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1% Solutions du chapitre 29 — Capitalisation directe2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch29_capitalisation.py (fonction exercices()) ; tests : analysis/python/tests/test_ch29.py.34\begin{solution}{ex:29:1}{Capitalisation et variation du taux}5La valeur indiquée est $V = \NOI_1/R = \dollars{61200}/\num{0.0475} = \dollars{1288421}$. À \pct{5.00}, $V' = \dollars{61200}/\num{0.05} = \dollars{1224000}$, soit une baisse de $\dollars{64421}$, ou $-\pct{5.00}$ exactement ($1224000/1288421 - 1 = -0{,}05$). L'approximation linéaire de l'\cref{eq:29:derivee} donne $\Delta V/V \approx -\Delta R/R = -0{,}0025/0{,}0475 = -\pct{5.26}$. Elle surestime la baisse parce que la fonction $V(R) = \NOI/R$ est convexe : sa tangente au point de départ se trouve sous la courbe, de sorte que la variation réelle pour une hausse du taux est moins forte que la variation linéarisée (et, symétriquement, plus forte pour une baisse). La variation exacte vaut $-\Delta R/(R + \Delta R) = -0{,}0025/0{,}05 = -\pct{5.00}$.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:29:2}{Extraction sur cinq ventes}9Les taux globaux (revenu net après réserve divisé par le prix) sont : M008 $= 99594/2270000 = \pct{4.387}$ ; M011 $= 109516/2460000 = \pct{4.452}$ ; M022 $= 87455/1834000 = \pct{4.769}$ ; M034 $= 109849/2355000 = \pct{4.665}$ ; M040 $= 111423/2518000 = \pct{4.425}$. Classés : 4,387 ; 4,425 ; 4,452 ; 4,665 ; 4,769. La médiane est \pct{4.452}, la moyenne simple \pct{4.540} et la moyenne pondérée par le revenu net $\sum \NOI_j / \sum P_j = 517837/11437000 = \pct{4.528}$. La médiane est le résumé à retenir : elle n'est pas tirée vers le haut par les deux ventes de Rosemont à \pct{4.67} et \pct{4.77} (M034 est en état~2, donc logiquement à un taux plus élevé), et la pondération par le revenu n'a pas d'intérêt ici puisque les cinq immeubles ont une taille voisine de celle du sujet (onze à quatorze logements). Appliquée au revenu net du sujet, la médiane donne $V = \dollars{89955.75}/\num{0.04452} = \dollars{2020629}$, inférieure de moins d'un pour cent à la valeur retenue au chapitre (\dollars{2037503}), ce qui confirme la robustesse de l'indication malgré la petite taille de ce sous-échantillon.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:29:3}{Le piège de la réserve}13Réserve du comparable : $18 \times \dollars{675} = \dollars{12150}$. Taux après réserve : $R = 150000/3400000 = \pct{4.412}$. Taux avant réserve : $R' = (150000 + 12150)/3400000 = \pct{4.769}$ ; l'écart de 36 points de base est égal à $RR/P$. Le collègue applique $R'$ au revenu après réserve du sujet : $V = 89955{,}75/0{,}04769 = \dollars{1886214}$. L'application cohérente (taux après réserve sur revenu après réserve) donne $89955{,}75/0{,}04412 = \dollars{2038997}$ ; l'erreur est de $-\pct{7.5}$. Appliqué au revenu avant réserve du sujet ($89955{,}75 + 8103 = \dollars{98058.75}$), le taux avant réserve donne $\dollars{2056119}$, proche de la valeur cohérente ; le léger écart (\pct{0.8}) vient de ce que la réserve du sujet (\pct{9.0} de son revenu net) pèse un peu plus que celle du comparable (\pct{8.1}), les deux conventions n'étant strictement équivalentes que si le rapport réserve/revenu est le même pour le sujet et les comparables. La leçon : une convention ou l'autre, mais la même des deux côtés.