spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Réconciliation et incertitude}\label{ch:20}23Les chapitres précédents ont laissé le lecteur devant plusieurs chiffres pour une même maison : une valeur pondérée par comparaison de \dollars{575565} (\cref{ch:17}), une prédiction hédonique de \dollars{637953} assortie d'un intervalle de prédiction de \dollars{539682} à \dollars{749087} (\cref{ch:18}), une indication par le coût de \dollars{579501} obtenue d'un coût neuf de \dollars{397567} (\cref{ch:21}), d'une dépréciation extraite du marché et d'une valeur de terrain de \dollars{277000} (\cref{ch:24}), et, en amont, une indication brute par le prix unitaire qui variait de \dollars{525768} à \dollars{608014} selon la façon de choisir les comparables (\cref{ch:16}). Aucun de ces chiffres n'est la valeur marchande ; chacun en est une \emph{indication}, c'est-à-dire une estimation produite par une méthode, avec ses données, ses hypothèses et son erreur. Le présent chapitre traite du passage de ces indications à une conclusion : comment les pondérer, ce que l'on sait de leur précision, comment mesurer l'incertitude qui subsiste et comment la communiquer dans un rapport soumis aux normes de pratique. Il formalise d'abord la réconciliation comme la combinaison d'estimateurs bruités et parfois corrélés, puis il distingue soigneusement l'intervalle qui porte sur la valeur de celui qui porte sur le prix, recense les sources d'incertitude déjà mesurées dans les chapitres précédents, introduit le bootstrap des comparables comme outil de mesure, examine l'indication par le coût et son incertitude, et conduit la réconciliation complète du cas 1 jusqu'à une fourchette et une valeur ponctuelle justifiées, que le \cref{ch:45} reprendra. Le chapitre se clôt sur ce que seul un jeu synthétique permet : comparer la conclusion à la valeur que la loi de génération des données assigne au sujet.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item formuler la réconciliation comme une combinaison pondérée d'indications, en dériver la variance avec corrélation, et calculer les poids qui la minimisent ;9\item distinguer l'intervalle de confiance de la valeur marchande, l'intervalle de prédiction du prix et la fourchette de valeur conclue, et dire ce que les normes exigent ou permettent à propos de chacun ;10\item recenser et hiérarchiser les sources d'incertitude d'un dossier de comparaison : sélection des comparables, ajustements, spécification du modèle, bruit de transaction ;11\item mettre en œuvre un bootstrap des comparables à trois niveaux (candidats, ajustements, les deux) et en lire la distribution ;12\item caractériser l'incertitude d'une indication par le coût, la rééchantillonner avec les autres indications et juger de son poids dans la réconciliation ;13\item rédiger une conclusion de valeur qui expose le raisonnement, la fourchette, la valeur la plus probable, l'arrondi et les hypothèses, conformément aux Normes de pratique professionnelle et aux cadres canadien et international.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{De plusieurs indications à une conclusion}\label{sec:20:reconciliation}1819\subsection{Ce que la réconciliation n'est pas}2021La \motcle{réconciliation} (en anglais \emph{reconciliation}, parfois \emph{correlation} dans les textes anciens) est l'étape par laquelle l'évaluateur passe des indications de valeur fournies par les méthodes qu'il a appliquées à une conclusion unique, accompagnée de son raisonnement. Les manuels professionnels la décrivent comme un jugement fondé sur trois critères : la quantité et la qualité des données dont chaque méthode a disposé, la pertinence de la méthode pour le type de bien et pour la fin de l'évaluation, et la cohérence interne de chaque indication avec les autres et avec le marché \parencite{appraisal2026,appraisalCdn}. Les Normes internationales d'évaluation en vigueur sont plus explicites encore sur ce que la réconciliation n'est pas : lorsque plusieurs approches ou méthodes sont utilisées, « the process of analysing and reconciling the differing values into a single conclusion, without averaging, should be described by the valuer in the report » \parencite[IVS~103, §~10.07]{ivs2025}. La proscription de la moyenne simple n'est pas une coquetterie : une moyenne non pondérée traite comme équivalentes une indication tirée de six cents ventes et une indication tirée de trois hypothèses non vérifiées, et la \cref{sec:20:exemple} montrera, sur le cas 1, qu'elle conduit à une conclusion que personne ne défendrait.2223\begin{definition}{Indication de valeur et réconciliation}{indication}24Une \motcle{indication de valeur} est l'estimation de la valeur recherchée produite par une méthode donnée, appliquée à des données données, sous des hypothèses déclarées ; elle est entachée d'une erreur dont la variance et, éventuellement, le biais dépendent de la méthode et des données. La réconciliation est l'opération qui, à partir de plusieurs indications et de ce que l'on sait de leurs erreurs, produit une conclusion de valeur, ponctuelle ou en fourchette, et le raisonnement qui la justifie.25\end{definition}2627Cette définition déplace la question. Si chaque indication est un estimateur de la même quantité, la valeur marchande $V_s = \E[P \mid \mathbf{x}_s, t]$ définie au \cref{ch:16}, alors la réconciliation est un problème de combinaison d'estimateurs, et ce problème a une théorie. Elle a été développée hors de l'immobilier, pour la combinaison de prévisions économiques, par Bates et Granger (1969), qui ont montré que la combinaison optimale de deux prévisions dépend de leurs variances \emph{et} de leur corrélation, et qu'une prévision médiocre mérite un poids positif dès qu'elle apporte une information que l'autre n'a pas\footnote{Bates, J. M. et Granger, C. W. J. (1969), « The Combination of Forecasts », \emph{Operational Research Quarterly}, 20(4), 451-468 ; DOI 10.1057/jors.1969.103 (vérifié Crossref le 31 octobre 2026 ; \texttt{references/lib-ch20.bib}). Granger et Ramanathan (1984), « Improved Methods of Combining Forecasts », \emph{Journal of Forecasting}, 3(2), 197-204, DOI 10.1002/for.3980030207, ont ensuite relâché la contrainte de somme unitaire des poids.}. En évaluation, \textcite{vandell1991} et \textcite{gauLaiWang1992} ont appliqué le même raisonnement à la pondération des comparables, \textcite{green1994} en a souligné les limites pratiques, et \textcite{kummerowGalfalvy2002} ont formulé la réconciliation comme un arbitrage entre l'erreur de biais et l'erreur de variance. Le présent chapitre reprend ce fil et le pousse jusqu'au chiffre.2829\subsection{Moyenne pondérée, variance et corrélation}3031Soit $m$ indications $\hat V_1, \dots, \hat V_m$ de la même valeur $V_s$, d'écarts-types $\sigma_1, \dots, \sigma_m$ et de corrélations $\rho_{ij}$ entre leurs erreurs, réunies dans la matrice de covariance $\boldsymbol\Sigma$ d'éléments $\Sigma_{ij} = \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$. La conclusion combinée est la moyenne pondérée32\begin{equation}\label{eq:20:combinaison}33\hat V = \sum_{i=1}^{m} w_i\,\hat V_i = \mathbf{w}\T\hat{\mathbf{V}}, \qquad \sum_{i=1}^{m} w_i = 1 ,34\end{equation}35et sa variance vaut36\begin{equation}\label{eq:20:variance}37\Var[\hat V] = \mathbf{w}\T\boldsymbol\Sigma\,\mathbf{w} = \sum_{i=1}^{m} w_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i<j} w_i w_j\,\rho_{ij}\,\sigma_i\sigma_j .38\end{equation}39Lorsque les indications sont sans biais, la variance est toute l'erreur ; lorsqu'elles ne le sont pas, c'est-à-dire lorsque l'indication $i$ s'écarte en espérance de $V_s$ d'un biais $b_i$, l'erreur quadratique moyenne de la combinaison ajoute au terme de variance le carré du biais combiné :40\begin{equation}\label{eq:20:eqm}41\mathrm{EQM}[\hat V] = \mathbf{w}\T\boldsymbol\Sigma\,\mathbf{w} + \Big(\sum_{i=1}^{m} w_i\,b_i\Big)^{2} .42\end{equation}43Cette écriture contient déjà la leçon principale de la réconciliation. Les variances se mesurent, par la dispersion des comparables, par les erreurs-types d'une régression, par le bootstrap ; les biais, eux, ne se mesurent pas à partir des données qui ont produit l'indication, puisqu'une méthode ne peut pas détecter son propre biais. Les biais se \emph{jugent}, à partir de ce que l'on sait des hypothèses, des données omises et des circonstances du marché, et c'est à ce jugement que les critères des manuels, quantité et qualité des données, pertinence de la méthode, s'appliquent en réalité. La pondération raisonnée de la pratique est donc, au sens de l'\cref{eq:20:eqm}, une pondération par la variance corrigée du biais présumé : une indication précise mais que l'on soupçonne biaisée ne doit pas recevoir le poids que sa seule variance lui vaudrait.4445\begin{proposition}{Poids de variance minimale avec corrélation}{mcg}46Sous la contrainte $\sum_i w_i = 1$, la variance \eqref{eq:20:variance} est minimale pour47\begin{equation}\label{eq:20:poids-mcg}48\mathbf{w}^{*} = \frac{\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}\T\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1}}, \qquad \Var[\hat V^{*}] = \frac{1}{\mathbf{1}\T\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1}} .49\end{equation}50Pour deux indications d'écarts-types $\sigma_1$ et $\sigma_2$ et de corrélation $\rho$, le poids optimal de la première et la variance minimale s'écrivent51\begin{equation}\label{eq:20:deux}52w_1^{*} = \frac{\sigma_2^2 - \rho\,\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\,\sigma_1\sigma_2}, \qquad53\Var[\hat V^{*}] = \frac{\sigma_1^2\sigma_2^2\,(1 - \rho^2)}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\,\sigma_1\sigma_2} .54\end{equation}55Si les erreurs sont indépendantes ($\rho = 0$), les poids sont proportionnels aux précisions $1/\sigma_i^2$ et l'on retrouve la règle du \cref{ch:16} (\cref{eq:16:poids}). Si $\rho > \sigma_1/\sigma_2$ avec $\sigma_1 < \sigma_2$, le poids optimal de l'indication la moins précise devient négatif.56\end{proposition}57\begin{proof}58On minimise le lagrangien $\mathbf{w}\T\boldsymbol\Sigma\mathbf{w} - \lambda(\mathbf{1}\T\mathbf{w} - 1)$. La condition du premier ordre $2\boldsymbol\Sigma\mathbf{w} = \lambda\mathbf{1}$ donne $\mathbf{w} = \tfrac{\lambda}{2}\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1}$, et la contrainte fixe $\lambda/2 = 1/(\mathbf{1}\T\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1})$. En substituant, $\Var[\hat V^*] = \mathbf{w}^{*\T}\boldsymbol\Sigma\mathbf{w}^* = (\mathbf{1}\T\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1})^{-1}$. Pour $m = 2$, l'inverse de $\boldsymbol\Sigma$ se calcule explicitement et $\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1} \propto (\sigma_2^2 - \rho\sigma_1\sigma_2,\ \sigma_1^2 - \rho\sigma_1\sigma_2)$, d'où \eqref{eq:20:deux} ; le numérateur de $w_2^*$ est négatif lorsque $\rho\sigma_1\sigma_2 > \sigma_1^2$, c'est-à-dire $\rho > \sigma_1/\sigma_2$. La fonction \texttt{poids\_gls} du script du chapitre calcule \eqref{eq:20:poids-mcg} et \texttt{poids\_optimaux\_deux} calcule \eqref{eq:20:deux}.59\end{proof}6061Trois conséquences gouvernent l'usage de cette proposition en réconciliation. Premièrement, la corrélation réduit le gain de la combinaison : deux indications qui partagent la même erreur, par exemple deux grilles de comparaison alimentées par les mêmes prix implicites, ne se corrigent pas l'une l'autre, et la variance minimale \eqref{eq:20:deux} tend vers $\sigma_1^2$ lorsque $\rho$ tend vers $\sigma_1/\sigma_2$. Deuxièmement, un poids négatif