spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Données de panel et identification causale}\label{ch:36}23Les chapitres précédents de cette partie ont appris à décrire : le modèle hédonique du \cref{ch:18} mesure ce que le marché paie pour une caractéristique, les modèles spatiaux du \cref{ch:19} corrigent la dépendance entre voisins, les indices du \cref{ch:35} suivent le niveau des prix dans le temps. Aucun de ces outils ne répond pourtant à la question que l'évaluateur se fait poser le plus souvent lorsqu'un changement survient : de combien la nouvelle station de transport collectif, le rezonage de l'îlot, l'inondation du printemps ou le règlement qui encadre les loyers ont-ils modifié la valeur de cet immeuble ? La question est causale, et la réponse exige de comparer ce qui est arrivé à ce qui serait arrivé sans le changement, c'est-à-dire à un contrefactuel que l'on n'observe jamais. Le présent chapitre expose les méthodes qui construisent ce contrefactuel à partir de données de panel, où les mêmes immeubles sont suivis sur plusieurs périodes : effets fixes, doubles différences, études d'événement, estimateurs adaptés à l'adoption échelonnée, discontinuité spatiale et contrôle synthétique. L'exemple intégral superpose aux séries trimestrielles de revenu net d'exploitation du portefeuille du cas 4 un choc dont l'effet est déclaré d'avance ; le lecteur connaît donc la vérité et peut juger chaque estimateur à ce qu'il en retrouve. Les applications au rezonage, aux risques environnementaux et à l'encadrement locatif renvoient aux \cref{ch:08,ch:43,ch:34}.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item formuler une question d'évaluation en termes de résultats potentiels, nommer l'effet recherché et reconnaître le biais de sélection qui sépare une différence observée d'un effet causal ;9\item écrire un modèle de panel à effets fixes d'immeuble et de période, dériver l'estimateur within, le relier aux indicatrices et calculer des erreurs-types robustes aux grappes ;10\item estimer un effet par doubles différences à deux périodes, énoncer et éprouver l'hypothèse de tendances parallèles par des placebos et une étude d'événement ;11\item expliquer pourquoi l'estimateur à effets fixes bidirectionnels se dérègle lorsque l'adoption est échelonnée et les effets dynamiques, et appliquer l'estimateur par cohortes de Callaway et Sant'Anna ;12\item mettre en œuvre une discontinuité spatiale à une frontière de zone et un contrôle synthétique à poids positifs, et en lire les limites ;13\item confronter, sur un choc simulé aux effets connus, cinq estimateurs à la vérité, puis juger de la sensibilité des conclusions aux hypothèses d'identification et au choix du groupe témoin.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Pourquoi la causalité importe à l'évaluateur}\label{sec:36:pourquoi}1819\subsection{Des questions causales partout}2021L'évaluation ordinaire est une estimation d'espérance conditionnelle : la valeur marchande du sujet est ce que des biens semblables se vendent, à la même date, sur le même marché (\cref{ch:16}). Cette question ne demande pas de savoir \emph{pourquoi} les prix sont ce qu'ils sont. Mais une part croissante des mandats porte sur un changement : l'expropriation partielle d'un terrain pour une emprise de transport, l'indemnité due à la suite d'un sinistre, la contestation d'une valeur au rôle après un rezonage, l'effet d'un nouveau règlement sur la valeur d'un immeuble locatif, la décote attachée à une zone inondable nouvellement cartographiée ou la plus-value d'un quartier desservi par une infrastructure. Dans chacun de ces cas, la question posée est de la forme « quelle est la valeur de l'immeuble avec le changement, et quelle serait-elle sans lui ? », et seule la première branche est observable. La seconde est un \motcle{contrefactuel} ; l'estimer est l'objet de l'\motcle{identification causale}.2223La tentation est grande de répondre par une comparaison simple : les immeubles proches de la station se vendent plus cher que les autres, donc la station vaut la différence ; les loyers ont monté de tant depuis la mise en service, donc c'est l'effet de la mise en service. Ces deux raisonnements sont faux pour des raisons symétriques. Le premier compare des immeubles différents à la même date et attribue à la station ce qui tient à leur localisation, à leur âge ou à leur qualité, qui n'ont rien à voir avec elle ; les stations ne sont pas placées au hasard. Le second compare le même immeuble à deux dates et attribue à la station ce qui tient au marché, à l'inflation, au cycle, qui auraient agi sans elle. La littérature empirique a appris à se méfier de ces deux comparaisons et à ne retenir que des plans d'observation où le contrefactuel est construit explicitement. \textcite{lindenRockoff2008} mesurent l'effet de l'arrivée d'un délinquant sexuel inscrit sur les prix des maisons voisines en comparant, avant et après l'arrivée, les maisons situées à moins de 0,1 mille à celles situées entre 0,1 et 0,3 mille ; \textcite{currie2015} mesurent l'effet de l'ouverture et de la fermeture de 1 600 usines émettrices de substances toxiques en suivant les prix à moins d'un demi-mille et entre un demi-mille et deux milles ; \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014} mesurent l'effet d'un changement de desserte en train de banlieue sur la Rive-Sud de Montréal par un estimateur spatial de doubles différences. Dans les trois cas, l'effet est une différence de différences : différence entre proches et éloignés, elle-même comparée avant et après. C'est la