spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 36 — Données de panel et identification causale2% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch36.py (test_solutions_exercices, test_solution_exercice_7).34\begin{solution}{ex:36:1}{Doubles différences à la main}5(a) La variation des traités est $11{,}64 - 11{,}52 = 0{,}12$ et celle des témoins $11{,}47 - 11{,}40 = 0{,}07$ ; l'estimateur de l'\cref{eq:8:did} vaut $\hat\delta_{2\times 2} = 0{,}12 - 0{,}07 = 0{,}05$, soit $100\,[e^{0{,}05} - 1] = 5{,}13$ \% de loyer en plus. La multiplication par cent aurait donné $5{,}0$ \% ; l'écart est petit ici mais croît avec l'effet. (b) L'hypothèse est celle des tendances parallèles de l'\cref{eq:36:paralleles} : sans la gare, le logarithme des loyers des immeubles proches aurait augmenté de $0{,}07$, comme celui des immeubles éloignés. Un placebo consiste à appliquer le même calcul à deux périodes antérieures à l'annonce de la gare, par exemple les deux années précédant l'annonce ; l'estimateur doit alors être nul aux erreurs d'échantillonnage près. Une étude d'événement généralise le placebo à toutes les périodes antérieures et montre si les coefficients pré-traitement ont une pente. (c) L'anneau intermédiaire a été exclu parce que son exposition est ambiguë : il bénéficie sans doute en partie de la gare (il n'est pas un bon témoin) sans être à distance de marche (il n'est pas un bon traité). L'inclure dans les témoins atténuerait l'effet par débordement ; l'inclure dans les traités diluerait l'effet. On vérifie la pertinence du seuil de 800 m en le faisant varier et en estimant l'effet par anneaux successifs, comme le font \textcite{currie2015}.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:36:2}{Transformation within sur un petit panel}9(a) Les moyennes par immeuble sont $\bar y_1 = 11{,}15$, $\bar y_2 = 11{,}65$, $\bar y_3 = 10{,}85$ et $\bar x_1 = \bar x_2 = 0{,}5$, $\bar x_3 = 0$. Les données transformées sont $\ddot y = (-0{,}15 ;\ 0{,}15 ;\ -0{,}05 ;\ 0{,}05 ;\ -0{,}05 ;\ 0{,}05)$ et $\ddot x = (-0{,}5 ;\ 0{,}5 ;\ -0{,}5 ;\ 0{,}5 ;\ 0 ;\ 0)$. L'\cref{eq:36:within-est} donne $\hat\beta_W = \sum \ddot x\ddot y / \sum \ddot x^2 = (0{,}075 + 0{,}075 + 0{,}025 + 0{,}025)/(4 \times 0{,}25) = 0{,}20/1{,}00 = 0{,}20$ : la rénovation est associée à une hausse de $0{,}20$ du logarithme du revenu, soit 22 \%. Noter que le troisième immeuble, jamais rénové, ne contribue pas à l'estimation de $\beta$ (ses $\ddot x$ sont nuls) ; il contribuerait à l'estimation des effets de période si l'on en ajoutait. (b) La régression des moindres carrés ordinaires de $y$ sur $x$ sur les six observations donne une pente de $0{,}425$ : la moyenne de $y$ est $11{,}50$ pour $x = 1$ et $11{,}075$ pour $x = 0$. L'écart avec $0{,}20$ vient de ce que les immeubles rénovés (1 et 2) ont des revenus permanents plus élevés que l'immeuble 3 : l'effet fixe $\alpha_i$ est corrélé avec $x_{it}$, et la régression groupée attribue à la rénovation la différence de niveau entre immeubles, qui existait avant elle. C'est le biais de sélection de l'\cref{eq:36:selection}, que la transformation within élimine. (c) L'estimateur within reste sans biais si la décision de rénover ne dépend que de caractéristiques permanentes (absorbées par $\alpha_i$). Si les propriétaires ont rénové \emph{parce que} les revenus stagnaient, la décision répond à un choc passé $\varepsilon_{i,t-1}$ négatif, ce qui viole l'exogénéité stricte : la période post-rénovation est comparée à une période anormalement basse, et l'estimateur surestime l'effet par retour à la moyenne. Le remède est un groupe témoin dont les revenus stagnaient aussi mais qui n'a pas rénové, c'est-à-dire des doubles différences avec appariement sur la trajectoire pré-traitement.