spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 1 — Théorie de la valeur et prix immobiliers2% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch01.py (fonction test_solutions_exercices)34\begin{solution}{ex:1:1}{Prix, valeur ou coût ?}5(a) \dollars{598000} est un \emph{prix} : la contrepartie convenue lors d'une vente datée. Reformulation : « La maison s'est vendue \dollars{598000} en juin ; sa valeur marchande à cette date était vraisemblablement voisine, mais elle n'est pas connue par ce seul prix. » (b) \dollars{468000} est une \emph{valeur au rôle} : une valeur réelle au sens de l'art.~43 LFM, établie à la date de référence du rôle (art.~46), non une valeur marchande à la date courante. Reformulation : « La valeur inscrite au rôle est de \dollars{468000}, pour une date de référence du 1\textsuperscript{er} juillet 2024. » (c) \dollars{900000} est une \emph{valeur d'investissement} (ou d'usage) : propre à ces acheteurs et à leur projet familial ; elle peut légitimement dépasser la valeur marchande, et c'est cette différence qui les décide à acheter. (d) \dollars{470000} est un \emph{coût} (le prix demandé par un constructeur pour produire un bien neuf, c'est-à-dire un coût de remplacement observé sur le marché de la construction) ; il n'informe sur la valeur du sujet qu'après déduction des dépréciations. (e) \dollars{635000} est une \emph{valeur marchande} estimée : une opinion motivée au sens de l'art.~37~j) du Code des professions ; la phrase est correcte si le rapport précise la base, la date et, idéalement, la fourchette. (f) \dollars{65000} est très probablement le \emph{coût} de la piscine ; sa contribution à la valeur est ce que le marché paie pour une piscine, en général beaucoup moins (\pct{2.7} dans le cas~1). Reformulation : « La piscine a coûté \dollars{65000} ; elle contribue à la valeur pour un montant que le marché détermine. »6\end{solution}78\begin{solution}{ex:1:2}{Contribution et coût}9La contribution d'un attribut ajouté à une maison de valeur $V$ est $V(e^{\beta} - 1)$. Pour la piscine, $635\,821 \times (e^{0{,}02633} - 1) = 635\,821 \times 0{,}02668 = \dollars{16964}$ ; pour le garage, $635\,821 \times (e^{0{,}03243} - 1) = 635\,821 \times 0{,}03296 = \dollars{20958}$. Le principe de contribution conclut que la piscine, qui coûte \dollars{65000} et n'ajoute que \dollars{16964}, est une \emph{surconstruction} : près des trois quarts de la dépense ne se retrouvent pas dans la valeur, et la méthode du coût devrait la frapper d'une désuétude fonctionnelle d'environ \dollars{48000} (\cref{ch:24}). Le garage, qui coûte \dollars{45000} et ajoute \dollars{20958}, est lui aussi une surconstruction au sens strict, mais la perte est moindre (\dollars{24000} environ). Le propriétaire qui envisage ces travaux doit comprendre qu'il achète d'abord de l'utilité pour lui-même, non de la valeur de revente ; s'il ne compte pas jouir de la piscine, il ne devrait pas la construire. La leçon pour l'évaluateur est que les ajustements de la grille de comparaison se fondent sur les contributions marchandes, jamais sur les coûts déclarés par les parties.