spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Cas 4 : portefeuille multirésidentiel interrégional}\label{ch:48}23Les trois dossiers précédents évaluaient un immeuble à la fois. Le présent chapitre change d'échelle : le bien évalué est un portefeuille de quarante-huit immeubles locatifs, de six à soixante-douze logements chacun, répartis dans les six régions métropolitaines de recensement du Québec pour lesquelles l'ouvrage dispose d'indicateurs de marché complets. Le client fictif est un fonds de placement immobilier qui doit présenter la valeur de ses actifs à ses porteurs de parts et à ses prêteurs ; il ne demande pas quarante-huit rapports, mais une opinion cohérente sur l'ensemble, assortie d'une mesure de l'incertitude agrégée et d'une analyse des risques que ni la capitalisation directe ni le flux actualisé d'un immeuble isolé ne peuvent révéler : la concentration géographique, la corrélation des revenus et des taux entre régions, l'échéancier de la dette et l'exposition aux zones inondables. Le chapitre mobilise donc les outils des parties consacrées à l'économétrie et aux évaluations particulières, que les chapitres de méthode ont présentés séparément : la régression comme modèle d'évaluation de masse (\cref{ch:18}, \cref{ch:33}), les statistiques de ratio de l'IAAO (\cref{ch:09}), la lecture des risques géospatiaux et environnementaux (\cref{ch:38}, \cref{ch:43}), les panels de revenus (\cref{ch:36}) et la simulation de Monte-Carlo avec dépendance (\cref{ch:40}). Il montre comment ces outils s'enchaînent dans un mandat réel et, surtout, pourquoi la valeur d'un portefeuille n'est pas une simple addition : la somme des valeurs individuelles est bien la valeur marchande de l'ensemble lorsque chaque immeuble est évalué séparément, mais le risque de cette somme est inférieur à la somme des risques, et c'est cette différence qui intéresse le prêteur et l'investisseur. Toutes les données du dossier sont synthétiques ; chaque ordre de grandeur est calibré sur des publications publiques citées au fil du texte.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item définir le mandat d'une évaluation de portefeuille (client, usage, base de valeur, unité d'évaluation, date, hypothèses) et distinguer ce qu'une évaluation de masse peut et ne peut pas remplacer dans une évaluation individuelle ;9\item construire le sommaire d'un portefeuille par région : taux global pondéré, valeur par logement, ratio prêt-valeur, distribution des tailles, des âges et des états, indices de concentration ;10\item relier les écarts de taux entre régions aux indicateurs publics des marchés locatifs (loyers, inoccupation, démographie, projections) et expliquer pourquoi le taux pondéré d'une région n'est ni sa médiane ni sa moyenne simple ;11\item estimer un modèle d'évaluation de masse du taux global (état, taille, âge, risques, région), interpréter ses coefficients en points de base, prédire la valeur de chaque immeuble et contrôler la cohérence par les statistiques de ratio de l'IAAO ;12\item mesurer la croissance, la volatilité et la corrélation des revenus nets d'un portefeuille sur dix ans, isoler un choc commun et en tirer les paramètres d'une simulation ;13\item analyser la dette d'un portefeuille : service de la dette sous une hypothèse d'amortissement déclarée, ratio de couverture agrégé et individuel, échéancier, renouvellement à des taux majorés et besoin de refinancement ;14\item agréger l'incertitude par une simulation de Monte-Carlo à corrélation régionale (copule gaussienne, décomposition de Cholesky), démontrer la sous-additivité de la valeur à risque dans ce cadre et en déduire une fourchette pour la valeur du portefeuille ;15\item classer les immeubles selon le rendement courant, la croissance et le risque, tracer une frontière rendement-risque par région et motiver des recommandations de cession ou de conservation sans confondre valeur marchande et valeur d'investissement.16\end{itemize}17\end{objectifs}1819\begin{synthetique}[Données synthétiques — portefeuille fictif de 48 immeubles]20Le portefeuille de ce chapitre et toutes les données qui l'entourent sont \emph{synthétiques}. Le fichier \texttt{data/synthetic/cas4\_portefeuille.csv} décrit 48 immeubles fictifs (identifiants P01 à P48) répartis dans six régions métropolitaines : Montréal, Québec, Gatineau (partie québécoise de la RMR d'Ottawa-Gatineau), Sherbrooke, Trois-Rivières et Saguenay. Pour chacun, il donne la position (latitude, longitude), le nombre de logements, l'année de construction, une cote d'état de 1 à 5, le loyer mensuel moyen, le revenu brut potentiel, le taux d'inoccupation du marché régional, le ratio de dépenses, le revenu net d'exploitation normalisé de 2026, deux indicateurs de risque (zone inondable, contamination du sol), le taux global retenu dans l'évaluation individuelle la plus récente, la valeur qui en résulte, la dette hypothécaire, son taux et son année d'échéance. Le fichier \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv} contient le revenu net trimestriel de chaque immeuble de 2016T1 à 2026T2 (42 trimestres, \num{2016} observations). Les deux fichiers ont été générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} avec la graine \texttt{20261031} selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} : loyers et inoccupation calibrés sur l'Enquête sur les logements locatifs de la SCHL d'octobre 2025 pour chaque RMR ; taux globaux régionaux calibrés sur les fourchettes publiées par CBRE pour le multirésidentiel de faible hauteur de catégorie B à Montréal et à Québec au troisième trimestre de 2026, et posés par hypothèse pour les quatre autres régions, faute de publication (prime de 0 à 100 points de base sur le taux de Québec) ; effets de l'état ($-3$ \% du taux par point), de la zone inondable ($+5$ \%) et de la contamination ($+3$ \%) posés par hypothèse pédagogique ; séries de revenus construites comme une tendance régionale (de \pct{2.0} à \pct{4.0} par an) à laquelle s'ajoutent une marche aléatoire propre à chaque immeuble et un choc commun de $-3$ \% pendant la pandémie (2020T2 à 2021T2). Les effets estimés dans ce chapitre sont donc des propriétés du jeu synthétique, utiles pour apprendre la méthode, et non des mesures du marché québécois. Tous les chiffres sont recalculés par \texttt{analysis/python/cases/ch48\_portefeuille.py}, qui s'appuie sur la bibliothèque partagée \texttt{traite/cas4.py} (fonctions \texttt{sommaire}, \texttt{croissance\_rne}, \texttt{effets\_regionaux}) utilisée aussi aux \cref{ch:33}, \cref{ch:36}, \cref{ch:38}, \cref{ch:40} et \cref{ch:43}, et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch48.py}.21\end{synthetique}2223\section{Mandat et étendue de la mission}\label{sec:48:mandat}2425Le client fictif est un fonds de placement immobilier à capital fermé, détenu par une caisse de retraite et quelques investisseurs institutionnels, propriétaire des quarante-huit immeubles par l'intermédiaire de sociétés en commandite régionales. Il demande une opinion de la valeur marchande de chacun des immeubles et de l'ensemble à la date du 30~juin 2026, date de clôture de son exercice, à deux fins distinctes qui doivent être écrites en toutes lettres dans le mandat : le rapport financier annuel destiné aux porteurs de parts, et le renouvellement d'une facilité de crédit d'ensemble pour laquelle le prêteur exige une opinion indépendante de la valeur et une analyse de la couverture de la dette. La Norme de pratique 2 de l'Ordre des évaluateurs agréés du Québec exige l'identification du client, de la fin et du but du rapport, et le Code de déontologie interdit d'agir pour plus d'une partie sans divulgation écrite \parencite{oeaqNormes,deontOEAQ} ; ici, le client est le fonds, et le prêteur est un utilisateur désigné du rapport, ce qui est permis si le rapport le précise et si l'évaluateur n'a aucun intérêt dans la facilité de crédit.2627La base de valeur est la valeur marchande, telle que la définissent les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ (\cref{ch:02}, \cref{ch:47}). Deux précisions s'imposent pour un portefeuille. La première touche la relation entre valeur marchande et base de valeur comptable : le référentiel d'information financière du fonds exige la mesure de ses immeubles de placement à la juste valeur, notion définie par les normes comptables et non par les normes d'évaluation ; les Normes internationales d'évaluation distinguent explicitement la valeur marchande, base d'évaluation, des bases définies par d'autres référentiels, et demandent que la base retenue soit celle qu'exige l'usage du rapport \parencite{ivs2025}. En pratique, pour des immeubles locatifs sur un marché actif, la juste valeur et la valeur marchande coïncident dans la quasi-totalité des cas, et le rapport l'énonce comme une hypothèse de travail que les vérificateurs du fonds pourront confronter à leur propre référentiel ; l'évaluateur ne se prononce pas sur la conformité comptable, qui ne relève pas de sa compétence. La seconde précision touche l'\emph{unité d'évaluation}. La valeur marchande de l'ensemble n'est pas nécessairement la somme des valeurs individuelles : un acheteur unique d'un portefeuille de quarante-huit immeubles peut payer une prime pour l'accès immédiat à une masse critique dans six marchés, ou exiger une décote pour l'absorber ; les IVS demandent que l'unité d'évaluation, chaque actif séparément ou l'ensemble, soit convenue dans l'étendue des travaux et rappelée à la conclusion \parencite{ivs2025}. Le mandat retient l'évaluation \emph{immeuble par immeuble}, chacun étant présumé vendu séparément sur son marché local, et la valeur du portefeuille est la somme de ces valeurs ; toute prime ou décote de portefeuille est écartée parce qu'aucune preuve de marché ne permet de la mesurer au Québec en 2026, ce qui est dit à la \cref{sec:48:reconciliation}. C'est la convention qu'adoptent la plupart des fonds pour leur rapport financier et c'est celle qu'exige le prêteur, dont les sûretés portent sur chaque immeuble.2829Le droit évalué est, pour chaque immeuble, la pleine propriété grevée des baux résidentiels en vigueur, c'est-à-dire le droit du locateur, puisque l'aliénation d'un immeuble locatif ne permet pas au nouveau locateur de résilier les baux \parencite[art.~1937]{ccq} ; le \cref{ch:47} a développé les conséquences de ce droit sur le revenu de première année et sur le rattrapage des loyers, et le présent chapitre les tient pour acquises : le revenu net d'exploitation normalisé de 2026 de chaque immeuble, fourni par le dossier, est un revenu prospectif aux loyers contractuels, après dépenses normalisées et réserve de remplacement, établi selon les conventions de l'annexe des conventions de calcul et du \cref{ch:28}.3031L'étendue du travail est le point où l'évaluation de portefeuille se distingue le plus de l'évaluation individuelle, et le rapport doit la décrire sans ambiguïté. L'évaluateur n'a pas inspecté quarante-huit immeubles ni analysé quarante-huit états locatifs dans le détail du \cref{ch:47} : il a procédé par \emph{évaluation de masse} au sens du Standard on Mass Appraisal de l'IAAO, c'est-à-dire par un modèle appliqué uniformément à un ensemble de biens à partir de données standardisées, contrôlé par des statistiques de ratio \parencite{iaaomass2025,iaaoratio2013}, en s'appuyant sur les évaluations individuelles les plus récentes de chaque immeuble (réalisées dans les dix-huit mois précédents par le fonds ou ses prêteurs, dont les revenus normalisés et les taux retenus constituent le dossier), sur une inspection par échantillon de douze immeubles choisis pour couvrir chaque région et chaque classe de taille, et sur la mise à jour des indicateurs de marché à la date d'évaluation. Cette méthode est admise pour un rapport financier et pour une facilité de crédit d'ensemble, pourvu que le rapport déclare ce qui a été fait et ce qui ne l'a pas été, et que les immeubles qui s'écartent du modèle soient examinés individuellement ; elle ne remplacerait pas une évaluation individuelle pour la vente d'un immeuble donné ou pour un prêt hypothécaire de premier rang sur cet immeuble. La Norme de pratique 1 exige que l'évaluateur recueille et analyse l'information pertinente « dans la mesure nécessaire » à la crédibilité du résultat ; pour un portefeuille, cette mesure est celle qui rend l'erreur agrégée faible même si l'erreur sur un immeuble donné reste substantielle, et le rapport doit expliquer cette asymétrie au lecteur. Le \cref{tab:48:mandat} résume le mandat.3233\begin{table}[htbp]\centering34\caption{Fiche du mandat (dossier synthétique).}\label{tab:48:mandat}35\small\begin{tabular}{@{}L{4.0cm}L{8.8cm}@{}}36\toprule37Élément & Contenu \\38\midrule39Client et usage prévu & Fonds de placement immobilier (fictif) ; rapport financier annuel aux porteurs de parts ; renouvellement d'une facilité de crédit d'ensemble (prêteur : utilisateur désigné) \\40Bien & 48 immeubles locatifs de 6 à 72 logements (888 logements) dans 6 RMR du Québec \\41Unité d'évaluation & Chaque immeuble séparément, présumé vendu sur son marché local ; valeur du portefeuille = somme ; aucune prime ni décote de portefeuille \\42Droit évalué & Pleine propriété grevée des baux en vigueur (droit du locateur, art.~1937 C.c.Q.) \\43Base de valeur & Valeur marchande, définition des NPP ; présumée égale à la juste valeur du référentiel comptable (hypothèse déclarée) \\44Date d'évaluation & 2026-06-30 ; inspections par échantillon de 12 immeubles (mai-juin 2026) ; date du rapport 2026-10-31 \\45Méthode & Évaluation de masse : revenu (capitalisation directe du RNE normalisé 2026 à un taux expliqué par un modèle régional) ; contrôle par ratios IAAO ; examen individuel des écarts ; analyse de la dette ; simulation de l'incertitude agrégée \\46Hypothèses extraordinaires & Aucune ; hypothèse de travail : les RNE normalisés et les états locatifs fournis par le fonds sont exacts \\47Limites à l'étendue & 36 immeubles non inspectés ; états locatifs non vérifiés bail par bail ; taux de capitalisation non publiés pour quatre RMR ; amortissement des prêts non documenté (hypothèse de 480 mois) \\48Forme du rapport & Rapport narratif de portefeuille avec annexe par immeuble (NPP, règle 2.3) \\49\bottomrule50\end{tabular}51\tabsource{\synth{dossier fictif ; structure selon \textcite{oeaqNormes}, règles 1.2 et 2.3, et \textcite{iaaomass2025}.}}52\end{table}5354\section{Le portefeuille}\label{sec:48:portefeuille}5556\subsection{Sommaire par région}5758Le \cref{tab:48:rmr} et la \cref{fig:48:carte} présentent le portefeuille tel que le décrivent les évaluations individuelles du dossier. Les quarante-huit immeubles totalisent \num{888} logements, une valeur de \dollars{143363000}, un revenu net d'exploitation normalisé de \dollars{7447030} et une dette de \dollars{85766000}. Trois indicateurs agrégés en résument la structure. Le taux global pondéré du portefeuille est le rapport du revenu net agrégé à la valeur agrégée,59\begin{equation}\label{eq:48:taux-pondere}60\bar R = \frac{\sum_i \NOI_i}{\sum_i V_i} = \sum_i \frac{V_i}{\sum_j V_j}\, R_i = \frac{\dollars{7447030}}{\dollars{143363000}} = \pct{5.19},61\end{equation}62c'est-à-dire la moyenne des taux individuels $R_i = \NOI_i / V_i$ pondérée par les valeurs ; il diffère de la moyenne simple des quarante-huit taux (\pct{5.46}) et de leur médiane (\pct{5.59}) parce que les immeubles les plus chers, montréalais pour la plupart, portent les taux les plus bas. Le ratio prêt-valeur agrégé est $\sum_i M_i / \sum_i V_i = \pct{59.8}$, et la valeur par logement, $\sum_i V_i / \sum_i n_i = \dollars{161445}$. Ces trois chiffres sont ceux que le prêteur et les porteurs de parts regardent en premier ; ils cachent une hétérogénéité régionale considérable, que le \cref{ch:33} a déjà relevée en replaçant le douze logements du cas~3 dans la fourchette interrégionale du cas~4.6364\begin{table}[htbp]\centering65\caption{Sommaire du portefeuille par région métropolitaine (données synthétiques, valeurs au 30~juin 2026).}\label{tab:48:rmr}66\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=3.0] S[table-format=9.0] S[table-format=7.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.1] S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=2.1]@{}}67\toprule68RMR & {Imm.} & {Log.} & {Valeur (\$)} & {RNE (\$)} & {$\bar R$ (\%)} & {$R$ méd. (\%)} & {RPV (\%)} & {\$/log.} & {RNE/log. (\$)} & {Part (\%)} \\69\midrule70Montréal & 17 & 316 & 65171000 & 2929282 & 4.49 & 4.60 & 60.2 & 206237 & 9270 & 45.5 \\71Québec & 6 & 200 & 25091000 & 1447345 & 5.77 & 5.67 & 58.3 & 125455 & 7237 & 17.5 \\72Gatineau & 8 & 110 & 20259000 & 1101258 & 5.44 & 5.71 & 61.4 & 184173 & 10011 & 14.1 \\73Sherbrooke & 7 & 132 & 18132000 & 1040704 & 5.74 & 5.71 & 56.1 & 137364 & 7884 & 12.6 \\74Trois-Rivières & 6 & 98 & 11447000 & 719817 & 6.29 & 6.30 & 61.8 & 116806 & 7345 & 8.0 \\75Saguenay & 4 & 32 & 3263000 & 208624 & 6.39 & 6.46 & 67.2 & 101969 & 6520 & 2.3 \\76\midrule77Portefeuille & 48 & 888 & 143363000 & 7447030 & 5.19 & 5.59 & 59.8 & 161445 & 8386 & 100.0 \\78\bottomrule79\end{tabular}80\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille.csv} ; \texttt{traite/cas4.py}, fonction \texttt{sommaire} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}. $\bar R$ = RNE agrégé / valeur agrégée (\cref{eq:48:taux-pondere}) ; RPV = dette / valeur ; part = part de la valeur du portefeuille. Étendue des taux : Montréal 4,00--5,48 ; Québec 5,50--6,14 ; Gatineau 5,10--6,10 ; Sherbrooke 5,34--6,01 ; Trois-Rivières 6,05--7,00 ; Saguenay 5,66--7,17 \%.