spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 5 — Économie urbaine et rente foncière2% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch05.py (classe TestExercices) à partir de analysis/python/cases/ch05_rente.py.34\begin{solution}{ex:5:1}{Courbes d'enchère de von Thünen}5Par l'\cref{eq:5:thunen}, la rente au centre est $R_0 = Y\,(p - c)$ et la pente $t = Y f$. Pour le maraîchage, $R_0 = 20 \times (300 - 250) = 1000$ \$/ha/an et $t = 20 \times 3 = 60$ \$/ha/an/km, d'où $R_M(d) = 1000 - 60\,d$ ; la culture cesse d'être rentable à $d^{*}_M = (300 - 250)/3 = 16{,}67$ km. Pour les grandes cultures, $R_0 = 4 \times (500 - 350) = 600$ \$/ha/an et $t = 4 \times 5 = 20$ \$/ha/an/km, d'où $R_G(d) = 600 - 20\,d$ et $d^{*}_G = 150/5 = 30$ km.67Le maraîchage offre davantage tant que $1000 - 60\,d > 600 - 20\,d$, soit $d < 400/40 = 10$ km : il occupe l'anneau de 0 à 10 km, les grandes cultures l'anneau de 10 à 30 km, et le sol n'est plus cultivé au-delà de 30 km. À la frontière de 10 km, les deux cultures offrent la même rente, $400$ \$/ha/an. La rente de marché est l'enveloppe des deux courbes : $1000 - 60\,d$ jusqu'à 10 km, puis $600 - 20\,d$. Un hectare au centre rapporte 1 000 \$ par an ; capitalisé à 4 \% par l'\cref{eq:5:capitalisation-rente}, il vaut $1000/0{,}04 = \dollars{25000}$. On remarque que l'usage intensif (rendement élevé, fret important par hectare) occupe le centre bien que sa distance limite propre (16,7 km) soit la plus courte : c'est la pente, non la portée, qui tranche.8\end{solution}910\begin{solution}{ex:5:2}{Capitalisation d'un écart de taxe}11Le supplément de taxe annuel est $\Delta T = (0{,}0080 - 0{,}0070) \times \dollars{500000} = \dollars{500}$. Par l'approximation \eqref{eq:5:deltaV-approx} avec $r = i = 5$ \% et $\kappa = 1$, $\Delta V = -500/0{,}05 = -\dollars{10000}$, soit 2,0 \% de la valeur ; avec $\kappa = 0{,}6$, $\Delta V = -\dollars{6000}$. Par la formule exacte \eqref{eq:5:deltaV}, la rente brute implicite est $R_b = V_0\,(i + \tau_0) = 500000 \times 0{,}057 = \dollars{28500}$, la valeur sous le nouveau taux $V_1 = 28500/0{,}058 = \dollars{491379}$ et $\Delta V = -500/0{,}058 = -\dollars{8621}$, soit 1,72 \% ; l'approximation surestime la perte de 16 \%, rapport $(i + \tau_1)/i = 0{,}058/0{,}050$.1213Si le supplément finance un service que les acheteurs valorisent \dollars{300} par année, le flux net capitalisé n'est plus que $500 - 300 = \dollars{200}$ : $\Delta V \approx -200/0{,}05 = -\dollars{4000}$ (exact : $-200/0{,}058 = -\dollars{3484}$). C'est la logique de la capitalisation des biens publics locaux de la \cref{sec:5:amenites} : ce qui se capitalise est l'écart de taxe \emph{net} de la valeur des services qu'il achète, et un degré de capitalisation $\kappa$ inférieur à un est souvent la trace empirique de cette compensation.