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:36:3}{Grappes et facteur de Moulton}13(a) Le facteur multiplicatif des erreurs-types est $\sqrt{1 + (m-1)\rho}$ : pour $m = 42$ et $\rho = 0{,}5$, $\sqrt{1 + 41 \times 0{,}5} = \sqrt{21{,}5} = 4{,}64$ ; pour $\rho = 0{,}9$, $\sqrt{37{,}9} = 6{,}16$ ; pour $m = 8$ et $\rho = 0{,}5$, $\sqrt{4{,}5} = 2{,}12$. La correction croît avec la longueur du panel : plus on observe longtemps le même immeuble, moins chaque trimestre supplémentaire apporte d'information indépendante. (b) Un rapport de $4{,}9$ implique $1 + 41\rho = 4{,}9^2 = 24{,}0$, d'où $\rho \approx 0{,}56$. Cette corrélation implicite est cohérente avec des séries construites comme des marches aléatoires autour d'une tendance, dont les écarts aux effets fixes sont fortement persistants ; elle n'est qu'indicative, parce que la formule suppose un régresseur constant dans la grappe et une corrélation uniforme, alors que $D_{it}$ varie dans le temps et que la corrélation décroît avec l'écart entre trimestres. (c) Le traitement varie entre municipalités et non entre immeubles d'une même municipalité : tout choc commun à une municipalité (son marché local, sa fiscalité, sa conjoncture) est corrélé avec le traitement de ses 200 immeubles, et les grappes doivent être les municipalités. Avec $G = 4$ grappes, l'\cref{eq:36:grappes} repose sur quatre vecteurs $\mathbf{X}_g\T\mathbf{e}_g$ pour estimer une matrice de variance : l'estimateur est très imprécis, biaisé vers le bas même avec la correction $G/(G-1)$, et les lois asymptotiques en $G \to \infty$ ne s'appliquent pas. Il faut recourir à des procédures de rééchantillonnage adaptées aux petits nombres de grappes, ou à l'agrégation au niveau des municipalités suivie d'une inférence exacte, et dire franchement que quatre unités traitées ou témoins ne permettent qu'une inférence fragile.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:36:4}{Lire une étude d'événement}17(a) Aucun coefficient pré-traitement n'est individuellement significatif au seuil de 5 \% : $-0{,}01$, $-0{,}02$ et $-0{,}03$ avec une erreur-type de $0{,}02$ donnent des statistiques $t$ de $0{,}5$, $1{,}0$ et $1{,}5$. Mais ils dessinent une pente nette : en lecture chronologique, ils passent de $-0{,}01$ en $k = -4$ à $-0{,}03$ en $k = -2$, puis à zéro en $k = -1$ par construction, ce qui signifie que les prix des immeubles bientôt cartographiés ont \emph{baissé} par rapport aux témoins de $k = -4$ à $k = -2$, puis sont remontés d'un coup au trimestre de référence. Une lecture plus plausible est que le trimestre $k = -1$ est un point haut accidentel, ou que la tendance différentielle est négative et que la référence la masque ; dans les deux cas, les tendances parallèles sont douteuses. (b) Si les traités étaient déjà sur une trajectoire relative descendante d'environ $0{,}01$ par année, les coefficients post-traitement de $-0{,}06$ à $-0{,}08$ surestiment la décote d'un montant qui croît avec $k$ : à $k = 3$, l'extrapolation de la pente pré-traitement expliquerait à elle seule environ $0{,}04$ des $0{,}08$. La \cref{sec:36:sensibilite} propose de détendancer les différences longues par la pente pré-traitement de chaque groupe, ou d'ajouter une tendance linéaire propre au groupe traité, en rapportant les deux résultats comme une fourchette ; elle rappelle aussi que la référence doit être choisie avant de voir les résultats et que l'on peut vérifier la robustesse en prenant pour référence la moyenne de plusieurs trimestres pré-traitement. (c) Si la cartographie a été annoncée deux ans avant sa publication, le marché a pu réagir dès l'annonce : les périodes $k = -8$ à $-1$ sont alors déjà « traitées » par l'information, et la pente pré-traitement observée pourrait \emph{être} l'effet d'anticipation plutôt qu'une violation des tendances parallèles. Il faut dater l'événement à l'annonce, ou au moins exclure les trimestres entre l'annonce et la publication de la fenêtre de référence, et interpréter l'effet mesuré à la publication comme l'effet \emph{supplémentaire} de la mise en vigueur formelle.