}}81\end{table}8283\begin{figure}[htbp]\centering84\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-carte.pdf}85\caption{Carte schématique des six régions métropolitaines du portefeuille : la surface des cercles est proportionnelle à la valeur agrégée des immeubles de la région, les points situent chaque immeuble (surface proportionnelle au nombre de logements), les anneaux signalent les trois immeubles en zone inondable et les deux immeubles dont le sol est contaminé. Montréal concentre \pct{45.5} de la valeur ; Saguenay, \pct{2.3}.}86\label{fig:48:carte}87\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031 ; coordonnées des centres : Base de données toponymiques du Canada (RNCan), comme à la \cref{fig:4:carte}.}}88\end{figure}8990Montréal, avec dix-sept immeubles et \num{316} logements, représente \pct{45.5} de la valeur mais seulement \pct{39.3} du revenu net : son taux pondéré de \pct{4.49} est le plus bas des six régions, dans la fourchette de \pct{4.25} à \pct{4.75} publiée par CBRE pour le multirésidentiel de faible hauteur de catégorie B au troisième trimestre de 2026 \parencite{cbrecaprates2026q3}, et sa valeur par logement, \dollars{206237}, est la plus élevée. Québec, Gatineau et Sherbrooke forment un deuxième groupe, avec des taux pondérés de \pct{5.44} à \pct{5.77}, cohérents avec la fourchette de \pct{5.00} à \pct{6.00} que CBRE publie pour la ville de Québec ; leurs valeurs par logement diffèrent pourtant du simple au double entre Québec (\dollars{125455}) et Gatineau (\dollars{184173}), parce que les immeubles gatinois du portefeuille sont petits, bien loués (\dollars{1412} par mois en moyenne, le loyer le plus élevé des six régions, comme l'est le loyer moyen de deux chambres de la SCHL pour la RMR de Gatineau, \dollars{1460} en octobre 2025 \parencite{schlLocatif2025}) et dégagent \dollars{10011} de revenu net par logement, contre \dollars{7237} à Québec, où le portefeuille détient de grands immeubles anciens et moins bien loués. Trois-Rivières et Saguenay, pour lesquels aucun taux n'est publié, portent des taux pondérés de \pct{6.29} et \pct{6.39} posés par hypothèse dans le jeu synthétique, et des valeurs par logement de \dollars{116806} et \dollars{101969}. Le ratio prêt-valeur varie de \pct{56.1} (Sherbrooke) à \pct{67.2} (Saguenay) ; cette dispersion, modeste, deviendra importante à la \cref{sec:48:risques} lorsque la couverture de la dette sera examinée immeuble par immeuble.9192La \cref{fig:48:rmr} met en regard la valeur par logement et la distribution des taux de chaque région. Deux lectures en ressortent. D'abord, la hiérarchie des taux pondérés suit celle des régions plutôt que celle des immeubles : à l'intérieur de chaque région, l'étendue des taux (de \num{1.5} point à Montréal à \num{0.7} point à Sherbrooke) est du même ordre que l'écart entre les régions voisines, mais l'écart entre Montréal et Trois-Rivières, \num{180} points de base, excède toute dispersion intrarégionale ; le \cref{ch:33} avait quantifié ce fait en montrant que l'effet de région est six fois l'effet de taille. Ensuite, le taux pondéré d'une région peut s'écarter sensiblement de sa médiane : à Gatineau, la médiane des huit immeubles est \pct{5.71} alors que le taux pondéré est \pct{5.44}, parce que l'immeuble P45, de trente-six logements et d'une valeur de \dollars{7186000}, soit \pct{35} de la valeur gatinoise, porte un taux de \pct{5.10} ; un lecteur qui comparerait des médianes régionales sans tenir compte des poids commettrait, à l'échelle du portefeuille, l'erreur que la \cref{eq:48:taux-pondere} évite.9394\begin{figure}[htbp]\centering95\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-rmr.pdf}96\caption{Valeur 2026 par logement (gauche ; barres = valeur agrégée sur logements de la région, ratio prêt-valeur inscrit à la base, trait pointillé = portefeuille) et taux global par région (droite ; points = immeubles, trait vertical = étendue, barre horizontale = taux pondéré, rectangles gris = fourchettes CBRE du troisième trimestre 2026 pour la faible hauteur de catégorie B à Montréal et à Québec). Les régions se distinguent par leur taux autant que par leur niveau de loyer.}97\label{fig:48:rmr}98\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031 ; fourchettes : \textcite{cbrecaprates2026q3}, consulté le 31~octobre 2026.}}99\end{figure}100101\subsection{Tailles, âges, états et concentration}102103Le \cref{tab:48:distribution} décrit la composition du portefeuille selon trois dimensions qui, au \cref{ch:33}, se sont révélées déterminantes pour le taux : la taille, l'âge et l'état. Le portefeuille est dominé en nombre par les petits immeubles (vingt immeubles de six ou huit logements, soit \pct{42} des immeubles mais \pct{14.5} de la valeur) et en valeur par les grands (six immeubles de quarante-huit logements et un de soixante-douze, soit \pct{38.7} de la valeur). Les taux médians par classe de taille ne décroissent pas régulièrement avec le nombre de logements, de \pct{5.74} pour six logements à \pct{5.07} pour quarante-huit, puis \pct{6.14} pour l'unique immeuble de soixante-douze logements : c'est l'effet de confusion entre la taille et la région que le \cref{ch:33} a analysé, les grands immeubles du portefeuille étant surtout situés hors de Montréal et le soixante-douze logements, à Québec, étant en zone inondable ; seule la régression de la \cref{sec:48:masse} restitue l'effet propre de la taille. L'âge moyen est de cinquante-cinq ans ; quatorze immeubles ont soixante-cinq ans ou plus, et deux seulement ont moins de trente ans (P42, construit en 2018 à Montréal, et P23, construit en 2000 à Sherbrooke). L'état est moyen (cote 3) pour vingt-six immeubles ; douze sont cotés 1 ou 2 et dix sont cotés 4 ou 5 ; les deux immeubles cotés 5 se vendent au taux médian le plus bas (\pct{4.85}), mais ils sont tous deux récents ou montréalais, et l'effet de l'état ne se lit, là encore, qu'à caractéristiques égales.104105\begin{table}[htbp]\centering106\caption{Distribution du portefeuille selon la taille, l'âge et l'état (données synthétiques).}\label{tab:48:distribution}107\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=3.0] S[table-format=8.0] S[table-format=2.1] S[table-format=1.2] l@{}}108\toprule109Classe & {Imm.} & {Log.} & {Valeur (\$)} & {Part (\%)} & {$R$ méd. (\%)} & Remarque \\110\midrule111\multicolumn{7}{@{}l}{\emph{Taille (logements)}} \\1126 & 12 & 72 & 9979000 & 7.0 & 5.74 & 5 RMR représentées \\1138 & 8 & 64 & 10821000 & 7.5 & 5.69 & \\11412 & 7 & 84 & 14809000 & 10.3 & 5.19 & \\11516 & 8 & 128 & 22356000 & 15.6 & 5.39 & \\11624 & 3 & 72 & 13205000 & 9.2 & 5.05 & Montréal (2), Sherbrooke \\11736 & 3 & 108 & 16764000 & 11.7 & 5.64 & Gatineau, Sherbrooke (2) \\11848 & 6 & 288 & 48200000 & 33.6 & 5.07 & Montréal (3), Québec (2), Trois-Rivières \\11972 & 1 & 72 & 7229000 & 5.0 & 6.14 & Québec, zone inondable (P36) \\120\midrule121\multicolumn{7}{@{}l}{\emph{Âge au 30 juin 2026}} \\122Moins de 30 ans & 2 & 72 & 13511000 & 9.4 & 5.14 & état moyen 4,0 \\12330 à 49 ans & 15 & 280 & 45045000 & 31.4 & 5.67 & état moyen 2,9 \\12450 à 64 ans & 17 & 344 & 49364000 & 34.4 & 5.74 & état moyen 2,8 \\12565 ans et plus & 14 & 192 & 35443000 & 24.7 & 5.10 & état moyen 3,0 ; 7 à Montréal \\126\midrule127\multicolumn{7}{@{}l}{\emph{État (cote de 1 à 5)}} \\1281 & 3 & 38 & 6571000 & 4.6 & 5.48 & loyer moyen 1~404~\$ \\1292 & 9 & 182 & 32251000 & 22.5 & 5.57 & loyer moyen 1~190~\$ \\1303 & 26 & 550 & 82454000 & 57.5 & 5.65 & loyer moyen 1~185~\$ \\1314 & 8 & 78 & 13385000 & 9.3 & 5.42 & loyer moyen 1~191~\$ \\1325 & 2 & 40 & 8702000 & 6.1 & 4.85 & loyer moyen 1~447~\$ \\133\bottomrule134\end{tabular}135\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille.csv} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{sommaire\_etendu}. Les logements par classe d'âge et d'état sont calculés par le script ; les taux médians bruts sont confondus avec l'effet de région (voir \cref{sec:48:masse}).}}136\end{table}137138La concentration du portefeuille se mesure par l'indice de Herfindahl-Hirschman des parts de valeur,139\begin{equation}\label{eq:48:hhi}140H = \sum_k w_k^2, \qquad w_k = \frac{V_k}{\sum_j V_j}, \qquad n_{\text{éq}} = \frac{1}{H},141\end{equation}142dont l'inverse $n_{\text{éq}}$ est le nombre d'unités de même poids qui produiraient la même concentration. Par région, $H = \num{0.280}$ et $n_{\text{éq}} = \num{3.6}$ : six régions nominales, mais l'équivalent de trois ou quatre régions de poids égal, à cause de la part montréalaise. Par immeuble, $H = \num{0.0364}$ et $n_{\text{éq}} = \num{27.5}$ : quarante-huit immeubles nominaux, mais l'équivalent de vingt-sept ou vingt-huit immeubles de même valeur, les cinq plus grands (P26, P42, P09, P36 et P45) totalisant \pct{30.8} de la valeur. Ces indices n'ont pas de seuil normatif en évaluation ; ils servent à la \cref{sec:48:montecarlo} pour expliquer pourquoi la diversification réduit le risque moins que le nombre d'immeubles ne le laisserait croire, et à la \cref{sec:48:allocation} pour motiver les recommandations.143144\section{Les marchés régionaux à la date d'évaluation}\label{sec:48:marches}145146L'analyse de marché d'un portefeuille interrégional ne peut se contenter de décrire six marchés l'un après l'autre ; elle doit expliquer les \emph{écarts} entre eux, parce que ce sont ces écarts, traduits en taux de capitalisation, qui font la valeur relative des immeubles. Le \cref{tab:48:marches} rassemble, pour chaque région, les indicateurs publics retenus : la population et sa croissance, les projections démographiques, le loyer moyen et l'inoccupation de l'Enquête sur les logements locatifs de la SCHL, la variation des loyers, le prix médian des plex et, lorsqu'ils existent, les taux de capitalisation publiés. Toutes ces données sont réelles et citées avec leur source ; le \cref{ch:04} les a présentées dans leur contexte, et nous n'en retenons ici que ce qui éclaire le portefeuille.147148\begin{table}[htbp]\centering149\caption{Indicateurs des six marchés régionaux à la date d'évaluation (sources publiques, consultées le 31~octobre 2026 ; aucune donnée synthétique).}\label{tab:48:marches}150\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}\begin{tabular}{@{}L{2.5cm} S[table-format=7.0] l S[table-format=4.0] l l S[table-format=6.0] l@{}}151\toprule152RMR & {Population 2025} & Proj. 2025--2051 & {Loyer 2~ch. (\$)} & Inocc. 2025 (2024) & Var. loyers & {Plex T3 2026 (\$)} & Taux CBRE (LR~B) \\153\midrule154Montréal & 4597837 & $-3$ \% & 1346 & 2,9 \% (2,1) & +7,4 \% & 860500 & 4,25--4,75 \% \\155Québec & 903607 & +16 \% & 1277 & 2,4 \% (0,9) & +6,4 \% & 600000 & 5,00--6,00 \% \\156Gatineau (partie QC) & 374226 & n. d. & 1460 & 3,8 \% (1,9) & +4,5 \% & 617500 & non publié \\157Sherbrooke & 243911 & n. d. & 1062 & 2,7 \% (1,4) & +9,8 \% & 544500 & non publié \\158Trois-Rivières & 174316 & n. d. & 1016 & 2,7 \% (0,9) & +7,3 \% & 420000 & non publié \\159Saguenay & 170192 & $-6$ \% & 985 & 1,3 \% (1,6) & +12,5 \% & 373500 & non publié \\160\bottomrule161\end{tabular}162\tabsource{population au 1\textsuperscript{er} juillet 2025 : \textcite{statcanpoprmr}, tableau 17-10-0148-01 ; projections (scénario de référence, RMR) : \textcite{isqprojections2026}, communiqué du 9~juillet 2026, qui ne publie pas de chiffre pour les trois RMR marquées « n. d. » ; loyer moyen des logements de deux chambres, taux d'inoccupation (tous logements, immeubles d'initiative privée de trois logements et plus) et variation des loyers « tous logements » : \textcite{schlLocatif2025,schlrmltables2025}, octobre 2025 ; prix médian des plex (2 à 5 logements) : \textcite{apciqt32026}, troisième trimestre 2026 ; taux de capitalisation du multirésidentiel de faible hauteur de catégorie B : \textcite{cbrecaprates2026q3}.}163\end{table}164165La lecture des écarts de taux commence par les loyers et l'inoccupation. Le niveau des loyers va du simple au moins qu'au double, de \dollars{985} pour un deux-chambres à Saguenay à \dollars{1460} à Gatineau et \dollars{1346} à Montréal ; il détermine le revenu par logement, non le taux. L'inoccupation, remontée partout en 2025 après les creux historiques de 2023 et 2024, reste basse : \pct{2.9} à Montréal, \pct{2.4} à Québec, \pct{3.8} à Gatineau, \pct{2.7} à Sherbrooke et à Trois-Rivières, \pct{1.3} à Saguenay \parencite{schlLocatif2025}. Ces taux sont ceux que le dossier synthétique applique au revenu de chaque immeuble (colonne \texttt{taux\_inoccupation\_marche}) ; ils expliquent peu les écarts de taux de capitalisation, puisque la région la plus tendue, Saguenay, porte le taux le plus élevé. La croissance des loyers à échantillon constant a été forte partout en 2025, de \pct{4.5} à Gatineau à \pct{12.5} à Saguenay ; une croissance passée élevée dans une petite région n'est pas un signal de croissance future élevée, et la \cref{sec:48:dynamique} montrera que la croissance des revenus nets du portefeuille, sur dix ans, est au contraire la plus faible à Saguenay.166167La démographie fournit la clé des écarts. Les six régions regroupent \pct{71.4} de la population québécoise, et Montréal seule la moitié \parencite{statcanpoprmr,isqmunicipalites2026}. Les projections de l'Institut de la statistique du Québec publiées le 9~juillet 2026 prévoient, dans leur scénario de référence, une population provinciale en léger recul puis stable, avec des trajectoires régionales divergentes à l'horizon 2051 : $-3$ \% pour la RMR de Montréal, $+16$ \% pour celle de Québec et $-6$ \% pour Saguenay \parencite{isqprojections2026}. Pour un investisseur qui détient des immeubles pendant dix ans ou plus, ces projections sont l'information la plus pertinente sur la demande structurelle de logements locatifs : elles disent dans quelles régions la vacance frictionnelle est susceptible de rester basse et le rattrapage des loyers de se poursuivre, et dans lesquelles l'immeuble vieillissant devra lutter pour conserver ses locataires. Elles n'expliquent toutefois pas à elles seules la hiérarchie des taux : Québec, dont la croissance projetée est la plus forte, se négocie à un taux supérieur de 130 points de base à celui de Montréal. La différence tient à la \emph{liquidité} et à la \emph{profondeur} du marché des immeubles : le marché montréalais du multirésidentiel attire des acheteurs institutionnels nationaux et internationaux, avec un volume d'investissement de 2,9 milliards de dollars au premier semestre de 2026 selon Altus (cité au \cref{ch:47}), alors que les marchés des villes moyennes sont le fait d'investisseurs privés régionaux, moins nombreux, dont le coût du capital est plus élevé et la tolérance à l'illiquidité moindre. La littérature sur les déterminants des taux de capitalisation attribue ces écarts durables entre marchés à la prime de liquidité et à la prime de risque locales davantage qu'aux fondamentaux courants \parencite{sivitanidouSivitanides1999,sivitanidesTortoWheaton2003}, et les cycles communs aux conditions des marchés de capitaux \parencite{chervachidzeWheaton2013,ducaLing2020}. Pour le portefeuille, l'implication est double : les écarts de taux entre régions sont persistants, ce qui justifie de les modéliser par des effets fixes régionaux à la \cref{sec:48:masse} ; et leur composante commune, liée aux taux d'intérêt, fera l'objet d'un facteur national dans la simulation de la \cref{sec:48:montecarlo}.168169Le marché des capitaux, enfin, est commun aux six régions. À la date d'évaluation, le taux directeur de la Banque du Canada est de \pct{2.25}, niveau maintenu depuis le 29~octobre 2025 ; il sera relevé à \pct{2.50} le 28~octobre 2026, après la date d'évaluation mais avant la date du rapport, ce que le rapport mentionne comme un fait postérieur sans en tenir compte dans la valeur \parencite{bdc20261028}. Le rendement des obligations du gouvernement du Canada à dix ans est de \pct{3.84} au 29~octobre 2026 \parencite{bdcvalet}, et les taux effectifs des prêts hypothécaires assurés à taux fixe de cinq ans et plus avancés par les banques étaient de \pct{4.12} en août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026}. La dette du portefeuille porte un taux moyen pondéré de \pct{4.52}, légèrement supérieur, parce qu'elle a été contractée à des dates diverses entre 2022 et 2026 ; l'écart entre le taux pondéré de capitalisation du portefeuille (\pct{5.19}) et l'obligation à dix ans (\num{135} points de base) est inférieur à l'écart national de \num{256} points de base que CBRE relève pour l'ensemble des catégories d'immeubles, signe de la compression persistante des taux résidentiels \parencite{cbrecaprates2026q3}.170171\section{Modèle d'évaluation de masse}\label{sec:48:masse}172173\subsection{Spécification et estimation}174175Le dossier fournit, pour chaque immeuble, un revenu net normalisé et un taux global retenu lors de son évaluation individuelle. La question que pose l'évaluation de portefeuille est celle de la \emph{cohérence} de ces quarante-huit taux entre eux et avec le marché à la date d'évaluation : des taux choisis par des évaluateurs différents, à des dates différentes, pour des prêteurs différents, ne forment pas nécessairement un ensemble cohérent, et le rapport financier exige qu'ils le soient. L'outil est un modèle d'évaluation de masse du taux global, c'est-à-dire une régression qui explique le logarithme du taux de chaque immeuble par ses caractéristiques observables et par sa région, puis sert de référence pour repérer les immeubles dont le taux s'écarte de ce que leurs caractéristiques prédisent. C'est la régression que le \cref{ch:33} a introduite (\cref{eq:33:modele}) et que la fonction \texttt{effets\_regionaux} du module \texttt{traite.cas4} estime ; nous en reprenons exactement les coefficients, de sorte que les chiffres des deux chapitres coïncident :176\begin{equation}\label{eq:48:modele}177\ln R_i = \beta_0 + \beta_e\,(e_i - 3) + \beta_n \ln\frac{n_i}{12} + \beta_z z_i + \beta_s s_i + \beta_a \frac{a_i - 50}{10} + \sum_{r \neq \text{Mtl}} \gamma_r\,\mathbb{1}[\text{RMR}_i = r] + \varepsilon_i,178\end{equation}179où $e_i$ est la cote d'état, $n_i$ le nombre de logements, $z_i$ et $s_i$ les indicatrices de zone inondable et de contamination du sol, $a_i$ l'âge, et $\gamma_r$ l'effet de la région $r$ par rapport à Montréal. Le centrage des régresseurs (état 3, douze logements, cinquante ans) donne à la constante un sens direct : $e^{\beta_0}$ est le taux prédit d'un immeuble montréalais de douze logements, d'état moyen, de cinquante ans, sans risque. La forme semi-logarithmique rend les effets multiplicatifs : l'effet d'une indicatrice sur le taux, en proportion, est180\begin{equation}\label{eq:48:effet}181\frac{\Delta R}{R} = e^{\hat\beta} - 1,182\end{equation}183avec, pour les indicatrices, la mise en garde de \textcite{halvorsenPalmquist1980} sur l'interprétation directe des coefficients. L'estimation par moindres carrés ordinaires, avec erreurs-types robustes à l'hétéroscédasticité \parencite{white1980}, est présentée au \cref{tab:48:coefficients}. Le modèle explique \pct{88.3} de la variance du logarithme du taux ($R^2$ ajusté \pct{85.2}) avec un écart-type résiduel de \num{0.0537}, soit environ \pct{5.4} du taux ou \num{28} points de base au taux pondéré du portefeuille ; c'est la dispersion que le jeu synthétique a introduite par construction (loi log-normale d'écart-type \num{0.06}), et elle servira de paramètre à la simulation de la \cref{sec:48:montecarlo}.184185\begin{table}[htbp]\centering186\caption{Modèle d'évaluation de masse du taux global : coefficients, erreurs-types HC1, effets en proportion du taux et en points de base au taux pondéré du portefeuille (données synthétiques, $n = 48$).