spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Monte-Carlo et stress tests}\label{ch:40}23Les chapitres précédents ont appris au lecteur à produire une valeur par flux actualisés et à la soumettre à l'analyse de sensibilité : un intrant bouge, la valeur bouge, et le diagramme en tornade classe les intrants. Cette discipline est indispensable, mais elle ne répond pas à la question que se posent réellement un acheteur, un prêteur ou un évaluateur qui doit défendre sa conclusion : quelle est la probabilité que la valeur soit inférieure à tel seuil, que le ratio de couverture de la dette passe sous le covenant, que plusieurs intrants se dégradent ensemble ? La simulation de Monte-Carlo répond à ces questions en tirant conjointement les intrants incertains dans des lois déclarées, en recalculant le modèle pour chaque tirage et en décrivant la distribution des résultats. Le présent chapitre expose cette méthode en profondeur : le choix et l'élicitation des lois, la représentation des corrélations, l'algorithme de simulation et son erreur d'échantillonnage, l'échantillonnage par hypercube latin, les mesures de risque, l'analyse de sensibilité globale et l'agrégation d'un portefeuille. Le \cref{ch:47} applique la méthode au dossier des douze logements de Montréal ; nous y reprenons exactement les mêmes lois, la même graine et les mêmes chiffres, de sorte que le lecteur puisse passer de la méthode à son application sans rupture.45\begin{objectifs}6\begin{itemize}7\item Distinguer analyse de sensibilité locale, scénario déterministe, stress test et simulation de Monte-Carlo, et savoir ce que chacun peut et ne peut pas dire.8\item Choisir une loi de probabilité pour chaque intrant d'un modèle de flux actualisés (normale, log-normale, triangulaire, bêta-PERT), la paramétrer à partir de quantiles élicités et en calculer les moments.9\item Représenter la dépendance entre intrants par une copule gaussienne construite par factorisation de Cholesky, et interpréter la corrélation entre taux d'actualisation et taux terminal.10\item Écrire l'algorithme de simulation d'un DCF, calculer l'erreur type des quantiles simulés et fixer le nombre de tirages nécessaire ; réduire la variance par hypercube latin.11\item Calculer et interpréter la VaR et la CVaR de valeur, la probabilité de bris de covenant, et attacher une probabilité aux scénarios déterministes.12\item Mesurer la sensibilité globale par indices de Sobol et corrélations de rang, et la confronter à la tornade.13\item Agréger l'incertitude de plusieurs immeubles en tenant compte de la corrélation régionale.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{De la sensibilité locale à la simulation}\label{sec:40:pourquoi}1819\subsection{Trois questions, trois outils}2021L'analyse de sensibilité du \cref{sec:30:sensibilite} répond à la question « de combien la valeur change-t-elle si un intrant change ? ». Le scénario, examiné au même endroit et au \cref{sec:31:renouvellement}, répond à « que vaut l'immeuble si plusieurs intrants prennent ensemble les valeurs que telle histoire économique leur donnerait ? ». Ni l'un ni l'autre ne disent avec quelle \emph{probabilité} ces changements surviennent, ni comment les incertitudes de sept ou huit intrants se combinent lorsqu'elles agissent en même temps et dans des directions partiellement liées. C'est le propre de la simulation stochastique de répondre à cette troisième question. Elle ne remplace pas les deux premiers outils, elle les complète : la tornade demeure la façon la plus lisible de hiérarchiser les intrants, le scénario demeure la façon la plus parlante de raconter un risque, et la simulation fournit la mesure qui manque aux deux, la fréquence.2223L'idée n'est pas neuve en évaluation immobilière. \textcite{pyhrr1973} a proposé le premier modèle de simulation du risque d'un investissement immobilier, en tirant les loyers, les dépenses, le taux d'inoccupation et le prix de revente dans des lois subjectives pour obtenir la distribution du taux de rendement ; \textcite{wofford1978} a transposé l'approche à l'évaluation des immeubles à revenus, en remplaçant la valeur unique de la capitalisation par une distribution de valeurs. Le sujet est resté marginal tant que la puissance de calcul manquait et que les praticiens doutaient de pouvoir justifier des lois de probabilité devant un client ou un tribunal. Il est revenu au premier plan au tournant des années 2000, quand \textcite{frenchGabrielli2004} ont montré que l'incertitude de l'évaluation est inhérente à la conclusion et doit être communiquée, puis quand \textcite{frenchGabrielli2005} et \textcite{hoesliJaniBender2006} ont construit des modèles de flux actualisés dont les intrants sont des lois, le premier couple en insistant sur l'élicitation auprès de l'évaluateur, le second en calibrant les lois sur des séries de marché et en reliant le taux d'actualisation aux taux sans risque. \textcite{byrne1996}, du côté du développement immobilier, a systématisé le passage de la sensibilité à la simulation et montré que les méthodes de décision sous incertitude s'appliquent à la méthode résiduelle. Le présent chapitre s'inscrit dans cette lignée, avec une exigence supplémentaire : chaque chiffre produit par la simulation est accompagné de son erreur d'échantillonnage, faute de quoi le lecteur ne sait pas si la différence entre deux résultats tient au modèle ou au hasard du tirage.2425\subsection{Incertitude, risque et ce que la simulation estime}2627Il faut d'abord s'entendre sur les mots. Nous appelons \motcle{incertitude} l'ignorance où se trouve l'évaluateur quant à la valeur vraie d'un intrant ou d'un résultat à la date d'évaluation, et \motcle{risque} la possibilité que la réalisation future d'une variable s'écarte de ce qui était attendu. La distinction est classique mais elle importe ici parce que la simulation mélange les deux : le taux d'actualisation que le marché exige aujourd'hui est incertain (on ne l'observe pas), la croissance des loyers des dix prochaines années est risquée (elle n'existe pas encore). Dans un modèle de flux actualisés, les deux sources entrent par les mêmes intrants et produisent la même distribution de valeur ; l'interprétation diffère. La dispersion due à l'incertitude des intrants d'aujourd'hui mesure la précision de la conclusion de l'évaluateur ; la dispersion due au risque des intrants de demain mesure l'exposition de l'investisseur. \textcite{frenchGabrielli2004} appellent la première « incertitude de l'évaluation » et la distinguent de la variation du marché. Le lecteur doit se rappeler cette distinction lorsqu'il présente une fourchette : une fourchette de $\pm\pct{25}$ ne signifie pas que l'évaluateur hésite à ce point sur le prix d'aujourd'hui, mais que l'hypothèse de dix ans sur laquelle repose la méthode admet cet éventail de dénouements.2829\begin{definition}{Simulation de Monte-Carlo}{40:montecarlo}30Soit $Y = g(\mathbf{X})$ une quantité d'intérêt (valeur, ratio de couverture, taux de rendement) fonction d'un vecteur d'intrants $\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_d)$ dont la loi jointe $F$ est déclarée. La \motcle{simulation de Monte-Carlo} consiste à tirer $N$ vecteurs indépendants $\mathbf{X}^{(1)}, \dots, \mathbf{X}^{(N)}$ selon $F$, à calculer $Y^{(s)} = g(\mathbf{X}^{(s)})$ pour chacun et à estimer toute caractéristique de la loi de $Y$ par la caractéristique correspondante de l'échantillon $\{Y^{(s)}\}$. Un \motcle{stress test} (test de résistance, \emph{stress test}) est au contraire l'évaluation de $g$ en un ou quelques points $\mathbf{x}$ choisis pour leur caractère défavorable, sans probabilité attachée.31\end{definition}3233La justification de la méthode tient en deux résultats de probabilité élémentaires. Pour toute fonction $h$ d'espérance finie, la moyenne empirique34\begin{equation}\label{eq:40:esperance}35\hat\theta_N = \frac{1}{N}\sum_{s=1}^{N} h\big(Y^{(s)}\big) \xrightarrow[N \to \infty]{} \theta = \E\big[h(Y)\big]36\end{equation}37par la loi des grands nombres ; en prenant $h(y) = y$ on estime la moyenne de la valeur, en prenant $h(y) = \mathbb{1}\{y < c\}$ on estime la probabilité que la valeur soit inférieure à $c$, et c'est par ce second choix que la simulation produit les probabilités de bris de covenant. Le théorème central limite précise la vitesse : si $\sigma_h^2 = \Var[h(Y)]$ est finie,38\begin{equation}\label{eq:40:tcl}39\sqrt{N}\,\big(\hat\theta_N - \theta\big) \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ } \mathcal{N}(0, \sigma_h^2), \qquad \text{soit} \qquad \operatorname{se}\big(\hat\theta_N\big) \approx \frac{\hat\sigma_h}{\sqrt{N}},40\end{equation}41de sorte que l'erreur d'une simulation décroît comme l'inverse de la racine carrée du nombre de tirages : quadrupler $N$ divise l'erreur par deux. Cette lenteur est la limite pratique de la méthode et la raison d'être des techniques de réduction de variance de la \cref{sec:40:lhs}. Les quantiles, qui ne sont pas des moyennes, obéissent à une version du même résultat que nous dérivons à la \cref{sec:40:erreur}.4243\begin{synthetique}44Tous les chiffres de ce chapitre proviennent du dossier synthétique du cas 3 (immeuble fictif de douze logements à Rosemont, \texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_*.csv} et \texttt{cas3\_montreal\_hypotheses\_dcf.json}) et, pour la \cref{sec:40:portefeuille}, du portefeuille fictif du cas 4 (\texttt{cas4\_portefeuille.csv}, \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv}), tous deux générés par \texttt{analysis/python/cases/generate\_all.py} avec la graine 20261031 et calibrés sur les ordres de grandeur documentés dans \texttt{data/synthetic/README.md}. Les calculs du chapitre sont ceux de \texttt{analysis/python/cases/ch40\_montecarlo.py}, qui importe sans les modifier les lois \texttt{MC\_LOIS}, la graine et les fonctions vectorisées de \texttt{ch47\_dossier.py} ; les résultats coïncident donc au dollar près avec ceux du \cref{sec:47:montecarlo}. La projection déterministe sous-jacente est celle de \texttt{traite.cas3} (\cref{ch:30}) : valeur DCF de \dollars{2208566}, indication par capitalisation directe de \dollars{2037503}, prêt de \dollars{1475959} dimensionné pour un ratio de couverture de 1,20 et service de la dette de \dollars{74963}.45\end{synthetique}4647\section{L'incertitude des intrants}\label{sec:40:intrants}4849\subsection{Quatre lois pour les intrants d'un DCF}5051Le choix d'une loi pour un intrant procède de trois considérations : le support (un taux d'inoccupation est positif et borné, une croissance peut être négative), la forme (symétrique ou non, queue épaisse ou non) et la quantité d'information dont dispose l'analyste (des données de marché, un jugement d'expert, ou simplement trois valeurs plausibles). Quatre lois suffisent à la quasi-totalité des besoins et le \cref{tab:40:formules} en résume les formules.5253La \motcle{loi normale} $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ convient aux intrants symétriques pouvant prendre des valeurs négatives, comme un taux de croissance ou un taux d'actualisation dont l'écart-type est petit par rapport à la moyenne ; sa densité est entièrement déterminée par deux paramètres et ses quantiles sont $q_p = \mu + \sigma z_p$, où $z_p$ est le quantile de la loi normale centrée réduite ($z_{0{,}95} = \num{1.6449}$). Son défaut est de n'imposer aucune borne : un taux d'actualisation normal de moyenne \pct{7.25} et d'écart-type \qty{50}{\pb} a une probabilité de $\Phi(-6{,}5)$, négligeable, d'être négatif, mais un taux d'inoccupation normal de moyenne \pct{3.9} et d'écart-type \num{0.0125} serait négatif avec probabilité \pct{0.09} par tirage, ce qui est absurde et biaise légèrement le calcul si l'on tronque.5455La \motcle{loi log-normale} corrige ce défaut pour les intrants strictement positifs et asymétriques à droite : si $\ln X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_{\ln}^2)$, alors $X$ est log-normale, et il est commode de la paramétrer par sa médiane $m = e^{\mu}$ et par l'écart-type logarithmique $\sigma_{\ln}$, qui s'interprète approximativement comme un coefficient de variation. On a56\begin{equation}\label{eq:40:lognormale}57\E[X] = m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2}, \qquad \Var[X] = m^2 e^{\sigma_{\ln}^2}\big(e^{\sigma_{\ln}^2} - 1\big), \qquad q_p = m\,e^{\sigma_{\ln} z_p} ,58\end{equation}59la première relation découlant de la fonction génératrice des moments de la loi normale, $\E[e^{tZ}] = e^{t\mu + t^2\sigma^2/2}$ évaluée en $t = 1$. Deux conséquences pratiques en résultent. D'abord la moyenne excède la médiane : une inoccupation log-normale de médiane \pct{3.9} et d'écart-type logarithmique \num{0.30} a une moyenne de $0{,}039\,e^{0{,}045} = \pct{4.08}$, et c'est la moyenne, non la médiane, qui entre dans l'espérance du revenu. Ensuite l'intervalle à \pct{90} est multiplicatif : de $m e^{-1{,}645\sigma_{\ln}}$ à $m e^{1{,}645\sigma_{\ln}}$, soit de \pct{2.38} à \pct{6.39} dans le même exemple, intervalle asymétrique autour de la médiane qui reflète bien l'idée qu'une année à \pct{8} d'inoccupation est possible alors qu'une année à \pct{0} ne l'est pas.6061La \motcle{loi triangulaire} $\mathcal{T}(a, m, b)$ est la loi des trois valeurs : minimum $a$, mode $m$, maximum $b$. Sa densité est un triangle de base $[a, b]$ et de sommet en $m$, de hauteur $2/(b-a)$ ; en intégrant on obtient62\begin{align}\label{eq:40:triangulaire}63\E[X] &= \frac{a + m + b}{3}, \qquad \Var[X] = \frac{a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm}{18}, \notag \\64q_p &= \begin{cases} a + \sqrt{p\,(b-a)(m-a)} & \text{si } p \leq \dfrac{m-a}{b-a}, \\[6pt] b - \sqrt{(1-p)\,(b-a)(b-m)} & \text{sinon.