spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 40 — Monte-Carlo et stress tests (données synthétiques, cas 3 et cas 4)2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch40_montecarlo.py (fonction exercices) ; tests : analysis/python/tests/test_ch40.py34\begin{solution}{ex:40:1}{Élicitation d'une loi log-normale}5Par l'\cref{eq:40:elicitation}, la médiane est la moyenne géométrique des deux quantiles, $m = \sqrt{0{,}024 \times 0{,}063} = \num{0.03888}$, soit \pct{3.89}, et l'écart-type logarithmique est $\sigma_{\ln} = \ln(0{,}063/0{,}024)/(2 \times 1{,}6449) = \ln(2{,}625)/3{,}2897 = \num{0.2934}$. La moyenne vaut $m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2} = 0{,}03888 \times e^{0{,}04304} = \num{0.04059}$, soit \pct{4.06}, et l'écart-type $m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2}\sqrt{e^{\sigma_{\ln}^2} - 1} = 0{,}04059 \times \sqrt{e^{0{,}08608} - 1} = \num{0.01217}$, soit \pct{1.22}. La probabilité de dépasser \pct{5} est $1 - \Phi\big(\ln(0{,}05/0{,}03888)/0{,}2934\big) = 1 - \Phi(0{,}857) = \num{0.1957}$, soit \pct{19.6}. La loi du cas 3 (médiane \pct{3.9}, $\sigma_{\ln} = 0{,}30$) est pratiquement la même : l'expert a décrit, à quelques centièmes près, la loi du dossier, ce qui montre que les quantiles 5 et 95 \% du \cref{tab:40:lois} (\pct{2.38} et \pct{6.39}) sont bien l'équivalent, en langage d'expert, des paramètres $(m, \sigma_{\ln})$. La moyenne excède la médiane de \num{0.0017} parce que la loi est asymétrique à droite : les années d'inoccupation élevée, moins fréquentes, s'écartent davantage de la médiane que les années d'inoccupation faible, bornées par zéro ; c'est la moyenne qui entre dans l'espérance du revenu brut effectif, de sorte qu'une simulation centrée sur la médiane \pct{3.9} produit un revenu espéré légèrement inférieur au revenu déterministe.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:40:2}{Triangulaire ou bêta-PERT}9Pour la triangulaire $\mathcal{T}(0{,}08 ; 0{,}15 ; 0{,}25)$ : moyenne $(0{,}08 + 0{,}15 + 0{,}25)/3 = \pct{16.00}$ ; variance $(0{,}0064 + 0{,}0225 + 0{,}0625 - 0{,}012 - 0{,}02 - 0{,}0375)/18 = \num{0.0012167}$, écart-type \num{0.03488} ; $F(m) = 0{,}07/0{,}17 = 0{,}412$, donc $q_{0{,}05} = 0{,}08 + \sqrt{0{,}05 \times 0{,}17 \times 0{,}07} = \pct{10.44}$ et $q_{0{,}95} = 0{,}25 - \sqrt{0{,}05 \times 0{,}17 \times 0{,}10} = \pct{22.08}$. Pour la bêta-PERT ($\lambda = 4$) : $\alpha = 1 + 4 \times 0{,}07/0{,}17 = \num{2.647}$, $\beta = 1 + 4 \times 0{,}10/0{,}17 = \num{3.353}$ ; moyenne $(0{,}08 + 4 \times 0{,}15 + 0{,}25)/6 = \pct{15.50}$ ; écart-type $\sqrt{(0{,}155 - 0{,}08)(0{,}25 - 0{,}155)/7} = \num{0.03190}$ ; quantiles 5 et 95 \% (par la fonction quantile de la loi bêta) \pct{10.46} et \pct{20.94}. La probabilité d'une rotation supérieure à \pct{20} est $(0{,}25 - 0{,}20)^2/\big((0{,}25 - 0{,}08)(0{,}25 - 0{,}15)\big) = \num{0.147}$ pour la triangulaire et \num{0.092} pour la PERT : la triangulaire donne \pct{60} de poids en plus à la queue haute, parce que sa densité décroît linéairement jusqu'au maximum au lieu de s'y écraser. Le choix importerait si la rotation pesait sur la valeur ; or le \cref{tab:40:sobol} lui attribue \pct{1.3} de la variance (indice de Sobol \num{0.013}) et une amplitude de tornade de \dollars{90738}. Remplacer la triangulaire par la PERT abaisserait la moyenne de la rotation d'un demi-point et réduirait sa dispersion de \pct{9}, pour un effet sur la valeur médiane de l'ordre de quelques milliers de dollars, inférieur à l'erreur de Monte-Carlo (\dollars{4100}). Le choix importerait en revanche dans un modèle où la rotation gouverne la valeur, par exemple un immeuble dont tous les baux sont très en dessous du marché et dont la valeur dépend de la vitesse du rattrapage.