spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Flux actualisés et valeur terminale}\label{ch:30}23La capitalisation directe du \cref{ch:29} condense toute l'information sur l'avenir d'un immeuble dans un seul nombre, le taux global, appliqué à un seul revenu, celui de la première année. Cette économie de moyens est sa force lorsque le revenu est stabilisé et que le marché fournit des taux extraits de ventes comparables ; elle devient une faiblesse dès que le revenu de l'immeuble doit changer de régime : loyers contractuels nettement sous le marché, travaux majeurs programmés, bail commercial en fin de course, rotation prévisible des locataires. La méthode des flux de trésorerie actualisés (\emph{discounted cash flow}, DCF) répond à cette difficulté en déroulant explicitement les revenus et les dépenses sur un horizon de plusieurs années, puis en capitalisant le revenu qui subsiste au-delà dans une valeur terminale. Le présent chapitre établit les fondements de cette méthode, ses conventions, ses pièges et sa cohérence avec la capitalisation directe, et la met en œuvre intégralement sur l'immeuble de douze logements du cas 3. Les chapitres \ref{ch:31}, \ref{ch:34}, \ref{ch:40} et \ref{ch:47} réutiliseront les mêmes fonctions et les mêmes chiffres.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item dériver la relation $r = R + g$ entre taux d'actualisation, taux de capitalisation et croissance, et en énoncer les hypothèses ;9\item construire une projection annuelle cohérente des revenus, des dépenses, des réserves et des dépenses en capital sur un horizon déclaré, en distinguant loyers contractuels et loyers de marché ;10\item calculer une valeur terminale par capitalisation du revenu de l'année $T+1$, la corriger des coûts de vente et l'actualiser à la bonne date ;11\item distinguer les flux avant et après financement, avant et après impôt, et calculer le taux de rendement interne des fonds propres avec levier ;12\item interpréter le TRI, la VAN et le TRI modifié, reconnaître les flux non conventionnels et démontrer dans quelles conditions le DCF et la capitalisation directe coïncident ;13\item conduire une analyse de sensibilité et des scénarios sur les intrants d'un DCF et en rendre compte dans un rapport.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Du taux de capitalisation au taux d'actualisation}\label{sec:30:taux}1819\subsection{Deux taux pour deux questions}2021Le \motcle{taux de capitalisation} $R$ répond à la question « combien le marché paie-t-il aujourd'hui pour un dollar de revenu net de l'année qui vient ? ». Le \terme{taux d'actualisation}{discount rate} $r$ répond à une autre question : « quel rendement annuel total un investisseur exige-t-il pour immobiliser son capital dans cet immeuble, compte tenu de son risque ? ». Le premier est un rapport entre un revenu et un prix ; le second est un rendement attendu, qui additionne le revenu courant et la variation de valeur. Les deux sont liés, mais ils ne sont égaux que dans un monde sans croissance ni dépréciation. La littérature anglo-saxonne nomme le second \emph{yield}, \emph{total return} ou \emph{IRR requis} ; \textcite{baumCrosbyDevaney2021} parlent de \emph{target rate} et \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} de \emph{going-in IRR} ; nous nous en tiendrons à « taux d'actualisation », en précisant toujours s'il s'applique à des flux avant ou après financement.2223\begin{definition}{Taux d'actualisation}{30:taux}24Le taux d'actualisation $r$ d'un immeuble est le taux annuel effectif tel que la valeur présente des flux de trésorerie futurs attendus de la pleine propriété non grevée, flux avant service de la dette et avant impôt, actualisés à ce taux, égale la valeur marchande de l'immeuble. Il est l'espérance du rendement total exigé par les participants du marché pour cette classe de risque.25\end{definition}2627\subsection{La relation de Gordon et Shapiro : $r = R + g$}2829Considérons un immeuble dont le revenu net d'exploitation de première année est $\NOI_1$ et croît ensuite à un taux constant $g$ chaque année, de sorte que $\NOI_t = \NOI_1 (1+g)^{t-1}$, et supposons que l'immeuble soit détenu à perpétuité. Sa valeur est la somme actualisée de ces revenus :30\begin{equation}\label{eq:30:gordon-serie}31V_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{\NOI_1 (1+g)^{t-1}}{(1+r)^t} = \frac{\NOI_1}{1+r} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{k}.32\end{equation}33La série géométrique converge si et seulement si $g < r$ ; elle vaut alors $(1+r)/(r-g)$, d'où34\begin{equation}\label{eq:30:gordon}35V_0 = \frac{\NOI_1}{r - g}, \qquad \text{donc} \qquad R \equiv \frac{\NOI_1}{V_0} = r - g \quad \Longleftrightarrow \quad r = R + g.36\end{equation}37C'est le modèle de croissance constante de \textcite{gordonShapiro1956}, formulé à l'origine pour l'évaluation d'équipements et d'actions, et devenu la clef de voûte de toute la théorie des taux immobiliers. Il énonce que le taux de capitalisation est le rendement exigé \emph{diminué} de la croissance attendue du revenu : à rendement exigé constant, un marché qui anticipe une forte croissance des loyers accepte un taux de capitalisation bas, et réciproquement.3839Trois hypothèses implicites méritent d'être rendues explicites, car ce sont elles qui, en pratique, séparent $r$ de $R + g$. La première est la \emph{constance} de $g$ : si le revenu doit d'abord rattraper le marché puis croître plus lentement, aucun $g$ unique ne décrit la trajectoire et la relation ne vaut qu'en moyenne. La deuxième est l'identité entre la croissance du revenu et celle de la valeur : dans \eqref{eq:30:gordon}, la valeur $V_t = \NOI_{t+1}/(r-g)$ croît elle aussi au taux $g$, ce qui suppose un taux de capitalisation constant dans le temps. Or un immeuble vieillit : à loyers de marché donnés, sa valeur croît moins vite que les loyers parce que sa dépréciation physique et fonctionnelle s'accumule \parencite{bokhariGeltner2018,hardingRosenthalSirmans2007}. Il faut donc lire $g$ comme la croissance attendue de la \emph{valeur} de l'immeuble (nette de dépréciation) plutôt que comme celle des loyers du marché. La troisième hypothèse est la détention perpétuelle, sans coûts de transaction : la section~\ref{sec:30:coherence} montre que la relation survit à un horizon fini pourvu que la valeur terminale soit calculée de façon cohérente, mais qu'elle est rompue par les coûts de vente.4041\subsection{Lecture des taux extraits du marché}4243La relation \eqref{eq:30:gordon} se lit dans les deux sens. Si l'on dispose de taux de capitalisation extraits de ventes et d'une opinion sur le rendement exigé, on en déduit la croissance que le marché anticipe ; si l'on dispose de taux extraits et d'une opinion sur la croissance, on en déduit le rendement exigé. Dans le cas 3, les quarante ventes d'immeubles de 6 à 30 logements de la région de Montréal (\cref{ch:29}) donnent un taux global médian de \pct{4.415}, que nous arrondirons à \pct{4.42} dans le texte. Avec le taux d'actualisation de \pct{7.25} retenu pour le dossier, la croissance implicite de long terme est $g = r - R = \pct{2.83}$ par an. Ce chiffre est inférieur à l'indexation de \pct{3.1} des loyers reconduits en 2026 et à la croissance de \pct{3.5} retenue pour les loyers de marché, ce qui est précisément l'écart attendu entre la croissance des loyers et celle de la valeur d'un immeuble qui vieillit. Inversement, si l'on tenait pour acquis que la valeur des immeubles multirésidentiels montréalais croît à long terme comme les loyers de marché, soit \pct{3.5}, le rendement exigé implicite serait de $\pct{4.42} + \pct{3.5} = \pct{7.92}$. Ces lectures croisées sont la première vérification de cohérence qu'un évaluateur doit faire avant d'écrire un taux d'actualisation dans un rapport.4445Les études empiriques confirment que les taux de capitalisation reflètent simultanément l'état du marché des capitaux et les anticipations de croissance locale. \textcite{sivitanidouSivitanides1999} montrent que les taux de capitalisation des immeubles de bureaux répondent aux taux d'intérêt mais aussi aux conditions du marché locatif local ; \textcite{chervachidzeWheaton2013} attribuent la compression des taux de 2000 à 2007 et leur remontée brutale de 2008-2009 à la prime de risque et à la disponibilité du crédit davantage qu'aux fondamentaux locatifs ; \textcite{ducaLing2020} documentent le rôle de l'arbitrage réglementaire sur le capital des prêteurs. \textcite{plazziTorousValkanov2010} établissent que le taux de capitalisation prédit à la fois les rendements futurs et la croissance future des loyers, exactement comme le ratio dividende-prix le fait pour les actions : la relation \eqref{eq:30:gordon} est donc aussi une relation empiriquement testable.4647\subsection{Structure du taux d'actualisation : taux sans risque et primes}4849Le taux d'actualisation nominal peut être décomposé, à des fins d'explication et non de calcul, en un taux sans risque et une somme de primes :50\begin{equation}\label{eq:30:build-up}51r = r_f + \pi_{\text{illiq}} + \pi_{\text{loc}} + \pi_{\text{gest}} + \pi_{\text{régl}} + \cdots,52\end{equation}53où $r_f$ est le rendement d'un titre d'État de maturité comparable à l'horizon de détention, $\pi_{\text{illiq}}$ rémunère l'illiquidité et les coûts de transaction élevés de l'immobilier, $\pi_{\text{loc}}$ le risque locatif (inoccupation, défaut, rotation), $\pi_{\text{gest}}$ la charge de gestion active et $\pi_{\text{régl}}$ le risque réglementaire propre au logement locatif, qui au Québec comprend l'encadrement de la fixation des loyers et des reprises (\cref{ch:34}). Cette méthode dite de construction (\emph{build-up}) est utile pour raisonner et pour expliquer une opinion ; elle ne permet pas, à elle seule, de la fonder, car les primes ne s'observent pas séparément sur le marché. Le point d'ancrage, lui, est observable : au 29 octobre 2026, le rendement de l'obligation de référence du gouvernement du Canada à 10 ans était de \pct{3.84} et celui de l'obligation à 5 ans de \pct{3.58} \parencite{bdcvalet}, le lendemain d'une hausse du taux directeur à \pct{2.50} \parencite{bdc20261028}. Un taux d'actualisation de \pct{7.25} correspond donc à une prime totale de $\qty{341}{\pb}$ au-dessus de l'obligation à 10 ans ; CBRE signalait pour sa part, au troisième trimestre de 2026, un écart de $\qty{256}{\pb}$ entre le taux de capitalisation moyen toutes catégories au Canada et l'obligation à 10 ans \parencite{cbrecaprates2026q3}, écart qui porte sur $R$ et non sur $r$ et qu'il faut majorer de la croissance anticipée pour le comparer à la prime du taux d'actualisation. La \cref{fig:30:gdc} rappelle que ce point d'ancrage a varié de moins de \pct{1} à plus de \pct{4} au cours des vingt dernières années : un taux d'actualisation n'est jamais une constante de la nature, et tout rapport doit dater le sien.5455\begin{figure}[htbp]56\centering57\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-gdc.pdf}58\caption{Rendements mensuels moyens des obligations de référence du gouvernement du Canada à 5 et 10 ans et taux hypothécaire conventionnel 5 ans affiché par les banques à charte, janvier 2006 à octobre 2026. Le taux sans risque qui ancre tout taux d'actualisation a connu trois régimes en vingt ans ; au 29 octobre 2026, l'obligation à 10 ans rendait \pct{3.84}, alors que le taux hypothécaire affiché restait à \pct{6.19}.