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:5:3}{Le gradient de Muth}17Avec $u = z^{1-\beta} q^{\beta}$, la demande de logement est $q = \beta\,(y - t d)/p$. La \cref{prop:muth} donne $p'(d) = -t/q(d) = -t\,p/[\beta\,(y - t d)]$, soit $\dd \ln p/\dd d = -t/[\beta\,(y - t d)]$. En intégrant de 0 à $d$ : $\ln p(d) - \ln p_0 = (1/\beta)\,[\ln(y - t d) - \ln y]$, d'où l'\cref{eq:5:prix}, $p(d) = p_0\,(1 - t d/y)^{1/\beta}$. Comme $\ln(1 - x) = -x - x^2/2 - \dots < -x$, le logarithme exact décroît plus vite que $-t d/(\beta y)$ : l'approximation exponentielle $p_0 e^{-\gamma d}$ surestime le prix, et l'écart croît avec $d$.1819Numériquement, avec $y = 80000$, $t = 700$, $\beta = 0{,}30$ et $p_0 = 260$ : $\gamma = 700/(0{,}30 \times 80000) = 0{,}02917$ par km. À 5 km, $p = 260\,(1 - 3500/80000)^{3{,}333} = 260 \times 0{,}95625^{3{,}333} = 223{,}98$ \$/m\textsuperscript{2}/an (exponentielle : $260\,e^{-0{,}1458} = 224{,}72$, écart $+0{,}3$ \%) ; à 10 km, $p = 260 \times 0{,}9125^{3{,}333} = 191{,}61$ (exponentielle : $194{,}22$, écart $+1{,}4$ \%). La consommation de logement est $q(0) = 0{,}30 \times 80000/260 = 92{,}3$ m\textsuperscript{2} et $q(10) = 0{,}30 \times 73000/191{,}61 = 114{,}3$ m\textsuperscript{2} : le ménage éloigné consacre 10 \% de moins au logement en dollars mais obtient 24 \% de surface de plus. Si l'autoroute réduit $t$ de 25 \%, à 525 \$/km/an, le gradient tombe à $\gamma = 525/24000 = 0{,}0219$ par km (2,19 \% au lieu de 2,92 \%) : la demi-distance passe de 23,8 à 31,7 km, la ville s'étale et les prix relatifs de la périphérie montent, ceux du centre baissant si la population est donnée.20\end{solution}2122\begin{solution}{ex:5:4}{Levier de la rente et valeur résiduelle}23(a) Par la \cref{prop:levier}, $r/r_0 = (p/p_0)^{1/\alpha}$ avec $1/\alpha = 3{,}333$. Une hausse de 10 \% du prix des logements multiplie la rente du sol par $1{,}10^{3{,}333} = 1{,}374$, soit $+37{,}4$ \% ; une baisse de 10 \% la multiplie par $0{,}90^{3{,}333} = 0{,}704$, soit $-29{,}6$ \%. L'asymétrie vient de la convexité de la puissance.2425(b) Le bâtiment déprécié vaut $C_N - D = 397567 \times (1 - 0{,}30) = \dollars{278297}$. Par l'\cref{eq:5:residuelle}, $V_L = 560000 - 278297 = \dollars{281703}$ (50,3 \% de la valeur) et le levier \eqref{eq:5:levier} est $V/V_L = 560000/281703 = 1{,}99$. Si l'indication est révisée à \dollars{532000}, $V_L = 532000 - 278297 = \dollars{253703}$, une baisse de 9,9 \% pour une baisse de 5 \% de la valeur, conformément au levier de 1,99.2627(c) Dans les deux cas, le terrain reçoit ce qui reste après rémunération d'un facteur reproductible dont le coût ne dépend pas de l'emplacement : le capital de construction dans le modèle de production, le bâtiment déprécié dans la méthode du coût. L'élasticité $1/\alpha$ et le levier $V/V_L$ sont la même grandeur, l'inverse de la part du sol dans la valeur ; avec une part de 30 \%, le levier serait de 3,33, et avec la part de 50 \% du sujet il est de 2. Le chapitre~\ref{ch:25} en tire la règle de prudence de la méthode résiduelle.28\end{solution}2930\begin{solution}{ex:5:5}{Taux nominal et taux effectif}31(a) Par l'\cref{eq:5:effectif}, $\tau_{\text{eff}} = \tau_{\text{rôle}}/F$ : Québec $0{,}7464/1{,}10 = 0{,}6785$ \$ par 100 \$ de valeur marchande ; Gatineau $0{,}5224/1{,}02 = 0{,}5122$ ; Montréal $0{,}4631/1{,}00 = 0{,}4631$. Sur une valeur marchande de \dollars{500000}, la taxe générale est de \dollars{3393} à Québec, \dollars{2561} à Gatineau et \dollars{2316} à Montréal (hors taxes d'arrondissement et tarifications).3233(b) L'écart effectif Québec--Gatineau est de $0{,}6785 - 0{,}5122 = 0{,}1663$ \$ par 100 \$, soit \dollars{832} par