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:40:3}{Nombre de tirages requis}13L'écart-type « pour $N = 1$ » de la médiane est $\sigma_1 = \sqrt{0{,}25}/f(q_{0{,}5}) = 0{,}5/(1{,}2093 \times 10^{-6}) = \dollars{413451}$, ce que l'on retrouve aussi par $\operatorname{se}_{\num{10000}} \times \sqrt{\num{10000}} = 4135 \times 100$. Par l'\cref{eq:40:n-requis} avec $z_{0{,}975} = 1{,}96$ : pour une demi-largeur de \dollars{5000}, $N \geq (1{,}96 \times \num{413451}/5000)^2 = \num{26267}$ ; pour \dollars{1000}, $N \geq \num{656665}$, soit vingt-cinq fois plus, puisque la précision est cinq fois meilleure et que le coût croît comme le carré. Pour une probabilité voisine de 0,5, $\sigma_1 = \sqrt{0{,}5 \times 0{,}5} = 0{,}5$ : à un point près, $N \geq (1{,}96 \times 0{,}5/0{,}01)^2 = \num{9604}$ ; à un demi-point, $N \geq \num{38415}$. Les \num{10000} tirages du traité suffisent donc à estimer la probabilité de bris de covenant au point près et la médiane à \dollars{8000} près à \pct{95}. Vouloir la médiane à \dollars{1000} près demanderait deux tiers de million de tirages, ce qui reste faisable en quelques secondes avec le modèle vectorisé, mais serait vain : l'écart-type du taux d'actualisation, qui explique plus de la moitié de la variance de la valeur, est fixé à \qty{50}{\pb} par jugement, et le porter à 40 ou \qty{60}{\pb} déplacerait les quantiles de dizaines de milliers de dollars. L'erreur de Monte-Carlo doit être rendue petite devant l'incertitude de modélisation, pas devant le dollar ; au-delà, l'effort doit porter sur l'ancrage empirique des lois.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:40:4}{Copule gaussienne à la main}17Avec $\sigma_1 = 0{,}005$, $\sigma_2 = 0{,}0064$ et $\rho = 0{,}78$, l'\cref{eq:40:cholesky} donne18\[19\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0{,}005 & 0 \\ 0{,}78 \times 0{,}0064 & 0{,}0064\sqrt{1 - 0{,}78^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}005000 & 0 \\ 0{,}004992 & 0{,}004005 \end{pmatrix},20\]21et $\mathbf{L}\mathbf{L}\T$ a pour éléments $0{,}005^2 = 2{,}500 \times 10^{-5}$, $0{,}005 \times 0{,}004992 = 2{,}496 \times 10^{-5} = \rho\sigma_1\sigma_2$ et $0{,}004992^2 + 0{,}004005^2 = 4{,}096 \times 10^{-5} = 0{,}0064^2$ : la matrice de covariance est bien reconstituée. Pour $(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = (1{,}2 ; -0{,}5)$ : $Z_1 = 0{,}005 \times 1{,}2 = 0{,}0060$ et $Z_2 = 0{,}004992 \times 1{,}2 - 0{,}004005 \times 0{,}5 = 0{,}005990 - 0{,}002003 = 0{,}003988$, d'où $r = 0{,}0725 + 0{,}0060 = \pct{7.85}$ et $R_T = 0{,}05 + 0{,}003988 = \pct{5.40}$ : un tirage de taux d'actualisation élevé entraîne un taux terminal élevé, le second tirage indépendant ne le ramenant qu'en partie. La corrélation de Spearman induite est $(6/\pi)\arcsin(0{,}39) = \num{0.765}$. La construction du cas 3, $R_T = r - \delta$ avec $r \sim \mathcal{N}(0{,}0725 ; 0{,}005^2)$ et $\delta \sim \mathcal{N}(0{,}0225 ; 0{,}004^2)$ indépendants, s'écrit $R_T - 0{,}05 = 0{,}005\,\varepsilon_1 - 0{,}004\,\varepsilon_2'$ : c'est exactement la seconde ligne de $\mathbf{L}$ avec $\rho\sigma_2 = 0{,}005$ et $\sigma_2\sqrt{1 - \rho^2} = 0{,}004$ (le signe de $\varepsilon_2'$ est indifférent), d'où $\sigma_2 = \sqrt{0{,}005^2 + 0{,}004^2} = 0{,}0064$ et $\rho = 0{,}005/0{,}0064 = 0{,}781$, conformément à l'\cref{eq:40:rRT}. La relation structurelle « taux terminal = taux d'actualisation moins croissance » est donc une copule gaussienne dont les paramètres sont implicites ; l'avantage de l'écrire ainsi est que chaque paramètre a un sens économique.