n'a pas de sens en évaluation, où chaque indication est censée apporter une information sur la valeur et non servir de correction à une autre ; en pratique, on contraint les poids à l'intervalle $[0, 1]$, ce qui revient, lorsque la solution non contrainte est négative, à abandonner l'indication la moins précise. Troisièmement, et c'est le point que \textcite{green1994} a soulevé pour les comparables, la proposition suppose $\boldsymbol\Sigma$ connue ; or les écarts-types et surtout les corrélations ne sont jamais connus, ils sont estimés, parfois grossièrement, et la \cref{sec:20:bootstrap} montre comment le bootstrap peut en fournir une estimation défendable pour les indications qui reposent sur des données, laissant au jugement celles qui reposent sur des hypothèses.6263\subsection{Les critères de la pondération raisonnée}6465Le \cref{tab:20:criteres} traduit les critères des manuels dans le langage de l'\cref{eq:20:eqm}. Chaque critère répond à une question précise et agit soit sur la variance présumée de l'indication, soit sur son biais présumé. La quantité d'information agit sur la variance : une indication fondée sur six cents transactions est, toutes choses égales, plus précise qu'une indication fondée sur cinq, et l'\cref{eq:16:variance} du \cref{ch:16} en donne la mesure. La qualité des données agit sur le biais : une vente non vérifiée, un coût unitaire transposé d'un autre marché, un loyer contractuel pris pour un loyer de marché introduisent des erreurs systématiques que la variance ne mesure pas. La pertinence de la méthode agit sur les deux : une méthode inadaptée au bien, le coût pour un immeuble ancien dans un marché tendu, le revenu pour une maison achetée par un occupant, produit une indication dont ni la variance ni le biais ne sont maîtrisés. La cohérence, enfin, est le critère de contrôle : lorsqu'une indication s'écarte nettement des autres, l'évaluateur doit expliquer l'écart avant de pondérer, parce qu'un écart inexpliqué est le symptôme d'un biais dans l'une ou l'autre des indications, et le \cref{ch:17} a montré, pour le cas 1, qu'un tel écart peut avoir une explication purement statistique.6667\begin{table}[htbp]68\caption{Critères de la pondération raisonnée et leur traduction dans le cadre biais--variance}\label{tab:20:criteres}69\centering\small70\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{30mm}YYL{26mm}@{}}71\toprule72Critère & Question posée à l'indication & Exemples dans le cas 1 & Effet sur le poids \\73\midrule74Quantité d'information & Sur combien d'observations indépendantes repose-t-elle ? Quelle est sa variance d'échantillonnage ? & 5 comparables (grille) ; 600 ventes (modèle) ; 600 ventes pour la dépréciation extraite et 13 ventes récentes pour le terrain (coût) & variance : poids $\propto 1/\sigma^2$ \\75Qualité des données & Les données sont-elles vérifiées, mesurées comme celles du sujet, contemporaines ? & ventes synthétiques homogènes ; coût neuf calibré sur une fourchette montréalaise ; terrain extrait de treize ventes récentes, non observé directement & biais présumé : poids réduit si les données sont douteuses \\76Pertinence de la méthode & La méthode estime-t-elle bien la valeur recherchée pour ce type de bien et cette fin ? & comparaison et modèle visent $\E[P \mid \mathbf{x}_s]$ ; le coût, pour un bâtiment de 28 ans, dépend d'une dépréciation qu'il faut extraire du marché & biais présumé et variance : poids réduit \\77Cohérence & L'indication est-elle compatible avec les autres et avec le marché ? Si non, l'écart est-il expliqué ? & écart grille/modèle de \pct{-9.8} expliqué par les résidus (\cref{prop:residus}) & corrélation et biais : poids ajusté après explication \\78\bottomrule79\end{tabularx}80\tabsource{synthèse de l'auteur d'après les critères décrits par \textcite{appraisal2026} et le cadre de \textcite{kummerowGalfalvy2002}.}81\end{table}8283\subsection{Les biais de jugement dans la réconciliation}8485La réconciliation est l'étape où le jugement pèse le plus, et donc celle où les biais de jugement documentés par la recherche comportementale sont les plus dangereux. \textcite{northcraftNeale1987} ont montré qu'un prix demandé fictif déplaçait les estimations d'évaluateurs professionnels ; \textcite{diaz1990} que la sélection des comparables s'écarte du modèle normatif enseigné ; \textcite{diaz1997} que l'opinion de valeur formée avant l'analyse influence le traitement des comparables ; \textcite{diazHansz2002} ont dressé le bilan de ces travaux. Dans le domaine des évaluations répétées d'immeubles de placement, \textcite{geltner1993} a modélisé le lissage des valeurs d'expertise, c'est-à-dire la tendance de l'évaluateur à n'ajuster que partiellement sa conclusion vers l'information nouvelle en s'ancrant sur la valeur précédente, et \textcite{claytonGeltnerHamilton2001} en ont trouvé la trace dans des évaluations individuelles. Pour la réconciliation, ces résultats ont une conséquence pratique : les poids doivent être fixés, et leur justification écrite, \emph{avant} que la valeur combinée ne soit calculée, et jamais ajustés après coup pour rapprocher la conclusion d'une valeur attendue, qu'il s'agisse d'un prix de vente convenu, d'une évaluation antérieure ou de la valeur au rôle. Le protocole du présent chapitre suit cette règle : les indications sont d'abord caractérisées, leurs écarts-types estimés, les poids déduits de critères écrits, et la conclusion calculée en dernier.8687\section{Intervalle de valeur et valeur ponctuelle}\label{sec:20:intervalle}8889\subsection{Trois intervalles qui n'ont pas le même objet}9091Le \cref{ch:18} a laissé deux nombres qui portent le même nom d'intervalle et qui mesurent des choses différentes, et la confusion entre eux est l'une des plus répandues dans les rapports. Le premier est l'\motcle{intervalle de confiance} de la valeur marchande : il décrit l'incertitude de l'estimation de $\E[P \mid \mathbf{x}_s]$, qui provient de ce que les paramètres du marché sont estimés sur un échantillon fini. Pour le modèle semi-logarithmique de référence, il s'écrit92\begin{equation}\label{eq:20:ic}93\Big[\exp\!\big(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} - z_{1-a/2}\sqrt{\mathbf{x}_s\T\hat{\mathbf{V}}\mathbf{x}_s}\,\big)\,\hat\delta,\ \ \exp\!\big(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} + z_{1-a/2}\sqrt{\mathbf{x}_s\T\hat{\mathbf{V}}\mathbf{x}_s}\,\big)\,\hat\delta\Big],94\end{equation}95où $\hat\delta$ est le facteur de retransformation de Duan (\cref{eq:18:duan}) ; sur le cas 1, la variance d'estimation $\mathbf{x}_s\T\hat{\mathbf{V}}\mathbf{x}_s = 0{,}00010$ donne une demi-largeur de \pct{2.0} et un intervalle de \dollars{625586} à \dollars{650596}. Le second est l'\motcle{intervalle de prédiction} du prix (\cref{eq:18:intervalle}), qui ajoute à la variance d'estimation la variance du bruit de transaction $\hat\sigma^2$ : il décrit la dispersion des prix auxquels le sujet pourrait effectivement se vendre, et il va de \dollars{539682} à \dollars{749087}, soit une demi-largeur de \pct{16.4}, plus de huit fois celle de l'intervalle de confiance. Le troisième est la \motcle{fourchette de valeur} que l'évaluateur conclut : elle n'est ni l'un ni l'autre, parce qu'elle intègre l'incertitude de la réconciliation elle-même, celle des poids, des hypothèses et des méthodes, que ni l'intervalle de confiance d'un seul modèle ni l'intervalle de prédiction ne contiennent.9697\begin{definition}{Fourchette de valeur}{fourchette}98La \motcle{fourchette de valeur} est l'intervalle à l'intérieur duquel l'évaluateur juge que se situe la valeur marchande, compte tenu de l'ensemble des indications, de leurs incertitudes mesurées et de l'incertitude de la pondération ; la \motcle{valeur la plus probable} est le point de cette fourchette que l'évaluateur retient comme conclusion ponctuelle. La fourchette porte sur la valeur, c'est-à-dire sur le centre de la distribution des prix possibles, et non sur le prix d'une transaction particulière.99\end{definition}100101La distinction a des conséquences pratiques immédiates. Un lecteur qui lit une fourchette de \dollars{540000} à \dollars{750000} croit que l'évaluateur hésite de 40 \% sur la valeur, alors que ce chiffre décrit la loterie de la négociation ; un lecteur qui lit \dollars{626000} à \dollars{651000} croit la valeur connue à 2 \% près, alors que ce chiffre ne mesure que l'imprécision des coefficients d'un modèle dont la spécification, les données et la pertinence sont elles-mêmes incertaines. Ni l'un ni l'autre n'est la fourchette de valeur. Le \cref{ch:10} a posé la règle de rédaction : une distribution prédictive de la valeur donne une fourchette par ses quantiles (\cref{eq:10:fourchette}), et la valeur ponctuelle en est la médiane ou l'espérance selon la convention déclarée. Le présent chapitre fournit la distribution.102103\subsection{Ce que les normes exigent et ce qu'elles permettent}104105Les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent une \emph{conclusion de valeur}, qu'elles supposent ponctuelle lorsqu'elles imposent, à la règle 2.3, de rappeler toute hypothèse extraordinaire « à chaque fois qu'il indique sa conclusion de valeur » et d'exposer « le traitement de l'information et le raisonnement » qui y conduisent \parencite[règle 2.3, éléments 7 et 8]{oeaqNormes} ; elles exigent aussi de justifier le rejet d'une méthode traditionnelle (élément 10). Elles n'interdisent pas d'adjoindre une fourchette à la conclusion, et rien dans leur texte ne prescrit la forme de la réconciliation. Le CUSPAP 2026 de l'Institut canadien des évaluateurs encadre les hypothèses extraordinaires et les conditions hypothétiques dont la fausseté « could materially alter the opinions or conclusions » \parencite[s.~3]{cuspap2026}, ce qui oblige à mesurer l'incidence d'une hypothèse sur la valeur sans imposer d'intervalle. Les Normes internationales d'évaluation, on l'a vu, exigent que la réconciliation vers une conclusion unique soit décrite sans moyenne \parencite[IVS~103, §~10.07]{ivs2025}, que la valeur soit accompagnée de son « rationale » et que les hypothèses significatives et conditions limitatives figurent au rapport \parencite[IVS~106, §~30.06]{ivs2025}. Le Red Book de la RICS va plus loin que tous : il rappelle que « All valuations are estimates and therefore always subject to a degree of uncertainty » \parencite[VPGA~10, §~1.2]{rics2025} et rend obligatoire, au rapport, un commentaire sur l'incertitude d'évaluation lorsqu'elle est \emph{significative} (\emph{material valuation uncertainty}), c'est-à-dire lorsqu'elle « falls outside any parameters that might normally be expected and accepted » \parencite[VPS~6, §~2.2(o)]{rics2025}. Aucun de ces cadres n'exige de fourchette chiffrée pour une évaluation ordinaire ; tous exigent que le raisonnement soit exposé et que les hypothèses dont dépend la conclusion le soient avec leur incidence ; le Red Book exige en outre que l'incertitude anormale soit déclarée. Dans ce cadre, la fourchette de valeur est un instrument que l'évaluateur \emph{peut} fournir, qui satisfait à l'exigence de raisonnement mieux qu'un chiffre nu, et qui devient presque indispensable lorsque les indications divergent ou que le marché est mince. \textcite{frenchGabrielli2004} ont soutenu que l'incertitude est inhérente à toute évaluation et que la communiquer est un devoir envers le lecteur ; \textcite{frenchGabrielli2005} ont montré comment la propager dans un flux actualisé, et le \cref{ch:40} prolongera ce dernier point.106107\section{Les sources d'incertitude d'un