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1% Solutions du chapitre 47 — Cas 3 : immeuble de 12 logements à Montréal (données synthétiques)2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch47_dossier.py (fonction exercices) ; tests : analysis/python/tests/test_ch47.py34\begin{solution}{ex:47:1}{Vacance économique de 5~\%}5Le revenu brut effectif devient $RBE = \dollars{165540} \times (1 - \num{0.05}) + \dollars{9360} = \dollars{166623.00}$, en baisse de \dollars{1820.94}. La gestion imputée, à \pct{4} du revenu brut effectif, diminue de \dollars{72.84}, de sorte que les dépenses hors réserve passent de \dollars{70385.19} à \dollars{70312.35} ; la réserve reste à \dollars{8103}. Le revenu net normalisé est $\NOI_1 = \dollars{166623.00} - \dollars{70312.35} - \dollars{8103.00} = \dollars{88207.65}$, soit \dollars{1748.10} de moins que dans le dossier (la baisse du revenu est partiellement compensée par la baisse de la gestion). Capitalisé à \pct{4.415}, il donne $\dollars{88207.65} / \num{0.04415} = \dollars{1997908.27}$ : la valeur diminue de \dollars{39594.62}, soit \pct{1.9}. On retient qu'un point d'inoccupation vaut, pour cet immeuble, environ \dollars{36000} de valeur, et que la sensibilité à la vacance est modérée parce que la provision ne s'applique qu'aux loyers et non aux autres revenus.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:47:2}{Taxes municipales indexées plutôt que recalculées}9Le compte 2025 indexé de \pct{5.3} donne $\dollars{10631} \times \num{1.053} = \dollars{11194.44}$, contre \dollars{10188.20} par recalcul au taux général sur la valeur au rôle : l'écart est de \dollars{1006.24} de dépenses supplémentaires. Le revenu net passe de \dollars{89955.75} à \dollars{88949.51} et l'indication par capitalisation directe à $\dollars{88949.51} / \num{0.04415} = \dollars{2014711.42}$, soit \dollars{22791.46} de moins (\pct{1.1}). L'évaluateur doit signaler ce choix parce que les deux méthodes de normalisation reposent sur des informations incomplètes : le recalcul applique le seul taux général et ignore la taxe d'arrondissement et un éventuel taux propre aux immeubles de six logements et plus, tandis que l'indexation suppose que la hausse moyenne annoncée pour l'arrondissement s'applique à l'immeuble. La règle 2.3 des Normes exige que l'étendue du travail et les réserves soient décrites ; l'écart de \dollars{1006} sur les dépenses, qui se traduit par \dollars{22791} de valeur, est précisément le type d'incertitude qu'un lecteur du rapport doit pouvoir mesurer. La bonne pratique est d'obtenir le compte de taxes 2026 réel et le document officiel des taux avant la remise du rapport.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:47:3}{Choix du taux de capitalisation}13Avec $\NOI_1 = \dollars{89955.75}$ : au premier quartile (\pct{4.1525}), $V = \dollars{2166303.49}$ (+\pct{6.3} par rapport à la médiane) ; au troisième quartile (\pct{4.6375}), $V = \dollars{1939746.68}$ ($-\pct{4.8}$) ; au taux prédit par la régression pour un immeuble d'état 3 de douze logements, soit la constante \pct{4.567}, $V = \dollars{1969693.82}$ ($-\pct{3.3}$) ; au taux moyen pondéré par le revenu net (\pct{4.332}), $V = \dollars{2076580.69}$ (+\pct{1.9}). La fourchette interquartile mesure la dispersion des comparables et constitue une borne d'incertitude raisonnable de la méthode. Le taux de régression est pertinent parce qu'il corrige la taille, mais il repose sur une pente estimée imprécisément et sur une constante qui, par construction, s'approche de la moyenne de l'échantillon pour un immeuble moyen ; il suggère néanmoins qu'un douze logements se vend à un taux légèrement supérieur à la médiane de l'ensemble, ce qui plaide pour la prudence. La moyenne pondérée par le revenu net donne un poids excessif aux grands immeubles du Plateau et d'Ahuntsic, dont le taux est plus bas et le profil différent du sujet : elle est la statistique la moins pertinente ici. La médiane reste le meilleur compromis, la réconciliation finale (taux implicite \pct{4.37}) se situant d'ailleurs entre la médiane et la moyenne pondérée.