structure que ce chapitre formalise.2425\subsection{Résultats potentiels, effet du traitement et biais de sélection}2627Le cadre des \motcle{résultats potentiels}, exposé par \textcite{imbensRubin2015}, donne un vocabulaire précis. Soit $D_{it} \in \{0, 1\}$ l'indicatrice qui vaut 1 si l'immeuble $i$ est exposé au changement (le \motcle{traitement}, par analogie médicale) à la période $t$. Chaque immeuble possède deux résultats potentiels, $Y_{it}(1)$ s'il est traité et $Y_{it}(0)$ s'il ne l'est pas, dont un seul est observé :28\begin{equation}\label{eq:36:potentiels}29Y_{it} = D_{it}\, Y_{it}(1) + (1 - D_{it})\, Y_{it}(0) .30\end{equation}31L'effet du traitement sur l'immeuble $i$ à la période $t$ est $Y_{it}(1) - Y_{it}(0)$ ; il n'est jamais observé, puisque l'un des deux termes manque toujours. Ce que les données permettent d'estimer, sous hypothèses, est une moyenne de ces effets sur une population définie.3233\begin{definition}{Effet moyen du traitement sur les traités}{36-att}34L'\motcle{effet moyen du traitement sur les traités} (ATT, \emph{average treatment effect on the treated}) est35\begin{equation}\label{eq:36:att}36\mathrm{ATT} = \E\big[Y_{it}(1) - Y_{it}(0) \mid D_{it} = 1\big] .37\end{equation}38C'est l'effet moyen pour les immeubles effectivement exposés, à la date où ils le sont ; il ne dit rien de ce que le traitement ferait à des immeubles qui n'y ont pas été exposés.39\end{definition}4041L'ATT est la quantité pertinente pour l'évaluateur, parce que son sujet est, en général, un immeuble exposé : la maison qui a été inondée, l'immeuble qui est près de la station. La différence brute entre traités et non-traités ne l'estime pas. En écrivant $\E[Y \mid D = 1] = \E[Y(1) \mid D = 1]$ et $\E[Y \mid D = 0] = \E[Y(0) \mid D = 0]$, on obtient42\begin{equation}\label{eq:36:selection}43\underbrace{\E[Y \mid D = 1] - \E[Y \mid D = 0]}_{\text{différence observée}}44= \underbrace{\E[Y(1) - Y(0) \mid D = 1]}_{\mathrm{ATT}}45+ \underbrace{\E[Y(0) \mid D = 1] - \E[Y(0) \mid D = 0]}_{\text{biais de sélection}} .46\end{equation}47Le \motcle{biais de sélection} est la différence qui aurait existé entre les deux groupes \emph{sans} traitement. Il est nul si le traitement a été attribué au hasard, ce qui n'arrive jamais en immobilier : les lignes de transport desservent les quartiers denses, les zones inondables longent les rivières où les terrains ont d'autres attributs, les rezonages visent les secteurs en mutation. \textcite{angristPischke2009} appellent cette décomposition l'équation fondamentale de l'économétrie appliquée ; toute la suite du chapitre consiste à trouver des hypothèses crédibles qui annulent le second terme ou qui permettent de l'estimer. Le modèle hédonique du \cref{ch:18} y parvient lorsque la sélection ne dépend que de caractéristiques observées et correctement spécifiées : conditionnellement à $\mathbf{x}$, les immeubles traités et non traités auraient eu le même $Y(0)$. L'hypothèse est forte, parce que ce qui détermine l'exposition est souvent inobservé, et c'est précisément la raison d'être des données de panel : observer le même immeuble avant et après permet d'éliminer tout ce qui lui est propre et constant.4849\subsection{Les plans d'identification et ce qu'ils supposent}5051Le \cref{tab:36:plans} résume les plans d'observation de ce chapitre, la source de biais de sélection qu'ils neutralisent et l'hypothèse qu'ils exigent en retour. Aucune n'est gratuite. Les effets fixes éliminent les différences permanentes entre immeubles mais pas les chocs qui coïncident avec le traitement ; les doubles différences exigent que les groupes aient évolué parallèlement sans traitement ; la discontinuité spatiale exige que rien d'autre ne change à la frontière ; le contrôle synthétique exige qu'une combinaison de témoins reproduise la trajectoire du traité. Le travail de l'analyste n'est pas de choisir la méthode la plus sophistiquée, mais celle dont l'hypothèse est la plus défendable dans le cas étudié, et de montrer ce qui se passe quand elle est relâchée.5253\begin{table}[htbp]54\caption{Plans d'identification du chapitre : ce qu'ils éliminent et ce qu'ils supposent}\label{tab:36:plans}55\centering56\small57\begin{tabularx}{\textwidth}{L{32mm}YY}58\toprule59Plan & Biais de sélection neutralisé & Hypothèse exigée (et test usuel) \\60\midrule61Effets fixes d'immeuble (\cref{sec:36:panel}) & Toute différence permanente entre immeubles, observée ou non & Exogénéité stricte : les chocs idiosyncrasiques ne sont pas liés au traitement à aucune date \\62Doubles différences $2 \times 2$ (\cref{sec:36:did}) & Différences permanentes et chocs communs aux deux groupes & Tendances parallèles sans traitement (placebos, étude d'événement) \\63Étude d'événement & Idem, en laissant l'effet varier avec le temps écoulé & Absence de tendance différentielle avant le traitement ; anticipation nulle \\64Adoption échelonnée (\cref{sec:36:echelonne}) & Idem, avec plusieurs dates d'exposition & Tendances parallèles pour chaque cohorte ; homogénéité des effets (TWFE) ou agrégation explicite (Callaway--Sant'Anna) \\65Discontinuité spatiale (\cref{sec:36:autres}) & Tout ce qui varie continûment à la frontière & Continuité des autres déterminants à la frontière ; pas de tri des immeubles autour d'elle \\66Contrôle synthétique (\cref{sec:36:autres}) & Trajectoire propre de l'unité traitée & Un bassin de donneurs dont une combinaison convexe reproduit le passé du traité ; inférence par permutation \\67\bottomrule68\end{tabularx}69\tabsource{Synthèse de l'auteur d'après \textcite{angristPischke2009}, \textcite{imbensRubin2015}, \textcite{cunningham2021} et \textcite{roth2023}.