} \end{cases}65\end{align}66Elle a pour elle la transparence : un client comprend « entre \pct{8} et \pct{25}, le plus souvent \pct{15} ». Elle a contre elle un poids excessif donné aux extrêmes, puisque la densité décroît linéairement jusqu'aux bornes au lieu de s'y écraser ; pour la rotation du cas 3, $\mathcal{T}(0{,}08 ; 0{,}15 ; 0{,}25)$, la moyenne est \pct{16.0}, l'écart-type \num{0.0349} et le quantile 95 \% \pct{22.1}.6768La \motcle{loi bêta-PERT} corrige cet excès en gardant les trois mêmes paramètres. C'est une loi bêta sur $[a, b]$ dont les paramètres de forme sont choisis pour que le mode soit $m$ et que la moyenne pondère le mode quatre fois plus que les extrêmes :69\begin{align}\label{eq:40:pert}70\alpha &= 1 + \lambda\,\frac{m - a}{b - a}, \qquad \beta = 1 + \lambda\,\frac{b - m}{b - a}, \qquad \lambda = 4 \text{ par défaut}, \notag \\71\E[X] &= a + (b - a)\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{a + \lambda m + b}{\lambda + 2}.72\end{align}73La dernière égalité se vérifie en substituant : $\alpha + \beta = 2 + \lambda$ et $a(2 + \lambda) + (b - a)\alpha = a(2 + \lambda) + (b - a) + \lambda(m - a) = a + b + \lambda m$. Le mode d'une loi bêta étant $a + (b-a)(\alpha - 1)/(\alpha + \beta - 2)$, il vaut bien $a + (b - a)(m - a)/(b - a) = m$. Pour la rotation du cas 3, la PERT donne $\alpha = \num{2.647}$, $\beta = \num{3.353}$, une moyenne de \pct{15.5} (contre \pct{16.0} pour la triangulaire), un écart-type de \num{0.0319} et un quantile 95 \% de \pct{20.9} : les mêmes trois chiffres élicités produisent une loi plus concentrée autour du mode et des queues plus légères. Le \cref{ch:47} a retenu la triangulaire pour la rotation, par prudence ; l'exercice~\ref{ex:40:2} mesure l'effet de ce choix.7475\begin{table}[htbp]\centering76\caption{Quatre lois pour les intrants d'un modèle de flux : paramètres, moments, quantiles et usage recommandé.}\label{tab:40:formules}77\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}78\begin{tabular}{@{}L{1.7cm}L{2.0cm}L{4.9cm}L{3.1cm}@{}}79\toprule80Loi & Paramètres & Moyenne ; écart-type & Usage et mise en garde \\81\midrule82Normale & $\mu$, $\sigma$ & $\mu$ ; $\sigma$. Quantile $\mu + \sigma z_p$ & croissances, taux d'actualisation, écarts de taux ; non bornée (tronquer si nécessaire et le déclarer) \\83Log-normale & médiane $m$, $\sigma_{\ln}$ & $m e^{\sigma_{\ln}^2/2}$ ;\newline $m e^{\sigma_{\ln}^2/2}\sqrt{e^{\sigma_{\ln}^2} - 1}$.\newline Quantile $m e^{\sigma_{\ln} z_p}$ & inoccupation, facteurs de coût, loyers ; moyenne $>$ médiane, à ne pas confondre \\84Triangulaire & $a$, $m$, $b$ & $(a + m + b)/3$ ;\newline $\sqrt{(a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm)/18}$ & trois valeurs d'expert ; queues lourdes, extrêmes surpondérés \\85Bêta-PERT & $a$, $m$, $b$ ($\lambda = 4$) & $(a + 4m + b)/6$ ;\newline $\sqrt{(\E[X] - a)(b - \E[X])/7}$ & mêmes trois valeurs, forme lisse ; écart-type d'environ $(b - a)/6$ \\86\bottomrule87\end{tabular}88\tabsource{formules dérivées dans le texte ; implémentation \texttt{moments\_loi}, \texttt{quantile\_loi} et \texttt{pert} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}89\end{table}9091\subsection{Élicitation : des quantiles aux paramètres}9293En pratique, l'évaluateur ne pense pas en écarts-types mais en fourchettes. La façon la plus robuste d'éliciter une loi auprès d'un expert, ou de la fonder sur ses propres données, est de lui demander deux quantiles et une valeur centrale : « en dessous de quel taux d'inoccupation n'y a-t-il qu'une chance sur vingt de tomber ? au-dessus de quel taux ? » Les réponses $q_{0{,}05}$ et $q_{0{,}95}$ déterminent une loi normale ou log-normale par inversion des formules de quantiles :94\begin{align}\label{eq:40:elicitation}95\text{normale : } \mu &= \frac{q_{0{,}05} + q_{0{,}95}}{2}, & \sigma &= \frac{q_{0{,}95} - q_{0{,}05}}{2\,z_{0{,}95}} ; \notag \\96\text{log-normale : } m &= \sqrt{q_{0{,}05}\,q_{0{,}95}}, & \sigma_{\ln} &= \frac{\ln\big(q_{0{,}95}/q_{0{,}05}\big)}{2\,z_{0{,}95}}.97\end{align}98Un expert qui dit « entre \pct{2.4} et \pct{6.3} d'inoccupation, neuf fois sur dix » décrit une loi log-normale de médiane $\sqrt{0{,}024 \times 0{,}063} = \pct{3.89}$ et d'écart-type logarithmique $\ln(2{,}625)/3{,}29 = \num{0.293}$, à peu près la loi retenue au cas 3 ; l'exercice~\ref{ex:40:1} en tire les conséquences. Trois règles d'hygiène complètent la procédure. Il faut d'abord demander les extrêmes avant la valeur centrale, parce que les experts ancrés sur une valeur centrale resserrent systématiquement leurs fourchettes, biais d'excès de confiance bien documenté dans les études d'élicitation et que l'immobilier n'épargne pas. Il faut ensuite s'assurer que la loi est \emph{centrée} sur l'hypothèse de base du scénario déterministe, sinon la simulation mesure autre chose que l'incertitude autour de ce scénario : si la médiane de l'inoccupation simulée est \pct{3.9}, la valeur simulée fluctue autour de la valeur déterministe ; si elle est \pct{6}, la simulation décrit un autre marché. Il faut enfin confronter chaque loi aux données disponibles : la plage de \pct{2.4} à \pct{6.3} couvre les taux d'inoccupation observés par la SCHL dans la région de Montréal de 2023 à 2025 et ses prévisions à 2028 ; c'est ce qui la rend défendable.99100\subsection{Les lois du cas 3}101102Le \cref{tab:40:lois} présente les sept lois du dossier du cas 3, reprises telles quelles du dictionnaire \texttt{MC\_LOIS} du \cref{ch:47}, avec leurs moments théoriques calculés par les \cref{eq:40:lognormale,eq:40:triangulaire} et les statistiques effectivement tirées. L'écart entre la colonne théorique et la colonne tirée est la première mesure de l'erreur de Monte-Carlo : avec \num{10000} tirages, la moyenne de la croissance des loyers de marché est \pct{3.468} au lieu de \pct{3.5}, soit $-3{,}2$ erreurs types de la moyenne d'un échantillon normal de cet effectif ($\sigma/\sqrt{N} = \num{0.0001}$), et la moyenne du taux d'actualisation est \pct{7.263} au lieu de \pct{7.25}, soit $+2{,}6$ erreurs types. Ces deux écarts, tous deux défavorables à la valeur, expliquent une partie de ce que nous observerons à la \cref{sec:40:erreur} : la graine du traité est une réalisation légèrement défavorable. La colonne « tiré » est donc à lire non comme une vérification de la loi, qui est exacte par construction, mais comme un rappel que l'échantillon n'est jamais la population.103104\begin{table}[htbp]\centering105\caption{Lois déclarées des intrants du cas 3 : moments théoriques et statistiques des \num{10000} tirages de la graine 20261031.}\label{tab:40:lois}106\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}107\begin{tabular}{@{}L{2.3cm}L{2.7cm}S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]@{}}108\toprule109Intrant & Loi & {Moy. théor.} & {Moy. tirée} & {$q_{0{,}05}$ théor.} & {$q_{0{,}05}$ tiré} & {$q_{0{,}95}$ théor.} & {$q_{0{,}95}$ tiré} \\110\midrule111Inoccupation et pertes $v$ & log-normale (0,039 ; 0,30) & 0.0408 & 0.0407 & 0.0238 & 0.0239 & 0.0639 & 0.0634 \\112Croissance loyers marché $g_m$ & normale (0,035 ; 0,010) & 0.0350 & 0.0347 & 0.0186 & 0.0178 & 0.0514 & 0.0511 \\113Rotation annuelle & triangulaire (0,08 ; 0,15 ; 0,25) & 0.1600 & 0.1603 & 0.1044 & 0.1049 & 0.2208 & 0.2211 \\114Croissance dépenses $g_d$ & normale (0,030 ; 0,0075) & 0.0300 & 0.0299 & 0.0177 & 0.0175 & 0.0423 & 0.0423 \\115Taux d'actualisation $r$ & normale (0,0725 ; 0,005) & 0.0725 & 0.0726 & 0.0643 & 0.0645 & 0.0807 & 0.0807 \\116Écart terminal $\delta = r - R_T$ & normale (0,0225 ; 0,004) & 0.0225 & 0.0224 & 0.0159 & 0.0159 & 0.0291 & 0.0289 \\117Facteur CAPEX (par chantier) & log-normale (1 ; 0,20) & 1.0202 & 1.0183 & 0.7197 & 0.7166 & 1.3895 & 1.3857 \\118\bottomrule119\end{tabular}120\tabsource{\synth{\texttt{MC\_LOIS} de \texttt{ch47\_dossier.py} ; moments par \texttt{tableau\_lois} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}. L'inoccupation est bornée à $[0 ; 0{,}30]$, le taux d'actualisation à $r \geq \pct{4}$ et le taux terminal à $R_T \geq \pct{3.5}$ (bornes jamais ou presque jamais actives : le plancher de $R_T$ joue dans \pct{0.74} des tirages).}}121\end{table}122123\subsection{Dépendance entre intrants : Cholesky et copule gaussienne}124125Tirer les intrants indépendamment est la première erreur que commet un tableur de simulation. Le taux d'actualisation et le taux de capitalisation terminal réagissent tous deux aux taux d'intérêt et à la prime de risque exigée (\cref{ch:29}, \cref{ch:30}) ; la croissance des loyers de marché et l'inoccupation réagissent en sens inverse au même déséquilibre entre offre et demande ; la croissance des dépenses suit l'inflation générale, comme une partie de celle des loyers. Ignorer ces liens sous-estime la variance de la valeur lorsque les intrants corrélés agissent dans le même sens, et la surestime lorsqu'ils se compensent. L'outil standard pour imposer une structure de corrélation à des variables de lois quelconques est la \motcle{copule gaussienne}, dont la construction repose sur la factorisation de Cholesky.126127\begin{proposition}{Factorisation de Cholesky et vecteurs gaussiens corrélés}{40:cholesky}128Soit $\boldsymbol\Sigma$ une matrice de covariance $d \times d$ définie positive. Il existe une unique matrice triangulaire inférieure $\mathbf{L}$ à diagonale strictement positive telle que $\boldsymbol\Sigma = \mathbf{L}\mathbf{L}\T$. Si $\boldsymbol\varepsilon = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_d)\T$ est un vecteur de variables normales centrées réduites indépendantes, alors $\mathbf{Z} = \mathbf{L}\boldsymbol\varepsilon$ est un vecteur gaussien centré de covariance $\boldsymbol\Sigma$. En dimension deux, avec des écarts-types $\sigma_1$, $\sigma_2$ et une corrélation $\rho$,129\begin{equation}\label{eq:40:cholesky}130\mathbf{L} = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 \\ \rho\,\sigma_2 & \sigma_2\sqrt{1 - \rho^2} \end{pmatrix}, \qquad Z_1 = \sigma_1 \varepsilon_1, \qquad Z_2 = \sigma_2\big(\rho\,\varepsilon_1 + \sqrt{1 - \rho^2}\,\varepsilon_2\big).131\end{equation}132\end{proposition}133\begin{proof}134L'existence et l'unicité de la factorisation sont un résultat classique d'algèbre linéaire pour les matrices symétriques définies positives, obtenu par récurrence sur la dimension. Pour la covariance : $\Cov(\mathbf{Z}) = \E[\mathbf{L}\boldsymbol\varepsilon\boldsymbol\varepsilon\T\mathbf{L}\T] = \mathbf{L}\,\E[\boldsymbol\varepsilon\boldsymbol\varepsilon\T]\,\mathbf{L}\T = \mathbf{L}\mathbf{I}\mathbf{L}\T = \boldsymbol\Sigma$, et une combinaison linéaire de normales indépendantes est normale. En dimension deux, on vérifie directement que $\mathbf{L}\mathbf{L}\T$ a pour éléments $\sigma_1^2$, $\rho\sigma_1\sigma_2$ et $\rho^2\sigma_2^2 + (1 - \rho^2)\sigma_2^2 = \sigma_2^2$.135\end{proof}136137La copule gaussienne transporte cette corrélation vers des lois marginales quelconques en deux étapes. On transforme d'abord chaque composante du vecteur gaussien en une variable uniforme par sa propre fonction de répartition, puis on applique la fonction quantile de la loi marginale souhaitée :138\begin{equation}\label{eq:40:copule}139U_k = \Phi\big(Z_k/\sigma_k\big), \qquad X_k = F_k^{-1}(U_k), \qquad k = 1, \dots, d, \qquad \text{avec} \qquad \rho_S(X_j, X_k) = \frac{6}{\pi}\arcsin\frac{\rho_{jk}}{2}.140\end{equation}141Chaque $X_k$ a exactement la loi $F_k$ voulue, parce que $U_k$ est uniforme sur $[0, 1]$ ; la dépendance entre les $X_k$ est celle des $Z_k$, transmise par des transformations monotones qui préservent les rangs. C'est pourquoi la mesure naturelle de la dépendance ainsi créée n'est pas la corrélation de Pearson des $X_k$, qui dépend des marginales, mais leur corrélation de rang de Spearman $\rho_S$, reliée à la corrélation gaussienne $\rho_{jk}$ par la relation indiquée, identité classique du vecteur gaussien bivarié. Pour $\rho = 0{,}78$ on obtient $\rho_S = 0{,}765$ ; la différence est faible, ce qui autorise en pratique à éliciter directement une corrélation de rang et à la convertir en corrélation gaussienne par la relation inverse $\rho = 2\sin(\pi\rho_S/6)$. L'exercice~\ref{ex:40:4} fait exécuter la construction à la main.142143Le \cref{ch:47} n'a pas utilisé de copule explicite mais une construction structurelle équivalente et plus parlante : le taux terminal est défini comme le taux d'actualisation moins un écart aléatoire indépendant, $R_T = r - \delta$ avec $\delta \sim \mathcal{N}(0{,}0225 ; 0{,}004^2)$, ce qui revient à imposer une corrélation gaussienne entre $r$ et $R_T$. En négligeant le plancher $R_T \geq \pct{3.5}$,144\begin{align}\label{eq:40:rRT}145\Cov(r, R_T) &= \Var(r) = \sigma_r^2, \qquad \Var(R_T) = \sigma_r^2 + \sigma_\delta^2, \notag \\146\rho(r, R_T) &= \frac{\sigma_r}{\sqrt{\sigma_r^2 + \sigma_\delta^2}} = \frac{0{,}005}{\sqrt{0{,}005^2 + 0{,}004^2}} = \num{0.781}.147\end{align}148Les tirages confirment la dérivation : corrélation de Pearson empirique \num{0.781}, corrélation de Spearman \num{0.769}, à comparer à la valeur \num{0.766} prédite par l'\cref{eq:40:copule}, et