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:29:4}{Bande d'investissement et couverture de la dette}17Taux mensuel : $i_m = (1 + 0{,}0412/2)^{1/6} - 1 = \num{0.0034042}$ ; constante hypothécaire sur 480 versements : $f = 12\, i_m / [1 - (1+i_m)^{-480}] = \pct{5.079}$. (a) Bande d'investissement avec $R_E = 6~\%$ : $R = 0{,}75 \times 0{,}05079 + 0{,}25 \times 0{,}06 = 0{,}03809 + 0{,}01500 = \pct{5.309}$ ; valeur $= 89955{,}75/0{,}05309 = \dollars{1694335}$. (b) Couverture de \num{1.25} : $R = 1{,}25 \times 0{,}75 \times 0{,}05079 = \pct{4.762}$ ; valeur « du prêteur » $= \dollars{1889228}$. (c) Rendement courant compatible avec le marché : $R_E = (R - Mf)/(1-M) = (0{,}04415 - 0{,}03809)/0{,}25 = \pct{2.42}$. Le levier est négatif au sens du rendement courant : la constante hypothécaire (\pct{5.08}) dépasse le taux global (\pct{4.415}), de sorte que chaque dollar emprunté coûte plus en service de dette qu'il ne rapporte en revenu net la première année, et le rendement courant des fonds propres (\pct{2.42}) est inférieur au taux global. L'acheteur qui paie le prix du marché avec ce financement mise donc sur la croissance du revenu et de la valeur (rendement total), non sur le rendement courant ; un investisseur qui exige six pour cent de rendement courant ne peut pas payer plus de \dollars{1694335}, ce qui est sa valeur d'investissement et non la valeur marchande.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:29:5}{Gordon et la croissance implicite}21$R = r - g$ : avec $g = \pct{2.25}$, $R = \pct{5.00}$ et $V = 89955{,}75/0{,}05 = \dollars{1799115}$ ; avec $g = \pct{3.10}$, $R = \pct{4.15}$ et $V = \dollars{2167608}$ ; avec $g = \pct{4.00}$, $R = \pct{3.25}$ et $V = \dollars{2767869}$. Un écart de 175 points de base sur $g$ fait varier la valeur de plus de cinquante pour cent : le modèle est extraordinairement sensible à la croissance, ce qui le disqualifie comme méthode principale et le qualifie comme outil d'interprétation. Croissance implicite : $g = r - R = 7{,}25 - 4{,}415 = \pct{2.835}$ par année. La croissance de Gordon s'applique au revenu \emph{net} à perpétuité et à la valeur ; le bâtiment s'use, ses dépenses croissent souvent plus vite que ses loyers et sa part de la valeur se déprécie, de sorte que la croissance nette de long terme est inférieure à la croissance des loyers de marché (c'est pourquoi \pct{2.25}, inférieur au taux de base TAL de \pct{3.1}, est plus prudent). Le rattrapage des loyers du cas~3 (onze pour cent d'écart au marché) est un gain \emph{transitoire} qui s'épuise une fois les logements reloués ; l'introduire dans un $g$ perpétuel reviendrait à supposer que les loyers du sujet croissent indéfiniment plus vite que le marché, ce qui est absurde. Il se traite par les flux actualisés (chapitre~30) ou par le choix du taux.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:29:6}{Ellwood, Akerson et le cas sans dette}25(a) Après 120 versements, le solde d'un prêt unitaire à $i_m = \num{0.0034042}$ sur 480 versements est $[(1+i_m)^{480} - (1+i_m)^{120}]/[(1+i_m)^{480} - 1] = \num{0.8775}$ ; la part remboursée est $P = \pct{12.25}$. Facteur de fonds d'amortissement : $\mathit{SFF} = 0{,}0725/[(1{,}0725)^{10} - 1] = \num{0.071527}$. (b) Ellwood : $R = Y_E - M(Y_E + P\,\mathit{SFF} - f) - \Delta\,\mathit{SFF} = 0{,}0725 - 0{,}75\,(0{,}0725 + 0{,}1225 \times 0{,}071527 - 0{,}050789) - 0{,}25 \times 0{,}071527 = 0{,}0725 - 0{,}75 \times 0{,}030473 - 0{,}017882 = \pct{3.176}$. Akerson : $R = Mf + (1-M)Y_E - MP\,\mathit{SFF} - \Delta\,\mathit{SFF} = 0{,}038092 + 0{,}018125 - 0{,}006572 - 0{,}017882 = \pct{3.176}$ ; les deux expressions coïncident à la précision de la machine, conformément à la \cref{prop:ellwood-akerson}. (c) Sans dette : $R = Y_E - \Delta\,\mathit{SFF} = 0{,}0725 - 0{,}017882 = \pct{5.462}$. Croissance annuelle équivalente : $g = 1{,}25^{1/10} - 1 = \pct{2.257}$ ; Gordon donne $R = 7{,}25 - 2{,}257 = \pct{4.994}$. L'écart de 47 points de base vient de l'hypothèse de revenu : Ellwood capitalise un revenu \emph{constant} pendant dix ans et ne reconnaît la croissance qu'à la revente, alors que Gordon capitalise le premier terme d'un revenu qui croît chaque année ; à valeur finale égale, l'investisseur d'Ellwood reçoit moins en cours de route et exige donc un taux initial plus élevé. (d) Avec dette, le taux de \pct{3.18} conduit à $V = 89955{,}75/0{,}03176 = \dollars{2832053}$, soit 39~\% au-dessus de la médiane de marché. Cela signifie que les hypothèses (rendement total de \pct{7.25} seulement, dette à \pct{4.12} sur 75~\%, appréciation de 25~\%) sont plus optimistes que celles du marché : à prix de marché, soit l'appréciation attendue est bien plus faible (environ \pct{7.7} en dix ans), soit le rendement exigé sur les fonds propres est plus élevé (environ \pct{10.7}). La méthode hypothèque–fonds propres est ainsi un révélateur des anticipations plutôt qu'une source autonome de taux.