spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 8 — Zonage et urbanisme2% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch08.py (classe TestExercices) à partir de analysis/python/cases/ch08_zonage.py.34\begin{solution}{ex:8:1}{Lecture d'une grille}5Le lot de \msq{540} excède le minimum de \msq{450} : il est conforme. Par l'\cref{eq:8:logements}, la densité admet $\lfloor 540/150 \rfloor = 3$ logements, ce qui est inférieur au plafond de quatre de la grille : $N_{\max} = \min\{4, 3\} = 3$. Par l'\cref{eq:8:cos}, l'aire de plancher maximale est $0{,}60 \times 540 = \msq{324}$, soit trois logements de \msq{108} au plus, sous réserve des marges et de la hauteur, qui peuvent réduire l'enveloppe constructible en deçà de ce que le COS permet.67Avec \msq{430}, le lot est inférieur au minimum de \msq{450} : il est dérogatoire au règlement de lotissement, et il n'est constructible que s'il bénéficie de droits acquis (lot existant avant la règle) ou d'une dérogation mineure, qui est possible ici parce que la superficie du lot n'est ni l'usage ni la densité (\cref{sec:8:derogations}). S'il est constructible, la densité admet $\lfloor 430/150 \rfloor = 2$ logements et une aire de plancher de $0{,}60 \times 430 = \msq{258}$. La fonction \texttt{densite\_admissible} du script du chapitre reproduit ces deux cas.8\end{solution}910\begin{solution}{ex:8:2}{Contribution pour fins de parcs}11Par l'\cref{eq:8:parcs}, le plafond est de $0{,}10 \times 3100 = \msq{310}$ en terrain ou de $0{,}10 \times \dollars{1250000} = \dollars{125000}$ en argent (art.~117.4 al.~1 LAU). La combinaison proposée cède \msq{155}, soit la moitié du plafond en superficie, et \dollars{62500}, soit la moitié du plafond en valeur ; la valeur totale de la contribution, en supposant la valeur du terrain cédé proportionnelle à sa superficie ($155/3100 \times \dollars{1250000} = \dollars{62500}$), est de \dollars{125000}, soit exactement 10 \% de la valeur du site : la combinaison respecte le plafond. Si le terrain cédé avait une valeur unitaire supérieure à la moyenne du site (par exemple la partie en façade), la combinaison dépasserait le plafond, d'où l'importance de l'évaluation du site et de la partie cédée.1213La loi permet de dépasser 10 \% lorsque le terrain est situé dans un secteur central et que la municipalité veut y aménager un espace vert (art.~117.4 al.~3 LAU). En zone agricole, seule la partie du site non affectée à l'agriculture entre dans l'assiette (al.~6).14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:8:3}{Valeur d'un triplex dérogatoire}17Revenu net du triplex : $3 \times 12 \times \dollars{1250} \times (1 - 0{,}38) = \dollars{45000} \times 0{,}62 = \dollars{27900}$. Revenu net de la maison conforme : $12 \times \dollars{2600} \times 0{,}70 = \dollars{21840}$. Surplus dérogatoire : $\Delta\NOI = \dollars{6060}$ par année.1819Par l'\cref{eq:8:surplus}, avec $R = 0{,}06$ : $V_\Delta = 6060/0{,}06 = \dollars{101000}$ pour $\lambda = 0$, et $V_\Delta = 6060/(0{,}06 + 0{,}03) = \dollars{67333}$ pour $\lambda = 3$ \% : le tiers du surplus disparaît avec un risque annuel de trois pour cent. Sur un horizon de 20 ans, l'\cref{eq:8:surplus-horizon} donne $V_\Delta(20) = 6060 \times (1 - e^{-0{,}09 \times 20})/0{,}09 = 6060 \times 0{,}8347/0{,}09 = \dollars{56203}$.2021Un taux de capitalisation extrait de ventes de plex dérogatoires est le rapport entre leur revenu net, qui inclut le surplus, et leur prix, qui reflète déjà la fragilité de ce surplus telle que les acheteurs l'apprécient. Ce taux est donc une mesure de $R + \lambda$ moyen du marché, et non de $R$ ; lui ajouter un $\lambda$ reviendrait à compter le risque d'extinction deux fois. La décomposition $R + \lambda$ n'a de sens que si $R$ est extrait de ventes d'immeubles conformes de même nature, ou si l'évaluateur apprécie un risque propre au sujet (vacance prolongée, bâtiment en mauvais état) que le marché des plex dérogatoires ne reflète pas en moyenne.