dossier de comparaison}\label{sec:20:sources}108109Les chapitres précédents ont, chacun pour sa part, mesuré une source d'incertitude du cas 1 ; le \cref{tab:20:sources} les rassemble pour qu'on en voie la hiérarchie. La première source est le \emph{choix des comparables} : le \cref{ch:16} a répété la sélection pour 48 combinaisons du nombre de comparables, du rayon et de la fenêtre temporelle et obtenu des indications brutes de \dollars{525768} à \dollars{608014}, d'écart-type \dollars{24069}, soit \pct{4.4} ; cette dispersion, mesurée avant tout ajustement, tient à la fois au bruit de transaction des ventes retenues et au biais de localisation que le rayon introduit. La deuxième est l'\emph{incertitude des ajustements} : le \cref{ch:17} a déplacé chaque prix implicite de plus ou moins 1,96 erreur-type et n'a jamais déplacé la valeur pondérée de plus de \dollars{7380} ; le choix de l'indice temporel entre 3 et 6 \% par année la déplace de \dollars{16734}, et l'omission d'un ajustement de \dollars{21687} (qualité) à \dollars{30357} (temps). La troisième est la \emph{spécification et l'échantillon du modèle} : le \cref{ch:18} a fait varier la forme fonctionnelle, les indicatrices temporelles et le sous-échantillon d'estimation et obtenu des prédictions de \dollars{627260} à \dollars{649980} pour les spécifications en logarithme, et de \dollars{625967} à \dollars{640098} selon le sous-échantillon, soit deux à trois points de pourcentage. La quatrième est le \emph{bruit de transaction} lui-même, $\hat\sigma = 0{,}083$, qui domine l'intervalle de prédiction mais ne pèse sur l'estimation de la valeur qu'à travers le nombre de ventes : divisé par $\sqrt{600}$ dans le modèle, il ne l'est que par $\sqrt{5}$ dans la grille, et c'est l'origine de l'écart de \pct{-8.5} entre les deux que la \cref{prop:residus} a établi. La cinquième, enfin, est propre au coût : le \cref{ch:21} a montré qu'une année d'indice des prix de la construction déplace le coût neuf de \pct{8.6} et que les taux d'indirects et d'incitatif en déplacent chacun quelques pour cent ; le \cref{ch:24} y a ajouté l'incertitude, plus grande encore, du terrain ($\pm 15$ \% déplacent l'indication de \dollars{537951} à \dollars{621051}) et du choix de la lecture de la dépréciation (extraite du marché ou ventilée par composantes : \dollars{579501} contre \dollars{445872}).110111\begin{table}[htbp]112\caption{Sources d'incertitude du cas 1 mesurées dans les chapitres précédents et nature de chacune}\label{tab:20:sources}113\centering\small114\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{34mm}YL{30mm}L{22mm}@{}}115\toprule116Source & Mesure obtenue & Nature & Chapitre \\117\midrule118Choix des comparables ($k$, rayon, fenêtre) & 48 combinaisons : \dollars{525768} à \dollars{608014}, écart-type \dollars{24069} (\pct{4.4}) & aléatoire (bruit des ventes) et systématique (biais de rayon) & \cref{ch:16} \\119Prix implicites des ajustements ($\pm 1{,}96$ e.-t.) & au plus \dollars{7380} par groupe (temps) ; \dollars{754} pour la superficie & aléatoire, petite & \cref{ch:17} \\120Indice de conditions du marché (3 à 6 \%/an) & \dollars{16734} d'étendue & systématique (choix de source) & \cref{ch:17} \\121Omission d'un ajustement & temps \dollars{30357} ; qualité \dollars{21687} ; âge \dollars{8385} & systématique & \cref{ch:17} \\122Spécification du modèle (formes en logarithme) & \dollars{627260} à \dollars{649980} ($-1{,}7$ à $+1{,}9$ \%) & systématique & \cref{ch:18} \\123Échantillon d'estimation & \dollars{625967} à \dollars{640098} (\pct{2.2}) & aléatoire & \cref{ch:18} \\124Coefficients du modèle (variance d'estimation au sujet) & demi-largeur \pct{2.0} & aléatoire & \cref{ch:18} \\125Bruit de transaction & $\hat\sigma = 0{,}083$ ; intervalle de prédiction $\pm 16$ \% & aléatoire, irréductible pour un prix & \cref{ch:18} \\126Coût neuf (indice, indirects, incitatif) & $\pm 8{,}6$ \% pour une année d'IPCB ; grille des taux & systématique & \cref{ch:21} \\127Terrain extrait et lecture de la dépréciation & terrain $\pm 15$ \% : \dollars{537951} à \dollars{621051} ; ventilée contre extraite : \dollars{445872} contre \dollars{579501} & aléatoire (13 ventes) et systématique (méthode) & \cref{ch:24} \\128\bottomrule129\end{tabularx}130\tabsource{\synth{chiffres repris des scripts \texttt{ch16\_selection.py}, \texttt{ch17\_ajustements.py}, \texttt{ch18\_hedonique.py} et \texttt{ch21\_cout\_neuf.py} (données synthétiques, graine 20261031)}.}131\end{table}132133Deux lectures du tableau importent. D'abord, les sources aléatoires et les sources systématiques ne se traitent pas de la même façon : les premières se mesurent et se réduisent en ajoutant des données, les secondes se jugent et se réduisent en vérifiant ; un bootstrap, si soigné soit-il, ne dira jamais que l'indice de prix choisi était le mauvais. Ensuite, les sources ne s'additionnent pas toutes : l'incertitude des coefficients est déjà contenue dans celle des ajustements, et la dispersion du choix des comparables contient celle du bruit de transaction. Pour obtenir une mesure d'ensemble qui ne compte rien deux fois, il faut une procédure qui rejoue l'ensemble du calcul, de la sélection des comparables à la valeur pondérée, en faisant varier simultanément ce qui doit varier ; c'est ce que fait le bootstrap.134135\section{Le bootstrap des comparables}\label{sec:20:bootstrap}136137\subsection{Principe}138139Le \motcle{bootstrap} (en anglais \emph{bootstrap}, terme conservé dans l'usage francophone) est la méthode de rééchantillonnage proposée par Efron (1979) pour estimer la distribution d'un estimateur sans hypothèse sur la loi des données : on tire, avec remise, des échantillons de même taille que l'échantillon observé, on recalcule l'estimateur sur chacun, et la dispersion des valeurs obtenues estime celle de l'estimateur\footnote{Efron, B. (1979), « Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife », \emph{The Annals of Statistics}, 7(1), 1-26 ; DOI 10.1214/aos/1176344552. L'exposé de référence est Efron, B. et Tibshirani, R. J. (1993), \emph{An Introduction to the Bootstrap}, Chapman \& Hall, DOI 10.1007/978-1-4899-4541-9. Les deux références sont vérifiées (Crossref, 31 octobre 2026) et consignées dans \texttt{references/lib-ch20.bib}.}. Soit $T$ la fonction qui, appliquée à un échantillon de ventes, produit l'indication de valeur, et $\mathcal{S}^{*}_b$ le $b$-ième rééchantillon. L'écart-type bootstrap et l'intervalle percentile au niveau $1 - a$ sont140\begin{equation}\label{eq:20:bootstrap}141\hat V^{*}_b = T(\mathcal{S}^{*}_b), \qquad142\widehat{\mathrm{ET}}^{*} = \sqrt{\frac{1}{B-1}\sum_{b=1}^{B}\big(\hat V^{*}_b - \bar V^{*}\big)^{2}}, \qquad143\big[\hat V^{*}_{(a/2)},\ \hat V^{*}_{(1-a/2)}\big],144\end{equation}145où $\hat V^{*}_{(q)}$ désigne le quantile empirique d'ordre $q$ des $B$ réplications. L'intérêt pour l'évaluation est double. D'une part, la fonction $T$ peut être aussi compliquée que l'on veut, filtres, classement, ajustements en cascade, pondération, sans que la théorie ait à en dériver la variance ; d'autre part, le bootstrap rejoue le calcul dans son ensemble et respecte donc les dépendances entre ses étapes, ce que l'addition des incertitudes du \cref{tab:20:sources} ne ferait pas. \textcite{hastieTibshiraniFriedman2009} en donnent l'exposé moderne et les liens avec la validation croisée du \cref{ch:37}.146147\subsection{Trois niveaux de rééchantillonnage}148149Dans un dossier de comparaison, deux ensembles de données sont rééchantillonnables, et ils répondent à deux questions différentes. Le premier est le bassin des \emph{candidats} laissés par les filtres de la \cref{sec:16:selection} du \cref{ch:16}, seize ventes pour le cas 1 : les rééchantillonner avec remise, puis appliquer le classement par distance d'attributs et retenir les cinq plus proches, mesure la sensibilité de l'indication à la composition de ce bassin, c'est-à-dire ce qui serait arrivé si d'autres ventes semblables avaient eu lieu ou si certaines n'avaient pas eu lieu. Le second est l'ensemble des \emph{ventes du marché} sur lesquelles le modèle hédonique est estimé, six cents pour le cas 1 : les rééchantillonner par paires, réestimer le modèle et recalculer les ajustements des cinq comparables fixes mesure l'incertitude des prix implicites, c'est-à-dire la source « coefficients » du \cref{tab:20:sources}, mais cette fois propagée à travers toute la cascade et la pondération. Le troisième niveau rééchantillonne les deux à la fois, dans la même réplication, et c'est lui qui donne la mesure d'ensemble ; il donne aussi, comme sous-produit, la corrélation entre l'indication par comparaison et la prédiction hédonique recalculée sur le même rééchantillon du marché, puisque les deux partagent les mêmes coefficients. Si les deux sources sont indépendantes, ce que le protocole garantit en les tirant séparément, la variance du troisième niveau est la somme des deux premières :150\begin{equation}\label{eq:20:decomposition}151\Var^{*}_{\text{conjoint}} \approx \Var^{*}_{\text{candidats}} + \Var^{*}_{\text{ajustements}} ,152\end{equation}153une identité que le script vérifie à 5 \% près et qui sert de contrôle du calcul. Une variante paramétrique du deuxième niveau tire directement les coefficients dans leur loi normale asymptotique, $\boldsymbol\beta^{*} \sim \mathcal{N}(\hat{\boldsymbol\beta}, \hat{\mathbf{V}}_{\text{HC1}})$, et doit donner le même résultat lorsque l'échantillon est grand ; c'est un second contrôle.154155Le bootstrap des candidats a une alternative exacte lorsque le bassin est petit : énumérer tous les sous-ensembles de $k$ candidats parmi $n_c$. Pour $k = 5$ et $n_c = 16$, il y en a $\binom{16}{5} = 4\,368$, et le calcul de la valeur pondérée pour chacun prend moins d'une seconde. Cette énumération ne répond pas tout à fait à la même question que le bootstrap, parce qu'elle donne le même poids à un sous-ensemble de candidats lointains qu'au sous-ensemble des cinq plus proches, alors que le bootstrap, en conservant le classement par distance, favorise les proches ; mais elle situe la sélection effectivement retenue dans l'ensemble de celles qui étaient possibles, et cette situation est instructive.156157\subsection{Ce que le bootstrap ne voit pas}158159Le bootstrap estime la variabilité d'échantillonnage ; il ne voit pas ce qui est commun à tout l'échantillon. Si les seize candidats partagent un même écart par rapport au marché, parce qu'ils appartiennent à un micro-marché moins cher ou parce que le hasard les a tous placés sous la courbe du modèle, aucun rééchantillonnage ne le révélera : la distribution bootstrap sera centrée sur l'indication observée, écart compris. C'est la limite que le \cref{tab:20:sources} annonçait pour toutes les sources systématiques, et elle a une conséquence pour la fourchette de valeur : un intervalle bootstrap d'une seule méthode est toujours trop étroit, parce qu'il ignore le biais de la méthode, et c'est la confrontation de plusieurs méthodes, non le rééchantillonnage de l'une d'elles, qui renseigne sur les biais. Les résidus des candidats par rapport au modèle, que la \cref{fig:20:residus} présentera, sont précisément un instrument de cette confrontation.160161\section{L'indication par le coût du cas 1}\label{sec:20:cout}162163Le \cref{ch:21} a établi le coût neuf du sujet, $C_N = \dollars{397567}$ (\cref{eq:21:cn-cas1}), et le \cref{ch:24} en a déduit l'indication par le coût que le présent chapitre reprend telle quelle, par le script \texttt{ch24\_depreciation.py}, sans la recalculer. La valeur du