spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Indices immobiliers et ventes répétées}\label{ch:35}23Les chapitres précédents ont supposé, chaque fois qu'un comparable vendu il y a quinze mois devait être ramené à la date d'évaluation, qu'un indice du marché existait et qu'il était fiable. Le présent chapitre examine cette hypothèse. Un indice de prix immobiliers répond à une question d'apparence simple, « de combien le prix d'un logement \emph{donné} a-t-il varié entre deux dates ? », qui se heurte à une difficulté irréductible : le logement donné ne se vend presque jamais aux deux dates, et les logements qui se vendent à la première ne sont pas ceux qui se vendent à la seconde. Toute la théorie des indices immobiliers consiste à contourner cet obstacle, soit en corrigeant les différences de caractéristiques par un modèle hédonique, soit en ne retenant que les immeubles vendus deux fois, soit en s'appuyant sur une évaluation antérieure de chaque immeuble. Le chapitre expose ces trois familles, en dérive les estimateurs, en mesure les biais et les imprécisions, puis les confronte sur un même marché, celui du cas 1, dont la trajectoire vraie est connue. Il décrit ensuite les indices canadiens et québécois que l'évaluateur rencontre dans sa pratique et dit ce que chacun mesure. La leçon qui s'en dégage est que l'ajustement de conditions du marché, souvent traité comme une formalité, repose sur une mesure dont l'incertitude est du même ordre que celle des ajustements de propriété, et qu'il faut choisir et documenter l'indice avec le même soin que les comparables.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item définir un indice de prix à qualité constante et le distinguer d'une série de prix médians ou moyens, dont il peut décomposer le biais de composition ;9\item construire un indice hédonique par indicatrices temporelles, par chaînage de périodes adjacentes ou par imputation, et dire quand ces trois constructions coïncident ;10\item dériver l'estimateur de ventes répétées de Bailey, Muth et Nourse et l'estimateur pondéré de Case et Shiller, en comprendre les hypothèses et calculer leurs erreurs-types ;11\item construire un indice SPAR à partir des prix de vente et des valeurs au rôle, et en connaître les conditions de validité ;12\item expliquer les biais de sélection des reventes, le mécanisme de révision des indices et la précision attendue selon la taille de l'échantillon ;13\item lire correctement l'indice Teranet--Banque Nationale, l'Indice des prix des logements neufs, les médianes de l'APCIQ et de JLR, et choisir l'indice approprié à un ajustement de conditions du marché.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Pourquoi un indice ?}\label{sec:35:pourquoi}1819\subsection{Trois usages, une même exigence}2021L'évaluateur rencontre les indices de prix dans trois situations. La première est l'\motcle{ajustement de conditions du marché} d'un comparable : le \cref{ch:17} a montré que le prix d'une vente ancienne doit être multiplié par le rapport de l'indice à la date d'évaluation à l'indice à la date de la vente, et que cet ajustement est souvent le plus important de la grille lorsque les prix évoluent de plusieurs points par année. La deuxième est le \emph{suivi du marché} : l'étude de marché du \cref{ch:15}, le rapport d'évaluation, l'analyse du cycle du \cref{ch:03} et la mesure du risque de portefeuille du \cref{ch:48} ont besoin d'une mesure de la variation des prix dégagée des accidents de composition. La troisième, moins familière au praticien québécois, est la construction de \emph{produits financiers} adossés aux prix des maisons : indexation des contrats, assurance de la valeur, contrats à terme et options, que \textcite{shiller2015} a longtemps défendus comme instruments de partage du risque immobilier des ménages et qui exigent un indice publié, reproductible et peu