spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 48 — Cas 4 : portefeuille multirésidentiel interrégional (données synthétiques)2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch48_portefeuille.py (fonction exercices) ; tests : analysis/python/tests/test_ch48.py34\begin{solution}{ex:48:1}{Sommaire d'une région}5Les sept immeubles de Sherbrooke (P05, P18, P23, P31, P32, P35, P48) totalisent 132~logements, une valeur de \dollars{18132000}, un revenu net de \dollars{1040704} et une dette de \dollars{10177000}. Le taux pondéré est $\bar R = \dollars{1040704} / \dollars{18132000} = \pct{5.740}$ ; la valeur par logement est $\dollars{18132000} / 132 = \dollars{137364}$ et le ratio prêt-valeur $\dollars{10177000} / \dollars{18132000} = \pct{56.1}$. La moyenne simple des sept taux (5,52 ; 6,01 ; 5,71 ; 5,34 ; 5,64 ; 5,72 ; 5,73~\%) est \pct{5.667} et leur médiane \pct{5.71}. Capitaliser le revenu net régional à la moyenne simple donnerait $\dollars{1040704} / \num{0.05667} = \dollars{18363822}$, soit \pct{1.28} de plus que la valeur agrégée. L'écart vient de ce que la moyenne simple donne le même poids au six logements P31 (taux \pct{5.34}, valeur \dollars{666000}) et au trente-six logements P18 (taux \pct{6.01}, valeur \dollars{4968000}) : P18, qui pèse \pct{27} de la valeur régionale, porte le taux le plus élevé, tandis que les petits immeubles P05 et P31, aux taux les plus bas, tirent la moyenne simple vers le bas ; le taux pondéré est donc plus élevé que la moyenne simple et la valeur agrégée plus basse. Le taux pondéré est la seule statistique qui reproduise l'identité valeur agrégée $=$ RNE agrégé / taux (\cref{eq:48:taux-pondere}) ; la moyenne simple et la médiane décrivent la distribution des immeubles, non celle de la valeur.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:48:2}{Un immeuble hors portefeuille}9Le vecteur de caractéristiques centrées est $(1 ;\ 0 ;\ \ln(24/12) = 0{,}693 ;\ 1 ;\ 0 ;\ (45 - 50)/10 = -0{,}5 ;\ \text{Trois-Rivières} = 1)$. Le logarithme du taux prédit est $-3{,}0783 + (-0{,}0315)(0{,}693) + 0{,}0756 + (-0{,}0070)(-0{,}5) + 0{,}3377 = -2{,}6834$, d'où $\exp(-2{,}6834) = \num{0.06833}$ et, avec le facteur de Duan \num{1.0011}, un taux prédit de \pct{6.841}. La valeur prédite est $\dollars{150000} / \num{0.06841} = \dollars{2192675}$, soit \dollars{91361} par logement. Hors zone inondable, le terme $0{,}0756$ disparaît : taux \pct{6.343} et valeur \dollars{2364969}. L'effet de la zone inondable est de $+49{,}8$~points de base et de $\dollars{2192675} / \dollars{2364969} - 1 = -\pct{7.29}$ de la valeur ; on vérifie que $e^{-0{,}0756} - 1 = -\pct{7.29}$, conformément à l'\cref{eq:48:decote}, l'effet proportionnel sur la valeur ne dépendant pas du niveau du taux. Le même immeuble à Montréal, hors zone inondable, aurait un taux de \pct{4.525} et une valeur de \dollars{3314944}, supérieure de \pct{40} à celle de Trois-Rivières : l'effet de région (+34~\% du taux) domine de loin l'effet de la zone inondable (+8~\%). L'évaluateur rappellera que ces coefficients sont des propriétés du jeu synthétique estimées sur trois immeubles inondables, et que la décision d'achat exige une lecture de la cartographie en vigueur et une analyse de l'assurabilité.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:48:3}{La dette de P45}13Le taux mensuel équivalent à \pct{5.17} composé semestriellement est $(1 + 0{,}02585)^{1/6} - 1 = \num{0.0042626}$. Sur 480~mois, le paiement mensuel est $\dollars{5416000} \times 0{,}0042626 / (1 - 1{,}0042626^{-480}) = \dollars{26530}$, soit un service annuel de \dollars{318363} et un ratio de couverture de $\dollars{366800} / \dollars{318363} = \num{1.152}$. Sur 300~mois, le service annuel est de \dollars{384311} et le ratio de \num{0.954} : l'immeuble ne couvrirait pas sa dette sous un amortissement conventionnel de vingt-cinq ans, ce qui est le résultat noté au \cref{ch:33} et la raison pour laquelle le dossier retient 480~mois en le déclarant. Après 24~paiements, le solde est $\dollars{5416000} \times (1{,}0042626^{480} - 1{,}0042626^{24}) / (1{,}0042626^{480} - 1) = \dollars{5329169}$. Renouvelé à \pct{7.17} sur 456~mois, ce solde exige \dollars{404324} par an et le ratio de couverture tombe à \num{0.907}. La capacité de refinancement est le plus petit de $0{,}75 \times \dollars{7186000} = \dollars{5389500}$ et de $\dollars{366800} / (1{,}20 \times f')$ où $f'$ est la constante hypothécaire à \pct{7.17} sur 456~mois (\pct{7.587}), soit \dollars{4028826} ; la couverture est liante et l'injection requise est $\dollars{5329169} - \dollars{4028826} = \dollars{1300342}$. Sur la valeur par régression du \cref{ch:33} (\dollars{6716534}), le ratio prêt-valeur actuel est de \pct{80.6} au lieu de \pct{75.4} et la capacité selon le ratio prêt-valeur de \dollars{5037401} ; cela ne change pas l'injection, puisque la couverture reste liante, mais un prêteur qui fonderait son covenant sur une valeur de \dollars{6.7} millions plutôt que de \dollars{7.2} millions jugerait l'immeuble déjà hors covenant aujourd'hui. Le choix de la base de valeur du covenant est donc une question d'évaluation autant que de crédit, et c'est l'évaluation individuelle de P45, non le modèle de portefeuille, qui doit la trancher.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:48:4}{Ratios de l'IAAO sur un sous-ensemble}17Pour les dix-sept immeubles montréalais, les ratios valeur prédite / indication ont une médiane de \num{1.007} et un ratio pondéré (somme des prédites sur somme des indications) de \num{0.985} ; le COD est de \num{4.37}, le PRD de \num{1.016} et le PRB de $-\num{0.015}$ avec une erreur-type de \num{0.012}. Par rapport au portefeuille (médiane \num{1.002}, COD \num{3.83}, PRD \num{1.005}, PRB \num{0.001}), le sous-ensemble montréalais est un peu plus dispersé et légèrement régressif : le PRD supérieur à 1 et le PRB négatif indiquent que les grands immeubles (P09, P26) sont évalués au-dessus du modèle et les petits (P06, P15, P38) au-dessous, mais le PRB n'est pas statistiquement différent de zéro ($t = -1{,}3$) et le PRD reste dans la plage de \num{0.98} à \num{1.03} de l'IAAO. Le COD de \num{4.4} est inférieur à la borne basse de \num{5.0} du Standard on Ratio Studies, qui signale habituellement une poursuite des ventes ; ici, il mesure l'écart entre un modèle et les données qui ont servi à l'estimer, dont dix-sept des quarante-huit observations sont montréalaises, et une faible dispersion en échantillon d'estimation est attendue ; dans une étude de ratio sur ventes indépendantes, le même chiffre serait suspect. Un PRB de $-0{,}015$ signifie que le ratio diminue de \pct{1.5} chaque fois que la valeur double ; avec une erreur-type de \num{0.012}, l'intervalle à \pct{95} va de $-0{,}038$ à $+0{,}008$ et contient zéro : aucune iniquité verticale n'est démontrée, et le Standard n'exigerait une action que si l'intervalle sortait de $\pm 0{,}10$.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:48:5}{Croissance d'un immeuble et croissance de sa région}21La régression du logarithme du revenu trimestriel de P36 sur le temps donne une croissance tendancielle de \pct{2.01} par an et une volatilité annualisée de \pct{3.29} ; la croissance agrégée de la région de Québec est de \pct{2.67}. Le choc pandémique de la région, mesuré par l'écart moyen du logarithme de l'agrégat à sa tendance entre 2020T2 et 2021T2 (\cref{eq:48:choc}), est de $-\pct{1.55}$, contre $-\pct{2.53}$ pour le portefeuille et $-3$~\% dans la loi de génération ; la différence tient au bruit propre des six immeubles de la région. Le rendement total attendu de P36 est $R + g = \pct{6.14} + \pct{2.01} = \pct{8.15}$ avec la croissance propre, et \pct{8.81} avec la croissance régionale. La croissance propre d'un immeuble estimée sur dix ans a une erreur-type de l'ordre d'un demi-point à un point dans ce jeu (la dispersion intrarégionale des croissances va de \pct{1.24} à \pct{3.63} à Québec, pour une tendance commune) : l'écart de 0,66~point entre P36 et sa région n'est pas significatif, et un analyste prudent retiendra la croissance régionale, ou une moyenne des deux, en se souvenant de l'avertissement de Geltner (1993) sur les tendances apparentes des séries bruitées. La différence importe particulièrement pour un immeuble en zone inondable : si la croissance propre plus faible reflétait une difficulté réelle de relocation ou des coûts d'assurance croissants, le rendement total serait durablement inférieur et le taux de \pct{6.14}, déjà majoré par le modèle de \num{45}~points de base pour la zone, ne compenserait pas ; si elle n'est que du bruit, l'immeuble est un actif de rendement courant élevé dans la région dont la croissance démographique projetée est la plus forte des six. L'allocation doit donc être accompagnée d'une analyse individuelle de P36, non d'un score.