}70\end{table}7172\section{Le modèle de panel à effets fixes}\label{sec:36:panel}7374\subsection{Structure des données et modèle}7576Un \motcle{panel} (ou données longitudinales) suit $N$ unités sur $T$ périodes : $N$ immeubles dont on observe le revenu net d'exploitation chaque trimestre, $N$ municipalités dont on connaît le prix médian chaque année, $N$ maisons vendues plusieurs fois. Le panel est \motcle{cylindré} si chaque unité est observée à toutes les périodes, ce qui est le cas des séries du cas 4 (48 immeubles, 42 trimestres, 2 016 observations) et rarement celui des ventes, où chaque maison n'apparaît qu'aux dates où elle change de mains ; les méthodes de ce chapitre s'appliquent aux deux, mais les formules sont plus simples dans le cas cylindré et c'est celui que nous développons. Le modèle de base est77\begin{equation}\label{eq:36:panel}78y_{it} = \mathbf{x}_{it}\T\boldsymbol\beta + \alpha_i + \lambda_t + \varepsilon_{it}, \qquad i = 1, \dots, N,\ t = 1, \dots, T ,79\end{equation}80où $y_{it}$ est, dans notre cas, le logarithme du revenu net d'exploitation, $\mathbf{x}_{it}$ un vecteur de variables qui varient dans le temps (dont le traitement $D_{it}$), $\alpha_i$ un \motcle{effet fixe d'unité} qui absorbe tout ce qui est propre à l'immeuble et constant sur la période (taille, localisation, qualité de construction, qualité du gestionnaire, et tout ce que l'on ne mesure pas), $\lambda_t$ un \motcle{effet fixe de période} qui absorbe tout ce qui est commun à tous les immeubles à la date $t$ (cycle, inflation, taux, choc pandémique), et $\varepsilon_{it}$ un terme idiosyncrasique. Dans la notation du modèle hédonique de référence (\cref{eq:18:semilog}), $\alpha_i$ joue le rôle des effets spatiaux $\mu_{s(i)}$ portés à leur granularité la plus fine, l'immeuble lui-même, et $\lambda_t$ celui des effets temporels $\tau_t$. La différence essentielle est que $\alpha_i$ n'est pas une indicatrice de secteur, partagée par des dizaines de ventes, mais une constante propre à chaque unité, identifiée uniquement parce que l'unité est observée plusieurs fois.8182\subsection{Effets fixes ou aléatoires}8384Deux traitements de $\alpha_i$ sont possibles. Le modèle à \motcle{effets aléatoires} suppose que $\alpha_i$ est un tirage indépendant des régresseurs, $\E[\alpha_i \mid \mathbf{x}_{i1}, \dots, \mathbf{x}_{iT}] = 0$ ; il l'intègre au terme d'erreur et estime $\boldsymbol\beta$ par moindres carrés généralisés, avec le gain d'efficacité qu'apporte l'exploitation de la variation entre unités. Le modèle à \motcle{effets fixes} ne suppose rien sur la corrélation entre $\alpha_i$ et les régresseurs : il traite $\alpha_i$ comme $N$ paramètres à éliminer ou à estimer. Le choix n'est pas une affaire de goût mais d'hypothèse : si les immeubles exposés au traitement diffèrent de façon permanente des autres pour des raisons que l'on ne mesure pas, ce qui est la règle, $\alpha_i$ est corrélé avec $D_{it}$, et l'estimateur à effets aléatoires est biaisé exactement par le terme de sélection de l'\cref{eq:36:selection}. \textcite{wooldridge2010} présente le test de Hausman, qui compare les deux estimateurs : s'ils diffèrent au-delà de ce que l'échantillonnage explique, l'hypothèse des effets aléatoires est rejetée. En évaluation, la question se tranche presque toujours en faveur des effets fixes, parce que la sélection sur des caractéristiques permanentes inobservées est le problème que les données de panel servent à résoudre ; l'efficacité perdue est le prix de la crédibilité. Les effets aléatoires gardent leur place lorsque l'objectif est la prédiction, par exemple pour emprunter de l'information entre immeubles voisins, ce qui rejoint les modèles hiérarchiques du \cref{ch:39}.8586\subsection{L'estimateur within}8788Éliminer $\alpha_i$ est simple : il suffit de retrancher à chaque variable sa moyenne temporelle par unité. En notant $\bar y_i = T^{-1}\sum_t y_{it}$ et de même pour $\bar{\mathbf{x}}_i$, $\bar\lambda$ et $\bar\varepsilon_i$, l'\cref{eq:36:panel} moyennée sur $t$ donne $\bar y_i = \bar{\mathbf{x}}_i\T\boldsymbol\beta + \alpha_i + \bar\lambda + \bar\varepsilon_i$, et la différence89\begin{equation}\label{eq:36:within}90\ddot y_{it} \equiv y_{it} - \bar y_i = (\mathbf{x}_{it} - \bar{\mathbf{x}}_i)\T\boldsymbol\beta + (\lambda_t - \bar\lambda) + (\varepsilon_{it} - \bar\varepsilon_i) = \ddot{\mathbf{x}}_{it}\T\boldsymbol\beta + \ddot\lambda_t + \ddot\varepsilon_{it}91\end{equation}92ne contient plus $\alpha_i$. C'est la \motcle{transformation within} : seule la variation \emph{à l'intérieur} de chaque unité au fil du temps est conservée, et toute variation \emph{entre} unités est éliminée avec les effets fixes. Une variable constante dans le temps pour chaque immeuble (sa superficie, sa RMR, son année de construction) disparaît avec $\alpha_i$ et son coefficient n'est pas identifié, ce qui est la contrepartie logique de la méthode : on ne peut pas à la fois absorber tout ce qui est permanent et mesurer l'effet d'une chose permanente. Les effets de période se traitent par des indicatrices sur les données transformées ou, dans un panel cylindré, par une seconde soustraction, $y_{it} - \bar y_i - \bar y_t + \bar y$, qui élimine $\lambda_t$ de la même manière ; on parle alors d'\motcle{effets fixes bidirectionnels} (TWFE, \emph{two-way fixed effects}).9394\begin{proposition}{Estimateur within et indicatrices}{36-within}95L'estimateur des moindres carrés de $\boldsymbol\beta$ sur les données