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1% Solutions du chapitre 28 — Dépenses, réserves, CAPEX et RNE2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch28_depenses.py (fonction exercices()) ; tests : analysis/python/tests/test_ch28.py.34\begin{solution}{ex:28:1}{État normalisé d'un huit logements}5Le revenu brut potentiel est $8 \times \dollars{1250} \times 12 = \dollars{120000}$ ; après inoccupation et pertes de \pct{4} et ajout des autres revenus, $RBE = \dollars{120000} \times 0{,}96 + \dollars{3600} = \dollars{118800}$. Dépenses fixes : taxe municipale $\dollars{1450000} \times \num{0.004631} = \dollars{6714.95}$ ; taxe scolaire $\dollars{1450000} \times \num{0.0007899} = \dollars{1145.36}$ ; assurances \dollars{7400} ; total \dollars{15260.31}. Dépenses variables : électricité \dollars{2100}, entretien \dollars{6800}, déneigement \dollars{3900} et gestion $0{,}05 \times \dollars{118800} = \dollars{5940}$ ; total \dollars{18740}. Réserve : $8 \times \dollars{600} = \dollars{4800}$. Dépenses totales : $\dollars{15260.31} + \dollars{18740} + \dollars{4800} = \dollars{38800.31}$. Revenu net d'exploitation : $\dollars{118800} - \dollars{38800.31} = \dollars{79999.70}$, soit \dollars{10000} par logement (\dollars{9999.96}). Ratio de dépenses : $\dollars{38800.31}/\dollars{118800} = \pct{32.66}$ ; la marge nette est de \pct{67.3}. Les dépenses fixes représentent $\dollars{15260.31}/\dollars{38800.31} = \pct{39.3}$ des dépenses totales et \pct{12.8} du revenu brut effectif. Ce ratio, nettement inférieur à celui du cas~3 (\pct{46.6}), tient à des loyers plus élevés (\dollars{1250} contre \dollars{1150}), à l'absence de conciergerie et à une assurance plus légère ; la comparaison poste par poste, non le ratio global, en rend compte.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:28:2}{Dernière année ou moyenne indexée}9Pour chaque poste, les trois exercices sont ramenés en dollars de 2026 au taux de \pct{3} : facteurs $1{,}03^3 = \num{1.092727}$ pour 2023, $1{,}03^2 = \num{1.0609}$ pour 2024 et $1{,}03$ pour 2025. Assurances : $11474 \times \num{1.092727} = \dollars{12537.95}$, $12614 \times \num{1.0609} = \dollars{13382.19}$, $11060 \times 1{,}03 = \dollars{11391.80}$ ; moyenne indexée \dollars{12437.31}, dernière année indexée \dollars{11391.80}, écart $+\dollars{1045.51}$. Entretien et réparations : $10434 \times \num{1.092727} = \dollars{11401.51}$, $11025 \times \num{1.0609} = \dollars{11696.42}$, $11403 \times 1{,}03 = \dollars{11745.09}$ ; moyenne \dollars{11614.34}, écart $-\dollars{130.75}$. Conciergerie : \dollars{9822.52}, \dollars{10849.82}, \dollars{10139.32} ; moyenne \dollars{10270.56}, écart $+\dollars{131.24}$. L'écart total sur les trois postes est de $+\dollars{1046.00}$ de dépenses, soit, au taux de \pct{4.415}, $\dollars{1046.00}/\num{0.04415} = \dollars{23692}$ de valeur en moins, environ \pct{1.2}. L'essentiel vient de l'assurance : la moyenne indexée conserve la trace de la pointe de 2024 alors que la dernière année reflète la nouvelle police. La moyenne indexée convient aux postes irréguliers par nature (réparations, honoraires), dont une année isolée n'est pas représentative ; la dernière année indexée convient aux postes dont le niveau a changé durablement (nouveau contrat, nouvelle police, nouveau fournisseur), où la moyenne mélangerait deux régimes. Pour l'assurance du cas~3, le changement d'assureur plaide pour la dernière année ; l'évaluateur déclare le choix et son effet.