spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 34 — TAL, encadrement locatif et scénarios2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch34_tal.py (fonction exercices()) ; données du cas 3 : SYNTHÉTIQUES.34\begin{solution}{ex:34:1}{Pourcentage de base}5Les trois variations annuelles sont $(161{,}0 - 157{,}2)/157{,}2 = \pct{2.417}$, $(157{,}2 - 153{,}6)/153{,}6 = \pct{2.344}$ et $(153{,}6 - 147{,}0)/147{,}0 = \pct{4.490}$ ; leur moyenne est de \pct{3.084}, que le Tribunal publierait arrondie à \pct{3.1}. Si $A$ valait $155{,}0$, la première variation deviendrait $(155{,}0 - 157{,}2)/157{,}2 = -\pct{1.399}$ et la moyenne $(-1{,}399 + 2{,}344 + 4{,}490)/3 = \pct{1.81}$ : une déflation d'une année n'annule pas le pourcentage de base, parce que les deux variations antérieures continuent de peser ; seul un résultat négatif de la moyenne est réputé nul (art.~3.1, 3\textsuperscript{e} al.). Le pourcentage de base de l'année suivante est prévisible parce que deux de ses trois composantes, $(B-C)/C$ et $(C-D)/D$, sont déjà connues à la fin de la période de référence, et que la troisième, $(A-B)/B$, se déduit de l'inflation en cours : à la fin de 2026, on sait déjà que la fixation de 2027 reposera sur les variations de 2025 (\pct{2.47}) et de 2024 (\pct{2.33}), de sorte qu'avec une inflation de 2026 voisine de \pct{3}, le pourcentage de base de 2027 s'établirait autour de \pct{2.6}.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:34:2}{Franchise sur les taxes}9La part attribuable est $s = 1\,100 \times 12 / 180\,000 = \pct{7.333}$. La variation des taxes est de $(26\,400 - 24\,000)/24\,000 = \pct{10}$ ; le pourcentage net est $10 - 3{,}1 = \pct{6.9}$ ; il s'applique au montant mensuel de la période de référence, $24\,000/12 = \dollars{2000}$, puis à la part : $0{,}069 \times 2\,000 \times 0{,}07333 = \dollars{10.12}$ par mois. Pour une hausse de \pct{6}, le pourcentage net est de \pct{2.9} et le montant de $0{,}029 \times 2\,000 \times 0{,}07333 = \dollars{4.25}$. Pour une hausse de \pct{2}, inférieure au pourcentage de base, le résultat de la soustraction est négatif et réputé nul : rien n'est répercuté au titre des taxes, la hausse étant réputée couverte par le pourcentage de base appliqué au loyer ($1\,100 \times 0{,}031 = \dollars{34.10}$).10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:34:3}{Fixation complète du logement 201}13Part attribuable : $s_{201} = 1\,144 \times 12 / 174\,900 = \pct{7.849}$. Pourcentage de base : $1\,144 \times 0{,}031 = \dollars{35.46}$. Taxes municipales : hausse de \pct{5}, pourcentage net $5{,}0 - 3{,}1 = \pct{1.9}$, appliqué au montant mensuel de 2025, $10\,631/12 = \dollars{885.92}$, puis à la part : $0{,}019 \times 885{,}92 \times 0{,}07849 = \dollars{1.32}$. Taxes scolaires : hausse de \pct{1.9}, inférieure au pourcentage de base, rien. Assurances : baisse de \pct{12.3}, rien. Dépenses d'immobilisation : $0{,}05 \times 40\,000 = \dollars{2000}$ par an pour l'immeuble, soit $2\,000 \times 0{,}07849 / 12 = \dollars{13.08}$ par mois. Total avant arrondi : $35{,}46 + 1{,}32 + 13{,}08 = \dollars{49.87}$ ; nouveau loyer $1\,144 + 49{,}87 = 1\,193{,}87$, arrondi à \dollars{1194} (art.~15.1), soit une augmentation de \dollars{50} ou \pct{4.37}. L'écart au marché est de $1\,345 - 1\,144 = \dollars{201}$ ; l'augmentation en résorbe \pct{24.9}, et encore cette fraction est-elle surestimée puisque le loyer de marché aura lui-même progressé d'ici au terme du bail.