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:8:4}{Doubles différences}25Par l'\cref{eq:8:did} : $\hat\delta_{2\times 2} = (12{,}83 - 12{,}72) - (12{,}76 - 12{,}70) = 0{,}11 - 0{,}06 = 0{,}05$, soit $100\,[e^{0{,}05} - 1] = 5{,}13$ \%. Les prix de l'îlot ont augmenté de 11 points de logarithme, ceux des témoins de 6 ; la différence est attribuée au rezonage.2627L'estimateur suppose que, sans le rezonage, les prix de l'îlot auraient suivi la même évolution que ceux des témoins (tendances parallèles) et que les ventes antérieures au rezonage n'en anticipaient pas déjà l'effet. Il est biaisé si la composition des ventes diffère entre les quatre groupes : si les maisons de l'îlot vendues après le rezonage sont plus grandes, plus récentes ou vendues plus tard dans la période que celles vendues avant, l'écart de 0,11 contient leur effet ; symétriquement pour les témoins. Avec de petits échantillons, ces différences de composition sont la règle plutôt que l'exception, comme le montre l'exemple du chapitre où l'estimateur $2 \times 2$ (11,19 \%) s'écarte nettement de la vérité du générateur (6,15 \%).2829La régression de l'\cref{eq:8:did-reg} ajoute aux indicatrices de groupe, de période et d'interaction les caractéristiques des maisons (superficies, âge) et une tendance temporelle continue : le coefficient $\delta$ de l'interaction mesure alors l'écart entre traités et témoins après le rezonage à caractéristiques et à date données, ce qui neutralise la composition. Elle fournit en outre une erreur-type, que l'estimateur $2 \times 2$ ne donne pas directement.30\end{solution}3132\begin{solution}{ex:8:5}{Lot en zone agricole}33Valeur agricole : $8 \times \dollars{14000} = \dollars{112000}$. Si l'autorisation est accordée, le lot vaut l'emplacement résidentiel plus le résidu agricole : $\dollars{110000} + 7{,}5 \times \dollars{14000} = \dollars{215000}$. Par l'\cref{eq:8:agricole}, avec $p = 0{,}25$, $T = 2$, $r = 0{,}06$ et $c = \dollars{6000}$ :34\[35V = 0{,}25 \times 215000 \times 1{,}06^{-2} + 0{,}75 \times 112000 - 6000 = 47837 + 84000 - 6000 = \dollars{125837}.36\]37Avec $p = 0{,}50$ : $V = 0{,}50 \times 215000 \times 1{,}06^{-2} + 0{,}50 \times 112000 - 6000 = 95675 + 56000 - 6000 = \dollars{145675}$. La valeur attendue excède la valeur agricole de 12 \% dans le premier cas et de 30 \% dans le second ; elle reste loin des \dollars{215000} de l'autorisation acquise, parce que la probabilité et le délai en absorbent la plus grande part.3839Pour fixer $p$, l'évaluateur examine les critères de l'article 62 al.~2 LPTAA : le potentiel agricole du lot et des lots voisins (classes de sols, drainage), les possibilités d'utilisation agricole du lot, les conséquences de l'autorisation sur les activités agricoles existantes et leur développement (distances séparatrices, odeurs), les contraintes réglementaires, la disponibilité d'autres emplacements de nature à éliminer ou réduire les contraintes sur l'agriculture hors de la zone agricole (art.~61.1), et l'homogénéité de la communauté et de l'exploitation agricoles. Les décisions antérieures de la Commission pour des demandes semblables dans la même municipalité sont le meilleur indicateur empirique, et la recommandation de la municipalité (art.~58.2) pèse sur l'issue.40\end{solution}4142\begin{solution}{ex:8:6}{Option de redéveloppement et charge d'inclusion}43(a) Valeur brute de développement : $3 \times 95 \times 5600 = \dollars{1596000}$. Coûts directs : $285 \times 2950 = \dollars{840750}$ ; coûts indirects : $0{,}12 \times 840750 = \dollars{100890}$ ; démolition \dollars{28000} ; marge : $0{,}15 \times 1596000 = \dollars{239400}$ ; financement : $0{,}03 \times 1596000 = \dollars{47880}$. Reste avant contribution : $1596000 - 840750 - 100890 - 28000 - 239400 - 47880 = \dollars{339080}$. Par l'\cref{eq:8:residuel}, $V_L = 339080/1{,}10 = \dollars{308255}$ et la contribution pour fins de parcs est de \dollars{30825}. La valeur en usage étant de \dollars{350000}, la prime d'option $\max\{0, 308255 - 350000\}$ est nulle : la plus haute et meilleure utilisation reste l'usage actuel, et le rezonage ne crée pas de valeur pour cette maison.4445(b) Avec $I = \dollars{45000}$ : $V_L = (339080 - 45000)/1{,}10 = \dollars{267345}$. La baisse est de $\dollars{308255} - \dollars{267345} = \dollars{40909} = 45000/1{,}10$ : la charge d'inclusion se transmet entièrement