révisé. Les trois usages posent la même exigence : l'indice doit mesurer la variation du prix d'un logement de caractéristiques \emph{constantes}, et non la variation du prix des logements qui se trouvent avoir été vendus.2223\begin{definition}{Indice de prix à qualité constante}{indice-qualite-constante}24Soit $\E[P \mid \mathbf{x}, t]$ le prix espéré à la date $t$ d'un logement de caractéristiques $\mathbf{x}$, au sens de l'\cref{eq:16:esperance}. L'\motcle{indice de prix à qualité constante} entre la période de base $0$ et la période $t$ est le rapport25\begin{equation}\label{eq:35:indice}26I_t = 100 \times \frac{\E[P \mid \mathbf{x}, t]}{\E[P \mid \mathbf{x}, 0]},27\end{equation}28pour un panier de caractéristiques $\mathbf{x}$ fixé. Lorsque la fonction de prix est semi-logarithmique à effets temporels additifs, $\ln \E[P \mid \mathbf{x}, t] = \alpha + \mathbf{x}\T\boldsymbol\beta + \tau_t$, le rapport ne dépend pas du panier et vaut $100\exp(\tau_t - \tau_0)$ : l'indice est alors défini sans ambiguïté. Dans le cas général, il dépend du panier retenu, et l'on parle d'indice de Laspeyres, de Paasche ou de Fisher selon le panier.29\end{definition}3031La définition fait apparaître pourquoi aucune statistique calculée directement sur les prix observés ne convient. Les ventes de la période $t$ ont des caractéristiques $\mathbf{x}_i$ qui diffèrent de celles de la période $0$ ; la médiane ou la moyenne de leurs prix mélange la variation du marché et la variation de la composition. Les trois familles de méthodes du chapitre se distinguent par la façon dont elles neutralisent cette composition : la méthode \motcle{hédonique} la mesure explicitement au moyen du modèle du \cref{ch:18} ; la méthode des \motcle{ventes répétées} l'élimine en ne comparant chaque immeuble qu'à lui-même ; la méthode du \motcle{rapport prix sur valeur} (en anglais \emph{sale price appraisal ratio}, SPAR) la neutralise en rapportant chaque prix à une évaluation antérieure du même immeuble. Le \cref{tab:35:taxonomie} résume ces familles, leurs données, leurs hypothèses et leurs faiblesses ; \textcite{hill2013} en donne une taxonomie détaillée pour les méthodes hédoniques, et le manuel international des indices de prix des logements \parencite{eurostat2013} les compare chapitre par chapitre.3233\begin{table}[htbp]34\caption{Familles d'indices de prix des logements : données, hypothèse centrale et faiblesse principale}\label{tab:35:taxonomie}35\centering\small36\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}lYYY@{}}37\toprule38Méthode & Données requises & Hypothèse centrale & Faiblesse principale \\39\midrule40Médiane, moyenne (brutes ou stratifiées) & Prix et date de chaque vente ; strates (type, secteur) & La composition des ventes est stable d'une période à l'autre & Biais de composition ; la stratification ne corrige que les strates observées \\41Hédonique à indicatrices temporelles & Prix, date et caractéristiques de chaque vente & Prix implicites constants sur la fenêtre d'estimation ; forme fonctionnelle correcte & Révision de toute la série quand une période s'ajoute ; dépend de la spécification \\42Hédonique chaîné (périodes adjacentes) & Idem & Prix implicites constants sur deux périodes seulement & Dérive du chaînage ; variance cumulée \\43Hédonique par imputation (Laspeyres, Paasche, Fisher) & Idem, avec un modèle par période & Modèle estimable période par période & Exige beaucoup de ventes par période ; dépend du panier \\44Ventes répétées (BMN, Case--Shiller) & Prix et dates des immeubles vendus au moins deux fois & Qualité de l'immeuble constante entre ses deux ventes ; absence de sélection & Sous-échantillon des reventes ; rénovations et dépréciation ; révision ; petits échantillons \\45SPAR (prix / valeur au rôle) & Prix de chaque vente et valeur au rôle de l'immeuble à une date de référence commune & Rôle uniforme (ratio prix/valeur indépendant des caractéristiques) & Hérite des biais du rôle ; rupture à chaque nouveau rôle \\46Hybride (hédonique + ventes répétées) & Toutes les ventes, caractéristiques connues ou non & Modèle commun aux ventes uniques et répétées & Complexité ; peu diffusé \\47\bottomrule48\end{tabularx}49\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{eurostat2013}, \textcite{hill2013} et \textcite{bourassaHoesliSun2006}.