spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 16 — Substitution et choix des comparables2% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch16.py34\begin{solution}{ex:16:1}{Unités de comparaison}5Les prix unitaires sont $525\,000/152 = \parmsq{3453.95}$, $489\,000/141 = \parmsq{3468.09}$ et $561\,000/171 = \parmsq{3280.70}$. La médiane est \parmsq{3453.95} ; appliquée aux \msq{165} du sujet, elle donne une indication brute de $3\,453{,}95 \times 165 = \dollars{569902}$, arrondie à \dollars{570000}. Si l'élasticité du prix à la superficie est inférieure à un, le prix unitaire décroît avec la taille : les deux comparables plus petits que le sujet (152 et \msq{141}) ont des prix unitaires supérieurs à celui qu'aurait le sujet, et la médiane, tirée de l'un d'eux, surestime la valeur. Le comparable le plus grand (\msq{171}) donne la borne basse (\parmsq{3280.70}, soit \dollars{541316} pour le sujet) ; l'indication « juste » se situe entre les deux et exige un ajustement de superficie plutôt qu'une simple proportionnalité.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:16:2}{Ventes utilisables ou non}9(a) Utilisable sans ajustement : la vente successorale a bénéficié d'une exposition normale (41 jours, courtier) ; la motivation du vendeur n'a pas comprimé le prix de façon démontrable. (b) À vérifier, probablement à écarter : la vente à un locataire en place sans inscription n'a pas été exposée au marché ; le prix peut refléter une relation préexistante. Elle ne serait utilisable qu'avec la preuve que le prix a été fixé par référence au marché. (c) Utilisable avec ajustement de financement : la balance de prix de vente à 2 \% sur cinq ans, alors que les taux de marché sont nettement supérieurs, a une valeur pour l'acheteur qui gonfle le prix nominal ; on retranche la valeur actualisée de l'avantage de taux (\cref{ch:17}). (d) À écarter en général : la reprise de finance est vendue par un vendeur contraint dont l'objectif est de recouvrer la créance ; la vente n'est pas sincère au sens de la définition. Elle peut servir d'indice de borne basse. (e) À écarter : les droits transmis diffèrent (fraction de copropriété divise avec charges communes et déclaration de copropriété, contre pleine propriété) ; aucun ajustement de droits n'est fiable entre ces deux segments. (f) Utilisable avec ajustement de conditions du marché : vingt mois dépassent la fenêtre usuelle, mais si le marché est mince et que l'indice de prix du secteur est bien mesuré, l'ajustement temporel est préférable à un comparable d'un autre secteur. Le dossier doit justifier la fenêtre.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:16:3}{Distance d'attributs}13Avec les écarts normalisés et pondérés de l'\cref{eq:16:distance} :14\begin{align*}15d_A &= \sqrt{2\left(\tfrac{7}{25}\right)^2 + 0{,}7\left(\tfrac{20}{150}\right)^2 + \left(\tfrac{3}{10}\right)^2 + 0} = \sqrt{0{,}1568 + 0{,}0124 + 0{,}09} = 0{,}509, \\16d_B &= \sqrt{2\left(\tfrac{25}{25}\right)^2 + 0{,}7\left(\tfrac{30}{150}\right)^2 + \left(\tfrac{18}{10}\right)^2 + 1} = \sqrt{2 + 0{,}028 + 3{,}24 + 1} = 2{,}504, \\17d_C &= \sqrt{2\left(\tfrac{15}{25}\right)^2 + 0{,}7\left(\tfrac{220}{150}\right)^2 + \left(\tfrac{2}{10}\right)^2 + 1} = \sqrt{0{,}72 + 1{,}506 + 0{,}04 + 1} = 1{,}807 .18\end{align*}19Classement : A, puis C, puis B. Avec un poids de 3 sur l'âge, le terme d'âge de B passe de 3,24 à 9,72 ($d_B = 3{,}57$) et celui de C de 0,04 à 0,12 ($d_C = 1{,}83$) : le classement ne change pas, A restant de loin le plus proche. Le candidat B, récent et de qualité supérieure, est pénalisé surtout par son âge et sa qualité ; il exigerait des ajustements importants sur ces deux éléments.20\end{solution}2122\begin{solution}{ex:16:4}{Fenêtre temporelle et ajustement de conditions du marché}23Le facteur d'ajustement pour quinze mois à 4,43 \% par année composé est $(1{,}0443)^{15/12} - 1 = 0{,}0557$, soit un ajustement de $506\,500 \times 0{,}0557 = \dollars{28200}$ environ, et un prix ajusté