écart-type empirique de $R_T$ de \num{0.0063} contre $\sqrt{41 \times 10^{-6}} = \num{0.0064}$ en théorie, la petite différence venant du plancher, actif dans \pct{0.74} des tirages. La leçon est qu'une relation structurelle entre deux intrants (« le taux terminal, c'est le taux d'actualisation moins la croissance attendue ») est une façon légitime et transparente de modéliser une corrélation ; il suffit d'en calculer la corrélation implicite pour pouvoir la discuter. Une corrélation de \num{0.78} entre les deux taux est forte ; elle traduit la conviction que l'incertitude sur les taux est d'abord une incertitude commune sur le niveau des rendements exigés, conviction cohérente avec les résultats empiriques de \textcite{sivitanidouSivitanides1999} et \textcite{chervachidzeWheaton2013} sur les déterminants des taux de capitalisation. Les quatre autres intrants du cas 3 sont tirés indépendamment, hypothèse simplificatrice déclarée dont la \cref{sec:40:sobol} montre qu'elle a peu de conséquences pour la valeur parce que ces intrants pèsent peu.149150\section{Simuler un DCF : algorithme et erreur d'échantillonnage}\label{sec:40:simulation}151152\subsection{L'algorithme}153154La simulation d'un modèle de flux actualisés n'a rien de mystérieux ; elle consiste à exécuter le calcul déterministe du \cref{ch:30} un grand nombre de fois. Les étapes sont les suivantes.155\begin{enumerate}156\item Déclarer les intrants incertains, leurs lois (\cref{tab:40:lois}) et leurs dépendances (\cref{eq:40:cholesky,eq:40:rRT}) ; fixer les autres intrants (ici la croissance réglementaire des loyers contractuels, \pct{3.1}, les coûts de vente, l'horizon).157\item Fixer la graine du générateur de nombres pseudo-aléatoires : sans graine, deux exécutions donnent deux résultats, et le rapport n'est pas reproductible. Le script du chapitre utilise la graine 20261031 du générateur \texttt{default\_rng} de NumPy.158\item Tirer $N$ vecteurs d'intrants $\mathbf{X}^{(s)}$, $s = 1, \dots, N$.159\item Pour chaque tirage, projeter les revenus et dépenses sur l'horizon $T$ et l'année $T + 1$, calculer les flux avant dette, la valeur terminale et la valeur160\begin{equation}\label{eq:40:dcf-simule}161V^{(s)} = \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t^{(s)}}{\big(1 + r^{(s)}\big)^t} + \frac{\NOI_{T+1}^{(s)}\,(1 - c_v)}{R_T^{(s)}\,\big(1 + r^{(s)}\big)^T},162\end{equation}163ainsi que les quantités dérivées qui intéressent la décision : revenu net de chaque année, ratio de couverture $\DSCR_t^{(s)} = \NOI_t^{(s)} / SD$, taux de rendement interne si un prix est donné.164\item Résumer la distribution de chaque sortie : moyenne, médiane, écart-type, quantiles, probabilités de franchissement de seuils, et accompagner chaque résumé de son erreur de Monte-Carlo (\cref{sec:40:erreur}).165\item Vérifier que le modèle simulé, évalué aux intrants de base, reproduit exactement la projection déterministe : c'est le test le plus simple et le plus souvent omis. Dans le cas 3, la fonction vectorisée \texttt{projeter\_vectorise} évaluée au scénario de base redonne les douze lignes du \cref{tab:30:projection} à $10^{-12}$ près, ce que vérifie \texttt{test\_ch47.py}.166\end{enumerate}167Deux remarques d'implémentation. La première est la vectorisation : plutôt que d'exécuter dix mille fois une boucle sur les années, on représente chaque intrant par un tableau de dimension $N$ et l'on effectue les opérations année par année sur tous les tirages à la fois ; la simulation du cas 3 à \num{10000} tirages prend ainsi une fraction de seconde, ce qui rend possibles les répétitions et les diagnostics qui suivent. La seconde est le traitement des règles discrètes : la relocation au marché d'un nombre entier de logements par an, $k^{(s)} = \lfloor \text{rotation}^{(s)} \times 12 + 0{,}5 \rfloor$, introduit des sauts dans la fonction $g$ et c'est elle qui rend la valeur non parfaitement lisse en la rotation ; une telle discontinuité n'est pas un défaut, elle est la réalité du modèle, mais elle explique que la rotation ait une corrélation de rang avec la valeur plus faible que ne le laisserait croire la tornade.168169\subsection{Résultats du cas 3}170171La \cref{fig:40:distribution} montre la distribution des \num{10000} valeurs simulées, identique à celle de la \cref{fig:47:montecarlo} et complétée par la fonction de répartition empirique. La médiane est de \dollars{2191608}, la moyenne de \dollars{2233506}, l'écart-type de \dollars{350443} (coefficient de variation \pct{15.7}) et l'intervalle à \pct{90} s'étend de \dollars{1735194} à \dollars{2876902}. La moyenne dépasse la médiane de \dollars{41898} : la valeur est une fonction convexe de $r$ et de $R_T$ (à travers $1/R_T$ et $(1 + r)^{-t}$), et l'inégalité de Jensen implique que l'espérance de la valeur excède la valeur aux intrants espérés ; \textcite{hoesliJaniBender2006} relèvent ce biais de convexité et recommandent de rapporter la médiane. La fonction de répartition se lit comme un tableau de probabilités : $F(\dollars{2037503}) = \num{0.309}$ est la probabilité que la valeur simulée soit inférieure à l'indication par capitalisation directe, $F(\dollars{2000000}) = \num{0.265}$ et $F(\dollars{2200000}) = \num{0.512}$ celles de passer sous deux millions et sous la valeur au rôle. La zone colorée sous le quantile 5 \% est la queue dont la \cref{sec:40:risque} tire la VaR et la CVaR.172173\begin{figure}[htbp]\centering174\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-distribution.pdf}175\caption{Distribution de la valeur du cas 3 sur \num{10000} tirages : histogramme avec les quantiles 5, 50 et 95 \% et la valeur déterministe (à gauche) ; fonction de répartition empirique, queue à 5 \% colorée et probabilité que la valeur soit inférieure à l'indication par capitalisation directe (à droite). L'asymétrie à droite est l'effet de convexité de la valeur dans les taux.}176\label{fig:40:distribution}177\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, graine 20261031.}}178\end{figure}179180\subsection{L'erreur de Monte-Carlo}\label{sec:40:erreur}181182Chaque chiffre du paragraphe précédent est l'estimation d'une quantité inconnue à partir d'un échantillon de \num{10000} tirages et souffre, à ce titre, d'une erreur d'échantillonnage. Pour la moyenne, l'\cref{eq:40:tcl} donne immédiatement $\operatorname{se} = \num{350443}/\sqrt{\num{10000}} = \dollars{3504}$. Pour les quantiles, qui sont les résumés les plus utiles, il faut un résultat supplémentaire.183184\begin{proposition}{Erreur type d'un quantile empirique}{40:se-quantile}185Soit $Y$ une variable de densité $f$ continue et strictement positive au voisinage de son quantile $q_p$, et $\hat q_p$ le quantile empirique d'ordre $p$ d'un échantillon de taille $N$. Alors186\begin{equation}\label{eq:40:se-quantile}187\sqrt{N}\,\big(\hat q_p - q_p\big) \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ } \mathcal{N}\!\left(0,\ \frac{p\,(1 - p)}{f(q_p)^2}\right), \qquad \text{soit} \qquad \operatorname{se}\big(\hat q_p\big) \approx \frac{1}{f(q_p)}\sqrt{\frac{p\,(1 - p)}{N}}.188\end{equation}189\end{proposition}190\begin{proof}191Soit $\hat F_N(y) = N^{-1}\sum_s \mathbb{1}\{Y^{(s)} \leq y\}$ la fonction de répartition empirique. En $y = q_p$, $N\hat F_N(q_p)$ est binomiale de paramètres $(N, p)$, donc $\sqrt{N}(\hat F_N(q_p) - p) \to \mathcal{N}(0, p(1 - p))$. Le quantile empirique est défini par $\hat F_N(\hat q_p) \approx p$ ; un développement de $F$ au voisinage de $q_p$ donne $F(\hat q_p) - F(q_p) \approx f(q_p)(\hat q_p - q_p)$, et comme $\hat F_N$ et $F$ sont uniformément proches, $p - \hat F_N(q_p) \approx F(\hat q_p) - F(q_p) \approx f(q_p)(\hat q_p - q_p)$. On en déduit $\hat q_p - q_p \approx -(\hat F_N(q_p) - p)/f(q_p)$, dont la variance asymptotique est $p(1 - p)/(N f(q_p)^2)$ ; l'argument est rendu rigoureux par la représentation de Bahadur du quantile empirique.192\end{proof}193194La formule dit deux choses importantes. L'erreur d'un quantile est d'autant plus grande que la densité y est faible : les quantiles extrêmes, situés dans les queues, sont beaucoup moins précis que la médiane pour un même $N$, et c'est précisément eux que la gestion du risque utilise. Et le numérateur $p(1 - p)$ est maximal en $p = 0{,}5$, ce qui ne compense pas la chute de la densité dans les queues. Pour appliquer la formule, il faut estimer $f(q_p)$, ce que l'on fait par un estimateur à noyau sur l'échantillon lui-même ; le \cref{tab:40:erreurs} compare, pour le cas 3, l'erreur type ainsi prédite à l'écart-type empirique des mêmes statistiques sur 300 simulations indépendantes de \num{10000} tirages (graines 1 à 300). L'accord est excellent : \dollars{4135} prédits contre \dollars{4277} observés pour la médiane, \dollars{10621} contre \dollars{10862} pour le quantile 95 \%, \num{0.0050} contre \num{0.0052} pour la probabilité de bris de covenant. Le quantile 95 \% est deux fois et demie moins précis que la médiane, conformément au rapport des densités.195196\begin{table}[htbp]\centering197\caption{Erreur de Monte-Carlo des statistiques du cas 3 à $N = \num{10000}$ : erreur type théorique (\cref{eq:40:tcl,eq:40:se-quantile}, densité par noyau gaussien) et écart-type empirique sur 300 répétitions indépendantes ; position de la graine du traité dans la distribution des répétitions.}\label{tab:40:erreurs}198\small\setlength{\tabcolsep}{3pt}199\begin{tabular}{@{}L{2.7cm}S[table-format=7.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=7.0]S[table-format=-1.2]@{}}200\toprule201Statistique & {Graine 20261031} & {Se théor.} & {Se emp. (300)} & {Moy. des 300} & {$z$} \\202\midrule203Moyenne (\$) & 2233506 & 3504 & 3590 & 2246514 & {—} \\204Quantile 5 \% (\$) & 1735194 & 4756 & 4654 & 1745027 & -2.11 \\205Médiane (\$) & 2191608 & 4135 & 4277 & 2203873 & -2.87 \\206Quantile 95 \% (\$) & 2876902 & 10621 & 10862 & 2896383 & -1.79 \\207P(RCD$_1 < 1{,}20$) & {0,4936} & {0,0050} & {0,0052} & {0,5001} & -1.25 \\208\bottomrule209\end{tabular}210\tabsource{\synth{\texttt{erreurs\_theoriques} et \texttt{repetitions} de \texttt{ch40\_montecarlo.py} ; l'écart réduit $z$ est l'écart de la graine du traité à la moyenne des 300 répétitions, divisé par l'écart-type empirique. La valeur exacte de P(RCD$_1 < 1{,}20$) est 0,5 (\cref{sec:40:covenant}).}}211\end{table}212213Le tableau révèle un fait que l'honnêteté impose de rapporter. La médiane obtenue avec la graine du traité, \dollars{2191608}, est inférieure de \dollars{12265} à la moyenne des médianes des 300 répétitions, soit $2{,}87$ erreurs types ; une seule des 300 graines a produit une médiane plus basse. Le quantile 5 \% est à $-2{,}1$ erreurs types et le quantile 95 \% à $-1{,}8$. La graine 20261031 n'a donc rien de spécial sinon d'être une réalisation légèrement défavorable, ce que le \cref{tab:40:lois} laissait voir : la croissance des loyers de marché y est tirée en moyenne \num{0.0003} trop bas et le taux d'actualisation \num{0.00013} trop haut. Il n'y a là aucune raison de changer de graine, ce qui serait une forme de sélection des résultats ; il y a une raison d'écrire la médiane comme « \dollars{2191608}, erreur type \dollars{4100} » et de noter que la médiane de la population simulée est plus vraisemblablement voisine de \dollars{2204000}, c'est-à-dire \dollars{4700} sous la valeur déterministe de \dollars{2208566}. Cet écart résiduel entre médiane simulée et valeur déterministe n'est pas, lui, une erreur d'échantillonnage : il vient de ce que la médiane d'une fonction non linéaire de variables aléatoires n'est pas la fonction des médianes, l'inoccupation log-normale ayant une moyenne supérieure à sa médiane, la rotation triangulaire une moyenne de \pct{16} contre un mode de \pct{15}, et le facteur CAPEX une moyenne de \num{1.02}.214215\subsection{Convergence et nombre de tirages}216217La \cref{fig:40:convergence} illustre les deux faces de la convergence. À gauche, les quantiles cumulés d'une seule suite de \num{100000} tirages : après 100 tirages, la médiane est à \dollars{2186860} et le quantile 95 \% à \dollars{2859840} ; après \num{1000}, à \dollars{2188350} et \dollars{2865010} ; après \num{10000}, à \dollars{2207230} et \dollars{2901010} ; après \num{100000}, à \dollars{2203500} et \dollars{2895770}. Le lecteur attentif remarquera que cette suite de \num{100000} tirages, bien qu'elle utilise la même graine, ne coïncide pas avec la simulation de \num{10000} tirages du traité ; c'est que le générateur produit les intrants variable par variable, de sorte que les dix mille premiers tirages d'une suite de cent mille ne sont pas les dix mille tirages d'une suite de dix mille. À droite, l'écart-type empirique des estimateurs sur 40 répétitions pour chaque $N$ de 250 à \num{8000}, en coordonnées logarithmiques : la pente ajustée pour la médiane est $-0{,}50$, exactement la prédiction $N^{-1/2}$ de l'\cref{eq:40:se-quantile}.218219\begin{figure}[htbp]\centering220\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-convergence.pdf}221\caption{Convergence de la simulation du cas 3. À gauche, quantiles cumulés d'une suite de \num{100000} tirages (graine 20261031) ; les losanges marquent les valeurs de la simulation de \num{10000} tirages du traité, légèrement défavorable. À droite, écart-type empirique des estimateurs sur 40 répétitions selon $N$, en coordonnées logarithmiques, avec la droite de pente $-1/2$.