spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 17 — Ajustements qualitatifs et quantitatifs2% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch17.py (test_solutions_exercices)34\begin{solution}{ex:17:1}{Grille additive, brut et net}5Sous la forme additive de l'\cref{eq:17:additif}, le prix ajusté est $540\,000 + 18\,000 - 12\,500 + 15\,000 - 9\,000 + 0 = \dollars{551500}$. L'ajustement brut est la somme des valeurs absolues, $18\,000 + 12\,500 + 15\,000 + 9\,000 = \dollars{54500}$, soit $54\,500 / 540\,000 = \pct{10.09}$ ; l'ajustement net est la somme algébrique, $\dollars{11500}$, soit \pct{2.13}. Le signe se lit du point de vue du sujet : le marché a monté depuis la vente du comparable (sujet « supérieur » par la date, $+$) ; le sujet est plus petit ($-$), possède un garage que le comparable n'a pas ($+$), a un sous-sol moins bien fini ($-$) et une qualité identique ($0$). Un brut de \pct{10} avec un net de \pct{2} décrit un comparable dont les supériorités et les infériorités se compensent : il est éloigné du sujet, mais une erreur proportionnelle sur tous les prix implicites changerait peu son prix ajusté. Un brut de \pct{10} avec un net de \pct{10} décrit un comparable systématiquement inférieur au sujet : la même erreur proportionnelle se reporterait intégralement sur le prix ajusté. Le brut mesure l'éloignement, donc la variance ; le net mesure l'exposition au biais des prix implicites.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:17:2}{Trois écritures de l'ajustement de temps}9(a) Par l'\cref{eq:17:temps-taux}, $A = 506\,500\,[(1{,}0443)^{15{,}2/12} - 1] = 506\,500 \times 0{,}05644 = \dollars{28587}$. (b) Par l'\cref{eq:17:temps-indice}, $A = 506\,500\,(138{,}7/131{,}2 - 1) = 506\,500 \times 0{,}05716 = \dollars{28954}$. (c) Par l'approximation linéaire, $A \approx 506\,500 \times 0{,}00364 \times 15{,}2 = \dollars{28039}$. L'écriture (b) diffère de (a) parce que l'indice mesure la variation effectivement observée entre les deux dates, \pct{5.72}, alors que le taux composé suppose une croissance régulière de \pct{4.43} par année, soit \pct{5.64} sur 15,2 mois ; si le marché a progressé plus vite que sa moyenne pendant cette période, l'indice le capte et le taux moyen ne le capte pas, et c'est l'indice qui doit prévaloir lorsqu'il est fiable et porte sur le bon segment. L'écriture (c) est toujours inférieure à l'écriture composée correspondante parce que $\exp(\beta m) - 1 = \beta m + (\beta m)^2/2 + \dots > \beta m$ pour $\beta m > 0$ : la linéarisation néglige la capitalisation de la croissance sur elle-même. Ici l'écart est de \dollars{700}, soit un dixième de point de pourcentage du prix ; il croît avec le carré de la durée.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:17:3}{Ventes appariées}13Les différences sont $22\,000$, $7\,000$, $27\,500$, $500$, $25\,000$ et $8\,500$ dollars. Leur moyenne est $\hat A = 90\,500/6 = \dollars{15083}$, leur médiane $(8\,500 + 22\,000)/2 = \dollars{15250}$, leur écart-type $s_d = \dollars{11151}$ et l'erreur-type de la moyenne $s_d/\sqrt{6} = \dollars{4552}$ (\cref{eq:17:paires}). L'intervalle à 95 \% est $15\,083 \pm 1{,}96 \times 4\,552$, soit de \dollars{6161} à \dollars{24006}. Les prix « sans » ont pour médiane $(562\,000 + 570\,500)/2 = \dollars{566250}$ ; le prix implicite hédonique de \pct{3.3} vaut donc \dollars{18686} à ce niveau, à l'intérieur de l'intervalle : les paires sont compatibles avec la régression. Pour ramener l'erreur-type à \dollars{2000} avec le même écart-type des différences, il faut $n = (11\,151/2\,000)^2 = 31{,}1$, soit 32 paires au moins ; sur un marché réel, trouver 32 paires satisfaisant des critères stricts est rarement possible, ce qui explique que la méthode serve de recoupement plutôt que de mesure. Les six paires de l'énoncé sont d'ailleurs beaucoup moins dispersées que celles du cas 1 (\cref{tab:17:paires}), dont l'écart-type dépasse \dollars{60000} pour le garage.