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:28:3}{Taxes recalculées ou indexées}13Taxe recalculée au taux général : $\dollars{2200000} \times \num{0.004631} = \dollars{10188.20}$. Compte de 2025 indexé : $\dollars{10631} \times 1{,}053 = \dollars{11194.44}$. L'écart est de \dollars{1006.24} de dépenses en plus ; le revenu net passerait de \dollars{89955.75} à \dollars{88949.51} et la valeur à \pct{4.415} de \dollars{2037503} à \dollars{2014711}, soit $-\dollars{22791}$ ou $-\pct{1.1}$. Taxe scolaire avec l'exemption des premiers \dollars{25000} : $(\dollars{2200000} - \dollars{25000}) \times \num{0.0007899} = \dollars{1718.03}$ contre \dollars{1737.78} sans exemption ; l'écart de \dollars{19.75} représente moins de \dollars{450} de valeur, ce qui justifie la simplification de la bibliothèque, à condition de la déclarer. La taxe recalculée au taux général peut être inférieure au compte réel parce que le compte comprend, outre la taxe générale, les taxes d'arrondissement (à Montréal), les taxes spéciales (service de la dette, transport en commun, secteur) et, dans d'autres villes, des tarifications par logement ; le taux général ne capte que la première composante. L'évaluateur doit partir du compte de taxes réel, en identifier chaque ligne, recalculer celles qui dépendent du rôle et des taux publiés, conserver les tarifications fixes et vérifier que la somme reconstitue le compte ; s'il ne dispose que du taux général, il le signale et estime la part manquante à partir du compte précédent, comme le fait ici le scénario indexé.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:28:4}{Réserve linéaire et fonds d'amortissement}17Méthode linéaire, par logement : $2200/12 + 1100/10 + 3600/20 + 1500/7 = 183{,}33 + 110{,}00 + 180{,}00 + 214{,}29 = \dollars{687.62}$. Fonds d'amortissement à \pct{3} : le facteur $i/[(1+i)^N - 1]$ vaut \num{0.070462} pour 12 ans, \num{0.087231} pour 10 ans, \num{0.037216} pour 20 ans et \num{0.130506} pour 7 ans, d'où $155{,}02 + 95{,}95 + 133{,}98 + 195{,}76 = \dollars{580.71}$. À \pct{5} : \dollars{518.77}. Pour douze logements : \dollars{8251.43} (linéaire), \dollars{6968.47} (fonds à \pct{3}) et \dollars{6225.29} (fonds à \pct{5}). Lorsque $i \to 0$, $(1+i)^N - 1 \approx N i$, de sorte que $i/[(1+i)^N - 1] \to 1/N$ : le fonds d'amortissement tend vers la méthode linéaire, et la différence entre les deux est le rendement que les dotations accumulées sont supposées produire avant d'être dépensées. La convention du dossier, \dollars{675.25} par logement, est très proche de la dotation linéaire (\dollars{687.62}) ; elle revient donc à supposer soit que les sommes mises de côté ne rapportent rien (ou qu'elles ne sont pas réellement mises de côté, ce qui est la situation du propriétaire typique qui paie les remplacements au fur et à mesure), soit qu'une marge couvre des composantes non énumérées. Dans les deux cas, l'hypothèse est prudente et doit être la même pour les ventes dont le taux est extrait.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:28:5}{Cohérence réserve et taux sur un comparable}21Réserve du comparable : $20 \times \dollars{675} = \dollars{13500}$. Taux après réserve : $R = \dollars{182000}/\dollars{4100000} = \pct{4.439}$. Taux avant réserve : $R' = (\dollars{182000} + \dollars{13500})/\dollars{4100000} = \pct{4.768}$ ; l'écart de 32,9 points de base est égal à $RR_c/P_c$. Appliqué au revenu net après réserve du sujet, le taux avant réserve donne $V' = \dollars{89955.75}/\num{0.04768} = \dollars{1886540}$ ; l'application cohérente donne $V = \dollars{89955.75}/\num{0.04439} = \dollars{2026476}$ ; l'erreur est de $-\dollars{139936}$, soit $-\pct{6.91}$. La formule $RR_{\text{sujet}}/R' = \dollars{8103}/\num{0.04768} = \dollars{169935}$ ne redonne pas cet écart, parce que la \cref{prop:reserve-asymetrique} suppose que le taux avant réserve a été extrait d'un immeuble dont la réserve pèse la même part du revenu net avant réserve que celle du sujet. Or la part est de $\dollars{13500}/\dollars{195500} = \pct{6.91}$ pour le comparable et de $\dollars{8103}/\dollars{98059} = \pct{8.26}$ pour le sujet ; l'erreur relative exacte est la part du comparable, $-\pct{6.91}$, et non celle du sujet. Appliqué au revenu avant réserve du sujet, $\dollars{98058.75}$, le taux avant réserve donne \dollars{2056475}, supérieur de \pct{1.5} à la valeur cohérente : les deux conventions ne sont strictement équivalentes que si la réserve pèse la même part des deux côtés, et l'écart résiduel mesure précisément la différence de poids de la réserve entre le sujet et le comparable. La leçon reste la même qu'au \cref{ch:29} : une convention ou l'autre, mais la même des deux côtés, et de préférence une réserve calculée de la même façon pour tous.