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:47:4}{Rotation des locataires}17Avec une rotation de \pct{10} (un logement relocalisé par an), la valeur DCF est de \dollars{2140916.43}, soit \dollars{67649.48} de moins que la base ($-\pct{3.1}$) ; le revenu net de l'année 11 est de \dollars{156352.52} et le revenu brut potentiel de l'année 10 de \dollars{247211.89}. Avec une rotation de \pct{25} (trois logements par an), la valeur est de \dollars{2231654.72}, soit \dollars{23088.81} de plus (+\pct{1.0}) ; le revenu net de l'année 11 atteint \dollars{160590.16} et le revenu brut de l'année 10 \dollars{251977.55}. L'asymétrie vient de ce que le rattrapage est borné par le marché : à \pct{15}, l'écart de \pct{11} est déjà résorbé vers la cinquième année et le revenu brut de l'année 10 atteint \pct{99} du marché ; accélérer la rotation ne peut gagner que quelques années d'écart sur les premiers exercices, alors que la ralentir repousse le rattrapage au-delà de l'horizon et ampute durablement le revenu, y compris celui de l'année 11 qui fonde la valeur terminale. Ces montants sont exactement les bornes de la barre « rotation annuelle » de la tornade (quantiles 10 et 90 de la loi triangulaire, soit \pct{11.45} et \pct{20.88}, qui donnent \dollars{2140916} et \dollars{2231655} parce que l'arrondi à l'entier du nombre de logements relocalisés ramène ces taux à un et trois logements respectivement) ; l'amplitude de \dollars{90738} place la rotation au dernier rang des sources d'incertitude.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:47:5}{Hausse du taux hypothécaire de 100~points de base}21À \pct{5.12} composé semestriellement, le taux mensuel équivalent est $(1 + \num{0.0256})^{1/6} - 1 = \num{0.0042207}$ et la constante hypothécaire sur 480 mois $f = \pct{5.8391}$. Le prêt maximal selon le ratio prêt-valeur de \pct{75} sur \dollars{2060000} est \dollars{1545000} ; selon la couverture de \num{1.20}, $\dollars{89955.75} / (\num{1.20} \times \num{0.058391}) = \dollars{1283814.77}$. La contrainte liante demeure la couverture ; le prêt est de \dollars{1283814.77}, le ratio prêt-valeur effectif de \pct{62.3}, le service de la dette inchangé à \dollars{74963.13} (il est fixé par le revenu net et le ratio de couverture, non par le taux) et la mise de fonds de \dollars{776185.23}. Par rapport au cas de base à la valeur finale (prêt de \dollars{1475959.45}), le prêt diminue de \dollars{192144.68}, soit \pct{13.0} : une hausse de 100~points de base du taux réduit la capacité d'emprunt d'un immeuble contraint par la couverture dans la même proportion que la constante hypothécaire augmente ($\num{0.050789} / \num{0.058391} - 1 = -\pct{13.0}$). La mise de fonds requise augmente de \dollars{192145}, ce qui, à rendement exigé constant, se répercute sur le prix que les acheteurs endettés peuvent offrir : c'est le canal par lequel les taux d'intérêt agissent sur les taux de capitalisation.