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:1:3}{Rendements décroissants}13Le prix moyen du mètre carré est $635\,821 / 165 = \parmsq{3853}$ ; le prix marginal est $\beta_S \times 3\,853 = 0{,}539 \times 3\,853 = \parmsq{2077}$ (\cref{eq:1:marginal}). La valeur ajoutée par l'agrandissement à \msq{190} est $635\,821 \times [(190/165)^{0{,}539} - 1] = 635\,821 \times 0{,}0790 = \dollars{50241}$, soit \parmsq{2010} pour chacun des 25 mètres carrés ajoutés : un peu moins que le prix marginal au point de départ (\parmsq{2077}), parce que le prix marginal décroît le long de l'agrandissement, et à peine plus de la moitié du prix moyen. Le prix marginal égalerait le prix moyen si l'élasticité valait exactement un, c'est-à-dire si le prix était proportionnel à la superficie. Cette situation n'est presque jamais observée parce qu'une part du prix rémunère des éléments qui ne croissent pas avec la surface habitable : le terrain, les raccordements, la cuisine et les salles de bain, le garage, l'emplacement. Un acheteur qui paie \parmsq{3853} en moyenne paie en réalité un montant fixe pour « être là » et un montant décroissant pour chaque mètre carré supplémentaire. Un ajustement de superficie au prix moyen surestimerait donc l'ajustement d'un facteur $1/0{,}539 \approx 1{,}86$.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:1:4}{Médiane, moyenne, mode et intervalle}17Avec $\sigma = 0{,}12$ et une médiane de \dollars{500000}, la moyenne conditionnelle est $500\,000 \times e^{0{,}0072} = \dollars{503613}$ et le mode $500\,000 \times e^{-0{,}0144} = \dollars{492852}$ (\cref{eq:1:lognormale}) : l'écart entre le mode et la moyenne atteint \pct{2.2}, alors qu'il n'est que de \pct{1.0} dans le cas~1. Les bornes de l'intervalle de prédiction à 95 \%, en négligeant l'incertitude des coefficients, sont $500\,000 \times e^{\mp 1{,}96 \times 0{,}12}$, soit \dollars{395206} et \dollars{632581}, c'est-à-dire de $-\pct{21.0}$ à $+\pct{26.5}$ autour de la médiane ; l'asymétrie des bornes en dollars vient de l'exponentielle. La probabilité qu'une vente s'écarte de plus de dix pour cent de la médiane est $2[1 - \Phi(\ln 1{,}1 / 0{,}12)] = 2[1 - \Phi(0{,}794)] = 0{,}427$ (\cref{eq:1:proba}) : près d'une vente sur deux, contre une sur quatre dans le cas~1. Dans un tel marché, un prix isolé est une mesure médiocre de la valeur, la fourchette rapportée doit être large, et le nombre de ventes identiques nécessaire pour une précision de $\pm 2$ \% passe de 68 à 142 (\cref{tab:1:sensibilite}).18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:1:5}{Le bien comme actif : Gordon et coût d'usage}21Par l'\cref{eq:1:gordon}, la valeur du duplex est $24\,000 / (0{,}06 - 0{,}02) = \dollars{600000}$ ; le taux de capitalisation implicite est $R = r - g = \pct{4}$. Pour la maison, le coût d'usage annuel (\cref{eq:1:cout-usage}) est $600\,000 \times (0{,}045 + 0{,}01 + 0{,}015 - 0{,}02) = 600\,000 \times 0{,}05 = \dollars{30000}$, soit \dollars{2500} par mois. Si le taux d'intérêt passe à \pct{6}, le coût d'usage devient $600\,000 \times 0{,}065 = \dollars{39000}$, soit \dollars{3250} par mois : une hausse de 150 points de base du taux renchérit l'occupation de 30 \%. Le ménage est indifférent entre louer et acheter lorsque le loyer de marché d'un logement équivalent égale le coût d'usage : \dollars{2500} par mois dans le premier cas, \dollars{3250} dans le second. Si le loyer de marché reste à \dollars{2500}, la hausse du taux rend la location préférable, et le prix d'équilibre de la maison doit baisser jusqu'à ce que $V \times 0{,}065 = 30\,000$, soit $V = \dollars{461538}$, toutes choses égales d'ailleurs ; en pratique, la plus-value attendue $g$ et les loyers s'ajustent aussi, ce qui amortit le mouvement (\cref{ch:3}).22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:1:6}{Prix de réserve et délai de vente}25(a) Avec $p = 1$ et $\delta = 1$, l'\cref{eq:1:reserve} s'écrit $W = -c + \E[\max(O, W)] = -c + W + \E[(O - W)^+]$, d'où $c = \E[(O - W)^+]$ : le vendeur fixe son prix de réserve de sorte que le coût d'attendre une période égale le gain espéré d'attendre une offre meilleure. Pour $O$ uniforme sur $[a, b]$ et $W \in [a, b]$, $\E[(O - W)^+] = \int_W^b (o - W)\,\dd o / (b - a) = (b - W)^2 / [2(b - a)]$. (b) En égalant à $c$ : $(b - W)^2 = 2c(b - a)$, donc $W = b - \sqrt{2c(b - a)}$. Avec $a = 0{,}9$, $b = 1{,}1$ et $c = 0{,}005$ : $W = 1{,}1 - \sqrt{0{,}002} = 1{,}1 - 0{,}0447 = 1{,}0553$. Le délai espéré est $1 / [1 - F(W)] = (b - a)/(b - W) = 0{,}2 / 0{,}0447 = 4{,}47$ mois, et le prix espéré $(W + b)/2 = 1{,}0776$, soit \pct{7.8} au-dessus du centre des enchères. (c) Avec $c = 0{,}02$ : $W = 1{,}1 - \sqrt{0{,}008} = 1{,}0106$, délai $0{,}2 / 0{,}0894 = 2{,}24$ mois, prix espéré $1{,}0553$. Le vendeur pressé vend deux fois plus vite et \pct{2.1} moins cher. (d) Les deux prix espérés sont des prix de marché : chacun est l'espérance du prix de transaction d'un vendeur rationnel face à la même distribution d'acheteurs ; ils diffèrent par la contrainte de temps du vendeur, non par le bien. La définition professionnelle de la valeur marchande exige des parties non contraintes et une exposition suffisante : elle désigne le prix espéré du vendeur \emph{non pressé}, celui du cas (b). Le prix du cas (c) est le prix espéré d'une vente « sous contrainte de temps », que l'évaluateur écarte ou ajuste lorsqu'il le rencontre parmi ses comparables ; l'écart de \pct{2.1} donne un ordre de grandeur de l'ajustement de conditions de vente dans ce marché simplifié.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:1:7}{Mesurer l'ancrage}29(a) En soustrayant $V$ des deux membres de l'\cref{eq:1:ancrage}, $\hat V_A - V = \lambda (A - V)$ : l'écart de la conclusion à la valeur est proportionnel à l'écart de l'ancre à la valeur, sans constante. Avec $x_i = A_i - V_i$ et $y_i = \hat V_{A,i} - V_i$, $\sum x_i y_i = 40 \times 18 + 30 \times 12 + 25 \times 9 + 60 \times 27 + 20 \times 10 + 15 \times 6 = 720 + 360 + 225 + 1\,620 + 200 + 90 = 3\,215$ et $\sum x_i^2 = 1\,600 + 900 + 625 + 3\,600 + 400 + 225 = 7\,350$, d'où $\hat\lambda = 3\,215 / 7\,350 = 0{,}437$. (b) Un prix demandé supérieur de \dollars{50000} à la valeur déplace la conclusion de $0{,}437 \times 50\,000 = \dollars{21900}$ en moyenne. (c) Protocole : (1) le dossier transmis à l'évaluateur est expurgé du prix demandé, du prix convenu et des évaluations antérieures jusqu'à la conclusion préliminaire ; (2) les filtres de sélection des comparables et les sources d'ajustement sont fixés par écrit avant toute consultation des prix ; (3) deux méthodes indépendantes sont menées à terme séparément ; (4) la conclusion préliminaire est consignée en fourchette avec sa date avant la levée de l'expurgation ; (5) l'écart entre la conclusion préliminaire et la conclusion finale, après prise de connaissance de l'ancre, est archivé. Vérification : le cabinet réestime $\lambda$ chaque année sur les écarts archivés, et il peut aussi comparer les conclusions aux prix de revente ultérieurs. (d) Dans le modèle de recherche, le coefficient de variation des prix acceptés croît avec l'écart-type des offres : avec les paramètres par défaut et $\sigma_o$ passant de 0,03 à 0,12, la dispersion des prix de biens identiques augmente à peu près proportionnellement (coefficient de variation de 1,8 \% à 5,5 \% environ, et le délai moyen passe de 3 à 9 mois parce que le vendeur attend davantage), parce que les prix acceptés sont des tirages dans la queue d'une distribution plus étalée. Plus le marché est dispersé, plus les comparables sont bruités, plus l'évaluateur est incertain, et plus une ancre « précise » comme le prix demandé exerce d'attraction : l'ancrage est le substitut psychologique d'une information que le marché ne fournit pas, et il est d'autant plus dangereux que la fourchette légitime est large.30\end{solution}31