au terrain, diminuée du dixième que la contribution pour fins de parcs, assise sur une valeur de site plus faible, rend au promoteur.4647(c) La prime devient positive dès que $V_{\text{act}} < V_L = \dollars{308255}$ (sans inclusion). Pour une valeur en usage de \dollars{280000}, la prime est de $308255 - 280000 = \dollars{28255}$, soit 10,1 \% de la valeur en usage. La prime n'existe donc que pour les maisons dont la valeur est faible par rapport au terrain, les plus anciennes ou les plus petites, ce qui est la prédiction de l'\cref{eq:8:max} et ce que l'exemple du chapitre observe dans les paires.4849(d) Avec la fonction \texttt{valeur\_residuelle\_redeveloppement}, un prix des unités neuves de \parmsq{5040} ($-10$ \%) donne $V_L = \dollars{189280}$ et un prix de \parmsq{6160} ($+10$ \%) donne $V_L = \dollars{427229}$ : une variation de $\pm 10$ \% du prix de vente fait varier la valeur résiduelle de $-39$ \% à $+39$ \%. Ce levier est la propriété fondamentale de la méthode résiduelle : le terrain est le résidu d'une soustraction entre deux grands nombres, et une petite erreur sur l'un ou l'autre se répercute amplifiée sur lui. C'est pourquoi la valeur résiduelle ne peut être retenue comme indication de valeur qu'avec une analyse de sensibilité et, si possible, une confrontation avec des ventes de terrains comparables (\cref{ch:25} et \cref{ch:41}).50\end{solution}5152\begin{solution}{ex:8:7}{Dérivation et sensibilité du surplus dérogatoire}53(a) La protection subsiste à l'instant $t$ avec probabilité $e^{-\lambda t}$ ; le flux espéré est $\Delta\NOI\, e^{-\lambda t}$ et sa valeur actualisée au taux continu $R$ est $\Delta\NOI\, e^{-(R+\lambda)t}$. En intégrant de $0$ à $T$ :54\[55V_\Delta(T) = \Delta\NOI \int_0^T e^{-(R+\lambda)t}\, \dd t = \Delta\NOI \left[ \frac{-e^{-(R+\lambda)t}}{R+\lambda} \right]_0^T = \Delta\NOI\, \frac{1 - e^{-(R+\lambda)T}}{R+\lambda},56\]57qui est l'\cref{eq:8:surplus-horizon}. Comme $e^{-(R+\lambda)T} \to 0$ quand $T \to \infty$ (pour $R + \lambda > 0$), la limite est $\Delta\NOI/(R+\lambda)$, l'\cref{eq:8:surplus}.5859(b) En dérivant $V_\Delta = \Delta\NOI\,(R+\lambda)^{-1}$ par rapport à $\lambda$ : $\partial V_\Delta/\partial\lambda = -\Delta\NOI\,(R+\lambda)^{-2} = -V_\Delta/(R+\lambda)$. La perte de valeur par point de risque supplémentaire est proportionnelle à la valeur restante et inversement proportionnelle au dénominateur : plus le surplus est déjà risqué (ou le taux élevé), moins un risque additionnel lui coûte. La sensibilité est donc décroissante, ce qui fait des premiers points de $\lambda$ les plus importants à apprécier.6061(c) Avec $\Delta\NOI = \dollars{3300}$, $R = 0{,}055$ et $\lambda = 0{,}02$ : $V_\Delta = 3300/0{,}075 = \dollars{44000}$. Une hausse de 20 points de base porte le dénominateur à $0{,}077$ et $V_\Delta = 3300/0{,}077 = \dollars{42857}$, soit une baisse de \dollars{1143} (2,6 \%). L'approximation linéaire $-V_\Delta/(R+\lambda) \times 0{,}002 = -44000/0{,}075 \times 0{,}002 = -\dollars{1173}$ en est proche ; l'écart tient à la convexité.6263(d) La disposition de l'article 118 par.~6° LAU rend la protection conditionnelle à la survie du bâtiment : un sinistre qui détruit le bâtiment ou lui fait perdre au moins la moitié de sa valeur éteint la dérogation à la reconstruction. Le taux de risque $\lambda$ est la somme des intensités de tous les événements extinctifs indépendants, et celle des sinistres majeurs s'y ajoute à celles de l'abandon prolongé et de l'extension non permise ; elle dépend de l'âge, de la construction et de la protection incendie du bâtiment, et de la présence ou non de cette disposition dans le règlement municipal (la loi la permet, elle ne l'impose pas). Si le taux de capitalisation a été extrait de ventes d'immeubles dérogatoires soumis au même règlement, les acheteurs de ces immeubles ont déjà tarifé ce risque dans les prix, et le taux extrait est déjà un $R + \lambda$ : l'ajouter de nouveau le compterait deux fois. On n'ajoute un $\lambda$ propre au sujet que pour la part du risque qui excède celle des comparables, par exemple un bâtiment en bien plus mauvais état ou une vacance en cours.64\end{solution}65