}\label{tab:48:coefficients}187\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{4.6cm} S[table-format=-1.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-3.1] S[table-format=-2.1] S[table-format=-3.1] l@{}}188\toprule189Variable & {$\hat\beta$} & {é.-t. HC1} & {$t$} & {Effet (\% du taux)} & {Effet (pb à 5,20 \%)} & IC à 95 \% de l'effet (\%) \\190\midrule191Constante (Montréal, état 3, 12 log., 50 ans) & -3.0783 & 0.0176 & -174.6 & {$e^{\hat\beta_0}$ = 4,60 \%} & {—} & 4,54 à 4,67 \% (taux) \\192État (par point, 1 à 5) & -0.0405 & 0.0105 & -3.9 & -4.0 & -20.6 & $-5{,}9$ à $-2{,}0$ \\193$\ln$(logements / 12) & -0.0315 & 0.0122 & -2.6 & -3.1 & -16.1 & $-5{,}4$ à $-0{,}8$ \\194Zone inondable & 0.0756 & 0.0347 & 2.2 & 7.9 & 40.9 & 0,8 à 15,4 \\195Contamination du sol & 0.0536 & 0.0288 & 1.9 & 5.5 & 28.6 & $-0{,}3$ à 11,6 \\196Âge (par décennie) & -0.0070 & 0.0061 & -1.1 & -0.7 & -3.6 & $-1{,}9$ à 0,5 \\197RMR de Québec & 0.2377 & 0.0207 & 11.5 & 26.8 & 139.5 & 21,8 à 32,1 \\198RMR de Gatineau & 0.1792 & 0.0241 & 7.4 & 19.6 & 102.0 & 14,1 à 25,4 \\199RMR de Sherbrooke & 0.2251 & 0.0273 & 8.2 & 25.3 & 131.3 & 18,7 à 32,1 \\200RMR de Trois-Rivières & 0.3377 & 0.0303 & 11.1 & 40.2 & 208.9 & 32,1 à 48,8 \\201RMR de Saguenay & 0.2843 & 0.0365 & 7.8 & 32.9 & 171.0 & 23,7 à 42,7 \\202\midrule203\multicolumn{7}{@{}l}{$R^2 = \num{0.883}$ ; $R^2$ ajusté $= \num{0.852}$ ; $\hat\sigma_\varepsilon = \num{0.0537}$ ; facteur de Duan $= \num{1.0011}$ ; $n = 48$ ; $k = 11$.} \\204\bottomrule205\end{tabular}206\tabsource{\synth{\texttt{traite/cas4.py}, fonction \texttt{effets\_regionaux} (identique au \cref{ch:33}) ; \texttt{traite/hedonique.py}, fonction \texttt{mco} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{regression\_masse}. Effet en \% $= 100\,(e^{\hat\beta} - 1)$ ; en points de base $= $ effet $\times$ 5,20 \% ; IC $= e^{\hat\beta \pm 1{,}96\,s} - 1$.}}207\end{table}208209\subsection{Interprétation en points de base}210211Les coefficients se lisent comme des primes ou des décotes de taux. L'effet de la région domine : à caractéristiques égales, un immeuble de Québec se négocie à un taux supérieur de \pct{26.8} à celui de son équivalent montréalais, soit \num{140} points de base au taux pondéré du portefeuille ; Gatineau porte une prime de \pct{19.6} (\num{102} points de base), Sherbrooke de \pct{25.3} (\num{131}), Trois-Rivières de \pct{40.2} (\num{209}) et Saguenay de \pct{32.9} (\num{171}). Ces primes sont estimées avec précision malgré la petite taille des sous-échantillons (de quatre à huit immeubles par région hors Montréal), parce que la dispersion intrarégionale est faible dans le jeu synthétique ; sur des données réelles, les intervalles de confiance seraient nettement plus larges, et l'exercice~\ref{ex:33:6} du \cref{ch:33} en a tiré les conséquences pour l'évaluateur isolé. L'effet de l'état est de $-\pct{4.0}$ par point de cote, soit \num{21} points de base : un immeuble coté 5 se négocie à un taux inférieur d'environ \num{80} points de base à celui d'un immeuble coté 1, toutes choses égales. L'effet de la taille est modeste, $-\pct{3.1}$ du taux par doublement du nombre de logements, soit \num{16} points de base ; le \cref{tab:33:effet-taille} le comparait à la pente linéaire du cas~3. L'âge n'a pas d'effet distinguable de zéro une fois l'état contrôlé, ce qui est attendu : c'est l'état, non l'âge, qui porte le risque physique, et la loi de génération du jeu ne comportait d'ailleurs pas d'effet d'âge propre.212213Les deux indicateurs de risque méritent un commentaire particulier, que la \cref{sec:48:risques} développera. La zone inondable majore le taux de \pct{7.9}, soit \num{41} points de base au taux moyen (intervalle de confiance à \pct{95} de \pct{0.8} à \pct{15.4}) ; la contamination du sol le majore de \pct{5.5}, soit \num{29} points de base, avec un intervalle qui inclut zéro ($-\pct{0.3}$ à \pct{11.6}). Ces estimations reposent sur trois et deux immeubles respectivement, ce qui les rend fragiles ; elles retrouvent, à l'erreur d'échantillonnage près, les majorations de \pct{5} et \pct{3} introduites dans la loi de génération, et le lecteur ne doit en aucun cas les lire comme des mesures du marché québécois. Le \cref{ch:43} discute ce que la littérature empirique a mesuré sur des marchés réels, et nous y renvoyons.214215\subsection{Prédiction, valeur de chaque immeuble et contrôle par ratios}216217Le taux prédit de chaque immeuble est $\hat R_i = \exp(\mathbf{x}_i\T\hat{\boldsymbol\beta}) \times \hat\delta$, où $\hat\delta = n^{-1}\sum_i e^{\hat\varepsilon_i} = \num{1.0011}$ est le facteur de retransformation de \textcite{duan1983}, négligeable ici parce que la dispersion résiduelle est faible, mais appliqué par convention de l'ouvrage (\cref{eq:33:prediction}). La valeur prédite est la capitalisation du revenu net normalisé à ce taux,218\begin{equation}\label{eq:48:valeur-predite}219\hat V_i = \frac{\NOI_i}{\hat R_i}, \qquad \text{ratio}_i = \frac{\hat V_i}{V_i} = \frac{R_i}{\hat R_i},220\end{equation}221et le ratio de la valeur prédite à l'indication individuelle n'est autre que le rapport du taux retenu au taux prédit : un ratio supérieur à 1 signale un immeuble dont l'évaluation individuelle a retenu un taux plus élevé que le modèle, donc une valeur plus basse, et inversement. Le \cref{tab:48:immeubles} présente les quarante-huit immeubles avec leurs caractéristiques, leur taux retenu, leur taux prédit, les deux valeurs et le ratio ; c'est l'annexe par immeuble que le rapport de portefeuille doit contenir. La \cref{fig:48:taux} met en regard les taux retenus et les taux prédits par région et montre la distribution des résidus.222223\begingroup\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.6pt}224\begin{longtable}{@{}l l S[table-format=2.0] S[table-format=2.0] c c S[table-format=6.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=8.0] S[table-format=8.0] S[table-format=1.3] S[table-format=2.1] c@{}}225\caption{Annexe par immeuble : caractéristiques, taux retenu et taux prédit, indication individuelle et valeur prédite, ratio, ratio prêt-valeur et échéance de la dette (données synthétiques).}\label{tab:48:immeubles} \\226\toprule227Imm. & RMR & {Log.} & {Âge} & État & Risque & {RNE (\$)} & {$R$ (\%)} & {$\hat R$ (\%)} & {Indication (\$)} & {Prédite (\$)} & {Ratio} & {RPV (\%)} & Éch. \\228\midrule229\endfirsthead230\caption[]{Annexe par immeuble (suite).} \\231\toprule232Imm. & RMR & {Log.} & {Âge} & État & Risque & {RNE (\$)} & {$R$ (\%)} & {$\hat R$ (\%)} & {Indication (\$)} & {Prédite (\$)} & {Ratio} & {RPV (\%)} & Éch. \\233\midrule234\endhead235\midrule \multicolumn{14}{r}{\emph{suite à la page suivante}} \\236\endfoot237\bottomrule238\endlastfoot239P01 & Québec & 48 & 64 & 2 & — & 397912 & 5.57 & 5.77 & 7149000 & 6896004 & 0.965 & 57.5 & 2031 \\240P02 & Gatineau & 12 & 40 & 3 & — & 132799 & 5.67 & 5.55 & 2344000 & 2392070 & 1.021 & 48.1 & 2028 \\241P03 & Gatineau & 8 & 61 & 1 & — & 97335 & 6.10 & 6.01 & 1595000 & 1619942 & 1.016 & 57.4 & 2029 \\242P04 & Montréal & 16 & 79 & 5 & — & 184141 & 4.00 & 4.13 & 4606000 & 4460561 & 0.968 & 69.9 & 2031 \\243P05 & Sherbrooke & 16 & 74 & 3 & — & 117786 & 5.52 & 5.63 & 2133000 & 2093653 & 0.982 & 57.0 & 2029 \\244P06 & Montréal & 6 & 75 & 2 & — & 56826 & 5.11 & 4.82 & 1113000 & 1178801 & 1.059 & 66.8 & 2028 \\245P07 & Québec & 8 & 50 & 4 & — & 68564 & 5.74 & 5.69 & 1195000 & 1205824 & 1.009 & 49.4 & 2028 \\246P08 & Trois-Rivières & 48 & 56 & 3 & — & 343359 & 6.05 & 6.16 & 5678000 & 5575647 & 0.982 & 56.9 & 2031 \\247P09 & Montréal & 48 & 30 & 3 & — & 379660 & 4.06 & 4.47 & 9351000 & 8486743 & 0.908 & 69.8 & 2028 \\248P10 & Gatineau & 12 & 65 & 3 & — & 97041 & 5.19 & 5.46 & 1871000 & 1778623 & 0.951 & 44.8 & 2029 \\249P11 & Montréal & 12 & 47 & 3 & — & 123398 & 4.74 & 4.62 & 2606000 & 2671814 & 1.025 & 27.4 & 2029 \\250P12 & Saguenay & 6 & 55 & 3 & — & 45689 & 6.31 & 6.24 & 724000 & 732435 & 1.012 & 51.1 & 2031 \\251P13 & Trois-Rivières & 16 & 39 & 3 & — & 126572 & 6.37 & 6.45 & 1987000 & 1962041 & 0.987 & 71.2 & 2028 \\252P14 & Montréal & 16 & 46 & 3 & — & 122709 & 4.43 & 4.58 & 2768000 & 2679240 & 0.968 & 51.7 & 2031 \\253P15 & Montréal & 12 & 58 & 4 & — & 105622 & 4.78 & 4.40 & 2211000 & 2399625 & 1.085 & 51.0 & 2027 \\254P16 & Montréal & 8 & 63 & 2 & — & 76139 & 4.96 & 4.82 & 1536000 & 1580578 & 1.029 & 80.0 & 2028 \\255P17 & Trois-Rivières & 6 & 52 & 4 & — & 34615 & 6.24 & 6.33 & 555000 & 546638 & 0.985 & 38.0 & 2028 \\256P18 & Sherbrooke & 36 & 44 & 3 & — & 298656 & 6.01 & 5.60 & 4968000 & 5333675 & 1.074 & 46.9 & 2028 \\257P19 & Trois-Rivières & 6 & 48 & 4 & — & 44071 & 6.17 & 6.35 & 714000 & 694033 & 0.972 & 69.3 & 2029 \\258P20 & Montréal & 6 & 67 & 3 & sol & 47854 & 5.03 & 4.91 & 951000 & 974332 & 1.025 & 68.2 & 2030 \\259P21 & Montréal & 24 & 43 & 1 & sol & 208102 & 5.05 & 5.18 & 4122000 & 4014771 & 0.974 & 45.6 & 2028 \\260P22 & Québec & 16 & 69 & 3 & — & 145561 & 5.83 & 5.72 & 2499000 & 2546197 & 1.019 & 59.0 & 2028 \\261P23 & Sherbrooke & 24 & 26 & 5 & — & 233864 & 5.71 & 5.30 & 4096000 & 4415397 & 1.078 & 50.8 & 2028 \\262P24 & Gatineau & 16 & 35 & 4 & — & 142220 & 5.27 & 5.30 & 2700000 & 2682490 & 0.994 & 53.3 & 2030 \\263P25 & Trois-Rivières & 16 & 77 & 3 & — & 123903 & 7.00 & 6.28 & 1769000 & 1972094 & 1.115 & 76.9 & 2029 \\264P26 & Montréal & 48 & 62 & 2 & — & 486296 & 4.41 & 4.56 & 11038000 & 10674340 & 0.967 & 63.0 & 2027 \\265P27 & Montréal & 12 & 49 & 3 & — & 128816 & 4.60 & 4.61 & 2799000 & 2793006 & 0.998 & 69.2 & 2028 \\266P28 & Montréal & 6 & 70 & 3 & — & 50631 & 4.20 & 4.65 & 1206000 & 1089856 & 0.904 & 68.7 & 2028 \\267P29 & Gatineau & 12 & 47 & 2 & — & 110423 & 5.79 & 5.75 & 1908000 & 1919478 & 1.006 & 61.7 & 2031 \\268P30 & Québec & 48 & 37 & 3 & — & 311861 & 5.60 & 5.65 & 5569000 & 5523156 & 0.992 & 58.4 & 2029 \\269P31 & Sherbrooke & 6 & 53 & 4 & — & 35584 & 5.34 & 5.65 & 666000 & 629308 & 0.945 & 55.1 & 2027 \\270P32 & Sherbrooke & 36 & 51 & 3 & — & 259914 & 5.64 & 5.57 & 4610000 & 4664433 & 1.012 & 66.8 & 2031 \\271P33 & Gatineau & 6 & 54 & 3 & — & 68999 & 5.75 & 5.62 & 1201000 & 1227888 & 1.022 & 55.2 & 2029 \\272P34 & Montréal & 24 & 70 & 3 & — & 223960 & 4.49 & 4.45 & 4987000 & 5036223 & 1.010 & 61.8 & 2028 \\273P35 & Sherbrooke & 8 & 35 & 3 & — & 57825 & 5.72 & 5.91 & 1011000 & 978720 & 0.968 & 66.0 & 2030 \\274P36 & Québec & 72 & 62 & 3 & inond. & 443733 & 6.14 & 5.91 & 7229000 & 7509279 & 1.039 & 60.3 & 2027 \\275P37 & Gatineau & 8 & 45 & 3 & — & 85641 & 5.89 & 5.60 & 1454000 & 1528336 & 1.051 & 59.2 & 2031 \\276P38 & Montréal & 6 & 59 & 1 & — & 46776 & 5.48 & 5.08 & 854000 & 921543 & 1.079 & 59.1 & 2030 \\277P39 & Trois-Rivières & 6 & 45 & 3 & — & 47297 & 6.36 & 6.63 & 744000 & 713815 & 0.959 & 49.5 & 2027 \\278P40 & Montréal & 16 & 74 & 4 & — & 177850 & 4.57 & 4.31 & 3894000 & 4123003 & 1.059 & 63.2 & 2027 \\279P41 & Montréal & 8 & 65 & 3 & inond. & 79943 & 4.67 & 4.98 & 1714000 & 1604395 & 0.936 & 40.3 & 2029 \\280P42 & Montréal & 48 & 8 & 3 & — & 430559 & 4.57 & 4.54 & 9415000 & 9478407 & 1.007 & 56.1 & 2027 \\281P43 & Saguenay & 6 & 55 & 2 & inond. & 43252 & 7.17 & 7.01 & 603000 & 617367 & 1.024 & 58.4 & 2031 \\282P44 & Saguenay & 12 & 58 & 2 & — & 70665 & 6.61 & 6.34 & 1070000 & 1114268 & 1.041 & 79.6 & 2030 \\283P45 & Gatineau & 36 & 72 & 2 & — & 366800 & 5.10 & 5.46 & 7186000 & 6716534 & 0.935 & 75.4 & 2028 \\284P46 & Québec & 8 & 54 & 4 & — & 79714 & 5.50 & 5.67 & 1450000 & 1405821 & 0.970 & 57.6 & 2027 \\285P47 & Saguenay & 8 & 66 & 3 & — & 49018 & 5.66 & 6.13 & 866000 & 799050 & 0.923 & 71.5 & 2030 \\286P48 & Sherbrooke & 6 & 68 & 2 & — & 37075 & 5.73 & 6.07 & 648000 & 611056 & 0.943 & 68.1 & 2031 \\287\midrule288Total & & 888 & & & & 7447030 & 5.19 & 5.22 & 143363000 & 142572511 & 0.995 & 59.8 & \\289\end{longtable}290\endgroup291\noindent\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille.csv} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{valeurs\_predites} ; $\hat R$ avec facteur de Duan ; ligne « Total » : taux pondérés et ratio agrégé (somme prédite / somme des indications). Les valeurs prédites sont arrondies au dollar.}}292293\begin{figure}[htbp]\centering294\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-taux.pdf}295\caption{Taux retenus dans les évaluations individuelles (points pleins) et taux prédits par le modèle de masse (cercles) pour chaque immeuble, par région (gauche) ; distribution des résidus du modèle en points de base au taux pondéré du portefeuille (droite). Les écarts individuels atteignent 70~points de base (P25), mais ils se compensent à l'échelle de la région et du portefeuille.}296\label{fig:48:taux}297\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}298\end{figure}299300Le contrôle de cohérence emprunte aux études de ratio de l'évaluation foncière municipale leurs statistiques standardisées, que le \cref{ch:09} a définies et dérivées (\cref{eq:9:cod}, \cref{eq:9:prd}) : le ratio médian mesure le niveau, le coefficient de dispersion (COD) l'uniformité horizontale, le différentiel lié au prix (PRD) et le biais lié au prix (PRB) l'uniformité verticale. Appliquées ici aux ratios $\hat V_i / V_i$, elles comparent le modèle aux indications individuelles plutôt que des valeurs à des prix de vente, et leur interprétation doit en tenir compte. Le \cref{tab:48:iaao} en donne les résultats. Pour l'ensemble, le ratio médian est de \num{1.002}, le COD de \num{3.8}, le PRD de \num{1.005} et le PRB de \num{0.001} (erreur-type \num{0.006}) : le modèle et les évaluations individuelles sont au même niveau, sans biais vertical, et la dispersion est faible. La somme des valeurs prédites, \dollars{142572511}, est inférieure de \pct{0.55} à la somme des indications ; c'est l'ordre de grandeur de l'erreur agrégée que l'on peut attendre d'une évaluation de masse cohérente avec les évaluations individuelles, et il est très inférieur à l'erreur sur un immeuble donné, qui atteint \pct{11.5} pour P25.301302\begin{table}[htbp]\centering303\caption{Statistiques de ratio (modèle de masse / indications individuelles) pour le portefeuille et par région, et seuils de l'IAAO pour les immeubles à revenus (données synthétiques).}\label{tab:48:iaao}304\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.2] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=-1.2]@{}}305\toprule306Ensemble & {$n$} & {Ratio médian} & {Ratio pondéré} & {COD} & {PRD} & {PRB} & {Écart agrégé (\%)} \\307\midrule308Portefeuille & 48 & 1.002 & 0.994 & 3.83 & 1.005 & 0.001 & -0.55 \\309Montréal & 17 & 1.007 & 0.985 & 4.37 & 1.016 & -0.015 & -1.54 \\310Québec & 6 & 1.000 & 1.002 & 2.35 & 0.999 & 0.002 & 0.20 \\311Gatineau & 8 & 1.011 & 0.981 & 2.78 & 1.019 & -0.036 & -1.94 \\312Sherbrooke & 7 & 0.982 & 1.033 & 4.47 & 0.968 & 0.039 & 3.33 \\313Trois-Rivières & 6 & 0.984 & 1.003 & 2.94 & 0.999 & 0.012 & 0.33 \\314Saguenay & 4 & 1.018 & 1.000 & 3.21 & 1.000 & 0.008 & 0.04 \\315\midrule316\multicolumn{8}{@{}l}{Seuils IAAO (2013), immeubles à revenus : niveau 0,90--1,10 ; COD 5,0--15,0 (grands échantillons) ou 5,0--20,0 ; PRD 0,98--1,03 ; PRB $-0{,}05$ à 0,05.