}222\label{fig:40:convergence}223\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, fonctions \texttt{convergence} et \texttt{se\_empirique\_selon\_N} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}}224\end{figure}225226Combien de tirages faut-il ? La réponse dépend de la statistique visée et de la précision requise. En inversant les \cref{eq:40:tcl,eq:40:se-quantile}, le nombre de tirages tel que l'intervalle de confiance à $1 - a$ ait une demi-largeur au plus égale à $\epsilon$ est227\begin{align}\label{eq:40:n-requis}228N &\geq \left(\frac{z_{1 - a/2}\,\sigma_1}{\epsilon}\right)^2, \qquad \text{avec} \notag \\229\sigma_1 &= \hat\sigma_Y \ \text{(moyenne)}, \qquad \sigma_1 = \frac{\sqrt{p(1 - p)}}{f(q_p)} \ \text{(quantile)}, \qquad \sigma_1 = \sqrt{p(1 - p)} \ \text{(probabilité)}.230\end{align}231Pour la médiane du cas 3, $\sigma_1 = \dollars{413451}$ ; une demi-largeur de \dollars{5000} à \pct{95} exige $N \geq (1{,}96 \times \num{413451} / 5000)^2 = \num{26267}$ tirages, et une demi-largeur de \dollars{1000} en exigerait \num{656665}. Pour une probabilité voisine de 0,5 à un point de pourcentage près, $N \geq (1{,}96 \times 0{,}5 / 0{,}01)^2 = \num{9604}$ ; à un demi-point, \num{38415}. Les \num{10000} tirages du traité suffisent donc pour une probabilité de covenant au point près et pour une médiane au centième de million près, pas pour un quantile 95 \% au-delà de la dizaine de milliers de dollars, ce qui est de toute façon bien au-delà de la précision que l'incertitude des lois elles-mêmes autorise. Il est vain de simuler un million de fois un modèle dont les écarts-types d'intrants sont connus à \pct{30} près ; l'erreur de Monte-Carlo doit simplement être rendue négligeable devant l'incertitude de modélisation, et déclarée.232233\section{Réduire la variance : l'échantillonnage par hypercube latin}\label{sec:40:lhs}234235\subsection{Principe}236237L'échantillonnage simple tire chaque coordonnée uniformément et indépendamment ; il laisse au hasard le soin de couvrir l'espace des intrants, et le hasard couvre mal : dans un échantillon de \num{1000} tirages normaux, il arrive que les 5 \% supérieurs soient sous-représentés et la moyenne de l'échantillon déplacée, ce qui se transmet à toutes les sorties. L'\motcle{échantillonnage par hypercube latin} (\emph{Latin hypercube sampling}, LHS) impose à chaque coordonnée d'être représentée exactement une fois dans chacune de $N$ strates équiprobables : pour la dimension $k$, on tire une permutation aléatoire $\pi_k$ de $\{0, \dots, N - 1\}$ et des uniformes indépendantes $U_{sk}$, et l'on pose238\begin{equation}\label{eq:40:lhs}239u_{sk} = \frac{\pi_k(s) + U_{sk}}{N}, \qquad X_{sk} = F_k^{-1}(u_{sk}), \qquad s = 1, \dots, N,\ k = 1, \dots, d.240\end{equation}241Chaque marginale est alors stratifiée parfaitement : exactement un tirage dans chaque intervalle de probabilité $1/N$, et la moyenne empirique de toute fonction monotone d'une seule coordonnée a une variance d'ordre $N^{-3}$ au lieu de $N^{-1}$. Pour une fonction de plusieurs variables, le gain dépend de la part additive de la fonction : si $g(\mathbf{X}) = \sum_k g_k(X_k) + \text{reste}$, l'hypercube latin élimine presque entièrement la variance due à la partie additive et ne laisse que celle du reste, d'où le résultat classique que la variance de la moyenne par hypercube latin ne dépasse jamais (asymptotiquement) celle de l'échantillonnage simple, et lui est très inférieure lorsque le modèle est proche d'être additif. La \cref{fig:40:lhs} illustre la stratification en dimension deux et mesure le gain sur le cas 3.242243\subsection{Mise en œuvre et comparaison}244245La fonction \texttt{tirer\_lhs} du script du chapitre reproduit la fonction \texttt{tirer} du \cref{ch:47} (mêmes lois, même ordre des intrants, mêmes bornes) en remplaçant les tirages normaux directs par l'\cref{eq:40:lhs} et les fonctions quantiles des lois ; le facteur CAPEX de chaque chantier occupe une dimension propre, soit neuf dimensions en tout. Pour comparer les deux schémas à armes égales, on simule 100 fois le cas 3 avec $N = \num{1000}$ tirages, en simple puis en hypercube latin, et l'on calcule la variance des estimateurs d'une répétition à l'autre ; le \cref{tab:40:lhs} rapporte le rapport des variances, qui est le facteur par lequel il faudrait multiplier $N$ en échantillonnage simple pour égaler la précision de l'hypercube latin.246247\begin{table}[htbp]\centering248\caption{Échantillonnage simple et hypercube latin sur le cas 3, $N = \num{1000}$ tirages, 100 répétitions : moyenne et écart-type des estimateurs d'une répétition à l'autre, rapport des variances.}\label{tab:40:lhs}249\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}250\begin{tabular}{@{}L{2.6cm}S[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=3.1]@{}}251\toprule252 & \multicolumn{2}{c}{Moyenne des estimations} & \multicolumn{2}{c}{Écart-type} & {Rapport} \\253Statistique & {simple} & {LHS} & {simple} & {LHS} & {des var.} \\254\midrule255Moyenne (\$) & 2247110 & 2246560 & 12079 & 1177 & 105.4 \\256Écart-type (\$) & 354784 & 355509 & 10391 & 5901 & 3.1 \\257Médiane (\$) & 2204900 & 2202380 & 12881 & 7662 & 2.8 \\258Quantile 5 \% (\$) & 1746490 & 1746410 & 14232 & 12231 & 1.4 \\259Quantile 95 \% (\$) & 2892420 & 2895480 & 35935 & 26361 & 1.9 \\260P(valeur $< 2$ M\$) & {0,2580} & {0,2572} & {0,0147} & {0,0091} & 2.6 \\261P(RCD$_1 < 1{,}20$) & {0,4977} & {0,5000} & {0,0162} & {0} & {$\infty$} \\262\bottomrule263\end{tabular}264\tabsource{\synth{\texttt{comparer\_lhs} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}, graines 1000 à 1099.}}265\end{table}266267Les résultats sont instructifs à trois égards. Pour la moyenne de la valeur, le gain est spectaculaire : la variance est divisée par 105, ce qui signifie qu'un hypercube latin de \num{1000} points est aussi précis qu'un échantillonnage simple de \num{100000} points ; c'est le signe que la valeur est très largement additive en ses intrants, fait que la régression standardisée de la \cref{sec:40:sobol} confirme avec un $R^2$ de \num{0.955}. Pour les quantiles, le gain est modeste, de 1,4 à 2,8 : un quantile dépend de la position d'un petit nombre de tirages dans une queue, et la stratification des marginales ne contrôle pas la queue de la sortie ; l'hypercube latin n'est donc pas la panacée pour la VaR, et il faut lui préférer, pour les quantiles extrêmes, un $N$ plus grand ou des méthodes d'échantillonnage préférentiel qui dépassent ce chapitre. Enfin, la probabilité que le ratio de couverture de première année soit inférieur à 1,20 est estimée \emph{exactement} à 0,5 par chaque hypercube latin, sans aucune variance : le ratio de première année est une fonction strictement décroissante de la seule inoccupation (\cref{eq:40:rcd-affine}), le seuil correspond exactement à la médiane de la loi de l'inoccupation, et la stratification place exactement $N/2$ tirages de chaque côté. Ce cas limite montre ce que la stratification fait au mieux et prévient d'une illusion : la précision infinie de ce chiffre ne dit rien sur la précision de la loi dont il découle.268269\begin{figure}[htbp]\centering270\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-lhs.pdf}271\caption{Hypercube latin. À gauche et au centre, douze points dans le carré unité par échantillonnage simple puis par hypercube latin : chaque ligne et chaque colonne de la grille contient exactement un point dans le second cas. À droite, rapport des variances des estimateurs (échantillonnage simple sur hypercube latin, $N = \num{1000}$, 100 répétitions) pour le cas 3 : le gain est massif pour la moyenne, modeste pour les quantiles.}272\label{fig:40:lhs}273\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py} ; fonctions \texttt{hypercube\_latin} et \texttt{comparer\_lhs} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}}274\end{figure}275276\section{Stress tests, mesures de risque et covenants}\label{sec:40:risque}277278\subsection{Stress tests déterministes et simulation : complémentarité}279280Le stress test déterministe choisit un point de l'espace des intrants et y évalue le modèle. Il a trois vertus que la simulation n'a pas : il se raconte (« si les taux montent de deux points au renouvellement »), il se vérifie à la main, et il correspond à la pratique réglementaire. Le taux admissible minimal du BSIF pour les prêts hypothécaires résidentiels non assurés, le plus élevé du taux contractuel majoré de deux points et de \pct{5.25} \parencite{osfiMqr}, est un stress test déterministe appliqué à la capacité de remboursement de l'emprunteur ; les scénarios de renouvellement du \cref{sec:31:renouvellement} et du \cref{ch:47}, qui refinancent le solde à +100, +200 et +300 points de base, en sont la transposition à un immeuble locatif. Mais le stress test a un défaut : il ne dit pas à quel point le scénario est sévère. Un choc de +200 points de base est-il un événement d'une fois tous les cinq ans ou d'une fois par siècle ? Deux chocs simultanés sont-ils aussi vraisemblables que chacun d'eux séparément ? La simulation répond en attachant à tout scénario déterministe la probabilité, sous les lois déclarées, d'un résultat au moins aussi défavorable : $P\big(V \leq V_{\text{scénario}}\big)$, lue directement sur la fonction de répartition empirique de la \cref{fig:40:distribution}.281282Le \cref{tab:40:stress} applique cette lecture à six scénarios du cas 3. Le scénario de hausse des taux du \cref{tab:30:scenarios} ($r = \pct{8.00}$, $R_T = \pct{5.50}$) donne une valeur de \dollars{1947889}, en baisse de \pct{11.8} ; la probabilité d'une valeur au moins aussi basse est de \pct{20.7}, ce qui en fait un scénario sévère mais nullement extrême : une chance sur cinq. Une inoccupation de \pct{6} ne retranche que \pct{3.6} à la valeur et sa probabilité « au moins aussi mauvais » est de \pct{42.3}, c'est-à-dire que c'est à peine un stress. La combinaison d'une croissance des loyers de marché de \pct{2.5} et d'une croissance des dépenses de \pct{4} vaut $-\pct{11.5}$ et une chance sur cinq. Les deux derniers scénarios montrent le piège des stress tests multiples : porter trois intrants simultanément à leur quantile défavorable 90 \% donne $-\pct{22.2}$ avec une probabilité de \pct{4.1}, et porter les sept intrants à ce quantile donne $-\pct{33.7}$ avec une probabilité de \pct{0.13}, soit un événement de l'ordre d'une fois sur 750. Le second scénario, que des analystes prudents présentent parfois comme « le pire cas raisonnable », combine sept événements dont chacun n'a qu'une chance sur dix ; leur conjonction, même avec la corrélation entre $r$ et $R_T$, n'a rien de raisonnable. C'est l'apport principal de la simulation aux stress tests : calibrer la sévérité et empêcher l'empilement d'hypothèses défavorables dont la conjonction est improbable.283284\begin{table}[htbp]\centering285\caption{Stress tests déterministes du cas 3 et probabilité, dans la simulation, d'un résultat au moins aussi défavorable.}\label{tab:40:stress}286\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}287\begin{tabular}{@{}L{6.4cm}S[table-format=7.0]S[table-format=-2.1]S[table-format=2.2]@{}}288\toprule289Scénario & {Valeur} & {Écart à la} & {P(valeur $\leq$} \\290 & {(\$)} & {base (\%)} & {scénario) (\%)} \\291\midrule292Base (hypothèses du dossier) & 2208566 & 0.0 & 52.17 \\293Hausse des taux : $r + 75$~pb, $R_T + 50$~pb (\cref{tab:30:scenarios}) & 1947889 & -11.8 & 20.72 \\294Marché détendu : inoccupation \pct{6} & 2128580 & -3.6 & 42.33 \\295Croissance faible : loyers de marché \pct{2.5}, dépenses \pct{4.0} & 1954800 & -11.5 & 21.39 \\296Trois intrants au quantile défavorable 90 \% ($r$, $g_m$, $v$) & 1717180 & -22.2 & 4.13 \\297Sept intrants au quantile défavorable 90 \% & 1464480 & -33.7 & 0.13 \\298\bottomrule299\end{tabular}300\tabsource{\synth{\texttt{stress\_deterministes} de \texttt{ch40\_montecarlo.py} ; les probabilités sont des fréquences sur \num{10000} tirages (erreur type au plus 0,5 point).