année ; capitalisé à 5 \% par l'\cref{eq:5:deltaV-approx}, il vaut \dollars{16639} avec $\kappa = 1$ et \dollars{9983} avec $\kappa = 0{,}6$. L'écart nominal (22,4 pb, \dollars{1120}, \dollars{22400}) aurait surestimé la capitalisation d'un tiers.3435(c) Trois raisons au moins interdisent d'en faire un ajustement de localisation entre une vente de Québec et une vente de Gatineau. Premièrement, les deux propriétés ne sont pas sur le même marché : les acheteurs de Québec ne sont pas en concurrence avec ceux de Gatineau, et la méthode de comparaison exige des substituts (\cref{ch:16}) ; l'écart de prix entre les deux villes reflète des rentes urbaines différentes, dont la taxe n'est qu'une composante. Deuxièmement, l'écart de taxe finance des services différents, et seule la part non compensée par les services se capitalise ($\kappa < 1$). Troisièmement, les charges comparées sont incomplètes : tarifications par logement, taxes de secteur ou d'arrondissement, taxe scolaire identique, facteur comparatif de Québec supposé. L'\cref{eq:5:effectif} corrige le taux, elle ne fabrique pas un comparable.36\end{solution}3738\begin{solution}{ex:5:6}{Identifier un gradient en présence de secteurs}39(a) Lorsqu'on ajoute la distance linéaire au modèle de référence, qui contient déjà les quatre indicatrices de secteur et le terme $\max(d - 3,\ 0)$, le coefficient de $\max(d-3, 0)$ passe de $-0{,}36$ à $+0{,}29$ \% par km (erreur-type 0,81 point) et celui de la distance linéaire vaut $-0{,}64$ \% par km (erreur-type 0,76 point) ; aucun des deux n'est distinct de zéro, et les erreurs-types ont triplé. Les indicatrices de secteur bougent peu (Gatineau $-1{,}5$ \%, Aylmer $+9{,}3$ \%, Buckingham $-24{,}6$ \%, Masson-Angers $-25{,}8$ \%) et le $R^2$ reste à 0,853. Les deux mesures de distance et les indicatrices portent la même information, puisque les secteurs sont des tranches de distance : c'est une quasi-colinéarité, et les données ne permettent pas de séparer un effet de distance continu d'un effet de secteur discret.4041(b) Sur les 380 ventes de Hull et de Gatineau à moins de 10 km, la spécification contrôlée sans indicatrices donne un gradient de $-0{,}59$ \% par km (erreur-type 0,14 point, $R^2 = 0{,}80$) : à l'intérieur de l'aire centrale, les prix baissent avec la distance, et cette pente est pour l'essentiel l'écart de secteur ($-2{,}2$ \%) réparti sur six kilomètres de différence de distance médiane. Sur les 125 ventes d'Aylmer, le gradient est de $-0{,}68$ \% par km mais avec une erreur-type de 0,46 point : la plage de distances du secteur est trop étroite pour identifier une pente. Sur les 186 ventes de Hull seules, $-0{,}75$ \% par km avec une erreur-type de 0,65 point, pour la même raison. Les signes sont tous négatifs, ce qui est cohérent avec le modèle monocentrique à l'intérieur de chaque secteur, mais seul l'échantillon qui enjambe deux secteurs a la puissance nécessaire.4243(c) Note au réviseur (environ 200 mots). Le coefficient de distance du modèle de référence ($-0{,}36$ \% par km au-delà de 3 km, non significatif) n'est pas l'effet de la localisation : il mesure ce que la distance ajoute \emph{une fois les secteurs pris en compte}, et les secteurs absorbent presque toute la variation