spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Modèles spatiaux et temporels}\label{ch:19}23Le modèle hédonique du \cref{ch:18} traite chaque vente comme une observation isolée : le prix d'une maison dépend de ses caractéristiques, d'une date et d'un terme aléatoire indépendant de celui de la maison voisine. Or rien n'est moins indépendant que deux maisons de la même rue. Elles partagent l'école, le bruit de l'autoroute, la réputation du quartier, le même bassin d'acheteurs et souvent le même courtier ; leurs prix se répondent, et ce qui n'est pas mesuré pour l'une ne l'est pas non plus pour l'autre. Le présent chapitre introduit les outils qui prennent cette interdépendance au sérieux. Il distingue d'abord deux phénomènes que le langage courant confond, la \emph{dépendance} spatiale, qui porte sur les résidus, et l'\emph{hétérogénéité} spatiale, qui porte sur les coefficients ; il construit ensuite les matrices de pondération qui formalisent la notion de voisinage, y compris dans sa dimension temporelle, puis il présente les tests, les modèles autorégressifs, la régression géographiquement pondérée, les effets fixes et le krigeage. L'exemple intégral reprend les 600 ventes du dossier de Gatineau et pose une question simple que l'évaluateur doit se poser devant tout modèle : les résidus sont-ils encore corrélés dans l'espace, et si oui, qu'est-ce que cela révèle ?45\begin{objectifs}6\begin{itemize}7\item Distinguer la dépendance spatiale de l'hétérogénéité spatiale et reconnaître les conséquences de chacune pour l'estimation par moindres carrés ordinaires.8\item Construire et standardiser une matrice de pondération spatiale (contiguïté, plus proches voisins, distance inverse) et une matrice spatio-temporelle qui ne fait parler que les ventes antérieures.9\item Tester la dépendance spatiale des résidus par la statistique $I$ de Moran, le corrélogramme et les tests du multiplicateur de Lagrange, et en déduire la forme de modèle appropriée.10\item Estimer par maximum de vraisemblance les modèles à décalage spatial (SAR), à erreur spatiale (SEM) et de Durbin spatial (SDM), et interpréter correctement leurs effets directs, indirects et totaux.11\item Estimer une régression géographiquement pondérée, choisir sa bande passante par validation croisée et cartographier les coefficients locaux sans sur-interpréter leurs variations.12\item Modéliser le résidu de localisation par un variogramme et un krigeage ordinaire, et comparer les indications de valeur qui en résultent pour un sujet.13\end{itemize}14\end{objectifs}1516\section{Dépendance et hétérogénéité spatiales}\label{sec:19:dependance}1718\subsection{Pourquoi l'espace compte}1920Trois mécanismes font que les prix de maisons voisines ne sont pas indépendants. Le premier est celui des \emph{externalités de voisinage} : la qualité de l'école, l'entretien des propriétés adjacentes, la vue, la proximité d'un parc ou d'une artère bruyante affectent simultanément toutes les maisons d'un même secteur, et ces attributs ne figurent presque jamais dans les bases de données de transactions. Le deuxième est celui des \emph{sous-marchés} : les acheteurs raisonnent par quartier, les courtiers aussi, et un même panier de caractéristiques ne se négocie pas au même prix à Aylmer et à Masson-Angers ; la segmentation étudiée au \cref{ch:15} est la forme la plus grossière de la dépendance spatiale, celle que l'on capte par des indicatrices de secteur. Le troisième mécanisme est propre au processus de formation des prix : vendeurs, acheteurs, courtiers et évaluateurs fixent leurs attentes à partir des ventes récentes du voisinage, de sorte que le prix d'une maison dépend \emph{directement} des prix auxquels ses voisines se sont vendues peu avant \parencite{desrosiersDubeTheriault2011}. Ce dernier mécanisme a une direction temporelle : ce sont les ventes antérieures qui informent les ventes postérieures, non l'inverse, et le \cref{sec:19:poids} en tirera les conséquences.2122La formule de Tobler, selon laquelle tout interagit avec tout mais les choses proches interagissent davantage que les choses éloignées, résume ces mécanismes, mais elle les confond aussi. Pour l'économètre, il importe de séparer deux situations qui appellent des remèdes différents.2324\begin{definition}{Dépendance spatiale}{dependance-spatiale}25Il y a \motcle{dépendance spatiale} (ou autocorrélation spatiale) lorsque la covariance entre les termes d'erreur, ou entre les variables dépendantes, de deux observations est une fonction non nulle de leur position relative dans l'espace : $\Cov[\varepsilon_i, \varepsilon_j] \neq 0$ pour des observations $i$ et $j$ voisines. Elle est positive si des résidus de même signe tendent à se regrouper, négative s'ils alternent.26\end{definition}2728\begin{definition}{Hétérogénéité spatiale}{heterogeneite-spatiale}29Il y a \motcle{hétérogénéité spatiale} lorsque la relation entre le prix et les caractéristiques varie d'un lieu à l'autre : les coefficients $\boldsymbol\beta$, la variance $\sigma^2$ ou la forme fonctionnelle dépendent de la position. L'élasticité du prix à la superficie peut être plus faible dans un quartier central dense que dans une banlieue pavillonnaire ; la prime du garage peut être nulle là où le stationnement sur rue est abondant.30\end{definition}3132Les deux phénomènes coexistent souvent et l'un peut se déguiser en l'autre : une hétérogénéité ignorée produit des résidus corrélés dans l'espace, et une dépendance ignorée peut faire croire à des coefficients instables lorsqu'on estime le modèle par sous-échantillons. La \cref{fig:19:taxonomie} ordonne les modèles de ce chapitre selon le phénomène qu'ils visent et la manière dont ils le traitent. Les modèles à effets fixes et les modèles autorégressifs traitent la dépendance ; la régression géographiquement pondérée traite l'hétérogénéité ; le krigeage traite la dépendance résiduelle en vue de la prédiction. \textcite{anselin1988} a fixé le cadre d'ensemble, \textcite{lesagePace2009} l'interprétation des modèles autorégressifs, et \textcite{dubeLegros2014} ont adapté ces outils aux microdonnées immobilières, qui ont la particularité d'être localisées en des points irréguliers et datées.3334\begin{figure}[htbp]35\centering36\begin{tikzpicture}[node distance=5mm and 6mm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}, boite/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=9mm, text width=36mm}, racine/.style={boite, fill=brandSecondary!35, text width=46mm}, feuille/.style={boite, fill=white, text width=30mm, minimum height=11mm}, fleche/.style={-{Stealth[length=2mm]}, brandGray, thick}]37\node[racine] (r) {Effets spatiaux dans un modèle hédonique};38\node[boite, below left=of r, xshift=-14mm] (d) {\textbf{Dépendance}\\covariance des résidus ou des prix entre voisins};39\node[boite, below right=of r, xshift=14mm] (h) {\textbf{Hétérogénéité}\\coefficients qui varient avec le lieu};40\node[feuille, below left=of d, xshift=4mm] (fe) {Effets fixes de quartier\\(\cref{sec:19:effets-fixes})};41\node[feuille, below=of d] (ar) {SAR, SEM, SDM\\(\cref{sec:19:modeles})};42\node[feuille, below right=of d, xshift=-4mm] (kr) {Krigeage des résidus\\(\cref{sec:19:krigeage})};43\node[feuille, below left=of h, xshift=4mm] (seg) {Sous-marchés, interactions\\(\cref{ch:15}, \cref{ch:18})};44\node[feuille, below right=of