} \\317\bottomrule318\end{tabular}319\tabsource{\synth{\texttt{traite/hedonique.py}, fonction \texttt{statistiques\_ratio} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{ratios\_iaao} ; seuils : \textcite{iaaoratio2013}, voir \cref{tab:9:iaao}. Ratio pondéré = somme des valeurs prédites / somme des indications ; écart agrégé = ratio pondéré $- 1$.}}320\end{table}321322Deux mises en garde s'imposent dans la lecture de ce tableau. La première concerne le COD de \num{3.8}, inférieur à la borne basse de \num{5.0} du Standard on Ratio Studies, laquelle signale habituellement une « poursuite des ventes » (\emph{sales chasing}), c'est-à-dire l'ajustement des valeurs aux prix observés \parencite{iaaoratio2013}. Ici, le COD mesure l'écart entre un modèle et les données sur lesquelles il a été estimé, et non entre des valeurs et des prix indépendants : un COD bas est attendu en échantillon d'estimation et ne dit rien de la qualité prédictive du modèle hors échantillon. Dans un dossier réel, l'évaluateur estimerait le modèle sur des ventes de marché, puis calculerait les ratios sur les immeubles du portefeuille, et un COD inférieur à \num{5} serait alors suspect. La seconde concerne les sous-échantillons régionaux : avec quatre à huit immeubles, le PRD et le PRB ne sont pas estimables avec une précision utile (le PRB de Sherbrooke, \num{0.039}, et celui de Gatineau, $-\num{0.036}$, ont des erreurs-types de l'ordre de \num{0.03}), et seul le ratio médian et l'écart agrégé méritent d'être rapportés ; le Standard on Ratio Studies recommande d'ailleurs des tailles d'échantillon minimales que ces sous-ensembles n'atteignent pas.323324Le contrôle désigne ensuite les immeubles à examiner individuellement. Cinq ratios s'écartent de plus de \pct{7.5} de l'unité. P25, un seize logements de 1949 à Trois-Rivières, est évalué à un taux de \pct{7.00} alors que le modèle prédit \pct{6.28} : l'écart de \num{72} points de base, le plus grand du portefeuille, correspond à une indication inférieure de \pct{10.3} à la valeur prédite. P28 (six logements de 1956 à Montréal, taux retenu \pct{4.20} contre \pct{4.65} prédit) et P09 (quarante-huit logements de 1996 à Montréal, \pct{4.06} contre \pct{4.47}) sont au contraire évalués à des taux plus bas que le modèle, donc à des valeurs supérieures de \pct{10.7} et \pct{10.2} à la prédiction ; P15 et P38, deux petits immeubles montréalais, sont évalués à des taux supérieurs au modèle de \num{38} et \num{40} points de base. Dans ces cinq cas, le rapport de portefeuille doit consigner l'examen fait : si l'évaluation individuelle de P09, par exemple, justifie son taux bas par des comparables récents du même secteur et par la qualité du bâtiment de 1996, l'évaluateur la retient et explique que le modèle, qui n'a pas de variable pour le secteur ou pour la qualité de construction au-delà de la cote d'état, la sous-estime ; si rien ne la justifie, il la ramène vers le modèle. Le dossier fictif retient les indications individuelles dans les cinq cas, en motivant chacune ; la \cref{sec:48:reconciliation} reviendra sur l'effet de ce choix, limité à \pct{0.55} de la valeur agrégée. Le point méthodologique est que l'évaluation de masse ne remplace pas le jugement : elle le \emph{dirige} vers les cas qui le requièrent, ce qui est exactement la fonction que le Standard on Mass Appraisal assigne au contrôle de qualité \parencite{iaaomass2025}.325326\section{Dynamique des revenus nets, 2016-2026}\label{sec:48:dynamique}327328\subsection{Croissance et volatilité par immeuble et par région}329330Le dossier contient le revenu net trimestriel de chaque immeuble sur quarante-deux trimestres, de 2016T1 à 2026T2. Ce panel, que le \cref{ch:36} exploite pour l'identification causale, sert ici à trois fins : mesurer la croissance tendancielle du revenu, qui entre dans le rendement total attendu de chaque immeuble (\cref{sec:48:allocation}) ; mesurer la volatilité du revenu, qui paramètre la simulation (\cref{sec:48:montecarlo}) ; et mesurer la corrélation des revenus entre immeubles et entre régions, qui détermine ce que la diversification géographique apporte réellement. La fonction \texttt{croissance\_rne} du module partagé estime, pour chaque immeuble, la croissance annualisée par la pente de la régression du logarithme du revenu sur le temps,331\begin{equation}\label{eq:48:croissance}332\ln \NOI_{i,t} = a_i + b_i\, t + u_{i,t}, \qquad t = 0, \tfrac14, \tfrac24, \dots, \qquad \hat g_i = e^{\hat b_i} - 1,333\end{equation}334et la volatilité annualisée par l'écart-type des variations trimestrielles du logarithme, multiplié par $\sqrt{4} = 2$,335\begin{equation}\label{eq:48:volatilite}336\hat\sigma_i = 2\,\operatorname{sd}\!\left(\Delta \ln \NOI_{i,t}\right).337\end{equation}338Le même calcul appliqué à la somme des revenus d'une région, puis du portefeuille, donne la croissance et la volatilité agrégées. Le \cref{tab:48:croissance} et la \cref{fig:48:rne} présentent les résultats.339340\begin{table}[htbp]\centering341\caption{Croissance et volatilité annualisées des revenus nets, 2016T1 à 2026T2, par région et pour le portefeuille (données synthétiques).}\label{tab:48:croissance}342\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] l S[table-format=1.2] S[table-format=-1.2]@{}}343\toprule344RMR & {Imm.} & {$g$ agrégé (\%/an)} & {$g$ médian (\%/an)} & {$\sigma$ agrégé (\%)} & $g$ min -- max (\%) & {$\sigma$ médian (\%)} & {Choc 2020--21 (\%)} \\345\midrule346Montréal & 17 & 3.20 & 3.15 & 1.37 & 0,57 -- 4,83 & 3.19 & -2.62 \\347Québec & 6 & 2.67 & 2.75 & 1.82 & 1,24 -- 3,63 & 3.24 & -1.55 \\348Gatineau & 8 & 4.78 & 4.45 & 1.71 & 2,12 -- 6,26 & 3.25 & -2.15 \\349Sherbrooke & 7 & 2.30 & 2.49 & 2.04 & 1,87 -- 3,69 & 3.51 & -2.95 \\350Trois-Rivières & 6 & 2.15 & 2.69 & 2.17 & 1,61 -- 3,37 & 2.97 & -4.01 \\351Saguenay & 4 & 1.53 & 1.82 & 2.03 & 0,52 -- 2,77 & 3.34 & -1.57 \\352\midrule353Portefeuille & 48 & 3.03 & 2.92 & 1.34 & 0,52 -- 6,26 & 3.23 & -2.53 \\354\bottomrule355\end{tabular}356\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv} ; \texttt{traite/cas4.py}, fonction \texttt{croissance\_rne} (\cref{eq:48:croissance}, \cref{eq:48:volatilite}) ; agrégats et choc : script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{dynamique\_rne}. Choc = écart moyen du logarithme de l'agrégat à sa tendance entre 2020T2 et 2021T2 (\cref{eq:48:choc}).}}357\end{table}358359\begin{figure}[htbp]\centering360\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-rne.pdf}361\caption{Revenu net trimestriel agrégé par région et pour le portefeuille, en indice (2016T1 = 100) ; la bande grise marque le choc commun de la pandémie (2020T2 à 2021T2). Gatineau croît le plus vite et Saguenay le plus lentement ; l'agrégat du portefeuille est plus lisse que chacune de ses régions.}362\label{fig:48:rne}363\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}364\end{figure}365366Le revenu net agrégé du portefeuille est passé de \dollars{5474240} en rythme annuel au premier trimestre de 2016 à \dollars{7447028} au deuxième trimestre de 2026, soit une croissance tendancielle de \pct{3.03} par an, avec une volatilité agrégée de \pct{1.34}. La hiérarchie régionale des croissances est nette et, par construction du jeu, cohérente avec les tendances régionales déclarées : Gatineau à \pct{4.78}, Montréal à \pct{3.20}, Québec à \pct{2.67}, Sherbrooke à \pct{2.30}, Trois-Rivières à \pct{2.15} et Saguenay à \pct{1.53}. Deux observations importent pour la suite. D'abord, la volatilité agrégée d'une région (de \pct{1.37} à Montréal à \pct{2.17} à Trois-Rivières) est très inférieure à la volatilité médiane de ses immeubles (environ \pct{3.2} partout) : c'est l'effet de diversification à l'intérieur de la région, d'autant plus fort que la région compte d'immeubles, et il annonce celui que la \cref{sec:48:montecarlo} mesurera sur la valeur. Ensuite, la dispersion des croissances individuelles à l'intérieur d'une région est grande, de \pct{0.57} à \pct{4.83} à Montréal : la croissance tendancielle estimée sur dix ans d'un seul immeuble est un indicateur bruité, et l'évaluateur qui s'en servirait pour projeter le revenu d'un immeuble donné, plutôt que la croissance régionale, s'exposerait à l'erreur que \textcite{geltner1993} et \textcite{claytonGeltnerHamilton2001} ont documentée dans les séries d'évaluation : le bruit propre à chaque immeuble se lit comme une tendance.367368\subsection{Le choc pandémique}369370La loi de génération du jeu a imposé à tous les immeubles un choc de $-3$ \% sur le revenu entre 2020T2 et 2021T2, en sus de la tendance et des chocs propres. Pour le retrouver dans les données sans connaître la loi, on mesure l'écart moyen du logarithme de l'agrégat à sa tendance pendant la période de choc,371\begin{equation}\label{eq:48:choc}372\hat c = \exp\!\left( \frac{1}{|\mathcal{P}|} \sum_{t \in \mathcal{P}} \left[ \ln \NOI_t - (\hat a + \hat b\, t) \right] \right) - 1, \qquad \mathcal{P} = \{2020\text{T}2, \dots, 2021\text{T}2\},373\end{equation}374ce qui donne $-\pct{2.53}$ pour le portefeuille, et de $-\pct{1.55}$ (Québec) à $-\pct{4.01}$ (Trois-Rivières) selon la région. L'écart entre ces mesures et le choc imposé de $-3$ \% tient à l'estimation de la tendance sur une série qui contient le choc et aux marches aléatoires propres : avec quatre à dix-sept immeubles par région, le bruit idiosyncrasique ne s'efface pas. La variation glissante sur quatre trimestres du revenu agrégé n'est jamais descendue au-dessous de $-\pct{0.12}$ (au premier trimestre de 2021) : le choc a été absorbé par la croissance tendancielle, et un lecteur qui ne regarderait que les variations annuelles ne le verrait pas. Ce point rejoint la discussion du \cref{ch:36} sur la distinction entre un choc transitoire sur le niveau du revenu et un changement de tendance ; pour l'évaluation, un choc transitoire ne modifie la valeur que par la valeur actualisée des revenus perdus pendant sa durée, soit, pour cinq trimestres à $-3$ \%, environ \pct{0.4} de la valeur à un taux de \pct{5}, alors qu'un changement de tendance de même ampleur annuelle modifierait la valeur de plusieurs points par l'intermédiaire du taux (\cref{eq:29:gordon}).375376\subsection{Corrélations intra- et interrégionales}377378La corrélation des variations trimestrielles du logarithme des revenus entre immeubles est la grandeur qui commande la diversification. Sur les \num{1128} paires d'immeubles, la corrélation moyenne est de \num{0.168} ; elle est de \num{0.155} entre immeubles d'une même région (\num{221} paires) et de \num{0.171} entre immeubles de régions différentes (\num{907} paires). La composante régionale est donc nulle dans ce jeu : les revenus d'un immeuble de Montréal ne sont pas plus corrélés à ceux d'un autre immeuble montréalais qu'à ceux d'un immeuble de Saguenay. La corrélation positive qui subsiste est entièrement due au choc commun de la pandémie : calculée hors de la période 2020T1 à 2021T3, la corrélation moyenne tombe à $-\num{0.001}$ à l'intérieur des régions et à $-\num{0.002}$ entre elles, c'est-à-dire à zéro. Les agrégats régionaux, qui lissent le bruit propre à chaque immeuble, sont plus corrélés entre eux (de \num{0.35} entre Québec et Trois-Rivières à \num{0.63} entre Montréal et Trois-Rivières), toujours en raison du choc commun.379380Ce résultat est une propriété de la loi de génération, dans laquelle la tendance régionale est déterministe et les chocs propres sont indépendants ; sur des marchés réels, les revenus des immeubles d'une même région partagent des chocs régionaux (emploi, immigration, offre neuve) que le jeu n'a pas simulés, et la corrélation intrarégionale excéderait la corrélation interrégionale. La leçon méthodologique n'en est pas moins valable : la structure de dépendance des revenus doit être \emph{estimée} sur les séries disponibles plutôt que posée, et le résultat de l'estimation doit être déclaré, avec ses limites, comme paramètre de la simulation. Pour le taux de capitalisation, en revanche, le dossier ne contient aucune série ; la dépendance entre les taux des immeubles, qui réagissent ensemble aux marchés de capitaux et, à l'intérieur d'une région, à la liquidité locale, sera posée par hypothèse à la \cref{sec:48:montecarlo}, en s'appuyant sur ce que la littérature dit du facteur commun des taux \parencite{chervachidzeWheaton2013,ducaLing2020}.381382\section{Risques : inondation, sols, concentration et dette}\label{sec:48:risques}383384\subsection{Zones inondables et sols contaminés}385386Trois immeubles du portefeuille sont situés en zone inondable : P36, un soixante-douze logements de 1964 à Québec, P41, un huit logements de 1961 à Montréal, et P43, un six logements de 1971 à Saguenay. Leur valeur totalise \dollars{9546000}, soit \pct{6.7} de la valeur du portefeuille, et \pct{7.6} de son revenu net ; leur dette, \dollars{5404000}, représente un ratio prêt-valeur de \pct{56.6}, inférieur à la moyenne. Deux immeubles montréalais, P20 et P21, portent une mention de contamination du sol ; leur valeur, \dollars{5073000}, est \pct{3.5} du portefeuille. Le \cref{tab:48:risques} présente ces cinq immeubles avec l'effet que le modèle de masse attribue à chaque risque.387388L'effet d'une indicatrice de risque sur la valeur, à revenu égal, se déduit de l'effet sur le taux : si $R = R' e^{\beta}$ où $R'$ est le taux sans le risque, alors389\begin{equation}\label{eq:48:decote}390\frac{V}{V'} = \frac{\NOI / R}{\NOI / R'} = e^{-\beta}, \qquad \text{décote} = e^{-\beta} - 1 = \frac{1}{1 + e} - 1,391\end{equation}392où $e = e^{\beta} - 1$ est la majoration du taux. Pour la zone inondable, $\hat\beta_z = \num{0.0756}$ donne une majoration du taux de \pct{7.9}, de \num{34} points de base pour P41 (taux \pct{4.67}) à \num{52} pour P43 (\pct{7.17}), et une décote de valeur de \pct{7.3}, soit \dollars{568000} pour P36, \dollars{135000} pour P41 et \dollars{47000} pour P43, près de \dollars{750000} au total. Pour la contamination, $\hat\beta_s = \num{0.0536}$ donne une majoration de \pct{5.5} du taux (\num{26} points de base) et une décote de \pct{5.2}, soit \dollars{279000} pour les deux immeubles. Ces montants sont ceux que les évaluations individuelles ont, en moyenne, incorporés dans leurs taux ; ils mesurent le prix que le marché synthétique attache à ces risques, non le coût attendu des sinistres.393394\begin{table}[htbp]\centering395\caption{Immeubles exposés à un risque environnemental : effet du risque sur le taux et sur la valeur selon le modèle de masse (données synthétiques).}\label{tab:48:risques}396\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l l S[table-format=2.0] l S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=-1.1] S[table-format=2.1]@{}}397\toprule398Imm. & RMR & {Log.} & Risque & {$R$ (\%)} & {$R'$ sans risque (\%)} & {Écart (pb)} & {Indication (\$)} & {Valeur sans risque (\$)} & {Décote (\%)} & {RPV (\%)} \\399\midrule400P36 & Québec & 72 & zone inondable & 6.14 & 5.69 & 45 & 7229000 & 7797032 & -7.3 & 60.3 \\401P41 & Montréal & 8 & zone inondable & 4.67 & 4.33 & 34 & 1714000 & 1848681 & -7.3 & 40.3 \\402P43 & Saguenay & 6 & zone inondable & 7.17 & 6.65 & 52 & 603000 & 650382 & -7.3 & 58.4 \\403P20 & Montréal & 6 & contamination du sol & 5.03 & 4.77 & 26 & 951000 & 1003318 & -5.2 & 68.2 \\404P21 & Montréal & 24 & contamination du sol & 5.05 & 4.79 & 26 & 4122000 & 4348765 & -5.2 & 45.6 \\405\midrule406\multicolumn{7}{@{}l}{Zone inondable : 3 immeubles, 6,7 \% de la valeur, 7,6 \% du RNE} & 9546000 & 10296095 & -7.3 & 56.6 \\407\multicolumn{7}{@{}l}{Contamination : 2 immeubles, 3,5 \% de la valeur} & 5073000 & 5352083 & -5.2 & 49.9 \\408\bottomrule409\end{tabular}410\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{risques} ; $R' = R / e^{\hat\beta}$, valeur sans risque $= V e^{\hat\beta}$ (\cref{eq:48:decote}) ; coefficients du \cref{tab:48:coefficients}. Les effets reproduisent, à l'erreur d'échantillonnage près, les majorations de 5 \% et 3 \% de la loi de génération.}}411\end{table}412413Le cadre réglementaire québécois des zones inondables a changé le 1\textsuperscript{er} mars 2026, avec l'entrée en vigueur du nouveau régime fondé sur la Loi sur la qualité de l'environnement, qui remplace les anciennes zones de grand et de faible courant par des classes d'intensité (très élevée, élevée, modérée, faible) croisant la probabilité d'inondation sur vingt-cinq ans et la profondeur d'eau, publiées progressivement dans une cartographie de nouvelle génération \parencite{zonesInond2026,inondcartes,lqe}. Le Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités restreint la reconstruction d'un bâtiment résidentiel dans le littoral et impose des conditions dans les zones de classe très élevée, élevée et modérée \parencite[art.