géographique des prix du jeu. L'effet de localisation d'un comparable d'Aylmer par rapport au sujet de Hull est la somme de l'effet de secteur ($+8{,}9$ \%) et de l'effet de distance résiduel ($-0{,}36$ \% par km sur l'écart de distance au-delà de 3 km) ; c'est cette somme, de l'ordre de $+6$ \% pour un comparable à 11 km, que l'ajustement de localisation doit retrancher, et non le seul coefficient de distance. Pour la mesurer, on comparerait des ventes d'Aylmer et de Hull de caractéristiques semblables (appariement du \cref{ch:16}), on estimerait un modèle hédonique avec indicatrices de secteur et on en déduirait l'ajustement complet (\cref{ch:17,ch:18}), en vérifiant par un modèle spatial (\cref{ch:19}) que les résidus ne conservent pas de structure géographique. La règle est de ne jamais interpréter un coefficient isolément : la localisation est l'ensemble des termes qui dépendent du lieu.44\end{solution}4546\begin{solution}{ex:5:7}{Accessibilité gravitaire à deux centres}47(a) Les distances au centre principal et au sous-centre sont de 3,00 et 9,85 km pour A, de 9,49 et 3,16 km pour B, de 13,42 et 10,00 km pour C. Par l'\cref{eq:5:accessibilite} avec $\lambda = 0{,}10$ : $A_{\mathrm A} = 100000\,e^{-0{,}300} + 30000\,e^{-0{,}985} = 85286$ ; $A_{\mathrm B} = 100000\,e^{-0{,}949} + 30000\,e^{-0{,}316} = 60592$ ; $A_{\mathrm C} = 100000\,e^{-1{,}342} + 30000\,e^{-1{,}000} = 37178$ ; classement A, B, C. Avec $\lambda = 0{,}20$ : $59066$, $30935$ et $10894$ ; même classement, mais les écarts relatifs se creusent, parce qu'une friction plus forte pénalise davantage les emplacements éloignés de tout centre comme C.4849(b) Avec $\theta = 0{,}25$, l'écart de prix entre deux emplacements est $(A_j/A_k)^{\theta} - 1$. Pour $\lambda = 0{,}10$ : A vaut $(85286/60592)^{0{,}25} - 1 = +8{,}9$ \% de plus que B, et B $(60592/37178)^{0{,}25} - 1 = +13{,}0$ \% de plus que C. Pour $\lambda = 0{,}20$ : $+17{,}5$ \% et $+29{,}8$ \%. Le paramètre de friction est donc aussi déterminant que $\theta$ pour les écarts de prix prédits, et il doit être estimé ou tiré d'enquêtes de déplacement plutôt que posé.5051(c) Avec un seul centre, $A_j = E_1 e^{-\lambda d_{j1}}$, donc $\theta \ln A_j = \theta \ln E_1 - \theta\lambda\, d_{j1}$ : la seconde forme de l'\cref{eq:5:polycentrique} est la première avec $\gamma_1 = \theta\lambda$ et une constante absorbée par $\alpha$ ; les deux paramètres $\theta$ et $\lambda$ ne sont pas identifiés séparément, seul leur produit l'est. Avec plusieurs centres, imposer les masses $E_k$ réduit le nombre de paramètres à deux ($\theta$ et $\lambda$, ou $\theta$ seul si $\lambda$ est fixé), ce qui est précieux lorsque les ventes sont peu nombreuses ou les centres nombreux et proches, et donne une mesure d'accessibilité interprétable et transférable ; on perd en revanche la possibilité que les données contredisent la pondération par l'emploi, par exemple si un sous-centre commercial pèse plus que son emploi ne le suggère, ou qu'un centre influe à un rythme différent des autres. La première forme, avec un $\gamma_k$ par centre, est plus souple mais exige davantage de données et souffre de colinéarité entre distances corrélées, comme l'a montré l'\cref{ex:5:6} pour les secteurs.52\end{solution}53