruités lorsque les ventes par période sont peu nombreuses. Entre les deux, la matrice spatio-temporelle de la \cref{sec:19:poids} offre une troisième voie, où la dimension temporelle entre par la pondération des ventes antérieures plutôt que par des paramètres supplémentaires. Les modèles de panel du \cref{ch:36}, lorsque l'on observe les mêmes immeubles à plusieurs dates, et les modèles spatio-temporels bayésiens de \textcite{gelfandGhoshKnightSirmans1998} et \textcite{banerjeeGelfandKnightSirmans2004}, qui traitent l'espace et le temps comme des processus aléatoires continus, prolongent cette logique.231232\section{Le krigeage des résidus}\label{sec:19:krigeage}233234\subsection{Le variogramme}235236Le krigeage aborde la dépendance spatiale par la géostatistique plutôt que par une matrice de voisinage : le résidu de localisation est un processus aléatoire continu $u(\mathbf{s})$ dont la covariance dépend de la distance. L'outil descriptif est le \motcle{semi-variogramme}, qui mesure la dissemblance moyenne entre deux points séparés d'une distance $h$,237\begin{equation}\label{eq:19:variogramme}238\gamma(h) = \frac{1}{2}\,\E\big[\big(u(\mathbf{s}) - u(\mathbf{s} + \mathbf{h})\big)^2\big], \qquad239\hat\gamma(h) = \frac{1}{2N(h)}\sum_{(i,j) \in N(h)}\big(u_i - u_j\big)^2 ,240\end{equation}241où $N(h)$ est l'ensemble des paires dont la distance tombe dans une bande autour de $h$. Pour un processus stationnaire de variance $C(0)$ et de covariance $C(h)$, on a $\gamma(h) = C(0) - C(h)$ : le variogramme croît de zéro vers un \motcle{palier} égal à la variance, atteint à la \motcle{portée} au-delà de laquelle les résidus ne sont plus corrélés. Sa valeur à l'origine, la \motcle{pépite}, mesure la variabilité à très courte distance, c'est-à-dire la part du résidu qui n'est pas spatiale, bruit de transaction et erreurs de mesure. Un modèle paramétrique est ensuite ajusté au variogramme empirique ; le modèle exponentiel,242\begin{equation}\label{eq:19:exponentiel}243\gamma(h) = c_0 + c_1\left(1 - e^{-h/a}\right), \qquad h > 0 ,244\end{equation}245de pépite $c_0$, de palier $c_0 + c_1$ et de portée pratique $3a$ (distance à laquelle 95 \% du palier est atteint), est le plus courant pour les prix de maisons. \textcite{dubin1998} en donne une introduction pédagogique, et \textcite{basuThibodeau1998} ont estimé, sur les ventes de Dallas, des portées de plusieurs kilomètres ; \textcite{gillenThibodeauWachter2001} ont montré que la dépendance peut être \emph{anisotrope}, plus forte dans une direction que dans l'autre, le long d'une artère ou d'un littoral par exemple.246247\subsection{Le krigeage ordinaire}248249Le \motcle{krigeage ordinaire} prédit $u$ en un point non observé $\mathbf{s}_0$ par la combinaison linéaire $\hat u_0 = \sum_j w_j u_j$ des résidus observés, sans biais ($\sum_j w_j = 1$) et de variance minimale. Les poids résolvent le système linéaire250\begin{equation}\label{eq:19:krigeage}251\begin{bmatrix} \mathbf{C} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1}\T & 0 \end{bmatrix}252\begin{bmatrix} \mathbf{w} \\ \mu \end{bmatrix}253=254\begin{bmatrix} \mathbf{c}_0 \\ 1 \end{bmatrix},255\qquad256\sigma^2_{\text{k}}(\mathbf{s}_0) = C(0) - \mathbf{w}\T\mathbf{c}_0 - \mu ,257\end{equation}258où $\mathbf{C}$ est la matrice des covariances entre points observés, $C_{ij} = c_1 e^{-d_{ij}/a}$ pour $i \neq j$ et $C_{ii} = c_0 + c_1$, et $\mathbf{c}_0$ le vecteur des covariances entre les points observés et la cible ; $\mu$ est le multiplicateur de Lagrange de la contrainte de somme unitaire et $\sigma^2_{\text{k}}$ la variance de krigeage, qui mesure l'incertitude de la prédiction du résidu. Le krigeage est l'\emph{interpolateur optimal} au sens des moindres carrés : il donne plus de poids aux voisins proches, moins aux voisins regroupés entre eux, dont l'information est redondante, et il se réduit à une moyenne locale lorsque la pépite domine. En pratique, on ne résout le système que sur les quelques dizaines de voisins les plus proches de la cible, ce qui est sans perte lorsque la portée est courte devant l'étendue de l'échantillon.259260Pour l'évaluateur, le krigeage des résidus a une interprétation immédiate : c'est un \emph{ajustement de localisation} estimé à partir de ce que le modèle hédonique n'a pas su expliquer chez les ventes voisines. Si les maisons autour du sujet se sont toutes vendues 5 \% au-dessus de ce que le modèle prédit, il est raisonnable de relever de 5 \% la prédiction pour le sujet, et le krigeage dit de combien exactement, compte tenu des distances et de la redondance des voisins. Le SEM de la \cref{sec:19:modeles} fait la même chose avec une structure de covariance définie par $\mathbf{W}$ : l'espérance conditionnelle du résidu au sujet, sachant les résidus observés, s'obtient à partir de la matrice de précision $(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})\T(\mathbf{I} - \lambda\mathbf{W})/\sigma^2$, et l'exemple montrera que les deux approches donnent des corrections très voisines. \textcite{dubin1988} avait précisément proposé d'estimer conjointement les coefficients hédoniques et la covariance spatiale ; la pratique courante, en deux étapes, régression puis krigeage des résidus, perd un peu d'efficacité mais reste transparente et facile à documenter.261262\section{Exemple intégral : les 600 ventes du cas 1}\label{sec:19:exemple}263264\begin{synthetique}265Le dossier du cas 1 est synthétique. Les 600 ventes de \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv} ont été générées par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} : le logarithme du prix y est la somme d'une fonction des caractéristiques, d'une prime de secteur égale au logarithme du rapport des médianes APCIQ du troisième trimestre de 2026 à celle de Hull \parencite{apciqgatineaut32026}, d'un gradient de distance au centre au-delà de trois kilomètres, d'une tendance temporelle et d'un bruit indépendant d'écart-type 0,085. Les coordonnées sont fictives ; elles sont converties en kilomètres par une projection locale autour du centroïde des ventes et les cartes de ce chapitre ne représentent aucun lieu. Le générateur ne contient \emph{aucun} processus spatial résiduel : c'est un choix délibéré, qui permet de vérifier que les outils du chapitre retrouvent la structure connue et, surtout, de montrer ce qu'ils racontent lorsqu'on la leur cache. Tous les chiffres de cette section sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py}, les figures par \texttt{analysis/python/figures/ch19\_figures.py}, et les estimations ont été contrôlées avec les bibliothèques \texttt{spreg}, \texttt{esda} et \texttt{mgwr} de PySAL.266\end{synthetique}267268\subsection{Deux spécifications et trois matrices}269270Le modèle de référence du cas 1 (\texttt{traite.cas1.hedonique}, \cref{ch:18}) régresse le logarithme du prix sur le logarithme de la superficie habitable et du terrain, l'âge et son carré, la qualité, le garage, le sous-sol fini, la piscine, le type à étages, la distance au centre au-delà de trois kilomètres, quatre indicatrices de secteur (Hull étant la référence) et une tendance linéaire en mois ; il explique 85,3 \% de la variance avec un écart-type résiduel de 0,083. La question du chapitre est de savoir ce qu'il reste de dépendance spatiale dans ses résidus, et ce qui se passe lorsqu'un analyste ne dispose pas des frontières de secteurs. On estime donc aussi une spécification \emph{sans indicatrices de secteur}, identique par ailleurs, qui explique 76,6 \% de la variance avec un écart-type résiduel de 0,104, et, pour mémoire, une spécification