terrain y est extraite des treize ventes de moins de dix ans du secteur de Hull, pour chacune desquelles la différence entre le prix ramené à la date d'évaluation et le coût neuf déprécié du bâtiment estime la valeur du terrain ; la médiane de ces valeurs, \dollars{276954}, est arrondie à $V_L = \dollars{277000}$, soit \parmsq{447} pour \msq{620} et une part de 50,5 \% du prix des maisons récentes. La dépréciation totale est extraite du marché sur les 600 ventes, par l'ajustement d'un profil quadratique du taux de dépréciation sur l'âge ; à 28 ans, ce profil donne 22,00 \% du coût neuf, soit \dollars{87461}, auxquels le \cref{ch:24} ajoute une désuétude fonctionnelle curable propre au sujet de \dollars{7605} ; la dépréciation totale est de \dollars{95066}, soit 23,91 \%. L'indication par le coût suit l'identité de la méthode (\cref{eq:21:identite}) :164\begin{equation}\label{eq:20:cout}165\hat V_{\text{coût}} = V_L + C_N - D_{\text{extraite}} - D_{\text{fonc}} = 277\,000 + 397\,567{,}33 - 87\,461{,}05 - 7\,605{,}31 = \dollars{579501},166\end{equation}167arrondie à \dollars{580000} au \cref{ch:24}. La lecture ventilée de la dépréciation physique du \cref{ch:11}, qui attribue une vie utile à chacune des composantes, donnait au contraire 57,5 \% et une valeur de \dollars{445872} ; le \cref{ch:24} l'a présentée comme la borne basse de la méthode et l'a écartée, parce qu'elle mesure l'usure des composantes et non ce que le marché retranche effectivement pour l'âge. Le \cref{tab:20:cout} rassemble ces composantes et la sensibilité de l'indication aux paramètres que le \cref{ch:24} a fait varier : la valeur du terrain, à $\pm 15$ \%, déplace l'indication de \dollars{537951} à \dollars{621051} ; le choix de la fenêtre et des paramètres d'extraction, de \dollars{558807} à \dollars{588716} ; la date des prix du coût neuf, de \dollars{554944} à \dollars{606170}. Le terrain est, de loin, la composante la plus incertaine, et c'est au \cref{ch:25} qu'il revient de la confirmer par les méthodes propres au terrain.168169\begin{table}[htbp]170\caption{Indication par le coût du sujet du cas 1 reprise du chapitre 24 : composantes, lecture écartée, contre-exemple et sensibilité}\label{tab:20:cout}171\centering\small172\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}YS[table-format=-6.0]S[table-format=6.0]@{}}173\toprule174Composante ou variante & {Montant (\$)} & {Indication (\$)} \\175\midrule176Valeur du terrain $V_L$ (médiane extraite de 13 ventes récentes de Hull, arrondie) & 277000 & \\177Coût neuf $C_N$ (\cref{ch:21}) & 397567 & \\178Dépréciation extraite du marché à 28 ans (22,00 \% de $C_N$) & -87461 & \\179Désuétude fonctionnelle curable (carence, \cref{ch:24}) & -7605 & \\180Indication retenue (dépréciation totale 23,91 \%) & & 579501 \\181\addlinespace182Lecture ventilée de la dépréciation physique (57,5 \%), écartée & -221090 & 445872 \\183Contre-exemple : allocation du terrain à 30 \% de la comparaison et âge-vie 28/60 & & 384705 \\184\addlinespace185\multicolumn{3}{@{}l}{\textit{Sensibilité (tornade du chapitre 24, borne basse -- borne haute de l'indication)}} \\186Valeur du terrain $\pm 15$ \% & \multicolumn{2}{r@{}}{537\,951 -- 621\,051} \\187Coût neuf $\pm 8{,}6$ \% (une année d'IPCB) & \multicolumn{2}{r@{}}{554\,944 -- 606\,170} \\188Paramètres d'extraction (fenêtre, élasticité, qualité) & \multicolumn{2}{r@{}}{558\,807 -- 588\,716} \\189Désuétude fonctionnelle de 0 à 2 fois & \multicolumn{2}{r@{}}{571\,896 -- 587\,106} \\190\bottomrule191\end{tabularx}192\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch24\_depreciation.py, repris par ch20\_reconciliation.py (fonction \texttt{cout})} ; valeur par le coût : \texttt{traite.cout.valeur\_par\_cout}.}193\end{table}194195Le \cref{ch:24} a choisi l'extraction de marché plutôt que les hypothèses d'usage, et le contre-exemple du \cref{tab:20:cout} montre ce qui était en jeu. Si l'on avait attribué au terrain une part conventionnelle de 30 \% de l'indication par comparaison et appliqué une dépréciation âge-vie de 28 ans sur 60, l'indication aurait été de \dollars{384705}, inférieure d'un tiers aux deux autres ; la dépréciation extraite du marché avec ce terrain aurait été \emph{négative}, $-\dollars{67716}$ à la prédiction hédonique, ce qui aurait signalé non pas que le bâtiment s'apprécie mais que l'une des hypothèses était fausse, en l'occurrence celle du terrain. Avec le terrain extrait de \dollars{277000}, la méthode d'extraction appliquée aux deux autres indications devient un instrument de cohérence :196\begin{equation}\label{eq:20:extraction}197D_{\text{marché}} = C_N - (\hat V - V_L) = 397\,567 - (575\,565 - 277\,000) = \dollars{99002},198\end{equation}199soit 24,9 \% de $C_N$ à l'indication par comparaison, et \dollars{36614}, soit 9,2 \%, à la prédiction hédonique. La dépréciation que la comparaison implique, 24,9 \%, est presque celle que le \cref{ch:24} a extraite de l'ensemble du marché, 23,9 \% ; celle que le modèle implique, 9,2 \%, est beaucoup plus faible. Le coût et la comparaison sont donc cohérents entre eux, et tous deux s'écartent du modèle dans le même sens, ce qui n'est pas indépendant du fait que le terrain et la dépréciation ont été extraits de ventes ramenées à la date par la tendance du même modèle et que la méthode d'extraction, par construction, aligne le coût déprécié sur les prix observés. La \cref{sec:20:exemple} mesurera cette dépendance par le bootstrap plutôt que de la supposer.200201\section{Exemple intégral : la réconciliation du cas 1}\label{sec:20:exemple}202203\begin{synthetique}204Le dossier du cas 1 est synthétique. Les 600 ventes de \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}, le sujet de \texttt{cas1\_gatineau\_sujet.json} et le devis de \texttt{cas1\_gatineau\_couts.csv} ont été engendrés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} et rappelées aux \cref{ch:16,ch:17,ch:18,ch:21}. Les indications réconciliées ici sont exactement celles de ces chapitres, obtenues des fonctions partagées \texttt{traite.cas1.selection}, \texttt{ajustements\_hedoniques}, \texttt{predire} et \texttt{intervalle\_prediction} et du script \texttt{ch21\_cout\_neuf.py} ; le bootstrap, l'énumération, l'indication par le coût et la combinaison sont calculés par \texttt{analysis/python/cases/ch20\_reconciliation.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch20.py}. Aucun chiffre ne décrit une propriété réelle.205\end{synthetique}206207\begin{exemple}{De trois indications à une conclusion pour le cottage de Hull}{reconciliation-cas1}208Le sujet est le cottage à étages de \msq{165} sur \msq{620}, construit en 1998 dans le secteur de Hull, de qualité 3, avec garage simple et sous-sol fini, évalué au 1\ier{} septembre 2026. L'exemple procède en sept étapes : inventaire des indications, lecture des résidus des candidats, bootstrap et énumération, élargissement de l'échantillon, caractérisation des incertitudes et de la corrélation, pondération, puis conclusion et fourchette.209210\emph{Étape 1 : les indications.} L'indication par comparaison est la valeur pondérée du \cref{ch:17}, \dollars{575565}, obtenue des prix ajustés de \dollars{640247}, \dollars{541222}, \dollars{572793}, \dollars{568853} et \dollars{584862} avec les poids inverses du brut $0{,}179$, $0{,}327$, $0{,}202$, $0{,}159$ et $0{,}133$ (\cref{tab:17:grille}) ; son écart-type pondéré, \dollars{33997}, mesure la dispersion des cinq prix ajustés, non l'incertitude de leur moyenne. L'indication hédonique est la prédiction corrigée de Duan du \cref{ch:18}, \dollars{637953}, avec un intervalle de confiance à 95 \% de la valeur de \dollars{625586} à \dollars{650596} et un intervalle de prédiction du prix de \dollars{539682} à \dollars{749087}. L'indication par le coût est celle du \cref{ch:24}, \dollars{579501}, reprise à la \cref{sec:20:cout}. La comparaison et le coût s'accordent à \pct{0.7} près ; tous deux s'écartent du modèle de 9 à 10 \%. Avant toute pondération, ces écarts doivent être expliqués, et le \cref{ch:17} a expliqué le premier : la moyenne des prix ajustés est la prédiction ponctuelle du modèle multipliée par la moyenne des facteurs résiduels des cinq comparables, $\exp(\hat e_j)$, dont la moyenne vaut $1 - 0{,}0853$ (\cref{eq:17:residus}). La \cref{sec:20:cout} a montré que l'accord entre le coût et la comparaison tient pour partie à la construction de l'extraction, qui aligne le coût déprécié sur les prix observés du marché.211212\emph{Étape 2 : les résidus des seize candidats.} Le \cref{ch:17} proposait, pour trancher entre la lecture « information locale » et la lecture « bruit », d'élargir l'examen aux candidats que la sélection n'a pas retenus. Le \cref{tab:20:candidats} et la \cref{fig:20:residus} donnent, pour les seize candidats laissés par les filtres du \cref{ch:16}, le prix ajusté par la cascade hédonique, l'ajustement brut et le résidu du modèle à la date de leur vente. Les cinq comparables retenus ont un résidu moyen de \pct{-8.5} ; les onze autres, un résidu moyen de \pct{-1.7}, avec six résidus positifs et cinq négatifs dont un seul, G0498, dépasse \pct{-5} ; l'ensemble des seize a un résidu moyen de \pct{-3.8}. Si le micro-marché des candidats était réellement moins cher que ce que le modèle prédit pour Hull, les onze autres candidats, qui sont du même secteur, à moins de trois kilomètres et de taille voisine, devraient partager l'écart ; ils ne le partagent que faiblement. La lecture « bruit » est donc la plus plausible : les cinq ventes les plus proches du sujet par leurs attributs se trouvent être des ventes conclues sous leur prix prédit, et rien dans leurs attributs ne l'annonçait. Dans un dossier réel, l'inspection extérieure de ces cinq propriétés et l'examen de leurs fiches de courtage compléteraient ce test statistique.213214\emph{Étape 3 : bootstrap et énumération.} Le \cref{tab:20:bootstrap} et la \cref{fig:20:bootstrap} présentent les trois niveaux de rééchantillonnage, à $B = 2\,000$ réplications. Le rééchantillonnage des seize candidats, suivi de la sélection des cinq plus proches, donne une indication de moyenne \dollars{577823}, d'écart-type \dollars{18160} et d'intervalle à 90 \% de \dollars{552872} à \dollars{611283} : la composition du bassin de candidats est, de loin, la première source d'incertitude de la méthode de comparaison. Le rééchantillonnage des 600 ventes avec réestimation du modèle, comparables fixes, donne un écart-type de \dollars{2672} seulement, et la variante paramétrique \dollars{2751} : l'incertitude des prix implicites, déjà jugée modeste au \cref{ch:17}, ne représente que 2 \% de la variance totale. Le rééchantillonnage conjoint a un écart-type de \dollars{18385}, et la somme des deux variances, $18\,160^2 + 2\,672^2 = 18\,355^2$, reproduit ce chiffre à 0,2 \% près, conformément à l'\cref{eq:20:decomposition}. Dans 99,7 \% des réplications conjointes, l'indication par comparaison reste inférieure à la prédiction hédonique : l'écart entre les deux n'est pas un accident du tirage des cinq comparables parmi les seize, il est propre au bassin. L'énumération des 4\,368 sous-ensembles de cinq candidats éclaire ce dernier point : leur valeur pondérée a une moyenne de \dollars{606317}, un écart-type de \dollars{20492}, et va de \dollars{550231} à \dollars{661670} ; la sélection du \cref{ch:16}, \dollars{575565}, se classe parmi les 6,4 \% de sous-ensembles les plus bas (279 sur 4\,368), et la valeur moyenne décroît régulièrement avec le nombre de « vrais » comparables inclus dans le sous-ensemble : \dollars{625135} lorsqu'il n'en contient aucun, \dollars{612161} pour un, \dollars{600996} pour deux, \dollars{591335} pour trois, \dollars{582926} pour quatre et \dollars{575565} pour les cinq. Les ventes les plus proches du sujet par leurs attributs sont aussi, dans ce jeu, les moins chères par rapport au modèle ; c'est exactement la configuration que le \cref{ch:16} appelait une réalisation à deux écarts-types.215216\emph{Étape 4 : l'élargissement de l'échantillon.