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:17:4}{Halvorsen--Palmquist et Kennedy}17Pour l'indicatrice « bord de l'eau » ($\hat\beta = 0{,}045$, erreur-type $0{,}020$) : lecture naïve \pct{4.50} ; \cref{eq:17:hp} : $\exp(0{,}045) - 1 = \pct{4.60}$ ; \cref{eq:17:kennedy} : $\exp(0{,}045 - 0{,}020^2/2) - 1 = \exp(0{,}0448) - 1 = \pct{4.58}$. Sur un comparable de \dollars{600000}, les trois lectures donnent \dollars{27000}, \dollars{27617} et \dollars{27491} : les écarts sont de quelques centaines de dollars, sans portée pratique. Pour l'indicatrice de secteur ($\hat\beta = -0{,}25$, erreur-type $0{,}08$) : lecture naïve \pct{-25.00} ; Halvorsen--Palmquist $\exp(-0{,}25) - 1 = \pct{-22.12}$ ; Kennedy $\exp(-0{,}25 - 0{,}0032) - 1 = \pct{-22.37}$. Sur \dollars{600000}, l'ajustement vaut $-\dollars{150000}$ en lecture naïve, $-\dollars{132719}$ selon Halvorsen--Palmquist et $-\dollars{134212}$ selon Kennedy : la lecture naïve exagère l'ajustement de plus de \dollars{17000}, et la correction de Kennedy déplace encore le résultat de \dollars{1500}. La correction de Halvorsen--Palmquist compte dès que $\abs{\beta}$ dépasse quelques centièmes, parce que $\exp(\beta) - 1 - \beta \approx \beta^2/2$ ; celle de Kennedy compte lorsque la variance de $\hat\beta$ n'est pas négligeable devant $\abs{\beta}$, ce qui est le cas des indicatrices de secteurs peu peuplés et des échantillons petits. Le \cref{tab:17:hpk} montre le même contraste entre le garage et les secteurs de Buckingham et de Masson-Angers dans le cas 1.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:17:5}{Additif, multiplicatif, mixte}21Forme multiplicative, \cref{eq:17:multiplicatif} : $500\,000 \times 1{,}06 \times 1{,}04 \times 0{,}95 = \dollars{523640}$. Forme additive, \cref{eq:17:additif}, tous les effets appliqués au prix de vente : $500\,000\,(1 + 0{,}06 + 0{,}04 - 0{,}05) = \dollars{525000}$. Forme mixte, \cref{eq:17:mixte} : base actualisée $500\,000 \times 1{,}06 = \dollars{530000}$, puis $530\,000 \times 0{,}04 = \dollars{21200}$ et $530\,000 \times (-0{,}05) = -\dollars{26500}$ en dollars, d'où $530\,000 + 21\,200 - 26\,500 = \dollars{524700}$. L'\cref{eq:17:ecart-formes} donne l'écart multiplicatif moins additif : termes de second ordre $a_1 a_2 + a_1 a_3 + a_2 a_3 = 0{,}0024 - 0{,}0030 - 0{,}0020 = -0{,}0026$, terme de troisième ordre $a_1 a_2 a_3 = -0{,}00012$, total $-0{,}00272$, soit $500\,000 \times (-0{,}00272) = -\dollars{1360}$, ce qui est bien $523\,640 - 525\,000$. L'écart est négatif parce que les ajustements de signes contraires produisent des termes croisés négatifs qui l'emportent sur le terme positif $a_1 a_2$. La forme multiplicative est l'analogue exact d'un modèle en logarithme, puisque $\ln P^{\text{aj}} = \ln P + \sum_k \ln(1 + a_k)$ est additif en logarithme ; la forme additive est l'analogue d'un modèle linéaire en niveau ; la forme mixte n'a pas d'analogue exact, mais elle se situe entre les deux et respecte la convention de l'ouvrage.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:17:6}{Pondération inverse du brut et réconciliation}25Prix ajustés : A, $600\,000 + 30\,000 - 60\,000 = \dollars{570000}$ ; B, $520\,000 + 26\,000 + 13\,000 = \dollars{559000}$ ; C, $575\,000 - 23\,000 + 46\,000 + 23\,000 = \dollars{621000}$. Ajustements bruts : $90\,000/600\,000 = \pct{15.0}$, $39\,000/520\,000 = \pct{7.5}$, $92\,000/575\,000 = \pct{16.0}$ ; nets : \pct{-5.0}, \pct{+7.5}, \pct{+8.0}. Les inverses des bruts sont $6{,}667$, $13{,}333$ et $6{,}25$, de somme $26{,}25$, d'où les poids $w_A = 0{,}254$, $w_B = 0{,}508$ et $w_C = 0{,}238$ (\cref{eq:17:poids} ; le plancher de \pct{1} n'intervient pas). La valeur