}}301\end{table}302303Le \motcle{stress test inversé} renverse la question : au lieu de demander ce que vaut l'immeuble sous un choc donné, il cherche le choc qui amène le résultat à un seuil critique. La fonction \texttt{stress\_inverse} du script résout quatre équations à une inconnue par la méthode de Brent. Le ratio de couverture de première année tombe à 1,00 pour une inoccupation de \pct{13.3} ; la valeur descend à deux millions de dollars pour un taux d'actualisation de \pct{7.72} (l'écart terminal de \num{2.25} points étant maintenu), soit une hausse de 47 points de base seulement ; la valeur DCF rejoint l'indication par capitalisation directe pour un taux terminal de \pct{5.62} ou pour une croissance des loyers de marché de \pct{2.33}. Cette dernière lecture éclaire la réconciliation du \cref{ch:47} : l'écart de \pct{8.4} entre les deux méthodes équivaut à un peu plus d'un point de croissance des loyers de marché sur dix ans, ou à 62 points de base de taux terminal. Chaque seuil de stress inversé peut ensuite recevoir sa probabilité par les lois déclarées : une inoccupation supérieure à \pct{13.3} a, sous la loi log-normale du dossier, une probabilité de $1 - \Phi\big(\ln(0{,}1333/0{,}039)/0{,}30\big) = 2 \times 10^{-5}$.304305\subsection{VaR et CVaR de valeur}306307La gestion des risques financiers a imposé deux résumés de la queue d'une distribution. La \motcle{valeur à risque} (VaR) au niveau $\alpha$ est la perte qui n'est dépassée qu'avec probabilité $\alpha$ ; appliquée à une valeur d'immeuble et mesurée par rapport à une valeur de référence $V_{\text{réf}}$ (la valeur déterministe ou la médiane), elle est l'écart entre la référence et le quantile d'ordre $\alpha$. La \motcle{valeur à risque conditionnelle} (CVaR, aussi appelée perte espérée ou \emph{expected shortfall}) est la perte moyenne dans les $\alpha$ pires cas :308\begin{equation}\label{eq:40:var}309\operatorname{VaR}_\alpha = V_{\text{réf}} - q_\alpha, \qquad \operatorname{CVaR}_\alpha = V_{\text{réf}} - \E\big[V \mid V \leq q_\alpha\big] = V_{\text{réf}} - \frac{1}{\alpha}\int_0^\alpha q_u\,\dd u.310\end{equation}311La CVaR est toujours au moins égale à la VaR puisqu'elle moyenne des valeurs toutes inférieures ou égales au quantile, et elle a sur la VaR deux avantages théoriques bien connus : elle tient compte de la forme de la queue au-delà du quantile, alors que deux distributions de même quantile 5 \% mais de queues très différentes ont la même VaR, et elle est sous-additive, c'est-à-dire que la CVaR d'un portefeuille n'excède jamais la somme des CVaR de ses composantes, propriété que la VaR ne possède pas en général et qui importe pour l'agrégation de la \cref{sec:40:portefeuille}. L'estimateur de Monte-Carlo de la CVaR est la moyenne des $\lfloor \alpha N \rfloor$ plus petites valeurs simulées ; son erreur type est plus grande que celle de la VaR, puisqu'elle repose sur moins de tirages encore.312313Pour le cas 3, en prenant la valeur déterministe de \dollars{2208566} comme référence, le \cref{tab:40:risque} donne une VaR à 5 \% de \dollars{473372}, soit \pct{21.4} de la valeur, et une CVaR à 5 \% de \dollars{557097}, soit \pct{25.2} ; au niveau 10 \%, \dollars{385254} (\pct{17.4}) et \dollars{491208} (\pct{22.2}). Il est utile de comparer ces chiffres à ce qu'une approximation normale aurait donné. Si la valeur était normale de même moyenne et de même écart-type, son quantile 5 \% serait \dollars{1657079} au lieu de \dollars{1735194}, et la CVaR normale, donnée par la formule fermée314\begin{equation}\label{eq:40:cvar-normale}315\E\big[V \mid V \leq q_\alpha\big] = \mu - \sigma\,\frac{\varphi(z_\alpha)}{\alpha}, \qquad \text{soit ici} \qquad \num{2233506} - \num{350443} \times \frac{\varphi(-1{,}645)}{0{,}05} = \dollars{1510643},316\end{equation}317surestimerait la perte espérée de queue de \dollars{140827} par rapport à la distribution simulée (\dollars{1651470}). L'approximation normale est donc ici \emph{trop} pessimiste pour la queue basse, parce que la valeur est asymétrique à droite : sa queue basse est plus courte que celle d'une normale, sa queue haute plus longue. L'erreur serait de sens opposé pour un indicateur dont la queue défavorable est la queue haute, comme le coût d'un chantier ; la leçon est qu'aucune formule fermée ne dispense de regarder la distribution simulée.318319\begin{table}[htbp]\centering320\caption{Mesures de risque de la valeur et de la couverture de la dette du cas 3 (\num{10000} tirages, graine 20261031) ; référence pour la VaR et la CVaR : valeur déterministe de \dollars{2208566}.}\label{tab:40:risque}321\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}322\begin{tabular}{@{}L{7.6cm}S[table-format=7.0]L{2.6cm}@{}}323\toprule324Mesure & {Montant (\$)} & Lecture \\325\midrule326Quantile 5 \% de la valeur & 1735194 & \pct{78.6} de la référence \\327VaR 5 \% & 473372 & \pct{21.4} de la référence \\328Espérance de la valeur dans les 5 \% pires cas & 1651470 & \\329CVaR 5 \% & 557097 & \pct{25.2} de la référence \\330Quantile 10 \% de la valeur ; VaR 10 \% & 1823312 & VaR \dollars{385254} (\pct{17.4}) \\331CVaR 10 \% & 491208 & \pct{22.2} de la référence \\332Quantile 5 \% si la valeur était normale ($\mu$, $\sigma$ simulés) & 1657079 & VaR surestimée de \dollars{78115} \\333CVaR 5 \% si la valeur était normale & 697923 & surestimée de \dollars{140827} \\334\midrule335P(RCD$_1 < 1{,}20$) : simulée / exacte & {0,4936 / 0,5} & $\pm 0{,}005$ \\336P(RCD$_1 < 1{,}00$) : simulée / exacte & {0 / $2 \times 10^{-5}$} & 0,2 tirage attendu \\337RCD$_1$ : médiane / quantile 5 \% & {1,200 / 1,148} & \\338P(RCD$_6 < 1{,}20$) après renouvellement à +200 pb & {0,0140} & $\pm 0{,}0012$ \\339RCD$_6$ (+200 pb) : médiane / quantile 5 \% & {1,344 / 1,232} & \\340\bottomrule341\end{tabular}342\tabsource{\synth{\texttt{mesures\_risque}, \texttt{cvar\_normale}, \texttt{rcd1\_analytique} et \texttt{monte\_carlo} ; les ratios de couverture sont ceux du prêt de \dollars{1475959} (service de la dette \dollars{74963}).}}343\end{table}344345\subsection{Probabilité de bris de covenant}\label{sec:40:covenant}346347La question que pose le prêteur n'est pas celle de la valeur mais celle du ratio de couverture de la dette. Le \cref{ch:31} a dimensionné le prêt du cas 3 pour que le ratio de première année soit exactement 1,20 aux hypothèses de base ; la simulation du \cref{ch:47} trouve une probabilité de \pct{49.4} que ce ratio soit inférieur à 1,20 et aucun tirage sous 1,00. Ces deux chiffres se dérivent exactement, ce qui offre une vérification analytique de la simulation. Le revenu net de première année ne dépend, parmi les intrants simulés, que de l'inoccupation $v$ : les croissances n'agissent qu'à partir de l'année 2, la rotation aussi, et le premier chantier de CAPEX n'entre pas dans le revenu net. Avec les conventions du dossier (frais de gestion imputés à \pct{4} du revenu brut effectif, réserve $RR$ fixe, autres dépenses hors gestion $DE^{\text{hg}}$ fixes la première année),348\begin{equation}\label{eq:40:rcd-affine}349\DSCR_1(v) = \frac{0{,}96\,\big[RBP\,(1 - v) + R_{\text{autres}}\big] - DE^{\text{hg}} - RR}{SD}, \qquad \frac{\dd\,\DSCR_1}{\dd v} = -\frac{0{,}96\,RBP}{SD} = -2{,}12,350\end{equation}351fonction affine strictement décroissante de $v$ : chaque point d'inoccupation retranche \num{0.0212} au ratio. Le prêt ayant été calibré pour $\DSCR_1(0{,}039) = 1{,}20$, l'événement $\{\DSCR_1 < 1{,}20\}$ est exactement $\{v > 0{,}039\}$, et comme \pct{3.9} est la médiane de la loi log-normale déclarée, sa probabilité est exactement $0{,}5$. La fréquence simulée de \num{0.4936} en diffère de $-1{,}3$ erreur type ($\sqrt{0{,}25/\num{10000}} = 0{,}005$) : la simulation est juste, et c'est le dimensionnement du prêt qui met le covenant à pile ou face. Le ratio tombe à 1,00 pour $v_1 = \pct{13.33}$, dont la probabilité sous la loi déclarée est $2 \times 10^{-5}$, soit \num{0.2} tirage attendu sur \num{10000} : l'absence de tout tirage sous 1,00 n'est pas une preuve d'impossibilité, c'est la conséquence attendue d'une probabilité très faible que la simulation ne peut pas estimer avec \num{10000} tirages (il en faudrait de l'ordre de dix millions pour l'estimer à \pct{20} près). Pour une probabilité de cet ordre, le calcul exact ou l'échantillonnage préférentiel s'imposent, et le résultat exact ne vaut que ce que vaut la queue de la loi log-normale, qui est une hypothèse.352353La \cref{fig:40:rcd} trace les trajectoires du ratio de couverture sur dix ans, avec le prêt de base pendant le terme de cinq ans puis le prêt renouvelé à +200 points de base sur le solde résiduel. La médiane monte de \num{1.20} à \num{1.59} à l'année 5 grâce au rattrapage des loyers, retombe à \num{1.34} à l'année 6 sous l'effet du choc de taux, puis remonte. La bande à \pct{90} s'élargit avec l'horizon, parce que les incertitudes sur les croissances se cumulent ; à l'année 6, le quantile 5 \% est à \num{1.232} et la probabilité d'un ratio inférieur à 1,20 n'est que de \pct{1.4} (erreur type \num{0.0012}). La figure montre aussi douze trajectoires individuelles : elles ne sont pas parallèles, certaines croisent la médiane, et c'est ce croisement que la simulation seule peut représenter, le scénario déterministe du \cref{tab:47:scenarios} ne traçant qu'une trajectoire. Le prêteur peut en tirer une règle de dimensionnement probabiliste : s'il veut une probabilité de bris du covenant inférieure à \pct{10} la première année, il doit choisir le prêt tel que $\DSCR_1(q_{0{,}90}(v)) = 1{,}20$, c'est-à-dire fixer le ratio de base à $\DSCR_1(0{,}039) = 1{,}20 \times \NOI_1(0{,}039)/\NOI_1(q_{0{,}90})$ ; avec $q_{0{,}90}(v) = 0{,}039\,e^{0{,}30 \times 1{,}2816} = \pct{5.73}$, le revenu net baisse de \dollars{2904} et le ratio de base requis est \num{1.24}, ce qui ramène le prêt vers \dollars{1425000}, en accord avec l'ordre de grandeur de \dollars{1417000} avancé au \cref{ch:47} pour un ratio de 1,25.354355\begin{figure}[htbp]\centering356\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-rcd.pdf}357\caption{Trajectoires simulées du ratio de couverture de la dette du cas 3 sur dix ans : médiane, bandes à 50 et 90 \%, douze trajectoires individuelles ; prêt de base pendant le terme de cinq ans, puis renouvellement du solde à +200 points de base. Le covenant de 1,20 est franchi une fois sur deux la première année ; le seuil de 1,00 n'est jamais approché.}358\label{fig:40:rcd}359\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, graine 20261031 ; revenu net de \texttt{monte\_carlo}, service de la dette par \texttt{traite.finance.Hypotheque}.}}360\end{figure}361362\begin{quebec}363Trois repères québécois et canadiens encadrent les stress tests de ce chapitre. Le taux admissible minimal du Bureau du surintendant des institutions financières pour les prêts hypothécaires résidentiels non assurés est le plus élevé du taux contractuel majoré de deux points et de \pct{5.25} ; la règle est revue au moins une fois l'an et ne s'applique plus, depuis le 21 novembre 2024, aux transferts directs non assurés au renouvellement \parencite[page modifiée le 29 janvier 2026, consultée le 31 octobre 2026]{osfiMqr}. Elle vise l'emprunteur individuel, non l'immeuble locatif, mais elle fixe l'ordre de grandeur du choc de taux que les prêteurs appliquent par analogie au ratio de couverture, et c'est pourquoi les scénarios à +200 points de base des \cref{ch:31,ch:47} et de la \cref{fig:40:rcd} y font écho. La Banque du Canada a relevé son taux directeur à \pct{2.50} le 28 octobre 2026, première hausse depuis juillet 2023, après l'avoir maintenu à \pct{2.25} depuis le 30 octobre 2025 \parencite{bdc20261028} ; le rendement des obligations du gouvernement du Canada à dix ans était de \pct{3.84} le 29 octobre 2026 et le taux hypothécaire conventionnel de cinq ans affiché de \pct{6.19} \parencite{bdctauxhypothecaires2026}. La loi normale de moyenne \pct{7.25} et d'écart-type \qty{50}{\pb} du taux d'actualisation du cas 3 doit se lire dans ce contexte : un intervalle à \pct{90} de \pct{6.43} à \pct{8.07}, soit une prime de 2,6 à 4,2 points sur le dix ans, en l'absence d'enquête publique sur les taux d'actualisation du multirésidentiel québécois. Enfin, la croissance des loyers contractuels est maintenue fixe à \pct{3.1} dans la simulation parce qu'elle découle du pourcentage de base de la méthode de fixation du Tribunal administratif du logement pour 2026 (\cref{ch:34}) : c'est un paramètre réglementaire annuel, non un aléa de marché, et le traiter comme aléatoire reviendrait à simuler la politique réglementaire, ce que l'on fait, si on le souhaite, par scénario plutôt que par loi. Aucune norme de l'Ordre des évaluateurs agréés du Québec n'exige de simulation ; les Normes de pratique professionnelle exigent que le rapport énonce les hypothèses et réserves et que le raisonnement soit suivable \parencite{oeaqNormes}, ce que la déclaration des lois, de la graine et de l'erreur de Monte-Carlo satisfait pleinement.364\end{quebec}365366\section{Sensibilité globale : indices de Sobol, corrélations de rang et tornade}\label{sec:40:sobol}367368\subsection{Pourquoi la tornade ne suffit pas}369370Le diagramme en tornade du \cref{sec:30:sensibilite} et de la \cref{fig:47:tornade} est une analyse de sensibilité \emph{locale} et \emph{un facteur à la fois} : il déplace chaque intrant entre deux bornes, les autres restant à la base, et mesure le déplacement de la valeur. Il a deux limites. Son classement dépend des bornes choisies : si la borne d'un intrant est son quantile 10-90 et celle d'un autre son quantile 5-95, la comparaison est faussée ; le \cref{ch:47} a pris soin d'utiliser les mêmes quantiles pour tous, ce qui rend la tornade cohérente avec les lois, mais c'est une discipline, non une propriété de la méthode. Et il ignore les interactions : si l'effet d'une croissance des loyers de marché plus forte dépend du niveau de la rotation (il faut que les logements se libèrent pour que le marché entre dans l'immeuble), aucun déplacement d'un seul intrant ne le montre. L'analyse de sensibilité \motcle{globale} répond aux deux limites en décomposant la variance de la sortie, telle que la simulation la produit, en contributions des intrants et de leurs interactions.371372\subsection{Décomposition de la variance et indices de Sobol}373374\begin{theoreme}{Décomposition de Hoeffding et indices de Sobol}{40:sobol}375Soit $Y = g(X_1, \dots, X_d)$ de variance finie, les $X_i$ étant indépendants. Alors $g$ se décompose de façon unique en376\begin{equation}\label{eq:40:sobol-decomp}377g = g_0 + \sum_i g_i(X_i) + \sum_{i < j} g_{ij}(X_i, X_j) + \dots + g_{1 \dots d}(X_1, \dots, X_d),378\end{equation}379où $g_0 = \E[Y]$, $g_i(x_i) = \E[Y \mid X_i = x_i] - g_0$, $g_{ij} = \E[Y \mid X_i, X_j] - g_i - g_j - g_0$, etc., toutes les composantes étant