} La \cref{fig:20:residus}(b) suit l'indication par comparaison lorsque l'on retient les $k$ premiers candidats, $k$ allant de 5 à 16. La valeur pondérée passe de \dollars{575565} pour $k = 5$ à \dollars{592737} pour $k = 10$ et à \dollars{604689} pour $k = 16$, la moyenne simple de \dollars{581595} à \dollars{611401} ; l'ajustement brut moyen passe de \pct{19.5} à \pct{25.7} et le résidu moyen de \pct{-8.5} à \pct{-3.8}. C'est l'arbitrage biais--variance du \cref{ch:16} (\cref{eq:16:kopt}) en acte : avec des ajustements tirés d'un modèle estimé sur 600 ventes, l'erreur introduite par des comparables plus éloignés est faible, et l'on gagne davantage en variance qu'on ne perd en biais. L'indication à seize candidats, \dollars{604689}, n'est pas retenue comme indication principale, parce que la pratique et les prêteurs attendent une grille de comparables proches et vérifiés et parce que les onze candidats supplémentaires ne sont pas des comparables au sens de la \cref{def:comparable} ; mais elle est consignée comme recoupement, et elle dit la même chose que les résidus de l'étape 2.217218\emph{Étape 5 : incertitudes et corrélations.} Le \cref{tab:20:indications} rassemble les trois indications avec l'écart-type qui leur est attribué et la source de cet écart-type. Pour la comparaison, l'écart-type bootstrap conjoint, \dollars{18385}. Pour le modèle hédonique, la composition de deux termes : l'écart-type bootstrap de la prédiction, \dollars{6531}, qui mesure l'incertitude d'estimation, et l'écart-type des prédictions obtenues sous les quatre spécifications en logarithme du \cref{tab:18:variantes}, \dollars{9420}, qui mesure l'incertitude de spécification ; leur combinaison en quadrature donne \dollars{11462}. Pour le coût, la même composition : l'indication du \cref{ch:24} a été recalculée sur chacun des 2\,000 rééchantillons des 600 ventes qui ont servi au modèle, en extrayant à chaque fois le terrain des ventes récentes de Hull et le profil de dépréciation de l'ensemble des ventes rééchantillonnées, ce qui donne un écart-type de \dollars{23575}, dominé par celui du terrain (\dollars{29803} sur la médiane de treize ventes) ; les sept variantes d'extraction du \cref{ch:24} n'ajoutent qu'un écart-type de spécification de \dollars{2377}, et le total en quadrature vaut \dollars{23695}. Les corrélations sont estimées sur les mêmes réplications. Entre la comparaison et la prédiction hédonique, elle vaut $0{,}088$ : faible, parce que la variance de la comparaison est dominée par le tirage des candidats, qui n'affecte pas la prédiction ; mesurée sur le seul rééchantillonnage du marché, comparables fixes, elle vaut $0{,}425$, trace des coefficients partagés dont le \cref{ch:17} avertissait. Entre le coût et la prédiction, elle vaut $0{,}225$, parce que le terrain et la dépréciation sont extraits de prix ramenés à la date par la tendance du modèle rééstimé ; entre le coût et la comparaison, $0{,}018$ seulement. C'est la matrice complète qui entre dans l'\cref{eq:20:variance}.219220\emph{Étape 6 : la pondération.} Le \cref{tab:20:ponderation} compare six schémas. La moyenne simple des trois indications donne \dollars{597673} ; elle paraît raisonnable, mais ce n'est qu'un accident de l'alignement du coût sur la comparaison : avec l'indication par le coût du contre-exemple de la \cref{sec:20:cout}, la même moyenne aurait donné \dollars{532741}, en deçà de toute indication crédible, parce qu'elle aurait accordé un tiers du poids à une indication dont l'incertitude était trois fois celle des autres. C'est la raison pour laquelle les Normes internationales proscrivent la moyenne : elle n'est défendable que lorsque les indications se valent, et l'on ne le sait qu'après avoir mesuré leurs incertitudes, c'est-à-dire après avoir fait le travail qu'elle prétend éviter. Les poids inverses de la variance, sous indépendance, valent $0{,}240$, $0{,}616$ et $0{,}144$ et donnent \dollars{614579} avec un écart-type de \dollars{9892} ; les poids de variance minimale avec la matrice de corrélation complète (\cref{eq:20:poids-mcg}) valent $0{,}248$, $0{,}655$ et $0{,}097$, pour \dollars{616823} : la corrélation entre le coût et le modèle retire au premier le tiers de son poids, et le modèle le reçoit. Ces poids sont ceux qu'un calcul purement statistique recommande ; ils supposent que les trois indications sont sans biais et que leurs écarts-types sont connus, et aucune de ces deux conditions n'est pleinement remplie. La pondération raisonnée retenue part de ces poids et les corrige selon les critères du \cref{tab:20:criteres}. L'indication par le coût reçoit $0{,}15$ : sa dépréciation est extraite du marché plutôt que posée par hypothèse, ce qui la rend crédible, mais sa composante la plus lourde, le terrain, repose sur treize ventes et attend la confirmation du \cref{ch:25}, son coût neuf est calibré sur une fourchette montréalaise, et la méthode, pour un bâtiment de 28 ans, mesure moins la valeur qu'elle ne la retrouve à travers les prix dont elle a extrait sa dépréciation ; un poids de 10 à 15 \% est l'usage pour une indication de contrôle, et la borne haute est retenue parce que l'indication est, ici, documentée. L'indication hédonique reçoit $0{,}45$ plutôt que $0{,}65$ : la quantité d'information, la cohérence des résidus des candidats et la convergence de l'échantillon élargi plaident pour elle, mais sa variance de spécification est mesurée sur quatre formes seulement, elle ne contient aucune incertitude de pertinence (le modèle ne distingue pas les emplacements à l'intérieur d'un secteur), et la prudence professionnelle commande de ne pas fonder plus de la moitié d'une conclusion sur un estimateur statistique dont les ventes n'ont pas été vérifiées une à une. L'indication par comparaison reçoit $0{,}40$ : elle repose sur cinq ventes vérifiables, elle est la méthode que les acheteurs appliquent et que les tribunaux et les prêteurs attendent, elle est confirmée à \pct{0.7} près par le coût, et les résidus négatifs de ses comparables, s'ils sont probablement du bruit, pourraient aussi contenir une part d'information locale que le test de l'étape 2 ne peut exclure. Ces poids ont été écrits avant le calcul de la combinaison, et la \cref{fig:20:poids} montre ce que la conclusion serait devenue sous d'autres choix.221222\emph{Étape 7 : conclusion et fourchette.} La combinaison raisonnée vaut $0{,}40 \times 575\,565 + 0{,}45 \times 637\,953 + 0{,}15 \times 579\,501 = \dollars{604230}$, avec un écart-type de \dollars{10450} par l'\cref{eq:20:variance}. Arrondie au \dollars{5000} le plus proche, selon la convention de l'ouvrage pour les conclusions de valeur, la \textbf{valeur la plus probable est de \dollars{605000}}. Elle se situe \pct{5.1} au-dessus de l'indication par comparaison et \pct{5.2} en deçà de l'indication hédonique. La distribution bootstrap de la combinaison, obtenue en appliquant les poids retenus à chaque réplication conjointe (comparaison, prédiction et coût issus du même tirage des 600 ventes), a pour quantiles à 5 et 95 \% \dollars{592310} et \dollars{622009}, soit, arrondis vers l'extérieur, de \dollars{590000} à \dollars{625000} ; c'est la précision de l'estimateur \emph{sous les poids retenus}, et elle est trop étroite pour servir de fourchette de valeur, parce qu'elle ignore l'incertitude des poids eux-mêmes et les biais communs que le bootstrap ne voit pas. La \textbf{fourchette de valeur conclue} est encadrée par les indications crédibles, arrondies vers l'extérieur : \textbf{de \dollars{575000} à \dollars{640000}}, soit une largeur de \pct{10.7} de la valeur la plus probable. Cette fourchette dit au lecteur ce que l'évaluateur sait réellement : que la valeur se situe entre ce qu'indiquent cinq ventes proches et vérifiées, confirmées par le coût déprécié, et ce qu'indique un modèle estimé sur l'ensemble du marché, et que l'écart entre ces indications, expliqué mais non résorbé, est l'incertitude du dossier. Le prix auquel le sujet se vendrait effectivement reste, lui, décrit par l'intervalle de prédiction de \dollars{539682} à \dollars{749087}, que le rapport communique séparément et sous son nom. La \cref{fig:20:fourchettes} rassemble ces intervalles.223\end{exemple}224225\begin{table}[htbp]226\caption{Les seize candidats du cas 1 après les filtres du chapitre 16 : prix ajusté par la cascade hédonique, ajustement brut et résidu du modèle à la vente (données synthétiques)}\label{tab:20:candidats}227\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}228\begin{tabular}{@{}lS[table-format=1.2]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=2.1]S[table-format=-2.1]c@{}}229\toprule230Candidat & {Distance d'attributs} & {Prix de vente (\$)} & {Prix ajusté (\$)} & {Brut (\%)} & {Résidu (\%)} & Retenu \\231\midrule232G0574 & 1.80 & 598000 & 640247 & 19.8 & 0.7 & oui \\233G0404 & 2.71 & 506500 & 541222 & 10.9 & -14.9 & oui \\234G0468 & 2.86 & 624500 & 572793 & 17.6 & -9.9 & oui \\235G0477 & 3.12 & 538000 & 568853 & 22.4 & -10.5 & oui \\236G0575 & 3.22 & 513500 & 584862 & 26.8 & -8.0 & oui \\237G0444 & 3.27 & 526000 & 544107 & 23.0 & -14.4 & non \\238G0488 & 3.40 & 659500 & 627532 & 22.1 & -1.3 & non \\239G0388 & 3.60 & 537000 & 621507 & 34.0 & -2.3 & non \\240G0547 & 3.72 & 546500 & 685672 & 25.5 & 7.8 & non \\241G0383 & 3.85 & 534000 & 626870 & 39.2 & -1.4 & non \\242G0370 & 3.87 & 570500 & 637398 & 31.3 & 0.3 & non \\243G0436 & 4.25 & 596000 & 656056 & 31.3 & 3.2 & non \\244G0498 & 4.71 & 392000 & 516982 & 32.6 & -18.7 & non \\245G0585 & 5.10 & 558000 & 630590 & 21.2 & -0.8 & non \\246G0510 & 5.21 & 671000 & 679701 & 30.3 & 6.9 & non \\247G0559 & 7.01 & 528000 & 648027 & 23.4 & 1.9 & non \\248\bottomrule249\end{tabular}250\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch20\_reconciliation.py, fonction \texttt{base} ; \texttt{traite.cas1.selection} et \texttt{ajustements\_hedoniques}} ; résidu : $100\,[\exp(\hat e_j) - 1]$ ; moyenne des résidus : retenus \pct{-8.5}, autres \pct{-1.7}, ensemble \pct{-3.8}.}251\end{table}252253\begin{figure}[htbp]254\centering255\includegraphics[width=\textwidth]{ch20/ch20-fig-residus-elargissement.pdf}256\caption{(a) Résidu du modèle hédonique à la vente pour les seize candidats, classés par distance d'attributs croissante : les cinq comparables retenus se sont vendus en moyenne \pct{8.5} sous leur prix prédit, les onze autres \pct{1.7} seulement. (b) Indication par comparaison lorsque l'on retient les $k$ premiers candidats : la valeur pondérée monte de \dollars{575565} à \dollars{604689} à mesure que l'échantillon s'élargit et que le résidu moyen se rapproche de zéro.}\label{fig:20:residus}257\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch20\_figures.py, graine 20261031}.}258\end{figure}259260\begin{table}[htbp]261\caption{Bootstrap de l'indication par comparaison et de la prédiction hédonique du cas 1, $B = 2\,000$ réplications, et énumération exhaustive des sous-ensembles de cinq candidats (données synthétiques)}\label{tab:20:bootstrap}262\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}263\begin{tabular}{@{}L{46mm}S[table-format=6.0]S[table-format=5.