sans indicatrices ni gradient de distance ($R^2 = 0{,}637$).271272Les coordonnées projetées s'étendent sur 42 kilomètres d'est en ouest et 27 du sud au nord ; le sujet se trouve à 5,0 kilomètres à l'ouest et 4,1 au sud du centroïde. Trois matrices de pondération sont construites : celle des huit plus proches voisins ($\mathbf{W}_{\text{knn}}$, huit voisins par vente, aucune ligne vide) ; celle de la distance inverse à moins de deux kilomètres ($\mathbf{W}_{\text{dist}}$, 61,8 voisins en moyenne) ; et la matrice spatio-temporelle de l'\cref{eq:19:spatio-temporelle}, distance inverse à moins de deux kilomètres et ventes antérieures de moins de douze mois ($\mathbf{W}_{\text{st}}$, 15,1 voisins en moyenne, 18 ventes sans aucune voisine antérieure). La \cref{prop:jacobien-st} se vérifie numériquement : la plus grande valeur propre de $\mathbf{W}_{\text{st}}$ en module est nulle à la précision machine.273274\subsection{La dépendance des résidus, avec et sans indicatrices de secteur}275276Le \cref{tab:19:moran} donne la statistique de Moran du logarithme du prix et des résidus des trois spécifications, pour les trois matrices. Le logarithme du prix brut est, sans surprise, autocorrélé ($I = 0{,}20$ avec $\mathbf{W}_{\text{knn}}$, $z = 10{,}7$) : des maisons voisines se ressemblent et se vendent à des prix voisins. Retirer l'effet des caractéristiques sans modéliser la localisation \emph{augmente} la dépendance ($I = 0{,}36$) : une fois la superficie, l'âge et la qualité pris en compte, ce qui reste est presque entièrement de la localisation, et la localisation est lisse dans l'espace. Ajouter le gradient de distance réduit à peine la statistique ($I = 0{,}32$, $z = 17{,}1$), parce que le gradient ne distingue pas Aylmer de Gatineau, à distances comparables du centre mais à primes opposées. Ajouter les quatre indicatrices de secteur ramène la statistique à $-0{,}014$ ($z = -0{,}63$, valeur $p$ de 0,53) : plus aucune dépendance détectable. Le résultat est identique avec la matrice de distance inverse ; avec la matrice spatio-temporelle, la statistique des résidus du modèle de référence est légèrement négative ($-0{,}039$, $z = -2{,}06$), un effet marginal que l'on peut attribuer aux 18 lignes vides et à la faible taille des voisinages antérieurs, et dont la valeur $p$ de 0,04 ne survit à aucune correction pour tests multiples.277278\begin{table}[htbp]279\caption{Statistique $I$ de Moran du logarithme des prix et des résidus de trois spécifications, cas 1, selon la matrice de pondération (données synthétiques)}\label{tab:19:moran}280\centering281\small282\begin{tabular}{lrrrrrr}283\toprule284 & \multicolumn{2}{c}{$\mathbf{W}_{\text{knn}}$ ($k = 8$)} & \multicolumn{2}{c}{$\mathbf{W}_{\text{dist}}$ (2 km)} & \multicolumn{2}{c}{$\mathbf{W}_{\text{st}}$ (2 km, 12 mois)} \\285\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5}\cmidrule(lr){6-7}286Série & {$I$} & {$z$} & {$I$} & {$z$} & {$I$} & {$z$} \\287\midrule288$\ln P$ (sans modèle) & 0,201 & 10,7 & 0,221 & 17,3 & 0,277 & 15,6 \\289Résidus, sans secteur ni gradient & 0,360 & 19,0 & 0,352 & 27,5 & 0,348 & 19,5 \\290Résidus, sans indicatrices de secteur & 0,324 & 17,1 & 0,322 & 25,2 & 0,305 & 17,1 \\291Résidus, modèle de référence & $-0{,}014$ & $-0{,}6$ & $-0{,}012$ & $-0{,}8$ & $-0{,}039$ & $-2{,}1$ \\292\bottomrule293\end{tabular}294\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py ; $\E[I] = -0{,}0017$ ; $z$ sous l'hypothèse de normalité, \cref{eq:19:moran-moments}}}295\end{table}296297La \cref{fig:19:carte-residus} rend le phénomène visible. Sans indicatrices, les résidus sont positifs sur tout Aylmer et négatifs sur Buckingham et Masson-Angers : le modèle sous-évalue systématiquement un secteur et surévalue les autres, et la carte des résidus dessine la carte des primes de secteur. Avec les indicatrices, les résidus positifs et négatifs se mêlent sans structure apparente. Le corrélogramme de la \cref{fig:19:correlogramme} précise l'échelle de la dépendance : pour les résidus sans indicatrices, $I$ vaut 0,22 pour les paires distantes de moins de 500 mètres, reste autour de 0,20 à 0,26 jusqu'à quatre kilomètres, s'annule entre six et huit kilomètres, puis devient franchement négatif au-delà ($-0{,}29$ entre 12 et 15 kilomètres). Ce profil en plateau suivi d'une inversion n'est pas celui d'une décroissance continue avec la distance ; c'est la signature de sous-marchés d'étendue finie, à l'intérieur desquels les résidus partagent un même niveau et entre lesquels ils s'opposent. Pour les résidus du modèle de référence, aucune bande ne s'écarte significativement de zéro.298299\begin{figure}[htbp]300\centering301\includegraphics[width=\textwidth]{ch19/ch19-fig-carte-residus.pdf}302\caption{Résidus du modèle semi-logarithmique sur les coordonnées synthétiques des 600 ventes du cas 1 (étoile : sujet). Sans indicatrices de secteur (gauche), les résidus positifs se concentrent à Aylmer et les résidus négatifs à Buckingham et Masson-Angers ; avec les indicatrices du modèle de référence (droite), les signes se mêlent sans structure.}\label{fig:19:carte-residus}303\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch19\_figures.py, graine 20261031}}304\end{figure}305306\begin{figure}[htbp]307\centering308\includegraphics[width=\textwidth]{ch19/ch19-fig-correlogramme.pdf}309\caption{Corrélogramme spatial : statistique $I$ de Moran des résidus calculée sur les seules paires de ventes dont la distance tombe dans chaque bande, avec un intervalle à 95 \% sous l'hypothèse nulle. Le plateau positif jusqu'à quatre kilomètres puis l'inversion au-delà de huit kilomètres signalent des sous-marchés d'étendue finie ; les résidus du modèle de référence ne s'écartent de zéro dans aucune bande.}\label{fig:19:correlogramme}310\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch19\_figures.py}}311\end{figure}312313Les tests LM du \cref{tab:19:lm} confirment et précisent. Pour la spécification sans indicatrices, tout est significatif sauf le test robuste du décalage : $\mathrm{LM}_{\text{err}} = 285$, $\mathrm{LM}_{\text{lag}} = 116$, $\mathrm{RLM}_{\text{err}} = 170$, mais $\mathrm{RLM}_{\text{lag}} = 1{,}09$ avec une valeur $p$ de 0,30. La règle séquentielle de la \cref{sec:19:tests} désigne sans ambiguïté le modèle à erreur spatiale : la dépendance est dans les résidus, non dans une interaction entre les prix, ce qui est exactement la vérité du générateur, où la prime de secteur omise joue le rôle d'un terme d'erreur commun aux maisons d'un même secteur. Pour le modèle de référence, aucune des cinq statistiques n'approche le seuil de signification.314315\begin{table}[htbp]316\caption{Tests du multiplicateur de Lagrange sur les résidus MCO, matrice des huit plus proches voisins (données synthétiques)}\label{tab:19:lm}317\centering318\small319\begin{tabular}{lrrrr}320\toprule321 & \multicolumn{2}{c}{Sans indicatrices de secteur} & \multicolumn{2}{c}{Modèle de référence} \\322\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5}323Test & {Statistique} & {Valeur $p$} & {Statistique} & {Valeur $p$} \\324\midrule325$\mathrm{LM}_{\text{err}}$ ($\chi^2_1$) & 285,18 & $< 0{,}001$ & 0,50 & 0,478 \\326$\mathrm{LM}_{\text{lag}}$ ($\chi^2_1$) & 116,21 & $< 0{,}001$ & 1,80 & 0,179 \\327$\mathrm{RLM}_{\text{err}}$ ($\chi^2_1$) & 170,06 & $< 0{,}001$ & 0,01 & 0,909 \\328$\mathrm{RLM}_{\text{lag}}$ ($\chi^2_1$) & 1,09 & 0,297 & 1,31 & 0,252 \\329SARMA ($\chi^2_2$) & 286,26 & $< 0{,}001$ & 1,82 & 0,403 \\330\bottomrule331\end{tabular}332\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py, \cref{eq:19:lm,eq:19:rlm} ; valeurs identiques