transformées,96\begin{equation}\label{eq:36:within-est}97\hat{\boldsymbol\beta}_{W} = \Big(\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} \ddot{\mathbf{x}}_{it}\ddot{\mathbf{x}}_{it}\T\Big)^{-1} \sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} \ddot{\mathbf{x}}_{it}\,\ddot y_{it} ,98\end{equation}99est identique à l'estimateur des moindres carrés de $\boldsymbol\beta$ dans la régression de $y_{it}$ sur $\mathbf{x}_{it}$ et $N$ indicatrices d'unité (estimateur dit « LSDV », \emph{least squares dummy variables}). Il est sans biais et convergent lorsque $\E[\varepsilon_{it} \mid \mathbf{x}_{i1}, \dots, \mathbf{x}_{iT}, \alpha_i] = 0$ pour tout $t$ (exogénéité stricte).100\end{proposition}101\begin{proof}102Soit $\mathbf{Q} = \mathbf{I}_{NT} - \mathbf{P}_\Delta$, où $\mathbf{P}_\Delta = \boldsymbol\Delta(\boldsymbol\Delta\T\boldsymbol\Delta)^{-1}\boldsymbol\Delta\T$ est la projection sur l'espace engendré par la matrice $\boldsymbol\Delta$ ($NT \times N$) des indicatrices d'unité. Pour un panel cylindré, $(\boldsymbol\Delta\T\boldsymbol\Delta)^{-1} = T^{-1}\mathbf{I}_N$ et $\mathbf{P}_\Delta \mathbf{y}$ remplace chaque $y_{it}$ par $\bar y_i$ ; donc $\mathbf{Q}\mathbf{y} = \ddot{\mathbf{y}}$ et $\mathbf{Q}\mathbf{X} = \ddot{\mathbf{X}}$. Par le théorème de Frisch--Waugh--Lovell, le coefficient de $\mathbf{X}$ dans la régression de $\mathbf{y}$ sur $[\mathbf{X}, \boldsymbol\Delta]$ est $(\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{y}$, et comme $\mathbf{Q}$ est symétrique et idempotente, $\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{X} = \ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\mathbf{X}}$ et $\mathbf{X}\T\mathbf{Q}\mathbf{y} = \ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\mathbf{y}}$, ce qui est l'\cref{eq:36:within-est}. Pour l'absence de biais, $\hat{\boldsymbol\beta}_W - \boldsymbol\beta = (\ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\mathbf{X}})^{-1}\ddot{\mathbf{X}}\T\ddot{\boldsymbol\varepsilon}$ et $\E[\ddot\varepsilon_{it} \mid \mathbf{X}] = 0$ sous exogénéité stricte, puisque $\ddot\varepsilon_{it}$ est une combinaison des $\varepsilon_{is}$ de toutes les périodes $s$ de la même unité.103\end{proof}104105L'hypothèse d'\motcle{exogénéité stricte} mérite attention parce qu'elle est plus forte que l'exogénéité contemporaine du modèle hédonique : l'erreur de la période $t$ ne doit être corrélée avec le traitement à \emph{aucune} période, passée ou future. Elle est violée si le traitement répond aux chocs passés, par exemple si une municipalité rezone un îlot \emph{parce que} ses prix ont chuté, ou si les propriétaires anticipent la mise en service et agissent avant. L'étude d'événement de la \cref{sec:36:did} est le diagnostic naturel de ces violations. Dans l'\cref{eq:36:within-est}, les degrés de liberté de la variance résiduelle sont $NT - N - K$ et non $NT - K$, puisque $N$ moyennes ont été estimées ; les logiciels de panel l'appliquent, et une régression sur données transformées « à la main » doit le corriger. La bibliothèque de l'ouvrage (\texttt{traite.panel}, fonctions \texttt{within}, \texttt{within\_deux\_voies}, \texttt{estimateur\_within} et \texttt{twfe}) met en œuvre les deux voies et vérifie leur égalité.106107\subsection{Erreurs-types robustes aux grappes}108109Les observations d'un même immeuble ne sont pas indépendantes. Le revenu net d'un trimestre dépend des baux signés les trimestres précédents, des dépenses engagées, de la conjoncture locale ; les séries du cas 4 sont, par construction, des marches aléatoires autour d'une tendance régionale, et leurs écarts à l'\cref{eq:36:panel} sont donc fortement autocorrélés. La variance des moindres carrés sous indépendance, $\hat\sigma^2(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$, et sa version robuste à l'hétéroscédasticité HC1 (\cref{eq:18:hc1}) ignorent cette dépendance et surestiment la précision, parfois de beaucoup. Le remède standard consiste à regrouper les observations en \motcle{grappes} (\emph{clusters}) à l'intérieur desquelles toute corrélation est permise, les grappes étant indépendantes entre elles. Avec $G$ grappes indexées par $g$, $\mathbf{X}_g$ et $\mathbf{e}_g$ les lignes de la matrice des régresseurs et des résidus de la grappe $g$, l'estimateur de la variance est110\begin{equation}\label{eq:36:grappes}111\widehat{\Var}(\hat{\boldsymbol\beta}) = c\,(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\Big(\sum_{g=1}^{G} \mathbf{X}_g\T\mathbf{e}_g\mathbf{e}_g\T\mathbf{X}_g\Big)(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}, \qquad c = \frac{G}{G-1}\cdot\frac{NT-1}{NT-K} ,112\end{equation}113dit « sandwich » parce que la matrice centrale est prise entre deux inverses. Le terme $\mathbf{X}_g\T\mathbf{e}_g\mathbf{e}_g\T\mathbf{X}_g$ contient tous les produits croisés $e_{it}e_{is}$ de la grappe et capte donc l'autocorrélation ; lorsque chaque grappe se réduit à une observation, la formule redonne HC1. Le facteur $c$ est la correction d'échantillon fini usuelle (dite CR1). La grappe naturelle d'un panel d'immeubles est l'immeuble ; lorsque le traitement est attribué à un niveau plus agrégé (toutes les maisons d'un îlot rezoné, tous les immeubles d'une municipalité), la grappe doit être ce niveau, parce que c'est là que réside la variation qui identifie l'effet. La formule n'est fiable que si $G$ est grand, disons plusieurs dizaines ; avec quelques grappes seulement, elle sous-estime encore la variance et des corrections supplémentaires s'imposent, que \textcite{wooldridge2010} et \textcite{angristPischke2009} discutent.114115L'ordre de grandeur de la correction