~83 et 85]{rmun2026,inondtravaux}. Pour l'évaluateur de portefeuille, trois conséquences en découlent, que le \cref{ch:43} développe. La classe d'intensité de chacun des trois immeubles doit être lue sur la cartographie en vigueur à la date d'évaluation, et le dossier doit indiquer si la cartographie de nouvelle génération couvre déjà le secteur ou si la classification repose encore sur l'ancienne génération, ce qui n'a pu être fait pour le portefeuille fictif et constitue une limite déclarée. L'effet de la zone sur la valeur n'est pas seulement celui du risque physique : il comprend l'assurabilité, le coût de l'assurance et, surtout, la restriction du droit de reconstruire après un sinistre d'inondation, qui réduit la valeur du droit de propriété lui-même ; la littérature empirique mesure des décotes de l'ordre de \pct{4} à \pct{12} dans des marchés américains, variables selon l'information disponible et la récence des sinistres \parencite{binPolasky2004,harrisonSmershSchwartz2001,binKruseLandry2008,bernsteinGustafsonLewis2019,hinoBurke2021}, et la décote synthétique de \pct{7.3} se situe dans cet intervalle sans prétendre mesurer le marché québécois. Enfin, P36 pèse à lui seul \pct{5.0} de la valeur du portefeuille ; son échéance de dette en 2027 et sa taille en font le premier immeuble à examiner dans l'allocation de la \cref{sec:48:allocation}.414415Pour les sols, la Loi sur la qualité de l'environnement impose l'inscription d'un avis de contamination au registre foncier lorsque les valeurs limites réglementaires sont dépassées, et subordonne tout changement d'utilisation à un plan de réhabilitation approuvé \parencite[art.~31.53, 31.54 et 31.58]{lqe,rprt} ; le Répertoire des terrains contaminés du ministère recense les terrains connus, sans prétendre à l'exhaustivité \parencite{repertoiretc}. Pour deux immeubles résidentiels existants dont l'usage ne change pas, le risque est celui d'une obligation future de caractérisation et de réhabilitation, et celui d'une décote de stigmate à la revente ; la méta-analyse de \textcite{simonsSaginor2006} et la recension de \textcite{jackson2001} donnent des ordres de grandeur très dispersés selon la nature et le stade de la contamination. Le rapport de portefeuille indique que les études de caractérisation n'ont pas été consultées et que l'effet retenu est celui du modèle.416417\subsection{Concentration géographique}418419La \cref{sec:48:portefeuille} a mesuré la concentration par l'indice de Herfindahl : l'équivalent de \num{3.6} régions de poids égal et de \num{27.5} immeubles de valeur égale. La concentration montréalaise est à la fois la force et la faiblesse du portefeuille. Elle le place sur le marché le plus liquide et le mieux documenté du Québec, celui où les taux sont les plus bas et où la demande institutionnelle est la plus profonde ; elle l'expose aussi, à hauteur de \pct{45.5} de sa valeur, aux décisions propres à cette région : fiscalité municipale, encadrement locatif et offre neuve, et aux projections démographiques les moins favorables des six régions à l'horizon 2051 \parencite{isqprojections2026}. Elle a enfin une conséquence que la simulation mettra en chiffres : la diversification réduit le risque du portefeuille en proportion de $n_{\text{éq}}$, non de $n$, et le gain marginal de la détention de quatre immeubles au Saguenay, qui représentent \pct{2.3} de la valeur, est négligeable pour le risque global tout en imposant des coûts de gestion à distance. La littérature sur les portefeuilles immobiliers a montré de longue date que la diversification par région et par type d'immeuble est efficace mais que ses bénéfices sont bornés par la composante commune nationale des rendements \parencite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014,baumCrosbyDevaney2021} ; c'est précisément cette composante que les corrélations déclarées du taux représenteront.420421\subsection{La dette : service, couverture et levier}422423La dette du portefeuille s'élève à \dollars{85766000}, soit un ratio prêt-valeur de \pct{59.8}, à un taux moyen pondéré de \pct{4.52}, et vient à échéance entre 2027 et 2031. Le dossier ne précise ni l'amortissement ni le solde d'origine des prêts ; l'évaluateur pose, et déclare, une \emph{hypothèse d'amortissement de 480~mois} pour tous les prêts, correspondant aux prêts assurés par la SCHL pour les immeubles collectifs, qui admettent un amortissement de quarante ans sous le programme APH Select \parencite{schlaphselect}, et il en teste la sensibilité avec un amortissement de 300~mois ; le montant inscrit au dossier est traité comme le solde au 30~juin 2026. C'est la même hypothèse que le \cref{ch:33} a retenue pour l'immeuble P45, dont les chiffres coïncident donc entre les deux chapitres. Le service annuel de la dette de chaque prêt est celui d'une annuité mensuelle à taux composé semestriellement sur l'amortissement résiduel, selon les formules du \cref{ch:31},424\begin{equation}\label{eq:48:service}425SD_i = 12\, M_i\, \frac{i_{m,i}}{1 - (1 + i_{m,i})^{-480}}, \qquad i_{m,i} = \left(1 + \frac{i_i}{2}\right)^{1/6} - 1,426\end{equation}427et le ratio de couverture agrégé du portefeuille est le rapport des sommes,428\begin{equation}\label{eq:48:rcd-agrege}429\overline{\DSCR} = \frac{\sum_i \NOI_i}{\sum_i SD_i} = \frac{\dollars{7447030}}{\dollars{4617283}} = \num{1.61},430\end{equation}431confortable au regard du seuil conventionnel de \num{1.20}. Mais le ratio agrégé masque la dispersion individuelle : la médiane des quarante-huit ratios est de \num{1.80}, cinq immeubles sont au-dessous de \num{1.20} et un, P16, un huit logements montréalais endetté à \pct{80} de sa valeur à un taux de \pct{6.07}, est au-dessous de \num{1.00} (\num{0.94}). Les quatre autres sont P04 (\num{1.06}), P09 (\num{1.07}), P28 (\num{1.07}) et P45 (\num{1.15}) : tous des immeubles dont le ratio prêt-valeur excède \pct{69} et dont le taux de capitalisation est bas ou dont le taux d'emprunt est élevé. La dette de ces cinq immeubles, \dollars{17218000}, représente \pct{20} de la dette du portefeuille. Le prêteur d'une facilité d'ensemble se fonde sur le ratio agrégé parce que les sûretés sont croisées ; les prêteurs hypothécaires de premier rang de chaque immeuble se fondent sur le ratio individuel, et ce sont eux que l'échéancier concerne.432433Le levier est négatif sur le revenu courant pour vingt immeubles représentant \pct{57} de la valeur : leur constante hypothécaire, de \pct{4.4} à \pct{6.6} selon le taux, excède leur taux de capitalisation. La constante hypothécaire pondérée du portefeuille, \pct{5.38}, est supérieure au taux de capitalisation pondéré de \pct{5.19} ; le \cref{ch:31} et le \cref{ch:47} ont montré que cette configuration, générale au Québec en 2026 pour le multirésidentiel de qualité, fait reposer le rendement des fonds propres sur la croissance du revenu et la plus-value plutôt que sur le revenu courant. Avec un amortissement de 300~mois, la constante pondérée monterait à \pct{6.66}, le ratio de couverture agrégé tomberait à \num{1.30}, treize immeubles seraient sous \num{1.20} et cinq sous \num{1.00} : l'hypothèse d'amortissement est donc l'une des plus lourdes du dossier, et le rapport doit l'écrire comme telle.434435\subsection{Échéancier et renouvellement à des taux majorés}436437Le \cref{tab:48:echeancier} et la \cref{fig:48:dette} présentent l'échéancier. Les échéances de 2027 et de 2028 concentrent \pct{61.3} de la dette : \dollars{21748000} en 2027 (huit prêts, dont les deux plus grands immeubles montréalais, P26 et P42, et P36) et \dollars{30867000} en 2028 (quinze prêts, dont P09 et P45). Le risque de refinancement du portefeuille est donc concentré sur dix-huit mois, à un moment où la Banque du Canada vient de relever son taux directeur pour la première fois depuis 2023 \parencite{bdc20261028}. Pour le mesurer, chaque prêt est renouvelé à son échéance sur son amortissement résiduel, au taux initial majoré de 0, 100 ou 200~points de base, le solde à l'échéance étant calculé par la formule prospective du \cref{ch:31} :438\begin{equation}\label{eq:48:renouvellement}439M_{i}^{(m)} = M_i\,\frac{(1 + i_{m,i})^{480} - (1 + i_{m,i})^{m}}{(1 + i_{m,i})^{480} - 1}, \qquad SD'_i = 12\, M_{i}^{(m)}\, \frac{i'_{m,i}}{1 - (1 + i'_{m,i})^{-(480 - m)}},440\end{equation}441où $m$ est le nombre de mois entre la date d'évaluation et l'échéance et $i'$ le taux renouvelé. Le ratio de couverture au renouvellement est calculé avec le revenu net de 2026 maintenu constant, hypothèse prudente, puis, en variante, avec le revenu projeté au taux de croissance tendanciel de chaque immeuble. Le prêteur, enfin, ne renouvelle pas nécessairement le solde : il prête au plus le montant que permettent ses deux covenants au nouveau taux,442\begin{equation}\label{eq:48:capacite}443M^{\max}_i = \min\!\left( 0{,}75\, V_i,\ \frac{\NOI_i}{1{,}20\, f'_i} \right), \qquad \text{injection}_i = \max\!\left( M_i^{(m)} - M^{\max}_i,\ 0 \right),444\end{equation}445où $f'_i$ est la constante hypothécaire au taux renouvelé ; la différence, si elle est positive, est le capital que le fonds devra injecter pour refinancer l'immeuble.446447\begin{table}[htbp]\centering448\caption{Échéancier de la dette et couverture au renouvellement selon la hausse du taux, revenu net 2026 constant (données synthétiques, amortissement 480~mois).}\label{tab:48:echeancier}449\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}\begin{tabular}{@{}c S[table-format=2.0] S[table-format=8.0] S[table-format=2.1] S[table-format=8.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0]@{}}450\toprule451Échéance & {Prêts} & {Dette (\$)} & {Part (\%)} & {Solde à l'échéance (\$)} & {RCD +0} & {RCD +100} & {RCD +200} & {Inj. +0 (\$)} & {Inj. +100 (\$)} & {Inj. +200 (\$)} \\452\midrule4532027 & 8 & 21748000 & 25.4 & 21543452 & 1.564 & 1.368 & 1.209 & 0 & 507102 & 1516926 \\4542028 & 15 & 30867000 & 36.0 & 30320350 & 1.467 & 1.291 & 1.147 & 1264095 & 2987252 & 4768077 \\4552029 & 9 & 10146000 & 11.8 & 9823108 & 2.068 & 1.811 & 1.602 & 0 & 0 & 0 \\4562030 & 6 & 4730000 & 5.5 & 4531237 & 1.675 & 1.474 & 1.309 & 22441 & 22441 & 135991 \\4572031 & 10 & 18275000 & 21.3 & 17334767 & 1.674 & 1.478 & 1.316 & 345239 & 662086 & 992161 \\458\midrule459Total & 48 & 85766000 & 100.0 & 83552914 & 1.613 & 1.418 & 1.258 & 1631775 & 4178882 & 7413155 \\460\bottomrule461\end{tabular}462\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{dette} (\cref{eq:48:service} à \cref{eq:48:capacite}) ; RCD de l'échéance = somme des RNE 2026 des prêts échéant cette année / somme de leurs services de la dette renouvelés ; injection = capital à rembourser pour satisfaire RPV $\le$ 75 \% et RCD $\ge$ 1,20 au nouveau taux. Ligne « Total » : RCD agrégé du portefeuille après renouvellement de tous les prêts.}}463\end{table}464465\begin{figure}[htbp]\centering466\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-dette.pdf}467\caption{Échéancier de la dette par région (gauche) et ratio de couverture agrégé des prêts de chaque échéance après renouvellement au taux initial, majoré de 100 et de 200~points de base, le revenu net de 2026 étant maintenu constant (droite). Les échéances de 2027 et 2028 concentrent \pct{61} de la dette et portent les ratios les plus faibles.}468\label{fig:48:dette}469\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}470\end{figure}471472La lecture du tableau est la suivante. Au taux inchangé, le renouvellement de tous les prêts laisse le ratio de couverture agrégé à \num{1.61} ; les cinq immeubles déjà sous \num{1.20} ne peuvent pas être refinancés intégralement et exigent une injection totale de \dollars{1631775}, concentrée en 2028 (P09, P45, P16, P28). Une hausse de 100~points de base ramène le ratio agrégé à \num{1.42}, porte à sept le nombre d'immeubles sous \num{1.20} et à quatre celui des immeubles sous \num{1.00}, et l'injection à \dollars{4178882}. Une hausse de 200~points de base, qui est l'ordre de grandeur du test de résistance que le BSIF impose aux prêts résidentiels non assurés \parencite{osfiMqr}, ramène le ratio agrégé à \num{1.26}, place seize immeubles sous \num{1.20} et sept sous \num{1.00}, et exige \dollars{7413155} d'injection, soit \pct{8.6} de la dette et \pct{12.9} des fonds propres du portefeuille (\dollars{57597000}) ; le ratio de l'échéance de 2028 tombe à \num{1.15}. Si le revenu net croît à son rythme tendanciel jusqu'à l'échéance, les résultats s'adoucissent sans changer de nature : à +200~points de base, le ratio agrégé est de \num{1.37}, dix immeubles sont sous \num{1.20}, trois sous \num{1.00}, et l'injection est de \dollars{5395891}. Le \cref{tab:48:rcd-stress} rassemble ces scénarios avec la variante d'amortissement.473474\begin{table}[htbp]\centering475\caption{Couverture de la dette du portefeuille selon l'hypothèse d'amortissement, la hausse du taux au renouvellement et la trajectoire du revenu net (données synthétiques).}\label{tab:48:rcd-stress}476\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{5.2cm} S[table-format=1.2] S[table-format=1.3] S[table-format=2.0] S[table-format=2.0] S[table-format=8.0] S[table-format=2.0]@{}}477\toprule478Scénario & {Constante pondérée (\%)} & {RCD agrégé} & {Imm. $<$ 1,20} & {Imm. $<$ 1,00} & {Injection (\$)} & {Imm. à refinancer} \\479\midrule480480 mois, taux actuels (situation 2026) & 5.38 & 1.613 & 5 & 1 & {—} & {—} \\481480 mois, renouvellement +0 pb, RNE constant & 5.38 & 1.613 & 5 & 1 & 1631775 & 6 \\482480 mois, renouvellement +100 pb, RNE constant & {—} & 1.418 & 7 & 4 & 4178882 & 8 \\483480 mois, renouvellement +200 pb, RNE constant & {—} & 1.258 & 16 & 7 & 7413155 & 16 \\484480 mois, renouvellement +200 pb, RNE croissant & {—} & 1.366 & 10 & 3 & 5395891 & 10 \\485300 mois, taux actuels & 6.66 & 1.304 & 13 & 5 & {—} & {—} \\486300 mois, renouvellement +200 pb, RNE constant & {—} & 1.094 & 22 & 13 & 11760592 & 22 \\487\bottomrule488\end{tabular}489\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{dette} avec \texttt{amort} $\in \{480, 300\}$ et croissance optionnelle ; « RNE croissant » : revenu net projeté à l'échéance au taux $\hat g_i$ du \cref{tab:48:croissance}. L'injection compte les immeubles dont le solde excède la capacité de refinancement (\cref{eq:48:capacite}).}}490\end{table}491492L'immeuble P45, que le \cref{ch:33} a évalué sommairement, illustre le mécanisme. Sa dette de \dollars{5416000} à \pct{5.17}, échéant en 2028, représente \pct{75.4} de l'indication individuelle (\dollars{7186000}) et \pct{80.6} de la valeur par régression retenue au \cref{ch:33} (\dollars{6716534}) ; son service annuel sur 480~mois est de \dollars{318363} et son ratio de couverture de \num{1.15} (\num{0.95} sur 300~mois). À l'échéance de 2028, le solde de \dollars{5329169} renouvelé à \pct{7.17} sur 456~mois exigerait \dollars{404324} par an, soit un ratio de \num{0.91} ; la capacité de refinancement à un ratio de \num{1.20} n'est que de \dollars{4028826}, et le fonds devrait injecter \dollars{1300342}, soit près des trois quarts de sa mise de fonds actuelle dans l'immeuble (\dollars{1770000}), pour le conserver. C'est le risque de refinancement, non le risque d'exploitation, qui fait de P45 un candidat à l'arbitrage malgré sa croissance de revenu élevée (\pct{5.9} par an), comme la \cref{sec:48:allocation} le montrera.493494\section{Incertitude agrégée : simulation avec corrélation régionale}\label{sec:48:montecarlo}495496\subsection{Pourquoi la somme des incertitudes n'est pas l'incertitude de la somme}497498Le \cref{ch:47} a mesuré l'incertitude de la valeur d'un immeuble par une simulation de Monte-Carlo sur les intrants de son flux actualisé : un intervalle à \pct{90} de $-\pct{21}$ à $+\pct{30}$ autour de la médiane. Si l'on appliquait un tel intervalle à chacun des quarante-huit immeubles et qu'on en additionnait les bornes, on obtiendrait pour le portefeuille une fourchette absurde, parce que les erreurs d'évaluation et les chocs de marché ne frappent pas tous les immeubles dans le même sens en même temps. La question de l'agrégation est celle de la \emph{dépendance} entre les incertitudes individuelles, et sa réponse exige de spécifier une structure de corrélation, de la justifier et de simuler conjointement. Le \cref{ch:40} a présenté les outils ; nous les appliquons ici dans leur forme la plus simple qui soit défendable : une copule gaussienne à deux facteurs, un facteur national et un facteur régional, échantillonnée par la décomposition de Cholesky de la matrice de corrélation.499500Pour chaque immeuble, la valeur simulée est la capitalisation d'un revenu net perturbé à un taux perturbé,501\begin{equation}\label{eq:48:lnv}502\ln V_i^{(s)} = \ln \NOI_i + \varepsilon_i^{(s)} - \ln R_i - \eta_i^{(s)}, \qquad \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma_{\varepsilon,i}^2), \quad \eta_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\eta^2),503\end{equation}504où $\varepsilon_i$ est le choc sur le revenu net et $\eta_i$ le choc sur le taux, tous deux à horizon d'un an. Les écarts-types sont tirés du dossier : $\sigma_{\varepsilon,i}$ est la volatilité annualisée du revenu de l'immeuble estimée à la \cref{sec:48:dynamique} (médiane \pct{3.2}, de \pct{2.4} à \pct{3.8}), et $\sigma_\eta$ est l'écart-type résiduel du modèle de masse, \num{0.0537}, c'est-à-dire la dispersion des taux retenus autour de ce que les caractéristiques prédisent, interprétée comme l'incertitude sur le taux d'un immeuble donné ; cette seconde identification est une hypothèse, puisque la dispersion en coupe transversale n'est pas la variabilité dans le temps, mais c'est la seule mesure que le dossier offre et elle est de l'ordre de grandeur des écarts-types de taux retenus au \cref{ch:47} (50~points de base sur \pct{7.25}, soit \num{0.07}). La dépendance entre immeubles est introduite par une structure à deux facteurs sur les chocs standardisés,505\begin{equation}\label{eq:48:facteurs}506Z_i = \sqrt{\rho_g}\, F_0 + \sqrt{\rho_r - \rho_g}\, F_{r(i)} + \sqrt{1 - \rho_r}\, e_i, \qquad \operatorname{Corr}(Z_i, Z_j) = \begin{cases} \rho_r & \text{si } r(i) = r(j), \\ \rho_g & \text{sinon,} \end{cases}507\end{equation}508où $F_0$ est un facteur national, $F_{r}$ un facteur propre à la région $r$ et $e_i$ un bruit propre, tous gaussiens, centrés, réduits et indépendants ; $\rho_g$ est la corrélation entre deux immeubles de régions différentes et $\rho_r \geq \rho_g$ celle entre deux immeubles de la même région. En pratique, on construit la matrice de corrélation $\boldsymbol\Sigma$ ($48 \times 48$, éléments $\rho_r$ ou $\rho_g$ hors diagonale), on calcule sa décomposition de Cholesky $\boldsymbol\Sigma = \mathbf{L}\mathbf{L}\T$ et l'on obtient les chocs corrélés par509\begin{equation}\label{eq:48:cholesky}510\mathbf{Z}^{(s)} = \mathbf{L}\,\mathbf{U}^{(s)}, \qquad \mathbf{U}^{(s)} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{48}),511\end{equation}512ce qui donne exactement la corrélation voulue puisque $\operatorname{Cov}(\mathbf{L}\mathbf{U}) = \mathbf{L}\mathbf{L}\T = \boldsymbol\Sigma$. Deux matrices distinctes sont utilisées, l'une pour les chocs de revenu, l'autre pour les chocs de taux. Le \cref{tab:48:lois} déclare tous les paramètres.513514\begin{table}[htbp]\centering515\caption{Paramètres déclarés de la simulation (10~000 tirages, graine 20261031).