à celles de spreg}}333\end{table}334335\subsection{SAR, SEM et SDM sur la spécification sans secteur}336337Le \cref{tab:19:coefficients} compare, pour la spécification sans indicatrices, les estimations MCO, SAR, SEM et SDM obtenues par maximum de vraisemblance concentré avec $\mathbf{W}_{\text{knn}}$, et les met en regard des coefficients du modèle de référence. Trois lectures s'imposent.338339\begin{table}[htbp]340\caption{Coefficients du modèle semi-logarithmique sans indicatrices de secteur selon la méthode d'estimation, matrice des huit plus proches voisins, et modèle de référence avec indicatrices (données synthétiques ; erreurs-types entre parenthèses)}\label{tab:19:coefficients}341\centering342\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}343\begin{tabular}{lrrrrrr}344\toprule345 & \multicolumn{5}{c}{Sans indicatrices de secteur} & {Référence} \\346\cmidrule(lr){2-6}\cmidrule(lr){7-7}347Variable & {MCO} & {SAR} & {SEM} & {SDM ($\beta$)} & {SDM ($\theta$, $\mathbf{W}x$)} & {MCO} \\348\midrule349Constante & 13,2285 & 7,4800 & 13,2429 & 6,4950 & --- & 13,2074 \\350 & (0,0164) & (0,5413) & (0,0195) & (0,7211) & & (0,0138) \\351$\ln(S/140)$ & 0,5501 & 0,5571 & 0,5416 & 0,5459 & $-0{,}2439$ & 0,5391 \\352 & (0,0167) & (0,0157) & (0,0140) & (0,0146) & & (0,0127) \\353$\ln(T/560)$ & 0,0419 & 0,0647 & 0,0886 & 0,0793 & $-0{,}1719$ & 0,0937 \\354 & (0,0134) & (0,0115) & (0,0107) & (0,0108) & & (0,0110) \\355Âge & $-0{,}0046$ & $-0{,}0052$ & $-0{,}0049$ & $-0{,}0049$ & 0,0026 & $-0{,}0051$ \\356 & (0,0007) & (0,0007) & (0,0006) & (0,0006) & & (0,0006) \\357Âge$^2/100$ & 0,0021 & 0,0026 & 0,0023 & 0,0024 & $-0{,}0005$ & 0,0026 \\358 & (0,0008) & (0,0008) & (0,0007) & (0,0007) & & (0,0006) \\359Qualité ($-3$) & 0,0581 & 0,0604 & 0,0600 & 0,0605 & $-0{,}0336$ & 0,0611 \\360 & (0,0054) & (0,0047) & (0,0042) & (0,0043) & & (0,0042) \\361Garage (places) & 0,0248 & 0,0273 & 0,0322 & 0,0305 & $-0{,}0432$ & 0,0324 \\362 & (0,0062) & (0,0059) & (0,0054) & (0,0055) & & (0,0050) \\363Sous-sol fini & 0,0275 & 0,0247 & 0,0219 & 0,0209 & $-0{,}0126$ & 0,0220 \\364 & (0,0086) & (0,0079) & (0,0072) & (0,0073) & & (0,0069) \\365Piscine & 0,0192 & 0,0283 & 0,0307 & 0,0263 & $-0{,}0506$ & 0,0263 \\366 & (0,0109) & (0,0114) & (0,0103) & (0,0105) & & (0,0084) \\367À étages & 0,0358 & 0,0376 & 0,0318 & 0,0298 & $-0{,}0228$ & 0,0301 \\368 & (0,0085) & (0,0079) & (0,0070) & (0,0073) & & (0,0069) \\369Distance au centre ($> 3$ km) & $-0{,}0117$ & $-0{,}0078$ & $-0{,}0131$ & $-0{,}0166$ & 0,0141 & $-0{,}0036$ \\370 & (0,0007) & (0,0007) & (0,0013) & (0,0125) & & (0,0027) \\371Mois (tendance) & 0,0039 & 0,0039 & 0,0038 & 0,0038 & $-0{,}0017$ & 0,0036 \\372 & (0,0003) & (0,0003) & (0,0003) & (0,0003) & & (0,0003) \\373\midrule374$\rho$ ou $\lambda$ & --- & 0,4385 & 0,6486 & 0,5089 & & --- \\375 & & (0,0412) & (0,0447) & (0,0545) & & \\376$\hat\sigma$ & 0,1043 & 0,0937 & 0,0829 & 0,0812 & & 0,0830 \\377Log-vraisemblance & 510,7 & 554,2 & 590,6 & 606,7 & & 650,0 \\378AIC & $-995{,}4$ & $-1\,080{,}5$ & $-1\,153{,}2$ & $-1\,163{,}4$ & & $-1\,266{,}0$ \\379$I$ de Moran des innovations & 0,324 & 0,121 & $-0{,}041$ & $-0{,}035$ & & $-0{,}014$ \\380\bottomrule381\end{tabular}382\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py ; erreurs-types HC1 pour les MCO, asymptotiques (matrice d'information) pour SAR, SEM et SDM ; les indicatrices de secteur du modèle de référence ne sont pas reproduites (voir \cref{ch:18})}}383\end{table}384385D'abord, les coefficients des caractéristiques physiques sont remarquablement stables d'une méthode à l'autre : l'élasticité à la superficie vaut 0,54 à 0,56 partout, la prime de qualité 0,058 à 0,061, l'effet de l'âge $-0{,}0046$ à $-0{,}0052$ par année. Les caractéristiques physiques sont peu corrélées avec la localisation dans ce jeu de données, et leur prix implicite ne souffre pas de l'omission des secteurs. Deux coefficients font exception et leur comportement est instructif. Le terrain, dont l'élasticité vraie est de 0,10, tombe à 0,042 dans les MCO sans secteur et remonte à 0,089 dans le SEM et 0,094 dans le modèle de référence : les grands terrains sont surreprésentés dans les secteurs périphériques à prime négative, et le coefficient MCO absorbe cette corrélation ; le SEM, en modélisant le résidu commun, la neutralise en grande partie. La distance au centre, dont la pente vraie est de $-0{,}006$ par kilomètre au-delà de trois kilomètres, vaut $-0{,}0117$ sans secteur, parce qu'elle est seule à distinguer Buckingham et Masson-Angers, et $-0{,}0036$ dans le modèle de référence, qui la sépare des primes de secteur.386387Ensuite, le classement des modèles par la vraisemblance et l'AIC est net : MCO ($-995$), SAR ($-1\,081$), SEM ($-1\,153$), SDM ($-1\,163$), et, loin devant, le modèle de référence avec ses quatre indicatrices ($-1\,266$). Le SAR laisse des innovations encore corrélées ($I = 0{,}12$), signe qu'il n'est pas la bonne forme ; le SEM et le SDM les blanchissent ($I = -0{,}04$). Le SDM l'emporte sur le SEM d'une dizaine de points d'AIC parce que ses décalages $\mathbf{W}x$ lui permettent de reproduire un SEM ($\boldsymbol\theta \approx -\lambda\boldsymbol\beta$) tout en ajustant quelques coefficients, mais ses paramètres $\theta$ sont individuellement peu interprétables : le décalage du terrain ($-0{,}17$) et celui de la piscine ($-0{,}05$) n'ont aucune contrepartie dans le générateur. Le modèle qui connaît les frontières des secteurs bat tous les modèles qui tentent de les deviner par le voisinage, avec moins de paramètres : c'est la leçon de la \cref{sec:19:effets-fixes}, et elle vaut pour la pratique, où la connaissance du marché local, traduite en zones, reste la première ressource de l'évaluateur.388389Enfin, le paramètre $\rho = 0{,}44$ du SAR est très significatif, et il est entièrement trompeur. Le générateur ne contient aucune interaction entre les prix ; $\rho$ capte la ressemblance des primes de secteur entre voisines. Appliqué sur le modèle de référence, le même SAR donne $\rho = -0{,}08$ (erreur-type 0,054) et le SEM $\lambda = -0{,}07$ (0,090), ni l'un ni l'autre significatif : l'« interaction » disparaît dès que la localisation est correctement spécifiée. Le \cref{tab:19:effets} en tire la conséquence pour les effets. Dans le SAR, l'effet total de la superficie vaut $0{,}5571/(1 - 0{,}4385) = 0{,}992$, conformément à la \cref{prop:effet-total}, soit une élasticité apparente de près de un, alors que l'élasticité du générateur est 0,55 : l'effet indirect de 0,42 est un artefact. Dans le SDM, les décalages $\theta$ négatifs compensent presque exactement la propagation par $\rho$, et l'effet total de la superficie retombe à 0,615, proche de la vérité ; c'est la raison pour laquelle \textcite{lesagePace2009} préfèrent le SDM, mais le prix de cette robustesse est que ses effets indirects, tantôt positifs tantôt négatifs d'une variable à l'autre, ne décrivent rien de réel ici.390391\begin{table}[htbp]392\caption{Effets directs, indirects et totaux moyens du SAR et du SDM sans indicatrices de secteur (données synthétiques ; variables sélectionnées)}\label{tab:19:effets}393\centering394\small395\begin{tabular}{lrrrrrrr}396\toprule397 & & \multicolumn{3}{c}{SAR ($\rho = 0{,}4385$)} & \multicolumn{3}{c}{SDM ($\rho = 0{,}5089$)} \\398\cmidrule(lr){3-5}\cmidrule(lr){6-8}399Variable & {$\beta$ MCO} & {Direct} & {Indirect} & {Total} & {Direct} & {Indirect} & {Total} \\400\midrule401$\ln(S/140)$ & 0,5501 & 0,5715 & 0,4206 & 0,9921 & 0,5484 & 0,0666 & 0,6150 \\402$\ln(T/560)$ & 0,0419 & 0,0664 & 0,0489 & 0,1153 & 0,0696 & $-0{,}2581$ & $-0{,}1885$ \\403Âge & $-0{,}0046$ & $-0{,}0053$ & $-0{,}0039$ & $-0{,}0092$ & $-0{,}0049$ & 0,0003 & $-0{,}0046$ \\404Qualité & 0,0581 & 0,0620 & 0,0456 & 0,1076 & 0,0603 & $-0{,}0056$ & 0,0547 \\405Garage & 0,0248 & 0,0280 & 0,0206 & 0,0485 & 0,0284 & $-0{,}0544$ & $-0{,}0260$ \\406Distance au centre & $-0{,}0117$ & $-0{,}0080$ & $-0{,}0059$ & $-0{,}0139$ & $-0{,}0161$ & 0,0111 & $-0{,}0050$ \\407\bottomrule408\end{tabular}409\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py, \cref{eq:19:effets} ; les effets du générateur sont 0,55 (superficie), 0,10 (terrain), $-0{,}0055$ (âge, pente à l'origine), 0,06 (qualité), 0,035 (garage), $-0{,}006$ (distance)}}410\end{table}411412\subsection{La régression géographiquement pondérée}413414La GWR est estimée sur la spécification sans indicatrices, avec le noyau gaussien de l'\cref{eq:19:noyau}. La \cref{fig:19:gwr-bande} montre le score de validation croisée selon la bande passante : il explose en deçà d'un kilomètre, où les régressions locales reposent sur trop peu de ventes, décroît jusqu'à un minimum à $h^* = 4{,}99$ kilomètres, puis remonte lentement vers la régression globale. La bibliothèque \texttt{mgwr} retient 4,87 kilomètres avec le même critère, le score étant plat à $10^{-4}$ près entre les deux ; avec $h^*$, la trace de la matrice chapeau vaut 44,8, soit l'équivalent de 45 paramètres pour 12 variables, le $R^2$ vaut 0,861 et l'écart-type résiduel 0,083, celui du modèle de référence. Le critère $\mathrm{AIC}_c$ passe de $-994{,}8$ pour les MCO sans secteur à $-1\,233{,}2$ pour la GWR, mais reste au-dessus des $-1\,264{,}9$ du modèle de référence : quarante-cinq paramètres locaux font moins bien que quatre indicatrices bien placées.415416\begin{figure}[htbp]417\centering418\includegraphics[width=0.52\textwidth]{ch19/ch19-fig-gwr-bande.pdf}419\caption{Score de validation croisée de la GWR (noyau gaussien) selon la bande passante. Le minimum à 4,99 km marque l'arbitrage entre une bande courte, qui suit les variations locales sur trop peu de ventes, et une bande longue, qui lisse tout vers la régression globale.}\label{fig:19:gwr-bande}420\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch19\_figures.py}}421\end{figure}422423Le \cref{tab:19:gwr} résume la distribution des coefficients locaux et la \cref{fig:19:gwr-coefficients} les cartographie. L'élasticité à la superficie varie de 0,51 à 0,55 d'un point à l'autre (médiane 0,54), l'effet de l'âge de $-0{,}62$ à $-0{,}25$ \% par année, la prime de qualité de 0,049 à 0,072 : des variations modestes, sans structure géographique nette, compatibles avec des coefficients constants que le générateur impose et qu'un bruit d'échantillonnage local fait osciller. La constante locale, en revanche, varie de 12,77 à 13,21 et dessine la carte des secteurs. Pour la rendre comparable au modèle de référence, on calcule un effet de localisation local, constante plus coefficient local de la distance multiplié par la distance, en écart à la médiane de Hull ; sa médiane par secteur vaut $-0{,}31$ à Buckingham et $-0{,}32$ à Masson-Angers, contre $-0{,}34$ et $-0{,}35$ pour l'effet de localisation du modèle de référence (indicatrice plus gradient) et $-0{,}34$ et $-0{,}35$ pour celui du générateur ; $-0{,}03$ dans le secteur Gatineau contre $-0{,}04$ et $-0{,}05$. La GWR retrouve donc les deux grandes discontinuités, mais elle manque presque entièrement la prime d'Aylmer : $+0{,}003$ contre $+0{,}057$ pour le modèle de référence et $+0{,}062$ pour le générateur. Aylmer est contigu à Hull, et une bande passante de cinq kilomètres mélange les ventes des deux secteurs de part et d'autre de la frontière ; la discontinuité est lissée, comme la \cref{sec:19:gwr} l'annonçait. Les secteurs périphériques, isolés par plusieurs kilomètres sans vente, ne souffrent pas de ce lissage.424425\begin{table}[htbp]426\caption{Distribution des coefficients locaux de la GWR (noyau gaussien, bande passante 4,99 km) sur les 600 ventes, spécification sans indicatrices de secteur (données synthétiques)}\label{tab:19:gwr}427\centering428\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}429\begin{tabular}{lrrrrrr}430\toprule431Coefficient local & {Min.} & {Q1} & {Médiane} & {Q3} & {Max.} & {MCO global} \\432\midrule433Constante & 12,769 & 13,171 & 13,202 & 13,206 & 13,208 & 13,229 \\434$\ln(S/140)$ & 0,508 & 0,533 & 0,542 & 0,549 & 0,552 & 0,550 \\435$\ln(T/560)$ & 0,037 & 0,083 & 0,089 & 0,103 & 0,134 & 0,042 \\436Âge & $-0{,}0062$ & $-0{,}0053$ & $-0{,}0048$ & $-0{,}0045$ & $-0{,}0025$ & $-0{,}0046$ \\437Qualité & 0,049 & 0,058 & 0,059 & 0,060 & 0,072 & 0,058 \\438Garage & 0,018 & 0,030 & 0,033 & 0,035 & 0,039 & 0,025 \\439Distance au centre & $-0{,}0127$ & $-0{,}0069$ & $-0{,}0030$ & 0,0025 & 0,0073 & $-0{,}0117$ \\440Mois & 0,0032 & 0,0033 & 0,0034 & 0,0036 & 0,0046 & 0,0039 \\441\bottomrule442\end{tabular}443\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py ; trace de la matrice chapeau 44,8 ; $\mathrm{AIC}_c$ $-1\,233{,}2$ contre $-994{,}8$ (MCO sans secteur) et $-1\,264{,}9$ (modèle de référence)}}444\end{table}445446\begin{figure}[htbp]447\centering448\includegraphics[width=\textwidth]{ch19/ch19-fig-gwr-coefficients.pdf}449\caption{Coefficients locaux de la GWR sur les coordonnées synthétiques : effet de localisation local en écart à Hull (gauche), élasticité locale à la superficie (centre) et effet local de l'âge (droite). La localisation reproduit les secteurs périphériques mais lisse la frontière Hull--Aylmer ; les coefficients des caractéristiques varient peu et sans structure.}\label{fig:19:gwr-coefficients}450\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch19\_figures.py}}451\end{figure}452453\subsection{Effets fixes : secteurs, grilles et trimestres}454455Le \cref{tab:19:effets-fixes} compare des spécifications à effets fixes de granularité croissante. Les quatre indicatrices de secteur font passer l'AIC de $-995$ à $-1\,266$ et annulent la dépendance résiduelle. Des grilles géométriques de cinq, trois et deux kilomètres, avec respectivement 19, 39 et 67 cellules, augmentent le $R^2$ brut (jusqu'à 0,872) mais dégradent l'AIC ($-1\,252$, $-1\,240$, $-1\,225$) : chaque cellule supplémentaire coûte plus en paramètres qu'elle ne rapporte en ajustement, et la grille la plus fine produit même une légère autocorrélation négative des résidus ($I = -0{,}065$), symptôme d'un sur-ajustement local. Les grilles coupent les secteurs au hasard, de sorte qu'il faut beaucoup de cellules pour approcher ce que quatre frontières bien placées font d'emblée. Du côté du temps, remplacer la tendance linéaire par quatorze indicatrices trimestrielles laisse l'écart-type résiduel inchangé (0,083) et dégrade l'AIC de douze points ; l'indice implicite croît de zéro au premier trimestre de 2023 à 0,199 en logarithme au troisième trimestre de 2026, soit 22 \%, mais par à-coups de $\pm 0{,}02$ d'un trimestre à l'autre qui ne sont que du bruit d'échantillonnage sur une quarantaine de ventes par trimestre. Sur un marché réel, où la trajectoire des prix n'est pas une exponentielle régulière, les indicatrices temporelles seraient préférables ; le \cref{ch:35} discute comment les lisser.456457\begin{table}[htbp]458\caption{Spécifications à effets fixes spatiaux et temporels sur les 600 ventes du cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:19:effets-fixes}459\centering460\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}461\begin{tabular}{lrrrrrr}462\toprule463Spécification & {Param.