}59\figsource{Banque du Canada, API Valet, séries BD.CDN.5YR.DQ.YLD, BD.CDN.10YR.DQ.YLD et V80691335, téléchargées le 2026-10-31 \parencite{bdcvalet} ; script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_gdc.py}.}60\label{fig:30:gdc}61\end{figure}6263Comment, dès lors, fixer $r$ ? Trois sources se complètent. La première est l'inversion des transactions : lorsqu'une vente comparable est accompagnée d'un état locatif et d'un budget crédibles, on peut projeter ses flux et résoudre le taux qui ramène leur valeur présente au prix payé, ce qui donne un \emph{TRI implicite} ; c'est l'équivalent, pour le DCF, de l'extraction du taux global. La deuxième est l'enquête auprès des investisseurs et des prêteurs actifs sur le segment, pratiquée par les grandes firmes de courtage et de conseil ; aucune enquête publique ne publie de taux d'actualisation pour le multirésidentiel québécois à la date de rédaction, et le lecteur ne trouvera donc ici aucun chiffre de cette nature. La troisième est la relation \eqref{eq:30:gordon} elle-même, appliquée aux taux de capitalisation publiés : CBRE donne pour Montréal, au troisième trimestre de 2026, une fourchette de \pct{4.25} à \pct{4.75} pour les immeubles multirésidentiels de faible hauteur de classe B \parencite{cbrecaprates2026q3}, dont le milieu, \pct{4.50}, ajouté à une croissance de long terme de l'ordre de \pct{2.5} à \pct{3}, situe le rendement exigé entre \pct{7} et \pct{7.5}. Le taux de \pct{7.25} du cas 3 est une hypothèse de travail cohérente avec ces trois lectures, non une donnée observée, et il est identifié comme tel dans le dossier synthétique.6465\subsection{Taux nominal ou taux réel}6667Les flux projetés dans ce chapitre sont nominaux, c'est-à-dire exprimés en dollars courants de chaque année, avec une croissance des loyers et des dépenses qui incorpore l'inflation ; le taux d'actualisation doit alors être nominal lui aussi. La relation de Fisher relie les deux conventions :68\begin{equation}\label{eq:30:fisher}69(1 + r) = (1 + r_{\text{réel}})(1 + \pi) \qquad \Longrightarrow \qquad r \approx r_{\text{réel}} + \pi,70\end{equation}71où $\pi$ est l'inflation anticipée. L'indice des prix à la consommation du Québec progressait de \pct{3.1} sur douze mois en septembre 2026 \parencite{statcanipc} ; un taux nominal de \pct{7.25} correspond ainsi à un taux réel d'environ \pct{4.0}. L'erreur classique, actualiser des flux nominaux à un taux réel ou des flux constants à un taux nominal, est traitée dans l'encadré des erreurs fréquentes ; elle produit des écarts de valeur de l'ordre de la part de la valeur qui dépend de la croissance, c'est-à-dire des dizaines de points de pourcentage.7273\section{Horizon, projections et hypothèses}\label{sec:30:projection}7475\subsection{L'horizon de projection}7677L'horizon $T$ est le nombre d'années pour lesquelles les flux sont projetés explicitement ; au-delà, la valeur terminale résume l'avenir. Il est d'usage de retenir dix ans pour les immeubles de placement, et c'est l'horizon du cas 3 ; mais ce choix n'a rien de sacré. La règle de fond est que l'horizon doit être assez long pour que le revenu ait atteint un \motcle{régime stabilisé} à la fin de la période, car la valeur terminale capitalise le revenu de l'année $T+1$ comme s'il devait croître régulièrement ensuite. Si des loyers sont très sous le marché, l'horizon doit couvrir leur rattrapage ; si des travaux majeurs sont programmés, il doit les inclure plutôt que les renvoyer à l'acheteur terminal ; si un bail commercial ou une subvention expire, l'échéance doit tomber à l'intérieur de l'horizon. Un horizon trop court transfère tout le poids de l'évaluation à la valeur terminale et aux hypothèses qu'elle porte ; un horizon trop long multiplie des projections de plus en plus incertaines pour un gain d'information décroissant, puisque le facteur d'actualisation à \pct{7.25} tombe sous $0{,}50$ dès la dixième année et sous $0{,}25$ à la vingtième.7879\subsection{Loyers contractuels et loyers de marché}8081Le revenu brut potentiel d'un immeuble locatif québécois se projette à partir de deux trajectoires. La trajectoire \emph{contractuelle} décrit ce que les baux en cours rapporteront tant qu'ils sont reconduits par les mêmes locataires : le loyer est alors ajusté annuellement selon les règles de fixation (\cref{ch:26,ch:34}), ce qui, pour un bail reconduit en 2026, correspond à un pourcentage de base de \pct{3.1} selon la méthode entrée en vigueur le 1\textsuperscript{er} janvier 2026 \parencite{talIndices2026,decret1455_2025}. La trajectoire de \emph{marché} décrit le loyer qu'obtiendrait le logement s'il était reloué aujourd'hui à un nouveau locataire, et elle croît au rythme du marché locatif, que l'on calibre sur les enquêtes de la SCHL : dans la RMR de Montréal, le loyer moyen d'un logement de deux chambres a progressé de \pct{7.2} entre octobre 2024 et octobre 2025 pour un même échantillon de logements \parencite{schlLocatif2025}, rythme exceptionnel que l'on ne prolonge pas sur dix ans ; le cas 3 retient \pct{3.5} par an, soit l'inflation observée majorée d'une fraction de point.8283Le passage de la première trajectoire à la seconde se fait par la \motcle{rotation} des locataires. Lorsqu'un locataire quitte le logement, le locateur conclut un nouveau bail dont le loyer n'est pas soumis au pourcentage de fixation ; il doit toutefois déclarer au nouveau locataire le loyer le plus bas payé au cours des douze mois précédents (section G du bail, art.~1896 C.c.Q.), et celui-ci peut demander la fixation du loyer dans les dix jours (art.~1950 C.c.Q.) \parencite{ccq}. La relocation au loyer de marché n'est donc pas automatique en droit, mais elle est la pratique dominante, et c'est l'hypothèse de modélisation retenue, discutée dans l'encadré québécois ci-dessous. Le modèle du cas 3 suppose qu'une fraction $\rho = \pct{15}$ des logements se libère chaque année, que les logements les plus sous le marché se libèrent en premier et que chacun est reloué à son loyer de marché de l'année ; la SCHL mesurait un taux de rotation de \pct{9.4} dans la RMR de Montréal en 2025, contre \pct{11.1} en 2024 \parencite{schlLocatif2025}, et l'hypothèse de \pct{15} pour un immeuble de petits logements (quatre 3½, six 4½, deux 5½) est volontairement un peu plus élevée que la moyenne régionale ; la section~\ref{sec:30:sensibilite} mesure ce que vaut cette hypothèse.8485Formellement, si $L_{i,t}$ est le loyer mensuel contractuel du logement $i$ l'année $t$, $M_{i,t}$ son loyer de marché, $g_c$ le taux d'indexation des baux reconduits et $g_m$ la croissance des loyers de marché, la projection s'écrit86\begin{align}\label{eq:30:loyers}87M_{i,t} &= M_{i,1}(1+g_m)^{t-1}, &88L_{i,t} &= \begin{cases} M_{i,t} & \text{si le logement } i \text{ est reloué l'année } t,\\ L_{i,t-1}(1+g_c) & \text{sinon,}\end{cases} \notag\\89RBP_t &= 12 \sum_{i=1}^{n} L_{i,t}. &&90\end{align}91Avec $g_c < g_m$, un logement qui n'est jamais reloué s'éloigne du marché ; la rotation est le seul mécanisme de rattrapage. La \cref{fig:30:loyers} montre le résultat pour le cas 3 : l'écart entre le revenu brut potentiel contractuel et le revenu au marché, de \dollars{20496} soit \pct{11.0} en 2026, se résorbe presque entièrement en dix ans ; sans relocation, l'indexation seule laisserait un écart croissant.9293\begin{figure}[htbp]94\centering95\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-loyers.pdf}96\caption{Trajectoire du revenu brut potentiel du cas 3 : loyers contractuels indexés à \pct{3.1} avec relocation de \pct{15} des logements par an au loyer de marché (trait plein bleu), revenu au loyer de marché croissant de \pct{3.5} par an (orange) et, pour comparaison, indexation seule sans relocation (pointillé). La zone grisée est l'écart au marché, qui passe de \pct{11.0} à \pct{1.0} en dix ans.}97\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_loyers.py}, fonctions \texttt{traite.cas3.projection\_dcf}, graine 20261031}}98\label{fig:30:loyers}99\end{figure}100101\begin{quebec}[{{Fixation des loyers, rotation et trajectoire contractuelle}}]102Le droit québécois encadre la trajectoire contractuelle des loyers plus étroitement que celui des autres provinces, et le modélisateur doit en tenir compte. Le bail de logement est reconduit de plein droit (art.~1941 C.c.Q.) ; le locateur qui veut modifier le loyer donne un avis de trois à six mois avant l'échéance (art.~1942) et, si le locataire refuse, c'est le Tribunal administratif du logement qui fixe le loyer selon les critères réglementaires (art.~1947 et 1953 C.c.Q. ; \parencite{ccq}). Depuis le 1\textsuperscript{er} janvier 2026, le Règlement sur les critères de fixation de loyer, modifié par le décret 1455-2025 \parencite{decret1455_2025,reglCriteresFixation}, calcule un pourcentage de base unique égal à la moyenne des trois dernières variations annuelles de l'IPC du Québec (art.~3.1), auquel s'ajoutent la part attribuable au logement des variations de taxes et d'assurances et un rendement de \pct{5} sur les dépenses d'immobilisation (art.~3). Le pourcentage de base publié par le TAL est de \pct{3.1} pour 2026 \parencite{talIndices2026} ; c'est la valeur de $g_c$ du cas 3, que l'on suppose constante faute de connaître les IPC futurs, alors qu'elle suivra en réalité l'inflation moyenne des trois années précédentes avec retard.103104Deux conséquences découlent pour la projection. Premièrement, la croissance des loyers contractuels est bornée par l'inflation passée, tandis que les dépenses suivent l'inflation courante : un immeuble sans rotation voit sa marge se comprimer dans les périodes de hausse des coûts. Deuxièmement, le rattrapage du marché dépend de la rotation, elle-même influencée par le droit : la cession de bail ne requiert plus le consentement du locateur pour un motif sérieux seulement, mais celui-ci peut désormais la refuser pour un autre motif, auquel cas le bail est résilié à la date prévue (art.~1978.1 à 1978.4 C.c.Q., introduits par la Loi~31 de 2024 ; \parencite{loi31_2024}), ce qui facilite la relocation au marché ; en revanche le nouveau locataire peut faire fixer le loyer s'il apprend que le loyer précédent était inférieur (art.~1896 et 1950). Les immeubles neufs échappent à la fixation pendant cinq ans à condition que le bail indique le loyer maximal (art.