centrées et deux à deux orthogonales. La variance se décompose en conséquence, $\Var(Y) = \sum_i V_i + \sum_{i<j} V_{ij} + \dots$ avec $V_i = \Var[\E(Y \mid X_i)]$, et l'on définit l'\motcle{indice de premier ordre} et l'\motcle{indice total} de $X_i$ par380\begin{equation}\label{eq:40:sobol-indices}381S_i = \frac{\Var\big[\E(Y \mid X_i)\big]}{\Var(Y)}, \qquad S_{T_i} = 1 - \frac{\Var\big[\E(Y \mid \mathbf{X}_{-i})\big]}{\Var(Y)} = \frac{\E\big[\Var(Y \mid \mathbf{X}_{-i})\big]}{\Var(Y)},382\end{equation}383avec $0 \leq S_i \leq S_{T_i} \leq 1$ et $\sum_i S_i \leq 1$, l'égalité ayant lieu si et seulement si $g$ est additive.384\end{theoreme}385\begin{proof}386L'unicité et l'orthogonalité découlent de la construction par espérances conditionnelles successives : chaque composante $g_{\mathcal{I}}$ est d'espérance nulle par rapport à chacune de ses variables, de sorte que le produit de deux composantes distinctes a une espérance nulle (il existe une variable qui figure dans l'une et pas dans l'autre, et l'intégration par rapport à elle annule le produit) ; l'indépendance des $X_i$ est nécessaire pour que la loi jointe soit produit des marginales. La variance de la somme de composantes orthogonales est la somme des variances. L'inégalité $S_i \leq S_{T_i}$ vient de ce que $S_{T_i}$ somme $V_i$ et toutes les $V_{\mathcal{I}}$ contenant $i$ ; $\sum S_i \leq 1$ parce que les termes d'interaction sont positifs ou nuls. Enfin, par la loi de la variance totale, $\Var(Y) = \Var[\E(Y \mid \mathbf{X}_{-i})] + \E[\Var(Y \mid \mathbf{X}_{-i})]$, d'où la seconde expression de $S_{T_i}$.387\end{proof}388389L'indice de premier ordre $S_i$ est la part de la variance de la valeur que l'on éliminerait en connaissant parfaitement $X_i$ ; l'indice total $S_{T_i}$ est la part qui subsisterait si l'on connaissait parfaitement tous les autres intrants ; leur différence mesure les interactions auxquelles $X_i$ participe. La condition d'indépendance oblige à travailler sur les intrants \emph{de base} du modèle, $r$ et $\delta$, et non sur $r$ et $R_T$ qui sont corrélés ; l'indice de $\delta$ s'interprète alors comme la part de variance due à l'incertitude sur l'écart terminal \emph{au-delà} de celle due au niveau des taux.390391Les indices s'estiment sans calculer d'espérance conditionnelle, par la méthode des \motcle{échantillons appariés} (\emph{pick-freeze}). On tire deux matrices indépendantes $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ de $N$ lignes et $d$ colonnes, et pour chaque $i$ une matrice $\mathbf{A}_{\mathbf{B}}^{(i)}$ égale à $\mathbf{A}$ sauf sa colonne $i$, prise dans $\mathbf{B}$ ; on évalue le modèle sur les $N(d + 2)$ lignes et l'on calcule392\begin{equation}\label{eq:40:sobol-estimateur}393\hat S_i = \frac{1}{N\,\hat V}\sum_{s=1}^{N} \big(g(\mathbf{B}_s) - \hat g_0\big)\big[g(\mathbf{A}_{\mathbf{B},s}^{(i)}) - g(\mathbf{A}_s)\big], \qquad394\hat S_{T_i} = \frac{1}{2N\,\hat V}\sum_{s=1}^{N} \big[g(\mathbf{A}_s) - g(\mathbf{A}_{\mathbf{B},s}^{(i)})\big]^2 .395\end{equation}396Le premier estimateur repose sur l'identité $\E[g(\mathbf{B})\,g(\mathbf{A}_{\mathbf{B}}^{(i)})] - g_0^2 = V_i$ : les deux arguments partagent la seule coordonnée $i$, de sorte que leur covariance est exactement la variance de l'espérance conditionnelle en $X_i$, et le terme $g(\mathbf{B})\,g(\mathbf{A})$, dont les arguments ne partagent rien, retranche $g_0^2$ ; le centrage par $\hat g_0$ ne change pas l'espérance et réduit la variance de l'estimateur. Le second repose sur le fait que $\mathbf{A}_s$ et $\mathbf{A}_{\mathbf{B},s}^{(i)}$ ne diffèrent que par la coordonnée $i$, de sorte que la demi-espérance de leur différence au carré est $\E[\Var(Y \mid \mathbf{X}_{-i})]$. Pour le cas 3, avec $N = \num{20000}$ et sept intrants (les trois facteurs CAPEX étant gelés ensemble comme un groupe), l'estimation coûte \num{180000} évaluations du modèle, soit quelques secondes.397398\subsection{Résultats et confrontation à la tornade}399400Le \cref{tab:40:sobol} et la \cref{fig:40:sobol} rassemblent trois mesures de sensibilité globale et la tornade. Les indices de Sobol attribuent \pct{52.8} de la variance de la valeur au taux d'actualisation (indice total \pct{53.5}), \pct{24.8} à la croissance des loyers de marché (\pct{25.5}), \pct{13.4} à l'écart terminal (\pct{14.4}), \pct{4.3} à la croissance des dépenses, \pct{2.0} à l'inoccupation, \pct{1.3} à la rotation et moins de \pct{0.5} aux dépenses en capital. La somme des indices de premier ordre est \num{0.989} et les indices totaux n'excèdent les indices de premier ordre que de quelques millièmes : les interactions comptent pour environ \pct{1} de la variance et le modèle est, à cette précision, additif en ses intrants, ce que confirment le $R^2$ de \num{0.955} de la régression linéaire standardisée de la valeur sur les sept intrants (le complément à \num{0.989} tenant à la non-linéarité des effets propres, non aux interactions) et le gain massif de l'hypercube latin sur la moyenne. Les carrés des corrélations de Spearman donnent, pour un tel modèle, une approximation de $S_i$ : \num{0.506} pour $r$, \num{0.238} pour $g_m$, \num{0.121} pour $\delta$, \num{0.045} pour $g_d$, \num{0.021} pour $v$, hiérarchie et ordres de grandeur identiques. La corrélation de rang est l'outil qu'il faut retenir quand on ne dispose que d'une simulation ordinaire, sans échantillons appariés : elle coûte zéro évaluation supplémentaire et se lit directement sur les nuages de la \cref{fig:40:nuage}.401402\begin{table}[htbp]\centering403\caption{Sensibilité globale de la valeur du cas 3 : indices de Sobol de premier ordre et totaux ($N = \num{20000}$ par matrice, \num{180000} évaluations), corrélation de rang de Spearman et son carré (simulation de \num{10000} tirages), amplitude de la tornade entre les quantiles 10 et 90 \% (\cref{ch:47}).}\label{tab:40:sobol}404\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}405\begin{tabular}{@{}L{3.6cm}S[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=-1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=6.0]S[table-format=1.0]@{}}406\toprule407Intrant & {$S_i$} & {$S_{T_i}$} & {$\rho_S$} & {$\rho_S^2$} & {Amplitude tornade (\$)} & {Rang tornade} \\408\midrule409Taux d'actualisation $r$ & 0.528 & 0.535 & -0.711 & 0.506 & 636535 & 1 \\410Croissance loyers de marché $g_m$ & 0.248 & 0.255 & 0.487 & 0.238 & 459632 & 2 \\411Écart terminal $\delta$ & 0.134 & 0.144 & 0.347 & 0.121 & 320404 & 3 \\412Croissance des dépenses $g_d$ & 0.043 & 0.044 & -0.211 & 0.045 & 185540 & 4 \\413Inoccupation et pertes $v$ & 0.020 & 0.019 & -0.145 & 0.021 & 117049 & 5 \\414Rotation annuelle & 0.013 & 0.015 & 0.062 & 0.004 & 90738 & 7 \\415Facteur CAPEX (groupe) & 0.003 & 0.004 & -0.044 & 0.002 & 92066 & 6 \\416\midrule417Somme des $S_i$ ; $R^2$ linéaire & 0.989 & {—} & {—} & 0.955 & {—} & {—} \\418Taux terminal $R_T = r - \delta$ (dérivé) & {—} & {—} & -0.782 & 0.611 & {—} & {—} \\419\bottomrule420\end{tabular}421\tabsource{\synth{\texttt{sobol}, \texttt{correlations\_rang}, \texttt{regression\_standardisee} et \texttt{tornade} ; graines 20261031 (matrice $\mathbf{A}$, simulation) et 20261032 (matrice $\mathbf{B}$). Erreur type des indices de l'ordre de 0,01.}}422\end{table}423424La tornade donne le même classement pour les trois premiers intrants et le même pour le quatrième et le cinquième ; elle inverse les deux derniers, mais leurs amplitudes sont si proches (\dollars{92066} et \dollars{90738}) que le classement est indifférent. L'accord entre sensibilité locale et globale n'est pas une coïncidence : il tient à ce que le modèle est presque additif et que les bornes de la tornade sont les quantiles 10 et 90 des mêmes lois ; dans ces conditions, l'amplitude de la tornade est approximativement $2 \times 1{,}28\,\sigma_i\,|\partial g/\partial x_i|$ et son carré est proportionnel à $V_i$. Le \cref{tab:40:sobol} fait apparaître une différence instructive là où la non-linéarité est forte : la rotation a une amplitude de tornade comparable au facteur CAPEX mais un carré de corrélation de rang cinq fois plus petit que l'indice de Sobol, parce que son effet est en escalier (nombre entier de logements relocalisés) et asymétrique (l'écart au marché se résorbe vite au-delà de \pct{15}), de sorte que la relation entre rotation et valeur est faible en rang bien que non nulle en variance. La différence entre $S_i$ et $S_{T_i}$ pour l'écart terminal, \num{0.010}, la plus grande du tableau, signale l'interaction entre $\delta$ et $r$ dans $1/(r - \delta)$ : l'effet d'un écart terminal plus large est d'autant plus fort que le taux d'actualisation est bas, puisque le taux terminal s'approche alors de son plancher.425426\begin{figure}[htbp]\centering427\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-sobol.pdf}428\caption{Sensibilité globale de la valeur du cas 3 : indices de Sobol totaux et de premier ordre, carré de la corrélation de rang de Spearman, et part de la tornade (amplitude au carré normalisée) pour les sept intrants. Les trois mesures s'accordent : le niveau des taux explique plus de la moitié de la variance, les trois premiers intrants en expliquent plus de \pct{90}.}429\label{fig:40:sobol}430\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py} ; \texttt{sobol} et \texttt{correlations\_rang} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}}431\end{figure}432433\begin{figure}[htbp]\centering434\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-nuage.pdf}435\caption{Nuages de \num{3000} tirages de la valeur du cas 3 contre le taux d'actualisation (à gauche) et contre le taux terminal (à droite), avec la médiane conditionnelle par vingtiles. La relation est quasi linéaire et négative ; la dispersion autour de la médiane conditionnelle est la part de variance due aux autres intrants.}436\label{fig:40:nuage}437\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, graine 20261031.}}438\end{figure}439440La conclusion pour l'évaluateur est la même que celle du \cref{ch:47}, mais elle est maintenant quantifiée et dégagée de l'arbitraire des bornes : plus des deux tiers de l'incertitude de la valeur par flux actualisés tiennent au niveau des taux ($r$ et $\delta$, \pct{67.9} de la variance à eux deux), le quart à la croissance des loyers de marché, et moins d'un dixième à tout ce qui relève de l'exploitation de l'immeuble. Réduire l'incertitude de la conclusion passe donc par un meilleur ancrage du taux d'actualisation, par des ventes comparables dont le TRI implicite est connu ou par la construction par primes du \cref{ch:30}, bien avant qu'un relevé plus fin de l'état locatif ou des devis plus précis n'y changent quoi que ce soit. Inversement, le prêteur, dont la variable de décision est le ratio de couverture de première année, ne devrait se soucier que de l'inoccupation, seul intrant qui l'affecte (\cref{eq:40:rcd-affine}) : les deux acteurs regardent le même immeuble et le même modèle, mais la hiérarchie des risques n'est pas la même selon la sortie considérée, et c'est l'analyse de sensibilité globale par sortie qui le révèle.441442\section{Exemple intégral : la simulation du cas 3 de bout en bout}\label{sec:40:exemple}443444\begin{exemple}{Simulation de Monte-Carlo du DCF des douze logements de Montréal}{40:cas3}445Le dossier est celui des \cref{ch:30,ch:31,ch:47} : revenu net normalisé de première année \dollars{89956}, projection sur dix ans, valeur déterministe \dollars{2208566}, prêt de \dollars{1475959}. La simulation se déroule en six étapes dont chaque chiffre est imprimé par \texttt{ch40\_montecarlo.py}.446447\emph{Étape 1 — lois et dépendances.} Les sept lois du \cref{tab:40:lois} sont centrées sur les hypothèses de base ; le taux terminal est défini par $R_T = r - \delta$, ce qui induit une corrélation de \num{0.78} entre les deux taux (\cref{eq:40:rRT}) ; la croissance des loyers contractuels est fixe à \pct{3.1}.448449\emph{Étape 2 — simulation.} \num{10000} tirages, graine 20261031, modèle vectorisé reproduisant la projection déterministe à $10^{-12}$ près. Résultats : médiane \dollars{2191608}, moyenne \dollars{2233506}, écart-type \dollars{350443}, quantiles 5 et 95 \% \dollars{1735194} et \dollars{2876902}, quartiles \dollars{1984237} et \dollars{2432866}.450451\emph{Étape 3 — erreur de Monte-Carlo.} Erreur type de la médiane \dollars{4135} (\cref{eq:40:se-quantile}, densité au quantile $1{,}21 \times 10^{-6}$), des quantiles 5 et 95 \% \dollars{4756} et \dollars{10621}, de la moyenne \dollars{3504}, de la probabilité de bris de covenant \num{0.005}. Les 300 répétitions confirment ces ordres de grandeur et situent la graine du traité à $-2{,}9$ erreurs types sur la médiane : la médiane de la population simulée est plus vraisemblablement voisine de \dollars{2204000}.452453\emph{Étape 4 — mesures de risque.} $P(V < \dollars{2037503}) = \pct{30.9}$, $P(V < \dollars{2000000}) = \pct{26.5}$, $P(V < \dollars{2200000}) = \pct{51.2}$ ; VaR 5 \% \dollars{473372} (\pct{21.4}), CVaR 5 \% \dollars{557097} (\pct{25.2}) par rapport à la valeur déterministe ; $P(\DSCR_1 < 1{,}20) = \pct{49.4}$ (valeur exacte 0,5), $P(\DSCR_1 < 1{,}00) = 0$ sur \num{10000} (valeur exacte $2 \times 10^{-5}$), $P(\DSCR_6 < 1{,}20 \mid +200~\text{pb}) = \pct{1.4}$.454455\emph{Étape 5 — sensibilité.