h, xshift=-4mm] (gwr) {Régression géographiquement pondérée (\cref{sec:19:gwr})};45\foreach \a/\b in {r/d, r/h, d/fe, d/ar, d/kr, h/seg, h/gwr} \draw[fleche] (\a) -- (\b);46\node[below=3mm of ar, text=brandGray, align=center] {Diagnostic commun : $I$ de Moran, corrélogramme, tests LM (\cref{sec:19:tests}) ; matrice $\mathbf{W}$ (\cref{sec:19:poids})};47\end{tikzpicture}48\caption{Les deux familles d'effets spatiaux et les outils qui leur répondent. La dépendance se diagnostique sur les résidus et se traite par des effets fixes, des modèles autorégressifs ou le krigeage ; l'hétérogénéité se traite par la segmentation ou par des coefficients locaux.}\label{fig:19:taxonomie}49\figsource{schéma de l'auteur, d'après \textcite{anselin1988} et \textcite{dubeLegros2014}.}50\end{figure}5152\subsection{Le modèle hédonique avec effets spatiaux et temporels}5354L'écriture générale retenue dans l'ouvrage pour le modèle hédonique,55\begin{equation}\label{eq:19:hedonique}56\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \mu_{s(i)} + \varepsilon_i ,57\end{equation}58contient déjà un effet temporel $\tau_{t(i)}$ et un effet spatial $\mu_{s(i)}$. Tout ce chapitre peut se lire comme une discussion de la nature de $\mu$. Dans le modèle de référence du cas 1 (\texttt{traite.cas1.hedonique}), $\mu_{s(i)}$ est un effet fixe de secteur, cinq constantes pour les cinq secteurs de Gatineau, complété par un gradient de distance au centre. Cette spécification suppose que la localisation agit par paliers, identiques pour toutes les maisons d'un secteur, et qu'à l'intérieur d'un secteur les résidus sont indépendants. Les modèles de ce chapitre relâchent ces deux hypothèses : $\mu$ peut être une surface continue (krigeage, régression géographiquement pondérée), un processus autorégressif qui lie chaque résidu à ceux de ses voisins (modèle à erreur spatiale), ou encore une dépendance directe du prix aux prix voisins (modèle à décalage spatial). De même, $\tau$ peut être une tendance linéaire, une suite d'indicatrices trimestrielles, ou une pondération des ventes antérieures qui décroît avec leur ancienneté.5960\subsection{Ce que la dépendance fait aux moindres carrés}6162Les conséquences de la dépendance spatiale pour l'estimateur des moindres carrés ordinaires dépendent de sa forme. Si la dépendance réside dans le terme d'erreur, comme dans le modèle à erreur spatiale de la \cref{sec:19:modeles}, les coefficients MCO restent sans biais et convergents, mais ils ne sont plus efficaces et, surtout, leurs erreurs-types habituelles sont fausses : avec une autocorrélation positive, chaque observation apporte moins d'information qu'une observation indépendante, l'échantillon « effectif » est plus petit que $n$, et les erreurs-types usuelles, même robustes à l'hétéroscédasticité, sous-estiment l'incertitude. Les intervalles de confiance sur les prix implicites, et donc sur les ajustements qu'on en dérive au \cref{ch:17}, sont trop étroits.6364Si la dépendance porte sur la variable dépendante elle-même, c'est-à-dire si le prix d'une maison dépend des prix des maisons voisines, la situation est plus grave. Écrivons $\mathbf{y} = \rho\mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon$, où $\mathbf{W}\mathbf{y}$ est le vecteur des moyennes des prix voisins (la matrice $\mathbf{W}$ est définie à la \cref{sec:19:poids}). Le régresseur $\mathbf{W}\mathbf{y}$ est corrélé avec $\boldsymbol\varepsilon$, parce que le prix de la voisine dépend de son propre terme d'erreur, lequel se répercute sur le prix du sujet, et ainsi de suite. L'estimateur MCO de $\rho$ est alors biaisé et non convergent, et le biais contamine $\hat{\boldsymbol\beta}$. Omettre