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:28:6}{Gestion imputée et propriétaire-occupant}25Sans gestion imputée, les dépenses totales du triplex tombent de \dollars{18543.08} à \dollars{16920} et le revenu net monte de \dollars{22033.96} à \dollars{23657.04} ; le ratio passe de \pct{45.7} à \pct{41.7}. Avec une gestion de \pct{5} du revenu brut effectif, $0{,}05 \times \dollars{40577.04} = \dollars{2028.85}$, le revenu net est de \dollars{21628.19}. Si le taux médian de \pct{3.17} a été extrait de revenus nets incluant une gestion imputée de \pct{4}, la valeur cohérente est $\dollars{22033.96}/\num{0.0317} = \dollars{695078}$ et la valeur obtenue sans gestion $\dollars{23657.04}/\num{0.0317} = \dollars{746279}$, soit une surévaluation de \dollars{51201} ou \pct{7.37}, égale au rapport de la gestion imputée au revenu net cohérent. L'imputation est légitime au titre de la valeur \emph{marchande} parce que celle-ci suppose l'acheteur typique du marché des plex, qui doit soit payer un gestionnaire, soit consacrer son temps à la gestion, temps qui a un coût d'opportunité ; le fait que l'acheteur le plus probable soit un occupant ne change pas le coût, il change seulement celui qui le supporte. En revanche, pour un acheteur-occupant donné, qui valorise son propre temps à un taux faible et qui tire du logement occupé une utilité d'usage, la gestion non rémunérée peut être omise dans le calcul de sa valeur d'\emph{investissement} (ou valeur d'usage), qui lui est propre et qui peut légitimement dépasser la valeur marchande. C'est d'ailleurs l'une des raisons pour lesquelles les taux extraits des ventes de plex sont bas (\pct{3.17} ici) : une partie des acheteurs sont des occupants qui paient aussi pour se loger, ce que le \cref{ch:32} développe.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:28:7}{Réserve, dépenses en capital et double comptage}29Les dépenses en capital surviennent aux années 2, 4 et 7 de l'horizon (2027, 2029 et 2032 pour une évaluation en 2026). Valeur actuelle à \pct{7.25} : $\dollars{85000}/1{,}0725^2 + \dollars{40000}/1{,}0725^4 + \dollars{120000}/1{,}0725^7 = \dollars{73897} + \dollars{30232} + \dollars{73519} = \dollars{177648}$. Annuité équivalente sur dix ans : facteur de recouvrement $0{,}0725/[1 - 1{,}0725^{-10}] = \num{0.144027}$, d'où $\dollars{177648} \times \num{0.144027} = \dollars{25586}$ par année, légèrement supérieure à la moyenne simple de \dollars{24500} parce que les travaux sont concentrés en début d'horizon. L'évaluateur qui retranche cette annuité du revenu net en plus de la réserve obtient $\dollars{89955.75} - \dollars{25586.15} = \dollars{64369.60}$ et, à \pct{4.415}, une valeur de \dollars{1457975}, inférieure de \pct{28.4} à la valeur cohérente de \dollars{2037503}. L'erreur est double : d'une part les travaux sont comptés une fois dans les flux actualisés et une fois dans le revenu capitalisé ; d'autre part le taux de \pct{4.415} a été extrait de ventes dont le revenu net ne comportait qu'une réserve pour composantes à vie courte, de sorte que même sans flux actualisés, une réserve « pour gros travaux » exigerait un taux plus bas. Équivalence pour la composante de \dollars{2200} par logement : $C = 12 \times \dollars{2200} = \dollars{26400}$ tous les douze ans. Valeur actuelle des remplacements perpétuels à \pct{3} : $C/[(1{,}03)^{12} - 1] = \dollars{26400}/\num{0.425761} = \dollars{62006.64}$. Réserve au fonds d'amortissement : $RR = C \times 0{,}03/\num{0.425761} = \dollars{1860.20}$ par année, dont la valeur actuelle perpétuelle est $RR/0{,}03 = \dollars{62006.64}$. Les deux coïncident exactement, ce qui est la \cref{eq:28:va-capex} : capitaliser un revenu diminué de la réserve du fonds d'amortissement, ou actualiser des flux diminués des remplacements datés, au même taux, donne la même valeur, à condition de ne le faire qu'une fois.30\end{solution}31