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]@{}}264\toprule265Rééchantillonnage & {Moyenne (\$)} & {É.-t. (\$)} & {Quant. 5 \% (\$)} & {Médiane (\$)} & {Quant. 95 \% (\$)} \\266\midrule267(A) Seize candidats, puis sélection des cinq plus proches & 577823 & 18160 & 552872 & 575322 & 611283 \\268(B) 600 ventes, réestimation du modèle, comparables fixes & 575410 & 2672 & 570836 & 575423 & 579797 \\269(B$'$) Coefficients tirés dans $\mathcal{N}(\hat{\boldsymbol\beta}, \hat{\mathbf{V}}_{\text{HC1}})$ & 575586 & 2751 & 571156 & 575611 & 580165 \\270(C) Conjoint : (A) et (B) dans la même réplication & 577704 & 18385 & 552095 & 574961 & 611779 \\271Prédiction hédonique du sujet, rééchantillonnage (B) & 637736 & 6531 & 627005 & 637757 & 648352 \\272\midrule273Énumération des 4\,368 sous-ensembles de 5 parmi 16 & 606317 & 20492 & 573637 & 605691 & 641004 \\274\bottomrule275\end{tabular}276\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch20\_reconciliation.py, fonctions \texttt{bootstrap} et \texttt{exhaustif}, graine 20261031} ; indication observée : \dollars{575565} ; corrélation entre (C) et la prédiction : $0{,}088$ ; entre (B) et la prédiction : $0{,}425$.}277\end{table}278279\begin{figure}[htbp]280\centering281\includegraphics[width=\textwidth]{ch20/ch20-fig-bootstrap-densite.pdf}282\caption{(a) Densités bootstrap de l'indication par comparaison selon ce que l'on rééchantillonne : les candidats (large), les ajustements (étroite), les deux (presque confondue avec la première). (b) Valeur pondérée de chacun des 4\,368 sous-ensembles de cinq candidats parmi seize : la sélection du chapitre 16 se situe dans la queue basse, et la moyenne des sous-ensembles est proche de la prédiction hédonique.}\label{fig:20:bootstrap}283\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch20\_figures.py, graine 20261031}.}284\end{figure}285286\begin{table}[htbp]287\caption{Les trois indications du cas 1, leur écart-type et la source de cet écart-type}\label{tab:20:indications}288\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}289\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{24mm}S[table-format=6.0]S[table-format=5.0]YS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]@{}}290\toprule291Indication & {Valeur (\$)} & {É.-t. (\$)} & Source de l'écart-type & {Borne 5 \% (\$)} & {Borne 95 \% (\$)} \\292\midrule293Comparaison, 5 comparables (\cref{ch:17}) & 575565 & 18385 & bootstrap conjoint (C) & 552095 & 611779 \\294Hédonique (\cref{ch:18}) & 637953 & 11462 & estimation (bootstrap, \dollars{6531}) et spécification (quatre formes, \dollars{9420}), en quadrature & 619097 & 656809 \\295Coût (\cref{ch:24}, \cref{sec:20:cout}) & 579501 & 23695 & bootstrap sur les mêmes rééchantillons des 600 ventes (\dollars{23575}) et variantes d'extraction (\dollars{2377}), en quadrature & 552142 & 628078 \\296\bottomrule297\end{tabularx}298\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch20\_reconciliation.py} ; bornes : quantiles bootstrap à 5 et 95 \% pour la comparaison et le coût, $\pm 1{,}645$ écart-type pour l'hédonique ; corrélations : comparaison--hédonique $0{,}088$, coût--hédonique $0{,}225$, coût--comparaison $0{,}018$.}299\end{table}300301\begin{table}[htbp]302\caption{Six schémas de pondération des trois indications du cas 1 : poids, valeur combinée et écart-type de la combinaison (\cref{eq:20:variance})}\label{tab:20:ponderation}303\centering\small304\begin{tabular}{@{}lS[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=6.0]S[table-format=5.0]@{}}305\toprule306Schéma & {$w_{\text{comp}}$} & {$w_{\text{héd}}$} & {$w_{\text{coût}}$} & {Valeur (\$)} & {Écart-type (\$)} \\307\midrule308Comparaison seule & 1 & 0 & 0 & 575565 & 18385 \\309Hédonique seule & 0 & 1 & 0 & 637953 & 11462 \\310Moyenne simple (un tiers chacune) & 0.333 & 0.333 & 0.333 & 597673 & 11577 \\311Inverse de la variance, indépendance & 0.240 & 0.616 & 0.144 & 614579 & 9892 \\312Variance minimale avec corrélations, \cref{eq:20:poids-mcg} & 0.248 & 0.655 & 0.097 & 616823 & 9829 \\313Raisonnée (retenue) & 0.400 & 0.450 & 0.150 & 604230 & 10450 \\314\bottomrule315\end{tabular}316\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch20\_reconciliation.py, fonction \texttt{combinaison}} ; avec l'indication par le coût du contre-exemple (\dollars{384705}), la moyenne simple donnerait \dollars{532741}.}317\end{table}318319\begin{figure}[htbp]320\centering321\includegraphics[width=\textwidth]{ch20/ch20-fig-fourchettes-methodes.pdf}322\caption{Les indications du cas 1 et leurs intervalles : prix de vente probable (intervalle de prédiction à 95 \%), coût selon la lecture ventilée écartée (point) et selon la dépréciation extraite (bootstrap à 90 \%), comparaison à cinq comparables (bootstrap conjoint à 90 \%), comparaison élargie à seize candidats, hédonique ($\pm 1{,}645$ écart-type) et conclusion (fourchette conclue de \dollars{575000} à \dollars{640000}, bande bootstrap à 90 \% de la combinaison en fond, valeur la plus probable \dollars{605000}). La ligne pointillée marque l'espérance assignée au sujet par la loi de génération des données.}\label{fig:20:fourchettes}323\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch20\_figures.py, graine 20261031}.}324\end{figure}325326\section{Analyse de sensibilité : les poids et la corrélation}\label{sec:20:sensibilite}327328La conclusion dépend des poids, et la \cref{fig:20:poids}(a) montre comment. Lorsque le poids de l'indication hédonique passe de 0 à 1, le reste allant à la comparaison, la valeur combinée parcourt linéairement l'intervalle des deux indications, de \dollars{575565} à \dollars{637953} ; chaque dixième de poids déplacé vaut environ \dollars{6200}. Parce que l'indication par le coût est presque égale à celle de la comparaison, un poids de 15 \% ou de 30 \% au coût ne déplace la droite que de quelques centaines de dollars : sur ce dossier, le poids du coût n'est pas la décision qui compte, et il n'en irait pas de même avec le contre-exemple de la \cref{sec:20:cout}, où chaque dixième de poids au coût aurait abaissé la conclusion de près de \dollars{20000}. La décision qui compte est le partage entre la comparaison et le modèle. Les trois schémas défendables, la pondération raisonnée ($0{,}40$ ; $0{,}45$ ; $0{,}15$), l'inverse de la variance et la variance minimale avec corrélations, se situent entre \dollars{604230} et \dollars{616823} ; une pondération plus favorable au modèle, $0{,}30$, $0{,}55$ et $0{,}15$, donnerait \dollars{610469}, une pondération plus favorable aux comparables, $0{,}55$, $0{,}30$ et $0{,}15$, donnerait \dollars{594872}. La plage des conclusions que des évaluateurs raisonnables pourraient tirer des mêmes indications est donc d'environ \dollars{22000}, soit 3,6 \% ; elle est contenue dans la fourchette conclue, et c'est l'une des raisons pour lesquelles celle-ci a été préférée à la bande bootstrap.329330\begin{figure}[htbp]331\centering332\includegraphics[width=\textwidth]{ch20/ch20-fig-sensibilite-poids.pdf}333\caption{(a) Valeur combinée selon le poids de l'indication hédonique, pour un poids du coût de 0, 15 et 30 \% ; les trois droites sont presque confondues parce que le coût et la comparaison indiquent des valeurs voisines ; les marqueurs situent la pondération raisonnée, les poids inverses de la variance, les poids de variance minimale et la moyenne simple. (b) Écart-type de la combinaison de deux indications (comparaison, \dollars{18385} ; hédonique, \dollars{11462}) selon le poids de la seconde, pour quatre corrélations ; le point marque le poids optimal de l'\cref{eq:20:deux}, qui se déplace vers l'indication la plus précise à mesure que la corrélation croît et sort de l'intervalle $[0, 1]$ pour $\rho = 0{,}9$.}\label{fig:20:poids}334\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch20\_figures.py}.}335\end{figure}336337La \cref{fig:20:poids}(b) isole l'effet de la corrélation sur la combinaison des deux indications principales. Pour $\rho = 0$, le poids optimal de la comparaison est de $0{,}280$ et l'écart-type minimal de la combinaison, \dollars{9724}, est inférieur à celui de la meilleure indication seule ; pour la corrélation estimée de $0{,}088$, il passe à $0{,}261$ ; pour $\rho = 0{,}3$, à $0{,}199$ ; pour $\rho = 0{,}6$, à $0{,}023$, c'est-à-dire que la comparaison ne vaut plus la peine d'être combinée ; pour $\rho = 0{,}9$, le poids non contraint devient négatif ($-0{,}647$) et la solution contrainte est l'indication hédonique seule. La leçon dépasse le cas 1. Deux indications qui partagent leurs données ou leurs hypothèses, une grille de comparaison et une régression alimentées par les mêmes ventes, deux capitalisations fondées sur le même revenu net, un coût et une comparaison qui partagent la même valeur de terrain, se combinent avec un gain de précision d'autant plus faible que leur corrélation est forte, et la réconciliation gagne peu à les additionner ; elle gagne, en revanche, à confronter des indications dont les erreurs sont indépendantes, et c'est la raison pour laquelle la pratique exige, lorsque c'est possible, des méthodes qui reposent sur des données différentes.338339\section{Communiquer l'incertitude}\label{sec:20:communication}340341\subsection{Arrondir}342343L'arrondi d'une conclusion de valeur est une déclaration de précision, et il doit être cohérent avec l'incertitude mesurée. Une conclusion au dollar près prétend à une précision que les données n'ont jamais ; une conclusion arrondie à \dollars{50000} près jette une information que l'analyse a produite. La convention de l'ouvrage, rappelée à l'annexe~\ref{app:conventions-calcul}, arrondit les conclusions de valeur au millier ou au \dollars{5000} près, « selon ce que la précision des données autorise ». Une règle simple relie le pas d'arrondi $a$ à l'écart-type $\sigma_{\hat V}$ de la conclusion : le pas ne doit pas dépasser une fraction déclarée de l'écart-type, par exemple344\begin{equation}\label{eq:20:arrondi}345a \leq \tfrac{1}{2}\,\sigma_{\hat V}, \qquad \hat V_{\text{arr}} = a \cdot \mathrm{arrondi}\!