pour les conditions du marché de \dollars{534700}. Élargir la fenêtre fait passer $n$ de 9 à 21 : si les comparables étaient de variance égale et pondérés également, la variance de l'indication passerait de $\sigma^2/9$ à $\sigma^2/21$, soit une réduction de l'écart-type d'environ 35 \%. Mais les douze candidats supplémentaires exigent des ajustements temporels de 12 à 24 mois dont l'incertitude s'ajoute à $\sigma_j^2$ : si le taux de croissance est connu à plus ou moins un point de pourcentage par année, l'incertitude de l'ajustement à 24 mois atteint à elle seule environ 2 \% du prix. L'élargissement n'est avantageux que si cette incertitude reste petite devant la dispersion des prix ; dans un marché dont l'indice est bien mesuré, il l'est ; dans un marché en retournement, il ne l'est pas.24\end{solution}2526\begin{solution}{ex:16:5}{Pondérations optimales}27Les inverses des variances, en milliers de dollars au carré, sont $1/400 = 0{,}0025$, $1/900 = 0{,}001111$ et $1/1600 = 0{,}000625$, de somme $0{,}004236$. Les pondérations optimales sont donc $w_1 = 0{,}590$, $w_2 = 0{,}262$ et $w_3 = 0{,}148$. La variance minimale est $1/0{,}004236 = 236{,}1$ (milliers\textsuperscript{2}), soit un écart-type de \dollars{15400}. Avec des pondérations égales, la variance est $(400 + 900 + 1600)/9 = 322{,}2$, soit un écart-type de \dollars{17950} : la pondération optimale réduit l'écart-type d'environ 14 \%. Si $\sigma_1$ est réestimé à \dollars{10000}, $1/\sigma_1^2 = 0{,}01$, la somme devient $0{,}011736$ et $w_1 = 0{,}852$ : l'indication repose presque entièrement sur le premier comparable, ce qui illustre la sensibilité des pondérations optimales à l'estimation des variances soulignée par Green (1994).28\end{solution}2930\begin{solution}{ex:16:6}{Robustesse de la sélection aux paramètres de la distance}31Les résultats dépendent de la version du jeu de données ; la solution décrit la démarche et les résultats obtenus avec la graine 20261031. (a) Doubler le poids de la distance géographique favorise les ventes à moins d'un kilomètre : les comparables G0574 et G0404, déjà les plus proches, restent en tête, et les candidats à plus de deux kilomètres (G0477, G0575) tendent à être remplacés par des ventes plus proches mais plus anciennes ou de taille plus éloignée. (b) Annuler le poids de l'ancienneté fait remonter des ventes de 2025 ; l'indication brute change peu, parce que le filtre de dix-huit mois a déjà borné l'ancienneté. (c) Un poids de 3 sur la qualité pénalise G0574, G0468 et G0477 (qualité 4) et G0575 (qualité 2) au profit de candidats de qualité 3 ; c'est la variante qui modifie le plus la composition. La note doit souligner que la robustesse de la composition aux poids est une information en soi : lorsque la sélection change beaucoup pour de petites variations des paramètres, le marché offre plusieurs ensembles de comparables également défendables, et la fourchette de valeur du \cref{ch:20} doit en tenir compte ; le dossier doit consigner les paramètres retenus et les variantes essayées.32\end{solution}3334\begin{solution}{ex:16:7}{Nombre optimal de comparables}35L'erreur quadratique moyenne est $\mathrm{EQM}(k) = b_1^2 k^2 + \sigma^2 / k$. Sa dérivée, $2 b_1^2 k - \sigma^2 / k^2$, s'annule pour $k^3 = \sigma^2 / (2 b_1^2)$, d'où l'\cref{eq:16:kopt}. Avec $\sigma = 25\,000$ et $b_1 = 2\,000$ : $\sigma^2 / (2 b_1^2) = 6{,}25 \times 10^8 / (8 \times 10^6) = 78{,}1$, et $k^* = 78{,}1^{1/3} = 4{,}27$, soit quatre comparables ; l'EQM vaut alors $4 \times 10^6 \times 16 + 6{,}25 \times 10^8 / 4 = 2{,}20 \times 10^8$, soit une erreur type d'environ \dollars{14800}. Si un modèle hédonique divise $b_1$ par quatre ($b_1 = 500$), le ratio devient $1\,250$ et $k^* = 10{,}8$ : on retient une dizaine de comparables. C'est le résultat de Kummerow et Galfalvy (2002) : plus les ajustements sont précis, plus il est avantageux d'élargir l'échantillon, jusqu'au point où la méthode de comparaison rejoint la régression hédonique.36\end{solution}37