} Indices de Sobol : $r$ \num{0.528}, $g_m$ \num{0.248}, $\delta$ \num{0.134}, $g_d$ \num{0.043}, $v$ \num{0.020}, rotation \num{0.013}, CAPEX \num{0.003} ; somme \num{0.989}, interactions négligeables ; même hiérarchie que la tornade du \cref{ch:47}.456457\emph{Étape 6 — stress tests calibrés.} Le scénario de hausse des taux du \cref{ch:30} ($-\pct{11.8}$) a une probabilité « au moins aussi défavorable » de \pct{20.7} ; la conjonction des sept quantiles défavorables à 90 \% ($-\pct{33.7}$) n'a qu'une probabilité de \pct{0.13} ; une inoccupation de \pct{13.3} ramènerait le ratio de couverture à 1,00 et un taux d'actualisation de \pct{7.72} ramènerait la valeur à deux millions.458459\emph{Ce que le rapport doit dire.} La valeur par flux actualisés de \dollars{2208566} s'accompagne d'un intervalle à \pct{90} de \dollars{1735000} à \dollars{2877000} sous des lois déclarées et centrées sur les hypothèses de base ; cette fourchette est d'abord une incertitude sur les taux de rendement exigés ; la probabilité que la valeur soit inférieure à l'indication par capitalisation directe est d'environ \pct{31} ; le prêt dimensionné au covenant de 1,20 a une chance sur deux de le franchir la première année, pour un écart généralement minime, et pratiquement aucune de ne plus couvrir le service de la dette. Chaque chiffre est reproductible avec la graine indiquée et porte une erreur type d'environ \dollars{4000} pour les quantiles centraux et de \dollars{11000} pour le quantile 95 \%.460\end{exemple}461462\section{Agréger l'incertitude : un portefeuille de 48 immeubles}\label{sec:40:portefeuille}463464\subsection{Pourquoi la corrélation entre immeubles est la question centrale}465466Lorsque l'objet de l'évaluation n'est plus un immeuble mais un portefeuille, la question n'est plus seulement « quelle est l'incertitude de chaque valeur ? » mais « comment ces incertitudes s'additionnent-elles ? ». La réponse dépend entièrement de la corrélation entre les valeurs des immeubles. Si $V_P = \sum_i V_i$ et que les $V_i$ ont des écarts-types $\sigma_i$ et des corrélations deux à deux $\rho_{ij}$,467\begin{align}\label{eq:40:variance-somme}468\Var(V_P) &= \sum_i \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j} \rho_{ij}\,\sigma_i\sigma_j, \notag \\469\sigma_P &= \sqrt{(1 - \rho)\sum_i \sigma_i^2 + \rho\Big(\sum_i \sigma_i\Big)^2} \qquad \text{si } \rho_{ij} = \rho \text{ pour tout } i \neq j.470\end{align}471À un extrême, l'indépendance ($\rho = 0$) donne $\sigma_P = \sqrt{\sum \sigma_i^2}$, qui croît comme la racine du nombre d'immeubles alors que la valeur croît comme le nombre : l'incertitude relative du portefeuille s'évanouit, c'est la diversification. À l'autre extrême, la corrélation parfaite ($\rho = 1$) donne $\sigma_P = \sum \sigma_i$ : aucune diversification, le portefeuille est aussi incertain que la somme de ses parties. Le rapport $\sigma_P / \sum \sigma_i$, que nous appelons \motcle{ratio de diversification}, mesure où l'on se situe entre ces extrêmes. Or les valeurs d'immeubles d'une même région dépendent des mêmes taux, du même marché du travail et du même marché locatif ; des immeubles de régions différentes partagent les taux d'intérêt nationaux et la conjoncture, mais moins. La structure de corrélation pertinente est donc hiérarchique : forte à l'intérieur d'une région métropolitaine, modérée entre régions.472473\subsection{Un modèle factoriel à deux niveaux}474475La façon la plus économe de produire une telle structure est le modèle factoriel. Pour l'immeuble $i$ de la région $k(i)$, on écrit le choc normalisé qui frappe une grandeur (revenu net ou taux de capitalisation) comme476\begin{equation}\label{eq:40:portefeuille-facteur}477e_i = \sqrt{\rho_{\text{prov}}}\;Z_0 + \sqrt{\rho_{\text{rmr}} - \rho_{\text{prov}}}\;Z_{k(i)} + \sqrt{1 - \rho_{\text{rmr}}}\;\varepsilon_i, \qquad 0 \leq \rho_{\text{prov}} \leq \rho_{\text{rmr}} \leq 1,478\end{equation}479où $Z_0$ est un facteur commun à toute la province, $Z_k$ un facteur propre à la région $k$ et $\varepsilon_i$ un bruit propre à l'immeuble, tous normaux centrés réduits et indépendants. On vérifie immédiatement que $\Var(e_i) = \rho_{\text{prov}} + (\rho_{\text{rmr}} - \rho_{\text{prov}}) + (1 - \rho_{\text{rmr}}) = 1$, que $\Cov(e_i, e_j) = \rho_{\text{prov}} + (\rho_{\text{rmr}} - \rho_{\text{prov}}) = \rho_{\text{rmr}}$ si les deux immeubles sont dans la même région, et $\Cov(e_i, e_j) = \rho_{\text{prov}}$ sinon, les termes croisés s'annulant par indépendance. Deux paramètres suffisent donc à décrire toute la matrice de corrélation de 48 immeubles, et ils ont une interprétation directe. La fonction \texttt{simuler\_portefeuille} du script du chapitre, écrite pour être réutilisée au \cref{ch:48}, applique ce modèle au portefeuille du cas 4 sur un horizon d'un an : le revenu net de chaque immeuble devient $\NOI_i' = \NOI_i\,\exp(g_i + \sigma_{g,i}\,e_i)$, avec la croissance tendancielle $g_i$ et la volatilité annualisée $\sigma_{g,i}$ estimées sur la série trimestrielle 2016-2026 de l'immeuble par \texttt{traite.cas4.croissance\_rne} (médiane des $\sigma_{g,i}$ : \pct{3.2}) ; le taux de capitalisation devient $R_i' = R_i + \sigma_R\,u_i$, avec $\sigma_R = \qty{50}{\pb}$ comme pour le taux d'actualisation du cas 3 et $u_i$ un second jeu de facteurs de même structure ; la valeur est $V_i' = \NOI_i'/R_i'$. Les paramètres de corrélation retenus, $\rho_{\text{prov}} = 0{,}30$ et $\rho_{\text{rmr}} = 0{,}60$, sont des hypothèses pédagogiques déclarées, dont la \cref{sec:40:portefeuille} même montre l'effet en les faisant varier ; leur estimation sur des séries régionales d'indices est l'objet des \cref{ch:35,ch:36}. Le ratio de couverture de chaque immeuble est $\NOI_i'/SD_i$, le service de la dette étant calculé sur la dette et le taux déclarés avec un amortissement de 40 ans, comme au cas 3, et les prêts dont le terme échoit d'ici 2028 (23 immeubles sur 48) étant renouvelés à +200 points de base, stress déterministe superposé à la simulation.480481\subsection{Résultats}482483Le \cref{tab:40:portefeuille} et la \cref{fig:40:portefeuille} comparent trois structures de corrélation pour deux niveaux de choc sur le revenu. Le portefeuille vaut \dollars{143363000} au rôle des valeurs 2026 et \dollars{147936000} à un an par simple application des croissances tendancielles ; c'est cette seconde valeur qui sert de référence aux mesures de risque. Sous la structure régionale de base, la valeur simulée a un écart-type de \dollars{10295000}, un quantile 5 \% de \dollars{133872000}, une VaR 5 \% de \dollars{14064000} (\pct{9.5}) et une CVaR 5 \% de \dollars{17389000} ; la somme des écarts-types individuels est de \dollars{16007000}, de sorte que le ratio de diversification vaut \num{0.643}. Sous l'indépendance, l'écart-type tombe à \dollars{3207000} et la VaR à \dollars{3495000} (\pct{2.4}) : le portefeuille paraît quatre fois moins risqué, et c'est l'erreur que commet quiconque simule 48 immeubles sans corrélation. Sous la corrélation parfaite, l'écart-type est de \dollars{15931000} et la VaR de \dollars{21440000} (\pct{14.5}), soit le risque d'un seul grand immeuble. Le ratio de diversification de \num{0.643} dit que les trois quarts de l'incertitude du portefeuille sont systématiques et qu'un quart seulement est diversifié par la répartition entre six régions ; la part de Montréal, qui pèse \pct{45} de la valeur et dont le facteur régional domine, limite ce gain.484485\begin{table}[htbp]\centering486\caption{Portefeuille du cas 4 (48 immeubles, six RMR) à un an sous trois structures de corrélation et deux chocs sur le revenu net ; valeur de référence \dollars{147936000} ; prêts échéant d'ici 2028 renouvelés à +200~pb ; \num{10000} tirages, graine 20261031. $n_{<1{,}20}$ et $n_{<1}$ : nombre d'immeubles dont le RCD est inférieur à 1,20 et à 1,00.}\label{tab:40:portefeuille}487\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}488\begin{tabular}{@{}L{2.5cm}S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=1.3]S[table-format=2.1]S[table-format=1.1]S[table-format=2.0]S[table-format=1.1]@{}}489\toprule490Structure ($\rho_{\text{prov}}$ ; $\rho_{\text{rmr}}$) & {$\sigma_P$} & {VaR$_{5}$} & {CVaR$_{5}$} & {Div.} & {$\E[n_{<1{,}2}]$} & {$\E[n_{<1}]$} & {$q_{95}(n_{<1})$} & {P($n_{<1}{>}10$)} \\491 & {(M\$)} & {(M\$)} & {(M\$)} & & & & & {(\%)} \\492\midrule493\multicolumn{9}{@{}l}{\emph{Choc de revenu estimé sur 2016-2026 ($\sigma_{g,i}$ médian \pct{3.2}, croissance tendancielle $g_i$)}} \\494Indépendance (0 ; 0) & 3.2 & 3.5 & 4.6 & 0.201 & 10.2 & 4.9 & 6 & 0.0 \\495Régionale (0,30 ; 0,60) & 10.3 & 14.1 & 17.4 & 0.643 & 10.2 & 4.9 & 6 & 0.0 \\496Parfaite (1 ; 1) & 15.9 & 21.4 & 26.2 & 0.998 & 10.2 & 4.9 & 6 & 0.0 \\497\midrule498\multicolumn{9}{@{}l}{\emph{Choc de revenu de type récession ($\sigma_g = \pct{10}$ pour tous, $g_i = 0$)}} \\499Indépendance (0 ; 0) & 4.1 & 4.3 & 5.9 & 0.196 & 10.7 & 5.9 & 8 & 0.0 \\500Régionale (0,30 ; 0,60) & 13.2 & 18.1 & 22.5 & 0.634 & 10.7 & 5.9 & 10 & 1.9 \\501Parfaite (1 ; 1) & 20.8 & 28.2 & 34.7 & 0.997 & 10.7 & 5.9 & 11 & 5.1 \\502\bottomrule503\end{tabular}504\tabsource{\synth{\texttt{simuler\_portefeuille} et \texttt{comparer\_structures\_correlation} de \texttt{ch40\_montecarlo.py} ; données \texttt{cas4\_portefeuille.csv} et \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv}. Sans choc, 5 immeubles ont un RCD inférieur à 1,20 et 1 inférieur à 1,00 ; le renouvellement à +200~pb des 23 prêts échéant d'ici 2028 porte ces nombres à environ 10 et 5. Le quantile 95 \% de $n_{<1{,}20}$ est de 11 sous le premier choc et de 13 à 14 sous le second.}}505\end{table}506507Le second enseignement du tableau concerne les covenants. Le nombre \emph{moyen} d'immeubles dont le ratio de couverture passe sous 1,20 est le même, \num{10.2}, quelle que soit la structure de corrélation : l'espérance d'une somme d'indicatrices est la somme des probabilités marginales, et la corrélation n'y change rien. Ce que la corrélation change, c'est la \emph{dispersion} de ce nombre, donc la probabilité que beaucoup d'immeubles soient en difficulté en même temps, qui est le vrai risque d'un prêteur de portefeuille. Avec le choc de revenu estimé sur l'historique, trop faible pour que la corrélation se voie, les quantiles 95 \% du nombre de bris sont identiques ; avec un choc de type récession ($\sigma_g = \pct{10}$), le quantile 95 \% du nombre d'immeubles sous 1,00 passe de 8 sous l'indépendance à 10 sous la corrélation régionale et 11 sous la corrélation parfaite, et la probabilité que plus de dix immeubles ne couvrent plus leur dette passe de 0 à \pct{1.9} puis \pct{5.1}. C'est la propriété que l'\cref{eq:40:variance-somme} énonce pour la valeur, transposée à un comptage : la corrélation déplace la masse de probabilité vers les queues sans changer la moyenne. Le portefeuille lui-même ne manque jamais de couvrir sa dette agrégée (ratio médian \num{1.41} après renouvellements), mais les covenants sont contractés immeuble par immeuble, et c'est la queue du comptage qui gouverne le nombre de dossiers qu'il faudra renégocier.508509\begin{figure}[htbp]\centering510\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-portefeuille.pdf}511\caption{Fonction de répartition de la valeur du portefeuille du cas 4 à un an sous trois structures de corrélation entre immeubles ; la valeur déterministe est le trait tireté et la ligne pointillée marque le niveau 5 \%. La corrélation régionale multiplie par trois l'écart-type par rapport à l'indépendance ; la corrélation parfaite le multiplie par cinq.}512\label{fig:40:portefeuille}513\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py} ; \texttt{simuler\_portefeuille} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}, graine 20261031.}}514\end{figure}515516La fonction517\begin{center}\small\texttt{simuler\_portefeuille(pf, n, graine, sigma\_R, rho\_rmr, rho\_prov, croissance,}\\518\texttt{choc\_taux\_renouvellement, horizon\_renouvellement, amortissement\_mois, seuil\_rcd)}\end{center}519retourne les valeurs simulées de chaque immeuble, la valeur du portefeuille, les ratios de couverture et un dictionnaire de statistiques (médiane, quantiles, VaR, CVaR, ratio de diversification, comptages de bris et leurs quantiles, ratio de couverture agrégé). Le \cref{ch:48} l'appellera avec les paramètres de corrélation estimés et des scénarios régionaux de taux ; le \cref{ch:43} pourra y ajouter un facteur de risque environnemental propre aux immeubles en zone inondable, puisque la structure factorielle de l'\cref{eq:40:portefeuille-facteur} s'étend sans difficulté à un troisième niveau. La contrainte d'ordre $\rho_{\text{prov}} \leq \rho_{\text{rmr}}$ est vérifiée par la fonction ; la positivité de la matrice de corrélation est garantie par construction, ce qui est l'avantage décisif du modèle factoriel sur une matrice de corrélation saisie à la main, rarement définie positive au-delà de quelques immeubles.520521\begin{erreurs}522\begin{itemize}523\item \textbf{Confondre la moyenne simulée et la valeur.} La moyenne de la valeur simulée (\dollars{2233506}) dépasse la médiane (\dollars{2191608}) et la valeur déterministe (\dollars{2208566}) par convexité ; rapporter la moyenne comme « la valeur » introduit un biais à la hausse qui n'a aucune signification économique. La médiane, ou la valeur déterministe assortie de l'intervalle, sont les résumés à retenir.524\item \textbf{Décentrer les lois.