}\label{tab:48:lois}516\footnotesize\begin{tabular}{@{}L{3.6cm}L{3.6cm}L{5.4cm}@{}}517\toprule518Paramètre & Valeur & Origine \\519\midrule520$\sigma_{\varepsilon,i}$ (choc de RNE, par immeuble) & 2,40 à 3,85 \% (médiane 3,23 \%) & volatilité annualisée estimée sur 2016--2026 (\cref{eq:48:volatilite}) \\521$\sigma_\eta$ (choc de taux, commun) & 0,0537 (soit $\approx$ 28 pb à 5,20 \%) & écart-type résiduel du modèle de masse (\cref{tab:48:coefficients}) \\522$\rho_g$, $\rho_r$ du choc de RNE & 0,171 ; 0,171 & corrélations moyennes estimées entre et dans les régions (\cref{sec:48:dynamique}) ; composante régionale nulle dans le jeu \\523$\rho_g$, $\rho_r$ du choc de taux & 0,50 ; 0,70 & hypothèse déclarée : facteur national des marchés de capitaux dominant, facteur régional de liquidité \parencite{chervachidzeWheaton2013,ducaLing2020} \\524Marginales & log-normales (gaussiennes en log) & \cref{eq:48:lnv} \\525Dépendance & copule gaussienne à deux facteurs, Cholesky & \cref{eq:48:facteurs}, \cref{eq:48:cholesky} \\526Régimes comparés & indépendant ($\rho = 0$) ; déclaré ; parfait ($\rho = 1$) & bornes de la diversification \\527Horizon & un an & cohérent avec les volatilités annualisées \\528\bottomrule529\end{tabular}530\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{simuler\_portefeuille} ; tirages par \texttt{numpy.random.default\_rng(20261031)}.}}531\end{table}532533\subsection{Diversification : démonstration}534535Avant de simuler, on peut démontrer ce que la simulation va montrer. La mesure de risque retenue est la valeur à risque (VaR) à \pct{95} de la valeur, c'est-à-dire la perte par rapport à la valeur centrale qui n'est dépassée que dans \pct{5} des scénarios,536\begin{equation}\label{eq:48:var}537\operatorname{VaR}_{0{,}95}(V) = V_0 - q_{0{,}05}(V),538\end{equation}539où $V_0$ est la valeur de référence et $q_{0{,}05}$ le quantile à \pct{5} de la valeur simulée. La VaR n'est pas, en général, une mesure de risque cohérente au sens d'Artzner, Delbaen, Eber et Heath (1999)\footnote{Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M. et Heath, D. (1999), « Coherent Measures of Risk », \emph{Mathematical Finance}, 9(3), 203-228 ; DOI 10.1111/1467-9965.00068 (vérifié Crossref le 31~octobre 2026 ; \texttt{references/lib-ch48.bib}).} : elle peut violer la sous-additivité pour des distributions très asymétriques ou à queues épaisses. Dans le cadre gaussien de la \cref{eq:48:lnv}, en revanche, la sous-additivité est garantie, et elle se démontre en deux lignes.540541\begin{proposition}\label{prop:48:diversification}542Soit $X_i$, $i = 1, \dots, n$, des variables aléatoires gaussiennes d'écarts-types $\sigma_i$ et de corrélations $\rho_{ij}$, et $X_P = \sum_i w_i X_i$ avec $w_i \geq 0$. Alors $\sigma_P \leq \sum_i w_i \sigma_i$, avec égalité si et seulement si $\rho_{ij} = 1$ pour toute paire de poids non nuls ; et, pour tout niveau $\alpha \geq \tfrac12$, $\operatorname{VaR}_\alpha(X_P) \leq \sum_i w_i \operatorname{VaR}_\alpha(X_i)$.543\end{proposition}544\begin{proof}545La variance du portefeuille s'écrit $\sigma_P^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j \leq \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j = \left(\sum_i w_i \sigma_i\right)^2$, puisque $\rho_{ij} \leq 1$ et que tous les termes $w_i w_j \sigma_i \sigma_j$ sont non négatifs ; l'égalité exige $\rho_{ij} = 1$ pour chaque terme non nul. Pour une variable gaussienne centrée, $\operatorname{VaR}_\alpha(X) = z_\alpha\, \sigma$ avec $z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha) \geq 0$ pour $\alpha \geq \tfrac12$ ; la VaR est donc proportionnelle à l'écart-type, et l'inégalité sur $\sigma_P$ se transmet : $\operatorname{VaR}_\alpha(X_P) = z_\alpha \sigma_P \leq z_\alpha \sum_i w_i \sigma_i = \sum_i w_i \operatorname{VaR}_\alpha(X_i)$. Les espérances, additives, ne changent pas l'inégalité.546\end{proof}547548Appliquée aux logarithmes des valeurs, la proposition dit que l'écart-type du logarithme de la valeur du portefeuille, pondéré par les parts de valeur, est au plus la moyenne pondérée des écarts-types individuels, l'égalité n'étant atteinte que si tous les immeubles subissent exactement les mêmes chocs. Avec les paramètres déclarés, le calcul analytique donne un écart-type individuel médian du logarithme de la valeur de $\sqrt{\sigma_\varepsilon^2 + \sigma_\eta^2} \approx \sqrt{0{,}0323^2 + 0{,}0537^2} = \num{0.0627}$, un écart-type du portefeuille de \num{0.0389} sous la corrélation déclarée (moyenne des deux matrices), de \num{0.0627} sous corrélation parfaite et de \num{0.0120} sous indépendance. Le \emph{ratio de diversification}, rapport de la VaR du portefeuille à la somme des VaR individuelles, est donc attendu autour de \num{0.6} à \num{0.7} ; la valeur n'étant pas exactement log-normale agrégée, la simulation précise ces ordres de grandeur.549550\subsection{Résultats}551552Le \cref{tab:48:mc} et la \cref{fig:48:montecarlo} présentent les résultats des trois régimes de dépendance. Sous la corrélation déclarée, la valeur simulée du portefeuille a une médiane de \dollars{143349709}, égale à la somme des indications à \dollars{13000} près, une moyenne légèrement supérieure (\dollars{143527636}, effet de la convexité de la valeur dans le taux, signalé par \textcite{hoesliJaniBender2006}), un écart-type de \dollars{6267078}, soit un coefficient de variation de \pct{4.4}, et un intervalle à \pct{90} de \dollars{133506790} à \dollars{154224548}, c'est-à-dire de $-\pct{6.9}$ à $+\pct{7.6}$ autour de la somme des indications. La VaR à \pct{95} est de \dollars{9856210} ; la somme des VaR individuelles est de \dollars{14283432} ; le ratio de diversification est de \num{0.69}. L'espérance de perte au-delà de la VaR (\emph{expected shortfall}), moyenne des \pct{5} de scénarios les plus défavorables, est de \dollars{12358203}. La probabilité que le ratio prêt-valeur du portefeuille dépasse \pct{65} à horizon d'un an est de \pct{3.0} ; celle qu'il dépasse \pct{70}, de \pct{0.03} ; celle qu'il dépasse \pct{75}, nulle sur dix mille tirages. La probabilité d'une baisse de valeur supérieure à \pct{10} est de \pct{0.8}.553554\begin{table}[htbp]\centering555\caption{Distribution de la valeur du portefeuille selon le régime de dépendance : statistiques, valeur à risque et diversification (données synthétiques, 10~000 tirages).}\label{tab:48:mc}556\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{5.6cm} S[table-format=9.0] S[table-format=9.0] S[table-format=9.0]@{}}557\toprule558Statistique & {Indépendant ($\rho = 0$)} & {Corrélation déclarée} & {Parfait ($\rho = 1$)} \\559\midrule560Médiane (\$) & 143592079 & 143349709 & 143225407 \\561Moyenne (\$) & 143604323 & 143527636 & 143484253 \\562Écart-type (\$) & 1719772 & 6267078 & 9027356 \\563Coefficient de variation (\%) & 1.20 & 4.37 & 6.29 \\564Quantile 5 \% (\$) & 140845367 & 133506790 & 129066296 \\565Quantile 95 \% (\$) & 146474328 & 154224548 & 158632208 \\566Quantile 1 \% (\$) & 139671134 & 129348615 & 123771259 \\567VaR à 95 \% du portefeuille (\$) & 2517633 & 9856210 & 14296704 \\568Somme des VaR à 95 \% individuelles (\$) & 14084879 & 14283432 & 14305899 \\569Ratio de diversification & 0.179 & 0.690 & 0.999 \\570Espérance de perte au-delà de la VaR (\$) & 3246112 & 12358203 & 17617411 \\571P(RPV $>$ 65 \%) (\%) & 0.00 & 2.96 & 9.78 \\572P(RPV $>$ 70 \%) (\%) & 0.00 & 0.03 & 0.68 \\573P(baisse $>$ 10 \%) (\%) & 0.00 & 0.83 & 4.92 \\574P(V $<$ 130 M\$) (\%) & 0.00 & 1.27 & 6.42 \\575\bottomrule576\end{tabular}577\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{simuler\_portefeuille} ; VaR selon l'\cref{eq:48:var} avec $V_0 = \dollars{143363000}$ ; mêmes tirages gaussiens de base dans les trois régimes.}}578\end{table}579580\begin{figure}[htbp]\centering581\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-montecarlo.pdf}582\caption{Distribution de la valeur simulée du portefeuille sous trois régimes de dépendance entre immeubles : indépendance, corrélation déclarée (régime retenu, en aplat) et corrélation parfaite. Les traits tiretés marquent les quantiles 5~\% et 95~\% du régime retenu ; le trait plein, la somme des indications individuelles. La dispersion du portefeuille dépend presque entièrement de la dépendance supposée, non de la dispersion des immeubles.}583\label{fig:48:montecarlo}584\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}585\end{figure}586587La comparaison des trois régimes est la démonstration promise. Sous indépendance, le coefficient de variation du portefeuille n'est que de \pct{1.2} et le ratio de diversification de \num{0.18} : quarante-huit immeubles indépendants, même concentrés, diversifient presque tout le risque individuel ; c'est la borne inférieure, irréaliste parce que les taux de capitalisation de tous les immeubles réagissent aux mêmes taux d'intérêt. Sous corrélation parfaite, le coefficient de variation est de \pct{6.3}, égal à celui d'un immeuble moyen, et le ratio de diversification de \num{0.999} : la VaR est additive, conformément au cas d'égalité de la \cref{prop:48:diversification} ; c'est la borne supérieure, tout aussi irréaliste. Le régime déclaré se situe entre les deux, plus près du haut que du bas, parce que la corrélation du choc de taux (\num{0.50} entre régions, \num{0.70} dans une région) est forte et que le choc de taux pèse davantage que le choc de revenu dans la variance individuelle ($0{,}0537^2$ contre $0{,}0323^2$, soit \pct{73} de la variance). La leçon est que l'incertitude agrégée d'un portefeuille immobilier est d'abord une incertitude sur le niveau général des taux, que la diversification géographique ne réduit guère ; elle ne réduit efficacement que la part propre à chaque immeuble, c'est-à-dire les erreurs d'évaluation individuelles et les aléas d'exploitation. Le prêteur qui accorde une facilité d'ensemble bénéficie de cette diversification sur la seconde composante, et c'est ce qui justifie un covenant de ratio prêt-valeur agrégé plus souple que les covenants individuels ; il reste exposé à la première, que seul le niveau du ratio protège.588589Le \cref{tab:48:mc-rmr} décompose la diversification par région. Dans chaque région, la VaR régionale est inférieure à la somme des VaR de ses immeubles, dans une proportion qui dépend du nombre d'immeubles et de leur poids : \num{0.77} à Montréal (dix-sept immeubles, mais trois d'entre eux pèsent la moitié de la valeur régionale), \num{0.81} à Québec et Gatineau, \num{0.82} à Saguenay (quatre immeubles). La diversification entre régions ajoute ensuite un gain, de la somme des VaR régionales (\dollars{11380268}) à la VaR du portefeuille (\dollars{9856210}), soit un facteur \num{0.87} : les deux niveaux de diversification se composent, et la part régionale, limitée par la corrélation de \num{0.50} du facteur national, est la plus petite des deux.590591\begin{table}[htbp]\centering592\caption{Diversification à deux niveaux : valeur à risque par région et pour le portefeuille sous la corrélation déclarée (données synthétiques).}\label{tab:48:mc-rmr}593\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=8.0] S[table-format=8.0] S[table-format=8.0] S[table-format=1.2] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=1.3]@{}}594\toprule595RMR & {Imm.} & {$V_0$ (\$)} & {Quantile 5 \% (\$)} & {Quantile 95 \% (\$)} & {CV (\%)} & {VaR région (\$)} & {Somme VaR imm. (\$)} & {Ratio} \\596\midrule597Montréal & 17 & 65171000 & 60115525 & 70754198 & 4.97 & 5055475 & 6526478 & 0.775 \\598Québec & 6 & 25091000 & 23065469 & 27287230 & 5.12 & 2025531 & 2494878 & 0.812 \\599Gatineau & 8 & 20259000 & 18643966 & 22034426 & 5.04 & 1615034 & 1993155 & 0.810 \\600Sherbrooke & 7 & 18132000 & 16654621 & 19736492 & 5.15 & 1477379 & 1830520 & 0.807 \\601Trois-Rivières & 6 & 11447000 & 10509635 & 12469339 & 5.21 & 937365 & 1108671 & 0.845 \\602Saguenay & 4 & 3263000 & 2993516 & 3555395 & 5.25 & 269484 & 329730 & 0.817 \\603\midrule604Somme des régions & 48 & 143363000 & {—} & {—} & {—} & 11380268 & 14283432 & 0.797 \\605Portefeuille & 48 & 143363000 & 133506790 & 154224548 & 4.37 & 9856210 & 14283432 & 0.690 \\606\bottomrule607\end{tabular}608\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{simuler\_portefeuille} (clé \texttt{par\_rmr}) ; ratio = VaR de l'ensemble / somme des VaR de ses composantes.}}609\end{table}610611\section{Allocation et arbitrage}\label{sec:48:allocation}612613\subsection{Rendement courant, croissance et risque de chaque immeuble}614615Le fonds ne demande pas seulement une valeur : il veut savoir quels immeubles conserver, lesquels céder et où réinvestir. Cette question relève du conseil, non de l'opinion de valeur, et le rapport doit la traiter dans une section distincte, clairement identifiée comme une consultation au sens des Normes de pratique 5 et 6 \parencite{oeaqNormes} ; mais elle s'appuie sur les mêmes données et c'est l'évaluateur qui les maîtrise le mieux. Trois grandeurs décrivent chaque immeuble. Le rendement courant est son taux de capitalisation, $R_i = \NOI_i / V_i$. La croissance attendue du revenu, $g_i$, est approchée par la croissance tendancielle estimée à la \cref{sec:48:dynamique}, avec la réserve exprimée plus haut sur le bruit de cette estimation. Leur somme est le rendement total attendu à long terme sous l'hypothèse d'un taux de capitalisation constant, selon la relation de \textcite{gordonShapiro1956} dérivée au \cref{ch:29} (\cref{eq:29:gordon}),616\begin{equation}\label{eq:48:rendement-total}617\mu_i = R_i + g_i,618\end{equation}619où $g_i$ joue le rôle de la plus-value attendue. Le risque est l'écart-type du logarithme de la valeur simulée de l'immeuble, $\sigma_i = \sqrt{\sigma_{\varepsilon,i}^2 + \sigma_\eta^2}$, de \pct{5.9} à \pct{6.6} selon la volatilité du revenu. L'indicateur synthétique retenu est l'excédent de rendement par unité de risque,620\begin{equation}\label{eq:48:ratio}621\lambda_i = \frac{\mu_i - r_f}{\sigma_i}, \qquad r_f = \pct{3.84} \text{ (obligation du Canada à 10 ans, 29 octobre 2026)},622\end{equation}623complété par des drapeaux de risque que la simulation ne capte pas : zone inondable, contamination du sol, ratio de couverture inférieur à \num{1.00} après un renouvellement à +200~points de base, et état coté 1 ou 2. Le score final est le rang centile de $\lambda_i$ diminué de \num{0.10} par drapeau ; cette pondération est un choix de l'analyste, déclaré, et non une norme.624625\begin{table}[htbp]\centering626\caption{Les six immeubles les mieux et les moins bien classés selon le rendement total attendu, le risque et les drapeaux (données synthétiques).}\label{tab:48:allocation}627\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}\begin{tabular}{@{}l l S[table-format=2.0] c S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.2] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.1] c S[table-format=-1.2]@{}}628\toprule629Imm. & RMR & {Log.} & État & {$R$ (\%)} & {$g$ (\%)} & {$\mu$ (\%)} & {$\sigma$ (\%)} & {$\lambda$} & {RCD} & {RCD +200} & {RPV (\%)} & Drapeaux & {Score} \\630\midrule631\multicolumn{14}{@{}l}{\emph{Conserver (rang 1 à 6)}} \\632P10 & Gatineau & 12 & 3 & 5.19 & 6.26 & 11.45 & 6.31 & 1.20 & 2.56 & 1.95 & 44.8 & — & 1.00 \\633P24 & Gatineau & 16 & 4 & 5.27 & 5.24 & 10.51 & 6.12 & 1.09 & 2.14 & 1.65 & 53.3 & — & 0.96 \\634P02 & Gatineau & 12 & 3 & 5.67 & 4.66 & 10.33 & 6.45 & 1.01 & 2.05 & 1.61 & 48.1 & — & 0.94 \\635P25 & Trois-Rivières & 16 & 3 & 7.00 & 2.73 & 9.73 & 6.06 & 0.97 & 1.77 & 1.37 & 76.9 & — & 0.90 \\636P39 & Trois-Rivières & 6 & 3 & 6.36 & 3.37 & 9.73 & 6.10 & 0.97 & 2.16 & 1.70 & 49.5 & — & 0.88 \\637P37 & Gatineau & 8 & 3 & 5.89 & 4.00 & 9.89 & 6.29 & 0.96 & 1.71 & 1.36 & 59.2 & — & 0.85 \\638\midrule639\multicolumn{14}{@{}l}{\emph{Céder (rang 43 à 48)}} \\640P46 & Québec & 8 & 4 & 5.50 & 1.24 & 6.74 & 6.44 & 0.45 & 1.94 & 1.48 & 57.6 & — & 0.08 \\641P44 & Saguenay & 12 & 2 & 6.61 & 0.52 & 7.13 & 6.23 & 0.53 & 1.36 & 1.09 & 79.6 & état & 0.03 \\642P28 & Montréal & 6 & 3 & 4.20 & 2.09 & 6.29 & 5.99 & 0.41 & 1.07 & 0.84 & 68.7 & RCD & -0.04 \\643P34 & Montréal & 24 & 3 & 4.49 & 1.89 & 6.38 & 6.29 & 0.40 & 1.25 & 0.98 & 61.8 & RCD & -0.06 \\644P41 & Montréal & 8 & 3 & 4.67 & 0.57 & 5.24 & 6.25 & 0.22 & 2.38 & 1.83 & 40.3 & inond. & -0.08 \\645P26 & Montréal & 48 & 2 & 4.41 & 2.38 & 6.79 & 6.03 & 0.49 & 1.27 & 0.99 & 63.0 & état, RCD & -0.10 \\646\bottomrule647\end{tabular}648\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{allocation} ; $\mu = R + g$ (\cref{eq:48:rendement-total}), $\lambda$ selon l'\cref{eq:48:ratio}, score = rang centile de $\lambda$ $- 0{,}10$ par drapeau ; RCD sur 480 mois, RCD +200 après renouvellement à +200~pb, RNE constant. Classement complet des 48 immeubles dans la sortie du script.