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:36:5}{Poids de Goodman-Bacon}21(a) La cohorte précoce est traitée aux périodes 5 à 19, soit $15/20$ des périodes : $\bar D_k = 0{,}75$ ; la cohorte tardive aux périodes 15 à 19 : $\bar D_\ell = 0{,}25$. Le tableau $2 \times 20$ des $D_{it}$ a pour moyennes de ligne $0{,}75$ et $0{,}25$, pour moyennes de colonne $0$ (périodes 0 à 4), $0{,}5$ (périodes 5 à 14) et $1$ (périodes 15 à 19), et pour moyenne générale $0{,}5$. Les valeurs doublement centrées $D_{it} - \bar D_i - \bar D_t + \bar D$ valent, pour la cohorte précoce, $-0{,}25$ aux périodes 0 à 4, $+0{,}25$ aux périodes 5 à 14 et $-0{,}25$ aux périodes 15 à 19 ; pour la tardive, $+0{,}25$, $-0{,}25$ et $+0{,}25$. Toutes ont un carré de $0{,}0625$, donc $\hat V^D = 0{,}0625$. (b) Avec $n_k = n_\ell = 0{,}5$ et $n_{k\ell} = 0{,}5$, l'\cref{eq:36:bacon-poids} donne $s_{\ell k} = [(1)(0{,}75)]^2 \times 0{,}25 \times (0{,}25/0{,}75) \times (0{,}50/0{,}75) / 0{,}0625 = 0{,}5625 \times 0{,}25 \times 0{,}3333 \times 0{,}6667 / 0{,}0625 = 0{,}5$, et symétriquement $s_{k\ell} = [(1)(1 - 0{,}25)]^2 \times 0{,}25 \times (0{,}50/0{,}75) \times (0{,}25/0{,}75)/0{,}0625 = 0{,}5$. Les deux poids somment à un : sans unité jamais traitée, le TWFE est la moyenne à parts égales de la comparaison propre et de la comparaison interdite. (c) Les effets vrais sont $\delta(k) = 0{,}01\,(k + 1)$. La cohorte précoce, traitée quinze périodes ($k = 0$ à $14$), a un ATT de $0{,}01 \times 8 = 0{,}08$ ; la tardive, traitée cinq périodes, de $0{,}01 \times 3 = 0{,}03$ ; l'ATT global, pondéré par les observations traitées ($15 \times 0{,}08 + 5 \times 0{,}03)/20$, vaut $0{,}0675$. La comparaison propre $\hat\beta_{k\ell}$ mesure l'effet de la cohorte précoce sur la fenêtre $t < 15$, soit $k = 0$ à $9$ : $\E[\hat\beta_{k\ell}] = 0{,}01 \times 5{,}5 = 0{,}055$. Pour la comparaison interdite, l'effet moyen de la cohorte précoce passe de $0{,}055$ (périodes 5 à 14) à $0{,}01 \times 13 = 0{,}13$ (périodes 15 à 19, $k = 10$ à $14$), une hausse de $0{,}075$ que l'\cref{eq:36:interdite} retranche : $\E[\hat\beta_{\ell k}] = 0{,}03 - 0{,}075 = -0{,}045$. Le TWFE a donc pour espérance $0{,}5 \times 0{,}055 + 0{,}5 \times (-0{,}045) = 0{,}005$, contre un ATT global de $0{,}0675$ : il sous-estime l'effet de 93 \% alors que chaque effet individuel est positif, et il suffirait d'une pente un peu plus forte pour qu'il devienne négatif.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:36:6}{Callaway et Sant'Anna à la main}25(a) La base est la période $g - 1 = 2$. Pour $t = 3$, les différences longues des traités sont $10{,}12 - 10{,}05 = 0{,}07$ et $9{,}66 - 9{,}56 = 0{,}10$, de moyenne $0{,}085$ ; celles des témoins, $0{,}03$, $0{,}04$ et $0{,}05$, de moyenne $0{,}04$ ; donc $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 3) = 0{,}085 - 0{,}040 = 0{,}045$. Pour $t = 4$, les traités donnent $0{,}15$ et $0{,}16$ (moyenne $0{,}155$), les témoins $0{,}07$, $0{,}07$ et $0{,}08$ (moyenne $0{,}0733$) : $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 4) = 0{,}0817$. L'effet moyen de la cohorte, première agrégation de l'\cref{eq:36:cs-agreg}, vaut $(0{,}045 + 0{,}0817)/2 = 0{,}0633$, et l'effet croît d'une période à l'autre. (b) Le placebo $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 1)$ compare la période 1 à la base 2 : traités $-0{,}05$ et $-0{,}06$ (moyenne $-0{,}055$), témoins $-0{,}04$, $-0{,}05$ et $-0{,}03$ (moyenne $-0{,}04$) : $-0{,}015$. Il signifie que, de la période 1 à la période 2, les traités ont crû de $0{,}015$ de plus que les témoins ; sur une seule période et cinq unités, rien ne permet de distinguer une pré-tendance d'un bruit, mais le signe invite à la prudence : si cette avance relative se poursuivait, elle expliquerait un tiers de l'effet mesuré en $t = 3$. (c) L'estimateur $2 \times 2$ des périodes 2 et 3 est $(\bar y_{\text{tr},3} - \bar y_{\text{tr},2}) - (\bar y_{\text{té},3} - \bar y_{\text{té},2})$ ; comme la moyenne des différences est la différence des moyennes, c'est exactement $\widehat{\mathrm{ATT}}(3, 3)$ : l'estimateur de