purement et simplement $\mathbf{W}\mathbf{y}$ ne vaut guère mieux : la variable omise est corrélée avec $\mathbf{X}$ par l'intermédiaire des caractéristiques des voisines, et les coefficients absorbent une part de l'effet de voisinage. Le \cref{tab:19:coefficients} illustrera le phénomène : le coefficient du terrain passe du simple au double selon que la localisation est ou non modélisée.6566La leçon pratique est double. D'abord, un diagnostic de dépendance spatiale sur les résidus fait partie des vérifications normales d'un modèle hédonique, au même titre que l'hétéroscédasticité ou la multicolinéarité du \cref{ch:18}. Ensuite, la forme de la dépendance détermine le remède : les tests de la \cref{sec:19:tests} sont construits pour la révéler.6768\section{Les matrices de pondération spatiale}\label{sec:19:poids}6970\subsection{Formaliser le voisinage}7172Toute l'économétrie spatiale repose sur une \motcle{matrice de pondération spatiale} $\mathbf{W}$, carrée d'ordre $n$, dont l'élément $w_{ij}$ mesure l'intensité du lien entre les observations $i$ et $j$ ; sa diagonale est nulle, une observation n'étant pas sa propre voisine. Trois constructions dominent pour les microdonnées immobilières, où chaque vente est un point. La \emph{contiguïté}, naturelle pour des polygones (municipalités, secteurs de recensement), s'applique aux points par l'intermédiaire d'une triangulation ou des lots cadastraux ; elle est rarement disponible. Les \emph{$k$ plus proches voisins} attribuent un poids de un aux $k$ ventes les plus proches de $i$ et zéro aux autres : chaque observation a exactement $k$ voisines, ce qui évite les observations isolées, mais le rayon de voisinage varie avec la densité des ventes. La \emph{distance inverse} attribue un poids $d_{ij}^{-\gamma}$ à toutes les ventes situées à moins d'une portée $d_{\max}$ : le voisinage a une étendue fixe, mais le nombre de voisines varie, et une portée trop courte laisse des lignes vides.7374La matrice est presque toujours \motcle{standardisée en ligne},75\begin{equation}\label{eq:19:standardisation}76w_{ij} = \frac{w^{*}_{ij}}{\sum_{l=1}^{n} w^{*}_{il}}, \qquad \sum_{j} w_{ij} = 1 ,77\end{equation}78de sorte que le \motcle{décalage spatial} $(\mathbf{W}\mathbf{y})_i = \sum_j w_{ij} y_j$ est une moyenne pondérée des valeurs voisines, comparable d'une observation à l'autre. La standardisation a deux conséquences mathématiques utiles. La plus grande valeur propre de $\mathbf{W}$ vaut alors exactement un, de sorte que le paramètre autorégressif $\rho$ des modèles de la \cref{sec:19:modeles} est contraint à l'intervalle $(1/\omega_{\min}, 1)$, où $\omega_{\min}$ est la plus petite valeur propre réelle ; et le vecteur unité est un vecteur propre de $\mathbf{W}$, $\mathbf{W}\mathbf{1} = \mathbf{1}$, ce qui simplifie le calcul des effets totaux (\cref{prop:effet-total}). En revanche, une matrice standardisée en ligne n'est plus symétrique, et les valeurs propres d'une matrice de $k$ plus proches voisins peuvent être complexes ; le déterminant jacobien qui intervient dans la vraisemblance se calcule alors avec les modules, $\abs{\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})} = \prod_i \abs{1 - \rho\,\omega_i}$.7980Les coordonnées des ventes doivent être exprimées dans un système métrique avant tout calcul de distance. Des latitudes et longitudes en degrés ne s'y prêtent pas, un degré de longitude valant à Gatineau environ 78 kilomètres contre 111 pour un degré de latitude. Une projection équirectangulaire locale, $x = (\lambda - \lambda_0)\,111{,}32\cos\varphi_0$ et $y = (\varphi - \varphi_0)\,110{,}57$ en kilomètres autour d'un point de référence $(\varphi_0, \lambda_0)$, suffit à l'échelle d'une agglomération ; au-delà, on utilise la projection officielle du Québec (\cref{ch:38}). Rappelons que les coordonnées du cas 1 sont synthétiques et que les cartes de ce chapitre ne représentent aucun lieu réel ; les questions de géocodage et de confidentialité des adresses sont traitées au \cref{ch:14}.8182\subsection{La matrice spatio-temporelle de Dubé et Legros}8384Les ventes immobilières ne sont pas seulement localisées, elles sont datées, et une matrice purement spatiale fait parler une vente de 2026 pour expliquer une vente de 2023, ce qui est absurde pour le troisième mécanisme de la \cref{sec:19:dependance}. \textcite{dubeLegros2013} ont proposé de combiner une pondération spatiale $s_{ij}$ et une pondération temporelle $t_{ij}$ en une matrice \motcle{spatio-temporelle}85\begin{equation}\label{eq:19:spatio-temporelle}86w^{*}_{ij} = s_{ij}\, t_{ij}, \qquad s_{ij} = d_{ij}^{-\gamma}\,\mathbb{1}\{0 < d_{ij} \leq d_{\max}\}, \qquad t_{ij} = \mathbb{1}\{0 < t_i - t_j \leq T\},87\end{equation}88où $t_i - t_j$ est le délai, en mois, entre la vente $j$ et la vente $i$. Le facteur temporel est \emph{unidirectionnel} : seules les ventes conclues avant $i$, et depuis moins de $T$ mois, pèsent sur $i$. On peut lui substituer une fonction décroissante du délai, et \textcite{dubeLegros2014} discutent plusieurs choix ; la forme indicatrice suffit ici. La matrice est ensuite standardisée en ligne par l'\cref{eq:19:standardisation}. Deux particularités en découlent. Les premières ventes de la période, et les ventes isolées, n'ont aucune voisine antérieure : leur ligne est nulle et leur décalage vaut zéro, ce qui oblige soit à les exclure de l'estimation du modèle à décalage, soit à les conserver seulement comme voisines des ventes suivantes. Surtout, si les observations sont ordonnées par date, la matrice est strictement triangulaire inférieure.8990\begin{proposition}{Jacobien d'une matrice spatio-temporelle unidirectionnelle}{jacobien-st}91Si $\mathbf{W}$ est construite selon l'\cref{eq:19:spatio-temporelle} avec un facteur temporel unidirectionnel, alors toutes ses valeurs propres sont nulles et $\det(\mathbf{I} - \rho\mathbf{W}) = 1$ pour tout $\rho$.92\end{proposition}93\begin{proof}94Ordonnons les observations par date de vente croissante. Pour $j \geq i$, la vente $j$ n'est pas antérieure à $i$, donc $t_{ij} = 0$ et $w_{ij} = 0$ : la matrice est strictement triangulaire inférieure. La standardisation en ligne ne modifie pas la position des zéros. Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses éléments diagonaux, tous nuls, et celles de $\mathbf{I} - \rho\mathbf{W}$ valent toutes un ; le déterminant, produit des valeurs propres, vaut un. Le résultat ne dépend pas de l'ordre choisi, le déterminant étant invariant par permutation simultanée des lignes et des colonnes.95\end{proof}9697La proposition a une conséquence pratique importante : le terme jacobien de la vraisemblance disparaît, et le modèle à décalage spatio-temporel s'estime par moindres carrés ordinaires sur $[\mathbf{W}\mathbf{y}, \mathbf{X}]$, le décalage étant \emph{prédéterminé} au sens des séries chronologiques. Cette simplicité a un prix : l'estimateur n'est convergent que si les erreurs ne sont pas elles-mêmes autocorrélées dans l'espace, car la vente antérieure voisine porte le même résidu de quartier que le sujet. L'exemple de la \cref{sec:19:exemple} montrera que, dans le jeu du cas 1, le décalage spatio-temporel capte une partie seulement de la dépendance résiduelle.9899\subsection{Choisir la matrice}100101Le choix de $\mathbf{W}$ est la décision la plus discutée et la moins théorisée de l'économétrie