} Une loi dont la médiane n'est pas l'hypothèse de base simule un autre scénario, pas l'incertitude autour du scénario retenu ; l'exercice~\ref{ex:40:1} et l'exercice 47.7 en mesurent l'effet (médiane d'inoccupation à \pct{6} : valeur médiane en baisse de \dollars{83000} et probabilité de bris de covenant portée à \pct{93}).525\item \textbf{Tirer les intrants indépendamment.} Le taux d'actualisation et le taux terminal, la croissance des loyers et l'inoccupation, la croissance des dépenses et celle des loyers sont liés ; les tirer indépendamment fausse la variance de la valeur. Une relation structurelle ($R_T = r - \delta$) ou une copule gaussienne (\cref{eq:40:copule}) résout le problème ; il faut en calculer la corrélation implicite et la discuter.526\item \textbf{Publier des chiffres sans erreur de Monte-Carlo ni graine.} Une médiane simulée à \dollars{2191608} a une erreur type de \dollars{4100} ; une probabilité de \pct{49.4} a une erreur type d'un demi-point ; un quantile 95 \% a une erreur type de \dollars{11000}. Sans graine, le résultat n'est pas reproductible ; sans erreur type, deux simulations qui diffèrent de \dollars{10000} semblent contradictoires alors qu'elles sont compatibles.527\item \textbf{Prendre « zéro tirage » pour « impossible ».} Aucun des \num{10000} tirages ne met le ratio de couverture sous 1,00 ; la probabilité exacte sous les lois déclarées est de $2 \times 10^{-5}$, soit un cas sur cinquante mille, et la queue de la loi log-normale au-delà de \pct{13} d'inoccupation n'a jamais été observée. Les événements rares se calculent ou s'échantillonnent préférentiellement ; ils ne se lisent pas dans une simulation ordinaire.528\item \textbf{Empiler les hypothèses défavorables.} Porter sept intrants à leur quantile 90 \% donne une baisse de \pct{33.7} dont la probabilité est de \pct{0.13} : ce n'est pas un « pire cas raisonnable », c'est un événement rarissime présenté comme un scénario. La simulation sert précisément à calibrer la sévérité des stress tests.529\item \textbf{Simuler un portefeuille sans corrélation entre immeubles.} L'écart-type de la valeur du portefeuille du cas 4 est trois fois plus grand sous une corrélation régionale modérée que sous l'indépendance ; la VaR l'est quatre fois. L'indépendance est l'hypothèse la plus optimiste qui soit, et la moins défendable.530\item \textbf{Lire les indices de Sobol sur des intrants corrélés.} La décomposition de l'\cref{eq:40:sobol-decomp} exige l'indépendance ; il faut travailler sur les facteurs de base ($r$ et $\delta$), non sur les grandeurs dérivées ($r$ et $R_T$).531\end{itemize}532\end{erreurs}533534\begin{limites}535La simulation de Monte-Carlo ne crée pas d'information : elle propage l'incertitude déclarée des intrants vers la sortie, et sa valeur est celle des lois qu'on lui donne. Les lois du cas 3 sont des hypothèses pédagogiques, centrées sur un scénario lui-même synthétique ; leurs dispersions sont justifiées par des ordres de grandeur (observations SCHL de 2023 à 2025 pour l'inoccupation, écarts-types de \qty{50}{\pb} et \qty{40}{\pb} pour les taux) et non estimées sur des séries longues, et les corrélations autres que celle entre $r$ et $R_T$ sont supposées nulles. Les queues des lois, qui gouvernent la VaR et la CVaR, sont la partie la moins vérifiable du dispositif : la probabilité de $2 \times 10^{-5}$ d'une inoccupation supérieure à \pct{13} est une propriété de la loi log-normale, pas un fait de marché. Les paramètres de corrélation du portefeuille ($0{,}30$ et $0{,}60$) ne sont pas estimés ; l'amortissement de 40 ans et le renouvellement à +200 points de base des prêts du cas 4 sont des hypothèses déclarées faute de données sur les prêts individuels. Le modèle simulé reprend les simplifications du \cref{ch:30} : relocation intégrale au loyer de marché, sans tenir compte de la faculté du nouveau locataire de demander la fixation du loyer (\cref{ch:34}), CAPEX fictifs, fiscalité hors champ. Aucune enquête publique ne documente la distribution des taux d'actualisation du multirésidentiel québécois, ce qui prive la loi de $r$, pourtant dominante dans la variance, de tout ancrage empirique direct. Enfin, la simulation décrit l'incertitude \emph{conditionnelle au modèle} : elle ne dit rien de l'incertitude sur la forme du modèle lui-même, par exemple sur la pertinence d'un taux terminal constant, que seule la comparaison de modèles (\cref{ch:20}) peut éclairer.536\end{limites}537538\begin{synthese}539\begin{itemize}540\item La simulation de Monte-Carlo tire conjointement les intrants d'un DCF dans des lois déclarées et centrées sur le scénario de base, recalcule la valeur pour chaque tirage et décrit la distribution obtenue ; elle complète, sans les remplacer, la tornade et les scénarios en leur attachant des probabilités.541\item Quatre lois suffisent : normale (croissances, taux), log-normale (inoccupation, facteurs de coût ; moyenne $= m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2} >$ médiane), triangulaire et bêta-PERT (trois valeurs d'expert, la PERT étant plus concentrée). Les paramètres se déduisent de quantiles élicités (\cref{eq:40:elicitation}).542\item Les dépendances se modélisent par relation structurelle ou par copule gaussienne construite par Cholesky ; $R_T = r - \delta$ induit $\rho(r, R_T) = \sigma_r/\sqrt{\sigma_r^2 + \sigma_\delta^2} = 0{,}78$ dans le cas 3.543\item L'erreur de Monte-Carlo décroît en $N^{-1/2}$ ; pour un quantile, $\operatorname{se}(\hat q_p) = \sqrt{p(1 - p)/N}/f(q_p)$ : à $N = \num{10000}$, \dollars{4100} sur la médiane, \dollars{11000} sur le quantile 95 \%, un demi-point sur une probabilité. La graine du traité est une réalisation à $-2{,}9$ erreurs types sur la médiane ; on le déclare, on ne change pas de graine.544\item L'hypercube latin stratifie chaque marginale ; il divise la variance de la moyenne par 105 sur le cas 3 (modèle quasi additif) mais ne gagne qu'un facteur 1,4 à 2,8 sur les quantiles.545\item VaR 5 \% de \dollars{473372} (\pct{21.4}) et CVaR 5 \% de \dollars{557097} (\pct{25.2}) par rapport à la valeur déterministe ; $P(\DSCR_1 < 1{,}20) = 0{,}5$ exactement (prêt calibré au seuil, médiane de l'inoccupation), $P(\DSCR_1 < 1) = 2 \times 10^{-5}$ ; $P(\DSCR_6 < 1{,}20 \mid +200~\text{pb}) = \pct{1.4}$. Un covenant probabiliste à \pct{10} exige un ratio de base de 1,24.546\item Un stress test déterministe reçoit sa probabilité par la fonction de répartition simulée : hausse des taux du \cref{ch:30}, une chance sur cinq ; sept quantiles défavorables empilés, une chance sur 750.547\item Les indices de Sobol attribuent \pct{53} de la variance de la valeur au taux d'actualisation, \pct{25} à la croissance des loyers de marché, \pct{13} à l'écart terminal, moins de \pct{10} à l'exploitation ; interactions $\approx \pct{1}$ ; même hiérarchie que la tornade et que $\rho_S^2$.548\item En portefeuille, la corrélation entre immeubles gouverne tout : modèle factoriel à deux niveaux (\cref{eq:40:portefeuille-facteur}), ratio de diversification de 0,64 sous corrélation régionale (0,30 ; 0,60) contre 0,20 sous indépendance ; la corrélation ne change pas le nombre moyen de bris de covenant mais épaissit la queue de leur comptage.549\end{itemize}550\end{synthese}551552\section*{Exercices}553\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}554555\begin{exercice}[1]{Élicitation d'une loi log-normale}{ex:40:1}556Un gestionnaire d'immeubles estime qu'il n'y a qu'une chance sur vingt que l'inoccupation et les pertes d'un immeuble de Rosemont soient inférieures à \pct{2.4} et une chance sur vingt qu'elles dépassent \pct{6.3}. Déduisez-en les paramètres d'une loi log-normale par l'\cref{eq:40:elicitation}, puis calculez sa moyenne, son écart-type et la probabilité que l'inoccupation dépasse \pct{5}. Comparez à la loi retenue au cas 3 (médiane \pct{3.9}, $\sigma_{\ln} = 0{,}30$) et expliquez pourquoi la moyenne diffère de la médiane.557\end{exercice}558559\begin{exercice}[1]{Triangulaire ou bêta-PERT}{ex:40:2}560La rotation annuelle du cas 3 est tirée dans une loi triangulaire de paramètres (0,08 ; 0,15 ; 0,25). Calculez sa moyenne, son écart-type et ses quantiles 5 et 95 \% par l'\cref{eq:40:triangulaire}, puis les paramètres $\alpha$ et $\beta$, la moyenne, l'écart-type et les mêmes quantiles de la loi bêta-PERT construite sur les trois mêmes valeurs (\cref{eq:40:pert}, $\lambda = 4$). Laquelle des deux lois donne le plus de poids aux rotations supérieures à \pct{20} ? Dans quel cas ce choix importerait-il pour la valeur, compte tenu du \cref{tab:40:sobol} ?561\end{exercice}562563\begin{exercice}[2]{Nombre de tirages requis}{ex:40:3}564Pour le cas 3, l'erreur type de la médiane simulée à $N = \num{10000}$ est de \dollars{4135} et la densité de la valeur à la médiane de $1{,}21 \times 10^{-6}$ par dollar. Par l'\cref{eq:40:n-requis}, combien de tirages faut-il pour que l'intervalle de confiance à \pct{95} de la médiane ait une demi-largeur de \dollars{5000} ? de \dollars{1000} ? Combien pour estimer une probabilité voisine de 0,5 à un point de pourcentage près ? à un demi-point ? Commentez le rapport entre ces effectifs et la précision avec laquelle les lois des intrants sont elles-mêmes connues.565\end{exercice}566567\begin{exercice}[2]{Copule gaussienne à la main}{ex:40:4}568On veut tirer le taux d'actualisation $r \sim \mathcal{N}(0{,}0725 ; 0{,}005^2)$ et le taux terminal $R_T \sim \mathcal{N}(0{,}05 ; 0{,}0064^2)$ avec une corrélation de $0{,}78$. Écrivez la matrice de Cholesky $\mathbf{L}$ de l'\cref{eq:40:cholesky}, vérifiez que $\mathbf{L}\mathbf{L}\T$ redonne la matrice de covariance, puis, pour les deux tirages normaux centrés réduits $(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = (1{,}2 ; -0{,}5)$, calculez $(r, R_T)$. Quelle corrélation de Spearman cette copule induit-elle (\cref{eq:40:copule}) ? Montrez enfin que la construction $R_T = r - \delta$ du cas 3 est un cas particulier de cette copule et retrouvez $\rho = 0{,}78$.569\end{exercice}570571\begin{exercice}[3]{VaR, CVaR et approximation normale}{ex:40:5}572À partir des \num{10000} valeurs simulées du cas 3 (script \texttt{ch40\_montecarlo.py}, fonction \texttt{monte\_carlo}), calculez la VaR et la CVaR au niveau \pct{10} par rapport à la valeur déterministe de \dollars{2208566}, puis les mêmes mesures sous l'hypothèse que la valeur suit une loi normale de même moyenne et de même écart-type (\cref{eq:40:cvar-normale}). Expliquez le signe de l'écart par la forme de la distribution simulée. Quelle mesure un prêteur qui garantit \pct{75} de la valeur devrait-il regarder, et pourquoi la CVaR est-elle préférable à la VaR pour agréger le risque de plusieurs prêts ?573\end{exercice}574575\begin{exercice}[3]{Incertitude doublée sur le taux d'actualisation}{ex:40:6}576Reprenez la simulation du cas 3 avec la même graine en portant l'écart-type du taux d'actualisation de 50 à 100 points de base, toutes autres lois inchangées (la construction $R_T = r - \delta$ étant maintenue). Rapportez la médiane, l'écart-type, le coefficient de variation, l'intervalle à \pct{90} et la probabilité que la valeur soit inférieure à deux millions de dollars ; comparez à la simulation de base. Pourquoi la médiane bouge-t-elle à peine alors que l'écart-type augmente de plus de moitié ? Quelle part de la variance l'indice de Sobol du taux d'actualisation devrait-il désormais représenter, approximativement, si le modèle est additif ? Rédigez en 150 mots la phrase du rapport qui présente ce résultat à un client.577\end{exercice}578579\section*{Pour aller plus loin}580\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}581582Les deux articles fondateurs de la simulation en immobilier restent lisibles et instructifs : \textcite{pyhrr1973} construit le premier modèle de simulation du risque d'un investissement immobilier et discute déjà l'élicitation des lois et la corrélation entre intrants, et \textcite{wofford1978} transpose l'approche à l'évaluation en remplaçant la valeur ponctuelle par une distribution. La renaissance du sujet doit beaucoup à \textcite{frenchGabrielli2004}, qui posent le problème de l'incertitude de l'évaluation et de sa communication, puis à \textcite{frenchGabrielli2005}, qui proposent un DCF à intrants probabilistes élicités auprès de l'évaluateur ; \textcite{hoesliJaniBender2006} offrent la mise en œuvre la plus complète, avec des lois calibrées sur des séries de marché et un taux d'actualisation lié aux taux sans risque, et signalent le biais de convexité. \textcite{byrne1996} traite du risque et de la décision en développement immobilier, où la méthode résiduelle amplifie l'incertitude des intrants, et constitue le meilleur pont vers le \cref{ch:41}. Pour les déterminants des taux de capitalisation et la justification d'une forte corrélation entre taux d'actualisation et taux terminal, \textcite{sivitanidouSivitanides1999} et \textcite{chervachidzeWheaton2013} sont les références empiriques, et \textcite{ducaLing2020} analysent les chocs de prime de risque sur les marchés commerciaux. Le traitement général de l'analyse d'investissement immobilier sous incertitude, avec sensibilité, scénarios et simulation, se trouve chez \textcite{baumCrosbyDevaney2021} et chez \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014}. Enfin, \textcite{gelman2013} fournit le cadre bayésien dans lequel la simulation de ce chapitre s'interprète comme une distribution prédictive, lien que le \cref{ch:39} développe.583