~1955, modifié en 2024). L'hypothèse « relocation au loyer de marché » est donc une approximation favorable au locateur ; un évaluateur prudent la tempère, par exemple en ne relouant qu'à une fraction du marché ou en retardant la rotation, et il en déclare l'effet (\cref{ch:34}).105\end{quebec}106107\subsection{Inoccupation, mauvaises créances et autres revenus}108109Le revenu brut effectif s'obtient en retranchant du revenu brut potentiel une provision combinée pour inoccupation et mauvaises créances, $v$, et en ajoutant les autres revenus (stationnement, buanderie, rangement) :110\begin{equation}\label{eq:30:rbe}111RBE_t = RBP_t\,(1 - v) + R^{\text{autres}}_t .112\end{equation}113Le cas 3 retient $v = \pct{3.9}$. Ce taux est supérieur à l'inoccupation de \pct{2.9} mesurée par la SCHL dans la RMR de Montréal en octobre 2025 et à celle de \pct{2.2} des immeubles de 6 à 19 logements de l'île \parencite{schlLocatif2025}, pour deux raisons : la provision couvre aussi les pertes de loyers (défauts, délais entre deux locataires, frais de relocation) qu'un taux d'inoccupation physique ignore, et la SCHL anticipe une détente du marché montréalais, avec une inoccupation de \pct{3.8} en 2026, \pct{4.5} en 2027 et \pct{4.8} en 2028 dans sa mise à jour de l'été 2026 \parencite{schlpmh2026ete}. Dans un immeuble à forte rotation, la provision doit être cohérente avec l'hypothèse de rotation : relouer \pct{15} des logements par an suppose des périodes de vacance frictionnelle, et c'est aussi ce que $v$ paie. La projection du cas 3 applique le même $v$ à toutes les années ; un modèle plus fin le ferait varier avec le cycle (\cref{ch:27}).114115\subsection{Dépenses, réserve de remplacement et dépenses en capital}116117Les dépenses d'exploitation normalisées de l'année 1 proviennent du \cref{ch:28} : dernière année observée indexée, taxes recalculées sur la valeur au rôle et les taux de 2026, gestion imputée à \pct{4} du revenu brut effectif, réserve de remplacement de \dollars{650} par logement. Pour les années suivantes, les dépenses hors réserve croissent au taux $g_d = \pct{3}$, proche de l'inflation observée ; la réserve, qui est une convention de calcul et non une facture, est maintenue constante ; les autres revenus croissent comme les dépenses.118119La question délicate est celle des \motcle{dépenses en capital} (CAPEX). La convention de l'ouvrage, énoncée à l'\cref{app:conventions-calcul}, est d'inclure la réserve dans le revenu net d'exploitation servant à la capitalisation directe et de traiter explicitement, dans les flux actualisés, les dépenses en capital ponctuelles prévues : toiture, fenêtres, balcons, système de chauffage. La réserve couvre le renouvellement régulier des composantes à vie courte (électroménagers, revêtements, peinture) qu'un acheteur intègre dans son budget annuel ; les CAPEX couvrent les travaux lourds, discontinus, dont la date et le montant sont connus au moment de l'évaluation. Les deux ne doivent jamais couvrir les mêmes éléments : si la réserve est calibrée pour inclure la toiture, celle-ci ne doit pas réapparaître en CAPEX, et réciproquement. Le cas 3 programme \dollars{85000} en 2027 (maçonnerie et balcons), \dollars{40000} en 2029 (fenêtres) et \dollars{120000} en 2032 (toiture et chauffage) ; ces montants sont des hypothèses du dossier synthétique, et leur cohérence avec la réserve est assurée par construction, la réserve de \dollars{650} par logement ne visant que les composantes intérieures. Le revenu net et le flux avant dette de chaque année s'écrivent alors120\begin{equation}\label{eq:30:flux}121\NOI_t = RBE_t - DE_t - RR_t, \qquad CF_t = \NOI_t - CAPEX_t,122\end{equation}123où $DE_t$ sont les dépenses d'exploitation hors réserve et $RR_t$ la réserve. Le revenu net reste ainsi une mesure de la rentabilité d'exploitation comparable d'une année à l'autre et d'un immeuble à l'autre, tandis que le flux subit les à-coups des travaux. On notera que, selon le règlement sur la fixation des loyers, une partie des dépenses d'immobilisation est récupérable par une hausse de loyer (rendement de \pct{5}) ; le cas 3 ignore cette récupération, ce qui est prudent, et le \cref{ch:34} en modélise l'effet.124125\subsection{Les hypothèses du cas 3 et leur provenance}126127Le \cref{tab:30:hypotheses} rassemble les hypothèses du dossier. Elles sont lues par la fonction \texttt{traite.cas3.charger} depuis le fichier \texttt{cas3\_montreal\_hypotheses\_dcf.json} et partagées avec les chapitres \ref{ch:29}, \ref{ch:31} et \ref{ch:47}.128129\begin{synthetique}130Le cas 3 est un immeuble \emph{fictif} de douze logements construit en 1962 dans Rosemont--La Petite-Patrie, à Montréal (\texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_*.csv} et \texttt{.json}, générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py}, graine 20261031). L'état locatif, l'historique de dépenses, les quarante ventes comparables et les hypothèses de projection sont simulés ; leurs ordres de grandeur sont calibrés sur des publications publiques (loyers et inoccupation SCHL d'octobre 2025 pour la zone Rosemont, taux de capitalisation CBRE du troisième trimestre de 2026, taux hypothécaires de la Banque du Canada d'août 2026, taux de taxe de Montréal 2026, pourcentage TAL 2026 ; voir \texttt{data/synthetic/README.md} et \texttt{calibration.json}). Les relations entre variables, notamment la décote des loyers avec l'ancienneté du bail et l'ordre de relocation, sont des hypothèses pédagogiques. Aucun chiffre de ce chapitre relatif au cas 3 ne décrit un immeuble réel.131\end{synthetique}132133\begin{table}[htbp]134\centering\small135\caption{Hypothèses de projection du cas 3 (immeuble fictif de 12 logements, Montréal) et provenance de leur calibration.}136\label{tab:30:hypotheses}137\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}lYl@{}}138\toprule139Hypothèse & Valeur retenue & Repère public (calibration) \\140\midrule141Date d'évaluation ; horizon $T$ & 1\textsuperscript{er} septembre 2026 ; 10 ans & convention usuelle \\142Taux d'actualisation $r$ & \pct{7.25} (nominal, avant dette, avant impôt) & GdC 10 ans \pct{3.84} + primes ; CBRE \pct{4.50} + $g$ \\143Taux terminal $R_T$ & \pct{5.00} = milieu CBRE \pct{4.50} + \qty{50}{\pb} & CBRE T3 2026, faible hauteur B : 4,25--\pct{4.75} \\144Coûts de vente $c_v$ & \pct{2.5} de la valeur terminale brute & courtage et frais juridiques (hypothèse) \\145Indexation des baux reconduits $g_c$ & \pct{3.1} par an & pourcentage de base TAL 2026 \\146Croissance des loyers de marché $g_m$ & \pct{3.5} par an & IPC Québec \pct{3.1} ; SCHL 2 ch. Montréal +\pct{7.2} (2025) \\147Rotation annuelle $\rho$ & \pct{15} des logements, les plus sous le marché d'abord & SCHL : rotation RMR Montréal \pct{9.4} (2025) \\148Inoccupation et pertes $v$ & \pct{3.9} du RBP & SCHL : inocc. \pct{2.9} (2025), prévision \pct{3.8}--\pct{4.8} \\149Croissance des dépenses $g_d$ & \pct{3.0} par an & IPC Québec \pct{3.1} \\150Réserve de remplacement & \dollars{650}/logement, constante & convention de l'ouvrage (\cref{ch:28}) \\151CAPEX programmés & \dollars{85000} (2027), \dollars{40000} (2029), \dollars{120000} (2032) & hypothèse du dossier \\152Financement (\cref{ch:31}) & RPV max \pct{75}, RCD min $1{,}20$, \pct{4.12} nominal semestriel, 480 mois & BdC, fonds avancés assurés $\geq$ 5 ans, août 2026 \\153\bottomrule154\end{tabularx}155\tabsource{\synth{\texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_hypotheses\_dcf.json} ; repères : \textcite{cbrecaprates2026q3}, \textcite{bdcvalet}, \textcite{bdctauxhypothecaires2026}, \textcite{schlLocatif2025}, \textcite{schlpmh2026ete}, \textcite{talIndices2026}, \textcite{statcanipc}, consultés le 2026-10-31.}}156\end{table}157158\section{La valeur terminale}\label{sec:30:vt}159160\subsection{Définition et conventions}161162À la fin de l'année $T$, l'immeuble est réputé vendu à un acheteur qui, à son tour, capitalise le revenu prospectif de sa première année de détention, c'est-à-dire le revenu de l'année $T+1$ :163\begin{equation}\label{eq:30:vt}164V_T = \frac{\NOI_{T+1}}{R_T}, \qquad V_T^{\text{net}} = V_T\,(1 - c_v),165\end{equation}166où $R_T$ est le \motcle{taux de capitalisation terminal} (\emph{terminal}, \emph{exit} ou \emph{going-out cap rate}) et $c_v$ la proportion de coûts de vente. L'usage de $\NOI_{T+1}$ plutôt que de $\NOI_T$ n'est pas une coquetterie : il applique à l'acheteur terminal exactement la convention prospective que le \cref{ch:29} applique à l'acheteur d'aujourd'hui, $V_0 = \NOI_1/R$. Capitaliser $\NOI_T$ sous-évaluerait la valeur terminale d'un facteur $(1+g)$, soit de \pct{3} à \pct{4} ; c'est l'une des erreurs les plus fréquentes dans les tableurs. Il faut en outre que $\NOI_{T+1}$ soit un revenu \emph{stabilisé}, sans dépense en capital exceptionnelle ni loyer anormalement bas, puisque l'acheteur terminal le capitalise à perpétuité ; si l'année $T+1$ doit porter des travaux lourds, on projette un revenu normalisé et l'on traite les travaux à part.167168La valeur présente de la valeur terminale s'obtient en l'actualisant sur $T$ années, et non sur $T+1$ : la vente a lieu à la fin de l'année $T$, au moment où le revenu de l'année $T+1$ n'est encore qu'une anticipation. La valeur de l'immeuble est alors169\begin{equation}\label{eq:30:dcf}170V_0 = \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t}{(1+r)^t} + \frac{V_T\,(1 - c_v)}{(1+r)^T} = \sum_{t=1}^{T} \frac{\NOI_t - CAPEX_t}{(1+r)^t} + \frac{\NOI_{T+1}\,(1-c_v)}{R_T\,(1+r)^T}.171\end{equation}172C'est la formule que calcule \texttt{traite.finance.dcf}, et que le \cref{tab:30:dcf} applique ligne à ligne.173174\subsection{Pourquoi $R_T \geq R_0$}175176Il est d'usage de retenir un taux terminal au moins égal au taux de capitalisation courant $R_0$ ; le cas 3 ajoute \qty{50}{\pb} au milieu de la fourchette publiée par CBRE. Trois arguments fondent cette prudence. Le premier est le \emph{vieillissement} : à la fin de l'horizon, l'immeuble a dix ans de plus, sa dépréciation accumulée est plus grande et l'acheteur terminal anticipe une croissance de valeur plus faible ; par \eqref{eq:30:gordon}, un $g$ plus petit implique un $R$ plus grand. Le deuxième est l'\emph{incertitude} : le taux terminal s'applique dans dix ans à un marché que personne ne connaît ; à défaut de pouvoir le prévoir, on reconnaît que le marché exige une compensation pour ce risque. Le troisième est la \emph{réversion vers la moyenne} : lorsque les taux courants sont historiquement bas, comme ils l'ont été au Canada entre 2020 et 2022, supposer qu'ils le resteront dix ans plus tard revient à parier sur la persistance d'un extrême. L'argument inverse existe : si le revenu de l'année $T+1$ est enfin stabilisé après un rattrapage, l'acheteur terminal fait face à moins d'incertitude locative que l'acheteur d'aujourd'hui, et rien n'interdit un $R_T$ proche de $R_0$ dans un dossier bien argumenté. Ce qu'exige la rigueur, c'est que l'écart $R_T - R_0$ soit déclaré, justifié et soumis à l'analyse de sensibilité.177178La lecture par la relation de Gordon donne une vérification immédiate. Avec $r = \pct{7.25}$ et $R_T = \pct{5.00}$, la croissance implicite au-delà de l'horizon est $g_T = r - R_T = \pct{2.25}$ par an, contre \pct{3.5} pour les loyers de marché : l'écart de $1{,}25$ point est le rythme de dépréciation nette que le modèle prête à l'immeuble au-delà de 2036. Un taux terminal de \pct{4.25} impliquerait $g_T = \pct{3.0}$, c'est-à-dire presque aucune