\left(\hat V / a\right),346\end{equation}347de sorte que l'arrondi déplace la conclusion d'au plus un quart d'écart-type et n'ajoute qu'une variance négligeable ($a^2/12$) à celle de l'estimateur. Pour le cas 1, $\sigma_{\hat V} = \dollars{10450}$ autorise un pas de \dollars{5000}, qui déplace la conclusion de \dollars{770} ; un pas de \dollars{25000} aurait donné \dollars{600000} et effacé une information que la combinaison contenait. Les bornes de la fourchette s'arrondissent vers l'extérieur, jamais vers l'intérieur, parce qu'un arrondi qui resserre la fourchette surestime la précision.348349\subsection{Le langage de la conclusion}350351Le \cref{ch:10} a fixé les registres : les faits à l'indicatif, les estimations comme des opinions, les hypothèses comme des hypothèses. La conclusion d'un rapport qui applique le présent chapitre comporte, dans l'ordre, les indications de chaque méthode avec la mention de ce qui les rend plus ou moins fiables ; l'explication de leurs écarts ; les poids et les raisons de ces poids ; la valeur la plus probable, arrondie ; la fourchette de valeur, avec ce qu'elle représente ; et, séparément et sous son nom, l'intervalle de prédiction du prix lorsque le modèle en fournit un, afin que le lecteur ne le confonde pas avec la fourchette. Les hypothèses extraordinaires y sont rappelées avec leur incidence (\cref{eq:10:incidence}), ce qui permet au lecteur de former l'espérance de l'\cref{eq:10:esperance} s'il attribue une probabilité à l'hypothèse. Le mot « valeur » y est réservé à l'estimation, les prix des comparables restant des prix.352353\begin{pratique}[Un paragraphe de conclusion pour le cas 1]354« La méthode de comparaison, appliquée à cinq ventes vérifiées du secteur de Hull ajustées par les prix implicites d'un modèle estimé sur 600 ventes, indique \dollars{575565} ; le modèle hédonique indique \dollars{637953} ; la méthode du coût, avec une valeur de terrain extraite de treize ventes récentes du secteur et une dépréciation extraite du marché, indique \dollars{579501}. L'écart de 10 \% entre la comparaison et le modèle s'explique par le fait que les cinq comparables se sont vendus, en moyenne, 8,5 \% sous le prix que leurs caractéristiques laissaient attendre, écart que les onze autres ventes semblables du secteur ne partagent que faiblement (1,7 \%) ; l'accord entre la comparaison et le coût tient pour partie à ce que la dépréciation est extraite des mêmes prix. Pondérant la comparaison à 40 \%, le modèle à 45 \% et le coût à 15 \% pour les raisons exposées à la section précédente, nous estimons la valeur marchande du sujet au 1\ier{} septembre 2026 à \dollars{605000} (valeur la plus probable), dans une fourchette de \dollars{575000} à \dollars{640000}. Le prix auquel le sujet pourrait effectivement se vendre, qui dépend de la négociation, est estimé par le modèle entre \dollars{540000} et \dollars{749000} dix-neuf fois sur vingt ; cet intervalle décrit le prix, non la valeur. » Chaque chiffre de ce paragraphe renvoie à un tableau du rapport, et les poids y ont été fixés avant le calcul.355\end{pratique}356357\begin{quebec}[Conclusion de valeur, fourchette et arrondi dans la pratique québécoise]358Les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ définissent la valeur marchande comme « le prix sincère le plus probable » \parencite[Intro-11]{oeaqNormes} ; l'expression « valeur la plus probable », courante dans les rapports québécois, en découle et désigne la conclusion ponctuelle, non un mode statistique calculé. Les Normes exigent que le rapport expose le traitement de l'information et le raisonnement (règle 2.3, élément 8), justifie le rejet d'une méthode traditionnelle (élément 10) et rappelle les hypothèses extraordinaires à chaque énoncé de la conclusion (élément 7) \parencite{oeaqNormes} ; elles ne prescrivent ni la forme de la réconciliation ni l'arrondi, et n'interdisent pas la fourchette. L'article 41 du Code de déontologie des évaluateurs agréés oblige à faire état de la méthodologie et de l'étendue des recherches, et l'article 32 interdit d'exclure sa responsabilité civile par des réserves \parencite[art.~32 et 41]{deontOEAQ} : une fourchette n'est pas une réserve, et elle ne dispense pas de conclure. En évaluation foncière municipale, le Règlement sur le rôle d'évaluation foncière impose à l'évaluateur d'appliquer la ou les méthodes les plus pertinentes parmi la comparaison, le revenu et le coût, puis de concilier leurs indications selon la partie 3F du Manuel d'évaluation foncière du Québec \parencite[art.~8 et 9]{reglrole} ; le contenu de cette partie, protégé, n'est pas reproduit ici. Textes consultés le 31 octobre 2026.359\end{quebec}360361\section{Ce que révèle la loi de génération}\label{sec:20:verite}362363Un jeu synthétique permet une vérification qu'aucun dossier réel n'autorise : comparer la conclusion à la valeur que la loi de génération assigne au sujet. Cette loi, déclarée dans \texttt{data/synthetic/README.md}, donne le logarithme du prix comme une fonction connue des attributs plus une erreur normale d'écart-type 0,085, à une constante près fixée par la normalisation de la médiane ; cette constante s'estime sur les 600 ventes avec une erreur-type de $0{,}085/\sqrt{600} = 0{,}0035$, et l'espérance du prix du sujet, qui est par définition sa valeur marchande dans ce monde synthétique, vaut \dollars{641159}, connue à \pct{0.7} près ($\pm 1{,}96$ erreur-type : \dollars{636930} à \dollars{645415}). La prédiction hédonique, \dollars{637953}, s'en écarte de \pct{-0.5} ; l'indication par comparaison, \dollars{575565}, de \pct{-10.2} ; l'indication par le coût, \dollars{579501}, de \pct{-9.6} ; la conclusion raisonnée, \dollars{605000}, de \pct{-5.6} ; la combinaison de variance minimale, \dollars{616823}, de \pct{-3.8}. La fourchette conclue, \dollars{575000} à \dollars{640000}, s'arrête \dollars{1159} sous la valeur de génération ; la bande bootstrap de la combinaison, \dollars{590000} à \dollars{625000}, la manque de \dollars{16000}.364365Il faut lire ce résultat pour ce qu'il est et pour ce qu'il n'est pas. Il n'est pas la preuve que le modèle a toujours raison contre les comparables : dans ce jeu, la loi de génération est précisément de la forme du modèle, sans effet de voisinage ni variable omise, et les comparables n'avaient aucune information locale à apporter ; leurs résidus négatifs étaient du bruit, et toute pondération qui leur donnait du poids payait ce bruit. L'accord du coût avec la comparaison n'était pas davantage une confirmation : la dépréciation extraite du marché est, par construction, celle qui ramène le coût déprécié aux prix observés, et le terrain extrait de treize ventes récentes hérite du bruit de ces treize ventes ; deux indications qui s'accordent ne sont indépendantes que si elles ne partagent ni données ni hypothèses, et la corrélation de $0{,}225$ mesurée entre le coût et le modèle, comme la dépendance de la dépréciation extraite envers les prix, auraient dû tempérer la confiance que leur accord inspirait. Sur un marché réel, le modèle est mal spécifié par construction et les comparables peuvent contenir une information que les 600 ventes diluent ; l'arbitrage de l'étape 6 n'a pas de solution générale, et c'est pourquoi il relève du jugement. Mais le résultat enseigne trois choses qui, elles, sont générales. La première est que la pondération par la précision, lorsque les indications sont sans biais, est la bonne, et que s'en écarter par prudence a un coût mesurable, ici deux points de pourcentage de la valeur ; l'évaluateur qui s'en écarte doit pouvoir dire quel biais présumé justifie ce coût. La deuxième est que l'intervalle bootstrap d'une combinaison sous poids fixés n'est pas une fourchette de valeur : il manque la vérité ici parce qu'il ne contient ni l'incertitude des poids ni le biais du bassin de comparables, et la fourchette encadrée par les indications crédibles, moins élégante, est plus honnête. La troisième est que la méthode de comparaison à cinq ventes, même outillée des meilleurs ajustements, reste un estimateur bruité, dont l'erreur d'un dixième de la valeur n'est pas une anomalie mais une réalisation ordinaire d'une variance connue ; le recoupement par un modèle, ou par l'élargissement de l'échantillon, n'est pas un luxe statistique, c'est ce qui sépare une indication d'une conclusion.366367\begin{erreurs}368\begin{itemize}369\item Faire la moyenne simple des indications : sur le cas 1, elle donne \dollars{597673} par accident, parce que le coût s'aligne sur la comparaison ; avec une indication par le coût sous hypothèses d'usage, elle aurait donné \dollars{532741}, en deçà de toute indication crédible. Les Normes internationales la proscrivent expressément.370\item Pondérer après avoir vu la combinaison, ou ajuster les poids pour rejoindre un prix convenu, une évaluation antérieure ou la valeur au rôle : c'est l'ancrage documenté par \textcite{northcraftNeale1987}, \textcite{diaz1997} et \textcite{geltner1993}. Les poids et leurs raisons s'écrivent avant le calcul.371\item Présenter l'intervalle de prédiction du prix ($\pm 16$ \%) comme la fourchette de valeur, ou l'intervalle de confiance d'un modèle ($\pm 2$ \%) comme l'incertitude du dossier : trois intervalles, trois objets.372\item Prendre la bande bootstrap d'une seule méthode pour la fourchette : le bootstrap ne voit pas ce qui est commun à tout l'échantillon, et il est centré sur le biais de la méthode.373\item Additionner les incertitudes des chapitres précédents comme si elles étaient indépendantes et distinctes : celle des coefficients est contenue dans celle des ajustements, celle du bruit de transaction dans celle de la sélection ; seul un calcul qui rejoue l'ensemble, comme le bootstrap conjoint, donne une mesure sans double compte.374\item Combiner deux indications fortement corrélées comme si elles étaient indépendantes : le gain de précision est illusoire et le poids optimal de la moins précise peut être nul ou négatif (\cref{eq:20:deux}).375\item Prendre l'accord de deux indications pour une confirmation sans se demander ce qu'elles partagent : la dépréciation extraite du marché aligne le coût sur les prix observés, et une indication par le coût ainsi construite confirme la comparaison bien plus qu'elle ne la recoupe. Inversement, une dépréciation extraite négative signale qu'une hypothèse, le plus souvent le terrain, est fausse, non que le bâtiment s'apprécie.376\item Arrondir la fourchette vers l'intérieur, ou la conclusion à un pas sans rapport avec l'écart-type mesuré (\cref{eq:20:arrondi}).377\item Écrire « la valeur est de » pour une estimation, ou omettre de rappeler les hypothèses extraordinaires à l'énoncé de la conclusion, ce que la règle 2.3 des NPP exige.378\end{itemize}379\end{erreurs}380381\begin{limites}382\begin{itemize}383\item Les indications réconciliées proviennent d'un jeu synthétique engendré par une loi de la forme du modèle de référence, sans structure spatiale fine ni variable omise ; la supériorité de l'indication hédonique sur la comparaison y est, pour partie, une conséquence de cette construction, et les poids raisonnés du cas 1 ne sont pas une recommandation générale de pondération.384\item L'indication par le coût est celle du \cref{ch:24} ; sa valeur de terrain, \dollars{277000}, est extraite de treize ventes récentes et attend la confirmation du \cref{ch:25} ; si celui-ci la révise, le \cref{ch:45} devra reconduire la réconciliation avec le nouveau chiffre (une variation de $\pm 15$ \% du terrain déplace l'indication de \dollars{537951} à \dollars{621051}, et la conclusion raisonnée d'environ $\pm \dollars{6200}$). Le coût neuf du devis synthétique est calibré sur une fourchette de coûts montréalais et le contre-exemple de la \cref{sec:20:cout} montre que des hypothèses d'usage sur le terrain et la dépréciation auraient produit une indication incohérente ; l'écart entre ce coût et le niveau des prix du jeu est signalé pour l'harmonisation.385\item L'écart-type attribué au modèle hédonique combine une incertitude d'estimation mesurée par bootstrap et une incertitude de spécification mesurée sur quatre formes seulement ; il ne contient aucune incertitude de pertinence (emplacement à l'intérieur du secteur, attributs non codés). La corrélation de $0{,}088$ entre comparaison et modèle est une estimation bootstrap sous le protocole déclaré ; sous un autre protocole, par exemple comparables tenus pour fixes, elle vaut $0{,}425$.386\item Le bootstrap des candidats rééchantillonne un bassin de seize ventes ; avec un bassin si petit, les quantiles extrêmes sont imprécis, et l'énumération exhaustive a été préférée pour situer la sélection.387\item Les poids de la pondération raisonnée sont un jugement de l'auteur, justifié par des critères écrits ; d'autres évaluateurs retiendraient d'autres poids dans la plage défendable de la \cref{sec:20:sensibilite}, et la fourchette conclue a été choisie pour contenir cette plage.388\item Les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ, le CUSPAP 2026, les IVS 2025 et le Red