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:29:7}{Loyers de marché, baux en place et multiplicateur brut}29Revenu brut effectif aux loyers de marché : $186036 \times (1 - 0{,}039) + 9360 = \dollars{188140.60}$. La gestion passe à $0{,}04 \times 188140{,}60 = \dollars{7525.62}$ (au lieu de \dollars{6737.76}) ; les autres dépenses et la réserve sont inchangées. Revenu net : $188140{,}60 - (70385{,}19 - 6737{,}76 + 7525{,}62) - 8103 = \dollars{108864.54}$, soit \dollars{18908.79} de plus que le revenu net contractuel (l'écart de loyers de \dollars{20496} diminué de la vacance et de la gestion supplémentaires). Valeur à \pct{4.415} : $\dollars{2465788}$, soit $+\pct{21.0}$ par rapport à \dollars{2037503}. La surévaluation vient de ce qu'on capitalise à perpétuité, dès la première année, un revenu que l'acheteur n'encaissera que progressivement (au rythme des départs, environ 15~\% des logements par année dans le dossier, et dans les limites de l'encadrement des loyers) ; le potentiel a une valeur, mais c'est la valeur actualisée des écarts futurs, bien inférieure à leur capitalisation immédiate. Multiplicateur brut : $13{,}54 \times 165540 = \dollars{2241412}$ sur les loyers contractuels ($+\pct{10.0}$ par rapport à la capitalisation du revenu net) et $13{,}54 \times 186036 = \dollars{2518927}$ sur les loyers de marché. Par l'\cref{eq:29:mrb}, $R = (1-v)(1-d)/\mathit{MRB}$ : à MRB égal, le taux implicite dépend du ratio de dépenses. Le ratio médian des comparables est de \pct{39.9} alors que celui du sujet atteint \pct{46.6} (conciergerie, assurances, réserve) ; en appliquant le MRB médian, on prête au sujet la structure de charges plus légère des comparables, donc un revenu net plus élevé qu'il n'est. Le MRB implicite de la valeur capitalisée, $2037503/165540 = 12{,}31$, est logiquement inférieur à la médiane de marché.30\end{solution}3132\begin{solution}{ex:29:8}{Régression, fourchette et erreurs combinées}33Taux prévus : 24 logements, état~2 : $R = 4{,}567 - 0{,}0441\,(2-3) - 0{,}0227\,(24-12) = 4{,}567 + 0{,}044 - 0{,}273 = \pct{4.338}$ ; six logements, état~4 : $R = 4{,}567 - 0{,}0441\,(4-3) - 0{,}0227\,(6-12) = 4{,}567 - 0{,}044 + 0{,}136 = \pct{4.659}$. L'écart-type résiduel de 38 points de base signifie qu'environ deux tiers des ventes se situent à moins de 0,38~point de la droite : les prévisions sont des centres de fourchettes, non des taux précis. Scénario défavorable : $\NOI = 0{,}95 \times 89955{,}75 = \dollars{85457.96}$ et $R = 4{,}665~\%$, $V = \dollars{1831896}$, soit $-\pct{10.1}$. Scénario favorable : $\NOI = \dollars{94453.54}$ et $R = 4{,}165~\%$, $V = \dollars{2267792}$, soit $+\pct{11.3}$. L'approximation additive $\pm(0{,}05 + 0{,}0025/0{,}04415) = \pm\pct{10.7}$ est symétrique ; les variations exactes ne le sont pas (la convexité de $1/R$ amplifie la hausse et atténue la baisse). La fourchette de \dollars{1832000} à \dollars{2268000} englobe les indications de la médiane des dix ventes proches (\dollars{1990172}), de la régression (\dollars{1969694}) et des flux actualisés du chapitre~30 (\dollars{2208566}). Dans le rapport, il convient de présenter la valeur ponctuelle arrondie (\dollars{2040000}), d'indiquer la fourchette de taux retenue (\pct{4.40} à \pct{4.55}) et son effet sur la valeur (environ \dollars{1977000} à \dollars{2045000}), et de réserver la fourchette large aux scénarios de stress (chapitre~40), en précisant que les erreurs sur le revenu et sur le taux peuvent se cumuler ou se compenser.34\end{solution}35