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:47:6}{Variante APH Select}25À la valeur finale de \dollars{2060000}, le prêt maximal selon le ratio prêt-valeur de \pct{85} est \dollars{1751000} ; selon la couverture de \num{1.10} à \pct{4.12} sur 480 mois, $\dollars{89955.75} / (\num{1.10} \times \num{0.050789}) = \dollars{1610137.58}$. La couverture est liante ; le prêt est de \dollars{1610137.58}, soit \pct{78.2} de la valeur, la mise de fonds de \dollars{449862.42} (contre \dollars{584040.55} au financement conventionnel, un gain de \dollars{134178}). La prime d'assurance est de \pct{4.35} pour un ratio prêt-valeur entre 75 et \pct{80}, majorée de \pct{0.25} par tranche de cinq ans d'amortissement au-delà de vingt-cinq ans, soit $3 \times \pct{0.25} = \pct{0.75}$ pour quarante ans : \pct{5.10} du prêt, soit \dollars{82117.02}, normalement capitalisée au prêt. Le service de la dette est de \dollars{81777.96} et le flux après dette de la première année de $\dollars{89955.75} - \dollars{81777.96} = \dollars{8177.79}$, soit un rendement courant de \pct{1.8} sur la mise de fonds. Quant à la compatibilité : l'obtention de 50~points par le volet abordabilité exige, pour un immeuble existant, qu'une part des logements (par exemple \pct{40}) demeure à un loyer inférieur ou égal à \pct{30} du revenu médian des locataires pendant dix ans. Or la valeur DCF du dossier repose sur le rattrapage des loyers au marché par la rotation, et la valeur finale en retient une partie. Un engagement d'abordabilité fige une fraction du revenu sous le marché : la valeur de l'immeuble \emph{sous cet engagement} est une valeur d'investissement, propre au propriétaire qui l'accepte en contrepartie d'un financement avantageux, et non la valeur marchande du dossier. Le prêteur qui finance sur la base d'APH Select devrait soit demander une évaluation sous l'hypothèse (extraordinaire, à déclarer) de l'engagement d'abordabilité, soit s'assurer que la couverture de \num{1.10} est calculée sur le revenu contraint ; dans le dossier, le revenu de première année est déjà celui des baux en place, de sorte que le prêt de \dollars{1610138} est soutenable à court terme, mais la croissance du revenu qui justifie le prix le serait moins. La valeur marchande n'est donc pas la bonne base pour mesurer le risque de ce prêt à long terme ; il faut une projection conforme à l'engagement.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:47:7}{Simulation dans un marché détendu}29Avec une inoccupation log-normale de médiane \pct{6} (écart-type logarithmique \num{0.30}), les autres lois inchangées, \num{10000} tirages et la graine \texttt{20261031}, la valeur simulée a une médiane de \dollars{2108707} (contre \dollars{2191608} dans le dossier, $-\pct{3.8}$) et un intervalle 5--95~\% de \dollars{1654991} à \dollars{2785424}. Le ratio de couverture de la première année du prêt de \dollars{1475959} a une médiane de \num{1.156} ; la probabilité qu'il soit inférieur à 1,20 est de \pct{92.6} et celle qu'il soit inférieur à 1,00 de \pct{0.38} (38 tirages). Le prêt dimensionné sur une inoccupation de \pct{3.9} est donc en bris de covenant dans l'immense majorité des scénarios d'un marché détendu, bien que le défaut de paiement reste rare. Pour ramener la probabilité de bris sous \pct{10}, il faut que le service de la dette $SD'$ satisfasse $P(\NOI_1 / SD' < 1{,}20) = 0{,}10$, c'est-à-dire $SD' = q_{0{,}10}(\NOI_1) / 1{,}20$ où $q_{0{,}10}(\NOI_1) = \dollars{82228}$ est le quantile 10~\% du revenu net simulé ; $SD' = \dollars{68523}$, soit un prêt de $\dollars{68523} / \num{0.050789} = \dollars{1349000}$ environ et un ratio de couverture \emph{sur le revenu de base} de $\dollars{89955.75} / \dollars{68523} = \num{1.31}$. Le prêteur devrait donc exiger un ratio de couverture d'environ \num{1.31} (la vérification par simulation donne \pct{14.2} de bris à \num{1.30} et \pct{3.8} à \num{1.35}), contre \num{1.24} dans la loi de base du dossier : le covenant qui protège le prêteur dépend entièrement de la loi de l'inoccupation, ce qui justifie que celle-ci soit déclarée et discutée dans le rapport de consultation.30\end{solution}31