se lit sur une formule approchée. Si chaque grappe compte $m$ observations dont les erreurs ont une corrélation intra-grappe $\rho$ et si le régresseur est constant dans la grappe, le rapport des variances exacte et naïve est116\begin{equation}\label{eq:36:moulton}117\frac{\Var_{\text{grappes}}(\hat\beta)}{\Var_{\text{naïve}}(\hat\beta)} \approx 1 + (m - 1)\rho ,118\end{equation}119de sorte que les erreurs-types sont multipliées par la racine de ce facteur. Avec $m = 42$ trimestres et une corrélation intra-immeuble de $0{,}5$, les erreurs-types naïves doivent être multipliées par environ $4{,}6$ ; l'exemple intégral retrouve des rapports de cet ordre. Une alternative à la pondération par grappes consiste à agréger les données au niveau de la grappe avant d'estimer, par exemple en réduisant chaque immeuble à une différence « après moins avant » : la régression porte alors sur $N$ observations indépendantes et les erreurs-types ordinaires redeviennent valides. C'est la voie que nous suivons pour l'estimateur à deux périodes.120121\section{Doubles différences}\label{sec:36:did}122123\subsection{Le cas élémentaire à deux groupes et deux périodes}124125Le plan le plus simple comporte un groupe traité $\mathcal{T}$, un groupe témoin $\mathcal{C}$, une période « avant » ($t = 0$) où personne n'est traité et une période « après » ($t = 1$) où seul le groupe traité l'est. L'estimateur des \motcle{doubles différences} (ou différence de différences, DiD, \emph{difference-in-differences}) a été introduit au \cref{ch:08} pour mesurer l'effet d'un rezonage (\cref{eq:8:did}) ; nous en établissons ici les conditions de validité. En termes de résultats potentiels, la quantité visée est l'ATT de la période 1, $\E[Y_{1}(1) - Y_{1}(0) \mid \mathcal{T}]$, dont le second terme est inobservé. L'hypothèse qui l'identifie est celle des \motcle{tendances parallèles} :126\begin{equation}\label{eq:36:paralleles}127\E[Y_1(0) - Y_0(0) \mid \mathcal{T}] = \E[Y_1(0) - Y_0(0) \mid \mathcal{C}] ,128\end{equation}129c'est-à-dire qu'en l'absence de traitement, le résultat du groupe traité aurait évolué, en moyenne, comme celui du groupe témoin. Elle ne suppose pas que les deux groupes se ressemblent en niveau, ni que les traités ont été choisis au hasard ; elle suppose que ce qui les distingue est stable dans le temps. Sous cette hypothèse, et avec $Y_0(0)$ observé pour les deux groupes puisque personne n'est traité en $t = 0$,130\begin{equation}\label{eq:36:did-id}131\begin{aligned}132\mathrm{ATT} &= \E[Y_1 \mid \mathcal{T}] - \E[Y_1(0) \mid \mathcal{T}] \\133&= \E[Y_1 \mid \mathcal{T}] - \big\{\E[Y_0 \mid \mathcal{T}] + \E[Y_1(0) - Y_0(0) \mid \mathcal{T}]\big\} \\134&= \E[Y_1 \mid \mathcal{T}] - \E[Y_0 \mid \mathcal{T}] - \big\{\E[Y_1 \mid \mathcal{C}] - \E[Y_0 \mid \mathcal{C}]\big\} ,135\end{aligned}136\end{equation}137où la dernière ligne remplace la tendance contrefactuelle des traités par la tendance observée des témoins, en vertu de l'\cref{eq:36:paralleles}. Chaque terme de la dernière ligne est une moyenne d'échantillon, et l'estimateur $\hat\delta_{2\times 2}$ de l'\cref{eq:8:did} en est la contrepartie empirique. La dérivation montre ce que la méthode fait exactement : elle emprunte aux témoins leur évolution pour reconstruire ce que les traités auraient connu. Elle montre aussi ce qu'elle exige : si les traités étaient sur une trajectoire différente pour une raison étrangère au traitement, l'estimateur attribue au traitement cette différence de trajectoire, tout entière.138139Lorsque la variable dépendante est en logarithme, comme ici, les tendances parallèles portent sur les logarithmes, c'est-à-dire sur les taux de croissance, et l'effet s'interprète comme une proportion : $100\,[\exp(\hat\delta) - 1]$ pour cent, soit $4{,}08$ \% pour $\hat\delta = 0{,}04$. L'hypothèse n'est pas invariante à cette transformation : des groupes dont les revenus croissent du même pourcentage ont des tendances parallèles en logarithme mais pas en niveau, et réciproquement. Le choix de l'échelle fait partie de l'hypothèse d'identification et doit être justifié par le mécanisme supposé ; en immobilier, où les chocs de marché sont proportionnels, le logarithme est presque toujours le bon choix.140141La version par régression, $y_{it} = \alpha + \beta\,\mathrm{tr}_i + \gamma\,\mathrm{après}_t + \delta\,(\mathrm{tr}_i \times \mathrm{après}_t) + \varepsilon_{it}$ (\cref{eq:8:did-reg}), reproduit exactement l'\cref{eq:8:did} dans le cas $2 \times 2$ équilibré et permet d'ajouter des covariables. Avec des données de panel, on lui préfère la forme à effets fixes,142\begin{equation}\label{eq:36:did-twfe}143y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \delta\, D_{it} + \varepsilon_{it} ,144\end{equation}145qui généralise l'indicatrice de groupe en un effet fixe par unité et celle de période en un effet par date, et qui s'étend immédiatement à plusieurs périodes. Pour l'inférence, l'autocorrélation des erreurs impose les erreurs-types en grappes de l'\cref{eq:36:grappes} ou, de façon équivalente et plus transparente dans le cas $2 \times 2$, l'agrégation : on calcule pour chaque unité la différence longue $\Delta y_i = \bar y_{i,\text{après}} - \bar y_{i,\text{avant}}$ sur les fenêtres retenues, puis on régresse $\Delta y_i$ sur l'indicatrice de traitement ; le coefficient est $\hat\delta_{2\times 2}$ et son erreur-type HC1 est valide quelle que soit la dépendance intra-unité.146147\subsection{Éprouver les tendances parallèles : placebos et étude d'événement}148149L'hypothèse de l'\cref{eq:36:paralleles} porte sur un contrefactuel