dépréciation ; un taux de \pct{5.75} impliquerait $g_T = \pct{1.5}$. Exprimer le taux terminal en croissance implicite est souvent plus parlant, pour le lecteur du rapport, que le taux lui-même.179180\subsection{Coûts de vente}181182Les coûts de vente sont ceux que supporte le \emph{vendeur} terminal : commission de courtage, honoraires juridiques et frais de quittance de l'hypothèque. Au Québec, les droits sur les mutations immobilières sont payés par l'acquéreur \parencite{quebecMutations} et ne réduisent donc pas le produit net du vendeur ; ils interviennent plutôt, pour l'acheteur d'aujourd'hui, dans les coûts d'acquisition que le DCF de la valeur marchande ne comprend pas. Le cas 3 retient \pct{2.5}, soit \dollars{79829} sur une valeur terminale brute de \dollars{3193168} ; actualisé, cet élément pèse \dollars{39645} sur la valeur, soit \pct{1.8}. Les coûts de vente sont souvent omis des DCF publiés ; leur omission surévalue la valeur de $c_v$ fois la part de la valeur terminale, et le \cref{tab:30:tornade} en mesure l'effet.183184\subsection{Le poids de la valeur terminale}185186Dans le cas 3, la valeur terminale actualisée représente \pct{70.0} de la valeur ; les flux des dix premières années n'en représentent que \pct{30.0}. Cette proportion est caractéristique des immeubles résidentiels à faible taux de capitalisation : par la proposition~\ref{prop:30:gordon}, elle vaut exactement $[(1+g)/(1+r)]^T$ sous croissance constante, soit \pct{70.1} pour $g = \pct{3.5}$, $r = \pct{7.25}$ et $T = 10$. Elle a une conséquence méthodologique majeure : les deux tiers de la conclusion de valeur reposent sur deux nombres, $\NOI_{11}$ et $R_T$, et sur la qualité du raisonnement qui les soutient, bien plus que sur le détail des dix années de projection. Un rapport qui consacre vingt pages à la projection et deux lignes au taux terminal a inversé l'ordre des priorités. Le \cref{tab:30:sens-rt} montre qu'un écart de \qty{25}{\pb} sur $R_T$ déplace la valeur de \pct{3.3} à \pct{3.7}, et un écart de \qty{75}{\pb} de \pct{9} à \pct{12}.187188\section{Flux avant et après financement, avant et après impôt}\label{sec:30:flux}189190\subsection{Quatre niveaux de flux}191192La projection peut s'arrêter à quatre niveaux, qui correspondent à quatre questions différentes. Le \emph{flux avant dette et avant impôt} ($CF_t = \NOI_t - CAPEX_t$) mesure ce que l'immeuble produit, indépendamment de la façon dont il est financé et de la situation fiscale de son propriétaire ; c'est lui qu'actualise le DCF de la \emph{valeur marchande}, car celle-ci est définie pour un acheteur typique, dont le financement est déjà reflété dans le taux d'actualisation du marché. Le \emph{flux après dette} ($CF_t - SD_t$, où $SD_t$ est le service de la dette) mesure ce qui revient aux fonds propres d'un investisseur donné ; il sert à la \emph{valeur d'investissement} et à l'analyse de la décision d'achat. Le \emph{flux après impôt} déduit en outre l'impôt sur le revenu de location, calculé après déduction des intérêts et de l'amortissement fiscal, et, l'année de la revente, l'impôt sur le gain en capital et la récupération d'amortissement. Le quatrième niveau, rarement explicité, est le flux après impôt et après réinvestissement, qui n'intéresse que la gestion de patrimoine.193194Les normes professionnelles n'imposent pas de niveau, mais elles imposent la cohérence entre le flux, le taux et la base de valeur : l'IVS~103 range la méthode des flux actualisés parmi les méthodes de l'approche par le revenu et exige que les hypothèses et intrants soient appropriés à la base de valeur retenue \parencite{ivs2025} ; les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent de divulguer toute hypothèse extraordinaire ayant une incidence directe sur l'évaluation et d'en indiquer l'incidence sur la valeur (règle~2.1~c), ainsi que de la rappeler à chaque conclusion de valeur (règle~2.3, élément~7) \parencite{oeaqNormes}. Une projection de dix ans contient des dizaines d'hypothèses ; toutes ne sont pas extraordinaires, mais celles qui le sont, par exemple la réalisation d'un CAPEX conditionnel ou la relocation au marché de logements dont les locataires contesteraient le loyer, doivent être identifiées comme telles.195196\subsection{Flux après financement et TRI des fonds propres}197198Soit $M_0$ le capital emprunté, $SD$ le service de la dette annuel constant d'un prêt à versements égaux, et $M_T$ le solde du prêt après $T$ années. L'investisseur qui paie $V_0$ apporte $E_0 = V_0 - M_0$ de fonds propres, reçoit chaque année $CF_t - SD$ et, l'année $T$, le produit net de revente $V_T(1-c_v) - M_T$. Le \motcle{TRI des fonds propres} avec levier, noté $y_E$, est la racine de199\begin{equation}\label{eq:30:tri-levier}200-E_0 + \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t - SD}{(1+y_E)^t} + \frac{V_T(1-c_v) - M_T}{(1+y_E)^T} = 0 .201\end{equation}202La fonction \texttt{traite.finance.rendement\_fonds\_propres\_levier} résout cette équation ; elle reçoit la série des flux avant dette, le prix, l'objet \texttt{Hypotheque} et la valeur de revente nette. Deux précisions comptent. D'abord, ce sont les flux \emph{après CAPEX} qui doivent être passés, car les travaux sont payés par le propriétaire et non par le prêteur, à moins qu'un financement de travaux ne soit explicitement modélisé. Ensuite, le solde $M_T$ est celui du tableau d'amortissement à la date de revente, calculé avec le taux périodique canadien ; le \cref{ch:31} détaille ce calcul, dont l'encadré ci-dessous donne l'essentiel.203204Le levier est dit \emph{positif} lorsque $y_E$ excède le rendement non endetté $r$, ce qui se produit lorsque le coût effectif de la dette est inférieur au rendement total de l'immeuble ; il est \emph{négatif} dans le cas contraire. Il faut distinguer ce levier sur le rendement \emph{total} du levier sur le rendement \emph{courant} : avec un taux de capitalisation de \pct{4.42} et une constante hypothécaire de \pct{5.08} (service de la dette annuel sur capital emprunté), chaque dollar emprunté coûte en service de la dette plus qu'il ne rapporte en revenu net la première année, et le rendement courant des fonds propres, dit \emph{cash-on-cash}, est faible ; c'est la croissance attendue du revenu et de la valeur qui rend le levier positif sur l'horizon. Cette situation, où $R < $ constante hypothécaire $<$ $r$, est celle du marché multirésidentiel montréalais de 2026 et elle explique pourquoi les prêteurs y contraignent les prêts par le ratio de couverture de la dette plutôt que par le ratio prêt-valeur (\cref{ch:31}).205206\begin{quebec}[{Taux hypothécaires canadiens : la composition semestrielle}]207Au Canada, la Loi sur l'intérêt (L.R.C. 1985, c.~I-15, art.~6) exige que le taux d'un prêt hypothécaire à versements périodiques soit exprimé en taux annuel calculé semestriellement ou annuellement, non à l'avance. Un taux « de \pct{4.12} » affiché par un prêteur canadien est donc un taux nominal composé deux fois l'an, et le taux mensuel équivalent est208\begin{equation}\label{eq:30:taux-mensuel}209i_m = \left(1 + \frac{i}{2}\right)^{1/6} - 1 = (1{,}0206)^{1/6} - 1 = \pct{0.34042},210\end{equation}211et non $i/12 = \pct{0.34333}$ comme dans la convention américaine à composition mensuelle. Le taux effectif annuel est $(1 + i/2)^2 - 1 = \pct{4.1624}$. L'écart paraît mince, mais il modifie le paiement, le solde et le ratio de couverture : sur le prêt de \dollars{1475959} du cas 3 amorti sur 40 ans, le service de la dette annuel est de \dollars{74963} avec la convention canadienne. Les fonctions \texttt{taux\_mensuel\_canadien} et \texttt{Hypotheque} de la bibliothèque appliquent cette convention par défaut (\cref{app:conventions-calcul}) ; les tableurs importés des États-Unis ne le font pas. Le taux retenu, \pct{4.12}, est le taux effectif moyen des fonds avancés par les banques à charte pour les prêts hypothécaires résidentiels assurés à taux fixe de cinq ans et plus en août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026} ; il sert de repère de calibration et ne préjuge pas du taux qu'obtiendrait un emprunteur donné pour un immeuble de douze logements, lequel dépend de l'assurance (SCHL, programme APH Select, dont le ratio de couverture minimal est de $1{,}10$ pour le locatif ordinaire selon la page consultée le 2026-10-31 ; \parencite{schlaphselect}) et du terme.212\end{quebec}213214\subsection{L'impôt : un survol}215216Le traitement fiscal n'est pas développé dans cet ouvrage, dont l'objet est la valeur marchande, par définition avant impôt. Le lecteur retiendra seulement le cadre. Le revenu net de location est imposable entre les mains du propriétaire après déduction des intérêts et d'une déduction pour amortissement sur le coût du bâtiment, mais non du terrain ; l'amortissement fiscal, qui n'est pas une dépense décaissée, réduit l'impôt courant mais est récupéré à la revente si le prix excède la fraction non amortie du coût ; la plus-value excédant le coût est un gain en capital, dont une fraction seulement est imposable. Le DCF après impôt actualise ces flux à un taux après impôt propre à l'investisseur, ce qui donne une valeur d'investissement, non une valeur marchande \parencite{brueggemanFisher2022}. Les taux, catégories et fractions évoluent avec les lois fiscales fédérale et québécoise et doivent être vérifiés à la date de l'analyse ; aucun n'est cité ici.217218\section{TRI, VAN, TRI modifié et cohérence avec la capitalisation directe}\label{sec:30:tri}219220\subsection{Valeur actuelle nette et taux de rendement interne}221222Soit une série de flux $CF_0, CF_1, \dots, CF_T$, où $CF_0 < 0$ est l'investissement initial. La \motcle{valeur actuelle nette} au taux $r$ et le \motcle{taux de rendement interne} sont définis par223\begin{equation}\label{eq:30:van-tri}224\VAN(r) = \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1+r)^t}, \qquad \VAN(\TRI) = 0 .225\end{equation}226La VAN répond à la question « combien l'achat à ce prix crée-t-il ou détruit-il de valeur pour un investisseur dont le rendement exigé est $r$ ? » ; le TRI répond à « quel rendement l'achat à ce prix procure-t-il ? ». Les deux sont liés par une identité fondamentale : si le prix payé est exactement la valeur DCF $V_0$ calculée au taux $r$, alors $\VAN(r) = 0$ et $\TRI = r$. Ce n'est pas un résultat empirique mais une tautologie, et elle fournit le premier test de tout tableur DCF : en remplaçant $CF_0$ par $-V_0$ dans \eqref{eq:30:van-tri}, le TRI de la série $(-V_0, CF_1, \dots, CF_T + V_T^{\text{net}})$ doit redonner $r$ à la précision de la machine. Le script du cas 3 vérifie que le TRI de l'investisseur non endetté payant \dollars{2208566} est bien \pct{7.2500}. Payer moins que $V_0$ procure plus que $r$ : l'investisseur qui obtiendrait l'immeuble du cas 3 à la valeur par capitalisation directe, \dollars{2037503}, réaliserait un TRI de \pct{8.25} si les projections se vérifiaient.227228Le TRI se calcule numériquement, la VAN étant un polynôme en $1/(1+r)$ ; la bibliothèque procède par bissection sur un intervalle où la VAN change