} & {$R^2$} & {$\bar R^2$} & {$\hat\sigma$} & {AIC} & {$I$ résidus} \\464\midrule465Gradient de distance seul (sans secteur) ; tendance & 12 & 0,766 & 0,762 & 0,104 & $-995{,}4$ & 0,324 \\466Secteurs et gradient (référence) ; tendance & 16 & 0,853 & 0,849 & 0,083 & $-1\,266{,}0$ & $-0{,}014$ \\467Grille de 5 km (19 cellules) ; tendance & 30 & 0,856 & 0,849 & 0,083 & $-1\,252{,}1$ & $-0{,}021$ \\468Grille de 3 km (39 cellules) ; tendance & 50 & 0,863 & 0,851 & 0,083 & $-1\,240{,}4$ & $-0{,}032$ \\469Grille de 2 km (67 cellules) ; tendance & 78 & 0,872 & 0,853 & 0,082 & $-1\,225{,}4$ & $-0{,}065$ \\470Secteurs et gradient ; 14 indicatrices trimestrielles & 29 & 0,856 & 0,849 & 0,083 & $-1\,253{,}8$ & $-0{,}018$ \\471\bottomrule472\end{tabular}473\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py ; $I$ de Moran avec $\mathbf{W}_{\text{knn}}$ ; AIC $= 2(k+1) - 2\hat\ell$}}474\end{table}475476\subsection{Variogramme et krigeage des résidus}477478Le variogramme empirique des résidus sans indicatrices (\cref{fig:19:variogramme}) a une forme que la \cref{sec:19:krigeage} n'avait pas annoncée et qui mérite qu'on s'y arrête. Jusqu'à six kilomètres, la semi-variance est presque constante, de 0,0070 à 0,0076 ; elle croît ensuite régulièrement jusqu'à 0,0170 vers douze kilomètres, puis se stabilise et redescend légèrement. La valeur du plateau initial est, à peu de chose près, la variance $\sigma^2 = 0{,}0069$ du bruit de transaction du modèle de référence : deux ventes distantes de moins de six kilomètres appartiennent presque toujours au même secteur, et leur différence de résidus ne contient que du bruit ; au-delà, les paires chevauchent des secteurs différents, et la différence des primes s'ajoute. La variance totale des résidus, 0,0107, se décompose donc en une pépite de bruit et une composante de secteur de 0,0038 qui n'apparaît qu'à grande distance. Le variogramme des résidus du modèle de référence, lui, est plat à 0,0065--0,0072 sur toute la plage : il ne reste rien à kriger. Le modèle exponentiel ajusté par moindres carrés pondérés donne une pépite de 0,0046, un palier partiel de 0,0090 et une portée $a$ qui bute sur la borne de cinq kilomètres imposée à l'ajustement (portée pratique de quinze kilomètres) : un processus à paliers par secteur n'est pas stationnaire au sens géostatistique, et aucun modèle à décroissance continue ne le décrit parfaitement. L'ajustement reste utilisable pour le krigeage, parce que la prédiction locale dépend surtout du rapport entre la pépite et le palier à courte distance.479480\begin{figure}[htbp]481\centering482\includegraphics[width=\textwidth]{ch19/ch19-fig-variogramme.pdf}483\caption{Variogramme empirique des résidus (bandes de 1 km) et modèle exponentiel ajusté. Pour les résidus sans indicatrices de secteur, le plateau initial égale la variance du bruit de transaction et la composante de secteur n'apparaît qu'au-delà de six kilomètres ; les résidus du modèle de référence ont un variogramme plat.}\label{fig:19:variogramme}484\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch19\_figures.py}}485\end{figure}486487La \cref{fig:19:krigeage} montre la surface des résidus krigés avec les quarante voisins les plus proches de chaque nœud d'une grille, à moins de 2,5 kilomètres d'une vente. Elle reconstitue la carte des primes : positive sur Aylmer, négative sur Buckingham et Masson-Angers, proche de zéro à Hull et dans le secteur Gatineau. Au sujet, le résidu krigé vaut $-0{,}060$, avec une variance de krigeage de 0,0057 (écart-type 0,075) : les ventes autour du sujet se sont vendues en moyenne 6 \% sous ce que le modèle sans secteur prédit, parce que ce modèle, ne distinguant pas Hull d'Aylmer, surévalue Hull. En validation croisée, l'erreur quadratique moyenne des résidus passe de 0,105 avant krigeage à 0,088 après, et la statistique de Moran des erreurs devient négative ($-0{,}11$), signe que le krigeage a plutôt sur-corrigé localement.488489\begin{figure}[htbp]490\centering491\includegraphics[width=\textwidth]{ch19/ch19-fig-krigeage.pdf}492\caption{Surface des résidus du modèle sans indicatrices de secteur krigée par krigeage ordinaire (modèle exponentiel, quarante voisins), sur les coordonnées synthétiques ; les points sont les ventes et l'étoile le sujet. La surface reconstitue la carte des primes de secteur que le modèle ignorait.}\label{fig:19:krigeage}493\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch19\_figures.py}}494\end{figure}495496\subsection{Le décalage spatio-temporel}497498Avec la matrice $\mathbf{W}_{\text{st}}$, la statistique de Moran des résidus sans indicatrices vaut 0,305 ($z = 17{,}1$), à peine moins qu'avec les matrices purement spatiales : la dépendance est tout aussi visible lorsqu'on ne fait parler que les ventes antérieures, ce qui est la situation réelle de l'évaluateur. Le modèle à décalage spatio-temporel est estimé, conformément à la \cref{prop:jacobien-st}, par moindres carrés sur les 582 ventes qui ont au moins une voisine antérieure (15,5 en moyenne) : $\hat\rho_{\text{st}} = 0{,}370$ (erreur-type robuste 0,053), avec un $R^2$ de 0,785. Le prix d'une maison « suit » donc, à hauteur de 37 \%, la moyenne des prix récents de son voisinage, mais les résidus de ce modèle restent autocorrélés ($I = 0{,}13$) : comme le SAR, le décalage spatio-temporel ne fait qu'une partie du travail, parce que la vraie structure est un résidu de secteur, non une interaction. Le modèle à erreur spatio-temporelle, qui place $\mathbf{W}_{\text{st}}$ dans le terme d'erreur, donne $\hat\lambda_{\text{st}} = 0{,}748$ (0,060) et un AIC de $-1\,154{,}8$, équivalent à celui du SEM spatial. L'intérêt de la pondération spatio-temporelle n'est donc pas ici un meilleur ajustement ; c'est la cohérence avec le mécanisme supposé et, dans un marché en mouvement rapide, la garantie que les voisines mobilisées sont contemporaines du sujet.499500\subsection{Validation croisée et indications pour le sujet}501502\begin{exemple}{Six indications de valeur pour la maison du cas 1}{cas1-spatial}503Le sujet est le cottage de \msq{165} du secteur de Hull décrit au \cref{ch:16}, évalué au 1\textsuperscript{er} septembre 2026. Ses huit plus proches ventes sont toutes dans Hull et comptent deux des cinq comparables du \cref{ch:16}, G0404 et G0574. Le \cref{tab:19:validation} rassemble, pour six modèles, la précision en validation croisée sur les 600 ventes et l'indication pour le sujet, toutes retransformées en niveau avec le facteur de Duan du modèle concerné.504505\emph{Le modèle de référence.} Avec les indicatrices de secteur, l'erreur quadratique moyenne de prédiction hors échantillon est de 0,084 en logarithme, soit une erreur absolue moyenne de 6,8 \% du prix, et l'indication pour le sujet est de \dollars{637953}, celle du \cref{ch:18}. C'est la borne que les autres modèles tentent d'approcher sans connaître les secteurs.506507\emph{Les MCO sans secteur.} L'erreur passe à 0,105 (8,4 \%) et l'indication à \dollars{664342}, 4,1 \% au-dessus de la référence : la constante sans secteur est une moyenne des niveaux de prix de tous les secteurs, tirée vers le haut par Aylmer, et le sujet, à Hull, en hérite.508509\emph{Le krigeage des résidus.} La correction de $-0{,}060$ krigée au sujet ramène l'indication à \dollars{624799}, 2,1 \% sous la référence, et l'erreur de validation à 0,088 (7,1 \%). Le krigeage a corrigé l'essentiel du biais de localisation ; il l'a un peu sur-corrigé, parce que les voisines du sujet ont, par hasard d'échantillonnage, des résidus légèrement plus négatifs que la moyenne de Hull.510511\emph{Le SEM.