spatiale. Aucun test ne désigne la « bonne » matrice ; le critère d'information et la vraisemblance permettent de comparer des matrices entre elles pour un même modèle, mais la comparaison est fragile et les paramètres autorégressifs ne sont pas comparables d'une matrice à l'autre, un fait que la \cref{sec:19:sensibilite} illustrera. En pratique, on construit la matrice à partir de ce que l'on sait du mécanisme : quelques plus proches voisins si l'on pense aux comparables qu'un acheteur regarde, une portée fixe si l'on pense à une externalité physique dont l'effet s'éteint avec la distance, une pondération spatio-temporelle si l'on pense à l'ancrage sur les ventes récentes. Et l'on vérifie que les conclusions ne dépendent pas de choix raisonnables différents. Dans ce chapitre, la matrice de référence est celle des huit plus proches voisins, standardisée en ligne ; les variantes à quatre, six, douze et seize voisins et les matrices de distance inverse à deux, trois et quatre kilomètres servent à l'analyse de sensibilité.102103\section{Tester la dépendance spatiale}\label{sec:19:tests}104105\subsection{La statistique \texorpdfstring{$I$}{I} de Moran}106107La statistique de Moran est au spatial ce que le coefficient d'autocorrélation d'ordre un est aux séries chronologiques. Pour une variable $z_i = x_i - \bar{x}$ centrée et une matrice $\mathbf{W}$ de somme $S_0 = \sum_i\sum_j w_{ij}$,108\begin{equation}\label{eq:19:moran}109I = \frac{n}{S_0}\,\frac{\mathbf{z}\T\mathbf{W}\mathbf{z}}{\mathbf{z}\T\mathbf{z}} = \frac{n}{S_0}\,\frac{\sum_i\sum_j w_{ij}\,z_i z_j}{\sum_i z_i^2} .110\end{equation}111Avec une matrice standardisée en ligne, $S_0 = n$ et $I$ est la pente de la régression du décalage spatial $\mathbf{W}\mathbf{z}$ sur $\mathbf{z}$ : c'est la lecture graphique du « diagramme de Moran ». Sous l'hypothèse nulle d'absence d'autocorrélation et de normalité des $z_i$, l'espérance et la variance sont connues \parencite{anselin1988} :112\begin{equation}\label{eq:19:moran-moments}113\E[I] = -\frac{1}{n-1}, \qquad \Var[I] = \frac{n^2 S_1 - n S_2 + 3 S_0^2}{(n^2 - 1)\, S_0^2} - \E[I]^2 ,114\end{equation}115avec $S_1 = \tfrac12\sum_i\sum_j (w_{ij} + w_{ji})^2$ et $S_2 = \sum_i\big(\sum_j w_{ij} + \sum_j w_{ji}\big)^2$. La statistique centrée réduite $z_I = (I - \E[I])/\sqrt{\Var[I]}$ est comparée à la loi normale. L'espérance sous l'hypothèse nulle est légèrement négative, $-1/599 \approx -0{,}0017$ pour le cas 1, ce qui rappelle qu'un $I$ nul n'est pas tout à fait l'absence de dépendance. Une inférence par permutations, qui recalcule $I$ après avoir mélangé aléatoirement les valeurs entre les positions, dispense de l'hypothèse de normalité ; les deux approches donnent des résultats très voisins pour 600 observations.116117Appliquée aux résidus d'une régression, la statistique de Moran garde son interprétation descriptive, mais ses moments sous l'hypothèse nulle sont modifiés par le fait que les résidus MCO sont des combinaisons linéaires des erreurs, contraintes par les régresseurs ; \textcite{anselin1988} en donne la version corrigée. L'écart est faible lorsque $n$ est grand par rapport au nombre de régresseurs, et la version simple de l'\cref{eq:19:moran-moments} est celle qu'utilise le script de ce chapitre ; la version corrigée donne, pour les résidus du cas 1 sans indicatrices de secteur, une statistique de 17,3 contre 17,1.118119Le \motcle{corrélogramme} spatial raffine le diagnostic en calculant $I$ pour une suite de matrices binaires, chacune ne retenant que les paires dont la distance tombe dans une bande donnée. Il montre à quelle distance la dépendance s'éteint, et il révèle des structures que la