}}649\end{table}650651Le \cref{tab:48:allocation} présente les six immeubles les mieux classés et les six moins bien classés. Le classement est dominé, en tête, par les immeubles de Gatineau et de Trois-Rivières : des taux de capitalisation supérieurs à ceux de Montréal, une croissance tendancielle du revenu élevée (jusqu'à \pct{6.3} par an pour P10), un endettement modéré et aucun drapeau. En queue, on trouve quatre immeubles montréalais dont le rendement courant est bas (de \pct{4.20} à \pct{4.67}) sans que la croissance du revenu le compense (de \pct{0.6} à \pct{2.4}), et dont deux (P28, P34) ne couvriraient plus leur dette après un renouvellement à +200~points de base et un (P41) est en zone inondable ; P26, le plus grand immeuble du portefeuille (quarante-huit logements, \dollars{11038000}), cumule un état inférieur à la moyenne, un ratio de couverture tombant à \num{0.99} sous le choc de taux et une échéance en 2027 ; P46, à Québec, et P44, au Saguenay, ont la croissance la plus faible du portefeuille. P45, malgré son risque de refinancement, se classe neuvième grâce à sa croissance de \pct{5.9} et à son rendement total de \pct{11.0} ; sa place dans l'arbitrage dépend de la capacité du fonds à injecter \dollars{1.3} million en 2028, question de liquidité du fonds et non de valeur de l'immeuble.652653Deux mises en garde encadrent cette lecture. La première est que les croissances tendancielles individuelles sont bruitées, comme la \cref{sec:48:dynamique} l'a montré : la croissance de P10 (\pct{6.3}) excède celle de sa région (\pct{4.8}) d'un écart qui n'est pas significatif sur dix ans, et un analyste prudent remplacerait $g_i$ par la croissance régionale, ou par une moyenne des deux, avant de décider. La seconde est que le classement repose sur la valeur marchande comme prix de sortie : céder P26 au taux de \pct{4.41} rapporte \dollars{11038000} brut, et le produit net après remboursement de la dette (\dollars{6950000}) et des frais de vente de \pct{2} est de \dollars{3867000} ; le réinvestir dans des immeubles gatinois au taux de \pct{5.4} accroît le revenu courant du fonds, mais c'est un arbitrage de \emph{valeur d'investissement}, propre au fonds, à ses contraintes de liquidité et à sa fiscalité, et non un jugement sur la valeur marchande de P26, qui reste celle que le marché montréalais paie pour un tel immeuble. La cession des six immeubles les moins bien classés ramènerait le portefeuille à quarante-deux immeubles, \dollars{121898000} de valeur, un taux pondéré de \pct{5.30} au lieu de \pct{5.19}, un ratio prêt-valeur de \pct{59.5} et un produit net de cession de \dollars{7795700} ; elle ne réduirait presque pas la part en zone inondable (\pct{6.4}), parce que P36, le plus exposé, n'est pas parmi les six.654655\subsection{Une frontière rendement-risque par région}656657À l'échelle des régions, l'arbitrage se formule comme le problème de sélection de portefeuille de Markowitz (1952)\footnote{Markowitz, H. (1952), « Portfolio Selection », \emph{The Journal of Finance}, 7(1), 77-91 ; DOI 10.2307/2975974 (vérifié Crossref le 31~octobre 2026 ; \texttt{references/lib-ch48.bib}).} : étant donné le rendement attendu $\mu_r$ et la matrice de covariance $\boldsymbol\Omega$ des rendements régionaux, trouver, pour chaque niveau de rendement cible $m$, les poids $\mathbf{w}$ qui minimisent la variance,658\begin{equation}\label{eq:48:frontiere}659\min_{\mathbf{w}} \ \mathbf{w}\T \boldsymbol\Omega \mathbf{w} \quad \text{sous} \quad \mathbf{w}\T \boldsymbol\mu = m, \quad \mathbf{1}\T\mathbf{w} = 1, \quad \mathbf{w} \geq \mathbf{0},660\end{equation}661la contrainte de positivité traduisant l'impossibilité de vendre à découvert un immeuble. Le rendement attendu de chaque région est son taux pondéré augmenté de sa croissance agrégée (\cref{tab:48:rmr}, \cref{tab:48:croissance}) ; la covariance est celle des logarithmes des valeurs régionales simulées à la \cref{sec:48:montecarlo}, ce qui garantit la cohérence entre la mesure du risque et la structure de dépendance déclarée. Le \cref{tab:48:frontiere} donne les paramètres et quatre portefeuilles remarquables ; la \cref{fig:48:frontiere} trace la frontière.662663\begin{table}[htbp]\centering664\caption{Paramètres de la frontière rendement-risque par région et portefeuilles remarquables (données synthétiques).}\label{tab:48:frontiere}665\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{4.6cm} S[table-format=2.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.1] S[table-format=2.1] S[table-format=2.1] S[table-format=2.1] S[table-format=2.1] S[table-format=2.1]@{}}666\toprule667& {$\mu$ (\%)} & {$\sigma$ (\%)} & \multicolumn{6}{c}{Poids (\%) : Mtl / Qc / Gat / Sher / T-R / Sag} \\668\midrule669Montréal & 7.70 & 4.96 & 100 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\670Québec & 8.44 & 5.12 & 0 & 100 & 0 & 0 & 0 & 0 \\671Gatineau & 10.22 & 5.03 & 0 & 0 & 100 & 0 & 0 & 0 \\672Sherbrooke & 8.04 & 5.15 & 0 & 0 & 0 & 100 & 0 & 0 \\673Trois-Rivières & 8.44 & 5.22 & 0 & 0 & 0 & 0 & 100 & 0 \\674Saguenay & 7.93 & 5.25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 100 \\675\midrule676Portefeuille actuel (parts de valeur) & 8.29 & 4.36 & 45.5 & 17.5 & 14.1 & 12.6 & 8.0 & 2.3 \\677Variance minimale & 8.46 & 4.27 & 16.7 & 16.7 & 16.7 & 16.7 & 16.7 & 16.7 \\678Même rendement que l'actuel, risque minimal & 8.29 & 4.28 & 23.0 & 16.6 & 10.0 & 18.1 & 16.1 & 16.3 \\679Même risque que l'actuel, rendement maximal & 9.12 & 4.36 & 5.4 & 16.5 & 44.8 & 9.8 & 15.5 & 8.0 \\680\bottomrule681\end{tabular}682\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{allocation} (clé \texttt{frontiere}) ; $\mu_r$ = taux pondéré + croissance agrégée ; $\boldsymbol\Omega$ = covariance des logarithmes des valeurs régionales simulées (corrélations de 0,61 à 0,67) ; optimisation SLSQP sous contraintes (\cref{eq:48:frontiere}).}}683\end{table}684685\begin{figure}[htbp]\centering686\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-frontiere.pdf}687\caption{Frontière rendement-risque des six régions (sans vente à découvert), positions des régions, du portefeuille actuel, du portefeuille de variance minimale et des deux portefeuilles qui dominent l'actuel. Les risques régionaux sont presque égaux et fortement corrélés : la frontière est étroite en risque et c'est le rendement attendu, c'est-à-dire surtout la croissance régionale, qui distingue les allocations.}688\label{fig:48:frontiere}689\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}690\end{figure}691692Le résultat est instructif par sa simplicité. Les risques régionaux sont presque identiques (de \pct{4.96} à \pct{5.25}) et fortement corrélés (de \num{0.61} à \num{0.67}, par l'effet du facteur national du taux) : le portefeuille de variance minimale est l'équipondération, et son risque (\pct{4.27}) n'est inférieur que de neuf points de base à celui du portefeuille actuel (\pct{4.36}). La frontière est donc \emph{étroite en risque} : passer de la pondération actuelle à n'importe quelle autre change peu l'écart-type, et c'est le rendement attendu qui discrimine. Le portefeuille actuel est dominé : à risque égal, une allocation qui porterait Gatineau à \pct{45} et ramènerait Montréal à \pct{5} atteindrait un rendement attendu de \pct{9.12} au lieu de \pct{8.29}. Mais cette recommandation apparente repose entièrement sur la croissance agrégée de Gatineau (\pct{4.78} par an sur 2016-2026, dans le jeu synthétique) et sur l'hypothèse qu'elle se prolonge ; la \cref{sec:48:marches} a rappelé que les projections démographiques de l'ISQ ne couvrent pas Gatineau dans leur communiqué et que la croissance passée des loyers d'une petite région est un guide fragile. Le bon usage de la frontière n'est pas de prescrire une allocation, mais de montrer au fonds que le risque de son portefeuille est dicté par le niveau général des taux et non par sa répartition régionale, et que ses choix régionaux sont des paris sur la croissance relative des revenus, qu'il doit assumer comme tels. Le raisonnement rejoint celui que \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} et \textcite{baumCrosbyDevaney2021} tiennent sur la diversification immobilière : utile contre le risque propre, impuissante contre le risque de marché.693694\section{Réconciliation et conclusion}\label{sec:48:reconciliation}695696Le dossier a produit, pour le portefeuille, une indication principale et deux contrôles. L'indication principale est la somme des indications individuelles, \dollars{143363000}, chacune examinée au regard du modèle de masse et, pour cinq d'entre elles, motivée individuellement. Le premier contrôle est la somme des valeurs prédites par le modèle, \dollars{142572511}, inférieure de \pct{0.55} ; l'écart est de l'ordre du bruit d'estimation du modèle et n'appelle pas de correction, mais il signale que les évaluations individuelles sont, dans l'ensemble, très légèrement moins prudentes que le modèle, ce qui s'explique par les trois immeubles montréalais (P09, P28, P26) évalués à des taux inférieurs à la prédiction. Le second contrôle est la distribution simulée, dont la médiane (\dollars{143349709}) coïncide avec l'indication et dont l'intervalle à \pct{90}, de \dollars{133506790} à \dollars{154224548}, fournit la fourchette que le rapport financier doit communiquer : à horizon d'un an et sous les hypothèses déclarées, la valeur du portefeuille a une chance sur dix de sortir d'une bande de $-\pct{6.9}$ à $+\pct{7.6}$ autour de la valeur retenue. Le \cref{tab:48:reconciliation} rassemble ces éléments.697698\begin{table}[htbp]\centering699\caption{Réconciliation : indication, contrôles et valeur du portefeuille retenue (données synthétiques).}\label{tab:48:reconciliation}700\small\begin{tabular}{@{}L{8.2cm}S[table-format=9.0]@{}}701\toprule702Élément & {Montant ou ratio} \\703\midrule704Somme des indications individuelles (48 immeubles) (\$) & 143363000 \\705Somme des valeurs prédites par le modèle de masse (\$) & 142572511 \\706\quad écart & {$-\pct{0.55}$} \\707Médiane de la valeur simulée, corrélation déclarée (\$) & 143349709 \\708Intervalle à 90 \% de la valeur simulée (\$) & {133~506~790 -- 154~224~548} \\709\quad en proportion de la valeur retenue & {$-\pct{6.9}$ à $+\pct{7.6}$} \\710\textbf{Valeur marchande du portefeuille, arrondie à 100~000~\$} & \textbf{143400000} \\711\midrule712Valeur par logement (888 logements) (\$) & 161486 \\713Taux global implicite (RNE 2026 / valeur) & {\pct{5.19}} \\714Multiplicateur du revenu brut potentiel & {11,25} \\715Dette (\$) / ratio prêt-valeur & {85~766~000 / \pct{59.8}} \\716Fonds propres (valeur $-$ dette) (\$) & 57634000 \\717Ratio de couverture agrégé (amortissement 480 mois) & {1,61} \\718Part de la valeur en zone inondable / sols contaminés & {\pct{6.7} / \pct{3.5}} \\719\bottomrule720\end{tabular}721\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{reconciliation}.}}722\end{table}723724La valeur marchande du portefeuille au 30~juin 2026 est retenue à \dollars{143400000}, somme des valeurs individuelles arrondie à \dollars{100000} près, avec la répartition régionale du \cref{tab:48:rmr} : \dollars{65171000} à Montréal, \dollars{25091000} à Québec, \dollars{20259000} à Gatineau, \dollars{18132000} à Sherbrooke, \dollars{11447000} à Trois-Rivières et \dollars{3263000} au Saguenay. Trois commentaires accompagnent la conclusion. Le premier concerne la prime ou la décote de portefeuille, écartée par le mandat : si le fonds envisageait la vente du portefeuille en bloc, l'évaluateur devrait reprendre l'analyse avec une autre unité d'évaluation et rechercher, sur le marché canadien des transactions de portefeuilles, la preuve d'une prime pour la masse critique ou d'une décote pour l'hétérogénéité régionale, preuve qui n'existe pas dans le dossier ; la valeur retenue ne vaut que pour l'unité d'évaluation convenue. Le deuxième concerne l'écart entre la précision agrégée et la précision individuelle : le rapport doit dire que l'erreur relative sur la valeur du portefeuille est vraisemblablement inférieure à \pct{3} (le coefficient de variation simulé est de \pct{4.4} à un an, incluant l'incertitude de marché), mais que l'erreur sur un immeuble donné peut atteindre \pct{10}, et que les valeurs de l'annexe par immeuble ne doivent pas servir de base à une transaction individuelle sans évaluation complète. Le troisième concerne le ratio de la dette : à \pct{59.8} de la valeur, avec un ratio de couverture agrégé de \num{1.61}, le portefeuille est modérément endetté, mais la concentration des échéances en 2027 et 2028 et la sensibilité au taux de renouvellement font de la liquidité du fonds, et non de la valeur de ses immeubles, le premier risque des deux prochaines années ; c'est l'objet de la section de consultation du rapport, distincte de l'opinion de valeur.725726\section{Le rapport : extrait structuré}\label{sec:48:rapport}727728Le rapport d'évaluation de portefeuille respecte le contenu minimal de la règle 2.3 des Normes de pratique professionnelle \parencite{oeaqNormes} ; le \cref{tab:48:rapport} indique, pour chacun des douze éléments, la réponse du dossier et ce qui distingue le rapport de portefeuille du rapport individuel du \cref{ch:47}. Trois éléments appellent un traitement particulier. L'étendue du travail (élément 6) doit décrire l'évaluation de masse comme telle : modèle, données, inspections par échantillon, contrôle par ratios, immeubles examinés individuellement, et surtout ce que la méthode ne permet pas, c'est-à-dire l'utilisation des valeurs individuelles de l'annexe pour une transaction ou un prêt sur un immeuble donné. Les hypothèses (élément 7) comprennent trois hypothèses de travail qui ne sont pas des hypothèses extraordinaires au sens de la norme mais que le lecteur doit connaître : l'exactitude des revenus normalisés fournis par le fonds, l'amortissement de 480~mois des prêts, et l'égalité présumée de la valeur marchande et de la juste valeur comptable. Le raisonnement (élément 8) est, pour un portefeuille, autant statistique que narratif, et le rapport doit rendre les scripts et les données disponibles au vérificateur du fonds, ce que l'ouvrage fait par construction.729730\begin{table}[htbp]\centering731\caption{Contenu minimal du rapport (NPP, règle 2.3) et particularités du rapport de portefeuille.}\label{tab:48:rapport}732\footnotesize\begin{tabular}{@{}c L{3.6cm} L{8.0cm}@{}}733\toprule734N\textsuperscript{o} & Élément exigé & Réponse du dossier et particularité du portefeuille \\735\midrule7361 & Identification physique et légale & Annexe par immeuble (\cref{tab:48:immeubles}) ; sociétés en commandite propriétaires ; 48 lots fictifs \\7372 & Droits évalués & Pleine propriété grevée des baux (droit du locateur) pour chaque immeuble ; unité d'évaluation : chaque immeuble séparément \\7383 & But et fin & Opinion de valeur marchande ; rapport financier du fonds et renouvellement d'une facilité de crédit ; prêteur = utilisateur désigné \\7394 & Définition de la valeur & Valeur marchande des NPP ; présomption d'égalité avec la juste valeur comptable, déclarée comme hypothèse de travail \\7405 & Date & Évaluation 2026-06-30 ; inspections mai-juin 2026 ; rapport 2026-10-31 ; fait postérieur : hausse du taux directeur du 28~octobre 2026 \\7416 & Étendue du travail & Évaluation de masse (modèle régional du taux, ratios IAAO), 12 inspections sur 48, examen individuel de 5 immeubles, analyse de la dette et simulation ; limites : 36 immeubles non inspectés, états locatifs non vérifiés bail par bail, taux non publiés pour 4 RMR, cartographie des zones inondables non relue \\7427 & Réserves et hypothèses de base & Annexe E adaptée ; aucune hypothèse extraordinaire ; hypothèses de travail : RNE fournis exacts, amortissement 480 mois, valeur marchande = juste valeur \\7438 & Traitement de l'information et raisonnement & \Cref{sec:48:portefeuille} à \ref{sec:48:reconciliation} ; scripts et données reproductibles remis au vérificateur \\7449 & Usage le meilleur et le plus profitable & Continuation de l'usage locatif pour les 48 immeubles ; aucune conversion ni redéveloppement envisagé \\74510 & Rejet d'une méthode traditionnelle & Coût et comparaison directe écartés pour le portefeuille (motifs : actifs à revenu, marché actif, hétérogénéité) ; la comparaison par logement sert de contrôle régional \\74611 & Conformité à la substance de l'évaluation & Règle 1.2 traitée immeuble par immeuble dans l'annexe ; conformité au Standard on Mass Appraisal déclarée \\74712 & Attestation & Formule prescrite, signée ; absence d'intérêt dans le fonds et dans la facilité de crédit (art.~18 à 20 et 34 du Code de déontologie) \\748\bottomrule749\end{tabular}750\tabsource{structure selon \textcite{oeaqNormes} et \textcite{deontOEAQ} ; contenu du dossier fictif ; évaluation de masse selon \textcite{iaaomass2025}.