} L'espérance conditionnelle du résidu au sujet, calculée à partir de la matrice de précision du SEM étendue au sujet, vaut $-0{,}052$ ; l'indication est de \dollars{633352}, à 0,7 \% de la référence, et l'erreur de validation de 0,088 (7,1 \%). SEM et krigeage sont deux expressions de la même idée, et leurs résultats sont presque interchangeables.512513\emph{Le SAR.} La prédiction conditionnelle $\hat\rho\,(\mathbf{W}\mathbf{y})_s + \mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta}$ utilise la moyenne des logarithmes des prix des huit ventes voisines ; elle donne \dollars{654429}, 2,6 \% au-dessus de la référence, et l'erreur de validation la plus élevée des modèles spatiaux (0,095) : le SAR corrige moins bien parce qu'il n'est pas la bonne forme.514515\emph{La GWR.} Les coefficients locaux au sujet (constante 13,198, élasticité 0,535) donnent \dollars{627519}, 1,6 \% sous la référence, et l'erreur de validation croisée la plus faible des modèles sans secteur (0,086).516517Aucun des modèles qui ignorent les secteurs ne retrouve exactement la référence, mais tous ceux qui exploitent les résidus voisins (krigeage, SEM, GWR) ramènent l'écart de $+4{,}1$ \% à moins de 2,5 \% en valeur absolue, et réduisent l'erreur de prédiction d'un cinquième. C'est l'ordre de grandeur de ce que l'information spatiale apporte lorsqu'on ne dispose pas d'une bonne segmentation ; lorsqu'on en dispose, elle n'apporte plus rien ici, parce que le générateur n'a rien laissé d'autre à expliquer. Sur un marché réel, la segmentation administrative n'épuise jamais la localisation, et les deux approches se complètent : indicatrices de secteur pour les paliers connus, krigeage ou SEM pour ce qui varie à l'intérieur.518\end{exemple}519520\begin{table}[htbp]521\caption{Précision en validation croisée sur les 600 ventes et indication de valeur pour le sujet selon le modèle (données synthétiques)}\label{tab:19:validation}522\centering523\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}524\begin{tabular}{lrrrrr}525\toprule526Modèle & {EQM (log)} & {Err. abs.} & {$I$ erreurs} & {Indication (\$)} & {Écart réf.} \\527\midrule528MCO, modèle de référence (secteurs) & 0,084 & 6,8 \% & $-0{,}014$ & 637 953 & --- \\529MCO sans indicatrices de secteur & 0,105 & 8,4 \% & 0,323 & 664 342 & $+4{,}1$ \% \\530MCO sans secteur, krigeage du résidu & 0,088 & 7,1 \% & $-0{,}115$ & 624 799 & $-2{,}1$ \% \\531SEM sans secteur (espérance cond.) & 0,088 & 7,1 \% & $-0{,}152$ & 633 352 & $-0{,}7$ \% \\532SAR sans secteur (prédiction cond.) & 0,095 & 7,6 \% & 0,121 & 654 429 & $+2{,}6$ \% \\533GWR sans secteur (coefficients locaux) & 0,086 & --- & $-0{,}002$ & 627 519 & $-1{,}6$ \% \\534\bottomrule535\end{tabular}536\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py ; EQM = racine de l'erreur quadratique moyenne des prédictions leave-one-out en logarithme ; erreur absolue moyenne en niveau ; indications retransformées avec le facteur de Duan ; écart en pourcentage de l'indication de référence}}537\end{table}538539\section{Sensibilité au choix de la matrice de pondération}\label{sec:19:sensibilite}540541Le \cref{tab:19:sensibilite} et la \cref{fig:19:sensibilite} reprennent les estimations de la spécification sans secteur pour cinq matrices de plus proches voisins et trois matrices de distance inverse. La statistique de Moran des résidus est remarquablement stable, entre 0,32 et 0,33 quelle que soit la matrice : la dépendance est un fait des données, pas de la matrice. Les paramètres autorégressifs, eux, ne le sont pas du tout. Le $\rho$ du SAR passe de 0,24 avec quatre voisins à 0,65 avec seize, et jusqu'à 0,84 avec la distance inverse à quatre kilomètres (141 voisins en moyenne) ; le $\lambda$ du SEM, de 0,51 à 0,79, puis 0,89. Plus le voisinage est large, plus le décalage $\mathbf{W}\mathbf{y}$ est lissé, et plus il faut un coefficient élevé pour reproduire la même covariance résiduelle ; le paramètre et la matrice ne sont identifiés qu'ensemble. L'AIC, de son côté, s'améliore avec l'étendue du voisinage, parce qu'un voisinage de plusieurs kilomètres approche mieux la structure par secteurs du générateur qu'un voisinage de quatre maisons. Deux conséquences pratiques en découlent. D'abord, un paramètre autorégressif ne se compare pas d'une étude à l'autre sans la matrice qui l'accompagne, et il ne mesure pas une « intensité de l'effet de voisinage » qui existerait indépendamment d'elle. Ensuite, les grandeurs utiles à l'évaluateur, la prédiction pour un sujet et la correction de localisation, sont moins sensibles au choix de la matrice que les paramètres eux-mêmes, parce que les différentes matrices mobilisent à peu près la même information locale, mais elles ne sont pas insensibles : l'\cref{ex:19:7} montre que l'indication du SEM pour le sujet varie de 4 \% entre un voisinage de quatre ventes et un voisinage de seize, ce qui est du même ordre que l'écart entre le modèle sans secteur et le modèle de référence. Le voisinage retenu fait partie des choix à documenter et à soumettre à l'analyse de sensibilité.542543\begin{table}[htbp]544\caption{Sensibilité au choix de la matrice de pondération, spécification sans indicatrices de secteur (données synthétiques)}\label{tab:19:sensibilite}545\centering546\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}547\begin{tabular}{lrrrrrrr}548\toprule549Matrice $\mathbf{W}$ & {Vois.} & {$I$ (MCO)} & {$z$} & {$\hat\rho$ SAR (é.-t.)} & {AIC SAR} & {$\hat\lambda$ SEM (é.-t.)} & {AIC SEM} \\550\midrule551$k = 4$ plus proches voisins & 4,0 & 0,320 & 12,0 & 0,236 (0,036) & $-1\,033{,}0$ & 0,507 (0,041) & $-1\,108{,}7$ \\552$k = 6$ plus proches voisins & 6,0 & 0,331 & 15,1 & 0,343 (0,038) & $-1\,059{,}6$ & 0,596 (0,043) & $-1\,140{,}4$ \\553$k = 8$ plus proches voisins (réf.) & 8,0 & 0,324 & 17,1 & 0,439 (0,041) & $-1\,080{,}5$ & 0,649 (0,045) & $-1\,153{,}2$ \\554$k = 12$ plus proches voisins & 12,0 & 0,324 & 21,2 & 0,531 (0,046) & $-1\,099{,}4$ & 0,718 (0,047) & $-1\,175{,}3$ \\555$k = 16$ plus proches voisins & 16,0 & 0,332 & 25,2 & 0,654 (0,046) & $-1\,135{,}9$ & 0,786 (0,044) & $-1\,204{,}1$ \\556Distance inverse, 2 km & 61,8 & 0,322 & 25,2 & 0,636 (0,057) & $-1\,124{,}2$ & 0,803 (0,049) & $-1\,201{,}7$ \\557Distance inverse, 3 km & 106,7 & 0,328 & 35,4 & 0,790 (0,053) & $-1\,175{,}8$ & 0,863 (0,043) & $-1\,226{,}0$ \\558Distance inverse, 4 km & 140,7 & 0,327 & 40,4 & 0,837 (0,047) & $-1\,196{,}3$ & 0,888 (0,039) & $-1\,233{,}2$ \\559\bottomrule560\end{tabular}561\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py ; erreurs-types asymptotiques entre parenthèses ; toutes les matrices sont standardisées en ligne et sans ligne vide}}562\end{table}563564\begin{figure}[htbp]565\centering566\includegraphics[width=\textwidth]{ch19/ch19-fig-sensibilite-W.pdf}567\caption{Statistique de Moran des résidus MCO, paramètre $\rho$ du SAR et paramètre $\lambda$ du SEM selon le nombre de plus proches voisins de la matrice de pondération. La dépendance mesurée par $I$ est stable ; les paramètres autorégressifs croissent avec l'étendue du voisinage et ne sont identifiés qu'avec la matrice qui les accompagne.