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:34:4}{Espérance du rapport de loyer}17$\delta = 1{,}031/1{,}035 = 0{,}99614$ et $a = 0{,}9 \times 0{,}99614 = 0{,}89652$. Par l'\cref{eq:34:fermee}, $\E[q_1] = 0{,}70 \times 0{,}89652 + 0{,}10 = 0{,}7276$ ; $\E[q_5] = 0{,}70 \times 0{,}89652^5 + 0{,}10\,(1 - 0{,}89652^5)/(1 - 0{,}89652) = 0{,}8121$ ; $\E[q_{10}] = 0{,}8770$. La limite est $q_\infty = 0{,}10 / (1 - 0{,}89652) = 0{,}9664$ : le logement se stabilise, en moyenne, à \pct{96.6} du marché. La probabilité que le locataire initial soit encore en place après dix ans est $0{,}9^{10} = 0{,}3487$, et la durée espérée de son occupation restante est $1/0{,}10 = 10$ ans. Avec une rotation de \pct{20}, $a = 0{,}8 \times 0{,}99614 = 0{,}79691$ et $q_\infty = 0{,}20/(1 - 0{,}79691) = 0{,}9848$ : doubler la rotation ne gagne que $1{,}8$ point sur la limite, mais accélère beaucoup la convergence, puisque $a^{10}$ passe de $0{,}335$ à $0{,}103$.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:34:5}{Éviction : coût et délai de récupération}21Le locataire occupe le logement depuis dix-huit ans à la date d'évaluation ; l'indemnité de l'article 1965 C.c.Q. est d'un mois de loyer par année de location ininterrompue, bornée entre trois et vingt-quatre mois, soit $18 \times 728 = \dollars{13104}$, à laquelle s'ajoutent des frais de déménagement de \dollars{1500}, pour un total de \dollars{14604} ; le Tribunal peut accorder davantage. Le gain de loyer, si le logement était ensuite reloué au marché, serait de $(1\,047 - 728) \times 12 = \dollars{3828}$ par an, de sorte que la dépense serait récupérée en $14\,604 / 3\,828 = 3{,}8$ ans, avant impôt et sans compter les travaux. Ce calcul est toutefois sans portée pour la valeur marchande, pour cinq raisons. Premièrement, l'article 1959 ne permet l'éviction que pour subdiviser le logement, l'agrandir substantiellement ou en changer l'affectation : relouer le même logement plus cher n'est pas un motif, et un logement évincé ne peut être reloué à une autre fin sans l'autorisation du Tribunal, qui en fixe alors le loyer (art.~1970 pour la reprise ; art.~1963 et 1964 pour la preuve exigée). Deuxièmement, la Loi 65 interdit toute éviction de ce type avant le 6 juin 2027, et rien ne garantit que le moratoire ne soit pas prolongé. Troisièmement, si le locataire ou son conjoint a 65 ans ou plus, occupe depuis au moins dix ans, ce qui est le cas, et dispose d'un revenu égal ou inférieur à \pct{125} du seuil d'admissibilité au logement à loyer modique, l'éviction est interdite (art.~1959.1). Quatrièmement, le locateur doit prouver sa bonne foi et s'expose à des dommages-intérêts punitifs (art.~1968). Enfin, une telle stratégie est celle d'un acheteur particulier et relève de la valeur d'investissement ; dans un rapport de valeur marchande, elle ne pourrait figurer qu'à titre d'hypothèse extraordinaire divulguée avec son incidence, conformément aux Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:34:6}{Scénarios par script}25Avec \texttt{valeur\_scenario(d, rotation=0.10, g\_c=0.025)}, la valeur est de \dollars{2049073}, soit \pct{7.2} de moins que la base de \dollars{2208566} et \pct{0.6} de plus que la capitalisation directe (\dollars{2037503}). En ajoutant \texttt{fraction\_rattrapage=0.5}, elle tombe à \dollars{1829294} ($-\pct{17.2}$) : le rattrapage partiel pèse davantage que la rotation réduite, parce qu'il affecte chaque relocation pendant dix ans et le revenu terminal. En ajoutant plutôt \texttt{recuperation\_capex=True} au premier scénario, la valeur remonte à \dollars{2148793} ($-\pct{2.7}$). Paragraphe de rapport : « La valeur de \dollars{2210000} repose sur une relocation de deux logements par an au loyer de marché et sur une indexation des baux reconduits de \pct{3.1}, pourcentage de base publié par le Tribunal administratif du logement pour 2026. Si la rotation n'était que d'un logement par an et le pourcentage de base de \pct{2.5}, la valeur s'établirait à environ \dollars{2050000}, niveau voisin de l'indication par capitalisation directe ; si, de surcroît, les nouveaux locataires n'acceptaient que la moitié de l'écart au marché, elle descendrait vers \dollars{1830000}. La récupération, permise par le Règlement, de \pct{5} des travaux programmés ramènerait le premier de ces scénarios vers \dollars{2150000}. Aucune éviction ni reprise n'est supposée ; le moratoire de la Loi 65 court jusqu'au 6 juin 2027. »26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:34:7}{Statique comparative de la limite}29La récurrence $\E[q_t] = a\,\E[q_{t-1}] + \rho$ admet le point fixe $q_\infty = a\,q_\infty + \rho$, d'où $q_\infty = \rho/(1-a) = \rho/[1-(1-\rho)\delta]$. En dérivant par rapport à $\rho$ : $\partial q_\infty/\partial\rho = \{[1-(1-\rho)\delta] - \rho\,\delta\}/[1-(1-\rho)\delta]^2 = (1-\delta)/[1-(1-\rho)\delta]^2$, positive dès que $\delta < 1$. Avec $\delta = 1{,}031/1{,}035 = 0{,}996135$ : pour $\rho = \pct{5}$, le dénominateur vaut $(1 - 0{,}95 \times 0{,}996135)^2 = 0{,}05367^2$ et la dérivée $0{,}003865/0{,}002881 = 1{,}34$ ; pour $\rho = \pct{15}$, le dénominateur vaut $0{,}15328^2$ et la dérivée $0{,}16$. Un point de rotation supplémentaire relève donc la limite de $1{,}34$ point lorsque la rotation est de \pct{5}, mais de $0{,}16$ point seulement lorsqu'elle est de \pct{15} ; les limites sont respectivement $0{,}9316$, $0{,}9786$ et $0{,}9885$ pour \pct{5}, \pct{15} et \pct{25}. Avec un rattrapage partiel $\varphi$, le logement reloué passe à $L\delta' + \varphi(M - L\delta')$ en unités de marché, soit $q \mapsto (1-\varphi)\,q\delta + \varphi$ ; la récurrence devient $\E[q_t] = [(1-\rho) + \rho(1-\varphi)]\,\delta\,\E[q_{t-1}] + \rho\varphi = (1 - \rho\varphi)\,\delta\,\E[q_{t-1}] + \rho\varphi$, dont le point fixe est $\rho\varphi/[1-(1-\rho\varphi)\delta]$ : tout se passe comme si la rotation était $\rho\varphi$. L'interprétation est que, dans un immeuble où les locataires bougent peu, la valeur est très sensible à la rotation, parce que chaque départ est l'un des rares événements qui ramènent un loyer au marché et que la limite est loin de un ; dans un immeuble à forte rotation, la convergence est presque acquise et la rotation importe peu, mais le pourcentage de base et le rattrapage effectif à la relocation gardent toute leur importance. L'évaluateur doit donc documenter l'historique des départs d'un immeuble à loyers très déprimés avec un soin particulier, et se rappeler que ces locataires-là sont, précisément, ceux qui ont le moins de raisons de partir.30\end{solution}31