Callaway et Sant'Anna n'est rien d'autre qu'une collection de $2 \times 2$ propres, chacun ancré sur la dernière période non traitée. Avec une base universelle $g - 1$, tous les placebos sont mesurés par rapport à la même période, et un accident sur celle-ci se transmet à tous ; avec une base variable $t - 1$, le placebo de la période $t < g$ compare $t$ à $t - 1$ et mesure des \emph{variations} de l'écart plutôt que son \emph{niveau} relatif à la base. Les deux conventions donnent les mêmes effets post-traitement et des placebos différents ; la base variable est plus proche de l'esprit d'un test de pente, la base universelle de celui d'une étude d'événement classique.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:36:7}{Contrôle synthétique et bassin de donneurs}29La fonction \texttt{exercice\_7} de \texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py} reproduit les calculs. (a) Avec les 35 donneurs des six RMR, le RMSPE pré-traitement est de $0{,}0031$, onze donneurs reçoivent plus de 1 \% du poids et l'effet moyen post-traitement est de $0{,}0363$ (\cref{tab:36:bilan}). Avec les neuf donneurs de Montréal seulement, l'ajustement est moins serré (RMSPE $0{,}0067$, sept donneurs à plus de 1 \%, P09 à $0{,}32$ et P27 à $0{,}20$) mais l'effet estimé, $0{,}0452$, est le plus proche de la vérité ($0{,}0484$). Avec les 26 donneurs hors Montréal, le RMSPE est de $0{,}0035$ et l'effet de $0{,}0375$. Le placebo qui déplace la mise en service à 2020T3 ajuste la cohorte sur dix-huit trimestres (RMSPE $0{,}0027$) et donne un écart moyen de $-0{,}0055$ sur les huit trimestres qui précèdent la vraie mise en service : rien de comparable à l'écart réel, ce qui conforte l'inférence. (b) Le bassin de Montréal donne l'écart le plus faible à la vérité parce qu'il impose la bonne tendance régionale : les donneurs des autres RMR peuvent reproduire la trajectoire pré-traitement par combinaison, mais rien ne garantit que la combinaison qui reproduit le passé de Montréal en reproduise l'avenir, surtout lorsque les tendances régionales diffèrent. Sur données réelles, la proximité à la vérité n'est pas observable, et le meilleur ajustement pré-traitement (ici le bassin complet) n'est pas non plus le critère : un bassin plus large ajuste toujours mieux le passé, par le seul jeu des degrés de liberté. Le critère est l'argument d'identification, le même marché et l'absence de débordement, et la sensibilité au bassin doit être rapportée comme une fourchette ($0{,}036$ à $0{,}045$ ici). (c) \emph{Méthode et limites (environ 200 mots).} L'effet de la mise en service sur le revenu net des immeubles desservis a été estimé par contrôle synthétique : la trajectoire moyenne du logarithme du revenu net des huit immeubles desservis a été reproduite, sur les vingt-six trimestres précédant la mise en service, par une combinaison à poids positifs d'immeubles non desservis du même portefeuille, et l'écart entre la trajectoire observée et cette combinaison après la mise en service est attribué à celle-ci. L'estimation repose sur trois hypothèses : les immeubles donneurs n'ont pas été affectés, directement ou par report de demande, par la mise en service ; la combinaison qui reproduit le passé aurait continué de reproduire le présent en l'absence de desserte ; et aucun autre événement propre aux immeubles desservis n'est survenu à la même date. L'ajustement pré-traitement est serré et le rapport des erreurs post et pré-traitement est le plus élevé des trente-six unités, ce qui correspond à une probabilité de $1/36$ d'observer un tel écart par hasard. L'estimation varie de $0{,}036$ à $0{,}045$ selon le bassin de donneurs retenu, et les estimateurs par régression du même dossier la situent entre $0{,}04$ et $0{,}05$ ; la plus-value retenue, de l'ordre de 4 \% du revenu net, est présentée comme une fourchette, non comme un point, et son passage à la valeur suppose un taux de capitalisation inchangé, hypothèse discutée séparément.30\end{solution}31