}\label{fig:19:sensibilite}568\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch19\_figures.py}}569\end{figure}570571\begin{quebec}[Localisation et données ouvertes au Québec]572Les travaux de l'école de Québec sur la dimension spatiale des prix résidentiels sont parmi les plus cités de la littérature : \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} séparent les effets d'accessibilité et de voisinage dans un modèle hédonique de la région de Québec, \textcite{theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003} montrent que les prix implicites des attributs y varient avec la localisation, et \textcite{dubeLegros2013} y développent leur mesure spatio-temporelle de la dépendance ; \textcite{theriaultDesrosiers2011} et \textcite{dubeLegros2014} en font la synthèse. Les outils de ce chapitre sont donc nés, pour partie, de données québécoises. Leur application à grande échelle est facilitée depuis que le ministère des Affaires municipales et de l'Habitation diffuse les rôles d'évaluation foncière des 1\,140 municipalités en format ouvert, sous licence Creative Commons Attribution 4.0, y compris dans des versions géoréférencées (FGDB, GPKG, GeoJSON) qui permettent de localiser chaque unité d'évaluation, les noms et adresses des propriétaires étant caviardés \parencite{dqroles}. L'hétérogénéité spatiale est aussi reconnue par la fiscalité locale : le règlement de taxation 2026 de la Ville de Gatineau fixe, à côté d'un taux de base de \qty{5.224}{\dollar} par \dollars{1000} d'évaluation, un taux de la taxe foncière générale résidentielle propre à chaque unité de voisinage, qui s'échelonne de 1,613 à \qty{7.544}{\dollar} par \dollars{1000} selon l'annexe du règlement \parencite{gatineaureglement994}. Les « unités de voisinage » de l'évaluateur municipal sont, en pratique, des effets fixes de quartier ; le choix de leurs frontières relève du jugement professionnel et des méthodes du \cref{ch:15}, et les tests de ce chapitre permettent de vérifier qu'elles épuisent la dépendance spatiale des ratios du \cref{ch:09}. Sources consultées le 31 octobre 2026.573\end{quebec}574575\begin{quebec}[Modèles spatiaux et pratique professionnelle]576Aucune norme québécoise n'impose ni n'interdit l'usage de modèles spatiaux ; les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent que l'évaluateur décrive les données, l'analyse et le raisonnement qui mènent à sa conclusion \parencite{oeaqNormes}, et les normes de l'IAAO sur l'évaluation de masse et sur les modèles automatisés traitent la localisation comme une dimension à modéliser explicitement et à valider par des études de ratios \parencite{iaaomass2025,iaaoavm2018}. Un modèle spatial utilisé pour dériver un ajustement de localisation ou une indication de valeur doit donc être documenté comme n'importe quel autre élément de preuve : matrice de pondération et sa justification, tests de dépendance, forme retenue et pourquoi, précision en validation croisée, et surtout sensibilité des conclusions aux choix faits. Le \cref{ch:10} précise le contenu attendu du rapport ; le \cref{ch:20} intègre l'incertitude du modèle à la fourchette de valeur.577\end{quebec}578579\begin{erreurs}580\begin{itemize}581\item Lire un $\rho$ significatif comme la preuve d'un effet de voisinage. Dans l'exemple, $\rho = 0{,}44$ ne mesure que la prime de secteur omise ; il tombe à zéro dès que la localisation est spécifiée. Les tests LM robustes et la statistique de Moran des innovations auraient dû alerter.582\item Dériver des ajustements des effets totaux d'un SAR. L'effet total $\beta/(1-\rho)$ double l'élasticité à la superficie sans aucun fondement économique ; seuls les effets directs, ou les coefficients d'un SEM, s'interprètent comme des prix implicites.583\item Comparer des paramètres autorégressifs estimés avec des matrices différentes, ou rapporter un $\rho$ sans décrire $\mathbf{W}$. Le \cref{tab:19:sensibilite} montre que $\rho$ varie du simple au triple selon la matrice, à dépendance égale.584\item Calculer des distances en degrés de latitude et de longitude, ou mélanger des coordonnées de précisions différentes (adresses géocodées au centroïde du code postal et au bâtiment, \cref{ch:14}).585\item Oublier les lignes vides d'une matrice à portée fixe ou spatio-temporelle : un décalage nul pour une observation sans voisine fausse l'estimation de $\rho$ bien plus que l'exclusion de l'observation.586\item Interpréter chaque variation d'un coefficient local de GWR comme un fait de marché. Sans test de stabilité, les oscillations de l'élasticité entre 0,51 et 0,55 sont du bruit ; seules les variations de la constante locale, massives et cohérentes avec les secteurs, sont informatives.587\item Kriger les résidus d'un modèle qui contient déjà des indicatrices fines de quartier : la correction est nulle en espérance et n'ajoute que de la variance.588\item Choisir la bande passante d'une GWR, ou la portée d'un variogramme, sans validation croisée, ou avec une validation qui n'exclut pas l'observation prédite.589\end{itemize}590\end{erreurs}591592\begin{limites}593Les résultats numériques de ce chapitre proviennent d'un jeu synthétique dont la structure spatiale est connue et simple, des primes de secteur par paliers et un gradient, sans processus spatial résiduel ; c'est ce qui permet de vérifier les outils, mais c'est aussi ce qui explique qu'un modèle à quatre indicatrices les domine tous. Sur un marché réel, la localisation agit à plusieurs échelles, et aucune segmentation administrative n'épuise la dépendance ; les écarts entre modèles seraient différents et les gains du krigeage ou du SEM, probablement plus importants. Les erreurs-types des modèles autorégressifs supposent la normalité et l'homoscédasticité des innovations, hypothèses que le \cref{ch:18} a discutées et que les estimateurs de \textcite{kelejianPrucha2010} relâchent. Le modèle exponentiel ajusté au variogramme bute sur la borne de portée imposée, parce que le processus sous-jacent n'est pas stationnaire ; la variance de krigeage qui en découle n'est qu'indicative. Les coordonnées synthétiques sont exactes, alors que les coordonnées réelles proviennent d'un géocodage dont la précision varie ; le \cref{ch:14} et le \cref{ch:38} traitent de cette source d'erreur. Enfin, les modèles de ce chapitre sont des outils d'analyse de marché et de dérivation d'ajustements ; ils ne remplacent ni l'inspection, ni la vérification des ventes, ni le jugement qui pondère les indications au \cref{ch:20}.594\end{limites}595596\begin{synthese}597\begin{itemize}598\item La dépendance spatiale porte sur les résidus ou les prix et se diagnostique par la statistique de Moran, le corrélogramme et les tests LM ; l'hétérogénéité spatiale porte sur les coefficients et se traite par la segmentation ou la régression géographiquement pondérée.599\item Une matrice de pondération standardisée en ligne définit le voisinage ; une matrice spatio-temporelle unidirectionnelle ne fait parler que les ventes antérieures et son jacobien vaut un. Le paramètre autorégressif n'est identifié qu'avec la matrice qui l'accompagne.600\item Les résidus du modèle de référence du cas 1 ne présentent aucune dépendance spatiale ($I = -0{,}014$) ; sans les indicatrices de secteur, la dépendance est massive ($I = 0{,}32$), les tests LM désignent le modèle à erreur spatiale, et le SAR attribue à une interaction fictive ce qui n'est qu'une prime de secteur omise.601\item Les effets directs d'un SAR ou les coefficients d'un SEM peuvent s'interpréter comme des prix implicites ; les effets totaux, multipliés par $1/(1-\rho)$, ne le peuvent pas sans une justification du mécanisme d'interaction.602\item La GWR cartographie les coefficients locaux et retrouve les grandes discontinuités de prix, mais elle lisse les frontières contiguës et ses variations fines ne sont pas toutes significatives ; sa bande passante se choisit par validation croisée.603\item Le krigeage des résidus et l'espérance conditionnelle du SEM fournissent un ajustement de localisation pour le sujet à partir des résidus des ventes voisines ; dans l'exemple, ils ramènent un biais de $+4{,}1$ \% à moins de 2,5 \% et réduisent l'erreur de prédiction d'un cinquième.604\item Des effets fixes bien placés valent mieux que des effets fixes nombreux ; la connaissance des sous-marchés reste la première ressource, et les modèles spatiaux servent à vérifier qu'elle suffit et à corriger ce qu'elle laisse échapper.605\end{itemize}606\end{synthese}607608\section*{Exercices}609\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}610611\begin{exercice}[1]{Statistique de Moran à la main}{ex:19:1}612Cinq maisons sont alignées le long d'une rue, chacune n'ayant pour voisines que ses deux adjacentes (une seule aux extrémités). Les résidus d'un modèle hédonique sont, dans l'ordre, $0{,}10$ ; $0{,}06$ ; $-0{,}02$ ; $-0{,}08$ ; $-0{,}06$. Construisez la matrice de contiguïté standardisée en ligne, calculez le décalage spatial de chaque résidu, puis la statistique $I$ de Moran de l'\cref{eq:19:moran}. Comparez-la à son espérance sous l'hypothèse nulle et interprétez le signe. Que vaudrait $I$ si les résidus alternaient de signe d'une maison à l'autre ?613\end{exercice}614615\begin{exercice}[1]{Dépendance ou hétérogénéité ?