pondérée est $0{,}254 \times 570\,000 + 0{,}508 \times 559\,000 + 0{,}238 \times 621\,000 = \dollars{576556}$, contre une moyenne simple de \dollars{583333} et une médiane de \dollars{570000} ; la fonction \texttt{reconciliation} donne aussi un écart-type pondéré de \dollars{25254} et une étendue de \pct{10.8} de la valeur pondérée. A et C reçoivent des poids voisins parce que la règle ne regarde que le brut, c'est-à-dire la somme des valeurs absolues : que les ajustements de A se compensent (net $-5$ \%) et que ceux de C s'additionnent (net $+8$ \%) ne change pas leur éloignement total, donc pas la variance que le brut est censé approximer. La règle est critiquable lorsque le comparable le moins ajusté, B, est aussi la vente la plus ancienne : son faible brut tient alors à ce que l'ajustement de temps, bien que grand en incertitude (choix de l'indice, \cref{tab:17:sensibilite}), est petit en montant si le marché a peu bougé, ou à ce qu'il est compté comme un seul élément alors qu'il contamine tous les autres. Dans ce cas, l'évaluateur devrait soit majorer le brut de B d'une pénalité d'ancienneté, soit revenir à la pondération par la variance (proposition du \cref{ch:16}) en attribuant à l'ajustement de temps une variance propre.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:17:7}{Remplacer les prix implicites par les paires}29En remplaçant l'ajustement de garage de G0574 (\dollars{19988}) et de G0575 (\dollars{18665}) par la différence moyenne des paires, \dollars{7991}, et l'ajustement de sous-sol de G0574 (\dollars{13925}) par \dollars{23623}, les prix ajustés deviennent \dollars{637948} pour G0574 ($640\,247 - 11\,997 + 9\,698$) et \dollars{574188} pour G0575 ($584\,862 - 10\,674$) ; G0404, G0468 et G0477 sont inchangés. La moyenne passe de \dollars{581595} à \dollars{579001}, les bruts de G0574 et de G0575 deviennent respectivement \pct{19.7} et \pct{24.7}, les poids $0{,}180$, $0{,}322$, $0{,}200$, $0{,}156$ et $0{,}142$, et la valeur pondérée passe de \dollars{575565} à \dollars{573963}. L'écart avec la prédiction hédonique (\dollars{637953}) ne s'est pas réduit : il passe de \pct{-8.8} à \pct{-9.2} pour la moyenne. La \cref{prop:residus} explique pourquoi aucun choix de prix implicites du garage ou du sous-sol ne peut combler l'écart : avec les prix implicites du modèle, la moyenne des prix ajustés vaut la prédiction ponctuelle multipliée par la moyenne des facteurs résiduels des cinq comparables, $0{,}915$ ; en changeant deux prix implicites, on déplace deux prix ajustés de quelques milliers de dollars, mais on ne touche pas aux résidus de G0404, G0468 et G0477, qui sont de $-16$, $-10$ et $-11$ \% et qui portent l'essentiel de l'écart. Combler l'écart exigerait des ajustements de l'ordre de \dollars{50000} à \dollars{90000} sur ces trois comparables, sans aucune caractéristique observée qui les justifie. Deux vérifications de terrain permettraient de trancher entre les deux lectures de la \cref{sec:17:residus} : d'une part, l'inspection extérieure et l'examen des photos et des descriptions de courtage des cinq comparables, pour détecter un état, une finition ou une nuisance que la cote de qualité et l'âge ne captent pas et qui expliquerait des prix bas (lecture « information locale ») ; d'autre part, l'élargissement de l'échantillon aux candidats classés sixième à dixième par la distance d'attributs du \cref{ch:16}, puis le calcul de leurs résidus : si ceux-ci sont centrés sur zéro, les cinq premiers étaient simplement des ventes bon marché (lecture « bruit ») ; s'ils sont eux aussi négatifs, le micro-marché est réellement moins cher que le secteur et c'est le modèle qui doit être corrigé par un effet de voisinage (\cref{ch:19}). Le \cref{ch:20} formalise cette démarche par le bootstrap des comparables.30\end{solution}31