de signe, puis raffine par la méthode de Newton. Quand la VAN est strictement décroissante en $r$, ce qui est le cas des \emph{flux conventionnels} (un seul changement de signe, l'investissement initial négatif suivi de flux positifs), le TRI est unique et bien défini.229230\subsection{Flux non conventionnels et TRI multiples}231232Dès que la série comporte plusieurs changements de signe, la règle des signes de Descartes n'exclut plus l'existence de plusieurs TRI réels, ou d'aucun. Les flux immobiliers après dette sont souvent dans ce cas : une année de travaux lourds peut rendre le flux des fonds propres négatif, comme en 2027 et 2032 dans le cas 3, où le flux après dette est de $-\dollars{60451}$ puis $-\dollars{58205}$. La série des fonds propres du cas 3 compte ainsi cinq changements de signe. En pratique, lorsque l'investissement initial domine les flux négatifs intermédiaires, la VAN reste monotone sur la plage de taux pertinente et un seul TRI existe ; le script le vérifie en constatant que la VAN des fonds propres est positive à \pct{8} (\dollars{243468}) et négative à \pct{12} ($-\dollars{48366}$). Mais l'analyste ne doit jamais tenir cette unicité pour acquise ; il trace la VAN en fonction du taux, ou il recourt au TRI modifié.233234Le \motcle{TRI modifié} (MIRR) lève l'ambiguïté en séparant deux hypothèses que le TRI confond : le coût de financement des flux négatifs et le taux de réinvestissement des flux positifs. Les flux négatifs sont actualisés à $t = 0$ au taux de financement $i_f$, les flux positifs sont capitalisés à $t = T$ au taux de réinvestissement $i_r$, et le MIRR est le taux qui égalise les deux montants :235\begin{equation}\label{eq:30:mirr}236\text{MIRR} = \left( \frac{\sum_{t:\,CF_t>0} CF_t\,(1+i_r)^{T-t}}{-\sum_{t:\,CF_t<0} CF_t\,(1+i_f)^{-t}} \right)^{1/T} - 1 .237\end{equation}238Le MIRR est unique par construction et il corrige l'hypothèse héroïque du TRI, selon laquelle les flux intermédiaires sont réinvestis au TRI lui-même. Si $i_f = i_r = r$ et que le prix payé est $V_0$, alors MIRR $= r$ : c'est une seconde identité de contrôle. Pour les fonds propres du cas 3, avec un taux de financement de \pct{4.12} et un taux de réinvestissement de \pct{7.25}, le MIRR est de \pct{10.61}, contre un TRI de \pct{11.22} ; l'écart mesure ce que le TRI doit à l'hypothèse de réinvestissement des flux à \pct{11.22}.239240\subsection{Cohérence entre le DCF et la capitalisation directe}\label{sec:30:coherence}241242La question revient dans toute réconciliation : le DCF et la capitalisation directe sont-ils deux méthodes ou deux présentations d'une même méthode ? La proposition suivante répond : ce sont deux présentations, exactement équivalentes sous les hypothèses de Gordon, et dont l'écart, hors de ces hypothèses, mesure précisément l'information que la capitalisation directe ne peut pas porter.243244\begin{proposition}{Équivalence du DCF et de la capitalisation directe sous croissance constante}{30:gordon}245Soit $\NOI_t = \NOI_1 (1+g)^{t-1}$ pour tout $t \geq 1$, avec $0 \leq g < r$, aucune dépense en capital hors réserve et aucun coût de vente. Si le taux terminal est $R_T = r - g$, alors, pour tout horizon $T \geq 1$,246\[247V_0^{\text{DCF}}(T) = \sum_{t=1}^{T} \frac{\NOI_t}{(1+r)^t} + \frac{\NOI_{T+1}}{(r-g)(1+r)^T} = \frac{\NOI_1}{r-g} = V_0^{\text{cap}},248\]249et la part de la valeur terminale dans la valeur est $\left[(1+g)/(1+r)\right]^T$.250\end{proposition}251252\begin{proof}253Posons $q = (1+g)/(1+r) < 1$. La somme des flux actualisés est $\sum_{t=1}^{T} \NOI_1 (1+g)^{t-1}(1+r)^{-t} = \dfrac{\NOI_1}{1+r}\sum_{k=0}^{T-1} q^k = \dfrac{\NOI_1}{1+r}\cdot\dfrac{1-q^T}{1-q}$. Or $(1+r)(1-q) = (1+r) - (1+g) = r - g$, donc cette somme vaut $\dfrac{\NOI_1}{r-g}(1 - q^T)$. La valeur terminale actualisée est $\dfrac{\NOI_1(1+g)^T}{(r-g)(1+r)^T} = \dfrac{\NOI_1}{r-g}\,q^T$. En additionnant, les termes en $q^T$ s'annulent et il reste $\NOI_1/(r-g)$, indépendant de $T$. La part de la valeur terminale est le rapport du second terme au total, soit $q^T$.254\end{proof}255256La démonstration dit plus que l'énoncé. Elle montre d'abord que, sous croissance constante, l'horizon n'a \emph{aucune} influence sur la valeur : allonger la projection déplace de la valeur depuis la valeur terminale vers les flux, à hauteur de $q^T$, sans changer le total. Le script du cas 3 le vérifie numériquement pour $T = 5$, $10$ et $30$ : avec $\NOI_1 = \dollars{100000}$, $r = \pct{7.25}$ et $g = \pct{3.5}$, le DCF donne \dollars{2666667} dans les trois cas, avec une part terminale de \pct{83.7}, \pct{70.1} et \pct{34.4} respectivement. Elle montre ensuite que l'égalité repose sur l'alignement $R_T = r - g$ : un taux terminal plus élevé que $r - g$ donne un DCF inférieur à la capitalisation directe, quelle que soit la précision de la projection. Elle montre enfin ce qui la brise : des coûts de vente $c_v > 0$ donnent, par le même calcul,257\begin{equation}\label{eq:30:corollaire-cv}258V_0^{\text{DCF}}(T) = \frac{\NOI_1}{r-g}\left[1 - c_v\,q^T\right],259\end{equation}260soit, pour le cas 3, une réduction de $0{,}025 \times 0{,}701 = \pct{1.75}$ ; et une trajectoire de revenu non géométrique, par exemple un rattrapage des loyers, fait diverger les deux méthodes d'une quantité qui mesure la valeur de ce rattrapage.261262C'est exactement ce que l'on observe dans le cas 3. La capitalisation directe au taux médian de \pct{4.42} donne \dollars{2037503} ; le DCF donne \dollars{2208566}, soit \dollars{171063} ou \pct{8.4} de plus. Cet écart n'est pas une erreur de l'une ou l'autre méthode ; il s'explique entièrement. Le revenu net de la première année, \dollars{89956}, est celui d'un immeuble dont les loyers sont \pct{11.0} sous le marché ; la projection le fait croître de \pct{5.9} par an en moyenne sur dix ans, dont \pct{4.6} pour le revenu brut potentiel, bien au-delà des \pct{2.83} que le taux médian de \pct{4.42} implique pour un immeuble typique du marché. Le DCF valorise ce rattrapage ; la capitalisation directe, qui n'en sait rien, ne le peut pas. En sens inverse, le taux de capitalisation implicite du DCF, $\NOI_1 / V_0 = \pct{4.07}$, est inférieur au taux médian : c'est le taux qu'un acheteur informé du potentiel de rattrapage accepterait sur le revenu courant. La réconciliation (\cref{ch:33,ch:47}) consiste alors à juger si les comparables dont le taux médian a été extrait présentaient eux aussi des loyers sous le marché, auquel cas le taux de \pct{4.42} incorpore déjà une part de rattrapage et le DCF en compte une partie deux fois, ou s'ils étaient stabilisés, auquel cas l'écart est légitime. Le taux de \pct{4.07} peut aussi être comparé au bas de la fourchette CBRE, \pct{4.25} : le DCF place le sujet légèrement sous le marché publié, ce qui est plausible pour un immeuble au revenu courant déprimé par ses baux.263264\section{Exemple intégral : le DCF du cas 3}\label{sec:30:exemple}265266\begin{exemple}{Flux actualisés sur dix ans de l'immeuble de douze logements de Rosemont}{30:cas3}267Tous les chiffres de cette section sont calculés par \texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, qui n'appelle que \texttt{traite.cas3} (fonctions \texttt{rne}, \texttt{taux\_extraits}, \texttt{projection\_dcf}, \texttt{valeur\_dcf}, \texttt{financement}) et \texttt{traite.finance}. Le chapitre~\ref{ch:29} a établi le revenu net normalisé de la première année et le taux global médian ; le chapitre~\ref{ch:31} reprendra le financement ; le chapitre~\ref{ch:47} réconciliera l'ensemble.268\end{exemple}269270\subsection{Point de départ : la première année}271272Le revenu brut potentiel contractuel des douze baux est de \dollars{165540} ; au loyer de marché, il serait de \dollars{186036}, soit un écart de \dollars{20496} (\pct{11.0}). La provision pour inoccupation et pertes de \pct{3.9} retranche \dollars{6456} ; les autres revenus (stationnement, buanderie) ajoutent \dollars{9360} ; le revenu brut effectif est de \dollars{168444}. Les dépenses d'exploitation normalisées hors réserve s'élèvent à \dollars{70385} et la réserve de remplacement à \dollars{8103} (douze fois \dollars{650}, arrondie dans le dossier), pour un ratio de dépenses de \pct{46.6} du revenu brut effectif ; le revenu net d'exploitation de la première année est de \dollars{89956}, soit \dollars{7496} par logement. Le taux global extrait des quarante ventes comparables a une médiane de \pct{4.415}, une moyenne de \pct{4.404}, une moyenne pondérée par le revenu net de \pct{4.332} et un intervalle interquartile de \pct{4.152} à \pct{4.638} ; la capitalisation directe au taux médian donne \dollars{2037503}.273274\subsection{Projection des revenus et des dépenses}275276Le \cref{tab:30:projection} déroule la projection pendant onze ans, la onzième année ne servant qu'à la valeur terminale. Le revenu brut potentiel passe de \dollars{165540} à \dollars{259911}, soit \pct{4.6} par an, par l'effet conjugué de l'indexation à \pct{3.1} et de la relocation de deux logements par an environ ($0{,}15 \times 12 = 1{,}8$, arrondi à 2) au loyer de marché ; l'écart au marché se réduit de \pct{11.0} à \pct{1.0}. Les dépenses hors réserve croissent de \pct{3} par an ; la réserve est constante. Le revenu net passe de \dollars{89956} à \dollars{159658}, soit \pct{5.9} par an : la croissance du revenu net excède celle du revenu brut parce que les dépenses, qui en absorbent près de la moitié la première année, croissent moins vite que les loyers. Cet effet de levier opérationnel est la raison pour laquelle les immeubles à loyers déprimés présentent des taux de capitalisation courants bas et des croissances de revenu net élevées.277278\begin{table}[htbp]279\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}280\caption{Projection des revenus et des dépenses du cas 3, années 1 à 11 (dollars courants). L'année 11 ne sert qu'au calcul de la valeur terminale.}281\label{tab:30:projection}282\begin{tabular}{@{}cc S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=4.0] S[table-format=6.0]@{}}283\toprule284Année & Exercice & {\makecell{RBP\\contractuel (\$)}} & {\makecell{RBP au\\marché (\$)}} & {RBE (\$)} & {\makecell{Dépenses hors\\réserve (\$)}} & {Réserve (\$)} & {RNE (\$)} \\285\midrule2861 & 2026 & 165540 & 186036 & 168444 & 70385 & 8103 & 89956 \\2872 & 2027 & 177389 & 192547 & 180112 & 72497 & 8103 & 99512 \\2883 & 2028 & 188095 & 199286 & 190689 & 74672 & 8103 & 107915 \\2894 & 2029 & 199953 & 206261 & 202383 & 76912 & 8103 & 117368 \\2905 & 2030 & 209340 & 213481 & 211710 & 79219 & 8103 & 124388 \\2916 & 2031 & 218250 & 220952 & 220589 & 81596 & 8103 & 130890 \\2927 & 2032 & 226565 & 228686 & 228905 & 84044 & 8103 & 136759 \\2938 & 2033 & 234307 & 236690 & 236681 & 86565 & 8103 & 142013 \\2949 & 2034 & 242513 & 244974 & 244912 & 89162 & 8103 & 147647 \\29510 & 2035 & 251101 & 253548 & 253521 & 91837 & 8103 & 153581 \\296\midrule29711 & 2036 & 259911 & 262422 & 262353 & 94592 & 8103 & 159658 \\298\bottomrule299\end{tabular}300\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py} (fonction \texttt{traite.cas3.projection\_dcf}), graine 20261031. RBE = RBP $\times$ (1 $-$ 0,039) + autres revenus (\dollars{9360} indexés à \pct{3}).