et n'est pas testable directement. Elle est cependant \emph{falsifiable} par ses implications sur les périodes où personne n'est traité : si les deux groupes évoluaient parallèlement avant le traitement, un estimateur de doubles différences appliqué à deux périodes antérieures au traitement doit donner zéro. C'est le \motcle{test placebo} temporel : on déplace fictivement la date du traitement dans le passé et l'on vérifie que l'« effet » estimé est nul aux erreurs d'échantillonnage près. Un placebo significatif est un signal d'alarme ; un placebo nul est rassurant sans être une preuve, parce que la divergence peut commencer avec le traitement, par exemple si l'exposition a été décidée en réaction à un événement contemporain.150151L'\motcle{étude d'événement} (\emph{event study}) généralise ce test et donne, en plus, la dynamique de l'effet. Soit $g_i$ la première période où l'unité $i$ est traitée et $k = t - g_i$ le temps écoulé depuis l'événement, négatif avant, nul à la date de l'événement, positif après. On estime152\begin{equation}\label{eq:36:event}153y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \sum_{\substack{k = \underline{k} \\ k \neq -1}}^{\overline{k}} \delta_k\, \ind[t - g_i = k] + \varepsilon_{it} ,154\end{equation}155où les indicatrices de temps relatif valent zéro pour les unités jamais traitées, où la période $k = -1$ est omise et sert de référence, et où les extrémités $\underline{k}$ et $\overline{k}$ regroupent toutes les observations plus lointaines (sans ce regroupement, les indicatrices extrêmes ne seraient identifiées que par une poignée d'observations). Chaque $\hat\delta_k$ pour $k \geq 0$ est l'effet $k$ périodes après l'événement, relativement au dernier trimestre avant lui ; chaque $\hat\delta_k$ pour $k < -1$ est un placebo. Le graphique des $\hat\delta_k$ avec leurs intervalles de confiance en grappes est devenu la pièce centrale de toute étude de doubles différences, parce qu'il montre d'un coup d'œil si les coefficients pré-traitement sont plats et proches de zéro (tendances parallèles plausibles), s'ils montent ou descendent régulièrement (tendance différentielle : l'hypothèse est en défaut), et comment l'effet s'installe, culmine ou s'estompe après l'événement. Deux mises en garde. D'abord, l'absence de pré-tendance significative n'établit pas l'hypothèse : les tests de pré-tendance ont souvent peu de puissance, et \textcite{roth2023} rappellent que conditionner l'analyse à leur résultat biaise l'inférence qui suit. Ensuite, le choix de la référence $k = -1$ est arbitraire ; si ce trimestre est, par hasard, un point haut ou bas pour les traités, tous les coefficients en héritent, ce que l'exemple intégral illustre.156157\section{Adoption échelonnée : le problème des effets fixes bidirectionnels}\label{sec:36:echelonne}158159\subsection{Le plan échelonné et l'estimateur TWFE statique}160161Dans la plupart des applications réelles, les unités ne sont pas toutes traitées à la même date. Les stations d'une ligne ouvrent par tronçons, les municipalités adoptent un règlement les unes après les autres, les cartes de zones inondables sont publiées par bassin. Le plan est dit à \motcle{adoption échelonnée} (\emph{staggered adoption}) : les unités se répartissent en \motcle{cohortes} selon leur date de première exposition $g$, et un groupe peut n'être jamais traité. Pendant des décennies, l'usage a été d'estimer l'\cref{eq:36:did-twfe} telle quelle, avec $D_{it} = \ind[t \geq g_i]$, et de lire $\hat\delta$ comme « l'effet moyen du traitement ». Une série de travaux publiés autour de 2020, dont \textcite{goodmanbacon2021}, \textcite{dechaisemartinDhaultfoeuille2020}, \textcite{sunAbraham2021} et \textcite{callawaySantanna2021}, a établi que cette lecture est fausse en général : l'estimateur TWFE statique est une moyenne pondérée de comparaisons $2 \times 2$ dont certaines utilisent des unités \emph{déjà traitées} comme témoins, et ses poids ne correspondent pas aux parts des cohortes dans l'échantillon. Lorsque l'effet du traitement est le même pour toutes les unités et constant dans le temps, le TWFE reste convergent ; dès que l'effet varie entre cohortes ou, surtout, évolue avec le temps écoulé depuis le traitement, il peut s'éloigner considérablement de l'ATT, jusqu'à changer de signe. \textcite{roth2023} offrent la synthèse la plus accessible de cette littérature.162163\subsection{La décomposition de Goodman-Bacon}164165\textcite{goodmanbacon2021} a montré que, dans un panel cylindré sans covariable, l'estimateur TWFE statique s'écrit exactement comme une moyenne pondérée de tous les estimateurs $2 \times 2$ que le plan permet de former. Considérons deux cohortes, une cohorte précoce $k$ traitée à partir de $g_k$ et une cohorte tardive $\ell$ traitée à partir de $g_\ell > g_k$, et un groupe $U$ jamais traité. Trois types de comparaisons existent : chaque cohorte contre les jamais traités ($\hat\beta_{kU}$, $\hat\beta_{\ell U}$), sur l'ensemble de la période ; la cohorte précoce contre la cohorte tardive \emph{avant} que celle-ci ne soit traitée ($\hat\beta_{k\ell}$, fenêtre $t < g_\ell$) ; et la cohorte tardive contre la cohorte précoce \emph{déjà traitée} ($\hat\beta_{\ell k}$, fenêtre $t \geq g_k$). Alors166\begin{equation}\label{eq:36:bacon}167\hat\delta_{\text{TWFE}} = s_{kU}\,\hat\beta_{kU} + s_{\ell U}\,\hat\beta_{\ell U} + s_{k\ell}\,\hat\beta_{k\ell} + s_{\ell k}\,\hat\beta_{\ell k}, \qquad s_{kU} + s_{\ell U} + s_{k\ell} + s_{\ell k} = 1 ,168\end{equation}169où les poids dépendent des tailles relatives des groupes et de la part de la période