statistique globale masque : une dépendance forte jusqu'à quelques kilomètres puis négative au-delà signale des sous-marchés de taille finie plutôt qu'une décroissance continue, comme on le verra à la \cref{fig:19:correlogramme}.120121\subsection{Les tests du multiplicateur de Lagrange}122123La statistique de Moran détecte la dépendance mais ne dit pas si elle vient du terme d'erreur ou de la variable dépendante. Les tests du \motcle{multiplicateur de Lagrange} (LM), calculés à partir des seuls résidus MCO $\mathbf{e}$, répondent à cette question \parencite{anselin1988}. Avec $\hat\sigma^2 = \mathbf{e}\T\mathbf{e}/n$, $T = \operatorname{tr}[(\mathbf{W}\T + \mathbf{W})\mathbf{W}]$, $\mathbf{M} = \mathbf{I} - \mathbf{X}(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T$ et $R_J = (\mathbf{W}\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})\T\mathbf{M}(\mathbf{W}\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})/\hat\sigma^2 + T$, le test de l'hypothèse $\lambda = 0$ dans le modèle à erreur spatiale et le test de $\rho = 0$ dans le modèle à décalage s'écrivent124\begin{equation}\label{eq:19:lm}125\mathrm{LM}_{\text{err}} = \frac{\left(\mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{e}/\hat\sigma^2\right)^2}{T}, \qquad126\mathrm{LM}_{\text{lag}} = \frac{\left(\mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{y}/\hat\sigma^2\right)^2}{R_J} ,127\end{equation}128chacun suivant asymptotiquement une loi du $\chi^2$ à un degré de liberté sous son hypothèse nulle. Le numérateur du premier est, à un facteur près, le carré de la statistique de Moran des résidus ; celui du second mesure la corrélation entre les résidus et le décalage de la variable dépendante. Le problème est que chaque test rejette aussi en présence de l'autre forme de dépendance. Les versions \emph{robustes}, dues à Anselin et à ses coauteurs et présentées dans \textcite{elhorst2014}, corrigent chaque statistique de la présence éventuelle de l'autre forme :129\begin{equation}\label{eq:19:rlm}130\mathrm{RLM}_{\text{lag}} = \frac{\left(d_\rho - d_\lambda\right)^2}{R_J - T}, \qquad131\mathrm{RLM}_{\text{err}} = \frac{\left(d_\lambda - T R_J^{-1} d_\rho\right)^2}{T\left(1 - T R_J^{-1}\right)} ,132\end{equation}133avec $d_\rho = \mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{y}/\hat\sigma^2$ et $d_\lambda = \mathbf{e}\T\mathbf{W}\mathbf{e}/\hat\sigma^2$. La règle de décision usuelle est séquentielle : si aucun test simple n'est significatif, le modèle MCO suffit ; si les deux le sont, on regarde les versions robustes et l'on retient la forme dont la version robuste reste significative ; si les deux versions robustes sont significatives, on envisage un modèle combinant les deux formes ou, plus souvent, on soupçonne une spécification déficiente (variables omises, forme fonctionnelle) dont la dépendance spatiale n'est que le symptôme. L'exemple du cas 1 est, à cet égard, un cas d'école.134135\begin{pratique}136Le diagnostic spatial d'un modèle hédonique tient en trois gestes, qui devraient figurer au dossier de tout modèle utilisé pour dériver des ajustements ou des indications de valeur : la carte des résidus sur les coordonnées des ventes, qui montre à l'œil les grappes de sur- et de sous-évaluation ; la statistique de Moran des résidus avec sa valeur $z$, pour une matrice de voisinage déclarée ; et les quatre tests LM, qui orientent vers un remède. Un modèle dont les résidus sont spatialement corrélés n'est pas inutilisable, mais ses erreurs-types sont trompeuses et sa prédiction pour un sujet donné peut être améliorée par l'information des ventes voisines, ce que la \cref{sec:19:krigeage} montre.137\end{pratique}138