}}301\end{table}302303\subsection{Flux, actualisation et valeur}304305Le \cref{tab:30:dcf} soustrait les dépenses en capital, applique le facteur d'actualisation $(1{,}0725)^{-t}$ et cumule les valeurs présentes. Les trois années de travaux ramènent le flux avant dette à \dollars{14512} en 2027 et \dollars{16759} en 2032 ; la \cref{fig:30:flux} en donne l'image. La somme des valeurs présentes des dix flux est de \dollars{662410}.306307\begin{table}[htbp]308\centering\footnotesize309\caption{Flux avant dette, facteur d'actualisation à \pct{7.25} et valeurs présentes du cas 3, années 1 à 10.}310\label{tab:30:dcf}311\begin{tabular}{@{}c S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=1.6] S[table-format=5.0] S[table-format=6.0]@{}}312\toprule313Année $t$ & {RNE (\$)} & {CAPEX (\$)} & {Flux $CF_t$ (\$)} & {$(1+r)^{-t}$} & {VA (\$)} & {VA cumulée (\$)} \\314\midrule3151 & 89956 & 0 & 89956 & 0.932401 & 83875 & 83875 \\3162 & 99512 & 85000 & 14512 & 0.869371 & 12616 & 96491 \\3173 & 107915 & 0 & 107915 & 0.810603 & 87476 & 183967 \\3184 & 117368 & 40000 & 77368 & 0.755807 & 58475 & 242442 \\3195 & 124388 & 0 & 124388 & 0.704715 & 87658 & 330100 \\3206 & 130890 & 0 & 130890 & 0.657077 & 86005 & 416105 \\3217 & 136759 & 120000 & 16759 & 0.612659 & 10267 & 426373 \\3228 & 142013 & 0 & 142013 & 0.571244 & 81124 & 507497 \\3239 & 147647 & 0 & 147647 & 0.532628 & 78641 & 586138 \\32410 & 153581 & 0 & 153581 & 0.496623 & 76272 & 662410 \\325\bottomrule326\end{tabular}327\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonctions \texttt{traite.finance.facteur\_va} et \texttt{traite.cas3.valeur\_dcf}. Les valeurs présentes sont calculées sans arrondi intermédiaire ; la somme des VA arrondies peut différer d'un dollar du total.}}328\end{table}329330\begin{figure}[htbp]331\centering332\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-flux.pdf}333\caption{Haut : revenu net d'exploitation, dépenses en capital et flux net avant dette du cas 3 sur dix ans ; les travaux de 2027, 2029 et 2032 creusent le flux sans affecter le revenu net. Bas : valeur présente cumulée des flux (\dollars{662410}, soit \pct{30} de la valeur) et apport de la valeur terminale actualisée (\dollars{1546156}, soit \pct{70}) pour atteindre $V_0 = \dollars{2208566}$.}334\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_flux.py}, graine 20261031}}335\label{fig:30:flux}336\end{figure}337338La valeur terminale capitalise le revenu net de l'année 11, \dollars{159658}, au taux terminal de \pct{5.00} : $V_{10} = 159\,658 / 0{,}05 = \dollars{3193168}$. Les coûts de vente de \pct{2.5}, soit \dollars{79829}, la ramènent à \dollars{3113338} ; actualisée sur dix ans par le facteur $0{,}496623$, elle vaut \dollars{1546156}. La valeur de l'immeuble est donc339\[340V_0 = 662\,410 + 1\,546\,156 = \dollars{2208566},341\]342soit \dollars{184047} par logement et un taux de capitalisation implicite sur le revenu courant de \pct{4.07}. La valeur terminale représente \pct{70.0} du total. Le \cref{tab:30:synthese} résume la décomposition. Conformément aux conventions de l'ouvrage, la conclusion de valeur arrondie que porterait un rapport serait de l'ordre de \dollars{2210000}, le détail au dollar près n'ayant de sens que pour la traçabilité du calcul.343344\begin{table}[htbp]345\centering\small346\caption{Décomposition de la valeur DCF du cas 3.}347\label{tab:30:synthese}348\begin{tabular}{@{}l S[table-format=7.0] S[table-format=3.1]@{}}349\toprule350Composante & {Montant (\$)} & {Part (\%)} \\351\midrule352Valeur présente des flux avant dette, années 1 à 10 & 662410 & 30.0 \\353Revenu net de l'année 11 & 159658 & \\354Valeur terminale brute ($\NOI_{11}/0{,}05$) & 3193168 & \\355Coûts de vente (\pct{2.5}) & -79829 & \\356Valeur terminale nette & 3113338 & \\357Valeur présente de la valeur terminale nette ($\times\,0{,}496623$) & 1546156 & 70.0 \\358\midrule359Valeur DCF $V_0$ & 2208566 & 100.0 \\360Valeur par capitalisation directe (\pct{4.415}) & 2037503 & \\361Écart DCF $-$ capitalisation directe & 171063 & 8.4 \\362\bottomrule363\end{tabular}364\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}}}365\end{table}366367\subsection{Flux après dette et TRI des fonds propres}368369Le financement est celui que détermine \texttt{traite.cas3.financement} à partir de la valeur DCF et du revenu net de la première année : un prêt au plus égal à \pct{75} de la valeur, soit \dollars{1656424}, et au plus tel que le ratio de couverture de la dette atteigne $1{,}20$ sur le revenu net de la première année. Au taux nominal de \pct{4.12} composé semestriellement et sur un amortissement de 480 mois, la constante hypothécaire est de \pct{5.079} et le prêt maximal par le ratio de couverture est de \dollars{1475959} ; c'est cette seconde contrainte qui lie, et le prêt retenu représente \pct{66.83} de la valeur. Le paiement mensuel est de \dollars{6247}, le service de la dette annuel de \dollars{74963}, la mise de fonds de \dollars{732606}. Après 120 paiements, le solde du prêt est de \dollars{1295148} ; le produit net de revente qui revient aux fonds propres l'année 10 est donc $3\,113\,338 - 1\,295\,148 = \dollars{1818190}$.370371\begin{table}[htbp]372\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}373\caption{Flux après service de la dette et flux des fonds propres du cas 3 (prêt de \dollars{1475959} à \pct{4.12}, 480 mois ; mise de fonds \dollars{732606}).}374\label{tab:30:levier}375\begin{tabular}{@{}c S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=1.2] S[table-format=-7.0]@{}}376\toprule377Année & {RNE (\$)} & {\makecell{Flux avant\\dette (\$)}} & {\makecell{Service de\\la dette (\$)}} & {\makecell{Flux après\\dette (\$)}} & {RCD} & {\makecell{Flux des fonds\\propres (\$)}} \\378\midrule3790 & & & & & & -732606 \\3801 & 89956 & 89956 & 74963 & 14993 & 1.20 & 14993 \\3812 & 99512 & 14512 & 74963 & -60451 & 1.33 & -60451 \\3823 & 107915 & 107915 & 74963 & 32951 & 1.44 & 32951 \\3834 & 117368 & 77368 & 74963 & 2405 & 1.57 & 2405 \\3845 & 124388 & 124388 & 74963 & 49425 & 1.66 & 49425 \\3856 & 130890 & 130890 & 74963 & 55927 & 1.75 & 55927 \\3867 & 136759 & 16759 & 74963 & -58205 & 1.82 & -58205 \\3878 & 142013 & 142013 & 74963 & 67050 & 1.89 & 67050 \\3889 & 147647 & 147647 & 74963 & 72684 & 1.97 & 72684 \\38910 & 153581 & 153581 & 74963 & 78618 & 2.05 & 1896808 \\390\bottomrule391\end{tabular}392\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonctions \texttt{traite.cas3.financement}, \texttt{traite.finance.flux\_apres\_financement} et \texttt{rendement\_fonds\_propres\_levier}. Le flux des fonds propres de l'année 10 comprend le produit net de revente (\dollars{3113338} $-$ solde \dollars{1295148}). Le RCD est le rapport du RNE au service de la dette.}}393\end{table}394395Le \cref{tab:30:levier} montre que le ratio de couverture, de $1{,}20$ la première année, monte à $2{,}05$ la dixième, mais que le flux après dette est négatif les deux années de travaux lourds : le propriétaire doit alors apporter \dollars{60451} puis \dollars{58205}, ou disposer d'une facilité de crédit. Le rendement courant des fonds propres la première année est de \pct{2.05} seulement (\dollars{14993} sur \dollars{732606}) : c'est la manifestation du levier négatif sur le revenu courant lorsque le taux de capitalisation, \pct{4.42}, est inférieur à la constante hypothécaire, \pct{5.08}. Sur l'horizon, en revanche, le TRI des fonds propres est de \pct{11.22}, contre \pct{7.25} pour l'investisseur non endetté : le levier est positif sur le rendement total, parce que le coût effectif de la dette, \pct{4.16}, est très inférieur au rendement total de l'immeuble. La série des fonds propres comporte cinq changements de signe ; son TRI est néanmoins unique sur la plage de taux pertinente, et le TRI modifié, avec financement à \pct{4.12} et réinvestissement à \pct{7.25}, est de \pct{10.61}.396397\section{Analyse de sensibilité et scénarios}\label{sec:30:sensibilite}398399\subsection{Sensibilité au taux d'actualisation et au taux terminal}400401Les deux taux sont les intrants les plus discutés d'un DCF et les plus incertains. La \cref{fig:30:surface} représente la valeur du cas 3 pour neuf valeurs de $r$ et sept valeurs de $R_T$ ; le \cref{tab:30:sens-rt} isole l'effet du taux terminal. On y lit trois choses. La valeur décroît dans les deux directions, de façon presque linéaire sur la plage considérée : \qty{25}{\pb} de taux d'actualisation valent environ \pct{2} de valeur, \qty{25}{\pb} de taux terminal environ \pct{3.5}. Le taux terminal pèse davantage que le taux d'actualisation pour un même écart en points de base, parce qu'il agit sur \pct{70} de la valeur par un rapport $1/R_T$ dont la dérivée, $-V_T/R_T$, est grande quand $R_T$ est petit. Enfin, les deux taux se compensent partiellement lorsqu'ils bougent ensemble, ce qui est le cas le plus réaliste : une hausse générale des taux d'intérêt relève à la fois le rendement exigé et le taux terminal ; la cellule ($r = \pct{8.00}$, $R_T = \pct{5.50}$) donne \dollars{1948000}, soit \pct{11.8} de moins que la base, et c'est le scénario de hausse des taux examiné plus bas.402403\begin{figure}[htbp]404\centering405\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-surface.pdf}406\caption{Valeur DCF du cas 3 (milliers de dollars) selon le taux d'actualisation $r$ (lignes) et le taux de capitalisation terminal $R_T$ (colonnes), toutes autres hypothèses à leur valeur de base ; la cellule encadrée est la base (\dollars{2208566}). La valeur est plus sensible à \qty{25}{\pb} de $R_T$ qu'à \qty{25}{\pb} de $r$.}407\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_surface.py}, graine 20261031}}408\label{fig:30:surface}409\end{figure}410411\begin{table}[htbp]412\centering\small413\caption{Sensibilité de la valeur du cas 3 au taux de capitalisation terminal, $r = \pct{7.25}$ et coûts de vente de \pct{2.5} inchangés.