pendant laquelle chacun est traité. En notant $n_k$ la part des unités dans la cohorte $k$, $\bar D_k$ la part des périodes où elle est traitée, $n_{kU} = n_k/(n_k + n_U)$ et $\hat V^D$ la variance de $D_{it}$ après double centrage,170\begin{equation}\label{eq:36:bacon-poids}171s_{kU} = \frac{(n_k + n_U)^2\, n_{kU}(1 - n_{kU})\, \bar D_k (1 - \bar D_k)}{\hat V^D}, \qquad172s_{\ell k} = \frac{\big[(n_k + n_\ell)\bar D_k\big]^2\, n_{k\ell}(1 - n_{k\ell})\, \dfrac{\bar D_\ell}{\bar D_k}\cdot\dfrac{\bar D_k - \bar D_\ell}{\bar D_k}}{\hat V^D} ,173\end{equation}174et de façon analogue pour $s_{k\ell}$ ; le théorème s'étend à un nombre quelconque de cohortes. La leçon se lit dans les poids : chaque comparaison pèse d'autant plus que les groupes qu'elle oppose sont grands et que la variance de son traitement dans sa fenêtre, $\bar D(1 - \bar D)$, est élevée, c'est-à-dire que le traitement survient au milieu de la fenêtre. Les cohortes traitées au milieu de la période reçoivent donc un poids disproportionné, et les unités jamais traitées, qui ne contribuent qu'aux comparaisons du premier type, peuvent peser moins que leur nombre ne le suggère.175176Le danger réside dans la comparaison $\hat\beta_{\ell k}$. Dans sa fenêtre, la cohorte précoce est déjà traitée et sert de témoin ; si son effet évolue encore, cette évolution est retranchée de l'effet mesuré pour la cohorte tardive. Sous tendances parallèles, on montre que177\begin{equation}\label{eq:36:interdite}178\E[\hat\beta_{\ell k}] = \mathrm{ATT}_\ell - \Big(\overline{\delta}_k^{\,t \geq g_\ell} - \overline{\delta}_k^{\,g_k \leq t < g_\ell}\Big) ,179\end{equation}180où le terme entre parenthèses est la variation de l'effet moyen de la cohorte précoce entre les deux sous-fenêtres. Si l'effet du traitement croît avec le temps écoulé, ce que l'on attend d'une infrastructure dont le voisinage se densifie, ou d'un revenu net qui ne s'ajuste qu'au renouvellement des baux, cette variation est positive et $\hat\beta_{\ell k}$ sous-estime l'ATT de la cohorte tardive, éventuellement jusqu'à devenir négatif alors que tous les effets individuels sont positifs. C'est la \motcle{comparaison interdite} (\emph{forbidden comparison}) de la littérature. Le poids $s_{\ell k}$ étant positif, le TWFE hérite d'une partie de ce biais ; la décomposition permet de le quantifier, et le \cref{ex:36:5} la fait calculer à la main.181182\subsection{L'estimateur de Callaway et Sant'Anna}183184La solution proposée par \textcite{callawaySantanna2021} consiste à ne jamais former de comparaison interdite. On définit d'abord un effet par cohorte et par période, l'\motcle{ATT de cohorte}, puis on agrège explicitement. Pour la cohorte $g$ et la période $t$, avec pour témoins les unités jamais traitées $\mathcal{C}$ (ou, en variante, les unités \emph{pas encore} traitées à la date $t$), et en prenant pour base la dernière période avant le traitement de la cohorte, $g - 1$,185\begin{equation}\label{eq:36:cs}186\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t) = \frac{1}{n_g}\sum_{i \in g} \big(y_{it} - y_{i,g-1}\big) - \frac{1}{n_{\mathcal{C}}}\sum_{i \in \mathcal{C}} \big(y_{it} - y_{i,g-1}\big) .187\end{equation}188Chaque $\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t)$ est un estimateur $2 \times 2$ propre : il compare une cohorte, entre sa dernière période non traitée et la période $t$, à des unités qui ne sont traitées à aucune de ces deux dates. Pour $t < g$, la même formule fournit des placebos. L'hypothèse requise est celle des tendances parallèles entre chaque cohorte et ses témoins, et elle peut être restreinte aux témoins d'une même strate, par exemple d'une même RMR, lorsque les tendances régionales diffèrent ; c'est ce que fait l'exemple intégral. Les agrégations usuelles sont l'effet par cohorte, l'effet dynamique par temps relatif et l'effet global :189\begin{equation}\label{eq:36:cs-agreg}190\widehat{\mathrm{ATT}}_g = \frac{1}{T - g + 1}\sum_{t \geq g}\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t), \qquad191\widehat{\mathrm{ATT}}(k) = \sum_{g} w_{g,k}\,\widehat{\mathrm{ATT}}(g, g + k), \qquad192\widehat{\mathrm{ATT}} = \sum_g \frac{n_g}{\sum_{g'} n_{g'}}\,\widehat{\mathrm{ATT}}_g ,193\end{equation}194où $w_{g,k}$ est la part de la cohorte $g$ parmi les cohortes observées $k$ périodes après leur traitement. Chaque agrégation est une moyenne à poids positifs et connus d'effets bien définis, ce qui est précisément ce que le TWFE statique ne garantit pas. L'inférence repose sur un bootstrap par blocs d'unités, qui respecte l'autocorrélation intra-immeuble ; la mise en œuvre de la bibliothèque (\texttt{traite.panel.callaway\_santanna}) rééchantillonne séparément chaque cohorte et chaque strate de témoins afin de conserver le plan. L'estimateur de \textcite{sunAbraham2021} poursuit le même but dans le cadre d'une régression, en interagissant les indicatrices de temps relatif avec les indicatrices de cohorte puis en agrégeant ; celui de \textcite{dechaisemartinDhaultfoeuille2020} généralise aux traitements qui s'allument et s'éteignent. Dans un plan simple comme celui de ce chapitre, deux cohortes et un groupe jamais traité, les trois approches donnent des résultats très voisins ; la version par cohortes a l'avantage de la transparence, chaque chiffre se recalculant à la main comme une différence de deux moyennes.195196\section{Discontinuité spatiale et contrôle synthétique}\label{sec:36:autres}197198\subsection{La frontière comme expérience : discontinuité spatiale}199200Certains traitements sont définis par une ligne sur une carte : la limite