Book 2025 ont été lus sur les textes officiels aux paragraphes cités ; la partie 3F du Manuel d'évaluation foncière du Québec n'a pas été dépouillée, seule l'obligation réglementaire de conciliation l'est. Aucune jurisprudence québécoise sur la fourchette de valeur n'a été recherchée pour ce chapitre.389\item La « vérité » de la \cref{sec:20:verite} est connue à \pct{0.7} près seulement, parce que la constante de normalisation de la loi de génération est estimée ; elle n'existe pas pour un dossier réel, et l'évaluateur n'a jamais que la fourchette.390\end{itemize}391\end{limites}392393\begin{synthese}394\begin{itemize}395\item La réconciliation combine des indications qui sont des estimateurs de la même valeur ; sa conclusion est une moyenne pondérée dont la variance dépend des écarts-types et des corrélations (\cref{eq:20:variance}), et dont l'erreur ajoute le biais combiné (\cref{eq:20:eqm}). Les poids de variance minimale sont $\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1}/(\mathbf{1}\T\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{1})$ ; la pondération raisonnée de la pratique en est la version corrigée du biais présumé, et les normes internationales proscrivent la moyenne simple.396\item Trois intervalles ont trois objets : l'intervalle de confiance de la valeur (\pct{2.0} sur le cas 1), l'intervalle de prédiction du prix (\pct{16.4}) et la fourchette de valeur conclue (\pct{10.8}), qui seule intègre l'incertitude de la réconciliation. Les NPP exigent une conclusion et son raisonnement, n'interdisent pas la fourchette ; les IVS exigent la description de la réconciliation ; le Red Book exige la déclaration d'une incertitude significative.397\item Le bootstrap rejoue l'ensemble du calcul : pour le cas 1, le tirage des candidats domine (écart-type \dollars{18160}), l'incertitude des prix implicites est négligeable (\dollars{2672}), et le conjoint vaut \dollars{18385} ; dans 99,7 \% des réplications, la comparaison reste sous le modèle. L'énumération des 4\,368 sous-ensembles place la sélection du \cref{ch:16} parmi les 6,4 \% les plus bas, et les onze candidats non retenus ont un résidu moyen de \pct{-1.7} contre \pct{-8.5} pour les cinq retenus : l'écart entre la grille et le modèle est du bruit, non une information locale.398\item L'indication par le coût du \cref{ch:24}, \dollars{579501}, s'accorde avec la comparaison à \pct{0.7} près, mais cet accord est en partie construit : la dépréciation extraite du marché aligne le coût déprécié sur les prix observés, et le terrain est extrait de treize ventes. Sous des hypothèses d'usage (terrain 30 \%, âge-vie 60 ans), la même méthode aurait donné \dollars{384705} et une dépréciation extraite négative ; son incertitude bootstrap est de \dollars{23575}, dominée par le terrain, et elle reçoit 15 \% du poids.399\item Conclusion du cas 1 au 1\ier{} septembre 2026 : poids $0{,}40$ (comparaison), $0{,}45$ (hédonique), $0{,}15$ (coût) ; \textbf{valeur la plus probable \dollars{605000}} ; \textbf{fourchette de valeur de \dollars{575000} à \dollars{640000}} ; intervalle de prédiction du prix de \dollars{539682} à \dollars{749087}, communiqué séparément. Le \cref{ch:45} reprend ces chiffres.400\item La loi de génération assigne au sujet une espérance de \dollars{641159} : le modèle s'en écarte de \pct{-0.5}, la comparaison de \pct{-10.2}, le coût de \pct{-9.6}, la conclusion de \pct{-5.6}. La pondération par la précision était la bonne dans ce monde sans information locale ; l'accord du coût et de la comparaison n'était pas une confirmation indépendante ; l'intervalle bootstrap sous poids fixés n'est pas une fourchette de valeur ; cinq comparables restent un estimateur bruité qu'il faut recouper.401\end{itemize}402\end{synthese}403404\section*{Exercices}405\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}406407\begin{exercice}[1]{Deux indications indépendantes}{ex:20:1}408Une indication par comparaison vaut \dollars{582000} avec un écart-type de \dollars{30000} ; une indication hédonique vaut \dollars{636000} avec un écart-type de \dollars{12000} ; leurs erreurs sont supposées indépendantes. Calculez les poids inverses de la variance, la valeur combinée et son écart-type (\cref{eq:20:variance}). Comparez à la moyenne simple et à son écart-type. Expliquez en une phrase pourquoi la moyenne simple est moins précise que chacune des deux indications prise dans la combinaison optimale, mais plus précise que la comparaison seule.409\end{exercice}410411\begin{exercice}[1]{Trois intervalles}{ex:20:2}412Pour le sujet du cas 1, $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} = 13{,}3627$, $\mathbf{x}_s\T\hat{\mathbf{V}}\mathbf{x}_s = 0{,}00010$, $\hat\sigma = 0{,}0830$ et le facteur de Duan vaut 1,00335. Calculez l'intervalle de confiance à 95 \% de la valeur (\cref{eq:20:ic}) et l'intervalle de prédiction à 95 \% du prix (\cref{eq:18:intervalle}), puis le rapport de leurs demi-largeurs en logarithme. Dites lequel des deux un rapport doit présenter comme fourchette de valeur, lequel comme information sur le prix, et pourquoi ni l'un ni l'autre n'est la fourchette conclue au \cref{sec:20:exemple}.413\end{exercice}414415\begin{exercice}[2]{Poids optimaux avec corrélation}{ex:20:3}416Reprenez les deux indications de l'\cref{ex:20:1} en supposant maintenant que leurs erreurs sont corrélées, parce que la grille de comparaison a été ajustée avec les prix implicites du modèle. Calculez le poids optimal de la comparaison et l'écart-type minimal de la combinaison (\cref{eq:20:deux}) pour $\rho = 0{,}3$, $\rho = 0{,}5$ et $\rho = 0{,}6$. À partir de quelle corrélation le poids devient-il négatif ? Que doit faire l'évaluateur dans ce cas, et que signifie ce résultat pour la pratique qui consiste à présenter une grille et une régression alimentées par les mêmes ventes comme deux « méthodes » distinctes ?417\end{exercice}418419\begin{exercice}[2]{Un bootstrap à la main}{ex:20:4}420Vingt réplications bootstrap d'une indication par comparaison ont donné, en milliers de dollars et déjà triées : 561, 568, 571, 574, 576, 577, 579, 580, 582, 583, 585, 586, 588, 590, 592, 595, 598, 603, 611, 624. Calculez la moyenne, l'écart-type bootstrap et l'intervalle percentile à 90 \% (\cref{eq:20:bootstrap}), en utilisant l'interpolation linéaire des quantiles. Pourquoi vingt réplications sont-elles suffisantes pour l'écart-type et insuffisantes pour les quantiles ? Que vaudrait l'intervalle à 80 \% ?421\end{exercice}422423\begin{exercice}[2]{L'indication par le coût : hypothèses d'usage et extraction}{ex:20:5}424Avec le coût neuf de \dollars{397567} et l'indication par comparaison de \dollars{575565} : (a) calculez l'indication par le coût sous des hypothèses d'usage, un terrain alloué à 35 \% de l'indication par comparaison et une dépréciation âge-vie avec un âge effectif de 22 ans sur une vie de 60 ans, puis (b) avec l'âge effectif de 28 ans sur une vie de 75 ans. (c) Avec la valeur de terrain du \cref{ch:24}, \dollars{277000}, calculez la dépréciation extraite du marché (\cref{eq:20:extraction}) et son taux à l'indication par comparaison et à la prédiction hédonique, puis la valeur de terrain qu'il faudrait pour que le coût, avec la dépréciation totale de 23,91 \% du \cref{ch:24}, rejoigne la prédiction hédonique. (d) Expliquez pourquoi l'accord entre le coût et la comparaison obtenu en (c) n'est pas une confirmation indépendante, et quelles vérifications un dossier réel exigerait.425\end{exercice}426427\begin{exercice}[3]{Pondérations alternatives et comparaison élargie}{ex:20:6}428À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch20\_reconciliation.py} : (a) recalculez la conclusion pour les poids $0{,}30$, $0{,}55$ et $0{,}15$, puis $0{,}55$, $0{,}30$ et $0{,}15$, et arrondissez au \dollars{5000} ; (b) remplacez l'indication par comparaison par celle de l'échantillon élargi à seize candidats (\cref{fig:20:residus}) en conservant les poids raisonnés, et commentez l'effet ; (c) refaites le bootstrap conjoint avec $k = 8$ comparables retenus et comparez l'écart-type obtenu à celui du \cref{tab:20:bootstrap}, en reliant le résultat à l'\cref{eq:16:variance}. Rédigez une note de 150 mots sur ce que ces variantes impliquent pour la fourchette de valeur à communiquer.429\end{exercice}430431\begin{exercice}[3]{Rédiger la conclusion et l'incidence d'une hypothèse}{ex:20:7}432La conclusion du cas 1 repose sur l'hypothèse que le sous-sol fini du sujet est exempt d'infiltration, ce que l'inspection n'a pu vérifier derrière les finis. Un entrepreneur estime à \dollars{14000} le coût de correction si l'hypothèse était fausse, et l'évaluateur juge que la valeur serait réduite d'autant. (a) Calculez l'incidence de l'hypothèse (\cref{eq:10:incidence}) en dollars et en pourcentage de la valeur conclue, puis la valeur que retiendrait un lecteur qui attribue 70 \% de chances à l'hypothèse (\cref{eq:10:esperance}). (b) Rédigez, en 200 mots au plus, le paragraphe de conclusion du rapport conforme à la règle 2.3 des NPP et au paragraphe 10.07 d'IVS 103 : indications, explication des écarts, poids et raisons, valeur la plus probable, fourchette, intervalle du prix, hypothèse extraordinaire et son incidence. (c) Dites pourquoi l'évaluateur ne doit pas remplacer la valeur conclue par l'espérance calculée en (a).433\end{exercice}434435\section*{Pour aller plus loin}436\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}437438Le traitement professionnel de la réconciliation se trouve dans les chapitres terminaux de \textcite{appraisal2026} et de son édition canadienne \parencite{appraisalCdn}, dont le vocabulaire est fixé par \textcite{aiDictionary2022} ; \textcite{pagourtzi2003} replacent les méthodes dans une typologie d'ensemble. Les fondements statistiques de la combinaison d'estimateurs sont ceux de Bates et Granger (1969) et de Granger et Ramanathan (1984), cités en note ; leur transposition à la pondération des comparables est due à \textcite{vandell1991}, \textcite{gauLaiWang1992} et \textcite{green1994}, et \textcite{kummerowGalfalvy2002} formulent l'arbitrage biais--variance qui organise ce chapitre. Sur l'incertitude d'évaluation et son expression dans le rapport, \textcite{frenchGabrielli2004} est le texte de référence, prolongé par \textcite{frenchGabrielli2005} pour les flux actualisés ; \textcite{boginShui2020} comparent la précision des évaluations et des modèles automatisés dans des marchés peu denses, et \textcite{mayerBourassaHoesliScognamiglio2019} examinent la mise à jour des modèles hédoniques. Le bootstrap est exposé dans Efron (1979) et Efron et Tibshirani (1993), cités en note, et de façon moderne par \textcite{hastieTibshiraniFriedman2009}. Sur les biais de jugement qui menacent la réconciliation, \textcite{northcraftNeale1987}, \textcite{diaz1990}, \textcite{diaz1997} et la synthèse de \textcite{diazHansz2002} ; sur le lissage et l'ancrage dans les évaluations répétées, \textcite{geltner1993}, \textcite{claytonGeltnerHamilton2001} et, pour la mesure des indices qui en découle, \textcite{fisherGeltnerWebb1994}. Le traitement bayésien de la combinaison, où les poids deviennent des probabilités a posteriori et la fourchette un intervalle de crédibilité, est l'objet du \cref{ch:39} et s'appuie sur \textcite{gelman2013}. Enfin, les textes normatifs cités sont les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ \parencite{oeaqNormes}, le Code de déontologie \parencite{deontOEAQ}, le CUSPAP 2026 \parencite{cuspap2026}, les IVS 2025 \parencite{ivs2025} et le Red Book de la RICS \parencite{rics2025}.439