}414\label{tab:30:sens-rt}415\begin{tabular}{@{}S[table-format=1.2] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=2.1] S[table-format=-2.1]@{}}416\toprule417{$R_T$ (\%)} & {VT brute (\$)} & {VT nette (\$)} & {VA de la VT (\$)} & {Valeur $V_0$ (\$)} & {Part VT (\%)} & {Écart à la base (\%)} \\418\midrule4194.25 & 3756668 & 3662751 & 1819007 & 2481417 & 73.3 & 12.4 \\4204.50 & 3547964 & 3459265 & 1717951 & 2380361 & 72.2 & 7.8 \\4214.75 & 3361229 & 3277198 & 1627533 & 2289943 & 71.1 & 3.7 \\4225.00 & 3193168 & 3113338 & 1546156 & 2208566 & 70.0 & 0.0 \\4235.25 & 3041112 & 2965084 & 1472530 & 2134939 & 69.0 & -3.3 \\4245.50 & 2902880 & 2830308 & 1405596 & 2068006 & 68.0 & -6.4 \\4255.75 & 2776667 & 2707251 & 1344483 & 2006893 & 67.0 & -9.1 \\426\bottomrule427\end{tabular}428\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonction \texttt{sensibilite\_taux\_terminal}}}429\end{table}430431\subsection{Le diagramme en tornade}432433Le diagramme en tornade (\cref{fig:30:tornade} et \cref{tab:30:tornade}) fait varier chaque intrant entre une borne basse et une borne haute, les autres étant maintenus à leur valeur de base, et classe les intrants par l'amplitude de leur effet. Les bornes doivent être comparables en vraisemblance, faute de quoi le classement ne reflète que l'arbitraire des plages choisies ; celles du cas 3 représentent, pour chaque intrant, un écart que l'analyste juge plausible à dix ans. Le résultat renverse une idée reçue : les intrants dominants ne sont pas les taux, mais les croissances. Une croissance des loyers de marché de \pct{2.5} au lieu de \pct{3.5} retranche \dollars{153390} ; une croissance de \pct{4.5} ajoute \dollars{214845}, soit une amplitude de \dollars{368235}, le double de celle du taux d'actualisation (\dollars{179218} pour $\pm\qty{50}{\pb}$). La croissance des dépenses vient en deuxième (\dollars{214045} pour un écart de deux points), devant l'indexation des baux reconduits (\dollars{207429}). Ce classement tient au mécanisme de levier opérationnel : avec un ratio de dépenses de \pct{46.6}, un point de croissance de plus sur les loyers ou de moins sur les dépenses se transmet presque doublé au revenu net de l'année 11, et donc à la valeur terminale. L'asymétrie de certaines barres est instructive : la rotation produit un effet asymétrique (\dollars{-67649} à \pct{5}, \dollars{+23089} à \pct{25}) parce que l'écart au marché, déjà presque résorbé à \pct{15}, ne peut guère se résorber davantage ; les CAPEX, l'inoccupation et les coûts de vente produisent des effets symétriques parce qu'ils entrent linéairement.434435\begin{figure}[htbp]436\centering437\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-tornade.pdf}438\caption{Diagramme en tornade de la valeur DCF du cas 3 : variation de la valeur (milliers de dollars) lorsque chaque intrant est porté à sa borne basse (bleu) ou haute (orange), les autres étant à leur valeur de base. Les hypothèses de croissance dominent les taux ; l'effet de la rotation est asymétrique.}439\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_tornade.py}, graine 20261031}}440\label{fig:30:tornade}441\end{figure}442443\begin{table}[htbp]444\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}445\caption{Tornade du cas 3 : valeur aux bornes basse et haute de chaque intrant et amplitude (dollars), base \dollars{2208566}.}446\label{tab:30:tornade}447\begin{tabular}{@{}l S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=6.0]@{}}448\toprule449Intrant (borne basse / haute) & {$V$ basse (\$)} & {$V$ haute (\$)} & {$\Delta$ basse (\$)} & {$\Delta$ haute (\$)} & {Ampl. (\$)} \\450\midrule451Croiss. loyers de marché (2,5 / \pct{4.5}) & 2055176 & 2423411 & -153390 & 214845 & 368235 \\452Croiss. des dépenses (2,0 / \pct{4.0}) & 2310942 & 2096898 & 102376 & -111668 & 214045 \\453Indexation des baux (2,0 / \pct{4.0}) & 2118624 & 2326053 & -89942 & 117487 & 207429 \\454Taux $r$ ($\pm\qty{50}{\pb}$) & 2300356 & 2121138 & 91790 & -87428 & 179218 \\455Taux terminal $R_T$ ($\pm\qty{25}{\pb}$) & 2289943 & 2134939 & 81377 & -73626 & 155003 \\456Rotation annuelle (5 / \pct{25}) & 2140916 & 2231655 & -67649 & 23089 & 90738 \\457CAPEX ($-25$ / $+\pct{25}$) & 2252978 & 2164154 & 44412 & -44412 & 88824 \\458Inoccupation et pertes (2,9 / \pct{4.9}) & 2246652 & 2170480 & 38086 & -38086 & 76173 \\459Coûts de vente (1,5 / \pct{3.5}) & 2224424 & 2192708 & 15858 & -15858 & 31716 \\460\bottomrule461\end{tabular}462\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonction \texttt{tornade}}}463\end{table}464465\subsection{Trois scénarios narratifs}466467La sensibilité fait varier un intrant à la fois ; les scénarios font varier ensemble les intrants qu'une même cause affecterait. Le \cref{tab:30:scenarios} en présente trois et les lit de deux façons : la valeur que l'évaluateur conclurait si le scénario était son cas de base, et le sort de l'investisseur qui a payé la valeur de base, \dollars{2208566}, avec le prêt de base, si le scénario se matérialise ensuite.468469Le scénario \emph{de base} est celui des sections précédentes. Le scénario \emph{d'encadrement serré des loyers} suppose que le pourcentage de base de la fixation retombe à \pct{2.0}, que la rotation ralentit à \pct{8} par an, par exemple parce que les locataires en place, conscients de l'avantage de leur bail, ne bougent plus, et que les loyers de marché eux-mêmes ne croissent que de \pct{3.0}, le marché s'étant détendu ; c'est le scénario qu'examine en détail le \cref{ch:34}. Le revenu net de l'année 11 tombe à \dollars{137845}, la valeur à \dollars{1912046}, soit \pct{13.4} de moins ; l'investisseur qui a payé la base n'obtient plus que \pct{5.49} sans levier et \pct{7.48} sur ses fonds propres, le levier restant positif mais réduit, et le flux de ses fonds propres descend à $-\dollars{75657}$ l'année des travaux de 2027. Le scénario \emph{de hausse des taux} suppose que le rendement exigé monte à \pct{8.00}, le taux terminal à \pct{5.50} et que le prêt est renouvelé à \pct{5.12} dès l'origine, approximation d'un renouvellement à l'échéance du terme de cinq ans que le \cref{ch:31} traite exactement ; la valeur tombe à \dollars{1947889}, soit \pct{11.8} de moins, le service de la dette monte à \dollars{86183}, le ratio de couverture minimal descend à $1{,}04$, sous le seuil de $1{,}20$ exigé à l'origine, et l'investisseur qui a payé la base n'obtient que \pct{6.44} sans levier et \pct{8.31} sur ses fonds propres. Dans les deux scénarios adverses, le levier reste positif, mais la marge de sécurité disparaît : un ratio de couverture de $1{,}04$ signifie qu'une inoccupation de deux logements de plus suffirait à rendre le flux après dette négatif de façon durable. Le \cref{ch:40} généralise cette approche en tirant les intrants de lois de probabilité plutôt que de les fixer par scénarios, dans la tradition ouverte par \textcite{pyhrr1973} et \textcite{wofford1978} et développée par \textcite{frenchGabrielli2005} et \textcite{hoesliJaniBender2006}.470471\begin{table}[htbp]472\centering\small473\caption{Trois scénarios pour le cas 3 : hypothèses, valeur conclue sous le scénario, et rendements de l'investisseur qui a payé la valeur de base (\dollars{2208566}) avec le prêt de base (\dollars{1475959}).}474\label{tab:30:scenarios}475\begin{tabular}{@{}l S[table-format=7.2] S[table-format=7.2] S[table-format=7.2]@{}}476\toprule477 & {Base} & {Encadrement serré} & {Hausse des taux} \\478\midrule479Taux d'actualisation $r$ (\%) & 7.25 & 7.25 & 8.00 \\480Taux terminal $R_T$ (\%) & 5.00 & 5.00 & 5.50 \\481Indexation des baux reconduits (\%) & 3.1 & 2.0 & 3.1 \\482Croissance des loyers de marché (\%) & 3.5 & 3.0 & 3.5 \\483Rotation annuelle (\%) & 15 & 8 & 15 \\484Taux hypothécaire (\%) & 4.12 & 4.12 & 5.12 \\485\midrule486$\NOI_{11}$ (\$) & 159658 & 137845 & 159658 \\487Valeur terminale nette (\$) & 3113338 & 2687973 & 2830308 \\488Valeur $V_0$ (\$) & 2208566 & 1912046 & 1947889 \\489Écart à la base (\%) & 0.0 & -13.4 & -11.8 \\490Part de la valeur terminale (\%) & 70.0 & 69.8 & 67.3 \\491\midrule492Service de la dette (\$) & 74963 & 74963 & 86183 \\493RCD minimal sur l'horizon & 1.20 & 1.20 & 1.04 \\494TRI sans levier si payé \dollars{2208566} (\%) & 7.25 & 5.49 & 6.44 \\495TRI des fonds propres si payé \dollars{2208566} (\%) & 11.22 & 7.48 & 8.31 \\496Flux des fonds propres le plus bas (\$) & -60451 & -75657 & -71671 \\497\bottomrule498\end{tabular}499\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonction \texttt{scenarios}. Dans le scénario de hausse des taux, le prêt de base est supposé porté à \pct{5.12} dès l'origine.}}500\end{table}501502\subsection{Ce que l'analyse de sensibilité doit dire au lecteur du rapport}503504Un rapport d'évaluation par DCF ne devrait jamais présenter une valeur seule. Il devrait présenter la valeur de base, les deux ou trois intrants qui la gouvernent avec la plage sur laquelle ils ont été examinés, la fourchette de valeurs qui en résulte et la raison pour laquelle l'évaluateur retient la base plutôt qu'un autre point de la fourchette. Dans le cas 3, cette présentation tiendrait en quelques phrases : la valeur de \dollars{2210000} repose d'abord sur la croissance attendue des loyers de marché et sur le taux terminal ; une croissance inférieure d'un point ou un taux terminal supérieur de \qty{50}{\pb} ramèneraient la valeur vers \dollars{2060000}, une croissance supérieure d'un point la porterait vers \dollars{2420000} ; la valeur par capitalisation directe, \dollars{2040000}, se situe dans la partie basse de cette fourchette, ce qui s'explique par le potentiel de rattrapage des loyers que la capitalisation directe ignore. \textcite{frenchGabrielli2004} ont montré que les destinataires des rapports comprennent mieux une opinion assortie de sa fourchette qu'un nombre isolé, et les normes vont dans ce sens en exigeant la divulgation des hypothèses.505506\begin{erreurs}507\begin{itemize}508\item \textbf{Compter deux fois les réserves et les CAPEX.} Inclure dans le revenu net une réserve de remplacement calibrée pour la toiture et les fenêtres, puis inscrire ces mêmes travaux en CAPEX dans les flux, soustrait deux fois la même dépense. La convention de l'ouvrage réserve la réserve aux composantes à vie courte et les CAPEX aux travaux lourds datés ; un taux terminal extrait de ventes dont le revenu net excluait toute réserve ne doit pas être appliqué à un $\NOI_{T+1}$ après réserve.509\item \textbf{Capitaliser $\NOI_T$ au lieu de $\NOI_{T+1}$, ou actualiser la valeur terminale sur $T+1$ années.} La première erreur sous-évalue la valeur terminale d'un facteur $(1+g)$ ; la seconde, d'un facteur $(1+r)$ : dans le cas 3, actualiser la valeur terminale nette sur onze ans au lieu de dix la réduirait de \dollars{1546156} à \dollars{1441637}, soit \dollars{104519} de moins sur la valeur (\pct{4.7}). Les deux erreurs se cumulent souvent dans un tableur dont la colonne « année 11 » a été ajoutée après coup.510\item \textbf{Mélanger flux nominaux et taux réels.} Projeter des loyers et des dépenses en dollars courants, puis actualiser à un taux « réel » ou appliquer un taux terminal implicitement réel, surévalue la valeur ; projeter des flux constants en dollars d'aujourd'hui et les actualiser à un taux nominal la sous-évalue. La relation de Fisher \eqref{eq:30:fisher} impose la cohérence.511\item \textbf{Prendre le TRI pour un rendement réalisé.} Le TRI suppose le réinvestissement des flux intermédiaires au TRI lui-même et il peut ne pas être unique quand les flux changent plusieurs fois de signe ; le MIRR et la VAN à un taux explicite sont plus robustes.512\item \textbf{Oublier que la valeur terminale porte \pct{70} de la valeur.} Une projection minutieuse des dix premières années ne compense pas un taux terminal choisi sans justification ; le taux terminal doit être exprimé aussi en croissance implicite $g_T = r - R_T$ et discuté.513\item \textbf{Supposer la relocation au marché sans réserve.} Au Québec, le nouveau locataire informé du loyer précédent peut en demander la fixation ; l'hypothèse doit être tempérée ou déclarée comme hypothèse extraordinaire.514\item \textbf{Appliquer un taux hypothécaire américain.