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:48:6}{Un choc de taux généralisé}25Avec une corrélation du choc de taux de \num{0.90} entre régions et de \num{0.95} dans une région, l'intervalle à \pct{90} de la valeur du portefeuille s'élargit de \dollars{131200853} à \dollars{156508072} (contre \dollars{133506790} à \dollars{154224548} dans le régime déclaré), le coefficient de variation passe de \pct{4.37} à \pct{5.39}, la VaR à \pct{95} de \dollars{9856210} à \dollars{12162147} et le ratio de diversification de \num{0.690} à \num{0.854}. La probabilité que le ratio prêt-valeur dépasse \pct{75} reste nulle sur dix mille tirages, parce qu'il faudrait une baisse de valeur de \pct{20} et que l'écart-type du portefeuille n'est que de \pct{5.4}. Le ratio se rapproche de 1 sans l'atteindre pour deux raisons : la corrélation du choc de \emph{revenu} est restée à \num{0.17}, et le choc de revenu représente encore environ le quart de la variance individuelle, de sorte qu'une part du risque propre continue d'être diversifiée ; et la corrélation du choc de taux, même à \num{0.90}, laisse \pct{10} de variance propre à chaque immeuble. Sous corrélation parfaite des deux chocs, le ratio serait de \num{0.999} (\cref{tab:48:mc}). L'exercice montre que le résultat central de la \cref{sec:48:montecarlo}, à savoir que la diversification géographique protège peu contre le risque de taux, est robuste : passer de \num{0.50} à \num{0.90} de corrélation du taux accroît la VaR du portefeuille de \pct{23}, ce qui est l'ordre de grandeur de l'incertitude sur cette hypothèse déclarée, et le rapport doit présenter les deux chiffres.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:48:7}{Céder les immeubles en zone inondable}29Les trois immeubles (P36, P41, P43) valent \dollars{9546000} et portent une dette de \dollars{5404000} ; leur revenu net est de \dollars{566928}, soit un taux pondéré de \pct{5.94}. Le produit net de cession est $\dollars{9546000} \times 0{,}98 - \dollars{5404000} = \dollars{3951080}$. Le portefeuille restant (45~immeubles) vaut \dollars{133817000}, dégage un revenu net de \dollars{6880102} et un taux pondéré de \pct{5.14} (au lieu de \pct{5.19}, parce que les immeubles cédés portaient des taux élevés), avec un ratio prêt-valeur de \pct{60.1} (au lieu de \pct{59.8}, parce que leur endettement était inférieur à la moyenne) et un ratio de couverture agrégé de \num{1.587} (au lieu de \num{1.613}). Par simulation, le coefficient de variation passe de \pct{4.37} à \pct{4.30}, la VaR à \pct{95} de \dollars{9856210} à \dollars{9058169} (en proportion de la valeur, de \pct{6.9} à \pct{6.8}) et le ratio de diversification de \num{0.690} à \num{0.694}. La cession réduit donc à peine le risque relatif mesuré par la simulation : celle-ci ne capte que la volatilité du revenu et l'incertitude du taux, qui ne sont pas plus grandes pour ces trois immeubles que pour les autres, et la part de la zone inondable (\pct{6.7}) est trop petite pour changer la dépendance d'ensemble. Ce que la simulation ne capte pas, c'est le risque d'événement : un sinistre d'inondation, la restriction du droit de reconstruire dans le littoral ou en zone de classe très élevée \parencite[art.~83]{rmun2026}, la hausse ou le retrait de l'assurance, et le durcissement de la cartographie de nouvelle génération ; ces risques, asymétriques et rares, ne figurent dans la valeur marchande que par la majoration du taux que le marché exige déjà (\num{45}~points de base pour P36, selon le modèle) et ne figurent pas du tout dans la volatilité historique. La valeur marchande des trois immeubles est celle que le marché paie aujourd'hui en tenant compte de ce qu'il sait du risque ; la décision de les céder relève de la valeur d'investissement du fonds, c'est-à-dire de son aversion pour un risque d'événement que la diversification ne réduit pas, de sa tolérance à la perte de revenu net courant (\dollars{566928}, soit \pct{7.6} du revenu, pour \pct{6.7} de la valeur) et de l'emploi qu'il ferait du produit net de \dollars{3.95} millions. Le rapport de consultation doit dire que la simulation ne tranche pas cette question et pourquoi.30\end{solution}31