}50\end{table}5152\subsection{Ce qu'un indice ne mesure pas}5354Trois précisions évitent des confusions courantes. D'abord, un indice de prix n'est pas un indice de valeur : il mesure la variation du prix d'un bien de caractéristiques constantes, non la variation de la valeur d'un bien particulier, qui vieillit, se dégrade ou s'améliore entre deux dates. Un immeuble qui a vingt ans à la date d'évaluation et dix-sept ans à la date de la vente comparable n'a pas la même qualité aux deux dates ; l'indice mesure ce que vaudrait aujourd'hui l'immeuble \emph{tel qu'il était}, et l'ajustement d'âge ou d'état, s'il y a lieu, est distinct. Cette distinction est au cœur des travaux de \textcite{knightSirmans1996} et de \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} sur la dépréciation mesurée dans les modèles de ventes répétées, sur lesquels la \cref{sec:35:repetees} revient. Ensuite, un indice est propre à un territoire et à un segment : l'indice d'une région métropolitaine agrège des sous-marchés dont les trajectoires peuvent diverger, comme la \cref{fig:35:ipln} le montrera pour les logements neufs des cinq régions métropolitaines québécoises couvertes, et le \cref{ch:17} a rappelé qu'appliquer à une unifamiliale de Gatineau l'indice de la région de Montréal n'est pas un ajustement, mais une erreur de marché. Enfin, un indice est une estimation : il a une variance, qui dépend du nombre de ventes de chaque période, et il est révisé lorsque de nouvelles observations s'ajoutent. Les deux dernières valeurs publiées d'un indice de ventes répétées, celles qui servent justement à l'ajustement de conditions du marché, sont les moins précises et les plus révisées, et le chapitre y revient à la \cref{sec:35:sensibilite}.5556\section{Médiane, moyenne et biais de composition}\label{sec:35:mediane}5758\subsection{La médiane mesure deux choses à la fois}5960Le \motcle{prix médian} est la statistique la plus diffusée, parce qu'elle est simple, robuste aux ventes extrêmes et calculable sans aucune information sur les caractéristiques des biens vendus. C'est précisément cette dernière propriété qui en fait un mauvais indice : si la médiane ne voit pas les caractéristiques, elle ne peut pas les tenir constantes. Supposons que la fonction de prix soit celle du modèle de référence, $\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \varepsilon_i$. La moyenne des logarithmes des prix de la période $t$, c'est-à-dire le logarithme de leur moyenne géométrique $\bar P^{\,g}_t$, s'écrit61\begin{equation}\label{eq:35:decomposition}62\ln \bar P^{\,g}_t = \alpha + \bar{\mathbf{x}}_t\T\boldsymbol\beta + \tau_t + \bar\varepsilon_t ,63\qquad\text{d'où}\qquad64\ln \frac{\bar P^{\,g}_t}{\bar P^{\,g}_0} = \underbrace{(\tau_t - \tau_0)}_{\text{variation pure}} + \underbrace{(\bar{\mathbf{x}}_t - \bar{\mathbf{x}}_0)\T\boldsymbol\beta}_{\text{effet de composition}} + (\bar\varepsilon_t - \bar\varepsilon_0),65\end{equation}66où $\bar{\mathbf{x}}_t$ est le vecteur des caractéristiques moyennes des ventes de la période $t$. La variation de la moyenne géométrique est la somme de la variation pure des prix, qui est ce que l'indice doit mesurer, et de l'effet de composition, qui est la valeur, aux prix implicites du modèle, du déplacement des caractéristiques moyennes des biens vendus. Si les ventes de la période $t$ comptent plus de maisons grandes, récentes ou situées dans un secteur cher que celles de la période $0$, la moyenne monte sans qu'aucun prix n'ait bougé. La médiane obéit à la même logique, de façon moins algébrique parce qu'elle n'est pas une moyenne, mais avec une sensibilité comparable à la composition. Lorsque les indicatrices temporelles sont estimées par les moindres carrés avec les mêmes données, les résidus somment à zéro dans chaque période et l'\cref{eq:35:decomposition} est une identité exacte : la moyenne géométrique corrigée de la composition, $\exp(\ln \bar P^{\,g}_t - \bar{\mathbf{x}}_t\T\hat{\boldsymbol\beta})$, reproduit exactement l'indice hédonique. C'est la façon la plus directe de voir qu'un indice hédonique \emph{est} une moyenne de prix corrigée de la composition.6768L'effet de composition n'est pas un bruit qui s'annule en moyenne. Il est corrélé au cycle : quand les taux d'intérêt montent, les acheteurs se reportent vers des biens plus petits ou plus éloignés, et la médiane baisse davantage que les prix ; quand un segment haut de gamme s'anime, la médiane monte sans que la maison type ne s'apprécie. \textcite{caseShiller1987}, en construisant les premiers indices de ventes répétées pour quatre villes américaines, montraient déjà que les médianes publiées par les associations de courtiers divergeaient des indices à qualité constante dans des proportions qui changeaient de signe selon la phase du cycle. Le \cref{ch:04} a tiré la même leçon des médianes québécoises : une variation de la médiane n'est pas une variation de prix.6970\subsection{La stratification et ses limites}7172Le remède le plus simple consiste à calculer des médianes par \emph{strates} homogènes, par type de propriété et par secteur, puis à les agréger avec des poids fixes, ceux du parc ou ceux des ventes de la période de base. Cette \motcle{médiane stratifiée} (en anglais \emph{mix-adjusted median}) neutralise la composition \emph{entre} les strates : si les ventes se déplacent de Hull vers Aylmer, l'agrégat à poids fixes ne bouge pas. Elle ne neutralise rien \emph{à l'intérieur} des strates : si, dans Aylmer, les maisons vendues ce trimestre sont plus grandes, la médiane de la strate monte. Le manuel international des indices recommande la stratification comme méthode minimale lorsque les caractéristiques ne sont pas disponibles, et il montre que son efficacité dépend entièrement de la finesse des strates et de la stabilité de la composition intra-strate \parencite{eurostat2013}. Avec des données de rôle ou de courtage qui renseignent la superficie, l'âge et le type, la stratification n'a plus de raison d'être : le modèle hédonique fait la même chose de façon continue et sur toutes les caractéristiques à la fois.7374\section{Les indices hédoniques}\label{sec:35:hedonique}7576\subsection{L'indice à indicatrices temporelles}7778La construction la plus courante estime, sur l'ensemble des ventes de la fenêtre d'étude, le modèle semi-logarithmique du \cref{ch:18} avec une indicatrice pour chaque période sauf la première :79\begin{equation}\label{eq:35:td}80\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \sum_{t=1}^{T} \tau_t\, D_{it} + \varepsilon_i, \qquad D_{it} = \mathbb{1}\{t(i) = t\},81\end{equation}82où $t(i)$ est la période de la vente $i$. Le coefficient $\tau_t$ est le logarithme du rapport entre le prix espéré d'un logement de caractéristiques données à la période $t$ et celui du même logement à la période $0$. L'indice, dit \motcle{à indicatrices temporelles} (en anglais \emph{time dummy index}), est83\begin{equation}\label{eq:35:td-indice}84\hat I_t = 100\exp(\hat\tau_t), \qquad \hat I_0 = 100,85\end{equation}86et c'est ce que calcule la fonction \texttt{indice\_dummies\_temps} du module \texttt{traite.hedonique}. L'intervalle de confiance à 95 \% de $\hat I_t$ s'obtient en retransformant celui de $\hat\tau_t$ : $100\exp(\hat\tau_t \pm 1{,}96\,\hat\sigma_{\hat\tau_t})$, avec une erreur-type robuste à