} Un taux canadien est composé semestriellement ; utiliser $i/12$ surestime le service de la dette et sous-estime le ratio de couverture.515\end{itemize}516\end{erreurs}517518\begin{limites}519Le DCF n'est pas plus « exact » que la capitalisation directe ; il est plus explicite. Ses résultats dépendent d'hypothèses sur dix ans dont aucune n'est observable, et la précision apparente du tableau au dollar près ne doit pas être confondue avec la précision de la conclusion, qui est de l'ordre de la fourchette révélée par l'analyse de sensibilité. Les taux d'actualisation du marché multirésidentiel québécois ne font l'objet d'aucune enquête publique vérifiée à la date de rédaction ; le taux de \pct{7.25} du cas 3 est une hypothèse raisonnée, non une observation. Les hypothèses de rotation (\pct{15}), de relocation intégrale au loyer de marché et d'ordre de relocation sont des hypothèses pédagogiques du dossier synthétique ; les décisions de fixation du TAL, l'évolution de la méthode réglementaire après 2026 et le comportement des locataires peuvent s'en écarter. Les CAPEX du cas 3 sont fictifs et la récupération partielle des dépenses d'immobilisation par la fixation des loyers n'est pas modélisée. Le traitement fiscal est hors du champ. Enfin, la réconciliation entre le DCF et la capitalisation directe suppose de connaître l'état locatif des comparables, information rarement disponible, de sorte que l'écart de \pct{8.4} observé dans le cas 3 ne peut être attribué avec certitude au seul rattrapage des loyers.520\end{limites}521522\begin{synthese}523\begin{itemize}524\item Sous croissance constante, $V_0 = \NOI_1/(r-g)$ et $R = r - g$ : le taux de capitalisation est le rendement exigé moins la croissance attendue de la \emph{valeur}, qui est inférieure à celle des loyers d'un immeuble qui vieillit.525\item Le taux d'actualisation s'ancre sur un taux sans risque daté (GdC 10 ans : \pct{3.84} le 29 octobre 2026) et se justifie par trois lectures croisées : TRI implicites de ventes, taux de capitalisation publiés plus croissance, construction par primes.526\item La projection distingue loyers contractuels (indexation TAL, \pct{3.1} en 2026) et loyers de marché, reliés par la rotation ; les CAPEX datés sont soustraits des flux, la réserve reste dans le revenu net, sans double compte.527\item $V_T = \NOI_{T+1}/R_T$, nette des coûts de vente, actualisée sur $T$ années ; $R_T \geq R_0$ par vieillissement, incertitude et réversion ; la valeur terminale porte \pct{70} de la valeur du cas 3.528\item Le DCF de la valeur marchande actualise les flux avant dette et avant impôt ; le TRI des fonds propres avec levier se calcule sur les flux après dette et après CAPEX, avec un solde hypothécaire à composition semestrielle.529\item $\VAN(r) = 0$ et $\TRI = r$ quand le prix est $V_0$ ; les flux non conventionnels appellent la VAN ou le MIRR.530\item Le DCF et la capitalisation directe coïncident si et seulement si la croissance est constante et $R_T = r - g$ ; leur écart mesure la valeur du changement de régime du revenu. Cas 3 : \dollars{2208566} contre \dollars{2037503}, soit $+\pct{8.4}$, attribuable au rattrapage des loyers.531\item La sensibilité classe les intrants : croissance des loyers de marché, croissance des dépenses et indexation des baux dominent les taux ; un rapport présente la fourchette, non un nombre.532\end{itemize}533\end{synthese}534535\section*{Exercices}536537\begin{exercice}[1]{Taux de capitalisation, taux d'actualisation et croissance}{ex:30:1}538Un investisseur exige un rendement total de \pct{7.25} sur un immeuble locatif dont il anticipe que le revenu net et la valeur croîtront de \pct{3.5} par an à perpétuité. (a) Quel taux de capitalisation est-il prêt à accepter ? Quelle valeur attribue-t-il à un revenu net de première année de \dollars{100000} ? (b) Le marché affiche un taux de capitalisation médian de \pct{4.415} ; quelle croissance de la valeur ce taux implique-t-il pour un rendement exigé de \pct{7.25} ? Quel rendement exigé implique-t-il pour une croissance de \pct{3.5} ? (c) Expliquer pourquoi la croissance implicite en (b) est inférieure à la croissance attendue des loyers de marché.539\end{exercice}540541\begin{exercice}[1]{Valeur terminale et date d'actualisation}{ex:30:2}542Le revenu net projeté de l'année 11 d'un immeuble est de \dollars{159658.38}. (a) Calculer la valeur terminale brute à la fin de l'année 10 au taux terminal de \pct{5.0}, puis la valeur terminale nette de coûts de vente de \pct{2.5}. (b) Actualiser la valeur terminale nette à \pct{7.25} sur dix ans. (c) Un collègue l'a actualisée sur onze ans ; calculer son résultat et l'écart. (d) Recalculer la valeur terminale nette avec un taux terminal de \pct{5.5} et commenter.543\end{exercice}544545\begin{exercice}[2]{Un DCF à cinq ans}{ex:30:3}546Un petit immeuble doit produire les flux avant dette suivants : \dollars{62000}, \dollars{64000}, \dollars{20000} (année de travaux), \dollars{68000} et \dollars{70000} pour les années 1 à 5 ; le revenu net stabilisé de l'année 6 est estimé à \dollars{72000}. Le taux d'actualisation est de \pct{7.0}, le taux terminal de \pct{5.0}, les coûts de vente de \pct{3.0}. (a) Calculer la valeur présente des flux, la valeur terminale brute et nette, sa valeur présente et la valeur de l'immeuble. (b) Quelle part de la valeur provient de la valeur terminale ? (c) Le vendeur demande \dollars{1300000} ; calculer la VAN à \pct{7.0} et le TRI d'un achat à ce prix.547\end{exercice}548549\begin{exercice}[2]{Composition semestrielle}{ex:30:4}550Un prêt de \dollars{1000000} est consenti au taux de \pct{4.12}, amorti sur 300 mois. (a) Calculer le taux mensuel selon la convention canadienne (composition semestrielle) et selon la convention américaine (composition mensuelle), puis le taux effectif annuel dans chaque cas. (b) Calculer le paiement mensuel dans chaque convention et l'écart annuel de service de la dette. (c) Dans quel sens une erreur de convention biaise-t-elle le ratio de couverture de la dette ?551\end{exercice}552553\begin{exercice}[2]{Vérifier la proposition d'équivalence}{ex:30:5}554Un immeuble a un revenu net de première année de \dollars{90000} qui croît de \pct{3.5} par an ; le rendement exigé est de \pct{7.25}. (a) Calculer la valeur par capitalisation directe au taux de Gordon. (b) Calculer la valeur par DCF avec un taux terminal $R_T = r - g$ pour des horizons de 5, 10 et 20 ans, sans coûts de vente, et la part de la valeur terminale dans chaque cas. (c) Reprendre l'horizon de 10 ans avec des coûts de vente de \pct{2.5} et vérifier la formule \eqref{eq:30:corollaire-cv}.555\end{exercice}556557\begin{exercice}[3]{Variante du cas 3}{ex:30:6}558À l'aide des fonctions \texttt{traite.cas3.projection\_dcf} et \texttt{traite.cas3.valeur\_dcf} (ou en reproduisant le \cref{tab:30:dcf}), recalculer la valeur du cas 3 avec un taux d'actualisation de \pct{7.75} et un taux terminal de \pct{5.5}, toutes autres hypothèses inchangées. Donner la valeur présente des flux, la valeur terminale nette, sa valeur présente, la valeur, la part de la valeur terminale, l'écart à la base et le taux de capitalisation implicite sur le revenu de la première année. Commenter la cohérence de ce taux implicite avec la fourchette CBRE de \pct{4.25} à \pct{4.75}.559\end{exercice}560561\begin{exercice}[3]{TRI des fonds propres, flux non conventionnels et MIRR}{ex:30:7}562Reprendre la série des flux des fonds propres du cas 3 (\cref{tab:30:levier}). (a) Compter les changements de signe et expliquer pourquoi l'unicité du TRI n'est pas garantie a priori. (b) Calculer la VAN des fonds propres à \pct{8} et à \pct{12} et en déduire un encadrement du TRI ; retrouver le TRI. (c) Calculer le MIRR avec un taux de financement de \pct{4.12} et un taux de réinvestissement de \pct{7.25} et interpréter l'écart avec le TRI. (d) Quelle disposition pratique un investisseur doit-il prendre face aux flux négatifs de 2027 et 2032 ?563\end{exercice}564565\begin{exercice}[3]{Décomposer l'écart entre DCF et capitalisation directe}{ex:30:8}566Dans le cas 3, le DCF donne \dollars{2208566} et la capitalisation directe au taux médian de \pct{4.415} donne \dollars{2037503}. (a) Calculer le taux de capitalisation implicite du DCF sur le revenu net de la première année et la croissance de long terme implicite du taux médian ($g = r - R$). (b) Calculer la croissance annualisée du revenu net entre l'année 1 et l'année 11 de la projection, et la comparer à la croissance implicite. (c) Calculer le TRI que réaliserait un acheteur qui paierait la valeur par capitalisation directe et obtiendrait les flux projetés. (d) Énoncer deux hypothèses sur les comparables sous lesquelles l'écart de \pct{8.4} serait, respectivement, entièrement légitime ou partiellement un double compte.567\end{exercice}568569\section*{Pour aller plus loin}570571\textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014}, \emph{Commercial Real Estate Analysis and Investments}, demeure l'exposé le plus complet de la méthode des flux actualisés appliquée à l'immobilier : la relation entre taux de capitalisation, rendement exigé et croissance, le traitement des flux avant et après financement, la valeur terminale et ses coûts de revente y sont développés avec une rigueur qui a inspiré ce chapitre. \textcite{baumCrosbyDevaney2021}, \emph{Property Investment Appraisal}, confrontent la capitalisation implicite britannique (\emph{all-risks yield}) au DCF explicite et consacrent de longs développements au taux cible et à sa justification ; leur distinction entre évaluation et analyse d'investissement rejoint celle, faite ici, entre valeur marchande et valeur d'investissement. \textcite{fisherMartin2007} et \textcite{brueggemanFisher2022} offrent des traitements plus pédagogiques, le second avec un chapitre sur le DCF après impôt que le présent ouvrage n'aborde pas. \textcite{appraisal2026}, seizième édition de \emph{The Appraisal of Real Estate}, présente les conventions nord-américaines de l'analyse par flux actualisés telles que les enseigne l'Appraisal Institute. Sur l'incertitude, \textcite{frenchGabrielli2004,frenchGabrielli2005} proposent d'exprimer les intrants du DCF comme des distributions et d'en communiquer la fourchette, et \textcite{hoesliJaniBender2006} appliquent la simulation de Monte-Carlo à la valeur DCF ; ces travaux préparent le \cref{ch:40}. Sur la dimension empirique, \textcite{plazziTorousValkanov2010} et \textcite{ghysels2013} examinent ce que les taux de capitalisation prédisent des rendements et de la croissance des loyers, ce qui donne un fondement statistique à la lecture $r = R + g$ ; \textcite{bokhariGeltner2018} mesurent la dépréciation des immeubles multirésidentiels et justifient l'écart entre croissance des loyers et croissance de la valeur. Pour les encadrements réglementaires des loyers et leurs effets sur la trajectoire des revenus, \textcite{arnott1995} et \textcite{kholodilin2024} fournissent le cadre théorique et la recension empirique qu'approfondit le \cref{ch:34}.572