}751\end{table}752753La conclusion du rapport se lit alors ainsi, en substance. Sur la foi des évaluations individuelles les plus récentes des quarante-huit immeubles, de leur mise à jour à la date d'évaluation par un modèle régional du taux global contrôlé par les statistiques de ratio de l'IAAO, de l'inspection d'un échantillon de douze immeubles, de l'analyse des marchés locatifs et des marchés de capitaux des six régions et sous réserve des hypothèses et conditions limitatives énoncées, l'évaluateur est d'avis que la valeur marchande de la pleine propriété des quarante-huit immeubles, grevés des baux en vigueur et considérés séparément, au 30~juin 2026, totalise cent quarante-trois millions quatre cent mille dollars (\dollars{143400000}), répartis entre les six régions et les quarante-huit immeubles selon l'annexe. Cette conclusion s'appuie sur la méthode du revenu par capitalisation directe ; l'incertitude à horizon d'un an, mesurée par simulation sous des hypothèses de dépendance déclarées, situe la valeur du portefeuille entre \dollars{133500000} et \dollars{154200000} avec une probabilité de \pct{90}. Les valeurs individuelles de l'annexe sont des composantes de l'opinion sur le portefeuille et ne constituent pas des opinions de valeur destinées à une transaction ou à un financement individuel. La section de consultation qui suit l'opinion de valeur, et qui n'en fait pas partie, traite de la couverture de la dette, de l'échéancier, des scénarios de renouvellement et des recommandations d'allocation.754755\begin{quebec}[Ce que le dossier doit au cadre québécois]756Le portefeuille s'étend sur six régions métropolitaines dont la couverture statistique publique est complète : population et projections (Statistique Canada, tableau 17-10-0148-01 ; ISQ, projections 2026), loyers et inoccupation (SCHL, Enquête sur les logements locatifs d'octobre 2025), prix des plex (APCIQ, troisième trimestre 2026), mais dont deux seulement, Montréal et Québec, disposent de taux de capitalisation publiés (CBRE, troisième trimestre 2026) \parencite{statcanpoprmr,isqprojections2026,schlLocatif2025,apciqt32026,cbrecaprates2026q3} ; pour Gatineau, Sherbrooke, Trois-Rivières et Saguenay, l'évaluateur de portefeuille doit extraire ses taux du marché local, et le jeu synthétique les a posés par hypothèse. Le droit évalué est le droit du locateur, parce que l'aliénation ne résilie pas les baux \parencite[art.~1937]{ccq}. Le cadre des zones inondables en vigueur depuis le 1\textsuperscript{er} mars 2026 (classes d'intensité, restrictions à la reconstruction, cartographie de nouvelle génération publiée progressivement) et le régime des terrains contaminés de la Loi sur la qualité de l'environnement (avis de contamination, plan de réhabilitation) gouvernent l'exposition de cinq immeubles \parencite{zonesInond2026,inondcartes,rmun2026,lqe,rprt}. Le financement des immeubles collectifs repose largement sur l'assurance de la SCHL, dont le programme APH Select admet un amortissement de quarante ans et un ratio de couverture de \num{1.10} \parencite{schlaphselect}, ce qui fonde l'hypothèse d'amortissement du dossier ; le test de résistance à +200~points de base s'inspire du taux admissible minimal du BSIF pour les prêts résidentiels non assurés \parencite{osfiMqr}. Enfin, le rapport respecte le contenu minimal de la règle 2.3 des Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ et distingue l'opinion de valeur (normes 1 et 2) de la consultation (normes 5 et 6) \parencite{oeaqNormes}. Toutes ces dispositions ont été vérifiées dans leur version à jour au 15~octobre 2026 (lois) ou au 1\textsuperscript{er} juillet 2026 (règlements) ; la cartographie des zones inondables applicable à chacun des trois immeubles fictifs n'a pas, par nature, pu être consultée.757\end{quebec}758759\begin{erreurs}760\begin{itemize}761\item Résumer un portefeuille par la moyenne simple ou la médiane des taux individuels plutôt que par le taux pondéré (\cref{eq:48:taux-pondere}) : ici, \pct{5.46} ou \pct{5.59} au lieu de \pct{5.19}, soit une erreur de \pct{5} à \pct{8} sur la valeur agrégée.762\item Comparer des taux médians par classe de taille, d'âge ou d'état sans tenir compte de la région : l'effet de confusion inverse le signe de l'effet de taille (\cref{tab:48:distribution}).763\item Lire un COD inférieur à 5 comme un gage de qualité du modèle alors qu'il est calculé en échantillon d'estimation ; ou interpréter un PRB estimé sur six immeubles.764\item Additionner les intervalles d'incertitude des immeubles pour obtenir celui du portefeuille, ou, à l'inverse, supposer les immeubles indépendants : les deux bornes sont fausses, et seule une structure de dépendance déclarée permet d'agréger (\cref{tab:48:mc}).765\item Oublier que la diversification géographique ne réduit pas le risque commun des taux : le coefficient de variation du portefeuille (\pct{4.4}) est aux deux tiers celui d'un immeuble (\pct{6.3}), non au vingtième.766\item Juger la dette par le ratio de couverture agrégé (\num{1.61}) sans examiner les ratios individuels (cinq immeubles sous \num{1.20}) ni l'échéancier (\pct{61} de la dette en 2027-2028).767\item Omettre de déclarer l'hypothèse d'amortissement des prêts : entre 480 et 300~mois, le ratio de couverture agrégé passe de \num{1.61} à \num{1.30} et le nombre d'immeubles sous \num{1.20} de cinq à treize.768\item Présenter une recommandation de cession comme un jugement de valeur marchande, ou une frontière rendement-risque comme une prescription, alors que l'une et l'autre dépendent d'estimations de croissance régionale bruitées et de la situation propre du fonds.769\item Appliquer une prime ou une décote de portefeuille sans preuve de marché, ou changer d'unité d'évaluation sans le dire.770\end{itemize}771\end{erreurs}772773\begin{limites}774Le dossier est entièrement synthétique : aucun des quarante-huit immeubles n'existe, les taux de Gatineau, Sherbrooke, Trois-Rivières et Saguenay ont été posés par hypothèse faute de publication, et les effets de l'état, de la taille, de la zone inondable et de la contamination sont des propriétés de la loi de génération retrouvées par la régression, non des mesures du marché québécois. Le modèle de masse est estimé sur les taux retenus dans des évaluations individuelles, non sur des ventes ; ses statistiques de ratio sont calculées en échantillon d'estimation, ce qui explique un COD inférieur aux seuils de l'IAAO, et les sous-échantillons régionaux de quatre à huit immeubles ne permettent pas d'estimer le PRD et le PRB avec une précision utile. La corrélation des revenus entre immeubles est estimée sur des séries dont la seule composante commune est le choc pandémique ; sur des marchés réels, une composante régionale existerait vraisemblablement. La corrélation des chocs de taux (\num{0.50} entre régions, \num{0.70} dans une région) et l'identification de l'écart-type du taux à la dispersion résiduelle du modèle sont des hypothèses déclarées, non des estimations ; la distribution de la valeur du portefeuille en dépend presque entièrement. L'amortissement de 480~mois des prêts, le solde assimilé au montant du dossier et le renouvellement au taux initial majoré sont des hypothèses, et le taux d'origination de chaque prêt n'est pas documenté. Les croissances tendancielles individuelles sont bruitées et les rendements attendus de la frontière en héritent. La cartographie des zones inondables en vigueur et les études de caractérisation des sols n'ont pas été consultées pour les immeubles fictifs ; les décotes de la littérature citée proviennent de marchés américains. L'égalité entre valeur marchande et juste valeur comptable est présumée et non vérifiée au regard du référentiel du fonds. L'inspection par échantillon et la non-vérification des états locatifs sont des limites à l'étendue du travail déclarées au mandat. Ces points sont consignés dans \texttt{verification/chapters/ch48-claims.csv}.775\end{limites}776777\begin{synthese}778\begin{itemize}779\item Portefeuille fictif : 48 immeubles, 888 logements, six RMR ; valeur \dollars{143363000}, RNE \dollars{7447030}, taux pondéré \pct{5.19} (médiane \pct{5.59}), RPV \pct{59.8}, \dollars{161445} par logement ; Montréal \pct{45.5} de la valeur, équivalent de 3,6 régions et 27,5 immeubles de poids égal.780\item Les écarts de taux entre régions (de \pct{4.49} à Montréal à \pct{6.39} au Saguenay) tiennent à la liquidité et à la profondeur des marchés plus qu'aux loyers ou à l'inoccupation ; ils sont persistants et se modélisent par des effets régionaux.781\item Modèle de masse du taux : région (+102 à +209~pb), état ($-21$~pb par point), taille ($-16$~pb par doublement), zone inondable (+41~pb), sol (+29~pb) ; $R^2 = 0{,}88$ ; somme prédite à $-\pct{0.55}$ de la somme des indications ; ratio médian 1,002, COD 3,8 ; cinq immeubles examinés individuellement.782\item RNE 2016-2026 : croissance \pct{3.0} par an (de \pct{1.5} au Saguenay à \pct{4.8} à Gatineau), volatilité agrégée \pct{1.3} contre \pct{3.2} par immeuble, choc pandémique $-\pct{2.5}$, corrélation entre immeubles 0,17 due au seul choc commun.783\item Dette : RCD agrégé 1,61 (480 mois) mais cinq immeubles sous 1,20 et un sous 1,00 ; \pct{61} de la dette échoit en 2027-2028 ; à +200~pb, RCD agrégé 1,26, seize immeubles sous 1,20 et \dollars{7.4} millions d'injection ; à 300 mois d'amortissement, RCD 1,30.784\item Monte-Carlo à corrélation régionale (Cholesky, 10~000 tirages) : intervalle à 90 \% de $-\pct{6.9}$ à $+\pct{7.6}$ ; VaR à 95 \% de \dollars{9.9} millions contre \dollars{14.3} millions pour la somme des VaR individuelles (ratio 0,69 ; 0,18 sous indépendance, 1,00 sous corrélation parfaite) ; la diversification réduit le risque propre, non le risque de taux.785\item Allocation : rendement total $R + g$, risque simulé et drapeaux ; frontière étroite en risque (\pct{4.27} à \pct{4.36}), discriminée par la croissance régionale ; recommandations = consultation et valeur d'investissement, non valeur marchande.786\item Valeur retenue \dollars{143400000}, somme des valeurs individuelles, chaque immeuble considéré séparément ; fourchette de \dollars{133.5} à \dollars{154.2} millions ; RPV \pct{59.8}.787\end{itemize}788\end{synthese}789790\section*{Exercices}791792\begin{exercice}[1]{Sommaire d'une région}{ex:48:1}793À partir de l'annexe par immeuble (\cref{tab:48:immeubles}), reconstituer le sommaire de la région de Sherbrooke : nombre de logements, valeur, revenu net, dette, taux global pondéré, valeur par logement et ratio prêt-valeur. Calculer ensuite la moyenne simple et la médiane des taux des sept immeubles, puis la valeur que l'on obtiendrait en capitalisant le revenu net régional à la moyenne simple. Expliquer l'écart avec la valeur agrégée.794\end{exercice}795796\begin{exercice}[1]{Un immeuble hors portefeuille}{ex:48:2}797Le fonds envisage l'acquisition d'un immeuble de vingt-quatre logements, d'état 3, de quarante-cinq ans, à Trois-Rivières, en zone inondable, dont le revenu net normalisé est de \dollars{150000}. À l'aide des coefficients du \cref{tab:48:coefficients} et du facteur de Duan, calculer le taux prédit et la valeur prédite ; refaire le calcul hors zone inondable, puis pour le même immeuble situé à Montréal. Exprimer l'effet de la zone inondable en points de base et en pourcentage de la valeur, et vérifier la relation de l'\cref{eq:48:decote}.798\end{exercice}799800\begin{exercice}[2]{La dette de P45}{ex:48:3}801L'immeuble P45 (Gatineau, 36 logements, RNE \dollars{366800}) porte une dette de \dollars{5416000} à \pct{5.17}, échéant en 2028. Calculer le service annuel de la dette et le ratio de couverture pour un amortissement de 480~mois, puis de 300~mois (composition semestrielle). Calculer le solde à l'échéance (24~mois) sous l'amortissement de 480~mois, le service de la dette et le ratio de couverture si ce solde est renouvelé à \pct{7.17} sur l'amortissement résiduel, puis la capacité de refinancement du prêteur (RPV \pct{75} de l'indication individuelle de \dollars{7186000}, RCD \num{1.20}) et l'injection de fonds requise. Comparer avec la valeur par régression retenue au \cref{ch:33} (\dollars{6716534}) et discuter le choix de la base de valeur du covenant de ratio prêt-valeur.802\end{exercice}803804\begin{exercice}[2]{Ratios de l'IAAO sur un sous-ensemble}{ex:48:4}805Calculer, pour les dix-sept immeubles montréalais du \cref{tab:48:immeubles}, le ratio médian, le ratio pondéré, le COD, le PRD et le PRB des valeurs prédites aux indications individuelles, selon les définitions du \cref{ch:09}. Comparer avec les statistiques du portefeuille (\cref{tab:48:iaao}) et avec les seuils de l'IAAO pour les immeubles à revenus. Expliquer pourquoi un COD de 4 ne doit pas être interprété ici comme il le serait dans une étude de ratio sur ventes, et ce que signifie un PRB négatif de $-0{,}015$ avec une erreur-type de 0,012.806\end{exercice}807808\begin{exercice}[2]{Croissance d'un immeuble et croissance de sa région}{ex:48:5}809À l'aide de \texttt{traite.cas4.croissance\_rne} ou de la série de \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv}, estimer la croissance tendancielle et la volatilité annualisée du revenu net de P36 (Québec, 72 logements, zone inondable) et les comparer à la croissance agrégée de la région de Québec (\cref{tab:48:croissance}). Mesurer le choc pandémique de la région selon l'\cref{eq:48:choc}. Calculer le rendement total attendu $R + g$ de P36 et discuter, en une demi-page, si la croissance propre de l'immeuble ou celle de la région doit servir à l'allocation, et pourquoi la différence importe pour un immeuble en zone inondable.810\end{exercice}811812\begin{exercice}[3]{Un choc de taux généralisé}{ex:48:6}813Refaire la simulation de la \cref{sec:48:montecarlo} avec une corrélation du choc de taux de \num{0.90} entre régions et de \num{0.95} dans une région, les autres paramètres inchangés (\num{10000} tirages, graine \texttt{20261031}), à l'aide de la fonction \texttt{simuler\_portefeuille} du script du chapitre. Rapporter l'intervalle à \pct{90}, le coefficient de variation, la VaR à \pct{95} et le ratio de diversification, et la probabilité que le ratio prêt-valeur dépasse \pct{75}. Comparer avec le régime déclaré et avec la borne de corrélation parfaite, et expliquer pourquoi le ratio de diversification se rapproche de 1 sans l'atteindre.814\end{exercice}815816\begin{exercice}[3]{Céder les immeubles en zone inondable}{ex:48:7}817Le fonds envisage de céder les trois immeubles en zone inondable (P36, P41, P43) à leur indication individuelle, moins \pct{2} de frais de vente, et de rembourser leur dette. Calculer le produit net de cession, le revenu net perdu et le taux pondéré des immeubles cédés ; puis, pour le portefeuille restant, la valeur, le taux pondéré, le ratio prêt-valeur, le ratio de couverture agrégé (480~mois), et, par simulation (mêmes paramètres et même graine), le coefficient de variation, la VaR à \pct{95} et le ratio de diversification. La cession réduit-elle le risque du portefeuille ? Dans quelle mesure la réponse dépend-elle de ce que la simulation capte et de ce qu'elle ne capte pas (restriction du droit de reconstruire, assurabilité) ? Distinguer, dans la conclusion, ce qui relève de la valeur marchande et ce qui relève de la valeur d'investissement du fonds.818\end{exercice}819820\section*{Pour aller plus loin}821822Sur l'évaluation de masse et son contrôle, le Standard on Mass Appraisal of Real Property et le Standard on Ratio Studies de l'IAAO \parencite{iaaomass2025,iaaoratio2013} restent les références normatives ; \textcite{gloudemansAlmy2011} en donnent le traitement pédagogique le plus complet, et \textcite{mccluskey2013} une perspective internationale. Sur le lissage et le bruit des évaluations individuelles qui composent un portefeuille, \textcite{geltner1993} et \textcite{claytonGeltnerHamilton2001} sont indispensables, et \textcite{fisherGeltnerWebb1994} comparent les méthodes de construction d'indices de valeur à partir d'évaluations. Sur la diversification et le risque de portefeuille, Markowitz (1952), cité en note à la \cref{sec:48:allocation}, est le texte fondateur ; \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} et \textcite{baumCrosbyDevaney2021} transposent le cadre moyenne-variance à l'immobilier et en discutent les limites ; Artzner, Delbaen, Eber et Heath (1999), cités en note à la \cref{sec:48:montecarlo}, formalisent les propriétés qu'une mesure de risque devrait posséder et expliquent pourquoi la valeur à risque n'est pas toujours sous-additive. Sur la simulation de Monte-Carlo en évaluation, \textcite{hoesliJaniBender2006}, \textcite{frenchGabrielli2005} et \textcite{frenchGabrielli2004} proposent des protocoles de déclaration de l'incertitude, et \textcite{pyhrr1973} la lecture historique. Sur les déterminants des taux de capitalisation et leur composante commune, \textcite{sivitanidouSivitanides1999}, \textcite{sivitanidesTortoWheaton2003}, \textcite{chervachidzeWheaton2013} et \textcite{ducaLing2020} fondent l'hypothèse d'un facteur national dominant. Sur l'effet des zones inondables et de la contamination, les travaux de \textcite{binPolasky2004}, \textcite{bernsteinGustafsonLewis2019} et \textcite{hinoBurke2021}, et les recensions de \textcite{jackson2001} et \textcite{simonsSaginor2006}, sont discutés au \cref{ch:43}. Les textes primaires québécois à relire sont le Code civil (art.~1851 à 1978.4) \parencite{ccq}, la Loi sur la qualité de l'environnement (art.~31.42 à 31.69 et 46.0.2) et le cadre réglementaire des zones inondables en vigueur depuis le 1\textsuperscript{er} mars 2026 \parencite{lqe,zonesInond2026,rmun2026}, et les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ \parencite{oeaqNormes}.823