d'une zone au règlement de zonage, celle d'une zone inondable cartographiée, celle d'un arrondissement soumis à un règlement particulier, celle d'un territoire scolaire. Deux immeubles situés de part et d'autre de la ligne, à quelques dizaines de mètres l'un de l'autre, partagent le même voisinage, les mêmes commerces, la même accessibilité, le même microclimat de marché ; ce qui les sépare est la règle, et seulement la règle. L'idée de la \motcle{discontinuité spatiale} (\emph{spatial regression discontinuity}) est d'estimer le saut de la fonction de prix à la frontière, en supposant que tous les autres déterminants de la valeur y sont continus. Soit $x_i$ la distance signée de l'immeuble $i$ à la frontière, négative d'un côté et positive de l'autre, et $c = 0$ la frontière ; l'estimateur local linéaire à noyau est la régression pondérée201\begin{equation}\label{eq:36:rdd}202y_i = a + \tau\,\ind[x_i \geq 0] + b\,x_i + d\,\ind[x_i \geq 0]\,x_i + \eta_i, \qquad \text{poids } K\!\left(\frac{x_i}{h}\right) ,203\end{equation}204où $K$ est un noyau décroissant (triangulaire, $K(u) = \max(1 - \abs{u}, 0)$) et $h$ une bande passante ; $\hat\tau$ est le saut à la frontière, $b$ et $b + d$ les pentes de chaque côté. La régression n'utilise que les immeubles à moins de $h$ de la frontière, et plus ils en sont proches, plus ils pèsent. Le choix de $h$ reproduit l'arbitrage biais--variance du \cref{ch:16} : une bande étroite n'utilise que des immeubles comparables mais peu nombreux ; une bande large gagne en précision et perd en comparabilité, puisque les pentes linéaires approchent de moins en moins bien la vraie fonction de prix. On présente toujours l'estimation pour plusieurs bandes.205206Trois menaces propres à la frontière doivent être examinées. Premièrement, d'autres règles peuvent changer à la même ligne : une limite de zone est souvent aussi une limite d'arrondissement, de territoire scolaire ou de taux de taxe, et le saut mesuré agrège tous ces changements. Deuxièmement, les immeubles peuvent se trier autour de la frontière : si la règle existe depuis longtemps, le bâti de chaque côté s'y est adapté (duplex d'un côté, unifamiliales de l'autre) et la discontinuité des caractéristiques du bâti contamine celle des prix ; on vérifie que les caractéristiques observables sont continues à la frontière, et l'on compare à caractéristiques égales. Troisièmement, les effets de la règle peuvent déborder la ligne, par exemple si la zone dense nuit aux maisons immédiatement voisines de l'autre côté ; le saut mesure alors une différence entre deux effets et non l'effet d'un seul côté. \textcite{cunningham2021} présente le cadre général de la discontinuité et ses diagnostics ; dans sa version spatiale, elle est un complément naturel des ventes appariées du \cref{ch:17}, dont elle est la limite lorsque les paires se resserrent sur une ligne.207208\subsection{Le contrôle synthétique}209210Lorsqu'une seule unité est traitée, ou lorsque le traité est un agrégat (un quartier, une municipalité, une cohorte entière), aucun témoin unique n'a de raison d'avoir suivi la même trajectoire, et la moyenne des témoins n'en a pas davantage. \textcite{abadieDiamondHainmueller2010} proposent de construire le témoin : le \motcle{contrôle synthétique} est la combinaison convexe des unités non traitées, dites \motcle{donneurs}, qui reproduit le mieux la trajectoire du traité avant le traitement. Avec $J$ donneurs dont les séries forment la matrice $\mathbf{Y}^0$ ($T \times J$), le traité $\mathbf{y}^1$ et $T_0$ périodes pré-traitement, les poids résolvent211\begin{equation}\label{eq:36:synth}212\hat{\mathbf{w}} = \argmin_{\mathbf{w}} \sum_{t = 1}^{T_0}\Big(y^1_t - \sum_{j=1}^{J} w_j\, Y^0_{jt}\Big)^2 \quad \text{sous } w_j \geq 0,\ \sum_j w_j = 1 ,213\end{equation}214et l'effet à la période $t > T_0$ est l'écart $y^1_t - \sum_j \hat w_j Y^0_{jt}$. Les deux contraintes sont la substance de la méthode : la positivité et la somme unitaire interdisent l'extrapolation, de sorte que le contrefactuel reste à l'intérieur de l'enveloppe des trajectoires observées et que les poids se lisent comme la composition d'un portefeuille de témoins, interprétable et discutable. La version originale ajoute des prédicteurs (caractéristiques moyennes pré-traitement) à l'ajustement ; la version réduite à la trajectoire suffit lorsque $T_0$ est long, ce qui est notre cas avec 26 trimestres. Lorsque les niveaux des unités diffèrent fortement, comme les revenus d'immeubles de 6 et de 72 logements, on ajuste les séries centrées sur leur moyenne pré-traitement, ce qui revient à ajouter une constante au modèle et à ne demander aux donneurs que de reproduire la \emph{forme} de la trajectoire.215216L'inférence ne passe pas par une erreur-type classique mais par des \motcle{placebos dans l'espace} : on applique la méthode à chaque donneur comme s'il avait été traité à la même date, et l'on compare l'écart post-traitement du vrai traité à la distribution des écarts obtenus pour les donneurs. La statistique usuelle est le rapport de l'erreur quadratique moyenne post-traitement à celle de la période pré-traitement (RMSPE), qui pénalise les unités mal ajustées avant le traitement ; si le traité a le plus grand rapport parmi $J + 1$ unités, la valeur $p$ de permutation est $1/(J + 1)$. La méthode exige un bassin de donneurs qui ne soient pas eux-mêmes affectés par le traitement, directement ou par débordement, et dont l'enveloppe contienne le traité ; un ajustement pré-traitement médiocre, visible au RMSPE, est le premier signe que l'exercice n'est pas fiable.217