}{ex:19:2}616Pour chacune des situations suivantes, dites si elle relève de la dépendance spatiale ou de l'hétérogénéité spatiale, et proposez l'outil de ce chapitre le mieux adapté : (a) les résidus d'un modèle hédonique sont tous positifs autour d'un nouveau parc ; (b) la prime du garage est forte dans un quartier central sans stationnement sur rue et nulle en banlieue ; (c) les prix des maisons d'un même développement suivent de près les dernières ventes du promoteur ; (d) un modèle estimé sur deux arrondissements donne des élasticités à la superficie de 0,45 et 0,65 ; (e) les ratios valeur au rôle sur prix d'une municipalité sont systématiquement inférieurs à 0,90 dans l'un de ses quartiers.617\end{exercice}618619\begin{exercice}[2]{Lire les tests LM}{ex:19:3}620Un modèle hédonique estimé sur 450 ventes donne, avec une matrice de six plus proches voisins, $\mathrm{LM}_{\text{err}} = 48{,}2$, $\mathrm{LM}_{\text{lag}} = 31{,}5$, $\mathrm{RLM}_{\text{err}} = 17{,}9$ et $\mathrm{RLM}_{\text{lag}} = 1{,}2$. Appliquez la règle de décision séquentielle de la \cref{sec:19:tests} en indiquant le seuil critique à 5 \% d'une loi du $\chi^2$ à un degré de liberté et la valeur $p$ approximative de la statistique $\mathrm{RLM}_{\text{lag}}$. Quelle forme de modèle retenez-vous, et quelle interprétation économique en donnez-vous ? Qu'auriez-vous conclu si les deux statistiques robustes avaient dépassé 20 ?621\end{exercice}622623\begin{exercice}[2]{Effets directs, indirects et totaux}{ex:19:4}624Un SAR estimé avec une matrice standardisée en ligne donne $\hat\rho = 0{,}4385$ et un coefficient de $0{,}5571$ pour le logarithme de la superficie et de $0{,}0604$ pour la qualité. Calculez l'effet total moyen de chaque variable par la \cref{prop:effet-total}. Sachant que l'effet direct moyen de la superficie vaut 0,5715, déduisez l'effet indirect. Le générateur du jeu de données impose une élasticité de 0,55 : quelle est l'ampleur de l'artefact dans l'effet total, et quel est le seul des trois effets qu'un évaluateur pourrait utiliser pour dériver un ajustement de superficie ?625\end{exercice}626627\begin{exercice}[2]{Poids d'un noyau gaussien}{ex:19:5}628Quatre ventes se trouvent à 0,5 ; 1 ; 2 et 5 kilomètres d'un sujet. Calculez leurs poids dans une régression géographiquement pondérée à noyau gaussien pour une bande passante de 2 km puis de 5 km, et les poids normalisés à somme unitaire. Commentez le rôle de la vente à 5 km dans chaque cas et reliez le choix de la bande passante à l'arbitrage biais--variance du \cref{ch:16} sur le nombre de comparables.629\end{exercice}630631\begin{exercice}[3]{Krigeage ordinaire à trois voisins}{ex:19:6}632Le résidu d'un modèle hédonique est connu pour trois ventes situées, dans un repère en kilomètres centré sur le sujet, en $(1, 0)$, $(0, 2)$ et $(-3, 0)$, avec les valeurs $0{,}08$ ; $0{,}05$ et $-0{,}01$. Le variogramme exponentiel ajusté a une pépite $c_0 = 0{,}0045$, un palier partiel $c_1 = 0{,}009$ et un paramètre de portée $a = 5$ km. Écrivez le système de krigeage ordinaire de l'\cref{eq:19:krigeage}, résolvez-le, puis donnez le résidu krigé au sujet et la variance de krigeage. Comparez le résultat à la moyenne simple et à la moyenne pondérée par l'inverse de la distance, et expliquez pourquoi le krigeage donne au point le plus éloigné un poids supérieur à celui que lui accorde l'inverse de la distance, et au point le plus proche un poids inférieur.633\end{exercice}634635\begin{exercice}[3]{Sensibilité à la matrice et prédiction pour le sujet}{ex:19:7}636À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch19\_spatial.py} et des fonctions de \texttt{traite.hedonique}, estimez le SEM sans indicatrices de secteur avec les matrices de 4, 8 et 16 plus proches voisins, puis calculez pour chacune l'espérance conditionnelle du résidu au sujet et l'indication de valeur qui en résulte. Comparez la dispersion de ces trois indications à celle des paramètres $\hat\lambda$ du \cref{tab:19:sensibilite}. Remplacez ensuite la fenêtre de douze mois de la matrice spatio-temporelle par vingt-quatre mois et commentez l'effet sur le nombre de ventes sans voisine antérieure et sur $\hat\rho_{\text{st}}$. Rédigez une note de 200 mots sur ce que ces résultats impliquent pour la documentation d'un ajustement de localisation dérivé d'un modèle spatial.637\end{exercice}638639\section*{Pour aller plus loin}640\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}641642L'ouvrage fondateur de \textcite{anselin1988} reste la référence pour les tests et les modèles autorégressifs ; \textcite{lesagePace2009} en donnent une présentation moderne centrée sur l'interprétation des effets et les méthodes de calcul, et \textcite{elhorst2014} étendent le cadre aux données de panel, que le \cref{ch:36} mobilise. Pour les microdonnées immobilières, \textcite{dubeLegros2014} est le manuel le plus directement utile, avec sa discussion des matrices spatio-temporelles introduites dans \textcite{dubeLegros2013} et prolongées en estimateurs de différences de différences spatio-temporelles par \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014,dubeLegrosTheriaultDesrosiers2017}. Le lecteur qui aborde la géostatistique lira d'abord le primer de \textcite{dubin1998}, puis \textcite{dubin1988}, \textcite{basuThibodeau1998} et \textcite{gillenThibodeauWachter2001} sur la structure de l'autocorrélation des prix de maisons, et \textcite{paceBarrySirmans1998} pour les questions de calcul à grande échelle ; \textcite{paceBarryClappRodriguez1998} proposent le modèle autorégressif spatio-temporel qui a inspiré la pondération des ventes antérieures. La régression géographiquement pondérée est exposée dans \textcite{fotheringhamBrunsdonCharlton2002}, et ses applications québécoises dans \textcite{theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003} et \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006}. \textcite{bourassaCantoniHoesli2010} comparent, en termes de précision de prédiction, les principales approches de ce chapitre, et \textcite{goodmanThibodeau2003} ainsi que \textcite{bourassaHoesliPeng2003} montrent ce que les sous-marchés apportent à cette précision. Les modèles spatio-temporels bayésiens de \textcite{gelfandGhoshKnightSirmans1998} et \textcite{banerjeeGelfandKnightSirmans2004} ouvrent sur le \cref{ch:39}, et les estimateurs par moments de \textcite{kelejianPrucha1998,kelejianPrucha2010} sur les situations où la vraisemblance normale n'est pas tenable.643