l'hétéroscédasticité. Cette erreur-type dépend d'abord du nombre de ventes de la période $t$ \emph{et} de la période de base : comme $\hat\tau_t$ compare deux moyennes corrigées, sa variance est approximativement $\hat\sigma^2(1/n_t + 1/n_0)$ lorsque les caractéristiques sont équilibrées entre les périodes, et elle est donc gouvernée par la plus petite des deux périodes. Une période de base peu fournie dégrade toute la série ; une dernière période peu fournie dégrade la valeur la plus récente, qui est celle que l'ajustement de conditions du marché utilise.8788L'indice à indicatrices a deux qualités et deux défauts. Il utilise toutes les ventes, uniques ou répétées, et il est défini sans ambiguïté de panier. En revanche, il suppose que les prix implicites $\boldsymbol\beta$ sont constants sur toute la fenêtre, ce qui est douteux sur plusieurs années : la prime d'un garage ou d'un secteur peut changer avec le cycle. Et il est \emph{révisé} à chaque nouvelle période : ajouter les ventes de la période $T+1$ réestime $\boldsymbol\beta$ et, par ricochet, tous les $\hat\tau_t$ antérieurs. Pour un indice publié, cette révision rétrospective est un inconvénient sérieux, et c'est la raison pour laquelle les producteurs recourent au chaînage.8990\subsection{Le chaînage par périodes adjacentes}9192L'\motcle{indice chaîné} estime le modèle sur deux périodes adjacentes seulement, $t-1$ et $t$, avec une seule indicatrice,93\begin{equation}\label{eq:35:chaine}94\ln P_i = \alpha_t + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta_t + \delta_t\, \mathbb{1}\{t(i) = t\} + \varepsilon_i \quad (i : t(i) \in \{t-1, t\}), \qquad \hat I_t = \hat I_{t-1}\exp(\hat\delta_t),95\end{equation}96et enchaîne les variations. Les prix implicites $\boldsymbol\beta_t$ sont libres de changer d'une paire de périodes à l'autre, et l'ajout d'une période ne révise pas les maillons antérieurs, deux avantages décisifs pour la publication. Le prix à payer est double. D'une part, la variance s'accumule : l'erreur-type du logarithme de $\hat I_t$ est la racine de la somme des variances des maillons, $\sqrt{\sum_{s \leq t}\hat\sigma^2_{\hat\delta_s}}$, de sorte que l'incertitude sur le niveau de l'indice croît avec la distance à la base, alors que celle de l'indice à indicatrices reste bornée. D'autre part, le chaînage peut \emph{dériver} : si la composition des ventes oscille d'une période à l'autre et que le modèle est mal spécifié, les erreurs de chaque maillon ne se compensent pas nécessairement, et l'indice chaîné s'écarte de l'indice direct entre les mêmes dates. La variante dite à \emph{fenêtre glissante} (en anglais \emph{rolling window time dummy}), qui estime chaque maillon sur plusieurs périodes plutôt que deux, est un compromis entre les deux constructions ; \textcite{dehaanDiewert2013} en discutent les propriétés et recommandent de documenter la longueur de la fenêtre.9798\subsection{L'imputation et les paniers}99100La troisième construction renoue avec la théorie classique des indices. On estime un modèle hédonique \emph{par période}, puis l'on impute à chaque logement vendu à la période de base le prix qu'il aurait obtenu à la période $t$, ou réciproquement. En logarithmes, avec $\hat p_s(\mathbf{x}) = \hat\alpha_s + \mathbf{x}\T\hat{\boldsymbol\beta}_s$ le prix prédit à la période $s$ pour les caractéristiques $\mathbf{x}$, l'indice d'\motcle{imputation} géométrique de Laspeyres (panier de la période de base) et celui de Paasche (panier de la période courante) sont101\begin{equation}\label{eq:35:imputation}102\ln \hat I^{\,L}_t = \frac{1}{n_0}\sum_{i \in 0}\left[\hat p_t(\mathbf{x}_i) - \hat p_0(\mathbf{x}_i)\right], \qquad103\ln \hat I^{\,P}_t = \frac{1}{n_t}\sum_{i \in t}\left[\hat p_t(\mathbf{x}_i) - \hat p_0(\mathbf{x}_i)\right], \qquad104\ln \hat I^{\,F}_t = \tfrac{1}{2}\left(\ln \hat I^{\,L}_t + \ln \hat