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:40:5}{VaR, CVaR et approximation normale}25Sur les \num{10000} valeurs simulées, le quantile 10 \% est \dollars{1823312} ; la VaR à \pct{10} par rapport à \dollars{2208566} est donc $\dollars{2208566} - \dollars{1823312} = \dollars{385254}$, soit \pct{17.4} de la valeur. La moyenne des \num{1000} plus petites valeurs est \dollars{1717358}, d'où une CVaR de \dollars{491208}, soit \pct{22.2}. Sous l'hypothèse normale de moyenne \dollars{2233506} et d'écart-type \dollars{350443}, le quantile 10 \% serait $\mu + \sigma z_{0{,}10} = \num{2233506} - \num{350443} \times 1{,}2816 = \dollars{1784395}$, soit une VaR de \dollars{424171}, et l'espérance de queue serait $\mu - \sigma\varphi(z_{0{,}10})/0{,}10 = \num{2233506} - \num{350443} \times 1{,}7550 = \dollars{1618485}$, soit une CVaR de \dollars{590081}. L'approximation normale surestime la VaR de \dollars{38917} et la CVaR de \dollars{98873} : la distribution simulée est asymétrique à droite (moyenne supérieure à la médiane de \dollars{41898}, queue haute longue), de sorte que sa queue basse est plus courte que celle d'une normale de même écart-type, lequel est gonflé par la queue haute. Un prêteur qui garantit \pct{75} de la valeur, soit \dollars{1656425}, regarde la probabilité que la valeur tombe sous ce montant, $F(\dollars{1656425})$, qui se lit sur la fonction de répartition simulée (\pct{2.1} sur les \num{10000} tirages) et, pour la gravité de la perte au-delà, la CVaR au niveau correspondant plutôt que la VaR, qui ne dit rien de ce qui se passe une fois le seuil franchi. La CVaR est sous-additive : la CVaR d'un portefeuille de prêts n'excède jamais la somme des CVaR, ce qui en fait une mesure cohérente pour l'agrégation ; la VaR peut au contraire croître par agrégation lorsque les distributions sont asymétriques ou à queues épaisses, ce qui récompenserait paradoxalement la concentration.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:40:6}{Incertitude doublée sur le taux d'actualisation}29Avec $\sigma_r = \qty{100}{\pb}$ et la même graine, la médiane est de \dollars{2184377} (contre \dollars{2191608}), l'écart-type de \dollars{546896} (contre \dollars{350443}, soit $\times 1{,}56$), le coefficient de variation de \pct{24.0} (contre \pct{15.7}), l'intervalle à \pct{90} de \dollars{1539790} à \dollars{3322787} (contre \dollars{1735194} à \dollars{2876902}) et la probabilité d'une valeur inférieure à deux millions de \pct{35.6} (contre \pct{26.5}). La médiane bouge à peine parce que la loi de $r$ reste centrée sur \pct{7.25} : élargir une loi symétrique ne déplace pas son centre, et la valeur est presque linéaire en $r$ sur la plage considérée, de sorte que la médiane de la valeur suit la médiane de $r$ ; la légère baisse (\dollars{7231}) tient à la convexité, qui déplace la moyenne vers le haut et la médiane vers le bas quand la dispersion croît, et à l'élargissement de la loi de $R_T = r - \delta$, dont le plancher à \pct{3.5} devient plus souvent actif. Si le modèle est additif, la variance due à $r$ quadruple tandis que les autres contributions sont inchangées : l'indice de Sobol de $r$ passe d'environ $0{,}528$ à $4 \times 0{,}528/(1 + 3 \times 0{,}528) = \num{0.817}$ ; la variance totale est multipliée par $1 + 3 \times 0{,}528 = 2{,}58$, soit un écart-type multiplié par $1{,}61$, proche du $1{,}56$ observé, l'écart venant du plancher du taux terminal et des interactions. Phrase de rapport : « La valeur par flux actualisés de \dollars{2208566} repose d'abord sur un taux d'actualisation de \pct{7.25} qui, en l'absence d'enquête publique sur les rendements exigés pour le multirésidentiel montréalais, n'est connu qu'à un point de pourcentage près à \pct{90} ; sous cette incertitude, neuf fois sur dix la valeur se situe entre \dollars{1540000} et \dollars{3323000}, et il y a environ une chance sur trois qu'elle soit inférieure à deux millions ; la conclusion ponctuelle n'en est pas moins la meilleure estimation, mais le lecteur doit savoir que sa précision est gouvernée par le taux de rendement exigé, non par l'exploitation de l'immeuble. »30\end{solution}31