I^{\,P}_t\right),105\end{equation}106l'indice de Fisher étant la moyenne géométrique des deux. La version dite à \emph{double imputation} remplace, pour le panier de base, le prix observé par le prix prédit dans la période de base aussi, ce que l'\cref{eq:35:imputation} fait déjà en utilisant $\hat p_0(\mathbf{x}_i)$ plutôt que $\ln P_i$ : les résidus des ventes individuelles n'entrent pas dans l'indice. Le manuel international recommande cette famille, et en particulier l'indice de Fisher à double imputation, parce qu'elle laisse les prix implicites varier librement d'une période à l'autre et qu'elle se rattache aux indices économiques classiques \parencite{eurostat2013,dehaanDiewert2013}. Son exigence pratique est lourde : il faut assez de ventes dans \emph{chaque} période pour estimer un modèle complet, ce qui exclut les marchés minces et les périodes courtes, sauf à réduire le modèle.107108\begin{proposition}{Équivalence de l'imputation et des indicatrices temporelles}{imputation-td}109Si les modèles de chaque période partagent les mêmes prix implicites $\boldsymbol\beta$ et ne diffèrent que par leur constante, de sorte que $\hat p_t(\mathbf{x}) - \hat p_0(\mathbf{x}) = \hat\tau_t$ pour tout $\mathbf{x}$, alors les indices d'imputation géométriques de Laspeyres, de Paasche et de Fisher coïncident entre eux et avec l'indice à indicatrices temporelles : $\hat I^{\,L}_t = \hat I^{\,P}_t = \hat I^{\,F}_t = 100\exp(\hat\tau_t)$.110\end{proposition}111\begin{proof}112Sous l'hypothèse, chaque terme des sommes de l'\cref{eq:35:imputation} vaut $\hat\tau_t$ quel que soit $i$ ; les moyennes sur $n_0$ ou $n_t$ termes valent donc $\hat\tau_t$, et leur demi-somme aussi. L'exponentielle donne l'indice de l'\cref{eq:35:td-indice}.113\end{proof}114115La proposition dit où se situe la différence entre les constructions : uniquement dans la liberté laissée aux prix implicites de varier. Avec des prix implicites communs, l'imputation n'apporte rien ; avec des prix implicites propres à chaque période, l'écart entre Laspeyres et Paasche mesure l'interaction entre le changement des prix implicites et le changement de composition, exactement comme dans la théorie des indices de prix à la consommation. L'exemple intégral vérifie numériquement la proposition sur le cas 1, puis estime l'indice chaîné pour voir ce que la liberté des coefficients change sur un marché où, par construction, les prix implicites sont constants.116117\subsection{Ce que la spécification fait à l'indice}118119Un indice hédonique hérite de toutes les hypothèses du modèle sous-jacent, et le \cref{ch:18} en a dressé la liste. Deux conséquences propres aux indices méritent d'être soulignées. La première concerne les variables omises : si une caractéristique qui contribue au prix et dont la fréquence change au fil du temps est absente du modèle, sa contribution est absorbée par les indicatrices temporelles, et l'indice mesure en partie la composition qu'il prétend neutraliser. Un indice construit sans variable de localisation fine, sur un marché où les ventes se déplacent vers les quartiers centraux, surestime la hausse des prix. La seconde concerne l'âge. Dans un modèle estimé sur plusieurs années, l'âge de chaque logement à sa vente et la date de la vente sont presque colinéaires pour un logement donné ; sur l'ensemble des ventes, la colinéarité n'est pas parfaite parce que les années de construction diffèrent, mais \textcite{clappGiaccotto1998} ont montré que la façon dont l'âge est spécifié affecte directement les effets temporels estimés. L'indice à indicatrices mesure la variation du prix \emph{à âge constant}, ce qui est bien ce que l'on veut pour l'ajustement d'un comparable que l'on ramène à la date d'évaluation sans le vieillir ; l'indice de ventes répétées, lui, laisse l'immeuble vieillir entre ses deux ventes, et la \cref{sec:35:repetees} dit comment en tenir compte.120